집합과공리계의구성 construction of sets and axiomatic system 이백현 Baekhyun Lee ( 연락처

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1 집합과공리계의구성 construction of sets and axiomatic system 이백현 Baekhyun Lee ( 연락처

2 목차 Ⅰ. 서론 초록(introduction and abstract) 3p Ⅱ. 집합과공리계구성하기 2.1 공리로폰노이만전체구성하기 4p 2.2 공리를집합으로다루기 6p 2.3 위상과명제를통해공리집합의구성요건알아내기 9p Ⅲ. 결론 14p 참고문헌 15p - 2 -

3 Ⅰ. 서론 초록 (introduction and abstract) 이백현 Baekhyun Lee 한국어 이논문은집합개념을몇가지의공리로구성가능한것과, 수있다는것을밝히기위해작성되었습니다. 그공리들또한집합으로다룰 English This paper is written to show that concept of sets can be constructed with a few axioms, and als o the axioms can be treated as a set

4 Ⅱ. 집합과공리계구성하기 2.1 공리로폰노이만전체구성 우선집합을몇개의공리를통해구성해보려고한다. 모든집합을구성하기이전에, 우선공 집합과공집합의멱집합, 그리고공집합의멱집합의멱집합, 으로구성된 V( 폰노이만전체) ⁰) 을구성해보자. 이는다음과같은공리들로가능하다. 공집합 은존재한다. 임의의집합 n 에대해, n 을원소로하는집합이존재한다. 임의의집합 A, B 에대해 A, B 의원소를모두원소로가지는집합이존재한다. 공집합외에원소가없는집합은존재하지않는다. 임의의집합 A, B에대해, 두집합이같은원소를가진다면두집합은같다. V 의부분집합 X 에대해, X 이고, X 의임의의집합 m) X 인 X는 V이다. n, m 에대하여 {n} X, {m} X이고, (n 두번째공리를통해, { }, {{ }}, {{{ }}}, 이가능하며 세번째, 합집합공리를통해 {,{ }}, {{{ }},{,{ }}}, 등이가능함을알수있다. 따라서 공집합의멱집합군 {,{ },{{ }},{,{ }}, }= V이구성가능하다. * 멱집합군은어떤집합 n에대해 n 의멱집합의멱집합의멱집합의멱집합 을무한번반복했을때 구성가능한집합이라고잠시약속하자. V를집합으로다루는것에대해서는 러셀의역설 과관련해 후술하겠다. 이는페아노공리계¹ ) 의방법론을참고했으며다섯번째공리는체르멜로- 프렝켈공리계² ) 의외연공리를그대로가져왔다. V를집합으로취급한다는점에서러셀의역설³ ) 을해결해야한다. 러셀이제기한문제를위 에서구축한공리계로표현하면, V의부분집합 M={x x x} 에서 M이자기자신을포함하 는가?' 가된다. 우선 V의부분집합중 И={x x 는 И, n И에대해 {n} И을만족하는모든집합}, 즉 И={, { }, {{ }}, {{{ }}}, {{{{ }}}}, } 를생각해보자. =1로표기하기로 약속하고, {1}=2, {2}=3, 임의의 n에대해 n +={n} 이라고약속하면곧 {, { }, { { }}, {{{ }}}, {{{{ }}}}, }={1, 2, 3, 4, 5, } 있음을알수있다. 즉자연수의집합으로표현될수 * ={}=1 에서, { 와 } 짝의개수가곧그집합을표기하는숫자가된다. {}=1, {{}}=2, {{{}}}=3 한편자연수의개수가 ℵ₀라고한다면 И의원소의개수는 И = ℵ₀가된다. 이때 И={1, 2, 3, 4, 5, } 의원소중 ℵ₀번째원소를그대로 ℵ₀이라고하자. 다음과같은식이성립 - 4 -

5 할수있음을알수있다. ℵ₀+= ℵ₀+1={ ℵ₀} 이때 ℵ₀+1= ℵ₀이므로, ℵ₀={ ℵ₀} 가성립한다. 이는 x={x} 의꼴로, 사실다른공리계, 특 히체르멜로- 프렝켈공리계의기초공리( 정칙성공리) 와전면으로모순되는데, 나머지공리와는모순되지않는다.( 예를들면 ℵ₀를원소로갖는 ℵ₀는유일하다.) 그이외의 폰노이만식의자연수구성, 1={0}, 2={0, 1}, 임의의 n에대해 n +=n {n}={0, 1, 2, 3,, n} 를봤을때에도 ℵ₀+ = ℵ₀ ={0, 1, 2, 3, 4,, ℵ₀} 이고, ℵ₀ ℵ₀가성립하므로 V 의부분집합 {x x x} 에서, {x x x} 의원소가존재한다. 또한이는앞서만든공리계 에서는모순을일으키지않는것을알수있다. 그렇다면이제 V의부분집합 M={x x x} 에서 M M인지 M M 인지알아보자. 일단 M M 을가정하면, M 을다음과같이나타낼수있다. M=M {M} 어디서많이본구성이다. 이때 M=M {M} 이므로 M=M {M}=M {M {M}}=M {M {M {M}}= 이렇게표현할수있으므로 M M이라면 M에서 x x를만족하는원소가포함되는데이는 M={x x x} 라는정의에모순이다. 따라서 M M 은불가능하다. 따라서 V의부분집합 M={x x x} 에대해 M M 이며, V에서 x x인집합은무한히많고 이를모두더해 그래도여전히 M 을구성할수있다. M M 이며, 모순은발생하지않는다. 한편 V에대해서 {V} 를생각해보자. 이때아까구축한공리에의해 {V} 도 V의원소이고 V { V} 도 V의원소다. 따라서 V를다음과같이나타낼수있다. V={,{ },{{ }},{,{ }},, V,{V},{{V}},{V,{V}}, } V 가 V 를포함해도문제는없다. V 는여전히이공리계에서모든것의집합이다. 한편 M={x x x} 라고했을때, x x x라는규칙자체는 V에포함되지않는다는것도기억해둘만하다. (x x x) V - 5 -

6 2.2 공리를집합으로다루기 공집합의가능한모든멱집합군 V을구성했으니, 이외의집합을구성하기위해서는 V에무언 가를추가해야한다. 그것에무엇을추가할수있을까. 가능하면이미존재하는도구를사용 하기위해다음과같이생각해보자. 공집합은존재한다.= ㄱ 임의의집합 n 에대해, n 을원소로하는집합이존재한다.= ㄴ 임의의집합 A, B 에대해그집합들의원소를모두원소로가지는집합이존재한다.= ㄷ 공집합외에원소가없는집합은존재하지않는다.= ㄹ 임의의집합 A, B 에대해, 두집합이같은원소를가진다면두집합은같다.= ㅁ V 의부분집합 X 에대해, X 이고, X 의임의의집합 X인 X는 V이다. = ㅂ n, m 에대하여 {n} X, {m} X이고, (n m) 이렇게하면집합 { ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 는가능한가? 기존집합들의정의를생각하면쉽게가능할것같지만사실은불가능하다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ 는공리계를구성하고있으며공리계에의해구성된집합개념은 {, { }, {{ }}, {, { }},..., } 안에서만적용가능한개념이다. 또한ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ명제들은스스로구성한논의영 역의모든집합 V 안에존재하지않기때문에 V 내에서원소가될수없다. 여기서공리모임ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ와 V 은굉장히독특한관계다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는 V 과분명 히관계가있지만 V 의원소는아니며, V 으로부터귀납적으로추론해낼수는있지만 V 이존재 한다는사실으로부터ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를연역적으로도출해낼수는없다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는 V 의논리적귀결이아니며증명도불가능하다. 한편ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는적절한공리가추가된다면충분히집합으로다룰수있을것으로보 인다. 따라서ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를집합으로다룰수있도록, 해당공리들을원소로가질수있 도록, 이미구축한공리계와는다른위상의공리계를새로구축해보자. 일단집합이필요하니공리모임ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를다시가져오자. 유의해야할점이한가지 있는데, 지금구축하는공리계는이미구축한공리계와는다른위상에있으며별도의논의영 역, 이미구축한공리를대상으로하는논의영역을가진다는점이다. 편의상 V이구성된위상 을위상 A, 그리고공리모임ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ가존재하는위상을위상 B라고정의하자. 먼저할일은일단ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ로 B위상에집합개념과 V을다시만들어내는것이다. 해 당위상에집합개념을구성하기위해서는우선ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를별도의위상 C 에서다시 공리로구축해야한다. 먼저위상 A 와위상 B 의상태를다시표현해보자. [ 위상 A에구성된것 ] {, { }, {{ }}, {, { }},...}= V - 6 -

7 다시표현하면, 현재위상 A에존재하는모든것들의집합은 V이며, V은존재한다. [ 위상 B에있는것 ] ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ 다시표현하면, 위상 B에는ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ가존재한다. 이제위상 C 에서공리를구축해위상 B 에집합개념을구축하자. 위상 위상 위상 위상 위성 위상 B에서 B에서 B에서 B에서 B에서 B에서 ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ ㅁ ㅂ 이제위상 B에서 V과집합개념을사용할수있다. 다시말하면위상 B에 V이구성되었다. 여기서알수있는사실은, 사실처음에사용했던ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의앞에는 ' 위상 는말이생략되었다는것이다. A에서' 라 여기에명제ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를위상 B 에서집합으로표현하기위해서는다음과같은명제들 을위상 C 에추가해야한다. { ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 는존재한다. 이이외의별도의공리가필요없는이유는, V 을구축할때공집합에서파생가능한모든멱집 합을함께구축했고, 멱집합이존재는곧부분집합의존재를의미하기때문이다. 한편ㄴ=' 임의의집합 n 에대해, n 을원소로하는집합이존재한다.' 에서, 공집합을제외한 n 에대해 n 의원소가존재함을알수있다.( 동치) 따라서 { ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 가 ( 위상 B에) 존재 하면ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ도 ( 위상 B에) 각각존재한다. 이제원한다면이제페아노공리계든, 다른구성가능한체계든무리없이위상 B에넣을수 있다. 위상 C에페아노공리계의공리들을두면위상 B에자연수가포섭된다. { ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 를공리집합 H라고부르면, 공리집합 H의멱집합군도 B 공리계에서성립한 다. 이제위상 C, B, A 를각각살펴보자. [ 위상 C에있는것 ] ( 위상 B에서 ) ㄱ ㄴ ㄷ - 7 -

8 ㄹ ㅁ ㅂ H={ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 는존재한다. 위의명제들이위상 C 에존재한다. [ 위상 B에구성된것 ] V을포함한 H={ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ} 의멱집합군 이때 H 의멱집합군은위상 B 에존재하는모든것들의집합이다. [ 위상 A에구성된것 ] {, { }, {{ }}, {, { }},...}= V 다시말하면위상 A 에 V 이존재한다. 한가지언급해두자면, 위상 B와위상 A의모든집합에대해각각의원소들은실제로구성되었으며, 하나도빠짐없이 ( 각위상에) 존재한다. 위로부터알수있는사실은, 위상 A에구축한뒤위상 B에집합공리H 를도입하고, 위상 B 에대해서위상 C에 H 공리를도입해도모순이일어나지않으며, 첫위상 A에아무런영향을주지않는다는점이다. 수학적귀납법을통해각각의위상에대해다음과같은사실을증명할수있다. 위상 B 에공리집합 H 를도입함으로써위상 A 에 V 을만들어낼수있다. 위상 C 에공리집합 H 를도입함으로써위상 B 에 V 을포함한위상 B 의모든것의집합을만들수있다.... 위상Xn( 위상 Xn은위상 A에서 n-1번째다음위상이며 n 은자연수) 에공리집합 H를도입함으로써위 상 Xn-1 에 V 을포함한위상 Xn-1 의모든것의집합을만들수있다. 따라서다음과같이정리할수있다. 임의의위상 Xn에대해 Xn에집합을구성할수있는공리집합 H가항상위상 Xn+1에존재할수있다. 임의의위상 Xn에대해공리집합 H를도입하면위상 Xn-1 에서항상집합체계를사용가능하며존재하는모든것의집합을구성할수있다. 하위위상에이미집합이구성되었다면, 그상위위상에계속공리집합 H를도입해도하위위상에아무런영향을미치지않는다는것을알수있으므로상위위상에무한번공리집합 H을도입해도모순이발생하지않는다

9 2.3 위상과명제를통해공리집합의구성요건알아내기 공리집합 H 로돌아가보자. H의원소ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는사실엄밀하게따지면위상 B에서는부정의용어인상태다.( 위상 C에서공리집합 H의원소들의관계를규정한바없는상태) 즉, 진짜공리계를구성하려면 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ사이의관계를공리적관계로만들어야한다고추측할수있는데, 이때의문 이발생한다. ' 공리적관계란무엇인가.' 이때우리는괴델에게도움을받아몇가지조건을추측할수있다.( 공리집합을구성할수있 는공리집합이있다면위상 B에서는불가능하다. 이런공리집합은위상 C이상에서만구성할 수있다. 그리고아직공리집합을구성하는방법은밝혀진바없으므로추측해야한다.) 괴델의불완전성정리⁴) 을압축하면 ' 어떤공리체계가무모순이면, 그체계에서는참이면서도증명할수없는명제가적어도하나이상존재한다.' ' 그공리체계는자기자신의무모순에대한정리를포함할수없다.' 이다. 후자를여태구축한개념들로해석하면 ' 임의의공리집합X 에대해, X는자신의무모순성을증명하는공리를원소로가질수없다' 이다. 그런데이미구성해놓은위상들을봤을때, 위상 A에존재하는것을규정한명제들은위상 B에존재하고, 위상 B에존재하는것을규정한명제들은위상 C에존재한다. 어떠한공리집합도이미자기자신의무모순성을해당집합의명제들로증명할수없다. 이는위상 Xn에존재하는어떤명제 X 의논의영역이항상위상 Xn-1에존재한다는것을의미한다. 한편아까공리집합 H 와집합 V 에대해특이한사실을언급했었다. ' 여기서공리모임 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ와 V은굉장히독특한관계다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는 V과분명히관 계가있지만 V 의원소는아니며, V 으로부터귀납적으로추론해낼수는있지만 V 이존재한다는사실으 로부터ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ를연역적으로도출해낼수는없다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ는 V의논리적귀결이 아니며증명도불가능하다.' 이는위상 A의 V으로부터위상 B의공리집합 H를온전히도출하는게불가능하다는것을의미한다. 단지귀납법을통한추측만이가능하다는의미다. 이제앞서언급한불완전성정리의앞부분을해석하면, ' 공리집합의원소들사이에모순이없 다면, 참이면서도증명할수없는원소( 명제) 가하나이상존재한다' 이다. 이때우리는모든 공리집합의원소가명제임을귀납적으로추측할수있다. 이때공리집합에서참인지거짓인지증명할수없는원소( 명제) 가있느냐는문제에대해서는 대답할수있는데, 예를들면아까구축한위상 B 내의공리집합원소ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ명제 들은논의영역을 C로두고있으므로, 위상 B 내에서는ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ명제의참, 거짓을판 별할수없다. ( 한편이미위상 A에 V이구성되었으므로, 위상 A에 V이있다고말할수있 다. 따라서공리집합 H의공리들은참이라고말할수있다. 이는불완전성정리와모순되지 않는다.) 따라서공리집합을규정하는공리집합 L( 집합개념을상위위상에무한도입하면공리집합을 - 9 -

10 구성하는공리들을집합으로다룰수있다) 에대하여, L이임의의위상 Xn에위치한다고했을 때 L 의원소중하나는다음과같다. ' 위상 Xn-1 에서위상 Xn-2 의존재를지시체로삼는명제가존재한다 '= ㅌ 한편공리계( 임의의공리집합이구성한, 공리집합이위치한위상보다한단계아래위상에존 재하는모든것의집합) 를구성할때, 공리들( 공리집합의원소들) 간에모순이없어야공리계 를제대로구성할수있다. * 모순이란, 임의의명제 p, q에대해 p와 q가동시에참이면, p, q의논의영역이같은위상일수없을 때를말한다. 예) 어떤위상에존재하는 '( 해당위상에) 아무것도존재하지않는다' 와 '( 해당위상에) 사람이존재한다' 라는두명제가동시에참이면, 해당명제들은같은위상을논의영역으로둘수없다. 모순이있으면임의의공리 p, q로하나의공리계를구축할수없다. 따라서공집합이아닌공리계를구성하려면공리들사이에모순이없어야한다고추측할수있다. 따라서공리집합을구성하는공리집합 L의원소에는다음과같은명제도포함된다. ' 임의의명제 p 에대해, p 와무모순관계인 q 가존재한다.'= ㅍ 여기까지했는데한가지오류가파악됐다. 명제의존재를주장하려면우선위상Xn 이구성되 어야하기때문이다. 한편위상을구성할수있다면, 위상을구성하는명제들이존재하는메타 위상도있다고말할수있다. 일단 ' 위상 Xn-1 에서위상 Xn-2 를논의영역으로삼는명제가존재한다', 고말하려면위상간 의관계를정의해야하기때문에, 이를이미있는도구들을통해귀납적으로정의해보자. 이미어떠한위상공간에도집합이존재할수있음을확인했으므로, 위상내의모든것의집 합이 인공위상이존재한다, 고말할수있을것이다. ( 모든것을집합안에넣으면공집합 으로표현할수있다는것뿐이지, 해당위상에공집합이존재하는것은아니다.) 공위상은존재한다. 임의의위상Xn에대해, 이위상에집합을발생시키는, 공리집합 H가존재할수있는위상 Xn+1 이존 재한다. 어떤위상 Xa 와 Xb 에대해, Xa=Xb 이라면 Xa+1=Xb+1 다. 공위상에는아무것도존재하지않는다. 임의의위상집합 Y에대해, 공위상이집합 Y의원소이고, 임의의위상 Xn에대해 Xn+1도집합 Y의원 소이면집합 Y 는공위상의상위위상들의집합 W 로정의할수있다. 집합 W가존재하는위상을이제메타위상A라고부르자. 그리고메타위상을발생시키는위공 리가존재하는위상을메타위상 B라고부르면되겠다. 그렇다면메타위상 A와메타위상 B는 위상일까, 아닐까? 메타위상A가위상이라고하면곧바로러셀의역설이발생한다. 그런데메 타위상 A와메타위상 B를정의하려면메타 메타위상 에서가능하므로, 현재시점에서메타위 상 A와메타위상 B는서로간의관계가정의된바없다. 메타' 메타위상' 에서공리를구축하더

11 라도이는메타위상의구성과관련이있으며, 위상과는관련이없다. 한편어떤위상에공리집합을구성하려면, ㅌ와ㅍ를동시에만족해야공리집합을구성할수있다고추측할수있다. 그런데과연ㅌ, ㅍ은 ( 위상집합 W내의임의의위상 Xn내에) 공리집합이존재하기위한필요충분조건일까? 이를알려면우선ㅎ=' 임의의위상 고말하기이전에, 먼저명제의존재부터정의해야한다. Xn에위상 Xn-1을논의영역으로삼는명제가존재한다' 라 명제를정의하기위해다음과같은공리들을생각해보았다. 우리는공집합으로부터위와같 은개념들을구성했으므로, 명제도비슷한방법들로구축할수있을것이다. 위상 Xn 에존재하는가능한모든명제들의집합을 M 하자. 공위상을논의영역으로삼는 ( 위상 Xn-1의아무것도지시체로삼지않는) 공명제가 M의원소에존재 한다.= ㅅ *( 예) 위상 Xn-1에는아무것도존재하지않는다. 임의의명제 p 에대해, (p 의지시체의개수)+1개의지시체를위상Xn-1 에서가지는모든명제 q도 M의 원소다.= ㅇ 공명제의지시체개수는 0 이다.= ㅈ 임의의명제 p, q 에대해, p와 q 이 ( p 의지시체)=(q 의지시체) 이면 p=q 이다.= ㅊ *( 예) ( 위상 Xn-1 에서) 1 은존재한다=( 위상 Xn-1 에서) 일은존재한다=( 위상 Xn-1 에서) One 은존재한다. 전체명제집합 M의부분집합 X에대해, ( 공명제) X이고, 임의의 o X에대해 (o 의지시체의개수+1) 개의지시체를가진모든 p에대해서도 p X 이면, X=M 이다.= ㅋ 이때지시체란위상 Xn-1에존재하는집합이다. 예를들면 대한민국의도시들중수도는서 울이다 고했을때, ( 해당위상에서) {x x 는대한민국의도시들} 와 {x x 는대한민국의수도} 의교집합은 {x x 는서울} 이라는뜻이다. 이때지시체는 3 개라고할수있다. 이제한위상에존재하는모든명제집합을정의할수있게됐다.( 구성됐다고하기는어렵다.) 이제 { ㅅ, ㅇ, ㅈ, ㅊ, ㅋ} 를공리집합 J라고하자. 명제를정의하는공리집합 J를아까구성한위상 C에도입하면위상 B에서명제들을다룰수있게된다. 따라서부정의용어가아닌공리집합 H를통해위상 A에 V를구성할수있다. 한편위상 A에도명제개념을도입가능하므로위상 A의하부위상도구성가능하다. 따라서공리집합 J를상위, 하위위상에무한번구성하고, 공리집합 H 또한상위, 하위위상에무한번구성하면모든위상에서집합과명제개념을사 용할수있다. 자이제위상, 집합, 명제가정의되었으므로, 어떤위상에있는명제들중일부를공리집합으 로규정하려면그위상에있는모든명제들중특정한몇가지를골라내는규칙을만들기만 하면된다

12 이를테면 {x x 는공리집합을구성하는명제} 다. 이때 'x 는공리집합을구성하는명제' 라는문 장은사실 ' 공리집합을구성하는명제 x 가존재한다' 와동치인데, {x x는공리집합을구성하 는명제} 라는집합이위상 Xn에있을때, ' 공리집합을구성하는명제 X가존재한다.' 라는명제 는위상 Xn+1에존재하니헷갈리면안된다. 물론위상 Xn에도동일한명제가존재할수있지 만, 위상 Xn과 Xn+1의명제는서로다르게취급되어야한다. {x x는공리집합을구성하는명 제} 라고했을때, 'X는공리집합을구성하는명제' 라는규칙( 명제) 이상위위상에추가되었다 고보아야한다. 자이제 ' 임의의명제 p에대해, p와무모순관계인 q가존재한다.'= ㅍ로돌아와보자. 명제 p, q 가서로무모순이기만하면공리집합을구성할수있을까? 그런데공위상의경우, '( 해당위상에) 아무것도존재하지않는다' 라는공명제만으로도공위상 을구성할수있다. 즉해당위상에명제개념이존재하기만한다면, 하위위상에공리하나 로도위상을구성할수있다. 한편아까구축했던위상 B에공명제를도입하면, 위상 B의하 위에위상 A와는다른( 위상 A에는집합이존재하므로) 새로운위상 A' 가존재하게된다. 이로 부터어떤위상 Xn에대해 Xn-1에해당하는위상을무한개구성할수있음을알수있다. 즉, 모순된명제가같은위상에존재하면, 해당위상의하위위상계에서로다른위상을만들게 된다. 한편같은위상에존재하는명제 A, B 가서로무모순이면 A, B 는공리집합을구성할수있을 가능성이존재한다. 그러나다음과같은명제로구성된집합이공리집합일까? p='1 이존재한다.' q='2 가존재한다.' 언뜻보면 p, q가무모순할뿐더러아무런문제도없어보인다. 그러나 1, 2의서로간의관 계가규정되지않았으므로 1과 2 는서로에게아무런의미도없다. 1, 2가서로다른위상에 존재하는것이나다름없는상태인데, '2 이상의수만존재한다', '1 이하의수만존재한다' 라 는명제를각각추가하면실제로다른위상으로분리되어버린다. 따라서공리집합을구성하 기위해서는, 공리집합의원소들사이가무모순해야하고, 공리들이규정하는대상들간의관 계가규정되어야한다. 이를테면이렇다. p='1 이존재한다.' q=' 임의의 n에대해 n+1 이존재한다.' 즉명제두개만으로도공리계가구성된다. 이때페아노공리계와다른점은, 1이나그다음 수나유일하지않다는점이다. 예를들면 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3 이해당공리계에존 재할수있다. p, q 를다음과같이만들수도있다. p=' 여자가존재한다' q=' 함께아이를가질수있는남자가존재한다. 이때아이는 ( 생물학적으로 ) 남자혹은여자다' 그렇다면해당공리계에는남자들과여자들이무한히존재한다. 공위상이아닌어떤위상을구성할때, 이를위해필요한공리집합최소한의요건은다음과같이추측할수있다

13 n 개의지시체를가지는명제가존재한다(n 은자연수)= ㅌ 임의의명제 p 에대해, p와무모순한 q 가존재한다.= ㅍ 공리집합을구성하는의해, 해당공리계의모든지시체들의상호관계가규정된다.= ㅎ ㅎ이필요한이유는, 관계가규정되지않은존재는다른위상에존재하는것이나마찬가지이 기때문이다. 예를들면페아노공리계의공리들에 ' 이백현이존재한다' 라는공리를추가할경우, 해당공리 계에는자연수 N 과이백현이존재한다. 근데자연수와이백현의관계가규정되지않았으므로, 이백현은페아노공리계에존재하지않는것이나마찬가지다. 따라서공리집합의요건에는ㅎ 도포함된다. 이제위상 C로돌아가서ㅌ, ㅍ, ㅎ라는규칙을추가하면, 위상 B에구성된공리집합 H가 {X X는ㅌ, ㅍ, ㅎ를만족하는명제} 임을, 즉공리집합임을알수있다. 그리고공리집합 H 를통해, 위상 A 에진정한의미로집합이구성된다

14 Ⅲ. 결론 본문과같이집합을구성하면, 러셀의역설에빠지는일없이한위상에존재하는 모든것의 집합 을구성가능하다. 또한본문의모델에따르면, 우리가생각해내는명제들이실제로우리 와같은위상의대상을지시하는것이아니라, 우리가머릿속에존재하는하위위상에우리가 사는세계의실체들을전사하여지시체로삼고있음을알수있다. 내연구에모순이없다면, 수학과철학의발전에도움이되리라기대한다

15 참고문헌 ⁰) 폰노이만전체 a.org/wiki/%ea%b3%84%ec%8a%b9%ec%a0%81_%ec%a7%91%ed %95%A9 ¹) 페아노공리계 o.wikipedi a.org/wiki/%ed%8e%98%ec%95%84%eb%85%b8_%ea%b3%b5%eb% A6%AC%EA%B3%84 om=%ed%8e%98%ec% 95%84%EB%85%B8%20%EA%B3%B5%EB%A6%AC%EA%B3%84#s-2.1 ² ) ZFC 공리계 C-%ED %94%84%EB%A0%9D%EC%BC%88_%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0#%EC%A0%95 %EC%B9%99%EC%84%B1_%EA%B3%B5%EB%A6%AC ³) 러셀의역설 %EB%9F%AC%EC%85%80%EC%9D%98%20%EC%97%AD%EC%84 %A4 ⁴) 불완전성정리 i/ w/%eb%b6 %88 %EC%99%84%EC%A0%84%EC%84 %B1%20%EC%A0 %95%EB%A6%AC 이외) 윌러드밴오먼콰인 98%A4%EB%A8%BC%20%EC%BD%B0%EC%9D%B8?from=%EC%BD%B0%EC%9D%B8#s

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