10 주차 4.3 Frobenius 해법

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창숙 좌
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1 0 주차 4.3 Frobenius 해법

2 4.3 Frobenius 해법 p(x)y + Q(x)y + R(x)y F (x) y + p(x)y + q(x)y f(x) p, q, f 가 x x 0 근처에서해석적이면 (x 0 : 보통점 ) 급수해로 x x 0 에서해석적 정의 4.3 특이점 P (x 0 ) 0 이고, Q(x)/P (x), R(x)/p(x), F (x)/p (x) 가 x 0 에서해석적이면 x 0 를보통점이라고한다. x 0 가보통점이아닐때, 특이점이라고한다. 보기 4.8 x 3 (x 2) 2 y + 5(x + 2)(x 2) + 3x 2 y 0 0 과 2 에서특이점을가진다. 나머지점들은보통점이다. 특이점근처에서의해는보통점근처에서의해와는매우다른움직임을보인다. 제차미분방정식 p(x)y + Q(x)y + R(x)y 0 정의 4.4 정칙특이점 x 0 가특이점이고 (x x 0 ) Q(x) P (x), (x x 0) 2 R(x) P (x) 가 x 0에서해석적일때, x 0 를정칙특이점이라고한다. 정칙이아닌특이점을비정칙특이점이라고한다. 보기 4.9 x 3 (x 2) 2 y + 5(x + 2)(x 2)y + 3x 2 y 0 x 0 0, 2 보통점 5(x + 2) x 0 0( 특이점 ) Q(x)/P (x) x 2 : 비정칙특이점 (x 2) 5(x + 2) x 0 2( 특이점 ) (x 2)Q(x)/P (x) x 3 : 해석적 at x 0 2 (x 2) 2 R(x)/P (x) 3 x : 해석적 at x 0 2 정칙특이점 비제차선형미방이 x 0 에서정칙특이점을가지면, x 0 에서멱급수해를가질수없다. y(x) c n (x x 0 ) n+r Frobenius 급수 Frobenius 급수는멱급수일필요는없다. (r 은음수일수도정수가이닐수도있다.) y (x) (n + r)c n (x x 0 ) n+r (n )

3 y (x) (n + r)(n + r )c n (x x 0 ) n+r 2 (n 2) 정리 4.6 Frobenius 해법 x 0 가 P (x)y + Q(x)y + R(x)y 0의정칙특이점이면 c 0 0인 y c n (x x 0 ) n+r 인급수해가적어도하나존재한다. 또 (x x 0 )Q(x)/R(x) 와 (x x 0 ) 2 Q(x)/R(x) 을 x 0 에대한 Taylor급수가열린구간 (x 0 h, x 0 + h) 에서수렴한다면, Frobenius급수해도 x 0 를제외한이구간의모든점에서수렴한다. 보기 4.0 x 2 y + x( 2 + 2x)y + (x 2 )y 0 x 0 y y y x Q(x) P (x) 2 + 2x c n x n+r c n (n + r)x n+r R(x) x2 P (x) x 2 c n (n + r)(n + r )x n+r 2 c n (n+r)(n+r )x n+r n + r + c n x n+r + c n 2(n+r)x n+r+ + c n x n+r+ + c n ( 2 2 )xn+r 0 n 0 c n ((n + r) 2 (n + r) n + r 2 x r C 0 ( n 2 + 2nr + r 2 2 )xn+r + c n (2(n + r) + )x n+r 0 n 2 r 2 2 ) 0 r(r ) + r 2 2 r2 r r, r 2 2 n c n ((n + r) 2 (n + r) 2 2 c n (2(n + r) 5 2 ) 2(n + r) c 0 ((n + r) )((n + r) + 2 )c n r r c n 2n + n(n )c n 4n + 2 n(2n + 3) c n c 3 5/2 6 5 c 0 c c c c c c

4 y (x) c 0 (x 6 5 x x3 4 9 x4 + ) (r 이양의정수이므로 0 에서의멱급수 ) r r 2 c n 2n 2 (n 3 2 )nc n 4n 4 n(2n 3) c n c 0 c n 0, n y 2 (x) c 0x /2 Ax2 + B(x 6 5 x x3 4 9 x4 + ) 보기 4. 세번째경우, 중근인예 x 2 y + 5xy + (x + 4)y 0 y c n (x) n+r y c n (n + r)x n+r y c n (n + r)(n + r )x n+r 2 c n (n + r)(n + r )x n+r + 5c n (n + r)x n+r + c n (x) n+r+ + 4c n (x) n+r 0 c n ((n + r)(n + r ) + 5(n + r) + 4) + c n (x) n+r 0 n n 0 r(r ) + 5r + 4 r 2 + 4r + 4 (r + 2) 2 0 r 2 n c n (n + r + 2) 2 c n r 2 c n n 2 c n. c c 0 c 2 4 c 4 c 0 c 3 9 c 2 36 c 0 ( ) n (3!) 2 c 0 y c 0 [x 2 x x x2 + ] c 0 ( ) n n! x 0 을제외한모든 x 에대해수렴. 2 x n 2 3

5 보기 4.2 두번째경우에서 k 0 인예 x 2 y + x 2 y 2y 0 0 에서정칙특이점을가지고있다. y(x) y (x) y (x) c n x x+r c n (n + r)x x+r c n (n + r)(n + r )x x+r 2 0 x 2 y + x 2 y 2y c n (n + r)(n + r )x x+r + c n (n + r)x x+r+ + ( c n )x x+r c n (n + r)(n + r )x x+r + c n (n + r)x x+r + ( c n )x x+r (c 0 r(r ) 2c 0 )x r + c n ((n + r)(n + r ) 2) + c n (n + r) 0 c 0 (r 2 r 2) c 0 (r 2)(r + ) 0 r 2 or r n ((n + r)(n + r ) 2)c n + (n + r )c n 0 r 2 ((n + 2)(n + ) 2)c n + (n + )c n 0 c n (n + ) n 2 + 3n c 2 4 c 0 2 c 0 c c 3 20 c 0 (n + ) n(n + 3) c n c c c 0 y (x) c 0 x 2 ( 2 x x2 30 x3 + r 2 ((n )(n 2) 2)c n + (n 2)c n 0 n(n 3)c n (n 2)c n c n (n 2) n 2 3n c (n + ) n n(n + 3) c n (n 3) 4

6 c ( 2) c 0 2 c 0 c 2 0 2( ) c 0 c c 3 2 c 3 c c c 3 y 2 (x) c 0 (x 2 ) + c 3(x 2 2 x x4 + y 2 c 0(x 2 ) 보기 4.3 두번째경우에서 k 0인예 xy y 0 y(x) y (x) y (x) c n x x+r c n (n + r)x x+r c n (n + r)(n + r )x x+r 2 0 xy y r 0 or r c n (n + r)(n + r )x x+r c n x x+r c n (n + r)(n + r )x x+r c n x x+r n (c n (n + r)(n + r ) c n )x x+r + c0r(r )x r n n r 0 c n (n + r)(n + r ) c n c n n(n ) c n n c 0 0 n 2 c n c n n(n ) c 2 2 c 2 c 3 6c 2 2 c c n y 2 (x) c (x + 2 x2 + 2 x3 + ) c r c n n(n + ) c n n c n n(n + ) c n n!(n )! n!(n )! xn 5

7 n c 2 c 0 n 2 c 2 6 c 2 c y 2 (x) c 0 (x + 2 x2 + 2 x3 + ) y 2 (x) ky (x) ln x + c nx n y 2(x) ky (x) ln x + ky (x) x + c nnx n x 2 n y 2(x) ky (x) ln x + ky (x) 2 x + ky (x) x 2 + c nn(n )x n 2 0 xy y kxy (x) ln x + 2ky (x) + k x y (x) + n2 n2 c nn(n )x n ky (x) ln x c nx n n 2kc n!(n )! xn kc n!(n )! xn + c nn(n )x n c nx n n n n2 2(n + ) x n + c n!(n + )! nn(n )x n c nx n n (n(n + )c n+ c (2n + )k n + 7 n (n + )! )xn n k c 0 0 c n+ c 0 k (2n + )k n(n + ) (c n n!(n + )! ) k c 0, c 0 c 2 2 (c 3 2 ) 3 4 c 3 6 (c ) 6 ( ) 6 ( 4 2 ) 7 36 y 2 (x) y (x) ln x x x3 보기 4.4 제 종 Bessel 함수 x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y 0 : ν 차 Bessel 방정식 (ν > 0) y c n x n+r y c n (n + r)x n+r y c n (n + r)(n + r )x n+r 2 c n (n + r)(n + r )x n+r + c n (n + r)x n+r + c n x n+r+2 + c n ( ν 2 )x n+r 0 c n ((n+r)(n+r )+(n+r) ν 2 +c n 2 )x n+r +c 0 x n (r(r )+r ν 2 )+c x r+ ((r+)r+(r+) ν 2 ) 0 n2 r 2 ν 2 0 r ±ν 6

8 r ν ((ν + ) 2 ν 2 )c (2ν + )c 0 2ν + 0, c 0 r ν [(n + r)(n + r ) + (n + r) ν 2 ]c n + c n 2 0 c n n(n + 2ν) c n 2 c c 3 c 5 0 c 2n 2n(2n + 2ν) c 2n n(n + ν) c 2n n(n + ν) 2(n )(2(n ) + 2ν) c 2n n(n )(n + ν)(n + ν ) c 2n 4 ( ) n 2 2n n!( + ν)(2 + ν) (n + ν) c 0 ( ) n y (x) c 0 2 2n n!( + ν)(2 + ν) (n + ν) x2n+ν r ν c n ((n ν) 2 ν 2 ) + c n 2 0 c n n 2 2nν c n 2 n(n 2ν c n 2 c 2n 2 2 n(n ν) 2(n )(2(n ) 2ν) c 2n n(n )(n ν)(n ν ) c 2n 4 y 2 (x) c 0 ( ) n 2 2n n!( ν)(2 ν) (n ν) c 0 ( ) n 2 2n n!( ν)(2 ν) (n ν) x2n ν 보기 4.5 제 2 종 Bessel 함수 ν 차 Bessel 방정식 x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y 0 0 차 Bessel 방정식 x 2 y + xy + x 2 y 0 c ) 인경우 y (x) y (x) ( ) k 2 2k (k!) 2 x2k ( ) k k x2k 2 2k (k!) 2 k0 k y 2 (x) y (x) ln x + k c k xk y 2(x) y ln x + y x + k c k kxk y 2(x) y ln x + y 2 x + y ( x 2 ) + c kk(k )xk 2 k2 7

9 0 x 2 y + xy + x 2 y y x 2 ln(x) + y 2x y + + y x ln(x) + y + + x 2 y ln x + k ( ) k 4kx2k k2 k2 k k k 가홀수 c k (k2 + ) 0 c k 0 c kk(k )xk c k kxk c k xk+ 2 2k (k!) 2 + c k (k2 )x k + c + c k 2 xk c 0 k가짝수 (k ) ( ) k 4k + c 2 2k (k!) 2 2k (4k2 + ) 0 c 4k 2k ( )k (4k 2 +)2 k (k!) 2 y 2 (x) y (x) ln x + k k3 ( ) k 4k (4k 2 + )2 k (k!) 2 x2k k 2 2k (k!) 2 + (c k k2 + c + 4c 2x ( ) k 4kx2k k3 c 0 c 2 4 c k 0 (k 가홀수 ) k 가짝수이면 k 2 ( ) k 4kx2k 2 2k (k!) 2 + (c 2k 4k 2 + c 2k 2 )x2k 0 c 2 4 c 2k 4k 2 ( c 2k 2 4k ( )k 2 2k (k!) 2 ) k 2 c 4 6 ( c ( 4 8 ) 6 4 ( + 2 ) ( + 2 ) k 3 c ( c ) 4 9 ( ( + 2 ) ( ) ( )c 2k ( )j (2j) 2 ( j ) HW,7,9,7 8

1 1,.,

1 1,., ,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x