완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에

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1 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 > (1) 1 곱셈공식및변형공식성립안됨.,, 2 다음과같은지수법칙은성립안됨. (2) 이면 1. 다음각명제의참, 거짓을판별하여라. (1) 이면 ( ) (2) ( ) (3) 이면 이다. ( ) (4) 이면 이다. ( ) (5) 이면 이다. ( ) (6) 이면 이다. ( ) (7) ( ) (8) 이면 를만족하는행렬 가존재한다 ( ) 1

2 2. 케일리해밀턴정리, 역행렬의정의와관련한내용 (1) 일때, 이다. (2) 를만족하는행렬 가존재하면 를 의역행렬이라한다. 일반적으로 이면 가성립하므로 이다. < 참인명제 > (1) 의역행렬이존재하지않으면 인상수 가존재한다. (2) 에대하여 이고 이고 이면 이다. (3) 와 가서로역행렬이면 이다. 이면 이다. (4) 이면 이다. < 거짓인명제 > (1) 이면 의역행렬이존재한다. (2) 2. 다음각명제의참, 거짓을판별하여라. (1) 에대하여 이면 이고 이다. ( ) (2) 을만족하는실수를원소로갖는행렬 는존재하지않는다 ( ) (3) 와 의역행렬이존재하면 이다. ( ) (4) 이면 는역행렬이존재한다. ( ) (5) 이면 의역행렬이존재한다. ( ) (6) 이면 의역행렬은 이다. ( ) (7) 이면 이다. ( ) (8) 이면 이다 (9) 이면 는역행렬이존재하지않는다. ( ) (10) 이면연립방정식 은 이외의해를갖는다. ( ) (11) 이면 의역행렬이존재한다 ( ) (12) 의역행렬이존재하고 이면 의역행렬이존재한다 ( ) (13) 이면 ( ) 2

3 3. 역행렬존재조건과관련한내용 에서 라하면 이다. 라하면 일때, 일때. < 참인명제 > (1) 1, (은음이아닌정수 ) 2, (2) 1 어떤자연수 에대하여, 이면 는역행렬을갖지않는다. 2 의역행렬이존재하면 의역행렬도존재한다. < 거짓인명제 > (1) 다음각명제의참, 거짓을판별하여라. (1) 의역행렬이존재하면 의역행렬도존재한다. ( ) (2) 와 모두역행렬이존재하면 의역행렬도존재한다. ( ) (3) 의역행렬이존재하면 와 모두역행렬이존재한다. ( ) (4) 이면 와 중적어도하나는역행렬이존재하지않는다. ( ) (5) 와 중적어도하나가역행렬이존재하면 도역행렬이존재한다. ( ) (6) 이고 의역행렬이존재하면 와 모두역행렬존재한다. ( ) (7) 의역행렬이존재하지않으면 와 모두역행렬이존재하지않는다. ( ) (8) 어떤자연수 n 에대하여, 이면 ( ) (9) 서로다른두실수 에대해 와 가역행렬을갖지않으면 ( ) 3

4 4. 영인자와관련한내용 두행렬, 에대하여 를만족하는 가아닌행렬, 를 영인자라고한다. 영인자는역행렬을갖지않는다. < 참인명제 > 1 가존재할때, 이면 이다. 2 이면 또는 가존재하지않는다. 3 이고 이면 가존재하지않는다. 4 을만족하는영행렬이아닌두행렬 A,B가존재한다. < 거짓인명제 > 1 이면 또는 이다. 2 이고 이면 이다. 3 이고 이면 이다. 4 일때, 이면 이다. 4. 다음각명제의참, 거짓을판별하여라. (1), 일때,, 중적어도하나가역행렬을가지면 이다.( ) (2) 이고 이면 는역행렬을갖지않는다. ( ) (3) 이면 이다. ( ) (4) 이면 또는 이다. ( ) (5) 이면 또는 이다. ( ) (6) 이면 또는 ( ) (7) 이면 이다. ( ) (8) 이면 이다 ( ) 4

5 2. 행렬의참, 거짓체크문제 다음각명제의참, 거짓을판별하여라. 행렬은 2 차정사각행렬이고 0 는영행렬, E 는단위행렬이다. 1. 이면 ( )1) 2. 2) 이면 이다 ( ) 3. 이면 이다. ( )3) 4. 4) 이면임의의자연수 에대하여 이다 ( ) 5. ( 는실수 ) 이면 이다. ( )5) 6. 이면 이다.6) ( ) 7., 이면 이다. ( )7) 8. 이면 이다. ( )8) 9. 이면 이다. ( )9) ) 역행렬이존재하는두행렬 A, B에대하여 이면 이다 ( ) 11. 이면 이다. ( )11) ) 이면 이다 ( ) 13. 을만족하는실수를원소로갖는행렬 는존재하지않는다. ( )13) 14. 이고 이면 ( )14) 5

6 15. 이고 이면 이다 ( )15) 16. 이면, 의역행렬은존재한다. ( ) 16) 17. 이면 의역행렬이존재한다. ( )17) 18. 이면 의역행렬은존재하지않는다. ( )18) 19. 이면 의역행렬은존재한다. ( )19) 20. 이면 의역행렬이존재한다. ( )20) 21. 이면 의역행렬은존재한다. ( )21) ) 이면 이다 ( ) ) 이면 이다 ( ) 24. 이면 이다. ( )24) 25. 이면 이다. ( )25) ) 이면 이다 ( ) 27. 와 모두역행렬이존재하지않으면 의역행렬은존재한다. ( )27) 28.,, 모두역행렬이존재하지않도록하는행렬 가존재한다. ( )28) 29. 와 모두역행렬이존재하지않으면 이다. ( ) 30. 이역행렬이존재하지않으면 를만족하는실수 값이존재한다. 31. 이고 일때 ( ) 29) 인실수 가존재한다 ( ) 6

7 30) ㄴ ( 32. 어떤자연수 n 에대하여 이면 이다. ( ) 33. 역행렬이존재하는두행렬 에대하여 이면 이다 31) ) 34. 이면 이다. ( )32) ) 이고 이면 ( )34) 36. 이고 이면, 이다. ( )35) 37. 이고 이면 이다. ( )36) 38. 이면 이다. ( )37) 39. 이존재할때 이면 ( )38) ) 이고 이면 이다 ( ) 41. 이고 이면 가존재하지않는다. ( )40) 42. 이고, 이면 와 모두역행렬이존재하지않는다. ( )41) 43. 가존재할때 이면 ( )42) 44. 이면 또는 이존재하지않는다. ( )43) 45. 이고, 이면 은없다. ( )44) ) 46) ) 이면 은 이외의해를가진다 ( ) 이고 이면 또는 이다 ( ) 7

8 3. 행렬의참, 거짓실전문제 1. 이아닌두실수, 에대하여두이차정사각행렬, 가 를만족시킬 때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은?1) ㄱ. 이면 의역행렬 이존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ., 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 2. 두이차정사각행렬 A B 가, 를만족시킬때, 옳은 것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은?2) ( 단, 는단위행렬이다.) ㄱ. ㄴ. ㄷ. ( 단, 는영행렬이다.) 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 8

9 3. 이차정사각행렬 와 에대하여옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은?3) ( 는영행렬이고, 는단위행렬이다.) 단, ㄱ. 이면 이다. ㄴ., 이면 이다. ㄷ., 이면 이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 4. 두이차정사각행렬, 가, 를만족시킬때, 에서옳은것만을있는대로고른것은?4) ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. ㄷ. ( 단, 는단위행렬이고, 는영행렬이다.) 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 9

10 5. 5) 두이차정사각행렬 가 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) ㄱ. ㄷ. ㄴ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 6. 집합 를 라하자. 의부분집합 를 는 이아닌양수 log log 이라 할 때, 옳은 것만을 < 보기 > 에서 있는 대로 고른 것은?6) ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 이고 가역행렬을가지면 이다. ㄷ. 이면 는역행렬을가진다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 10

11 역행렬이 7. 7) 집합 가 은이차정사각행렬이고 일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) ㄱ. ㄴ. 이고 의역행렬이존재하면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 8. 8) 존재하는두이차정사각행렬, 가 를만족시킨다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) < 보기 > ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 11

12 ( 9. 이차정사각행렬,, 가, 를만족시킨다. 가역행렬을가질때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 9) [ 평가원 ] ㄱ. 이고, 이면 이다. ㄴ. ㄷ. 가역행렬을가지면 이고, 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 10. 이차정사각행렬,, 에대하여 이고 일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 10) 단, 는단위행렬이다.) ㄱ. 이면 이다. ㄴ. ㄷ. 모든자연수 에대하여 이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 12

13 11. 두이차정사각행렬, 에대하여 이고 일때, < 보기 > 에서항상옳 은것을모두고른것은?11) < 보기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 는역행렬을갖는다. ( 단, 는단위행렬이다.) 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 12. 두이차정사각행렬 에대하여 일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은?12) ㄱ. ㄴ. ㄷ. ( 단, 는단위행렬이다.) 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 13

14 13. 영행렬이아닌두이차정사각행렬 가, 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은?13) ( 단, 는단위행렬이고, 는영행렬이다.) ㄱ. ㄴ. ㄷ. 행렬 는역행렬을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 14. 역행렬을가지는두이차정사각행렬 에대하여옳은것만을 < 보기 > 에서있는대 로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) 14) ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 14

15 15. 15) 두이차정사각행렬 에대하여, 가성립할때, 옳은 것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) ㄱ. ㄴ. ( ) ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 16. 집합, 는이차정사각행렬 에대하여옳은것만을 < 보기 > 에서 있는대로고른것은?16) < 보기 > ㄱ. 이면 의역행렬이존재하지않는다. ㄴ. 이차정사각행렬 의역행렬이존재하지않으면 이다. ㄷ., 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ ) 두이차정사각행렬, 가 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) * 증명 * 보기 ㄱ. 이존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 15

16 18. 18) 다음은 개의꼭짓점이 인어느그래프의인접행렬이다. A B C D E A B C D E 이그래프에대한 < 보기 > 의설명에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. 모든꼭짓점의차수의합은 이다. ㄴ. 꼭짓점 를출발하여두변을지나꼭짓점 로가는경로의수는 2개이다. ㄷ. 모든변을한번씩만지나서시작점으로되돌아오는경로가존재한다. ㄱㄴㄱ, ㄴㄴ, ㄷㄱ, ㄴ, ㄷ 19. 다섯개의꼭짓점 으로이루어진어떤그래프의연결관계를나타 내는행렬을 이라할때, 은다음과같다. 이때, 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고른것은? 19) < 보기 > ㄱ. 변의개수는 개다.. ㄴ. 에서변을 개지나서 로가는경로는존재하지않는다. ㄷ. 모든변을빠짐없이지나가는경로가존재한다ㄱㄱ, ㄴㄴ, ㄷㄱ, ㄷㄱ, ㄴ, ㄷ 16

17 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. (1) 참 (2) 참 (3) 참 (4) 거짓 (5) 참 (6) 참 (7) 참 (8) 참 2. (1) 거짓 (2) 거짓 (3) 거짓 (4) 참 (5) 참 (6) 참 (7) 참 (8) 참 (9) 거짓 (10) 거짓 (11) 참 (12) 참 (13) 참 3. (1) 참 (2) 거짓 (3) 참 (4) 참 (5) 거짓 (6) 참 (7) 거짓 (8) 참 (9) 참 4. (1) 참 (2) 참 (3) 거짓 (4) 거짓 (5) 거짓 (6) 참 (7) 참 (8) 참 2. 행렬의참, 거짓체크문제 1) 거짓 2) 참 3) 참 4) 참 5) 참 6) 참 7) 참 8) 참 9) 거짓 10) 참 11) 거짓 12) 참 13) 거짓 14) 거짓 15) 참 16) 참 17) 참 18) 거짓 19) 참 20) 참 21) 참 22) 참 23) 참 24) 참 25) 참 26) 참 27) 참 28) 거짓 29) 참 30) 참 31) 거짓 32) 참 33) 참 34) 거짓 35) 거짓 36) 거짓 37) 거짓 38) 거짓 39) 참 40) 참 41) 참 17

18 42) 참 43) 참 44) 참 45) 참 46) 참 47) 참 3. 행렬의참, 거짓실전문제 1) 3 2) 3 3) 5 4) 5 5) 5 6) 3 7) 5 8) 3 9) 5 10) 5 11) 5 12) 5 13) 3 14) 5 15) 5 16) 1 17) 4 18) 3 19) 5 18

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