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1 Egieeig Mthetic I Pof. D. Yog-Su N Tel Tet book: Ewi Kezig dvced Egieeig Mthetic 9 th Editio Wile (6

2 Ch. 5 Seie Solutio of ODE. Specil Fuctio 5. Powe Seie Method 5. Theo of the Powe Seie Method 5. Legede Equtio. Legede Poloil P ( 5. Fobeiu Method 5.5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( 5.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Y v ( 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio 5.8 Othogol Eigefuctio Epio

3 Ch. 5 Seie Solutio of ODE. Specil Fuctio ( 상미분방정식의급수해법. 특수함수 변수계수를갖는선형미분방정식을풀이하는표준적인방법인 powe eie ethod ( 멱급수해법 을소개한다 멱급수해법으로얻을수있는유명한특수함수 : Beel fuctio ( 베셀함수 Legede fuctio ( 르장드르함수 Gu 의 hpegeoetic fuctio ( 초기화함수

4 5. Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법 Powe Seie ( 거듭제곱급수 : ( ( ( 계수 : 중심 : 중심이 인경우 : Mclui 급수 e co i ( ( ( ( ( < 5 5

5 5. Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법 Ide of the Powe Seie Method: 상미분방정식 p ( ( ( q( p 와 q 를 의거듭제곱급수로표현 에적용 해를미지의계수를갖는거듭제곱급수 와 를항별미분하여얻은급수를상미분방정식에대입 로가정 ( 미지계수 을계산

6 5.. Powe Seie Method Powe Seie Method ( 거듭제곱급수거듭제곱급수해법해법 5 o e Se e e od o e Se e e od ( 거듭제곱급수거듭제곱급수해법해법 E. Solve the followig ODE b powe eie. ( e e

7 5. Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법 E. Solve the followig ODE b powe eie. ( ( ( ( ( Recuio Foul ( 순환공식 : 첫번째항은두번째항은 ( ( ( co i

8 5. Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법 PROBLEM SET 5. HW: 6

9 5. Theo of the Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법의이론 Bic Cocept ( ( ( th Ptil Su ( 번째까지의부분합 : ( ( ( ( Reide ( 나머지 : R ( ( ( Coveget ( 수렴 : 부분합의수열이수렴할때 li ( ( Vlue( 수렴값 또는 Su ( 합 : 부분합의수열이수렴할때 부분합수열의극한값 거듭급수는중심에서항상수렴한다. 발산: 부분합의수열이발산할때 (

10 5. Theo of the Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법의이론 Covegece Itevl ( 수렴구간 Rdiu of Covegece ( 수렴반지름 수렴구간 : 급수가수렴하는값들의구간 ( < R 의형태로나타남 수렴반지름 (R : 급수는 < R 인모든 에대하여수렴하고 > R 인 모든 에대하여발산할때 R li 또는 R li

11 5. Theo of the. Theo of the Powe Seie Method 5 eo o e Powe Seie Method eo o e o e Se e e od o e Se e e od ( 거듭제곱급수거듭제곱급수해법해법의이론이론 E. - 6 e e

12 5. Theo of the. Theo of the Powe Seie Method 5 eo o e Powe Seie Method eo o e o e Se e e od o e Se e e od ( 거듭제곱급수거듭제곱급수해법해법의이론이론 E. - 6 Covege ol t the cete. h e R covege whe < Covege fo ll e Covege fo ll

13 5. Theo of the Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법의이론 E. Fid the diu of covegece of the eie ( ( 이급수는계수가 인 t 의거듭제곱급수이다 R 즉 < 인조건에서수렴. 이고 t < 일때

14 5. Theo of the Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법의이론 Opetio o Powe Seie ( 거듭제곱급수연산 Tewie Diffeetitio ( 항별미분 : 거듭제곱급수는항별로미분가능하다. Tewie dditio ( 항별덧셈 : 두개의거듭제곱급수는각항별로더할수있다. Tewie Multiplictio ( 항별곱셈 : 두거듭제곱급수는각항별로곱할수있다. Vihig of ll Coefficiet ( 모든계수가영이됨 : 만일어떤거듭제곱급수가양의수렴반지름을갖고 수렴구간전체에서합이항등적으로 이라면 급수의모든계수는 이다. Eitece of Powe Seie Solutio of ODE. Rel ltic Fuctio ( 실수해석함수 Rel ltic Fuctio ( 실수해석함수 : 거듭제곱급수로표현되어지는실수함수 거듭제곱급수해의존재 ( q( ( p p q 미분방정식의이 에서해석적이면주어진미분방정식의모든해는 에서해석적이고 R > 인수렴반지름을갖는 - 의거듭제곱급수로 ~ 나타낼수있다. 미분방정식 h ( ~ p( q~ ( ~ ~ ( 의 h ~ p q~ ~ 이 에서해석적이고 ~ 이 에서해석적이고 h ~ ( 이면 동일한결과가성립한다.

15 5. Theo of the Powe Seie e Method ( 거듭제곱급수해법의이론 PROBLEM SET 5. HW: 5

16 5. Legede Equtio. Legede Poloil P ( ( 르장드르 르장드르방정식. 다항식 Legede Equtio: ( ( 과 ( - 를대입

17 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 ( ( Legede Equtio: ( 대입를과 ( 대입를과 - ( ( ( - ( ( ( - - ( ( ( ( - 치환로대신에라놓고 나머지세개의급수들은단순히첫번째급수는 ( ( ( ( -

18 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 ( : 계수의 ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] 일반적으로의계수 : 의계수 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( 일반적으로 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( ( ( ( ( ( ( ( 일반해 : ( ( ( ( ( ( ( ( 5 5

19 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 ( : 계수의 ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] 일반적으로의계수 : 의계수 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( 일반적으로 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( ( ( ( ( ( ( ( 일반해 : ( ( ( ( ( ( ( ( 5 5

20 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 ( : 계수의 ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] 일반적으로의계수 : 의계수 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( 일반적으로 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( ( ( ( ( ( ( ( 일반해 : ( ( ( ( ( ( ( ( 5 5

21 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 Legede Poloil ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 선택로 Wh? Hoewok ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( M ( ( ( ( ( M P 또는

22 5. Legede Equtio. Legede. Legede Equtio. Legede g q g g q g Poloil Poloil P ( ( ( 르장드르르장드르방정식방정식. 다항식다항식 Legede Poloil ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 선택로 Wh? Hoewok ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( M ( ( ( ( ( M P 또는

23 5. Legede Equtio. Legede Poloil P ( ( 르장드르 Legede 다항식의예 ( P ( 르장드르방정식. 다항식 P P ( ( P ( ( 5 5 P 5 P ( ( ( ( 5

24 5. Legede Equtio. Legede Poloil P ( ( 르장드르 르장드르방정식. 다항식 PROBLEM SET 5. HW: 5

25 5. Fobeiu Method (Fobeiu 해법 Fobeiu Method ( c ( b 함수 b( 와 c ( 가 에서해석적일경우상미분방정식 은 ( ( ( 같은형태의해를적어도하나갖는다.

26 5.. Fobeiu Fobeiu Method Method (Fobeiu Fobeiu 해법해법 5 o e u o e u e od e od ( 해법해법 Idicil Equtio ( 결정방정식 Idictig the Fo of Solutio ( ( c b. 을곱한다 ( ( c b ( ( 표현 로 c c c c b b b b ( ( 항별미분하면 을 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( [ ] 대입 을 ( [ ] ( [ ] ( ( c c b b ( [ ] ( ( 결정방정식 ( Equtio Idicil c b c b : 의계수

27 5.. Fobeiu Fobeiu Method Method (Fobeiu Fobeiu 해법해법 5 o e u o e u e od e od ( 해법해법 Idicil Equtio ( 결정방정식 Idictig the Fo of Solutio ( ( c b. 을곱한다 ( ( c b ( ( 표현 로 c c c c b b b b ( ( 항별미분하면 을 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( [ ] 대입 을 ( [ ] ( [ ] ( ( c c b b ( [ ] ( ( 결정방정식 ( Equtio Idicil c b c b : 의계수

28 5. Fobeiu Method (Fobeiu 해법 Fobeiu Method Bi of Solutio. Thee Ce Ce. Ditict Root Not Diffeig b Itege ( 두근의차가정수가아닌서로다른근들 ( ( ( ( 과 Ce. Double Root ( 이중근 ( ( 과 ( ( ( l Ce. Root Diffeig b Itege ( 두근의차가정수인서로다른근들 ( ( ( ( ( l 과 k > 결정방정식의근이결정되면 Fobeiu 해법은기술적으로거듭제곱급수해법과유사. 두번째해는차수축소에의해보다신속히구할수있음.

29 5. Fobeiu Method (Fobeiu 해법 E. Solve the ODE. ( ( (

30 5.. Fobeiu Fobeiu Method Method (Fobeiu Fobeiu 해법해법 5 o e u o e u e od e od ( 해법해법 E. Solve the ODE. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 의계수낮은차수인가장 ( [ ] ( ( 의계수 : 가장낮은차수인 ( ( ( 첫번째해 ( ( < 의하여차수축소법에로선택하면두번째해 ( ( l l d d pd ( ( l l u u e u pd

31 5.. Fobeiu Fobeiu Method Method (Fobeiu Fobeiu 해법해법 5 o e u o e u e od e od ( 해법해법 E. Solve the ODE. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 의계수낮은차수인가장 ( [ ] ( ( 의계수 : 가장낮은차수인 ( ( ( 첫번째해 ( ( < 의하여차수축소법에로선택하면두번째해 ( ( l l d d pd ( ( l l u u e u pd

32 5.. Fobeiu Fobeiu Method Method (Fobeiu Fobeiu 해법해법 5 o e u o e u e od e od ( 해법해법 E. Solve the ODE. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 의계수낮은차수인가장 ( [ ] ( ( 의계수 : 가장낮은차수인 ( ( ( 첫번째해 ( ( < 의하여차수축소법에로선택하면두번째해 ( ( l l d d pd ( ( l l u u e u pd

33 5. Fobeiu Method (Fobeiu 해법 PROBLEM SET 5. HW: 8 (

34 5.5.5 Beel Equtio. Beel Fuctio Beel Equtio. Beel Fuctio 5 5 ee qu o ee u c o ee qu o ee u c o v ( (Beel Beel 의방정식방정식. 함수함수 ( 방정식 : Beel Fobeiu 과그도함수를대입해법적용 : ( ( ( Fobeiu 대입과그도함수를해법적용 : ( ( ( 일때일때 ( ( ( ( ( ( ( 결정방정식 : 일때 일때 ( ( 결정방정식 : (

35 5.5.5 Beel Equtio. Beel Fuctio Beel Equtio. Beel Fuctio 5 5 ee qu o ee u c o ee qu o ee u c o v ( (Beel Beel 의방정식방정식. 함수함수 ( 방정식 : Beel Fobeiu 과그도함수를대입해법적용 : ( ( ( Fobeiu 대입과그도함수를해법적용 : ( ( ( 일때일때 ( ( ( ( ( ( ( 결정방정식 : 일때 일때 ( ( 결정방정식 : (

36 5.5.5 Beel Equtio. Beel Fuctio Beel Equtio. Beel Fuctio 5 5 ee qu o ee u c o ee qu o ee u c o v ( (Beel Beel 의방정식방정식. 함수함수 ( ( (Coefficiet Recuio 5 점화에대한계수 ( ( 을대입하면 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

37 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 정수 에대한 Beel 함수 ( ( ( ( ( ( ( 으로선택하면 ( ( ( : 차제 종 Beel 함수

38 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 ( ( ( ~ π co π π fo lge

39 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 임의의 에대한 Beel 함수 G Fuctio 감마함수의성질 : ( Γ ( t e t dt - e t Γ t e t dt (. G Fuctio ( 감마함수 : ( t Γ e t dt ( > Γ( Γ( Γ( ( ( 으로선택하면 ( Γ( ( : 차제 종 Beel 함수 Γ( ( ( ( ( ( ( ( (

40 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 임의의 에대한 Beel 함수 G Fuctio 감마함수의성질 : ( Γ ( t e t dt - e t Γ t e t dt (. G Fuctio ( 감마함수 : ( t Γ e t dt ( > Γ( Γ( Γ( ( ( 으로선택하면 ( Γ( ( : 차제 종 Beel 함수 Γ( ( ( (

41 5.5.5 Beel Equtio. Beel Fuctio Beel Equtio. Beel Fuctio 5 5 ee qu o ee u c o ee qu o ee u c o v ( (Beel Beel 의방정식방정식. 함수함수 ( ( ( Γ 방정식의일반해 두번째 차독립해 : Beel 방정식의일반해 ( ( ( Beel 일반해방정식의에대한가정수가아니면 모든 ( ( ( c c ( ( ( 의일차종속성 : 와함수 Beel Deivtive Recuio ( [ ] ( ( ( ( 점화관계 : : 미분관계 ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( (

42 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 두번째 차독립해 : Beel 방정식의일반해 ( 가정수가아니면 모든 ( c ( c ( ( Γ( 에대한 Beel 방정식의일반해 Beel 함수 와 의일차종속성 : ( ( ( Deivtive Recuio 미분관계 : [ ( ] ( 점화관계 : ( ( ( [ ( ] ( ( ( ( ( ( Γ(

43 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 반정수차수 에대한 Eleet Beel Fuctio 5 차수 ± ± ± 인 Beel 함수 는초등함수이다. π ( i ( i π π co co π ( co ( i π

44 5.5 5 Beel Equtio. Beel Fuctio v ( (Beel 의방정식. 함수 PROBLEM SET 5.5 HW: 6

45 5.6.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Beel Fuctio of the Secod Kid 5 6 ee u c o o e Seco d d ee u c o o e Seco d d Y v ( ( 제 종 Beel Beel 함수함수 Beel 일반해의방정식 ( ( Beel 첫번째해 : 의일반해방정식 ( ( ( l 째해 : 두번 ( ( ( l l 미분하면 ( 의이중근을가질경우 ( ( ( ( ( ( ( ( (

46 5.6.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Beel Fuctio of the Secod Kid 5 6 ee u c o o e Seco d d ee u c o o e Seco d d Y v ( ( 제 종 Beel Beel 함수함수 Beel 일반해의방정식 ( ( Beel 첫번째해 : 의일반해방정식 ( ( ( l 째해 : 두번 ( ( ( l l 미분하면 ( 의이중근을가질경우 ( ( ( ( ( ( ( ( (

47 5.6.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Beel Fuctio of the Secod Kid 5 6 ee u c o o e Seco d d ee u c o o e Seco d d Y v ( ( 제 종 Beel Beel 함수함수 ( ( ( 5 ( 의계수들의합 : / : ( ( ( 의계수들의합 : ( ( ( /8 6 / 8 : / : h ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 l l h ( ( ( ( 8 8 l l

48 5.6.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Beel Fuctio of the Secod Kid 5 6 ee u c o o e Seco d d ee u c o o e Seco d d Y v ( ( 제 종 Beel Beel 함수함수 ( ( ( 5 ( 의계수들의합 : / : ( ( ( 의계수들의합 : ( ( ( /8 6 / 8 : / : h ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 l l h ( ( ( ( 8 8 l l

49 5.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Y v ( ( 제종 Beel 함수 차제 종 Beel 함수또는 차 Neu 함수 Y l γ π ( ( ( h ( ( b / π b γ l 차제 종 Beel 함수또는 차 Neu 함수 Y iπ ( [ ( coπ ( ] Y ( liy ( ( π l γ π ( ( h h ( π ( Beel 방정식의일반해 모든 ( > 에대한 Beel 방정식의일반해 : ( C ( C Y ( 값그리고

50 5.6 Beel Fuctio of the Secod Kid Y v ( ( 제종 Beel 함수 PROBLEM SET 5.6 HW: 5

51 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 Stu Liouville poble Stu Liouville equtio : Stu Liouville boud coditio [ p( ] [ q( λ( ] : k ( k ( l ( b l ( b E. Legede d Beel Equtio e Stu-Liouville Equtio Legede ( ( [ ( ] λ λ ( 방정식 와같은형태로쓸수있다. 는 여기서 p q

52 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 Beel 방정식 [ ] λ 와같은형태로쓸수있다. ~ ( 여기서 p q cf k ~ ~ ( k ~ λ ~ ~ λ λ k ~ 은

53 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 E. Tigooetic Fuctio Eigefuctio. Vibtig Stig Fid the eigevlue d eigefuctio of the Stu-Liouville Poble. λ ( ( π p q 이고 b π k l k l [ p( ] [ q( λ( ] k ( k ( l ( b l ( b

54 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 E. Tigooetic Fuctio Eigefuctio. Vibtig Stig Fid the eigevlue d eigefuctio of the Stu-Liouville Poble. λ ( ( π p q 이고 b π k l k l 음의λ 에대하여일반해 경계조건으로부터 λ 인경우도 c c ( c e c e 이다. λ 에대하여일반해 ( co B i이다. ( ( π B i π ± ± 일때 고유값 λ 9 6 이고 이에대응하는고유함수는 ( i (

55 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 Eitece of Eigevlue: Stu Liouville문제의고유값들은식무수히많이존재한다. p q 에대한일반적인조건하에서 Relit of Eigevlue: p q 과 p 이구간 b에서실수값을갖고연속이며 이구간내에서양 ( 또는음 이면 Stu Liouville문제의고유값들은실수이다. Othogolit ( 직교성 : 함수 ( ( 은가중함수( Weight Fuctio ( > 에서직교함수 ( O h l Fuctio b d b에서직교함수 Othogol 의노름 ( ( d b 에관하여주어진구간 ( ( (

56 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 E. Othogol Fuctio. Othool ( 정규직교 Fuctio. π π i ( ( π d i i d i π π π i d π π

57 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 Othool Fuctio ( 정규직교함수 : 직교하고모든함수들이노름값 을가지는함수 Othogolit of Eigefuctio: b 에서실수값을갖고연속이며 ( > 이라가정하자 p q 과 p 이구간 > ( 와 ( 함수라하면 가서로다른고유값 λ 과 λ 에대응하는 Stu Liouville문제의고유 ( 와 ( 는가중함수 에관하여주어진구간에서직교한다. Legede poloil Beel fuctio e ll othogol..

58 5.7 Stu-Liouville Poble. Othogol Fuctio (Stu-Liouville 문제. 직교함수 PROBLEM SET 5.7 HW: 5

59 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 정규직교인함수들 에대하여 b ( ( ( ( d δ Koecke delt b ( ( ( d Othogol epio o geelized Fouie eie 직교인함수들 에대하여 f ( ( ( ( ( f b ( f ( ( d (

60 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 b b f d d ( ( f ( ( f b ( f ( ( d (

61 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 E. Peiodic Stu-Liouville poble ( π ( π ( π ( π λ ( k f co k Bi k k λ ( π ( co b i Eigefuctio epio π π f ( d π π π f ( co d b π π π f ( i d ( f b ( f ( ( d ( Fouie eie Fouie coefficiet (Ch.

62 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 Fouie eie of peiodic ectgul wve if f π < < if π < < ( d f ( π f ( f 5 π 5 ( i i i

63 5.8.8 Othogol Othogol Eigefuctio Eigefuctio Epio Epio g g p ( 직교직교고유함수고유함수전개전개 Fouie-Legede d Fouie-Beel ( P f ( ( d P f P f ( ( ( ( k f d P f ( ( ( ( R d k f R k f ( ( ( ( R (α

64 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 Copletee ( 완비성 " 충분히많은 " 함수들로구성된정규직교집합만을이용하여다양한종류의함수를일반화된푸리에급수에의해나타낼수있는데 이런정규집합을 "coplete( 완비 " 하다고한다. 을구간 b에서함수들의집합 S에서완비한정규직교집합이라하자. 만약함수 f 가 S에속하는모든 에직교한다면그함수은노름값 을가져야만한다. 특히 f 가연속이라면 f 는 이어야만한다.

65 5.8 Othogol Eigefuctio Epio ( 직교고유함수전개 PROBLEM SET 5.8 HW: 5

슬라이드 1

슬라이드 1 Egieerig Mthetics II Pro. Dr. Yog-Su N (-6 Tel. 88-74) Tet book: Erwi Kreysig Advced Egieerig Mthetics 9 th Editio Wiley (6) h. 5 Power Series Tylor Series 5. Sequeces Series overgece Tests 5. Power Series

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