= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

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명경 아
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1 Finance Lecture Note Series 학습목표 제4강 소유와 경영의 분리 효용함수(utility function): 효용함수, 한계효용(marginal utility), 한계대체율(marginal rate of substitution) 의 개념에 대해 알아본다 조 승 모2 (production possibility curve): 생산가능곡선과 한계변환율(marginal rate of transformation)에 대해 알아본다 금융시장과 투자분석 연구 영남대학교 대학원 경제학과 25학년도 2학기 Copyright 25 Cho, Seung Mo 기본적으로 Fisher, (93), The Theory of nterest, Macmillan의 내용을 바탕으로 작성되었으며, 일부내용을 수정 보완하였음 2 영남대학교 상경대학 경제금융학부 조교수; (우) 경상북도 경산시 대학로 28 영남대학교 상경관 224호; choseungmo@yuackr; 효용함수 : 소비자의 최적투자결정과 최적소비결정에 대해 알아본다 4 피셔의 분리정리(Fisher s separation theorem): 소유와 경영의 분리가 어떻게 정당화되는지 피셔의 분리정리를 통해 살펴본다 5 생산기회와 자본시장의 의의: 생산기회와 자본시장의 의의를 효용극대화 측면에서 살펴본다 효용함수 Definition 어떤 소비자에 대해, 그 소비자의 현재의 소비를 C, 미래의 소비를 C 라 할 때, (a) C 와 C 으로 인한 그 소비자의 주관적인 만족도를 그 소비자의 효용(utility)이라 한다 (b) C 와 C 으로 인한 그 소비자의 효용을 함수로 나타낸 U (C, C )을 소비수준 (C, C )에 대한 해당 소비자의 효용함수 (utility function) 라 한다 (c) MUi (C, C ) := U (C, C )를 해당 소비자의 Ci 에 대한 Ci 한계효용(marginal utility)이라 한다 단, i =, (d) C 와 C 중 어느 하나를 고정시켜 놓고 다른 하나를 증가시킬 때 효용은 증가하는데, 이를 총효용체증의 법칙(law of increasing utility)이라 한다 (e) C 와 C 중 어느 하나를 고정시켜 놓고 다른 하나를 증가시킬 때 한계효용은 감소하는데, 이를 한계효용체감의 법칙(law of decreasing marginal utility)이라 한다 Figure: 효용함수

2 효용함수 효용함수 Definition 어떤 소비자에 대해, 그 소비자의 현재의 소비를 C, 미래의 소비를 C 라 할 때, MU (C, C ) 를 해당 소비자의 (f ) MRSU(C,C ) (C, C ) = MU (C, C ) 효용수준 U (C, C )에서의 한계대체율(marginal rate of substitution)이라 한다 (g) 동일한 효용수준 UA 를 달성하게 해주는 C 와 C 의 순서쌍의 집합, 즉 CUA := {(C, C ) : UA = U (C, C )} 를 효용 UA 에 대한 그 소비자의 무차별곡선(indifference curve)이라 한다 Figure: 무차별곡선 효용함수 효용함수 Remark 아래와 같이, MRSU(C,C ) C, C 는 C, C 에서 무차별곡선의 기울기를 나타낸다 du C, C = MU C, C dc + MU C, C dc = MU C, C dc + MU C, C dc, C MU C dc = dc (C,C )=(C,C ) MU C, C dc dc Figure: 무차별곡선 (C,C )=(C,C ) = MRSU(C,C ) C, C

3 Definition 현재의 생산이 P, 미래의 생산이 P 인 어떤 생산기회에 대하여, 함수 h (P, P )이 이러한 생산기회하에서 P 와 P 을 가장 효율적으로 생산해내는데 사용되는 자원의 양 (생산기회를 수치화한 양)을 나타낼 때, 함수 h (P, P )을 해당 생산기회에 대한 생산가능함수(production possibility function) 라 한다 Definition 동일한 자원량 ha 를 이용하여 가장 효율적으로 생산가능한 P 와 P 의 순서쌍의 집합, 즉 PPChA := {(P, P ) : ha = h (P, P )} 를 자원량 ha 에 대한 생산가능곡선(production possibility curve) 이라 한다 Corollary 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에게 부여된 생산가능곡선 PPChA 에 대하여, (P, P ) PPChA, h (P, P ) = h y, y = ha Proof 소비자가 생산기회를 포기(방치)하고 자신의 수입을 있는 그대로 소비할 수도 있는데, 이또한 이 생산기회를 이용하여 (방치하여) 그만큼의 수입을 얻은 (생산한) 것이라 할 수 있으므로, 이에 사용된 (방치된) 자원량 또한 주어진 생산기회의 자원량 ha 와 동일하다 즉, (P, P ) PPChA, h (P, P ) = h y, y = ha 가 성립한다 Definition 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에게 부여된 생산가능곡선 PPChA 에 대하여, (a) 현재의 생산 P 를 늘이기 위해 포기해야 하는 미래의 생산 P, 미래의 생산 P 을 늘이기 위해 포기해야 하는 현재의 생산 P 을 늘어난 생산량에 대한 기회비용(opportunity cost)이라 한다 (b) 어느 한 생산량을 한 단위 늘일 때 발생하는 기회비용의 증가분을 한계기회비용(marginal opportunity cost)이라 한다 (c) 어느 한 생산량을 늘여감에 따라 기회비용은 증가하게 되는데, 이를 기회비용체증의 법칙(law of increasing opportunity cost)이라 한다 (d) 어느 한 생산량을 늘여감에 따라 한계기회비용은 증가하게 되는데, 이를 한계기회비용체증의 법칙(law of increasing marginal opportunity cost)이라 한다 Figure: 생산가능곡선

4 Definition 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에게 부여된 생산가능곡선 PPChA 에 대하여, MRTh(y,y ) (P, P ) = h (P, P ) h (P, P ) 를 자원수준 h y, y 에 대한 한계변환율(marginal rate of transformation)이라 한다 단, i {, }, hi (P, P ) = h (P, P ) Pi Lemma (Optimal nvestment Decision) 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에 대하여, 생산가능곡선 PPChA 가 부여되어 있고, 자본시장에서의 이자율이 r이라면, 소비자는 다음 조건을 만족하는 생산수준 P, P 을 얻도록 자원을 투자(투입) 한다 (a) MRTh(y,y ) P, P = ( + r), (b) h P, P = h y, y Proof NPV 를 해당 소비자의 부의 순현재가치라고 하면, y P P, P = arg max NPV = P + y +r +r (P,P ) h (P, P ) = h y, y 여기서, L = P + 라 하자 Remark 아래와 같이, MRTh(y,y ) P, P 는 P, P 에서 생산가능곡선의 기울기를 나타낸다 dh y, y = h P, P dp + h P, P dp = h P, P dp + h P, P dp h P, P dp = dp (P,P )=(P,P ) h P, P dp dp (P,P )=(P,P ) = MRTh(y,y ) P, P P (P,P )=(P,P ) = ; 다음과 같다 λ () λ( + r) (2) h (P, P ) = P (P,P )=(P,P ) = ; 다음과 같다 h (P, P ) = 식 을 식 2로 나누면, h (P, P ) = ( + r) h (P, P ) MRTh(y,y ) P, P = ( + r) y P y λ h (P, P ) h y, y +r +r

5 따라서, 소비자는 다음 조건을 만족하는 생산수준 P, P 을 얻도록 자원을 투자(투입)한다 (a) MRTh(y,y ) P, P = ( + r), (b) h P, P = h y, y Remark 위의 조건은 y P P, P = arg max NPV = P + y +r +r (P,P ) h (P, P ) = h y, y 에 대한 답을 구하는 조건이다 즉, 위의 조건을 만족하는 P, P 는 주어진 소득수준 y, y 를 생산활동에 투자(투입)하여 얻을 수 있는 소비자 부의 순현재가치를 극대화하는 생산량 조합이다 Lemma (Optimal Consumption Decision) 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에 대하여, 이 소비자의 효용함수가 U (C, C )이고, 자본시장에서의 r이라면, 소비자는 다음 이자율이 조건을 만족하도록 소비수준 C, C 을 결정한다 (a) MRSU(C,C ) C, C = ( + r), C y (b) C + = y + +r +r Proof 다음과 같다 C, C = arg max U (C, C ) Figure: 최적투자결정 C (C,C )=(C,C ) = ; 다음과 같다 MU C, C = λ C (C,C )=(C,C ) = ; 다음과 같다 MU C, C = (C,C ) y C C + = y + +r +r 여기서, y C L = U (C, C ) λ C + y +r +r 라 하자 (3) λ +r 식 3을 식 4로 나누면, MU C, C = ( + r) MU C, C MRSU(C,C ) C, C = ( + r) (4)

6 따라서, 소비자는 다음 조건을 만족하도록 소비수준 C, C 을 결정한다 (a) MRSU(C,C ) C, C = ( + r), C y (b) C + = y + +r +r Remark 위의 조건은 C, C = arg max U (C, C ) (C,C ) C + y C = y + +r +r 에 대한 답을 구하는 조건이다 즉, 위의 조건을 만족하는 C, C 는 주어진 소득수준 y, y 와 자본시장을 이용하여 얻을 수 있는 소비조합으로서, 소비자 효용을 극대화하는 소비조합이다 4 피셔의 분리정리 Theorem (Fisher s Separation Theorem) 현재의 수입이 y, 미래의 수입이 y 인 소비자에 대하여, 이 소비자의 효용함수가 U (C, C )이고, 생산가능곡선 PPChA 가 부여되어 있으며, 자본시장에서의 이자율이 r이라면, 소비자는 다음과 같이 두 단계의 분리된 의사결정을 하게 된다 (a) Optimal nvestment Decision: 다음 조건을 소비자는 만족하는 생산수준 P, P 을 얻도록 자원을 투자 (투입)한다 a) MRTh(y,y ) P, P = ( + r), b) h P, P = h y, y (b) Optimal Consumption Decision: 다음 조건을 소비자는 만족하도록 소비수준 C, C 을 결정한다 a) MRSU(C,C ) C, C = ( + r), C P b) C + = P + +r +r Figure: 최적소비결정 4 피셔의 분리정리 Proof 다음과 같다 C, C, P, P = arg max (C,C,P,P ) U (C, C ) h (P, P ) = h y, y and C + C P = P + +r +r 여기서, C P L = U (C, C )λ h (P, P ) h y, y λ2 C + P +r +r 라 하자

7 4 피셔의 분리정리 4 피셔의 분리정리 =& = ; P (C,C,P,P )=(C,C,P,P ) P (C,C,P,P )=(C,C,P,P ) 다음과 같다 λ2 h P, P = λ h P, P =& = ; C (C,C,P,P )=(C,C,P,P ) C (C,C,P,P )=(C,C,P,P ) 다음과 같다 MU C, C = λ2 λ2 = λ ( + r) λ2 MU C, C = +r 이므로 이므로 MU C, C = ( + r) MU C, C MRSU(C,C ) C, C = ( + r) h P, P = ( + r) h P, P MRTh(y,y ) P, P = ( + r) h P, P C + = h y, y 4 피셔의 분리정리 +r = P + P +r 4 피셔의 분리정리 따라서, 소비자는 다음과 같이 두 단계의 분리된 의사결정을 하게 된다 Remark 위의 조건 (a)는 최적투자결정에 관한 Lemma에서 볼 수 있었듯이, (a) Optimal nvestment Decision: 다음 조건을 소비자는 만족하는 생산수준 P, P 을 얻도록 자원을 투자 (투입)한다 a) MRTh(y,y ) P, P = ( + r), b) h P, P = h y, y (b) Optimal Consumption Decision: 다음 조건을 소비자는 만족하도록 소비수준 C, C 을 결정한다 a) MRSU(C,C ) C, C = ( + r), C P b) C + = P + +r +r C y P P, P = arg max NPV = P + y +r +r (P,P ) h (P, P ) = h y, y 에 대한 답을 구하는 조건이다 즉, 위의 조건을 만족하는 P, P 는 주어진 소득수준 y, y 를 생산활동에 투자(투입)하여 얻을 수 있는 소비자 부의 순현재가치를 극대화하는 생산량 조합이다

8 4 피셔의 분리정리 4 피셔의 분리정리 Remark 위의 조건 (b)는 최적소비결정에 관한 Lemma에서 볼 수 있었듯이, C, C = arg max U (C, C ) (C,C ) P C C + = P + +r +r 에 대한 답을 구하는 조건이다 즉, 위의 조건을 만족하는 C, C 는 조건 (a)에서 구한 새로운 소득수준 P, P 와 자본시장을 이용하여 얻을 수 있는 소비조합으로서, 소비자 효용을 극대화하는 소비조합이다 이와 같이, 투자의사결정과 소비의사결정은 아래와 같이 분리된 두 단계에 의해 이루어진다고 할 수 있다 (a) 주어진 소득수준을 생산기회에 투자하여 생산활동을 할 때, 소비자가 가진 부의 순현재가치를 극대화하도록 생산량을 결정한다 (b) 소비자는 이렇게 하여 생산된 생산량을 새로운 소득으로 하여, 이 새로운 소득과 자본시장을 이용하여 본인의 효용을 극대화하는 소비수준을 결정한다 2 따라서, 기업경영에 있어 소유와 경영을 분리하여, 다음과 같이 기업을 운영하는 것이 가능해진다 (a) 기업의 경영자는 기업의 주인인 주주가 투자한 자본금을 이용하여 주주부의 순현재가치를 극대화하기 위해 생산활동에 노력하고, (b) 주주는 투자한 자본금과 기업의 생산활동을 통해 벌어들인 새로운 소득과 자본시장을 이용하여 본인의 효용을 극대화하기 위해 노력한다 3 즉, 소유와 경영의 분리를 기반으로 기업을 운영하는 주식회사제도가 정당화될 수 있다 4 피셔의 분리정리 4 피셔의 분리정리 Example (주)피셔의 주주는 효용함수가 U (C, C ) = 2C2 C2 이고, (주)피셔의 생산가능함수가 h (P, P ) = P2 + P2 이다 자본시장에서의 이자율은 5%이며, 주주는 (주)피셔에 대해 현재 2를, 미래에 를 납입하기로 한다 (a) (주)피셔의 최적생산량은? (b) 주주의 최적소비량은? (c) 이경우 자본을 납입하지 않고 그냥 소비해버리는 경우와 비교하여 효용은 얼마나 증가하는가? Figure: 최적소비투자결정 단, 모든 수치는 소수점 아래 다섯째자리에서 반올림하여 소수점 아래 넷째자리까지 표시하시오

9 4 피셔의 분리정리 4 피셔의 분리정리 (b) MRSU(C,C ) C, C = ( + r); 다음과 같다 Solution (a) MRTh(y,y ) P, P = ( + r); 다음과 같다 h P, P = ( + r) h P, P 2P 2P h P, P C = 5C (6) 식 5와 식 6을 연립하면, P = MU C, C = ( + r) MU C, C 2 4C C = C C (5) = h y, y ; 다음과 같다 2 2 P + P = 5 r = 5 P = 5P C + C +r = P + P +r C 5 = ; 다음과 같다 C 5 = C + P = = 피셔의 분리정리 (7) C = 3879 (8) 5 생산기회와 자본시장의 의의 식 7과 식 8을 연립하면, C = 아래의 그림에서 볼 수 있는 바와 같이, 소비자가 (생산기회를 이용하지 않고) 자본시장을 이용하면 3879 = 소비자가 (자본시장을 이용하지 않고) 생산기회를 이용하면 C = = 622 (c) 자본을 납입하지 않고 그냥 소비하는 경우의 효용은 현재와 미래의 수입을 그대로 소비하는 경우나 자본시장만을 이용하는 경우와 비교해서 생산활동을 통해 효용을 증대시킬 수 있으며, 3 소비자가 자본시장과 생산기회를 모두 이용하면 U(2, ) = = 인 반면, 자본시장과 생산기회가 존재하는 경우 U(544, 622) = = 현재와 미래의 수입을 그대로 소비하는 경우와 비교해서 자본시장을 통해 효용을 증대시킬 수 있고, 2 이므로, 효용이 2533만큼 증가하는 것을 볼 수 있다 현재와 미래의 수입을 그대로 소비하는 경우 뿐만 아니라 자본시장과 생산기회를 각각 이용할 때와 비교해서도 자본시장과 생산기회를 통해 효용을 극대화할 수 있다 4 이것이 바로 생산기회와 자본시장의 의의이며 존재이유라 하겠다

10 5 생산기회와 자본시장의 의의 요약정리 효용함수(utility function): 효용함수, 한계효용(marginal utility), 한계대체율(marginal rate of substitution) 의 개념에 대해 알아보았다 (production possibility curve): 생산가능곡선과 한계변환율(marginal rate of transformation)에 대해 알아보았다 : 소비자의 최적투자결정과 최적소비결정에 대해 알아보았다 4 피셔의 분리정리(Fisher s separation theorem): 소유와 경영의 분리가 어떻게 정당화되는지 피셔의 분리정리를 통해 살펴보았다 Figure: 생산기회와 자본시장의 의의 5 생산기회와 자본시장의 의의: 생산기회와 자본시장의 의의를 효용극대화 측면에서 살펴보았다

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 금융시장과 투자분석 연구 제4강. 소유와 경영의 분리1 조 승 모2 영남대학교 대학원 경제학과 2015학년도 2학기 Copyright 2015 Cho, Seung Mo 1 기본적으로 Fisher, I. (1930), The Theory of Interest, Macmillan의 내용을 바탕으로 작성되었으며,