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3 2012학년도 대학수학능력시험 수리영역에서는 와 관련된 연계율이 70%로 상향되었다. 수리영역에서는 수리 가형에서 EBS 수능교재 문제의 개념원리를 활용한 문 항이 1문항, 자료 상황을 활용한 문항이 10문항, 문항을 확대 또는 축소시켜 변형한 문항 이 10문항 출제되는 등 총 21문항이 연계되어 출제되었다. 또한 수리 나형에서 개념원리 활용한 문항이 7문항, 자료 상황을 활용한 문항이 9문항, 문항을 확대 또는 축소시켜 변형 한 문항이 5문항이 출제되었다. 한국교육과정 평가원에서는 2013학년도 대학수학능력시 험에서도 이와 같은 비율이 유지될 것이라 발표하였다. 따라서 올해 수능에서도 EBS 수 능교재의 철저한 학습은 수능 고득점에 결정적 역할을 할 것으로 보인다. 본 교재는 수능이 한 달 남짓 남은 상황에서 지난 9월과 6월 한국교육과정평가원에서 실시한 모의평가 문제가 와 어떻게 연관되어 출제되었는지를 살펴보고, 이를 통 하여 단원별 출제 경향을 익히며, 더 나아가 고난도 문제를 해결해 봄으로써 학생들이 수 능에 대한 자신감을 갖게 하고자 개발되었다. 본 교재는 다음과 같이 구성되어 있다. 첫째, 2011년 11월에 실시한 수능문제는 2012학년도 대수능 으로,2012년 6월, 9월 평가 원 모의고사는 2012년 6월 평가원, 2012년 9월 평가원 으로 표시하였다. 둘째, 한국교육과정 평가원에서 발표한 EBS와 연계된 문제들 위주로 분석하였다. 각 문 제에 의 출처를 밝혀 놓아 원문의 문제가 어떻게 다른 문제로 변형될 수 있 는지에 대한 감각을 익힐 수 있도록 하였다. 특히 유사한 문제를 이런 문제 기억하 기 에 수록하여 유형을 익히는 데 보탬이 되도록 구성하였다. 셋째, 기출 문항을 바탕으로 앞으로 출제 가능성이 높은 문항을 에 수록하여 문제 해결 능력을 기르는 데 도움이 되도록 하였고, 친절한 해설을 곁들여 자기 주도적 학습이 가능하도록 하였다.

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5 차 례 C /O /N /T /E /N /T /S 2013학년도 대수능 대비 EBS 연계 분석 나침반 EBS 연계분석 1. 행렬과 그래프 지수함수와 로그함수 수열 및 수열의 극한 방정식과 부등식 삼각함수 함수의 극한과 연속 미분법 적분법 일차변환과 행렬 이차곡선 공간도형과 공간좌표 벡터 확률과 통계

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7 행렬과 그래프 01 행렬과 그래프 수능 기출 유형 분석 수리 가형에서 행렬 단원은 최근 2년 동안 같은 유형으로 출제되고 있다. 비교적 간단한 행렬계산 문제, 행렬의 성질을 이해하는 참, 거짓을 구하는 합답형 1문제로 구성되었다. 또한 2년 연속 그래 프에 관한 문제가 출제되지 않았지만 2013학년도 6월 모의평가에서는 수리 가형에서도 그래프문제 가 출제되었다. 따라서 이번 2013학년도 수능에서는 그래프에 관한 문제가 출제될 확률이 높다고 하 겠다. 9월 모의평가에서는 행렬의 실수배에 관한 계산과 역행렬이 존재하는 두 행렬에 대한 성질에 관한 합답형 문제가 출제되었다. 행렬단원은 곱셈의 연산과 행렬의 성질에 대한 이해가 매우 중요하다. 행렬에서는 곱셈에 대한 교 환법칙이 일반적으로 성립하지 않기 때문에 연산이 자유롭지 못하다. 그리고 행렬의 나눗셈도 정의 되지 않았고, 역행렬이 그 역할을 대신하고 있지만 이것도 일반적인 나눗셈에서 역수를 취하는 경우 와 너무 다르기 때문에 쉽지 않다. 이와 같이 행렬은 실수의 사칙연산과 다르기 때문에 연산을 할 때 주의해야 한다. 특히 새 교육과정에서 새롭게 배우는 그래프와 행렬은 정확하게 개념을 숙지하는 것 이 중요하다. 최근 행렬에서 꾸준히 출제되고 있는 유형이 바로 합답형이다. 합답형 문항은 갈수록 난이도가 높 아지고 있다. 행렬의 연산을 알고 있는 것으로 끝나는 것이 아니라 주어진 조건을 어떻게 조작하여 참과 거짓을 구별하느냐가 문제를 푸는 열쇠가 된다. 이런 유형의 문제를 풀 때 주의해야 하는 것이 바로 일반적으로 우리가 알고 있는 대수인 연산을 적용할 수 없다는 것이다. 그래서 조건에 주어진 상황을 잘 활용하는 기술을 터득하도록 노력해야 한다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2011수능. 가형. 2번 행렬의 덧셈, 곱셈을 연산을 한 후 성분을 계산하는 문제 (정답형 2점) 2011수능. 가형. 12번 행렬들의 집합을 새로 구성하여 연산에 대한 성질의 참, 거짓을 구하는 문제 (합답형 4점) 2012수능. 가형. 1번 역행렬을 구하여 성분을 계산하는 문제 (정답형 2점) 2012수능. 가형. 15번 행렬의 연산과 성질에 관하여 참, 거짓을 구하는 문제 (합답형 4점) 7

8 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 01 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 1번 행렬 의 역행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] 수능완성 수학 Ⅰ 26p 1번 행렬 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. 역행렬을 구하는 문제로 숫자를 바꿔서 출제했으며 EBS문제보다 연산이 더 단순해졌다. 문항 핵심 포인트 가. 역행렬을 구하는 방법은 식으로 나타내는 방법과 성분으로 나타내는 방법 가지가 있다. 식으로 나타내는 경우 의 꼴로 변형하며, 성분으로 나타내는 경우 를 이용한다. 8

9 행렬과 그래프 행렬 에 대하여 이차정사각행렬 의 성분 를 (단, ) 로 정의한다. 이때, 을 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은? 행렬 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합이 이 되도록 하는 두 자리의 자연수 의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오. 9

10 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 02 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 4번 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? 수능특강 수학1 31p 4번 오른쪽 그래프를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수를 구하시오. 10

11 행렬과 그래프 수능특강 수학1 38p 3번 오른쪽 그래프를 나타내는 행렬을 라 할 때, 행렬 의 성분 중 의 개수를 구하시오. 나침반 연계 분석 가. EBS 31p 4번 문항에서 그래프만 바뀌어 묻고 있다. 나. EBS 38p 3번 문항의 그래프에서 연결 상태와 점의 위치만 변형하였으며 질문하는 내용은 일치한다. 문항 핵심 포인트 가. 그래프를 행렬로 나타낼 수 있는가? 나. 꼭짓점과 선분의 개수를 알면 행렬로 나타내지 않아도 성분의 의 개수를 구할 수 있다. 행렬 성분에 나타나는 의 개수는 선분의 개수의 배이다. 따라서 의 개수는 꼭짓점의 개수 선분의 개수이다. 11

12 연계 장학자료 - 수리(가) 오른쪽 그래프를 나타내는 행렬을 이라 하자. 행렬 의 성분을 라 할 때, 의 값을 구하시오. 다음 그래프 를 나타내는 행렬을 각각 라 할 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? [그래프 ] [그래프 ]

13 행렬과 그래프 EBS 연계 03 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 15번 두 이차정사각행렬, 가, 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 나침반 연계 분석 가. 평가원에서 발표한 연계문제는 아니지만 합답형의 문제는 수능이나 평가원 시험에서 매번 출제된다. 문항 핵심 포인트 가. 교환법칙이 성립하는가? 주어진 행렬의 식을 이용하여 교환법칙이 성립하는가를 확인하는 것은 매우 중요하다. 교환법칙이 성립하는 여러 가지 경우의 예를 미리 익혀두는 것이 좋다. 나. 교환법칙이 성립하면 곱셈공식을 사용할 수 있으므로 거듭제곱을 이용하여 해결한다. 13

14 연계 장학자료 - 수리(가) 이차정사각행렬 가 모두 역행렬을 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이다.) < 보 기 > ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 이고 이면 이다. 1. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ. ㄷ 14

15 행렬과 그래프 이 아닌 두 실수 에 대하여 두 이차정사각행렬 가 옳은 것을 모두 고른 것은? 를 만족시킬 때, <보기>에서 < 보 기 > ㄱ. 이면 의 역행렬 이 존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 15

16 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 04 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 29번 이차정사각행렬 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, 는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) (가) (나) 을 만족시키는 실수, 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 수능특강 수학1 38p 9번 이차정사각행렬 가 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때, 등식 는 단위행렬이다.) (가) (나) 을 만족시키는 두 실수 의 합 의 값은? (단, 는 영행렬이고, 나침반 연계 분석 가. EBS 문항과 유형 및 조건의 상황이 똑같으며 숫자만 바뀌었다. 문항 핵심 포인트 가. (가)식을 변형하여 의 역행렬을 구하여 활용할 수 있는가? 16

17 행렬과 그래프 임의의 실수 에 대하여 행렬 좌표평면에서 점 가 나타내는 영역의 넓이는? (단, ) 의 역행렬이 존재하도록 실수 의 값을 정할 때, 단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 가 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) 는 모두 역행렬을 가진다. (나) 가 성립하는 자연수 의 최솟값은? (단, 는 단위행렬이다.)

18 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 05 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 26번 역행렬을 갖는 행렬 의 해가 일 때, 에 대하여 의 연립방정식 이다. 의 값을 구하시오.. [4점] 수능특강 수학1 26p 3번 역행렬을 갖는 행렬 에 대하여 에 대한 연립방정식 의 해가, 일 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? 나침반 연계 분석 가. EBS 문항과 유형 및 조건의 상황이 똑같으며 숫자만 바뀌었다. 문항 핵심 포인트 가. 연립방정식을 행렬의 곱으로 고친 후 역행렬을 활용하여 계산한다. 18

19 행렬과 그래프 승빈이네 학교의 전체 학생 명 중 남학생 수는 명이고 여학생 수는 명이다. 이 중에서 남학생의 와 여학생의 가 한라산을 등반하였고, 전체 학생 중 가 한라산을 등반하였다고 한다. 이 를 만족하는 에 대하여 등식 가 성립할 때, 의 값을 구하시오.(단 는 상수) 곡선 위의 점 에 대하여 에 대한 연립방정식 라 할 때, 의 최솟값을 구하시오. 의 해를 19

20 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 06 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 16번 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬, 가 를 만족시킨다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ. 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 수능특강 수학1 29p 1번 두 이차정사각행렬 와 단위행렬 에 대하여 다음 식이 성립할 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? 나침반 연계 분석 가. EBS 문항과 주어진 식이나 조건이 같으며 문제의 질문 형태만 바뀌었다. 문항 핵심 포인트 가. 행렬의 곱셈의 식에서 역행렬을 구할 수 있어야 하며 교환법칙이 성립하는 조건을 활용해야 한다. 20

21 행렬과 그래프 2. 두 행렬 ) 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, ㄱ. < 보 기 > ㄴ. 이면 이다. 3. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 두 이차정사각행렬 에 대하여 일 때, 행렬 의 역행렬은? (단, 는 단위행렬 이다.)

22 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 07 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 4번 에 대한 연립방정식 이 무수히 많은 해를 갖도록 하는 상수 의 값은? [3점] 수능완성 수학1 16p 12번 에 대한 연립방정식 이 이외의 해를 가질 때, 의 값은? (단, 는 실수이다.) 나침반 연계 분석 가. EBS 문항의 상황을 뜻이 같은 다른 표현으로 나타내어 질문하였다. 문항 핵심 포인트 가. 무수히 많은 해를 가질 때 주어진 행렬이 역행렬이 존재하지 않아야 함을 알고 있어야 한다. 이 문제는 같은 뜻을 가지는 다양한 표현으로 바꾸어 자주 출제가 되는 부분이므로 개념을 확실하게 이해하고 있어야 한다. 22

23 행렬과 그래프 4. 을 만족시키는 실수 에 대하여 행렬 한 연립방정식 가 이외의 해를 가질 때, 의 값은? 가 있다. 에 대 일 때, 행렬 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. ㄷ. 방정식 가 수 개가 존재한다. < 보 기 > 의 역행렬이 항상 존재한다. 인 해를 갖도록 하는 실수 의 값은 음수 개와 양 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄷ 23

24 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 08 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 25번 그래프 를 나타내는 행렬 이 다음과 같다. 그래프 의 꼭짓점의 개수를, 변의 개수를 라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수능완성 수학1 21p 7번 어떤 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이 오른쪽과 같다. 이 그래프의 꼭짓점의 개수를, 변의 개수 를 라 할 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS 문항과 행렬의 성분의 숫자만 바뀌었을 뿐 문제의 형태나 질문이 모두 일치한다. 문항 핵심 포인트 가. 꼭짓점의 개수가 개이면 행렬로 나타나며, 성분에서 1의 개수는 변의 개수의 2배임을 알면 쉽게 풀 수 있다. 24

25 행렬과 그래프 오른쪽 그래프의 연결 관계를 꼭짓점 A, B, C, D, E 의 순서로 행과 열을 정 하여 나타낸 행렬을 이라 하자. 일 때, 세 실수 에 대하여 의 값을 구하여라. 오른쪽 행렬은 그래프 를 나타내는 행렬이다. 꼭짓점 C에서 두 개의 변을 지 나 꼭짓점 A까지 가는 경로의 수는?

26 연계 장학자료 - 수리(가) 2 지수함수와 로그함수 수능 기출 유형 분석 지수와 로그를 포함한 지수함수와 로그함수 단원은 가형에서 매년 2~3문항 출제되고 있다. 먼저 가형 1번 문항은 5년 이상 지속적으로 지수와 로그의 간단한 계산문제가 출제되고 있다. 배점 2점의 간단한 계산이므로 지수법칙과 로그의 성질을 잘 정리하여 반복해서 연습해 보는 것이 좋다. 그리고 지수 로그방정식, 지수 로그부등식 푸는 문제가 1문항 정도 출제되고 있다. 복잡하지 않고 기 본적인 간단한 형태이긴 하지만 매년 출제되고 있으므로 다양한 지수 로그방정식, 지수 로그부등식 을 자유자재로 풀어낼 수 있도록 준비하는 것이 필요하다. 지수함수와 로그함수의 그래프와 관련하여 평행이동, 대칭이동, 교점 등과 관련된 문제가 출제되 고 있으며 이는 지수함수와 로그함수의 그래프의 특징을 알고 함수의 그래프를 정확히 그려서 문제 해결 실마리를 찾는데 초점을 두어야할 것이다. 지수 또는 로그의 식을 이용한 수학 외적 문항은 2009 수능을 제외하고 거의 매년 출제되는 유형 이라 할 수 있겠다. 이러한 유형의 문항은 문항에서 수학 외적인 환경에 대한 설명이 상당히 길고, 결 국 중요한 것은 지수 또는 로그를 이용한 식이다. 따라서 앞의 부연 설명은 대강 읽고, 문항에서 주어 진 식을 정확히 분석하여 각 미지수에 값을 정확히 대입하여 계산을 정확히 하면 쉽게 풀 수 있는 유 형의 문항이다. 문항의 길이가 길고, 문항에서 부연 설명이 많아서 문항에 대한 두려움을 갖지 말고, 중요한 키가 되는 식만을 정확히 분석한다면 그렇게 어렵지 않은 문항이라는 것을 꼭 기억해 두자. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2011수능. 나형. 9번 상용로그의 실생활 활용 문항(정답형 3점) 2011수능. 나형. 11번 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동(정답형 3점) 2011수능. 나형. 16번 지수함수와 로그함수 그래프의 교점에 대하여 옳은것을 고르는 문항(합답형4점) 2012수능. 가형. 7번 상용로그의 실생활 활용 문항(정답형 3점) 2012수능. 가형 23번 간단한 로그방정식을 푸는 문항(단답형 3점) 2012수능. 가형. 9번 지수함수를 이용하여 순서쌍의 개수를 구하는 문항(단답형 4점) 26

27 지수함수와 로그함수 EBS 연계 01 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 1번 log log 의 값은? [2점] 수능특강 수학Ⅰ 67p 예제 2 log log log 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS문항과 평가원 기출 문항은 식의 값이 달라진 것을 제외하고는 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 계산한다는 점에서 유사한 문제임. 문항 핵심 포인트 가. 로그의 정의와 성질을 이용하여 복잡한 식을 간단히 계산할 수 있는가? 27

28 연계 장학자료 - 수리(가) log log log log 일 때, 의 값을 구하시오. 의 서로 다른 양의 약수 전체를 작은 수에서 큰 수의 순서대로 나열하여 이라 할 때, log log log 의 값은?

29 지수함수와 로그함수 EBS 연계 02 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 7번 어떤 물질이 녹아 있는 용액에 단색광을 투과시킬 때 투과 전 단색광의 세기에 대한 투과 후 단색광의 세기의 비를 그 단색광의 투과도라고 한다. 투과도를, 단색광이 투과한 길이를, 용액의 농도를 라 할 때, 다음 관계가 성립한다. log (단, 는 양의 상수이다.) 이 물질에 대하여 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도를, 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도를 라 하자. 을 만족시 키는 의 값은? [3점] 수능완성 수학Ⅰ 47p 17번 완구를 만드는 어떤 공장에서 완구에 들어가는 부품을 만들기 위해 직원들을 교육시키고 있다. 직원들 을 관찰한 결과 분당 부품 개 이상 만드는 것은 불가능하고, 분당 부품 개를 만들기까지 걸린 평균 연습시간을 (시간)라고 할 때, 다음과 같은 식이 성립함을 알았다. log (단, <<) 분당 부품 개를 만들기까지 걸린 평균 연습시간이 분당 부품 개를 만들기까지 걸린 평균 연습 시간의 배가 된다고 할 때, 실수 의 값은? (단, log log 로 계산한다.)

30 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 평가원 기출 문항은 로그의 성질을 이용하여 실생활 문항으로 자연수 을 구하는 문항임. 나. EBS문항은 로그의 성질을 이용하여 실생활 문항으로 실수 의 값을 구하는 것으로 유사한 문항임. 문항 핵심 포인트 가. 로그의 정의와 성질을 알고 있는가? 해저에서 발생한 지진이 지진해일을 일으킬 때, 지진해일의 높이가 이면 지진해일의 규모 은 다음과 같다고 한다. log 어떤 지점에서 지진해일의 높이가 인 지진해일의 규모는 지진해일의 높이가 일 때의 지진해일 의 규모의 배이다. 의 값을 구하시오. 30

31 지수함수와 로그함수 어떤 암석에 포함되어 있는 물질 는 시간이 지남에 따라 점차적으로 물질 로 변한다. 물질 와 의 양을 측정함으로써 그 암석의 생성연도를 알 수 있다. 암석이 생성된 지 억 년 후의 의 양과 의 양을 각각 라고 하면 상수 에 대하여 log 이 성립한다. 암석이 생성된 지 억년이 지난 후 의 양과 의 양의 비가 이 되었다. 암석이 생 성되어 억 년이 지난 후 의 양과 의 양이 같아질 때, 의 값을 구하시오. (단, log 으로 계 산한다. ) 31

32 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 03 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 15번 이상의 자연수 에 대하여 함수 log 의 그래프 위의 좌표가 인 점을 A 이라 하자. 그래프 위의 점 B 과 축 위의 점 C 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 C 은 선분 A B 과 축의 교점이다. (나) A C C B 점 C 의 좌표를 이라 할 때, lim 의 값은? [4점] 수능완성 수학Ⅰ 58p 7번 함수 log 의 그래프 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 >, 이고, 삼각형 ABC 의 넓이가 일 때, 의 값은?

33 지수함수와 로그함수 나침반 연계 분석 가. 평가원 기출 문항은 내분점과 로그함수의 성질을 이용하여 주어진 수열의 극한값을 구하는 문항임. 나. EBS문항은 로그함수의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이가 주어졌을 때, 값을 구하는 것으로 유사한 문항임. 문항 핵심 포인트 가. 로그함수의 정의와 성질을 알고 있는가? 나. 내분점의 정의를 알고 있는가? 곡선 log 위의 한 점 P에서 축에 내린 수선의 발이 A 일 때 인 점 B 을 잡아 직 각이등변삼각형 PAB를 만들었다. 다시 직선 와 곡선 log 이 만나는 점을 Q라 하고 인 점 C 을 잡아 직각이등변삼각형 BQC를 만들었다. 이때, 삼각형 BQC의 넓이는? 33

34 연계 장학자료 - 수리(가) 곡선 위에 점 P 을 오른쪽 그림과 같이 정한다. 즉, 점 P 을 지나고 축과 평행한 직선과 직선 가 만나는 점을 Q 이라 하고 점 Q 을 지나고 축에 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을 P 이라고 한다. 이 때, <보기>중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 P 은 곡선 의 꼭짓점이 아니고, log 이다.) ㄱ. 이다. < 보 기 > ㄴ. log 이라고 하면 log 이다. ㄷ. 일 때 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5ㄱ, ㄴ, ㄷ 34

35 지수함수와 로그함수 EBS 연계 04 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 30번 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 정사각형 중 두 함수 log log 의 그래프와 모두 만나는 것의 개수를 구하시오. [4점] (가) 꼭짓점의 좌표, 좌표가 모두 자연수이고 한 변의 길이가 이다. (나) 꼭짓점의 좌표는 모두 이하이다. 수능완성 수학Ⅰ 50p 4번 그림과 같이 좌표평면의 제 사분면을 한 변의 길이가 인 정사각형으로 나눈 후 각 정사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점의 좌표와 좌표를 더한 값을 그 정사각형에 쓴 다음, 로그함수 log 의 그래프가 그 내부를 지나는 정사각형에 색칠을 한다. 이때, 색칠된 정사각형에 쓰인 수의 합을 구하시오. 35

36 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 평가원 기출 문항은 로그함수와 로그의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 자연수의 개수를 구하는 문항임. 나. EBS문항은 로그함수와 로그의 성질을 이용하여 색칠된 정사각형에 쓰인 수의 합을 구하는 것으로 유사한 문항임. 문항 핵심 포인트 가. 로그함수의 성질을 알고 있는가? 나. 로그의 성질을 알고 있는가? 자연수 전체의 집합을 이라 하고 일 때, log 이다. 또 일 때 라고 하자. <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 이다. < 보 기 > ㄴ. 이다. ㄷ. 인 의 값은 개 존재한다. 1 ㄱ 2 ㄱ,ㄴ 3 ㄱ,ㄷ 4 ㄴ,ㄷ 5 ㄱ,ㄴ,ㄷ 자연수 에 대하여 에서 두 함수 sin 의 그래프가 만나는 점의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. 36

37 수열 및 수열의 극한 03 수열 및 수열의 극한 수능 기출 유형 분석 수열 단원은 매년 문제가 출제될 정도로 다른 단원에 비해 출제 비율이 높은 단원이며, 극한과 도 연결되어 있어 고난이도 문제가 자주 출제되고 있다. 등차수열과 등비수열에 대한 기본적인 문제 가 매년 빠지지 않고 출제되고, 수학적 귀납법에 대한 증명 문제도 매년 거의 빠지지 않고 출제되고 있다. 특히 수학적 귀납법에 대한 증명문제는 다루는 주제가 여러 영역에 걸쳐 출제되는 추세라 그 원리를 충분히 이해해 두어 응용이 가능하게 연습하여야 한다. 또한 도형 또는 수에 대한 규칙성을 응용하는 높은 배점의 문제도 자주 출제되고 있는데, 이러한 문제는 몇 개의 항을 직접 구하는 방법 등을 이용하여 그 규칙성을 발견하는 것이 핵심이므로 여러 문제 등을 통해 연습해 두어야 한다. 원 리합계를 이용하는 일정비율의 문제, 순서도, 귀납적 정의를 이용하여 일반항을 찾는 문제도 대비해 두어야 한다. 수열의 극한 단원에서는 간단한 수열의 극한값이나 무한등비급수의 합을 구할 수 있어야 하고, 수 열의 극한값의 성질, 무한급수의 성질 및 수렴조건에 관련된 개념을 정확히 이해하고 있어야 한다. 또한 다양한 그림이나 그래프에 관련된 수열의 극한값, 도형과 관련된 무한급수의 활용에 관한 문제 의 출제 빈도가 높으므로 여러 문제를 통하여 연습하고 알고리즘을 잘 익혀두어야 한다. 수능에서도 기존 문제 유형의 출제가능성이 높으므로 기출문제를 반드시 분석해 보고, 수열 및 수 열의 극한에 대한 정확한 개념 이해와 다양한 유형의 문제해결을 통해 실전에 대비하도록 한다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2012수능. 가(나)형. 14번 도형을 활용한 무한급수의 합을 구하는 문제 (정답형 4점) 2012수능. 가(나)형. 17번 점화식을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 문제 (정답형 4점) 2012수능. 가(나)형. 25번 등차중항과 등비중항을 이용하여 미지수를 구하는 문제 (단답형 3점) 2012수능. 나형. 2번 수열의 극한값을 구하는 문제 (정답형 2점) 2012수능. 나형. 5번 귀납적 정의로 주어진 수열의 항의 값을 구하는 문제 (정답형 3점) 2012수능. 나형. 11번 등차수열의 합을 구하는 문제 (정답형 3점) 2012수능. 나형. 28번 도형과 관련된 수열의 극한을 구하는 문제 (단답형 4점) 37

38 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 01 기출 문항 2012학년도 대수능 나형 문제 2번 lim 의 값은? [2점] 수능완성 수학Ⅰ 87p 8번 lim 1 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 수열의 극한값을 구하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 주어진 식을 변형하여 극한값을 구할 수 있는가? 38

39 수열 및 수열의 극한 함수 를 lim 으로 정의할 때, 의 값은? 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 A B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 A B C 이 있다. 꼭짓점 A 에서 변 B C 에 내린 수선의 발을 H 이라 하자. 세 선분 A B A C A H 의 길이를 각각 이라 할 때, lim 의 값은?

40 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 02 기출 문항 2012학년도 대수능 나형 문제 5번 수열 이 이고, 모든 자연수 에 대하여 을 만족시킬 때, 의 값은? [3점] 수능완성 수학Ⅰ 93p 5번 수열 을 으로 정의 할 때, 무한급수 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 수열의 항의 값을 구하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 점화식에 적당한 자연수를 대입하여 수열의 항의 값을 구할 수 있는가? 40

41 수열 및 수열의 극한 수열 을 으로 정의할 때, 의 값은? 모든 항이 자연수인 두 수열, 이 를 만족시킨다. 이 성립할 때, 의 값은?

42 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 03 기출 문항 2012학년도 대수능 나형 문제 11번 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여 의 값은? [3점] 수능완성 수학Ⅰ 62p 5번 등차수열 의 일반항이 일 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 등차수열의 합을 구하는 문제로 EBS문항과 내용이 거의 일치함. 문항 핵심 포인트 가. 등차수열의 합을 구할 수 있는가? 42

43 수열 및 수열의 극한 수열 은 첫째항이, 공차가 인 등차수열이고, 수열 은 첫째항이, 공차가 인 등차수열이 다. 두 수열 의 공통인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 이라 할 때, 의 값은? 두 집합 와 가 은 자연수 은 자연수 일 때, 다음 두 조건을 만족하는 의 총합은? (가) (나) 는 이하의 자연수이다

44 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 04 기출 문항 2012학년도 대수능 나형 문제 25번 세 수,, 는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수,, 은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. 의 값을 구하시오. [3점] 수능완성 수학Ⅰ 66p 23번 서로 다른 네 자연수 에 대하여 가 이 순서대로 등비수열을 이루고, 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이때, 의 값을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. 등차중항과 등비중항을 이용하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 등차중항과 등비중항의 조건을 알고 있는가? 44

45 수열 및 수열의 극한 이차방정식 의 두 근 에 대하여 가 이 순서대로 등비수열 을 이룰 때, 양수 의 값을 구하시오. 인 등비수열 이 있다. 이라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

46 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 05 기출 문항 2012학년도 대수능 나형 문제 28번 좌표평면에서 자연수 에 대하여 점 P 의 좌표를, 점 Q 의 좌표를 이라 하자. 사각형 P Q Q P 의 넓이를 이라 할 때, (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이다. 의 값을 구하시오. 수능완성 실전 나형 2회 29번 일 때, 직선 이 의 그래프와 만나는 점을 각각 A B 이라 하자, 사다리꼴 A B B A 의 넓이를 이라 할 때, lim 의 값을 구하시오. (단, 점 A 의 좌표는 음수이다.) 46

47 수열 및 수열의 극한 나침반 연계 분석 가. 도형과 관련된 수열의 극한에 대한 문제로 EBS문항에서 같은 개념원리를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 사각형의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있는가? 그림과 같이 검은색 직각이등변삼각형에 빗변과 한 점에서 만나도록 흰색 정사각형을 내접시킨 후 정 사각형에 빗변과 평해한 대각선을 그은 도형을 이라 하자. 도형 의 각 검은색 삼각형에 빗변과 한 점에서 만나도록 흰색 정사각형을 내접시킨 후 모든 정사각형에 빗변과 평행한 대각선을 그은 도형을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 도형 의 검은색 삼각형과 흰색 삼각형의 개수의 합을 이라 하자. 예를 들어, 이다. lim 의 값은?

48 연계 장학자료 - 수리(가) 자연수 에 대하여 두 집합 을 으로 정의할 때, 집합 의 원소 중 의 값이 모두 정수인 것의 개수를 이라 하자. lim 의 개수를 구하시오. 48

49 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 06 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 8번 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은? [3점] 수능특강수학 Ⅰ 97p 4번 공차가 인 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS문항에서 두 수열사이의 관계식을 그대로 이용하고 등차수열을 등비수열로 변형하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가? 49

50 연계 장학자료 - 수리(가) 각 항이 양수인 등비수열 에 대하여 수열 을 log ( )으로 정의하자. 수열 이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. (가) (나) 첫째항이 이 아닌 등비수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 일 때, 의 값은?

51 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 07 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 11번 첫째항이 이고, 각 항이 양수인 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 일 때, 의 값은? [3점] 수능특강 수학Ⅰ 106p 5번 첫째항이 인 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 할 때, 다. 의 값을 구하시오. (단, ) 이 성립한 나침반 연계 분석 가. 수열의 부분합을 구하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 수열의 부분합과 일반항 사이의 관계를 알고 있는가? 51

52 연계 장학자료 - 수리(가) 두 수열 이 모든 자연수 에 대하여 를 만족시킬 때, 의 값은?(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 에 대하여 가 성립할 때, 의 값은?

53 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 08 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 16번 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값은? [4점] 수능특강 수학Ⅰ 111p 4번 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. 여러 가지 수열의 합을 구하는 문제로 EBS문항에서 숫자를 바꿔서 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 근과 계수와의 관계를 알고 있는가? 나. 의 성질을 알고 있는가? 53

54 연계 장학자료 - 수리(가) 모든 항이 양수인 수열 이 log 일 때, 을 만족시키는 모든 항들의 곱은? 자연수 에 대하여 이차부등식 을 만족시키는 의 값 중 가장 큰 정수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. 54

55 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 09 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 23번 두 상수, 에 대하여 lim 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수능특강 수학Ⅰ 135p 2번 lim 를 만족시키는 상수 에 대하여 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 수열의 극한값을 구하는 문제로 EBS문항에서 숫자를 바꿔서 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 분모, 분자가 각각 다항식인 수열의 극한값을 구할 수 있는가? 55

56 연계 장학자료 - 수리(가) 자연수 에 대하여 함수 의 그래프가 함수 의 그래프와 만나는 교점의 개수를 이라 할 때, lim 1 의 값은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 자연수 에 대하여 두 수열 을 으로 정의할 때, lim 의 값은?

57 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 10 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 24번 등차수열 이, 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수능특강 수학Ⅰ 97p 1번 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 수열의 항의 값을 구하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 등차수열의 각 항을 첫째항과 공차를 이용해서 나타낼 수 있는가? 57

58 연계 장학자료 - 수리(가) 등차수열 1 의 첫째항이 이고 공차가 일 때, 의 값은? 수열 에 대하여 수열 을 으로 정의하고, 수열 을 으로 정의하였다. 세 수열 에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 일 때, 이다. ㄴ. 수열 이 등차수열이면 수열 도 등차수열이다. ㄷ. 모든 자연수 에 대하여 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 58

59 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 11 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 2번 lim 의 값은? [2점] 수능특강 수학Ⅰ 128p 5번 lim 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 수열의 극한값을 구하는 문제로 EBS문항에서 같은 자료를 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 분모, 분자가 각각 다항식인 수열의 극한값을 구할 수 있는가? 59

60 연계 장학자료 - 수리(가) 공차가 이 아닌 두 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 각각 이라 할 때, lim 이다. lim 의 값은? (단, 두 수열 에 대하여 이라 할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 모든 자연수 에 대하여 이면 이다. ㄴ. lim 이면 이다. ㄷ. 이고 lim 이면 lim 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ,ㄷ 4 ㄴ,ㄷ 5 ㄱ,ㄴ,ㄷ 60

61 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 12 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 3번 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은? [2점] 수능특강 수학Ⅰ 88p 1번 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. 등차수열의 항의 값을 구하는 문제로 EBS문항에서 숫자를 바꿔서 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 등차수열에서 두 개의 항이 주어졌을 때, 첫째항과 공차를 구할 수 있는가? 61

62 연계 장학자료 - 수리(가) 첫째항이 이고 공차가 정수인 등차수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하 자. 어떤 자연수 에 대하여 이 성립할 때, > 을 만족시키는 모든 항의 합을 라 하면 의 최댓값은? 각각의 항이 양수이고 공비가 같은 두 등비수열 이 을 만족할 때, 공 비의 최댓값은?

63 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 13 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 11번 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은? [3점] 수능특강 수학Ⅰ 93p 3번 각 항이 양수인 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값을 구 하시오. 나침반 연계 분석 가. 등비수열의 항의 값을 구하는 문제로 EBS문항에서 숫자를 바꿔서 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 등비수열에서 각 항을 첫째항과 공비를 이용해서 나타낼 수 있는가? 63

64 연계 장학자료 - 수리(가) 등차수열 과 등비수열 에 대하여 이 성립할 때, 의 값은? (단, 수열 의 공비는 실수이다.) 공비가 보다 큰 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?

65 수열 및 수열의 극한 EBS 연계 14 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 14번 다음 [단계]에 따라 정육각형이 인접해 있는 모양의 도형에 자연수를 적는다. [단계 ] <그림 >과 같이 한 개의 정육각형을 그리고, 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적는다. [단계 ] <그림 >의 아래에 개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적어서 <그림 >를 얻는다. [단계 ] <그림 >의 아래에 개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적어서 <그림 >을 얻는다. <그림 >에 적혀있는 모든 수의 합은? [4점] <그림 > <그림 > <그림 >

66 연계 장학자료 - 수리(가) 수능완성 수학Ⅰ 84p 4번 그림과 같이 크기가 같은 정육각형을 [1단계]에서는 개를 그리고 [2단계]에서는 [1단계]에서 그린 정 육각형 아래로 개의 정육각형을 더 그린다. [3단계]에서는 [2단계]에서 그린 정육각형 아래로 개의 정육각형을 더 그린다. 이와 같은 방법으로 [ 단계]에서 개의 정육각형을 그릴 때, [ 단계]에 그려진 모든 정육각형의 개수를 이라 하자. 예를 들어 이다. 이 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 여러 가지 수열에서 규칙성을 발견하는 문제로서 EBS문항에서 같은 도형을 활용하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 단계에 따라서 늘어나는 수의 규칙을 발견할 수 있는가? 66

67 수열 및 수열의 극한 중심이 점 이고 반지름의 길이가 인 원 와 중심이 점 이고 반지름의 길이가 인 원 이 있다. 일 때, 축에 접하는 원 이 두 원 와 에 동시에 외접하고 그 반지름의 길 이는 원 의 반지름의 길이보다 짧다고 한다. 원 의 중심을 점 이라 할 때, 구하시오. 의 값을 다음 세 조건을 모두 만족하도록 수열 을 정의할 때, 의 최댓값과 최솟값의 차는? (가) 수열 의 모든 항은 자연수이다. (나) (다) 수열 의 항 중에서 자연수 의 개수는 이상 이하이다

68 연계 장학자료 - 수리(가) 04 방정식과 부등식 수능 기출 유형 분석 방정식 단원은 분수방정식, 무리방정식, 분수방정식과 무리방정식의 실생활 활용 부분으로 구성되어 있으며, 부등식 단원은 고차부등식, 분수부등식, 연립부등식 부분으로 구성되어 있다. 매년 2문항 정도 가 출제되며 최근 2년간 수능에서는 3점짜리 문항의 비교적 쉬운 유형의 문제들이 출제되었다. 2013학 년도 6월 모의평가에서는 함수의 그래프를 이용한 분수부등식과 무리방정식의 문제가 출제되었으며, 9 월 모의평가에서는 2문항 모두 무리방정식과 분수부등식의 실생활 활용 문제가 출제되었다. 분수방정식과 무리방정식, 분수부등식은 다항방정식과 부등식으로 변형해서 푸는 방법을 충분히 익 혀두는 것이 필요하다. 또한 무연근이 존재한다는 것을 항상 기억하고 있어야 한다. 최근에는 함수의 그래프를 활용하여 해집합을 구하는 문제나 실근의 개수 또는 정수해의 개수를 묻는 문제가 자주 출제 되고 있다. 함수의 그래프와 방정식의 해의 관계, 함수의 그래프와 부등식의 해의 관계는 다른 단원에 서도 자주 사용되는 개념이므로 완벽하게 이해해 두는 것이 좋다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2012수능. 가형. 4번 2개의 분수부등식의 해집합의 합집합을 이용하여 미정계수를 구하는 문제 (정답형 3점) 2012수능. 가형. 12번 두 다항함수의 그래프를 이용하여 분수방정식의 실근의 개수를 구하는 문제 (정답형 3점) 2011수능. 가형. 4번 무리방정식의 모든 실근의 곱을 구하는 문제 (정답형 3점) 2011수능. 가형. 19번 분수부등식의 해를 만족하는 정수해를 구하는 문제 (정답형 3점) 2010수능. 가형. 11번 분수방정식에서 주어진 함수의 그래프를 이용한 실근의 개수를 구하는 문제 (정답형 4점) 2010수능. 가형. 19번 무리방정식의 실근의 합을 구하는 치환형 문제 (정답형 3점) 2009수능. 가형. 4번 무리방정식의 실근의 합을 구하는 치환형 문제 (정답형 3점) 2009수능. 가형. 5번 분수방정식에서 주어진 함수의 그래프를 이용한 실근의 개수를 구하는 문제(정답형 3점) 68

69 방정식과 부등식 EBS 연계 01 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 4번 두 집합, 에 대하여 일 때, 상수 의 값은? [3점] 수능완성 수학 Ⅱ 15p 15번 두 집합, 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이 다.) 나침반 연계 분석 가. 같은 유형의 문제로 EBS 문항보다 계산 과정이 쉽도록 변형하여 출제되었다. 문항 핵심 포인트 가. 분수 부등식의 해집합과 합집합을 이용하여 이차부등식의 미정계수를 구할 수 있는가? 나. 해집합을 그래프로 나타내어 합집합을 만족하는 이차부등식의 상수를 구하도록 한다. 69

70 연계 장학자료 - 수리(가) 두 집합 에 대하여 가 되도록 하는 의 최솟값은? (단, 실수 에 대하여 분수부등식 을 만족시키는 자연수 의 개수를 라고 할 때, 의 최솟값을 구하시오. 70

71 방정식과 부등식 EBS 연계 02 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 12번 이차함수 와 삼차함수 의 그래프가 그림과 같다. 이고, 함수 가 에서 극솟값 를 가질 때, 방정식 의 서로 다른 실근의 개수는? [3점] 수능완성 수학Ⅱ 20p 1번 삼차함수 와 이차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 분수방정식 실근의 개수는? (단, ) 를 만족하는 서로 다른

72 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 분수방정식의 실근의 개수를 구하는 문제로 같은 자료를 이용하여 출제하였다. 나. EBS 문항의 분수방정식보다 식이 조금 더 간단해졌고 그래프도 단순화되어 출제되었다. 문항 핵심 포인트 가. 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친 후 인수분해하여 해결한다. 나. 함수의 그래프와 방정식의 해의 관계를 알고 있어야 하며 계산이 끝난 후 무연근이 존재하는가를 확인하는 것이 꼭 필요하다. 사차함수 의 그래프가 그림과 같다. 무리방정식 의 서로 다른 실근의 개수를, 서로 다른 실근 중에서 양의 실근의 개수를 라 할 때, 의 값은?

73 방정식과 부등식 함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 을 만족하는 의 값의 범위는?

74 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 03 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 17번 닫힌 구간 에서 정의된 함수 와 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 을 만족시키는 정수 의 개수는? [4점] 수능특강 수학Ⅱ 26p 4번 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 을 만족시키는 정수 의 개수는?

75 방정식과 부등식 나침반 연계 분석 가. 분수부등식을 만족시키는 정수의 개수를 구하는 문제로 똑같은 유형으로 출제되었다. 나. 분수부등식이 바뀌었고 함수의 그래프도 2개로 늘어났다. 문항 핵심 포인트 가. 분모를 통분하여 정리한 후 분모를 없앤다. 나. 함수의 그래프와 부등식의 해의 관계를 알고 있어야 하며 계산이 끝난 후 무연근이 존재하는가를 확인하는 것이 꼭 필요하다. 두 삼차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 축 위의 개의 실수 중 분수부등식 의 해집합의 원소의 개수는?

76 연계 장학자료 - 수리(가) 이차함수 의 그래프가 그림과 같다. 두 집합 에 대하여 집합 에 속하는 정수의 개수는? (단, )

77 방정식과 부등식 EBS 연계 04 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 22번 무리방정식 의 해를 구하시오. [3점] 수능특강 수학Ⅱ 6p 6번 다음 무리방정식의 근을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. 무리방정식의 근의 구하는 문제로 형태가 일치하며 항의 위치만 일부 변형하였다. 문항 핵심 포인트 가. 식을 변형한 후 제곱하여 다항방정식으로 만들어 계산한다. 나. 무리방정식은 무연근이 존재할 수 있다는 것을 꼭 기억해야 한다. 77

78 연계 장학자료 - 수리(가) 에 대한 무리방정식 가 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 실수 의 값의 범위가 일 때, 의 최댓값은? 무리방정식 의 모든 근의 합은?

79 방정식과 부등식 EBS 연계 05 기출 문항 2012년 9월평가원 가형 문제 10번 그림은 지점 A B C D E 를 연결하는 산책로를 나타낸 것이다. 길이가 km 인 직선 모양의 산책 로 AE 와 둘레의 길이가 km 인 원 모양의 산책로가 B 지점에서 한 번 만난다. 갑과 을은 다음과 같 이 A 지점에서 E 지점까지 이동하였다. 갑: 산책로 AB 를 속력 km시, 원 모양의 산책로 한 바퀴를 속력 km시, 직선 모양 의 산책로 BE 를 속력 km시로 이동하였다. 을: 직선 모양의 산책로 AB BC CD DE 를 따라 속력 km시로 이동하였다. 갑과 을이 동시에 출발하여 갑이 을보다 시간 늦게 도착하였을 때, 두 지점 A B 사이의 거리 는? (단, C 는 원의 중심이고, 산책로의 폭은 무시한다.) [3점] 1 km 2 km 3 km 4 km 5 km 수능특강 수학Ⅱ 14p 5번 어느 공원에는 그림과 같이 직선 AD 의 조깅코스와 원 모양의 조깅코스가 있 는데, 각각의 길이는 km km 이고 두 코스는 B 지점에서 한 번 만난다. 원 의 중심을 지나는 새로운 조깅코스 A B C D 를 만들었더니 그 길이 AB BC CD 가 총 km 라고 할 때, 두 지점 A B 사이의 거리는? (단, 조 깅코스의 폭은 무시한다.) 1 km 2 km 3 km 4 km 5 km 79

80 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. EBS문항의 그림을 조금 변형하여 출제하였다. 나. EBS 문항은 단순히 거리의 관계만 물어보았지만 9월 모의 평가 문제는 두 사람의 도착시간의 차이를 통해 거리를 계산하는 문제로 한 단계 심화시켜 출제하였다. 문항 핵심 포인트 가. 거리, 속력, 시간의 관계를 이용하여 (갑이 걸린 시간) -2 = (을이 걸린 시간) 의 식을 세운다. 나. 무리방정식은 적당한 형태로 변형한 후 양변을 제곱하여 계산한다. 갑은 그림과 같이 어느 관광지의 A지점에서 출발하여 B지점을 거쳐 C지점까지 시속 km의 일정한 속력으로 자전거를 타고 간 후 자전거의 속도를 시속 km만큼 줄인 후 D지점에 도착하 였다. 이때, 걸린 시간을 측정해보니 A지점에서 D지점까지 직 선 거리를 A지점에서 C지점으로 갈 때의 자전거의 속력의 배 의 속력으로 일정하게 자동차로 이동하였을 때보다 시간 분 이 더 걸렸다. 자동차의 속력을 구하여라. (단, 속력의 단위는 km시이다.) 80

81 방정식과 부등식 그림과 같이 A지점과 B지점 사이의 거리가 km, B지점과 C지점 사이의 거리가 km인 도로가 있 고 영희와 철수는 다음과 같이 A지점에서 C 지점까지 이동하였다. 영희는 A지점을 출발하여 D지점과 E지점을 거쳐 C지점까지 평균속력 km/시로 이동 하였다. 철수는 A지점을 출발하여 B지점까지는 평균속력 km/시, B지점에서 C지점까지는 평 균속력 km/시로 이동하였다. B지점과 E지점 사이의 거리는 (km)이고, D지점과 E지점 사이의 거리는 (km)이다. 영희와 철수 가 동시에 출발하여 영희가 철수보다 시간 먼저 도착했을 때, 의 값은?

82 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 06 기출 문항 2012년 9월평가원 가형 문제 23번 A 그릇에는 농도가 %인 소금물 g이 담겨 있고, B 그릇에는 농도가 %인 소금물 g이 담겨 있다. A 그릇에는 g의 물을 넣고, B 그릇은 가열하여 g의 물을 증발시킨 후 g의 소금을 넣었다. A 그릇의 소금물 농도를, B 그릇의 소금물 농도를 라 할 때, 를 만족시키는 자 연수 의 최솟값을 구하시오. [3점] 수능완성 수학Ⅱ 19p 18번 농도가 인 소금물 g 이 비커에 담겨 있다. 이 소금물의 농도가 이상이 되도록 비커를 가열 하여 물을 증발시킬 때, 증발되는 물의 양의 최솟값은? (단, 단위는 g 이다.) 나침반 연계 분석 가. 농도의 문제로 증발시키는 상황과 최솟값을 묻는 형식이 일치한다. 나. 그릇을 하나 더 추가함으로써 EBS 문항보다 훨씬 심화된 형태의 분수부둥식 문제로 변형하였다. 문항 핵심 포인트 가. 소금의 양을 계산하여 농도를 구해야 한다. 나. 분수부등식을 계산하여 범위를 구한 후 자연수 의 최솟값을 구한다. 82

83 방정식과 부등식 그림과 같이 밑면이 정삼각형이고 높이가 밑면의 한 변의 길이의 배인 삼각기둥 A 가 있다. 이 삼각기 둥 A 의 밑면의 길이를 모두 만큼 늘리고 높이를 반으로 줄였을 때의 삼각기둥을 B 라 하자. 삼각기둥 A 의 밑면의 한 변의 길이를 라 할 때, 삼각기둥 A 의 부피가 삼각기둥 B 의 부피보다 작도록 하는 자 연수 의 최댓값을 구하시오. 농도가 인 소금물 이 들어 있는 비커를 가열하여 농도가 이상 이하가 되도록 하였 다. 증발되는 물의 양의 최댓값을, 최솟값을 이라할 때, 의 값을 구하시오. 83

84 연계 장학자료 - 수리(가) 05 삼각함수 수능 기출 유형 분석 삼각함수 단원의 수능에서 출제된 부분을 구체적으로 살펴보면 2007년 삼각함수의 덧셈정리, 2008, 2010, 2011년에 반각, 배각공식을 활용하는 문제가 출제, 2012년에는 다시 삼각함수의 합 성을 이용한 최댓값 구하는 문제와 삼각방정식 문제가 출제된 반면, 합 차를 곱으로 또는 곱을 합 차 로 바꾸는 공식에 관한 문제는 최근 5년간 출제된 적이 없다. 대부분이 간단한 공식의 적용으로 어렵 지 않게 해결할 수 있는 문제들이 주로 나온 반면, 난이도가 높은 4점짜리 문제는 삼각함수의 극한을 도형에 활용하는 문제들로 최근 3년간 꾸준히 출제 되었다. 또 이 단원은 삼각함수에 관한 공식들이 많아서 모두를 외워야하는 학생들에게는 부담감이 많은 단 원이기도 하지만 학생들에게 삼각함수에 관한 여러 가지 공식들을 무조건적으로 외우도록 강요하지 말고 삼각함수의 덧셈정리로부터 나머지 공식들을 자연스럽게 유도해서 활용하는 연습을 시킴으로서 시간활용도를 높이고, 동시에 그 구조를 이해하도록 돕는 것이 중요하다고 생각된다. 특히 삼각함수 의 극한에 관한 문제는 도형과 관련지어 출제가 많이 되고 이 도형은 대부분이 원에 관한 내용이다. 따라서 원에 대한 여러 가지 성질들(원주각과 중심각, 원의 접선 등)을 이해하고 이를 문제에 적용시 키는 능력을 길러주어야 한다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2011수능. 가형. 26번 삼각함수의 배각공식을 활용한 문제(정답형 3점) 2012수능. 가형. 20번 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구하는 문제(정답형 4점) 2012수능. 가형. 23번 삼각방정식을 이용하여 삼각함수값을 구하는 문제(단답형 3점) 84

85 삼각함수 EBS 연계 01 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 20번 좌표평면에서 직선 가 축과 이루는 예각의 크기를, 직선 가 직선 와 이루는 예각의 크기를 라 하자. sin sin 의 값이 최대가 되도록 하 는 의 값은? [4점] 수능완성 수학 Ⅱ 28p 25번 정삼각형 ABC 에서 변 BC 위의 점 P 에 대하여 BAP CAP 라 할 때, coscos 의 최댓값은? 나침반 연계 분석 가. 2011년 11월 대수능 문항은 EBS 문항보다 같은 개념을 다소 쉽게 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가? 85

86 연계 장학자료 - 수리(가) 좌표평면에서 원 위에 두 점 A, B 이 있다. 제 사분면에서 원 위를 움 직이는 점 P에 대하여 직선 AP의 기울기를 이라 할 때, 두 점 P B를 지나는 직선의 기울기를 으 로 바르게 나타낸 것은?

87 삼각함수 그림과 같이 좌표평면의 직선 tan 위에 OA 을 만족시키는 점 A가 있다. 점 A를 지나고 직선 tan에 수직인 직선 위에 AB 을 만족시키는 점 B를 정한다. 점 B를 지 나고 직선 tan에 평행인 직선이 축과 만나는 점을 C라 하자. 또 삼각형 OBC의 넓이가 일 때, 점 B의 좌표를 라 하자. 두 상수 에 대하여 의 값은? (단, 점 O는 좌표평면의 원점이 고, 점 A B는 모두 제사분면 위의 점이다.)

88 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 02 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 23번 방정식 cos cos 을 만족시키는 에 대하여 tan 의 값을 구하시오. [3점] 수능특강 수학Ⅱ 45p 유제17 일 때, 방정식 sinsin 을 만족시키는 서로 다른 모든 의 값의 합은? 나침반 연계 분석 가. EBS문항은 제한된 정의역에서의 삼각방정식의 해를 구하는 문항이고, 수능 문항은 삼각방정식에서 삼각함수값을 구하는 문항으로 EBS문항과 수능 문항 모두 삼각함수의 여러 가지 공식을 이용하여 삼각방정식을 푸는 문항임. 문항 핵심 포인트 가. 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각방정식을 풀 수 있는가? 88

89 삼각함수 함수 cos 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. ㄴ. <보 기> ㄷ. 에서 방정식 의 모든 근의 합은 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 두 점 A B의 좌표를 각각 sin sin cos cos 로 나타내어질 때, 선분 AB의 중점을 M 이라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대 로 고른 것은? ㄱ. 점 M이 그리는 도형은 원이다. <보 기> ㄴ. 좌표평면의 원점 O에 대하여 선분 OM의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은 이다. ㄷ. 선분 OM의 길이가 최대일 때, 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 89

90 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 03 기출 문항 2012년 6월. 평가원 가형 문제 23번 일 때, 방정식 cos cossin 을 만족시키는 모든 해의 합은 이다. 의 값을 구하시오.. [3점] 수능특강 수학Ⅱ 47p 유제 7 에서 방정식 coscos 의 서로 다른 모든 근의 합은? 나침반 연계 분석 가 대수능 기출문제의 연계문항과 유사한 제한된 정의역에서의 삼각방정식을 삼각함수 공식을 이용하여 푸는 문항이다. 나. EBS문항과 평가원 문항 모두 주어진 범위에서의 삼각방정식을 푸는 동일한 과정의 문항이다. 문항 핵심 포인트 가. 삼각함수의 배각공식을 알고 있는가? 나. 삼각방정식을 풀고 특수해를 구할 수 있는가? 90

91 삼각함수 에서 함수 sin cos 의 그래프가 직선 와 세 점에서 만날 때, 상수 의 값은? 그림과 같이 원 위의 점 cos sin에서 그은 접선과 직선 과의 교점을 라 하자. 을 만족시키는 의 값이 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 이고, 는 서로소인 자연수이다.) 91

92 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 04 기출 문항 2012년 9월. 평가원 가형 문제 2번 cos 일 때, cos의 값은? [2점] 수능특강 수학Ⅱ 40p 문제 1 tan 일 때, cos 의 값을 구하시오. 나침반 연계 분석 가. EBS문항은 cos에 대한 배각의 공식이고, 평가원 문항은 cos에 대한 반각의 공식이다. 문항 핵심 포인트 가. 삼각함수의 공식을 이용하여 계산할 수 있는가? 92

93 삼각함수 sin cos 일 때, sin 의 값은? (단, ) 그림과 같이 AB BC AD 이고 BAC DAC 인 사각형 ABCD에 대하여 CD 의 중점을 E라 하자. cos 일 때, sin CAE의 값은?

94 연계 장학자료 - 수리(가) 06 함수의 극한과 연속 수능 기출 유형 분석 함수의 극한과 연속에서는 매년 수능에서 2~3문항이 출제되고 있으며 이를 분석해 보면 2013학년도 수능에서 어떤 문항이 출제될 것인지 예측해 볼 수 있다. 첫째, 함수의 극한값 계산 또는 미정계수를 결 정하는 문제는 거의 빠짐없이 출제되고 있다. 이해력과 기본적인 계산능력을 묻는 쉬운 문항으로 출제 된다는 것을 알 수 있다. 둘째, 주어진 함수 또는 함수의 그래프를 이용하여 함수의 합, 곱 그리고 합성 함수의 극한값 계산과 연속성을 판단하는 문항으로 최근 자주 출제되는 부분이며 정확히 이해하고 있 지 않으면 실수하기 쉬운 부분이기도 하다. 셋째, 도형의 그림과 함께 그 성질을 이용하여 식을 정리한 후 삼각함수의 극한값을 구하는 문제가 고난이도 문항으로 빠짐없이 출제되고 있다. 함수의 극한과 연속 단원에서는 다양한 유형의 극한값을 구하는 문제들을 많이 풀어 보는 것이 무 엇보다 중요하다. 또한 함수의 그래프가 주어질 때, 좌극한과 우극한을 구하여 극한값의 존재성을 판 별하는 연습과 두 함수의 합, 곱 그리고 합성함수가 연속이 될 수 있는지를 판별하는 연습을 많이 해 두어야 한다. 극한의 성질과 연속성에 대한 성질을 알고 있는가를 묻는 합답형 문제는 개념을 꼼꼼히 정리하고 활용할 수 있어야 하고, 거짓인 명제에 대한 반례를 제시하기 위해 몇 가지 기본적인 함수들 을 기억해 두어야 한다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 극한에 대한 기본 공식은 반드시 기억하고 활용할 수 있어야 하고, 도형의 성질을 이용한 극한값을 구하는 문제가 매년 출제되므로 원, 삼각형 등 의 성질들을 활용할 수 있도록 대비해야 한다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2012수능. 가형. 2번 지수함수의 극한값을 구하는 문항(합답형 2점) 2012수능. 가형. 27번 주어진 도형에서 삼각함수의 성질을 이용하여 극한값을 구하는 문항(단답형 4점) 2011수능. 가형. 8번 주어진 함수의 합, 곱 등에 대해 극한값과 연속성을 구하는 문항(단답형 3점) 2011수능. 가형. 30번 원과 지수함수가 주어지고 삼각함수를 이용하여 극한값을 구하는 문항(단답형 4점) 2010수능. 가형. 3번 주어진 함수의 극한값을 이용하여 미정계수를 결정하는 문항(합답형 2점) 2010수능. 가형. 8번 주어진 함수의 합, 곱 등에 대해 극한값과 연속성을 구하는 문항(합답형 3점) 2010수능. 가형. 30번 도형을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구하는 문항(단답형 4점) 94

95 함수의 극한과 연속 EBS 연계 01 기출 문항 lim 의 값은? [2점] 학년도 대수능 가형 문제 2번 5 수능특강 수학 Ⅱ 55p 6번 다음 극한값을 구하시오. (1) lim (2) lim 나침반 연계 분석 가 대수능 문항은 EBS 문항에서 숫자만 바꾸어 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 지수함수의 극한에 대한 공식을 기억하고 있는가? 95

96 연계 장학자료 - 수리(가) tansinsin lim 의 값은? cos 에서 정의된 함수 ln 값을 구하시오. 의 역함수를 라고 할 때, lim 의 96

97 함수의 극한과 연속 EBS 연계 02 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 27번 그림과 같이 중심이 O 이고 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 Q, 점 Q 에서 선분 OP 에 내린 수선의 발을 R, 점 O 에서 선분 AP 에 내린 수선의 발을 라 하자. PAQ 일 때, 삼각형 AOS 의 넓이를, 삼각형 PRQ 의 넓이를 라 하자. lim 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 수능완성 실전모의고사 가형 2회 29번 좌표평면에서 원 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하고, POQ 라 하자. 점 A 과 점 P 를 지나 는 직선이 축과 만나는 점을 R 라 할 때, 삼각형 PQR 의 넓이를 라 하자. lim 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 점 P 는 제 사분면 위의 점이다.) [4점] 97

98 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가 대수능 문항은 EBS 문항과 거의 유사하게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 주어진 도형에서 조건에 맞는 극한값을 구할 수 있는가? 나. 원의 성질(원주각과 중심각)을 알고 있는가? 다. 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? 라. 삼각함수의 극한에 대한 기본공식을 기억하고 활용할 수 있는가? 그림과 같이 제 사분면에서 원 위를 움직이는 점 P 가 있 다. 점 A 에 대하여 POA 라 하고, 점 P 에서의 접선이 직 선 밑 축과 만나는 점을 각각 Q R 라 하자. 삼각형 QAR 의 넓이를 라고 할 때, lim 의 값은?

99 함수의 극한과 연속 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 T에 서 선분 OA와 선분 OB에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하고, TOP 라 하자. 점 P와 점 Q를 지 름의 양 끝점으로 하고 점 T를 지나는 반원을 C라 할 때, 반원 C의 호 TP, 선분 PA, 부채꼴 OAT의 호 AT로 둘러싸인 부분의 넓이를, 삼각형 OPQ의 넓이를 라 하자. lim 일 때, 의 값을 구하시오. (단, ) [4점] 99

100 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 03 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 6번 최고차항의 계수가 인 이차함수 와 함수 에 대하여 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 의 값은?[3점] 수능특강 수학 Ⅱ 76p 3번 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>의 함수 중 에서 연속인 것만을 있는 대로 고른 것은? < 보 기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 100

101 함수의 극한과 연속 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항보다 계산과정은 쉬워졌으나 다른 개념을 추가하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 함수의 연속의 정의를 알고 있는가? 나. 불연속 함수와 곱이 연속이 되기 위해서는 함숫값이 이 되어야 한다는 사실을 알고 있는가? 함수 lim 에 대하여 <보기>에 주어진 함수 중 함수 가 열린 구간 에서 연속인 것만을 있는 대로 고른 것은? < 보 기 > 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 101

102 연계 장학자료 - 수리(가) 에서 정의된 함수 가 다음과 같다. log O 함수 에 대하여 합성함수 의 불연속점의 개수는? (단, 는 를 넘지 않는 최대의 정수)

103 함수의 극한과 연속 EBS 연계 04 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 8번 함수 가 인 모든 실수 에 대하여 부등식 ln 을 만족시킬 때, lim 의 값은?[3점] 수능특강 수학 Ⅱ 64p 7번 함수 가 인 모든 실수 에 대하여 을 만족시킬 때, lim 의 값은? (단, 는 자연로그의 밑이다.) 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항과 거의 유사하게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 지수함수와 로그함수의 극한에 대한 기본공식을 알고 있는가? 나. 극한의 대소관계를 이용하여 극한값을 구할 수 있는가? 103

104 연계 장학자료 - 수리(가) 양의 정수 을 이진법으로 나타냈을 때의 자릿수를 이라고 하면 이 성립한다. 이때 lim ln 의 값은? ln 5 ln >, >,, 일 때, 함수 log log 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? < 보 기 > ㄱ. << 이면 >인 모든 에 대하여 >이다. ㄴ. <<이면 lim 이다. ㄷ. lim log 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 104

105 함수의 극한과 연속 EBS 연계 05 기출 문항 2012년 6월 평가원 가형 문제 29번 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 P Q 를 ABP BAQ 가 되도록 잡는다. 두 선분 AQ BP 와 호 PQ 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)[4점] 수능특강 수학 Ⅱ 61p 3번 그림과 같이 원 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. 점 A 과 원점 O 에 대하여 PAO 라 할 때, PQ lim OQ 의 값은? (단, 점 P 는 제 사분면 위의 점이다.)

106 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념을 다소 어렵게 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 주어진 도형에서 조건에 맞는 극한값을 구할 수 있는가? 나. 삼각비와 원의 성질을 알고 있는가? 다. 삼각함수의 극한에 대한 기본공식을 기억하고 활용할 수 있는가? 그림과 같이 반지름의 길이가 인 사분원에서 호 AB 위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 A 를 지나고 선분 OA 에 수직인 직선과 직선 OP 가 만나는 점을 Q 라 하고, 점 P 에서 선분 OA 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 점 A 에 한 없이 가까 워질 때, PQ PH PA 의 극한값을 구하시오. (단, PA 는 호 PA 의 길이이다.) 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 변 AB 의 중점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 반원 위에 점 P 가있다. BAP 일 때 삼각형 APC 의 넓이를, 부채꼴 OBP 의 넓이를 라 하자. lim 라 할 때, 의 값을 구하시오. 단 106

107 함수의 극한과 연속 EBS 연계 06 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 6번 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 의 그래프가 그림과 같다. 합성함수 가 에서 불연속이 되는 모든 의 값의 합은? (단, 이다.) [3점] 수능완성 수학 Ⅱ 55p 10번 함수 에 대하여 합성함수 는 에서 불연속이다. 이때, 모든 의 값의 합은? (단, 는 실수이다.)

108 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념이 거의 유사하게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 함수의 연속과 불연속의 정의를 알고 있는가? 나. 합성함수에서 불연속인 점을 구할 수 있는가? 함수 에 대하여 구간 에서 정의된 함수 cos 의 불연속점의 개수는?

109 함수의 극한과 연속 그래프는 두 함수, 를 각각 나타낸 것이다. 합성함수 의 불연속점의 개수는?

110 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 07 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 20번 그림과 같이 점 A 과 원 위의 점 P에 대하여 직 선 AP가 원 과 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 PQ 점 P에 가까운 점을 Q라 하자. OAP 라 할 때, lim 의 값은? [4점] 수능완성 수학 Ⅱ(실전편) 8p 27번 그림과 같이 원 위의 제사분면에 있는 점 P 에서 의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. 또, 점 Q 를 중심으 로 하고 반지름의 길이가 PQ 인 원이 축과 만나는 점 중 원 의 내부에 있는 점을 R 라 하고 POQ 의 크기를 라 하자. 점 A 에 대하여 lim PR 일 때, AQ 의 값을 구하시오.(단, O 는 원점이다.) [4점] 110

111 함수의 극한과 연속 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념을 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 주어진 도형에서 조건에 맞는 극한값을 구할 수 있는가? 나. 도형의 닮음을 이용하여 조건을 만족하는 관계식을 구할 수 있는가? 다. 삼각함수의 극한에 대한 기본공식을 기억하고 활용할 수 있는가? 반지름의 길이가 인 원 O 위에 점 A가 있다. 그림과 같이 양수 에 대하여 원 O 위의 두 점 B, C를 BAC 이고 AB AC 가 되도록 잡는다. 삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim 이다. 의 값을 구하시오. (단,, 는 서로소인 자연수이다.) 111

112 연계 장학자료 - 수리(가) 좌표평면 위에 타원 과 점 P 이 있고, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 과 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 가 있다. 제 1사분면에 있는 원 위의 점 A 에 대하여 선분 OA 와 원 의 교점을 B, 점 A 에서 축에 내린 수선의 발을 H, 선분 AH 와 타원의 교점을 Q, 선분 OA 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ 라 하자. 삼각형 ABQ 의 넓이를 이라 하고, 삼각형 APQ 의 넓이를 라 하자. lim 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 112

113 함수의 극한과 연속 EBS 연계 08 기출 문항 2012년 6월 평가원 나형 문제 19번 함수 < 에 대하여, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점] < 보 기 > ㄱ. 함수 가 불연속인 점은 개이다. ㄴ. 함수 는 에서 연속이다. ㄷ. 함수 은 실수 전체의 집합에서 연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 수능특강 미적분과 통계기본 25p 4번 함수 이 에서 연속이 되는 함수 의 그래프를 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은? < 보 기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 나침반 연계 분석 가. 6월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념을 다른 형태로 변형하여 출제됨. 113

114 연계 장학자료 - 수리(가) 문항 핵심 포인트 가. 함수의 연속에 대한 정의를 알고 있는가? 나. 함수의 곱으로 정의된 함수의 연속성을 판별할 수 있는가? 주어진 두 함수 의 그래프를 보고, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? < 보 기 > ㄱ. 함수 는 에서 연속이다. ㄴ. 함수 는 에서 연속이다. ㄷ. 함수 는 에서 연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄷ 114

115 함수의 극한과 연속 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 어떤 일차함수 에 대하여 함수 가 에서 연속이다. ㄴ. 어떤 이차함수 에 대하여 함수 가 에서 연속이다. ㄷ. 어떤 삼차함수 에 대하여 함수 가 에서 연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄷ 115

116 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 09 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 5번 함수 의 그래프가 그림과 같다. lim lim 의 값은? [3점] 수능특강 미적분과 통계기본 14p 4번 두 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것 은? ㄱ. lim ㄴ. lim < 보 기 > ㄷ. lim 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 116

117 함수의 극한과 연속 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념을 쉽게 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 함수의 극한에 대한 개념을 이해하고 있는가? 나. 그래프를 통해 함수의 극한값을 구할 수 있는가? 함수 가 이고, 그 그래프는 그림과 같다. 이 때, 다음의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. lim ㄴ. lim ㄷ. lim < 보 기 > 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 117

118 연계 장학자료 - 수리(가) 함수 에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. lim ㄴ. lim ㄷ. lim < 보 기 > 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 118

119 함수의 극한과 연속 EBS 연계 10 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 13번 함수 가 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 상수이다.) [3점] <보 기> ㄱ. lim ㄴ. 이면 함수 는 에서 연속이다. ㄷ. 함수 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 수능완성 미적분과 통계기본 14p 1번 함수 가 모든 실수 에 대하여 연속일 때, 모든 상수 의 값의 합은? 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항과 같은 개념을 진위형 문항으로 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 주어진 함수의 극한값을 구할 수 있는가? 나. 함수의 연속성과 연속함수의 성질을 이해하고 있는가? 119

120 연계 장학자료 - 수리(가) 함수 가 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. lim lim < 보 기 > ㄴ. 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하 는 실수 가 존재한다. ㄷ. 함수 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 120

121 함수의 극한과 연속 그림과 인 함수 의 그래프는 다음과 같다. 함수 의 그래프가 보기 와 같이 주어질 때, 합성함수 가 구간 에서 연속이 되는 경우를 모두 고른 것은? < 보 기 > 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 121

122 연계 장학자료 - 수리(가) 07 미분법 수능 기출 유형 분석 2011학년도 수능까지 다항함수의 미분법과 선택과목 미분과 적분이 분리되어 출제되던 것이 작년 2012학년도 수능부터는 수학Ⅱ 과목에 미분법으로 통합되어 출제된다. 미분에서는 평균변화율과 미 분계수의 계산 및 기하학적 의미, 연속성과 미분가능성에 대한 문제가 자주 출제되므로 이에 대한 개 념을 확실하게 이해하는 것이 중요하다. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 이용한 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제, 함수의 근을 판별하는 문제 등이 자주 출제되었다. 이런 종류의 문제는 미분 을 이용하여 그래프를 정확하게 그릴 수 있어야 문제를 풀기가 쉬워진다. 따라서 여러 가지 함수의 그래프의 특징을 이해하고 유형별로 정확하게 그래프를 그리는 연습이 필요하다. 특히, 방정식의 근 의 개수를 구하는 문제에 그래프를 그리는 과정이 많이 요구된다. 도형이나 실생활을 활용한 최댓값 과 최솟값을 구하는 문제는 4점문제로 주로 출제되며 이를 해결하기 위해서는 구하고자 하는 값을 함수로 표현할 수 있어야 한다. 기출문제나 비슷한 문제를 통해 주어진 상황을 함수로 표현하는 연습 을 하는 것이 필요하다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2011수능. 가형. 18번 극솟값을 이용하여 삼차함수를 찾는 문항 (정답형 3점) 2011수능. 가형. 24번 극값을 활용하여 사차함수의 그래프의 개형을 구하는 문항 (단답형 4점) 2011수능. 가형. 27번 자연로그함수 위의 점에서의 접선의 기울기를 계산하는 문항 (단답형 3점) 2011수능. 가형. 29번 조건은 미분가능과 미분계수를 설명하고 정적분의 최솟값을 구하는 미적분 통합 문항 (단답형 4점) 2012수능. 가형. 18번 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 묻는 문제(정답형 4점) 2012수능. 가형. 19번 도함수를 활용하여 접선의 방정식을 구하고 함수의 연속성을 묻는 문제 (정답형 4점) 122

123 미분법 EBS 연계 01 기출 문항 2011년 9월. 평가원 가형 문제22번 함수 ln 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점] 수능특강 수학Ⅱ 103p 예제4번 ln 에 대하여 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS문항과 같은 함수를 사용하였지만 질문을 더 쉽게 변형하여 출제하였다. 나. EBS문항은 이계도함수의 미분계수를 구하여 구하는 문제이지만 평가원 문항은 한 번의 미분으로 계산할 수 있도록 출제되었다. 문항 핵심 포인트 가. 로그함수를 미분할 수 있는가? 나. 미분계수 문제는 항상 출제되는 형태이므로 여러 가지 함수의 미분법을 모두 익히고 있어야 한다. 123

124 연계 장학자료 - 수리(가) 함수 이 모든 실수 에서 미분가능하도록 실수, 를 정할 때, 의 값은? 다항함수 에 대하여 lim 의 값은? (단, ) f (a)

125 미분법 EBS 연계 02 기출 문항 2011년 9월. 평가원 나형 문제 15번 점 에서 곡선 에 그은 접선이 축과 만나는 점의 좌표를 이라 할 때, 의 값 은? [4점] 수능특강 미적분과 통계기본 40p 유제 1번 점 에서 곡선 에 그은 접선이 축과 만나는 점의 좌표를 이라 할 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS문항의 식만 일부 변형하였을 뿐 문제 및 요구하는 형태가 완전히 일치한다. 문항 핵심 포인트 가. 다항함수의 미분을 이용하여 접선의 방정식을 구할 수 있는가? 나. 미분계수와 접선의 기울기를 구하는 기본 문제 및 활용하는 문제가 매년 출제되었다. 125

126 연계 장학자료 - 수리(가) 에서 곡선 에 그은 두 접선의 기울기가 각각 일 때, 의 값은? 곡선 위의 접선의 기울기가 최소인 점에서의 접선이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는? ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ 126

127 미분법 EBS 연계 03 기출 문항 2011년 9월. 평가원 나형 문제 18번 함수 의 역함수가 존재하도록 하는 상수 의 최댓값은? [4점] 수능특강 미적분과 통계기본 47p 문제 6번 삼차함수 의 역함수가 존재하도록 하는 실수 의 값의 범위는? 나침반 연계 분석 가. 같은 개념의 문제로 질문의 형태를 변형하였다. 나. EBS문항은 상수의 범위를 구하도록 하였고 평가원 문항은 그 범위의 최댓값을 요구하였다. 문항 핵심 포인트 가. 삼차함수의 역함수가 존재할 필요충분조건을 알고 있는가? 나. 이차방정식의 판별식을 활용할 수 있는가? 다. 삼차함수에서 도함수 를 이용하여 의 그래프를 해석하는 부분은 미분단원의 가장 핵심적인 내용이므로 완벽하게 이해하고 있어야 한다. 역함수가 존재하도록 의 부분을 증가함수(또는 감소함수)가 되도록 으로 변형할 수 도 있다. 127

128 연계 장학자료 - 수리(가) 함수 의 도함수 가 다음과 같다. 구간 에서 가 증가하기 위한 의 최댓값은? 함수 에서 이면 반드시 가 성립하도록 의 값의 범위를 정하면?

129 미분법 EBS 연계 04 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 18번 정의역이 인 함수 cos 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] ㄱ. 이면 tan 이다. <보 기> ㄴ. 함수 가 에서 극댓값을 가지는 가 구간 에 있다. ㄷ. 구간 에서 방정식 의 서로 다른 실근의 개수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 수능특강 수학 Ⅱ 130p 유제 1번 에서 방정식 sin 의 실근의 개수는? 나침반 연계 분석 가. EBS문항과 대수능 문항의 제시된 함수의 형태가 유사하다. 나. EBS문항은 실근의 개수만 묻고, 대수능 문제는 여기에 도함수의 값과 극댓값까지 질문하는 형식으로 문제를 확대하여 출제하였다. 문항 핵심 포인트 가. 곱의 미분과 삼각함수의 미분을 할 수 있는가? 나. 극댓값의 개념을 알고 극댓값을 구할 수 있는가? 다. 함수의 증감표를 통해 함수의 그래프를 그릴 수 있고, 이를 이용하여 방정식의 근의 개수를 구할 수 있는가? 129

130 연계 장학자료 - 수리(가) ln 함수 에 대한 설명 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 단, lim lim 이고 는 자연로그의 밑이다. ㄱ. 에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. 변곡점의 좌표는 이다. <보 기> ㄷ. 함수 의 그래프는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 130

131 미분법 을 만족시키는 미분가능한 함수 의 그래프가 그림과 같다. 함수 를 로 정의할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, lim lim 이다.) <보 기> ㄱ. 함수 는 열린구간 에서 증가한다. ㄴ. 함수 는 최솟값을 갖는다. ㄷ. 을 만족시키는 실수 가 존재한다. ➀ ㄱ ➁ ㄴ ➂ ㄱ, ㄴ ➃ ㄱ, ㄷ ➄ ㄴ, ㄷ 131

132 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 05 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 19번 실수 에 대하여 점 를 지나고 기울기가 인 직선이 곡선 과 만나는 점의 개수를 이라 하자. 함수 이 구간 에서 연속이 되게 하는 실수 의 최댓값은? [4점] 수능특강 수학 Ⅱ 111p 예제 2번 함수 의 그래프와 접하고 점 을 지나는 서로 다른 접선의 개수를, 접선의 기울기의 합을 라 할 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. EBS와 대수능 문항의 제시된 조건은 유사하나 대수능 문항에서는 이를 다시 변형, 문제를 확대하여 출제하였다. 문항 핵심 포인트 가. 외부의 한 점에서 그은 접선과 다른 함수의 관계를 도함수를 이용하여 구할 수 있는가? 나. 함수의 연속의 정의를 알고 있는가? 132

133 미분법 원점에서 두 곡선 ln에 그은 두 접선이 이루는 예각을 라 할 때, tan 의 값은? 자연수 에 대하여 함수 이라 하자. 점 에서의 이 함수의 그래프의 접선이 축과 만나는 점의 좌표를 이라할 때, 의 값은?

134 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 06 기출 문항 2012년 6월. 평가원 가형 문제 26번 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 가 있다. 곡선 위의 점 에서 의 접선의 기울기는 이다. 함수 의 역함수를 라 할 때, 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 이다. 의 값을 구하시오. [4점] 수능특강 수학 Ⅱ 101p 3번 열린구간 에서 증가하는 함수 의 그래프가 그림과 같고, 의 그래프 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표가 이다. 함수 의 역함수를 라고 할 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 그래프가 제시된 상황만 조금 다를 뿐 두 문항이 거의 일치함 문항 핵심 포인트 가. 도함수를 활용하여 접선의 방정식을 구할 수 있는가? 나. 역함수의 미분을 할 수 있는가? 134

135 미분법 (EBS수능완성 수학Ⅱ 88p 문제 4번) 최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여 곡선 와 직선 가 에서 그림과 같이 만나고 있다. 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식이 일 때, 두 상수 에 대하여 의 값은? 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식이 이 되도록 상수 의 값을 정할 때, 의 값을 구하시오. 135

136 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 07 기출 문항 2012년 9월. 평가원 가형 문제 22번 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 가 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수능완성 수학 Ⅱ 75p 8번 모든 실수 에 대하여 미분가능한 함수 가 을 만족시킬 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 합성함수의 미분법을 묻는 문제로 주어진 함수만 조금 달리하여 출제되었다. 문항 핵심 포인트 가. 합성함수의 미분을 할 수 있는가? 136

137 미분법 함수 와 미분가능한 함수 의 합성함수 가 있다. 일 때, 의 값은? 두 함수 ln 에 대하여 라 할 때, lim 의 값은?

138 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 08 기출 문항 2012년 9월. 평가원 나형 문제 26번 함수 에 대하여 lim 의 값을 구하시오. [4점] 수능완성 미적분과 통계 기본 27p 6번 함수 에 대하여 lim 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 같은 개념의 문제로 질문의 숫자만 변형하여 출제하였다. 문항 핵심 포인트 가. 미분계수의 정의를 알고 있는가? 나. 삼차함수의 미분을 할 수 있는가? 138

139 미분법 함수 에 대하여 lim 일 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) 함수 cos 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. lim <보 기> ㄴ. 함수 는 에서 연속이다. ㄷ. 에 대하여 무한급수 가 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 139

140 연계 장학자료 - 수리(가) 08 적분법 수능 기출 유형 분석 최근의 출제 경향을 보면 적분법은 다소 어려운 문제가 많이 출제되고 있다. 단순한 넓이의 계산을 묻 는 문제에도 부분적분법이나 치환적분법을 사용해야 하는 등 일반 학생들이 계산 한 번에 풀 수 있는 문 제가 아니라 여러 단계의 계산을 거쳐야 해결할 수 있는 문제가 자주 출제된다. 정적분의 계산, 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이구하기, 정적분의 기본성질을 활용한 문제, 속도와 거 리에 관한 활용문제, 무한급수를 이용한 정적분의 계산문제 등이 주로 출제되고 있으므로 초월함수의 그래프를 정확히 그릴 수 있어야 하며 정적분의 성질을 정확히 이해하고 계산할 수 있어야 한다. 또 최 근에 부분적분법과 관련된 로그함수, 지수함수 문제의 적분법이 자주 출제되고 있으며 미적분의 기본 정리를 응용한 문제도 자주 출제됨을 유념해야 할 것이다. 아래의 표를 보면 전년도에 출제된 문제 유형과 비슷한 유형이 다음해에도 출제된 비율이 3개 중에 2 개이므로 9월 출제 유형과 전년도 출제 유형을 반드시 숙지할 필요가 있음을 알 수 있다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 2012수능 가형 16번 기출 문항의 형태 두 곡선 사이의 넓이를 구하는데 부분 적분법을 사용할 수 있는지를 묻는 문항 (선택형 4점) 2012수능 가형 28번 정적분으로 표시된 함수의 미분법을 합성함수의 미분법으로 구하는 문항 (단답형 4점) 2011수능 가형 20번 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시켜 생기는 부피를 구하는 문항 (단답형 3점) 2011수능 가형 28번 부분적분법과 치환적분법을 이용하여 정적분을 계산하는 문항 (단답형 3점) 2011수능 가형 29번 조건은 미분가능과 미분계수를 설명하고 정적분의 최솟값을 구하는 미적분 통합 문항 (합답형 4점) 140

141 적분법 EBS 연계 01 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 16번 그림에서 두 곡선, 과 축으로 둘러싸인 부분 의 넓이를, 두 곡선, 과 직선 로 둘러싸인 부분 의 넓이를 라 할 때, 의 값은? [4점] 수능완성 실전편 28p 10번 두 곡선, 과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 나침반 연계 분석 가. 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제를 확대하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 두 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구할 수 있는가? 141

142 연계 장학자료 - 수리(가) 그림과 같이 곡선 과 두 직선 로 둘러싸인 영역을 라 하고, 곡선 과 두 직선 및 축으로 둘러싸인 영역을 라 하자. 영역 의 넓이와 영역 의 넓이가 같게 되는 상수 의 값은? 두 곡선 sin sin 가 있다 다음 그림과 같이 제 1 사분면에서 두 곡선과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때, 의 최댓값은?

143 적분법 EBS 연계 02 기출 문항 2012년 6월. 평가원. 가형 10번 연속함수 가 모든 실수 에 대하여 를 만족시킬 때, ln 의 값은 (단, 는 상수이다.) [3점] 수능특강 적분과 통계 52p 3번 다항함수 가 모든 실수 에 대하여 를 만족시킬 때, 의 값을 구하여라. (단, 는 상수이다.) [3점] 나침반 연계 분석 가. 같은 유형으로 함수만 다항함수에서 지수함수로 바꾸어 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 정적분으로 정의된 함수의 미분을 할 수 있는가? 나. 정적분의 성질을 활용할 수 있는가? 143

144 연계 장학자료 - 수리(가) 다항함수 가 모든 실수 에 대하여 를 만족할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수) 함수 는 에서 연속이고 인 모든 에 대하여 을 만족한다. 의 값은?

145 적분법 EBS 연계 03 기출 문항 2012년 6월. 평가원. 가형 19번 사차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, lim 을 만족시키는 정수 의 개수는? [4점] 수능특강 적분과 통계 37p 2번, 3번 확인유제 2) 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 <을 만족시키는 자연수 의 개수를 구하여라. (단, < >일 때, >이다.) 발전유제 3)함수 가 < 인 모든 두 실수 에 대하여 부등식 lim 5. > 을 만족시키기 위한 실수 의 최솟값을 구하여라. 145

146 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 정적분의 의미를 묻는 문제와 정적분과 무한급수의 관계를 문제를 합쳐서 하나의 문제를 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 정적분의 정의의 의미를 알고 있는가? 나. 무한급수를 정적분으로 변형할 수 있는가? 함수 의 도함수 가 의 값은? 이고 lim 일 때,

147 적분법 그림과 같이 AOB, OA 인 부채꼴 AOB 의 호 AB 를 등분 하는 점을 각각 P P P n 이라 하고, 점 에서 반지를 OA 에 내린 수선의 발을 Q k 라 할 때, lim AQk 의 값은? (단, 점 P n 은 점 B 와 같은 점이고, 점 Q n 은 점 O 와 같은 점이다.)

148 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 04 기출 문항 2012년 6월. 평가원. 가형 21번 함수 의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프로 둘러싸인 부분을 축의 둘레 로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점] 수능특강 적분과 통계 62p 3번 함수 의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시 켜 생기는 회전체의 부피는? 나침반 연계 분석 가. 같은 유형의 문제로 다항함수의 계수만 바꾸어 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 두 곡선이 이루는 면을 축 둘레로 회전시킨 부피를 구할 수 있는가? 나. 함수의 역함수를 구할 수 있는가? 148

149 적분법 좌표공간에서 두 구, 의 공통부분의 부피는? 다음 그림과 같이 두 타원 로 둘러싸인 어두운 부분의 도형을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부 피는?

150 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 05 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 13번 삼차함수 의 그래프가 그림과 같고, 는 을 만족시킨다. 함수 의 한 부정적분을 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점] <보 기> ㄱ. ㄴ. 점 는 곡선 의 변곡점이다. ㄷ. 이면 방정식 은 서로 다른 네 실근을 갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 수능특강 적분과 통계 42p 4번 이고 을 만족하는 삼차함수 의 그래프가 그림과 같다. 의 부 정적분 를 방정식 가 서로 다른 네 실근을 갖도록 정할 때, 정수 의 값의 합은?

151 적분법 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항보다 같은 개념을 확대하여 다소 어렵게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 미분과 적분과 관계를 알고 있는가? 나. 도함수로부터 원래함수의 그래프를 유추할 수 있는가? 다. 방정식의 근은 두 그래프의 교점이라는 의미를 이해하고 있는가? 그림과 같이 삼차함수 가 극댓값 과 극솟값 을 가 지며, 이다. 이때, 의 값은? 함수 에 대하여 정적분 의 값은? (단, 는 자연로그의 밑이다.)

152 연계 장학자료 - 수리(가) EBS 연계 06 기출 문항 2012년 9월 평가원 가형 문제 24번 두 곡선, ln 와 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부 피는 이다. 의 값을 구하시오. [3점] 수능완성 적분과 통계 35 16번 그림과 같이 두 곡선 과 축으로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시 켜 생기는 회전체의 부피는? (단, 는 자연로그의 밑이다.)

153 적분법 나침반 연계 분석 가. 는 지수함수인데 평가원 문항은 로그함수로 변형하여 출제함 문항 핵심 포인트 가. 두 곡선으로 둘러싸인 면을 회전시킬 때, 회전체의 부피를 구할 수 있는가? 나. 부분적분법 혹은 치환적분법을 사용할 수 있는가? 그림과 같이 사각형 ABCD 는 타원 에 내접하는 정사각형이고, 포물선 는 세 점 O A D 를 지난다. 이 때, 타원과 포물선으로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? (단, O 는 원점이다.)

154 연계 장학자료 - 수리(가) 그림과 같이 두 함수 의 그래프와 직선 로 둘러싸인 도형에서 직선 와 두 함수 의 그래프가 만나는 점을 P Q 라 하자. 선분 PQ 를 한 변으로 하는 정삼각형을 평면과 수직인 평면 위에 그릴 때, 이 삼각형이 그리는 입체의 부피는?

155 적분법 EBS 연계 07 기출 문항 2011년 9월. 평가원. 나형 21번 같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 A B가 있다. 그림은 시각 에서 물체 A의 속도 와 물체 B의 속도 를 나타낸 것이다. 이고 일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것 은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 일 때, 물체 A는 물체 B보다 높은 위치에 있다. ㄴ. 일 때, 물체 A는 물체 B의 높이의 차가 최대이다. ㄷ. 일 때, 물체 A와 물체 B는 같은 높이에 있다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 155

156 연계 장학자료 - 수리(가) 수능특강 미적분과 통계기본 47p 8번 삼차함수 와 이차함수 의 도함수의 그래프 가 그림과 같다. 라 하고 이 라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? < 보 기 > ㄱ. 에서 는 증가한다. ㄴ. 는 에서 극값을 가진다. ㄷ. 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 나침반 연계 분석 가. 적분과 미분에 관한 문제로 EBS 문항보다 내용을 축소하여 다소 쉽게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 미분과 적분에 관한 관계(미적분학의 기본정리)를 알고 있는가? 나. 다항함수의 미분법을 계산할 수 있는가? 156

157 적분법 다음은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 속도 를 나타내는 그래프이다. 일 때, <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 이다.) <보 기> ㄱ. 점 P는 출발하고 나서 원점을 다시 지난다. ㄴ., ㄷ. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 157

158 연계 장학자료 - 수리(가) 수직선 위에 점 의 좌표는, 점 는 원점에 있다. 두 점이 동시에 움직이기 시작하여 초 후 의 점 의 속도는, 점 의 속도는 일 때, 다음 <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 두 점 와 는 3번 만난다. ㄴ. 일 때, 점 의 좌표가 점 의 좌표보다 항상 크다. ㄷ. 일 때, 두 점 사이의 거리의 최댓값은 6이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 158

159 적분법 EBS 연계 08 기출 문항 2012년 9월 평가원 나형 문제 18번 의 값을 구하시오. [3점] 수능완성 미적분과 통계기본 68p 1번 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항보다 내용을 축소하여 다소 쉽게 변형하여 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 정적분의 계산을 할 수 있는가? 나. 정적분에서 우함수와 기함수의 성질을 활용할 수 있는가? 159

160 연계 장학자료 - 수리(가) 을 만족하는 상수 의 값은? 실수 전체에서 정의된 연속함수 와 의 도함수 는 다음과 같다. 이때, 의 값은?

161 적분법 EBS 연계 09 기출 문항 그 림 과 같 이 곡 선 과 양 수 에 대 하 여 세 점 O A B 을 지 나 는 원 가 있 다. 2012년 9월 평가원 나형 문제 29번 원 의 내 부 와 부 등 식 이 나 타 내 는 영 역 의 공 통 부 분 의 넓 이 를 라 할 때, 이 다. 의 값 을 구 하 시 오. (단, 는 정 수 이 다.) [4점 ] 수능특강 미적분과 통계기본 1번 그림과 같이 곡선 과 세 점 O A B 를 지나는 원 가 있다. 곡선 의 아래 부분과 원 의 내부로 둘러싸인 도형의 넓이는?

162 연계 장학자료 - 수리(가) 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항의 내용에서 상수로 주어진 좌표를 변수로 바꾸어 다소 어렵게 출제함. 문항 핵심 포인트 가. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는가? 나. 직각삼각형의 외심은 빗변에 있고 그 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이라는 사실을 알고 있는가? 함수 과 그 역함수 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이가 12일 때, 의 값을 구하시오.(단, ) 162

163 적분법 한 변의 길이가 인 두 정삼각형 OAB와 PQR가 있다. 그림과 같이 두 정삼각형의 두 변 OBPR가 수직선 위에 놓여 있다. 이때, 점 B의 좌표는, 점 R의 좌표는 6이다. 두 정삼각형 PQROAB가 수직선의 양의 방향으로 동시에 다른 속도로 움직이는데 초일 때 꼭짓점 R의 속도는 이고, 꼭짓점 B의 속도는 꼭짓점 R의 속도의 배이다. 출발한 지 초 후에 두 정삼각형 PQROAB가 겹쳐지는 부분의 넓이를 라 할 때, 의 값은? 163

164 연계 장학자료 - 수리(가) 09 일차변환과 행렬 수능 기출 유형 분석 일차변환과 행렬은 2009개정 교육과정에 의해 2012학년도 수능에 새롭게 추가된 영역으로 이전 6차 교육과정에서는 고난이도 문항이 자주 출제되던 단원이다. 특히, 대칭변환, 닮음변환, 회전변환 등의 합성변환과 역변환에 대한 추론문제 및 도형의 이동을 묻는 문항이 자주 출제되었다. 또한, 행렬단원과 밀접히 연관되어 다양한 행렬의 성질들을 일차변환을 이용하여 묻는 문항도 출제될 수 있다. 특히, 작년 수능에서는 닯음변환과 회전변환을 묻는 문항이 출제되었으므로 2013학년도 수능에서는 합성변환과 역변환을 묻는 문항과 일차변환에 의한 도형의 이동을 묻는 문항이 출제될 것으로 보인다. 일차변환과 행렬단원에서 문항들을 유형별로 분류해보면 다음과 같다. 첫째, 다양한 일차변환을 나 타내는 행렬을 이해하고 있는지를 묻는 문항으로 거의 빠짐없이 출제되고 있다. 이해력과 기본적인 계 산능력을 묻는 쉬운 문항으로 출제된다는 것을 알 수 있다. 둘째, 합성변환과 역변환을 이해하고 있는 지, 그리고 행렬의 다양한 성질을 이용하여 그것을 나타내는 행렬을 이해하고 있는지를 묻는 문항이다. 셋째, 일차변환에 의하여 옮겨지는 도형의 성질을 이해하고 있는지를 묻는 문항이다. 특히, 일차변환을 나타내는 행렬의 역행렬이 존재하지 않을 때, 옮겨진 도형에 관한 내용을 묻는 문항이 자주 출제되었다. 수능 출제 경향 포인트 출제 연도 기출 문항의 형태 2012수능. 가형. 6번 도형의 넓이를 닮음변환의 성질을 이용하여 구하는 문항(합답형 3점) 2012수능. 가형. 10번 회전변환을 나타내는 행렬의 성분을 구하는 문항(합답형 3점) 2004수능. 자연계. 6번 회전변환과 대칭변환의 합성 (정답형 2점) 2004수능. 자연계. 13번 회전변환의 합성과 역변환을 묻는 문제 (합답형 3점) 2003수능. 자연계. 10번 일차변환과 대칭변환의 합성에 관한 규칙성 찾기 (정답형 3점) 2002수능. 자연계. 13번 일차변환을 행렬로 나타내고 그 연산을 기호로 표현하기 (정답형 3점) 164

165 일차변환과 행렬 EBS 연계 01 기출 문항 좌표평면에서 행렬 2012학년도 대수능 가형 문제 6번 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점,, 이 옮겨진 점을 각각,, 이라 하자. 삼각형 의 내부와 삼각형 의 내부의 공통부분의 넓이가 일 때, 의 값은? [3점] 수능완성 기하와 벡터 12p 7번 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 두 점 A 이 각각 두 점 A B 으 로 옮겨지고 AB A B 일 때, 의 값은? 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항보다 다소 쉽게 변형하여 출제됨. 문항 핵심 포인트 역행렬의 정의를 이용하여 주어진 행렬의 역행렬을 구할 수 있는가? 165

166 연계 장학자료 - 수리(가) 일차변환 를 나타내는 행렬을 라 하자. 행렬 으로 나타내어 지는 일차변환에 의하여 P 이 옮겨지는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값을 구하시오. 점 로, 점 를 어떤 일차변환은 점 을 점 로 옮긴다. 이 일차변환을 나타내는 행렬을 라고 하자. 일 때, 의 값은?(단, )

167 일차변환과 행렬 EBS 연계 02 기출 문항 2012학년도 대수능 가형 문제 10번 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 에 의하여 점 이 제 사분면 위의 점 로 옮겨진다. 회전변환 를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 라 할 때, 의 값은? [3점] 수능완성 기하와 벡터 27p 4번 원점을 중심으로 각 만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 가 점 으로 옮겨진다. 이 회전 변환을 나타내는 행렬을 라 할 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? 나침반 연계 분석 가. 9월 평가원 문항은 EBS 문항과 거의 동일하게 출제됨. 문항 핵심 포인트 가. 회전변환의 정의를 알고 있는가? 167

168 연계 장학자료 - 수리(가) 좌표평면 위의 원 에 대하여 양수 는 sin 를 만족시킨다. 일차변환 cos sin 를 나타내는 행렬을 라 할 때, 행렬 으로 나타내어지는 sin cos 일차변환에 의하여 원 이 옮겨진 도형을 이라 하자. 다음 중 도형 와 한 점에서 만나는 것은? 다음 그림과 같이 원점을 지나는 원 위에 원점이 아닌 서로 다른 두 점 P Q 가 있다. 일차변환 에 의하여 점P 는 점Q 로, 점Q 는 원점O 로 옮 겨질 때, 합성변환 에 의하여 원 는 어떤 도형으로 옮겨지는가? 1 원점 O 2 선분 OP 3 선분 OQ 4 호 PQ 5 원 C 168