논리학자, 기호, 컴퓨터 Homework 1 경제학부 김서영 서론 : 주판에서스마트폰국민게임까지 요즘한국에서볼수있는진풍경은지하철 / 버스안에서사람들이일제히핸드폰에얼굴을바짝대고똑같은게임을하고있는모습이다. 한창잘나가고있는 애니팡 이

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규수 유
4 years ago
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1 논리학자, 기호, 컴퓨터 Homework 1 경제학부 김서영 서론 : 주판에서스마트폰국민게임까지 요즘한국에서볼수있는진풍경은지하철 / 버스안에서사람들이일제히핸드폰에얼굴을바짝대고똑같은게임을하고있는모습이다. 한창잘나가고있는 애니팡 이라는선데이토즈사의카카오톡내퍼즐게임어플리케이션때문이다. 이게임은동물을움직여가로나세로로세마리이상붙이면동물들이사라지면서점수가오르며, 1 분이라는제한시간안에얼마나더많은점수를낼수있는지겨루는게임 1 이다. 다음은애니팡에관한아시아경제의 21 일자기사를인용한것이다. 21 일대신증권김회재애널리스트분석에따르면데이터사용량을기초로한애니팡하트의가격은개당 5 원으로추정된다. 애니팡은서버에접속해서아이템등이소비되는방식으로, 한게임에평균 93KB 데이터, 약 5 원이소모된다. 애니팡의고정사용자 800 만명이매일한건의하트를전송한다고가정했을때, 데이터통신에소비되는비용은하루평균 4 억원인셈이다. 이들사용자가하루제한된전송량 50 건을모두사용한다고가정했을때는무려 20 억원에달한다. 애니팡관계자는 " 애니팡은카카오톡네트워크를기반으로애니팡에서만날수있는친구수는수십명에이른다 " 며 " 동시접속자수 300 만명, 게임설치사용자수 1500 만명인점을감안했을때하트유통으로이뤄지는데이터가치는어마어마할것 " 이라고말했다

2 <그림 1> 애니팡 화면 예시 작고 앙증맞은 동물들이 어지러이 놓인 화면에서 민첩하고 성실하게, 동물들을 한 칸씩 한 칸씩 움직이게 하는 게임의 로직을 따라가다 보면 점수가 오르며 게임의 목표에 도달해간다. 이 게임을 보면 마찬가지로 한 번에 한 단계씩, 셀과 상태와 행동표와 동작을 오가며 꾸준히 알고리즘 구현을 위해 작동하는 튜링 기계가 생각날 뿐 아니라, 1936년 그 튜링기계의 발명에서부터 불붙어 2012년 고작 스마트폰 내 오락 프로그램들 중 하나가 20억원의 경제적 가치를 창조하며 1500만명을 쥐락펴락 하는 경지까지 컴퓨터의 발전과정을 곱씹게 된다. 컴퓨터의 역사는 논리를 자동적으로 구현하려던 역사이다. 약간 논란의 여지는 있지만, 초대의 컴퓨터는 주판(abacus)이었다.3 주판은 기원전 2700년 메소포 타미아까지 그 유래를 찾아낼 수 있으며4 수천 년 동안 인류의 계산기 역할을 해 왔다. 심지어 대한민국에서는 주산이 상업고등학교의 교과목 중 하나이자 검정 시험을 통한 취업 입문턱이었던 60년대 이후에도 오늘날 여전히 아이들 교육 완구로 적극 활용되고 있다. 하지만 결국 주판을 통해 실제 계산을 하는 것은 주판을 다루는 사람이지 주판 자체가 아니므로 주판을 자동화된 컴퓨터라는 도구의 시초로 보기엔 약간의 무리가 있다. 컴퓨터의 좀 덜 알려진 초기 역사로는 1623년 독일의 빌헬름 쉬카르트(Schickard) 라는 튀빙겐 대학 교수의 시계 계산기(calculating clock)가 있다.5 쉬카르트는 천문학자 케플러에게 보내는 편지에서 숫자를 입력하여 계산을 돕는 이 기계에 대해 이야기하고 있다. 하지만 이 기계가 실제로 작동을 했는지는 30년 전쟁 때 도면이 불타 없어지면서 영원히 미스터리로 남고 말았다. 쉬카르트의 기계 장치가 디지털 컴퓨터의 시초였다면 숫자가 아닌 다른 양적 측량치를 이용한 3 Paul Strathern (1999), Turing and the Computer: The Big Idea, Anchor Books, p. 13 Georges (2001), The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer, New York: John Wiley & Sons 5 Marguin, Jean (1994) (in fr). Histoire des instruments et machines à calculer, trois siècles de mécanique pensante Ifrah, 2

3 아날로그컴퓨터의시초는윌리엄오트레트 (Oughtred) 가발명한계산자 (slide rule) 이며이또한초보적인계산기의형태이다. 네이피어 (Napier) 의연구를발전시켜두개의자를이리저리밀어계산하는이도구는차후와트 (Watt) 나만하임 (Mannheim) 에의해발전되어보급되었다. 6 하지만쉬카르트 20 년후등장한블레즈파스칼 (Pascal) 이야말로세금관리였던아버지를위해 19 살의나이에덧셈과뺄셈이가능한가산기 ( 加算機 ) 를발명함으로써컴퓨터발전의첫주춧돌을놓았다. 파스칼린 (pascaline) 이라고도불렸던이엄청나게복잡했던계산기는 1645 년에발명되었고, 당시공학의한계로인해아직초보적인계산밖에할수없었다. 특히덧셈또는뺄셈을연쇄적으로함으로써겨우곱셈을할수있었으며, 후대의학자들이이런한계를극복하기위한니즈를인식함으로써컴퓨터역사의본막이올랐던것이다. 7 본문에서는라이프니츠에서튜링까지이어지는컴퓨터의초대역사를살펴보겠다. 2 라이프니츠 (Leibniz) 수학자이자철학자인고트프리트빌헬름라이프니츠 (Leibniz) 는 1646 년에태어났고, 자라면서아리스토텔레스 (Aristotle) 의논리학체계에매료되었으며이는그가계속해서기호및기호화그리고기호들을다루는논리체계를개발하는데집중하는길로이끌었다. 특히그는인간의추론 (reasoning) 을수학처럼오류를곧장찾을수있어논쟁을종식시킬수있는형태로만드는것을원했다. The only way to rectify our reasonings is to make them as tangible as those of the Mathematicians, so that we can find our error at a glance, and when there are disputes among persons, we can simply say: Let us calculate [calculemus], without further ado, to see who is right. 8 라이프니츠는수학연구를하다가 1673 년파스칼린에서더발전한곱셉과나눗셈까지도가능한, 즉사칙연산이가능한계산기를발명하였다. 또한그는기계를통해사칙연산뿐만아니라대수방정식을풀고또논리적추론을기계적절차로변환하여기계적으로추론할수있게하는장치들을꿈꾸었다. 또한후에라이프니츠는미적분기호체계를세우며언어의알파벳과같이의미없는소리가아닌개념을표현하는실제기호체계 (real characteristic) 의중요성을더욱실감하였다. 9 비록그가후원가문인하노버공작가문의가계사를쓰는데남은인생의대부분을허비하게되긴했지만, 라이프니츠는수학뿐만아니라인간의모든사고를기호체계로담기위한노력을끊임없이하였다. 그가 6 Paul Strathern, Op. cit, p Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica (Septembre 1932-Juin 1933). Kessinger Publishing 8 G.W. Leibniz (1685) The Art of Discovery, Wiener 51 9 마틴데이비스 (2005), 수학자, 컴퓨터를만들다 : 라이프니츠에서튜링까지, 지식의풍경, p

4 만들어낸추론계산법 (calculus ratiocinator) 즉항들의연산인 A A 등을골자로하는논리대수는인간의모든논리를대수학적으로환원할수있게해준매개적연산체계였다. 3 불 (Boole) 과프레게 (Frege) 라이프니츠의아이디어를역사적으로발전시킨조지불 (Boole) 또는부울은수리논리학의아버지가되었다. 학교선생님을하며겨우겨우생계를잇던불은틈틈이수학을연구하며대수 (algebra) 가갖고있는무궁무진한가능성에대해탐구하게되었다. 미리엄 - 웹스터 (Merriam-Webster) 사전에서제시하는대수의정의는다음과같다 : 1. a generalization of arithmetic in which letters representing numbers are combined according to the rules of arithmetic 2. any of various systems or branches of mathematics or logic concerned with the properties and relationships of abstract entities (as complex numbers, matrices, sets, vectors, groups, rings, or fields) manipulated in symbolic form under operations often analogous to those of arithmetic. 특히컴퓨터의역사를탐구하기위해서는 2 번째정의에주목할필요가있는데, 요컨대대수라는것은추상적인개념을기호로잡아내어마치산수처럼그관계와속성을공리등으로시스템화하는수학이나논리학인것이다. 대수의어원인 al-jabr 는, 아랍어의정관사 al 에 흐트러진것을묶음 의의미를갖는 jabr 라는말의결합어 10 라는것을고려한다면, 체계가없던것에산술적인체계를부여하는것이대수의본질이라는것을쉽게알수있다. 특히부울은수량과연산을나타내는기호가얼마안되는기본규칙이나법칙을따른다는사실에서대수의위력이비롯된다는것을깨달았다고한다. 11 라이프니츠보다부울이한발앞서나갔다고판단할수있는근거는그의논문과그논문이발전된책인 사고의법칙 The Laws of Thought 또는원제인 논리와확률의수학적이론의기초가되는사고의법칙연구 An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities 때문이다. 불은 모든말은포유동물이다 와같은낱말의논리들은낱말에등장하는개체들의집합으로표현할수있으며, 집합의논리는다시숫자연산으로환원할수있음을밝혀내었다. 이를테면 x 가 흰것들 을대표하고 y 가 양 을대표하면 xy 는 흰양 에속하는집합을나타내게되는것이다. 12 부울이당시제기한규칙들에는 (1) 곱셈은교집합, (2) 마틴데이비스, Op. cit, p 마틴데이비스, lbid, p. 44 4

5 덧셈은합집합, (3) 뺄셈은차집합, (4) X=1 은명제 X 가참, X=0 는명제 X 가거짓이라는것등이있으며원문은통계학에서스피노자까지방대한저술을포함하고있다. 이법칙이활용되는예시를들어보자면, 이를테면 X=1 이고 Y=1 이면 XY=1 인데, 명제 X 가참이고명제 Y 가참이라면명제 X 와 Y 는동시에참이라는것을수학연산을아는사람이라면누구나풀어낼수있게된것이다. 차후에좀더발전한불대수또는부울대수, 즉추론적논리문제에적용할수있는수학적기본법칙과규칙의핵심은 AND, OR, NOT 이되었다. 부울대수로우리는아리스토텔레스의삼단논법뿐아니라전제와결론을갖고있는기본적인논리체계를증명할수있다. 하지만아직부울대수는모든수학적추론을포괄하기엔부족했으므로, 논리학의추가적인발전은차후프레게에의해서이루어졌다. 그후 1938 년미국의섀넌은전기회로의스위치가 ON, OFF 의두상태를갖는점에착안하여전기적스위치회로가부울대수에의해표시될수있음을보여주었다. 13 또한미리엄 - 웹스터사전에서부울대수 (Boolean Algebra) 의정의는다음과같다. Symbolic system used for designing logic circuits and networks for digital computers. Its chief utility is in representing the truth value of statements, rather than the numeric quantities handled by ordinary algebra. It lends itself to use in the binary system employed by digital computers, since the only possible truth values, true and false, can be represented by the binary digits 1 and 0. A circuit in computer memory can be open or closed, depending on the value assigned to it, and it is the integrated work of such circuits that give computers their computing ability. The fundamental operations of Boolean logic, often called Boolean operators, are and, or, and not ; combinations of these make up 13 other Boolean operators. 우리는여기서불이컴퓨터발전에지대한공헌을했음을알수있다. 하지만아직불의논리체계는세밀한추론을포함할수없어, 고틀로프프레게 (Frege) 라는독일의수학자의도움을필요로했다. 그의 개념표기법 Begriffsschrift 은불의저작에서는없던, 모든 을뜻하는보편양화사 (universal quantifier) 인 및 존재함 을의미하는존재양화사 (existential quantifier) 인 를포괄하고, 이면 이다 는 로, 이고 이다 라면 로, 또는 는 로, 그리고 아니다 는 로표기한다. 따라서부울대수로는표현할수없는 모든실패한학생들은어리석거나게으르다 라는명제는 (1) x 는실패한학생이다를 F(x) 로, (2) x 는어리석다를 S(x) 로, (3) x 는게으르다를 L(x) 로놓았을때 ( x)(f (x) S(x) L(x)) 13 Claude Shannon, "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits," unpublished MS Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Aug. 10,

6 와같이표현할수있는것이다. 14 이렇게프레게는모든명제를다룰수있는새로운논리언어를창작했지만, 너무복잡한나머지안타깝게도라이프니츠가원하는 계산 까지가능하게하는언어는아니었다. 4 칸토어 (Cantor) 컴퓨터의발명을위해서는논리학의발전뿐만아니라기존에존재하던수학의영역확장도필요했다. 게오르그칸토어 (Cantor) 는실 (actual) 무한에관해체계적인수학이론을정립한것에서부터나아가집합론의창시자로가장유명하다. 그가일생에걸쳐증명한산술에서 무한 의역할은차후튜링의만능컴퓨터발명에큰공헌을했다. 삼각급수및극한에대한연구중에무한집합을완결된전체로다루고관련된복잡한계산을수행해야 15 했던칸토어는 (1) 무한집합들이여러크기를갖고있다는직관적으로받아들이기어려운사실과 (2) 실수집합과자연수집합은일대일방식으로대응될수없다는사실을밝혀내고, (3) 알레프 - 널등의초한이라는무한집합의기수개념 (4) 대각선방법등의업적을세웠다. 특히대각선방법 (diagonal process) 은 (2) 를증명하는데핵심적인역할을했을뿐만아니라후술하겠지만괴델을거쳐튜링이결정문제에관한직접적인증명을하는초석이되었다. 대각선방법이란집합내원소들종류로그집합에이름표를붙였을때, 이름표를붙였던모든집합들과다른어떤새로운집합을얻는데쓰일수있는방법 이다. 이를테면각각자연수의집합인 M i (i N) 가 i 라는이름표를갖고있다고가정했을때 M 1 부터 M 2, M 3,... 는자연수와가능한모든일대일대응을나타냄에도, i 가 M i 에속하지않을경우만 i 가속할수있다는전혀새로운집합인 M 을창조할수있어, 이와같은어떤대응도자연수들의모든집합들을포함할수없다는것이증명되었다. 16 프레게가한말처럼 무한이이인식론적경향과공존할수있는길은없 음에도 산술에서무한의역할은부정되지않을것 17 이기에칸토어의이론은무한을신의영역으로치부하던기존수학계에엄청난비판과반향을불러일으켰다. 5 힐베르트 (Hilbert) 와괴델 (Gődel) 독일수학자인다피트힐베르트의주요업적중하나는수학기초론 (foundations of mathematics) 로써그는기하학의소재인도형을보면서직관적으로알수 14 마틴데이비스, Op. cit, p 마틴데이비스, lbid, p 마틴데이비스, lbid, p 마틴데이비스, lbid, p

7 있는것에의존하지않고공리들의집합에서정리들을유추할수있어야한다고결론지었고또실제로모순이없고일관성이있는공리들의집합을도출했다. 힐베르트는따라서유클리드기하학의무모순성을산술의무모순성으로환원하였고그다음단계로는산술의무모순성을보이고자했다. 18 특히그는수학과논리학을완전히형식적인기호언어로환원하여, 기호체계외부에서는의미를고려하지않은채조작할수있는라이프니츠의꿈을실현하기위해노력하였다. 그과정에서그는수학과메타수학 (metamathematics) 를구분하였는데, 메타수학은형식화된수학체계의기호나표현에관한명제들의표현법이라고할수있다. 가령 1+1=2 은수학의형식체계에속하지만, 이표현에관한주장인 "1+1=2 은수학의한명제다 " 는메타수학적표현이다. 동시에그를비판하는푸앵카레, 브로우웨르및바일의논리를넘기위해힐베르트의계획 (program) 은힐베르트의결정문제라고알려진, 1 차논리학의전제들과제시된결론이연역적인한정된수의명확하고효과적인단계들을거쳐타당한지아닌지를결정할수있는가를증명하는문제로발전하였다. 19 이는획기적인시도이긴했으나곧괴델에의해뒤엎어질것이었다. 쿠르트괴델의동시대인인버트런드러셀과화이트헤드는모든수학을논리학속에포괄할수있다는것을보여주었지만, 괴델은여기서메타수학을연구중에형식논리체계외부에서바라보면참이라고보일수있지만체계내부에서는증명될수없는명제들이있기때문에수학적진리의범위는얼마나강력한지와는상관없이어떤주어진형식체계에서증명될수있는것보다더넓다는결론을지을수있었다. 특히그는수학원리 (PM) 를주어진형식체계로놓았을때, U 는 PM 안에서증명될수없다 라고주장하는명제 U 가 (1) ( 외부에서봤을때에는 ) 참이지만 (2) PM 안에서는본명제도부정명제도증명가능하지않은특이한명제라는것을보였다. 따라서 U 는본명제도부정명제도 PM 안에서증명할수없어 결정불가능한명제 라는이름을갖게되었으며 1930 년괴델의발표는무모순성을증명하려던힐베르트의계획을완전히무너뜨렸다. 20 수학에관한형식체계는본질적으로불완전하다는이이야기는괴델의불완전성정리 (incomplete theorem) 이라는이름을갖게되었다. 후에괴델은라이프니츠를읽으며라이프니츠가꿈꾸었던보편문자 (characteristica universalis) 개념에찬사를보냈고, 라이프니츠가꿈꾸었던인간이성의계산으로의환원은두세기가지나서도괴델을통해살아숨쉬었다. 6 컴퓨터의아버지, 튜링 (Turing) 그리고그이후 1936 년튜링이발표한논문 계산가능수와결정문제에대한응용에관하여 On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem 는그 18 마틴데이비스, lbid, p 마틴데이비스, lbid, p 마틴데이비스, lbid, p

8 직전해그가케임브리지에서수학기초론에관한뉴먼의강의를들었기에탄생할수있었다. 괴델의불완전성정리를접한튜링은그것을증명하는방법을 계산행위 로증명하는방법에몰두하였다. 그는사람이기호를종이테이프위에작업하는상황을상정하고모든계산들을다음과같은절차들을통해할수있도록변환하였다. 계산은네모칸이그려진종이테이프위의네모칸안에기호를써서실행된다. 각단계에서계산을수행하는사람 / 기계는정확히이네모칸들중하나에적힌기호에주의를기울인다. 사람 / 기계의다음행동은이읽어들이는기호와사람의마음상태 / 기계의설정값에만달려있다. 사람 / 기계는위에따라테이프위해기호를적을것이고그다음에는똑같은네모칸을계속읽어들이거나테이프의왼쪽이나오른쪽으로위치를옮길것이다. 21 그가튜링기계라고부르는이작업플랫폼의핵심은무한히긴테이프를갖고있는유한상태기계였다. 이런수학적으로추상적인개념을통해튜링은모든수학적인계산들을튜링기계에서할수있다는것을증명했으며, 이것은다시말하면튜링기계로할수없는작업이라면그계산을결정할수있는알고리듬절차가없는것이나마찬가지인것이다. 설정값이없는경우, 즉작업이완수되어최종출력물을얻은경우기계는작동을멈추게되는데, 기계가작동을중지하게하는모든작업들의집합을튜링기계의멈춤집합 (halting set) 라고부른다. 이멈춤집합에칸토어의대각선방법을응용하면우리는튜링기계의그어떤멈춤집합과도다른집합을만들어낼수있다. 22 그런데계산작업이멈추지않는다는것은결국모든문제가계산가능한것은아니라는것을뜻하며힐베르트의계획을무너뜨리고괴델의논지를다시한번증명하는방법이된다는뜻이다. 지금까지이어져온수학 / 논리학의맥의꽃이이렇게튜링과튜링기계로피어났다면, 컴퓨터자체는이논리학의발전이아닌그발전의부산물로탄생하게되었다. 튜링은자신의작업의타당성을보이기위해모든튜링기계의규칙표를받아시행하는하나의단일한보편기계 (universal machine) 을고민하게되었고, 1938 년부터독일군대의암호를푸는일을하면서블레츨리파크에서그기계의실제설계를위한전자공학적기초들을익혀나가기시작했다. 이때부터컴퓨터의역사는본격적으로순수논리학이라는하나의기둥에공학이라는또하나의중요한기둥까지두개의결합으로발전하기시작했다. 만약튜링이테이프위에기호를적는 기계 라는발상에착안하지않았다면, 또논문에서실제로그기계부품들을공들여정의하려하지않았다면, 우리는발전된수학은얻을수있었으나컴퓨터라는것은영영알수없게되었을지도모르는 21 마틴데이비스, lbid, p 마틴데이비스, lbid, p

9 일이다. 다행히도실제로이기계를공학적으로구현하는것에튜링및다른사람들이착안하게됨으로써우리는계산능력 (computation) 의자동화의시대를열게된것이다. 아마튜링의논의를접한것으로추정되는존폰노이만 (Neumann) 은논리학을토대로존프리스퍼에커트주니어라는공학자와함께 18,000 개의진공관으로이루어진당시최고의계산기인에니악 (ENIAC: Electronic Numerical Integrator and Computer) 을탄생시킬수있었다. 튜링의보편기계의핵심은말할것도없이 보편성 이다. 이는바꾸어말하면컴퓨터의발전은이제속도와메모리크기외에는없다 23 는뜻이된다. 수많은특허논쟁과튜링의고용및자금난으로인한우여곡절등이있었지만에니악은시간의흐름에따라수많은공학자들및논리학자들에의해에드삭 (EDSAC: Electronic Delay Storage Automatic Calculator), 에드박 (EDVAC: Electronic Discrete Variable Automatic Computer), 유니박 (UNIVAC: Universal Automatic Computer) 등으로발전해가며실제오늘날우리가볼수있는컴퓨터의모태가되었다. 7 결론 : 거인들의어깨에서기 내가더멀리보아왔다면, 그것은거인들의어깨위에서있었기때문이오 년아이작뉴턴은로버트훅에게보낸편지에이렇게쓴바있는데, 이것은과학을비롯한문명전체가그이전에이루어진성과위에새롭게구축되는일련의누적적인진보라는점을지적해주는말 24 이다. 얼른보기에공학의결정체라고만보이는컴퓨터는사실은논리학자들 / 수학자들의 400 년간의사유의결정체라고도할수있다. 즉인간두뇌및정신적인능력의정수 (essence) 만논리또는기호체계로압축된과학적논리로잡아내는것이가능한지, 가능하다면어떻게가능한지, 불가능하다면왜불가능한지에대한 400 년간의대화의소산인것이다. 즉컴퓨터를가능하게한것은일상적인편의를도모하기위한아주실용적인이유에서라기보다는인간의정신이란무엇인가에대한훨씬철학적이고형이상학적인논의, 모순이없는진리란무엇인가에대한논의인것이다. 다시말하자면컴퓨터에서기술은부차적인것이다. 또는기술보다는 아이디어 가컴퓨터의핵심 25 이라고도이야기할수있을것이다. 필자의손에쥐어진스마트폰, 이작은 컴퓨터 에는한입베어문사과로고가그려져있다. 공교롭게도컴퓨터초대역사의거장인튜링이청산가리를주입한사과를베어물고자살하였다고전해져이유명컴퓨터회사의로고는튜링을기린것이아니냐는소문도있었으나, 창립자의전기에따르면이사과는성경에등장하는진리의과일으로서의사과이다. 즉한입베어문사과는지식의습득 (acquisition of knowledge) 를상징하는것이다. 컴퓨터의역사를이해하는것은단순히우리의삶의많은부분을의존하는기계에대한이해를넘어어떤지식을얻게해준다. 지금까지라이프니츠로부터살펴본 400 년의역사를통해거장들이일부는동시대에서, 일부는시대를 23 대니얼힐리스 (1998), 생각하는기계, 사이언스북스, p 스티븐호킹 (2006), 거인들의어깨위에서서 - 물리학과천문학의위대한업적들, 까치글방 25 대니얼힐리스 (1998), Op. cit, p. 12 9

10 뛰어넘어대화를해왔고, 인간이성의가장순수한부분을기호와타당한규칙이라는가장단순한형태로환원하였다. 역사의오랜도움닫기를통해 20 세기후반부터컴퓨터의발전은급격한도약을이루었으며, 반세기정도의시간을거쳐 2012 년현재의발전상태까지다다르게되었다. 400 년간학자들이주장하고반박하고때로는격렬하게싸우면서까지치열하게그환원과정을검증하고또사유하지않았더라면그렇게급속도의발전은없었으리라고생각된다. 이제우리는우리에게너무나친숙한도구가본질적으로인간에게무엇인지에대한질문없이단순히하드웨어와소프트웨어를활용할뿐이지만, 인간이여기까지오기위해얼마나많은거인들의어깨에올라섰는지알아보는것은필수적인공부가될것이다. 10

Microsoft PowerPoint Predicates and Quantifiers.ppt

Microsoft PowerPoint Predicates and Quantifiers.ppt 이산수학 () 1.3 술어와한정기호 (Predicates and Quantifiers) 2006 년봄학기 문양세강원대학교컴퓨터과학과 술어 (Predicate), 명제함수 (Propositional Function) x is greater than 3. 변수 (variable) = x 술어 (predicate) = P 명제함수 (propositional function)