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윤우 매
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1 韓國數學敎育學會誌시리즈 E J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. E: < 數學敎育論文集 > Communications of Mathematical Education 제 23권제4호 Vol. 23 No 4, Nov 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과 선형대수학에서의 활용 고래영 ( 성균관대학교 ) 김덕선 ( 성균관대학교 ) 박진영 ( 성균관대학교 ) 이상구 ( 성균관대학교 )+ ICT 수학교육은 21세기수학교육의중요한한부분으로자리매김해오고있다. 국내수학교육계에서도이에관한다양한연구가지난 10여년간활발하게진행되어왔으나대학수학교육에사용되는대부분의공학적도구들은외국제품의수입에의존하고있다. 중등과정에서의 ICT 수학교육도특히공학적도구부분은어느나라의도구를사용하느냐의문제때문에실질적으로교과과정에반영되는부분은미뤄져왔다. 그러나 2008년 ICME11에서소개된공학적도구 Sage-Math 는훌륭한대안을제시한다. 본연구에서는최근에개발된 Sage-Math 를한국의웹기반 ICT 수학교육, 특히선형대수학의교수-학습모델에적용한사례를소개한다. 우리는 Sage-Math의한글버전을개발하고다양한예를제시하며, 한국의모바일환경에적합한 Sage-Math 를활용하는 Mobile Service 모듈을개발한내용과관련웹사이트를소개한다. 1) 1. 서론 전세계적으로 IT 환경의빠른발전은교육환경전반에걸쳐서혁신적인변화를이끌어내었다. IT 환경의발전을통하여수많은정보가교육주체에게직접적인영향을줌으로서, 빠른정보의전달을통하여기존의학습환경을완전히새롭게바꾸었고, 이로인하여세계의모든교육환경은꾸준히그형태의변화를요구받게되었다. 한국은 1990대이후, 정부와다양한기업체의집중적인투자를통하여세계에서가장빠른속도로 IT 환경이발전되어왔으며, 이로인하여인터넷사용이빠르게대중화되었고, 교육주체들인학생들과교사들이자신의집에서편리하게인터넷을활용할수있는환경을갖추어왔다. 현재도한국은세계에서가장빠른인터넷접속환경을가진나라로분류되고있으 * 접수일 (2009년 10월 7일 ), 수정일 (1차 2009년 10월 16일, 2차 2009년 10월 21일 ), 게재확정일 (2009년 10월 22일 ) * ZDM 분류 : D45, M15, U51 * MSC2000 분류 : 97C90, 97U50, 97U70 * 주제어 : Matlab, ATLAST, ICT, Sage, Sage-Math, RPG + 교신저자 1023

1024 고래영 김덕선 박진영 이상구 며, 글로벌기업아카마이 (www.akamai.

2 1024 고래영 김덕선 박진영 이상구 며, 글로벌기업아카마이 ( 가내놓은 2009년 1분기인터넷현황보고서 (The State of the Internet) 에따르면한국은 < 그림 1> 에서볼수있듯이, 인터넷연결속도보급분야에서 25Mbps이상의속도로연결되는활용비율이다른나라에비해월등히높아여전히인터넷속도부문최강국임을증명했으며, 평균인터넷연결속도또한한국이 11Mbps로여전히 1위자리를지켰다 (Akamai, 2009). < 그림 1> 국가별인터넷연결속도현황보고서 이러한인터넷주변환경에기인하여, 많은학생들이집이나학교에서편리하게인터넷을통하여자신의학습에맞는자료를손쉽게입수할수있는환경이조성되었기에, 일반 PC에탑재하는프로그램보다, 서버를이용하여프로그램을어디에서라도접속할수있도록하는것이앞으로다가올인터넷사용환경에부합한다. 따라서서버에안착된프로그램을중심으로하는연구방향은타당하며, 이러한교육환경에적합한프로그램, 콘텐츠를포함한다양한도구의개발이절실히필요한상태이다. 그러나지금까지수학교육에있어서수학 공학적도구들의활용은전적으로외국에서개발된상업용도구들에의해의존되어왔다. 이러한상업용도구들은한국에구성되어있는수학교육환경에적용하기에는언어의문제점과더불어, 교과과정이다르기때문에한국의수학교육환경에바로적용하기에는그효과가크게떨어진다. 특히대다수의외국산소프트웨어는전량수입품으로, 학생용제품이라도고가이기때문에 1) 이도구들을이용한교육을실시하기위해서는교육환경에많은비용이요구되어국내에서는효과적으로활용되는데한계를가지고있다. 물론이를대체하기위한많은시도가있었지만, 이렇게개발된국내의많은도구들은사용범위가교재수준이거나그이하의문제들만을풀수있을정도라서, 학생들이졸업후, 사회나직장에서실제로수학적인문제를해결하는데에는큰도움이되지못하고있다. 따라서학생들이사회에진출하여직면하는수학적문제해결을 1) MATLAB : $99, Mathematica : $139.95, Maple : $124.00

3 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1025 하기위해선, 비싼외국산소프트웨어에의존할수밖에없으며, 그들은사회에진출해서도그소프트웨어를구입하여사용하게되며, 그들이현장에서문제해결하는비용에추가된다. 결국국가적으로큰추가비용이발생하게되는것이다. 따라서사회의다양한수학적문제를해결할수있는우수한인재양성을위해서라도, 대학수학교육현장에익숙한상업용소프트웨어인 MATLAB, Mathematica, Maple과비슷한문법을사용하면서, 더나아가 PC에프로그램의설치없이도인터넷만연결하면필요한곳에서무료로편리하게사용가능한오픈소스 (Open Source) 로개발된무료소프트웨어가필요하다. 이러한소프트웨어가바로 Sage-Math이다. 실제로 MATLAB, Mathematica, Maple 등의언어로개발된대부분의모듈은 Sage-Math 서버에관련프로그램을연계만시키면 Sage-Math 에복사와붙이기만으로바로입력되고, 클릭하면결과를얻을수있다. 이러한기능이기존의다른소프트웨어를사용하던교수자입장에서 Sage-Math를이용할가장큰매력이될수있다. Sage-Math는 2005년 2월 24일발표된서버용프로그램 2) 으로, 대수학, 조합론, 수치해석학이나미적분학과같은다양한분야의수학적문제해결을위한소프트웨어이다. 이것은수학분야의연구뿐만아니라, 공학및다른과학분야에널리사용되는소프트웨어로서, 클라이언트-서버모델 (Client-Server Model; C/S Model) 로구성되어인터넷환경에서활용가능한소프트웨어이다. < 그림 2> 클라이언트 - 서버모델 따라서 Sage-Math는인터넷환경에서적절하게활용될수있는형태를가지고있다. 이소프트웨어는파이슨 (Python) 이라알려진수학계산에효과적인언어를활용함으로써, 빠른계산처리능력과더불어, 편리한라이브러리구축기능을가지고있다. 또한이소프트웨어는오픈소스 (Open Source) 로개발되어 GNU의 GPL(General Public License) 를따르고있다. 따라서파이슨을사용할수있는프로그래머라면이프로그램을수정하여자신의목적에맞게수정하여사용할수있다. Sage-Math 의특징중하나는 Magma, Maple, Mathematica, MATLAB등의명령어를바로활용가능한프로그램으로서, 문법을별도로익힐필요가없을정도로편리하며, 앞서소개한상업용프로그램들과비교할때, 연산속도나성능또한뛰어나다. Sage-Math는지난 2004년에서 2005년까지미국의과학연구 2) 주개발자는 University of Washington 수학과의 William Stein 교수이다.

1026 고래영 김덕선 박진영 이상구 기술개발지원기관인 NSF(National Science Foundation) 의지원을받아서개발되었으며, 지원프로그램이끝난현재에도오픈소스개발프로젝트에참여한많은개발자들을통하여꾸준히개발되어, 2009년 7월 9일현재 4.1 버전까지개발되어발표된상태이다.

4 1026 고래영 김덕선 박진영 이상구 기술개발지원기관인 NSF(National Science Foundation) 의지원을받아서개발되었으며, 지원프로그램이끝난현재에도오픈소스개발프로젝트에참여한많은개발자들을통하여꾸준히개발되어, 2009년 7월 9일현재 4.1 버전까지개발되어발표된상태이다. 이렇게개발되어온 Sage-Math는한국과같은차별화된 IT환경을갖추고있는나라에서활용하기편리한도구가될수있다. < 그림 1> 에소개한바와같이, 한국은전세계에서가장인터넷이보편화된국가중하나이고, 이러한환경에서는비싼외국산소프트웨어를설치하여수학적개념을연구하거나학습하는것보다, Sage-Math와같은무료소프트웨어를이용하여다양한수학연구및수학내용의교과학습을수행하는것이훨씬경제적이다. 또한, 학습자나교수자의컴퓨터에용량이매우큰수학계산용프로그램을설치하는것보다, Sage-Math 와같이클라이언트서버모델을가진프로그램을활용함으로써효과적으로학생들이활용할수있다. 클라이언트서버모델의장점은바로복잡한연산은서버쪽에서따로담당하고, 인터넷익스플로러만있으면, PC방이든, 학습자의집에있는 PC든, 학교에있는 PC든, 그사양에관계없이인터넷만연결되어있으면, 자신의복잡한계산결과를언제든지확인할수있다는것이다. 이는한국과같은교육환경에서학습자및교수자모두를만족시킬수있는효과적인대안이될수있다. < 그림 3> 한국학생들의컴퓨터활용도 (OECD 가입국가들과의비교 ) 한국학생들은인터넷을통해서다양한활동을하는것을좋아한다. < 그림 3> 에나오는것처럼, OECD 국가중한국학생들은컴퓨터활용도가높으며, 인터넷을통해서과제를수행하는부분에서는적극적이므로 3) 한국학생에게맞는모델이될수있다. 학생들은학습활동에인터넷을활용하는것을선호하며, 인터넷을통한토론을좋아한다. 이를댓글문화 (reply culture) 라고하며, 한국학생들은이러한댓글문화에잘적응해있으며, 오프라인에서직접대면하여토론을진행하는것은주저하지만, 인터넷을통하여토론을진행하는부분에는매우친숙하다. 본연구진은 1 한국학생들이자신의질문에대하여상대적으로빠른답변을요구하며, 2 빠른답변이주어지는경우더욱적극적인반응을하여, 이는더큰학습동기를부여한다는것과 3 오프라인상의토론보다, 온라인토론에서자신의생각을더욱적극적으로표현하는데매우잘훈련 3) 한국학생, 인터넷잘하지만프로그램못한다. 허미경기자, 한겨례, 2006 년 1 월 25 일자

5 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1027 되어있다는점을확인할수있었다. 이런여건은한국학생들이인터넷을자신의수학학습에활용할준비가되어있음을의미한다. 또우리에게몇가지교육적인측면에서학생들의학습과정에서질문과답변을통한배움에대한전략에대한아이디어를준다. 학생들에게교육을제공하고, 학생이학습과정에서생기는질문을자발적으로인터넷환경을활용하여공동으로해결하도록인도하고, 학생들이필요시에보조자료와공학적도구도활용이가능하도록할수있다. 인터넷게시판과 Sage-Math는이역할을하는데매우적합한도구이며, 학생들의학습역량을높이며, 어려운수학적개념을이해하는데큰도움을줄뿐만이아니라, 나아가서수학적문제해결능력을지닌인재를배출하는데도움이될것이다. 세계적인추세도이러한인재양성에교육환경을구축하는데큰관심을보이고있다. 1987년이후, 미국의연방준비제도이사회 (FRB) 의장을네번이나역임한앨런그린스펀 (Alan Greenspan) 전의장도, 연방준비제도이사회홈페이지에다음과같은이야기를통하여, 이러한인재양성이미국에매우중요함을강조한바있다 (Greenspan, 2000).... Expanding the number of individuals prepared to use a greater proportion of their intellectual capacity means, among other things, that our elementary and secondary students must broaden their skills in mathematics and related sciences. In my experience, competency in mathematics both in numerical manipulation and in understanding its conceptual foundations enhances a person's ability to handle the more ambiguous and qualitative relationships that dominate our day-to-day decision making. The study of science, of course, also advances problem-solving skills..... 또한중국및일본등한국주변의나라들도이에대한중요성을인식하고다양한노력을경주하고있다 (Hsiu-Zu Ho외, 2000). 따라서한국도이러한세계적인흐름에뒤처지지않기위해선반드시실제적인수학적모델링과수학적문제해결능력을지닌우수한인재를양성할수있는환경을구성하기위해서, 수학적문제를공학적도구로해결할수있는능력을배양할수있는수학교육환경의구성이절실하게요구된다. 본논문에서는 Sage-Math와모바일 Sage-Math 에관련하여본연구진이시도한내용과그를통한가능성에대하여논의한다. 2. 본론 2.1 Sage-Math 의소개및활용법 대수학, 조합론, 수치해석학이나미적분학과같은다양한분야의수학적문제해결을위한소프트웨어인 Sage-Math는인터넷을통하여 에서무료로제공된다. Sage-Math는모든연산이서버에서이루어지므로사용자가가지고있는컴퓨터의사양은연산에큰영향을미치

1028 고래영 김덕선 박진영 이상구 지않는다. 인터넷의연결이가능한컴퓨터만있고, 웹브라우저 4) 가있으면교수자와학습자모두바로사용이가능하다. 현재 Sage Notebook을제공하는사이트는여러곳이있다. 5) 본연구팀도 Sage-Math 의활용과이에대한개선을위하여자체적으로프로그램을아래주소에설치하여활용하며개선작업을수행하고있다.

6 1028 고래영 김덕선 박진영 이상구 지않는다. 인터넷의연결이가능한컴퓨터만있고, 웹브라우저 4) 가있으면교수자와학습자모두바로사용이가능하다. 현재 Sage Notebook을제공하는사이트는여러곳이있다. 5) 본연구팀도 Sage-Math 의활용과이에대한개선을위하여자체적으로프로그램을아래주소에설치하여활용하며개선작업을수행하고있다. - 서버 (Server) : - 사용자이름 (Username) : test - 암호 (Password) : test95 첫화면에서 사용자이름 에서아이디를적고, 암호 에비밀번호를적은후 로그인 버튼을클릭하면로그인이된다. 만약아이디가없을경우 Sign up for a new Sage Notebook account 글을클릭하여아이디를만들면언제든지들어갈수있다. 6) 시스템에들어가면 Mathematica와 Maple처럼자신이연산하고싶은명령을입력하고, + 나아래있는 Evaluate 를클릭하여연산을수행할수있다. < 그림 4> 한글판 Sage-Math 접속화면 (http: // math1. skku. ac.kr) 4) 인터넷익스플로러나파이어폭스와같은다양한인터넷접속용프로그램이다. 5) 공식홈페이지에서소개된 사이트도사용가능함 (KAIST 제공 ) 6) 참고로본연구팀이운영중인 서버에서는보안상의이유로신규계정사용이불가능하다. 앞서소개한 Username(test) 과 Password(test95) 를통하여접속하는것을권장한다.

모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1029 2.2 Sage-Math 한글버전의개발 본연구팀이수강학생들을대상으로설문조사를한결과, < 그림 5> 에서확인할수있듯이, 현재한국학생들은영어로수학내용을배우는것에대하여부정적으로생각한다고조사된바있다. 7) 2) 고급반이영어로진행되지않았다면수강했을것이다.

차이는다른상업적프로그램과달리 Sage-Math 는오픈소스기반의소프트웨어이므로소스의수정이가능하였다. 본연구팀은 Sage-Math 프로그램을적극적으로한국환경에맞게활용하기위하여 Sage-Math의한글버전을개발하는데노력을기울였고, 현재 4.1 버전의최신한글버전 Sage-Math 를성공적으로개발하여앞서소개한웹사이트인 http://math1.skku.ac.

7 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 Sage-Math 한글버전의개발 본연구팀이수강학생들을대상으로설문조사를한결과, < 그림 5> 에서확인할수있듯이, 현재한국학생들은영어로수학내용을배우는것에대하여부정적으로생각한다고조사된바있다. 7) 2) 고급반이영어로진행되지않았다면수강했을것이다. 4) 수업을들어보니영어로진행하는수업을했어도어렵지않았을꺼라생각한다. < 그림 5> 2007 년도 BSM( 미적분학, 선형대수학 ) 수강과목학생대상설문조사자료 현재소개된대부분의상업용수학연산도구들은영어로개발되고, 또한그사용방법도영어로소개되어, 한국학생들이다양한기능을익히고효과적으로활용하는데걸림돌이되어왔다. 영어로개발된 Sage-Math도같은문제점을가지고있었다. 차이는다른상업적프로그램과달리 Sage-Math 는오픈소스기반의소프트웨어이므로소스의수정이가능하였다. 본연구팀은 Sage-Math 프로그램을적극적으로한국환경에맞게활용하기위하여 Sage-Math의한글버전을개발하는데노력을기울였고, 현재 4.1 버전의최신한글버전 Sage-Math 를성공적으로개발하여앞서소개한웹사이트인 한글버전개발의성공은현재같은시도를해온유럽과러시아등다른나라개발자 8) 에게큰관심을끌고있다. 현재 Sage-Math는오픈소스체계로개발이꾸준히이루어지는소프트웨어이기때문에, 개발자의수도많고, 개발자의취향에따라각모듈이매우복잡하게구성되어있다. 따라서현재영어를표준으로하고있는 Sage-Math에한글을표현하기위해서는소스내부에서문자열을변환시켜주는인코딩을조정해야할필요가있다. 9) 따라서본연구팀은해당소스를조정하여, 인코딩문제를우선 7) 2007학년도 2학기성균관대학교 BSM과목설문조사자료, 선형대수학및미적분학설문조사데이터임 8) 9) 현재 Sage-Math는 UTF-8 을표준인코딩으로쓰고있다. 따라서이러한표준인코딩을쓰지않는 ISO표준이나, EUC-KR과같은자체표준한글은여기에활용되지않는다. 따라서한국의환경에맞도록 EUC-KR 표준등을 Sage-Math 에서활용할수있도록소스코드의기술적조정이필요하다. 더군다나, UTF-8 을표준으로쓰지않는타국어 ( 유럽지역및러시아 ) 의경우에는본연구팀이구현한기술적인구현이필요하다. 실제로러

8 1030 고래영 김덕선 박진영 이상구 적으로해결하고, 내부소스를수정하여, 한글사용이가능하도록하는데성공하였다. 쉽지않은이작업에서성공한나라는한국이처음으로여겨진다. 이에따라한국학생들은익숙하지않은외국어로된메뉴를활용하여이프로그램을사용하는것이아니라, 이제한글로되어있는메뉴를이용하여 Sage-Math의기능을편리하게사용할수있게되었다. 미국과프랑스에이어서본연구팀은 Sage-Math 한글화작업과병행하여 도움말 (Help) 부분에도한글화를수행하여, < 그림 6> 에서볼수있듯이, Sage-Math 를활용하는학생들을위하여한글용사용법인퀵레퍼런스 (Quick Reference) 를다운받을수있도록제공하였다. < 그림 6> Sage-Math 퀵레퍼런스 시아와미국을포함한국가들의주요개발자가본연구팀에게기술적인조언을요청하고있다.

9 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 Sage-Math 와선형대수학 앞서소개한 Sage-Math의한글버전의개발은교육현장에서적극적으로활용되어야만그효과를볼수있다. 이제까지많은수학관련프로그램들이개발되어왔지만, 효과적으로수업환경에활용되지못한이유중다른하나는수학관련소프트웨어의개발에만치중하여, 개발품이긍정적인교육효과를이끌어낼수있도록교육현장에적절하게적용하는부분에대한연구와성공모델의개발및확산을간과하였기때문이다. 본연구팀은인터넷을이용하는 Sage-Math의장점을최대한살려서교수학습자료를만들어공개해오고있다. Sage-Math 를활용한다양한문제풀이과정을선정한선형대수학교재 10) 에맞추어서제작했으며, 그내용을 에공개했다. 즉, 또는 에서문제를확인하고해당문제들을아래와같이해결하였다. 현대선형대수학 4장 1절예제 17번 : 현대선형대수학 4장 2절예제 3번 : 현대선형대수학 4장 4절예제 4번 : 현대선형대수학 4장 5절연습문제 3번 : 현대선형대수학 5장 1절예제 1번 : 현대선형대수학 5장 4절예제 1번 : 현대선형대수학 6장 2절연습문제 4번 : 현대선형대수학 6장 3절예제 2번 : 현대선형대수학 6장심화학습예제 3번 : 현대선형대수학 7장 3절예제 1번 : 현대선형대수학 7장 5절예제 4번 : 현대선형대수학 7장 7절예제 6번 : 현대선형대수학 7장 8절예제 2번 : 현대선형대수학 8장 1절예제 2번 : 현대선형대수학 8장 4절예제 7번 : 현대선형대수학 9장 1절연습문제 P5번 : 현대선형대수학 9장 2절예제 11번 : 현대선형대수학 10장 2절예제 2번 : 현대선형대수학 10장 3절 CS Project 1번 : 이중한문제를본원고에서소개한다. 가 상에서임의의연속함수라고가정하자. 에서부분공간 11) 으로의직교사영 는 에서직교기저위로의 개직교사영의 10) 경문사 2009 년판현대선형대수학교재

10 1032 고래영 김덕선 박진영 이상구 합이다. 이러한직교사영은 cos, cos cos cos cos cos cos cos, sin sin sin sin sin sin sin sin sin 으로나타난다. 결과적으로 에서 으로가는함수의직교사영 는 cos sin 이다. 위형식에서상수들 을 상의함수 의 Fourier 계수 (Fourier coefficient) 라부른다. 사실직교사영 가 에가장가까운 의원소라는것은 의 Fourier 계수가평균제곱오차 cos sin 를최소화한다는것을의미한다. 이것은삼각함수다항식 (trigonometric polynomial) 가주어진 연속함수 로수렴하고 는무한급수 cos sin 의부분합이됨을의 미한다. 이러한무한급수는 상에서의 의 Fourier 급수로잘알려져있다. 상에서 가주어질때 에서 으로의정사영 를 Sage-Math를이용한그래프는아래의 URL에접속하면바로확인할수있다. 함수의정사영, 즉삼각함수다항식을구하기위해서함수를정의하자. 이함수는 을직접구하여, 주어진함수에제일가까운삼각함수다항식 (trigonometric polynomial) 을찾는함수이다. 11) 삼각함수다항식 (trigonometric polynomial) 으로이루어진부분공간이다.

11 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1033 def Get_JN(f, N): a0 = (1/(2*pi)) * integral(f, x, -pi, pi) p = a0 + sum([((1/pi) * integral((f * cos(n*x)), x, -pi, pi) * cos(n*x) + (1/pi) * integral((f * sin(n*x)), x, -pi, pi) * sin(n*x)) for n in [1.. N]]) return(p) 상에서 가주어질때 에서 으로의정사영 를찾는명령은앞의 Get_JN 함수를이용하여, 다음과같이입력하고다항식을확인한다. f = x; p4 = Get_JN(f, 4); 원래함수인 와그림으로직접비교해보면 < 그림 7> 과같이확인할수있다. 는원점을지나는직선이고, 이함수로의정사영은곡선으로나타난다. < 그림 7> 함수 와이에대한정사영 ( 곡선 ) 의그래프 즉, 함수의정사영은원래함수에수렴하는형태를보여준다. 이것이바로 Fourier 계수의성질이며, 임의로주어진함수에가장접근하는계수들을확인하는방법으로활용될수있다. 앞에서는

12 1034 고래영 김덕선 박진영 이상구 에대한수렴이었기때문에, 4개의 Fourier 계수만을가지고해당식을나타내었다. 만일이계수가증가한다면원래의함수에더욱가까운결과를얻을수있다. 손으로계산하기에는어려운계산식이지만 Sage-Math를이용하면수렴함수를쉽게구할수있다. 다음의 < 그림 8> 은그계수를 100차로늘렸을때의함수의그래프를원래의 와비교한그래프이다. p100 = Get_JN(f, 100); < 그림 8> 함수 와 에서의정사영 의그래프 이렇게 Sage-Math는대학정규과정의 1학기선형대수학강좌에서는시간이모자라서확인하지않고지나간다양한수학적개념들을학생들이직접어렵지않게다루어보며쉽게이해하도록도와주며, 동시에실제사회의다양한문제를직접해결할수있는능력을크게향상시켜줄수있다. 또한별도의다른소프트웨어의설치없이, 학생들은단순한웹브라우저만을활용하여기존의상업용프로그램과비슷한문법을이용하여직접복잡한계산부터직접적인그래프를통한수학적개념의확인까지할수있다. 이렇게만들어진교육적내용은인터넷어디에서나접속하기만하면확인할수있으며, Sage-Math 한글버전에서는한글을이용하여개념을직접설명할수있기때문에무료인 Sage-Math 한글버전은공학적도구를일부만활용하는수학강좌특히대학에서의수학교육에강력한도구로활용할수있다. 2.4 Mobile Sage-Math Sage-Math는인터넷에서활용되는네트워크를기반으로하는소프트웨어이다. 특히그구조가클라이언트서버구조에그기반을두고있는만큼, 클라이언트 (Client) 에서명령을내리고, 그것을서버

모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1035 (Server) 에서처리하는구조를기본적으로탑재하고있다. 이를활용하면, Sage-Math 는웹브라우저를넘어서서더다양한환경, 특히인터넷을사용할수있는유비쿼터스환경의다양한장비에서사용가능하도록구현할수있다. 이러한활용은파이슨 (Python) 의내장라이브러리중하나인 XML-RPC기능에서찾을수있다.

13 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1035 (Server) 에서처리하는구조를기본적으로탑재하고있다. 이를활용하면, Sage-Math 는웹브라우저를넘어서서더다양한환경, 특히인터넷을사용할수있는유비쿼터스환경의다양한장비에서사용가능하도록구현할수있다. 이러한활용은파이슨 (Python) 의내장라이브러리중하나인 XML-RPC기능에서찾을수있다. XML-RPC기능은 XML형태로구성된데이터를원거리의함수 (RPC: Remote Procedure Call) 를작동시키는데활용하는기술로서, Sage-Math에도이러한 XML-RPC기능이내장되어몇가지소스를활용하기만하면바로사용이가능하다. < 그림 9> XML-RPC 개관 XML-RPC기능은다른웹페이지나블로그등, 다양한 Sage-Math의 Notebook 서버가아닌환경에서, Sage의연산명령을내리고, 또한그결과를받아올수있는기능으로활용될수있는기술이다. 따라서이를활용하면, 블로그, 인터넷게시판, 임의의홈페이지등웹페이지어디에서나허가받은사용자에대하여 Sage에연산명령을내려서그결과를확인할수있다. 다시말해서 HTTP 프로토콜 12) 을활용하는인터넷웹상의모든클라이언트 (Client) 들은누구나사용가능한기능이다. 따라서블로그에서 Sage-Math 명령을내리면그결과를해당웹페이지로원격으로불러올수있다. 따라서이러한기술은 Sage-Math의연산기능을임의의다른웹페이지에서도사용할수있으며, 이는본연구팀이개발해온 Random Problem Generator( 이하 RPG) ( 이상구외, 2008) 와같은문제생성시스템의수학연산용엔진으로 Sage-Math를활용할수있다는의미를가지고있다. 실제로본연구팀은임의로문제와대응하는그림및답을모두한문제안에서생성하는데 Sage-Math의연산기능과그래프기능을활용하여생성할수있음을기술적으로구현하여테스트를마친상태이다. Sage-Math와 XML-RPC 기술을활용하면무료로언제어디서나거의모든수학적인연산을수행하는것이가능하다. 이기능을이용하여이동중또토론중에컴퓨터가없어도필요한수학적인연산을수행하는것이가능하다면, 그교육적효과는대단할것으로기대된다. 본연구에서는이러한교육적효과를 Sage-Math를통하여확인하기위하여휴대폰을이용하여해결하는방법을실제로개발하였다. 본연구의두번째주요결과는휴대폰을이용한 Sage-Math의이용을가능하도록한것이다. 즉, 공학용계산기능을휴대폰에서실행할수있다는것이다. 12) 인터넷에서웹의기본프로토콜이다. HyperText Transfer Protocol 의약자이다.

1036 고래영 김덕선 박진영 이상구 우리가흔히쓰고있는휴대폰은쉽게인터넷에연결이가능하다. 그렇다면우리가준비한 Sage-Math 서버에연결만한다면, PC가없어도휴대폰으로 Sage-Math의기능을모두이용할수있도록하는문제를해결한것이다. 즉, 모두가가지고다니는휴대폰안에모든수학적프로그램을내장하고다닐필요는없다.

따라서우리가준비한 Sage-Math 서버에 Mobile Service 를모듈화하여추가함으로서, Maple 이나 Mathematica와같은수학소프트웨어의공학적계산기능을 < 그림 10> 에서볼수있는대중적인휴대폰에서조차가능하도록만드는데성공하였다.

14 1036 고래영 김덕선 박진영 이상구 우리가흔히쓰고있는휴대폰은쉽게인터넷에연결이가능하다. 그렇다면우리가준비한 Sage-Math 서버에연결만한다면, PC가없어도휴대폰으로 Sage-Math의기능을모두이용할수있도록하는문제를해결한것이다. 즉, 모두가가지고다니는휴대폰안에모든수학적프로그램을내장하고다닐필요는없다. 프로그램은서버에두고필요시휴대폰을이용하여인터넷에접속하여, 서버로명령어를보내서답을얻으면된다. 본연구진은이를위하여 Sage-Math를 Mobile Service 를위하여앞서소개한 XML-RPC기능의확충과더불어서, 휴대폰에서사용가능한접속모듈의새로운개발이필요함을인식하였다. 따라서우리가준비한 Sage-Math 서버에 Mobile Service 를모듈화하여추가함으로서, Maple 이나 Mathematica와같은수학소프트웨어의공학적계산기능을 < 그림 10> 에서볼수있는대중적인휴대폰에서조차가능하도록만드는데성공하였다. < 그림 10> 기능확인과 Sage-Math 를 Mobile Service 시연을위한저가의휴대폰들 13) Sage-Math의 Mobile service에접속은무선인터넷서비스에접속한후 URL을아래와같이입력하면된다. 14) 접속하면 < 그림 11> 의소개된화면과같은입력창을확인할수있다. 이미입력되어있는입력창에 Sage-Math의명령어를입력하거나, 주어진예제들을선택하고자신의마음대로숫자를바꾼후실행을누르면 Sage-Math의연산결과를바로확인할수있다. 아래는행렬식의값을구한예이다. 이서비스는 < 그림 10> 에나오는저가의일반핸드폰부터시작하여, G3 폰이나햅틱폰, PDA까지활용이가능하며, 최신핸드폰및 PDA와같은경우에는자체자판을이용하면입력과정이쉬워지므로 Sage-Math의다양한기능을더욱편리하게활용할수있다. 13) 삼성 SPH-W ) 즐겨찾기, 북마크등을이용하여저장하여서계속사용하여도된다.

모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1037 현재는학생들이

skku.ac.kr/wap_html 에준비하여학생들이자신이선택하는문제들을해결할수있도록지원해두었다.

이함수의해와인수분해를구하는문제, 예제 3은주어진함수의그래프를그리는문제, 예제

15 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1037 현재는학생들이 Sage-Math프로그램의코드를모르더라도, 바로활용이가능하도록 4 가지예제를 에준비하여학생들이자신이선택하는문제들을해결할수있도록지원해두었다. 예제 1은행렬을정의하고, 그행렬의행렬식을구하는문제를저장해두었고, 예제 2는 2차함수를하나주고, 이함수의해와인수분해를구하는문제, 예제 3은주어진함수의그래프를그리는문제, 예제 4는주어진함수에대하여극한값을구하고, 적분하는문제로구성해두었다. < 그림 12> 에서는계산은물론예제 3번의문제를보여줌으로써, 학생들이어디서나휴대폰만사용하면함수그래프를그려보고확인할수있음을보여주고있다. < 그림 11> 시연화면 / 인터넷접속및폰으로확인 < 그림 12> 시연화면 / LG- 오즈를이용한접속 ( 휴대폰기종 : Anycall W6050)

16 1038 고래영 김덕선 박진영 이상구 물론이와같이다양한핸드폰에서도구동되도록폭넓은지원을하는모듈개발에는어려움이있었다. 한예로개발초기에휴대폰기종에따라한글인코딩이깨지기도하고, 그래프를그리는명령인 plot(x) 의경우이미지가 PNG type으로전송되어일부휴대폰에서는지원하지않는문제가있었다. 그외에도자바스크립트를지원하지않는일부휴대폰들이있어 Back 기능에에러가발생하는것도발견하였다. 이는모두각각의휴대폰이가지는다른사양에따라나타난현상들이다. 이를극복하기위하여각통신사들이휴대폰의웹브라우저이용을각각어느정도지원하는지확인하였다. 이들의지원현황을 < 표 1> 에서확인할수있다. 2009년현재한국내각통신사별로사용하는웹브라우저는 KTF가 KUN 브라우저, SKT는 Nate m Browser V3.0(Nate m Browser V3.0), LGT의 Lion Browser 를사용중이다. 이분석에근거하여각휴대폰의웹브라우저지원기능차이를정확하게파악하여모두에게적용되는 Sage-Math의 Mobile Service 모듈을개발하였다. 더나아가본연구진이개발된한 Sage-Math 모듈을국외의다른휴대폰이사용하는데문제가없는지확인하기위해, < 그림 13> 에소개한바와같이 NOKIA등해외의휴대폰을위한휴대폰시뮬레이터를통하여테스트를해보았다. 이러한휴대폰시뮬레이터를통한검증을통하여현재의모바일환경하에서어떤휴대폰에서도우리의 Sage-Math를사용하도록할수있음을기술적으로확인할수있었다. 궁극적으로국내외모든휴대폰을통하여활용이가능한 Sage-Math 의모바일환경을구성하였으며이내용은앞서소개한사이트 ( 에서확인이가능하다. < 표 1> 통신사별웹브라우저의지원현황 (G3 와 Oz 에서는개선된기능이지원됨 ) 인코딩 (EUC-KR 이외 ) SKT KTF LGT 지원안함지원함지원안함 PNG 포맷 지원 지원안함 일부지원 (CanU) JPG 포맷 지원 지원 지원 GIF 포맷 지원 일부지원 (KUN Browser 계열 ) 자바스크립트지원지원안함? CSS 지원지원안함? 웹표준거의지원거의지원? Flash 일부지원 15) 일부지원 (KUN Browser 계열 ) 지원 지원안함 DIV 지원지원?

모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1039 < 그림 13> NOKIA 휴대폰시뮬레이터 (http://emulator.mtld.mobi/emulator.php) 따라서컴퓨터를지니지않았더라도휴대폰만활용한다면어디서나수학적도구를활용하여문제를해결할수있게된다.

16) 물론한국도현재모바일인터넷사용가격의합리화에대한논의가진지하게진행되고있다. 최근한국의주요통신사업자들이모바일인터넷사용요금을정액화 17) 하고, 가격합리화정책을추진하였다. 따라서모바일환경에서의웹소프트웨어의필요성이점점증대되어가고있다. 본연구는모바일환경에서의웹소프트웨어의개발, 특히수학분야소프트웨어분야에크게기여할수있다.

17 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1039 < 그림 13> NOKIA 휴대폰시뮬레이터 ( 따라서컴퓨터를지니지않았더라도휴대폰만활용한다면어디서나수학적도구를활용하여문제를해결할수있게된다. 미국과같은경우인터넷사용환경이한국보다편리하지는않지만모바일인터넷환경은한국보다비용도싸고우수하다. 따라서본연구진이개발한 Sage-Math의 Mobile service 기술이소개되더라도, 우리가휴대폰을이용한인터넷접속비용을우려하는동안오히려미국과같이모바일인터넷사용가격이싼나라에서더빠르게확산될수있음을지적한다. 16) 물론한국도현재모바일인터넷사용가격의합리화에대한논의가진지하게진행되고있다. 최근한국의주요통신사업자들이모바일인터넷사용요금을정액화 17) 하고, 가격합리화정책을추진하였다. 따라서모바일환경에서의웹소프트웨어의필요성이점점증대되어가고있다. 본연구는모바일환경에서의웹소프트웨어의개발, 특히수학분야소프트웨어분야에크게기여할수있다. 이러한환경적변화속에서, Sage-Math 한글버전과 Sage-Math의 Mobile Service 모듈은대학수학교육에서매우효과적인기여를할수있을것으로기대된다. 3. 결론 21세기수학의중요한한부분인 ICT 수학교육의핵심인공학적도구의개발에서, 본연구진은최근에오픈소스로개발된 Sage-Math를어느나라보다앞서자국어버전 ( 한글버전 ) 으로만들어서한국에서제공하는자체 Sage-Math 서버를운영하였다. 그리고 Sage-Math를한글버전을통하여선형대수학대부분의내용을다루어보며웹기반교수-학습모델을제시하였다. 더나아가본연구진이 15) 단, 개인이직접플래시를제작하여올릴수없으며, SKT 사에서제작한플래시만가능. 또한별도로 Flash 재생 WIPI를설치해야함 16) 현재 Sage-Math 의미국의주요개발진들은 I-Phone 과 I-Pod을위한 Mobile Module 의개발에주력하고있으며, 현재최종테스트를시행하고있는것으로확인되었다. 17) 월 1만원전후에서정액화가추진중이다. 이미상품으로 LG, SKT, KT등이출시한바있다.

18 1040 고래영 김덕선 박진영 이상구 개발한한국에기반을둔 Sage-Math 한글버전을통하여웹상에서언제어디서나누구라도복잡하고대용량의수학적계산을포함한교육적이용이가능함을확인하였다. 마지막으로본연구진이개발한 Sage-Math 한글버전서버에 Mobile Service 기능을추가하여 Maple, Mathematica와같은수학소프트웨어의공학적계산기능의사용이보통휴대폰에서도사용가능하도록만드는데성공하였다. 따라서본연구는한국학생들에게 ICT 수학교육의한계를극복하고수학적지식의획득은물론실제대용량크기의문제를다루는도구와설명을무료로제공하게도구를개발한것이다. Sage-Math 한글버전과 Sage-Math Mobile Service 최초개발과활용및선형대수학에서의다양한활용과그기록을무료로제공하는것은대학수학교육은물론중등과정에서도수학의 ICT 교육에새로운가능성을보여준다. 참고문헌 이상구 김덕선 양정모 (2004) 대학에서의수학교육환경 : 현재와미래, 韓國數學敎育學會誌시리즈 E < 數學敎育論文集 > 18(2), pp 이상구 박진영 김덕선 (2008) 21세기선진형 ICT 수학교육방법론모델, 韓國數學敎育學會誌시리즈 E < 數學敎育論文集 > 22(4). pp 이상구 함윤미 (2005), New Learning Environment of Linear Algebra in Korea, Journal of Korean Soc. Math. Ed. Ser. D: Research in Mathematical Education, Vol. 9, No. 1, pp Hsiu-Zu Ho, Deniz Senturk, Amy G. Lam, Jules M. Zimmer, Sehee Hong, Yukari Okamoto, Sou-Yung Chiu, Yasuo Nakazawa & Chang-Pei Wang (2000). The Affective and Cognitive Dimensions of Math Anxiety: A Cross-National Study, Journal for Research in Mathematics Education, Volume 31, Issue 3, pp 이상구 (2004). 선형변환개념의시각적이해를위한 Flash tools, Animations, JAVA Applets 모음집, Akamai( 2009년 1분기인터넷현황보고서 (The State of the Internet). Alan Greenspan, The economic importance of improving math-science education, The Federal Reserve Board, September 21,

19 모바일환경에서의 Sage-Math 의개발과선형대수학에서의활용 1041 Development of Mobile Sage-math and its use in Linear Algebra Rae-Young Ko Department of Mathematics, Sungkyunkwan University, Suwon , Korea hero2001@skku.edu Duk-Sun Kim Department of Mathematics, Sungkyunkwan University, Suwon , Korea mass@skku.edu Jin-Yeong Bak School of Information and Communication Engineering, Sungkyunkwan University, Suwon , Korea dongdm@skku.edu Sang-Gu Lee+ Department of Mathematics, Sungkyunkwan University, Suwon , Korea sglee@skku.edu The importance of the mathematical education on the ICT environment has been increased as the educational environment has been changed in 21st century. In Korea, many researches on ICT tools have appeared over the last 10 years. But most of researches are depending on the foreign tools, that was one major obstacle on adapting them in our mathematics curriculum. But we found the new open source tool which is called Sage-Math can be in effective solution to resolve those problems. Now we produce what we have done in linear algebra with this Sage-Math and mobile modules. 18) * ZDM Classification : D45, M15, U51 * 2000 Mathematics Subject Classification : 97C90, 97U50, 97U70 * Key Words : ICT, Sage, Sage-Math, Ubiquitous * This work was supported by Korea Research Foundation Grant funded by the Korean Government (KRF ) and BK21 Project. + Corresponding author

Journal of Educational Innovation Research 2018, Vol. 28, No. 3, pp DOI: NCS : * A Study on

Journal of Educational Innovation Research 2018, Vol. 28, No. 3, pp.157-176 DOI: http://dx.doi.org/10.21024/pnuedi.28.3.201809.157 NCS : * A Study on the NCS Learning Module Problem Analysis and Effective