2005 7

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1 2005 7

2 ii

3 ? ? ? ? ? ? ? ? iii

4 iv ? (logic) Taylor Taylor ? ? ? ? ? ? ?

5 v

6 vi

7 ? ,., ,. 2.,.?, calculus. 2 Smirnov. 5,,..

8 2..

9 ,, , 1,..... ( ). 3

10 4 1,.... lim{ f (x) + g(x)} = lim f (x) + lim g(x) x c x c x c.. lim(x + 2) = lim x + lim 2 = = 5 x 3 x 3 x 3..?.,,.,.?.?. 2,?... lim x c { f (x) + g(x)} = lim x c f (x) + lim x c g(x)

11 2 5. d dx x2 = 2x.?.... f (x) g(x) f (x)+ g(x) x c. f (x) g(x) x c ( )..,...,.?.,,..?.?.., f (x) g(x).., f (x) + g(x). x c., lim{ f (x) + g(x)} x c

12 6 1...?..(.), f (x) g(x).., lim f (x) lim g(x) x c x c.., lim f (x) + lim g(x) x c x c..? f (x) g(x).,... ( ), ( )... ( ).. ( ) ( ) = ( ) ( ) 3.., 90, (1, 0) (1, 0), 90.

13 3 7..??. lim{a f (x)} = a lim f (x) x c x c lim f (x) g(x) = (lim f (x)) (lim g(x)) x c x c x c , ɛ δ,... a(b + c) = ab + ac. b c a. ab = a b (a, b > 0), A (B C) = (A B) (A C). lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n, ( f + g) = f + g, { f (x) + g(x)} dx f (x) dx + g(x) dx

14 8 1. (?) ?. f (x) = 2x, g(x) = 2x x 2x (.), (0 ) (0 ).. f (x) = 2x?, f?, f (a + b) f (a) + f (b)?. 2(a + b) = 2a + 2b.. g(x) = 2x + 1? g(a + b) = 2(a + b) + 1 = 2a + 2b + 1 g(a) + g(b) = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2. g. f ( )..(.), 1.

15 4 9 f lim x c f (x) ,.

16 10 1

17 2. 90%... 1., f x = a 1. f x = a f (a) (, a f ), 2. f x = a lim x a f (x) 3.., lim x a f (x) = f (a)... 11

18 12 2 lim f (x) = f (lim x) x a x a.., x f x a (function).,., f, f... lim x 3 ex = e 3 lim(x + b) = a + b x a lim x π cos 2 x + 1 e x + e x = 2 e π + e π x 3, a, π.??....(?) ,,,...

19 (point mass). (x(t), y(t)).. 2?, ( ) ( ).. SF 3.,.. 4,

20 ,..,.. m 0. x(t) = (x(t), y(t), z(t)). F = ma. m = m 0.. ɛ. m = m 0 + ɛ. m g..??..? ɛ.. m 0 m 0.,

21 3 15,,., CD volume,, , ( ) (.)

22 16 2

23 3?, , 4.?,. :,?? ,..?? 17

24 18 3?.,..,,,,.,,. 1,,. 2?,. [0, 1] f (x) = x 2 x,.. f (x) f (x), f (x) 0 f (x)....? , ,.

25 3? 19? 2 6. ( ) 3. ( ).,? ,... 3? Abel Weierstrass f (x) = k=0 sin(πk 2 x) πk 2. Hardy(1916).

26 20 3?.( 1. 1.),.??. [0, 1] f (x) = x 2 x,..... f (x) f (x), 0 f (0), f (1),..,., [0, 1] f (x) = x 2 x,, [0, 1],., ,, 0. ( ) ( )

27 3? 21 0 ( ). 0 ( ) ( )..(!).??,, ,

28 22 3?

29 4 4. ( )...? 1?....,.? a > 0 a n a n = a a a (n ).. n a n. a 0 =

30 24 4., m, n a m/n. n > 0 a 1/n x n = a,..,?...?... 2 = , π = (= ). {b n } x x = lim n b n a x = lim n a b n. b n a b n...

31 lim a x = a c x c?? a x x. a x.,, d dx ln x = 1 x ln x := x 1 1 t dt. e. 1/x.. 1. e x. 1.

32 26 4.,....,... 3?,,?... e x... e n = e e e e x. n,.. lim e x = e c x c.,..

33 3? 27.(.)...

34 28 4

35 5...,.. 1? ( ) (radian)... 1 = π ( ) rad, 1 rad =, 180 = π rad. π : (rad). 29

36 ( )??..?..,.,.?? ??.,...

37 3? (sine), (cosine).,.(.)., ( y = 2x ). sin 90 = 1 sin π 2 = 1?,.....,..,.. sin 90 = ??

38 lim x 0 sin x x = 1. d dx sin x = 1 x=0? 5.1.?.?.. 4?... sin x cos x. d 2 dx 2 sin x = sin x, d 2 cos x = cos x dx2

39 4 33 d 2 f (x) = f (x) dx2 f (x)? f (x) = a sin x + b cos x.? f (x) = a sin x+ b cos x. S(x), C(x) S (x) = S(x), S(0) = 0, S (0) = 1 C (x) = C(x), C(0) = 1, C (0) = 0 S(x) = sin x, C(x) = cos x. f = f S C,, f + f = 0 f (x) = a S(x) + b C(x). d S(x) = C(x) dx ( : T = S T + T = 0, T(0), T (0) a, b.), (x n ) sin x = x 1 3! x ! x5, cos x = 1 1 2! x ! x4

40 e x = 1 + x + 1 2! x ! x ! x ! x5 +.(.). e x ix e ix = 1 + ix + 1 2! (ix) ! (ix) ! (ix) ! (ix)5 +, 1 e ix = (1 1 2! x ! x4 ) + i(x 1 3! x ! x5 e ix = cos x + i sin x. 2 e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x 1.,,. 2 Euler... Euler, Euler.

41 5 35 cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i.., cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x 2 2 cosh x = ! x ! x4 +, sinh x = x + 1 3! x ! x5 +.

42 36 5

43 6?..?. 1.. ɛ δ ɛ N... 1.,. 1..,.. 37

44 38 6? {a n = 2 1/n} 2,? a n 2. a n 2 a n 3.?...,. (.)? Cauchy(, )..... {a n } 0? {1/n}, { 1/n} {( 1) n /n} 0. {1 + (1/n)} 0, 1 0. a n 0. (.). a n = 1/n, b n. b n a 1 a n 0. 10, a b 11 a 1, 12 b 12 a , b 110 a 100, 111 b 111 a 1 a n {b n } = { 1 2, 1 3,..., 1 10, 1 2, 1 3,..., 1 100, 1 2, 1 3,..., , 1 2, 1 3, , 1 2, 1 3, , 1 2, 1 3, , 1 2, 1 3, }

45 1 39 {b n } 0? {b n } 0 (?) 0. b 11 1 b 111 1, b , , 111, ? , {b n } {b n /2} b n /2 0.? 0 1,. 0 1/2. 0..?., 0 1/ /2 1/3

46 40 6?, 1/100, ɛ.. ɛ ɛ 0 ɛ 0., ( ) ɛ > 0 ( ) a n 0 ɛ n., ( ) ɛ > 0, a n 0 ɛ n. n( a n 0 ɛ n) n N. ( n N.) n N, n a n 0 ɛ., n N n a n 0 < ɛ., ( ) ɛ > 0, ( ) N N n (, n N ) a n 0 < ɛ ,..,...

47 ɛ > 0 ( ). ( ) ɛ > 0 ( )... ( ) ( ). N ( N) ( 2). N ( 2).. ( ) ɛ > 0, ɛ N [n N a n < ɛ]., ( ) ɛ > 0, ɛ N [ n N a n < ɛ]., ( ) ɛ > 0, ɛ N n( N) ( n N) a n < ɛ.(, a n ɛ.). {b n } 0 1. ɛ 0.5. (, ɛ = 0.5.)

48 42 6? N N ( ) n b n 1,, b n, b n 0 = (.) (logic) (mathematical logic). (truth table).(.). : (negation), (and), (or), (for all), (there exists) H C, C C (statement) H,. ( ) 3. [ S] S.(= ) 4. [H C] H [ C]. 5. [S T] [ S] [ T]. 2. Russell Whitehead Principia Mathematica., (Russell Whitehead)..

49 2 (LOGIC) [ x S(x)] x [ S(x)]. 7. [ x S(x)] x [ S(x)]. 8. P Q P, Q. 9.. P [P Q], Q [P Q], [P Q] P, [P Q] P, [[ Q] [ P]] [P Q], [[P Q] [Q R]] [P R] 10. P, P P.. 2 (, reductio ad absurdum, RAA) ( ). 1, 3, 8, 10. 5, 6, 7, (, dichotomy). ( )., ( ). 9,. ( ;contraposition).... (implication(, ) )... (1) (A ) ( ).,, A, A.

50 44 6? (2) (A )... (1) (2). (2). A, A. (2) (1) implication([h C]),, [H C] H C...,.,.., [H C] H. [H C] H H..,,,.. (H C). ( [H [ C]])., H C [H [ C]]

51 2 (LOGIC) (1). (2). (3) 2.. Marvin J. Greenberg, Euclidean and non-euclidean geometries, chapter 2.

52 46 6?

53 7 Taylor x. a n x n (power series). 1, Taylor Taylor. Taylor computer. 1 sin x Taylor x = 0. sin x sin x x = 0 Taylor 1, 3, 4, 7, , power series. x n x n-th power.. 47

54 48 7 TAYLOR ? sin x ( ). sin x.. cos x. x = 0, 0, 2, 4, 6, ln x. x = < x < 2. ln x. x = 1 Taylor. 3,

55 2 49 5, (0, 2).. x = 5 Taylor

56 50 7 TAYLOR , (0, 10).. (0, 2) Taylor.. 3 Taylor. f (x) = 10 (x 1)(x 5)(x 10) x = 3 x = 7 x = 1, 5, 10. ( x = 1, 5, 10 4.)

57 5 TAYLOR 51 x = 3 (1, 5), x = 7 (5, 9).. f (x) x = 3, x = Taylor Taylor.. Taylor (order). (order) Taylor...

58 52 7 TAYLOR 5 Taylor. (remainder term).(.) Taylor,.... Taylor ( 0 ). 2.(.). Taylor, 0 Taylor (analytic function) Mathematica.. ( download.),. 2..

59 8... dy dx = dy du du dx, {g( f (x))} = g ( f (x)) f (x) (g f ) = g f.. 1?... 1.(.). 1. y x.( 1) 1. 53

60 54 8..( 2).. 1 y x (= ) 1.. x y. x x y.., x y x x y f (x).( 3 )

61 2 55 f,,, f.? y x x y, f g.(.) g f.?. 2? bifocal., smooth.

62 56 8 ( ). x u y. f g g f.?. f u x, f (x) g y u, x y x., y x = y u u x = g ( f (x)) f (x).(.),.

63 3 57. (g f ) = g f.?. f g f x, g f x f (x). (g f ) (x) = g ( f (x)) f (x). dy dx = dy du du dx...., cos 2 x + sin 2 x. x = 0 cos 2 x + sin 2 x = 1.

64 58 8. d dx { f (x)}a = a{ f (x)} a 1 f (x) (8.1) d 1 dx f (x) = f (x) { f (x)} 2 (8.2) d dx ln f (x) = f (x) f (x) (8.3) d dx e f (x) = e f (x) f (x) (8.4) d dx f (ax + b) = a f (ax + b) (8.5).. (, ) a, b ab.. (chain rule).

65 9. 1., ( ) ?. f [a, b], (a, b), c [a, b] : f (c) = f (b) f (a) b a. 59

66 60 9 (smooth)..??.....,...,,.?. 1? (technic).. 1..

67 3? 61. 2?...?....,,.. Venn diagram.. ( )?...,. topic. 3???

68 62 9.? (.) 3.,,. match. 4. step. step.. 2? ,. ( ) 2.,. ( ).

69 (.) technic version.. version f (a) = f (b). 5 f (a) = f (b) = 0. (Rolle)....(.).. ( ) (.).(.) 5..

70 ,,,.? 5.?,? ?.?.( technic.)? 0??.,....?(.)? 6.,.? 7 Taylor.

71 ? f (x) 0, f (x). 2. x > 0 f (x) lim f (x) = 0 x +. lim [ f (x + 1) f (x)] = 0 x

72 66 9. f g [a, b] (a, b) x (a, b) g (x) 0. c (a, b). f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a)?,...?.. ( f (x), g(x)).(.) x [a, b] ( f (x), g(x)). f (x) = 0 g (x) = 0, (smooth).,, l hospital.. Analyse des infiniment petits, pour l intelligence des lignes courbes.

73 6 67. ( f (x), g (x)). ( f (c), g (c)), ( f (b) f (a), g(b) g(a)).. ( f (a), g(a)) ( f (b), g(b)) (x = c) ( f (a), g(a)) ( f (b), g(b)) ( f (x), g (x)). ( :.)

74 68 9

75 10..,.. 1. f (x) g (x) dx = f (x) g(x) f (x) g(x) dx b a f (x) g (x) dx = [ f (x) g(x) ] b a b.. { f (x) g(x)} = f (x) g(x) + f (x) g (x) a f (x) g(x) dx,,, Leibniz... x e x dx = x (e x ) dx = x e x (x) e x dx = x e x e x dx = x e x e x 69

76 70 10 (.). guess and try f (g(x)) g (x) dx = F(g(x)) F f., f (u) du = F(u).?... f (g(x)) dg(x) dx dx = F(g(x)) g(x) = u f (u) du dx = F(u) = f (u) du dx. f (u) ( ). 1, du dx = du dx.... ( ). 1.

77 3 71., du dx = du dx Leibniz. u = g(x). g (x) dx = dg(x) g (x) = dg(x) dx dx. dg = g (x) dx (differential) (differential form) Leibniz d(uv) dx = udv dx + du dx v. dx. { d(uv) dx dx = u dv dx + du } dx v dx d(uv) = u (dv) + (du) v. d(uv) = u dv + v du. ( ). u dv = uv v du

78 ln x dx = x ln x x.. ln x dx = ln x (x) dx = x ln x x (ln x) dx = x ln x x. g(x).. g (x) = 1... g (x). u = ln x, v = x., ln x dx = (ln x) x x d(ln x) = x ln x x 1 x dx.... tan 1 x dx = x tan 1 x = x tan 1 x. x d(tan 1 x) x 1 + x 2 dx = x tan 1 x 1 2 ln(1 + x2 ) 4?. b f (x) g(x) dx a. f (x). g(a) = g(b) = 0 g(x) f (x).

79 4? 73.. h(x).(.). g(x) b a h(x) g(x) dx h(x) ( ). b a h 1 (x) g(x) dx = b a h 2 (x) g(x) dx h 1 (x) h 2 (x) h 1 (x) h 2 (x). 2. g(x) b a (h 1 (x) h 2 (x)) g(x) dx = 0 h 1 (x) h 2 (x) 0., b a (h(x)) g(x) dx = 0 h(x) 0.. : h(x) 0,, h(x) 0 0 g(x). 2. g(x) h(x) h(x).. h(x).

80 74 10? h(x).. h(x) x = c 0. h(x) x = c h(x) 0.( h(x) 0 x = c.) 3 h(x) > 0 h(x) < 0. g(x) > 0 ( g(x) = 0 ) 0.? b a h(x) g(x) dx g(x) h(x).(.) 5?. b a f (x) g (x) dx = [ f (x) g(x) ] b a b a f (x) g(x) dx..,....? f (x)g(x) x = a, b x = c h(x) 0, h(x) 0 h(x). x = c h(x)?

81 5? 75? 0. g(x)., g(a) = g(b) = 0. b f (x) g (x) dx = a b a f (x) g(x) dx., g(x)., g(x) f (x).. f (x). : b f (x) g (x) dx a g(x) f (x).. f (x) f (x).?. f (x)? b a f (x) g (x) dx? f (x)?.. 0, x < 0 f (x) = 1, x 0 x = 0. x = 0? a < 0 < b, b a f (x) g(x) dx = b a f (x) g (x) dx = b 0 g (x) dx = g(0) g(b) = g(0)

82 76 10., f (x) b a f (x) g(x) dx = g(0). f (x)? g(0) f (x) x 0 f (x) = 0. x = 0 f (x) 0, g(0) 0 f (x) x = 0. ( x = 0 black hole.),. f (x),. 4 idea Laurent Schwartz.

untitled

untitled Mathematics 4 Statistics / 6. 89 Chapter 6 ( ), ( /) (Euclid geometry ( ), (( + )* /).? Archimedes,... (standard normal distriution, Gaussian distriution) X (..) (a, ). = ep{ } π σ a 6. f ( F ( = F( f

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436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I = 8. 8.1 ( ).,,,.. 8.1 C I R φ : I R m φ (φ I ) φ(i) = {x R m : x = φ(t), t I} C, t, I. C C = (φ, I). x R m C C. 1 x, a R m. φ(t) := ta + x R ( 2). x a. R m. 2 φ(t) = (cos t, sin t) [, 2π].. 435 436 8.,

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-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.

-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다. Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장

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2 rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48

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7장.indd r i c i r c u i s 07 R 회로의 응답 7. 병렬 R 회로의 특성방정식 7. 병렬 R 회로의 자연응답 7.3 병렬 R 회로의 계단응답 7.4 직렬 R 회로와 쌍대성 7.5 직렬 R 회로의 자연응답 7.6 직렬 R 회로의 계단응답 7.7* 무손실 회로의 해석 7.8 요약 및 복습 ONTENTS ER c PT e HA l E 07 R HAPTER

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CONTENTS C U B A I C U B A 8 Part I Part II Part III Part IV Part V Part VI Part VII Part VIII Part IX 9 C U B A 10 Part I Part II Part III Part IV Part V Part VI Part VII Part VIII Part IX 11 C U B

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00-1표지 summary _I II_ summary _III 1 1 2 2 5 5 5 8 10 12 13 14 18 24 28 29 29 33 41 45 45 45 45 47 IV_ contents 48 48 48 49 50 51 52 55 60 60 61 62 63 63 64 64 65 65 65 69 69 69 74 76 76 77 78 _V 78 79 79 81

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