수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,

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1 제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점(,, 점)을 참고하시오. 쭚 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 MR 답안지에 반드시 표기하시오. 쭚 이 문제지에는 아래의 예와 같이 국립국어연구원의 한글 맞춤법 에 의한 사이시옷 표기법을 사용하였습니다. 첥 최솟값(종전 표기:최소값). 두 부등식 {0, } - - 를 동시에 만족시키는 정수 의 값의 합은? [점]. å=008, 00 =일 때, ab의 값은? [점] log log00 log 00 log ºº 5 +log ºº. 다음 그림과 같은 두 함수 f(), g()에 대하여 lim -0 f(g())+ lim g(f())의 값은? -+0 =f() =g() 5. 행렬 A={ }에 대하여 행렬 A의역행렬의 모든 성분의 합은? [점] 년 0월 전국모의고사 고`

2 수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때, cosh의 값은? A B ' ' 6 6 ' 5 ' '6 6 C 7. 오른쪽 그림과 같이 두 이차 곡선 =a, =a(-) 의 교점을 P라 하고, 점 P에서 두 곡선에 그은 접선이 축과 만 나는 점을 각각 A, B라 한다. 두 곡선과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S, 삼각형 PAB S 의 넓이를 T라 할 때, 의 값은? (단, a, 는 양의 상수이다.) T a a a 5 P =a A B =a(-) 8. 삼차함수 f()= +a +b+c와 이차함수 g()=a +d+c 6. 공차가 -인 등차수열 {a«}에 대하여 (aª+a º) : (a º+a )= : 이 성립할 때, 이 수열의 첫째항은? 가 있다. 임의의 일차함수 h()에 대하여 g()h()d=0이 성 립할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, a, b, c, d 는 상수이다.) ㄱ. ac<0 ㄴ. bd>0 ` - ` - ㄷ. f()d= g()d <보 기> ` - ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ 008년 0월 전국모의고사 고`

3 가 형 수리 영역 9. 삼차함수 f()에 대하여 f(-)=-f(), f'()=0이 성립한다. g()=f()-라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은? <보 기> ㄱ. 함수 g()의 극댓값과 극솟값의 합은 -이다. ㄴ. 점 (, 0)에서 곡선 =g()에 그은 접선은 개뿐이다. ㄷ. a << b 이면 f'(a)g'(b)<0이다. ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ. 다음은 임의의 자연수 n에 대하여 부등식 n ; }'n r= 'r 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (ⅰ) n=일 때, (좌변)=(우변)=이므로 성립한다. (ⅱ) n=k일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 k ; }'k이므로 r= 'r k+ n=k+일 때, ; } r= 'r 가 성립한다. 한편, k-'ƒk(k+) -( )= {0 'ƒk+ 따라서, 주어진 부등식은 n=k+일 때에도 성립한다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 임의의 자연수 n에 대 하여 성립한다. 위의 증명에서, 에 알맞은 것은? +'ƒk+ 'ƒk+ 'k +'ƒk+ 'k 'ƒk+ 'k+ 'ƒk+ 'k+ 'ƒk+ 5 'k+'ƒk+ 'ƒk+ 'ƒk+ 'ƒk+ 0. 에 대한 방정식 a -ka +=0(a>)은 양수인 두 수 a, b를 근 으로 갖는다. =a a-b +a b-a 에 대하여 []의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m이라 할 때, M+m의 값은? (단, []는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 년 0월 전국모의고사 고`

4 수리 영역 가 형. 오른쪽 그림과 같이 포물선 = 위의 두 점 P, Q에 대하여 선분 PQ를 지름으로 하는 원이 원점 를 지난다. Q ='5일 때, 직선 PQ의 기울기는? (단, 점 P는 제사분면의 점이고, 0<Q <P 이다.) 5 Q P =. 오른쪽 그림은 0{{a에서 정 의된 확률밀도함수 =f()의 그래 프이다. 0{{a에서 정의된 <보기> 의 함수 중에서 확률밀도함수가 될 수 있는 것만을 있는 대로 고른 것은? b ㄱ. = a f() (0{{a) ㄴ. =[ b (a{{a) b ㄷ. = [f()+ ] <보 기> b -a =f() a ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ n. 수열 {a«}에 대하여 ; a =(n+)(n+)가 성립할 때, 무한급수 k= ; 의 값은? k= a a 구 (-) +(-) +(z-) = 위의 동점 P와 두 점 A(, 0, 0), B(0,, 0)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 점 P에서 직선 AB까지의 거리의 최댓값은 '이다. ㄴ. AP =BP 인 점 P가 나타내는 도형의 길이는 '이다. ㄷ. APB=90 인 점 P가 나타내는 도형의 길이는 '이다. ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ 008년 0월 전국모의고사 고`

5 가 형 수리 영역 5 6. 용액의 산성 정도를 알려 주는 H는 용액 L 중에 있는 수소 이온 (H±)의 농도(mol/L)의 역수에 대하여 다음과 같이 밑이 0인 로그의 값으로 정의한다. 즉, (H의 값)=log º (H±의 농도) 이때 H의 값이 7보다 작을 때는 산성, 7일 때는 중성, 7보다 클 때는 알칼리성이라고 한다. 다음은 어느 도시의 일 년 중 빗물과 지하수에 대한 H의 값의 최댓값과 최솟값을 조사한 것이다. 용액 최댓값 H 최솟값 빗물 5..5 지하수 단답형 8. 다항함수 f()에 대하여 f()-5 lim = f(+5) 이 성립할 때, lim 의 값을 구하시오. 0 이때 일 년 중 빗물의 수소 이온(H±)의 농도의 최댓값과 최솟값의 차는 지하수의 수소 이온(H±)의 농도의 최댓값과 최솟값의 차의 몇 배인가? 오른쪽 그림과 같이 정 사각형 ABCD의 한 변을 빗변으로 하는 직각삼각형 CDE를 만들고 다음으로 직각삼각형의 직각을 낀 두 변을 각각의 한 변으로 하 는 두 정사각형을 만든다. 다시 정사각형의 한 변을 빗변으로 하는 직각삼각형을 삼각형 CDE와 닮음이 되게 만든다. 이와 같이 정사각형과 직각삼각형을 한없이 만들어 갈 때 이 도형을 피타고 라스의 나무라고 한다. 처음 정사각형 ABCD의 넓이를 S, 두 번째 만 들어지는 정사각형 중 왼쪽에 있는 것의 넓이를 S, 세 번째 만들어지 는 정사각형 중 왼쪽에 있는 것의 넓이를 S, 이와 같이 계속하여 n번 째 만들어지는 정사각형 중 왼쪽에 있는 것의 넓이를 S«이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 도형이 겹치더라도 넓이는 별도로 계산한다.) ㄱ. 무한급수 ; S«은 수렴한다. <보 기> ㄱ ㄷ ㄱ, ㄴ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ S S D A S S E C B ㄴ. 피타고라스의 나무에 들어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합은 발산한다. ㄷ. 피타고라스의 나무에 들어 있는 모든 직각삼각형의 넓이의 합 은 수렴한다. n= 9. 오른쪽 그림과 같이 두 점 F, F'을 두 초점으로 하는 쌍곡선 - =에 대하여 타원 a b (-) + =의 두 초점은 5 쌍곡선 - =의 점근선 위 a b 에 있고, 장축의 꼭짓점은 쌍곡선 q - = 위에 있다. 선분 FF'의 길이를 (, q는 서로소인 자연 a b 수)라 할 때, +q의 값을 구하시오. F' F 008년 0월 전국모의고사 고` 5

6 6 수리 영역 가 형 0. 일직선 위를 움직이는 점 P가 원점 를 통과한지 t초 후의 속도가 v(t)=t -0t+이다. 이때 점 P가 원점 를 지날 때와 반대 방향 으로 움직이는 동안 속력이 최대가 되는 것은 방향을 바꾼 후 l만큼의 거리를 움직인 후이다. 이때 60l의 값을 구하시오.. 기록에 의하면 양궁 선수 A가 화살을 한 발 쏘았을 때 얻는 점수 X의 확률분포 는 오른쪽 표와 같다고 한다. A가 양궁 경기에서 8발의 화살을 쏘았을 때, 0점 을 얻은 화살 수가 5발 이상일 확률 에 대하여 00의 값을 구하시오. (단, Z가 표준정규분포를 따를 때, P(0{Z{)=0., P(0{Z{)=0.8로 계산한다.) X P(X) 이하 0.5. 오른쪽 그림과 같이 삼차함수 f()= - -+k(k는 상수)의 그래 프와 직선 =m가 세 점 A, B, C에서 만나고 있다. 두 점 A, C에서의 접선이 축과 만나는 점을 각각 D, E라 한다. A =C 이고, (직선 AD의 기울기):(직 선 CE의 기울기)= : 5일 때, 선분 DE 의 길이를 구하시오. A D = - -+k =m B C E. 다음 [그림 ]과 같이 각 면에,,,, 5, 6의 수가 각각 한 번씩 적혀 있는 정육면체와 [그림 ]와 같이 각 면에,,, 가 각각 한 번 씩 적혀 있는 정사면체가 있다. 먼저 정육면체를 두 번 던지고, 정사면 체를 한 번 던질 때, 바닥에 닿는 면에 있는 수를 차례로 a, b, c라 하 자. 이때 (a-b)(b-c)(c-a)=0을 만족하는 순서쌍 (a, b, c)의 개 수를 구하시오. 6 [그림 ] [그림 ] 008년 0월 전국모의고사 고` 6

7 가 형 수리 영역 7. 다음 그림과 같은 대진표에 의하여 토너먼트 방식으로 시합을 가지 면 예선전 경기와 준결승전, 결승전으로 승부가 가려진다. 선택 과목 (결승전) (준결승전) (예선전) 미분과 적분 위 대진표에 의하여 A팀, B팀을 포함한 7팀이 시합을 치렀다. A팀이 B팀을 이길 확률은 이고, 나머지 시합에서 각 팀이 이길 확률은 모 두 이라고 한다. A팀과 B팀이 결승전에 올라 A팀이 우승했을 때, 우승한 A팀이 예선전을 거쳤을 확률 에 대하여 00의 값을 구하시 오. cos0 sin 의 값은? cos0 sin70 '+' ' ' +' 5 +' 5. 오른쪽 그림과 같이 구 C : + +(z-) =가 축을 포함하는 평면 a에 접하고 있다. 구 면 C의 평면 a 위로의 정사영을 T 라 하고, 도형 T의 z 평면 위로의 정사영의 넓이를 S라 할 때, 값을 구하시오. 9S 의 a z 7. 오른쪽 그림과 같이 B=90 이고, AB =', PB =인 직각삼 각형 PAB를 점 P를 중심으로 만큼 회전시킨 삼각형을 PA'B'이 라 한다. 또, 점 A, B에서 두 변 PA', PB'에 내린 수선의 발을 각각 H, K라 한다. AH +PK =AB 의 관계가 성립할 때, 의 값은? {단, 0<< } A' H A ' K B' P B 008년 0월 전국모의고사 고` 7

8 8 수리 영역 가 형 8. 오른쪽 그림과 같이 곡선 =ln를 축 방향으로 ln만큼 평행이동한 다음, 축 방향으로 평행이동하여 원점 를 지나도록 한 곡선을 =f()라 하고, 곡선 =e 를 축 방향으로 -ln만 큼 평행이동한 다음, 축 방향으 로 평행이동하여 원점 를 지나 도록 한 곡선을 =g()라 한다. 또, 직선 =k(k>0)가 두 곡선 =f(), =g()와 축과 만나는 점을 각각 P, Q, A라 한다. 이때 lim k 0 AP 의 값은? AQ ln log e log e 5 ln e =k Q P A =f() =g() 단답형 0. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에서 길이가 0인 막대의 한 끝점 P가 원점 를 출발하여 곡 선 =0sin 위를 움직임에 따 라 다른 끝점 Q는 축 위에서 움 직이고 있다. 점 P가 매초 0의 속력으로 곡선을 따라 움직일 때, 점 P가 점 (,0)을 지나가는 순간의 점 Q의 속력은 초속 v이 00 다. 이때 의 값을 구하시오. (단, 점 Q의 좌표는 항상 점 P의 좌 v 표보다 작거나 같다.) Q 0 0 P =0sin 9. 연속함수 f()가 다음 두 조건을 만족한다. 임의의 실수 에 대하여 f(+)-f()=e- 0{{에서 f()=e ` 0 이때 정적분 f()d의 값은? (단, e는 자연로그의 밑이다.) e+ e+ e+6 6e-6 5 6e- 확인 사항 쭚 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 008년 0월 전국모의고사 고` 8

9 가 형 수리 영역 9 선택 과목 확률과 통계 6. 다음은 어느 학급에서 등교 시간이 시간 이내인 0명의 등교 시간 을 조사하여 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수를 잎으로 하는 줄기와 잎 그림이다. (단, 등교 시간의 단위는 분이다.) 줄기 7 9 잎 어느 도시의 초등학생 중 영어 학원을 다니고 있는 학생의 비율은 6.5%라고 한다. 이 도시에서 초등학생 50명을 임의로 뽑았을 때, 영 어 학원을 다니는 학생의 표본비율 ^에 대하여, 다음 중 ^의 분포에 대 한 설명 중 옳은 것은? 5 ^는 정규분포 N{, }에 가까워진다 ^는 정규분포 N{, }에 가까워진다 ^는 정규분포 N{, }에 가까워진다 ^는 정규분포 N{, }에 가까워진다 ^는 정규분포 N{, }에 가까워진다 이 자료에서 중앙값을 a라 하고, 등교 시간이 0분 이내인 학생들의 평 균 등교 시간을 b라 할 때, a+b의 값은? 이산확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=k)=ck (k=,,, 5) 일 때, 확률변수 X 의 기댓값은? (단, c는 상수이다.) 년 0월 전국모의고사 고` 9

10 0 수리 영역 가 형 9. 정규분포 N(m, )을 따르는 확률변수 X에 대하여, X의 값이 0 보다 크거나 같을 확률을 f(m)이라 하자. 이때 <보기>에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. f(-)<f() ㄴ. f(0)=f(-)+f() ㄷ. f(m)= lim m <보 기> ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 0. 농구 선수 김군은 자유투를 두 번 연속하여 던지면 첫 번째와 두 번 째의 자유투를 성공시킬 확률이 각각 60%, 75%라 한다. 어느 농구 시 합에서 김군에게 성공할 때마다 각각 점이 주어지는 자유투를 번 던 질 기회가 주어졌다. 김군이 이 기회에서 점을 얻었을 때, 첫 번째 던 n 진 자유투를 성공시켰을 확률은 (m, n은 서로소인 자연수)이다. 이 m 때 m +n 의 값을 구하시오. 확인 사항 쭚 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 008년 0월 전국모의고사 고` 0

11 가 형 선택 과목 이산수학 수리 영역 7. 무게가 g, g, g, g,, g, g인 추가 각각 개씩 있다. 000g의 무게를 정확하게 재기 위하여 필요한 추의 개수는? (단, 추는 한쪽에만 올려놓는다.) (++z) = + +z ++z+z이므로 (++z) 을 전개하면 서로 다른 항의 개수는 6개이다. (++z) 을 전개할 때, 서로 다른 항의 개수는? 오른쪽 그림과 같이 흰색과 검은 색의 바둑돌을 두 줄로 배열하되 검 은색 바둑돌은 위 아래와 옆으로 서 로 인접하지 않게 배열한다. 바둑돌 을 두 줄로 n개 배열하는 방법의 수를 a«이라 할 때, 다음의 점화관계 가 성립한다고 한다. a«=a«+qa«(n}) 이때 +q의 값은? 년 0월 전국모의고사 고`

12 수리 영역 가 형 9. 연경이와 용찬이는 같이 사용하던 장난감을 나누어 갖기로 하고 각 장난감에 대해 생각하는 가치를 다음 표와 같이 적어 내었다. 장난감을 연경이와 용찬이에게 공평하게 분배하였을 때, 연경이가 생각하는 자 신에게 분배된 가치는? 장난감 연경 용찬 A B C D 합계 (단위:원) 단답형 0. 오른쪽 그림과 같이 경계가 주 어진 지도가 있다. 서로 경계가 만 나는 두 나라는 서로 다른 색으로 칠하되 최소의 색을 이용하여 칠 하기로 한다. 이때 최소의 색을 이 용하여 지도를 색칠하는 방법의 수를 구하시오 확인 사항 쭚 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 008년 0월 전국모의고사 고`

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1 절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오.

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