제 I 편 계산기활용, 필요한수학, 확률변수

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1 제 I 편 계산기활용, 필요한수학, 확률변수

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3 제 II 편 금융계산

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5 장3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 이자 계산을 주식, 채권,선물, 옵션 가격에 활용해보자. 제 3. 절 채권(bond) 채권은 회사에서 자금을 모의기 위해 즐겨사용하는 방법이다. 그런데 자금을 모으는 것은 투 자자의 입장에서 보면 회사가 투자할 가치가 있어야 한다. 예를 들어 위험이 없는 이자율이 i 라면, 채권을 발행하는 회사가 제시하는 이율은 i보다 높은 것이 보통이다.. 순수할인 율(zero rates) 채권중에서 중간에 이자를 지급하지 않고, 만기에 원금과 이자를 한꺼번에 지급하는 것이 있다. 이것을 보통 n-year-zero rate-coupon bond( n-년 제로쿠본 채권, n-년 수수할인채권) 라 한다. 이 제로쿠폰채권의 이자율은 보통 n-year-zero coupon interest rate 이라 부르는데, 예를 들어 n-year-zero coupon rate(간단히 zero rate)가 j 라는 것은 지금 P를 투자했다면 n년 후에, P( + j)n 을 지급하는 방식이다. 예를 들어 5년 만기 순수할인채( 5-year zero coupon bond)이 년 이율이 j = 5%로 발행됐다면, 000을 투자하면, 5년 뒤에 000( )5 = 을 얻을 수 있다. 2. 채권 가격 결정하기 만기에 M을 지급하는 수수할인채 가격을 얼마로 하는 것이 적절한가? 당연한 것은 M 보다 싸게 팔아야 한다. 즉 할인해서 팔아야 하는데, 연이율이 j로 고시된 순수할인채이 할인율이 d라 하면, 부수비용을 무시하면 M( d)n ( + j)n = M 이 되어야 한다. 따라서 ( d)n ( + j)n = (3.) 33

6 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 34 이 성립해야 하므로 d= j, + j j= d d (3.2) 특히 잔고증가율함수 a = a(t)는 이자율 j로도, 할인율 d로도 표현된다. t t a(t) = + j = d (3.3) 그러나 채권이 고객에게 인기가 있으려면, 예를 들어 6개월마다 이자를 지급하는 방법이 있다. 이것을 쿠폰(coupon),이라 하는데, 예전에는 실제로 채권에 쿠폰이 붙어 있어 이것 을 떼어가서 이자를 받던 시절이 있었다. 이런 쿠폰 본드의 가격을 결정해보자. 예를 들어 다음과 같은 채권이 있는데, 명목상 년이율 j(2) = 6%의 쿠폰을 6개월 마다 지급한다 하자. 투자가가 이 채권에 투자할지를 결정하는 판단기준은 투자가의 자금운용 능력과 투자정 책에 달려있다. 왜냐하면 어떤 채권에 투자한다는 것은 다른 금융상품에 투자할 기회를 버리는 것이기 때문에, 결국 기회비용의 문제다. 판단기준을 점검하기 위하여 안정된 국 가에서 발행하는 채권의 이율이 다음과 같다 하자. 표 3.: 가상의 국채 이율 만기 zero rate (% ) 그러면 2년 만기 액면(par value)가 00인 쿠폰본드의 가격을 구해보자. 우선 j(2) = 6% 이므로, 6개월 이율은 i(6) 2 = 3%이다. 그러므로 6개월 마다 00 3% = 3의 쿠폰을 지급받 는다. 만기가 되는 2년 차에는 을 지급받는다. 즉 2년 만기 액면가 00인 쿠폰본드의 현재가격을 구하는 것인데, 이것은 결국 기회비용 (opportunity cost)에 따라 결정된다. 이 채권을 사기로 한 돈은 다른 곳에 쓸 수 없기 때문 이다. 따라서 국채 이율을 판단기준으로 할 때 적절한 채권가격은 = ( ) ( ) ( ) ( )2 (3.4) 식 (3.4)의 의미는, 지금 97.58이 있다면 국채에 다음과 같이 투자하면 6개월마다 쿠폰 3을 지급하고, 만기에 추가로 00을 지급할 수 있다는 것이다.

7 3. 채권(bond) 35 표 3.2: 가상의 국채에 97.58의 투자 배분 투자금 만기 zero rate (% ) ( ) 0.5 = ( ) = ( ).5 = ( ) 2 = 보기 3. 회사 A가 년이율 i로 발행한 채권에 투자하는 것은 투자자의 자금운용능력 j가 판단 기준이 된 다. 회사 A가, 년이율 4%이고, 6개월 마다 5을 지급하는 5년 만기 채권을 액면가 000에 발행했다 하자. 투자자 B의 기대수익율이 5%라 하자. 투자자 B가 볼 때 이 채권의 가격을 얼마로 평가할까? 풀이 3. 투자자 B가 평가한 가격은 20a 0, j + 000( ) 5 = , j = ( ) 2 = 회사 A는 년 이율 4%로 이 채권을 발행했다. 따라사 회사가 생각한 가격은 20a 0,i + 000( ) 5 = 00.76, i = ( ) 2 = 회사 A보다 높은 수익을 낼 수 있는 투자자는 회사 A가 제시한 가격을 비싸다 판단한다 채권 수익율(bond yield rate) 채권 수익율이란 여러가지 이자율을 써서 복잡하게 계산한 것과 같은 효과를 나타내는 이율을 말한다. 앞에서 생각한 명목상 년이율 j(2) = 6%의 쿠폰을 6개월 마다 지급한다 하자. 지금 경우는 6개월 이율을 j라 하면 = 3a 4, j + 00 ν4 =3 + 00ν 4 4 ( + j) j (3.5) 가 성립하는 j 값을 말한다. 이 값은 간단한 계산기로 구하기 어렵다. 컴퓨터를 쓰면 j = 이고, 따라서 i(2) = = = 7.6% 수익율이 6% 보다 큰 이유는 액면가 00인 채권을 97.58에 사기 때문이다. 4. Par Yield 액면가 00인 채권이 연 6%의 쿠폰을 지급한다면, 이것은 년 단위로 6씩 지급한다는 것 이다. 그런데 이것을 6 개월 마다 지급한다면, 6 개월 이자율은 ( ) 2 = 이므로 j = 라 두면 c( + j) + c = 6

8 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 36 이 성립하는 c 값을 주는 것이 정당하다. 이값은 c = 이 되어 3보다 작다. 그렇지만 이것이 정당하다 하더라고 채권을 사는 사람의 입장에서 생각하면 기분 좋은 일은 아니다. 때문에 년 이율 i% 쿠폰을 지급한다면, 6개월에는 2i %를 지급하는 것이 상도다. Par Yield 란 채권가격이 액면가와 같아지는 그런 이자율이다. 식 (3.4)에서 생각하면 c c c c = 00 2 ( )0.5 2 ( ) 2 ( ).5 ( )2 이 식에서 c를 구하면 c = %. 즉 이 채권을 액면가 그대로 00에 판매하려면 년 7.3%의 쿠폰을 지급해야 한다는 말이다. 5. 제로 쿠폰 이율. 디폴트 위험이 없는 국채 가격을 이용해서 제로쿠폰 이율을 정해보자. 표 3.3: 액면가 000인 가상의 국채 가격 만기 매년 지급되는 쿠폰 가격 쿠폰을 6개월 마다 20씩 지급한다면 2년 제로쿠폰 이율은 얼마가 적절한가? 우선 0.5,,.5년짜리 순수채권 이율은 각각 5.5%, 6.4%, 7.0%인 것을 계산할 수 있다. 따라서 2년 제로쿠폰 이율을 i라 하면 20( ) ( ) + 20( ).5 + ( )( + i) 2 = 930 위 식에서 i를 구하면 i = 8% 6. 기대 수익율 액면가 6개월 마다 0을 지급하고 만기가 5년인 액면가 000인 채권을 900에 판매한다면 이것을 살 것인가? 이 채권읠 수익율을 계산해보자. 6개월 이율을 j라 두면 = 0a 0, j + = j ( + j)2 ( + j)0 ( + j)0 ( + j)0 계산기로 이 값을 구하니는 힘들다. 컴퓨터를 이용하면 j = %. 년율은 i = ( + j)2 = %. 자신이 4.3% 보다 더 많은 수익을 낼 수 있으면, 이 채권을 살 경제적인 이유는 없다. 000 보통 계산기로 이 값을 구하려면 0a 0, j + (+ = 900 을 좀 간단하게 j)0 a 0, j + 00 ν 0 = 90 = + 00ν 0 = 90 0 ( + j) j = v( ν 0 ) + 00ν 0 = 90 ν

9 3. 채권(bond) a 0, j + (+ j)0 j 000 그림 3.: 6개월 이자율 j, 0a 0, j + (+ = 900. j)0 이 단계에서 ν 값을 시험해서 90이 되도록 조절한다. v( ν 0 ) ν + 00ν 0 ν 그림 3.2: 6 개월 할인계수 ν. v( ν 0 ) ν + 00ν 0 = 90 예를 들어 ν = 0.99로 잡으면 가 나온다. ν = 0.98 로 잡으면 이 나온다. ν = 0.97 로 잡으면 가 나온다. 따라서 근은 [0.97, 0.98] 사이에 있다. 그런데 0.98에 가 깝다. ν = 0.979를 시험하면 가 나온다. 이것으로 근은 [0.979, 0.98] 사이에 있다. 예를 들어 중간에 있는 를 시험하면 가 나온다. 이런 식으로 찾아가면 ν = 를 얻는다. 이때 값은 이다. 그런데 기회비용은 사람마다 다르다. 예를 들어 5% 수익을 낼 수 있는 사람은 간단하게 j = 5%로 해서 0a 0, j + 000ν 0 = 69.3

10 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 38 을 계산하고, 이 값이 900보다 작기 때문에 이 채권을 비싸다. 그러나 수익을 2% 정도 낼 수 있는 사람은 j = 2%로 해서 0a 0, j + 000ν 0 = 이 되기 때문에, 이 채권은 비싸지 않다. 이 채권을 사는 것을 고려할 수 있다. 요약 3. t =, 2, 3,, n에 쿠폰 c를 지급하고, 액면가 P이 채권이 있다. 이 채권의 기대수익률 i에 따른 t = 0일 때 가격 PV는 PV = ca n,i + Pν n, ν= n νn, a n,i = ν k = +ν i k= (3.6) 이 값 PV는 물론 다음 식도 만족시킨다. PV ( + i)n = cs n,i + P (3.7) 이 식은 잔고를 t = n일 때 계산한 것이다. 제 3.2 절 주식가격의 Dividend Discount Model 주식 가격을 결정하는 모형으로 배당금(dividend)의 현재가격을 계산하는 방법이 있다. 예를 들어 현재 어떤 주식 XYZ의 가격이 P0 이고, 년 뒤 이 주식 개에 대한 배당금이 DIV 이라 하 자. 년 뒤 주식 가격은 알 수 없다. 그렇지만 이것을 P 이라 하자. 그러면 이 주식 주에 대한 기대숙익율 r은 r= DIV + P P0 P0 (3.8) 이 기대수익율 r은 은행 이율처럼 어디에 고시되는 것이 아니고, 투자자의 기대이다. 식 (3.8) 에서 보듯이 수익율이 커지는 방법은 P0 를 지금 알고있기 때문에 P 이나 DIV 이 커지는 방 법 뿐이다. 말로하면 년 뒤 주식가격이 오르고, 배당금 DIV 이 커지면 좋다. 식 (3.8)을 P0 에 대해서 풀면 P0 = DIV + P +r (3.9) 년 뒤에도 이 방식을 똑 같이 적용하면, 기대 수익율도 r로 같게 잡으면, DIV2 + P2 +r (3.0) P2 DIV DIV r ( + r)2 ( + r)2 (3.) P = 따라서 식 식 (3.9), 식 (3.0)를 결합하면 P0 = 이런 방식을 계속 하면

11 3.3 주식, 옵션 39 P0 = νdiv + ν 2 DIV2 + + ν n DIVn + Pn DIVn, ν = +r (3.2) 이 방식을 무한히 계속하는 것을 생각하면 P0 = νdiv + ν 2 DIV2 + ν 3 DIV3 + = ν k DIVk k= 주식 가격을 이렇게 산출하는 방식을 DCF 모델, 또는 Dividend Discount Model이라 한다. 보기 3.2 KNU 주식회사의 보통주(common stock) 주당 배당금이 다음과 같다. 구분 배당금 2,500 3,500 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,500 5,000 6,000 배당금이 점점 증가하는 것을 알 수 있다. 2007년에 KNU 보통주 주 가격이 P0 = 339, 000이라 하자. 계산의 편 의를 위해서 배당금이 일정하게 4,000원이라 하자. 이것은 간단하게 DIVn = 4000, n =, 2, 으로 생각하자는 말이다. 주식각격의 Discounted Dividend Model에 따르면 주주가 KNU에 거는 기대수익율은 얼마인가? 풀이 3.2 주식가격이 P0 = 339, 000일 될려면, 기대수익율 r은 339, 000 = DIVk ( + r)k = 4000 k= 에서 r = k= 4000 = r ( + r)k = =.8% 보기 3.3 KNU 주식회사 보통주 주당 배당금은 4,000원이고, 배당금은 매년 %씩 증가한다고 가정하자. 주 주들이 이 회사에 거는 기대 수익이 %라 하자. Dividend Discount Model에 따르면 주당 가격은 얼마가 적절한가? 풀이 3.3 기대수익율 r = 0.이므로 P0 = k= 제 3.3 절 4000(+0.0)k (+0.)k = 4000 k= +0.0 k +0. = 주식, 옵션. Long Stock: Long Stock 은 투자가의 가장 일반적인 포지션(position)이다. Long Stock은 주식을 사는 것인데, 이론적으로는 사려는 회사를 잘 분석해서 건실하고 발전가능성이 있는 회사 주식 을 사서, 다른 사람도 내가 산 후에(?) 그렇게 생각해서 그 주식을 사려는 사람이 많아져 가격이 오를 것을 기대하고 투자하는 것이다. 보통 회사의 가치를 훤더멘털(fundamental) 이라 하는데 이것을 아는 것은 쉬운 일이 아니다. 회사 쪽에서는 불리한 자료가 그대로 공시되는 것을 좋아할 이유가 없고, 심지어는 회계부정이 있는 것도 배재할 수 없다. 회사 에서 의무적으로 공개해야 하는

12 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 40 자산(assets) 부채(libilities) 수익(earnings) 말고도, 경쟁회사, 전체 시장 분위기, 요즘 신문에 나는 경영문제, 갑질 등등을 고려해서 판단해야 하기에 수학 공식처럼 결정될 수도 없어 불안하지만, 바로 이런 불안정한 점이 새로운 사람에게 새로운 기회를 주는 근원이다. 예를 들어 XY Z 주식을 주당 50에 00주를 샀다면, 이 투자자는 XY Z 주식 00주 롱포지 션을 취했다, 또는 00주 매수포지션을 취했다 한다. 이렇게 매수포지션(Long Position)을 취할 때 위험과 이익을 어떻게 될까? -. 이익은 이론적으로 무한한다. 이것은 오르면 오른 만큼 이익이다는 뜻이다. 예를 들어 XY Z 주식이 주당 이 오르면 투자자는 00씩 이익을 얻는 구조다. -2. 손실은 아무리 손해가 나도 주식 가격이 0 이하로 내려가는 경우는 없기 때문에 제한 적이다. 최대 손실은 투자금 전체이다. 2. Short Stock 주식 가격이 떨어지는 추세라 생각해보자. 아니면 주식이 과대평가 되어서, 머지않아 주 식가격이 떨어질 것이라 예측되는 것을 상상할 수 있다. 여러 이유로 주식가격이 하락할 것이라는 전망이 우세하면( 이것을 behaving bearishly), 결국 투자자의 투자전망이 암울 하게 되어 주식이 하락장에 들어서게 된다. 이렇게 투자 전망을 암울하게 보는 투자자 (bearish investor)는 주실을 매도하고, 가격이 충분히 하락했을 때 다시 매수하여 이익을 실현할 수 있다. 심지어는 자신이 갖고 있지 않은 주식도 주식을 대여하여 매도(sell short) 한 후, 가격이 충분히 하락했을 때 다시 사들여 대여한 주식은 갚고, 이익을 얻을 수 있다. 그러나 이렇게 주식을 대여하여 short sale하고, 나중에 낮은 가격으로 사서 대여 주식을 반 납하려는 투자방식은 주식가격이 예상대로 움직이지 않는다면, 손실은 이론적을 무한히 클 수 있다. 왜냐하면 대여한 주식을 매도한 가격 이상으로 주식가격이 상승하는 경우에는 싸게 팔고 비싸게 사는 상황이 되기 때문이다. 이익은 제한 적이다, 왜냐하면 주식 가격이 떨어질 수로 이익인데, 아무리 떨어져도 0 아래로 떨어지지는 않기 때문이다. 예를 들어 XY X 주식 00주를 대여한 후, 주당 50에 팔았다 하자. 주식 가격이 50이하에서 만큼 떨어지면 00 = 000 씩 이익이다. 주식 가격이 주당 47이 되었다면 = 300의 이익이 생기고, 여기에서 주식대여 수수수료를 뺀 것이 투자자의 이익이 다. 그러나 예상과 반대로 주식 가격이 55가 되었다면, 대여주식을 갚으려 할 때 들어가는 돈은 = 5500이고, 따라서 = 500 손실이 발생하고, 여기에 주식대여 수수료를 생각하면 실제로는 500 이상의 손실이 발생한다. 이론상 주식가격은 얼마든지 오를 수 있기 때문에 손실위험은 제한 없이 크다. 3. 옵션(Option), Long Call: 거래소는 사람들이 주식을 사고 파는 수수료가 주된 수입이다. 때문에 거래량을 늘릴 필요가 있다. 그러나 주식의 가격은 우량주의 경우 비싸다. 예를 들어 KNU의 현재 주당 가격이 339,000이라 하자. KNU 주식 00주를 싸는데 3천만원 이상이 드니 보통 사람들이 쉽게 살 수가 없다. 거래소가 개별 회사의 주식가격을 결정할 수 없기 때문에 거래량을 늘리는 방법으로 주식을 직접 사거나 파는 것이 아니라, 일정

13 3.3 주식, 옵션 4 기간 뒤에 사가나 팔 권리만을 사거나 팔 수 있는 상품을 개발했는데, 이것은 보통 옵션 (option)이라 부른다. 옵션 중에서 정해진 시기에 정해진 가격으로, 정해진 수의 주식을 사기로 계약할 수 있는데, 이것을 콜옵션이라 한다. 콜옵션은 주식가격이 상승하리라 판 단되면 쓸 수 있다. 예를들어 KNU주식 주는 30만원 근방이지만, 옵션은 이 각격의 60 정도인 5,000원 근방에서 거래된다. KNU 주 현재가(2080) 339,000 KNU C 2082 행사가 360,000( 0) 6, KNU C 2082 행사가 370,000( 0) 4, KNU C 2082 행사가 380,000( 0) 2, 실제 주식가격은 333,900 이지만 콜옵션가격은 6700, 2800처럼 싸다. 실제 주식 가격 = 3, 390, 000을 예를 들어 = 67, 000으로 들었다 놨다 하니 이 비율 은 = 이다. 즉 50배 이상을 돈을 움직이다. 이 비율을 레버리지(leverage)라 한다. 레버리지가 크면 적은 돈으로 큰 돈을 벌수도 있지만, 반대로 작용하면 위험도 그만 큼 크다. 예를 들어 KNU C 2082(0) 3600 을 0월에 = 67, 000에 샀다 하자. 다행이 2월에 주가가 365,000이 되었다면 이것을 투자자는 360,000에 사기 때문에 주당 5,000 이득이다. 총 수익은 = 50, ,000원 투자해서 2달만에 50,000원 벌 었다.. 콜 옵션을 사는 경우는 주가가 행사가격 이상으로 상승할 것이라 판단한 경우이다. 콜 옵션을 파는 것은 주가가 행사가격 이상으로 상승하지는 않을 것으로 판단한 때이다. 콜 옵션을 팔았을 때는 판 사람은 팔 때 약정된 대금을 받는다. 만일 예상대로 주식가격이 하락했다면, 콜 옵션을 판 사람은 판매수익이 이익이다. 그러나 반대로 주식 가격이 상승 하면, 콜옵션을 산 사람은 콜옵션을 행사하게 되고, 주식가격과 행사가격 차이가 손실로 처리된다. 4. Long Put 롱 풋은 보유주식이 가격이 하락할 것이라 믿어지면 취할 수 있는 포지션이다. 보유하지 않은 주식을 빌리는 경우에는 보증금이라 할 수 있는 돈이 필요한데, 이것을 마진(margine) 이라 한다. 예를 들어 마진은 주식가격의 50%로 설정했을 때 주식가격의 등락으로 최초 설정 금액이 바뀐 주식가격을 50%보다 작아지면, 돈을 더 채워 넣으라는 요구를 받는데, 이것이 끔찍한 마진 콜(margin call)이다. 롱 풋 포지션은 마진(margin requirement)가 없다. 예를 들어 XY Z 주식을 50에 팔기로 풋 옵션 계약을 했는데, 다행이 만기 때 주식가격이 40이라면, 투자자는 시장에서 40에 주식을 사서 50에 팔아 즉시 0을 남기는 형태다. 실제 로를 거래소에서 정리하기 때문에 번거롭게 주식을 사고, 다음에 팔 필요도 없다. 그런데 주식이 60 했다면, 그냥 풋 옵션을 행사하지 않으면 된다. 때문에 위험을 투자금 전체를 날 리는 것이 최대 위험인 되는 제한적인 위험이다. 풋 옵션을 사는 경우는 주가가 행사가격 아래로 떨어질 것이라 판단될 때이다. 5. Short Put 주식가격이 상승할 것이라 생각되면, 풋옵션을 파는 방법이 있다. 예를 들어 지금 주식 가격이 50인데, 3개월 뒤에 주식사격이 200이 되리라 예상된다면, 행사가격 70짜리 풋

14 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 42 옵션을 팔 수 있다. 풋 옵션을 파는 사람(writer)는 주식을 매입하는 포지션 만큼이나 손 실을 볼 수 있다. 그러나 풋 옵션을 팔어 얻는 이득이란 주식가격이 올라가 풋 옵션을 산 사람이 옵션을 행사하지 않을 때이므로, 제한적이다. 그런데 예상과는 반대로 주 가격이 떨어져 풋 옵션을 산 사람이 옵션을 행사하면, 예를 들어 주식이 떨어져 시장 가격이 00 이 되었다면, 풋 옵션을 판 사람은 이것을 계약한 70에 사야하는 형국이라 주당 70을 손 해보개 된다. 이런 상황이 생길 때 계약을 이행되지 못하는 경우를 대비해 마진(margin)를 설정한다. 예상대로 주식가격이 200이 되었다면, 풋옵션을 사간 사람은 풋옵션을 행사하 지 않는다. 풋오션을 판 사람은 판매대금이 수익이 된다. 제 3.4 절 옵션에서 자주 사용되는 용어 옵션에서는 다음 용어가 자주 쓰인다.. 현재 주식 가격 S0 2. 행사가격(exercise price, strike price) K 3. 만기 때까지 기간( The time to expiration ) T 4. 주식가격의 변동성( The volatility of the stock price ) σ 5. 위험이 없는 이자율(The risk-free interest rate ) r 6. 예정된 배당금( The dividends that are expected to be paid). 주식가격, 행사가격( Stock price and Strike price) 콜 옵션을 행사하는 경우는 ST ( 만기때 가격) 가 K 보다 큰 경우이다. 이익은 ST K이다. 때문에 주식이 오르면 오를 수로 이득이 크다. 풋 옵션의 경우는 행사가격 K가 ST 보나 낮을 때 이득이 있다. 왜냐하면 시가보다 싼 것을 비싸게 파는 것에 해당하기 때문이다. 이득은 K ST 이다. 콜 옵션, 풋 옵션을 산 사람은 위험(risk)은 제한 적이다. 살 때 들어 간 돈 다 날리는 것이 최대 손실인데, 이것은 주식을 직접 산 비용보다는 훨씬 적다. 예를 들어 현재 주식 가격이 27.39라 하자. 옵션 계약 건이 주식 00개를 단위로 한다면 모 두 = 2379가 걸려있다. 만일 행사가격이 27.50인 콜 옵션 가격이.23이라 하면 = 23인데, 23정도의 작은 돈으로 2379라는 큰 돈을 들었다 놨다 한다 생각하면, 실제금액의 투자금에 대한 비율이 = 이 되는데, 이 값을 레버리지 (leverage)라 한다. 당연히 위험이 크면 클 수록 레베리지가 큰 것은 당연한 일이다. 2. 만기 때까지 시간(Time to expration ) 옵션 중에서 기간 내에 어느 때이건 유리할 때 행사할 수 있는 옵션은 아메리칸(American) 이라 하고, 오로지 만기 때만 행사할 수 있는 옵션을 유러피언(European)이라 한다. 당연 히 계산은 유러피언이 편하지만, 투자자 쪽에서 보면 행사할 기회가 더 많은 아메리칸이 더 유리하다. 따라서 콜 옵션이건 풋 옵션이건 아메리칸이 더 가치가 있다. 오로지 기간만 다르고 나머지가 같은 아메리칸 옵션이라면 기간이 긴 것이 더 가치가 있다. 일반적으로

15 3.4 옵션에서 자주 사용되는 용어 43 오로지 기간만 다르고 나머지가 같은 유러피언 옵션도 기간이 긴 것이 더 가치가 있다. 그 렇지만 중간에 큰 배당금이 지급 예정이라면 꼭 그렇지도 않겠다. 기간만 다른 유러피언 콜 옵션이 있다 하자. 기간 내에 큰 배당금이 지급되고, 다른 하나는 배당금 지급이 없다 하 자. 배당금이 지급되면 회사에서 큰 돈이 지출된 것이므로, 주식가격이 하락한다. 따라서 배당금이 지급되기 전이 주식가치가 더 있다. 이런 경우에는 기간 내에 배당금이 아직 지 급되지 않는 기간이 짧은 콜 옵션이 더 가치가 있다. 배당급 정보가 반영되어 주식가격이 상승할 기회가 있고, 콜 옵션은 주식 가격이 상승하면 이익이기 때문이다. 3. 변동성(Volatility ) 주식의 volatility란 주식 가격이 앞으로 어떻게 변할지 알 수 없는 정도이다. Volatility가 커 진다는 것은 가격이 크게 상승할 수도 있고, 반대로 가격이 아주 하락할 수도 있다. 주식을 보유하고 있는 사람은 장기적으로 보면 상승.하락이 서로 상쇄하는 효과가 있다. 그러나 콜 옵션, 풀 옵션을 갖고 있는 사람에게는 전혀 그렇지 않다. 가격 변화로 크게 이득을 보는 경우도 있고, 아주 큰 손실을 보는 수도 있다. 왜냐 하면 모든 것이 옵션 만기 기간 내에 어떻게 변화하는 가에 달려 있기 때문이다. 옵션 기간은 끝나면 옵션은 아무 역할도 할 수 없이 그냥 끝이기 때문이다. 그런데 변동성이 없으면 옵션으로 돈을 벌 기회도 없다. 지금 가격도 00, 3개월 뒤 가격도 그대로 00이 확실하다면, 누가 3개월 뒤에 05에 살 권리를 주는 곳에 투자하겠나. 때문에 변동성이 커야 돈을 벌 기회가 있다. 이런 이유로 변동성이 큰 주식은 옵션 가격도 높다. 4. 위험 없는 이자율 (Risk-free interest rate) 이것은 확실하게 확정된 이율이다. 일반적으로 risk-free interest rate가 상승하면, 투자자 가 주식 같은 위험 자산에 투자해서 얻는 기대 수익율도 높아진다. 왜냐하면 아무런 위험 없이 0%를 벌 수 있고, 위험을 감수 하면서 0%를 벌 수 있는 기회가 있다면, 위험을 감수하면서 0%를 버는 곳에 투자하는 사람은 거의 없다. 따라서 주식 투자로 벌 수 있는 기대 수익율은 risk-free interest rate보다는 높게 잡는다. 여기에 옵션을 행사해서 수익을 낼 수 있다 하다라도 risk-free interest rate가 높아지만, 수익의 현재가격은 낮아진다. 이런 두 요소가 복합적인 작용이 옵션 가격에 영향을 준다. 또 이자율이 상승하면, 주식 가격은 기대 수익율이 높아지는 추세 때문에 하락한다. 이자율이 떨어지면 반대로 주식으로 돈을 벌 생각을 하기 때문에 주식가격이 상승하는 경향이 있다. 보통 이자율이 상승과,주식가격 하락 현상이 콜 옵션 가격을 떨어뜨린다. 왜냐하면 콜 옵션은 주식가격이 상승해야 이득 을 보는 구조이기 때문이다. 반대로 풋 옵션 가격은 올린다. 왜냐하면 풋 옵션은 가격이 떨어져야 이득을 보는 구조이기 때문이다. 5. 예상 배당금( Amount of Future Dividends) 배당금(dividend)은 주주에게 주당 지급되는 회사 수익이다. 때문에 배당금이 지급되면 회사 자산이 줄어든다. 이런 이유로 배당금이 지급 되기 전 주가와 배당금이 지금 된 후의 주가는 다르다. 당연히 큰 배당금이 지급되면 주가는 떨어진다. 따라서 옵션 기간 내에 배당금이 지금된다면 콜 옵션의 경우는 좋지 않은 일이고, 풋 옵션의 경우는 좋은 일이다. 때문에 콜 옵션 가격은 떨어지고, 풋 옵션 가격은 오른다. 배당금을 지급할지 지급하지

16 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 44 않을지는 미리 확정적으로 정해진 것이 아니기 때문에, 옵션으로 손해를 볼 수도 있고, 이익을 볼 수도 있다. 제 3.5 절 옵션 가격 옵션을 설명할 때 통상적으로 사용되는 기호 S0 : 현재 주식 가격 K : 행사 가격(strike price) T : 옵션 유효기간: Time to expiration of option ST : 옵션 만기일 주식 가격 δ = ln( + i): 기간 T 동안의 이자율(연속으로 계산) C: American Call option 가격 P : American put option 가격 c: European Call option 가격 p : European Put option 가격 옵션은 크게 두 종류로 나뉘는데, 하나는 콜 옵션, 다른 하나는 풋 옵션이다. 모든 것을 자 신을 중심으로 생각하자. 내가 콜 옵션(call option)을 살 수도 있고, 콜 옵션을 팔 수도 있다. 콜 옵션을 산 경우는 내 돈이 들어가고, 돈을 들이는 이유는 주식을 살 권리를 얻기 위함이다. 이 권리는 자신에게 유리하게 쓰는 것이기 때문에, 불리하면( 예를 들어 시장가격보다 비싸게 사는 경우가 되면) 행사하지 않는다. 유리하면 (시장가격보다 싼 값에 살 수 있는 경우) 권리를 행사한다. 때문에 콜 옵션을 산 경우에는 돈을 들인 만큼 내게 유리한 쪽으로 일을 진행시킬 여 지가 있다. 그러나 내가 콜 옵션을 다른 사람에게 판 경우에는, 나는 상대에게 상대가 옵션 기간 내에 원하면, 미리 약정한 가격에 주식을 넘겨야 한다. 내가 얻은 이익은 콜 옵션을 판매대금 밖에 없고, 유일한 희망은 주식 값이 미리 약정한 값보다 떨어져, 상대가 나에게 시장가격보다 비싸게 살 이유가 없어지는 것이다. 정리하면 콜 옵션을 산 경우에는 내가 능동적인 역할을 하 는 것이고, 콜 옵션을 판 경에는 내는 실제로는 상대에게 권리를 판 것이므로, 유일한 희망은 상대가 옵션을 행사할 필요가 없도록 주식 가격이 떨어지는 것 뿐이다.. 옵션 가격의 상한: 콜 옵션의 경우 주식 XY Z의 옵션가격은 현재 XY Z의 가격 S0 보다 클 수는 없다. 예를 들어 아메리칸 콜 옵션을 생각하자. 아메리칸 옵션이므로 기간 내에 언제든 옵션을 행사할 수 있다. 때문에 옵션가격이 c0 > S0 라면, 주식 가격에 비해 콜 가격이 좋은 것이다. 따라서 콜을 팔고, 혹시 상대가 콜을 행사할 것에 대비하여 주식을 확보하는 것이 좋다.. 지금 해야 할 일:

17 3.5 옵션 가격 45 지금 콜 옵션을 하나 팔아 c0 를 얻는다. 콜 옵션을 팔았기 때문에 나는 상대가 옵션을 행사하는 경우 K를 받고 주식을 넘겨줄 책임이 있다. 이 책임을 해소하기 위해서 c0 중에서 S0 를 들여 주식이 하나 산다. 남은 돈은 c0 S0 이다. 이것은 기간 T 동안 투자한다.. 만기 T 가 되면 상대가 옵션을 행사하지 않으면 내게 남은 것은 돈 (c0 S0 )eδ T, 주식 장 상대가 옵션을 행사하면 돈 (c0 S0 )eδ T, 주식을 넘겨주고 받은 K 어떤 경우에도 공돈을 벌 수 있는 구조이므로, 이런 일이 일어나지 않게 하려면 c0 S0 가 되어야 한다. 풋 옵션의 경우 p0 K가 되어야 한다. 만일 p0 > K 라면, 풋 옵션의 가격이 행사가격에 비해 높은 것이다. 따라서 풋을 팔고, 상대가 풋을 행사할 것에 대비하여 자금 K를 마련하는 방식이 좋다.. 지금 해야 할 일: 풋 옵션을 하나 p0 에 판다. p0 > K인 것에 주의하자. 이돈을 이자의 세기 δ 로 투자하 자. 옵션을 팔았기 때문에 옵션을 이행할 책임이 있다. 그 책임은 상대가 옵션을 행사하면 내가 주식을 K에 사주는 것이다. 옵션 기간에 있는 t, t T 에 내게서 풋 옵션을 사간 사람이 옵션을 행사하면 투자금을 찾는다. 이 투자금은 p0 eδt. 여기서 K를 주고, 상대가 내게 요구하는 주식을 산다. 것 으로 나의 옵션 이행의무는 해소된다. 이렇게 하면 나에 옵션 이행 의무는 해소되고, 남는 것은 p0 eδt K > 0. 옵션 기간 내에 상대가 옵션을 행사하지 않으면, 나의 옵션 의무는 기간만료와 동시에 해소되고, 내게 남는 것은 p0 eδ T. 이것을 다음 식으로 간단하게 정리하자. 콜 옵션과 풋 옵션 가격의 상한은 c0 S0, p0 K (3.3) 2. 옵션 가격의 하한 유러피언 콜 옵션 옵션이 가치가 있는 것이라면 가격이 0이라는 것은 있을 수 없다. 옵션 가격이 c0 > 0라 하자. 지금 c0 S0 인 것은 알고 있다. 이 옵션을 사려면 돈이 c0 가 든다. 이 돈마져 들이지 않고, 돈을 벌 수 있는 기회가 있을가? 옵션 가격 c0 가 S0 > c0 + Ke δ T 라 하자. 이것은 주 식 가격에 비하여 행사가격 K와 옵션 가격 c0 가 낮은 경우다. 이런 경우에는 주식을 팔고,

18 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 46 옵션을 사는 것이 좋은 방법이다. 지금 해야 할 일: 주식 개를 팔아 S0 를 받고 판다. 주식을 팔았기 때문에 나중에 이것을 보충할 생각을 해야 한다. 판 주식을 채워넣기 의햐여 c0 를 주고 콜 옵션을 개 산다. 나머지 S0 c0 는 투자한다. 만기 T 가 되면 ST K이면 옵션은 쓸모 없게 되었다. 그런데 투자금의 원리합계는 (S0 c0 )eδ T > (Ke δ T )eδ T = K 이므로, 시장에서 ST 를 주고 주를 사들인다. 그러고도 남은 돈은 (S0 c0 )eδ T ST > K ST > 0이다. ST > K이면 콜 옵션을 행사한다. 투자금의 원리함계금 (S0 c0 )eδ T > K이므로 K를 주고 주를 사들이괴, 남은 돈은 (S0 c0 )eδ T K > 0이다. 어떤 경우에도 공돈이 생기기 때문에, 옵션가격 c0 는 c0 S0 Ke δ T (3.4) 가 성립해야 한다. 그런데 가격이 음수가 될 수는 없기 때문에 더 형식적으로 표현하면 c0 max{s0 Ke δ T, 0} (3.5) 보기 3.4 유러피언 콜 옵션을 생각하자. S0 = 5, K = 50, T = 0.5, δ = 0.2. 이 옵션의 하한가는? 풀이 유러피언 풋 옵션의 하한가 풋 옵션을 샀을 때, 쓸모 없이 되는 경우는 주식 가격 ST 가 이 행사가격 K 보다 높아지는 경우다. 이런 경우 더 낮은 가격 K에 팔 이유가 없다. 손실은 풋옵션을 살 때 들어간 비용이 다. 풋 옵션을 산 것이 다행인 때는 ST < K인 경우다. 더 중요한 것은 풋 옵션을 행사하려면 주식이 있어야 한다. 이 문제가 문제가 되지 않는 경우는 풋 옵션 가격이 낮고, 행사가 K 는 높아서 (S0 + p0 )eδ T < K (3.6) 가 성립하는 경우다. 이런 경우에는 S0 + p0 를 대출하더라고, T 후에 행사가 K로 대출금을 갚고도 남는다. 따라서 식 (3.6)이 성립한다면 지금 해야 할 일: S0 + p0 를 대출하여 주식 개를 사고,

19 3.5 옵션 가격 47 풋 옵션 개를 산다. 만기 T 가 되었을 때 ST K이며 옵션을 행사하지 않고, 보유한 주식을 시장에 시가 ST 로 판다. 갚아야 할 대출금은 (S0 + p0 )eδ T 이지만 K 보다 작다. 따라서 ST 보다도 작다. 대출금을 값고 ST (S0 + p0 )eδ T 가 남는다. ST < K이면, 옵션을 행사하여 보유 주식 개를 K에 판다. 갚아야 할 대출금은 (S0 + p0 )eδ T 로 K 보다 작기 때문에 ST K인 경우보다는 작지만, K (S0 + p0 )eδ T 만큼 수익이 난다. 따라서 유러피언 풋옵션의 경우 옵션가격 p0 는 (S0 + p0 )eδ T < K p0 Ke δ T S0 (3.7) 가 성립해야 한다. 그런데 p0 가 음수는 될 수 없기 때문에 형식적으로 표현하면 p0 max{ke δ T S0, 0} (3.8) 보기 3.5 유러피언 풋 옵션을 생각하자. S0 = 38, K = 40, T = 0.25, δ = 0.0이다, p의 하한가는 얼마인 가? 풀이 Put-Call Parity 유러피언 옵션을 생각하자. 포트폴리오 A: 만기 T 에 행사가 K인 유러피언 콜 옵션 개, 만기 T 에 K를 보장하는 채권 개 포트폴리오 B : 만기 T 에 행사가가 K의 유러피언 풋 옵션 개, 해당 주식 개 두 포트폴리오 A, B의 만기 T 일 때 가치를 계산해보자. ST > K 인 경우: A 의 경우는 옵션을 행사해야 한다. 이득은 옵션을 행사해서 ST K, 채권으로 K. (ST K) + K = ST B의 경우는 옵션을 행사할 이유가 없다. 이득은 주식 가격 상승으로 ST ST K인 경우: A 의 경우는 옵션을 행사할 이유가 없다. 채권으로 K.

20 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 48 B의 경우는 옵션을 행사해야 한다, 이득은 옵션을 행사해서 K ST, 주식 가격 ST, (K ST ) + ST = K 어떤 경우에도 두 포트폴리오의 가치가 같다. 이 가치를 간단히 표시하면 max{st, K} 따라서 두 포트폴리오의 현재가격이 같아야 한다. 이것을 식을 표현하면 c + Ke δ T = p + S0 (3.9) 이 식 (3.2)을 콜-풋 패러티(call-put parity)라 한다. 요약 3.2 [콜-풋 패러티(call-put parity)] 같은 주식에 대한 행사가격 K, 콜 옵션 가격 ct 와 풋 옵션가격 pt 는 위험부담이 없는 이자의 세기를 δ 라 하면 ct + Ke δ T = pt + St (3.20) 이것을 Call-Put Parity라 한다. 보기 3.6 어떤 주식에 대한, 만기 행사가격이 K인 콜 옵션 가격을 c라하고, 만기 행사가격이 K인 풋옵션 가격 을 p라 하자. c + Ke δ T < p + S0 인 경우 어떤 일이 생길 수 있는가?. 풀이 3.6 지금 행사가격이 K인 콜옵션와 주식을 갖고 있는 사람은 이것을 처분하여 자금 p + S0 를 확보한 다. 이 중에서 c + Ke δ T 를 써 행사각격이 K이고, 만기에 K를 지급하는 순수할인채를 구입한다. 나머지 자금 (p + S0 ) (c + Ke δ T )는 이자의 세기 δ 로 투자한다. 만기에는 다음 일이 일어날 수 있다.. ST K인 경우: 이 경우에는 콜옵션을 행사하여 해당 주식을 확보한다. 주식가격 ST 와 행사가격 K와의 차이 ST K 는 수입이다. 정리하면 만기에 주식 eδ T (ST K) + (p + S0 ) (c + Ke δ T ) 를 확보하게 된다. 아무일을 하지 않았다면, 주식가격 ST 가 행사가격 K보다 높기 때문에 풋옵션을 무용지물이 됐고, 주식만 갖고 있게 된다. 2. ST < K인 경우: 이 경우는 행사가격 K가 주식가격 ST 보다 작기 때문메 콜옵션을 행사할 이유가 없다. 대신에 구매한 수순할인채를 팔아 K를 얻는다. 투자한 자금 (p + S0 ) (c + Ke δ T )는 기간 T 가 흐른 후, (p + S0 ) (c + Ke δ T ) eδ T 로 자랐다. 주식은 없다. 만일 아무 일도 하지 않았다면, 행사가격 K가 주식가격 ST 보다 높기 때문에 풋옵션을 행사하여 K를 얻는다. 이제 주식은 없다.

21 3.6 옵션을 이용한 투자모형 49 지금 풋옵션과 그 풋옵션에 해당하는 주식을 갖고 있는 사람은, 만기 주식가격 ST 가 어떻게 되더라도, 이런 방식으로 아무런 일을 하지 않을 때보다 항상 위험부담이 없는 확정적인 수익을 낼 수 있다 제 3.6 절 옵션을 이용한 투자모형 유러피언 옵션을 이용한 투자모형을 알아보자. 먼저 상황은 (-) 콜 옵션을 살 때, (-2) 콜 옵션을 팔 때, (2-) 풋 옵션을 살 때, (2-2) 풋 옵션을 팔 때 모두 4가지를 생각해야 한다. 먼저 콜 옵션의 사는 경우와, 파는 경우 수익 함수를 생각해 보자. 행사가격 K = 30, 콜 가격 c0 = 3, 풋 가격 p0 = 이라 가정해보자. 이익은 다음 표로 표시된다. 표 3.4: 콜을 살 때와 팔 때의 ST 에 따른 이익 ST ST K = 30 K = 30 < ST long call, K = 30 이익 0 ST K 이익 -3 (ST K) 3 = ST 33 short call, K = 30 이익 0 이익 3 (ST K) (ST K) + 3 = ST + 33 표 3.4을 보면 콜을 살 때의 이익을 나타내는 함수와, 콜을 팔 때의 이익을 나타내는 함수를 따로 만들 필요가 없고, 사는 것만 만들고, 파는 경우는 를 곱해서 사용하면 되는 것을 알 수 있다. 풋 옵션의 경우를 생각하면 표 3.5: 풋을 살 때와 팔 때의 ST 에 따른 이익 ST ST K = 30 K = 30 < ST long put, K = 30 이익 K ST 0 이익 (K ST ) = ST + 29 short put, K = 30 이익 (K ST ) 0 이익 (K ST ) + = ST 29 표 3.5을 보면 풋을 살 때의 이익을 나타내는 함수와, 풋을 팔 때의 이익을 나타내는 함수 를 따로 만들 필요가 없고, 사는 것만 만들고, 파는 경우는 를 곱해서 사용하면 되는 것을 알 수 있다. 그러나 콜 함수와 풋 함수는 따로 만들어야 한다. 먼저 콜 함수를 만들어보자. 필요한 자료는 만기시 주가 ST, 행사가격 K, 콜 가격 c. 모두 3개의 자료가 필요하다. 즉 콜 옵션의 이익을 계산하는 함수는 3변수 함수이다. 이 함수의 이름은 마음대로 질 수 있는데, 여기서는 optvacall이라 짖자. 구글 에서 Python3 노트북을 열자.

22 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 import numpy as np import matplotlib def as mt optvacall(st, K, pri): ans= max(st-k, 0) ans=ans-pri return ans K=95 c=7 numdiv=000 stval= np.linspace(30, 20, numdiv) optv=[ optvacall(x, K, c) for x in stval ] mt.pyplot.plot(stval, optv)... 모든 것이 잘 되었다면 다음 그림이 보여야 한다. 주식시장이 상승세라 판단됐다 하자. 이런 경우에 다음 투자 방식을 생각해보자. 우선 행사 가격 K, K2 가 다른 두 개의 콜 옵션을 보자. 모두다 주식시장이 상승세라 판단했다면, 주식을 이미 갖고 있는 사람은 더 오를 때까지 기다리겠고, 주식이 없은 사람은 상승세에 있는 주식 을 사려 할 것이다. 수요보다 공급이 부족하기 때문에 주식가격은 상승하리라 기대된다. 콜 옵션의 경우에도 낮은 행사가격에 사려는 사람은 많고, 팔려는 사람은 적으니 콜 옵션을 사는

23 3.6 옵션을 이용한 투자모형 5 가격은 오르리라 기대된다. 옵션기간은 T 로 맞추고, 행사가격 K < K2 라 하자. 행사가격이 K 인 콜 옵션을 가격 c 에 하나 산다. 위험은 콜 옵션을 살 때 들어간 비용을 다 날리는 것이다. 콜 옵션을 파는 경우는 아주 조심해야 한다. 왜냐하면 콜 옵션을 파는 것은 주가가 미리 정해둔 가격을 넘어서지 않을 것이라 생각하기 때문인데, 만일 주가가 이 가격을 넘어서면, 상 대는 콜을 행사하게 되고, 따라서 아주 큰 손실을 보게 되기 때문이다. 때문에 콜 옵션을 파는 경우는 주식 확보 방안을 생각해야 하는데, 지금처럼 행사가격이 더 낮은 콜 옵션을 사는 것은 아주 효과적인 방법이다. 이런 이유로 주가가 K2 를 넘어서지는 않을 것이라 판단되면 행사가 격이 K2 인 콜 옵션을 하나 판다. 행사가격 K2 인 콜 옵션이 가격이 낮다. 왜냐하면 콜 옵션의 경우 행사가격이 높으면 높을수록 그 옵션을 행사할 기회가 적어지기 때문이다. 이렇게 하면 만기일 T 에 주식가격 ST 에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. K 콜 가격을 c, K2 콜 가격을 c2 라 하자. 표 3.6: 콜 옵션을 살 때, 팔 때의 수익 ST ST K K < ST K2 ST > K2 long call, K 이익 0 ST K ST 30 순 이익 c (ST K ) c (ST K ) c short call, K2 이익 0 순 이익 c2 총 이익 (ST 35) 0 c2 (ST K2 ) + c2 c + c2 (ST K ) c + c2 K2 K c + c2 예를 들어 K = 5, c = 3, K2 = 9, c2 = 0.5인 경우, 위 표를 그림으로 그려보면 보기 3.7 다음 상황을 그래프로 그려보아라. 행사가격 K = 30 인 3개월 만기 유러피언 콜 옵션을 가격 c = 3 에 사고, 행사가격 K2 = 35인 유러피언 콜 옵션을 c2 = 에 팔았다. 만기 때 주가 ST 에 대한 수익 그래프를 그려보자. 풀이 3.7 이 투자 방법은 주식가격이 30이상 상승하리라 생각하지만, 35이상 상승할 것 같지는 않다 생각했을 때 시도한다. 이익의 그래프를 보면, 손실도 줄이고, 대신에 이익도 제한된다.

24 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 52 ST 의 변화에 따른 표를 만들자. 비용을 생각하다. 표에서 총 이익은 두 개의 콜 옵션의 이익을 합한 것이다. ST ST 30 K < ST K2 ST > K2 long call, K = 30 에서 이 0 ST 30 ST 30 short call, K2 = 35 에석 이익 총 이익 0 0 (ST 35) 3 + = 2 ST = ST = 3 이것을 그래프로 그리면 보기 3.8 다음 상황을 그래프로 그려보아라. 행사가격 K = 30 인 3개월 만기 유러피언 콜 옵션을 가격 c = 3 에 팔고, 행사가격 K2 = 35인 유러피언 콜 옵션을 c2 = 에 샀다. 만기 때 주가 ST 에 대한 수익 그래프를 그려 보자. 풀이 3.8 겉으로 보면 보기 3.7을 거꾸로 한 포지션이다. 콜 옵션을 판다는 것은 그것을 사간 사람이 콜 옵션을 행사하는 경우를 생각해야 한다. 때문에 콜 옵션을 행사할 기회가 없기를, 즉 주식 가격이 30이하로 떨어질 것을 기대하고 파는 것이다. 그런데 지금 상황은 더 높은 행사가격의 콜 옵션을 하나 샀다. 콜 옵션을 산다는 것은 주시 가격이 행사가격 이상으로 오를 것을 예상하는 것이다. 때문에 지금처럼 주식 가격이 30이하로 떨 어질 것을 기대하고, 동시에 주식가격이 35 이상으로 오를 것을 기대하는 상황은 도저히 이해할 수 없는 비 정상적인 포지션이다. ST 의 변화에 따른 표를 만들자. 비용을 생각하다. 표에서 총 이익은 두 개의 콜 옵션의 이익을 합한 것이다. 표 3.7: ST 와 수익 ST ST 30 K < ST K2 ST > K2 long call, K = 30 에서 이 0 (ST 30) (ST 30) short call, K2 = 35 에석 이익 0 총 이익 이것을 그래프로 그리면 0 ST 35 3 = 2 ST = 32 ST = 3

25 3.6 옵션을 이용한 투자모형 53 주식가격이 30 이하로 떨어져야 겨우 콜 사고 팔아 생긴 수입 뿐이고, 30 이상으로 올라가도 콜을 사서 생긴 이익이 없고, 오히려 손실이 발생한다 원금 손실이 없는 투자모형: 원금 손실 없는 투자 모형을 설명하기 위해서 먼저 채권(bond)을 간단히 설명하자. 채권이 란 돈을 빌리는 자가 미리 정한 날자에 원금과 이자를 지불하기로 한 계약이다. 채권은 국가, 회사, 지방정부 등 여러 곳에서 발행할 수 있다. Par Value(Face Value, 액면가 ) Coupon Interest Rate 예를 들어 액면가 000 인 채권을 발행하면서, 매년 00을 이자로 지불하고, 만기가 되는 때는 이자 00+원금 000을 상환하기로 했다면 = 0%를 Coupon interest rate(간단히 coupon rate, 쿠폰금리)라 한다. 어떤 채권은 쿠폰을 발행하지 않고, 가격을 할인하여 판매한다. 예를 들어 액면가 000을 800에 파는 방식이다. 만기가되면 000을 준다. 이런 채권을 zero coupon bond[ 제로쿠폰 채권(ZCB) ]라 한다. 채권 가격. 쿠폰을 제공하는 경우. 만기가 n년, 매년 쿠폰 C을 제공하고, 만기에 M을 주는 채권의 가격은, 년이자율을 i, ν = +i 라 두면 C(ν + ν ν n ) + Mν n = C ν ν n+ νn + Mν n = C + Mν n ν i (3.2) 이것을 간다하게 표현하면 Ca n,i + Mν n 2. 쿠폰을 제공하지 않는 경우 액면가를 할인(discount)해서 판다. 할인율 d는 ( + i)( d) = 을 만족시키는 값이다. 이자율이 i이고, 액면가 M, 기간 n인 할인채(discount bound, ZCB) 가격은

26 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 54 M( d)n = Mν n = Me nδ, δ = ln( + i) (3.22) 그러면 원금 손실이 없는 투자 모형을 만들 수 있는가? 예를 들어 000을 3년간 투자한다 하자. 이자율을 연 6%라 하자, 3년 뒤에 000을 주는 채권의 현재가격은 부수적인 비용을 빼 면 000e 3δ, δ = ln( )이 적절하다. 지금 경우는 000e 3δ 이 채권을 사면 이자로 60.38를 버든 것이다. 3년 뒤에 고객에게 원금을 돌려주는 방법은 를 주고 3 년만기 액면가 000인 할인채를 산다. 남은 돈 60.38으로 할 수 있는 일은 무엇인가? 만일 행사가격이 000인 주식과 같은 위험자산의 콜 옵션가격이 60.38보다 작다 하자. 예를 들어 50. 그렇다면 50을 들어 콜 옵션을 개 산다. 나머지 0.38은 자신의 수입으로 잡는다. 3년 뒤에 두 가지 경우가 생긴다. 콜 옵션의 기초자산(underlying security) 가격 ST 가 행사가 000을 넘는 경우. 사둔 채권으로 000을 받아 콜 옵션을 행사하여 시가 ST 를 000을 주고 사서 고객 에게 준다. 이렇게 하면 고객의 입장에서는 ST = (ST 000)이므로, 원금을 보존 하고, ST 000을 더 벌은 것이다. 콜 옵션의 기초자산 가격 ST 가 행사가 000 보다 낮은 경우. 이때는 콜 옵션을 행사할 이유가 없다. 그렇지만 사둔 채권으로 000을 회수하여 고객에게 준다. 이 경우 고객을 최소한 원금 손실은 없다. 이 방식은 은행 같은 곳에서 쓸 수 있다.수입은 지금 경우처럼 콜 옵션 가격을 C라 할 때, C 와 M Me δ T = M( e δ T ) = M( ν T ) 의 차이가 수입이 된다. 제 3.7 절 옵션 가격 Binomial Model(Single-Period Binomal Model) 다른 조건이 같다면 콜옵션은 행사가격 K가 낮을 수로 비싸다. 왜냐하면 만기에 주식가격 ST 가 행사가격보다 높아질 가능성이 더 커지기 때문이다. 이 조건이 만족되지 않으면, 위험부 담 없이 수익을 낼 수 있다. 다음 보기를 보자. 보기 3.9 다음과 같은 가상의 옵션이 있다. 어떤 문제가 생길 수 있나? 표 3.8: 행사가격이 낮은 콜옵션이 싼 잘못된 가격 만기 행사가격 옵션가격 Call A 6 개월 Call B 6 개월 95 5 풀이 3.9 Call A 를 팔고, 받은 금액 20으로 Call B를 산다. 이 과정에서 수익 5가 발생한다. 다시 Call를 사는 이유는, 자신에게서 콜을 산 사람이 만기에 콜 옵션을 행사할 것에 대비하기 위한 것이다. 만기 상황을 보자.. ST 00인 경우. 이 경우는 콜을 사간 사람이 콜 옵션을 행사한다. 즉 콜 판매자는 가격 ST 짜리 주식에 00에 팔아야 한다.

27 3.7 옵션 가격 Binomial Model(Single-Period Binomal Model) 55 이 문제는 미리 사둔 95-콜을 행사하여 ST 짜리를 95에 사고, 이것을 00에 팔면된다. 이 관정에서 다시 5 의 수익이 발생한다. 2. ST < 00인 경우 자신에게서 콜을 사간 사람은 콜을 행사할 이유가 없다, 만일 자신에 사둔 95-콜을 행사할 수 있으면, 이 과정에서 ST 95의 수익이 발생한다. ST < 95가 되면 자신이 사둔 95-콜도 무용지물이 되지만, 그렇다고 하더라도 00-콜 가격과 95-콜 가격의 차이 5는 자신의 수익이 된다. 따라서 어떤 경우가 되더라도 위험부담이 없는 확정적인 수입을 내는 상황이 발생하기 때문에, 이러한 가격은 있을 수 없다 똑 같은 이유로 풋 옵션의 경우는 행가사격이 높을 수록 옵션가격이 비싸야 한다. 만기가 같다면 콜옵션 가격차는 행사가격 차보다 커서는 않된다. 보기 3.0 다음과 같은 가상의 옵션이 있다. 어떤 문제가 생길 수 있나? 표 3.9: 행사가격 차보다 옵션가격 차가 큰 잘못된 가격 만기 행사가격 옵션가격 Call A 6 개월 Call B 6 개월 00 4 풀이 3.0 Call A를 팔고 얻은 판매대금 20으로 00-콜을 4에 산다. 이 관정에서 6의 수익이 발생한다. 다시 콜을 산 것은 자신에게서 콜을 산 사람이 콜을 행사할 것에 대비하기 위한 것이다. 이제 만기 상황을 보자.. ST 95인 경우. 이 경우는 95-콜을 사간 사람이 콜 옵션을 행사한다. 즉 콜 판매자는 가격 ST 짜리 주식에 95에 팔아야 한다. 그러나 ST 00이면, 자신이 갖고 있는 00-콜을 행사하여 00을 주고 주식을 사고, 이것을 95-콜을 사간 사람에게 95에 판다. 전체적으로 수익은 = 이다. 95 ST < 00인 경우는, 자신이 보유하고 있는 00-콜은 쓸모가 없을 끝난다. 시장에서 ST 를 주고 주식을 사서, 이것을 95에 팔하야 한다. 전체적으로 수익은 ST >. 따라서 어떤 경우가 되더라도 위험부담이 없는 확정적인 수입을 내는 상황이 발생하기 때문에, 이러한 가격은 있을 수 없다 이런 조건을 같은 주식에 대한 두 개의 Americal 풋 옵션의 경우에도 성립한다. 즉 두 풋 옵션의 가격 차이는 행사가격의 차이보다 커서는 않된다. 식으로 표시하면 행사가격이 K 이 풋 옵션의 가격이 P, 행사격이 K2 인 풋 옵션의 가격이 K2 라면 P P2 K K2. 콜옵션 가격은 0 t < T 일 때 St Ke δ (T t) 보다 작아서는 않된다. 보기 3. 어떤 콜 옵션 가격 ct 가 0 t < T 인 어떤 때 t에 ct < St Ke δ (T t) 가 되었다 하자. 어떤 문제가 생길수 있는가? 여기서 δ 는 위험부담이 없는 년 이자의 세기이다.

28 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 56 풀이 3. 만일 어떤 순간 t, 0 < t < T 에 이런 일이 발생했다 하자. 그러면 주식을 St 에 팔고, Ke δ (T t) 를 위 험부담이 없는 이자의 세기(force of interest) δ 로 T t동안 투자한다, 나머지 St Ke δ (T t) 중에서 ct 를 주고, 행사가격 K, 만기 T 인 콜 옵션을 산다. 남은 돈은 St Ke δ (T t) ct > 0이다. 만기 상황를 보자.. ST K인 경우는 콜 옵션을 행사하여 ST K의 수익을 낼 수있다. 사둔 채권을 팔아 K을 얻는다. 전체적으 로는 (ST K) + K + St Ke δ (T t) ct eδ (T t) = ST + St Ke δ (T t) ct eδ (T t) 의 수익이 발생한다. 총 수익은 ST K + (St ct )eδ (T t) 이다. 2. St < K인 경우는 콜 옵션은 쓸모 없이 끝나지만, 최초에 남은 St Ke δ (T t) ct > 0로부터 발생하는 수익 St Ke δ (T t) ct eδ (T t) 와 최초 투자금 Ke δ (T t) 로 부터 얻은 수익 K가 있다. 총 수익은 (St ct )eδ (T t) 이다. 따라서 어떤 상황이 되더라도 수익을 낼 수 있는 구조가 되기 때문에, 이런 가격은 유지 될 수 없고, 언제나 ct St Ke δ (T t), 0 < t < T 가 성립해야 한다 배당금이 없는 주식에 대한 American Call 옵션은 만기 정에 행사하지 않는 것이 좋다. 예를 들어 위험 없는 이자의 세기가 δ 라 하자. 앞에서 살펴본 것처럼 시간 t일 때 콜옵션의 가격 ct 는 행사가격을 K라 할 St Ke δ (T t) 보다 작지 않다. 즉 ct St Ke δ (T t). 그런데 t일 때, 콜을 행사할 수 있는 조건이 만족되었다 해서, 즉 St > K라 해서, 콜을 행사하면, 얻는 수입은 St K이다. 이것은 K > Ke δ (T t) 이므로 St K St Ke δ (T t) ct (3.23) 가 되어 콜을 행사하지 않았을 때의 가격 ct 보다 크지 않다. 풋 옵션을 사는 것은 주식가격이 하락할 가능성이 더 큰 경우에 쓸 수 있는 투자 방법이다. 때문에 행사가격 K를 현재 주식가격보다 높게 잡는 것이 보통이다. 따라서 American 풋옵션 의 경우, 기간 안에는 언제나 조건이 만족되면 풋 옵션을 행사할 수 있기 때문에, 풋 옵션의 가격은 K St 보다 작아서는 않된다. 다음 보기를 보기로 설명하자. 보기 3.2 만기 전 어떤 주식에 대한, 행사가격이 K인 American 풋 옵션 가격 Pt, 주식가격이 St 가 다음 표와 같은 경우가 나타나면 어떤 일이 얼어날 수 있는가? 표 3.0: 풋 옵션가격이 K St 보다 작은 잘못된 가격 행사가격 주식가격 St 풋옵션 가격 Pt 풀이 3.2 표는 Pt < K St 인 경우를 말한다. 그러나 이런 현상이 나타나면, 3의 주고 풋옵션을 산다. 95로 주고 주식을 산다. 들어간 돈은 = 98이다. 그런데 이 풋을 행사한다는 것은 이 주식을 00에 판다는 것이 다. 따라서 즉시 00 (3 + 95) = 2의 이익이 발생한다. 그러므로 이런 현상을 지속될 수 없다. 따라서 언제나 Pt K St 가 성립해야 한다 European 풋 옵션의 격우는, 만기 T 에서만 옵션을 행사할 수 있기 때문에, 위험부담이 없는 이자의 세기 δ 를 고려해야 한다. 즉 T 일 때의 가격을 t일 때의 가격으로 환산한 Ke δ (T t) 가

29 3.7 옵션 가격 Binomial Model(Single-Period Binomal Model) 57 풋 옵션의 가격 Pt 의 하한가를 결정한다. 즉 European 옵션의 경우는 Pt Ke δ (T t) St 가 성립해야 한다. 다른 조건이 같다면, 만기까지 시간이 많이 남은 American 콜옵션이 더 비싸다. 왜냐하면 행사할 기회가 많기 때문이다. 그렇지 않은 가격은 지속될 수 없는 것을 다음 보기로 알아보자. 보기 3.3 다음과 같이 만기까지 시간이 많이 남은 콜 옵션이 더 싸다면, 어떤 일이 생길 수 있는가? 표 3.: 남은 시간이 많은 콜 옵션가격이 더 싼 잘못된 가격 만기 행사가격 옵션가격 Call A 3 개월 00 6 Call B 6 개월 00 5 풀이 개월 만기 콜을 팔아 얻은 6으로, 6개월 만기 콜을 5에 산다. 이 과정에서 수익 을 얻는다. 콜을 팔았기 때문에 상대가 콜을 행사할 것에 대비해야 한다.. Americal Call Option의 경우, 3개월 이내에 Call A를 행사할 조건이 되면, 언제나 Call B도 행사할 수 있는 조건이 된다. 따라서 상대가 콜을 행사하면, 자신도 콜을 행사하여 손실을 0으로 할 수 있다. 더구나 콜 옵 션을 행사할 기회가 없이 3개월이 지나면 Call A는 쓸모 없이 끝나지만, Call B는 그 후 3개월을 더 기회를 볼 수 있다. 2. Eurepean Call Option의 경우 3개월 콜 만기에 주식가격 ST 가 00보다 커서 상대가 콜을 행사하게 되 면, T = 3일 때, S3 00 만큼 손실이 생긴다. 그런데 보유하고 있는 6개월 만기 콜 가격은 T = 3일 때 S3 00e δ (6 3)/2 보다 크것을 보기 3.에서 보았다. 따라서 보유하고 있는 6개월 만기 콜을 이때 팔면 총 손익은 ( S3 + 00) + (S3 00e δ (6 3)/2 ) = 00 e δ (6 3)/2 0 (3.24) 위 식에서 δ 는 위험이 없는 확정된 이자의 세기다 배당금이 없는 주식에 대한 American Call 옵션은, 조건이 만족되면, 만기 전 언제든지 옵션 을 행사할 수 있기 때문에, 만기 전에는 행사하지 않는 것이 좋다. 예를 들어 위험 없는 이자의 세기가 δ 라 하자. 앞에서 살펴본 것처럼 시간 t일 때 콜옵션의 가격 ct 는 행사가격을 K라 할 St Ke δ (T t) 보다 작지 않다. 즉 ct St Ke δ (T t). 그런데 t일 때, 콜을 행사할 수 있는 조 건이 만족되었다 해서, 즉 St > K라 해서, 콜을 행사하면, 얻는 수입은 St K이다. 이것은 K > Ke δ (T t) 이므로 St K St Ke δ (T t) ct (3.25) 가 되어 콜을 행사하지 않았을 때의 가격 ct 보다 크지 않다. 배당금이 없는 주식에 대한 American Call 옵션은 만기 정에 행사하지 않는 것이 좋다. 예를 들어 위험 없는 이자의 세기가 δ 라 하자. 앞에서 살펴본 것처럼 시간 t일 때 콜옵션의 가격 ct 는 행사가격을 K라 할 St Ke δ (T t) 보다 작지 않다. 즉 ct St Ke δ (T t). 그런데 t일 때,

30 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 58 콜을 행사할 수 있는 조건이 만족되었다 해서, 즉 St > K라 해서, 콜을 행사하면, 얻는 수입은 St K이다. 이것은 K > Ke δ (T t) 이므로 St K St Ke δ (T t) ct (3.26) 가 되어 콜을 행사하지 않았을 때의 가격 ct 보다 크지 않다. 이러 현상은 American 풋옵션의 경우도 그대로 성립한다. 만기에만 옵션을 행사할 수 있는 European Option 의 가치를 생각해보자. 이 경우 옵션의 가치는 만기 T 에 주식가격이 행사가격 K보다 높은 경우다. 한 기간동안 위험없는 이자의 세기 가 δ = ln( + i) = 0.03라 하자. 행사가격 00에 대한 콜 옵션가격 Ct 와 풋 옵션가격 Pt 사이의 관계는 요약 3.2에 있는 콜-풋 패러티를 만족시켜야 한다. Ct + Ke δ T = Pt + St (3.27) 따라서 t = 0일 때 S0 = 00인 주식의, 행사가격 00에 대한 콜 옵션의 가격은 00 00e δ = 보다 작아서는 않된다. 보기로 C0 = 4라 하자. 그려면 풋-콜 패러티에 따 라 P0 = 이제 만기에 주식가격이 0이거나 95인 2가지 경우를 생각해보자.. ST = 0인 경우는 이 콜 옵션으로 0의 수익이 난다. 2. ST = 95인 경우는 콜 옵션은 행사가격이 00이므로 쓸모 없이 끝난다. 그런데 이 콜 옵션과 똑 같은 효과를 갖는 Portfolio를 만들 수 있는가? 분명한 것은 주식을 보유하는 것 만으로는 할 수 없다. 다음 보기를 보자. 요약 3.3 만기 주식가격 ST 가 K + A이거나 K B라 하자. 주식과 부채를 혼합한 포트폴리오 PORTa,b := a St + b 가 행사가격 K인 콜 옵션과 똑 같은 효과를 내는 a, b는 a= A, A+B b= A(K B)eδ (T t) A+B (3.28) 해설. 이렇게 구성된 PORTa,b 의 만기 가격은 a(k + A) + beδ (T t) = A, ST = K + A a(k B) + beδ (T t) = 0, S = K B T 이것을 풀면 A A(K B)eδ (T t), b= A+B A+B 따라서 이런 콜 옵션의 t = 0일 때 가격은 PORTa,b 의 t = 0에서의 가격과 같아야 한다. a= C0 = Porta,b (0) = a S0 + b = A S0 (K B)e δ (T t) A+B (3.29) (3.30)

31 3.7 옵션 가격 Binomial Model(Single-Period Binomal Model) 59 요약 3.3에서 S0 = 00, K = 00, eδ = , A = 0, B = 0인 경우를 생각하면 a=, 2 b = 이고, 따라서 t = 0일 때 콜 옵션의 가격은 C0 = = 보기 3.4 만기 때 주식가격은 알 수 없다. 상승률 ra, 하락률 rb 을 이용하여, 만기 때 주식가격 ST 를 St ( + ru ) 아니면 St ( rd ) 라 하자. 자산배분 PORTt = at St + bt 을 생각하자. 만기 t = T 일 때의 포트폴리오의 가격을 이용하여 a, b를 표현하고, 이것을 이용하여 t일 때 옵션 가격 Ct 를 구하여라. 풀이 3.4 상승할 경우, 하락할 경우, 각각의 포트폴리오의 가격을 Cu,Cd 라 두면 PORTT = a ( + ru )St + beδ (T t) := Cu PORT = a ( + r )S + beδ (T t) := C T d t d 위 식을 a, b에 대해서 표현하면 a= Cu Dd, (ru + rd )St b= Cu ( rd ) Cd ( + ru ) (ru + rd )eδ (T t) (3.3) 따라서 Ct = a St + b = Cu Cd Cu ( rd ) Cd ( + ru ) ru + rd (ru + rd )eδ (T t) (3.32)... ST = 0 = 00( + 0.), ST = 90 = 00( 0.),Cu = 0,Cd = 0, T t = 인 경우를 생각 하면 rd = ru = 0.이므로, 앞에서 계산한 것과 같은 값을 얻는다. Ct =

32 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 60 요약 3.4 [옵션 가격 결정에서 확률의 역할] Ct 를 더 정리하면 Cu Cd Cu ( rd ) Cd ( + ru ) ru + rd (ru + rd )eδ (T t) rd + ru = Cd Cu + ru + rd (ru + rd )eδ (T t) (ru + rd )eδ (T t) ru + rd Ct = = πucu + πd Cd 위 식에서 πu := (3.33) (3.34) (3.35) rd, ru + rd (ru + rd )eδ (T t) πd := + ru (ru + rd )eδ (T t) ru + rd πu, πd 은 아주 복잡한 식처럼 보이지만 간단한 성질이 있다. πu + πd =, 0 πu δ (T t), 0 πd δ (T t) eδ (T t) e e T t = 인 경우를 생각하고, eδ = R이라 두면, Rπu 을 옵션 가격이 Cd R Cu R 가 (3.36) 될 확률, Rπd 을 옵션 가격이 가 될 확률로 이해하면 좋다. 특히 다음 두 식은 서로 동등한 것에 주의하자. Ct = πcu + πd Cd, Ct = Rπu Cu Cd + Rπd R R (3.37) 만일 각각 단계에서 주식가격이 상승할 확률을 πu, 하락할 확률을 πd 라 두면, 이런 방식이 n-단계 계속될 때, 주식가격이 St ( + ru ) j ( rd )n j 가 될 확률은 이항분포를 따르므로 n n R π j π n j, j = 0,, 2,, n j u d 따라서 행사가격이 K인 콜 옵션의 t일 때의 가격은 식 (3.37)에 주의하면 n n j n j Ct = πu πd max{st ( + ru ) j ( rd )n j K, 0} j=0 j (3.38) 예를 들어 St = 00, K = 00, ru = 0., rd = 0., R = eδ = 인 경우, 2단계 Binomial Model에서 Ct 의 값은 Ct =.966인 것을 확인해보자. 이런 생각은 풋 옵션의 경우에도 그대 로 적용할 수 있다.

33 3.7 옵션 가격 Binomial Model(Single-Period Binomal Model) 6 요약 3.5 [n-단계 Binomial Model] n-단계 Binomial Model에서 콜 옵션과 풋 옵션의 가격은 각각 단계 위험부담이 없는 이자율의 세기를 δ 라 할 때 n n j n j πu πd max{st ( + ru ) j ( rd )n j K, 0}, Ct = j=0 j n n j n j πu πd max{k St ( + ru ) j ( rd )n j, 0} Pt = j=0 j 위 식에서 πu := rd, ru + rd (ru + rd )eδ πd := (3.39) (3.40) + ru (ru + rd )eδ ru + rd 특히 항상 St ( + ru ) j ( rd )n j K 0, j = 0,, 2,, n인 경우에는 콜 옵션과 풋 옵션의 가격은 각각 n n n j n j n j n j Ct = St πu πd ( + ru ) j ( rd )n j K πu πd, (3.4) j j=0 j=0 j n n n j n j n j n j πu πd St Pt = K πu πd ( + ru ) j ( rd )n j (3.42) j j=0 j=0 j 옵션 가격 결정 n-단계 Binomial Model에서 n을 크게 잡으면 더 현실적인 옵션 가격을 결정 할 수 있는 것처럼 보인다. 이런 생각은 n 일 때 n-단계 Binomial Model 이 어떻게 행동하 는지를 알고 싶게 한다. 그러나 이 과정은 미분적분학 만으로 이해할 수 없는 또 다른 수학적 개념을 필요로 하기 때문에 이 책에서 다루는 것은 적절하지 않다. 여기서는 이런 과정을 생략 하고, 직접 Black-Scholes 옵션가격 모델을 소개하자.

34 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 62 제 3.8 절 주식 시장과 동전던지기 게임 옵션의 가차를 결정하는데 핵심적인 요소는 만기 T 일 때 주가 ST 이다. 따라서 ST 을 예측하는 수학적 모델을 만들고 그 모델의 타당성을 조사하는 것은 아주 중요하자. 주가 변동 모델을 만들기 위해서 다음 사실을 참고하자.. 주식시장과 동전던기기 게임: 결정적인 함수를 생각하자. 예를 들얼 f (t) = t 2 + 3t. 시간이 t 만큼 흐를 때, 함수값의 변화는 f (t + t) f (t) = (t + t)2 + 3(t + t) (t 2 + 3t = (2t + 3) t + t 2 f := f (t + t) f (t)라 두면 위 식은 f = (2t + 3) t + t 2 (3.43) 이것은 t를 알면 f 가 완전히 결정된다. 그러나 주식가격은 이렇게 단순하지 않다. 아 무리 많은 데이터를 모아도 미래 주식가격을 결정적으로 알 수는 없다. 지난 00년간의 주식시장의 수익율을 조사하면 평균 0, 분산 20.2정도의 정규분포를 이룬다. 황당하게도 앞면이 나오면 20을 받고, 뒷면이 나오면 0을 잃는 동전던기기 게임을 계속하면 수익은 평균 0, 분산이 2.2인 정규분포를 이룬다. 즉 복잡한 주시시작을 긴 시간동안 관찰하면, 아주 단순한 동전던기지 게임과 비슷하다. 2. 주가는 결정적으로 알 수 없고, 또 긴 시간 관찰하면 정규분포를 이루기 때문에 주가변동 수학적 모델을 S := S(t + t) S(t) := St ν t + St N(0, ) σ t (3.44) 로 잡는 것은 고려할 점은 있다. N(0, )은 평균이 0이고, 분산이 인 정규분포를 나타낸 다. 상식에 맞지 않는 이상한 점은 t 가 포함된 항이 있는 것이다. 이것은 확률변수 X가 평균 µ, 분산 σ 2 인 정규분포를 이룰 때, 확률변수 Y = ax + b는 평균 E[Y ] = E[aX + b] = E[aX] + E[b] = ae[x] + b = aµ + b이고, 분산 Var[Y ] = Var[aX + b] = a2var[x] == a2 σ 2 인 것을 생각하면, N(0, ) σ 가 평균 0, 분산 σ 2 t인 정규분포가 되게 하기 위한 것 이다. 지금은 t = 0이고, t = T 일 때 주식가격 ST 을 예측해보자. 이것은 시간구간 [0, T ]을 n-등분 하여 0 = t0 < t < t2 < < tk < tk+ < < tn < tn = T, t = 를 만들면 T 0,tk = k t n

35 3.8 주식 시장과 동전던지기 게임 63 n ST S0 = Sk, Sk = S(tk+ ) S(tk ), k = 0,, 2,, n k=0 n =ν n t S(tk ) t + σ S(tk )N(0, ) k=0 (3.45) (3.46) k=0 이 식은 수학적으로는 맞지만, 오른 쪽 식에 모르는 값 S(tk )가 있어 계산에 쓸 수는 없다. 대신에 S(tk ) := ν t + σ N(0, ) t S(tk ) 를 생각하면, 오른 쪽 식의 합을 구할 수 있다. 대신에 왼쪽에 있는 (3.47) S(tk ) S(tk ) 의 합을 구하기 어렵다. 그런데 ln S(t + t) ln S(t) S(t) S(t) 인 것에 주의하면, 많은 수학적 도구를 쓰면, 다음 식을 도출할 수 있다. ln S(t + t) S(t) N (µ 0.5σ 2 ) t, σ t (3.48) 를 얻는다. 식 (3.48)의 중요성은 n ln k=0 S(t + t) k = ln ST ln S0 S(tk ) (3.49) 정리하면 다음 식을 얻는다: ln ST ln S0 N (µ 0.5σ 2 ) t, σ t 3. 식 (3.50)과, 휴대폰을 이용하여 Python3로 주가 ST 를 예측하면 (3.50)

36 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 주식 가격 예측 import numpy as np S0=00 T=2.0 numdiv=000 dt=t/numdiv mu=0.08 sigma=0.2 m=(mu -0.5* sigma**2)*dt m2=sigma* np.sqrt(dt) stv=np.random.normal(m, m2, numdiv) print( S0* np.exp( np.sum(stv) ) )... 주가가 변해가는 과정을 그래프로 그려보자. 휴대폰에서 열어 jupyter IDE에서 Python3를 열어 다음을 입력해보자.... import numpy as np import matplotlib as mt S0=00 T=2.0 numdiv=000 dt=t/numdiv mu=0.08 sigma=0.2 m=(mu -0.5* sigma**2)*dt m2=sigma* np.sqrt(dt) stv=np.random.normal(m, m2, numdiv)

37 3.8 주식 시장과 동전던지기 게임 65 custv=np.cumsum(stv) cumst=s0* np.exp( custv) xl=range(numdiv) mt.pyplot.plot(xl, cumst)... S(t) t 4. Black-Scholes 모델을 따른 European Call Option의 이상적 가격: 앞에서 콜 옵션의 가격은 max{s0 Ke δ T, 0}, S0 에 있는 것을 알았다. 그럴듯한 수학적 모델을 만들고, 복잡한 수학을 쓰면, 다음과 같은 결과를 얻는다. C(T, (ST K)+ ) = S0 Φ(y ) Ke δ T Φ(y2 ) (3.5) 위 식에서 Φ(y) := 2π Z y exp( z2 )dz 2 는 표준정규분포의 누적분포함수(standard cumulative distribution function)이고 y = ln( SK0 ) + T (δ + 0.5σ 2 ), σ T y2 = y σ T (3.52) 이것을 이용하여 S0 = 00, K = 00, T =.0, δ = ln( ), σ = 0.2인 경우 Python3 를 이용하여 콜 옵션 가격을 계산하기 위하여 Pyhon3 프로그램을 만들어보자.

38 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 Black-Scholes 모델에 따른 유러피언 콜 옵션의 이상적인 가격 import numpy as np import scipy.stats as stats S0=00 K=00 T=.0 sigma=0.5 ii=0.06 ir= np.log(+ii) y= np.log(s0/k)+t*(ir+0.5*sigma**2) y=y/(sigma* np.sqrt(t) ) y2=y-sigma* np.sqrt(t) stv=s0*stats.norm.cdf(y)-k*np.exp(-ir*t)*stats.norm.cdf(y2) print(stv)... 요약 3.6 [콜-풋 패러티(Call-Put Parity)] 똑 같은 주식, 똑 같은 기간, 똑 같은 행사가격 K를 갖는 주식 에 대한 콜 옵션 가격과 풋 옵션 가격은 다음 식을 만족시켜야 한다. Ke δ T + c0 = p0 + S0 (3.53) 왼쪽을 콜에 관계된 식이고, 오른쪽은 풋에 관계된 식이다. 따라서 콜 옵션 가격에 따라 풋 옵션 가격의 범위도 결정된다. 그런데 위험부담이 없는 이자의 세기 δ 는 본질적으로 자금운용 능력에 따라 결정되 는 것이기 때문에 사람마다 풋 옵션의 가격이 약간 다르게 책정된다. 이것이 콜 거래가 일어날 수 있는 요소다. 보기 3.5 Black-Sholes 옵션 가격 모델에서 S0 = 00, K = 00, T = 이고, 이자율이 6% 인 경우 σ = 0., 0.5, 0.2 인 경우 옵션 가격을 계산하여라. 풀이 3.5 σ = 0.인 경우: σ = 0.5인 경우:

39 3.8 주식 시장과 동전던지기 게임 67 σ = 0.2인 경우: 이 모델에서는 옵션 가격은 변동성 σ 가 클 수록 커지는 것을 알 수 있다 다시 다음 2개의 표를 보자. 표 3.2: 콜 옵션을 살 때, 팔 때의 수익 ST ST K K < ST K2 ST > K2 long call, K 이익 0 ST K ST 30 순 이익 c (ST K ) c (ST K ) c short call, K2 이익 0 순 이익 c2 총 이익 (ST 35) 0 c2 (ST K2 ) + c2 c + c2 (ST K ) c + c2 K2 K c + c2 표 3.3: 풋을 살 때와 팔 때의 ST 에 따른 이익 ST ST K = 30 K = 30 < ST long put, K = 30 이익 K ST 0 이익 (K ST ) = ST + 29 short put, K = 30 이익 (K ST ) 0 이익 (K ST ) + = ST 29 풋 옵션의 수익을 나타내는 함수를 다시 만들어야 할 것처럼 보이지만, 그렇지 않다. 풋 옵 션의 수익을 나타내는 함수는 콜 옵션의 수익을 나태내는 함수로부터 쉽게 얻을 수 있다. 왜냐하면 max{k ST, 0} = max{ (ST K), 0} 이기 때문에 콜-옵션이건 풋-옵션이건 개의 함수로 계산할 수 있다. def optva(cp,st, K, price): ans=max( (-)**(cp+2)*(st-k), 0) ans= ans -price return ans 여기서 cp틑 콜인지 풋인지를 표시한다. 콜은 cp = 0를 입력하고, 풋은 cp = 을 입력하면 된다. 보기 3.6 K = 85, c = 3인 콜을 사고, K2 = 80, p2 = 4인 풋을 샀을 때 수익을 나타내는 그래프를 그려라. 풀이 3.6 수익과 ST 에 대한 표를 만들자.

40 68 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 표 3.4: S T 와수익 S T S T < S T < S T long call, K = 85 에서이 0 0 S T 85 비용 long put, K 2 = 80 에석이익 80 S T 0 0 비용 총이익 73 S T 7 S T 이익 S T 그림 3.3: 85 콜, 80 풋의이익

41 3.8 주식 시장과 동전던지기 게임 69 보기 3.7 KNU 주식은 지금 50에 거래된다. K p = 45, p = 0.75인 풋을 00개 샀다. K p2 = 50, p2 = 2.75인 풋을 00개 팔았다. Kc = 50, c = 2.75에 00개 팔았다. Kc2 = 55, c2 = 0.75인 콜을 00개 샀다. 이런 거래의 수익을 나타내는 그래프를 그려라. 수익이 발생하는 주식가격 ST 의 구간을 구하여라. 최고 수익이 나는 ST 는 얼마인가? 풀이 3.7 수익이 나는 구간을 구하는 문제이므로 옵션의 개수 00 계산을 간단하게 하는 것 이외의 역할은 하지 않는다. 표를 만들면 표 3.5: 45 롱 풋, 50 숏 풋, 50 롱 콜, 55 숏 콜의 이익 ST ST < ST 50 short call Kc 이익 c c long call Kc2 이익 c2 long put K p 이익 (45 ST ) p c2 p short put K p2 이익 (50 ST ) + p2 (50 ST ) + p2 총 이익 ST < ST < ST (ST 50) + c (ST 50) + c c2 p (ST 55) c2 p p2 p2 ST + 54 c c2 p + p2 = 4이다. 수익이 나는 구간은 46 < ST < 54이고, 최고 이익이 나는 것은 ST = 50 이익 ST 그림 3.4: 45 롱 풋, 50 숏 풋, 50 롱 콜, 55 숏 콜의 이익

42 3 주식가격, 채권, 선물, 옵션 70 제 3.9 절 연습 문제 문제 3. 만기가 T 인 Call 가격의 범위는 max{s0 Ke δ T, 0}, S0 인 것을 설명하여라. 문제 3.2 다음과 같은 가상의 옵션이 있다. 어떤 문제가 생길 수 있나? 표 3.6: 행사가격이 낮은 콜옵션이 싼 잘못된 가격 만기 행사가격 옵션가격 Call A 6 개월 Call B 6 개월 95 5 문제 3.3 다음과 같은 가상의 옵션이 있다. 어떤 문제가 생길 수 있나? 표 3.7: 행사가격 차보다 옵션가격 차가 큰 잘못된 가격 만기 행사가격 옵션가격 Call A 6 개월 Call B 6 개월 00 4 문제 3.4 K = 00, ST = 03일 때 ct 는 얼마가 적절한가? 그 이유를 보기를 들어 설명하여라. 문제 3.5 다음 가상의 표를 보자. 현재가격 S0 행사가격 K 옵션 가격 이런 거래를 하게된 이유는 무엇이라 생각하는가? 다음 각각의 경우 만기 수익과 ST 의 관계를 나타내는 그래 프를 그려라.. 95 콜 옵션을 개 사고, 05 콜 옵션을 개 샀다 콜 옵션을 개 사고, 05 콜 옵션을 개 팔았다 콜 옵션을 개 팔고, 05 콜 옵션을 개 샀다 콜 옵션을 개 팔고, 05 콜 옵션을 개 팔았다. 어떤 거래가 가장 정상적인가? 문제 3.6 배당금(dividend)를 지급하지 않는 주식에 대한 풋 옵션(put option) 가격 범위를 설명하여라 문제 3.7 콜-풋 패러티(Call-Put Parity)를 설명하여라

43 3.9 연습 문제 7 문제 3.8 S0 = 3, K = 30, c0 = 3, δ = 0.이다. 3개월 만기 행사가격 30인 풋 가격이 () 2.25인 경우, (2) 인 경우를 분석하여라. 문제 3.9 현재 주식가격은 S0 = 4이고, 위험부담이 없는 이자의 세기는 δ = 0.03이다. 행사가격이 K = 40인 콜-옵션과 풋 옵션을 생각하자.. 콜-옵션의 하한가를 구하여라. 2. 콜-옵션 가격이 c0 = 2이고, 풋-옵션 가격이 p0 = 이라면 어떤 일을 할 수 있는가? 문제 3.0 지금은 209년 05월이다. 코스피200 C 의 가격은.99이고, 코스피200 C 의 가격은 0.56이다. 코스피200 P 의 가격은 5.60이고, 코스피200 P 의 가격은 이다. 물론 C는 콜은 나타내고, P는 풋을 나타낸다.. 이 자료만으로 판단할 때, 투자자들은 코스피 200의 3개월 뒤를 어떻게 전망하는가? 콜을 00개 사고, 290콜을 00개 판다. 290 풋을 50개 팔고, 280 풋을 50개 샀을 때 만기 수익을 나타 내는 표를 만들고 그래프를 그려라. 3. 최고 수익이 나는 구간 어디인가?

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45 제 III 편 보험료, 보험가치