2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1

Size: px

Start display at page:

Download "2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1"

덕화 서
5 years ago
Views:

1 8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사

2 8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 로 알려주시면 감사하겠습니다. **참고** : 풀이 끝에 Review 박스 안에 들어간 내용들은 제 강의에서 다룬 내용으로써 그것들은 따로 증명하지 않고 풀이에 인용하였습니다. Page of??

3 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형). 위수(order) 가 각각 과 n인 두 순환군 Z 과 Zn 의 직접곱(direct product) Z Zn 이 순환군이 되도록하는 이상이고 이하인 자연수 n의 개수를 구하라. [점] Proof. Z Zn 이 순환군이 될 필요충분 조건은 gcd(n ) = 그리고 과 은 둘 다 소인수가 5 로 같으니까 이것은 다시 gcd(n ) = 와 동치 이하의 자연수 중에서 과 서로소인 개수 φ() 인데 우리는 이상 이하의 자연수만 카운트 하고 있으므로 φ() φ() = 4 4 = 36 이 답 문제(A형) 3. 자연수 n에 대하여 함수 fn : [ ) R 을 fn (x) = max{ ( x n )} n n 으로 정의할 때 Z Z fn (x)dx + lim n lim fn (x)dx n 의 값을 구하라. [점] Proof. x의 범위를 나누어 f (x) 를 써보면 다음과 같다. x<n ( x ) n x < n f (x) = n n x n x < 3n n (3 n ) 3n x R 따라서 모든 x [ ) 에 대해 limn fn (x) = 이고 그래프를 그려보면 모든 자연수 n에 대해 fn (x)dx = R R 임을 쉽게 안다. 따라서 limn fn (x)dx = limn fn (x)dx = 이 되어 답은 문제(A형) 4. 좌표 평면에서 영역 A가 A = {(x y) R x y x + y 3} 일 때 변수 변환 x = u + v y = u v 를 사용하여 중적분 x y e x+y dxdy A x+y 의 값을 구하시오. [점] Proof. 행렬 M 를 M= 라고 두자. 그럼 x u =M 이고 det(m ) = 이므로 A 에 대응되는 영역 B를 y v B = {(u v) R u 3 u v u} 라고 둔다면 치환 적분법에 의해 A x y e x+y dxdy = x+y B v e u dudv u Z 3 가 된다. 그리고 B v e u dudv = u 이므로 따라서 답은 e e Z 3 Z u u v e u dv du = u (e )du = (e ) e e 3 Page 3 of??

4 8년 수학 임용고시 기출풀이 [치환적분법] U W Rn 이고 G : U W 가 C 인 전단사 함수라고 하고 G 의 역함수인 G 도 C 이라고 하자. 만일 f : W R 이 연속함수이면 다음이 성립한다. f (Y )dy = f (G(X)) detg (X) dx W U Remark. 이 문제에서 우리는 G 를 행렬 M 에 대응하는 선형사상 LM 으로 두었다. 그럼 LM 의 야코비안 행렬은 원래 행렬 M 과 같아져 detg (X) = 임을 안다. 문제(A형) 5. 확장된 복소 평면 (extended complex plane) C { } 에서 정의된 일차 분수 변환 (선형 분수 변환) T 가 T () = T () = i T ( ) = 를 만족할 때 T (i) 의 값을 구하여라. [점] Proof. T 가 선형변환이라고 했으므로 T (z) = 처음 두개의 조건으로부터 b d = a+b c+d az+b cz+d 라고 둘 수 있다. (단 a b c d C) 그럼 문제에 나와있는 a+ zb 라고 c+ d z a+b 이므로 c+d = = i를 얻을 수 있고 T (z) = a c 둔 후에 limz 를 취하면 세번째 조건으로부터 = 를 얻는다. 그럼 b = d a = c i 에 대입하면 c = id 를 iz+ 얻는데 이제 a b c 를 모두 d 에 관하여 표현한 뒤 분자랑 분모에 있는 d를 약분면 T (z) = iz+ 임을 알 수 있다. 따라서 T (i) = 3 (확장된) 복소 평면에서 정의된 일차 분수함수는 세 점의 함수값에 의해 완전히 결정된다. 문제(A형). f () = f () = 인 함수 f : R R 에 대하여 함수 g 를 ( f (x) cos( x ) x 6= g(x) = x= 로 정의하자. 그랬을 때 함수 g 가 x = 에서 미분 가능함을 보이고 g () 의 값을 구하시오. [4점] Proof. f () = f () = 이므로 f () = lim x f (x) f () f (x) = lim = x x x 이고 따라서 limx f (x) x = 한편 x 6= 일 때 f (x) cos( x ) g(x) g() g(x) = = x x x 이고 cos( x ) 이므로 g(x) g() f (x) x x 4 Page 4 of??

5 8년 수학 임용고시 기출풀이 따라서 이 부등식의 양변에 limx 을 취해주면 lim x g(x) g() = x 가 되고 이로부터 g(x) g() = x 임을 안다. 따라서 g 는 에서 미분 가능하고 g () = lim x 문제(A형). 위상공간 (R Ju ) 의 부분공간 A = {(x y) R x +y < 4}와 집합 X = { 3 3} 에 대하여 함수 f : A X 를 f (x y) = [x + y ] 으로 정의하자. 집합 X 위의 위상 J 를 J = {U X f (U ) Ju } 로 정의할 때 3을 원소로 갖는 X 의 모든 열린 집합의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또 위상공간 (X J) 에서 집합 B = { }의 도집합(derived set) B 을 구하시오. [4점] (단 Ju 는 Rn 의 보통위상이고 [x] 는 x 를 넘지않는 최대 정수이다) Proof. i = 3 일 때 f (i) = {(x y) R i x + y < i + } 이고 i = 3 일 때 f (i) = 따라서 우리는 J 의 정의로부터 i = 3 일 때 Bi = {i} 가 i 를 포함하는 (X J) 의 가장 작은 open set (i.e. i 의 local basis) 임을 알고 j = 3 일 때 j 을 포함하는 가장 작은 (X J) 의 open set (i.e. j 의 local basis) 은 Bj = { j}임을 안다. 따라서 P 를 { 3} 의 멱집합(power set)으로 둔다면 3 을 포함하는 (X J) 의 열린집합들은 {{ 3} U U P } 따라서 3을 포함하는 (X J) 에 있는 열린집합들의 개수는 P = 8 한편 a B 일 필요충분 조건은 Ba {B {a}} = 6 인데 이를 만족하는 a 는 3 밖에 없으므로 B = { 3} 5 Page 5 of??

6 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형) 3. 합동식 xn+5 xn x5 + (mod 3) 의 법 3 에 대한 해의 개수가 5가 되도록 하는 3 이하의 자연수 n 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] Proof. An = {x Z3 xn (mod 3)} 이라고 하자. xn+5 xn x5 + = (x5 )(xn ) 이고 3 은 소수이므로 따라서 합동식 xn+5 xn x5 + (mod 3) 의 해의 개수는 A5 An 합동 방정식 xn (mod 3) 는 항상 이라는 해를 가지고 3 은 소수이므로 φ(3) = 3 이 되어 아래 첫번째 정리에 의해 A5 = 5 An = gcd(n 3) 따라서 A5 An = A5 + An A5 An = 5 가 되려면 An = A5 An 가 되어야 하는데 A5 An An 이므로 An A5 가 되는 n 들을 찾자. 만약 어떤 자연수 n 이 이 조건을 만족한다면 A5 An 는 모두 (Z3 ) 의 부분군들이므로 An A5 여야 하니까 gcd(n 3) = or 5 만약 gcd(n 3) = 이라면 An = 이어야 하는데 An 이므로 An = {} 이고 은 또한 A5 원소이므로 An A5 만약 gcd(n 3) = 5 라면 An =5 한편 5 n 이므로 아래 두번째 정리에 의해 A5 An 인데 A5 = An = 5 이므로 A5 = An 가 되어 An A5 를 만족시킨다. 따라서 부터 3 까지의 자연수 n 중에서 gcd(n 3) = or 5 를 만족시키는 자연수 n 의 개수는 φ(3) + φ(6) = 6 이므로 이 문제의 답은 6 [합동 방정식 xn a (mod m) 에 관한 정리] 만약 합동식 xn a (mod m) 이 해를 가진다면 이 방정식의 해의 개수는 총 gcd(n φ(m)) 개 n k 이면 합동방정식 xn (mod m) 의 해는 합동방정식 xk (mod m) 의 해가 된다. 6 Page 6 of??

7 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형) 4. 다음 두 조건을 만족시키는 유한체 (finite field) Z5 위의 다항식 환 Z5 [x] 의 아이디얼(ideal) I 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (가) 잉여환(quotient ring) Z5 [x]/i 의 위수(order) 는 5 (나) Z5 [x]/i 의 극대 아이디얼 (maximal ideal) 의 개수는 Proof. Z5 는 field 이므로 Z5 [x]는 PID 따라서 Z5 [x] 의 모든 ideal I 는 I = (fi ) 로 표현이 된다. (단 여기서 fi 는 Z5 [x] 의 원소이고 (fi ) 는 fi 로 generate 되는 I 의 아이디얼) Z5 [x] 의 ideal I가 있다고 하자. 그리고 I = (f ) for some f Z5 [x] 로 쓰자. 만약 f 가 Z5 의 원소라면 Z5 [x]/(f ) = or 만약 f 가 차 이상의 다항식이라면 Z5 [x]/(f ) 는 Z5 위에서 정의된 { x xn } 를 기저로 가지는 차원이 n 인 Z5 -벡터공간으로도 생각할 수 있으므로 Z5 [x]/(f ) = 5n 따라서 아이디얼 (f ) 가 조건 (가) 를 만족할 필요충분 조건은 f 가 Z5 위에서 정의된 이차 다항식인 것 한편 Z5 [x]/i 의 maximal ideal 들이 두개가 되려면 f 는 이 되어서는 안된다. 또한 Z5 [x]/i 의 maximal ideal 들은 I 를 포함하는 Z5 [x] 의 maximal ideal 들과 일대일 대응이 되고 PID 의 non-zero maximal ideal 의 generator 는 irreducible element 이므로 조건 (나) 는 fi f in Z5 [x] 인 monic irreducible polynomial fi 가 딱 두 개 존재하는 것과 동치 따라서 I 를 I = (f ) for some monic polynomial f Z5 [x] 로 unique 하게 표현했을 때 I 가 위의 두 조건을 동시에 만족할 필요충분 조건은 f 가 Z5 [x] 에 있는 서로 다른 두 monic 일차식 f 과 f 의 곱으로 표현되는 것 그리고 Z5 [x] 에 있는 monic 일차식은 {x x + x + x + 3 x + 4} 이렇게 5개 밖에 없으므로 따라서 이 중에서 서로 다른 두개의 monic 일차 다항식을 고르는 방법의 개수가 바로 위 두 조건을 만족하는 아이디얼 5 I 의 개수 따라서 답은 =. F 가 field 이면 F [x] 는 PID 유한 생성 F -module 은 유한 차원 벡터 공간 Ring R 이 있고 I 가 R 의 ideal 이라고 하자. 그랬을 때 quotient ring R/I 의 아이디얼들의 집합은 I 를 포함하는 R 의 ideal 들의 집합과 일대일 대응을 이루고 이 대응은 maximality 를 보존한다. 만약 ring R 가 PID 일 때 R 의 어떤 ideal J 를 J = (f ) 로 표현하자. 만일 f 6= 이라면 J 가 R 의 maximal ideal 일 필요충분 조건은 f 가 R 의 irreducible element 인 것 7 Page 7 of??

8 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 3. 실수체 R 위의 벡터공간 R3 의 기저(basis) {v v v3 } 에 대하여 세 벡터 {v +v v +v3 v +v3 } 이 일차독립임을 보이시오. 또 모든 성분이 실수인 (3 3) 행렬 A 가 (A I)(v + v ) = (A I)(v + v3 ) = (A 3I)(v + v ) = 3 을 만족시킬 때 A 의 행렬식 det(a) 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (단 I 는 (3 3) 단위행렬) Proof. 집합 B 를 R3 의 기저 B = {v v v3 } 라고 하자. u = v + v u = v + v3 u3 = v + v3 라고 둔 후에 선형사상 L : R3 R3 을 L(v ) = u L(v ) = u L(v3 ) = u3 를 만족시키는 선형사상으로 정의하자. 기저 B 에 관하여 선형사상 L 을 표현하면 [L]B = B det([l]b B) 인데 = 6= 이므로 L 은 linear isomorphism 그리고 Linear isomorphism 은 basis 를 basis 로 보내므로 L(B) 또한 R3 의 basis 이고 따라서 {u u u3 } 는 일차독립 한편 문제에 주어진 조건에 의해 세 벡터 u u u3 는 각각 3 에 대응하는 행렬 A 의 eigen-vector 들이므로 이 벡터들을 column vector 들로 가지는 행렬을 U = (u u u3 ) 로 정의하면 U AU = 3 이고 따라서 det(a) = 6 선형사상은 기저의 상(image)에 의해서 유일하게 결정된다. 선형사상 L 을 벡터공간의 기저를 이용해서 행렬 A 로 표현했을 때 L 이 isomorphism 이 되는 것과 A 가 가역행렬이 되는 것은 동치 8 Page 8 of??

9 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 4. 정함수 (entire function) f (z) 가 모든 복소수 z 에 대하여 부등식 f (z) ez 을 만족시킨다. f () = 일 때 f () 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (**) 다음 정리는 필요하면 증명없이 사용할 수 있다. 양수 r 에 대하여 영역 {z ( C < z a < r} 에서 함수 g(z) 가 해석적이고 유계이면 limz a g(z) g(z) < z a < r 가 존재하고 함수 h(z) = 는 z = a 에서 해석적 limw a g(w) z=a Proof. 각각의 정수 n 에 대해서 D (πi n ) = {z C < z πi n < } 라고 하자. 그리고 함수 hn : D (πi n ) C 를 f (z) hn (z) = z e 로 정의하면 hn 은 모든 정수 n 에 대해 D (πi n ) 에서 해석함수 한편 문제의 조건에 의해 hn (z) for all z D (πi n ) 이므로 제시된 정리에 의해 lim z πi n hn (z) 는 존재하고 함수 hn : C C 를 hn (z) = ( hn (z) limw πi n hn (w) z D (πi n ) z = πi n 로 정의하면 제시된 정리에 의해 hn 는 D(πi n ) = {z C z πi n < } 에서 정의된 해석함수 이제 함수 h : C C를 다음과 같이 정의하자. ( f (z) z 6= πi n for n Z z h(z) = e hn (z) z = πi n for each n Z. 그럼 h 는 entire function 한편 임의의 n Z 에 대해 z D (πi n ) 라면 h(z) = efz(z) 이고 h(z) 그런데 h 는 연속함수이 므로 h(πi n) = lim h(z) z πi n 이고 z 6= πi n for any n Z 일 땐 h(z) = efz(z) 임을 알고 있으므로 h 는 복소평면 전체에서 유계인 entire function () 따라서 h 는 상수함수인데 h() = fe = e 이므로 h(z) = e for all z C 이로부터 f (z) = z ez for all z C {πi n n nz} 임을 아는데 f 는 연속함수이므로 모든 z C 에 대해서 f (z) = ee e 따라서 f () = e (리우빌 정리) 복소평면에서 정의된 유계인 정함수는 상수함수 9 Page 9 of??

10 8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 6. 유리수체 Q 위의 기약다항식(irreducible polynomial) f (x) 의 Q 위의 분해체(splitting field) K 에 대하여 갈루아 군 G(K/Q) 이 아벨군(abelian group) 이 때 G(K/Q) 의 위수(order) 가 f (x)의 차수 deg(f (x)) 와 같음을 보이시오. 또 deg(f (x)) = 8 일 때 K 의 모든 부분체(subfield) 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고 : 8 = 9 이고 9 는 소수) [5점] Proof. f (x) 의 한 근 α를 고정하고 β 를 f 의 임의의 근이라고 하자. 그럼 f 가 Q 위의 기약다항식이므로 σ(α) = β 인 어떤 σ G(K/Q) 가 존재한다. 그럼 σ(q(α)) = Q(β) 이므로 G K/Q(β) = σ G K/Q(α) σ 인데 지금 G(K/Q) 가 abelian group 이므로 G K/Q(β) = G K/Q(α) 따라서 갈루아 정리에 의해 Q(α) = Q(β) 인데 여기서 β 는 f 의 임의의 한 근이므로 Q(α) 는 f 의 모든 근을 포함하고 있는 f 의 splitting field K 따라서 G(K/Q) = G(Q(α)/Q) = deg(irr(α Q)) = deg(f (x)) 한편 위수가 8 인 아벨군은 순환군 Z8 밖에 없으므로 G(K/Q) = Z8 그리고 갈루아 정리에 의해 K 의 모든 subfield 들은 G(K/Q) 의 subgroup 과 일대일 대응이 되는데 Z8 의 부분군들의 개수는 8 의 약수의 개수와 같으므로 K 는 총 4개의 subfield 를 가진다. f F [t] 가 중근을 갖지 않는 않는다고 하고 F 안에 있는 f 의 근들의 집합을 S 라고 두자. 그럼 다음에 나오는 두 조건은 서로 동치 () f 는 기약 다항식 () f 의 Galois group Gf 는 S 에 transitively act 한다. F E K 일 때 임의의 σ Aut(K/F ) 에 대해 Aut(K/σE) = σ Aut(K/E) σ K/Q 가 Galois extention 일 때 K 의 subfield 들과 G(K/Q) 의 subgroup 들은 일대일 대응을 이룬다. p q N 가 서로 다른 소수일 때 위수가 pq 인 아벨군은 순환군 Zpq 밖에 없다. n = pe pekk 일 때 Zn 의 부분군들의 개수는 Qk i= (ei + ) ( K = Q(α) 의 다른 증명) Proof. G(K/Q) 가 아벨군이므로 G(K/Q) 의 임의의 subgroup 는 normal subgroup 따라서 f (x) 의 의의 한 근을 α 라고 하면 G(K/Q(α)) / G(K/Q) 이므로 Q(α)/Q 는 normal extension 따라서 Q(α) irr(α Q) 의 모든 근들을 포함하는데 f (x) 가 α 를 근으로 가지는 Q 위의 기약다항식이므로 Q(α) 는 f (x) 모든 근들을 다 포함한다. 따라서 Q(α) 는 f (x) 의 splitting field K 임 는 의 Page of??

11 8년 수학 임용고시 기출풀이 P 문제(B형) 7. 함수항 급수 n= n tan ( nx ) 가 실수 전체 집합 R 에서 점별 수렴(pointwise convergence) P 함을 보여라. 또 함수 f (x) = n= n tan ( nx ) 는 균등 연속 (uniformly continuous) 함을 보여라. [5점] π (단 여기서 tan : R ( π ) 는 탄젠트 함수의 역함수) Pn Proof. 실수 전체에서 정의된 함수열 {fn } 을 fn (x) = k= k tan ( xk ) 이라고 하고 임의의 양수 r > 에 대해 함수 fn : [ r r] R 을 fn 의 정의역을 [ r r] 로 제한시킨 함수라고 하자 그럼 fn () = 이므로 P n 수열 {fn ()}은 으로 수렴한다. 또한 fn 은 미분 가능한 함수이고 (fn ) (x) = k= x +k 인데 x + k k X < k k= {(fn ) } 이므로 바이어슈트라스 판정법에 의해 은 구간 [ r r]에서 고르게 수렴한다. 따라서 아래 두번째 정리 에 의해 fn 은 [ r r] 에서 고르게 수렴하는데 r 은 임의의 양수이므로 fn (x) 은 실수 전체에서 f 로 수렴함을 알 수 있다. P 한편 아래 두번째 정리에 의해 f 는 [ r r] 에서 미분가능하고 f (x) = k= x +k 인데 x + k k 이므로 f (x) X < k k= X k for all x [ r r] k= 그리고 여기서 r 은 임의의 양수니까 f 은 실수 전체에서 미분 가능하고 유계 따라서 아래 세번째 정리에서 I = R 이라고 두면 f 는 균등연속임을 알 수 있다. (바이어슈트라스 판정법) 함수열 < fn : X R > 이 있을 때 각 자연수 n 에 대해 fn < Mn 인 양수 P P Mn 이 있다고 하자. 만일 무 한급수 Mn 이 수렴하면 함수항 급수 fn (x) 가 렴한다. 실수의 유계 닫힌 구간 I = [a b] 에서 정의된 함수열 < fn > 이 다음 조건을 만족한다고 하자. (가) 각각의 fn 들이 구간 I 에서 미분 가능하다. (나) 적당한 x I 에 대해 실수열 < fn (x ) > 가 수렴한다. (다) 함수열 < fn > 이 고르게 수렴한다. 그럼 < fn > 은 고르게 수렴하고 이 극한함수를 f 라고 두자. 그럼 f 는 I 에서 미분 가능하고 관계식 f (x) = lim fn (x) n x I 가 성립한다. f : I R R 이 미분가능하고 f 이 유계라면 f 는 I 에서 균등연속 Page of??

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut 경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si