본문 003 쪽 01 이등변삼각형의성질 Step 2. 대표문제로접근하기 ù 02 80ù 03 52ù 04 71ù 05 30ù Step 1. 개념다지기 01-1 이등변삼각형의뜻과성질 답 ➊ 이등변삼각형 ➋ 꼭지각 ➌ 밑변 ➍ 밑각 ➎ 두밑각 ➏ 수직이등분 기본

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1 본문 00 쪽 0 이등변삼각형의성질 Step. 대표문제로접근하기 0 00ù 0 80ù 0 5ù 04 7ù 05 0ù Step. 개념다지기 0- 이등변삼각형의뜻과성질 답 ➊ 이등변삼각형 ➋ 꼭지각 ➌ 밑변 ➍ 밑각 ➎ 두밑각 ➏ 수직이등분 기본연습 () 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 B+ C=80ù-50ù=0ù 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C B= _0ù=65ù () AHÓ 는이등변삼각형 ABC 의꼭지각의이등분선이므로 BCÓ 를수직이등 연습 분한다. CHÓ= BCÓ= _=6 (cm) () 65ù () 6 cm () 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 ABC+ BAC=80ù-00ù=80ù 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 ABC= BAC ABC= _80ù=40ù x=80ù- ABC=80ù-40ù=40ù () BAH= CAH이므로 AHÓ는이등변삼각형 ABC의꼭지각의이등분 선이다. AHB=90ù x=80ù-( BAH+ AHB)=80ù-(55ù+90ù)=5ù () 40ù () 5ù 06 0ù 07 ABP=8ù, BCÓ=0 cm cmû` 09 ACÓ=7 cm, BHÓ=5 cm 0 5ù 0 cm 5 cm 0ù 4 6ù 유제 0 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C 이때삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 A+ B+ C=0ù+ B=80ù B=60ù B=80ù CBD=80ù- B=80ù-80ù=00ù 00ù 유제 0 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C 이때 C=80ù-0ù=50ù이고삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 A+ B+ C=80ù A=80ù-( B+ C)=80ù- C=80ù-00ù=80ù 80ù 유제 0 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C 삼각형 BCD 에서 B+ C+ BDC= C+84ù=80ù C=96ù C=96ù_ =64ù A =80ù-( B+ C)=80ù-(64ù+64ù) =80ù-8ù=5ù 유제 04 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C 삼각형의세내각의크기의합은 80ù 이므로 A+ B+ C=80ù 04ù+ C=80ù C= _(80ù-04ù)=8ù ACD=80ù- C=80ù-8ù=4ù 5ù 0- 이등변삼각형이되는조건 ACE= ACD= _4ù=7ù 7ù 답 ➊ 두내각기본연습 () 두내각의크기가같은삼각형은이등변삼각형이므로 B= C에서 ACÓ=ABÓ=7 cm () B= C=45ù로삼각형 ABC의두내각의크기가같으므로 ABÓ=ACÓ=5 cm () 7 cm () 5 cm 연습 () 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 C=80ù-( A+ B)=80ù-(0ù+0ù)=0ù 따라서 A= C이므로 ABÓ=BCÓ=4 cm x=4 () 삼각형 ABC에서 B=80ù-5ù=65ù 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 C=80ù-( A+ B)=80ù-(50ù+65ù)=65ù 따라서 B= C이므로 ACÓ=ABÓ=5 cm x=5 () 4 () 5 유제 05 정육각형 ABCDEF에서 CDÓ=DEÓ이므로삼각형 CDE는이등변삼각형이다. 이등변삼각형의두밑각의크기가같으므로 CED= ECD 정육각형의한내각의크기는 80ù_(6-) =0ù 6 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 CDE+ CED+ ECD=0ù+ CED=80ù CED=60ù CED=0ù 0ù 유제 06 APÓ가 BAC의이등분선이므로 BAP= CAP 이때 BAP= CAP= x라하면이등변삼각형 APC에서 ACP= CAP= x APB= ACP+ CAP= x 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로삼각형 ABP에서 ABP+ BAP+ APB =90ù+ x+ x=90ù+ x=80ù x=90ù x=0ù APC=80ù- APB=80ù-_0ù=80ù-60ù=0ù 0ù 0 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

2 본문 007 쪽 유제 07 이등변삼각형의꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분하므로 BPÓ=CPÓ, APÓ BCÓ 이때 BAP= CAP=5ù 이므로 ABP =80ù-( APB+ BAP)=80ù-(90ù+5ù) =8ù BCÓ=PCÓ=_0=0(cm) ABP=8ù, BCÓ=0 cm 유제 08 이등변삼각형의꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분하므로 BPÓ=CPÓ, APÓ BCÓ CPÓ= BCÓ= _6=8 (cm) ACP = _CPÓ_APÓ = _8_4=56 (cmû`) 56 cmû` 유제 09 B= C이므로삼각형 ABC는 ABÓ=ACÓ 인이등변삼각형이다. ACÓ=ABÓ=7 cm BAH= CAH이므로 AHÓ는 A의이등분선이고, BCÓ를수 직이등분하므로 BHÓ=CHÓ BHÓ = BCÓ = _0=5 (cm) ACÓ=7 cm, BHÓ=5 cm 유제 B= x라하면 C= B+40ù= x+40ù BDE에서 BDÓ=DEÓ이므로 DEB= B= x, ADE= DBE+ DEB= x ADE에서 DEÓ=EAÓ이므로 DAE= ADE= x ABE에서 AEC= ABE+ BAE= x AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로 AEC= C x= x+40ù, x=40ù x=0ù 0ù 유제 4 A= x라하면 DCE= A= x ( 접은각 ) ADC에서 BDC= A+ DCE= x DBC에서 CBÓ=CDÓ이므로 B= BDC= x ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ACB= B= x ABC의세내각의크기의합은 80ù이므로 x+ x+ x=80ù, 5 x=80ù x=6ù 6ù Step. 단원마무리하기 cm 04 60ù Ⅰ- 0. 이등변삼각형의성질 유제 0 주어진그림에서 B= C=65ù이므로삼각형 ABC는이등변삼각형이다. 이때 BHÓ=CHÓ이므로 AHÓ는 A의이등분선이다. 삼각형 ABC의세내각의크기의합은 80ù이므로 A+ B+ C=80ù A=80ù-( B+ C)=80ù-0ù=50ù BAH = A 0 ( 가 ) ACÓ ( 나 ) ACH ( 다 ) SAS ( 라 ) C 4 75ù cm ù 7 5ù ù 0 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 B= C A =80ù-( B+ C) =80ù-(78ù+78ù) =80ù-56ù=4ù 유제 = _50ù=5ù 5ù ABC+ ACB= PAB에서 ABC+5ù=50ù ABC=5ù 따라서 ABC= ACB이므로삼각형 ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다. BPD+ APB=80ù에서 APB=80ù-0ù=50ù 따라서 APB= PAB이므로삼각형 APB는 ABÓ=PBÓ인 이등변삼각형이다. PBÓ=ABÓ=ACÓ=0 cm 0 cm 0 ABC=80ù-ù=68ù 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 ABC= C A =80ù-( ABC+ C)=80ù-(68ù+68ù)=80ù-6ù =44ù 5 0 이등변삼각형의꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분하므로 BPÓ=CPÓ, APÓ BCÓ BCÓ=BPÓ=_=4 (cm) 4 cm 유제 삼각형 ABC는이등변삼각형이므로 B= C C= _(80ù-6ù)= _44ù=7ù ACP= C= _7ù=6ù 따라서 A= ACP이므로삼각형 APC는 APÓ=CPÓ인이등변삼각형이다. 또한 BCP= ACP=6ù이고 B= C=7ù이므로 BPC=80ù-(7ù+6ù)=7ù 따라서 B= BPC이므로삼각형 BCP는 BCÓ=CPÓ 인이등변삼각형이다. APÓ=CPÓ=BCÓ=5 cm 5 cm 04 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 ABC= C 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로 A+ B+ C=80ù 00ù+ ABC=80ù, ABC=80ù ABC=40ù ADB=80ù-{ A+ ABC}=80ù-(00ù+0ù)=60ù 60ù 05 ABP는이등변삼각형이므로 BAP= ABP=0ù APC= ABP+ BAP=0ù+0ù=40ù PAC = _(80ù-40ù) = _40ù=70ù 4 Ⅰ. 삼각형의성질 0. 이등변삼각형의성질

3 본문 0 쪽 06 이등변삼각형의두밑각의크기는같다. B= C, 점 A에서 BCÓ에내린수선의발을 D라하면 ABD와 ACD에서 ABÓ=ACÓ, ADÓ는공통, ADB= ADC=90ù, B= C이므로 BAD =80ù- B- ADB =80ù- C- ADC = CAD ABDª ACD (SAS 합동 ) 따라서 BDÓ=CDÓ, DAB= DAC 4, 5 BCÓ의중점을 D라하면 ABD와 ACD에서 ABÓ=ACÓ, ADÓ 는공통, BDÓ=CDÓ 이므로 ABDª ACD (SSS 합동 ) ADB= ADC ADB+ ADC=80ù이므로 ADB= ADC=90ù 따라서 ABD는직각삼각형이고 ADÓ BCÓ이다. 따라서옳지않은것은 4이다. 07 A`:` B=5`:`에서 A=5 k, B= k (k>0) 라하자. 이등변삼각형 ABC에서 B= C= k이므로 A+ B+ C=5 k+ k+ k=80ù 9 k=80ù, k=0ù C= k=_0ù=40ù 08 ABÓECÓ이므로 ABC= ECD=46ù ( 동위각 ) ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로 BAC = _(80ù- ABC) 4 0 ABÓ=ACÓ 인이등변삼각형 ABC에서 A의이등분선이 BCÓ 와만나는 점을 H라하자. ABH와 ACH에서 ABÓ= ( 가 ) ACÓ, BAH= CAH, AHÓ는공통이므로 ABHª ( 나 ) ACH ( ( 다 ) SAS 합동 ) 따라서 B= ( 라 ) C 이므로이등변삼각형의두밑각의크기는같다. ( 가 ) ACÓ ( 나 ) ACH ( 다 ) SAS ( 라 ) C ABC와 ADC에서 ABÓ=ADÓ, BCÓ=DCÓ, ACÓ는공통이므로 ABCª ADC (SSS 합동 ) 따라서 BAE= DAE, BCE= DCE, 5 ABCª ADC는옳다. ABD에서 AEÓ는 A의이등분선이므로 BEÓ=DEÓ는옳다. 4 ABE= BCE인지는알수없다. 4 ADÓBCÓ이므로 CBD= ADB ( 엇각 ) ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ABD= ADB 따라서 CBD= ABD ABC=70ù이므로 CBD= ABC= _70ù=5ù BCD에서 BDC=80ù-(70ù+5ù)=75ù 75ù 오른쪽그림에서 ABC= CBD ( 접은각 ), CBD= ACB ( 엇각 ) 이므로 ABC= ACB 따라서 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ACÓ= cm cm 4 ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 A= ABD= _(80ù-08ù)=6ù = _(80ù-46ù) = _4ù=67ù 5 09 B= C이므로 ABÓ=ACÓ A=80ù-(50ù+65ù)=65ù 따라서 A= C이므로 BAÓ=BCÓ BAC=80ù-55ù=5ù 따라서 ABC에서 B= BAC이므로 CBÓ=CAÓ 4 A와 C의크기를알수없으므로 ABC가이등변삼각형인지알수없다. 5 ABD에서 A=80ù-(0ù+90ù)=70ù ACB=80ù-0ù=70ù 따라서 ABC에서 A= ACB이므로 BAÓ=BCÓ 따라서,,, 5의 ABC는이등변삼각형이고 4의 ABC가이등변삼각형인지는알수없다. 4 BCD에서 DBC=08ù-7ù=6ù ABC= ABD+ DBC=7ù= A ABC에서 ABC= ACB이므로 ABÓ=ACÓ 4 ABD=6ù, C=7ù 5 ABD에서 ADÓ=BDÓ BCD에서 BDC=80ù-08ù=7ù= C이므로 BDÓ=BCÓ ADÓ=BCÓ 따라서옳지않은것은 4이다. 4 5 두삼각형 ABE와 ACD에서 ABÓ=ACÓ, BEÓ=CDÓ, B= C이므로 ABEª ACD (SAS 합동 ) AEÓ=ADÓ 이때 AEÓ=DEÓ이므로삼각형 ADE는정삼각형이다. 따라서 ADE=60ù이고, DBA= DAB에서 ADE= DBA+ DAB= DBA=60ù DBA=0ù ABC= DBA=0ù 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

4 본문 04 쪽 6 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 B= C= _(80ù-48ù)=66ù DBC= DCB= _66ù=ù 따라서 DBC에서 BDC=80ù-( DBC+ DCB)=80ù-(ù+ù)=4ù 4ù 0 직각삼각형의합동조건 Step. 개념다지기 7 ABC가정삼각형이므로 ACB=60ù DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 DCE= DEC=65ù ACD =80ù- ACB- DCE=80ù-60ù-65ù 0- 직각삼각형의합동조건 ➊ 예각 ➋ 빗변 =80ù-5ù=55ù 기본연습 따라서 ADC에서 ADC=90ù-55ù=5ù 5ù 8 DBC에서 BCÓ=BDÓ이므로 DCB= BDC=ù 따라서 DBC에서 DBE= DCB+ BDC=ù+ù=64ù ABE=_64ù=8ù ABC=80ù-8ù=5ù ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ABC= ACB=5ù 따라서 ABC에서 A=80ù-( ABC+ ACB)=80ù-(5ù+5ù)=76ù () 두직각삼각형에서 ABÓ= FDÓ, ACÓ =FEÓ이므로 ABCª FDE ( RHS 합동 ) 따라서 DEÓ의길이는 `cm이다. () 두직각삼각형에서 ABÓ =EFÓ, A= E 이므로 ABCª EFD ( RHA 합동 ) 따라서 EDÓ의길이는 5 `cm이다. 연습 풀이참조 Ⅰ- 0. 직각삼각형의합동조건 9 이등변삼각형 ABC에서 ABC = ACB = _(80ù-40ù) = _40ù=70ù BED와 CFE에서 BEÓ=CFÓ, DBÓ=ECÓ, EBD= FCE이므로 BEDª CFE (SAS 합동 ) 이때 ECÓ=EFÓ에서삼각형 CFE가이등변삼각형이므로 EFC=70ù, FEC=80ù-(70ù+70ù)=40ù 마찬가지로삼각형 BED에서 DEB=70ù이므로 DEF=80ù- DEB- FEC=80ù-70ù-40ù=70ù 4 ㄱ. 주어진직각삼각형과빗변의길이와다른한변의길이가각각같으므로 RHS 합동이다. ㄴ. 주어진직각삼각형과한변의길이와한예각의크기가각각같지만빗변이아니므로합동이아니다. ㄷ. 다른한예각의크기는 90ù-70ù=0ù 따라서주어진직각삼각형과빗변의길이와한예각의크기가각각같으므로 RHA 합동이다. ㄱ, ㄷ 0- 각의이등분선의성질 ➊ 두변 ➋ 이등분선기본연습 0 오른쪽그림과같이 DEC와합동인 FEA를그리면 AFE= CDE=ù () AOP= BOP일때, 두직각삼각형 POQ, POR에서 OPÓ는공통, POQ= POR 이므로 POQª POR ( RHA 합동 ) ABF 는 ABÓ=AFÓ 인이등변삼각형이므로 따라서합동인두삼각형의대응변의길이는 x= AFE=ù ù 같으므로 PQÓ =PRÓ이다. () PQÓ=PRÓ일때, 두직각삼각형 POQ, POR에서 OPÓ는공통, PQÓ=PRÓ이므로 POQ ª POR ( RHS 합동 ) 따라서합동인두삼각형의대응각의크기는 같으므로 AOP= BOP 이다. 풀이참조 연습 () 각의이등분선위의한점에서그각을이루는두변까지의거리는같으므로 PRÓ=PQÓ=8 cm x=8 () 두직각삼각형 POQ, POR에서 PQÓ=PRÓ이고 OPÓ는공통이므로 POQª POR (RHS 합동 ) 합동인두삼각형의대응각의크기는같으므로 OPQ= OPR=75ù x=80ù-( PQO+ OPQ)=80ù-(90ù+75ù)=5ù () 8 () 5ù Ⅰ. 삼각형의성질 0. 직각삼각형의합동조건

5 본문 08 쪽 Step. 대표문제로접근하기 ㄴ과ㄹ, RHA 합동 0 8 cmû` 04 4 cm 05 9 cm 06 cm 07 BPC=65ù, BHÓ=7 cm 08 40ù 09 5ù 0 4 cmû` ù 5 cmû` 0 cmû` 4 60ù 유제 07 두직각삼각형 PCB, PHB에서 PBÓ는공통이고 PCÓ=PHÓ 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고다른한변의길이가같으므로서로합동이다. (RHS 합동 ) BHÓ=BCÓ=7 cm 이때 ABC=50ù이므로 PBH= PBC= _50ù=5ù BPC=90ù-5ù=65ù BPC=65ù, BHÓ=7 cm 유제 0 주어진삼각형의다른한예각의크기는 90ù-58ù=ù이므로 5의삼각형과서로합동이다. (RHA 합동 ) 5 유제 0 ㄹ에서다른한예각의크기는 90ù-50ù=40ù이다. 따라서ㄴ과ㄹ은빗변의길이가 6으로같 고한예각의크기가 40ù로같으므로서로합동이다. (RHA 합동 ) ㄴ과ㄹ, RHA 합동유제 0 두직각삼각형 ABH, CAI에서 ABÓ=CAÓ ABH+ BAH=90ù, BAH+ CAI=90ù이므로 ABH= CAI 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고한예각의크기가같으므로서로합동이다. (RHA 합동 ) HÕIÕ=AHÓ+AÕIÕ=CÕIÕ+BHÓ=0+6=6(cm) HBCI = _(BHÓ+CÕIÕ)_HÕIÕ = _(6+0)_6 =8(cmÛ`) 8 cmû` 유제 04 두직각삼각형 ABH, CAI에서 ABÓ=CAÓ ABH+ BAH=90ù, BAH+ CAI=90ù이므로 ABH= CAI 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고한예각의크기가같으므로서로합동이다. (RHA 합동 ) AHÓ=CÕIÕ=7 cm, AÕIÕ=BHÓ= cm HÕIÕ =AHÓ-AÕIÕ =7-=4(cm) 4 cm 유제 05 두직각삼각형 BMH, CMI에서 BÕMÓ=CÕMÓ이고 BMH= CMI ( 맞꼭지각 ) 이므로 BMHª CMI (RHA 합동 ) IMÓ=HÕMÓ= cm AÕIÕ=AHÓ+HÕMÓ+IMÓ=5++=9(cm) 9 cm 유제 06 두직각삼각형 PBC, PHC에서 PCÓ는공통이고 PCB= PCH이므로 PBCª PHC (RHA 합동 ) CHÓ=CBÓ=0 cm ACÓ=AHÓ+CHÓ=+0=(cm) cm 유제 08 두직각삼각형 MBH, MAI에서 MBÓ=MAÓ, MHÓ=MIÓ 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고다른한변의길이가 같으므로서로합동이다. (RHS 합동 ) 이때 A= B이고 A+ B+ C=80ù에서 A+ B=80ù-00ù=80ù A= _80ù=40ù 유제 09 두직각삼각형 BAP, BCP에서 PBÓ는공통이고 ABÓ=CBÓ이므로 BAPª BCP (RHS 합동 ) 따라서 ABP= CBP= _0ù=65ù이므로 APB=80ù-(90ù+65ù)=80ù-55ù=5ù 유제 0 두직각삼각형 PAB, PCB에서 PBÓ는공통이고 APB= CPB이므로 PABª PCB (RHA 합동 ) 따라서 BCÓ=BAÓ= cm, APÓ=CPÓ=8 cm이므로 유제 40ù 5ù ABCP = PAB+ PCB= _APÓ_ABÓ+ _CPÓ_BCÓ = _8_+ _8_=4(cmÛ`) 4 cmû` ABC=80ù-( A+ C)=80ù-(48ù+90ù)=4ù 이때 PCÓ=PHÓ이므로점 P는 ABC의이등분선위의점이다. PBC= ABC= _4ù=ù 유제 점 P에서 ACÓ에내린수선의발을 H라하자. 이때점 P가 A의이등분선위의점이므로 PHÓ=PBÓ= cm 다른풀이 ACP= _0_=5(cmÛ`) 오른쪽그림과같이점 P 에서 ACÓ 에내린수선 의발을 H 라하자. 두직각삼각형 ABP, AHP 에서 APÓ는공통이고 PAB= PAH 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고한예각의크기가같으므로서로합동이다. (RHA 합동 ) PHÓ=PBÓ= cm ACP= _ACÓ_PHÓ= _0_=5(cmÛ`) ù 5 cmû` 4 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

6 본문 05 쪽 유제 AMD 와 CMB 에서 AÕMÓ=CÕMÓ, AMD= CMB ( 맞꼭지각 ), ADM= CBM=90ù 이므로 AMDª CMB (RHA 합동 ) 따라서 BCÓ=DAÓ=4 cm 이므로 EMC = _EÕMÓ_BCÓ = _(DEÓ+DÕMÓ)_BCÓ = _(7+)_4=0(cmÛ`) 0 cmû` 유제 4 OBPA에서 90ù+ AOB+90ù+ APB=60ù 80ù+ AOB+ APB=60ù AOB+ APB=80ù이고 AOB : APB= :이므로 APB=80ù_ =0ù 이때 PAÓ=PBÓ 이므로점 P 는 AOB 의이등분선위의점이다. APO= APB= _0ù=60ù 60ù 05 ABH에서 ABH =80ù-( BAH+ AHB) =80ù-(ù+90ù)=58ù ㄱ. ABH와ㄱ의삼각형에서세내각의크기가같지만대응하는변의길이가같은지알수없으므로두직각삼각형이서로합동인지알수없다. ㄴ. ㄴ의삼각형에서나머지한각의크기는 80ù-(48ù+ù)=00ù 로ㄴ의삼각형은직각삼각형이아니고 ABH와합동이아니다. ㄷ. ABH와ㄷ의삼각형에서세내각의크기가같지만대응하는변의길이가같은지알수없으므로두직각삼각형이서로합동인지알수없다. ㄹ. ABH와ㄹ의직각삼각형은빗변의길이와다른한변의길이가각각같으므로서로합동이다. ( 가 ) ㄹ ( 나 ) 다른한변의길이 06 두직각삼각형 ABH, CAI에서 ABÓ=CAÓ ABH+ BAH=90ù, BAH+ CAI=90ù이므로 ABH= CAI 따라서두직각삼각형은빗변의길이가같고한예각의크기가같으므로서로합동이다. (RHA 합동 ) AHÓ=CÕIÕ= cm Ⅰ- 0. 직각삼각형의합동조건 ABH= _AHÓ_BHÓ= 5=0(cmÛ`) 5 Step. 단원마무리하기 0 0 6ù cm 05 ( 가 ) ㄹ ( 나 ) 다른한변의길이 , 4 09 ( 가 ) PAO ( 나 ) OPÓ ( 다 ) PBÓ ( 라 ) RHS ( 마 ) YOP 0 8 cm 4 ( 가 ) BCÓ ( 나 ) DCÓ ( 다 ) RHS 4 6ù 5 07 두직각삼각형 AOB, AOC에서 ( 가 ) OAÓ 는공통이고 ABO= ACO=90ù, AOB= ( 나 ) AOC 이므로 AOBª AOC ( ( 다 ) RHA 합동 ) 따라서 ( 가 )~( 다 ) 에들어갈내용으로알맞은것은 이다. ( 가 ) E ( 나 ) CAÓ ( 다 ) ACE ( 라 ) RHA 6 a-b 7 ( 마 ) AEÓ ( 바 ) ADÓ ( 사 ) CEÓ 두직각삼각형 PAB, PCB에서 PBÓ는공통이고 APB= CPB이므로 PABª PCB (RHA 합동 ) BCÓ=BAÓ=7 cm 0 ABC와 DEF에서 ABÓ=DEÓ, C= F=90ù, ACÓ=DFÓ이므로 ABCª DEF (RHS 합동 ) EDF= BAC=6ù 6ù 0 주어진삼각형의다른한각의크기는 90ù-5ù=65ù이므로 의삼각형과서로합동이다. (RHA 합동 ) 04 두직각삼각형 PBC, PHC에서 PCÓ는공통이고 PBÓ=PHÓ PBCª PHC (RHS 합동 ) 따라서 CHÓ=CBÓ=5 cm이므로 AHÓ=ACÓ-CHÓ=9-5=4(cm) 4 cm 08 ABC가이등변삼각형이므로두밑각의크기는같다. B= C 4 ABD와 ACD에서 ADB= ADC=90ù, ABÓ=ACÓ, ADÓ 는공통이므로 ABDª ACD (RHS 합동 ) BAD= DBA일때만 ADÓ=BDÓ가되므로항상옳은것은아니다. BDÓ=CDÓ이므로 BCÓ=BDÓ+CDÓ= CDÓ 5 ABD에서삼각형의세내각의크기의합이 80ù이므로 BAD+ B+ ADB=80ù BAD+ B =80ù- ADB =80ù-90ù=90ù 따라서항상옳은것은, 4이다., 4 09 AOP와 BOP에서 ( 가 ) PAO = PBO=90ù, ( 나 ) OPÓ 는공통, PAÓ= ( 다 ) PBÓ 이므로 AOPª BOP ( ( 라 ) RHS 합동 ) XOP= ( 마 ) YOP ( 가 ) PAO ( 나 ) OPÓ ( 다 ) PBÓ ( 라 ) RHS ( 마 ) YOP Ⅰ. 삼각형의성질 0. 직각삼각형의합동조건 5

7 본문 07 쪽 0 APC 와 AQB 에서 ABDª HBD (RHA 합동 ) A 는공통, ACÓ=ABÓ, APC= AQB=90ù 이므로 BÕHÓ=BÕAÓ=a yy ᄀ 빗변의길이와한예각의크기가각각같다. ABÓ=ACÓ=a 이므로 DHÓ=DÕAÓ=ACÓ-CDÓ=a-b 따라서 APCª AQB (RHA 합동 ) 이때 ABC 는직각이등변삼각형이므로 C=45ù 이다. AQÓ=APÓ=7 따라서 CHD 도직각이등변삼각형이므로 CHÓ=DHÓ=a-b yy ᄂ BDE 와 BDC 에서 B C Ó =BHÓ+CHÓ=a+(a-b) ( ᄀ, ᄂ ) BED= C=90ù, BDÓ 는공통, BEÓ=BCÓ =a-b a-b 이므로 BDEª BDC (RHS 합동 ) EDÓ=CDÓ= 4 5 c m AED의넓이가 08 5 cmû`이므로 08 _AEÓ_EDÓ= 5 에서 _AEÓ_ 4 5 = 08 AEÓ=9 cm 5 따라서 BEÓ=7-9=8(cm) 이므로 BCÓ=BEÓ=8cm 오른쪽그림과같이점 D에서변 AC에내린 수선의발을 H라하면 CBD 와 CHD 에서 DCB= DCH, CDÓ 는공통, CBD= CHD=90ù 이므로 CBDª CHD (RHA 합동 ) HDÓ=BDÓ=4cm ADC=6 cmû` 이므로 8 cm _ACÓ_HDÓ=6, _ACÓ_4=6, ACÓ=6 ACÓ=8cm 4 ABC와 DCB에서 BAC= CDB=90ù, ( 가 ) BCÓ 는공통, ABÓ= ( 나 ) DCÓ 이므로 빗변의길이와다른한변의길이가각각같다. 따라서 ABCª DCB ( ( 다 ) RHS 합동 ) 이고 ACÓ=DBÓ 이다. 4 AED와 ACD에서 AED= ACD=90ù, ADÓ는공통, AEÓ=ACÓ 이므로 AEDª ACD (RHS 합동 ) 이때 EDC=80ù-5ù=8ù이므로 CDA= EDA= _8ù=64ù ADC 에서 DAC=80ù-(90ù+64ù)=6ù ( 가 ) BCÓ ( 나 ) DCÓ ( 다 ) RHS 6ù 7 ABD와 CAE에서 D= ( 가 ) E =90ù, ABÓ= ( 나 ) CAÓ A= BAD+ CAE=90ù CAE에서세내각의크기의합은 80ù이므로 CAE+ AEC+ ACE=80ù CAE+ ( 다 ) ACE =80ù- AEC=80ù-90ù=90ù BAD+ CAE= CAE+ ACE=90ù이므로 BAD= ( 다 ) ACE 따라서 ABDª CAE ( ( 라 ) RHA 합동 ) 이고 BDÓ= ( 마 ) AEÓ, ( 바 ) ADÓ =CEÓ이므로 DEÓ=ADÓ-AEÓ= ( 사 ) CEÓ -BDÓ ( 가 ) E ( 나 ) CAÓ ( 다 ) ACE ( 라 ) RHA ( 마 ) AEÓ ( 바 ) ADÓ ( 사 ) CEÓ 8 B= CBQ+ ABP=90ù BCQ에서 CBQ+ BCQ =80ù- BQC =80ù-90ù=90ù CBQ+ ABP= CBQ+ BCQ=90ù이므로 ABP= BCQ ABP와 BCQ에서 ABÓ=BCÓ, APB= BQC=90ù, ABP= BCQ이므로 ABPª BCQ (RHA 합동 ) BPÓ=CQÓ=4 cm, APÓ=BQÓ ABQ는 ABÓ=AQÓ인이등변삼각형이므로 ABP= AQP ABP와 AQP에서 ABÓ=AQÓ, APB= APQ=90ù, ABP= AQP이므로 ABPª AQP (RHA 합동 ) BPÓ=QPÓ=4cm APÓ=BQÓ= BPÓ=_4=8(cm) 5 ABD 와 AED 에서 APQ= _APÓ_PQÓ= _8_4=6(cmÛ`) 4 B= AED=90ù, ADÓ는공통, BAD= EAD 이므로 ABDª AED (RHA 합동 ) ABÓ=AEÓ, BDÓ=EDÓ, ADB= ADE 따라서옳지않은것은 이다. 9 ABD와 AED에서 B= AED=90ù, ADÓ는공통, ABÓ=AEÓ이므로 ABDª AED (RHS 합동 ) ㄱ. ABC에서 B=90ù, BAÓ=BCÓ이므로 BAC= C= _(80ù-90ù)=45ù 6 오른쪽그림과같이 ABD와 HBD에서 ABD= HBD, BDÓ는공통, BAD= BHD=90ù이므로 EDC에서 EDC=80ù-(90ù+45ù)=45ù BDE=80ù-45ù=5ù이므로 ADE= ADB= _5ù=67.5ù 6 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

8 본문 09 쪽 ㄷ. EDÓ=BDÓ=b cm 연습 EDC 에서 EDC= C=45ù 이므로 ECÓ=EDÓ=b cm ACÓ=AEÓ+ECÓ=a+b (cm) 따라서 ADC 의넓이는 () x=90ù-(40ù+7ù)=ù () x= AOB= _0ù=65ù () ù () 65ù _ACÓ_EDÓ= (a+b)b _(a+b)_b= (cmû`) ㄹ. BAC=45ù, EDC=45ù이므로 BAC= EDC 0- 삼각형의내심과그성질 ㅁ. DCÓ=BCÓ-BDÓ=a-b (cm), DEÓ=ECÓ=b cm 이므로 EDC 의둘레의길이는 DEÓ+DCÓ+ECÓ=b+(a-b)+b=a+b (cm) 따라서 보 기 중옳은것은ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이다. 0 점 E에서 BCÓ에내린수선의발을 H 라하자. EBD 와 EBH 에서 EDB= EHB=90ù, BEÓ 는공통, EBD= EBH 이므로 EBDª EBH (RHA 합동 ) 따라서 BHÓ=BDÓ=6 5 ➊ 내접원 ➋ 내심 ➌ 이등분선 ➍ 내심 ➎ 외심과내심이같다. ➏ 내심 ➐ 이등분선 기본연습 () IPÕ=IQÕ=9 cm () IBC= IBA=5ù () 9 cm () 5ù 연습 () IQÕ=IRÕ= cm x= () IAC= IAB=5ù, ICA= ICB=40ù이므로삼각형 AIC에서 AIC=80ù-(5ù+40ù)=05ù x=05 () () 05 EFC 와 EHC 에서 EFC= EHC=90ù, ECÓ 는공통, ECF= ECH 이므로 EFCª EHC (RHA 합동 ) 0-4 삼각형의내심의활용 따라서 EHÓ=EFÓ=8, CHÓ=CFÓ=4 ➊ a+ b+ c=90ù ➋ BIC=90ù+ A ➌ r(a+b+c) ECB= _BCÓ_EHÓ= _0_8=40 0 삼각형의외심과내심 기본연습 4 () ABI=90ù-(5ù+5ù)=0ù () ABC= _4_(4++5)=84(cmÛ`) () 0ù () 84 cmû` 연습 4 () AIC=90ù+ x=0ù에서 x=0ù x=40ù () BAI=90ù-60ù=0ù, BCI=90ù-65ù=5ù 이고 Ⅰ- 0. 삼각형의외심과내심 Step. 개념다지기 x+ BAI+ BCI=90ù이므로 x+0ù+5ù=90ù x=90ù-(0ù+5ù)=5ù 0- 삼각형의외심과그성질 () 40ù () 5ù ➊ 외심 ➋ 한점 ( 외심 ) ➌ 외심 ➍ 예각 ➎ 직각 ➏ 둔각 기본연습 () OBÓ=OAÓ=5 cm Step. 대표문제로접근하기 () OAÓ= ABÓ= _6=8(cm) () 5 cm () 8 cm 연습 () OBÓ=OAÓ=7 cm x=7 () OAÓ=OBÓ=OCÓ=0 cm이므로 BCÓ=OBÓ+OCÓ=0+0=0(cm) x=0 () 7 () ù 0 5ù 0 OAÓ=8 cm, B=ù 04 0 cm 05 5ù 06 ù 07 40ù 08 50ù 09 7ù 0 8ù 7ù 4ù 40 cm 4 6 cm 5 cm 6 6 cm 7 50 cm 8 4p cmû` 9 5 cm 0 5p cmû` 5 0 cmû` 0- 삼각형의외심의활용 ➊ a+ b+ c=90ù ➋ BOC= A 기본연습 () OCA=90ù-(0ù+5ù)=5ù () BOC= A=_50ù=00ù () 5ù () 00ù 유제 0 오른쪽그림과같이 OBÓ를그으 면 OAÓ=OBÓ=OCÓ 이므로세삼각형 OAB, OBC, OCA는이등변삼각형이다. OBC= OCB=ù 따라서 OBA=5ù-ù=40ù, OAB= OBA 이므로 OAB=40ù 40ù Ⅰ. 삼각형의성질 0. 삼각형의외심과내심 7

9 본문 04 쪽 유제 0 OAÓ=OBÓ=OCÓ 이므로두삼각형 OAB, OBC 는이등변삼각형이다. OAB= OBA, OBC= OCB 이때 OBA= _(80ù-70ù)=55ù, 유제 0 점 I 가삼각형 ABC 의내심이므로 ABC= ABI+ CBI= CBI=_8ù=56ù AIC=90ù+ ABC=90ù+ _56ù=8ù 8ù OBC= _(80ù-40ù)=70ù이므로 ABC= OBA+ OBC=55ù+70ù=5ù 5ù 유제 BIC=90ù+ A=90ù+ _4ù=ù BOC= A=_4ù=84ù 유제 0 점 O 가직각삼각형 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ BIC- BOC=ù-84ù=7ù 7ù OAÓ= ABÓ= _6=8(cm) 삼각형 OCA는 OAÓ=OCÓ인이등변삼각형이므로 A= OCA=57ù 따라서 ABC에서 B=80ù-( C+ A)=80ù-(90ù+57ù)=ù OAÓ=8 cm, B=ù 유제 04 점 O가 ACÓ의중점이므로점 O는직각삼각형 ABC의외심이다. 따라서 OAÓ=OBÓ=OCÓ=5 cm이므로 ACÓ=OAÓ+OCÓ=5+5=0(cm) 0 cm 유제 05 OAB+ OBC+ OCA=90ù이고 OAC= OCA이므로 7ù+ù+ OAC=90ù OAC=5ù 5ù 유제 06 AOB= C=_78ù=56ù 삼각형 OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 OAB= _(80ù-56ù)=ù ù 유제 07 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 AIÕ, BIÕ는각각 A, B의이등분선이다. BAI= CAI=5ù 따라서삼각형 ABI에서 ABI=80ù-( AIB+ BAI)=80ù-(5ù+5ù)=40ù 40ù 유제 08 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 AIÕ, CIÕ는각각 A, C의이등분선이다. CAI= BAI=5ù 삼각형 AIC에서 ACI=80ù-( CAI+ AIC)=80ù-(5ù+05ù)=40ù DCI= ACI=40ù이므로삼각형 IDC에서 CID=80ù-( IDC+ DCI)=80ù-(90ù+40ù)=50ù 50ù 유제 09 오른쪽그림과같이 AIÕ를그으면 AIÕ 는 A의이등분선이므로 유제 점 O 가삼각형 ABC 의외심이므로 A= BOC= _6ù=68ù BIC=90ù+ A=90ù+ _68ù=4ù 유제 오른쪽그림과같이 BIÕ, CIÕ를그으면두삼각형 PBI, QIC는 이등변삼각형이므로 PBÓ=PIÕ, QIÕ=QCÓ 따라서삼각형 APQ의둘레의 4ù 길이는 APÓ+PQÓ+AQÓ=APÓ+(PIÕ+QIÕ)+AQÓ=APÓ+PBÓ+QCÓ+AQÓ 유제 4 오른쪽그림과같이 BIÕ, CIÕ 를 그으면두삼각형 PBI, QIC 는 이등변삼각형이므로 PBÓ=PIÕ, QIÕ=QCÓ 이때 =ABÓ+ACÓ=0+0=40(cm) PQÓ=PIÕ+QIÕ=PBÓ+QCÓ=4 cm 이므로 QCÓ=4-PBÓ=4-8=6(cm) 유제 5 BPÓ=BQÓ=9 cm 이므로 APÓ=ABÓ-BPÓ=5-9=6(cm) 따라서 ARÓ=APÓ=6 cm, CRÓ=CQÓ=5 cm 이므로 ACÓ=ARÓ+CRÓ=6+5=(cm) 유제 6 삼각형 ABC 의내접원의반지름의길이가 4 cm 이므로 CQÓ=CRÓ=4 cm BQÓ=BCÓ-CQÓ=4-4=0(cm) ARÓ=ACÓ-CRÓ=0-4=6(cm) 따라서 BPÓ=BQÓ=0 cm, APÓ=ARÓ=6 cm 이므로 ABÓ=APÓ+BPÓ=6+0=6(cm) 유제 7 삼각형 ABC 의둘레의길이를 x cm 라하면 ABC= _4_x=x=00(cmÛ`) x=50 따라서삼각형 ABC 의둘레의길이는 50 cm 이다. 40 cm 6 cm cm 6 cm 50 cm 유제 8 삼각형 ABC 의넓이는 _BCÓ_ACÓ= 5=0(cmÛ`) BAI = A= _58ù=9ù ACI =90ù-(9ù+4ù) =90ù-5ù=7ù 7ù 삼각형 ABC 의내접원의반지름의길이를 r cm 라하면 ABC= _r_(++5)=5r=0(cmû`) r= 따라서삼각형 ABC 의내접원의넓이는 p_û`=4p(cmû`) 4p cmû` 8 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

10 본문 04 쪽 유제 9 ABÓ=x cm 라하면 ABC= _BCÓ_ACÓ= _6_(ABÓ+BCÓ+ACÓ) 에서 _48_4= _6_(x+48+4), =x+48+4 x=50 따라서 ABÓ=50 cm이므로삼각형 ABC의외접원의반지름의 길이는 ABÓ= _50=5(cm) 5 cm 유제 0 직각삼각형 ABC의외접원과내접원의반지름의길이를각각 R cm, r cm라하면 0 점 O가삼각형 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 따라서삼각형 OBC는이등변삼각형이므로 OCB= OBC=40ù 40ù 0 삼각형 ABC에서 ABC=80ù-(85ù+45ù)=50ù 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 BIÕ는 B를이등분한다. ABI= B= _50ù=5ù 0 점 O가삼각형 ABC의외심이므로 A= BOC= _70ù=85ù 5 R= ACÓ= _4=7(cm) ABC= _BCÓ_ABÓ= r(abó+bcó+caó) 에서 04 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 APÓ=ARÓ=5 cm BPÓ=ABÓ-APÓ=6-5=(cm) _0_6= _r_(6+0+4), 480=80r r=6 따라서직각삼각형 ABC의외접원과내접원의넓이의합은 prû`+prû`=p_7û`+p_6û`=89p+6p=5p(cmû`) 5p cmû` 05 ABC= _6_(7+8+5)= _6_70=0 (cmû`) 06 ABC 에서 A`:` B`:` C=4`:`5`:` 이므로 A=80ù_ 4 =60ù 유제 점 I가삼각형 ABC의내심이므로오른쪽그림과같이 DAI= DIA 에서 DAÓ=DIÕ EIC= ECI에서 EIÕ=ECÕ 따라서삼각형 DBE의둘레의길 이는 DBÓ+DEÓ+BE Ó =DBÓ+DIÕ+EIÕ+BEÓ =DBÓ+DAÓ+ECÕ+BEÓ =ABÓ+BCÓ=6+5=(cm) 유제 오른쪽그림과같이 ABC 와내접원의 접점을각각 D, E, F 라하자. 점 O 는 직각삼각형 ABC 의외심이므로 OBÓ=OCÓ= BCÓ 5 BOC= A=_60ù=0ù OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 x= _(80ù- BOC)= _(80ù-0ù)=0ù 0ù 07 점 O가 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OCA에서 OAÓ=OCÓ이고 OFA=90ù이므로 AFÓ=CFÓ ABÓ+BCÓ, 즉 BDÓ+BEÓ이므로 BOD와 BOE는합동이아니다. BOD+ BOE OAB에서 OAÓ=OBÓ이고 ADÓ=BDÓ이므로 ADO=90ù 4 OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 OBE= OCE 5 AOD와 BOD에서 OAÓ=OBÓ, ADÓ=BDÓ, ODÓ는공통이므로 AODª BOD (SSS 합동 ) 따라서옳지않은것은 이다. Ⅰ- 0. 삼각형의외심과내심 외접원의넓이가 69 p cmû` 이므로 4 반지름의길이는 cm이다. 즉, BCÓ= cm 내접원의넓이가 4p cmû`이므로 IDÕ= cm IDÕ=ADÓ=AFÓ, ACÓ=AFÓ+CFÓ, ABÓ=ADÓ+BDÓ에서 ABC = (ABÓ+BCÓ+CAÓ) 08 ㄱ. 삼각형의내심에서세변에이르는거리는같다. ㄴ. 삼각형의세내각의이등분선은내심에서만난다. ㄷ. 예각삼각형의외심은삼각형의내부, 직각삼각형의외심은빗변의중점에위치한다. ㄹ. 정삼각형의외심과내심은일치한다. 따라서옳은것은ㄴ, ㄹ이다. 5 =(ADÓ+BDÓ)+BCÓ+(AFÓ+CFÓ) =IDÓ+BEÓ+BCÓ+IDÓ+CEÓ =(BEÓ+CEÓ)+BCÓ+IDÓ=BCÓ+IDÓ =_+_=0(cmÛ`) Step. 단원마무리하기 0 cmû` 09 ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ이므로 ABÓ=ADÓ+BDÓ=AFÓ+BEÓ AOC= ABC, AIC=90ù+ ABC 삼각형 ABC의외접원 O에서반지름의길이는 OAÓ=OBÓ=OCÓ로일정하다. 4 원의접선은접점을끝점으로하는반지름과수직이다. 5 직각삼각형의외심은빗변의중점이다. 따라서옳지않은것은 이다. 0 40ù ù cmû` 내접원의반지름의길이를 r cm 라하면 ABC = _r_( ABC의둘레의길이 ) = _r_6=8r=54(cmû`) Ⅰ. 삼각형의성질 0. 삼각형의외심과내심 9

11 본문 047 쪽 r= ( 색칠한부분의넓이 ) = ABC-( 원 I 의넓이 ) =54-p_Û`=54-9p(cmÛ`) 점 M 은 ABC 의외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ=4 cm ABÓ=BMÓ=AMÓ 이므로 ABM 은정삼각형이다. 따라서 BAD= BAM= _60ù=0ù이므로 CAD=90ù-0ù=60ù ADÓ 는이등변삼각형 ABM 의꼭지각 A 의이등분선이므로 5 오른쪽그림과같이 ABÓ=a cm, BCÓ=b cm라하고 ABC와내접원의 접점을각각 D, E, F라하면 ADÓ=AEÓ=(a-)cm, CDÓ=CFÓ=(b-)cm이므로 ACÓ=ADÓ+CDÓ=a+b-6(cm) 이때 ACÓ는외접원의지름이므로 ACÓ=_ 5 =5(cm) a+b-6=5 a+b= ABC = (ABÓ+BCÓ+ACÓ) BDÓ=DMÓ= BMÓ= _4=(cm) = (a+b+5) DCÓ=DMÓ+CMÓ=+4=6(cm) = 6=54(cmÛ`) 54 cmû` 외심은삼각형의세변의수직이등분선의 교점이므로오른쪽그림에서 ABÓ=ADÓ=_4=8 BCÓ=ECÓ=_4.5=9 ACÓ=AFÓ=_=6 ( ABC의둘레의길이 ) =ABÓ+BCÓ+ACÓ=8+9+6= ( 가 ) 오른쪽그림에서 MIQ= MQI이므로 MIÕ=MQÓ= NIR= NRI이므로 NIÕ=NRÓ=5 MNÓ=MIÕ+NIÕ=+5= ( 나 ) 8 따라서 ( 가 ), ( 나 ) 8이므로구하는합은 이다. 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 DAI= CAI, ECI= ACI ACÓ와 DEÓ가평행하므로 DIA= CAI ( 엇각 ) EIC= ACI ( 엇각 ) DAI= DIA (), ECI= EIC () 따라서이등변삼각형 DIA, ECI에서 ADÓ=DIÕ (5), IEÕ=ECÓ (4) 따라서옳지않은것은 이다. 6 세점 A, B, C에서동일한거리만큼떨어져있는지점은 ABC의외심이다. 따라서 ABC의외심을찾는방법으로옳은것은 4이다. 4 7 점 O는삼각형 ABC의외심이므로 BOC= A 점 I는삼각형 ABC의내심이므로 BIC=90ù+ A 이때 BOC= BIC이므로 A=90ù+ A, A=90ù A=90ù_ =60ù 8 삼각형 ABC에서 BAC =80ù-( ABC+ ACB) =80ù-(90ù+60ù)=0ù 점 I가삼각형 ABC의내심이므로 BAP= BAC= _0ù=5ù 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로점 M은삼각형 ABC의외심이다. 따라서 MBÓ=MCÓ에서 MBC= MCB=60ù ABM= ABC- MBC=90ù-60ù=0ù이므로 삼각형 ABP에서 APB=80ù-( ABP+ BAP)=80ù-(0ù+5ù)=5ù 4 4 삼각형 ABC의넓이가 4이고 _ABÓ_BCÓ= _6_8=4 이므로 ABC=90ù 따라서사각형 DBEI가정사각형이 므로한변의길이를 a 라하면 AFÓ=ADÓ=ABÓ-DBÓ=6-a CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=8-a ACÓ=AFÓ+CFÓ=(6-a)+(8-a)=4-a=0 a=4 a= 따라서삼각형 ADI의넓이는 _ADÓ_DIÓ= _(6-)_=4 삼각형 AIF 의넓이는 _AFÓ_IFÕ= _(6-)_=4 ( 사각형 ADIF 의넓이 )=4+4=8 9 점 O가삼각형 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ 이등변삼각형 OAB에서 ABO= BAO=0ù AOB=80ù-_0ù=0ù ACB = AOB = _0ù=60ù 점 I 가삼각형 ABC 의내심이므로 BAI= QAC=6ù PAQ = BAI- BAP =6ù-0ù=6ù 삼각형 AQC 에서 AQC =80ù-( QAC+ ACQ) =80ù-(6ù+60ù)=84ù 0 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

12 본문 049 쪽 이때 AQC는삼각형 APQ의외각이므로 AQC= PAQ+ APQ에서 84ù=6ù+ APQ APQ=78ù 0 BDC는삼각형 ABD의외각이므로 BDC= DAB+ DBA에서 7ù= DAB+40ù DAB=ù 이때점 I가삼각형 ABD의내심이므로 DAI= DAB= _ù=6ù 한편삼각형 DBC에서 BCÓ=DCÓ이므로 DBC= BDC=7ù 따라서 DCB=80ù-_7ù=6ù이 고, 점 I' 은삼각형 DBC의내심이므로 DCI'= DCB= _6ù=8ù 삼각형 APC에서 PAC=6ù, ACP=8ù 기본연습 () ADÓ BCÓ () ABÓ=5 cm이면 DCÓ= 5c m () A= 0ù 이면 C=0ù (4) OBÓ=8 cm이면 ODÓ= 8c m (5) ABÓ=0 cm일때, DCÓ= 0cm이고 ABÓ DCÓ 풀이참조연습 ㄱ. ADÓ BCÓ만으로는사각형 ABCD가평행사변형이되지않는다. ㄴ. A= C, B= D이면두쌍의대각의크기가각각같으므로사각형 ABCD가평행사변형이된다. ㄷ. ABÓ DCÓ, ABÓ=DCÓ이면한쌍의대변이평행하고, 그길이가같으므로사각형 ABCD가평행사변형이된다. 따라서사각형 ABCD가평행사변형이되는조건은ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ Ⅱ- 04. 평행사변형 이므로 APC =80ù-(6ù+8ù) 04- 평행사변형이되는조건의활용 =46ù 기본연습 () 주어진조건에의하여사각형 BQDP는평행사변형이고, 평행사변형의 이웃한두내각의크기의합은 80ù 이므로 BQD=80ù- PDQ=80ù-0ù=50ù () 주어진조건에의하여사각형 BQDP 는평행사변형이고, 평행사변형의 04 평행사변형 두대변의길이는같으므로 BQÓ=DPÓ= cm 연습 () 50ù () cm Step. 개념다지기 04- 평행사변형의뜻과성질 ➊ 평행사변형 ➋ 두쌍의대변 ➌ 두쌍의대각 ➍ 두대각선 ➎ 이등분기본연습 () 평행사변형의대변의길이는같으므로 BCÓ=ADÓ=0 cm () 평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하므로 ODÓ=OBÓ=6 cm () 0 cm () 6 cm 주어진조건에의하여사각형 BQDP는평행사변형이다. 직각삼각형 DPQ에서 PDQ=80ù-(90ù+70ù)=0ù 평행사변형의두대각의크기는같으므로 PBQ=0ù x=0ù 04-4 평행사변형과넓이 ➊ 이등분 ➋ 사등분 ➌ PCD ➍ PDA ➎ ABCD 기본연습 4 () 평행사변형의대각선은평행사변형의넓이를이등분하므로 ABC= ABCD=6 0ù 연습 () 평행사변형의이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 B=80ù- A=80ù-0ù=70ù x=70 () 평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하므로 OAÓ= ACÓ= _8=9(cm) x=9 () 70 () 9 ABCD=6_=(cmÛ`) () 평행사변형의두대각선은평행사변형의넓이를사등분하므로 CDO= 4 ABCD= ABCD=_4=84(cmÛ`) () cmû` () 84 cmû` 연습 평행사변형이되는조건 ➊ 평행 ➋ 두쌍의대변 ➌ 두쌍의대각 ➍ 두대각선 ➎ 이등분 ➏ 한쌍의대변 PBC+ PDA= ABCD에서 0+ PDA= _46= PDA=-0=(cmÛ`) cmû` Ⅱ. 사각형의성질 04. 평행사변형

13 본문 056 쪽 Step. 대표문제로접근하기 0 00ù 0 80ù 0 6 cm 04 0 cm 05 40ù 06 0ù 07 cm 08 0 cmû` 09 x=7, y=55 0 x=0, y=80 85ù 65ù 0 cmû` 4 96 cmû` 5 7 cmû` 6 9 cmû` 유제 0 주어진평행사변형에서마주보는각의크기가서로같으므로 ADC= ABC= ABD+ CBD= ABD+5ù 따라서삼각형 ACD 에서 ADC+ CAD+55ù=80ù 이므로 ABD+5ù+ CAD+55ù=80ù ABD+ CAD=00ù 00ù 유제 0 오른쪽그림과같이점 P를지나고 BCÓ와평행한직선이 CDÓ와만나는 점을 Q라하자. 이때 APQ= ABC=05ù 이고 DPQ= ADP=5ù ( 엇각 ) 이므 로 APD = APQ- DPQ=05ù-5ù=80ù 유제 0 오른쪽그림과같이점 P 를지나 고 CDÓ 와평행한직선이 ADÓ 와 만나는점을 Q 라하자. 두선분 CD, PQ 가평행하므로 PQÓ=CDÓ=8 cm 두선분 AD, BC 가평행하므로 BAP= APQ ( 엇각 ) 따라서 PAQ= APQ 이므로삼각형 APQ 는 AQÓ=PQÓ=8 cm 인이등변삼각형이다. CPÓ=DQÓ=ADÓ-AQÓ=4-8=6(cm) 80ù 6 cm 유제 07 평행사변형에서마주보는두변의길이는서로같으므로 CDÓ=ABÓ=9 cm 평행사변형에서두대각선은서로다른것을이등분하므로 OCÓ= ACÓ, ODÓ= BDÓ 따라서삼각형 OCD 의둘레의길이는 CDÓ+OCÓ+ODÓ=CDÓ+ (ACÓ+BDÓ)=9+ _6=(cm) 유제 08 평행사변형에서두대각선은서로다른것을이등분하므로 OBÓ= BDÓ= _6=8(cm) OCÓ= ACÓ= _0=5(cm) OBC= _OBÓ_OCÓ= _8_5=0(cmÛ`) 유제 09 평행사변형에서두대각선은서로다른것을이등분하므로 ODÓ= BDÓ= _4=7(cm) x=7 평행사변형에서대각의크기는서로같으므로 ADC= ABC=65ù 따라서삼각형 ACD에서 CAD =80ù-( ACD+ ADC) =80ù-(60ù+65ù)=55ù cm 0 cmû` y=55 x=7, y=55 유제 0 평행사변형에서마주보는두변의길이는서로같으므로 BCÓ=ADÓ=0c m x=0 두선분 AD, BC 가평행하므로 ADP = CPD=80ù-0ù=50ù ADC = ADP=_50ù=00ù 따라서 A=80ù-00ù=80ù 이므로 y=80 x=0, y=80 유제 04 평행사변형 ABCD 에서마주보는변의길이는서로같으므로 CDÓ=ABÓ=0 cm, ADÓ=BCÓ=8 cm AÕMÓ=DÕMÓ= ADÓ= _8=9(cm) 유제 APÓ CQÓ이고 APÓ=CQÓ이므로사각형 AQCP는평행사변형이다. 따라서 APC= AQC=95ù이므로 CPD=80ù- APC=80ù-95ù=85ù 85ù 두삼각형 ABM, DPM에서 BAM= PDM ( 엇각 ), AÕMÓ=DÕMÓ, AMB= DMP ( 맞꼭지각 ) 이므로 ABMª DPM (ASA 합동 ) DPÓ=ABÓ=0 cm CPÓ=CDÓ+DPÓ=0+0=0(cm) 0 cm 유제 OBÓ=ODÓ, OPÓ=OQÓ이므로사각형 PBQD는평행사변형이다. 삼각형 PBQ에서 PBQ=80ù-(70ù+45ù)=65ù 따라서평행사변형 PBQD에서 PDQ= PBQ=65ù 65ù 유제 05 A : B=7 : 이고 A+ B=80ù이므로 A=80ù_ 7 7+ =80ù_ 7 9 =40ù C= A=40ù 40ù 유제 ABC= ABCD=40(cmÛ`) 에서 ABCD=40_=80(cmÛ`) OCD= 4 ABCD= 4 _80=0(cmÛ`) 0 cmû` 유제 06 평행사변형에서대각의크기는서로같으므로 ADC= ABC=70ù 직각삼각형 CDH에서 CDH=80ù-(90ù+ DCH)=80ù-(90ù+50ù)=40ù ADH= ADC- CDH=70ù-40ù=0ù 0ù 유제 4 OAB= ABCD=(cmÛ`) 이므로 4 ABCD=_4=48(cmÛ`) BCD= ABCD= _48=4(cmÛ`) BEFD=4 BCD=4_4=96(cmÛ`) 96 cmû` 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

14 본문 06 쪽 유제 5 평행사변형 ABCD에서나누어진네삼각형중마주보는두삼각형의넓이의합은서로같으므로 APB+ CPD= APD+ BPC에서 7+5= APD+5 APD=7+5-5=7(cmÛ`) 7 cmû` 유제 6 평행사변형 ABCD에서나누어진네삼각형중마주보는두삼각형의넓이의합은서로같으므로 05 평행사변형에서대각의크기는서로같으므로 B= D PBQ= B= D= PDQ yy ᄀ이때평행사변형 ABCD에서 ADÓ BCÓ이므로 APB= PBQ, PDQ= DQC ( 엇각 ) yy ᄂ DPB =80ù- APB =80ù- DQC ( ᄀ, ᄂ ) = ( 가 ) BQD Ⅱ- 04. 평행사변형 ABP+ CPD= ABCD에서 따라서 ( 나 ) 두쌍의대각의크기가각각같으므로 ABP+6= _6_5=5 ABP=5-6=9(cmÛ`) 9 cmû` 사각형 PBQD 는평행사변형이다. 그러므로빈칸 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은것이옳게짝지어진것은 이다. 유제 7 OEA와 OFC에서 OAÓ=OCÓ yy ᄀ AOE= COF ( 맞꼭지각 ) yy ᄂ OAE= OCF ( 엇각 ) yy ᄃᄀ, ᄂ, ᄃ에의하여 OEA와 OFC는 ASA 합동이다. 따라서구하는넓이는 OEA+ OFD = OFC+ OFD= OCD = 4 ABCD= 4 _6=9 9 유제 8 PAD+ PBC= PAB+ PCD이므로 + PBC=8+ PCD PCD- PBC=-8=4 4 Step. 단원마무리하기 cm ( 가 ) CFÓ ( 나 ) DGÓ ù ù 06 평행사변형의두쌍의대변의길이는각각같으므로 ABCD 가평행사변형이되려면 ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ 를 만족해야한다. ADÓ=BCÓ 에서 x+y=6x-y, x=4y x= 4 y ABÓ=DCÓ에서 x+y=0 ᄀ을ᄂ에대입하면 4 y+y=0, 0 yy ᄀ yy ᄂ y=0 y= y=을ᄀ에대입하면 x=4 xy= 07 ACD= BAC=75ù ( 엇각 ) DAC= ACB= y ( 엇각 ) DAC 에서 y+9ù+ x+75ù=80ù 이므로 x+ y=80ù-(9ù+75ù)=66ù x+ y= ( x+ y)= _66ù=ù 08 평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하고, 두쌍의대변의길이는각각같으므로 OCÓ= ACÓ= _8=4(cm) 0 평행사변형에서마주보는두변의길이는서로같으므로 ODÓ= BDÓ= _0=5(cm) BCÓ=ADÓ=8 cm, ABÓ=CDÓ=7 cm 따라서평행사변형 ABCD의둘레의길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+ADÓ= =0(cm) 5 CDÓ=ABÓ=6cm 따라서 OCD의둘레의길이는 OCÓ+CDÓ+ODÓ=4+6+5=5(cm) 5 cm 0 평행사변형 ABCD에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 B+ C=80ù C=80ù- B=80ù-55ù=5ù 0 평행사변형의넓이는두대각선에의하여사등분되므로 09 PAD+ PBC= ABCD이므로 PAD+5= _40=0 PAD=0-5=5 5 OAB= 4 ABCD= 4 _00=5(cmÛ`) 0 MQNP= MPN+ MQN 이고 04 오른쪽그림과같이점 H를지나고 ADÓ와평행한직선이 ABÓ와만나는 MPN= 4 AMND= 4 _ ABCD= MQN이므로 MQNP = MPN+ MQN 점을 I라하자. 이때 AHI= DAH=40ù ( 엇각 ) 이므로 DHI=90ù+40ù=0ù = 4 _ ABCD+ 4 _ ABCD = C= DHI=0ù 4 = Ⅱ. 사각형의성질 04. 평행사변형

15 본문 068 쪽 평행사변형은두쌍의대변이각각평행한사각형이므로 ABÓ DCÓ, ADÓ BCÓ 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 A+ D=80ù DAC= BCA ( 엇각 ) 4 BDC= DBA ( 엇각 ) 5 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 C+ D=80ù 따라서옳지않은것은 이다. ㄹ. 한쌍의대변이평행하고, 그길이가같으므로 ABCD는평행사변형이다. 따라서 ABCD가평행사변형인것은ㄷ, ㄹ이다. 5 6 PAD= PBC이고 PAD+ PBC= ABCD= _7=6 이므로 PBC=6 PBC= 7 ABC+ C=80ù이므로 ABC=80ù-68ù=ù ABE= _ù=56ù ABE= ABFE이고 BFE= ABFE이므로 ABE= BFE=4 BFE= 4 BCDE이고 BCF= BCDE이므로 4 BFE= BCF=4 ABCE = ABE+ BFE+ BCF =4+4+4= 평행사변형에서두대각선은서로다른것을이등분하므로 APÓ=CPÓ 평행사변형에서두쌍의대변의길이는각각같으므로 ABÓ=DCÓ 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù 이므로 BAD+ ADC=80ù 4 평행사변형에서두쌍의대각의크기는각각같으므로 ABC= ADC 5 평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하지만수직이등 분하지는않는다. 따라서옳지않은것은 5 이다. 4 ABCD 가평행사변형이므로 AHÓ ( 가 ) CFÓ, AHÓ= ADÓ= BCÓ= ( 가 ) CFÓ 에서평행한변의길이가같으므로 AFCH는평행사변형이다. AFÓ CHÓ BEÓ ( 나 ) DGÓ, BEÓ= ABÓ= CDÓ= ( 나 ) DGÓ 에서 5 ABE에서 BAE=80ù-(90ù+56ù)=4ù BAD= C=68ù이므로 DAE=68ù-4ù=4ù 4ù 8 AOE와 COF에서 OAÓ=OCÓ이고, AOE= COF ( 맞꼭지각 ), OAE= OCF ( 엇각 ) 이므로 AOEª COF (ASA 합동 ) CFO=90ù ADÓ=BCÓ=6이므로 AEÓ=6-4= OBF = OBC- OFC= ODA- OEA = _6_- =6 9 GBÓ ACÓ이므로 FGB= FEA=60ù ( 엇각 ) 따라서 GFB는한변의길이가 cm인정삼각형이다. 또한 FBCD에서 FDÓ BCÓ, FBÓ DCÓ이므로 FBCD는평행사변형이다. DCÓ=FBÓ= cm 0 DQC=80ù-8ù=4ù이고 ADÓ BCÓ이므로 QDP= DQC=4ù ( 엇각 ) ADC=_4ù=84ù BCD+ ADC=80ù이므로 BCD=80ù-84ù=96ù DCP= _96ù=48ù 평행한변의길이가같으므로 BGDE는평행사변형이다. BGÓ DEÓ AFÓ CHÓ에서 PÕSÕ QRÓ이고 BGÓ DEÓ에서 PQÓ RSÓ이므로 PQRS 는평행사변형이다. ( 가 ) CFÓ ( 나 ) DGÓ APC=84ù+48ù=ù ù 5 ㄱ. 오른쪽그림에서 ABCD는 ABÓ=DCÓ, ACÓ=BDÓ이지만평행사변형이아니다. ㄴ. 오른쪽그림에서 ABCD 는 ABÓ=DCÓ, ADÓ BCÓ 이지만평행사변형이아니다. ㄷ. OAB= OCD, OAD= OCB 이면 엇각의크기가같으므로 ABÓ DCÓ, ADÓ BCÓ 따라서두쌍의대변이각각평행하므로 ABCD는평행사변형이다. 4 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

16 본문 07 쪽 05 여러가지사각형 Step. 개념다지기 05- 직사각형 ➊ 내각 ➋ 이등분 연습 정사각형의두대각선의길이는같으므로 BDÓ=ACÓ=0 cm OBÓ= BDÓ= _0=5(cm) OAB는 OAÓ=OBÓ인직각이등변삼각형이므로 OBA= OAB=45ù OBÓ=5 cm, OBA=45ù 05-4 사다리꼴 기본연습 () ODA는 OAÓ=ODÓ인이등변삼각형이므로 ODA= OAD=6ù () ACÓ=BDÓ=6 cm이므로 연습 OCÓ= ACÓ= _6=8(cm) () 6ù () 8 cm ACÓ= OAÓ=_7=4(cm) 직사각형의두대각선의길이는같으므로 BDÓ=ACÓ=4 cm 직사각형의한내각의크기는 90ù이므로 OBA=90ù- OBC=90ù-55ù=5ù OAB는 OAÓ=OBÓ인이등변삼각형이므로 OAB= OBA=5ù BDÓ=4 cm, OAB=5ù ➊ 평행 ➋ 같은 ➌ 같다기본연습 4 () BDÓ=ACÓ=5+8=(cm) () ADÓBCÓ이므로 C+ D=80ù D=80ù- C=80ù-60ù=0ù () cm () 0ù 연습 4 DAC는 DAÓ=DCÓ인이등변삼각형이므로 DAC= DCA=5ù ADC=80ù-(5ù+5ù)=0ù ABCD는등변사다리꼴이므로 BAD= ADC=0ù BAC= BAD- DAC=0ù-5ù=05ù 05ù 05-5 여러가지사각형사이의관계 Ⅱ- 05. 여러가지사각형 05- 마름모 ➊ 변 ➋ 수직이등분기본연습 () BDÓ= OBÓ=_9=8(cm) () 마름모의두대각선은수직으로만나므로 COD=90ù () 마름모의네변의길이는모두같으므로 ABÓ=BCÓ=0 cm (4) AOD는 AOD=90ù인직각삼각형이므로 ADO=90ù- OAD=90ù-64ù=6ù () 8 cm () 90ù () 0 cm (4) 6ù 연습 DAC는 DAÓ=DCÓ인이등변삼각형이므로 DCA= DAC=5ù OCD는 COD=90ù인직각삼각형이므로 ODC=90ù- DCA=90ù-5ù=55ù 마름모의두대각선은서로다른것을이등분하므로 OAÓ=OCÓ=6 cm ODC=55ù, OAÓ=6 cm 05- 정사각형 ➊ 변 ➋ 내각 ➌ 수직이등분기본연습 () BDÓ= OBÓ=_=6(cm) ACÓ=BDÓ=6 cm () 정사각형의두대각선은수직으로만나므로 AOD=90ù () 6 cm () 90ù ➊ 한쌍 ➋ 직각 ➌ 같다 ➍ 이웃하는 ➎ 수직으로기본연습 5 () 평행사변형이마름모가되는조건 이웃하는두변의길이가같다. 두대각선이수직으로만난다. () 사다리꼴이평행사변형이되는조건다른한쌍의대변이평행하다. () 풀이참조 () 풀이참조연습 5 () 직사각형의각변의중점을연결하여만든사각형은네변의길이가모두같으므로 ABCD는마름모이다. () 마름모의각변의중점을연결하여만든사각형은네내각의크기가모두같으므로 ABCD는직사각형이다. () 마름모 () 직사각형 05-6 평행선과삼각형의넓이 ➊ DBC ➋ BDÓ ➌ CDÓ 기본연습 6 ABD`:` ADC=BDÓ`:`CDÓ=6`:`4=`:`이므로 ABD`:`=`:` ABD=6 ABD=8(cmÛ`) 8 cmû` 연습 6 ADÓECÓ이므로 EAD= CAD ABDE = ABD+ EAD = ABD+ CAD = ABC =0 cmû` 0 cmû` Ⅱ. 사각형의성질 05. 여러가지사각형 5

17 본문 076 쪽 Step. 대표문제로접근하기 0 4ù 0 x=0, y=60 0, x=6, y=8 06 6ù 07, x=0, y= ù 5 x=, y=5 4 6 cm 5 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴 6, 4 7 cmû` 8 5 cm 9 5 cmû` 0 cmû` 5, 4 유제 0 AOB= COD=48ù ( 맞꼭지각 ) OAB 는 OAÓ=OBÓ 인이등변삼각형이므로 OAB= OBA OBA= (80ù- AOB)= _(80ù-48ù)=66ù 직사각형의한내각의크기는 90ù 이므로 OAD= BAD- OAB=90ù-66ù=4ù OBA- OAD=66ù-4ù=4ù 유제 0 직사각형의두대각선은서로다른것을이등분하므로 4ù OBÓ= BDÓ에서 x= y y=x yy ᄀ ODA 는 OAÓ=ODÓ 인이등변삼각형이므로 ODA= OAD=xù 직사각형의한내각의크기는 90ù이므로 ODA+ ODC=xù+yù=90ù x+y=90 yy ᄂ ᄂ에ᄀ을대입하면 x+x=90, x=90 x=0, y=_0=60 x=0, y=60 유제 0 ABÓ=BCÓ 이면네변의길이가같아지지만 평행사변형 ABCD 가직사각형이되지는않는다. A=90ù 이면내각의크기가모두 90ù 가되므로 평행사변형 ABCD 가직사각형이된다. OAÓ=OBÓ 이면두대각선의길이가같아지므로 평행사변형 ABCD 가직사각형이된다. 4 AOD=90ù 이면두대각선이수직으로만나지만 평행사변형 ABCD 가직사각형이되지는않는다. 5 B= C 이면 B+ C=80ù 에서 B= C=90ù 이므로 평행사변형 ABCD 가직사각형이된다. 따라서평행사변형 ABCD 가직사각형이되는조건이아닌것은, 4 이다., 4 유제 04 ㄱ. ACÓ=BDÓ 이면두대각선의길이가같으므로 평행사변형 ABCD 가직사각형이된다. ㄴ. ACÓ BDÓ 이면두대각선이수직으로만나지만 이는직사각형의성질이아니다. ㄷ. B= D 는직사각형이아닌평행사변형의경우에도만족한다. ㄹ. C=90ù 이면내각의크기가모두 90ù 가되므로 평행사변형 ABCD 가직사각형이된다. 따라서평행사변형 ABCD 가직사각형이되는조건은ㄱ, ㄹ이다. 유제 05 마름모의네변의길이는모두같으므로 CDÓ=BCÓ=6 cm x=6 ABC 는 ABÓ=BCÓ 인이등변삼각형이므로 BAC= BCA=60ù ABC =80ù-( BAC+ BCA) =80ù-(60ù+60ù)=60ù 따라서 ABC 는정삼각형이므로 ACÓ=6 cm 마름모의두대각선은서로다른것을수직이등분하므로 OAÓ= ACÓ= _6=8(cm) y=8 x=6, y=8 유제 06 마름모의두대각선은서로다른것을수직이등분하므로 AOD=90ù AOD 에서 ADO =80ù-( AOD+ OAD) =80ù-(90ù+64ù)=6ù ABÓ=ADÓ 이므로 ABO= ADO=6ù 유제 07 ACÓ=BDÓ 이면두대각선의길이가같아지므로직사각형이 되지만평행사변형 ABCD 가마름모가되지는않는다. 6ù COD=90ù 이면두대각선이수직으로만나므로평행사변형 ABCD 가마름모가된다. ABÓ=BCÓ 이면네변의길이가같아지므로평행사변형 ABCD 가마름모가된다. 4 AOÓ BDÓ 이면두대각선이수직으로만나므로평행사변형 ABCD 가마름모가된다. 5 C=90ù 이면내각의크기가모두 90ù 가되어직사각형이 되지만평행사변형 ABCD 가마름모가되지는않는다. 따라서평행사변형 ABCD 가마름모가되는조건이아닌것은, 5 이다., 5 유제 08 ㄱ. OAÓ=OBÓ 이면두대각선의길이가같아지지만평행사변형 ABCD 가마름모가되지는않는다. ㄴ. ACÓ BDÓ 이면두대각선이수직으로만나므로평행사변형 ABCD 가마름모가된다. ㄷ. OABª OCD 는평행사변형인경우에도만족한다. ㄹ. ADÓ=CDÓ 이면네변의길이가같아지므로평행사변형 ABCD 가마름모가된다. 따라서평행사변형 ABCD 가마름모가되는조건은ㄴ, ㄹ이다. 유제 09 정사각형의두대각선은길이가같고, 서로다른것을수직이등분 하므로 OCÓ= ACÓ= BDÓ= _0=0(cm) x=0 OAB는 AOB=90ù, OAÓ=OBÓ인직각이등변삼각형이므로 OAB= (80ù- AOB)= _(80ù-90ù)=45ù y=45 x=0, y=45 유제 0 BCP와 DCP에서 BCÓ=DCÓ, CPÓ는공통, BCP= DCP=45ù이므로 유제 BCPª DCP (SAS 합동 ) 따라서 PDC= PBC=5ù이므로 DPC에서 APD= PDC+ DCP=5ù+45ù=70ù 70ù ㄱ. BCÓ=CDÓ이면네변의길이가같아지므로직사각형 ABCD가정사각형이된다. ㄴ. OAÓ=OBÓ 는직사각형인경우에도만족한다. 6 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

18 본문 08 쪽 ㄷ. AOB=90ù이면두대각선이수직으로만나므로직사각형 ABCD가정사각형이된다. 따라서직사각형 ABCD가정사각형이되는조건은ㄱ, ㄷ이다. = ABE = _BEÓ_AHÓ = AHÓ=0(cmÛ`) 유제 ㄱ. ABÓ=BCÓ는마름모인경우에도만족한다. ㄴ. ABO+ ADO=90ù이면삼각형 ABD에서 A=90ù이므로마름모 ABCD가정사각형이된다. ㄷ. OBÓ=OCÓ이면두대각선의길이가같으므로마름모 ABCD가 정사각형이된다. 따라서마름모 ABCD가정사각형이되는조건은ㄴ, ㄷ이다. 5 유제 등변사다리꼴의두대각선의길이는같으므로 BDÓ=ACÓ= cm x= ADÓBCÓ이므로 ACB= CAD=50ù ( 엇각 ) 등변사다리꼴의밑변의양끝각의크기는같으므로 BCD= ABC=75ù에서 ACB+ ACD=75ù 50ù+ ACD=75ù ACD=5ù y=5 x=, y=5 유제 4 오른쪽그림과같이점 A에서 BCÓ에내린수선의발을 I라하자. 사각형 AIHD는직사각형이므로 IHÕ=ADÓ=5 cm 등변사다리꼴은밑변의양끝각 의크기가같고, 평행하지않은한쌍의대변의길이가같으므로 ABI= DCH, ABÓ=DCÓ ABIª DCH (RHA 합동 ) 따라서 BIÕ=CHÓ이므로 6AHÓ=0 AHÓ=5(cm) 5 cm 유제 9 두삼각형 ABM, AMC 에서 BMÓ=CMÓ 이므로 ABM= AMC= ABC= _50=75(cmÛ`) 두삼각형 APC, PMC 에서 APÓ`:`PMÓ=`:` 이므로 APC`:` PMC=`:` PMC= AMC= _75=5(cmÛ`) 유제 0 PBC= ABC= ABCD= _40=0(cmÛ`) BQÓ`:`QCÓ=`:` 이므로 PBQ`:` PQC=`:` 5 cmû` PBQ= + PBC= 5 _0=(cmÛ`) cmû` 유제 ABC= ACD= ABCD= _4=(cmÛ`) ABC 에서 ABE`:` EBF`:` FBC=AEÓ`:`EFÓ`:`CFÓ=`:``:` 이므로 EBF= ++ ABC= _=6(cmÛ`) ACD에서 AED`:` EFD`:` FCD=AEÓ`:`EFÓ`:`CFÓ=`:``:` 이므로 EFD= ++ ACD= _=6(cmÛ`) EBFD= EBF+ EFD=6+6=(cmÛ`) 5 Ⅱ- 05. 여러가지사각형 CHÓ= ( BCÓ-IHÕ )= _(7-5)=6(cm) 6 cm 유제 5 평행사변형은두대각선이서로다른것을이등분하지만두대각선의길이가같지는않다. 직사각형은두대각선의길이가같고, 서로다른것을이등분한다. 마름모는두대각선이서로다른것을수직이등분하지만두대각선의길이가같지는않다. 정사각형은두대각선의길이가같고, 서로다른것을수직이등분한다. 등변사다리꼴은두대각선의길이가같다. 따라서두대각선의길이가같은사각형은직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴이다. 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴유제 6 마름모의각변의중점을연결하여만든사각형은직사각형이고, 주어진보기중직사각형의성질이아닌것은, 4이다., 4 유제 직사각형사다리꼴평행사변형정사각형마름모 ABCD가사다리꼴일때, 사다리꼴 개에만해당된다. ABCD가평행사변형일때, 사다리꼴, 평행사변형의 개에해당된다. ABCD가직사각형일때, 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형의 개에해당된다. ABCD가마름모일때, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모의 개에해당된다. ABCD가정사각형일때, 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 5개에해당된다. 따라서안에들어갈수있는것은직사각형또는마름모이다., 4 유제 7 AEÓDBÓ이므로 ABD= BDE CDE = BDE+ BCD= ABD+ BCD =+0 =(cmû`) 유제 8 AEÓ를그으면 ACÓDEÓ이므로 ACD= ACE 이때 ABCD의넓이가 0 cmû`이므로 ABCD = ABC+ ACD= ABC+ ACE cmû` Step. 단원마무리하기 정사각형 08 cmû` Ⅱ. 사각형의성질 05. 여러가지사각형 7

19 본문 088 쪽 0 마름모의네변의길이는모두같으므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=6 cm 따라서마름모 ABCD 의둘레의길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ= =4(cm) 0 등변사다리꼴의평행하지않은한쌍의대변의길이는같으므로 ABÓ=DCÓ=4 cm 0 ODA 는 OAÓ=ODÓ 인이등변삼각형이므로 OAD= ODA=55ù ODA 에서삼각형의외각의성질에의하여 COD=55ù+55ù=0ù 04 BPÓ`:`PCÓ=`:` 이므로 ABP`:` APC=`:` APC= ABP=_40=0(cmÛ`) 4 05 평행사변형 ABCD 가직사각형이되려면한내각의크기가 90ù 이거나 두대각선의길이가같아야한다. OAÓ=ODÓ 이면두대각선의길이가같아지므로빈칸에들어갈내용으 로알맞은것은 이다. 06 ㄱ. ACÓ=BDÓ 이면 Ó 두대각선의길이가같으므로평행사변형 ABCD는 직사각형이다. ㄹ. ABC+ BCD=80ù 이므로 ABC= BCD 에서 ABC+ ABC=80ù ABC= BCD=90ù 따라서평행사변형 ABCD 는직사각형이다. 따라서 보 기 에서직사각형이되는조건이아닌것은ㄴ, ㄷ의 개이다. 07 S 를펼치면두대각선은서로수직이고그길이가같으므로 정사각형이다. 08 DPÓ=4 cm 이므로 BDÓ= DPÓ=_4=8(cm) BDÓ=ACÓ, BDÓ ACÓ 이므로 ABCD= _8_8=(cmÛ`) 09 CDO에서 DOC=90ù이므로 DCO=80ù-(90ù+6ù)=64ù ACD 에서 ADÓ=CDÓ 이므로 x= DCO=64ù ACD 에서 ADC=80ù-_64ù=5ù y= ADC=5ù x- y=64ù-5ù=ù 정사각형 cmû` 네변의길이가모두같고네내각의크기가모두같으므로 ABCD는정사각형이다. 따라서 CDÓ=BCÓ=8이므로 x=8 4 네변의길이가같으므로 ABCD는마름모이다. 따라서 CEÓ=AEÓ=이므로 ACÓ=_=6 x=6 5 ADÓ=BCÓ, ABÓ=CDÓ이므로 ABCD는평행사변형이다. 이때 ABC=90ù이므로 ABCD는직사각형이다. 따라서 CEÓ=AEÓ=4이므로 ACÓ=_4=8 BDÓ=ACÓ=8이므로 x=8 따라서 x의값이나머지넷과다른하나는 4이다. 4 직사각형 직사각형 ADÓ=BCÓ이면직사각형이고 ACÓ BDÓ인직사각형 ABCD는정사각형이다. 4 등변사다리꼴 5 직사각형 BFO와 DEO에서 BOÓ=DOÓ, BOF= DOE ( 맞꼭지각 ), OBF= ODE ( 엇각 ) 이므로 BFOª DEO (ASA 합동 ) BFÓ=DEÓ=8 따라서 DEÓBFÓ이고 DEÓ=BFÓ이므로 BFDE는평행사변형이다. CDÓ=BCÓ=BFÓ+CFÓ=8+=0 BFDE=8_0= BEP와 CFP에서 BPÓ=CPÓ, PBE= PCF=45ù, BPE=90ù- EPC= CPF이므로 BEPª CFP (ASA 합동 ) BEÓ=CFÓ= cm 따라서 BCÓ=BEÓ+CEÓ=+=(cm) EFP = PECF- CFE =( PEC+ CFP)- CFE =( PEC+ BEP)- CFE = BCP- CFE = 4 ABCD- CFE = 4 _(_)- = 9 4 -= 5 4 (cmû`) 0 ㄱ. 직사각형의이웃하는두변 AB, BC의길이가같으므로정사각형이된다. ㄷ. 두대각선이서로수직이므로정사각형이된다. 따라서 보 기 에서정사각형이되는조건은ㄱ, ㄷ의 개이다. 두대각선이서로다른것을이등분하므로 ABCD는평행사변형이다. 따라서 CDÓ=ABÓ=8이므로 x=8 ADÓBCÓ이고 ABC= DCB이므로 ABCD는등변사다리꼴이다. 따라서 ACÓ=BDÓ=6+=8 x=8 5 네내각의크기가모두같은사각형은직사각형이다. 한쌍의대변이평행하고그길이가같은사각형은평행사변형이다. 평행사변형의한내각의크기가 90ù이므로직사각형이다. 마름모의각변의중점을연결하여만든사각형은직사각형이다. 4 등변사다리꼴의각변의중점을연결하여만든사각형은마름모이다. 5 두쌍의대각의크기가각각같은사각형은평행사변형이다. 평행사변형의두대각선의길이가같으므로직사각형이다. 따라서 ABCD가직사각형이아닌것은 4이다. 4 6 AEÓDBÓ이므로 ABD= DEB AEÓDBÓ이므로 AED= AEB 8 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

20 본문 09 쪽 DEC= DEB+ DBC= ABD+ DBC= ABCD 4 AEB= DEB 인지알수없다. 5 AFD= ABD- DFB= DEB- DFB= EBF 따라서옳지않은것은 4 이다. 7 ABÓ`:`ADÓ=`:` 에서 ABÓ=k, ADÓ=k (k>0) 라하자. 오른쪽그림과같이 AEÓDCÓ 가 4 AEO= 7 ABO= 7 _49=(cmÛ`) ADÓEOÓ이므로 DEO= AEO= cmû` 4 Ⅲ- 06. 도형의닮음 되도록 AEÓ 를그으면 AECD 는평행사변형이므로 CEÓ=ADÓ=k B= C 이고 C= AEB ( 동위각 ) 이므로 AEB= B=60ù 따라서 ABE 는정삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=k ADÓ=k, BCÓ=BEÓ+CEÓ=k+k=5k 오른쪽그림과같이꼭짓점 D 에서 BCÓ 에내린수선의발을 I 라하면 ABHª DCI (RHA 합동 ) 이므로 B H Ó =CIÕ= (5k-k) =k ( ADÓ=HIÕ=k) AHÓ=h라하면 06 도형의닮음 Step. 개념다지기 ABH= _k_h= kh ABCD= _(k+5k)_h=4kh 06- 닮은도형 ABCD=a_ ABH 에서 ➊ 닮음 ➋» DEF a= ABCD ABH =4kh_ kh =8 5 기본연습 8 오른쪽그림에서 ACD= BEC 이므로 ACÓ BEÓ ABC= AEC () ABC» PQR이므로 B에대응하는각은 Q이다. () ABC» PQR이므로 PQÓ에대응하는변은 ABÓ이다. () Q () ABÓ AED 에서 CDÓ`:`CEÓ=`:` 이므로 연습 ACD`:` AEC=`:` 6`:` AEC=`:` AEC=6_=8(cmÛ`) ABCD와 EFGH는서로닮은도형이므로 ABCD» EFGH ABCD» EFGH ABC= AEC=8 cmû` 06- 닮은도형의성질과닮음비 9 ABD= ABCD= _48=4(cmÛ`) ABD에서 ABO`:` AOD=OBÓ`:`ODÓ=`:`이므로 AOD= ABD= _4=(cmÛ`) AOD에서 AOP`:` POD=APÓ`:`PDÓ=`:`이므로 AOP= POD= AOD= _=6(cmÛ`) AOP에서 AQP`:` PQO=AQÓ`:`OQÓ=`:`이므로 PQO= AOP= _6=(cmÛ`) PQOD= PQO+ POD=+6=8(cmÛ`) ➊ 일정 ➋ 대응각의크기 ➌ 대응변기본연습 () ABC와 A'B'C' 의닮음비는 BCÓ : BÕ'C'Ó=4 : 0= : 5이므로 ACÓ : AÕ'C'Ó=6 : AÕ'C'Ó= : 5 AÕ'C'Ó=0 AÕ'C'Ó=5 cm () 서로닮은두삼각형에서대응각의크기는같으므로 C= C'=50ù () 5 cm () 50ù 연습 0 ADÓBCÓ이므로 ABD= ACD ABO = ABD- AOD = ACD- AOD = DOC=49(cmÛ`) ABO에서 AEO`:` BOE=AEÓ`:`BEÓ=`:`4이므로 주어진두입체도형의닮음비는 : 이고 CÕ'G'Ó에대응하는모서리는 CGÓ이므로 CGÓ : CÕ'G'Ó= : 5 : CÕ'G'Ó= :, CÕ'G'Ó=0 CÕ'G'Ó=0 cm 0 cm Ⅲ. 도형의닮음 06. 도형의닮음 9

21 본문 097 쪽 06- 삼각형의닮음조건 ➊ SSS ➋ SAS ➌ AA 기본연습 ABÓ : AÕ'B'Ó=BCÓ : BÕ'C'Ó = CAÓ : CÕ'A'Ó= : ABC» A'B'C' ( SSS 닮음 ) 풀이참조연습 ABC와 DAC에서 C는공통, BCÓ: ACÓ=ACÓ : DCÓ= : ABC» DAC (SAS 닮음 ) ABÓ : DAÓ= : 에서 x : = : x= 직각삼각형의닮음 ➊ BDÓ_BCÓ ➋ CDÓ_CBÓ ➌ BDÓ_CDÓ 기본연습 4 () ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ=8_8=44 ABÓ= cm () AHÓÛ`=BHÓ_CHÓ=6_4=64 AHÓ=8 cm () cm () 8 cm 연습 4 ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ=6_(6+9)=6_5=400 ACÓ=0 cm x=0 0 유제 0 두직각삼각형, 두마름모는대응하는변의길이의비, 각의크기가다를수있으므로항상닮음이라고할수없다. 따라서항상닮은도형은두원, 두정육면체이다. 두원, 두정육면체유제 0 사각형 ABCD에서 D=60ù-( A+ B+ C) =60ù-(90ù+0ù+90ù) =70ù H의대응각은 D이므로 H= D=70ù 두사각형의대응변의길이의비는일정하므로 ABÓ : EFÓ=BCÓ : FGÓ, ABÓ : 9=6 : ABÓ=6_9=44 ABÓ= cm H=70ù, ABÓ= cm 유제 04 두삼각형의닮음비가 : 이므로 ACÓ : DFÓ=BCÓ : EFÓ= :, 5 : DFÓ=6 : EFÓ= : DFÓ=5cm, EFÓ=8cm 따라서삼각형 DEF의둘레의길이는 DEÓ+EFÓ+DFÓ=+8+5=45(cm) 45 cm 유제 05 두직육면체의대응하는모서리의길이의비가일정하므로 JKÓ=NOÓ에서 DHÓ : LPÓ=FGÓ : NOÓ, 5 : 0=8 : JKÓ 5J K Ó=80 JKÓ=6cm 6 cm 유제 06 두원뿔의닮음비는 5 : 9=5 : 이므로원뿔 B의반지름의길이를 rc m 라하면 0 : r=5 :, 5r=0 r=6 따라서원뿔 B의밑면의넓이는 prû`=p_6û`=6p(cmû`) 6p cmû` Step. 대표문제로접근하기 0 점 D 의대응점 : 점 A, BCÓ 의대응변 : EFÓ 0 두원, 두정육면체 0 H=70ù, ABÓ= cm cm 05 6 cm 06 6p cmû` 07 SAS 닮음 08 SSS 닮음 09 6 cm 0 0 cm :Á»:cm 6 cm 8 cmû` 4 6 cm 5 5 cm 6 6 cm 7 8 cm 8 4 유제 0 삼각형 ABC에서삼각형 DEF의점 D와같은위치에있는점은점 A이므로점 D의대응점은점 A이다. 삼각형 DEF에서삼각형 ABC의변 BC와같은위치에있는변은 EFÓ이므로 BCÓ의대응변은 EFÓ이다. 유제 07 두삼각형의두쌍의대응변의길이의비가 : 로같고, 그끼인각의크기가 75ù로같으므로두삼각형은서로닮음이다. (SAS 닮음 ) SAS 닮음유제 08 닮은두삼각형의세쌍의대응변의길이의비가 : 로같으므로 SSS 닮음이다. SSS 닮음유제 09 두삼각형 ABC, AQP에서 ACÓ : APÓ=ABÓ : AQÓ=4 :, A는공통이므로 ABC» AQP (SAS 닮음 ) 따라서 BCÓ : QPÓ=4 : 이므로 BCÓ : =4 : BCÓ=48 BCÓ=6 cm 6 cm 유제 0 두삼각형 ACP, BCA에서 ACÓ : BCÓ=CPÓ : CAÓ= :, C는공통이므로 ACP» BCA (SAS 닮음 ) 따라서 APÓ : BAÓ= : 이므로 APÓ : 5= : APÓ=0 APÓ=0 cm 0 cm 유제 두삼각형 BQP, BAC 에서 BQP= BAC, B 는공통이므로 BQP» BAC (AA 닮음 ) 점 D 의대응점 : 점 A, BCÓ 의대응변 : EFÓ 따라서 BQÓ : BAÓ=BPÓ : BCÓ 에서 4 : 9=6 : BCÓ 0 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

22 본문 0 쪽 4 BCÓ=54 BCÓ= 7 c m CQÓ=BCÓ-BQÓ= 7-4= 9 (cm) 유제 두삼각형 APC, BAC에서 CAP= CBA, C는공통이므로 APC» BAC (AA 닮음 ) 따라서 ACÓ: BCÓ=PCÓ : ACÓ에서 5 : 5=PCÓ : 5 5 PCÓ=5 PCÓ=9cm BPÓ=BCÓ-PCÓ=5-9=6(cm) 9 c m 6 cm APÓ : ABÓ=PQÓ : BCÓ이므로 8 :=4:a, 8a=_4 a= yy ᄀ APQ와 ARP에서 A는공통, AQP= ACB= APR APQ» ARP (AA 닮음 ) AQÓ : APÓ=PQÓ : RPÓ이므로 6 :8=4:b, 6b=8_4 b=7 yy ᄂᄀ, ᄂ에서 a-b=4 4 Ⅲ- 06. 도형의닮음 유제 두직각삼각형 CDE, CBA 에서 DEC= BAC=90ù, C 는공통이므로 CDE» CBA (AA 닮음 ) CDÓ: CBÓ=DEÓ : BAÓ 에서 5 : 0= : BAÓ 5B A Ó=0 BAÓ=6c m CDÓ: CBÓ=CEÓ: CAÓ에서 5 : 0=4 : CAÓ 5 CAÓ=40 CAÓ=8cm Step. 단원마무리하기 따라서 ABED = ABC- CDE ;@%;c m 05 = _6_8-4=4-6=8(cmÛ`) cmû` 6p 4 유제 4 주어진그림에서 HAB+ HBA= HBA+ IBC=90ù 이므로 HAB= IBC 따라서두삼각형 AHB, BIC에서 HAB= IBC, AHB= BIC=90ù이므로 AHB» BIC (AA 닮음 ) 그러므로 ABÓ: BCÓ=BHÓ : CÕIÕ에서 6 : 8=BHÓ : 8 BHÓ=48 BHÓ=6cm 6 cm 유제 5 직각삼각형의닮음의공식을이용하면 ABÓÛ`=BHÓ_BCÓ에서 0Û`=BHÓ_0 0 BHÓ=00 BHÓ=5cm 5 cm 유제 6 직각삼각형의닮음의공식을이용하면 AHÓÛ`=BHÓ_CHÓ=4_9=6 AHÓ=6cm ( AHÓ>0) 6 cm 유제 7 ABG와 FEG에서 AGÓ : FGÓ=BGÓ: EGÓ= :, AGB= FGE ( 맞꼭지각 ) ABG» FEG (SAS 닮음 ) 따라서 ABÓ: FEÓ= : 이므로 ABÓ : = :, ABÓ=4 ABÓ=8cm GEF와 GCD에서 GEÓ: GCÓ=GFÓ: GDÓ= : 5, CGD는공통 GEF» GCD (SAS 닮음 ) 따라서 EFÓ : CDÓ= : 5이므로 : CDÓ= : 5, CDÓ=60 CDÓ=0cm 따라서 ABÓ+CDÓ=8+0=8(cm) 8 cm 유제 8 PQÓ BCÓ이므로 APQ와 ABC에서 APQ= ABC ( 동위각 ), AQP= ACB ( 동위각 ) APQ» ABC (AA 닮음 ) 5 () AA 닮음 () 8 cm cm 0 ;^4%;cm 0 ABÓ의대응변은 DEÓ이다. BCÓ의대응변은 EFÓ이다. B 의대응각은 E 이다. 4 점 A 의대응점은점 D 이다. 5 점 C 의대응점은점 F 이다. 따라서옳은것은 이다. 0 두삼각형은닮음이고 ABÓ : DEÓ=9 : 5= : 5이므로 BCÓ : EFÓ= : 5, EFÓ=5 BCÓ EFÓ= 5 BCÓ= 5 _6=0(cm) 4 0 항상닮은도형은두원, 두직각이등변삼각형, 변의개수가같은두정다각형등이있다. 두직사각형은대응하는변의길이의비가다를경우닮은도형이아 니다. 따라서빈칸에해당하는것으로적절하지않은것은 이다. 04 ABC» PBA이므로 ABÓ Û`=BPÓ_BCÓ Û`=(+CÕPÕ) CÕPÕ=5 CPÓ= 5 5 cm cm Ⅲ. 도형의닮음 06. 도형의닮음

23 본문 08 쪽 05 두원기둥의닮음비는원기둥의높이의비와같으므로 8 : 4=4 : 7 원기둥 B의밑면의반지름의길이를 rc m 라하면 4 : r=4 : 7 r=7 따라서원기둥 B의밑면의둘레의길이는 pr=p_7=4p(cm) 06 다음두사각형은넓이가 9로같지만서로닮은도형은아니다. 따라서옳지않은것은 이다. 07 A=65ù, E=55ù이면 A= D=65ù, B= E=55ù, C= F=60ù 두쌍의대응각의크기가같으므로 ABC» DEF (AA 닮음 ) C=80ù이면 C+ F이므로대응하는각의크기가다르다., 4, 5 세쌍의대응하는변의길이의비가같은지알수없다. 따라서만족해야하는조건은 이다. 08 B=80ù-(70ù+60ù)=50ù ABC와ㄷ의삼각형은두각의크기가각각같으므로서로닮은도형이다. (AA 닮음 ) 4 09 ABC와 DEF의닮음비가 : 이므로 ACÓ : DFÓ= :, 즉 6 : DFÓ= : DFÓ=6_= BCÓ: EFÓ= :, 즉 7 : EFÓ= : EFÓ=7_=4 따라서 DEF의둘레의길이는 DEÓ+EFÓ+FDÓ=6+4+= 5 ABÓ=6, BCÓ=8 이므로 ABC= _6_8=4 DEÓ=4, EFÓ= 이므로 DEF= _4_=6 ABC=4 DEF 따라서옳지않은것은 이다. 처음원뿔과이원뿔을밑면과평행하게잘라만든원뿔은닮은도형이 고, 밑면으로부터높이의 인지점을잘랐으므로닮음비는 4 : 이다. 4 잘린단면의반지름의길이를 r 라하면 4 : r=4 :, 4r=4 r=6 따라서잘린단면의넓이는 prû`=p_6û`=6p, 5 ABC와 ACP에서 A는공통, ACB= APC=90ù이므로 ABC» ACP (AA 닮음 ) 따라서 ABÓ : ACÓ=ACÓ : APÓ이므로 ACÓ Û`=APÓ_ABÓ, 4 ACP와 CBP에서 ACP+ PCB=90ù, CBP+ PCB=90ù 이므로 ACP= CBP, APC= CPB=90ù ACP» CBP (AA 닮음 ) 따라서 APÓ : CPÓ=CPÓ : BPÓ이므로 CÕPÕ Û`=APÓ_BPÓ 4 CBD와 CAB에서 CBÓ : CAÓ=CDÓ : CBÓ= : 4 C는공통 CBD» CAB (SAS 닮음 ) 따라서 BDÓ : ABÓ= : 4이므로 6p 6 : ABÓ= : 4, ABÓ=4 ABÓ=8cm 0 ㄱ. 점 B, 점 E, 점 F, 점 C의대응점이각각점 L, 점 I, 점 H, 점 K이므로 BEFC» LIHK ㄴ. 두삼각기둥의닮음비는 ACÓ: JKÓ=ACÓ : GÕHÕ=4 : 6=4 : 따라서 BCÓ: LKÓ=BCÓ : IHÕ=4 : 이므로 BCÓ: 0=4 : BCÓ=40 ㄷ. 닮음비가 4 : 이므로 CFÓ : KHÓ=4 : 48 : KHÓ=4 :, 4K H Ó=48 KÕHÓ= ㄹ. 닮음비가 4 : 이므로 ABÓ : GÕIÕ=4 : 따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다. 닮음인두삼각형에대하여 ABÓ : FEÓ=6 : = :, BCÓ : EDÓ=8 : 4= : 이므로닮음비는 : 이다. 또한 ABÓ, BCÓ, ACÓ의대응변은각각 FEÓ, EDÓ, FDÓ이고, B= E=90ù이므로 A, B, C의대응각은각각 F, E, D이다. ABÓ : DEÓ= : 이고 BCÓ : EFÓ=8 : 이므로 ABÓ : DEÓ+BCÓ : EFÓ A와 F는대응각이므로 A= F 닮음비가 : 이므로 ACÓ: DFÓ= : 이다. 4 ABÓ : EFÓ= : 이므로 ABÓ= EFÓ 5 ( ) ABC와 EBD에서 C= BDE, B는공통 ABC» EBD (AA 닮음 ) () ABC» EBD (AA 닮음 ) 이므로 ABÓ : EBÓ=BCÓ : BDÓ= : ABÓ= EBÓ=_4=8(cm) 6 PBC=6 cmû` 이므로 _PCÓ_BPÓ=6 _8_BPÓ=6 BPÓ=4cm APB» BPC이므로 BPÓ Û`=APÓ_CPÓ 4Û`=APÓ_8 () AA 닮음 () 8c m 8 APÓ=6 APÓ=c m 7 점 E가 ABC의외심이므로 AEÓ=BEÓ=CEÓ=cm BCD와 BAE에서 BDÓ : BEÓ=BCÓ : BAÓ=4 : B는공통 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

24 본문 쪽 BCD» BAE (SAS 닮음 ) 따라서 CDÓ: AEÓ=4 : 이므로 CDÓ: =4 :, CDÓ=48 CDÓ=6 cm 8 BCÓ: DCÓ= : 이므로 BCÓ= cm, DCÓ=6 cm ABC에서 A+ B=90ù DBE에서 B+ D=90ù A= D ACB= DCF=90ù이므로 ABC» DFC (AA 닮음 ) 따라서 ACÓ : DCÓ=BCÓ : FCÓ이므로 (AFÓ+): 6= :, AFÓ+4=8 AFÓ=4 AFÓ=7cm 9 APB에서 PAB+ PBA=90ù 직선 PQ에서 BAC=90ù이므로 PAB+ QAC=90ù PBA= QAC 또한, P= Q=90ù이므로 APB» CQA (AA 닮음 ) 따라서 PÕBÕ : QÕAÓ=PÕAÓ : QCÓ이므로 5 : 0=8 : QCÓ 5 QCÓ=40 QCÓ=6cm 6cm 07 평행선과선분의길이의비 Step. 개념다지기 07- 삼각형에서평행선과선분의길이의비 기본연습 () ACÓ`:`AQÓ=BCÓ`:`PQÓ에서 `:`4=BCÓ`:`6 4 BCÓ=7 BCÓ=8 () ABÓ`:`APÓ=BCÓ`:`PQÓ에서 5`:`APÓ=0`:` 0APÓ=80 APÓ=9 () 8 () 9 연습 ABÓ`:`APÓ=ACÓ`:`AQÓ에서 5`:`6=x`:`8 6x=0 x= 삼각형의두변의중점을연결한선분의성질 Ⅲ- 07. 평행선과선분의길이의비 0 ABÓ DCÓ이므로 PBD= CDB ( 엇각 ) 도형에서접은면은서로합동이므로 PDB= CDB PBD= PDB 따라서 PBD는이등변삼각형이고 PBÓ=PDÓ 이등변삼각형성질에의하여 PQÓ는 BDÓ를수직이등분하므로 BQÓ=DQÓ= c m ➊ BCÓ MNÓ ➋ BCÓ ➌ ANÓ ➍ CNÓ 기본연습 () BCÓ=MNÓ=_=4 () MNÓ= BCÓ= _8=9 () 4 () 9 연습 점 N은 ACÓ의중점이므로 BCÓ=MNÓ=_=, CNÓ=ANÓ=0 x+y=+0= PBQ 와 DBA 에서 PBQ 는공통, PQB= DAB=90ù 이므로 PBQ» DBA (AA 닮음 ) 따라서 PQÓ : DÕAÓ=BQÓ : BAÓ 이므로 PQÓ : 5= : PQÓ= 65 PQÓ= cm 4 4 c m 07- 삼각형의내각, 외각의이등분선 ➊ ABÓ`:`ACÓ ➋ BPÓ`:`CPÓ ➌ ABÓ`:`ACÓ ➍ BPÓ`:`CPÓ 기본연습 () ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ 에서 5`:`7= 0 `:`CPÓ 5 CPÓ= 70 CPÓ= 70 5 = 4 (cm) () ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서 8`:`ACÓ=6`:`0 6ACÓ=80 ACÓ=5 cm () 4 cm () 5 cm 연습 ABP`:` ACP=ABÓ`:`ACÓ에서 0`:` ACP=`:`6=`:`4 ACP=0 ACP=40(cmÛ`) 40 cmû` 07-4 평행선사이의선분의길이의비 ➊ 선분의길이 기본연습 4 8`:`=0`:`x 에서 8x=0 x=5 5 Ⅲ. 도형의닮음 07. 평행선과선분의길이의비

25 본문 5 쪽 연습 4 PQÓ= 6_+0_4 = = 6 (cm) 6 cm 07-5 평행선과선분의길이의비의활용 기본연습 5 BQÓ`:`CQÓ=ABÓ`:`CDÓ에서 BQÓ`:`8=6`:` BQÓ=48 BQÓ=4 cm 4 cm 연습 5 PQÓ= 0_8 0+8 = 80 8 = 40 9 (cm) 40 9 cm Step. 대표문제로접근하기 유제 05 삼각형 ABC 에서 ACB=80ù-( A+ B)=80ù-(5ù+45ù)=00ù 두점 M, N 이각각 ABC 의두변 AB, AC 의중점 이므로 MNÓ BCÓ ANM= ACB=00ù 00ù 유제 06 MNÓ BCÓ 에서점 N 이 ACÓ 의중점이므로 ANÓ= ACÓ= _6=8(cm) MNÓ= BCÓ에서 BCÓ=MNÓ=_9=8(cm) ANÓ=8 cm, BCÓ=8 cm 유제 07 오른쪽그림과같이 ABÓ 의중점을 M이라하면 MDÓ ECÓ이므로두삼각형 DMF, EBF에서 DFÓ=EFÓ, DFM= EFB ( 맞꼭지각 ), MDF= BEF ( 엇각 ) 이므로 DMFª EBF (ASA 합동 ) MDÓ=EBÓ=7 cm 0 APÓ= cm, PQÓ=8 cm 0 ABÓ=7 cm, CPÓ=6 cm 0 () BCÓ DEÓ 이다. () BCÓ DEÓ 가아니다. 04, 5 이때 MDÓ= BCÓ에서 BCÓ= MDÓ=_7=4(cm) CEÓ=EBÓ+BCÓ=7+4=(cm) cm 05 00ù 06 ANÓ=8 cm, BCÓ=8 cm 07 cm 08 0 cm 09 4 cm 0 6 cm cm 6 9 cm 4 cmû` 5 4 cm 6 4 cmû` x= 5 4, y=6 9 cm 0 cm 7 cm cm cm 6 유제 0 AQÓ=ACÓ-CQÓ=0-8=(cm) 두선분 PQ, BC가평행하므로 APÓ`:`ABÓ=AQÓ`:`ACÓ에서 APÓ`:`5=`:`0 0APÓ=40 APÓ= cm AQÓ`:`ACÓ=PQÓ`:`BCÓ에서 `:`0=PQÓ`:`0 0PQÓ=60 PQÓ=8 cm APÓ= cm, PQÓ=8 cm 유제 0 두선분 AB, CD가평행하므로 APÓ`:`DPÓ=ABÓ`:`CDÓ에서 `:`=ABÓ`:`4 ABÓ=54 ABÓ=7 cm APÓ`:`DPÓ=BPÓ`:`CPÓ에서 `:`=8`:`CPÓ CPÓ=76 CPÓ=6 cm ABÓ=7 cm, CPÓ=6 cm 유제 08 오른쪽그림과같이 ACÓ 의중점을 M 이라하면 DMÓ BEÓ이므로두삼각 형 DMF, ECF 에서 DFÓ=EFÓ, DFM= EFC ( 맞꼭지각 ), MDF= CEF ( 엇각 ) 이므로 DMFª ECF (ASA 합동 ) FMÓ=CFÓ=0 cm AFÓ=AMÓ+FMÓ=CMÓ+FMÓ=0+0=0(cm) 0cm 유제 09 네선분 AB, BC, CD, DA 의중점이각각 P, Q, R, S 이므로 PQÓ= ACÓ= _6=8(cm), RSÓ= ACÓ= _6=8(cm) QRÓ= BDÓ= _8=9(cm), SPÓ= BDÓ= _8=9(cm) ( PQRS 의둘레의길이 ) =PQÓ+QRÓ+RSÓ+SPÓ = =4(cm) 유제 0 ABCD 의각변의중점이 P, Q, R, S 이므로 4 cm 유제 0 () ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ일때 BCÓ DEÓ이고, `:`6=0`:`5이므로두선분 BC, DE는평행하다. () ABÓ`:`AEÓ=8`:`6=4`:`, ACÓ`:`ADÓ=5`:`이므로 ABÓ`:`AEÓ+ACÓ`:`ADÓ 따라서두선분 BC, DE는평행하지않다. () BCÓ DEÓ이다. () BCÓ DEÓ가아니다. 유제 04 5`:`7=0`:`4이므로 BCÓ DEÓ이다. 4`:`5=`:`5이므로 BCÓ DEÓ이다. 0`:`6+`:`8이므로 BCÓ DEÓ가아니다. 4 7`:`4=`:`이므로 BCÓ DEÓ이다. 5 `:`4+6`:`7이므로 BCÓ DEÓ가아니다. 따라서 BCÓ DEÓ가아닌것은, 5이다., 5 유제 PQÓ=RSÓ= ACÓ, QRÓ=SPÓ= BDÓ 이때 PQÓ=PSÓ이므로 ACÓ=BDÓ ( PQRS의둘레의길이 ) =PQÓ+QRÓ+RSÓ+SPÓ = ACÓ+ BDÓ+ ACÓ+ BDÓ =ACÓ+BDÓ =BDÓ= BDÓ=6 cm 6 cm 삼각형 ABC에서 MQÓ= BCÓ= _0=5(cm) 삼각형 ABD에서 MPÓ= ADÓ= _4=(cm) PQÓ=MQÓ-MPÓ=5-=(cm) cm 4 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

26 본문 쪽 유제 AEÓ=BEÓ, DFÓ=CFÓ, ADÓ BCÓ이므로 ADÓ EFÓ BCÓ EPÓ= ADÓ= _4= EQÓ=EPÓ+PQÓ=+= BCÓ=EQÓ=_=6 6 유제 삼각형 ABC에서 PRÓ BCÓ이므로 APÓ`:`ABÓ=PRÓ`:`BCÓ에서 6`:`8=PRÓ`:` 8 PRÓ=7 PRÓ=9 cm 같은방법으로 CQÓ`:`CDÓ=`:`4이므로삼각형 ACD에서 RQÓ`:`ADÓ=`:`4, 4RQÓ=ADÓ 유제 APÓ가 A의이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서 ABÓ`:`=`:`4 4ABÓ=6 ABÓ=9 cm 9 cm 유제 4 APÓ가 A의이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ= ABP`:` ACP에서 0`:`6=0`:` ACP 0 ACP=0 ACP= cmû` cmû` 유제 5 점 P가 A의외각의이등분선위의점이므로 ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서 ABÓ`:`7=8`:`4 4ABÓ=56 ABÓ=4 cm 4 cm 유제 6 APÓ가 A의외각의이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BPÓ`:`CPÓ에서 8`:`7=BPÓ`:`CPÓ 이때 ACP`:` ABP=CPÓ`:`BPÓ에서 ACP`:` ABP=7`:`8 7 ABP=8 ACP ABP= 8 7 ACP= 8 7 _=4(cmÛ`) 유제 7 세직선 l, m, n이평행하므로평행선사이의선분의길이의비에의하여 4 cmû` 0`:`x=8`:` 에서 8x=0 x=5 5 유제 8 세직선 l, m, n이평행하므로평행선사이의선분의길이의비에의하여 RQÓ= 4 ADÓ= 4 _8=(cm) PRÓ-RQÓ=9-=7(cm) 유제 삼각형 ABC에서 PSÓ BCÓ이므로 APÓ`:`ABÓ=PSÓ`:`BCÓ에서 `:`5=PSÓ`:`0 5 PSÓ=40 PSÓ=6 cm 삼각형 ABD에서 ADÓ PRÓ이므로 BPÓ`:`ABÓ=PRÓ`:`ADÓ에서 `:`5=PRÓ`:`5 RSÓ=PSÓ-PRÓ=6-=(cm) 유제 ABÓ PQÓ CDÓ이므로 PQÓ= ABÓ_CDÓ ABÓ+CDÓ 4= x_ x+, 4x+48=x 7 cm PRÓ= cm cm 8x=48 x=6 6 유제 4 ABÓ PQÓ DCÓ 이므로 y= 0_5 0+5 = 50 5 =6(cm) APB= CPD ( 맞꼭지각 ), PAB= PCD ( 엇각 ) 이므로 PAB» PCD (AA 닮음 ) BPÓ`:` PDÓ=ABÓ`:` CDÓ=0`:`5=`:` BQÓ`:`BCÓ=BPÓ`:`BDÓ 에서 x`:`0=`:`(+) 5x=40 x=8 따라서 x+y=8+6=4 4 Ⅲ- 07. 평행선과선분의길이의비 `:`4=x`:`5에서 4x=5 x= 5 4 `:`4= 9 `:`y 에서 y=8 y=6 x= 5 4, y=6 유제 9 오른쪽그림과같이점 A를지나면서 CDÓ와평행한선분이 PQÓ, BCÓ와 만나는점을각각 E, F라하면 EQÓ=FCÓ=ADÓ=9 cm PEÓ=PQÓ-EQÓ=0-9=(cm) 이때삼각형 ABF에서 PEÓ BFÓ이므로 APÓ`:`ABÓ=PEÓ`:`BFÓ에서 `:`8=`:`BFÓ BFÓ=8 BFÓ=4 cm BCÓ=BFÓ+FCÓ=4+9=(cm) cm 유제 0 오른쪽그림과같이점 A를지나면서 CDÓ와평행한선분이 PQÓ, BCÓ와만나 는점을각각 E, F라하면 EQÓ=FCÓ=ADÓ=8 cm BFÓ=BCÓ-FCÓ=4-8=6(cm) 이때삼각형 ABF에서 PEÓ BFÓ이고, APÓ=BPÓ에서 APÓ`:`ABÓ=`:`이므로 PEÓ`:`BFÓ=`:`에서 PEÓ= BFÓ PEÓ= BFÓ= _6=4(cm) PQÓ=PEÓ+EQÓ=4+8=(cm) cm 유제 5 오른쪽그림과같이점 P에서 BCÓ에내린수선의발을 H라하자. ABP» CDP (AA 닮음 ) 이므로 APÓ`:`CPÓ=`:`0=`:`5 CPÓ`:`CAÓ=5`:`8 PHÓ ABÓ이므로삼각형 ABC에서 CPÓ`:`CAÓ=PHÓ`:`ABÓ, 5`:`8=PHÓ`:`ABÓ 8 PHÓ=5 ABÓ PHÓ= 5 8 ABÓ= 5 8 _= 5 (cm) 삼각형 PBC 의넓이가 90 cmû` 이므로 _BCÓ_PHÓ= _BCÓ_ 5 = 5 4 BCÓ=90 BCÓ=90_ 4 5 =4(cm) 유제 6 ADÓ가 A의이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ, 5`:`=BDÓ`:`CDÓ BDÓ`:`CDÓ=5`:`4 양수 k에대하여 BDÓ=5k, CDÓ=4k라하면 BCÓ=BDÓ+CDÓ=5k+4k=9k BMÓ= BCÓ= 9 k 따라서 MDÓ=BDÓ-BMÓ=5k- 9 k= k 4 cm Ⅲ. 도형의닮음 07. 평행선과선분의길이의비 5

27 본문 0 쪽 MDÓ`:`BDÓ= k`:`5k=`:`0이고, 따라서옳지않은것은 이다. ABÓ MEÓ이므로 MEÓ`:`ABÓ=MDÓ`:`BDÓ, MEÓ`:`5=`:`0 08 오른쪽그림과같이점 P 에서 y 축에내린 수선의발을 H 라하자. 0 MEÓ=5 MEÓ= PHÓ OAÓ 이므로 BHÓ`:`HOÓ=BPÓ`:`PAÓ=4`:`5 BHÓ`:`5=4`:`5 BHÓ=4 따라서 B(0, 9) 이므로 b=9 Step. 단원마무리하기 직선이두점 P(-, 5) 와 B(0, 9) 를지나므로 직선의기울기는 a= (-) = 4 06 ( 가 ) EFC ( 나 ) 동위각 ( 다 ) AA ( 라 ) ECÓ ( 마 ) 평행사변형 ( 바 ) DBÓ cmû cm 7 5 cm cm BCÓ=MNÓ=_7=4(cm) 4 0 PQÓ BCÓ이므로 AQÓ`:`ACÓ=PQÓ`:`BCÓ에서 4`:`6=6`:`BCÓ 4BCÓ=6 BCÓ=9 cm 0 평행선사이의선분의길이의비에의하여 5`:`5=x`:`6, 5x=90 x=8 ab= 4 _9= 09 ABC에서 ADÓ`:`DBÓ+AEÓ`:`ECÓ이므로 BCÓ와 DEÓ는평행하지않다. ABC에서 AFÓ`:`FBÓ+AGÓ`:`GCÓ이므로 BCÓ와 FGÓ는평행하지않다. AFG에서 ADÓ`:`DFÓ=AEÓ`:`EGÓ이므로 DEÓ FGÓ 4 AFH에서 ADÓ`:`DFÓ+AEÓ`:`EHÓ이므로 DEÓ와 FHÓ는평행하지않다. 5 AFH에서 ADÓ`:`DFÓ+AGÓ`:`GHÓ이므로 DGÓ와 FHÓ는평행하지않다. 따라서옳은것은 이다. 04 ( PQR의둘레의길이 ) = _( ABC의둘레의길이 ) = _(ABÓ+BCÓ+CAÓ) = _(4+5+7) = _46=(cm) 5 05 BPÓ가 B의이등분선이므로 BAÓ`:`BCÓ=APÓ`:`CPÓ에서 0`:`5=6`:`CPÓ 0 CPÓ=90 CPÓ=9 cm 06 ADE 와 ( 가 ) EFC 에서 0 평행선사이의선분의길이의비는일정하므로 5`:`6=x`:`0 에서 6x=50 x= 50 6 = 5 5`:`6=`:`y 에서 5y=7 y= 7 5 xy= 5 _ 7 5 =0 AFC에서 GDÓ FCÓ, ADÓ=CDÓ이므로 FCÓ= GDÓ=_0=0(cm) 이고, AGÓ=GFÓ이므로 AGÓ=GFÓ=x cm라하면 BDG에서 GDÓ FEÓ, BEÓ=DEÓ이므로 FEÓ= GDÓ= _0=5(cm) ADE= DBF= EFC AED= ECF ( ( 나 ) 동위각 ) 이므로 ADE» ( 가 ) EFC ( ( 다 ) AA 닮음 ) ADÓ`:`EFÓ=AEÓ`:` ( 라 ) ECÓ DBFE는 DEÓ BFÓ, DBÓ EFÓ, 즉두쌍의대변이평행하므로 ( 마 ) 평행사변형이다. 따라서 EFÓ= ( 바 ) DBÓ 이므로 ADÓ`:` ( 바 ) DBÓ =AEÓ`:` ( 라 ) ECÓ ( 가 ) EFC ( 나 ) 동위각 ( 다 ) AA ( 라 ) ECÓ ( 마 ) 평행사변형 ( 바 ) DBÓ FBÓ=GFÓ=x cm이므로 AGÓ+GFÓ+FBÓ=8(cm) 에서 x+x+x=8, x=8 x=6 ECÓ=FCÓ-FEÓ=0-5=5(cm) 이므로 y=5 x+y=6+5= 직사각형은두대각선의길이가같으므로 ACÓ=BDÓ= cm APÓ=PBÓ, ASÓ=SDÓ, DRÓ=RCÓ, BQÓ=QCÓ이므로 PSÓ=QRÓ= BDÓ= (cm), SRÓ=PQÓ= ACÓ= (cm) ( PQRS의둘레의길이 ) =PSÓ+PQÓ+QRÓ+SRÓ 07, ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ에서 BCÓ DEÓ이므로모두옳은설명이다. DEÓ`:`BCÓ는 ADÓ`:`DBÓ가아니라 ADÓ`:`ABÓ와같다. 4 B와 ADE가동위각으로크기가같고 A는공통이므로 ABC» ADE (AA 닮음 ) 이다. 5 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ에서 (+8)`:`=BCÓ`:`, BCÓ=60 BCÓ=5 = =6(cm) APB» CPD (AA 닮음 ) 이므로 APÓ`:`CPÓ=ABÓ`:`CDÓ=6`:`8=`:` CPÓ`:`CAÓ=`:` 4 6 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

28 본문 쪽 PQÓ ABÓ 이므로삼각형 ACB 에서 PQÓ`:`ABÓ=CPÓ`:`CAÓ=`:` PQÓ=ABÓ PQÓ= ABÓ= 6 (cm) CQÓ`:`CBÓ=`:` 에서 CQÓ`:`5=`:` CQÓ=5 CQÓ=5 cm PQC= ABC=90ù이므로 PQC= _PQÓ_CQÓ= _ 6 _5= 40 (cmû`) 4 ADÓ는 A의외각의이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ, 5`:`6=BDÓ`:`CDÓ 6BDÓ=5 CDÓ, BDÓ= 5 CDÓ BCÓ=BDÓ-CDÓ= 5 CDÓ-CDÓ= CDÓ CDÓ =CDÓ_ = BCÓ CDÓ 따라서 a= 이므로 6a-5=6_ -5=- 5 주어진그림에서 PRÓ BCÓ이므로 APÓ`:`ABÓ=PRÓ`:`BCÓ에서 `:`=PRÓ`:` PRÓ= PRÓ=6 cm 이때 PRÓ=RSÓ이므로 PSÓ=PRÓ+RSÓ=6+6=(cm) x= 삼각형 ABD에서 ADÓ PSÓ이므로 BPÓ`:`BAÓ=PSÓ`:`ADÓ 에서 `:`=`:`ADÓ 40 cmû` ADÓ=4 cm y=4 x+y=+4=6 6 6 오른쪽그림과같이점 A를지나고 CDÓ에평행한직선이 PÁQÁÓ, PªQªÓ, BCÓ와만나는 점을각각 RÁ, Rª, R 라하면 ADÓ=RÁQÁÓ=RªQªÓ=R CÓ=(cm) BRÓ =BCÓ-R CÓ=9-=6(cm) PÁRÁÓ BR Ó이므로 APÁÓ`:`ABÓ=PÁRÁÓ`:`BR Ó APÁÓ`:`ABÓ=`:`이므로 `:`=PÁRÁÓ`:`6, PÁRÁÓ=6 PÁRÁÓ= cm PÁQÁÓ=PÁRÁÓ+RÁQÁÓ=+=5(cm) PªRªÓ BR Ó 이므로 APªÓ`:`ABÓ=PªRªÓ`:`BR Ó APªÓ`:`ABÓ=`:` 이므로 `:`=PªRªÓ`:`6 PªRªÓ= PªRªÓ=4 cm PªQªÓ=PªRªÓ+RªQªÓ=4+=7(cm) 따라서 PÁQÁÓ+PªQªÓ=5+7=(cm) cm 8 오른쪽그림과같이 EHÓ=x라하자. 점 E를지나고 AFÓ에평행한직선이 CDÓ와 만나는점을 J 라하면 DAF 에서 AEÓ=DEÓ, EJÕ AFÓ 이므로 DJÓ=FJÓ DFÓ=CFÓ 이므로 FJÓ= DFÓ= CFÓ CFÓ`:`FJÓ=CFÓ`:` CFÓ=`:` CJE에서 FKÓ EJÕ이므로 CKÓ`:` EKÓ=CFÓ`:`FJÓ=`:` EIC 에서 HKÓ CIÓ 이므로 EHÓ`:` HIÓ= EKÓ`:`CKÓ=`:` x`:` HIÓ=`:` HIÓ=x ABH에서 AGÓ=BGÓ, AHÓ GIÓ이므로 BIÓ=HIÓ=x 다른풀이 BHÓ=x+x=4x BHÓ = 4x EHÓ x =4 4 오른쪽그림과같이 AFÓ 의연장선과 BCÓ의연장선의교점을 J라하자. AFD와 JFC에서 DFÓ=CFÓ, AFD= JFC ( 맞꼭지각 ), D= FCJ ( 엇각 ) 이므로 AFDª JFC (ASA 합동 ) 그러므로 CJÓ=ADÓ=AEÓ 이고, BCÓ=ADÓ=AEÓ BJÓ=BCÓ+CJÓ=AEÓ+AEÓ=4AEÓ AHE와 JHB에서 AHE= JHB ( 맞꼭지각 ), HAE= J ( 엇각 ) 이므로 AHE» JHB (AA 닮음 ) BHÓ = BJÓ = 4AEÓ =4 EHÓ AEÓ AEÓ 9 오른쪽그림과같이점 E를지나고 AFÓ 에평행한직선이 ABÓ와만나는점을 G 라하자. ABC 에서 ACÓ GEÓ, BEÓ=CEÓ 이므로 AGÓ=BGÓ, GEÓ= ACÓ DGE 에서 AFÓ GEÓ, DFÓ=EFÓ 이므로 AGÓ=DAÓ, AFÓ= GEÓ= _ ACÓ= 4 ACÓ DAÓ=AGÓ=BGÓ 이므로 ABÓ= BDÓ= _=8(cm) Ⅲ- 07. 평행선과선분의길이의비 7 오른쪽그림과같이두대각선의교점을 M이라하자. ADÓ MQÓ이므로 AMÓ`:` CMÓ=DQÓ`:`QCÓ=9`:`5=`:`5 두삼각형 AMD, CMB에서 MAD= MCB ( 엇각 ), MDA= MBC ( 엇각 ) 이므로 AMD» CMB (AA 닮음 ) 따라서 ADÓ`:` BCÓ=AMÓ`:` CMÓ=`:`5에서 ADÓ`:`5=`:`5, 5 ADÓ=75 ADÓ=5 cm 5 cm ACÓ=AFÓ+CFÓ 에서 ACÓ= 4 ACÓ+9 4 ACÓ=9 ACÓ=9_ 4 =(cm) ABÓ+ACÓ=8+=0(cm) 0 오른쪽그림과같이점 D를 지나고 ABÓ에평행한직선과 ACÓ의교점을 E라하자. BAD= CAD이므로 BDÓ`:`DCÓ=ABÓ`:`ACÓ=`:`0=`:`5 0 cm Ⅲ. 도형의닮음 07. 평행선과선분의길이의비 7

29 본문 5 쪽 다른풀이 ABÓ DEÓ 이므로 CEÓ`:`EAÓ=CDÓ`:`DBÓ=5`:` EAÓ=0_ 5+ = 5 (cm) ADE= DAB=60ù ( 엇각 ) 이므로 ADE 는정삼각형이다. ADÓ=AEÓ= 5 (cm) 오른쪽그림과같이점 C 를지나고 ADÓ 에 평행한직선과 BAÓ 의연장선의교점을 E 라하자. CAE=80ù-(60ù+60ù)=60ù ACE= CAD=60ù ( 엇각 ) 따라서 ACE 는정삼각형이므로 AEÓ=CEÓ=ACÓ=0(cm) BEÓ`:`ABÓ=CEÓ`:`ADÓ, (+0)`:`=0`:`ADÓ ADÓ=40 ADÓ= 5 (cm) 삼각형의무게중심과넓이 ➊ 6 등분 기본연습 () 색칠한삼각형의넓이는 GBC= ABC= _54=8(cmÛ`) () 삼각형의세중선은삼각형의넓이를 6 등분하므로 연습 색칠한삼각형의넓이는 GBR= 6 ABC= 6 _7=(cmÛ`) () 8 cmû` () cmû` GBP= ABC=7(cmÛ`) 이므로 ABC=7_6=4(cmÛ`) 6 따라서색칠한사각형의넓이는 GPCQ= ABC= _4=4(cmÛ`) 4 cmû` 08- 닮은평면도형과입체도형 ➊ m`:`n ➋ mû``:`nû` ➌ m`:`n ➍ mû``:`nû` ➎ mǜ `:`nǜ 기본연습 () 두삼각형의넓이의비는 Û``:`Û`=4`:`9 () 두삼각형의넓이의비는 6`:`64=9`:`6=Û``:`4Û` 이므로두삼각형의닮음비는 `:`4이다. () 두원기둥의부피의비는 Ǜ `:`5Ǜ =7`:`5 () 4`:`9 () `:`4 () 7`:`5 연습 08 도형의닮음의활용 Step. 개념다지기 08- 삼각형의중선과무게중심 ➊ 중선 ➋ 무게중심 ➌ 이등분 ➍ 무게중심 ➎ `:` 기본연습 () 중선은대변의길이를이등분하므로 CPÓ=BPÓ=7 cm () 중선은삼각형의넓이를이등분하므로 ABP= ACP=5 cmû` () 7 cm () 5 cmû` 연습 APÓ는삼각형 ABC의중선이므로 BCÓ=BPÓ+CPÓ=9+9=8(cm) 삼각형의무게중심은중선의길이를 `:`로나누므로 BGÓ`:`GQÓ=`:`에서 GQÓ=BGÓ GQÓ= BGÓ= _8=4(cm) x+y=8+4= 두원뿔의닮음비는 0`:`4=5`:` 따라서두원뿔의겉넓이의비는 5Û``:`Û`=5`:`4 원뿔 B의겉넓이를 x cmû` 라하면 5`:`4=50p`:`x이므로 5x=00p x=8p 따라서원뿔 B의겉넓이는 8p cmû` 이다 축도와축척 ➊ 축도 ➋ 축척 ➌ 축도에서의길이 ➍ 실제길이 기본연습 4 지도상에서두지점 P, Q 사이의거리가 8 cm이므로실제두지점사이의거리는 8_000=4000(cm) 따라서실제거리는 40 m이다. 연습 4 실제두지점 P, Q 사이의거리가 km이므로 지도상에서두지점 P, Q 사이의거리는 0000 =0.000(km) 따라서지도상에서의거리는 0 cm이다. 8p cmû` 40 m 0 cm 8 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

30 본문 8 쪽 Step. 대표문제로접근하기 0 cmû` 0 5 cmû` 0 cm 04 8 cm 05 0 cm 06 8 cm 07 5 cm cmû` 0 6 cmû` 450 cmû` 7 cmû` 8 cm 4 9 cmû` p cmû` 7.75 m 8 00 m 9 0 cm km 9 cmû` 유제 0 APÓ 가삼각형 ABC 의중선이므로 ABP= ABC= _9=46(cmÛ`) BQÓ 가삼각형 ABP 의중선이므로 ABQ= ABP= _46=(cmÛ`) cmû` 유제 0 APÓ가삼각형 ABC의중선이므로 ACP= ABP=50 cmû` CQÓ가삼각형 APC의중선이므로 CQP= APC= _50=5(cmÛ`) 유제 0 점 G가삼각형 ABC의무게중심이므로 CGÓ`:`GPÓ=`:`에서 CPÓ`:`GPÓ=`:` 5 cmû` BMÓ=CMÓ 삼각형 ABM에서 PGÓ BMÓ이므로 PGÓ`:`BMÓ=AGÓ`:`AMÓ=`:`, BMÓ= PGÓ BMÓ= PGÓ 삼각형 ACM 에서 QGÓ CMÓ 이므로 QGÓ`:`CMÓ=AGÓ`:`AMÓ=`:`, CMÓ= QGÓ CMÓ= QGÓ BCÓ=BMÓ+CMÓ = PGÓ+ QGÓ= (PGÓ+QGÓ) = PQÓ= _0 =5(cm) 유제 08 점 G는삼각형 ABC의무게중심이므로 AGÓ`:`GPÓ=`:` AGÓ= GPÓ=_7=4(cm) x=4 APÓ는삼각형 ABC의중선이므로 BPÓ=CPÓ= cm 삼각형 ABP에서 QGÓ BPÓ이므로 QGÓ`:`BPÓ=AGÓ`:`APÓ=`:`, QGÓ= BPÓ QGÓ= BPÓ= _=8(cm) y=8 5 cm x+y=4+8= GPÓ=CPÓ GPÓ= CPÓ= _=(cm) cm 유제 04 점 G가삼각형 ABC의무게중심이므로 AGÓ`:`GPÓ=`:`에서 APÓ`:`GPÓ=`:` GPÓ=APÓ GPÓ= APÓ= _6=(cm) 점 G' 이삼각형 BCG 의무게중심이므로 GG'Ó`:`G'PÓ=`:` 에서 GG'Ó`:`GPÓ=`:` GG'Ó= GPÓ GG'Ó= GPÓ= _=8(cm) 8 cm 유제 09 오른쪽그림과같이 CGÓ의연장선이 ABÓ와만나는점을 R라하면 CRÓ는삼각형 ABC의중선이다. 삼각형의세중선은삼각형의넓이를 6등분하므로 GPCQ = GPC+ GCQ = 6 ABC+ 6 ABC = ABC=5 Ⅲ- 08. 도형의닮음의활용 유제 05 점 G가삼각형 ABC의무게중심이므로 AGÓ`:`APÓ=`:` GQÓ PRÓ이므로 AGÓ`:`APÓ=GQÓ`:`PRÓ에서 `:`=GQÓ`:`5 GQÓ=0 GQÓ=0 cm GQÓ`:`BQÓ=`:`에서 0`:`BQÓ=`:` BQÓ=0_=0(cm) 유제 06 두선분 AP, CQ가삼각형의무게중심을지나므로 AQÓ=BQÓ yy ᄀ AGÓ`:`GPÓ=`:`에서 AGÓ`:`APÓ=`:` AQÓ`:`ARÓ=AGÓ`:`APÓ=`:` yy ᄂ AQÓ=x cm 라하면ᄀ, ᄂ에서 BQÓ=x cm, ARÓ= x cm BRÓ =ABÓ-ARÓ=(AQÓ+BQÓ)-ARÓ =x+x- x= x(cm) 이때 BRÓ=6 cm이므로 x=6 x= ARÓ= x= _=8(cm) 유제 07 오른쪽그림과같이 AGÓ의연장선이 BCÓ 와만나는점을 M이라하자. 점 G 는삼각형 ABC 의무게중심이므로 AGÓ`:`AMÓ=`:` AMÓ은삼각형 ABC의중선이므로 0 cm 8 cm ABC=45(cmÛ`) 유제 0 삼각형의세중선은삼각형의넓이를 6 등분하므로 유제 ABG = APG+ BPG= 6 ABC+ 6 ABC = ABC=4 ABC=7(cmÛ`) 45 cmû` AQÓ 는삼각형 ABC 의넓이를이등분하므로 ABQ= ACQ ACQ= ABC= _7=6(cmÛ`) 그림의가로의길이와세로의길이를각각 배로늘이면원래의그림과늘어난새그림의닮음비는 `:`이므로 6 cmû` 넓이의비는 Û``:`Û`=`:`9 따라서늘어난새그림의넓이는 50_9=450(cmÛ`) 450 cmû` 유제 APQ와 ABC에서 PQÓ BCÓ이므로 APQ= ABC, AQP= ACB( 동위각 ) APQ» ABC (AA 닮음 ) 이때 AQÓ`:`ACÓ=4`:`6=`:`이므로두삼각형 APQ, ABC의 넓이의비는 Û``:`Û`=4`:`9 따라서 APQ`:` ABC=4`:`9에서 4 ABC=9 APQ ABC= 9 4 APQ= 9 4 _6= 7 (cmû`) 7 cmû` Ⅲ. 도형의닮음 08. 도형의닮음의활용 9

31 본문 44 쪽 유제 두원기둥 A, B의겉넓이의비가 Û``:`4Û`=9`:`6이므로두원기둥의닮음비는 `:`4이다. 원기둥 B의밑면의반지름의길이를 r cm라하면 `:`4=6`:`r 에서 r=4 r=8 따라서원기둥 B의밑면의반지름의길이는 8 cm이다. 8 cm 유제 4 두직육면체모양의상자 A, B의높이는각각 cm, 9 cm이므로두상자의닮음비는 `:`9=4`:` 따라서두상자의겉넓이의비는 4Û``:`Û`=6`:`9이므로상자 A를포장하는데필요한포장지의면적을 S cmû` 라하면 S`:`08=6`:`9, 9S=78 S=9 따라서상자 A를포장하는데필요한포장지의면적은 9 cmû` 이다. 9 cmû` 유제 5 작은삼각뿔과큰삼각뿔의모서리의길이의비가 `:`이므로부피의비는 Ǜ `:`Ǜ =8`:`7 작은삼각뿔과큰삼각뿔에서작은삼각뿔을빼고남은부분의부피의비는 8`:`(7-8)=8`:`9 PQÓ= =4(cm) 유제 두원의닮음비는 `:`4이므로넓이의비는 Û``:`4Û`=9`:`6 작은원의넓이를 a cmû` 라할때, 큰원의넓이는 (a+7) cmû` 이므로 9`:`6=a`:`(a+7), 9(a+7)=6a 9a+6=6a, 7a=6 a=9 따라서작은원의넓이는 9 cmû` 이다. 9 cmû` Step. 단원마무리하기 cmû` 작은삼각뿔의부피가 4 이므로구하는부피는 9 이다. 9 유제 6 두원뿔 A, B의부피의비가 5Ǜ `:`Ǜ =5`:`7이므로두원뿔의닮음비는 5`:`이다. 따라서두원뿔의옆넓이의비는 5Û``:`Û`=5`:`9 원기둥 B의옆넓이를 S cmû` 라하면 0 두정사각형의닮음비는 `:`4=`:` 따라서넓이의비는 Û``:`Û`=`:`4 0 APÓ가삼각형 ABC의중선이므로 BPÓ=CPÓ= cm BCÓ=BPÓ+CPÓ=+=4(cm) 5 5`:`9=00p`:`S, 5S=900p S=6p 따라서원기둥 B의옆넓이는 6p cmû` 이다. 6p cmû` 0 삼각형의세중선은삼각형의넓이를 6등분하므로 GDC= 6 ABC 유제 7 소영이의키를 x m 라하면 ABC=6 GDC=6_0=0(cmÛ`) x`:`7=`:`4 에서 4x=7 x= 7 4 =.75 따라서소영이의키는.75 m 이다..75 m 04 무게중심 G 는 APÓ 의길이를 `:` 로나누므로 AGÓ`:`GPÓ=`:` 유제 8 산의높이를 x m라하면 00`:`500=80`:`x, 00x=90000 x=00 따라서산의높이는 00 m이다. 00 m GPÓ=AGÓ GPÓ= AGÓ= _6=(cm) APÓ=AGÓ+GPÓ=6+=9(cm) 4 유제 9 지도의축척이 ( 지도에서의거리 ) 이므로 = ( 지도에서의거리 )= (km) 따라서지도에서의두마을 A, B 사이의거리는 km= m=0. m=0 cm 0 cm 유제 0 공원의축도에서공원의둘레의길이는 =50(cm) 따라서실제공원의둘레의길이는 50_5000=750000(cm) cm=7500 m=7.5 km 7.5 km 유제 평행사변형의성질에서 BQÓ=QDÓ 이고 AMÓ=MBÓ이므로점 P는 ABD의무게중심이다. AQÓ=QCÓ 이므로 AQÓ=ACÓ_ = 4 =(cm) 점 P가 ABD의무게중심이므로 APÓ= PQÓ AQÓ=APÓ+PQÓ= PQÓ+PQÓ= PQÓ=(cm) 이므로 05 지도의축척은 0 cm 0 cm = 500 m cm = PBC에서 PMÓ이중선이므로 PBM= PMC ABP+ PMC = ABP+ BPM= ABM 4 = ABC= _6=8(cmÛ`) 8 cmû` 07 ADÓ=CDÓ이고, BAC= DCA=60ù이므로 ADC는정삼각형이다. CDÓ=ACÓ=6 cm 점 G가 ABC의무게중심이므로 DGÓ= CDÓ= _6=(cm) x= 08 점 G는 ABC의무게중심이고, EGÓ FDÓ이므로 EGÓ`:`FDÓ=BGÓ`:`BDÓ=`:` `:`FDÓ=`:`, FDÓ=9 FDÓ= 9 cm 09 점 G 가 ABC 의무게중심이므로 0 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

32 본문 5 쪽 AGÓ`:`AEÓ=DGÓ`:`BEÓ, `:`=4`:`BEÓ BEÓ= BEÓ=6 cm CEÓ=BEÓ=6 cm 점 G 는 ABC 의무게중심이므로 BGÓ`:`GDÓ=BEÓ`:`EAÓ=`:` 따라서 BGE`:` AEG=`:`이므로 0 BMÓ=CMÓ, CNÓ=DNÓ 이므로점 P 는 DBC 의무게중심이다. BEG= ABG= _=(cmû`) DPN = 6 DBC= 6 _ ABCD = _7=6 6 두선분 AB, PQ가평행하므로 ABC= PQC, BAC= QPC ( 동위각 ) 따라서두삼각형 PQC와 ABC는서로닮음이고 BCÓ=BQÓ+QCÓ=+=5(cm) 에서닮음비가 `:`5이므로 `:`5=PQÓ`:`ABÓ=`:`ABÓ ABÓ=5 cm 이때축척이 `:`5000이므로두지점 A, B 사이의실제거리를 x cm라하면 `:`5000=5`:`x x=5_5000=5000(cm)=50(m) 따라서구하는거리는 50 m이다. 90 m=9000 cm이므로 ( 축척 )= 9000 = 000 따라서건물의실제높이는 다른풀이 7.5_000=500(cm)=5(m) 건물의꼭대기를 D, 측 정하는곳을 E, 건물과 지면이닿는곳을 F 라 하면두삼각형 ABC 와 DEF는 AA 닮음이 므로 ACÓ`:`DFÓ=BCÓ`:`EFÓ, 7.5`:`DFÓ=`:`9000 DFÓ=9500 DFÓ= 9500 =500(cm) 따라서건물의실제높이는 5 m이다. ㄱ. 점 G가 ABC의무게중심이므로 AGÓ`:`GQÓ=`:` AGÓ= GQÓ ㄴ. 점 G가항상 ABC의외심이아니므로 AGÓ=BGÓ=CGÓ라할수없다. ㄷ. BRÓ는 ABC의중선이므로 ARÓ=CRÓ ARÓ`:`CRÓ=`:` ㄹ. 점 G가 ABC의무게중심이므로 5 ACÓ와 BDÓ의교점을 O라하면 BMÓ=MCÓ, AOÓ=OCÓ이므로점 P는 ABC의무게중심이다. PBM= 6 ABC= 6 _ ABCD 이므로 ABCD=_ PBM=_5= 두원기둥 A, B의닮음비가 `:`5이므로옆넓이의비는 Û``:`5Û`=9`:`5 구하는페인트의양을 x g이라하면 9`:`5=60`:`x, 9x=9000 x=000 따라서필요한페인트의양은 kg이다. 7 작은정사면체의모서리의길이는처음정사면체의모서리의길이의 이므로닮음비는 `:` 4 4 =4`:` 따라서겉넓이의비는 4Û``:`Û`=6`:`9 4 8 ADC와 BEC에서 C는공통, ADC= BEC이므로 ADC» BEC (AA 닮음 ) 따라서 ADÓ`:`BEÓ=CDÓ`:`CEÓ이므로.7`:`.=7`:`CEÓ CEÓ= m DEÓ=CDÓ-CEÓ=7-=6(m) 따라서형과동생사이의거리는 6 m이다. 9 오른쪽그림과같이세입체도형 P, Q, R 의 높이를각각 OHÁÓ, HÁHªÓ, HªH Ó 라하자. 세입체도형 P, Q, R 의높이가모두같으므로 높이가각각 OHÁÓ, OHªÓ, OH Ó 인세사각뿔의 닮음비는 `:``:` 이고, 부피의비는 Ǜ `:`Ǜ `:`Ǜ =`:`8`:`7 이때사각뿔대 Q 는높이가 OHªÓ 인사각뿔에서 사각뿔 P 를뺀것이고, 사각뿔대 R 는높이가 OH Ó 인사각뿔에서 높이가 OHªÓ 인사각뿔을뺀것이다. 따라서세입체도형 P, Q, R 의부피의비는 `:`(8-)`:`(7-8)=`:`7`:`9 4 Ⅲ- 08. 도형의닮음의활용 AGR= 6 ABC CGQ= 6 ABC 0 원의지름의길이는일정하므로 ADÓ=EGÓ=a 라하면 EFGH= _EGÓ_HFÓ= aû` AGR= CGQ 따라서옳은것은ㄱ, ㄹ이다. 4 AGÓ를그으면점 G가 ABC의무게중심이므로 ABG= ABC= _9=(cmÛ`) BGE 와 BDA에서 EGÓ ADÓ이므로 BEG= BAD ( 동위각 ) BGE= BDA ( 동위각 ) BGE» BDA (AA 닮음 ) 이때 ABCD=ADÓ_ABÓ=aÛ`=50 이므로 EFGH= aû`= _50=5 5 Ⅲ. 도형의닮음 08. 도형의닮음의활용

33 본문 57 쪽 09 피타고라스정리 Step. 개념다지기 () ABPª= ACPª=;!;_4Û`=8 () AQÁED= ACPÁPª=4Û`=6 () ABÓ Û` =ACÓ Û`+BCÓ Û`=4Û`+Û`=5 ABÓ=5 () 8 () 6 () 피타고라스정리 ➊ aû`+bû` 09- 직각삼각형이되는조건 ➊ c ➋ 직각삼각형 기본연습 () 주어진직각삼각형에서피타고라스정리를이용하면 xû`=û`+9û`=44+8=5 이때 x는양수이므로 x=5 () 주어진직각삼각형에서피타고라스정리를이용하면 Û`=xÛ`+5Û`, xû`=û`-5û`=69-5=44 이때 x는양수이므로 x= 연습 () 5 () 기본연습 () Û`+4Û`=5Û`=5이므로직각삼각형이다. () 4Û`+5Û`=4, 6Û`=6 따라서 4Û`+5Û`+6Û` 이므로직각삼각형이아니다. () 5Û`+Û`=Û`=69이므로직각삼각형이다. (4) 7Û`+5Û`=74, 6Û`=56 따라서 7Û`+5Û`+6Û` 이므로직각삼각형이아니다. () 직각삼각형이다. () 직각삼각형이아니다. () 직각삼각형이다. (4) 직각삼각형이아니다. 직각삼각형 ACD에서피타고라스정리를이용하면 6Û`+xÛ`=0Û`, xû`=0û`-6û`=00-6=64 이때 x는양수이므로 x=8 같은방법으로 yû`=5û`+8û`=5+64=89 이때 y는양수이므로 y=7 x+y=8+7= 피타고라스정리의확인 ➊ cy ➋ cx ➌ cû` 기본연습 삼각형 ABC에서 ABC» CBH이므로 m`:`8=8`:`y 64 =my yy ᄀ ABC» ACH이므로 m`:`6=6`:`x 6 =mx yy ᄂ ᄀ, ᄂ을각변끼리더하면 00 =mx+my 이때 m=x+y이므로 00 =mx+my=m(x+y)=mû` m= 0 풀이참조 연습 연습 피타고라스정리를이용하면 xû`+5û`=7û` xû`=7û`-5û`=89-5=64 x= 삼각형의변의길이와각의크기사이의관계 ➊ 예각삼각형 ➋ 직각삼각형 ➌ 둔각삼각형 ➍ cû`<aû`+bû` ➎ cû`=aû`+bû` ➏ cû`>aû`+bû` 기본연습 4 () 4Û`+7Û`>8Û` 이므로예각삼각형이다. () 6Û`+9Û`<Û` 이므로둔각삼각형이다. () 9Û`+Û`=5Û`=5이므로직각삼각형이다. () 예각삼각형 () 둔각삼각형 () 직각삼각형연습 4 삼각형이만들어지려면가장긴변의길이가다른두변의길이의합보다작아야하므로 6+x>0 x>4 yy ᄀ삼각형의세변중가장긴변의길이가 0이므로 6Û`+xÛ`<0Û`, xû`<0û`-6û`=00-6=64 x<8 yy ᄂ따라서ᄀ, ᄂ에서가능한자연수 x의값은 5, 6, 7이다. 5, 6, 피타고라스정리를이용한도형의성질 ➊ BQÓ Û`+CPÓ Û` ➋ BCÓ Û`+ADÓ Û` ➌ BPÓ Û`+DPÓ Û` 기본연습 5- () PQÓ Û`+BCÓ Û`=BQÓ Û`+CPÓ Û` 에서 Û`+xÛ`=4Û`+5Û` xû`=6+5-4=7 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

34 본문 6 쪽 () PQÓ Û`+BCÓ Û`=BQÓ Û`+CPÓ Û` 에서 Û`+5Û`=xÛ`+4Û` xû`=9+5-6=8 () 7 () 8 연습 5- PQÓ Û`+BCÓ Û`=BQÓ Û`+CPÓ Û` 에서 yû`+6û`=xû`+û` xû`-yû`=6-9=7 7 기본연습 5- () ABÓÛ`+CDÓ Û`=BCÓ Û`+ADÓ Û` 에서 xû`+û`=4û`+û` xû`=6+4-9= () ABÓ Û`+CDÓ Û`=BCÓ Û`+ADÓ Û` 에서 4Û`+Û`=Û`+xÛ` xû`=6+9-=4 () () 4 연습 5- ABÓ Û`+CDÓ Û`=BCÓ Û`+ADÓ Û` 에서 5Û`+yÛ`=xÛ`+Û` xû`-yû`=5-9=6 6 ABÓ Û`=5Û`-Û`=5-9=6 ABÓ=4(cm) ( 색칠한두부분의넓이의합 )= ABC=;!;_4_=6(cmÛ`) () 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리에의하여 ACÓ Û`=Û`-5Û`=69-5=44 ACÓ=(cm) ( 색칠한두부분의넓이의합 )= ABC=;!;_5_=0(cmÛ`) () 6`cmÛ` () 0`cmÛ` 연습 7 ( 색칠한두부분의넓이의합 )= ABC=;!;_ABÓ_5=60 ABÓ=8(cm) 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리에의하여 xû`=8û`+5û`=64+5=89 x=7 7 Ⅳ- 09. 피타고라스정리 기본연습 5- () APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û` 에서 xû`+û`=4û`+û` xû`=6+9-4= () APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û` 에서 6Û`+8Û`=xÛ`+5Û` xû`=6+64-5=75 연습 5- () () 75 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û` 에서 7Û`+yÛ`=xÛ`+4Û` xû`-yû`=49-6= 09-6 직각삼각형의세변을지름으로하는세반원사이의관계 ➊ SÁ+Sª Step. 대표문제로접근하기 0 4`cmÛ` `cm 04 5`cm `cm 07 5`cm 08 44`cmÛ` 09 00`cmÛ` 0 0`cm 48`cmÛ` 7`cm `cm 4 4`cm 5 4`cm `cmÛ` 7 5`cm 8 `cmû` 9 ㄱ, ㄷ 0 ㄴ, ㄹ ㄴ, ㄷ ㄷ, ㄹ `cm 9 6p`cmÛ` 0 4`cm 5`cm 6`cmÛ` 5`cm 4 5p`cm 5 6 기본연습 6 () ( 색칠한반원의넓이 )=0p+0p=0p(cmÛ`) () ( 색칠한반원의넓이 )=40p-6p=4p(cmÛ`) () 0p`cmÛ` () 4p`cmÛ` 연습 6 유제 0 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 ABÓ Û`+6Û`=0Û`, ABÓ Û`=0Û`-6Û`=00-6=64 ABÓ=8(cm) ABC=;!;_ABÓ_ACÓ=;!;_8_6=4(cmÛ`) 4`cmÛ` BCÓ를지름으로하는반원의넓이는 p+8p=50p(cmû`) BCÓ를지름으로하는반원의반지름의길이가 x `cm이므로 ;!;_{ x xû` }`p= p=50p, xû`=400 8 x= 히포크라테스의원의넓이 ➊ ABC ➋ ;!;ab 기본연습 7 () 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의하여 유제 0 직각삼각형 ABD에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`=ADÓ Û`+BDÓ Û` 에서 5Û`=9Û`+xÛ` xû`=5û`-9û`=5-8=44 x= 직각삼각형 DBC에서피타고라스정리를이용하면 CDÓ Û`=DBÓ Û`+BCÓ Û` 에서 yû`=û`+5û`=44+5=69 y= x+y=+=5 5 유제 0 직각삼각형 AHC에서피타고라스정리를이용하면 AHÓ Û`+CHÓ Û`=ACÓ Û` 에서 AHÓ Û`+0Û`=5Û` AHÓ Û`=5Û`-0Û`=65-400=5 AHÓ=5(cm) 직각삼각형 ABH에서피타고라스정리를이용하면 Ⅳ. 피타고라스정리 09. 피타고라스정리

35 본문 65 쪽 ABÓ Û`=BHÓ Û`+AHÓ Û` 에서 ABÓÛ`=8Û`+5Û`=64+5=89 ABÓ=7(cm) 7`cm 사각형 ABCD 의넓이는 ;!;_(+5)_6=;!;_8_6=44(cmÛ`) 44`cmÛ` 유제 04 직각삼각형 ADC 에서피타고라스정리를이용하면 ADÓÛ`=CDÓ Û`+ACÓ Û` 에서 Û`=5Û`+ACÓÛ` ACÓ Û`=Û`-5Û`=69-5=44 ACÓ=(cm) 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`=ACÓ Û`+BCÓ Û` 에서 ABÓ Û`=Û`+9Û`=44+8=5 ABÓ=5(cm) 5`cm 유제 05 직각삼각형의닮음에의하여 ACÓ Û`=CHÓ_BCÓ이므로 BCÓ= ACÓ Û` = 6Û` CHÓ = 6 =(cm) 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 xû`+6û`=û` xû`=û`-6û`=44-6=08 08 유제 06 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 Û`+ACÓÛ`=Û` ACÓ Û`=Û`-Û`=69-44=5 ACÓ=5(cm) 직각삼각형의넓이에의하여 ABÓ_ACÓ=AHÓ_BCÓ이므로 _5=AHÓ_ 유제 09 오른쪽그림과같이직사각형의세로의길이를 x`cm라하면직각삼각형 ABD에서피타고라스정리에의하여 5Û`+xÛ`=5Û` xû`=5û`-5û`=65-5=400 x=0 따라서직사각형 ABCD의넓이는 5_0=00(cmÛ`) 00`cmÛ` 유제 0 ABÓ`:`BCÓ=`:`5이므로 ABÓ=x cm, BCÓ=5x cm로놓을수있다. 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`+BCÓ Û`=ACÓ Û` 에서 (x)û`+(5x)û`=6û` 44xÛ`+5xÛ`=676, 69xÛ`=676 xû`=4 x= BCÓ=5_=0(cm) 0`cm 유제 오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BCÓ에내린수선의발을 H라하자. 이등변삼각형의성질에의하여 BHÓ=CHÓ AHÓ=;^);(cm) ;^);`cm BHÓ=;!; BCÓ=;!;_6=8(cm) 유제 07 오른쪽그림과같이꼭짓점 D에서 BCÓ에내린수선의발을 H라하자. BHÓ=ADÓ=4`cm이므로 CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-4=5(cm) 직각삼각형 DHC에서피타고라스정리를이용하면 DHÓ Û`+CHÓ Û`=CDÓ Û` 에서 DHÓ Û`+5Û`=Û` DHÓ Û`=Û`-5Û`=69-5=44 DHÓ=(cm) 이때 ABÓ=DHÓ=`cm이므로직각삼각형 ABC에서피타고라스 정리를이용하면 ACÓ Û` =ABÓÛ`+BCÓ Û` =Û`+9Û`=44+8=5 ACÓ=5(cm) 유제 08 오른쪽그림과같이꼭짓점 B에서 ADÓ에내린수선의발을 H라하자. BHÓ=CDÓ=6`cm이므로직각삼각형 ABH에서피타고라스정리를이용하면 AHÓÛ`+BHÓ Û`=ABÓ Û` 에서 AHÓÛ`+6Û`=0Û` AHÓ Û`=0Û`-6Û`=400-56=44 AHÓ=(cm) 따라서 ADÓ=AHÓ+DHÓ=+=5(cm) 이므로 5`cm 직각삼각형 ABH에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`=BHÓ Û`+AHÓ Û` 에서 0Û`=8Û`+AHÓ Û` AHÓ Û`=0Û`-8Û`=00-64=6 AHÓ=6(cm) 따라서이등변삼각형 ABC의넓이는 ;!;_BCÓ_AHÓ=;!;_6_6=48(cmÛ`) 48`cmÛ` 유제 오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BCÓ에내린수선의발을 H라하자. 이등변삼각형의성질에의하여 BHÓ=CHÓ BHÓ=;!; BCÓ=;!;_6=8(cm) 삼각형 ABC의넓이가 0`cmÛ` 이므로 ABC=;!;_BCÓ_AHÓ=;!;_6_AHÓ=0 AHÓ=5(cm) 직각삼각형 ABH에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`=BHÓ Û`+AHÓ Û`=8Û`+5Û`=64+5=89 ABÓ=7(cm) 7`cm 유제 꼭짓점 D가점 P로움직였으므로 APÓ=ADÓ=`cm 직각삼각형 ABP에서피타고라스정리를이용하면 APÓ Û`=ABÓ Û`+BPÓ Û` 에서 Û`=5Û`+BPÓ Û` BPÓ Û`=Û`-5Û`=69-5=44 BPÓ=(cm) 이때 BCÓ=BPÓ+PCÓ=(cm) 이므로 PCÓ=(cm) ABP» PCQ`(AA`닮음) 이므로 4 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

36 본문 70 쪽 ABÓ`:`APÓ=PCÓ`:`PQÓ에서 5`:`=`:`PQÓ 5 PQÓ= PQÓ=:Á5 :(cm) :Á5 :`cm 유제 4 ARÓ=CDÓ=`cm이므로직각삼각형 AQR에서피타고라스정리를이용하면 ARÓÛ`+QRÓ Û`=AQÓ Û` 에서 Û`+QRÓ Û`=5Û` QRÓ Û`=5Û`-Û`=5-44=8 QRÓ=9(cm) 이때 QDÓ=QRÓ=9`cm이므로 BCÓ=ADÓ=AQÓ+QDÓ=5+9=4(cm) 4`cm 유제 5 AEHª BFEª CGFª DHG`(SAS 합동 ) 이므로사각형 EFGH는정사각형이다. 사각형 EFGH의넓이가 00`cmÛ` 이므로 EHÓ Û`=00에서 `EHÓ=0(cm) 직각삼각형 AEH에서피타고라스정리를이용하면 EHÓ Û`=AEÓ Û`+AHÓ Û`에서 0Û`=8Û`+AHÓ Û`, AHÓ Û`=0Û`-8Û`=00-64=6 AHÓ=6(cm) ADÓ=AHÓ+DHÓ=6+8=4(cm) 4`cm 유제 6 4개의직각삼각형이모두합동이므로두사각형 ABCD, EFGH는모두정사각형이다. 사각형 ABCD의넓이가 89`cmÛ` 이므로 ABÓÛ`=89 ABÓ=7(cm) 직각삼각형 ABF에서피타고라스정리를이용하면 ABÓÛ`=AFÓ Û`+BFÓ Û` 에서 7Û`=5Û`+BFÓ Û` BFÓ Û`=7Û`-5Û`=89-5=64 BFÓ=8(cm) BGÓ=AFÓ=5(cm) 이므로 FGÓ=BGÓ-BFÓ=5-8=7(cm) EFGH=FGÓ Û`=7Û`=49(cmÛ`) 49`cmÛ` 유제 7 ADEB+ ACHI= BFGC에서 ADEB+75=00 ADEB=5(cmÛ`) 즉, ABÓ Û`=5이고 ABÓ>0이므로 ABÓ=5(cm) 5`cm 유제 8 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓÛ`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 6Û`+ACÓ Û`=0Û` ACÓ Û`=0Û`-6Û`=00-6=64 ACÓ=8(cm) 삼각형 LEC의넓이는 ACÓ를한변으로하는정사각형의넓이의절반과같으므로 LEC=;!; ACÓÛ`=;!;_8Û`=(cmÛ`) `cmû` 유제 9 ㄱ. Û`+4Û`=5Û`=5이므로직각삼각형이다. ㄴ. 5Û`+6Û`=5+6=6, 8Û`=64 따라서 5Û`+6Û`+8Û` 이므로직각삼각형이아니다. ㄷ. 9Û`+Û`=5Û`=5이므로직각삼각형이다. ㄹ. 0Û`+4Û`=00+96=96, 8Û`=4 따라서 0Û`+4Û`+8Û` 이므로직각삼각형이아니다. 그러므로 보 기 에서직각삼각형인것은ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ 유제 0 ㄱ. Û`+Û`=4+9=, 4Û`=6 따라서 Û`+Û`+4Û` 이므로직각삼각형이아니다. ㄴ. 5Û`+Û`=Û`=69이므로직각삼각형이다. ㄷ. 7Û`+0Û`=49+00=49, Û`=44 따라서 7Û`+0Û`+Û` 이므로직각삼각형이아니다. ㄹ. 8Û`+5Û`=7Û`=89이므로직각삼각형이다. 그러므로 보 기 에서직각삼각형인것은ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ유제 ㄱ. 4Û`+6Û`=6+6=5, 7Û`=49 따라서 4Û`+6Û`>7Û` 이므로예각삼각형이다. ㄴ. 6Û`+9Û`=6+8=7, Û`= 따라서 6Û`+9Û`<Û` 이므로둔각삼각형이다. ㄷ. 4Û`+5Û`=6+5=4, 8Û`=64 따라서 4Û`+5Û`<8Û` 이므로둔각삼각형이다. ㄹ. 9Û`+0Û`=8+00=8, Û`=69 따라서 9Û`+0Û`>Û` 이므로예각삼각형이다. 그러므로둔각삼각형인것은ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ유제 ㄱ. Û`+4Û`=4+6=0, 5Û`=5 따라서 Û`+4Û`<5Û` 이므로둔각삼각형이다. ㄴ. 5Û`+8Û`=5+64=89, 0Û`=00 따라서 5Û`+8Û`<0Û` 이므로둔각삼각형이다. ㄷ. 7Û`+9Û`=49+8=0, Û`= 따라서 7Û`+9Û`>Û` 이므로예각삼각형이다. ㄹ. 0Û`+Û`=00+44=44, 5Û`=5 따라서 0Û`+Û`>5Û` 이므로예각삼각형이다. 그러므로예각삼각형인것은ㄷ, ㄹ이다. ㄷ, ㄹ유제 삼각형의결정조건에의하여 x<5+8 x< yy ᄀ둔각삼각형이되려면 xû`>5û`+8û`=89 x>7 yy ᄂ두조건ᄀ, ᄂ을만족시키는자연수 x의값은 8, 9, 0,, 이므로구하는자연수의개수는 5이다. 5 유제 4 x가가장긴변의길이이므로삼각형의결정조건에의하여 x<8+9 x<7 yy ᄀ예각삼각형이되려면 xû`<8û`+9û`=45 yy ᄂ두조건ᄀ, ᄂ과 x>9를만족시키는자연수 x의값은 0,, 이므로구하는자연수 x의값의합은 0++= 유제 5 PQÓ Û`+BCÓ Û`=BQÓ Û`+PCÓ Û` 이므로 PQÓ Û`+Û`=69, PQÓ Û`=69-Û`=5 PQÓ=5 직각삼각형 APQ에서피타고라스정리를이용하면 APÓ Û`+AQÓ Û`=PQÓ Û` 에서 APÓ Û`+Û`=5Û` APÓ Û`=5Û`-Û`=5-9=6 APÓ=4 4 유제 6 PQÓ Û`+BCÓ Û`=BQÓ Û`+PCÓ Û` 이므로 0Û`+BCÓ Û`=5, BCÓ Û`=5-0Û`=5 BCÓ=5 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 Ⅳ- 09. 피타고라스정리 Ⅳ. 피타고라스정리 09. 피타고라스정리 5

37 본문 77 쪽 ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 Û`+ACÓ Û`=5Û` ACÓ Û`=5Û`-Û`=5-44=8 ACÓ=9 따라서삼각형 ABC의넓이는 다른풀이오른쪽그림과같이 ABÓ, ACÓ를변으로하는정사각형 ABDC를그려보자. 정사각형 ABDC의넓이는 ;!;_ABÓ_ACÓ=;!; 9=54 54 ;!;_BCÓ Û`=;!;_8Û` =(cmû`) 유제 7 피타고라스정리에의하여 이므로 ABÓ Û`=Û`+4Û`=9+6=5 ADÓ Û`+BCÓ Û`=ABÓ Û`+CDÓ Û`=5+6Û`=5+6=6 6 ABC=;!; ABDC=;!;_=6(cmÛ`) ( 색칠한부분의넓이 )= ABC=6`cmÛ` 유제 8 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û` 이므로 8Û`+Û`=BPÓ Û`+Û` BPÓ Û`=8Û`+Û`-Û`=64+-69=6 BPÓ=4(cm) 유제 9 오른쪽그림과같이세반원의넓이를각각 SÁ, Sª, S 이라하자. 지름이 `cm인반원의넓이는 S =;!;_{:Áª:}`_p =;!;_6_p=8p(cmÛ`) 이때 SÁ+Sª=S =8p(cmÛ`) 이므로 ( 세반원의넓이의합 ) =SÁ+Sª+S =8p+8p=6p(cmÛ`) 유제 0 오른쪽그림과같이 BCÓ를지름으로하는반원의넓이를 S 이라하면 S =SÁ+Sª=7p`cmÛ` 이므로 ;!;_{ BCÓ }`_p= BCÓ Û` 8 p=7p BCÓÛ`=576 BCÓ=4(cm) 유제 ( 색칠한부분의넓이 )= ABC=;!;_9_ACÓ=54(cmÛ`) 이므로 4`cm 6p`cmÛ` 4`cm 유제 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`=ACÓ Û`+BCÓ Û` 에서 5Û`=Û`+BCÓ Û` BCÓ Û`=5Û`-Û`=5-9=6 BCÓ=4(cm) 따라서주어진삼각기둥에서최단거리의경로가지나는부분을전개도로나타내면오른쪽그림과같다. 구하는최단거리는선분 AF의길이와같으므로직각삼각형 AFC에서피타고라스정리를이용하면 AFÓ Û` =ACÓ Û`+CFÓ Û`=9Û`+Û` =8+44=5 AFÓ=5(cm) 따라서구하는최단거리는 5`cm 이다. 5`cm 유제 4 원기둥의밑면의둘레의길이는 p_=4p(cm) 이므로원기둥의옆면의전개도는오른쪽그림과같다. 구하는최단거리는선분 AB' 의길이와같으므로직각삼각형 AA'B' 에서피타고라스정리 를이용하면 AB'Ó =AA'Ó +A'B'Ó =(4p)Û`+(p)Û`=6pÛ`+9pÛ`=5pÛ` AB'Ó=5p(cm) 따라서구하는최단거리는 5p`cm 이다. 5p`cm ACÓ=54 ;9!;=(cm) 따라서직각삼각형 ABC에서피타고라스정리를이용하면 ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û` 에서 BCÓÛ`=9Û`+Û`=8+44=5 BCÓ=5(cm) 5`cm 유제 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리에의하여 ABÓ Û`+ACÓ Û`=8Û` 유제 5 오른쪽그림과같이꼭짓점 B를지나고 PQÓ에평행한직선이 CDÓ, ACÓ와만나는점을각각 Q', R라하자. 직각삼각형 ABC에서 ACÓ Û`=6Û`+8Û`=6+64=00 이므로 ACÓ=0 ABÓ_BCÓ=ACÓ_BRÓ이므로 8_6=0_BRÓ BRÓ=:ª5 : 이때 ABÓ=ACÓ 이므로 ABÓ Û`=64 ABÓ Û`= 직각삼각형 BCQ' 에서 BCÓ Û`=BRÓ_BQ'Ó 이므로 ( 색칠한부분의넓이 )= ABC=;!;_ABÓ_ACÓ 6Û`=:ª5 :_BQ'Ó BQ'Ó=:Á : =;!;_ABÓ Û`=;!;_ =6(cmÛ`) 6`cmÛ` PBQ'Q 는평행사변형이므로 PQÓ=BQ'Ó=:Á :=a 6 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

38 본문 8 쪽 a-=_:á :-=5-= 유제 6 각정사각형의넓이가오른쪽 그림과같다고하자. ( 색칠한사각형의넓이의합 ) =Pª+(P +P )+Qª +(Q +Q )+R =(Pª+P )+(Qª+Q )+R =(PÁ+QÁ)+R =R+R=R 따라서 R=00이므로 R=00 즉, BCÓ Û`=00이므로 BCÓ=0(cm) 직각삼각형의외접원의반지름의길이는빗변의길이의 ;!; 과 따라서 4Û`+6Û`<8Û` 이므로세변의길이가 4, 6, 8인삼각형은둔각삼각형이다. 4Û`+7Û`=6+49=65, 9Û`=8 따라서 4Û`+7Û`<9Û` 이므로세변의길이가 4, 7, 9인삼각형은둔각삼각형이다. 4 5Û`+6Û`=5+6=6, 8Û`=64 따라서 5Û`+6Û`<8Û` 이므로세변의길이가 5, 6, 8인삼각형은둔각삼각형이다. 5 5Û`+8Û`=5+64=89, 9Û`=8 따라서 5Û`+8Û`>9Û` 이므로세변의길이가 5, 8, 9인삼각형은예각삼각형이다. 그러므로예각삼각형의세변의길이가될수있는것은 5 5, 8, 9이다. 5 Ⅳ- 09. 피타고라스정리 같으므로구하는직각삼각형 ABC의외접원의반지름의길이는 ;!;_BCÓ=;!;_0=5(cm) Step. 단원마무리하기 `cm `cmÛ` 5 () 8 () () `cm 주어진직각삼각형에서피타고라스정리를이용하면 xû`+yû`=0û`= AEHª BFEª CGFª DHG`(SAS 합동 ) 이므로 사각형 EFGH는정사각형이다. 이때 DHÓ=`cm이므로 AHÓ=ADÓ-DHÓ=7-=4(cm) 따라서직각삼각형 AEH에서 EHÓÛ`=AEÓ Û`+AHÓ Û`=Û`+4Û`=9+6=5 EHÓ=5(cm) 그러므로사각형 EFGH의넓이는 EFGH=EHÓ Û`=5Û`=5(cmÛ`) 0 ACÓ를지름으로하는색칠한반원의넓이를 S라하면 0p+S=70p S=70p-0p=50p(cmÛ`) 04 직사각형 ABCD의넓이가 08`cmÛ` 이므로 9_ABÓ=08 ABÓ=(cm) 직각삼각형 ABD에서피타고라스정리를이용하면 BDÓ Û`=ABÓ Û`+ADÓ Û`=Û`+9Û`=44+8=5 BDÓ=5(cm) 따라서구하는대각선의길이는 5`cm이다. 05 4Û`+5Û`=6+5=4, 7Û`=49 따라서 4Û`+5Û`<7Û` 이므로세변의길이가 4, 5, 7인삼각형은 둔각삼각형이다. 4Û`+6Û`=6+6=5, 8Û`=64 06 ABÓ Û`+PQÓ Û`=BQÓ Û`+APÓ Û`=9Û`+0Û`=8+00= AFEª BGFª CHGª DEH`(SAS 합동 ) 이므로 사각형 EFGH는정사각형이다. 이때 EFGH=EFÓ Û`=89(cmÛ`) 이므로 직각삼각형 AFE에서피타고라스정리를이용하면 8Û`+AFÓ Û`=89, AFÓ Û`=89-64=5 AFÓ=5(cm)` DEÓ=AFÓ=5`cm이고, ADÓ=AEÓ+DEÓ=8+5=(cm) 이므로 정사각형 ABCD의한변의길이는 `cm이다. 따라서정사각형 ABCD의넓이는 Û`=69(cmÛ`) 08 오른쪽그림과같이삼각형의세꼭짓점을 A, B, C라하자. 꼭짓점 A에서 BCÓ에내린수선의발을 H라하면 BHÓ=CHÓ이므로 BHÓ=;!; BCÓ=;!;_0=5 직각삼각형 ABH에서피타고라스정리에의하여 AHÓ Û`=Û`-5Û`=69-5=44이므로 AHÓ= ABC=;!;_BCÓ_AHÓ=;!;_0_= 색칠한부분의넓이는 ABC의넓이와같으므로 ;!; ACÓ=0 ACÓ=5(cm) 직각삼각형 ABC에서피타고라스정리에의하여 BCÓ Û`=Û`+5Û`=44+5=69 BCÓ=(cm) `cm 0 오른쪽그림과같이 OCÓ를그으면 OCÓ=OAÓ=5(cm) POC에서 PCÓ Û` =5Û`-4Û`=65-576=49 이므로 PCÓ=7(cm) 오른쪽그림과같이점 C에서 OAÓ에내린수선의발을 H라하면 AHÓ=5-7=8(cm) 직각삼각형 CHA에서 CAÓ Û` =8Û`+4Û` =4+576=900 이므로 CAÓ=0(cm) 따라서 OACP의둘레의길이는 Ⅳ. 피타고라스정리 09. 피타고라스정리 7

39 본문 85 쪽 OPÓ+PCÓ+CAÓ+OAÓ = =86(cm) 6 EAÓ, DBÓ가평행하므로 EAC= EAB EABª CAF이므로 BCHª GCA이므로 ACH= BCH= ACG BCH= ACG= KCG= JGC EAC= EAB= CAF= MAF= AFL 따라서 EAC와넓이가같은도형은ㄴ, ㄹ이다. 4 ABÓ=EBÓ, BFÓ=BCÓ, ABF= EBC 이므로 7 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리를이용하면 ABFª EBC (SAS 합동 ) ABÓ Û`=Û`+5Û`=44+5=69 4 ACHI=ACÓ Û` ABÓ=(cm) ;!; BFJK= BFJ= ABF 따라서주어진삼각기둥에서최단거리의경로가지나는부분을전개도로나타내면 = EBC= EBA=;!; ADEB 오른쪽그림과같다. =;!; ABÓ Û` 구하는최단거리는선분 AF의길이와같으므로직각삼각형 AFC에서 ACHI +;!; BFJK 피타고라스정리를이용하면 5 ADEB+ ACHI= BFJK+ KJGC= BFGC 따라서옳지않은것은 4이다. 4 AFÓ Û`=8Û`+4Û`=4+576=900 AFÓ=0(cm) 따라서구하는최단거리는 0`cm이다. 0`cm 직각삼각형 ABD에서 BDÓ Û`=6Û`+Û`=56+44=400 BDÓ=0(cm) ADÓ Û`=BDÓ_DEÓ이므로 Û`=0_DEÓ DEÓ=: 5 :(cm) 8 직각삼각형 ABD에서피타고라스정리를이용하면 BDÓ Û`=6Û`+8Û`=6+64=00이므로 BDÓ=0 ABÓ_ADÓ=AHÓ_BDÓ에서 6_8=AHÓ_0 AHÓ=:ª5 : BFÓ=DEÓ=: 5 :(cm) 이므로 이때 ABH» AIB`(AA 닮음 ) 이므로 EFÓ=BDÓ- DEÓ=0-_: 5 :=:ª5 :(cm) 4 ABÓ`:`AIÓ=AHÓ`:`ABÓ, 6`:`AIÓ=:ª5 :`:`6 xû`<4=4û`+5û` 이면 B<90ù이지만삼각형 ABC는예각삼각형이아닐수있다. 예를들어 x=이면 5Û`=4Û`+Û` 이므로 ABC는직각삼각형이다. xû`>4=4û`+5û` 이면 B>90ù인둔각삼각형이다. B<90ù이면 xû`<4û`+5û`=4 4 B=90ù이면 xû`=4û`+5û`=4 5 B>90ù이면 xû`>4û`+5û`=4 따라서옳지않은것은 이다. 4 직각삼각형 ABC에서 BCÓ Û`=5Û`-Û`=5-44=8 이므로 BCÓ=9(cm) APÓ는 A의이등분선이므로 BPÓ`:`CPÓ=ABÓ`:`ACÓ=`:`5=4`:`5 CPÓ=;9%; BCÓ=;9%;_9=5(cm) 따라서삼각형 APC의넓이는 ;!;_5_=0(cmÛ`) 0`cmÛ` 5 () AD'Ó=ADÓ=0이므로직각삼각형 ABD' 에서 BD'Ó Û`=0Û`-6Û`=00-6=64 BD'Ó=8 () CD'Ó=BCÓ -BD'Ó=0-8= () ABD' 과 D'CE에서 B= C=90ù, BAD'=90ù- AD'B= CD'E 이므로 ABD'» D'CE`(AA 닮음 ) 따라서 ABÓ`:`D'CÓ=BD'Ó`:`CEÓ이므로 6`:`=8`:`CEÓ, 6 CEÓ=6 CEÓ=;*; () 8 () () ;*; :ª5 : AIÓ=6 AIÓ=:Á : HIÓ=AIÓ-AHÓ=:Á :-:ª5 := =;@0&; 0 9 직각삼각형 ABC에서 ABÓ Û`=4Û`+8Û`=576+4=900이므로 ABÓ=0 직각삼각형의빗변의중점은외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ=;!; ABÓ=5 ABC 에서 BCÓ Û`=BHÓ_ABÓ 이므로 8Û`=BHÓ_0 BHÓ=: 5 : HMÓ=BMÓ-BHÓ=5-: 5 :=:ª5Á: 직각삼각형 CMH 에서 HMÓ Û`=MPÓ_CMÓ 이므로 4 {:ª5Á:}`=MPÓ_5 MPÓ=;!$5&; 0 오른쪽그림과같이 ABÓ=x라하고 DEÓ를그으면 ABC에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여 DEÓ=;!; ABÓ=;!;x ABDE의두대각선이직교하므로 AEÓ Û`+BDÓ Û`=ABÓ Û`+DEÓ Û`에서 7Û`+6Û`=xÛ`+{;!;x}`, 49+6=xÛ`+;4!;xÛ` 85=;4%;xÛ`, xû`=85_;5$;=68 ABÓ Û`=xÛ`= 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

40 본문 89 쪽 0 경우의수 Step. 개념다지기 두주사위의눈의수의차가 4인경우는 (, 5), (, 6), (5, ), (6, ) 로 4가지따라서두주사위의눈의수의차가짝수인경우는 8+4=( 가지 ) 답 0- 사건 A 와사건 B 가동시에일어나는경우의수 Ⅴ- 0. 경우의수 0- 사건과경우의수 답 ➊ 사건 ➋ 경우의수기본연습 () 한개의주사위를던질때, 이상의눈이나오는경우는,, 4, 5, 6으로 5가지이다. 한개의주사위를던질때, 소수의눈이나오는경우는,, 5로 가지이다. () 서로다른세개의동전을던질때, 앞면 개와뒷면 개가나오는경우는 ( 앞, 뒤, 뒤 ), ( 뒤, 앞, 뒤 ), ( 뒤, 뒤, 앞 ) 으로 가지이다. 세동전이모두같은면이나오는경우는 ( 앞, 앞, 앞 ), ( 뒤, 뒤, 뒤 ) 로 가지이다. 답 () 5 () 연습 서로다른두개의주사위를던질때, 두주사위의눈의수가같은경우는 (, ), (, ), (, ), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 으로 6가지이다. 답 6 0- 사건 A 또는사건 B 가일어나는경우의수 답 ➊ 동시에 ➋ m+n 기본연습 () 한개의주사위를던질때, 홀수의눈이나오는경우는,, 5로 가지한개의주사위를던질때, 4의눈이나오는경우는 가지따라서한개의주사위를던질때, 홀수또는 4의눈이나오는경우는 +=4( 가지 ) () 서로다른두개의주사위를동시에던질때두주사위의눈의수의합이 4 이하인경우는 (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 로 6가지두주사위의눈의수의합이 0 이상인경우는 (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 으로 6가지따라서두주사위의눈의수의합이 4 이하또는 0 이상인경우는 6+6=( 가지 ) () 서로다른네개의동전을동시에던질때앞면의개수가 인경우는 ( 앞, 앞, 뒤, 뒤 ), ( 앞, 뒤, 앞, 뒤 ), ( 앞, 뒤, 뒤, 앞 ), ( 뒤, 앞, 앞, 뒤 ), ( 뒤, 앞, 뒤, 앞 ), ( 뒤, 뒤, 앞, 앞 ) 으로 6가지앞면의개수가 4인경우는 ( 앞, 앞, 앞, 앞 ) 으로 가지따라서동전의앞면의개수가 의배수인경우는 6+=7( 가지 ) 답 () 4 () () 7 연습 서로다른두개의주사위를동시에던질때두주사위의눈의수의차가 인경우는 (, ), (, 4), (, 5), (4, 6), (, ), (4, ), (5, ), (6, 4) 로 8가지 답 ➊ m_n 기본연습 () 동전 개와주사위 개를동시에던질때동전이앞면이나오는경우는 가지주사위가 6의약수의눈이나오는경우는,,, 6으로 4가지따라서동전은앞면에나오고주사위는 6의약수의눈이나오는경우는 _4=4( 가지 ) () 서로다른동전 개와주사위 개를동시에던질때동전의뒷면의개수가 인경우는 ( 뒤, 앞 ), ( 앞, 뒤 ) 로 가지주사위가 의배수의눈이나오는경우는, 6으로 가지따라서동전의뒷면의개수가 이고주사위는 의배수의눈이나오는경우는 _=4( 가지 ) 답 () 4 () 4 연습 서로다른동전 개와서로다른주사위 개를동시에던질때동전이앞면 개가나오는경우는 ( 앞, 뒤 ), ( 뒤, 앞 ) 으로 가지주사위의두눈의수의차가 인경우는 (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (5, ), (6, ) 으로 6가지따라서동전은앞면 개가나오고주사위의두눈의수의차가 인경우는 _6=( 가지 ) 답 0-4 일렬로세우는경우의수 답 ➊ n_(n-)_(n-)_y ➋ n_(n-) ➌ n_(n-)_(n-) ➍ 하나로묶어서 ➎ 묶음안에서기본연습 4 () 4명을일렬로세우는경우의수는 4 =4 () 4명중 명을뽑아일렬로세우는경우의수는 4_= () 5명중 명을뽑아일렬로세우는경우의수는 5_4_=60 답 () 4 () () 60 연습 4 어린이 명을한묶음으로생각하면어른 명과어린이한묶음을일렬로세우는경우의수는 4 =4 어린이 명을일렬로배열하는경우의수는 _= 따라서어린이 명이이웃하여서는경우의수는 4_=48 답 정수 ( 또는자연수 ) 의개수 답 ➊ n_(n-) ➋ n_(n-)_(n-) ➌ (n-)_(n-) ➍ (n-)_(n-)_(n-) 기본연습 5 () 부터 5까지의자연수가각각하나씩적힌 5장의카드중에서 장의카드 Ⅴ. 확률 0. 경우의수 9

41 본문 9 쪽 를골라만들수있는두자리정수의개수는 5_4=0 () 부터 6 까지의자연수가각각하나씩적힌 6 장의카드중에서 장의카드 연습 5 를골라만들수있는세자리자연수의개수는 6_5_4=0 답 () 0 () 0 0이포함되어있으므로 5장의카드중에서 장의카드를골라만들수있는세자리정수의개수는 4_4_=48 답 대표를뽑는경우의수 답 ➊ n_(n-) ➋ n_(n-) ➍ n_(n-)_(n-) 기본연습 6 ➌ n_(n-)_(n-) () 회장과부회장은자격이다른대표이므로독서동아리회원 5명중에서회장 명과부회장 명을뽑는경우의수는 5_4=0 () 청소당번 명을뽑는것은자격이같은대표를뽑는것이므로 6명의학생중에서청소당번 명을뽑는경우의수는 6_5 =5 답 () 0 () 5 연습 6 수학경시대회에나갈 명의학생을뽑는것은자격이같은대표를뽑는것이므로 7명의학생중에서수학경시대회에나갈 명의학생을뽑는경우의수는 7_6_5 =5 답 5 Step. 대표문제로접근하기 유제 0 부터 0까지의자연수중 7의배수는 7, 4,, 8의 4개이므로주어진카드중 7의배수가적힌카드를뽑는경우의수는 4이다. 유제 0 50원짜리동전 8개와 00원짜리 00원 ( 개 ) 50원 ( 개 ) 동전 8개를이용하여 00원을지 0 불하는경우는오른쪽과같다. 따라서구하는경우의수는 4이다 유제 0 두개의주사위를던져나온눈의수를각각 a, b라할때조건을만족시키는경우를순서쌍 (a, b) 로나타내면다음과같다. Ú 두눈의수의합이 6 인경우 (, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, ) 로 5 가지이다. Û 두눈의수의합이 인경우 (6, 6) 으로 가지이다. 따라서구하는경우의수는 5+=6 6 유제 04 _=이므로 부터 까지의자연수로는두수의곱이 50이될수없다. Ú 두수중큰수가 인경우 _=56 이므로 가지이다. Û 두수중큰수가 4 인경우 4_=54, 4_=68, 4_=8이므로 가지이다. Ü 두수중큰수가 5인경우 5_0=50, 5_=65, 5_=80, 5_=95, 5_4=0이므로 5가지이다. 따라서구하는경우의수는 ++5=9 9 유제 05 혜지가집에서학교를, 학교 에서도서관을가는방법이각각 5가지, 6가지이므로 구하는방법의수는 5_6=0 0 유제 06 사탕과초콜릿의종류가각각 가지, 5가지이므로구하는경우의수는 _5=5 5 유제 07 동전 개를던질때일어나는경우는 가지, 주사위 개를던질때일어나는경우는 6가지이므로구하는경우의수는 6_6=Û`_6Û`=44 44 유제 08 한명의학생이가위바위보를할때낼수있는것은가위, 바위, 보로 가지이므로구하는경우의수는 =Ý`=8 8 유제 09 A에칠할수있는경우는 5가지 B에칠할수있는경우는 A에칠한색을제외한 4가지 C에칠할수있는경우는 A, B에칠한색을제외한 가지따라서구하는경우의수는 5_4_=60 60 유제 0 C에초록색을칠하므로, 구하는경우의수는남은네가지색으로 A, B, D 세부분을칠하는경우의수와같다. 이때 A에칠할수있는색은 4가지, B에칠할수있는색은네가지색중 A에칠한색을제외한 가지, D에칠할수있는색은네가지색중 A, B에칠한색을제외한 가지이므로구하는경우의수는 4 =4 4 유제 C에세가지색중한가지를칠하면 A, B, D에는 C에칠한색을제외한 가지색중한가지를칠할수있다. =4 4 유제 A에한가지색이칠해지면 B는 A의색을제외한 가지색이가능하고, C는 A, B에칠한색을제외한 가지, D는 A와 C의색을제외한 가지색이가능하다. A에칠할수있는색이 4가지이므로모든경우의수는 4 = 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

42 본문 00 쪽 유제 C를제외한 A, B, D 세명을일렬로세우는것과같으므로구하는경우의수는 =6 6 유제 4 여학생 명을양끝에세우는경우의수는 _= 남학생 명을가운데에배열하는경우의수는 =6 따라서구하는경우의수는 _6= 유제 5 C, E 두명을한묶음으로생각하면 A, B, D, (C, E) 네묶음을배열하는방법의수는 4 =4 이때 C, E를묶음안에서배열하는경우는 가지이므로구하는경우의수는 4_=48 48 유제 6 여학생 명을한묶음으로생각하면남, 남, 남, ( 여, 여, 여 ) 네묶음을배열하는방법의수는 4 =4 이때여학생 명을묶음안에서배열하는방법의수는 =6 따라서구하는경우의수는 4_6=44 44 유제 7 일의자리에올수있는자연수는,, 5로 가지십의자리에올수있는자연수는일의자리의수를제외한 5가지따라서만들수있는두자리홀수의개수는 _5=5 5 유제 8 십의자리에올수있는수는,,, 4로 4가지일의자리에올수있는수는십의자리의수를제외한 4가지따라서만들수있는두자리자연수의개수는 4_4=6 6 유제 9 대표 명을뽑는경우는 7가지부대표 명을뽑는경우는대표 명을제외한 6가지따라서구하는경우의수는 7_6=4 4 A와 C가서로자리를바꾸는경우는 가지, B와 E가서로자리를바꾸는경우는 가지이므로 구하는경우의수는 4 =96 5 유제 6 명의남자중에서 명을뽑는경우의수는순서가상관없으므로 _ = 7 명의여자중에서 명을뽑는경우의수는순서가상관없으므로 7_6 = 따라서구하는경우의수는 _=6 Step. 단원마무리하기 가지 0 64 가지 (, ), (, ), (, 4), (4, ), (5, 6), (6, 5) 5 0 두개의주사위를동시에던질때나온두눈의수를각각 a, b라하자. 두눈의수의차가 가되는경우를순서쌍 (a, b) 로나타내면 (, ), (, 4), (, 5), (4, 6), (, ), (4, ), (5, ), (6, 4) 로 8가지이다 명의학생을일렬로세우는것이므로구하는경우의수는 5_4 =0 0 Ⅴ- 0. 경우의수 유제 0 여학생 4 명중학급회장을뽑는경우는 4 가지 남학생 명중부회장 명을뽑는경우는 가지 여학생 4 명중부회장 명을뽑는경우는학급회장을제외한 가지 따라서구하는경우의수는 4 =6 6 유제 5 명의학생중 명의학생을뽑는것이므로 구하는경우의수는 5_4_ =0 0 유제 혜인이와연정이가반드시뽑혀야하므로선영, 영일, 주원중에서남은두명의회원을뽑는경우의수는 = 유제 6 개의점중 개의점을선택하는경우의수와같으므로 구하는선분의개수는 6_5 =5 5 _ 유제 4 5 개의점중 개의점을선택하는경우의수와같으므로 다른풀이 구하는삼각형의개수는 5_4_ =0 0 삼각형의꼭짓점으로사용하지않을두점을선택하는경우의수와같다. 5_4 _ =0 유제 5 A와 C를한사람으로생각하고, B와 E를한사람으로생각하여 4명을일렬로세우는경우의수는 4 =4 0 A에칠할수있는경우는 5가지 B에칠할수있는경우는 A에칠한색을제외한 4가지 C에칠할수있는경우는 A, B에칠한색을제외한 가지 D에칠할수있는경우는 A, B, C에칠한색을제외한 가지 따라서구하는경우의수는 5_4 =0 04 동전 n개를동시에던질때일어날수있는모든경우의수는 n 이므로 n =64=ß` n=6 05 스포츠분야는 5가지, 교육분야는 가지이므로 각각 가지씩수강하는경우의수는 5_= 부터 8까지의 개의정수중에서 보다작은수는 -, -, -, 0, 의 5개이고, 6 이상인수는 6, 7, 8의 개이므로구하는경우의수는 5+= 지불해야하는음료수값 000원 ( 장 ) 500원 ( 개 ) 00원 ( 개 ) 은 600_=00( 원 ) 0 이므로 00원을지불하 는방법을표로나타내면 7 오른쪽과같다. 4 따라서구하는방법의수 7 는 6이다 Ⅴ. 확률 0. 경우의수 4

43 본문 09 쪽 08 순서쌍 (a, b) 를구해보면 Ú 4a-b=인경우는 (, ), (, 5) 의 가지 Û 4a-b=-인경우는 (, 7) 의 가지 Ú, Û에서구하는경우의수는 += 09 숙소 박물관 식당 박물관 숙소되돌아오는경로는갔던길은제외해야하므로하나씩빼줘야한다. 따라서그방법의수는 5 4=40( 가지 ) 40가지 0 각자리마다 또는 의경우 가지가있으므로 =ß`= ,,, 4, 5, 6, 7, 8을홀수, 짝수교대로배열하려면홀 - 짝 - 홀 - 짝 - 홀 - 짝 - 홀 - 짝또는짝 - 홀 - 짝 - 홀 - 짝 - 홀 - 짝 - 홀의두가지중하나여야한다. 홀수 4개를배열하는경우의수는 4 =4, 짝수 4개를배열하는경우의수는 4 =4이므로구하는경우의수는 _4_4= 개의팀이서로한번씩경기를하면 6개의팀중순서와상관없이 개의팀을뽑는경우의수와같으므로 6_5 =5 따라서 6개의팀이서로두번씩경기를하면전체경기수는 5_=0 5 A지점에서 P지점으로최단거리로가는경우의수는 4가지 P지점에서 B지점으로최단거리로가는경우의수는 가지따라서구하는경우의수는 4_= 가지 8 숟가락, 포크, 나이프에적힌수를순서쌍으로나타내면적힌수의합이 7인경우는 (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) 따라서구하는경우의수는 6이다. 6 9 Ú 남학생한명, 여학생한명을뽑는경우 : _=6( 가지 ) Û 남학생두명을뽑는경우 : _ =( 가지 ) _ 두사건은동시에일어나지않으므로구하는경우의수는 다섯장의카드중두장을뽑아일렬로배열하는경우의수는 5_4=0 4 가 꼴인경우의수는나, 다, 라, 마네개의문자를일렬로배열하는경우의수와같으므로 4 =4 나가 꼴인경우의수는다, 라, 마세개의문자를일렬로배열하는경우의수와같으므로 =6 6+=9 9 0 주사위를두번던진후점 P의위치가 0이되려면처음위치에서음의방향으로 만큼이동해야하므로 ( 짝수 )-( 홀수 )=이되도록각눈의수가짝수, 홀수각각 번씩나와야한다. 따라서순서쌍 (a, b) 는 (, ), (, ), (, 4), (4, ), (5, 6), (6, 5) 이다. (, ), (, ), (, 4), (4, ), (5, 6), (6, 5) 나다 꼴인경우의수도나가 꼴인경우의수와같으므로 6 이때나라가다마는나라 꼴인단어중에서가장처음나오는단 어이다. 따라서 나라가다마 는 =7( 번째 ) 에나온다. 4 자연수가짝수이려면일의자리의수가 0 또는 또는 4이어야한다. Ú 일의자리의수가 0인경우백의자리에올수있는수는 0을제외한 5가지, 십의자리에올수있는수는 0과백의자리에온숫자를제외한 4가지이므로자연수의개수는 5_4=0 Û 일의자리의수가 인경우백의자리에올수있는수는 0과 를제외한 4가지, 십의자리에올수있는수는 와백의자리에온숫자를제외한 4가지이므로자연수의개수는 4_4=6 Ü 일의자리의수가 4인경우백의자리에올수있는수는 0과 4를제외한 4가지, 십의자리에올수있는수는 4와백의자리에온숫자를제외한 4가지이므로자연수의개수는 4_4=6 Ú~Ü 에서구하는짝수의개수는 0+6+6=5 5 경기도지역을 곳으로생각하고강원도지역을 곳으로생각하여 곳을경로로정하는경우의수는 _= 경기도의지역 곳끼리순서를바꾸는경우의수는 _=이고강원도의지역 곳끼리순서를바꾸는경우의수는 =6이므로구하는경우의수는 6=4 4 확률 Step. 개념다지기 - 확률 답 ➊ 확률 ➋ a n 기본연습 () 주사위의눈중짝수의눈은, 4, 6의 개이므로구하는확률은 6 = () 주사위의눈중 5 이하의눈은,,, 4, 5의 5개이므로구하는확률은 5 6 연습 7개의제비중에서당첨제비는 4개이므로구하는확률은 4 7 () () 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

44 본문 쪽 - 확률의기본성질 답 ➊ 0 ➋ ➌ ➍ 0-5 두사건 A 와 B 가동시에일어날확률 ( 확률의곱셈 ) 답 ➊ p_q 기본연습 기본연습 5 () 4 장의카드중에서짝수가적힌카드는없으므로 () 주사위의눈중짝수의눈은, 4, 6 의 개이므로 구하는확률은 0 () 4장의카드모두홀수가적힌카드이므로구하는확률은 () 0 () 연습 주사위의눈중 7 이상의눈은없으므로구하는확률은 어떤사건이일어나지않을확률 답 ➊ -p 구하는확률은 6 _ = 4 () 주사위의눈중 4의약수의눈은,, 4의 개이므로 연습 5 구하는확률은 6 _ = 4 주사위의눈중홀수의눈은,, 5의 개이고, 6의약수의눈은,,, 6의 4개이므로 () 4 () 4 Ⅴ-. 확률 기본연습 구하는확률은 6 _ 4 6 = () 모든경우의수는 _=4 두개의동전모두뒷면이나오는경우는 가지이므로 -6 연속하여꺼낼확률 구하는확률은 - 4 = 4 답 ➊ = ➋ + () 두개의동전모두앞면이나오는경우는 가지이므로 기본연습 6 구하는확률은 - 4 = 4 () 4 () 4 () 처음에뽑은제비를다시넣으므로 연습 모든경우의수는 6_6=6 구하는확률은 6 _ 6 = 4 주사위의눈중소수의눈은,, 5 의 개이므로 () 처음에뽑은제비를다시넣지않으므로 두개의주사위모두소수의눈이나오지않는경우의수는 구하는확률은 _=9 따라서구하는확률은 6 _ 5 = 5 () 4 () = 7 6 = 4 4 연습 6 에서 9 까지의자연수중홀수는,, 5, 7, 9 의 5 개이고 -4 사건 A 또는사건 B 가일어날확률 ( 확률의덧셈 ) 답 ➊ p+q 한번꺼낸카드는다시넣지않으므로구하는확률은 5 9 _ 4 8 = 기본연습 4 () 모든경우의수는 6_6=6 두눈의수의합이 이하인경우는 (, ) 의 가지이고, Step. 대표문제로접근하기 두눈의수의합이 0 이상인경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6) 의 6가지이므로 구하는확률은 = () 두눈의수의차가 인경우는 (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (5, ), (6, ) 의 6가지이고, 두눈의수의차가 5인경우는 (, 6), (6, ) 의 가지이므로 구하는확률은 = 8 6 = 9 연습 4 에서 5까지의자연수중에서 의배수는 5개이고, 7의배수는 개이므로구하는확률은 = 7 5 () 7 6 () 유제 0 네장의카드로만들수있는두자리자연수는,, 4,,, 4,,, 4, 4, 4, 4의 가지이고, 이중홀수는,,,, 4, 4의 6가지이므로구하는확률은 6 = Ⅴ. 확률. 확률 4

45 본문 8 쪽 유제 0 전체 0 명의학생중에서 명의대표를뽑는경우의수는 0_9_8 =0 남학생 5 명중에서 명의대표를뽑는경우의수는 5_4 =0 따라서구하는확률은 0 0 = 유제 0 한개의주사위를두번던질때나오는경우의수는 6Û`=6 이때 y는항상짝수이므로 x+y=0을만족시키는 x, y를 순서쌍 (x, y) 로나타내면 x= 일때 (, 4), x=4 일때 (4, ), x=6 일때 (6, ) 의 가지이다. 따라서구하는확률은 6 = 유제 04 한개의주사위를두번던질때나오는경우의수는 6Û`=6 방정식 ax-b=0 에서 ax=b x= b a 유제 09 서로다른두개의주사위를동시에던질때나오는경우의수는 6Û`=6 나온두눈의수의곱이 의배수가되는경우는 두눈의수의곱이 일때, (, 6), (, 4), (4, ), (6, ) 의 4 가지 두눈의수의곱이 4 일때, (4, 6), (6, 4) 의 가지 두눈의수의곱이 6 일때, (6, 6) 의 가지 따라서나온두눈의수의곱이 의배수일확률은 = 7 6 유제 0 고른자연수가 4의배수인경우는 4, 8, 의 가지고른자연수가 5의배수인경우는 5, 0, 5의 가지 따라서구하는확률은 = 6 5 = 5 유제 한개의주사위를던질때나오는경우의수는 6 주사위의눈의수가소수가되는경우는,, 5의 가지 서로다른두개의동전을던질때나오는경우의수는 Û`=4 두개의동전이모두뒷면이나오는경우는 ( 뒤, 뒤 ) 의 가지 이때 b 의값이홀수가되는경우를순서쌍 (a, b) 로나타내면 a 따라서구하는확률은 6 _ 4 = 8 8 a= 일때, (, ), (, ), (, 5) 의 가지 a= 일때, (, ), (, 6) 의 가지 a= 일때, (, ) 의 가지 a=4 일때, (4, 4) 의 가지 a=5 일때, (5, 5) 의 가지 a=6일때, (6, 6) 의 가지따라서방정식의해가홀수가되는경우는 +++++=9( 가지 ) 그러므로구하는확률은 9 6 = 4 4 유제 05 한개의주사위를던질때 - 이하의눈이나오는경우는없으므로구하는확률은 0 0 유제 06 주머니에서꺼낸공은항상파란공또는빨간공이므로구하는확률은 유제 07 서로다른두개의주사위를동시에던질때나오는경우의수는 6Û`=6 나온두눈의수의합이 4 미만인경우는 (, ), (, ), (, ) 의 가지따라서두눈의수의합이 4 이상일확률은 - 6 = 6 = 유제 주머니에서공을꺼내는경우는 5가지, 검은공을꺼내는경우는 가지서로다른동전두개를던질때나오는경우의수는 Û`=4 동전두개중하나는앞면, 다른하나는뒷면이나오는경우는 ( 앞, 뒤 ), ( 뒤, 앞 ) 의 가지 따라서구하는확률은 5 _ 4 = 0 유제 두개의수를고르는경우의수는 0_9 _ =45 0 의배수는, 6, 9이므로고른두개의수가모두 의배수가아닌경우는, 6, 9를제외한 7개의자연수중두개를뽑는경우와같 으므로 7_6 =( 가지 ) _ 따라서고른두개의수중적어도하나는 의배수일확률은 - 45 = 4 45 = 8 5 유제 4 서로다른두개의주사위를동시에던질때나오는경우의수는 6Û`=6 두개의주사위의눈이모두 5 이상인경우는 (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6) 의 4 가지 따라서구하는확률은 = 6 = 유제 08 6명의학생중에서청소당번 명을뽑는경우의수는 6_5_4 =0 선영이가뽑히면서청소당번 명을뽑는것은선영이를제외한 5 명의학생중에서청소당번 명을뽑는것과같으므로경우의수는 5_4 _ =0 따라서선영이가뽑히지않을확률은 = 0 0 = 유제 5 각각의주머니를선택할확률은 Ú 주머니 A를선택하여검은공을꺼낼확률은 _ 4 = 8 Û 주머니 B 를선택하여검은공을꺼낼확률은 _ = 6 따라서검은공을꺼낼확률은 = = 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

46 본문 5 쪽 유제 6 Ú 두장의카드에적힌수가모두홀수일확률은 5 _ 5 = 9 5 Step. 단원마무리하기 Û 두장의카드에적힌수가모두짝수일확률은 5 _ 5 = 따라서두장의카드에적힌수의합이짝수일확률은 = () 6 45 () C 유제 7 두번모두검은공을뽑을확률은 7 _ 7 = 두번모두흰공을뽑을확률은 4 7 _ 4 7 = 6 49 따라서구하는확률은 = 5 49 유제 8 A 가당첨제비를뽑지않을확률은 6 = ( 한국이이길확률 )=-( 일본이이길확률 )=- 7 = 부터 0까지의자연수중 0의약수는,, 5, 0의 4가지이므로구하는확률은 4 0 = 5 Ⅴ-. 확률 A 가당첨제비를뽑지않았을때, B 가당첨제비를뽑을확률은 5 따라서 B 만당첨제비를뽑을확률은 _ 5 = 0 유제 9 지원이가학교에지각하지않을확률은 = 서로다른두개의주사위를동시에던질때나오는경우의수는 6Û`=6 두눈의수의합이 0이되는경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4) 의 가지이 므로구하는확률은 6 = 영주가학교에지각하지않을확률은 - = 따라서두학생모두제시간에학교에올확률은 5 _ = 5 유제 0 영민이가풍선을터뜨리지못할확률은 - 4 = 4 세경이가풍선을터뜨리지못할확률은 - 5 = 5 따라서적어도한명은풍선을터뜨릴확률은 - 4 _ 5 =- 9 0 = 서로다른두개의주사위를동시에던질때두눈의수의곱이 00 이상인경우는없으므로구하는확률은 0이다 명의학생중에서대표와부대표를각각 명씩뽑는경우의수는 7_6=4 여학생대표 명, 남학생부대표 명을뽑는경우의수는 _4= 따라서구하는확률은 4 = 7 06 a_b 가홀수이기위해서는 a 와 b 모두홀수이어야한다. a 가홀수일확률은 5 0 = 4 유제 ( 홀수 )+( 짝수 )=( 홀수 ) 이므로 Ú 상자 A에서홀수, 상자 B에서짝수가적힌공을꺼낼확률 5 9 _ 7 5 = 5 5 Û 상자 A 에서짝수, 상자 B 에서홀수가적힌공을꺼낼확률 4 9 _ 8 5 = 5 Ú, Û에서구하는확률은 = 유제 모든경우의수는 =7 세사람이가위바위보를하여비기는경우는세사람이모두같은 것을내거나세사람이모두다른것을내는경우이다. Ú 세사람이모두같은것을내는경우의수는 이므로 그확률은 7 = 9 Û 세사람이모두다른것을내는경우의수는 =6 이므로 b 가홀수일확률은 0 0 = 따라서 a_b 가홀수일확률은 _ = 4 07 모든경우의수는 6_5_4 =70 재희가앞줄가운데에앉는경우의수는재희를제외한나머지 5명을 자리에배치하는경우의수와같으므로 5_4 =0 따라서구하는확률은 0 70 = 6 08 모든경우의수는 6_6=6 y= 6 을만족시키는 a, b의순서쌍 (a, b) 는 x (, 6), (, ), (, ), (6, ) 의 4 가지이므로구하는확률은 4 6 = 9 4 그확률은 6 7 = 9 Ú, Û에서구하는확률은 = 9 = 09 모든경우의수는 5_4 =0 Ú O가맨뒤에오는경우의수는 4 =4 이므로그확률은 4 0 Ⅴ. 확률. 확률 45

47 본문 0 쪽 Û E 가맨뒤에오는경우의수는 4 =4 이므로그확률은 4 0 Ú, Û 에서구하는확률은 = 48 0 = 5 다른풀이 구하는확률은맨뒤에오는문자가 5 개중모음일확률인 5 와같다. Ú 첫번째에, 중하나를뽑고두번째에 0,, 4 중하나를뽑을확률 5 _ 4 = 0 Û 첫번째에, 4 중하나를뽑고두번째에 0,, 4 중첫번째에뽑은수가아닌수를뽑을확률 5 _ 4 = 5 Ú, Û에서구하는확률은 = + 0 = 5 0 = 0 Ú 상자 A를선택하고흰공을꺼낼확률 _ 5 5 = Û 상자 B를선택하고흰공을꺼낼확률 _ 8 = 8 Ü 상자 C 를선택하고흰공을꺼낼확률 _ 0 =0 Ú~Ü 에서구하는확률은 = = 공을한번꺼낼때, 홀수가적힌공이나올확률은 8 6 =, 5의배수가적힌공이나올확률은 6 이므로 A가이길확률은 _ 6 = 공을한번꺼낼때, 4의배수가적힌공이나올확률은 4 6 = 4 이므로 B가이길확률은 4 _ 4 = 6 공을한번꺼낼때, 소수가적힌공이나올확률은 6 6 = 8, 6의약수가적힌공이나올확률은 5 6 이므로 Ú 번째, 번째, 번째가각각홀수, 홀수, 짝수의눈이나올확률 4 6 _ 4 6 _ 6 = 4 7 Û 번째, 번째, 번째가각각짝수, 짝수, 홀수의눈이나올확률 6 _ 6 _ 4 6 = 7 Ú, Û에서구하는확률은 = 6 7 = 9 9 () A가당첨제비를뽑을확률은 0 = 5 A가당첨제비를뽑았을때, B가당첨제비를뽑지못할확률은 8 9 따라서구하는확률은 5 _ 8 9 = 6 45 () A 가당첨제비를뽑을확률은 0 = 5 B가당첨제비를뽑지못할확률은 8 0 = 5 따라서구하는확률은 5 _ 5 = 6 5 () 6 45 () 6 5 C 가이길확률은 8 _ 5 6 = 5 8 따라서 A, B, C가이길확률은각각 = 8, 6 = 8 8, 5 8 이므로이게임에서가장유리한사람은 C이다. 6 슬기와주현이가모두장소 A로갈확률은 5 8 _{- 6 }= 5 8 _ 5 6 = 5 48 슬기와주현이가모두장소 B로갈확률은 {- 5 8 }_ 6 = 8 _ 6 = 48 따라서구하는확률은 = 8 48 = 7 7 두점 P, Q를정하는모든경우의수는 6_5=40 이때 OPQ가 OPÓ=OQÓ인이등변삼각형이되려면 점 P 의 x 좌표와점 Q 의 y 좌표가서로같고 점 P 의 y 좌표와점 Q 의 x 좌표가서로같아야한다. 이를만족하는경우의수는 6_= 이므로 구하는확률은 40 = 0 C 5 0 Ú 예은이와혜수모두까나리액젓을선택할확률 9 _ 8 = Û 예은이는커피를선택하고혜수는까나리액젓을선택할확률 6 9 _ 8 = 4 Ú, Û에서구하는확률은 + 4 = + = 4 = 4 4 이하의음이아닌정수는 0,,,, 4이므로이중자연수는,,, 4 이고 의약수가아닌수는 0,, 4이다. 8 6개의점중 개를선택하여삼각형을만드는경우의수는 6_5_4 =0 이때점 D 가삼각형의꼭짓점이되는경우의수는 점 D 를제외한나머지 5 개의점중 개를선택하는 경우의수와같으므로 5_4 =0 따라서구하는확률은 0 0 = 46 중학수학뜀틀개념편중 ( 하 )

48 본문 쪽 9 화살을한발쏘아상품을받지못하는경우는영역 A 또는영역 C 를 맞히는경우이므로그확률은 = 6 8 = 4 화살을연속하여세발쏘아상품을하나도받지못할확률은 4 _ 4 _ 4 = 7 64 따라서구하는확률은 = 구슬이이동할수있는경로가오른쪽그림과같다고하자. Ú 구슬이 A로들어가는경우가능한경로는 PÁ Pª P P A의 가지따라서 A로들어갈확률은 _ = 6 Û 구슬이 C로들어가는경우가능한경로는 PÁ Pª P P C PÁ Pª P P C PÁ Pª P P» C PÁ P P P C PÁ P P P» C PÁ P P P» C 의 6가지 Ⅴ-. 확률 따라서 C 로들어갈확률은 { _ }_6= 6 6 Ú, Û 에서구하는확률은 = Ⅴ. 확률. 확률 47

49 학습계획표 8 일완성! 중학수학뜀틀을 00% 활용할수있도록도와주는학습계획표입니다. 계획표를활용하여학습일정을계획하고자신의성적을체크해보세요. 꼭 4 주완성을목표로하지않더라도, 스스로학습현황을체크하면서공부하는습관은문제집을끝까지푸는데도움을줍니다. 날짜별로정해진분량에맞춰공부하고학습결과를기록한후, 틀린문제에대한복습이완료되면체크 ( v ) 합니다. 계획은도중에틀어질수있습니다. 하지만계획을세우고지키는과정은그자체로효율적인학습에큰도움이됩니다. Day 학습날짜학습내용소요시간문항수학습결과복습 일차 월 일 요일 p. ~ p. 9 맞음 / 9 일차 월 일 요일 p. ~ p.5 0 맞음 / 0 일차 월 일 요일 p.6 ~ p.5 8 맞음 / 8 4일차 월 일 요일 p.6 ~ p.9 0 맞음 / 0 5일차 월 일 요일 p.0 ~ p.7 8 맞음 / 8 6일차 월 일 요일 p.8 ~ p.45 맞음 / 7일차 월 일 요일 p.46 ~ p.50 0 맞음 / 0 8일차 월 일 요일 p.5 ~ p.6 4 맞음 / 4 9일차 월 일 요일 p.64 ~ p.69 맞음 / 0일차 월 일 요일 p.70 ~ p.77 6 맞음 / 6 일차 월 일 요일 p.78 ~ p.87 7 맞음 / 7 일차 월 일 요일 p.88 ~ p.9 0 맞음 / 0 일차 월 일 요일 p.94 ~ p.07 8 맞음 / 8 4일차 월 일 요일 p.08 ~ p. 맞음 / 5일차 월 일 요일 p. ~ p. 맞음 / 6일차 월 일 요일 p. ~ p.9 맞음 / 7일차 월 일 요일 p.0 ~ p. 0 맞음 / 0 8일차 월 일 요일 p.4 ~ p.47 4 맞음 / 4 9일차 월 일 요일 p.48 ~ p.54 맞음 / 0일차 월 일 요일 p.56 ~ p.67 4 맞음 / 4 일차 월 일 요일 p.68 ~ p 맞음 / 40 일차 월 일 요일 p.8 ~ p.86 5 맞음 / 5 일차 월 일 요일 p.88 ~ p.97 맞음 / 4일차 월 일 요일 p.98 ~ p.07 7 맞음 / 7 5일차 월 일 요일 p.08 ~ p. 0 맞음 / 0 6일차 월 일 요일 p. ~ p. 0 맞음 / 0 7일차 월 일 요일 p. ~ p.8 맞음 / 8일차 월 일 요일 p.9 ~ p. 맞음 / 학습계획표작성하고, 선물받으세요! 참여자전원증정! 책을다풀고, SNS 또는학습관련커뮤니티에작성한학습계획표사진을업로드 좌측 QR 코드를스캔하여작성한게시물의 URL 인증 Book 포인트란? 마더텅인터넷서점 ( 에서교재구매시현금처럼사용할수있는포인트입니다. 전원증정 천원권 천점 필수태그 # 마더텅 # 학습계획표 # 공스타그램 # 중 # 수학 SNS / 학습관련커뮤니티페이스북, 인스타그램, 블로그, 네이버 / 다음카페등 상품은이벤트참여일로부터 ~일 ( 영업일기준 ) 내에발송됩니다. 동일한교재의학습계획표로중복참여시, 이벤트대상에서제외됩니다. 자세한사항은왼쪽 QR 코드를스캔하거나홈페이지이벤트공지글을참고해주세요. 부모님께서직접신청해주세요. 이벤트기간 : 09년 0월 일까지 ( 해당이벤트는당사사정에따라조기종료될수있습니다.)