2.1.1 Stochastic Processes: Preliminaries and Definitions 2/32
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- 일섭 국
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1 Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistical Models Ch.2 Gaussian Processes 2.1 Definitions, Separability, 0-1 Law, Concentration 이상엽 June 29, 2018
2 2.1.1 Stochastic Processes: Preliminaries and Definitions 2/32
3 Definition X가지표집합 T 에대한확률공간 (Ω, Σ, Pr) 위의확률과정 (stochastic process) X : T Ω R, (t, ω) X(t, ω) 각 t에대해 X t := X(t, ) 이확률변수 Definition X가지표집합 T 에대한확률공간 (Ω, Σ, Pr) 위의확률과정일때 Ω R T, ω {X t (ω) t T } 는잴수있는사상이되어 µ = Pr {X t t T } 1 는확률측도이다. 이 µ 를 X의확률법칙 (probability law) 라한다. 3/32
4 F T 가유한집합일때, Ω R F, ω {X t (ω) t F } 는잴 수있는사상이므로 µ F = Pr {X t t F } 1 는유한차원 분포가된다. F G T 에서 G가유한일때, π GF : R G R F 가자연스러운사영이면 µ F = µ G πgf 1 ( 일관성조건 ) 이성립한다. 4/32
5 Theorem (Kolmogorov consistency) 지표집합 T 가주어져있을때, 각 k N, t i T (i = 1,..., k) 에대해 ν t1,...,t k 는 (R n ) k 위의확률측도이다. 이러한측도들이아래의일관성조건들을만족한다고하자. F i R n 이잴수있고 π가 1,..., k의순열이면 ν tπ(1),...,tπ(k)(f π(1) F π(k) ) = ν t1,...,t k (F 1 F k ) F i R n 이잴수있고 m이양의정수이면 ν t1,...,t k (F 1 F k ) = ν t1,...,t k,t k+1,...,t k+m (F 1 F k (R n ) m ) 그러면어떤확률공간 (Ω, Σ, Pr) 과확률과정 X : T Ω R n 이존재해, 각 k N, t i T (i = 1,..., k) 와잴수있는집합 F i R n 에대해 ν t1,...,t k (F 1 F k ) = Pr(X t1 F 1,..., X tk F k ) 를만족한다 /32
6 반대로 {µ F F T, F 는유한집합 } 이일관성조건을만족하면원통 σ-대수 C = σ{πtf 1 (A) A B(RF ), F T, F 는유한집합 } 2 RT 에서정의된확률측도 µ 가유일하게존재해 µ F = µ πtf 1 이성립한다. X : T R T R, (t, x) x(t) 는 (R T, C, µ) 위의 확률과정이고, µ 는 X 의확률법칙이된다. 6/32
7 Definition 지표집합 T 에 대한 확률과정 X, Y 가 각각의 유한차원 분포가 같으면(또는 (RT, C)에서 같은 확률법칙을 가지면) 각각을 서로에 대한 version이라 하고, 각 t T 에 대해 Pr (Xt = Yt ) = 1이면 strict version이라 한다. Definition 확률과정 X 의 지표집합 T 에서 거리나 유사거리2 d가 존재할 때, X 가 확률연속(continuous in probability) d(tn, t) 0이면 P Xtn Xt 2 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0일 수 있음 7/32
8 Definition 확률과정 X 의 지표집합 (T, d)가 (유사)거리공간일 때, X 가 분리 가능(separable) 셀 수 있는 T0 T 와 Pr (Ω0 ) = 1 인 Ω0 Ω가 존재해 모든 ω Ω0, t T, > 0에 대해 Xt (ω) {Xs (ω) s T0 B(t, )}을 만족 X 가 잴 수 있음(measurable) (Ω T, Σ T ) R, (ω, t) 7 X (ω, t)가 잴 수 있음3 I X 가 분리 가능하면 T0 이 T 에서 조밀하므로 T 는 분리 가능 I X 가 분리 가능하면 supt T Xt = supt T0 Xt a.s.. 우변이 셀 수 있는 상한이므로 잴 수 있어 좌변도 잴 수 있다. Xt 에 대해서도 마찬가지. 3 T 는 T 의 열린 공들로 생성된 σ-대수 8/32
9 Definition 확률과정 X t (t T ) 가표본유계 (sample bounded) 어떤 X 의 version X 의표본경로 (sample path) 들이거의모든 ω에대해고르게유계, 즉 sup t T X t < a.s.. (T, d) 가 ( 유사 ) 거리공간일때 X가표본연속 (sample continuous) 어떤 X의 version X 의표본경로들이거의모든 ω에대해유계이고고르게연속 9/32
10 Definition Cu (T, d)는 (T, d)에서 정의된 유계이고 고르게 연속인 함수로 이루어진 공간이다. I X 가 표본연속이면 그 유한차원 분포는 Cu (T, d)의 원통 σ-대수 C Cu (T, d) = {A Cu (T, d) A C}의 어떤 확률측도 µ의 주변분포이다. I 이때 (T, d)가 완전유계4 이면 C Cu (T, d)는 Borel σ-대수이고, 위의 µ는 Borel 확률측도이다. 4 임의로 정해진 똑같은 반지름을 가진 유한 개의 공들로 덮을 수 있는 공간 10/32
11 Proposition (Oxtoby-Ulam) 완비분리가능거리공간위의 Borel 확률측도는 tight 5 하다. Proof. Oxtoby, J. C., and Ulam, S. On the existence of a measure invariant under a transformation. Ann. Math. 40 (1939), (T, d) 가완전유계일때 C u (T, d) 는분리가능하고, f = sup t T f (t) 에대해완비이므로 X의확률법칙은 tight하다. 5 각 ɛ>0 에대해 µ(k c ) < ɛ 인 compact 한 K 가존재 11/32
12 Banach 공간 B에대해확률변수 X가 B 값을가지는 (B-valued) 것은확률공간에서정의된함수로서공역이 B 임을뜻한다. 집합 T 에대해 l (T ) R T 는유계함수들의모임이고, 이것은 x T = sup t T x(t) 에대해 Banach 공간이다. C u (T ) l (T ) 12/32
13 Proposition (T, d) 가완전유계 ( 유사 ) 거리공간이고 X t (t T ) 가표본연속이면다음을만족하는 X의 version X 가존재한다. X 가 C u (T, d) 값을가진다. X 의확률법칙은받침 (support) 이 C u (T, d) 의부분집합인 tight 한 Borel 측도이다. 곧 l (T ) 에서의 Borel 측도이다. Proof. 6, 10 쪽의논의에서. 13/32
14 Example (Banach space-valued random variables as sample continuous processes) 분리가능 Banach 공간 B 의쌍대공간 (dual space) 을 B, B 의 닫힌단위공을 B 1 라하자. {x i i = 1, 2,... } B 가조밀하면 Hahn-Banach 정리에서각 i 에대해 f i (x i ) = x i B 인 f i B 1 가 존재한다. 따라서 D = {f i } 이면모든 x B 에대해 x B = sup f D f (x). 확률변수 X 가 B 값을가지면 f f (X) (f D) 는모든표본경로가유계, 고르게연속. 따라서완전유계지표집합에대한표본연속확률과정에대한 논의를이경우에적용할수있다. 14/32
15 Proposition X t (t T ) 가표본유계라하자. X의각유한차원분포가어떤 l (T ) 의 Borel 확률측도의주변분포와같을필요충분조건은다음을만족하는 T 에서의 ( 유사 ) 거리 d가존재하는것이다. (T, d) 는완전유계 거의모든표본경로가 d에대해고르게연속인 X의 version 존재 15/32
16 Proof. (= ) X의확률법칙이 l (T ) 의 Borel 측도라가정해도무방. (K n ) 은 µ( n=1 K n) = 1인 l (T ) 의증가하는 compact 집합열. d(s, t) = n=1 2 n (1 d n (s, t)) (d n (s, t) = sup{ f (t) f (s) f K n }) ɛ > 0을고정, m은 n=m+1 2 n < ɛ/4. m n=1 K n이 compact, 완전유계 f 1,..., f r m n=1 K n : m n=1 K n r s=1 B(f s, ɛ/4). 6 A = {(f 1 (t),..., f r (t)) t T } R r 이유계, 완전유계 t 1,..., t N A : A N i=1 B((f 1(t i ),..., f r (t i )), ɛ/4). 7 6 f = sup t T f (t) 7 (v 1,..., v r ) = max 1 i r v i 16/32
17 Proof. 각 f K n 에대해 f f s < ɛ/4인 s를 s(f ), 각 t T 에대해 (f 1 (t),..., f r (t)) B((f 1 (t i ),..., f r (t i )), ɛ/4) 인 i를 i(t) 로. d n (t, t i(t) ) = sup f Kn f (t) f (t i ) sup f Kn ( f (t) f s(f ) (t) + f s(f ) (t) f s(f ) (t i ) + f s(f ) (t i ) f (t i ) ) max 1 s r f s (t) f s (t i ) + ɛ/2 3ɛ/4 d(t, t i (t)) n=m+1 2 n + m n=1 2 n d n (t, t i (t)) ɛ (T, d) 는완전유계. 16/32
18 Proof. K = n=1 K n 이면 µ(k) = 1 이므로 (l (T ), B, µ) 의항등사상은 거의모든표본경로가 K 에있는 X 의 version. f K n, d(s, t) < 2 n 이면 f (s) f (t) d n (s, t) 2 n d(s, t) f 는고르게연속 K n 이유계이므로 f 는유계. K 의모든원소가유계, 고르게연속이므로원하는조건을만족. ( =) X: 가정을만족하는 version X 는 C u (T, d) 값을가지고, 책 17 쪽의논의에의해어떤 C u (T, d) 의 Borel 측도 µ 와유한차원주변분포가같으며 C u (T, d) 가완비 분리가능하므로 Oxtoby-Ulam 정리에서 µ 는 tight. 16/32
19 2.1.2 Gaussian Processes: Introduction and First Properties 17/32
20 Definition 모든 유한차원 주변분포가 다변량 정규분포를 따르는6 확률과정을 가우시안 과정(Gaussian process)이라 한다. 그 모든 다변량 정규분포의 기댓값이 0이면 중심화(centered) 가우시안 과정이라 한다(이후 다른 설명이 없으면 가우시안 과정은 중심화된 것으로 생각). Definition Φ : T T R이 각 n N, t1,..., tn T 에 대해 행렬 (Φ(ti, tj ))ni,j=1 이 대칭이고 양의 반정부호(positive semidefinite) 이면 Φ를 T 에서의 공분산이라 한다. 6 그것들의 모든 선형결합이 정규분포를 따르는 것과 동치이다. 18/32
21 Proposition Φ, f 가각각 T 에서의공분산, 함수일때, 모든 s, t T 에대해 EX t = f (t), E(X t f (t))(x s f (s)) = Φ(s, t) 인가우시안과정 X t 가존재한다. 이때 Φ, f 를 X의공분산, 기댓값이라하고, X가중심화인것과 f 0는동치이다. Proof. 유한집합 F T 에대해 µ F = N((f (t)) t F, Φ F F ) 라한다. {µ F } 가일관성조건을만족하므로 Kolmogorov 일관성정리에적용가능. 19/32
22 Example H가분리가능 Hilbert 공간일때모든 g, h H에대해 EX h = 0, EX h X g = h, g H 를만족하는 X h (h H) 를백색 (white noise) 잡음과정이라한다. 셀수있는 H의정규직교기저 {ψ i } 가존재하므로, {g i } 를독립인표준정규분포열이라하면 X ψi = g i 를확장함으로써 X의존재성을보일수있다. 20/32
23 Definition X 가 가우시안 과정이면 dx2 (s, t) := E (Xt Xs )2 로 정의된 dx 는 T 에서의 유사거리가 되는데, 이것을 X 의 내재적 거리(intrinsic distance)라 한다. I (T, dx ) ({Xt t T }, d2 )7 는 등거리사상. I X 는 dx 에 대해 확률연속. 즉 dx 에 대해 조밀한 T0 T 에서 유한차원 주변분포에 따라 X 의 확률법칙이 결정된다. I 결국 가우시안 과정 X 의 모든 확률적 성질은 (T, dx )에서 얻을 수 있다. 7 d2 는 L2 공간에서의 자연스러운 거리, 즉 d22 (Xt, Xs ) = E (Xt Xs )2 21/32
24 Proposition Xt (t T )가 가우시안 과정일 때, 아래 두 조건은 동치이다. I 유사거리공간 (T, dx )이 분리 가능 I X 의 분리 가능하고 잴 수 있는 (strict) version 존재 Definition 확률과정 X 의 지표집합 (T, d)가 (유사)거리공간일 때, X 가 분리 가능(separable) 셀 수 있는 T0 T 와 Pr (Ω0 ) = 1인 Ω0 Ω가 존재해 모든 ω Ω0, t T, > 0에 대해 Xt (ω) {Xs (ω) s T0 B(t, )}을 만족 X 가 잴 수 있음(measurable) (Ω T, Σ T ) R, (ω, t) 7 X (ω, t)가 잴 수 있음8 8 T 는 T 의 열린 공들로 생성된 σ-대수 22/32
25 Proof. ( =) 8 쪽의논의에서. (= ) T 0 = {s 1, s 2,... } T : d X 에대해조밀. 동치류로묶은뒤 d X 가거리라고해도무방. 각 m, n N 에대해 C n (s m ) = B(s m, 2 n ) k<m B(s k, 2 n ) 이면 {C n (s m ) m N} 은 T 의분할. 각 t T 에대해!s n (t) T 0 : t C n (s n (t)), (X n ) t = X sn(t). (X n ) 1 (A) = i N (C n (s i ) X 1 s i (A)) (X n ) 은잴수있음. 각 t 에대해, Chebyshev 부등식에서 Pr( (X n ) t X t > 1/n) n 2 E(X sn(t) X t ) 2 n 2 /2 2n Borel-Cantelli 정리에서 (X n ) t X t a.s.. 23/32
26 Proof. X t (ω) := lim sup n (X n ) t (ω) 이면각 t 에대해 X t = X t < a.s. 이고, 잴수있는함수들의상극한이므로 X 는잴수있다. X 는 X 의 strict version. r N 이면 n r : l < r d X (s r, s l ) > 2 nr. 그러면 n n r (X n ) sr = X sr 이므로 s T 0 이면 X s = X s. 각 ω 에대해 X t (ω) = lim sup X sn(t)(ω) = lim sup X sn(t)(ω) { X s (ω) s T 0 B(t, 2 n )} X 는분리가능. 23/32
27 Proposition 지표집합이같은가우시안과정 X, Y 가독립이면 X + Y 는가우시안과정이고그공분산은 X, Y 의공분산의합이다. 특히두과정이같은확률법칙을따르면 ( 서로의 version이면 ) α, β가실수일때 αx + βy 는 α 2 + β 2 X와같은법칙을따른다. Theorem (0-1 law) 부분공간 F R T 이 F C이고 X t (t T ) 가가우시안과정이면 Pr{X F } {0, 1}. 24/32
28 Proof. X 1, X 2 : X와분포가같고서로독립인과정. 각 n N에대해 A n := {X 1 + nx 2 F }, B n := {X 2 / F } A n. X 1 + nx 2 는 1 + n 2 X의 version이고, F 가벡터공간이므로 Pr(B n ) = Pr(A n ) Pr(A n {X 2 F }) = Pr(X F ) Pr(X 1 F, X 2 F ) = Pr(X F ) Pr(X F ) 2 이 n과무관. 한편 n m이면 B n B m = φ이므로 Pr(B n ) = 0. Pr(X F ) = Pr(X F ) 2. 25/32
29 Example B가 분리 가능 Banach 공간일 때, B값을 갖는 확률변수 X 가 각 n N과 fi B 9 에 대해 (f1 (X ),..., fn (X ))가 기댓값이 0인 다변량 정규분포를 따르면10 X 를 중심화 가우시안 확률변수라 한다. 그때 X : B L2 (Ω, Σ, Pr ), Xf = f (X )는 가우시안 과정이다. B가 d 차원일 때는 어떤 B의 기저 {f1,..., fd }에 대해 (Xf1,..., Xfd )가 다변량 정규분포를 따르면 X 가 가우시안 과정이 된다. 9 여기서 B 은 위상적 쌍대공간으로, 연속인 사상들만 포함한다. 선형성에 의해 각 f B 에 대해 f (X )가 기댓값이 0인 정규분포를 따르는 것과 동치이다 /32
30 정규분포와마찬가지로, 가우시안과정의 sup노음이그기댓값 ( 과중앙값 ) 근처에아주높은확률로몰려있다 (concentrate). 여기에서는오차가큰대신상대적으로증명이쉬운버전을다룸 27/32
31 Theorem (B, B ) 는유한차원 Banach 공간, X가 B값을갖는중심화가우시안확률변수, f : B R은 Lipschitz 함수라하자. Ψ : R R이 0 이상, 볼록이고잴수있으면 EΨ(f (X) Ef (X)) EΨ( π 2 f (X), Y ) 이성립한다 (Y 는 X 와독립이고같은분포를따르는확률변수,, : B B R, (g, a) g(a)). 28/32
32 Proof. X 의치역이 B 라고해도무방. X(θ) = X sin θ + Y cos θ (θ [0, 2π)) X (θ) = X cos θ Y sin θ, X(θ) 와 X (θ) 는독립. (X, Y ) 와 (X(θ), X (θ)) 는같은분포 f (X(θ 2 ) f (X(θ 1 )) f Lip X(θ 2 ) X(θ 1 ) f Lip ( X + Y ) θ 2 θ 1 f (X( )) 는절대연속 f (X) f (Y ) = f (X(π/2)) f (X(0)) = π/2 d 0 dθ f (X(θ))dθ 29/32
33 Proof. Ψ 가볼록이고음이아니므로 EΨ(f (X) Ef (X)) = EΨ(f (X) Ef (Y )) EΨ(f (X) f (Y )) = EΨ( π/2 d 0 dθ f (X(θ))dθ) 2 π E π/2 0 Ψ( π d 2 dθ f (X(θ)))dθ = 2 π/2 π 0 EΨ( π d 2 dθ f (X(θ)))dθ (Jensen) (Fubini) (Jensen) (Fubini) 29/32
34 Proof. f 는 B 의 Lebesgue 측도 m 에대해거의모든점에서미분가능 (Rademacher 정리 ), 각 θ 에대해 X(θ) 의확률법칙 11 이 m 에대해 절대연속 f (X(θ)) 가확률 1 로존재. df (X(θ))/dθ = f (X(θ)), X (θ) a.s.. EΨ( π d 2 dθ f (X(θ))) = EΨ( π 2 f (X), Y ) 11 X 의확률법칙과같다. 29/32
35 Proof. Ψ 가볼록이고음이아니므로 EΨ(f (X) Ef (X)) = EΨ(f (X) Ef (Y )) EΨ(f (X) f (Y )) = EΨ( π/2 d 0 dθ f (X(θ))dθ) 2 π E π/2 0 Ψ( π d 2 dθ f (X(θ)))dθ = 2 π/2 π 0 EΨ( π d 2 dθ f (X(θ)))dθ = EΨ( π 2 f (X), Y ) (Jensen) (Fubini) (Jensen) (Fubini) 29/32
36 Example (Concentration for the maximum of a finite number of jointly normal variables) ( 중심화 ) 다변량정규분포를따르는 X = (g 1,..., g n ) 의최댓값 max 1 i n g i 의분포가그기댓값에얼마나몰려있는지알아보자. B = R n 은노음 f ((x 1,..., x n )) = max 1 i n g i 에대해 n 차원 Banach 공간이다. f 가 Lipschitz 이므로 Ψ 만그대로가져오면정리 의모든조건을만족한다. 한편 f 는 B 의거의모든점에서단한성분만 0 이아니고, 그 값은 ±1 이다. 따라서 f (X) 가확률 1 로존재한다. 30/32
37 Example (Concentration for the maximum of a finite number of jointly normal variables) σ 2 i = Eg 2 i, σ2 = max 1 i n σ 2 i 라하면, f (x), Y 는거의모든 x R n 에대해어떤 ±g i 이므로 g N(0, 1) 일때 σ i g 과같은 분포를따른다. 이제 Ψ 에짝함수이고 [0, ) 에서단조증가인조건을더해주면 거의모든 x에대해 EΨ( π 2 f (x), Y ) EΨ( π 2 σg) 이므로, EΨ( π 2 f (X), Y ) EΨ( π 2 σg). 정리 에서 EΨ(max g i E max g i ) EΨ( π σg) (1) 2 30/32
38 Example (Concentration for the maximum of a finite number of jointly normal variables) Ψ(x) = e λ x (λ > 0) 이면 E(e t g ) E(e tg + e tg ) = 2e t2 /2 이므로 EΨ( π 2 σg) 2eλ2 π 2 σ 2 /8. 위에서구한식과 Chevyshev 부등식에서 Pr( max g i E max g i > u) 2e λu+λ2 π 2 σ 2 /8 우변의지수를최소화하는 λ 를넣으면 Pr( max g i E max g i > u) 2e u2 /2π 2 σ 2 (2) 30/32
39 Theorem X t (t T ) 가 Pr(sup t T X t < ) > 0인분리가능한가우시안과정, Ψ가볼록, 잴수있고, [0, ) 에서단조증가인짝함수, g N(0, 1) 이라하면다음이성립한다 11. σ = σ(x) := sup t T EX t 2 <, E sup t T X t < EΨ(sup t T X t E sup t T X t ) EΨ( π 2 σg) Pr( sup t T X t E sup t T X t > u) 2e u2 /2π 2 σ 2 11 마지막부등식의우변은 O(e u2 /2σ 2 ) 까지줄일수있다. 31/32
40 Proof. z : g 의 0.25 분위수, Pr( g > z) = 1/ 법칙 ( 의따름정리 ) 에의해 sup t T X t < a.s.. M < : 1/2 > Pr(sup t T X t > M) 각 t T 에대해 1/2 > Pr( g > M ) 이므로 EX 2 t σ M/z < M EX 2 t > z 32/32
41 Proof. T 0 = {t 1, t 2,... } T : sup t T X t = sup t T0 X t 각 n N 에대해 Y n = max 1 i n X ti 이라하자. 식 (2) 에서각 n N 에대해 Pr( Y n EY n > σu) 2e u2 /2π 2 Y n sup t T X t < a.s. 이므로 sup t T X t 는유한한중앙값 m 을가진다. 따라서각 n N 에대해 Pr(Y n m) 1/2. 2e u2 /2π 2 < 1/2 인 u 를잡으면 (Y n m) 와 ( Y n EY n σu) 의교집합이존재해 EY n m + σu. 단조수렴정리에의해 E sup t T X t = lim EY n m + σu <. 32/32
42 Proof. lim(y n EY n ) = sup t T X t E sup t T X t a.s.. Ψ가볼록, 연속이므로 lim Ψ(Y n EY n ) = Ψ(sup t T X t E sup t T X t ) a.s.. 식 (1) 과 Fatou 보조정리에서가운데부등식을얻는다. 마지막부등식은예 의마지막부분과같이얻을수있다. 32/32
함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과
함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function spce) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과같음을볼수있다. 각 x X에대해 Y x = Y 라하자. 그리고 F := Y x x X 이라하자.
완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라
완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라한다. Example 0.2. < a n > 이 p에수렴하는점렬이면모든 ɛ > 0에대해 n
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제 강함수수열의평등수렴 함수의수열과극한 정의 ( 점별수렴 ): 주어진집합 과각각의자연수 에대하여함수 f : 이있다고가정하자. 이때 을집합 에서로가는함수의수열이라고한다. 모든 x 에대하여 f 수열 f ( x) lim f ( x) 가성립할때함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다고한다. 또 함수 f 을집합 에서의함수수열 { f } 의극한 ( 함수 ) 이라고한다.
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3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로성립한다. Theorem 7 두함수 f : X Y 와 g : X Y 에대하여, f = g f(x)
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8년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (8학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 8년 월 일, 고사시간 9분 8년 번 x + x + x x x lim. [풀이] x + x + x (x )(x + x + ) lim x x x (x )(x + ) x + x + lim x x+ limx x + x + limx x + 6 lim 8년
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<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770>
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제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리
제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 역함수의미분 : 두실수 a b 와폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 가 ( a, b) 미분가능하다고가정하자. 만일 f '( ) 0 이면역함수 f 은실수 f( ) 에서미분가능하고 ( f )'( f ( )) 이다. f '( ) 에서 증명 : 폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 는증가함수이거나감소함수이다 (
생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December 12, 2018 Contents 1 생존함수와 위험함수 생존함수와 위험함수 예제: 지수분포
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0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q
. 09~ cm 7 0 8 9 8'-p 0 cm x=, y=8 cm 0' 7 cm 8 cm 9 'åcm 90 'åcm T T=90 T T =" 8 - =' (cm) T= T= _T _T _'_ T=8' (cm ) 7 = == =80 -_ =0 = = _=(cm) M = = _0= (cm) M M =" - = (cm) r cm rcm (r-)cm H 8cm cm
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수명분포및신뢰도의 통계적추정 포항공과대학교산업공학과전치혁.. 수명및수명분포 수명 - 고장 까지의시간 - 확률변수로간주 - 통상잘알려진분포를따른다고가정 수명분포 - 확률밀도함수또는 누적 분포함수로표현 - 신뢰도, 고장률, MTTF 등신뢰성지표는수명분포로부터도출 - 수명분포추정은분포함수관련모수의추정 누적분포함수및확률밀도함수 누적분포함수 cumulav dsbuo
미분기하학 II-16 복소평면의선형분수변환과쌍곡평면의등장사상 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26
미분기하학 II-16 복소평면의 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26 자, 이제 H 2 의등장사상에대해좀더자세히알아보자. Definition 선형분수변환이란다음형식의사상을뜻한다. Example f (z) = az +
2005 7
2005 7 ii 1 3 1...................... 3 2...................... 4 3.................... 6 4............................. 8 2 11 1........................... 11 2.................... 13 3......................
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Ch. 4. Spectral Density & Correlation 4.1 Energy Spectral Density 4.2 Power Spectral Density 4.3 Time-Averaged Noise Representation 4.4 Correlation Functions 4.5 Properties of Correlation Functions 4.6
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25 강. 수열의극한참거짓 2 두수열 { }, {b n } 의극한에대한 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고르면? Ⅰ. < b n 이고 lim = 이면 lim b n =이다. Ⅱ. 두수열 { }, {b n } 이수렴할때 < b n 이면 lim < lim b n 이다. Ⅲ. lim b n =0이면 lim =0또는 lim b n =0이다. Ⅰ 2Ⅱ 3Ⅲ 4Ⅰ,Ⅱ 5Ⅰ,Ⅲ
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Chapter Radar Cross Section ( R C S ) 엄효준교수 한국과학기술원 Contents.1. RCS Definition.. RCS Prediction Methods.3. RCS Dependency on Aspect Angle and Frequency.4. RCS Dependency on Polarization.5. RCS of Simple
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2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1
8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 이메일(junmomath8@gmail.com)
Precipitation prediction of numerical analysis for Mg-Al alloys
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제 5 장 다변량확률변수 제 5 장다변량확률변수 5. 다변량확률변수. 분포함수 < 예 > 품질에따라제품을,, 3 등급으로분류 전체생산량중각등급의비율에관심 = n개중 등급의수 n Y = Y = n개중 등급의수 3 등급의수 ( Y) (, ) 와 Y를함께묶어서 Y 로나타내고함께분석, 는 변량확률변수 일반적으로서로관련있는개의확률변수 을함께묶어 n변량 ( 또는 n차원
2
rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48
100, Jan. 21, 호, Jan. 21, , Jan. 21, 2005
100 Bond Issue Performance Evaluation Risk management 100, Jan. 21, 2005 100, Jan. 21, 200 5 100호, Jan. 21, 2005 2 100, Jan. 21, 2005 3 100, Jan. 21, 2005 4 100, Jan. 21, 2005 5 100, Jan. 21, 2005 6 100,
체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x
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체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0 F, m > 0 에대해 f(x) = g(x)q(x) + r(x) 을만족하는
= ``...(2011), , (.)''
Finance Lecture Note Series 사회과학과 수학 제2강. 미분 조 승 모2 영남대학교 경제금융학부 학습목표. 미분의 개념: 미분과 도함수의 개념에 대해 알아본다. : 실제로 미분을 어떻게 하는지 알아본다. : 극값의 개념을 알아보고 미분을 통해 어떻게 구하는지 알아본다. 4. 미분과 극한: 미분을 이용하여 극한값을 구하는 방법에 대해 알아본다.
Chapter 5
POSTCH 이성익교수의 양자세계에관한강연 - 4 장 - 편집도우미 : POSTCH 학부생정윤영 Chpter 4 One-Diensionl Potentils du x x= u x u x + = V, x < = V, x> du x = ( V) u( x) x, ( ) du
집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y
어떤 다음 X 대응 1. 대응 (1) 어떤주어진관계에의하여집합 X 의원소에집합 Y 의원소를짝지어주는것을집합 X 에서집합 Y 로의대응이라고한다. l (2) 집합 X 의원소 에집합 Y 의원소 가짝지어지면 에 가대응한다고하며이것을기호로 와같이나타낸다. 2. 일대일대응 (1) 집합 A 의모든원소와집합 B 의모든원소가하나도빠짐없이꼭한개씩서로대응되는것을집합 A 에서집합
1 1 Department of Statistics University of Seoul August 28, 2017 확률분포 누적분포함수 확률공간이정의되었다고가정하자. 즉, 어떤사건 A 에대해서 P(A) 를항상생각할수있다고가정하자. 어떤확률변수 X 주어졌을때 Pr(X x) = P(X (, x]) 로정의하면 Pr(X x) 의값을모든 x 에대해생각할수있다. F
SAE 009 Annual onference oyriht c 009 SAE 비구형기어를이용한자기강화브레이크시스템의강인제어로직개발 박희람 * 1) 최세범 1) 김주곤 ) 김명준 ) The eveloment of Robust Loic for Self-Enerizin Brake system usin Noncircular Gear Heeram Park *1) Seibum
선형대수
fundamentals: ; ; 1, 1, basis; ; complement, sum, direct sum; ; isomorphism ; quotient space ; quotient space ; duality: linear function, coordinate function linear function characterization; dual space,
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수치를이용한자료요약 statistics hmkang@hallym.ac.kr 한림대학교 통계학 강희모 ( 한림대학교 ) 수치를이용한자료요약 1 / 26 수치를 통한 자료의 요약 요약 방대한 자료를 몇 개의 의미있는 수치로 요약 자료의 분포상태를 알 수 있는 통계기법 사용 중심위치의 측도(measure of center) : 어떤 값을 중심으로 분포되어 있는지
1 n dn dt = f v = 4 π m 2kT 3/ 2 v 2 mv exp 2kT 2 f v dfv = 0 v = 0, v = /// fv = max = 0 dv 2kT v p = m 1/ 2 vfvdv 0 2 2kT = = vav = v f dv π m
n dn dt f v 4 π m kt 3/ v mv exp kt f v dfv 0 v 0, v /// fv max 0 dv kt v p m / vfvdv 0 kt vav. 8v f dv π m k m 0 v / R0 4 T vav.45 0 cm / sec M M p v v fvdv 0 3 fvdv 0 kt m / 3kT v v. 5 m rms v p n dn
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학년도대수능 9 월모의평가 ( 수리영역 - 가형 AH AT sin 8. log 9 log. log log 일때, ( 분모 ( 분자 이어야한다. 즉, ( +a-b+a-b a - b - ᄀ +a+b - (-(-b (-( ++ -b + + - b -b 9 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 a, b 8 a+ b 5. log log X AB -B ( ( - - ( - ( 5 - -8
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제 강.1 통계적기초 확률변수 (Radom Variable). 확률변수 (r.v.): 관측되기전까지는그값이알려지지않은변수. 확률변수의값은확률적실험으로부터결과된다. 확률적실험은실제수행할수있는실험뿐아니라가상적실험도포함함 (ex. 주사위던지기, [0,1] 실선에점던지기 ) 확률변수는그변수의모든가능한값들의집합에대해정의된알려지거나알려지지않은어떤확률분포의존재가연계됨 반면에,
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5 장. 최적화 박창이 서울시립대학교통계학과 박창이 ( 서울시립대학교통계학과 ) 5 장. 최적화 1 / 57 학습내용 기초이론제약없는최적화제약있는최적화통계학에서제약최적화문제 박창이 ( 서울시립대학교통계학과 ) 5 장. 최적화 2 / 57 기초이론 : 일변수함수 I 정리 5.1 ( 중간값정리 ). 함수 f 는구간 [a, b] 에서연속이며실함수라고하자. f (a)
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1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 >
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Bandwidth Efficiency Analysis for Cooperative Transmission Methods of Downlink Signals using Distributed Antennas In this paper, the performance of cooperative transmission methods for downlink transmission
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20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7
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