λx.x (λz.λx.x z) (λx.x)(λz.(λx.x)z) (λz.(λx.x) z) Call-by Name. Normal Order. (λz.z)

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1 λx.x (λz.λx.x z) (λx.x)(λz.(λx.x)z) (λz.(λx.x) z) Call-by Name. Normal Order. (λz.z)

2 Simple Type System - -

3 1+malloc(), {x:=1,y:=2}+2,... (stuck) { } { } ADD σ,m e 1 n 1,M σ,m e 1 σ,m e 2 n 2,M + e 2 n 1 + n 2, M = = E1 + E2 E1 E2 E.1 E1 := E2 if E1 E2 E3

4 P1 P2 accept P1 reject P2

5 .. P1 P5 P2 P4 P6 P3 accept P1 P2 reject P4 P3 P5 P6

6 .. P1 P5 P2 P4 P6 P3 accept P1 P2 reject P4 P3 P5 P6

7 = (formal logic)

8 ) f T F f f f f f f f

9 ) [T ] = true [F ] = false [ f ] = not[f ] [f 1 f 2 ] = [f 1 ] andalso [f 2 ] [f 1 f 2 ] = [f 1 ] orelse [f 2 ] [f 1 f 2 ] = [f 1 ] implies [f 2 ]

10 ) T f 1 f 2 f 1 f 2

11 ) Γ f Γ f Γ T Γ f f Γ Γ F Γ f Γ f Γ f f f f Γ f 1 Γ f 2 Γ f 1 f 2 Γ f 1 f 2 Γ f 1 Γ f 1 Γ f 1 f 2 Γ {f 1 } f 3 Γ {f 2 } f 3 Γ f 1 f 2 Γ f 3 Γ {f 1 } f 2 Γ f 1 f 2 Γ f 1 Γ f 1 f 2 Γ f 2 Γ {f} F Γ f Γ f Γ f Γ F

12 ) = Γ f 1 Γ f 2 Γ f 1 f 2 {p p, p} p {p p, p} p p {p p, p} p {p p, p} p {p p, p} F {p p} p

13 ) f f f f f f f

14 : & E n x λx.e EE E + E v n λx.e [] { } E 1 E1 E 1 E 2 E1 E 2 E 2 E2 ve 2 ve2 (λx.e) v {x v}e E 1 E1 E 1 +E 2 E1+E 2 E 2 E2 v+e 2 v+e2 z 1 +z 2 z 1 + z 2

15 Γ E : τ τ ι τ τ ( ) Γ Id fin Type [Γ E : τ ] = true iff σ = Γ.E 이영원히돌든가, 값을계산 E v 하면 v : τ. (=, tau )

16 Γ E : τ Γ n : ι Γ(x) =τ Γ x : τ Γ + x : τ 1 E : τ 2 Γ λx.e : τ 1 τ 2.. λx.x + 1 : ι ι (λy.y) 2 : ι (λx.x + 1) ((λy.y) 2) : ι.!. λy.y : ι ι λz.z : ι λx.x + 1 : ι ι (λy.y) (λz.z) : ι (λx.x + 1) ((λy.y) (λz.z)) : ι Γ E 1 : τ 1 τ 2 Γ E 2 : τ 1 Γ E 1 E 2 : τ 2 {x : ι} x : ι λx.x : ι ι {x : ι ι} x : ι ι λx.x : (ι ι) (ι ι) Γ E 1 : ι Γ E 2 : ι Γ E 1 +E 2 : ι.. {f : τ τ } f : τ τ {f : τ τ } f : τ τ = τ τ {f : τ τ } f f : τ λf.f f : (τ τ ) τ

17 e : τ 이고 e 가값이아니면반드시 e e. e : τ 이고 e e 이면 e : τ. Γ v : τ 이고 Γ + x : τ E : τ 이면 Γ {v/x}e : τ.

18 Lemma 1 (Progress). Suppose E is a closed, well-typed term (that is, E : τ for some τ). Then either E is a value or else there is some E with E E. Proof. By structural induction on E. E = n: Immediate, since E is a value. E = λx.e 1 : Immediate, since E is a value. E = x: Cannot occur (because E is closed). E = E 1 E 2 : By the following typing rule, E 1 : τ τ E 2 : τ E 1 E 2 : τ E 1 and E 2 are well-typed. Thus, induction hypothesis (I.H.) says that either E 1 is a value or else it can make a step of evaluation, and likewise E 2. There are three cases to consider. If E 1 is not a value: By I.H. (E 1 E 1) and the evaluation rules, E 1 E 2 E 1 E 2. If E 1 is a value and E 2 can take a step: By I.H. (E 2 E 2) and the evaluation rules, E 1 E 2 E 1 E 2. If both E 1 and E 2 are values, because of E 1 : τ τ, E 1 must be E 1 = λx.e. E 1 E 2 = λx.e v {x v}e E = E 1 +E 2 (exercise)

19 Lemma 2 (Preservation). If E : τ and E E, then E : τ. Proof. By structural induction on E. E = n or λx.e 1 : Vacuously satisfied. E = x: Cannot occur (because E is closed). E 1 : τ τ E 2 : τ E = E 1 E 2 :Bytypingrule, E 1 E 2 : τ, E 1 and E 2 are welltyped. Thus, induction hypothesis (I.H.) says that If E 1 E1 then E1 : τ τ If E 2 E2 then E2 : τ There are three cases in order for E 1 E 2 to make a step (E 1 E 2 E ): E 1 E1 and hence E 1 E 2 E1 E 2 : By I.H. and typing rules, E1 E 2 : τ E 2 E2 and hence E 1 E 2 E 1 E2: By I.H. and typing rules, E 1 E2 : τ Both E 1 and E 2 are values: E 1 must be λx.e, and hence E 1 E 2 = λx.e v. That is, E 1 E 2 = λx.e v {x v}e.byλx.e : τ τ Γ + x : τ 1 E : τ 2 and the typing rule Γ λx.e : τ 1 τ 2, x : τ E : τ holds. From x : τ E : τ and v : τ, {x v}e : τ (Preservation under Substitution Lemma). E = E 1 +E 2 (exercise)

20 Lemma 3 (Preservation under Substitution). If Γ v : τ and Γ + x : τ E : τ, then Γ {x v}e : τ. Proof. By induction on a derivation of Γ + x : τ E : τ. E = λy.e : Assume y {x} FV(v). Then, {x v}λy.e λy.{x v}e. T.S. Γ λy.{x v}e : τ = τ 1 τ 2 From Γ + x : τ λy.e : τ 1 τ 2 and typing rules, Γ + x : τ + y : τ 1 E : τ 2 By weakening Γ v : τ (and from the fact that y is new, i.e., y FV(v)), Γ + y : τ 1 v : τ I.H. Γ +y : τ 1 v : τ Γ +y : τ 1 +x : τ E : τ 2 Γ +y : τ 1 {x v}e : τ 2 From the I.H. and typing rules, Γ λy.{x v}e : τ 1 τ 2 Other cases: (exercise)

21 Γ n : ι Γ(x) =τ Γ x : τ Γ + x : τ 1 E : τ 2 Γ λx.e : τ 1 τ 2 Γ E 1 : τ 1 τ 2 Γ E 2 : τ 1 Γ E 1 E 2 : τ 2 Γ E 1 : ι Γ E 2 : ι Γ E 1 +E 2 : ι

22 ? E : τ E τ

23 ? (?) Γ n : ι Γ (x) =τ Γ x : τ Γ E 1 : τ 1 τ 2 Γ E 2 : τ 1 Γ E 1 E 2 : τ 2 Γ + x : τ 1 E : τ 2 Γ λx.e : τ 1 τ 2

24 Γ n : ι Γ (x) =τ Γ x : τ Γ E 1 : τ 1 τ 2 Γ E 2 : τ 1 Γ E 1 E 2 : τ 2 Γ + x : τ 1 E : τ 2 Γ λx : τ 1.E : τ 1 τ 2

25

26 (λx. x ) α 1 = α x α 2 = α β α 3 = ι α = α 3 β = α x α x = α α 4 = β

27 α 1 = α x α 2 = α β α 3 = ι α = α 3 β = α x α x = α α 4 = β α 1 = α x α 2 = α β α 3 = ι α = ι β = α x α x = α α 4 = β α 1 = α x α 2 = ι β α 3 = ι α = ι β = α x α x = ι α 4 = β α 1 = ι α 2 = ι β α 3 = ι α = ι β = ι α x = ι α 4 = β α 1 = ι α 2 = ι ι α 3 = ι α = ι β = ι α x = ι α 4 = ι

28 TyEqn u τ =τ 타입방정식 u u 연립 Type τ α TyVar 타입변수 ι τ τ V (Γ, n, τ) = τ =ι V (Γ, x, τ) = τ =τ if x : τ Γ V (Γ, E 1 + E 2, τ) = τ =ι V (Γ, E 1, ι) V (Γ, E 2, ι) V (Γ, λx.e, τ) = τ = α 1 α 2 V (Γ + x : α 1, e, α 2 ) new α 1,α 2 V (Γ, E 1 E 2, τ) = V (Γ, E 1, α τ) V (Γ, E 2, α) new α

29 V (, (λx.x) 1, τ) = V (, λx.x, α τ) V (, 1, α) new α = α τ =. α 1 α 2 V (x : α 1,x,α 2 ) α =. ι = α τ.. = α 1 α 2 α 1 = α 2 α =. ι new α 1, α 2 V (Γ, n, τ) = τ =ι V (Γ, x, τ) = τ =τ if x : τ Γ V (Γ, E 1 + E 2, τ) = τ =ι V (Γ, E 1, ι) V (Γ, E 2, ι) V (Γ, λx.e, τ) = τ = α 1 α 2 V (Γ + x : α 1, e, α 2 ) new α 1,α 2 V (Γ, E 1 E 2, τ) = V (Γ, E 1, α τ) V (Γ, E 2, α) new α

30 } V (Γ,E,τ) Γ E : τ Proof. By structural induction on E.

31 ( ) (unifier) S TyVar fin Type {{α ι} } = α =. ι {α ι, α 1 ι, α 2 ι, τ ι} = α τ =.. α 1 α 2 α 1 = α 2 α =. ι unify(τ, τ ) : TyVar fin Type unify(ι, ι) = unify(α, τ) or unifty(τ, α) = {α τ} if α does not occur in τ unify(τ 1 τ 2, τ 1 τ 2) = let S = unify(τ 1, τ 1) S = unify(sτ 2, Sτ 2) in S S unify( ) = fail

32 unify(α, int int) ={α int int} unify(α, int α) = fail unify(α β, int int) ={α int, β int} unify(α β, int α) = S = unify(α, int) ={α int} S = unify({α int}β, {α int}α) =unify(β, int) ={β int} S S = {β int}{α int} S S { }{ S = {a b},s = {b c} S (Sa)=S b = c S (S a)=sa= b

33 unify-all(τ =τ, S) = (unify(τ, τ ))S unify-all(u u, S) = let T = unify-all(u, S) in unify-all(t u, T ) U : TyEqn (TyVar fin Type) U(V (, E, α)) (new α)

34 S S S S S = TSfor some T ι. = ι = ι {}: most general {} unifier {α ι} : a (less general) unifier

35 : (* polymorphic functions *) let I = \x.x const = \n.10 in I I; const 1 + const true end

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272 石 堂 論 叢 49집 기꾼이 많이 확인된 결과라 할 수 있다. 그리고 이야기의 유형이 가족 담, 도깨비담, 동물담, 지명유래담 등으로 한정되어 있음도 확인하였 다. 전국적인 광포성을 보이는 이인담이나 저승담, 지혜담 등이 많이 조사되지 않은 점도 특징이다. 아울 271 부산지역 구비설화 이야기꾼의 현황과 특징 정 규 식* 1) - 목 차 - Ⅰ. 서론 Ⅱ. 부산지역 구비설화 이야기꾼의 전반적 현황 1. 이야기꾼의 여성 편중성 2. 구연 자료의 민요 편중성 3. 이야기꾼의 가변적 구연력 4. 이야기 유형의 제한성 5. 이야기꾼 출생지의 비부산권 강세 Ⅲ. 부산지역 구비설화 이야기꾼의 특징 Ⅳ. 결론 개 요 본고의 목적은

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