필수예제 중복순열 02 같은 것이 있는 순열 모스 부호 ㆍ, - 를 사용하여 부호를 만들 때, ㆍ과 -에서 개를 뽑아 만들 수 있는 부호의 수를 필수예제 함수의 개수 두 집합 일 때, 다음을 (1) 에서 로의 함수의 개수 (2) 에서 로의 일대일함

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1 01 중복순열 개념체크 중복순열을이용하는 정수 1-중복순열 (1) 중복순열 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 순열을 개에서 개를 택하는 중복순열이라 하고 기호 로 와 같이 나타낸다. (2) 중복순열의 수 개 (3) 중복순열의 계산법 에서 (4) 중복순열인 경우 은 받는 쪽 (고정 숫자) 는 주는 쪽 (선택 숫자) 으로 생각하자. 1 중복을 허락하는 자리 수 문제 2 기명투표 문제 3 모스부호(ㆍ, -) 문제 4 깃발 신호 문제 5 우체통 문제 6 반 편성 문제 7 함수의 개수 문제 8 호텔 투숙 문제 다음 물음에 답하여라. (1) 에서 서로 다른 세 숫자를 사용해서 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수를 (2) 에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수를 (3) 에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수를 확인체크 서로 다른 편지 통을 서로 다른 개의 우체통에 넣는 방법의 수를 명의 여행자가 곳의 호텔에 투숙하는 방법의 수를 개념체크 중복순열 다음 물음에 답하여라. (1) 파랑, 흰색, 빨강의 가지 깃발을 번 들어서 만들 수 있는 신호의 수를 (2) 명의 선거인이 명의 후보에게 투표하는 방법의 수를 (단, 기명 투표로서 한 사람이 한 표를 투표하고, 기권은 없는 것으로 한다.) 에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수를 - 1 -

2 필수예제 중복순열 02 같은 것이 있는 순열 모스 부호 ㆍ, - 를 사용하여 부호를 만들 때, ㆍ과 -에서 개를 뽑아 만들 수 있는 부호의 수를 필수예제 함수의 개수 두 집합 일 때, 다음을 (1) 에서 로의 함수의 개수 (2) 에서 로의 일대일함수의 개수 1-같은 것이 있는순열 (1) 같은 것이 있는 순열의 수 개 중 같은 것이 각각 개, 개, 개,, 개가 있을 때, 이들 개를 모두 사용하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 (단, ) (2) 순서가 정해진 순열의 수 서로 다른 개 중 특정한 개의 순서가 일정하게 정해졌을 때, 이들 개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 필수예제 같은 것이 있는 순열 확인체크 모스 부호 ㆍ, -에서 개를 뽑아 만들 수 있는 부호의 수를 다음을 (1) 의 개의 숫자를 모두 사용하여 만들 수 있는 자리 정수의 개수 (2) 의 개의 숫자로 만들 수 있는 자리 정수의 개수 (3) 개의 숫자 로 만들 수 있는 자리 정수의 개수 두 집합 일 때, 다음을 (1) 집합 에서 로의 함수의 개수 (2) 집합 에서 로의 일대일함수의 개수 확인체크 의 개의 숫자를 모두 사용하여 만들 수 있는 자리 정수의 개수를 - 2 -

3 success의 개의 문자 전부를 사용하여 일렬로 배열하는 방법의 수를 필수예제 같은것이있는순열(조건이 있는 경우) 다음 물음에 답하여라. (1) tomorrow의 개의 문자를 일렬로 배열할 때, 양 끝에 가 오도록 배열하는 경우의 수를 (2) agreement의 개의 문자를 모음끼리 이웃하여 배열하는 경우의 수를 숫자 개를 개, 을 개 가지고 만들 수 있는 자리 정수의 개수를 필수예제 순서가 정해진 순열의 수 challenge의 개의 문자를 모두 사용하여 일렬로 나열할 때, c h a l l은 이 순서로 배열하는 방법의 수를 의 개의 숫자를 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 자리의 정수의 개수를 확인체크 mathematics의 문자에 대하여 다음을 (1) 모든 문자를 사용하여 만들 수 있는 순열의 수 (2) m이 양 끝에 오도록 하는 순열의 수 개의 숫자 중 개를 택하여 만들 수 있는 자리 정수 중 의 배수의 개수를 개의 문자 a a b b c d를 일렬로 배열할 때, c와 d가 서로 인접하지 않도록 배열하는 경우의 수를 technique의 문자를 사용하여 만들어지는 순열에서 t n i 의 순서로 배열하는 경우의 수를 - 3 -

4 필수예제 최단 경로의 수 03 원순열 오른쪽 그림은 A 지점에서 B 지점으로 가는 도로망을 나타낸 것이다. A 지점에서 C 지점을 거치지 않고 B 지점으로 가는 가장 가까운 길의 수를 (1) 원순열 서로 다른 개를 원형으로 배열하는 것을 원순열이라 한다. (2) 원순열의 수 1 서로 다른 개를 원형으로 배열하는 방법의 수는 P 1-원순열 2 특히 서로 다른 개에서 개를 택하여 원형으로 배열하는 방법의 수는 P 확인체크 오른쪽 그림과 같이 A 에서 B 로 가는 도로망이 같은 간격으로 되어 있다. A 에서 C 를 거치지 않고 B 로 가는 최단 경로의 수를 2-다각형의 둘레에 배열하는 순열의 수 (1) 정사각형의 식탁에 명을 앉히는 방법의 수 (2) 정사각형이 아닌 직사각형의 식탁에 명을 앉히는 방법의 수 (3) 정삼각형의 식탁에 명을 앉히는 방법의 수 오른쪽 그림과 같은 도로망에서 도로를 따라 A 지점에서 B 지점에 이르는 가장 가까운 길의 수를 - 4 -

5 필수예제 원탁에 둘러 앉는 경우의 수-원순열 필수예제 다각형의 둘러에 배열하는 경우의 수 여학생 명과 남학생 명이 원탁에 둘러 앉을 때 다음을 (1) 여학생끼리 이웃하여 앉는 방법의 수 (2) 여학생끼리 이웃하지 않게 앉는 방법의 수 오른쪽 그림과 같은 정사각형 모양의 탁자에 명이 앉는 방법의 수를 확인체크 확인체크 명의 남자와 명의 여자가 원탁에 둘러 앉을 때 남자와 여자가 교대로 앉는 방법의 수를 다음 그림과 같이 (1)은 명, (2)는 명을 탁자에 앉히는 방법의 수를 (1) 명의 가족이 원탁에 둘러 앉을 때 다음을 (1) 부모가 마주 앉도록 하는 방법의 수 (2) 부모가 이웃하여 앉는 방법의 수 (2) 어른 명과 아이 명이 손을 잡고 원형을 만드는 방법의 수를 (단, 어른과 어른은 손을 잡지 않는다.) 부모와 아이 명, 모두 명이 원탁에 앉을 때 다음을 (1) 부모 사이에 한 아이가 앉는 방법의 수 (2) 부모 사이에 세 명의 아이가 앉는 방법의 수 흰 공 개, 검은 공 개, 빨간 공 개를 원형으로 배열하는 방법의 수를 오른쪽 그림과 같은 정육각형 모양의 식탁에 명이 둘러 앉는 방법의 수가 일 때 상수 의 값을 - 5 -

6 필수예제 도형에 색칠하는 경우의 수 연습문제 오른쪽 그림과 같은 정삼각형을 크기가 같은 네 개의 정삼각형으로 나누고 초록, 노랑, 빨강, 파랑의 가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 세 쌍의 부부가 원탁에 둘러 앉을 때 남편 세 사람이 모두 자기 부인과 이웃하여 앉는 방법의 수를 확인체크 오른쪽 그림과 같이 개의 영역으로 나누어진 원을 서로 다른 개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 (단, 가운데 원을 제외한 개의 도형은 모두 합동이다.) 워드프로세스 시험에서 명이 합격 또는 불합격 판정을 받는 경우의 수를 명의 사람이 원형의 탁자에 둘러 앉을 때 특정한 명이 이웃하여 앉는 방법의 수를 오른쪽 그림과 같이 정사각형을 등분한 영역을 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 combination의 문자를 모두 사용하여 만든 순열 중 두 개의 i 가 하나는 짝수 번째에 다른 하나는 홀수 번째에 있는 순열의 수는? 오른쪽 그림과 같은 정사각뿔의 각 면을 서로 가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 오른쪽 그림과 같이 정오각형의 식탁에 명이 둘러 앉는 방법의 수를 - 6 -

7 정육면체의 개의 면에 부터 까지의 숫자를 하나씩 써서 주사위를 만들고자 한다. 몇 가지 종류의 주사위를 만들 수 있는지 다음 그림과 같은 도로망에서 A 에서 출발하여 B 로 가는 최단 경로의 수를 (1) 남학생 명과 여학생 명이 원탁에 둘러 앉을 때 남학생끼리 이웃하지 않는 경우의 수는? (2) equations의 모든 문자를 사용하여 만든 순열 중에서 자음 q, t, n, s가 이 순서로 나열되는 경우의 수를 오른쪽 그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 갑은 A 에서 C 까지 굵은 선을 따라 걷고 을은 C 에서 A 까지 굵은 선을 따라 걸으며 병은 B 에서 D 까지 도로를 따라 최단 거리로 걷는다. 갑, 을, 병 세 사람이 모두 만나도록 병이 B 에서 D 까지 가는 경로의 수를 (단, 갑, 을, 병은 동시에 출발하고 같은 속력으로 걷는다고 가정한다.) 두 집합, 에 대하여 함수 중에서 인 것의 개수는? 심화문제 자리의 이진법의 수 중에서 짝수의 개수를 , 의 두 가지 부호를 상용하여 서로 다른 개의 신호를 만들 때 최소한으로 필요한 부호의 수를 여섯 개의 숫자,,,,, 를 일렬로 배열할 때 짝수는 반드시 짝수 번째에 오도록 배열하는 방법의 수를 - 7 -

8 ,,, 의 네 개의 숫자를 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수 중에서 이 적어도 한 번 들어가 있는 정수의 개수를 오른쪽 그림은 A지점에서 B 지점으로 가는 도로망을 나타낸 것이다. 어두운 부분은 통과하지 못할 때 A 지점에서 B 지점까지 가는 최단 경로의 수를 개의 숫자,,,,, 로 만들 수 있는 자리의 정수의 개수를 ,,,,,, 의 개의 숫자로 만들어지는 자리 짝수의 개수를 오른쪽 그림과 같이 개의 정사각형이 그려진 정사각형의 판자에 서로 다른 개의 색을 칠하는 방법의 수는? (단, 판자는 고정되어 있지 않다.) 단으로 된 계단을 단 또는 단씩 오를 때, 이 계단을 오르는 방법의 수를 - 8 -

9 04 중복조합 개념체크 중복조합 1-중복조합 (1) 중복조합의 뜻 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 조합을 중복조합이라 한다. (2) 중복조합의 수계산 방법 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수는 H C 다음을 계산하여라. ⑴ H ⑵ H ⑶ H 필수예제 중복조합 2- P,, C, H 의 차이점 (1) 순서는 생각하되 중복을 허락하지 않는다. 순열( P ) (2) 순서는 생각하되 중복을 허락한다. 중복순열( ) (3) 순서는 생각하지 않고 중복도 허락하지 않는다. 조합( C ) (4) 순서는 생각하지 않고 중복은 허락한다. 중복조합( H ) 다음 물음에 답하여라. (1) 감, 사과, 배의 세 종류의 과일 중에서 개의 과일을 사는 방법의 수를 (2) 명의 유권자가 A B 두 후보에 대하여 무기명 투표로 한 명의 후보에게 각각 투표할 때, 투표하는 방법의 수를 (단, 기권이나 무효는 없는 것으로 한다.) 확인체크 개의 같은 물건을 모양이 서로 다른 개의 상자에 넣는 방법의 수를 명의 선거인이 명의 후보자에게 무기명으로 투표하는 방법의 수를 (단, 기권이나 무효는 없는 것으로 한다.) 동일한 개의 편지를 서로 다른 개의 우체통 A B C 에 넣으려고 할 때, 그 방법의 수를 - 9 -

10 필수예제 중복조합의 응용 05 이항정리 을 전개했을 때, 서로 다른 항 수를 필수예제 중복조합의 응용 방정식 을 만족시키는 에 대하여 다음을 (1) 음이 아닌 정수해의 개수 (2) 양의 정수해의 개수 1-이항정리 (1) 이항정리 이 양의 정수일 때, 을 전개하면 다음과 같다. C C C C c C 이처럼 을 전개하는 것을 이항정리라 한다. 이때 C 을 전개식의 일반항이라 한다. (2) 이항계수 이항정리의 전개식에서 각 항의 계수 C C C C C 을 이항계수라 한다. 2-파스칼P ascal의 삼각형 C C C 이므로 의 전개식의 계수는 서로 이웃한 두 계수의 합으로 구할 수 있다. 이항계수를 다음 그림과 같이 삼각형 모양으로 나열한 것을 파스칼의 삼각형이라 한다. 일 때, 의 계수 일 때, 의 계수 일 때, 의 계수 일 때, 의 계수 확인체크 다음 식을 전개할 때, 생기는 서로 다른 항 수를 (1) ⑵ 3-이항계수의 성질 (1) C C C C (2) C C C C C (3) C n C n C n C n C n C n 방정식 을 만족시키는 에 대하여 다음을 (1) 음이 아닌 정수해의 개수 (2) 양의 정수해의 개수 (4) C C C C 4-다항정리 (삼항 이상) ( 이고, )에 대하여 (1) 일반항 : (2) 의 계수 :

11 보충학습 개념체크 이항정리와 파스칼의 삼각형 이항정리와 이항정리의 일반항 다음 물음에 답하여라. 임의의 자연수 에 대하여 의 전개식을 조합을 이용하여 구해보자. 을 전개하면 = 을 전개하면 모든 항은 에 대한 삼차항으로 되어 있다. 여기서 의 계수 이 어떻게 얻어졌는지 생각해 보면 는 세 인수 중의 두 인수로부터 를 택하고 남는 한 인수로부터 를 택하여 곱한 다항식 의 합으로 된 것이다. 따라서 의 계수 은 개의 인수로부터 한 개의 를 택하는 방법의 수 C 과 같다. 이와 같은 방법으로 생각하면 의 계수 C 의 (1) 을 이항정리를 이용하여 전개하여라. (2) 을 파스칼의 삼각형을 이용하여 전개하여라. 필수예제 이항정리를 이용하여 계수 구하기 다음을 (1) 의 전개식에서 의 계수 (2) 의 전개식에서 의 계수 계수 C 의 계수 C 임을 알 수 있다. 그러므로 의 전개식을 조합의 기호를 써서 나타내면 다음과 같다. C C C C 일반적으로 은 개 이므로 의 전개식은 개의 인수 의 각각에서또는 를 하나씩 선택하여 곱한 단항식의 합이다. 이때 의 전개식에서 은 개의 인수 중 개의 인수에서 를 택하고 나머지 개의 인수에서 를 택하여 곱한 것이므로 의 계수는 C 이다. 따라서 에 대하여 각 항의 계수는 C C C C C 의 꼴이고 다음과 같은 전개식을 얻는다. C C C C C 위의 전개식을 이항정리라 하고 계수 C C C 을 이항계수라 한다. 또한, 번째 항 C 을 전개식의 일반항이라 한다. 이때 C C 이므로 두 항 과 의 계수는 서로 같다. 확인체크 을 이항정리를 이용하여 전개하여라 다음 식의 전개식에서 주어진 항의 계수를 (1), 상수항 (2) (3) (4) 의 전개식에서 상수항이 이 되는 양의 상수 의 값을

12 필수예제 다항식의 곱에서 계수 구하기 필수예제 다항정리 의 전개식에서 의 계수를 다음 물음에 답하여라. (1) 의 전개식에서 의 계수를 (2) 의 전개식에서 의 계수를 필수예제 등비수열의 합과 이항정리 다음 등비수열의 전개식에서 의 계수를 확인체크 의 전개식에서 의 계수를 확인체크 의 전개식에서 의 계수를 의 전개식에서 의 계수를 의 전개식에서 의 계수를 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 실수 의 값을 의 전개식에서 의 계수를

13 필수예제 파스칼의 삼각형 오른쪽과 같은 파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 식의 값과 같은 것을 고르면? C C C C C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 필수예제 이항계수의 성질 응용 다음 물음에 답하여라. (1) C C C C 을 만족시키는 의 값을 (2) log C 의 값을 (3) C C C C 를 만족시키는 의 값을 (4) C C C C 을 만족시키는 의 값을 확인체크 파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 식의 값을 간단히 나타내어라. (1) C C C C C (2) C C C C C 확인체크 C 의 값을 log C 의 값을 C C C C C C 의 값과 같은 것은? 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C C C C C 를 만족시키는 의 값을 C C C C 을 만족시키는 의 값을 C C C C C C 의 값을

14 연습문제 방정식 을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를, 양의 정수해의 개수를 이라 할 때, 의 값을 의 전개식에서 상수항은? 다음 물음에 답하여라 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값을 (1) log 의 값 (2) 을 만족시키는 자연수 의 값 (3) 의 값 을 전개하였을 때, 상수항이 있도록 하는 자연수 의 최솟값을 같은 종류의 볼펜자루를 세 사람에게 나누어 주려고 한다. 다음을 (1) 같은 종류의 볼펜자루를 나누어 주는 방법의 수 (2) 같은 종류의 볼펜자루를 한 사람에게 적어도 자루씩 나누어 주는 방법의 수 다음을 (1) 을 만족시키는 의 값 (2) log 의 값 의 값 (3) (4) 일 때, 의 값

15 다음 물음에 답하여라 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 실수 의 값을 (1) 의 전개식에서 의 계수를 (2) 의 전개식에서 의 계수를 의 전개식에서 연속되는 세 항의 계수들이,, 일 때, 의 값을 의 값을 라고 할 때, log 의 값을 의 전개식에서 의 계수가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 의 값을 다음 중 와 같은 것은? 심화문제 에 관한 이차방정식 의 두 근이, 이고 일 때, 의 값을 다음 물음에 답하여라. (1) 의 전개식에서 의 계수를 (2) 의 전개식에서 의 계수를 (3) 의 전개식에서 의 계수를 (4) 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수를 을 으로 나눈 나머지는?

16 의 전개식을 이용하여 의 값을 구하면? (단, ) 수능기출문제 의 전개식에서 의 계수는? 일 때, 과 과의 차가 보다 작게 되는 자연수 의 최솟값을 다항식 의 전개식에서 의 계수와 상수항의 합이 일 때, 양의 상수 의 값은? 를 일렬로 배열하여 여섯자리의 자연수를 만들 때, 보다 큰 자연수의 개수를 의 전개식에서 의 계수를 이라 할 때, 의 값을 (단, 은 정수) 의 전개식에서 의 계수는? 의 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리의 숫자를 각각 라 할 때, 의 값을

17 세 숫자 을 중복을 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때 과 가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는? 다항식 의 전개식에서 의 계수와 다항식 의 전개식에서 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 에 대하여 의 최댓값을 (단, 는 자연수이고, 은 인 자연수) 오른쪽 그림과 같이 개의 섬이 있다. 개의 다리를 건설하여 개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같이 가지 봉사활동 프로그램을 운영하고 있다. 프로그램 봉사활동 시간 1시간 2시간 3시간 4시간 철수는 이 사회봉사센터에서 일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를 작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는? 문자 에서 중복을 허락하여 세 개를 택한 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면, 등은 수신이 불가능하고 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 원개가 서로 외접하고 있는 형태이다. 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 지점에 도착하는 경우의 수를 (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 원의 접점을 나타낸다.)

18 평가원, 교육청 기출문제 log 의 값을 어느 대학교학기 수시모집에서 지원한 남학생명과 여학생명을 토론식 면접을 하기 위하여 오른쪽 그림과 같이 정사각형 모양의 개의 의자에 앉히려 한다. 붙어 있는 의자 에는 반드시 남녀가 명씩 앉도록 할 때, 이들 명이 앉을 수 있는 모든 방법의 수는? 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 값을 개의 문자 를 일렬로 나열할 때, 양쪽 끝에는 서로 다른 문자가 오는 경우의 수를 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수를 (단, 는 상수이다.) 다음 물음에 답하여라 개의 문자 를 일렬로 나열할 때, 끼리 또는 끼리 이웃하게 되는 모든 경우의 수를 (1) 다항식 의 전개식에서 의 계수를 (2) 다항식 의 전개식에서 의 계수가 의 계수의 배일 때, 양의 상수 의 값을 자연수 에 대하여 일 때, 의 값을

19 을 전개한 식에서 의 계수는? 다음 그림과 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라 한다. 어두운 부분의 모든 수들의 합은? 다항식 의 전개식에서 의 계수는? 갑, 을 두 사람이 어떤 게임을 해서 다음과 같은 규칙에 따라 사탕을 갖는다고 한다 다음 그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 교차로 와 교차로 를 지날 때에는 직진 또는 우회전을 할 수 있으나 좌회전은 할 수 없다고 한다. 이 때 지점에서 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 (가) 이긴 사람은 개, 진 사람은 개의 사탕을 갖는다. (나) 비기면 두 사람이 각각 개씩 사탕을 갖는다. 갑, 을 두 사람이 이 게임을 다섯 번 해서 개의 사탕을 개씩 나누어 갖게 되는 경우의 수를 (단, 사탕은 서로 구별되지 않는다.) 다음 그림과 같은 모양의 도로망이 있다. 지점 에서 지점 까지 도로를 따라 최단거리로 가는 경우의 수는? (단, 가로 방향 도로와 세로 방향 도로는 각각 평행하다.)

20 박자는 분음을 한 박으로 하여 한 마디가 네 박으로 구성된다. 예를 들어, 박자 한 마디는 분음표( ) 또는 분음표( )만을 사용하여 또는 와 같이 구성할 수 있다. 분 음표 또는 분 음표만 사용하여 박자의 한 마디를 구성하는 경우의 수를

21 01 중복순열 1. 정답 (1) (개) (2) (가지) (1) 파랑, 흰색, 빨강의 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 (개) (2) 각 선거인마다 가지의 투표하는 방법이 있으므로 명의 후보에서 중 복을 허락하여 개를 택하는 중복순열의 수와 같게 된다. (가지) 2. 정답 (1) (개) (2) (개) (3) (개) (1) 개에서 개를 택하는 순열의 수와 같으므로 P (개) (2) 개에서 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 (개) (3) 백의 자리에는 이 올 수 없으므로 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 의 가지 이 각각에 대하여 십의 자리, 일의 자리에는 의 개의 수 중에서 개를 택하는 중복순열이 되므로 따라서 구하는 개수는 (개) 3. 정답 한 통의 편지를 우체통에 넣는 방법의 수는 가지이므로 세 통의 편지를 넣는 경우는 (가지) 다른풀이 공식을 이용하면 (가지) 4. 정답 한 사람이 호텔에 투숙하는 방법은 가지이므로 명인 경우는 (가지) 다른풀이 공식을 이용하면 (가지) 5. 정답 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 을 제외한 가지, 백, 십, 일의 자리에는 개의 숫자 중 개를 택하는 중복순열이므로 (개) 6. 정답 (개) ㆍ과 -에서 개를 뽑아 모스 부호를 실제로 만들어 보면 ㆍㆍㆍ, ㆍㆍ-, ㆍ-ㆍ, -ㆍㆍ, ㆍ--, -ㆍ-, --ㆍ, --- 의 가지이다. 이것은 개에서 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 (개) (1) 의 개(집합 의 원소의 개수)에서 중복을 허락하여 개(집합 의 원소의 개수)를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 함수의 개수는 (개) (2) 에서 서로 다른 개(집합 의 원소의 개수)를 택하여 (중복을 허용하지 않음)일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 P (개) 8. 정답 개의 모스 부호 중에서 중복을 허락하여 개를 뽑아 나열하는 중복순열의 수와 같으므로 (개) 9. 정답 (1) (개) (2) (개) (1) (개) (2) (개) 02 같은 것이 있는 순열 10. 정답 (1) 개 (2) 개 (3) 개 (1) 전체 경우의 수는 개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수이고 1이 개이므로 (개) (2) 전체 경우의 수는 개의 숫자 모두를 일렬로 배열하는 경우의 수이고 1이 2개, 2가 3개이므로 맨 앞자리에 0이 오는 수를 제외한 수들을 배열하는 경우의 수는 의 5개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수이고 이때 1이 2개, 2가 3개이므로 따라서 구하는 6자리 정수는 (개) (3) 에서 4개를 택하는 방법은, 의 2가지가 있다. (ⅰ) 의 경우 (ⅱ) 의 경우 따라서 구하는 4자리 정수는 (개) 11. 정답 1이 3개, 2가 2개인 숫자를 일렬로 배열하는 순열의 수이므로 (개) 12. 정답 가 3개, 가 2개, 가 1개, 가 1개인 문자를 일렬로 배열하는 순열 의 수는 (가지) 7. 정답 (1) (개) (2) (개) 13. 정답 숫자 2가 4개, 3이 3개이므로

22 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 여기서 4개를 택하는 방법은 (2, 2, 2, 2), (2, 2, 2, 3), (2, 2, 3, 3), (2, 3, 3, 3) 의 4가지가 있다. (2, 2, 2, 2)의 경우 1가지 (2, 2, 2, 3)의 경우 (가지) (2, 2, 3, 3)의 경우 (가지) (2, 3, 3, 3)의 경우 (가지) (개) 14. 정답 7개의 숫자 모두를 일렬로 배열하는 경우의 수는 1이 3개, 2가 2개이므 로 (가지) 맨 앞자리에 0이 오는 수를 제외한 수들을 배열하는 경우의 수는 1, 1, 1, 2, 2, 3의 6개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수이고, 이때 1이 3개, 2가 2개이므로 (가지) 따라서 구하는 정수의 개수는 (개) 15. 정답 3의 배수인 경우는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수일 때이므로 7개의 숫자 중 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수, 즉 6, 9가 되도록 4개를 뽑는 경우는 (ⅰ) (1, 1, 2, 2)의 경우 (가지) (ⅱ) (1, 2, 3, 3)의 경우 (가지) (ⅲ) (2, 2, 2, 3)의 경우 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 16. 정답 (1) 가지 (2) 가지 (1) o o와 같이 양 끝에 o를 배열하고 중간에 t m r r o w를 일렬로 배열하면 되는데 가 2개이므로 (가지) (2) 모음 a e e e가 이웃하므로 한 문자 로 바꾸어 생각하면 A g r m n t의 6개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 또, 모음 a e e e를 일렬로 배열하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 17. 정답 가지 c h a l l을 각각 로 바꾸어 생각하면 A A A A A e n g e의 개의 문자를 일렬로 배열한 후 첫 번 째, 두 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 를 각각 c h a l l로 바꾸는 방법의 수와 같으므로 (가지) 18. 정답 (1) (2) (1) 문자 11개 가운데 a m t는 2개씩이므로 구하는 순열의 수는 (가지) (2) m이 양 끝에 오도록 하는 경우는 개 문자 9개 가운데 a t는 2개씩이므로 구하는 순열의 수는 (가지) 19. 정답 a a b b c d를 일렬로 배열하는 겨웅의 수는 (가지) c d가 인접하므로 한 문자 로 바꾸어 생각하면 a a b b T의 5개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 (가지) 이때 c와 d의 자리를 바꾸는 경우의 수는 이므로 c와 d가 인접하도록 배열하는 경우의 수는 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 20. 정답 t n i 의 순서가 정해져 있으므로 그 문자를 같은 것으로 생각한다. 따라서 9개 중에서 같은 것이 3개와 2개 (e e)가 있을 때의 순열이므로 (가지) 21. 정답 (ⅰ) A 지점에서 B 지점으로 가는 최대 거리의 수는 a가 개, b가 개, 모두 개이므로 (가지) (ⅱ) A 지점에서 C 지점으로 가는 최대 거리의 수는 a가 개, b가 개, 모두 개이므로 (가지) C 지점에서 B 지점으로 가는 최대 거리의 수는 a가 개, b가 개, 모두 개이므로 (가지) A 지점에서 C 지점을 거쳐 B 지점으로 가는 방법의 수는 (가지) 따라서 A 지점에서 C 지점을 거지치 않고 B 지점으로 가는 거리의 수는 (가지)

23 22. 정답 A 에서 B 로 가는 최단 경로의 수는 A 에서 C 를 거쳐 B 로 가는 최단 경로의 수는 23. 정답 (가지) 가장 가까운 길은 A P Q R G B 이고 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 26. 정답 (1) (2) (1) 아버지의 자리를 고정시키면 어머니의 자리는 자연히 고정되므로 남은 명의 순열의 수를 구하면 된다. (가지) (2) 부모를 한 묶음으로 생각하면 명을 원탁에 앉히는 방법이므로 부모끼리 자리를 바꾸는 방법이 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) (ⅰ) P Q 의 길 P C Q P D Q (가지) (ⅱ) R G 의 길 R E G 27. 정답 먼저 아이 명이 원형을 만드는 방법은 그 각각에 대하여 어린이와 어린이 사이의 개의 자리에서 개를 택하여 어른이 들어가면 되므로 그 방법의 수는 P (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) R F G (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 03 원순열 24. 정답 (1) (2) (1) 여학생 명을 명으로 생각하면 명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 여학생들끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 28. 정답 (1) (2) (1) 부모 사이에 어느 한 아이가 앉는 방법의 수는 P (가지) 부-아이-모를 명으로 생각하여 모두 명이 원탁에 앉는 방법의 수는 (가지) 부모가 자리를 바꾸는 경우는 가지 (가지) (2) 부모 사이에 세 명의 아이가 앉게 되면 부모가 마주 보게 되므로 부모의 위치를 고정하면 남은 명의 아이들의 순열의 수가 된다. (가지) (2) 남학생 명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (가지) 여학생은 남학생과 남학생 사이의 개의 장소 중에 서 개를 택하여 앉으면 되므로 그 방법의 수는 P (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 29. 정답 흰 공 개, 검은 공 개, 빨간 공 개를 일렬로 배열하는 방법은 가 있지만 이 중 개씩은 같은 원순열을 이룬다. (가지) 가지 25. 정답 먼저 남자 명을 원탁에 앉히는 방법의 수는 이 각각에 대하여 남자를 사이사이에 여자를 앉히는 방법의 수는 30. 정답 (가지)

24 명이 원형으로 앉는 방법의 수는 (가지) 그런데 정사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 앉는 한 가지 방법에 대하여 가지의 서로 다른 방법이 있으므로 구하는 방법의 수는 (가지) 31. 정답 (1) (2) (1) 먼저 명을 식탁에 앉히는 방법의 수는 (가지) 또 명이 직사각형의 탁자에 앉을 때 1의 자리를 어느 자리에 고정시키느 냐에 따라 앉는 방법이 아래의 가지 경우로 달라진다. (가지) 34. 정답 가운데 원에 색을 칠하는 방법의 수는 가지 나머지 가지 색을 개의 영역에 칠하는 방법의 수는 개의 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 35. 정답 개의 영역에 가지 색을 칠하는 방법의 수는 그런데 이 도형을 회전시켰을 때 같은 모양이 가지가 나오므로 구하는 경우의 수는 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 36. 정답 정사각뿔의 밑면을 칠하는 방법의 수는 가지이고 나머지 가지 색을 옆면 에 칠하는 방법의 수는 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) (2) 먼저 명을 식탁에 앉히는 방법의 수는 (가지) 또 명이 정삼각형의 탁자에 앉을 때 1의 자리를 어느 자리에 고정시키느 냐에 따라 앉는 방법이 아래의 가지 경우로 달라진다. 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 32. 정답 명을 원형으로 앉히는 경우의 수는 그런데 정육각형인 경우는 서로 다른 경우가 각각 가지씩 존재하므로 구 하는 경우의 수는 (가지) 33. 정답 (가지) 오른쪽 그림과 같이 가원데 영역 1에 색칠하는 경우의 수는 가지 나머지 영역인 2, 3, 4에 색칠하는 방법의 수 는 영역 1에 색칠한 색을 제외한 나머지 가지 색을 원형으로 배열한 원순열의 수와 같으므로 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 연습문제 37. 정답 각 쌍을 묶어서 세 사람으로 보면 원탁에 배열하는 방법의 수는 (가지) 또 묶음 속에서 순서를 바꾸는 방법의 수는 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 38. 정답 한 사람이 합격 또는 불합격 판정을 받을 수 있으므로 구하는 경우의 수는 (가지) 39. 정답 특정한 명을 한 묶음으로 보면 모두 명이므로 명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (가지) 이 가지 각각에 대하여 묶음 속의 명을 일렬 로 세우는 방법의 수는 가지 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 40. 정답 3 개의 문자이므로 짝수 번째가 다섯 군데, 홀수 번째가 여섯 군데 있다

25 따라서 i 를 배열하는 방법의 수는 (가지) 또 n 이 개, o가 개 있으므로 경우의 수는 (가지) 41. 정답 명이 원형으로 둘러 앉는 방법의 수는 (가지) 그런데 정오각형의 경우는 원형으로 앉는 한 가지 방법에 대하여 가지의 서로 다른 방법이 있으므로 (가지) 42. 정답 을 쓴 면을 밑으로 놓으면 그것의 맞은편 면에는,,,, 의 가지를 쓸 수 있다. 또 각 경우에 대해서 옆면에 쓰는 방법은 개의 원순열이므로 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 43. 정답 4 여학생 명이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수는 (가지) 여학생과 여학생 사이의 개의 자리 중에서 개를 택하여 남학생을 앉히는 방법의 수는 P (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 P (가지) 44. 정답 q, t, n, s의 순서가 일정하므로 이것을 같은 문자로 생각하면 개의 문자 중에서 같은 것이 개다. 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 45. 정답 2 에서 로의 함수의 개수는 (개) 에서 로의 함수 중 인 함수의 개수는 (개) 따라서 구하는 함수의 개수는 (개) 46. 정답 부호 ( 또는 ) 개를 사용하여 만들 수 있는 신호의 수는 n 개이고 서로 다른 가지의 신호를 만들어야 하므로 n, 따라서 에서 의 최솟값은 이므로 최소한으로 필요한 부호는 개 다. 47. 정답 와 를 짝수 번째에 배열하는 방법의 수는 P (가지) 이 각각에 대하여,,, 를 나머지 자리에 배열하는 방법의 수는 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 48. 정답 (1) (2) (1) 오른쪽 그림의 도로망에서 A 에서 B 로 가는 최단 경로의 수는 그런데 (가지) A P B : 가지 A Q B : 가지 이다. 따라서 문제의 주어진 도로망에서 A 에서 B 로 가는 최단 경로의 수는 (가지) (2) A P Q R B (가지) (가지) 따라서 A 에서 B 로 가는 최단 경로의 수는 (가지) 49. 정답 갑과 을의 속력이 같으므로 갑과 을은 오른쪽 그림의 선분 EF의 중점에서 만나게 된다. 따라서 병은 선분 EF를 거쳐서 가야 한다. 즉, 병은 B F E D 의 경로로 가야 하므로 구하는 경로의 수는 (가지)

26 50. 정답 자리의 이진법의 수가 짝수이려면 맨 앞자리는 이고 맨 뒷자리는 이어 야 한다. 따라서 구하는 짝수의 개수는 (개) 51. 정답,,, 의 네 개의 숫자를 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수에서 백의 자리에는 을 제외한 개의 숫자가 올 수 있고 십의 자리와 일의 자리에는,,, 의 네 개의 숫자 중에서 개를 택하여 중복순열이 므로 따라서 세 자리의 정수의 개수는 (개) 이 때 이 한 번도 들어가지 않는 세 자리의 정수는 백의 자리에는, 가 올 수 있고 십의 자리와 일의 자리에는,, 의 세 개의 숫자 중에서 개를 택하는 중복순열이므로 (개) 따라서 구하는 정수의 개수는 (개) 54. 정답 일의 자리의 숫자가 또는 이면 전제 수는 짝수이다. (ⅰ) 일의 자리에 이 올 때 ( 인 경우) ( 인 경우) (개) (ⅱ) 일의 자리에 이 올 때 ( 인 경우) ( 인 경우) (개) 따라서 구하는 짝수의 개수는 (개) 55. 정답 2 가운데 칠하는 방법의 수는 가지이고 그 둘레는 원순열의 방법으로 가 지이다. 또 출발 지점에 유의하면 다음 그림과 같이 가지 방법이 생긴다. 52. 정답 A 에서 B 까지 가는 최단 경로는 A P B A Q B A R B 인 경우이다. (ⅰ) A P B 인 경우는 가지 (ⅱ) A Q B 인 경우는 (가지) (ⅲ) A R B 인 경우는 (가지) 53. 정답 개의 숫자,,,,, 로 자리의 정수를 다음과 같이 만들 수 있다. (ⅰ) (,,,, )로 된 정수의 개수는 (개) (ⅱ) (,,,, )로 된 정수의 개수는 (개) (ⅲ) (,,,, )로 된 정수의 개수는 (개) 따라서 구하는 자리의 정수의 개수는 (개) 56. 정답 단씩 번 오르고, 단씩 번 오른다고 하면 (, ) (ⅰ) 단씩 번 오르는 경우 :, 일 때 가지 (ⅱ) 단씩 번 오르는 경우 :, (가지) (ⅲ) 단씩 번 오르는 경우 :, (가지) (ⅳ) 단씩 번 오르는 경우 :, (가지) (ⅴ) 단씩 번 오르는 경우 :, 일 때 가지 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 04 중복조합 57. 정답 (1) (2) (3) 설명 H C (1) H C c (2) H C C C (3) H C C C

27 58. 정답 (1) (2) (1) 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 뽑는 중복조합의 수이므로 H C C C C C (2) 무기명 투표는 어느 유권자가 어느 후보를 뽑았는지 알 수 없으므로 A B 중 중복을 허락하여 따라서 구하는 방법의 수는 H C C C 59. 정답 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수이다. H C C C 같다. (2) 의 세 문자 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다. H C C C 65. 정답 (1) (2) (1) 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다. H C C C (2) 중에서 중복을 허락하여 개를 택한다. 이때, 는 양의 정수이므로 우선 를 하나씩 택하는 중복조합의 수와 같다. H C C C 60. 정답 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수이므로 H C C C 61. 정답 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수이므로 H C C C 62. 정답 전개식의 각 항은 의 꼴이 되므로 의 세 문자 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다. H C C C 63. 정답 (1) (2) (1) 해의 하나인 을 개의, 개의, 개의 로 생각하면 해의 수는 세 문자 중에서 중복을 허락하여 개를 택하 는 중복조합의 수와 같다. H C C C (2) 는 양의 정수이므로 을 음이 아닌 정수라 하면 이고 에서 ᄀ 구하는 해의 개수는 ᄀ의 음이 아닌 정수해를 구하는 것과 같다. 즉, 에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므 로 H C C C (다른 풀이) (2) 중복을 허락하여 개를 택해야 한다. 이때 는 양의 정수이므로 우선 를 하나씩 택한 후, 에서 중복을 허락하 여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 64. 정답 (1) (2) (1) 의 두 문자 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 05 이항정리 66. 정답 (1) (2) (1) C C C (2) 파스칼의 삼각형에서 차식의 전개식의 계수는 이므로 67. 정답 (1) (2) (1) 이 전개식 의 일반항은 C C 이 되는 것은 이므로 의 계수는 C (2) 전개식의 일반항은 C C 이 되는 것은 이므로 의 계수는 C 68. 정답 풀이 참조 C C C C C C C = 69. 정답 (1) (2) (3) (4) (1) 전개식의 일반항은 C C 구하는 항이 상수항이므로 따라서 상수항은

28 C (2) 전개식의 일반항은 C C 따라서 의 계수는 C C (3) 전개식의 일반항은 C C C (4) 전개식의 일반항은 C C 에서 70. 정답 전개식의 일반항은 C C 구하는 항이 상수항이므로 C C 71. 정답 설명 을 각각 전개하여 이들의 곱에서 의 계수만을 생각하면 이므로 의 계수는 이다. 이와 같은 방법 은 식이 복잡하거나 차수가 클 때는 구하기가 힘드므로 이항정리의 일반항 을 이용하여 구할 수 있다. 의 일반항은 각각 C C 이므로 의 전개식의 일반항은 C C C C ᄀ 항은 인 경우이고 이때 의 순서쌍은 이므로 이 값을 ᄀ의 계수에 대입하여 더하면 의 계수는 다른 풀이 C C C C 곱이 이차항이 되는 경우는 (이차항) (상수항), (일차항) (일차항), (상수항) (이차항)이다. 따라서 이차항이 되는 경우 를 합하면 다항식 상수항 일차항 이차항 C C C C C C C 따라서 의 계수는 이다. 주어진 식은 첫째항이, 공비가 인 등비수열의 합이므로 주어진 식 이때 분모가 이므로 구하는 이므로 구하는 항의 계수는 의 전개식에서 의 계수와 같다. 의 전개식의 일반항 C C 에서 따라서 구하는 계수는 C 73. 정답 의 일반항은 C 의 일반항은 첫째항이, 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합은 C C 의 전개식의 일반항은 C C C 항은 일 때이므로 이때 의 순서쌍은 이 값을 ᄀ의 계수에 대입하여 더하면 의 계수는 a S r ᄀ C C C C C C 74. 정답 분모가 이므로 의 전개식에서 의 계수와 같다. 의 일반항은 C C 따라서 구하는 계수는 C 75. 정답 첫째항이, 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합이므로 주어진 식 분모가 이므로 의 전개식에서 의 계수와 같다. 의 일반항은 C 에서 따라서 구하는 계수는 C C 72. 정답

29 76. 정답 (1) (2) 설명 다항정리의 성질을 이용한다. (1) 주어진 식의 전개식의 일반항은 (단, ) 일 때이므로 구하는 계수는 (2) 주어진 식의 전개식의 일반항은 항이므로 (단, ) ᄀ ᄂ ᄃ ᄃ에서 이므로 인 정수는 또는 따라서 구하는 계수는 다른 풀이 (1) 의 전개식에서 를 포함한 항은 C 다시 의 전개식에서 을 포함한 항은 C 따라서 구하는 의 계수는 C C 77. 정답 전개식의 일반항은 (단, ) 일 때이므로 구하는 계수는 따라서 구하는 계수는 79. 정답 전개식의 일반항은 (단, ) 항은 일 때이므로 에서 는 정수이므로 따라서 의 계수는 80. 정답 5 설명 는 실수 C C C C C C C C C 이고 C C C 이므로 파스칼의 삼각형을 이용하면 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 78. 정답 전개식의 일반항은 여기서 항이므로 ᄀ에서 ᄂ에서 (단, ) 인 정수 ᄃ에서 ᄀ ᄂ ᄃ 81. 정답 (1) C (2) C (1) C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (2) C C C C C C C C C C C C C C

30 C C C 82. 정답 2 주어진 식의 순서를 반대로 적으면 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 86. 정답 주어진 식 C C C C 87. 정답 C C C C 이므로 C C C 그런데 은 양의 정수이므로 83. 정답 (1) 9 (2) (3) (4) (1) C C C C 이므로 C C C C C 따라서 주어진 식은 그런데 이므로 양의 정수 의 값은 (2) C C 이므로 C C C C C C C 이고 C C C C 이므로 C k C C C C 주어진 식 log log (3) C C C C 주어진 식에서 (4) C C C C 88. 정답 C C C C 이므로 89. 정답 1 C C C C C C C C C C C C 의 일반항은 에서 따라서 상수항은 연습문제 84. 정답 C C C C C C C C C 85. 정답 C C C C C C C C 이므로 C C C C 주어진 식 log log 90. 정답 의 일반항은 항이므로 따라서 의 계수는 문제의 조건으로부터 91. 정답

31 의 일반항은 상수항은 항 이므로 따라서 이 식을 만족하는 최소의 자연수 의 값은 일 때, 92. 정답 (1) (2) (1) (2) 먼저 볼펜 자루씩을 세 사람에게 나누어 준 후 나머지 자루를 세 사람에게 나누어 주면 되므로 구하는 방법의 수는 93. 정답 (ⅰ) 을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수는 의 개의 문자 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 (ⅱ) 는 양의 정수이므로 우선 를 개씩 택한 후 에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같 다. 94. 정답 (1) (2) (3) (2) (주어진 식) log (3) 이므로 (4) 96. 정답 (1) (2) (1) 은 첫째항이 공비가 항수가 인 등비수열의 합이므로 의 전개식에서 의 계수는 2의 의 전개식에서 의 계수와 같다. 의 전개식의 일반항이 이므로 (2) 주어진 식은 첫째항이, 공비가, 항 수 가 인 등비수열 의 합이므로 에서 의 계수는 의 전개식에서 의 계수와 같다. 따라서, 의 전개식의 일반항이 이므로 (1) (준식) log (2) 이므로 따라서 구하는 자연수의 값은 이다. (3) 이고 이므로 97. 정답 이고 이항정리에서 즉, 이므로 log log log 95. 정답 (1) (2) (3) (4) (1) 이므로 98. 정답 2 이므로 이고

32 에서 주어진 식은 의 전개식에서 의 계수와 같다. 따라서 의 계수는 이다. 99. 정답 (1) (2) (3) (4) (1) 의 일반항은 에서 100. 정답 의 전개식에서 일반항은 (단, ) 항은 일 때 이므로 의 순서쌍은 따라서 구하고자 하는 의 계수는 인수정리와 조립젯법에 의하여 따라서 의 계수는 (2) 의 전개식에서 일반항은 의 전개식에서 일반항은 두 식의 곱의 전개식에서 읿반항은 ( ) 이므로 이를 만족하는 정수 의 순서쌍은 따라서 구하는 계수는 (3) 의 일반항은 의 일반항은 의 전개식의 일반항은 의 계수는 인 경우이고, 이므로 이 때, 의 순서쌍은 이 값을 1의 계수에 대입하여 더하면 의 계수는 (4) 의 전개식에서 항은 (상수항) 항 항 항 일 때 이므로 에서, 여기서 이므로 한편 항은 (상수항) 항 항 항 일 때 이므로 따라서 구하는 의 계수는 이다 정답 연속되는 세 항은 각각 번 째 항이라 하면 에서 2 3에서 102. 정답 의 전개식에서 의 계수는 이고 의 계수는, 의 계수는 이고 이 순서로 등차수열을 이루므로 양변에 을 곱하면 또는 103. 정답 근과 계수의 관계에 의하여 이므로 로 양변을 나눈 후 정리하면

33 lim 104. 정답 4 여기서 이므로 으로 나눈 나머지는 105. 정답 4 이 때, 이므로 (주어진 식) 106. 정답 은, 일 때이므로 여기서, 이므로 구하는 의 최솟값은 이다 정답 전개식의 일반항은 이어야 하므로 lim 108. 정답 이항정리를 이용하면 (자연수) 따라서,, 109. 정답 2 의 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리 숫자는 수능기출문제 의 전개식에서 일반항은 항은 따라서 110. 정답 5 의 계수는 의 전개식에서 일반항은 이 때, 의 계수는 일 때이므로 상수항은 일 때이므로 따라서 의 계수와 상수항의 합이 이므로, 111. 정답 (ⅰ) 첫째자리에 가 오는 경우 꼴 (가지) (ⅱ) 첫째자리에 가 오는 경우 꼴 (가지) (ⅰ),(ⅱ)에서 보다 큰 자연수의 개수는 (개) 112. 정답

34 이 때, 항은, 즉 일 때이므로 그 계수는 [그림1]에서 지점을 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 지점에 도착하는 경우의 수는 [그림2]에서 지점에서 출발하여 실선을 따라 최단 거리로 지점에 도착하는 경우의 수와 같다 정답 5 ⅰ) 을 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 (개) ⅱ) 을 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 (개) ⅲ) 을 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는 (개) 따라서 가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는 (개) 114. 정답 ⅰ) 한 섬에 다리를 개 또는 개 ⅱ) 를 건설하는 경우 (가지) 위의 그림과 같이 한 섬에 다리 개를 건설하는 경우는 가지 이다. 따라서 위의 경우에서 (가지) 115. 정답 문자 에서 중복을 허락하여 세 개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 세 개 중 중복을 허락하여 세 개를 뽑아 나열하는 방법의 수이므로 (가지) 여기서 가 연속하여 있는 경우를 제외한다. ⅰ) 가 개, 가 개 인 경우 의 가지 ⅱ) 가 개, 가 개인 경우 의 가지 ⅲ) 가 개인 경우 의 가지 따라서 수신 가능한 단어의 개수는 (개) 116. 정답 ⅰ) 의 경우 ⅱ) 의 경우 [그림1] [그림2] (가지) (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 117. 정답 다항식 의 전개식에서 일반항은 이 때, 항은 일 때이므로 그 계수는 또, 다항식 의 전개식에서 일반항은 이 때, 항은 일 때이므로 계수는 여기서 이어야 하므로 --- 1, 와 은 자연수 이므로 1을 만족하는 모든 경우의 수는 다음과 같다 따라서 구하는 최댓값은 이다 정답

35 일간 총 봉사시간이 시간이 되는 경우는 다음의 세 가지이다. ⅰ) 의 경우 봉사활동 계획서를 작성하는 방법의 수는 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 (가지) ⅱ) 의 경우 봉사활동 계획서를 작성하는 방법의 수는 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 ((가지) ⅲ) 의 경우 봉사활동 계획서를 작성하는 방법의 수는 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 (가지) 따라서 위의 경우에서 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수 (가지) 119. 정답 평가원, 교육청 기출문제 log log 120. 정답 의 전개식에서 일반항은 이 때 항은 일 때이므로 121. 정답 의 전개식에서 일반항은 이므로 의 계수는 이다. 이 때, 의 계수는 이므로 에서 따라서 항은 일 때 이므로 그 계수는 는 위의 경우에 의하여 구하는 모든 경우의 수는 (가지) 123. 정답 2 먼저 남자 명을 앉히는 방법의 수는 (가지) 이제 여자 명을 앉히는 방법의 수는 (가지) 따라서 구하는 모든 방법의 수는 (가지) 124. 정답 ⅰ) 주어진 개의 문자를 나열하는 경우의 수는 (가지) ⅱ) 양쪽 끝에 모두 가 오는 경우의 수는 (가지) ⅲ) 양쪽 끝에 모두 가 오는 경우의 수는 (가지) 따라서 구하는 모든 경우의 수는 (가지) 125. 정답 (1) (2) (1) 의 전개식에서 일반항은 이 때, 항은 일 때 이므로 의 계수는 (2) 의 전개식에서 일반항은 이 때, 항은 일 때 이므로 그 계수는 항은 일 때 이므로 그 계수는 그런데 의 계수가 의 계수의 배이므로, 122. 정답 ⅰ) 끼리 이웃하는 경우의 수는 를 묶어서 하나로 생각하면 (가지) ⅱ) 끼리 이웃하는 경우의 수는 를 묶어서 하나로 생각하면 (가지) ⅲ) 는 끼리, 는 끼리 동시에 이웃하는 경우의 수는 (가지) 126. 정답 127. 정답

36 의 전개식에서 일반항은 이 때, 항은 에서 ⅰ) 일 때, 를 만족하는 정수 의 값이 존재하 지 않으므로 의 항은 존재하지 않는다. ⅱ) 일 때, 를 만족하는 의 값은 각각 이다. 따라서 의 계수는 128. 정답 5 의 전개식에서 항이 나오는 경우는 에서 나온 항에 의 을 곱한 것과 에서 나온 항 에 의 를 곱한 것의 합을 구한다. 의 전개식의 일반항은 ⅰ) 에서 나온 항에 의 을 곱하는 경우 의 전개식에서 의 계수는 일 때 이므로 ⅱ) 에서 나온 항에 의 를 곱하는 경우 의 전개식에서 따라서 의 계수는 의 계수는 일 때이므로 의 전개식에서 의 계수는 129. 정답 다섯 번의 게임에서 갑과 을이 모두 개씩의 사탕을 가지는 경우는 다음과 같다. ⅰ) 두 사람이 모두 비기는 경우 : 가지 ⅱ) 갑이 승패무 인 경우 : 갑이 이긴 사건, 비긴 사건을, 을이 이긴 사건을 ⅲ) 갑이 승패무 인 경우 : 위의 ⅱ와 마찬가지로 를 일렬로 나열하는 순열 의 수와 같으므로 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 130. 정답 1 주어진 그림을 다음 그림과 같이 변형 할 수 있으므로 구하는 최단경로의 수는 지점 에서 지점 로 가는 최단 경로의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 131. 정답 3 (개) 에서 ⅰ) 이므로 ⅱ) 이므로 ⅲ) 이므로 따라서 위의 경우에서 어두운 부분의 모든 수들의 합은 132. 정답 지점에서 지점까지의 최단 경로의 수는 (가지) 이 중에서 교차로 에서 좌회전을 하는 최단 경로의 수는 가지 이고 교차 로 에서 좌회전을 하는 최단 경로의 수는 (가지) 이므로 구하는 모든 경우의 수는 (가지) 133. 정답

37 박자의 한 마디를 구성하는 방법은 다음과 같이 가지 경우로 음표를 사용하여 그 음표들을 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다. ⅰ) 분 음표 개를 사용하여 구성하는 방법의 수는 가지 ⅱ) 분 음표 개, 분 음표 개를 사용하여 구성하는 방법의 수는 (가지) ⅲ) 분 음표 개, 분 음표 개를 사용하여 구성하는 방법의 수는 (가지) ⅳ) 분 음표 개, 분 음표 개를 사용하여 구성하는 방법의 수는 (가지) ⅴ) 분 음표 개를 구성는 방법의 수는 가지 따라서 구하는 경우의 수는 (가지)

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집합 서로 확률과통계 1. 순열 순열의수, 에 대하여함수 가일대일대응이다. 이때, 을만족하는함 수 의개수는? [3점][2008( 가 ) 11월 / 교육청 ( 고2) 6] 다른네종류의모자 A, B, C, D 가각각 개씩모두 개 있다. 개 서로 그림과 세 그림과 1. 순열 Ⅰ 순열과조합 1. 01 합의법칙과곱의법칙 다른네가지의색이있다. 이중네가지이하의색을이용하 여인접한행정구역을구별할수있도록모두칠하고자한다. 다섯개의구역을서로다른색으로칠할수있는모든경우의수는? ( 단, 행정구역에는한가지색만을칠한다.) [3점][2009( 가 ) 4월 / 교육청 13] 3.[ 그림 ] 과같이네개의방이통로로연결되어있을때,

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