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1 저작자표시 - 비영리 - 변경금지 2.0 대한민국 이용자는아래의조건을따르는경우에한하여자유롭게 이저작물을복제, 배포, 전송, 전시, 공연및방송할수있습니다. 다음과같은조건을따라야합니다 : 저작자표시. 귀하는원저작자를표시하여야합니다. 비영리. 귀하는이저작물을영리목적으로이용할수없습니다. 변경금지. 귀하는이저작물을개작, 변형또는가공할수없습니다. 귀하는, 이저작물의재이용이나배포의경우, 이저작물에적용된이용허락조건을명확하게나타내어야합니다. 저작권자로부터별도의허가를받으면이러한조건들은적용되지않습니다. 저작권법에따른이용자의권리는위의내용에의하여영향을받지않습니다. 이것은이용허락규약 (Legal Code) 을이해하기쉽게요약한것입니다. Disclaimer

2 교육학석사학위논문 수학교사의과제변형및적용을 통한조건부확률오개념교정 년 월 서울대학교대학원 수학교육과 이근범

3 수학교사의과제변형및적용을 통한조건부확률오개념교정 지도교수이경화 이논문을교육학석사학위논문으로제출함 년 월 서울대학교대학원 수학교육과 이근범 이근범의석사학위논문을인준함 년 월

4 국문초록 수학교사의과제변형및적용을통한조건부확률 오개념교정 수학과제는수학교수학습에서매우중요하므로, 적절한과제를선정하고설계하는수학교사의능력은교사전문성의중요한요소이다. 특히과제변형활동은교수학습에서교육과정과과제의역할을이해하는데도움을줄수있다는점에서교사교육에서강조되고있다. 그러나사고실험만을거쳐서과제를변형하는활동은실제적용가능성에대한한계가있기에, 기존연구에서도변형한과제를적용하는활동을강조하며과제변형과그적용사이의연결이필요하다고주장하였다. 본연구에서는교수를위한수학적지식이서로다른예비교사와현직교사가조건부확률오개념교정을위한목적으로교과서과제를변형하고이를수업에적용하는과정을상세히분석하였다. 이를위해과제변형과정에서는교사가오개념교정을위해어떠한교수를위한수학적지식을고려하여어떻게변형하였는지살펴보고, 과제를적용해보는과정에서는과제변형과정에서고려한교사의의도가어떻게발현되는지알아보기위해교실내상호작용, 교사의담론조치등을심층적으로분석하였다. 교사의교수를위한수학적지식은과제변형과정에크게영향을미치는것으로나타났으며, 이는과제적용과정에서학생들의오개념교정까지도영향을주는것으로나타났다. 교사는조건부확률오개념교정을목적으로과제를변형하는과정에서자신의교수를위한수학적지식을적극활용하여다양한오개념교정기회를제공하고자의도하였으며, 실제적용과정에서는학생들의참여를통한교실내상호작용과교사의순간적인담론조치에따라본래의도된오개념교정기회의효과가완전히달라짐을확인하였 - i -

5 다. 이처럼과제변형및적용활동은교사의교수를위한수학적지식을적극적으로활용해보고자신에게부족한점을반성해볼수있는기회를제공하며, 이러한과정을통해자신의전문성을신장시킬수있음을확인하였다. 이러한연구결과를바탕으로시사점을제공하고후속연구방향에대하여제안하였다. 주요어 : 과제변형, 과제적용, 교수를위한수학적지식, 조건부확률, 오개념교 정, 교사교육 학번 : ii -

6 목 차 국문초록 ⅰ 목차 ⅲ 표목차 ⅴ 그림목차 ⅴi I. 서론 1 1. 연구의목적및필요성 1 2. 연구문제와연구의의의 7 Ⅱ. 문헌분석 8 1. 조건부확률에관한연구 조건부확률의개념 조건부확률의오개념 과제변형및적용에관한연구 교사교육에서과제변형 교사교육에서과제적용 교수를위한수학적지식에관한연구 교수를위한수학적지식 과제변형및적용과관련된 MKT 38 Ⅲ. 연구방법 사례연구 연구설계 연구참여자 연구절차 자료분석 50 - iii -

7 3.1. 자료수집 자료분석 51 Ⅳ. 연구결과 연구문제 1의결과 예비교사의과제변형분석 현직교사의과제변형분석 연구문제 2의결과 예비교사의과제적용과정분석 현직교사의과제적용과정분석 110 Ⅴ. 요약및결론 요약 결론및제언 136 참고문헌 141 영문초록 iv -

8 표목차 < 표 Ⅱ-1> 과제변형과정에서고려한 MKT 분류기준 40 < 표 Ⅲ-1> 연구절차 49 < 표 Ⅲ-2> 조건부확률오개념교정기회분석틀 52 < 표 Ⅲ-3> 과제가요구하는인지적노력수준 53 < 표 Ⅲ-4> 수학대화학습공동체의발달수준 54 < 표 Ⅲ-5> 상호작용패턴 57 < 표 Ⅲ-6> 교사의담론조치 58 < 표 Ⅲ-7> 효과적인수학적담론을위한질문활동 60 < 표 Ⅳ-1> 예비교사가변형한과제의인지적노력수준 70 < 표 Ⅳ-2> 예비교사가과제변형에서고려한 MKT 71 < 표 Ⅳ-3> 현직교사가변형한과제의인지적노력수준 78 < 표 Ⅳ-4> 현직교사가과제변형에서고려한 MKT 79 - v -

9 그림목차 [ 그림 Ⅱ-1] 문제 1의축소된표본공간 11 [ 그림 Ⅱ-2] 문제 2의축소된표본공간 11 [ 그림 Ⅱ-3] 추출순서에따른대칭성 14 [ 그림 Ⅱ-4] 수학과제설계와실행분석틀 32 [ 그림 Ⅱ-5] MKT의영역 35 [ 그림 Ⅳ-1] 예비교사가변형한과제의 탐구해봅시다! (1), (2) 63 [ 그림 Ⅳ-2] 예비교사가변형한과제의 탐구해봅시다! (3) 66 [ 그림 Ⅳ-3] 예비교사가변형한과제의 탐구해봅시다! (4) 68 [ 그림 Ⅳ-4] 현직교사가변형한과제의 생각해봅시다! 73 [ 그림 Ⅳ-5] 현직교사가변형한과제의 과제1 75 [ 그림 Ⅳ-6] 현직교사가변형한과제의 과제2 75 [ 그림 Ⅳ-7] 현직교사가변형한과제의 과제 vi -

10 I. 서론 1. 연구의목적및필요성 과제는수학교수학습에서중요한의미를갖는다. 기존연구에따르면수학교사가제시하는과제는학생들에게의미있는수학학습의기회를제공하거나제한할수있으므로수학교수에서중요한역할을수행하며, 과제의유형과그활용방식에따라학생들에게요구되는사고수준이달라지므로학습에크게영향을미친다 (Boston, Smith, 2011; Crespo, 2003; Jones & Pepin, 2016; Sullivan, Clarke & Clarke, 2009; Vaugelade, Anne & Fuglestad, Goodchild & Sriraman, 2012). 이처럼과제가수학교수학습에서매우중요한의미를갖기때문에, 학습내용, 학생의특성등에따라필요한과제를선정, 변형, 적용하는교사의능력이강조되며이는교사의전문성의중요한한요소로볼수있다 (Jones & Pepin, 2016; Prestage & Perks, 2007; Son & Kim, 2015; Thompson, 2012; Watson, 2008; Zaslavsky, 1995; 김대영, 김구연, 2014; 김정은, 이수진, 김지수, 2015; 최승현, 황혜지, 2008). 따라서기존연구에서도과제를활용한교사교육이교사의전문성신장을위해필요함을강조한다 (Arbaugh & Brown, 2005; Boston, 2006; Boston & Smith, 2011; Stein, Smith, Henningsen & Silver, 2000; Prestage & Perks, 2007; Vaugelade 외, 2012; Zaslavsky, 1995; Zaslavsky, 2007; 김대영, 김구연, 2014; 김정은외, 2015). 특히기존의과제를변형시켜봄으로써, 교사는전문가로서의자신감을얻고그들의수학지식과수학교수설계능력 (mathematics-didactical design capacity) 을향상시키는등교사의전문성을향상시킬수있다 (Jones & Pepin, 2016; Watson, 2008; Zaslavsky, 1995). 교과서과제를변형시키는활동의경우, 새로운과제를설계하는데비해적은지식과경험으로가능하다는점과교육과정의의도와핵심을이해하고교수학습에서과제의역할을이해하는데 - 1 -

11 도움을줄수있다는점에서예비교사교육에서더욱강조되고있다 (Lee, Lee & Park, 2013; Son & Kim, 2015). 기존연구에따르면과제변형활동은그자체만으로도교사에게전문성 신장의기회를제공한다. 그러나사고실험만을거쳐서과제를설계하는활 동은실제적용가능성에대한한계가있기에, 기존연구에서도과제설계 에서그치는것이아니라설계한과제를적용해보고교사가이를반성해볼 필요가있다고주장하였다 (Crespo, 2003; Even, Tirosh & Robinson, 1993; Thanheiser 외, 2015). 이는과제변형활동에서도마찬가지이다. 김정은 외 (2015) 는교사가학생을대상으로직접변형한과제를수업하여과제변 형시의교사의의도가제대로발현되었는지교사가반성해볼필요가있다 고주장하였다. 김하림, 이경화 (2016) 는사고실험에만의존한과제변형 활동은실제학생에대한고려가부족할수있으므로이를보완하기위해 변형한과제를적용해보는활동이필요하며, 연구자의입장에서도이러한 과정을관찰함으로써과제변형활동이실제수업과어떻게연결되는지를 알아볼수있는자료가될수있다고주장하였다. 따라서과제변형활동을 통한교사교육에서는과제변형활동뿐만아니라과제적용활동까지도살 펴볼필요가있다. 위와같이교사교육을위한과제변형이강조되어왔지만이에관한연 구는아직많이이루어지지않았다. 기존의과제변형에관한국내연구에 서는 Stein, Smith(1998) 의인지적노력수준 1) 에주로초점을두고교사들 이변형한과제를분석하거나 ( 김대영, 김구연, 2014; 김정은외, 2015; 김 하림, 이경화, 2016; 이혜림, 김구연, 2013), 다수의예비교사들을대상으 로과제변형과정에서고려한교수를위한수학적지식 (Mathematical knowledge for teaching, 이하 MKT) 을분석하였으나 (Lee 외, 2013), 소수의 사례를대상으로수학교사의과제변형및적용과정을상세히분석한연 구는아직부족하다. 교사교육에서과제변형에관한연구가아직많이이 1) 인지적노력수준 (cognitive demand level) 이란학생들이주어진과제에참여하고성공적으로해결하기위해학생들에게요구되는사고의종류와수준을말한다 (Stein 외, 2000)

12 루어지지않은만큼수학교사가자신의 MKT를바탕으로어떠한의도를갖고과제의어떠한요소를변형했으며, 실제로수업에과제를적용했을때그러한의도가어떠한영향을미치는지등에관하여상세히분석해보는연구가필요하다. 과제변형과적용사이의연결성을강조한기존연구에서도과제변형과그적용과정을상세히분석하는연구는없었다 (Jones & Pepin, 2016; Lee 외, 2013; Son & Kim, 2015; Voica & Pelczer, 2009; Zaslavsky, 1995; 김정은외, 2015, 김하림, 이경화, 2016). 특히수학교사의 MKT는수학교사의전문성의척도로여겨지고있으며 (Ball, Thames & Phelps, 2008), 과제설계나변형과정에서 MKT가크게영향을미칠수있다고알려져있다 (Stein, Grover & Henningsen, 1996; Lee 외, 2013). 이에본연구에서는수학교사의 MKT를바탕으로과제변형및적용과정을심층적으로분석하여교사의전문성신장과정을확인해보고자한다. 또한심층적인분석을위해본연구에서는자연주의적연구방법 (Naturalistic Inquiry) 중사례연구방법을택하기로한다. 이를통해교사교육에서과제변형및적용과정에대한시사점을제공하고자한다. 본연구에서는과제변형과적용과정에대한상세한분석을위해조건부확률영역의오개념에주목해보고자한다. 기존연구에따르면수많은학생들이조건부확률을학습할때다양한오개념을갖기쉽고, 이로인해조건부확률의올바른개념이해에어려움을겪는다 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones & Thornton, 2005; Shaughnessy, 1992; 나귀수, 이경화, 한대희, 송상헌, 2009; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 특히선행연구에서는조건부확률오개념교정을위한교수의역할을강조하면서, 추측, 실험, 토론, 반성, 구성의과정을통해학생이자신의사고를드러내고친구와생각을공유하면서수정해나가는협력적인활동이필요함을강조한다 (Borovcnik, 2012; Castro, 1998; Diaz & Batanero, 2009; Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones, Langrall, Thornton & Mogill, 1999; Kiczek & Maher, 2001; Koirala, - 3 -

13 2003; Tarr & Lannin, 2005; 박찬민, 2014; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 조건부확률오개념은분명조건부확률의올바른개념이해에어려움을주지만, 이러한오개념을부정적으로만볼것이아니고오히려오개념을고려하여수업하는것이조건부확률개념이해에도움이될수있다 (Borovcnik, 1986; Diaz & Batanero, 2009; 이경화, 1994). 이동환, 이경화 (2010) 는영재아들에게모호성을강조하여인지적갈등을일부러일으켰으며, 연구결과영재아들은수학적논쟁을하는과정에서수학적추측, 명제, 증명등과같은다양한수학적활동을경험하였다. 마찬가지로조건부확률오개념을보이지않는학생들도이러한오개념에관해고민해볼수있는인지적갈등상황을제공하여더높은수준의이해로나아갈수있도록도와야한다. 그러나교과서에서는조건부확률오개념을일으키는갈등상황을제공하거나이를교정기회를제공하는교수법에관하여충분히반영하지못하고있기때문에 ( 이정연, 2005), 조건부확률영역은과제변형이필요한영역이라고볼수있다. 기존의과제변형에관한연구들에서는주로인지적노력수준으로는변형된과제를분석하였으나, 인지적노력수준만으로는과제변형과정에서교사가무엇을고려하였는지를분석하는데한계가있을수밖에없다. 이에본연구에서는기존의조건부확률오개념과이를교정하기위한교수법에관한선행연구들을분석하여과제에서제공하는오개념교정기회를분석하는틀을마련하고, 인지적노력수준과예비교사가과제변형및적용과정에서고려한교사의 MKT를분석하여적용과정에서의담론분석을통해심층적으로상호작용을분석하고자하였다. 본연구에서는자연주의적연구방법중사례연구방법을통해예비교사와현직교사의조건부확률오개념교정을위한과제변형및적용과정을심층적으로분석하여이들의특징적인양상을살펴보았다. 과제변형과정에서는교사가오개념교정을위해어떠한 MKT를고려하여어떻게변형하였는지살펴보고, 과제를적용해보는과정에서는과제변형과정에서고려한교사의의도가잘발현되는지살펴보았다. 또한교사의의도대로수업이 - 4 -

14 진행되지않는경우에교사가어떻게대처하는지를알아보기위해그러한수업장면에서의질문등의담론조치 (discourse move) 2) 를심층적으로분석하였다. 이를통해실제예비교사와현직교사의과제변형및적용과정을살펴보고교사교육에서시사점을제공하고자하였다. 이러한연구목적에따라본연구에서고찰한내용은다음과같다. 서론에이어 Ⅱ장에서는조건부확률, 과제변형및적용, MKT에관한문헌을분석하고자한다. 먼저조건부확률의개념, 조건부확률의오개념, 조건부확률오개념을교정하는교수법을살펴봄으로써, 교사의과제변형및적용과정에서제공하고자의도한오개념교정기회를파악하는틀을마련하고자한다. 그다음과제변형및적용에관한문헌을분석함으로써, 최근까지과제변형및적용에논의가어떻게이루어지고있는지살펴보고자한다. 마지막으로 MKT에관한연구를분석함으로써 MKT의정의를살펴보고, 과제변형및적용과관련하여지금까지이루어진논의를살펴보고자한다. Ⅲ장에서는연구방법을논의한다. 본연구에서선택한사례연구의의미와특징을살펴보고연구참여자인예비교사, 현직교사, 학생들의배경에대해알아본다. 또한연구가진행된과정을설명하고, 과제변형및적용과정을분석할틀을살펴본다. Ⅳ장에서는연구문제에따라과제변형및적용과정을분석한다. 예비교사와현직교사가변형한과제를분석하는과정에서는교사가고려한교사의수학교수에대한지식과과제의인지적노력수준등을고려하여교사가변형과정에서의도한오개념교정기회를분석하고자한다. 이를위해예비교사와현직교사가어떠한오개념교정기회를제공하기위해과제를어떻게변형했는지, 실제수업에서어떠한학생의반응을기대하였는지등에초점을두고살펴보고자한다. 그다음으로예비교사와현직교사가변형한과제를실제로적용하는과정을분석할때, 교사가과제변형과정에서의도했던오개념교정기회가어떻게발현되는지, 의도대로잘되거나 2) Krussel, Edwards, Springer(2004) 는담론조치를수학수업에서담론에참여하거나영향을미칠수있는교사의교수학적조치라고하였다

15 그렇지않다면그이유가무엇인지등에관해분석하고자한다. 이를위해교실내상호작용이활발하게일어나는지, 그리고교사는어떠한담론조치를취하는지등을알아보기위해수업담론을분석한다. Ⅴ장에서는본연구의결과를기존연구와관련지어보고도출된결론과시사점을논한다. 그다음본연구의내용을요약하여제시하고연구의제한점과후속연구방향을제안한다

16 2. 연구문제와연구의의의 본연구에서는예비교사와현직교사의조건부확률오개념교정을위한과제변형및적용과정을상세히분석해보고자한다. Crespo(2003) 는과제가학생들에게의미있는수학학습기회를제공하거나제한할수있다고보았고, Son, Kim(2015) 은교사들의교과서과제활용에따라학생들에게어떻게다른종류의학습기회를만들어내는지분석하였다. 이와마찬가지로본연구에서도조건부확률오개념교정을위한과제변형및적용과정을오개념교정기회측면에서분석해보고자한다. 이를위한연구문제를다음과같이기술할수있다. 가. 조건부확률오개념교정을위해예비교사와현직교사가교과서과제 를변형할때, 오개념교정기회측면에서어떠한양상을보이는가? 나. 예비교사와현직교사가자신이변형한과제를실제수업에적용할 때, 과제변형에서의의도가과제적용에서어떻게발현되는가? 본연구에서는예비교사와현직교사의과제변형및적용과정을심층적으로분석하여예비교사와현직교사의전문성이발달하는과정을확인하고자한다. 이를통해과제변형및적용에대한새로운의미를부여할수있고, 교사교육에서과제변형및적용에대한시사점을제공할수있을것으로기대된다. 또한수업에서교사와학생간, 학생과학생간상호작용을관찰함으로써조건부확률오개념교정이어떻게일어나는지관찰할수있다는점에서의의가있다

17 II. 문헌분석 Ⅱ장에서는조건부확률, 과제변형및적용, MKT에관한문헌을분석하고자한다. 먼저조건부확률의개념, 조건부확률의오개념, 조건부확률오개념을교정하는교수법을살펴봄으로써, 교사의과제변형및적용과정에서제공하고자의도한오개념교정기회를파악하는틀을마련하고자한다. 그다음과제변형및적용에관한문헌을분석함으로써, 최근까지과제변형및적용에논의가어떻게이루어지고있는지살펴보고자한다. 마지막으로 MKT에관한연구를분석함으로써 MKT의정의를살펴보고, 과제변형및적용과관련하여지금까지이루어진논의를살펴보고자한다. 1. 조건부확률에관한연구 1.1. 조건부확률의개념 본절에서는조건부확률의정의, 유형, 대칭적요소등조건부확률의핵심적인수학적측면을살펴본다음, 마지막으로조건부확률의개념을올바르게이해한다는것의의미를파악하기위하여조건부확률의개념이해요소를살펴보고자한다 조건부확률의정의 먼저본절에서는학문수학인확률론에서와학교수학에서의조건부확률의수학적정의를살펴보고한다. 조건부확률 (Conditional Probability) 은확률론에서두사건사이의종속관계를설명하는데사용되며, 일반적으로다음과같이정의된다

18 주어진확률공간 에서 이고, 이라하 자. 사건 가일어났다는조건에서 가일어날확률을 에대한 의조건부확률이라하며, 로표시하고, 로정의한다 ( 김해경, 2001: 51). 즉사건 에대한사건 의조건부확률이란, 표본공간이사건 로제한된상태에서사건 이일어날확률을의미한다 3). 그리고조건부확률을일반화하여여러사건이얽혀있는경우의조건부확률을구하는정리가바로 Bayes 정리이며이는다음과같다. <Bayes 정리 > 이서로배반이고, 인사건들로서 이면, 임의의주어진사건 에대한사건 의조건부확률은 ( 이정연, 2005: 8). Bayes 정리는사건 의사전확률 (prior probability) 인 가새로운정보인사건 에의해사후확률 (posterior probability) 인 로수정될수있음을의미한다 ( 이정연, 2005). 즉이정리는사후에발견된새로운증거에의해더정확한확률을얻음으로써보다합리적인의사결정을할수 있음을내포하고있다. 그리고이러한과정은 를통해 를 구하는가역적인사고가요구된다. 고등학교확률과통계교과서에서는조건부확률을다음과같이정의하고있다. 3) 본연구에서는조건부확률에서조건이되는사건 를조건사건 (conditioning event), 조건이부과된사건인 을목적사건 (target event) 으로부르기로한다

19 표본공간 의두사건 에대하여확률이 이아닌사건 가일어 났을때사건 가일어날확률을사건 가일어났을때의사건 의조 건부확률이라하고, 기호로 P 와같이나타낸다. 표본공간 에서사건 가일어났을때의사건 의조건부확률은 P 이다. 이식의우변의분자와분모를각각 로 나누면다음이성립한다. P P P ( 류희찬, 조완영, 이정례, 선우하 식, 이진호, 손홍찬외, 2014: ). 위와같이확률론에서의조건부확률의정의와학교수학에서의조건부확 률의정의는매우유사하며, 둘다조건부확률을표본공간이축소된상태 에서의확률로서정의하고있다 조건부확률의두가지유형 앞절에서조건부확률은표본공간이축소된상태에서의확률을의미한다는것을살펴보았다. 그런데이축소된표본공간은두가지관점에서해석될수있으며, 이를기준으로조건부확률을두가지유형으로나누어볼수있다. 이러한두가지관점을이해하기위해서는다음두가지예를살펴볼필요가있다. ( 문제 1) 한개의주사위를던져소수의눈이나올사건이, 5이상의눈이나올사건이 일때, 조건부확률 P 은? ( 문제 2) 빨간공이 2개, 파란공이 3개가들어있는주머니에서갑과을이순서대로비복원추출한다. 갑이빨간공을꺼낼사건이, 을이파란공을꺼낼사건이 일때, 조건부확률 P 은?( 조차미, 2010: 4) 문제 1 에서는 [ 그림 Ⅱ-1] 와같이표본공간이 이고사 건 가 라고쉽게파악할수있다. 따라서문제 1 에서는

20 에서 로표본공간이축소된것으로볼수있다. 그러나문제 2에서는표본공간과사건을파악하기가쉽지않다. [ 그 림 Ⅱ-2] 를통해표본공간이 에서 로축소 되는것처럼보인다. 그러나 는갑이첫번째파란공을꺼내는사건을표현한다기보다는사건 가일어난후의상황에가깝다. 즉문제 2에서는축소된표본공간의의미가조건문에의해변화된상황을표현하므로, 표본공간과사건 를표현하는것이쉽지않다. [ 그림 Ⅱ-1] 문제 1 의축소된표본공간 ( 조차미, 2010: 7) [ 그림 Ⅱ-2] 문제 2 의축소된 표본공간 ( 조차미, 2010: 7) 조차미 (2010) 는이러한이중적인표본공간의관점을설명하기위하여조 건부확률의정의를다음과같이두부분으로나누어생각해보도록하였다. 1 P 일때, 사건 가발생했다는조건하에사건 가일어날 조건부확률은 2 P 2010: 4). P P 이다 ( 조차미, 위의문제 1 에서는조건부확률의정의 1, 2 모두쉽게적용될수있지 만, 문제 2 에서는조건부확률의정의중 1 로는자연스럽게해석이가능하

21 지만 2 로적용할경우매끄럽게해석하기가쉽지않다 ( 조차미, 2010). 왜 냐하면문제 1 에서는 1 로해석하면주사위를한번던졌을때소수인숫 자 2, 3, 5 중에서 5 이상인수는 5 하나뿐이므로확률은 이라고구할 수도있고, 2 로해석하여축소된표본공간 에서 이므로 P 임을쉽게구할수도있다. 그러나문제 2 에서는상황이다르다. 1 로해석할경우사건 가발생했다면갑이주머 니속에서빨간공을꺼냈으므로주머니속에는파란공 3 개와빨간공 1 개가남아있으므로, 을이파란공을꺼낼확률은 이된다. 그러나문 제 2 를 2 로해석할경우 [ 그림 Ⅱ-2] 에서와같이축소된표본공간의의미 가조건문에의해변화된상황으로해석하는것이자연스러우므로, P P P 를이용하여구하기가어렵다. 조차미 (2010) 는문제 1 과같은조건부확률을 상대적조건부확률 (relative-conditional probability), 문제 2 와같은조건부확률을 조건문조건부확률 (if-conditional probability) 이라고정의하였다. 마치서로다른조건부확률이두가지있는것처럼보이지만, 사실이들은 표면적인해석의차이일뿐, 실제로조건문조건부확률도 2 로해석이가 능하며두조건부확률의수학적구조는일치한다 ( 조차미, 2010). 앞서문 제 1 에서볼수있듯이상대적조건부확률을구하는상황에서는한번의 시행이이루어지지만, 문제 2 와같은조건문조건부확률을구하는상황에 서는두번의시행이이루어지고있다. 따라서문제 2 의표본공간은 1 차원 표본공간이아닌 2 차원표본공간으로보아야한다. 즉문제 2 의표본공간 은 이아니라 로해석해야하며 이된다. 그리고축소된표본공간인사 건 는첫번째성분이 이나 인결과들만모은 의부분집합이므로 로보아야하며,

22 이된다. 따라서 P 이된다. 즉조건문조건부 확률도 2 로해석이가능하지만, 이때 1 차원표본공간으로해석하는경우 에는어려움이있으며, 2 차원표본공간으로해석해야만축소된표본공간을 자연스럽게받아들일수있다 확률수정의대칭성 조건부확률 P 에서두사건 와 는표본공간의두부분집합이므로언제든서로의역할을바꿀수있으며, 심지어서로같은영향을준다. Borovcnik(1986) 는확률적판단이새로운정보에의해수정되어야하며, 이러한확률수정은조건부확률과 Bayes 정리와관련성이높다고보았다. 앞서살펴본바와같이 Bayes 정리는사전확률 P 가새로운정보인사건 에의해사후확률인 P 로수정될수있다는의미를내포하고있다. 그런데사건 가사건 가일어날사후확률에영향을미치듯이, 사건 도사건 가일어날사후확률에영향을미칠수있다. Borovcnik(1986) 는조건부확률에서다음과같은대칭률 (Symmetry) 이성립함을근거로이를설명하였다. P, P 인두사건 에대하여, (1) P P P P (2) P P P P (3) P P P P (Borovcnik, 1986: 301) 위의대칭률은조건사건과목적사건이서로의역할을대신할수있음을의미한다. 만약사전확률 P 가새로운정보인사건 에의해사후확률인 P 가 P 보다증가하면, 사전확률 P 가새로운정보인사건 에의해사후확률인 P 가 P 보다증가하게된다. 즉사건 가사건 에게영향을주는것처럼, 사건 가사건 에게도동일한영향

23 을줄수있음을의미한다. 따라서조건부확률에서조건사건과목적사건의역할이서로바뀔수있다. Borovcnik(1986) 는형식적인기호의계산만을학습한학생들은조건부확률의오개념이발생하기쉽다고주장하면서, 이러한확률수정의대칭성을이해함으로써조건부확률오개념을교정할수있고확률적사고에도움을줄수있다고강조하였다. 이러한확률수정의대칭성은비복원추출에서다음과같이조건문조건부확률에서더욱명확히드러난다. 앞의절에서조건문조건부확률의예시를다시한번살펴보자. ( 문제 2) 빨간공이 2 개, 파란공이 3 개가들어있는주머니에서갑과을 이순서대로비복원추출한다. 갑이빨간공을꺼낼사건이, 을이파 란공을꺼낼사건이 일때, 조건부확률 P 은?( 조차미, 2010: 4) [ 그림 Ⅱ-3] 추출순서에따른대칭성 앞절에서살펴보았듯이문제 2 의상황에서의표본공간은 이다. 그런데새로운집합 로정의하여도명백히 가성립한다. 즉추출

24 순서를바꾸어도표본공간은변하지않는다. 실제로 [ 그림 Ⅱ-3] 을살펴보면, 비복원추출상황에서표본공간에서의근원사건들은추출순서에상관없이대칭이다 ( 조차미, 2010). 즉추출순서에대하여표본공간이대칭적이므로추출순서에따라확률이영향을받지않는다. 이와같은추출순서에따른대칭성때문에조건사건과목적사건은서로의역할을대신할수있으며, 서로동일한영향을줄수있다는 Borovcnik(1986) 의확률수정의대칭성의의미가더욱잘드러난다. 특히만약사건 가갑이빨간공을뽑는사건, 사건 가을이빨간공을뽑는사건이라면, P P 이므로 P P 가명백히성립한다. 즉같은종류의공을뽑는두사건에대하여추출순서에관계없이항상 P P 이므로 P P 가성립한다. 이러한사례에서는조건사건과목적사건이서로의역할을대신할수있음이더욱명확히드러난다 조건부확률의개념이해요소 현실에서일어나는확률의경우대부분이여러가지사건들이얽혀있는경우가많기때문에조건부확률은현실에서매우중요한의미를갖지만, 우리나라교육과정에서조건부확률은계산의도구로서만사용되는경우가많아서조건부확률의개념을제대로이해하기어렵다 ( 이정연, 2005). 그렇다면조건부확률의개념을어떻게이해해야그개념을제대로이해하고있다고할수있을까? 선행연구에따르면조건부확률개념이해의요소는다음과같다. 첫째, 조건부확률의개념이해를위해서는비복원추출상황과같이주어진조건사건으로표본공간이제한됨을이해해야한다 ( 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 조건부확률 P 는사건 가일어나는상황을가정하는경우의사건 의확률을의미하므로, 사건 는하

25 나의표본공간이된다. 이러한관점에서 P 와같이상대 적인확률로서정의되며, 표본공간이 에서사건 로축소되었을때의확 률을의미한다. 둘째, 조건부확률을이해할때에는 P 와같이 대 상 으로서의확률로이해하는것뿐만아니라, 사전확률 P 가 라는 새로운정보가주어짐으로써사후확률 P 로변화한다는 과정 으 로도이해할필요가있다 ( 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 이처럼 확률수정의관점에서의조건부확률의의미는 Bayes 정리에내포되어있으 며, Borovcnik(1986) 가설명한것처럼확률수정은대칭성을갖는다. 이정 연 (2005) 은조건부확률의개념을제대로이해하기위해서는하나의사건이 조건으로주어짐으로써다른사건이일어날확률이변화한다는과정으로서 도조건부확률을이해할필요가있다고주장하였다. 셋째, 조건부확률을이해하기위해서는조건사건과목적사건을파악하고 구분할수있어야한다 ( 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 조건부확률 은조건사건과목적사건에따라확률이달라질수있기때문에조건사건과 목적사건을제대로파악하지못할경우전혀다른확률로잘못파악할수 있다. 특히조건사건을제대로파악하지못하는경우는학생들에게흔히 나타나며, 이로인해조건부확률개념이해에큰어려움을겪기도한다 (Falk, 1989; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 따라서조건사건과 목적사건을정확하게판단해야조건부확률을제대로이해할수있다. 넷째, 조건부확률과 Bayes 정리에내포된가추적사고를이해해야한다 ( 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 가추란결과와규칙으로부터사례 를짐작하는추론을말한다 ( 김선희, 이종희, 2002). 이정연 (2005) 은 Bayes 정리가 P 와사전확률 P 를이용해서사후확률 P 를추정 하는것이므로, 원인에서결과로의모델을역으로사용해서결과에서원인 을추론하는가역적사고가요구된다고하였다

26 지금까지의논의를살펴보면조건사건이공통적으로강조되고있다. 앞의논의에따르면조건사건은축소된표본공간, 사후확률에영향을주는새로운정보등을의미하며, 가추적사고를위해서는조건사건과목적사건을바꿀수있는가역적사고가필요하다. 조건부확률은조건사건이있어야정의되는확률이므로, 조건사건이가장조건부확률개념을이해하는데있어서핵심적일수밖에없다. 따라서조건부확률개념의이해를위해서는조건사건에대한명확한이해가반드시전제되어야한다. 반대로조건사건에대한이해가뒷받침되지못한다면조건부확률개념이해에어려움을겪을수밖에없다 조건부확률의오개념 조건부확률의오개념의유형 확률은주관적인신념과객관적인지식이혼합되어있기때문에이전부터학생들이확률개념을이해하는데많은어려움을겪어왔다 ( 이경화, 1996). 이는조건부확률에서도마찬가지이다. 기존연구에서따르면수많은학생들이조건부확률을학습할때다양한오개념을갖기쉽고, 이로인해조건부확률의올바른개념이해에어려움을겪는다 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones & Thornton, 2005; Shaughnessy, 1992; 나귀수외, 2009; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 본절에서는조건부확률오개념을분석한 Falk(1989) 의논의에따라세가지오개념을살펴보고자한다. 첫째, 학생들은조건사건을제대로파악하지못하거나조건사건과목적사건을구분하지못할수있다. 다음문제를통해이오개념의의미를알수있다. 모자안에세장의카드가있다. 한카드는양면이모두파란색인카드이

27 고, 한카드는양면이모두녹색인카드이며, 나머지한카드는한면은파란색이고다른한면은녹색인카드이다. 눈을감고모자안에서카드를한장꺼내어테이블위에놓는다고하자. 테이블위에놓인카드가파란색이었다. 이카드의뒷면도파란색일확률은얼마인가? (Falk, 1989: 179) 조건사건을녹색카드가제외되는사건으로판단할경우, 2장의카드가남 기때문에확률을 로잘못구할수있다. 그러나위의예시에서카드를선택하는시행이아니라카드의각면에대하여시행이이루어지고있으므로, 조건사건은녹색카드가제외되는사건이아니라녹색인면을제외하고 나머지파란색인면만남는사건을의미하게되므로확률은 이된다. 이처럼 Falk(1989) 는조건사건이표면적으로잘드러나지않는경우조건사건을제대로판단하지못하는오개념이발생할수있다고보았다. 둘째, 시간축오류 (fallacy of the time axis) 로주로불리는오개념으로, 학생들은조건사건이목적사건보다시간적으로나중에일어나는경우이를조건사건으로파악하는데어려움을겪는오개념을말한다. 이러한오개념을갖는이유는시간의흐름상먼저일어난사건이나중에일어난사건에영향을줄수있지만, 나중에일어난사건이먼저일어난사건에영향을줄수는없다는시간축에따른추론방식과확률적추론을구분하지못하기때문이다 (Borovcnik, 1986). 즉확률적인추론을시간축에따른추론과관련지어생각함으로써, 조건사건과목적사건의관계가시간관계에종속된다고판단하기때문이다. 이러한오개념은학생들에게쉽게나타나는대표적인조건부확률의오개념으로많은선행연구에서보고되어왔다 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones & Thornton, 2005; Shaughnessy, 1992; 나귀수외, 2009; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 이는조건부확률을처음배우는학생들에게만나타나는현상이아니며 (Fischbein & Schnarch, 1997), 심지어중등수학교사들이이러한오개념

28 을보이는경우도있었다 ( 김혜윤, 2014). 다음문제를살펴보면이오개념 의의미를쉽게알수있다. 항아리에흰공두개와검은공두개가있다고하자. 공을다시집어넣지않고공을하나씩두번꺼낸다. 두번째공이흰색공이었다고할때, 첫번째공도흰색공이었을확률은얼마인가? (Shaughnessy, 1992: 473) 시간축오류를보이는학생들은두번째공이흰색공인사건은첫번째공이흰색공인사건보다시간의흐름상나중에일어난사건이므로이를조건사건으로받아들이는데어려움을겪는다. 따라서이러한학생들은시간의흐름상나중에일어난사건을조건사건으로받아들이기를거부하거나이 를무시함으로써확률을 이아니라 로구할수도있다. 조차미 (2010) 는조건문조건부확률의대표적인상황인비복원추출에서시간축오류가발생할수있다고하였으며, 현학교수학에서는위의문제를해결하기위해 Bayes정리를이용하여다음과같이시간적인순서로식을재구성하여풀도록요구하기때문에시간축오류가발생할수있다고주장하였다. P P P P P P P P P 이풀이에서조건부확률은나중에일어난사건이조건사건이고먼저일어난사건이목적사건이되었을때직접적인추론이불가능하므로, 먼저일어난사건을조건사건으로뒤집어주어야만조건부확률이성립하는것처럼여겨질수있다 ( 조차미, 2010). 이로인해나중에일어난사건이조건사건일때, 먼저일어난목적사건에영향을준다고판단하는데어려움을겪을수있다. 따라서일반적인조건문조건부확률에서의풀이와조건문에의해변화된상황에서조건부확률을구하는데어려움을겪을수있다

29 셋째, 학생들은조건사건과목적사건의관계와인과관계를혼동하기도한다. 즉조건사건을목적사건에영향을미칠수있는정보라고이해하지못한학생들이조건사건이반드시목적사건의원인이되어야한다고보는경우가있다. 이오개념도시간축오류와함께대표적인조건부확률오개념으로보고되어왔다 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Jones & Thornton, 2005; Shaughnessy, 1992; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 앞서살펴본바와같이조건부확률의개념적이해에서조건사건에대한개념적이해가핵심이다. 그러나조건사건과목적사건은시간관계또는인과관계와무관함에도불구하고이들의관계가시간관계또는인과관계에종속된다고판단함으로써, 조건사건에대하여올바르게개념이해하는데방해가될수있다. 이뿐만아니라조건부확률과 Bayes 정리에내포된가추적사고를위해서는가역적사고를할수있어야하는데, 시간관계나인과관계에종속된다고생각할경우가역적사고에방해가될수있다 (Batanero & Sanchez, 2005). 따라서조건부확률에대한올바른개념이해를위해이와같은오개념은반드시교정될필요가있다 조건부확률의오개념교정을위한교수법 앞서살펴본바와같이조건부확률오개념은그종류가다양하고매우흔하게나타나는현상이며, 이러한오개념은학생들이조건부확률의개념을올바르게이해하는데어려움을준다. 사실이러한오개념이나이가들면서자연스럽게교정된다면, 이를교정하기위한교수법을고려할필요가없을것이다. 그러나선행연구에따르면시간이지나면서조건부확률오개념이자연스럽게교정되는것이아니므로, 오개념교정을위해서는교수학적처방이반드시필요하다 (Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein & Schnarch, 1997; Tarr & Lannin, 2005). 그렇다고해서조건부확률을가르치는모든수업이조건부확률오개념교정에도움이되는것은아니다. Diaz,

30 Batanero(2009) 는조건부확률의알고리즘측면이나그정의를강조하는수 업을통해서는오개념이교정되기힘들다고주장하였고, Castro(1998) 는조 건부확률오개념교정을위해서는계산을강조하는수업이나전통적인가설 연역적방식에의한수업을지양해야한다고주장하였다. 따라서조건부확 률오개념을교정하기위해서는그에맞는특별한교수법이필요하다. 조건부확률오개념은분명조건부확률의올바른개념이해에어려움을주 지만, 이러한오개념을부정적으로만볼것이아니고오히려오개념을고려 하여수업하는것이조건부확률개념이해에도움이될수도있다. 이경화 (1994) 는확률의오개념이확률적사고자체의본성에서나오는필연적인 것이므로이를확률교육의장애물로볼것이아니라확률교육에서반드시 고려되어야한다고주장하였다. Diaz, Batanero(2009) 도조건부확률의올바 른개념이해를위해오히려이러한오개념을고려한수업이필요하다고주 장하였다. 즉조건부확률오개념을보이는것이잘못된것이아니라이는 확률적사고를하면서자연스럽게겪게되는현상이며, 오히려오개념을고 려한수업을통해조건부확률에관하여더깊은이해가가능할수있다. Borovcnik(1986) 는조건부확률오개념이수학과관련없는 1 차직관에의존 하기때문에발생하며, 수학적정당화를통해이러한조건부확률오개념에 관하여깊게고민해봄으로써 2 차직관이형성될수있고조건부확률에관하 여더심도있는이해가가능하다고보았다. 이동환, 이경화 (2010) 는영재 아들에게수업에서모호성 4) 을강조하여인지적갈등을일부러일으키도록 하였을때, 이들이모호성에어떻게반응하고이를해소하기위해어떻게 대처하는지살펴보았다. 연구결과모호성은영재아들의호기심을자극하여 활발한수학적논쟁을불러일으켰으며, 이과정에서학생들이수학적추측, 명제, 증명등과같은다양한수학적활동의주체가될수있었다. 따라서 조건부확률오개념을보이지않는학생들도이러한오개념에관해고민해볼 수있는인지적갈등상황을제공하여더높은수준의이해로나아갈수있 4) Byers(2007) 는서로대립하지만각각이일관된합리성을지닌둘이상의관점으로하나의상황이나아이디어를인식할때모호성이발생하며, 새로운수학적아이디어를생성하는환경이라고하였다 ( 이동환, 이경화, 2010, 81 에서재인용 )

31 도록도와야한다. 예를들면, 시간축오류를보이지않는학생들의경우에도수업에서시간축오류를고려한상황을제공함으로써학생들이조건사건과목적사건의관계에대하여반성해보는기회를제공할수있고, 이를통해조건부확률에대하여좀더포괄적으로개념을이해할수있다. 그렇다면조건부확률오개념교정을위해서는어떻게가르쳐야할까? 선행연구들에서밝히고있는조건부확률오개념교정을위한교수법에관하여살펴보면다음과같다. 첫째, 다수의연구들에서조건사건과목적사건의관계가시간관계나인과관계에종속되는것이아니라조건부확률은보다포괄적인개념임을이해할수있도록가르쳐야한다고주장하였다 (Borovcnik, 2012; Kiczek & Maher, 2001; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009). 이정연, 우정호 (2009) 와 Borovcnik(2012) 는조건부확률의오개념을교정하기위해서는조건부확률이시간이나인과관계와관련이없음을보여주는교수법이필요하다고지적하였다. 즉조건부확률이시간관계나인과관계에구애받지않는보다넓은개념임을인식할수있도록해야한다. 마찬가지로이정연 (2005) 과 Kiczek, Maher(2001) 는조건사건이항상먼저일어나는과제만다룬다면조건부확률오개념이고착될수있으므로, 개념을반성할수있는다른상황에직면하게해야한다고주장하였다. 둘째, 다수의연구들에서학생들이적극적으로참여할수있는구체적인활동을제공해야해야한다고주장하였다 (Castro, 1998; Diaz & Batanero, 2009; Fischbein & Gazit, 1984). Fischbein, Gazit(1984) 는학생들에게불확실한상황에서의결과를예측하게하고, 실험하게하고, 결과를분석하고, 처음추측과비교하면서새로운추측을만들어나가도록함으로써오개념을교정할수있다고주장하였다. Diaz, Batanero(2009) 는조건부확률오개념교정을위해공학도구등을활용하여학생들이직접실험해보는과정이필요하다고주장하였다. Castro(1998) 는오개념교정을위해서는전통적인가설연역적방식에의한수업이아니라학생의반성적사고를이끌어내는개념변화관점에서의지도가필요함을강조하였다. 이러한방식에서는

32 먼저학생이시행의결과를추측해보고, 무작위실험을통해인지적갈등을일으키고, 실험결과를설명해보면서새로운결과를새로운맥락에적용해보고, 이전의추측을새로운결과에비추어다시조정해본다. 셋째, 다수의연구들에서교사와학생간그리고학생들간의상호작용을통해조건부확률오개념을이끌어내고서로협력하여이를교정해나갈수있도록가르쳐야한다고주장하였다 (Jones 외, 1999; Kiczek & Maher, 2001; Koirala, 2003). 오개념교정을위해서는먼저자신의생각을자유롭게표출해낼수있어야한다. 학생들이자신의생각을자유롭게표현하기위해서는옳고그름을판단하는권위적인분위기가아니라, 모두가동등한상황에서서로의의견을존중하는분위기가필요하다 (Cobb, Wood, & Yackel, 1993; Mason, 2000). Jones 외 (1999) 는조건부확률오개념교정을위해사회적구성주의의관점에따라지도해야한다고주장하였다. Kiczek, Maher(2001) 도학생들은서로의생각에관하여토론하고협력하면서오개념을교정해나갈수있다고보았으며, Koirala(2003) 도학생들의확률오개념을교정하기위해협동할수있는기회를제공해야한다고주장하였다. 넷째, 다수의연구들에서표본공간을정확하게구성하거나확인해보는활동도오개념을교정하는하나의방법이될수있다고주장하였다 ( 박찬민, 2014; 조차미, 2010). 확률은주관적인신념과관련이많기때문에학생들이애매하게인식하는경우가많고오개념도자주발생하지만, 표본공간을구성해본다면보다수학적으로정확하게확률을판단하는데도움을줄수있다. 박찬민 (2014) 은표본공간을구성하는활동을통해정확하게표본공간을구성하여내재된수학적구조를이해한다면조건부확률오개념이교정될수있다고주장하였다. 조차미 (2010) 도표본공간을확인하여수학적구조를학생들이이해할수있다면, 조건사건과목적사건의관계가시간이나인과관계에구애받는것이아님을이해할수있다고보았다. 특히조차미 (2010) 는같은것을추출하는사건들은서로추출순서에따라구별되지않고대칭적임을표본공간을시각화하여보여줌으로써, 시간축오류와같은오개념을교정할수있다고보았다. 이정연, 우정호 (2009) 는조건사건에의해

33 변화되는표본공간을구성할수있는방법으로이원표, 수형도, 면적모델등을제안하였다. 다섯째, 다수의연구들에서시간축오류를교정하는방법으로조건부확률에서의대칭성을활용할것을제언하였다 (Borovcnik, 1986; 이정연, 2005; 조차미, 2010) Borovcnik(1986) 의확률수정의관점에서조건부확률은조건사건과목적사건이서로의역할을대신할수있기때문에, 확률수정의대칭성이성립한다는것은인과적추론이나시간축에따른추론과충돌을일으킬수있다 ( 이정연, 2005). 형식적인증명으로도가능하지만직관적으로도사건 가먼저일어나는사건이고사건 가나중에일어나는사건일때, P 가 P 보다감소되었다면, 확률수정의대칭성의관점에서 P 도 P 보다감소되어야한다. 즉먼저일어나는사건이나중에일어나는사건에확률적영향을준다면, 확률수정의대칭성에의해반대로나중에일어나는사건도먼저일어나는사건에동일한확률적영향을준다. 이러한확률수정의대칭성을인식함으로써, 시간축에따른추론과확률적추론사이의차이를깨닫게하는데도움을줄수있다. 조차미 (2010) 는조건문조건부확률의대표적인상황인비복원추출에서같은것을추출하는사건들은서로추출순서에따라구별되지않고대칭적이므로, 이러한대칭성을활용한다면추출순서가확률에무관함을인식하는데도움을줄수있다고보았다. 지금까지살펴본선행연구들을바탕으로조건부확률오개념교정을위한교수법을다음과같이정리해볼수있다. 첫째, 오개념교정을위해서는추측의기회를제공할필요가있다. 추측해보는과정을제공한다고해서직접적으로오개념교정이일어나는것은아니지만, 추측을통해과제에몰입할수있고자신의추측과배치되는갈등상황이제공될수있다. 이경화 (1994) 는학생들의확률적사고를발달시키기위해서는여러갈등을느낄수있어야한다고보았다. 따라서아직정답을모르는상태에서자유롭게학생들이먼저추측해보고자신의생각을드러낸다음학생들에게갈등을일으킬수있는상황을제시하여, 오개념을

34 갖고있지않았던학생들도이에관하여고민해볼수있도록유도하는상황을제시하는것도오개념교정을위한한가지교수법이될수있다. 둘째, 직접학생들이실험해봄으로써경험적정당화의기회를제공받을수있다. 공학적도구나교구를활용하여실험을함으로써, 학생이세운가설이나자신의추측에반하는결과를얻어서인지적갈등을일으킬수도있고, 자신의추측을지지하는경험적증거를찾을수도있다. 그러나실험은언제나오차가능성을동반하기때문에실험결과를해석하는과정에서는세심한주의가필요할것이다. 셋째, 활발한교실내상호작용이이루어질수있도록토론의기회를제공할필요가있다. 토론은교사와학생간의토론이될수도있고, 학생과학생간의토론이될수도있을것이다. 학생들이추측한다음자신의생각을자유롭게드러내고갈등상황에서서로협력해가며초기추측을수정해나갈수있다. 이러한토론수업을위해서는무엇보다도권위에의존하지않으며서로옳고그름을함부로판단하지않는분위기가조성되어야한다. 넷째, 자신의사고과정이나친구들의사고과정에대한반성의기회를제공함으로써자신의오개념을깨달을수있도록도울수있다. 학생자신이나친구들의초기추측에반하는갈등상황이주어진다면초기추측을돌이켜보면서자신의오개념을깨닫고조건부확률에대한오개념을교정해나갈수있다. 따라서학생자신이나친구들의사고과정을반성해보는과정은오개념교정에필수적이라고볼수있다. 다섯째, 학생들이표본공간을직접구성해보는과정을통해서도교정을기대해볼수있다. 조건부확률은표본공간이축소되어야하므로표본공간은다양한표상으로구성해봄으로써단순히자신의직관에의존하지않고수학적으로접근할수있다. 이를통해조건사건과목적사건의관계를현실적인맥락에의존하지않고형식적으로인식하여시간관계나인과관계와무관함을깨닫는데도움을줄수있다. 위의논의를종합해보면선행연구에서는조건부확률오개념교정을위한교수의역할을강조하면서, 추측, 실험, 토론, 반성, 구성의과정을통해

35 학생이자신의사고를드러내고친구와생각을공유하면서수정해나가는협력적인활동이필요함을강조한다. 그러한다섯가지의방법은한가지만활용될수도있지만서로완전히분리된독립적인방법이아니기때문에중복해서활용될수도있을것이다

36 2. 과제변형및적용에관한연구 2.1. 교사교육에서과제변형 과제는수학교수학습에서매우중요한의미를갖는다. Sullivan 외 (2009) 는과제가교수에서중요한역할을차지하고있으며, 학습의본성은과제의유형과그과제가활용되는방식에의해서결정된다고보았다. 교사는수업을준비하거나실행할때항상수학과제와함께하므로, 수학교사가학생들에게무엇을어떻게가르칠지의중심이되는것은수학과제이다 (Jones & Pepin, 2016; 김정은외, 2015). 수학수업에서학생들이하는활동도대부분수학과제에집중되어있으며, 과제에따라학생에게요구되는사고수준과방식이달라진다 (Boston & Smith, 2011). 학생들은수학을직접적으로받아들이는것이아니라, 과제와같은수단을통해수학을경험하게된다 (Vaugelade 외, 2012). 특히수업에서교사가제시하는과제는학생들에게의미있는수학학습을위한기회를제공하거나제한할수있기때문에수학교수학습에서그중요성이크다고볼수있다 (Crespo, 2003; Son & Kim, 2015). 과제가수학교수학습에서중요한의미를갖기때문에, 학습내용, 학생의특성등에따라필요한과제를선정, 변형, 적용하는교사의능력이강조되고있다. Zaslavsky(1995) 는교과서과제를열린과제로변형시키는교사의능력을교사전문성의하나로보았다. 최승현, 황혜지 (2008) 는교사가교육과정문서의내용을이해하고단순히전달하는차원을넘어서서, 학교및교실환경과학생특성을고려하여교육내용을선정하고조직하여수업을설계하는교사의수업전문성을강조하였다. 김대영, 김구연 (2014) 과김정은외 (2015) 는교사에게교과서에담긴과제의수준을파악하는능력과이러한과제들을학생들의학습상황에맞게선정하고변형하여적용할수있는능력이필요하다고강조하였다. Son, Kim(2015) 은교사가어떤교과서과제를선정하고어떻게활용하느냐에따라학생들에게다른종류의학습

37 기회가제공되므로, 과제를다루는교사의능력이중요하다고주장하였다. Jones, Pepin(2016) 은수학과제설계능력을포함하는수학교수설계능력을교사의전문성으로보았다. 이처럼과제를다루는교사의능력이교사의중요한전문성으로여겨지기때문에, 교사의전문성신장을위한교사교육에서과제를활용한교사교육을강조하는것은자연스러운일이다. 실제로과제를활용한교사교육의효과를강조하는다음과같은선행연구들이존재한다. Prestage, Perks(2007) 는과제를개발하는도구를활용하면수학과교육과정에대한교사지식을발달시킬수있어서교사교육을위한교육과정이될수있다고주장하였다. Stein 외 (2000) 는교실에서수학과제와그활용에관한정확성에관해생각하는능력을획득함으로써, 교사들은수학과제를선정, 변형, 실행하는더발전된기술을습득할수있음을보였다. Arbaugh, Brown(2005), Boston(2006), Boston, Smith(2011) 는전문성신장을위한과제중심접근프로그램을통해높은수준의과제들을설계하고실행하는능력의향상될수있음을보였다. Zaslavsky(2007) 는교사들이과제설계및적용에참여함으로써, 교사의수학지식, 실천과관련된다양한측면에대한지각력과직관등이향상되었음을보였다. Vaugelade 외 (2012) 는교사교육에서과제에집중함으로써교사들에게과제의풍부한가능성을경험하게할수있고, 이를통해학생들에게수학적으로풍부한학습경험을발달시킬수있도록자극하는데도움을줄수있다고주장하였다. Jones, Pepin(2016) 은과제를활용하는교사교육에서과제와교사는서로에게영향을미친다고보고, 교사는과제를변형하고평가하면서교사의수학적지식과수학교수설계능력을향상시킬수있다고주장하였다. 교사교육에서과제를다루는활동중에서도특히과제변형을통한교사교육이강조되고있다. 과제를다루는다른교사교육방식과달리과제변형은기존의과제를활용한다는점에서구별된다. 과제변형은기존의과제로부터출발하기때문에과제를새로설계하는활동에비해요구되는경험이나지식이적다는점에서특히예비교사교육에서더욱효과적일수있

38 다 (Lee 외, 2013). 과제변형에서활용할수있는기존의과제는다양한자료들이가능하지만그중에서도교과서과제가가장대표적일것이다. 교과서는교사의수업준비, 수업실행, 수업평가에있어서가장핵심적인교육과정자원이다 (Pepin, 2015). 따라서교과서과제를변형시키는활동의경우교육과정의의도와핵심을이해하고교수학습에서과제의역할을이해하는데도움이될수있다 (Son & Kim, 2015). 교사교육에서과제변형이강조되는가장큰이유는교사의전문성과관련되어있기때문이다. Watson(2008) 은교사가과제를변형하는것은교사의의무이자교사의전문성이라고하였다. Thompson(2012) 도교과서과제가학생들에게의사소통이나추론할수있는기회를충분히제공하지못하고있다면, 교사가이를적절히변형하여그러한기회를제공할수있어야한다고주장하였다. Jones, Pepin(2016) 은교사가과제를변형시켜봄으로써, 그들의수학지식과수학교수설계능력을향상시킬수있다고주장하였다. 이처럼과제변형능력이교사전문성으로고려되는만큼과제변형활동을통한교사교육또한강조되고있다. 실제로지금까지이루어진과제변형에관한연구는다음과같다. Zaslavsky(1995) 는교사들에게교과서과제를열린과제로변형시켜보도록한전문성신장프로그램을통해교사들의전문성을기를수있는강력한학습경험이제공될수있음을보였다. 이전문성신장프로그램에서는교사에게친숙한수학적주제에대한일반적인과제를다양한정답이가능한개방형과제로변형하고, 과제변형이끝나면변형된과제에관하여반성하도록하였다. 이를통해교사들은수학교사와열린과제에대한새로운개념을정립하게되었고전문가로서의자신감을얻는모습을확인할수있었다. Prestage, Perks(2007) 는과제변형도구를활용하여예비교사들에게교과서에서흔히볼수있는닫힌형태의과제와이를변형한과제를분석해보고직접과제를변형해봄으로써, 교육과정이어떻게서로연관되어있는지에대한지식이향상됨을확인할수있었다. 또한수업상황에서교사가

39 필요한순간에적절하게과제를변형하여학생들에게학습기회를제공하는교사의능력이필요함을강조하였다. Watson(2008) 은과제를변형하는일은반드시교사가해야할의무이며과제를선정하고변형하는능력은교사의전문성이므로, 과제를설계하고변형하는교사교육이반드시필요하다고강조하였다. Thompson(2012) 은기존의교과서과제에서추론과의사소통의기회를제공할수있도록변형하는것을시도했으며, 이와같이과제를변형하기위한전략을안내하였다. 또한교과서과제에서의사소통이나추론기회를제공하지못하는경우, 교사가이러한과제를변형할필요가있다고주장하였다. Lee 외 (2013) 는예비교사들이교과서의수학적과제를변형할때보이는패턴을확인하였으며, 변형과정에서예비교사들이고려한 MKT를통해예비교사의과제변형에영향을미치는요소들을분석하였다. 이연구에따르면, 예비교사들은과제의맥락, 조건, 질문중 2가지이상을고려하는변형하는경우가많았는데, 그중에서도난이도와오개념을고려하여조건을변형하는경우가가장많았다. 그러나맥락, 조건, 질문을모두고려하는경우는거의없었으며, 이연구에서는예비교사가아직균형잡힌 MKT 을갖지못했기때문인것으로보인다고분석하였다. 이혜림, 김구연 (2013) 은예비중등교사가주어진과제를인지적노력수준이높은과제로어떻게변형하는지를연구하였다. 연구결과에따르면, 낮은수준의과제를높은수준의과제로변형하는데많은예비교사들이어려움을겪는다는사실을발견하였다. 또한교원양성기관등에서과제변형에대한예비교사교육이부족함을지적하였다. 김대영, 김구연 (2014) 은현직중등교사가주어진과제를인지적노력수준이높은과제로어떻게변형하는지를연구하였다. 연구결과에따르면, 낮은수준의과제를높은수준의과제로변형하는데많은현직교사들이어려움을겪는다는사실을발견하였다. 또한현직교사의 82% 가과제변형경험이있음에도불구하고, 과제변형에대한현직교사교육이부족함을

40 지적하였다. 김정은외 (2015) 는현직중등교사가주어진과제를인지적노력수준이높은과제로어떻게변형하는지를연구하였다. 연구결과에따르면, 교사들은과제를변형하는과정에서문제상황의일반화, 조건또는맥락의변화등다양한방식을이용하였으며, 실생활관련과제나응용과제로변형하는데어려움을겪는다는사실을발견하였다. 김하림, 이경화 (2016) 는예비중등교사가교과서의미분계수과제체계 (system of tasks) 를세차례에걸쳐서변형해보면서, 예비교사가어떻게과제체계를변형하였으며, 변형과정에서예비교사들에게어떠한학습기회가제공되었는지에관하여분석하였다. 연구결과에따르면, 예비교사들은대체로인지적노력수준을높이는방향으로교과서과제들을변형하였다. 또한과제변형활동을통해예비교사들은교육과정에제시된수학내용을학습할수있었고, 학생의수준이나오개념을어떻게고려해야하는지, 그리고이를고려하여어떻게지도해야하는지등에관하여학습할수있었다. 위의논의를종합해보면과제변형활동은실제교육현장에서많이이루어지고있으며과제변형능력은교사전문성에서매우중요한부분을차지하고있으므로, 예비교사교육과현직교사교육모두에서과제변형활동을통한교사교육이필요함을알수있다 교사교육에서과제적용 과제를설계하는활동은그자체만으로도교사에게전문성신장의기회를제공할수있지만, 사고실험만을거치는경우실제적용가능성에대한한계가있다. 왜냐하면과제설계과정에서의교사의의도대로항상수업이일어난다고볼수없기때문이다. Stein 외 (1996) 는 [ 그림 Ⅱ-4] 와같은수학과제설계와실행분석틀을제시하였는데, 이는교육과정자료에서의수학과제가교사에의해서학생들에게제시된수학과제, 수업에서실행된

41 수학과제라는단계들을거쳐서학생들의학습이이루어지는단계까지진행 하는전체과정을포함하고있다. [ 그림 Ⅱ-4] 수학과제설계와실행분석틀 (Stein 외, 1996: 459) [ 그림 Ⅱ-4] 에서특히주목할점은교사가설정한수학과제를실제실행할때에는수업분위기, 과제의속성, 교사의교수습관및성향, 학생의학습습관및성향등많은요인들이영향을미칠수있다는점이다. 따라서선행연구에서도과제설계활동을통한교사교육을위해서는과제설계에서그치지말고설계한과제를적용해보는활동이필요함을강조한다. Even 외 (1993) 는교사의수업계획, 수업실행, 반성과정이일관성있게연결되는것은수학교수학습에있어서매우중요한요소이므로, 이러한연결성은교사의전문성과직결된다고주장하였다. Crespo(2003) 는예비교사가과제를설계하는방식은실제학생과의상호작용에크게영향을받기때문에, 예비교사가설계한과제를직접적용해보는활동이필요하다고강조하였다. Thanheiser 외 (2015) 는과제설계가계획, 실행, 반성, 재설계의 4단계과정으로이루어져있다고보고, 재설계에대한정보를제공하기위

42 해과제실행에대한반성의중요성을강조하였다. 실제로과제설계와적용사이의연결성을조사한선행연구는다음과같다. Even 외 (1993) 는초보교사와전문가교사사이의수업계획, 실행, 반성과정의연결성의차이를조사하였고, Henning, McKeny, Balong(2012) 은과제를포함한교수설계와수업담론사이의관계를조사하였으며, Son, Kim(2015) 은교사들의교과서활용에따른학습기회를살펴보기위하여, 교사들의교과서과제선정, 변형, 실행과정을조사하였다. 마찬가지로과제변형에서도그과제를적용해보는활동은매우중요하다. 김하림, 이경화 (2016) 는변형한과제를실제수업에적용해보는과정을통해학생과관련된요소들을더고려할수있는기회를제공할수있으며, 이러한관찰을통해과제를변형할때반영된교사의의도가실제수업에서어떻게구현되는지를살펴볼수있다고주장하였다. 김정은외 (2015) 도교사가과제를변형하는활동에서그치는것이아니라, 변형한과제를직접수업에활용하여기대한수준이유발되었는지확인하는과정은연구자와교사모두에게도움이된다고보았다. 교사는자신이변형한과제를실제수업에직접적용해봄으로써, 과제를변형하는과정에서의자신의의도가실제로실현가능한것인지에대한검증을해볼수있다. 만약교사가과제변형과정에서자신의의도대로실제수업에서실행되고학생들에게서기대했던효과를확인할수있다면, 그변형된과제는교사스스로성공적인과제라고평가할수있을것이다. 반대로교사의의도대로수업이이루어지지않을경우, 수학내용, 교수방법, 학생수준등을고려하여문제점이무엇인지진단해보고반성하는과정을통해다시과제를변형해보는과정을거칠수있다 (Crespo, 2003; Thanheiser 외, 2015). 즉주어진과제를변형하는과정에서의교사의의도가실제수업에서제대로발현되는지검증해봄으로써교사는자신이변형한과제를반성해볼수있고재설계과정을거치면서수학교수설계능력의향상을기대해볼수있다. 또한변형한과제를실제로적용해보는과정을관찰해봄으로써, 연구자는과제변형활동을교사교육에활용하는교사교육방안을발전시킬수있을것이다

43 3. 교수를위한수학적지식에관한연구 최근교수를위한수학적지식에관한연구가활발히이루어지고있으며, 이는교사전문성의하나의척도로여겨지고있다. 본연구에서도예비교사와현직교사가과제변형및적용과정에서자신이갖고있는어떠한 MKT를활용하는지분석하여, 과제변형및적용활동을통해교사의전문성이신장되는과정을살펴보고자한다. 이에본절에서는교수를위한수학적지식에관한연구들을살펴보면서 MKT의정의를살펴보고, 과제변형및적용과관련하여지금까지이루어진연구들을살펴보고자한다 교수를위한수학적지식 수학교사가갖추고있는다양한지식들은교수활동에영향을미칠수있으므로, 효과적인교수를위해서는교사가충분히필요한지식을갖추어야한다 (Cooney, Brown, Dossey, Schrage & Wittmann, 1996; Fennema & Franke, 1992; Rowland, Huckstep & Thwaites, 2003; Turner & Rowlan, 2011). 그러나수학교사가교수를위해갖추어야할지식은분명수학자나공학자가갖추어야할수학지식과는차이가있을것이다. 왜냐하면교사의가르칠교과내용에대한충분한이해가곧바로원활한교수활동을보장하지는않기때문이다 (Ball 외, 2008). 그렇다면수학교사가자신의교수활동을위해필요한지식은어떤것이있을까? NCTM(2000) 은학교수학의원리 6가지를제시하였는데, 특히이중에서 교수의원리 (The teaching principle) 에따르면, 교사는수학을효과적으로가르치기위해본인이가르치는수학에대하여깊이이해해야할뿐만아니라, 학생들이알고있는지식과함께상황에맞는적절한교수법에대한지식을갖추어야한다. 그러나교사지식을수학교사의전문성의척도로서활용하기위해서는, 효과적인교수를위해수학교사에게필요한지식이무엇인지에관해 NCTM(2000) 의교수의원리보다더엄밀한논의가필요하다. 지금까지교사

44 지식을정교화한연구는많이이루어졌으나, 본연구에서는가장널리알려져있는 MKT에주목하고자한다. Shulman(1986) 은교수를위해교사가갖추어야할지식의내용적인측면을강조하고엄밀하게개념화를시도하였으며, 교사의내용지식을교과내용지식 (Subject Matter Knowledge, 이하 SMK) 과교수학적내용지식 (Pedagogical Content Knowledge, 이하 PCK), 교육과정지식 (Curricular Knowledge, 이하 CK) 으로범주화하였다. [ 그림 Ⅱ-5] MKT 의영역 (Ball 외, 2008: 403) Shulman(1986) 이교사의내용지식을엄밀하게범주화한이후에후속연구가활발히이루어졌으며, 특히 Ball 외 (2008) 는 Shulman(1986) 의연구를바탕으로 MKT를제안하였다. 여기에서 MKT란 수학교수활동을실행하는데필요한수학적지식 (Ball 외, 2008: 395) 을의미한다. Ball 외 (2008) 는 Shulman(1986) 이교사의내용지식을범주화한것을바탕으로하여, MKT

45 를 SMK, PCK 이렇게두가지영역으로범주화하였다. 또한 [ 그림 Ⅱ-5] 와같이 SMK는다시일반내용지식 (Common Content Knowledge, 이하 CCK), 전문화된내용지식 (Specialized Content Knowledge, 이하 SCK), 수평내용지식 (Horizon Content Knowledge, 이하 HCK) 으로나누어지며, PCK는내용과학생에대한지식 (Knowledge of Content and Students, 이하 KCS), 내용과교수에대한지식 (Knowledge of Content and Teaching, 이하 KCT), 내용과교육과정에대한지식 (Knowledge of Content and Curriculum, 이하 KCC) 으로나누어진다. Ball 외 (2008) 는이러한 6가지하위영역을다음과같이구체적으로설명하였다. 첫번째영역인 CCK는교사뿐만아니라교사가아닌사람들에게도일반적으로필요한수학지식을의미한다. 즉단순하게답을계산하거나더일반적으로는정확하게수학문제를풀기위한지식을의미한다. 예를들어수학적용어및기호에대한지식이될수도있고, 교육과정또는학문수학에제시되어있는수학적지식이될수도있다. 수학교사는그들이가르치는수학내용에관하여정확하게알고있어야하며, 학생들이수학적으로오류를보이는경우에이를파악할수있어야한다. 또한수학교사는자신의수업에서정확한용어와개념을사용해야한다. 만약수학교사가자신의수업에서용어를잘못정의하거나계산실수를하거나문제풀다가막히는상황이오면수업흐름이끊기고결국귀중한수업시간이낭비되고만다. 따라서수학교사의 CCK는교수를계획하고실행하는데있어서핵심적인역할을수행할수있기때문에, 수학교사의 CCK 수준은교수계획및실행에크게영향을미칠수있다. 그러나 CCK 는교수활동에특화된지식이아니라일반적으로요구되는수학적인지식이자기술을의미한다. 이때일반적으로요구된다는말은모든사람이이러한지식을가져야함을의미하는것이아니고, 다양한상황에서수학이필요한사람들에게요구되는지식이며교수에특화된지식이아님을의미한다. 즉 CCK는교사에게만필요한지식이아니라상황에맞게수학자, 공학자, 회계사등에게도필요한수학적지식을의미한다

46 두번째영역인 SCK는교수에만특화된수학적지식이나기술을말한다. CCK는수학교사에게만국한되지않는일반적인수학지식을의미한다면, SCK는교수활동만을위한수학지식을의미하므로수학교사에게만필요한지식이라고볼수있다. 즉 SCK는단순히수학적개념을이해하는것과는다르다. 왜냐하면모든사람들이그러한지식을직접적으로학습할필요가없기때문이다. 예를들어회계사나계산을하거나공학자가수학을활용하더라도수학의원리를설명할필요는없다. 세번째영역인 KCS는학생에대한지식과수학에대한지식을의미한다. 수학교사는학생들이무엇을생각하기쉬운지그리고무엇을혼란스러워하는지예측해야한다. 예를하나선택할때에도교사는학생들이어떤예를통해흥미를갖고동기부여가될수있을지예측해야한다. 과제를제공할때에도교사는학생들이이를통해어떻게행동할지, 그리고학생들에게이러한과제가어려울지아니면쉬울지에관하여미리예측해야한다. 또한교사는학생들이사용하는언어들속에서표현에서나타나는불완전한사고를듣고해석할수있어야한다. 특히학생들이특정수학적내용의학습할때, 학생들의전형적인이해방식이나학생들이자주갖는오류나오개념에관한지식이가장대표적이다. 네번째영역인 KCT는교수에관한지식과수학에관한지식을의미한다. KCT는수업을설계하고수업내용을어떻게배열하고어떠한수학과제를활용하며수업의단계나학생들의이해수준에따라어떠한예를사용해야할지에대한교사의선택에영향을미친다. 또한특정한수학적내용을가르치는데필요한다양한표상들의장단점을평가하고교수에서활용되는방식에관한지식과학생들의오류를교정하거나학습에서의어려움을해결하지위한교수법에대한지식을포함한다. 다섯번째영역인 HCK는수학적인주제에대하여교육과정에포함된다른수학들과어떻게관련되는가에관한지식이다. 즉교육과정에서수학내용의계통성에관한이해와관련된지식이라고볼수있다. HCK는 Ball(1993) 의연구를반영하여 SMK의범주에속해있다

47 마지막여섯번째영역인 KCC은교육과정에대한지식을의미하며, PCK의하위영역에속해있다. 그러나 Ball 외 (2008) 는 HCK와 KCC가각각 SMK와 PCK의범주에들어가는것인지아니면여러범주에걸쳐있는것인지에관해확신하지못하였기때문에, 이들에대한후속연구가필요하다고제안하였다. 이에본연구에서도모호한 HCK와 KCC를제외한나머지네가지영역인 CCK, SCK, KCS, KCT에관하여살펴보기로한다. Ball 외 (2008) 는 [ 그림 Ⅱ-5] 에서제시된 MKT의범주가항상고정된것이아니며다양한맥락에서달라질수있다고보았고, 각범주의지식들은서로영향을줄수있고변화할수있기때문에그경계가모호할수있어서명확하게구분하지못할수있다고하였다. 이처럼 MKT를고정된것으로파악하기보다는동적인특성을고려해야하며, MKT를수학교사의일반적인특성으로파악하기보다는주어진맥락에서의교육적실천에서해석해야한다 (Venkat & Adler, 2014). 이러한맥락에서 Fenneman, Franke(1992) 도 PCK 를교사의맥락의존적인지식으로보았으며, 마찬가지로 Rowland 외 (2003) 도교수상황에서 MKT를분석하였다. 따라서수학교사의 MKT는교사의고정된특성으로파악하기보다는교사의주어진맥락에서파악할필요가있다 과제변형및적용과관련된 MKT 수학교사가갖고있는 MKT는교사가수학과제를설계하는데크게영향을미칠수있다 (Henningsen & Stein, 1997; Stein 외, 1996). 마찬가지로수학교사가기존의과제를변형할때에도자신이갖고있는 MKT는변형의도나변형과정에영향을크게미칠수있다 (Lee 외, 2013). 또한 MKT는교수를위한수학적지식이므로그정의에따라교수활동에영향을미칠수있으며, 실제로선행연구들에서수학교사의 MKT가수업에크게영향을미칠수있다는경험적증거를제시하고있다 ( 고희정, 2013; 김성경, 2014; 박장희, 2014; 이현숙, 2011). 따라서수학교사가자신이변형

48 한과제를수업에적용하는과정에서도교사의 MKT는크게영향을미칠수있다. 본절에서는지금까지과제변형및적용과정에서교사의 MKT가어떻게반영되었는지에관한연구들을살펴보고, 이를바탕으로본연구에서도예비교사와현직교사가과제를변형하고적용하는과정에서어떠한 MKT를고려하여그러한 MKT가어떤영향을미치는지분석해보고자한다. Lee 외 (2013) 는 < 표 Ⅱ-1> 을기준으로예비교사가과제를변형하는과정에서어떠한 MKT를고려하는지를분석하였고다음과같은결과를도출하였다. 첫째, 예비교사들은 CCK보다 SCK를더많이활용하는경향이있음을발견하였고, 이를통해과제변형과정에서수학적내용지식을교수목적으로활용하려는경향을보임을알수있었다. 둘째, SMK는 PCK와밀접한관련이있음을확인할수있었다. SCK는학생들이갖고있을수있는오개념을확인하는데영향을미쳤으며, 예비교사는그러한오개념을방지하고자하는교수법을고려하여과제를변형하였다. 즉 SCK가 KCS와 KCT에영향을주는모습을보였다. 또한예비교사들은역사발생적원리를적용하거나역사적배경과다양한표상과관련된 SCK를기반으로학생들이다양한표상을활용해볼수있도록변형하기도하였다. 셋째, 예비교사들은과제를변형하는과정에서 KCS, KCT, SCK를특히많이활용하는경향을보였다. 예비교사들은학생들의오개념이나난이도, 교수법, 교수를위한수학지식을고려하면서과제의맥락이나질문보다는주로조건을바꾸는경향을보였다. 결론적으로예비교사들은과제변형과정에서하나의교사지식이아니라여러가지지식을복합적으로활용하는경향을보였고, 이를통해적절한교수법이나교수전략을활용하도록이끌었으며, 다양한지식들이서로상호연관되어다른지식을활성화하도록도왔다. 따라서과제변형이교사에게다양한지식을동시에고려하게함으로써자신의교사지식을발달시킬수있는기회를제공하였음을알수있다

49 < 표 Ⅱ-1> 과제변형과정에서고려한 MKT 분류기준 (Lee 외, 2013) MKT 하위영역 기준 CCK 일반적인수학지식의고려 SMK SCK 수학적용어, 아이디어, 역사, 적절한예시의교육적활용 HCK 전체교육과정의연관성고려 KCS 과제의난이도, 학생의오개념, 흥미고려 PCK KCT 제공하고자하는예시나교수법고려 KCC 수학적내용의배열순서나교육과정에대한고려 이번에는수학교사의 MKT가수업에어떤영향을미치는지에관한선행연구를살펴보고자한다. 이러한연구들은직접적으로교사가변형한과제를적용해보는과정을분석하지는않았지만, 수업과정에서의 MKT를분석한연구들을살펴봄으로써과제적용과정에서 MKT가어떤영향을미칠수있는지를예측해볼수있다. 이현숙 (2011) 은 MKT 수준이높은수학교사의 MKT가실제수업에서어떻게발현되는지살펴보고자하였다. 연구결과, 교사의 MKT는수업을계획및실행하는과정에서 CCK를배경지식으로다른영역과복합적으로나타났다. 특히 SCK는수업의핵심아이디어를도출하는데비중있게나타나면서수업의활동을결정하는데직접적으로영향을미쳤다. 또한 KCS는학습자의수준을파악하는데도움이되었고 KCT는수업을계획할때교구및과제를선택하고수업중일어나는교수학적결정에영향을미치는것으로나타났다. 이처럼 MKT 수준이높은수학교사는자신의 MKT를교수활동에적극적으로고려하면서, MKT가수업에크게영향을미치는것으로나타났다. 고희정 (2013) 은초임교사의 MKT가실제수업에서어떻게발현되는지를확인하고자하였다. 연구에참여한두초임교사는학문수학을충분히학습하였기때문에높은수준의 CCK를갖고있었음에도 SCK가부족한양상을

50 보였으며이로인해 KCS, KCT, KCC에도부정적인영향을미치는모습을보였다. 박장희 (2014) 는수학교사의 MKT가실제수업에서어떻게나타나는지확인하였다. 연구결과, 연구참여자인수학교사는풍부한 CCK를바탕으로 SCK를적극적으로활용하여수학적개념을자세하고정확한수학적근거를통해학생들이이해하기쉽게설명하였고, 자신의 HCK를바탕으로역사발생적원리를통해수업을구성하였다. 그리고자신의 KCS를바탕으로학생들이어떠한오개념과어려움을겪을수있는지이해하고있어서수업중에학생들의반응에서발견되는오류나오개념에대하여즉각적으로피드백하는모습을보였다. 그러나다양한교육활동에참여하고있음에도불구하고수학교사는다양한교수법에대한 KCT를활용하기보다는단순한설명식수업에의존하는모습을보이기도하였다. 결론적으로연구에참여한수학교사는풍부한 SMK를갖추고있음에도불구하고 PCK에충분히영향을주지못하는모습을보였다. 위의연구들에서살펴볼수있듯이, 수학교사가갖고있는 MKT의하위영역들은서로영향을미치면서실제수업에크게영향을주었다. 마찬가지로수학교사는자신이변형한과제를적용하는수업에서도자신의변형의도를발현시키고자할때, 자신이갖고있는 MKT가서로상호작용하면서영향을미칠수있다

51 III. 연구방법 1. 사례연구 본연구에서는예비교사와현직교사의조건부확률오개념교정을위한과제변형및적용과정을심층적으로분석하여그과정에서나타나는특징적인양상을살펴보고자한다. 과제변형과정에서는교사가오개념교정을위해어떠한점을고려하여어떻게변형하였는지살펴보고, 과제를적용해보는과정에서는과제변형과정에서고려한교사의의도가잘발현되는지살펴보고자한다. 또한교사의의도대로수업이진행되지않는경우에교사가어떻게대처하는지를알아보기위해그러한수업장면에서의질문등의담론조치를심층적으로분석하고자한다. 본연구는예비교사와현직교사의과제변형및적용과정을비교하는데에그목적이있지않으며, 예비교사와현직교사가조건부확률오개념교정을위해교과서과제를변형하고적용하는상황에서교사의전문성이발달하는과정을확인하는데그목적이있다. 이러한연구목적을달성하기위해본연구에서는인위적인개입을최소화하여자연스러운현상을탐구하는자연주의적연구 (Naturalistic inquiry) 방법을택하며, 자연주의적연구에서주로활용되는사례연구방법을택하기로하였다. 자연주의적연구는연구자가사회적문화적맥락에서사람들이나단체들의경험이나행동들에관하여관찰하고기술하고해석하여사회를이해하고자하는질적연구방식으로서, 관찰, 면담, 기술적자료등을바탕으로사회적현상을분석한다 (Armstrong, 2010). 이러한연구에서는다른연구들에서놓칠수있는심층적인부분을세세하게분석하고자하므로, 소수의사례를택하며이들은반드시대표적인사례일필요는없다 (Armstrong, 2010). 사례연구는특정사례를심층적으로연구함으로써사례가속해있는부

52 류의특징적인양상을파악하는것을목적으로하며, 결론보다는과정에, 특정의변수보다는맥락에, 확증보다는발견에관심을둔다 ( 우정호, 정영옥, 박경미, 이경화, 김남희, 나귀수외, 2006). 우정호외 (2006) 는사례연구의특징으로여섯가지를제시하였으며, 본연구에서사례연구방법을택한근거는이러한특징에따라다음과같다. 첫째, 사례연구는특정한예를통한현상에대한연구이다. 본연구에서도예비교사와현직교사가과제를변형하고적용하는소수의사례를통해예비교사와현직교사의과제변형및적용과정에대하여분석해보고자한다. 둘째, 사례연구는사례에대한심층연구이다. 본연구에서도예비교사와현직교사의과제변형및적용과정에대한집중적인묘사와분석을통해결과가아닌과정에대한심층적인이해를얻고자한다. 셋째, 사례연구는자연스러운맥락에서이루어지는현상에대한연구이다. 본연구에서도연구자의인위적인개입을최소화하여예비교사와현직교사가자연스럽게자신의 MKT를반영하여과제를변형하고적용하는과정을관찰하고자한다. 넷째, 사례연구는참여자의내부자적관점과연구자의외부자적관점을통합한연구이다. 본연구에서도다양한분석틀을통해연구에참여한예비교사와현직교사가경험한복잡한과제변형및적용과정에대한이해를발전시키고자한다. 다섯째, 사례연구에서는현상에대하여양적인자료의결과물을제공하는것이아니라서술중심으로표현된다. 본연구에서도예비교사와현직교사가과제를변형하고적용하는과정에대하여정량적인결과물을얻고자하는것이아니라어떠한양상을보이며어떻게전문성을발달시키는지에관하여심층적인이해를얻고자하므로이에대하여풍부하고자세한기술을하고자한다. 여섯째, 사례연구는발견을중시하는연구이다. 본연구에서도예비교사와현직교사의과제변형및적용과정에서보이는특징적인양상을발

53 견하고자한다. 사례연구분석에서제일중요시되고가장많이사용되는기법은패턴탐색기법과기술적분석이다. 패턴탐색은수집 정리된자료로부터연구현상에관한일정한패턴, 즉자료들간에나타나는일정한규칙성등을체계적인가시적분석과정을통해서유도하는것을말하며, 기술적분석은연구대상, 즉연구사례가갖는일체의특징적양상을있는그대로정확하게묘사하는것을말한다 ( 우정호외, 2006: 125). 본연구에서도과제변형및적용과정을분석할때, 예비교사와현직교사가과제변형및적용과정에서보이는양상을심층적으로분석하고자하므로패턴탐색과기술적분석을택하였다

54 2. 연구설계 2.1. 연구참여자와배경 본연구에서는예비교사 1명, 현직교사 1명, 그리고일반계고등학교학생 20명을대상으로한다. 예비교사와현직교사는각각학생 10명씩을대상으로자신이변형한과제를활용하여수업한다. 본연구에서는예비교사와현직교사의조건부확률오개념교정을위한과제변형및적용과정을심층적으로분석하고자하므로, 수업내상호작용의세밀한담론분석을위해각수업의학생수를 10명으로제한하였다. 연구에참여한 20명의학생들은이미조건부확률에관하여학습한고등학교자연계열 3학년학생들로서, 평소수학수업에서활발히참여하는편이며상위권과중위권학생들이섞여있다. 본연구에서는기존연구들과달리학생들은사전검사를통해조건부확률오개념을갖고있는지확인하지않았다. 첫번째이유는조건부확률오개념을확인했던기존연구들에서는주로오개념과관련된문제를제대로해결하는지확인하는경우가많았는데 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones & Thornton, 2005; Shaughnessy, 1992; 나귀수외, 2009; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010), 단순히조건부확률문제를해결하기위한절차를잘수행했다고하여조건부확률오개념이없다고판단하기는힘들기때문이다. 두번째이유는본연구가자연주의적연구방법을택하고있기때문이다. 사전검사로인해미리조건부확률오개념에대해서의식하게되면, 자연스러운수업장면을관찰하는데방해요인이될수있다. 세번째이유는본연구에참여한교사들은과제를설계하는과정에서학생들의오개념을확인하는과제를제시하였고, 수업장면에서학생들의반응과활동지를통해학생들이오개념을갖고있었는지충분히확인할수있었기때문이다. 선행연구에따르면수학교사의 MKT는교사의과제설계나수업에크게

55 영향을미칠수있다 (Henningsen & Stein, 1997; Stein 외, 1996; 고희정, 2013; 김성경, 2014; 박장희, 2014; 이현숙, 2011). 교사의 MKT는과제변형및적용과정에도크게영향을미칠수있다 (Lee 외, 2013). 본연구에서는자연주의적연구방법을통해수업상황을관찰하고자하므로, 예비교사와현직교사의 MKT를사전검사를통해확인하지않고선행연구와이들의배경을바탕으로이들의 MKT를예상하였고, 과제변형및적용과정에서고려한 MKT를확인하면서 MKT가미친영향을분석하였다. 예비교사는수학교육과 4학년에재학중인대학생으로, 중학교에서한달간교생실습을받았으며, 수학교재연구및지도법 이라는학부강의를수강하여 3차례에걸쳐서과제변형활동을경험하였다. 예비교사이므로수업경험으로부터얻은지식은부족하지만, 다수의연구를접한덕분에학문적인지식이풍부하였다. 예비교사는 Freudenthal의현실주의수학교육론에관심이많았고, 이정연 (2005), 조상현 (2012), 조차미 (2010), 최용석 (2009) 등조건부확률과관련된연구도다수읽었다. 조건부확률에관한다수의연구를접한덕분에상위관점의학문수학에대한지식이풍부하여조건부확률의개념이나표본공간에대하여깊은이해를하고있었으며, 조건부확률의다양한오개념과교정하기위한교수법에대한지식도풍부하였다. 따라서예비교사는상위관점에서의학문수학의지식을바탕으로 CCK, SCK가풍부하고, 학생들의오개념에관한지식을바탕으로 KCS를갖추고있으며, Freudenthal의현실주의수학교육론이나오개념교정방법에관한지식을바탕으로 KCT도갖추고있을것으로예상하였다. 예비교사는자신의 MKT를바탕으로주어진교과서과제를변형해보았고, 이변형한과제를수업에적용해보고자본연구에참여하였다. 현직교사는수학교육과대학원석사를졸업하였고 1급정교사연수를수료하였으며, 경력 4년차의교사로일반계고등학교에서만 4년째근무하고있다. 현직교사는본연구가진행된 2016년현재 2학년자연계학급의담임교사이고, 2학년자연계열미분과적분2와확률과통계수업을맡는교과담당교사이다. 특히이현직교사는토론수업에관심이높아서토론수업의의의나절차등에관한지식이풍부하였으며, 교사재직기간동안꾸준히수학토론반을운

56 영하여토론수업에대한경험이풍부하였다. 따라서토론식수업에대한 KCT 가풍부하고, 평소학생들을가르친경험을바탕으로학생들의수준이나과제의적절한난이도등에관한 KCS도풍부할것으로예상하였다. 그러나조건부확률에대한연구를접한경험이부족하여 MKT가상위관점의학문수학이나수학교육학지식보다는주로자신의경험과신념등을바탕에두고있을것으로예상하였다. 특히학교수학의조건부확률에대한지식만주로갖추고있어서 SMK는상대적으로부족할것으로예상하였다. 연구이전에현직교사가과제를변형해본경험은거의없지만, 학교환경에있던현직교사는자신의 MKT와경험등을바탕으로주어진교과서과제를오개념교정을목적으로변형하였다 연구절차 본연구는조건부확률의개념, 조건부확률의오개념, 조건부확률의오개념교정을위한교수법에관한선행연구들 (Batanero & Sanchez, 2005; Borovcnik, 2012; Castro, 1998; Diaz & Batanero, 2009; Falk, 1989; Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones 외, 1999; Jones & Thornton, 2005; Kiczek & Maher, 2001; Koirala, 2003; Tarr & Lannin, 2005; Shaughnessy, 1992; 나귀수외, 2009; 박찬민, 2014; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010), 과제변형및적용에관한선행연구들 (Arbaugh & Brown, 2005; Boston, 2006; Boston & Smith, 2011; Crespo, 2003; Even 외, 1993; Jones & Pepin, 2016; Lee 외, 2013; Prestage & Perks, 2007; Son & Kim, 2015; Sullivan 외, 2009; Stein 외, 1996; Stein 외, 2000; Thanheiser 외, 2015; Thompson, 2012; Vaugelade 외, 2012; Voica & Pelczer, 2009; Watson, 2008; Zaslavsky, 1995; Zaslavsky, 2007; 김대영, 김구연, 2014; 김정은외, 2015; 김하림, 이경화, 2016; 이혜림, 김구연, 2013), MKT에관한연구들 (Ball 외, 2008; Lee 외, 2013; Shulman, 1986; 고희정, 2013; 김성경, 2014; 박장희, 2014; 이현숙, 2011) 을검토하는것으로부터출발하였다

57 본연구에서는예비교사와현직교사의조건부확률오개념교정을목적으로하는과제변형및적용과정을심층적으로관찰하고분석하는데그목적이있다. 따라서우선조건부확률오개념들중하나를택하고, 이오개념와관련되어있으면서도충분히이에관해고려하고있지못하는교과서과제를선정하였다. 본연구에서는많은오개념을다루기보다는시간축오류라는조건부확률오개념하나만다루기로결정하였다. 왜냐하면많은선행연구들에따르면시간축오류는가장흔하게나타나면서도가장교정하기어려운조건부확률영역의대표적인오개념이고, 처음해보는과제변형활동에서많은오개념을다루기보다는하나의오개념을중점적으로고려하여변형해보는것이연구에참여한교사들도더그과정에몰입할수있고그만큼심층적인분석도가능하리라고보았기때문이다. 시간축오류와관련한교과서과제로는 2009 개정교육과정에따라개발된고등학교확률과통계교과서 ( 류희찬외, 2014) 에서다음과제를선정하였다. 가하나씩적혀있는다섯장의카드가들어있는주머니에서카드를한장씩두번꺼냈더니두번째에꺼낸카드에홀수가적혀있었다. 이때첫번째에꺼낸카드에도홀수가적혀있었을확률을구하여라. ( 단, 꺼낸카드는다시넣지않는다.) ( 류희찬외, 2014: 109) 위와같은교과서과제를선정한이유는다음과같다. 첫째, 위의교과서과제에서조건사건은목적사건보다나중에일어나는사건이다. 따라서시간축오류를보이는학생들이이과제를접했을때조건사건을파악하지못하거나무시하는경우가발생할수있다. 둘째, 앞서언급한조건부확률오개념교정을위한교수법인추측, 실험, 토론, 반성, 구성의과정이반영되어있지않다. 따라서이를변형하고자하는교사가이러한교수법들을고려하여과제를변형하고적용할수있는가능성이열려있다. 교과서과제를선정한다음예비교사와현직교사에게이과제를제공하였고, 조건부확률오개념인시간축오류에관하여안내하였다. 이를바탕

58 으로조건부확률오개념교정을위해교과서과제를변형하는보고서를서면으로제출하도록하였다. 이보고서에서는교과서과제에대한분석, 조건부확률오개념교정을위한과제변형, 그와같이과제를변형한이유에관한질문이포함되어이에답할수있도록하였다. 본연구에서는예비교사와현직교사가변형한과제를적용하는과정에서변형의도가어떻게발현되는지를살펴보고자하므로, 과제변형이끝나고자신이변형한과제를바탕으로 10명의학생들과시간축오류교정을위한 1차시수업을하도록하고이를관찰하였다. 예비교사는 2명씩총 5 개조의소그룹을만들었고, 현직교사는 5명씩총 2개조의소그룹을만들었다. 활발한상호작용이일어날수있도록학생들의성적, 개인성향, 친밀도등을고려하여소그룹을구성하였다. 예비교사는약 120분동안수업을진행하였고, 현직교사는약 60분동안수업을진행하였으며, 두수업모두같은교실에서이루어졌다. 연구자는두수업모두참여관찰을하였고, 교실앞뒤에캠코더를설치하고, 조별로녹음기를설치하여수업전과정을녹화및녹음하였다. 캠코더를통해학생들의얼굴표정이나행동을포착할수있었고, 녹음기를설치하여교사와학생들의담론이보다잘녹음될수있도록하였다. 연구자는촬영을하며인상적인학생들의행동이나교사의담론조치에주목하여따로노트를작성하였다. 수업이끝나고나면교사및일부학생들과각각면담을진행하였다. 이를통해교사의자연스러운과제적용과정을관찰할수있었고, 자료의객관성을획득할수있었다. 본연구가진행된과정은아래 < 표 Ⅲ-1> 과같다. < 표 Ⅲ-1> 연구절차 날짜 연구내용 ~ 문헌연구 ~ 예비교사, 현직교사의과제변형 ~ 예비교사, 현직교사의과제적용관찰및면담 ~ 결과정리및해석

59 3. 자료분석 3.1. 자료수집 본연구에서는과제변형활동과과제적용활동두가지활동에대하여사례연구를수행하므로, 자료를수집할때에도교사의변형된과제와이를적용한수업에초점을둔다. 따라서교사의변형된과제와이를적용한수업에대한자료수집을위해교사가작성한과제변형보고서수집, 교실관찰, 교사면담, 학생면담, 수업녹화, 수업녹음, 연구자의기록, 학생이제출하는문서자료수집등을수행한다. 먼저첫번째연구문제에답하기위해예비교사와현직교사의과제변형보고서, 면담자료등을분석한다. 교사의과제변형보고서에서는교과서과제, 시간축오류에대한설명과함께세가지의질문을포함하고있다. 첫번째질문은주어진교과서과제가조건부확률오개념을고려하고있는지, 교과서과제를통해이러한조건부확률오개념이교정될수있는지, 그리고그렇게생각하는이유가무엇인지에관한질문이다. 조건부확률오개념교정의관점에서주어진교과서과제의문제점을진단해보고, 이러한문제점을보완해나갈수있는방향을모색해보도록하여과제변형의아이디어를생각해나가도록유도하였다. 두번째질문은직접조건부확률오개념을고려하고이를교정하기위한목적으로주어진교과서과제를변형해보도록하였으며, 과제변형의자유를부여하고자반드시하나의과제일필요는없다고덧붙였다. 세번째질문에서는과제변형의의도를묻고자하였다. 이와별도로면담을통해서도보고서에서드러나지않은과제변형의의도를파악하고자하였다. 예비교사와현직교사가변형한과제는오개념교정기회측면에초점을두고분석하였다. 두번째연구문제에답하기위해 10명의학생을대상으로한예비교사와현직교사의 1차시의수업을관찰하였으며, 교사와학생간그리고학생들간의상호작용과담론의양상등을분석하여교사의과제변형의도가어떻게발현되는지파악하고자한다. 또한과제적용과정에서교사의의도대로수업이

60 이루어지지않았을때, 예비교사와현직교사는이에어떻게대처하는지를분석하고자한다. 이를위해모든수업장면은캠코더로녹화하고녹음기로녹취되었으며, 녹취된자료는전사되었다. 수업관찰후에는교사, 학생과면담을실시하였다. 또한문서자료수집을위해관찰된수업에서학생들이작성한활동지를수집하고교실수업자료와면담자료, 전사자료를분석의기초자료로활용하였다. 수업관찰중본연구의목적에맞는대표적인수업장면을선택하여분석한다. 3.2 자료분석 본연구에서는크게과제변형활동과과제적용활동두가지활동에대하여사례연구를수행하였다. 따라서자료를분석하는방법도크게두가지로나눌수있다. 본연구의첫번째연구문제에서는답하기위해서는변형된과제에서제공하는오개념교정기회를파악해야한다. 조건부확률오개념교정을위한교수법에관한선행연구들에따르면, 추측, 실험, 토론, 반성, 구성의과정을통해학생이자신의사고를드러내고친구와생각을공유하면서수정해나가는협력적인활동이필요함을강조한다 (Borovcnik, 2012; Castro, 1998; Diaz & Batanero, 2009; Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein & Schnarch, 1997; Jones 외, 1999; Kiczek & Maher, 2001; Koirala, 2003; Tarr & Lannin, 2005; 박찬민, 2014; 이정연, 2005; 이정연, 우정호, 2009; 조차미, 2010). 따라서본연구에서는 < 표 Ⅲ-2> 와같이선행연구들에서제시한추측, 실험, 토론, 반성, 구성의기회를오개념교정기회로보고, 예비교사와현직교사가이러한오개념교정기회를제공하고자할때의바탕이된 MKT를분석하여이들의변형의도를파악하고이들에서나타나는특징적인양상을분석해보고자한다. 변형과정에서어떠한 MKT를고려하였는가는앞서제시한 < 표 Ⅱ-1> 에서와같이 Lee 외 (2013) 에서제시한기준을활용하였다

61 < 표 Ⅲ-2> 조건부확률오개념교정기회분석틀 분석기준추측실험토론반성구성 세부내용정답을모르는상태에서미리예측함공학적도구나교구를활용하여직접실험함친구들과자유롭게의견을공유하고협력함자신이나친구들의사고과정의돌이켜봄다양한방식으로표본공간을직접구성해봄 수학과제설계와실행분석틀에따르면교사의의도에따라본래계획된과제가전혀다르게설정되고실행될수있다 (Stein 외, 1996). 즉과제가제공하는학습기회와교사가의도한학습기회가서로다를수도있음을의미한다. 본연구에서는조건부확률오개념교정기회를분석할때, 변형된과제가제공하는오개념교정기회에주목하기보다는교사가변형된과제에서제공하고자의도한오개념교정기회에주목하고자한다. 왜냐하면본연구는교사가과제변형과정에서전문성을신장시키는과정을확인하는데그목적이있으므로, 과제가제공하는오개념교정기회보다는교사의의도에주목하는것이연구의취지에부합한다고볼수있기때문이다. 또한 < 표 Ⅲ-3> 과같이과제가요구하는인지적노력수준을분석함으로써과제에서제공하는질문의수준을파악하고자한다. Stein, Smith(1998) 는인지적노력수준에따라낮은수준 (low-level) 의과제와높은수준 (high-level) 의과제로나누었으며, 낮은수준의과제는암기형과제 (Memorization tasks, 이하 M 과제 ) 와연계성없는절차형과제 (Procedures Without Connections tasks, 이하 PNC 과제 ), 그리고높은수준의과제는연계성있는절차형과제 (Procedures With Connections tasks, 이하 PWC 과제 ) 와수학행하기과제 (Doing Mathematics tasks, 이하 DM 과제 ) 로각각나누었다. 이와같이인지적노력수준을분석하여교

62 사가절차적사고를주로요구하는과제를설계하였는지또는고차원적인사고와수학적추론능력을기르도록설계하였는지분석할수있다. 실제수업에서는수업단계, 학생들의학습상태나수준등을고려하여높은수준의과제와낮은수준의과제가모두필요할수있기때문에, 높은수준의과제만제공하는것이반드시바람직하다고판단할수는없다 ( 김하림, 이경화, 2016). 따라서본연구에서도교사가상황에맞게적절한수준의과제를제공하는지확인해볼필요가있다. < 표 Ⅲ-3> 과제가요구하는인지적노력수준 (Stein & Smith, 1998) 과제수준낮은수준의과제높은수준의과제 과제종류 M 과제 PNC 과제 PWC 과제 DM 과제 설명 학습자가이전에배웠던사실, 규칙, 공식, 정의 등을기억하여그대로사용하여해결분명한해결절차가존재하며, 절차의근간이되는 수학적개념이나의미보다는절차에초점수학적개념이나의미의이해를위해절차의이용 에집중수학적개념, 과정, 관계등을이해하고탐구하게 하는복잡하고비알고리즘적인사고를요구 본연구의두번째질문에답하기위해서는교사와학생간, 그리고학생들간에서상호작용하는담론을분석할필요가있다. 왜냐하면조건부확률의오개념교정을위해서는교실내상호작용이매우중요하기때문이다 (Jones 외, 1999; Kiczek & Maher, 2001; Koirala, 2003). 담론분석을통해교사가의도적으로제공한오개념교정기회가실제로과제적용과정에서어떻게발현되는지를확인할수있으며, 과제변형의의도대로수업이이루어지지않았을경우에교사가어떠한담론조치를취하는지등을분석할수있다. 이처럼교실담론과교사의담론조치를살펴봄으로써교사의 MKT가변형된과제를적용하는과정에서어떠한영향을미치는지도확인할수있다

63 조건부확률오개념교정에관한기존연구들에서강조하고있듯이오개념교정에있어서교사와학생간, 학생들간의상호작용이매우중요하기때문에, 교실내상호작용의수준을파악하고자 < 표 Ⅲ-4> 와같이수학대화학습공동체 (Math-talk learning community) 의발달수준 (Huffered-Ackles, Fuson & Sherin, 2004) 을기준으로분석해보고자한다. Huffered-Ackles 외 (2004) 에따르면, 0 수준은전통적인교사중심적인수업으로학생들로부터간단한답을얻어내는수업이고, 1 수준에서는교사가학생들의사고를추구하지만주로교사가중심적인역할을수행하며, 2 수준에서는교사가학생들에게새로운역할을부여하면서학생간담론의증가에따라협력적인교수학습이일부발생하고교사는순회지도하기시작하며, 3 수준에서는교사가동료교사이자학습자가되어모든발생하는일들을살펴보지만주변에서도울준비를하면서학생이수업에서중심적인역할을수행한다. < 표 Ⅲ-4> 수학대화학습공동체의발달수준 (Huffered-Ackles 외, 2004: 수준질문하기교사만간단한질문을제공 0 학생은질문없이교사의질문에답함교사는정답보 1 다는사고에초점을맞춘질문 88-90) 특징 수학적수학적사고학습에대한아이디어의설명하기책임근원 교사는정답중 교사가자신의 교사는자신의 심의질문이나 수학적아이디 의도대로정답 정답을제공 어를설명 을제공 학생은자신의학생들은아이학생들은수동의견제시하지디어를제시하적인청자않음지않음 교사는학생의학생들의의견교사의아이디사고를일부조에교사가주로어가주요근원사하지만자신피드백제공

64 2 을제공학생은질문하지않음교사는탐구하는열린질문을지속적으로제공하고, 학생간토론을촉진학생들은다른학생의의견에질문하고, 다른학생들은이를경청함교사는친구들 의설명에의존학생은교사의지시에따라자신의생각을간단히설명교사는학생들의사고에관하여더깊게탐구하고학생들의자세한답변을권장하고, 학생들의다양한반응을유도교사에의해학생들은의견을제시하며, 학생들은자세한답변과함께근거를제시하고다른학생들은경청함교사는학생들 일부학생들이아이디어를내더라도탐구되지않음교사는학생들에게후속설명을제공하고학생들에게이들을비교하고대조해보도록하며, 학생들의오류를학습기회로활용학생들은다른의견이더라도자신의아이디어나전략을공유하며, 학생들의아이디어가종종수학수업의방향을결정교사는자신의 학생은교사지시에따라자신의풀이를보여주면서다른친구들을도움교사는학생들이다른친구들의수학이해를돕는데책임을갖도록격려하며, 친구들의풀이에관해동의하는지묻고그근거를제시하도록함학생들은다른학생의의견을이해하고자노력하며, 자신의단어로다른학생의답을설명하기도함교사는학생들 의풀이에관하 의사고를자세 설명도중에학 이협력하여서 3 여서로질문해 히살펴보면서 생들의질문을 로의풀이와사 보도록하고, 학생들이더잘 허락하며, 학생 고를평가하는 교사의질문에 설명하도록탐 들이새로운전 데책임을갖도

65 따라담론방향이변하기도함 구질문을제공하며, 전략에관해더깊게사고하도록자극함 략을설명하고소유하도록하며, 학생들의아이디어나방법을적극적으로활용함 록하고, 학생들이서로도우면서오개념을처리하도록권하며, 필요시후속조치제공 학생간담론은교사와독립적으로학생에의해시작되며, 정당화에관한질문들이주로이루어지면서만족할때까지질문을반복 학생들도교사의도움없이자기의견을정당화하며, 질문에대비하여철저하게준비하도록동기부여되고, 다른학생들은적극적으로경청함 학생들은교사나다른학생들의의견에끼어들기도하며, 학생들의아이디어는수학수업에서많은부분을차지함 전체토론이나조별토론에서스스로다른친구들의풀이나아이디어를명료화하기시작하며, 학생들은서로오류를이해하고교정하도록도움 수학대화학습공동체의발달수준은전체적인담론의상호작용수준을보여준다는면에서장점이있지만, 이는전체적인상호작용의수준을보여주는분석틀이기때문에세부적인담론분석틀이필요하다. 따라서다음세가지분석틀을통해수학대화학습공동체의발달수준을보완하여세부적으로분석하고자한다. 첫째, 나미영 (2006) 의아래의 < 표 Ⅲ-5> 와같이상호작용분석틀을활용하여어떠한상호작용패턴이나타나는지살펴보고자한다. 교사가자신의의도대로이끌고나가는깔때기패턴이계속발생한다면그만큼상호작용이활발하게일어난다고볼수없으며, 학생들이담론에적극적으로참여하는집중패턴이계속발생한다면그만큼상호작용이활발하게일어난다고볼수있다. 또한

66 ERE 패턴 (Elicitation-Response-Evaluation) 5) 후에수학적아이디어가충분히공유되면교실내상호작용이일어나면서 PD 패턴 (Proposition-Discussion) 6) 으로이어질수있다. 그러나 IRE 패턴 (Initiation-Response-Evaluation) 7) 으로만계속이어진다면상호작용이활발히일어난다고볼수없다. < 표 Ⅲ-5> 상호작용패턴 ( 나미영, 2006: 14) 상호작용패턴깔때기패턴 (Funnel Pattern) 집중패턴 (Focusing Pattern) 순환적패턴 (Cyclic Pattern) 특징교사가의도한답을학생이답할수있도록질문의범위를좁혀여러개의하위문제로나누어교사가학생에게질문하는상호작용의패턴으로서, 학생은수동적인역할을수행학생들이대화에동등하게참여함으로써학습하는상황을만들어학생들이과제에집중하고참여하여해결할수있도록교사가격려하는상호작용의패턴으로서, 학생들은적극적인역할을수행 ERE 패턴 ( 유도-반응-정교화하기 ) - PD 패턴 ( 제안-토론 ) 이순환하는상호작용의패턴 둘째, 교사가취하는담론조치 (discourse move) 를분석하기위하여 < 표 Ⅲ -5> 와같은 Henning 외 (2012) 의분석틀을활용하고자한다. Henning 외 (2012) 는교사가어떻게수업을설계하는가와교사학생간상호작용사이의관계를연구하고자교사의담론조치를 12가지로분류하였다. 본연구에서도이분석틀을활용하여교사가학생에게어떠한담론조치를취하는지코딩하여 5) ERE 패턴이란교사가유도하고학생이반응한것을평가나정교화함으로써깊은토론을장려하도록하는패턴을말한다 ( 나미영, 2006). 6) PD 패턴이란교사나학생이자원하여의견을제안하고다른구성원들이이에대해토론하는상호작용을말한다 ( 나미영, 2006). 7) IRE 패턴이란교사의질문에대해학생들의짧은답변을판단하여정확한답을이끌어나가는데주목하도록하는패턴을말한다 ( 나미영, 2006)

67 살펴보면서교사가자신이과제를변형한의도대로수업을이끌어나가기위해어떠한담론조치를제공하는지확인하고자한다. 특히학생들의반응을유도하여이를확인한다음교사가제공하는후속담론조치에주목하고자한다. 예를들어학생들사이에서충분한탐구과정이이루어지기전에 EB나 EX를지나치게자세하게제공한다면, 교사의권위가높아지게되어학생들은수학적아이디어를제공할필요성을느끼지못하게된다. 이러한경우에활발한상호작용을기대하기힘들며, 일방적인수업으로이어지게될가능성이높다. < 표 Ⅲ-6> 교사의담론조치 (Henning 외, 2012) 담론조치 코드 세부적담론조치 의미 학생반응유도 EC 유도 (elicitation) 교사는질문을통해완성되지않은문장을제시하거나학생의이름을부르거나문제번호를크게말함으로써학생의참여를이끌어냄 CF 확인 (Confirmation) 교사는학생이답변하고자하는시도를확인하고격려함 반응확인하기 RP 반복 (Repetition) 교사는학생의대답을확인하거나학생의요점을강조하거나다른예를인정하거나학생의답변에질문하기위하여학생이말한것을반복함 교사가안내 RJ C 거절 (Rejection) 신호 (Cue) 교사는학생이질문에답하고자하는시도를거부함교사가힌트를주거나전략을제시하거나핵심적인시각적특징에주목하도록하거나특정한지점을보도록함 하는후속 EB 정교화 (Elaboration) 교사는추가적인예를제시하거나새로운관점을도입함으로써토론에서해당

68 주제에관해정교화함 RF 재공식화 (Reformulation) 교사는수업의교사목표에맞도록학생의답안을다시말함 조치 EX 설명 (Explanation) 교사는토론과관련된새로운개념을도입하기위해설명을제공함 RC 개요 (Recap) 교사는학생들을공통의이해로이끌기위하여이전의발언들을요약함 비교 P 절차 (Procedure) 교사는학습내용과간접적으로만관련이있고, 수업진행을위해필요한지시사항을전달함 육적담론 M 관리 (Management) 수업과관련없는학생들의행동을막거나교정하도록의도된언어적발언 조치 대화 교사는학생들과개인적인신뢰를쌓는 IT (Interpersonal 방식으로상호작용하지만학습내용과 talk) 는간접적으로만관련이있음 셋째, 교사의질문에관하여교사와학생의질문활동을분석하기위하여조진우, 박민선, 이경화, 이은정 (2016) 이효과적인수학적담론을구축하기위한교사질문활동의특성을분석틀로활용하고자한다. 조진우외 (2016) 는 < 표 Ⅲ-7> 와같이개방성, 공유성, 생산성 8) 을기준으로질문활동을통해효과적인수학적담론이구축되고있는지분석할수있다고주장하였다. 여기에서조진우외 (2016) 는질문이아니라질문활동이라는용어를사용하였는데, 이연구에서는단순히교사가제공한한번의질문이아니라대화의연속체로서실제대화속에서의발화에주목하였다. 과제에서제공하는질문이나교사가수업중에제공하는질문으로부터출발하여학생들과의상호작용을통해수업중질문활동의개방성, 공유 8) 생산적인담론이란문제의해법으로이끌고, 참여자들의의사소통방식과사고에영향을미치며, 참여자들의상호위치를바꾸면서, 그들의규칙과개념을더풍부하게해주는담론을말한다 (Sfard & Kieran, 2001)

69 성, 생산성이충분히확보될수있다면, 수학대화학습공동체의발달수 준은그만큼높아질수있다. < 표 Ⅲ-7> 효과적인수학적담론을위한질문활동 ( 조진우외, 2016) 기준개방성공유성생산성 특징교사는학생들이자유롭게개방적인마음으로수학적담론에참여할수있도록하며, 다양한논증을장려함교사는계획된탐구주제를공유하고담론참여자들이공동의탐구를만들어가도록질문활동을제공함교사는학생들의발언에대한적절한후속질문을통해수학적담론의긍정적인변화를가져옴 위의분석틀을종합해보면수학대화학습공동체의발달수준을통해각수업장면에서의전체적인상호작용의수준을살펴보고, 상호작용패턴, 교사의담론조치, 교사의질문활동등을세부적으로분석하여교실내상호작용이어떻게이루어지는지분석해보고자한다. 이를통해과제변형과정에서의교사의의도가어떻게적용과정에서발현되며, 교사의의도가잘발현되거나그렇지않은경우에교사가어떻게대처하는지, 이경우에교사의대처가효과적인지등을분석할수있다

70 IV. 연구결과 1. 연구문제 1 의결과 본연구의첫번째연구문제는 조건부확률오개념교정을위해예비교사와현직교사가교과서과제를변형할때, 오개념교정기회측면에서어떠한양상을보이는가? 이다. 아래원본과제에서는나중에일어나는사건이조건사건이고, 먼저일어나는사건이목적사건이되어있는상황에서조건문조건부확률을구하도록요구하고있으며, 오개념을고려한학습기회는전혀제공되지않는다. 가하나씩적혀있는다섯장의카드가들어있는주머니에서카드를한장씩두번꺼냈더니두번째에꺼낸카드에홀수가적혀있었다. 이때첫번째에꺼낸카드에도홀수가적혀있었을확률을구하여라. ( 단, 꺼낸카드는다시넣지않는다.) ( 류희찬외, 2014: 109) 본장에서는먼저예비교사와현직교사가각각조건부확률오개념교정을위해교과서과제를변형하는과정에서어떠한오개념교정기회를제공하고자의도하였는지분석해보고, 제공하고자의도한오개념교정기회를바탕으로예비교사와현직교사의과제변형과정의특징적인양상을살펴보고자한다 예비교사의과제변형분석 예비교사는주어진교과서과제를 복습퀴즈, 몸을풀어봅시다!, 탐구해봅시다!, 마무리합시다! 이렇게 4개로변형하였다. 이중에서직접적으로조건부확률오개념교정을위해교과서과제를변형한과제는세번째과제인 탐구해봅시다! 이므로이과제를집중적으로분석하였다. 이를통해예비교사가조건부확률오개념교정을위해각과제에서어떠한인지적

71 노력수준으로어떠한오개념교정기회를제공하기를의도하였으며, 변형과 정에서어떠한 MKT 를고려하였는지살펴보고자한다 추측과토론의기회를제공하고자의도한변형 예비교사는자신의 MKT를바탕으로원본과제에서제공되지않았던다양한오개념교정기회를제공하고자과제를변형하였다. 본절에서는추측과토론기회를제공하고자변형된과제를살펴보고자한다. 먼저예비교사의 탐구해봅시다! 과제에서는원본과제에서의맥락을변형하였다. 예비교사는과제를변형하는과정에서조건부확률오개념교정에관한다양한연구들을반영하였는데, 이는아래와같은이정연 (2005) 의조건부확률오개념검사지에등장하는문제를반영한것으로보인다. 10개의제비중 4개가당첨제비라고한다. 갑이먼저제비를뽑고, 을이두번째로제비를뽑는다고할때, 다음을구하여라. ( 단, 뽑은제비는다시넣지않는다.) (1) 갑과을이모두당첨제비를뽑을확률은? (2) 갑이당첨제비를뽑았을때, 을이당첨제비를뽑을확률은? (3) 을이당첨제비를뽑았을때, 갑이당첨제비를뽑았을확률은? ( 이정연, 2005: 97) 예비교사는이정연 (2005) 의맥락을별다른의도없이그대로따라한것이아니라다음과같은두가지명확한의도를가지고맥락을변형한것으로보인다. 첫번째는기존교과서과제의맥락이지나치게학생의실세계경험과동떨어져있는인위적인상황이라고판단하였고, 이정연 (2005) 에제시된맥락에서갑, 을대신에드라마의배우이름으로바꾸어서학생의흥미를끌수있다고판단하였기때문이다. 두번째는이와같이맥락을변형함으로써 탐구해봅시다! 과제의 (3) 에서수지의당첨여부에따라우빈이의기분이달라지냐는질문을제공할수있다는장점이있기때문이다