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1 중학 2 수 학 1

2

3 머리글 우리나라에 영재교육이 본격적으로 도입되어 시행된 것은 채 10년도 되지 않는다. 그 동안 우리 는 영재교육의 양적 확대에 주력해왔고, 이제는 어느 정도 정착 단계에 도달한 것으로 보인다. 그 러나 영재교육의 완전한 정착까지는 해결해야할 수많은 난제들이 남아있다. 그 중에 하나는 우리 가 과연 제대로 영재교육을 하고 있는가? 에 대한 해답을 찾는 것이다. 작금의 현실은 영재교육을 수월성교육 강화의 한 방편으로 인식하는 경향이 있다. 또한 다소 과열된 영재교육 열기도 여러 가지로 부담이 되고 있다. 영재교육에 대한 시대적 요구를 충족시키면서도 영재교육 본래의 취지 와 목적을 잘 지켜나가는 것이 매우 중요한 시점이다. 영재교수 학습자료 표준화 사업은 서울특별시교육청의 제2차('08-'12) 영재교육 발전계획( ) 에 따라 서울영재교육의 질적 수준을 향상시키고자 기획되었다. 현재까지 국가 수준의 영재교육과정 은 개발되지 않고 있다. 그러다보니 영재교육은 지역마다, 운영기관마다, 담당교원마다 얼마간씩 편차를 지닌 채 운영되어 왔고, 일부의 경우 심각한 수준의 오류로 확대되기도 하였다. 이에 서울특별 시교육청은 영재교육의 지역별, 운영기관별, 담당교원별 격차를 최소화하기 위하여 가이드라인 성격 의 표준화자료를 개발 보급하기로 하였다. 사업의 개요는 다음과 같다. 구분 내용 개발영역 수학, 과학 대상학년 초4~6, 중1~3 표준화자료 13종 개발자료 초4수학, 초5수학, 초6수학, 초4과학, 초5과학, 초6과학 중1수학, 중2수학, 중3수학, 중물리, 중화학, 중생물, 중지구 개발기간 ~12. 개발인원 총 51명(교장 1명, 교수 4명, 교감 4명, 교사 14팀 42명) 2005~2007 적용 영재교수 학습자료를 기초로 함 단위학교 영재교육과정 편성을 위한 최소한의 가이드라인 제시 - 필수 요목 개발방침 또는 최소 이수 기준 제시 책자 및 CD로 제작 보급하고 홈페이지에 탑재 2009년 이후 정보과학, 음악, 미술, 문예창작 추가 개발 3

4 본 사업은 다음의 3단계 순으로 진행되었다. [1단계 : 기초자료 수집 및 정리] 2005년부터 2007년까지 서울시교육청 산하 각 영재교육기관에서 적용된 모든 수학, 과학 영재교 수 학습자료를 수집 정리 분류하였다. 1단계에서 정리된 모든 기초 자료는 데이터베이스화하여 차후 구축될 영재교육 전용 홈페이지에 탑재할 예정이다. 기초자료 : 3,351파일(8G) [2단계 : 표준화자료 선정] 1단계의 기초 자료를 검토 평가하여 필수요목 또는 최저이수기준의 성격을 갖는 표준화 자료 를 선정하고, 이를 CD로 제작하여 각급 영재교육기관에 책자와 함께 보급한다. CD(표준화자료)는 한글파일로 제공되어 담당교원들이 자유롭게 재구성하여 사용할 수 있도록 하였다. 표준화자료 : 1,330파일(2G) [3단계 : 배부용 책자 제작] 표준화자료 중 핵심적인 주제들만 골라 400쪽 내외의 책자로 제작한다. 사업결과를 요약하면 다음과 같다. 초 수학 초 과학 중 수학 구분 1단계 전체자료수 2단계 표준화자료수 3단계 책자용자료수 제작부수 (CD 포함) 초4 수학 부 초5 수학 부 초6 수학 부 초4 과학 부 초5 과학 부 초6 과학 부 중1 수학 부 중2 수학 부 중3 수학 부 중 물리 부 중 과학 중 화학 부 중 생물 부 중 지구과학 부 계 3,351 1, ,380부 활용 D-base구축 CD로 보급 책자로 보급 자료원 : 한국교육개발원, 서울특별시교육과학연구원(현 과학전시관), 서울과학고, 한성과학고, 서울대학교수학영재센터, 11개 지역교육청 영재교육원 등 4

5 본 사업을 지도 심의한 몇 몇 전문가들의 의견은 다음과 같은데 앞으로 영재 교수 학습자료 개 발과 관련한 많은 시사점을 주고 있다. 영재를 가르치는 핵심적인 방법은 속진학습과 심화학습인데 우리나라처럼 사교육에서 속진학 습이 광범위하게 이루어지는 다른 나라는 없다고 본다. 그러므로 공교육에서는 심화학습에 보다 중심을 두어야 하는데 현실은 그렇지 못하다. 전 세계적으로도 의미 있는 심화 영재학습 자료를 찾기는 쉽지 않다. 이러한 상황에서 현장교사가 자료를 직접 만들어 적용한다는 것은 매우 어려운 일이다. 우리나라 영재교육이 도약하기 위해서는 특별히 전문가집단(내용전공+영재전공)과 뛰어 난 영재교사집단으로 구성된 영재교재개발 연구진을 만들어 장기간에 걸쳐 지속적으로 우수한 자 료를 개발 보급하는 것이 중요하다. 영재교재 개발에 있어서 단편적인 내용 중심으로 교재를 구 성하는 것 보다는 활동 중심의 수업 모듈 형식으로 구성하는 것이 잠재된 영재성을 계발하는데 보다 효율적이다. 창의성 계발을 위한 별도의 교재 개발도 고려되어야 한다. 또한 교재의 주제와 내용을 첨단과학기술과 연계시킴으로써 영재학생들의 호기심과 동기를 자극하는 것이 필요하며, NT, BT, ET 등 첨단과학기술들을 학생 수준에 맞도록 재구성하는 작업이 시급하다. 또한 현장 중 심적인 영재수업자료 개발 및 영재수업방법 개선을 촉진하는 방안도 적극 검토하여야 한다. 현재 적용되고 있는 대부분의 자료들은 영재교육 도입기에 한국교육개발원 및 서울특별시교육 과학연구원이 개발 보급했던 자료들을 기반으로 재구성된 것들이고, 새롭게 창의적으로 개발된 것은 의외로 매우 적은 편이었다. 그러나 이번 영재교수 학습자료 표준화 사업을 통하여 우리 영 재교수 학습자료의 실제 현황을 점검해 보고, 앞으로 개선해야할 것들을 확인한 것은 매우 값진 일이다. 아무쪼록 이번에 정리한 표준화 자료들이 서울 영재교육의 질적 수준을 관리하는데 기여 할 수 있기를 바라며, 마지막으로 표준화자료 는 교과서 또는 지침 이 아님을 강조하며 자칫 영 재교육이 규격화 되지 않도록 영재담당교원들이 창의성을 발휘할 것을 당부하고자 한다 서울특별시과학전시관 영재교육지원센터 5

6 차 례 Ⅰ. 대수 1. 순환소수의 이해 7 2. 순환소수의 응용 암호와 행렬 방정식의 해법(1) 방정식의 해법(2) 방정식의 해법(3) 바코드의 비밀 - I.바코드의 비밀 바코드의 비밀 - II. 바코드의 오류 58 Ⅱ. 해석 9. 함수의 심화 GrafEq를 활용한 함수 그래프의 구현 최적화하기 멜로디와 함수 125 Ⅲ. 기하 13. 무게중심 방정식 작도 SET 게임과 유한기하 오일러 수와 결손각 아르키메데스 탐구 - 넓이와 부피 186 Ⅳ. 문제해결 18. 논리퍼즐 롯데월드를 가장 적절하게 이용하기 도형의 대칭성과 평행이동을 이용한 문제 해결 수학 창조력 두뇌훈련 퍼즐 시각화, 수치화 칠교 놀이 상자 채우기와 배낭꾸리기, 계획세우기 트리즈의 발명원리 257 Ⅴ. 이산 26. 파스칼 삼각형 세기의 방법 공정한 분배 분할 수 실생활과 수형도 생성함수를 이용한 경우의 수 게임이론 게임이론 IZZI 탐구 상자 쌓기 362 Ⅵ. 기타 36. 수학과 음악 컴퓨터를 활용한 수학(1) 컴퓨터를 활용한 수학(2) 확률 탐구 부록 - 표준화자료 목록 415

7 1. 순환소수의 이해 모든 유리수 ( 은 정수, )은 소수로 표현할 수 있는데, 유리수를 소수로 나타내면 유 한소수 또는 순환소수가 된다. 중2에서 다루는 내용은 유리수를 소수로 나타내지 않고 유한소수인 지 판단하는 방법, 유한소수가 아닌 유리수는 모두 순환소수로 표현된다는 내용, 순환소수를 유리 수로 나타내는 내용 등이다. 그러면 어떤 분수꼴의 유리수를 보고 소수로 표현하지 않고 순환마디의 길이를 알 수 있을까? 순환소수에 대해 여러 가지 사실을 알아보자. 1. 소수 표현 수는 그 소수 표현에 의하여 다음과 같이 세가지 유형으로 나눌 수 있다. 유한소수(finite decimal) 순환소수(repeating decimal) 무리수(irrational) 또는 비순환소수 문제1 순환마디의 길이는 (분모-1)이하이다. 이유를 설명해 보자. 설명 Ⅰ. 대수 7

8 2. 순환마디의 길이와 분자 사이의 관계 문제2 유한소수가 아닌 유리수 은 모두 순환소수이다. 이유를 생각해보자. 설명 순환소수 의 순환마디의 길이를 으로 표시하자. 즉, 이다. 문제3 순환소수 의 순환마디의 길이는 분자 과는 무관하다. 즉, 해 확인하여보고, 그 이유를 설명해 보자. 임을 예를 통 설명 실제로 순환소수 의 순환마디의 길이는 분자 과는 관계가 없다. 이것은 다음과 같 이 생각할 수 있다. 로 부터 이므로 이다. 이제 0부터 9까지의 정수 중 적당히 를 택하면, 이 되어 아래와 같이 의 순환마디의 길이는 의 순환마디의 길이와 같음을 알 수 있다. 8 영재교수 학습표준화자료

9 3. 순환마디의 길이 이제 우리는 순환소수인 의 순환마디의 길이는 이하임을 알고 있다. 여기서 한발 더 나 아가 (는 10과 서로소인 소수)의 순환마디의 길이 와 사이의 관계를 알아보기 위하 여 의 순환소수의 표현을 알아보기로 하자. 문제4 계산기를 이용하여 단위분수(분자가 1인 분수) 을 구하여라. 를 순환소수로 표현하고 순환마디의 길이 순환소수 표현 순환소수 표현 문제5 문제 4)에서 단위분수 의 순환마디의 길이 에 대하여 발견한 법칙을 말해보자. 설명 이고 (는 10과 서로소인 소수)일 때, 의 주기는 의 약수이다. Ⅰ. 대수 9

10 4. 유리수 의 순환마디의 길이 문제6 ( ) 의 값을 인수분해하여 표를 채워보자. 문제7 계산기를 이용하여 다음 유리수의 순환마디의 길이를 구하여라. 유리수 유리수 문제8 위의 두 문제를 비교하여 관계를 찾아보고, 왜 그렇게 되는지 이유를 설명해 보자. 설명 유리수 의 순환마디의 길이를 알아보기 위해 예를 들어 생각해 보자. 위의 식은 순환소수를 분수꼴로 고친 것이다. 이를 일반적으로 생각하면, 이므로, 그러므로 은 로 나누어 떨어져야 한다. 이때 는 이므로 이를 만족하는 가장 작은 수임을 알 수 있다. 따라서 순환소수 의 순환마디의 길이를 알려면 위와 같이 을 인수 분해한 표가 있으면 충분하게 된다. 10 영재교수 학습표준화자료

11 5. 순환마디가 시작되는 위치와 순환마디의 길이 처럼 소수점 둘째, 셋째 자리에서 순환마디가 시작되는 유리수도 있다. 일반적으로 소수점 아래 몇 째자리에서 순환마디가 시작되는지 알아보자. 유리수 의 순환마디의 길이에 대하여 알아보기 위하여 순환소수를 분수꼴로 고친 다음 식을 보자. 위의 식을 일반적으로 생각하면, 유리수 의 순환소수 표현은 가 주어지면, 누구나 쉽게 순환마디는 소수점 아래 번째 자리에서 시작되고, 주기는 임 을 알 수 있다. 에서 간단한 계산을 통하여 로 나타남을 알 수 있다. 위 식으로부터 (정수)를 얻을 수 있다. 즉, 는 을 으로 나누었을 때 나누어 떨어지는 가장 작은 수가 된다. 분모 을 (, 는 10과 서로소인 정수) 와 같이 쓰면, 반드시 는 (개의 곱)를 나누어야 하고 는 를 나누어 야 한다. 이제까지의 논의를 정리하면 순환소수 의 순환마디의 길이, 순환마디가 시작되는 위치 는 분모 에 의해 다음과 같이 결정된다. 문제9 다음 빈 칸을 채워 보자. 순환소수 의 분모가 (, 는 10과 서로소인 정수)일 때, 순환마디는 소수점 아래 ( ( 중의 큰 수)+1 ) 번째 자리에서 시작된다. 순환마디의 길이 은 ( )을 ( )로 나누었을 때 나누어 떨어지게 하는 가장 작 은 수이다. Ⅰ. 대수 11

12 문제10 위의 성질을 이용하여 의 순환마디에 대하여 알아보자. (단, 계산기를 이용하지 않는다) (1) 소숫점 아래 몇 번째 자리부터 순환마디가 시작되는가? 풀이 과 같이 인수분해되므로 소숫점 아래 네 번째 자리부터 순환마디 가 시작된다. (2) 순환마디의 길이는 얼마인가? 풀이 이 나누어 떨어지는 가장 작은 는 2이므로 순환마디의 길이는 2이다. 문제11 순환소수 는 소숫점 아래 몇째 자리부터 순환마디가 시작되는지, 순환마디의 길이는 얼마인지 구하여라.( 앞부분의 < 의 인수분해표>를 이용하여라. ) 풀이 소숫점 아래 둘째자리, 순환마디의 길이는 6 소숫점 아래 넷째자리, 순환마디의 길이는 특별한 형태의 유리수 ( 은 서로소)의 주기 이제까지 순환마디의 길이가 분모와 어떤 관계를 가지는지 알아보았다. 이제는 두 유리수의 곱 의 순환마디가 원래의 수의 순환마디와 어떤 관계를 가지는지 그리고 순환마디를 이루는 수들 사 이에는 어떤 관계가 있는지 알아보도록 하자. 문제12 다음을 구하여라. (1) 의 순환마디의 길이를 구하고,, 의 순환마디의 길이와 비교해보자 풀이 lcm(2,6)=6 12 영재교수 학습표준화자료

13 (2) 의 순환마디의 길이를 구하고,, 의 순환마디의 길이와 비교해보자. 풀이 lcm(2,6)=6 문제13 가 서로소일 때, 의 순환마디의 길이는, 의 순환마디의 길이와 특정한 관계를 가진 다. 위와 같은 예제를 통해 일정한 규칙을 찾고 이 관계를 증명해 보자. 풀이 주기(순환마디의 길이)는 10과 서로소인 분모에 의해서 결정되므로 을 모두 10과 서로소라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 이제 두 순환소수 의 주기를 각각 A, B 라 하면, A, B는 합동식, 을 만족하는 가장 작은 수이다. 우리의 목적은, 일때) 을 만족하는 가장 작은 수 C이다. G와 L를 A, B의 최대공약수와 최소공배수라 하면,,, 는 서로소)로 나타낼 수 있다. 과 은 각각 과 을 나누기 때문에 등식 으로부터 과 은 을 나눈다. 따라서 도 을 나눈다. 즉, 이다. 따라서 이 서로소이면 의 주기는, 의 주기의 최소공배수이다. Ⅰ. 대수 13

14 문제14 의 순환마디의 길이를 구해보자. 설명 의 순환마디의 길이는 과 의 순환마디의 길이 즉, 6과 16의 최소공배수인 48이 된다. 문제15 영국의 수학자 리틀우드가 제기하였다고 전해지는 다음과 같은 문제가 있다. 어떤 자연수에서 가장 큰 자리의 숫자를 일의 자리로 옮겨서 만든 수가 원래 수의 이 되는 경우가 있다. 이런 자연수 중에서 가장 작은 것을 찾아라. 풀이 구하는 수를 이라고 하자. (현재는 몇 자리수인지도 모른다) 그러면 문제의 조건에 의하여 다음이 성립한다. 이제 다음과 같은 순환소수를 생각하자. 그러면 다음을 얻는다. 가장 작은 수를 찾으므로 로 놓을 수 있다. 따라서 분모가 17인 기약분수이므로 아래와 같이 16개의 숫자로 이루어진 순환마디를 갖는다. <참고문헌> 1. 영재교육자료,한국교육개발원, 조석희 외, 영재교수 학습표준화자료

15 2. 알기쉬운 정수론, 경문사, 임근빈 전송기 임동만, 영재교육을 위한 창의력 수학, 경문사, 남호영 박제남 장영호 지음, 문제해결의 수학적 전략, 경문사, 스티븐G. 크란츠, 수학의 정석, 성지출판, 홍성대, Ⅰ. 대수 15

16 2. 순환소수의 응용 1 10개의 원소로 이루어진 수 체계 등식 은 무엇인가? 예를 들어,,, 처럼 두 수 의 차이가 10의 배수이면 로 표시하자. 즉 (여기서 는 적당한 정수)이다. 따라서 에 의하여 모든 수는 으로 나타낼 수 있다. 정의> 가 과 서로소일 때, 예를 들어, 로 정의 하자. 을 유리수로 나타내면 다음과 같다. 이제 앞에서 사용한 10을 일반화하여 에 대하여 생각해보자. 계산에서 쓰이는 숫자는 모두 개로 이다. 이 때, 와 같은 수는 곱에 대한 역원을 가지며 이를 분모로 하는 분수를 앞에서 한 것처럼 정의 할 수 있다. 즉 는 의 배수 문제1 계산에서 를 표현해 보자. 2 우리는 숫자가 왼쪽으로 반복되어 나타나는 경우를 생각하고 있다. 예를 들어,, 을 계산에서 알아보자. 16 영재교수 학습표준화자료

17 ⑴ ⑵ ⑶ 이제 일반적인 식을 구현해 보고 학교에서 순환소수를 분수로 표현했던 방법과 비교하여보자. 로 일의 자리부터 로 출발하여 표시하자. 이 때, 자리수가 자리이므로 이를 로 표시하면 편리하다. 본 식에서 오른쪽은 에 관계가 없음을 위 두 예에서 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 새로운 정의를 내리자. 정의> = 이 때,,, 물론 본 계산은 일 때, 계산과 동일하다. 즉 이고 (여기서 (여기서 앞에서 순환마디의 길이가 인 순환수의 값을 라고 하였다. 이 값을 모듈 10 유리수라고 하자. 이 값은 구간[-1 0]에 놓여 있다. Ⅰ. 대수 17

18 그러나 [-1 0] 밖에 있는 모듈 10 유리수도 순환수로 표현할 수 있다. 실제 구간 [-1 0] 밖에 있는 모듈 10 유리수를 순환수로 나타내는 방법은 여러 가지 있다. 지금까지 이야기한 형식적인 계산에 의하면, 은 (모듈 10 유리수)이다. 그리고 모든 에 대하여 번째 항까지의 합인 은 모듈 10 유리수 -1과 으로 합동이다. 즉, 이다. 마찬가지로 은 (모듈 10 유리수)이고 모든 에 대하여 번째 항까지의 합인 은 모듈 10 유리수 와 으로 합동이다. 즉 이다. 따라서 발산하는 기하급수는 모듈 10 유리수와 이다. 용어정의> 수렴, 발산, 기하급수 모듈 10 유리수의 개념과 유사한 다른 개념이 있다. 그것은 거리 측정의 도구를 절댓값 를 사용하는 것이 아니라 10진-절댓값 을 사용하는 것이다. 10진-절댓값 의 정의는 다음과 같다. 정의> 정수 에 대하여,, (를 나누는 가장 큰 10의 거듭제곱 )일 때, 이다. 이제 처음에 제시한 논제 로 돌아와서 이야기 해보자. 순환소수 는 기하급수 이고, 모든 에 대하여번째 항까지의 합인 개 18 영재교수 학습표준화자료

19 를 절댓값을 이용하여 개와 의 거리를 구하면 개 은 0에 수렴하게 된다. 와 의 거리를 구해보면 은 로 발산하게 된다. 하지만, 위에서 정의한 10진 절댓값을 사용하여 와 의 거리를 구해보면, 이고 이는 에 수렴하게 된다. 즉, 거리를 절댓값 을 사용하여 측정하면 가 되어 기하급수는 발산하지만, 거리를 10진 절댓값 을 사용하여 측정하면 가 되어 기하급수는 수렴하게 된다. 3 절댓값의 본질은 무엇일까? 또한 모듈 10 유리수 개념은 소수 에 대하여 모듈 유리수 개념과 진 절댓값 개념으로 확장 가능 할 것이다. 이러한 계산 방식은 전자 양성자 중성자 원자와 분자를 이루는 다른 원자구성입자들의 운동을 다루는 수리물리학인 양자역학에서 사용하고 있다. 참고 문헌 2006 중등수학교사 1정연수 자료집 - 아주대학교 영재교육원 Ⅰ. 대수 19

20 3. 암호와 행렬 주제설정의 취지 수학이 실생활에 응용되는 것에는 여러 가지가 있을 수 있다. 그 중에서 수학이 암호에 응용됨 으로써 암호학의 발달에 큰 영향을 주었고, 그러한 암호학은 정보가 홍수처럼 쏟아지는 현대 사회 에서 자신의 정보를 보호하고 또한 군사적인 용도로 비중 있게 사용되고 있다. 여기서는 학생들에 게 암호학에 대하여 깊게 살펴보기 보다는 암호와 밀접하게 관련 있는 수학적인 내용을 살펴보고, 그 수학적인 내용이 교과과정과 동떨어진 내용이 아니라 현재 배우고 있는 교과과정의 확장이라 는 것을 알도록 하는 것이 목적이다. 또한, 수학으로 인하여 암호의 발달이 가속화되고 그로 인한 실생활에서의 다양하고 폭 넓은 응용을 강조함으로써 수학의 필요성을 피부로 느끼게 하고, 수학 이 고리타분하거나 혹 수학에 흥미는 있으나 모호한 개념으로 수학의 필요성을 인식하고 있는 학 생들에게 직접적인 응용분야를 제시함으로써 수학의 명시성을 높인다. 학습 목표 암호와 수학과의 관련성을 찾을 수 있다. 합동식의 성질을 이용하여 암호 체계를 이해하고 만들 수 있다. 행렬의 성질을 이용하여 암호 체계를 이해하고 만들 수 있다. 20 영재교수 학습표준화자료

21 학습 활동1 - 암호는 왜 필요한가? 1 암호와 수학의 관련성을 알아봅시다. 1. 암호 산술과 수학 암호 산술은 문자 또는 기호를 0부터 9까의 수로 대치하는 수학 문제를 취급하는 레크레이션 수학의 한 가지이다. 대개 알파벳이나 기호 * 또는 를 사용한다. 다음 문제는 대부분의 수학 퍼즐 책에 자주 등장하는 것이다. 이 덧셈에서 문자는 0부터 9까지의 수를 나타낸다. 단, 같은 문자는 같은 수를 나타낸다. S E N D M O R E M O N E Y 2. 암호와 수학이 관련이 있다고 생각하는가? 3. 우리 사회에서 왜 암호가 필요하다고 생각하는가? 2 우리 생활 속에 사용하고 있는 암호를 찾아서 1. 바코드 속에 숨어 있는 암호는 무엇일까? 누구든 물건을 살 때 기계가 바코드를 잘못 읽어 엉뚱한 값을 치르게 되지 않을까 걱정해 본 적 이 있을 것이다. 그러나 크게 걱정할 필요는 없다. 바코드에는 체크 숫자 라는 안전장치가 있어 기 계가 숫자를 잘못 읽는 것을 막을 수 있기 때문이다. 다음 바코드의 의미를 살펴보자. Ⅰ. 대수 21

22 (1) 에서 에 들어갈 체크 숫자를 구해 보자. 2. ISBN 속에 숨어 있는 암호는 무엇일까? 각종 도서에는 국제표준도서번호 ISBN(International Standard Book Number)이 붙어 있는데, 여기 서도 마지막 숫자가 체크 숫자이다 (1) 에서 에 들어갈 체크 숫자를 구해 보자. 3. 주민등록번호에도 암호가 숨어 있을까? 우리나라 국민이라면 모두 자신만의 주민등록번호를 가지고 있습니다. 주민등록번호가 없다든 지 다른 사람과 같은 번호가 있다고 한다면 어떻게 모든 국민의 자료를 관리할 수 있을까? 인터넷 에서 실명으로 본인을 인증해주고 있는데 주민등록번호를 위조하여 사용하였다면 잘못된 것을 어 떻게 판단할까? 22 영재교수 학습표준화자료

23 예 체크방법 (1) 자신의 주민등록번호에서 마지막 자리가 맞는지 검증을 해봅시다. (2) 다음 주민등록번호에서 위조된 번호를 찾아보고 옳게 고쳐봅시다. 1) ) 좋은 암호가 되기 위해서는 어떤 조건을 갖추어져야할까? 기밀성(Confidentiality) : 인증받은 사람에게만 자료를 보여준다. 자료 무결성(Data integrity) : 인증받지 않은 사람에 의한 자료의 변조를 막는다. 인증(Authentication) : 정보나 사용자의 정체를 확인을 해줄 수 있다. Ⅰ. 대수 23

24 학습 활동2 - 여러가지 암호에 대해 알아보자. 1 합동식을 이용한 암호에 대하여 알아보자. 1. 합동식이란? 자연수를 3으로 나누었을 때, 나머지가 같은 것을 분류하여라. 나머지가 0인 수 나머지가 1인 수 나머지가 2인 수 합동식의 뜻 를 만족하는 의 값을 구하여라. 2. 합동식을 이용한 암호 합동식을 이용한 암호를 만들기 위해서 알파벳을 다음과 같이 숫자로 대입하자. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z (1) 의 꼴로 나타내는 암호에 대하여 알아보자. 는 처음에 입력하는 숫자의 값, 는 그 결과로 출력되는 숫자의 값이다. 만약, 의 경우 I like mathematic. 를 숫자로 변형한 뒤에, 암호문을 만들어라. 원문 I l i k e m a t h e m a t i c 암호문 이 경우 암호를 받는 사람은 K의 값을 알고 있으면 을 통해서 암호문을 쉽게 24 영재교수 학습표준화자료

25 해독해 낼 수 있다. 하지만 이 암호문이 안전하다고 할 수는 없다. K의 값으로 0부터 25까지 대입 해 보아서 뜻이 있는 원문을 알아낼 수 있기 때문이다. (2) 합동식 을 사용하여 만든 암호문이다. 의 값을 구하고, 원문을 찾아라. PHTIBZFAVUPNOA (3) I love math 를 합동식 을 이용하여 암호문을 만들어라. 원문 I l o v e m a t h 암호문 의 꼴로 나타내는 암호를 아핀암호(Affin cipher)이라고 한다. 이 때, 는 키의 노출이 쉽고 암호해독이 간단하므로 함수를 복잡하게 만든 것이다. 단, 는 26과 서로소인 수이어야 한다. 이 암호문이 전달되면, 그쪽에서는 다시 이 암호문을 원문으로 바꾸어야 한다. 정의 임의의 인 에 대해서 을 만족하는 를 이라고 표현하 기로 하자. 이 암호문을 원문으로 바꾸는 함수가 된다. 즉 에서 이므로 암호해독함수는 이다. (4) 다음은 에 의해서 작성된 암호이다. 원문을 구하시오. 암호문 S G L Z B L U L G S J L 원문 Ⅰ. 대수 25

26 2 아핀암호를 해독하는 방법을 알아보자. 탐정 소설을 읽다보면 암호해독에 대해서 조금 나온다. 영어에서 e, t와 같은 것이 많이 쓰이는 것을 보고 암호를 해독해 나간다. 소설에서는 띄어쓰기가 되어 이쏙, 문장이 어디에서 나눠지는지 알 수 있는 데 반해서 지금 우리가 하려는 것은 그러한 것 없이 해독하는 것이다. 암호문이 아핀 암호로 만들어졌다면 의 과정을 통해서 원문으로 만들 수 있음을 알 수 있다. 영문자 빈도율 영문자 빈도(%) 영문자 빈도(%) 영문자 빈도(%) 영문자 빈도(%) A 8.2 H 6.1 O 7.5 V 1.0 B 1.5 I 7.0 P 1.9 W 2.3 C 2.8 J 0.2 Q 0.1 X 0.1 D 4.3 K 0.8 R 6.0 Y 0.2 E 12.7 L 4.0 S 6.3 Z 0.1 F 2.2 M 2.4 T 9.1 G 2.0 N 6.7 U 2.8 위의 표에서 알 수 있듯이 영문은 e, t, a, o, i, n의 순서로 자주 쓰이게 된다. 물론 모든 문장에서 반드시 이런 확률로 알파벳이 나온다는 것은 아니다. 단지 문장이 많을수록 그 정확도가 높아진 다. 다음의 예를 통해 살펴보자. (1) 다음은 아핀암호 형식으로 작성된 암호문이다. 해독하시오. AR WSK BKP CRHOB HQS XCBOE, WSK QAJJ ICHIX POAHXOB. (단, 암호문 중 AR가 평문 IF로부터 암호화 된 것을 알고 있다고 하자.) 3 행렬을 이용한 암호에 대해 알아 보자. 1. 행렬이란? 행렬을 영어로 matrix 라고 하는데 그 어원은 라틴어의 matri 로, 본래의 뜻은 어머니 이지만 그 안에서 무엇을 만드는 것 을 나타내는 단어로 사용된다. 이 같이 행렬은 수학을 탐구하는 기 본적인 도구라고 할 수 있다. 수들을 직사각형으로 질서 있게 배열한 행렬을 활용하면 여러 가지 정보를 한꺼번에 처리할 수 26 영재교수 학습표준화자료

27 있어, 모든 분야에서 많이 쓰이고 있다. (1) 수 또는 문자를 직사각형 꼴로 배열하여 괄호로 묶어서 나타낸 것을 행렬이라 하고, 괄호 안에 있는 수와 문자를 행렬의 성분이 라 한다.. (2) 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 제 행과 제 열이 교차 하는 위치에 있는 성분을 행렬의 ( )성분이라고 한다. (3) 개의 행과 개의 열로 된 행렬을 행렬이라 한다. 특히, 행의 수와 열의 수가 같은 행렬은 정사각행렬이라고 한다. 행렬의 덧셈과 뺄셈, (1) 두 행렬이 서로 같을 조건 : 에 대하여 (2) 행렬의 덧셈과 뺄셈 ± ± ± ± ± (3) 연산의 기본법칙 보기 1 두 행렬, 에 대하여 등식 을 만족하는 행렬 를 구하면? Ⅰ. 대수 27

28 행렬의 곱셈 (1), 에 대하여 (2) 일반적으로 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉,, 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? 보기2 두 행렬 Hill 암호 미국의 수학자 힐 (Lester S. Hill)이 1929년에 발표한 것으로 평문을 n자씩 나누어 연립1차방정식 을 푸는 것으로 암호문을 만들었다. 이 연립방정식은 행렬을 이용하여 만들 수 있다. 간단한 Hill암 호에 대해서 알아보자. 평문을 2자씩 나누어 암호화해보자. M=m1mx은 다음과 같이 암호화 할 수 있다. 여기서 는 과 서로 소이다. 이러한 형태의 암호문의 는 다음과 같이 행렬 형 태로 나타낼 수 있다. 암호문, 즉 이다. 예) Hill 암호체계로 을 키로 하여 평문 LOVE를 암호화해보자. 알파벳 A부터 Z까지 0에서 25까지 대응시키고 LOVE를 와 곱하면 암호문을 얻는다. 26이상의 정수는 26으로 나누어 그 나머지로 한다. 와 로 나누어 행렬 28 영재교수 학습표준화자료

29 같은 방법으로 그러므로 평문 는 암호문 가 된다. 이렇게 암호화된 문장은 키 행렬 의 역행렬을 구하여 원문으로 해독할 수 있다. 문제 다음 키 을 이용하여 I AM STUDENT를 암호화해라. 암호문 I A M A S T U D E N T 원문 4 비제네르 암호(Vigenere cipher)에 대해 알아보자. 1. 비제네르 암호(Vigenere cipher) 이제까지 언급했던 암호는 문자의 통계적인 정보가 암호문에 나타난다던지 아니면 알려진 평문 공격 등에 취약하였다. 비제네르 암호는 1586년 프랑스 외교관 비제네르(Blaise de Vigenere)에 의해 발표되었다. 이 암호의 기본적인 아이디어는, 평문장을 여러 부분으로 나누어 각각 서로 다른 단 일문자암호를 적용하는 것이다. 이 아이디어는 어떤 의미로 무척 자연스럽기 때문에 약간씩 변형 된 비제네르 암호의 여러 가지 다른 형태가 나타났다. 문자의 출현빈도를 이용한 암호공격법에 대 항한 방법으로 키단어를 이용하여 각 문자의 출현빈도를 균등하게 만들어준다. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 다음은 키단어를 love로 한 비제네르 암호화이다. L O V E L O V E L M A T H S T A R T 키단어를 반복한다 위의 표를 이용하여 숫자로 변환한다. Ⅰ. 대수 29

30 위의 표를 이용하여 숫자로 변환한다 위의 표를 이용하여 숫자로 변환한다. X O O L D H V V E 위의 결과를 보면 같은 문자이더라도 서로 다른 결과가 나옴으로써 통계분석적인 암호공격으로 부터 좀 더 견고하다는 사실을 알 수 있다. 복호화할 때는 반대로 암호문에서 키단어를 빼주면 된다. 문제 위 암호문을 다시 복호화하여라. 문제 키단어가 GIRL 인 다음 비제네르 암호문을 복호화하여라. H W P D J V G U S T Z Q F F Y A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O 30 영재교수 학습표준화자료

31 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y 위 비제네르사각형을 이용하면 좀 더 편하게 비제네르 암호를 사용할 수 있다. 키단어가 M, 평문이 K인 경우, M행과 K열이 만나는 W가 암호문이 된다. 문제 키단어를 BOY로 하여 다음을 비제네르 암호화하여라. NO GAIN WITHOUT PAIN 문제 키단어가 SEVEN인 다음 비제네르 암호문을 복호화하여라. S MSYDMIK KXJRR KVXUWVN AG HSFK 2. 비제네르 암호(Vigenere cipher)의 공격 다음 평문이 Vigenère 암호로 암호키 HAM을 이용하여 암호화하였다고 하자. TO BE OR NOT TO BE. 그러면 다음 표와 같은 암호문을 얻을 수 있다. 평문 T O B E O R N O T T O B E 평문 숫자 암호키 H A M H A M H A M H A M H 암호키 숫자 암호문 A O N L O D U O F A O N L 암호문 숫자 Ⅰ. 대수 31

32 암호문에서 문자열 AONL은 9개 간격을 두고 반복하는 것을 알 수 있다. 일반적으로 암호문에 서 여러개로 이루어진 임의의 문자열이 우연히 반복하는 확률은 매우 희박하므로 암호키는 9의 약수 중에서 있을 확률이 매우 높게 된다. 따라서 이 암호의 암호키의 길이는 1, 3, 9 중의 하나이 다. 실제로 암호키의 길이는 3이다. 만약 암호키의 길이가 1이라면 더하기 암호와 같으므로 해독 이 아주 쉽게 된다. Kasiski 방법은 암호키의 길이의 약수나 배수를 구하는 방법이다. 하지만 약수나 배수의 수가 많으면 일일이 각 약수나 배수에 대해 공격을 해봐야 하므로 해독하는데 시간이 많이 걸릴 것이다. 이러한 카지스키의 방법을 보완하여, 1925년에 미국인 프리드만(William Frederick Friedman, )이 고안 한 구체적으로 암호키의 길이를 구하는 방법을 발표하였다. 이 방법은 참고자료에 수록하였다. 다음 암호문 X를 Friedman 방법에 의해 해독하여보자. D B Z M G A O I Y S O P V F H O W K B W X Z P J L V V R F G N B K I X D V U I M O P F Q L V V P U D K P R V W O A R L W D V L M W A W I N Z D A K B W M M R L W Q I I C G P A K Y U C V Z K M Z A R P S D T R V D Z W E Y G A B Y Y E Y M G Y F Y A F H L C M W L W L C V H L M M G Y L D B Z I F J N C Y L O M I A J J C G M A I B V R L O P V F W O B V L K O P V U J Z D V L Q X W D G G I Q E Y F B T Z M Z D V R M M A N Z W A Z V K F Q G W E A L Z F K N Z Z Z V C K V D V L Q B W F X U C I E W W O P R M U J Z I Y K K W E X A I O I Y H Z I K Y V G M K N W M O I I M K A D U Q W M W I M I L Z H L C M T C H C M I N W S B R H V O P V S O D T C M G H M K C E Z A S Y D J K R N W Y I K C F O M I P S G A F Z K J U V G M G B Z J D Z W W B Z Z V L G T Z Z F Z S G X Y U T Z B J C F P A V N Z Z A V W S I J V Z G P V U V Q N K R H F D V X N Z Z K Z J Z Z Z K Y P O I E X X M W D N Z Z Q I M H V K Z H Y D V K Y D G Q X Y F O O L Y K N M J G S Y M R M L J B Y Y F P U S Y J J N R F H C I S Y L N 32 영재교수 학습표준화자료

33 문자열 출현거리 출현거리의 약수 OPVF 155 1, 5, 31 LVV 20 1, 2, 5 MGY 20 1, 2, 5 DVLQ 50 1, 2, 5 NZZ 25, 20 1, 2, 5 Kasiski방법을 이용하면 암호키가 5라는 것을 짐작할 수 있다. 암호키의 길이를 알았으므로 암호 키가 무엇인지 알아내는 것은 쉽다. 암호문을 암호키의 길이에 맞추어서 5개의 열로 다시 쓴다. 각 열을 기준으로 하면 같은 암호키로 암호화했으므로 단순대체암호인 더하기 암호이므로 7.1절 의 암호공격법을 각 열마다 한 번씩 조사하여 5번 반복하면 암호키를 알 수 있다. 암호키의 첫 번째 문자를 구해보자. 제1열에 있는 99문자 중에서 가장 많이 나타나는 문자는 Z (숫자로 변환하면 25)로 16번 나타난다. 이는 평문에서 가장 많이 사용하는 문자인 E(숫자로 변환 하면 04)가 암호화된 것으로 추측할 수 있다. 즉, 더하기 암호에서 암호키 21인 경우이므로 암호키 의 첫 문자는 V(숫자로 변환하면 21)이다. 나머지 암호키의 문자도 같은 방법으로 찾아 낼 수 있 다. 예에서 본 바와 같이 Vigenère 암호가 비교적 쉽게 공격 당한다는 것을 알았다. 그러면 모든 비 제네르 암호가 깨지는 것은 아닐까? 그건 아니다. 깨지기 어려운 비제네르 암호도 있다. 앞 절에서 소개한 비제네르 암호 공격법은 비교적 짧은 암호키를 사용한 경우에만 효율적이다. 결론적으로 말해서 긴 암호키를 사용한 비제네르 암호는 비교적 안전한 암호화 방법이 된다. 그 러면 어느 정도 긴 암호키가 안전할까? 암호화할 때, 평문의 문자 수와 같은 정도로 긴 암호키를 사용하면, 앞 절에서 이용한 방법으로는 암호키를 알아 낼 수 없다. 다음 두 가지 방법을 사용하여 긴 암호키를 만들면, 암호공격자들이 암호를 공격하는데 아주 어려울 것이다. 방법 1. 어떤 책에 있는 문장을 암호키로 사용한다. 그러한 키는 관리하기가 쉬워 평문을 암호로 바꾸는데 아주 유용하다. 다음 문장은 에드가 알렌 포우(Edgar Allen Poe)의 ``황금벌레" 에 나오는 것이다. 수신자는 암호를 복호화하기 위해, 암호키로 사용된 이 긴 문장을 따로 보 관할 필요가 없고, 단지 저자와 책이름만을 기억하면 된다. Many years ago, I contracted an intimacy with a Mr. William Legand. He was of an ancient Huguenot Ⅰ. 대수 33

34 family, and had once been wealthy; but a series of misfourtunes had reduced him to want. To avoid the morfication censequent upon his disaster, he left New Orleans, the city of his forefathers, and took up his residence at Sullivan's Island, near Chalston, South Carolina (몇년 전 나는 윌리엄 리젼드라라고하는 한 남자와 교분을 가진 적이 있습니다. 그는 위그노 교 도였으며 한 때는 아주 부자였습니다. 그러나 계속된 불행은 그를 아주 궁핍하게 만들었습니다. 꼬리를 물고 일어나는 재앙을 피할 생각으로 그는 조상대대로 살아 왔던 뉴올리언즈를 떠나 사우 스캐롤라이나의 샬럿 근처에 있는 설리번 섬에 정착하였습니다.) 이렇게 긴 암호키를 사용하면 어떠한 방법을 써도 암호키의 길이를 구할 수가 없다. 하지만 이 암호키도 역시 영어 문장이므로, 암호문을 공격하는데 중요한 통계적 데이터(예를 들어 문자의 출 현빈도)를 완전히 없앨 수는 없다. 그러므로 매우 영리한 암호공격가는 그러한 암호도 깰 수 있다. 이 방법을 이용한 암호문은 1920년에 Friedman에 의해 처음으로 깨졌다. 방법 2. 방법1의 약점은 완성된 영어 문장을 사용하므로, 암호문 작성에 이용되는 암호키가 문자 의 통계적인 정보로 공격 당할 수 있는 취약성을 가지고 있다는 것이다. 그러므로 무작위 로 선택한 문자들로 만든 무한 수열을 암호키로 사용하면, 암호키에서의 통계적인 데이터 는 아무 의미가 없게 된다. 예를 들어 확률적으로 고르게 나오는 26면(영어 문자가 26자이 므로)을 가진 (실제로 만들 수 있지만) 상상의 주사위를 사용한다. 위 방법2는, 암호문으로부터 평문의 어떤 단일문자도 예측할 수 없다. 만약 이 상상의 주사위를 사용해 평문을 암호화 한다면, 암호문은 단순히 문자들의 무작위 배열에 불과하다. 암호해독가가 충분히 많은 양의 평문과, 방법2를 이용하여 암호화한 암호문을 가지고 있다하더라도 그것들로부 터 암호공격에 필요한 아무런 정보도 얻지 못할 것이다. 다시 말하면 이 방법은 완벽한 안전성, 즉 이론적으로 완벽한 안전성을 가지고 있다. 참고 자료 Friedman의 비제네르 암호공격 방법 Friedman은 암호문 X에서 임의로 두 문자를 선택했을 때, 두 문자가 서로 같을 확률, 즉, 동시발 생지수(index of coincidence : )를 이용하였다. 일반적으로 암호문 X가 개의 문자들로 이루어 졌고, A의 빈도수가, B의 빈도수가,, Z의 빈도수가 이라고 하자. 그러면 암호문에서 34 영재교수 학습표준화자료

35 임의의 2개의 문자를 택하는 경우의 수는 이고, 인 임의의 첨자 에 대하여 두 원 소가 모두 같을 경우의 수는 이다. 그러므로 암호문 X에 대한 동시발생지수는 이 된다. 다음은 동시발생지수와 암호키의 길이 와의 관계식이다. (구체적인 증명은 참고 문헌 A. Beutelspacher, Cryptology, pp ) ( ) 와 을 얻을 수 있다. 다음 <표 7.8.1>은 위 식을 이용하여 충분히 큰 에 대한 암호키의 길이와 동 시발생지수의 관계를 나타낸 것이다., <표 7.8.1> 암호키의 길이와 동시발생지수의 관계 암호키 길이 >10 동시발생지수 (예) 영어 교과서의 한 문장 X'에서 동시발생지수를 계산해보자. 이는 영어 알파벳의 통계를 그대 로 유지하고 있으므로, 영어문장에서 알파벳의 상대적 빈도(<표 7.1.1>참조)를 보면 동시발생 지수를 간단히 구할 수 있다. 즉, 이 된다. (예) 동일빈도암호에서 동시발생지수를 계산해보자. 이 때 암호문을 X 이라면 암호문에서 각 알파 벳이 나타날 확률은 모두 같은 이므로 이 되어, <표 7.8.1>에서 알 수 있는 바와 같이 Vigenère 암호에서 암호키의 길이가 아주 큰 결과 와 일치한다. 다중대체암호에서는 문자의 출현빈도를 균등화하였으므로 일치지수가 감소한다. 그러므로 어떤 암호문의 일치지수를 계산해 보면 단순대체암호를 사용했는지 아닌지를 판단할 수 있다. 만약 일 치지수가 0.065에 가까우면 단순대체암호를 사용한 것이고, 0.065보다 현저하게 작아 0.038에 가까 우면 아마 다중대체암호를 사용했을 것이라고 추측할 수 있다. Ⅰ. 대수 35

36 공개키 암호 방식 공개키 암호 방식은 비대칭 암호 방식이라고도 하며 수학적 함수를 기반으로 한다. 이 방식이야 말로 수학과 암호가 만나 이룩한 금자탑이라 하겠다. 공개키 암호 방식은 대칭키 암호 방식과는 달리 공개키와 개인키의 쌍이 존재하며, 공개키는 누구나 사용 가능하고 개인키는 비밀리에 보관 하는 방식을 의미한다. 대칭키 암호 방식의 가장 큰 문제점은 송신자와 수신자가 똑같은 비밀키를 다른 사람들이 모르게 서로 공유해야 하는데 있다는 점이다. 송신자와 수신자가 멀리 떨어져 있다 면 매우 안전한 수단을 이용하여 비밀키를 전달하여야 한다. 또한, n명이 가입된 통신망에서 서로 비밀 통신을 할 경우 개의 키를 각자가 안전하게 관리하며, 이 때 n이 커질수록 상당량의 정보가 된다. 공개키 암호 방식에서는 이러한 수고들 상당히 덜게 된다. 물론 공개키 암호 방식에 도 단점이 있다. 우선 대칭키 암호에 비해 속도가 느리고 키의 크기가 대칭키에 비해 크다. 1970년 대 중반이후 처음 나타나 역사가 오래되지 않아 아직까지 어떠한 공개키 알고리즘도 안전성이 입 증되지 않았다. 이러한 단점에도 불구하고 현재 가장 널리 쓰이는 이유는 그에 상응하는 장점이 훌륭하다는 것이다. 대표적으로 현재 가장 많이 쓰이고 있는 공개키 암호 방식인 RSA 방식에 대 해 알아보자. RSA 암호 방식 이 암호 방식은 공개키 암호 방식으로 수학적인 내용과 암호가 만나 생긴 것이다. 1976년 Diffie 와 Hellman 의 New Direction of Cryptography 에서 공개키 암호법 제안하였고, 1978년 최초의 공개 키 알고리즘 RSA가 Rivest, Shamir, Adleman등이 정수론 문제 고민 중 우연히 개발하게 되어 그들의 이름을 따 RSA라 명명지어졌다. 이 알고리즘은 대단히 큰 정수의 인수분해가 곤란함을 기초로 하 여 만들어 졌다. 실제 이 암호 방식이 이용되려면 150자리 이상의 두 소수가 필요하다. RSA암호 방식의 알고리즘은 다음과 같다. 공개키 는 큰소수, e는 과 서로소인 임의의 수 비밀키 유클리드 호제법에 의하여 비밀키 를 구한다. 암호화 복호화 예) 임의의 두 소수 p=3, q=11에 대하여 공개키 n=3 11=33, e=(3-1)(11-1)=20과 서로소인 임의의 수 여기서는 e=3 (20보다 작은수) 36 영재교수 학습표준화자료

37 비밀키 3 d 1 (mod 20)인 d는 7이다. 암호화 평문 m=5라 할 때, 이를 암호화 하면, 따라서 5를 암호화하면 26이 된다. 복호화 로 복호된다. 오일러 함수 φ : 양의 정수의 집합 {1, 2, 3,, n-1}의 원소들 중에서 n과 서로소의 관계에 있는 원소들의 개수라 정의하고 특별히 소수인 에 대하여 φ 이다. 큰 정수 n에 대하여 φ의 값을 구하기 위하여 n의 소인수 분해가 필수적이다. 즉 n이 두 소수 의 곱일 때 이다. 따라서 소인수 분해 없이 φ을 구하기는 매우 어렵다. 오일러의 정리 란 서로소인 두 양의 정수 a와 n에 대하여 φ 이 성립한다는 것이다. Ⅰ. 대수 37

38 4. 방정식의 해법(1) 중국 고대의 수학책인 <구장산술> 중에서 방정이란 용어가 있다. 구장산술은 그 이름과 같이 아홉 개의 장으로 구성되어 있고, 그 제 8장 방정에는 오늘의 미지수가 3개인 연립일차방정식과 같은 것을 다루고 있으며, 오늘과 거의 같은 풀이방법으로 풀고 있다. 수학사에 의하면 기원전 6 세기경의 메소포타미아 지방에 살던 바빌로니아 사람의 문화에서 볼 수 있었던 수학은 일차, 이차 및 삼차방정식에 해당하는 문제였다. 또 고대 이집트 사람도 일차, 이차방정식에 상당하는 문제를 풀었을 것으로 추측된다. 알렉산드리아 시대의 디오판토스(246?-330?, 그리스)는 이미 이차방정식의 해법을 알고 있었다고 알려져 있다. 9세기 전반 알콰리즈미( , 아라비아)의 대수학이 저서 <알 자브르와 알 무카발라>에는 일차, 이차방정식의 풀이법이 나타나 있다. 여기서는 오늘날의 이항 을 알 자브르, 동류항을 정리한다 를 알 무카발라 라고 불렀다. 그래서 대수학을 뜻하는 알지브라(algebra)는 알 자브르(al-jabr)에서 나왔고, 계산법을 뜻하는 알 고리즘은 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래되었다고 보고 있다. 그러나 디오판토스나 알콰리즈 미에서는 음수의 개념이 없었으므로 음의 근은 아예 존재하지 않았다. 음의 근의 존재를 명확히 의식한 최초의 수학자는 16세기 카르다노( , 이탈리아)라고 한다. 이 때까지는 이차, 삼차 방정식의 계수는 모두 양의 근만을 다루었다. 즉, 카르다노 이전까지는 양의 근만을 근으로 인정 하였을 뿐이었다. 구장산술에서 볼 수 있는 것처럼 중국에서는 일찍이 음수의 개념을 가지고 있었 다. 인도에서는 6세기경에 양수, 음수의 개념을 가지고 있었다. 바스카라( ,인도)는 1150년에 이차방정식에 두 근이 있고, 음의 근이 존재함을 인식한 최 초의 수학자였다. 또, 바스카라는 삼차, 사차방정식도 다루었다. 간단한 모양의 삼차방정식은 메나 이크모스( B.C , 그리스)가 정육면체의 문제에 관련해서, 아르키메데스(B.C287?-212, 그리스) 가 구의 부피의 문제에 관련해서 다루었다. 또 카얌( , 아라비아)은 삼차방정식을 원뿔곡선 의 교점을 그려서 풀었다. 그는 아라비아의 대표적인 시인이기도 하였다. 삼차방정식의 해법에 처 음으로 성공한 사람은 페로(1465?-1565, 이탈리아)라고 한다. 오늘날 카르다노의 방법이라고 알려지고 있는 삼차방정식의 일반적인 해법이 발견된 후에 사차 38 영재교수 학습표준화자료

39 방정식의 해법이 카르다노의 제자인 페라리( , 이탈리아)에 의하여 발견되었다. 카르다노 는 1545년에 삼차, 사차방정식의 해법을 발표하였다. 삼차, 사차방정식의 해법이 발견된 후에 약 300년간 많은 수학자들이 5차 이상의 방정식의 근의 공식을 발견하려고 노력했다. 그러나 해를 거 듭해도 해법이 발견되지 않으므로 계수에 사칙연산과 근호의 계산을 반복하는 대수적 풀이 방법 은 불가능하다는 증명을 시도하게 되었다. 루피니( , 이탈리아)는 5차 이상의 방정식은 대 수적으로 풀 수 없다는 증명을 발표하였으나, 그 증명에는 중대한 실수가 있음이 밝혀졌다. 그러 나 아벨( , 노르웨이)은 1826년에 5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없 다. 라는 정리를 증명하였다. 오차방정식의 일반해를 구할 수 없다는, 즉 대수적으로 풀 수 없다 라는 것을 증명한 사람은 19세기의 젊은 수학자인 노로웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아 다. 갈루아 ( , 프랑스)는 5차방정식의 일반해를 구할 수 없다 를 증명하는 과정에서 군 의 개념을 생 각해냈다. 방정식의 해법에 관련된 수학의 새로운 영역으로 '군( 群 )'이 탄생하였던 것이다. 이와 같 은 독창적인 갈루아의 생각은 오늘의 갈루아 이론의 바탕이 되었고, 현대 수학에 막대한 영향을 주었다. 1. 디오판토스 방정식의 정의 : 문자를 포함하는 등식에서, 문자에 어떤 특정한 수를 대입할 때만 성립하는 등식. 방정식의 종류 : 1차방정식, 2차방정식, 3차방정식,, 연립방정식, 분수방정식, 무리방정식, 미분방 정식, 초월방정식, 함수방정식 기타 등등 디오판토스(Diophantus)는 수론분야에는 최초의 진정한 천재로 알려져 있고, 산학(Arithmetica)를 출판한 사람이다. 디오판토스는 산학에 세 개의 수학적인 작품을 남겼으나 원래 13권이던 책이 현 재 6권만 존재하고 있어 다각수에 대하여 부분은 상당부분 남아있으나, 부정명제론 등은 분실 되었다. 산학은 대단히 뛰어나고 독창적인 작품이다. 이것은 대수적 수론을 해석적으로 다룬 것으 로 디오판토스를 이 분야의 숙련된 대가로 특징 짓고 있다. 이후 이 책은 이후에 바세(Bachet de Meziriac), 페르마(Pierre de Fermat) 비에트(Francois Viete), 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)에 영향을 끼쳐 대수학에 지대한 발전을 돕는다. 산학에서 몇 문제를 보자면 아래와 같다. Ⅰ. 대수 39

40 1권 문제 17) 세 수씩을 뽑아 형성한 합의 수열이 22, 24, 27,20 이 되는 네 수를 찾아라. 2권 문제 28) 제곱수들로 그것들의 곱을 각각에 더해주었을 때 제곱수가 되는 두 제곱수를 찾아라. 3권 문제 6) 세 수의 합이 제곱수이고 임의의 두 수의 합도 제곱수가 되는 세 수를 찾아라. 3권 문제 7) 등차 수열을 이루는 세 수에 대해서, 임의의 두 수의 합이 제곱수인 세 수를 찾아라. 3권 문제 13) 세 수에 대하여, 임의의 두 수의 곱을 나머지 수에 더했을 때 제곱수가 되는 세 수 를 찾아라. 3권 문제 15) 세 수에 대하여, 임의의 두 수의 곱을 그 두수의 합 에 더했을 때 제곱수가 되는 세 수를 찾아라. 4권 문제 10) 두 수의 합이 그 두 수의 세제곱수의 합과 같은 두 수를 찾아라 4권 문제 21) 등비수열을 이루는 세 수에 대해서, 임의의 두 수의 차가 제곱수인 세 수를 찾아라. 6권 문제 1) 빗변에서 다른 한 변을 뺀 값이 각각 세제곱수인 피타고라스 삼각형을 찾아라 6권 문제 16) 예각 중 하나의 이등분선의 길이가 유리수인 피타고라스 삼각형을 찾아라. 디오판토스의 묘비에 나와 있는 문제는 다들 책을 통해서 익히 알고 있을 것이다. 내용인즉 묘 비에 나와 있는 내용을 방정식을 통해서 계산해서 몇 살까지 살았는지? 언제까지가 소년이었는 지? 수염이 난건 언제인지? 몇 살 때 결혼했는지? 아들은 언제 태어나서 언제까지 살았는지? 등의 문제를 풀 수 있을 것이다. 디오판토스는 생애의 은 소년이었고, 그 후 이 지나 수염이 났으며, 또 다시 이 지나서 결혼하였다. 결혼한 지 5년 뒤에 아들이 태어났으나 아들은 아버지의 반 밖에 살지 못했다. 그는 아들이 죽은 후 4년 뒤에 세상을 떠났다. 방정식을 비롯한 대수의 위대함은 일상적인 언어를 수학적인 기호로 나타내면서 문제를 해결하 고 그것을 다시 일상의 언어로 바꾸어서 완벽하게 재현됨에 있다. 우리가 어떤 미지의 문제를 마 40 영재교수 학습표준화자료

41 주했을 때 수학적인 언어를 사용하여 그 문제를 이해하고 재구성한 다음, 수학적 지식을 바탕으로 문제를 차근차근 풀어보면 문제를 해결할 수 있는 열쇠가 될 것이다. 다음은 피보나치(Leonardo Fibonacci)가 지은 리베르 아바치(Liber Abachi) 라는 수학 책에 나오는 문제인데 이것을 방정식을 이용해서 풀어보기로 하자. 어떤 사람이 맏아들에게 금화 한 닢과 나머지 재산의 을 상속 했다. 그리고 그 나머지에서 둘째아들에게 금화 두 닢과 나머지 재산의 을 상속했다. 이 새로운 나머지에서 셋째아들에게 금 화 세 닢과 그 나머지의 을 상속했다. 이와 같은 방법으로 아들 각자에게 그전 아들보다 금화 한 닢을 더 주고 나머지의 을 상속했다. 이와 같이 분배하여 막내아들에게는 나머지를 모두 주 었는데, 모든 아들이 똑같은 재산을 분배받았다. 그렇다면 아들은 모두 몇 명이며 재산이 얼마나 있었겠는가? (재산은 각자 금화 몇 닢이다) <풀이> 2. 방정식의 해법 과거 이집트에서는 어떤 수를 하우(hau)라고 부르고 사용했으며 현대로 넘어오면서 를 사용하 게 되었다. 하나의 미지수 와 임의의 자연수 에 대해서 꼴의 방정식을 실다항 방정식이라고 한다. 여기에서 계수들은 실수이고 이다. 이 방정식을 만족시키는 의 값을 이 방정식의 근(root) 또는 해 (solution)라고 한다. 초기 대수학의 주 과제 중 하나는 이와 같은 방정식의 근을 구하는 일반적인 방법의 고안이었다. 그와 같은 과정을 그 방정식을 푼다고 말한다. 옛날 서양 사람들이 알고 있던 수는 양의 실수에 불과했기 때문에, 수백년 동안 방정식의 해도 주어진 방정식의 양의 실수 해를 찾는 것에 국한되었었다. 에 따라서 일차, 이차, 삼차, 사차, 방정식이라고 부른다. Ⅰ. 대수 41

42 (1) 일차방정식의 해법 : 등식의 성질을 이용해서 해결한다. ( )꼴의 방정식은 대수적으로는 의 해를 가진다. 기하적으로 는 을 길이 로 갖는 세 선분에 대한 넷째 비에 해당한다. 즉 이다. 작도를 통해서 를 구했다. (단, 기하적인 방법은 양의 실수인 경우만 해를 구할 수 있었음) 고대 이집트에서 임시위치법으로 불리게 된 일차 방정식의 해법이 발견되었다. 예를 들면 일차 방정식 를 풀기 위해서 편의에 따라 미지수 를 임의의 수로 가정한다. 그래서 이라고 생각하고 대입하면 이라는 결과가 나오는데 이므로 임의의 숫자 에 을 곱하면 위의 방정식의 해인 이 나온다. 단순한 추측으로 정확한 답을 찾을 수 있었다는 사실이 매우 흥미롭고 현재 등식의 성질을 이용해서 충분히 설명이 가능한 부분이다. (2) 연립방정식의 해법 : 가감법, 대입법 등 대수적인 방법과 그래프를 이용한 기하적인 방법이 있음 (3) 이차방정식의 해법 : 인수분해, 근의 공식 (4) 삼차 사차방정식 : 인수분해(조립제법 등 몇몇 방법이 있음), 근의 공식 (5) 5차 이상의 고차방정식은 대수적인 해법 즉 근의 공식이 없다. (아벨, 갈루아 증명 / 단 아주 특수한 경 우에는 몇 개의 해는 구할 수 있음) 42 영재교수 학습표준화자료

43 5. 방정식의 해법(2) 삼차 방정식의 대수적 해법에 관한 일화를 간략하게 이야기하면, 1515년경 볼로냐 대학교의 수학교 수였던 페로는 아마도 아라비아 원전에 대한 그의 연구에 근거해서 이차 항이 없는 꼴의 삼차 방정식을 대수적으로 풀었다. 그는 그 결과를 공표하지 않고 그의 제자인 피오르에게 그 비밀을 알려주었다. 그런데 1535년경 어렸을 때의 상처로 인해 말하는 데 지장을 받아서 타르탈리아(말더듬 이)로 불렸던 폰타나는 일차 항이 없는 꼴의 삼차 방정식에 대한 대수적 해법을 발견했다 고 주장했다. 이 주장이 허세라고 믿은 피오르는 타르탈리아에게 삼차 방정식 풀이에 대한 공개적인 시합을 갖자고 도전했다. 즉, 계획된 시합 시간에 맞추어 시합에 참석하는 사람들이 제출한 똑같은 개수의 삼차 방정식을 주어진 시간 내에 푸는 시합을 갖자고 도전했다. 그 시합을 받아들인 타르탈리 아는 열심히 노력해서 시합이 있기 겨우 며칠 전에 삼차 방정식에서 이차 항이 없는 경우에 대한 대수적 해법도 발견했다. 피오르는 한 가지 형태에 관한 해법만을 알고 있었던 반면에, 삼차 방정식의 두 가지 형태에 관한 해법을 알고 있었던 타르탈리아는 완전한 승리를 거두었다. 나중에 밀라노에서 수학을 가르치면서 의사로 개업하고 있던 파렴치한 천재인 카르다노는 비밀을 지킬 것을 엄숙히 서약하고, 삼차 방정식에 대한 열쇠를 감언이설로 꾀어 타르탈리아로부터 얻어내었다. 1545년에 카르 다노는 독일의 뉘른베르크에서 대수학에 대한 뛰어난 라틴 책인 위대한 계산법 을 출판했는데, 이 책 속에 최고의 보석으로 삼차 방정식에 대한 타르탈리아의 해법이 실리게 되었다. 타르탈리아는 격렬하게 항의했지만, 그 항의는 카르다노의 가장 유능한 제자인 페라리의 도전을 받게 되었다. 페라 리는 카르다노가 페로로부터 제삼자를 통해 그 정보를 얻었다고 주장했으며, 오히려 타르탈리아를 같은 이유로 표절했다고 고발했다. 뒤이어 신랄한 논쟁이 일어났는데, 타르탈리아로서는 그 논쟁에서 살아남은 것만으로도 다행이었다. 카르다노의 위대한 계산법 에 실려있는 삼차 방정식 에 대한 대수적 해법은 근본적 으로 다음과 같다. 항등식 를 생각하자. 와 를 연립방정식 을 만족시키도록 택하면, 근 는 로 주어진다. 와 에 대한 방정식을 풀면, Ⅰ. 대수 43

44 이고 이 되므로 근 는 다음과 같이 소위 카르다노-타르탈리아 공식 에 의해 결정된다. 카르다노-타르탈리오 공식에 의하면 삼차방정식 에 대한 하나의 실수 근을 구하 여라. 일반적인 삼차방정식 은 로 치환을 하면 꼴의 삼차 방정식으로 변환되므로, 위의 해법은 모든 삼차 방정식을 풀 수 있게 한다. 일반적인 사차방정식에 대한 대수적 해법이 발견된 것은 삼차 방정식이 풀리고 난 뒤, 그리 오 래되지 않았을 때였다. 1540년에 이탈리아 수학자였던 다 코이는 카르다노에게 다음과 같은 문제 를 제시했다. 10을 세 수로 나누어, 그 세수가 연비례하고 첫 수의 곱은 6이 되도록 하라. 만약 세수를 로 나누면 아래와 같은 관계식이 나온다. 이 관계식을 이용하면 사차방정식 를 얻는다. 카르다노는 이 사차 방정식을 풀 수 없었지만, 그의 제자인 페라리는 성공했다. 그 풀이과정에서 그는 꼴의 임의의 사차방정식을 풀기 위한 방법을 고안했는데, 임의의 사차방정식은 간단한 선형 변형에 의 44 영재교수 학습표준화자료

45 해서 위와 같은 꼴로 변환시킬 수 있다. 위의 사차 방정식 완전제곱식으로 풀기 위해 다음과 같이 정리한다. 위와 같이 정리 한 후에, 임의의 에 대해서 과 같이 다시 표현하자. 이제 를 위 방정식의 우변을 완전제곱식이 되도록 택하자. 완전제곱식 의 필요충분조건을 이용하면 이 성립한다. 그런데 이방정식은 에 관한 삼차방정식이므로, 삼차방정식에 의한 해법을 적용해 서 를 구할 수 있다. 이런 에 대해서 원래의 사차방정식은 제곱근 풀이로 전환된다. 일반적인 삼차방정식과 사차방정식에 대한 또 다른 대수적인 해법은 곧 나타났다. 16세기의 수 학자 비에트에 의해 고안된 방법과 1637년 데카르트가 발표한 사차방정식의 해법이 그것들이다. 비에트는 그가 죽은뒤인 1615년에 출판된 책에서 삼차방정식에 대한 다음과 같은 세련된 해법 을 발견하였다. 사차방정식 에 대해서 를 이용해서 치환을 하면 으로 변환되는데 이는 에 관한 이차방정식이다. 이제 우리는 을 구할 수 있어서 를 얻게 되므로, 도 구하게 된다. Ⅰ. 대수 45

46 사차방정식에 대한 비에트의 해법은 페라리의 해법과 비슷하다. 삼차 항이 없는 사차방정식 을 생각하자. 역시 모든 사차 방정식은 위의 형태로 바꿀 수 있다. 이 방정식을 로 다시 쓴 다음에, 를 양변에 더해주면 를 얻는다. 이제 우변이 완전제곱식이 되도록 를 택하자. 이와 같은 필요충분 조건은 아래와 같다. 이는 에 관한 삼차 방정식이다. 이와 같은 은 위의 삼차방정식의 해법으로 찾을 수 있고, 주 어진 사차 방정식은 이제 제곱근 풀이에 불과하다. 비에트의 방법을 이용해서 와 연관된 삼차 방정식을 찾아라. 데카르트는 1637년에 발표한 삼차항이 없는 사차 방정식 의 해법으로 미정 계수법을 사용했다. 좌변을 과 같다고 놓자. 이를 전개해서 계수들 사 이의 관계를 방정식으로 만들면 사이를 연결하는 세 개의 방정식을 얻는다. 이 세 관계식에 서 와 을 소거하면, 에 관한 육차 방정식이 되는데, 이는 에 관한 삼차 방정식으로 간주할 수 있다. 그래서 원래의 사차방정식의 풀이는 그에 연관된 삼차 방정식의 풀이로 전환된다. 데카르트 방법에 따라서 사차방정식 과 연관된 삼차방정식을 찾아라. 46 영재교수 학습표준화자료

47 6. 방정식의 해법(3) 1. 행렬의 기본개요 직사각형으로 이루어진 행(가로줄)과 열(세로줄)에 수나 문자를 배열한 것으로 행과 열이 같은 행렬을 차 정사각행렬 이라 한다. 행렬에서 행 열의 원소가 7이라 하면, 성분 = =7이라 나타낸다. (예) 행렬, 단위행렬, 영행렬 행렬= 단위행렬 : E또는 I로 나타낸다. 2차 단위행렬 : 3차 단위행렬 : 영행렬 : 모든 성분이 0인 행렬, 기본문제1 행렬A의 성분 가 이면, = 이면, = 이면, = 가 되는 3차 정사각행렬 A를 구하여라. Ⅰ. 대수 47

48 48 영재교수 학습표준화자료 2. 행렬의 연산 2개의 행렬 가 덧셈, 뺄셈이 가능하려면, 같은 모양의 행렬이어야 하고, 같은 위치를 갖는 수들끼리 주어진 연산을 해주면 된다. 일 때, = = (교환법칙) (결합법칙) 행렬의 곱셈 행렬의 나눗셈은 없다. 행렬의 곱 가 가능하려면, 의 열과 의 행의 개수가 같아야 한 다. 즉, 가 행렬이고, 가 행렬일 때, 의 결과는 행렬이 된다. = = 단위행렬의 성질 (교환법칙 성립) = = 영행렬의 성질 (교환법칙 성립) = =

49 3. 행렬의 곱셈 성질 및 유의사항 행렬의 곱은 합성함수와 비슷한 성질을 갖는다. ( 를 2차 정사각행렬) 교환법칙 결합법칙 분배법칙 함 수 일반적으로, = = = 행 렬 일반적으로, 기타 주의해야 할 행렬의 성질 (를 2차 정사각 행렬로 정의할 때) 또는 이면 이다 는 항상 참이 되지만, 이면, 또는 이다 는 항상 참이라 말할 수 없다. 행렬에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않으므로, 이 되어, 이 된다. 즉, 행렬에서 곱셈공식이 성립한다는 조건을 주면, 를 알 수 있다. 이면 이다 는 항상 참이라 말할 수 없다. 예) A=, B=, C= 일 때, 위 식에 적용해 볼 것. 이더라도, 이 성립할 수 있다. Ⅰ. 대수 49

50 역행렬 구하기 = 이 되게 하는 행렬 를 행렬 즉, 이다. 결국 이다 의 역행렬이라고 한다. 임의의 행렬의 역행렬 구하기 정의 1) 소행렬(minor) => 는 행과 열을 삭제함으로 얻는 행렬 2) 3) 여인수(cofactor) =>, 의 역행렬을 구해보자. 만약 연립방정식 의 해를 구한다고 하면 가감법 혹은 대입법 혹은 좌표평면에 그 래프를 이용해서 교점을 구하는 방법이 있다. 그 외의 방법을 소개하면 위의 연립방정식을 행렬로 표현할 수 있는데 와 같은 것을 알 수 있다. 다음 양변에 역행렬을 곱하면, 다음 연립일차방정식의 해를 구하여라. 50 영재교수 학습표준화자료

51 7. 바코드의 비밀 - I.바코드의 비밀 1. 합동식 가 몫과 나머지 를 로 나누었을 때의 몫이 이고 나머지가 일 때, (단 은 정수이고, )로 나타낸다. 나 합동식 두 정수 를 으로 나누었을 때 나머지가 서로 같으면, 는 법(modulo) 에 관하여 서 로 합동이다 라고 말하고, 기호로 로 나타낸다. 은 정수일 때 (1) (2) 일때 문제1 다음 식의 안에 들어 갈 가장 작은 양의 정수를 구하시오. (1) (2) (3) 문제2 다음을 계산하시오. Ⅰ. 대수 51

52 2. 바코드 가 바코드의 종류 1) 바코드의 종류 우리나라에서 1988년부터 EANA로부터 부여받아 사용하는 KAN 코드에는 표준형 13자리와 단 축형 8자리의 두 가지가 있다. 2) 표준형 코드 가) 국가 코드 : 세 자리 (우리나라는 880 사용) 나) 제조업체 코드 : 네 자리 다) 상품품목 코드 : 다섯 자리 라) 체크디지트 : 한자리 (오류 검증 코드) 3) 단축형 코드 가) 국가 코드 : 세 자리 ( 우리나라는 880 사용 ) 나) 제조업체 코드 : 세 자리 다) 상품품목 코드 : 한자리 라) 체크디지트 : 한자리 (오류 검증 코드 ) 나 바코드의 검증 바코드가 이고, mod 9 = 2 일 때, 검증하는 방법. (검증) 를 9로 나눈 나머지가 2라는 의미이다 영재교수 학습표준화자료

53 9로 나눈 나머지를 구하면, ( ) mod 9 문제3 다음 바코드를 검증하시오. (1) mod 9 = 2 일 때, 을 검증하시오. (2) mod 9 = 6 일 때, 을 검증하시오. (3) mod 9 = 9 일 때, 를 검증하시오. (4) mod 9 = 6 일 때, 을 검증하시오. 3. 벡터(vector) 가 벡터의 뜻과 상등 1) 벡터의 정의와 표시법 속력, 길이, 넓이, 무게 등 크기만으로 정해지는 양을 스칼라(scalar)라 한다. 한편, 힘, 속도, 도 형이나 물체의 이동처럼 크기와 방향이 함께 주어지는 양을 벡터(vector)라 한다. 선분AB에 A에서 B로 향하는 방향이 주어질 때, 이 선분을 유향선분AB라 하고, 점 A를 시점, 점 B를 종점이라고 하 며, 벡터 로 나타낸다. Ⅰ. 대수 53

54 2) 벡터의 크기와 단위벡터 벡터, 벡터 등의 크기는 선분AB의 크기이며, 나타낸다. 특히 크기가 1인 벡터를 단위벡터라 한다. 와 같이 절댓값 기호를 써서 3) 벡터의 상등 두 벡터 의 크기와 방향이 서로 같을 때, 두 벡터는 같다고 하고, 로 나타낸다. 나 벡터의 성분 1) 평면벡터의 성분 가) 평면벡터의 성분표시 좌표평면의 원점 O를 시점으로 하는 벡터 의 종점 A( )의 좌표를 의 성분이라고 한 다. 특히 를 의 의 성분, 를 의 성분이라 하며, 로 나타낸다. 이것을 의 성분표 시라 한다. 나) 기본벡터의 정의 좌표평면위에서, 축의 양의방향과 같은 방향을 갖는 단위벡터를, 축의 양의방향과 같은 방향을 갖는 단위벡터를 로 나타내고, 를 통틀어서 기본단위벡터 또는 기본벡터라고 한다. 또 임의의 벡터 를 기본벡터를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 2) 공간(3차원)벡터의 성분 가) 공간벡터 공간벡터는 평면벡터에 좌표를 하나 추가한 것이다. 따라서 성분의 정의, 크기와 상등 및 단위 벡터, 연산, 평행조건은 평면벡터에 z축만 추가하여 생각하면 된다. 나) 공간(3차원)벡터의 성분표시 좌표 공간에서 세 점,,, 에 대하여 원점 O를 시점으로 하는 위치 벡터,, 를 잡으면,,, 는 각각 축, 축, 축의 양의 방향의 단위벡터 54 영재교수 학습표준화자료

55 가 된다. 임의의 공간벡터 에 대하여, 가 되도록 점 를 잡고, 점 A에서 축, 축, 축 위에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R 이라 하면,, 따라서, 이다. 이 때, 를 벡터 의 성분이라 하고, 을 성분, 를 성분, 를 성분이라고 한다. 또, 벡터 를 성분으로 다음과 같이 나타낸다. 또는 [보기 1] 좌표공간에서 를 각각 성분으 로 나타내면 다음과 같다.,,, 문제2 벡터 을 로 나타내시오. 3) n차원벡터의 성분 가) n차원 좌표공간 실수 전체의 집합을 이라 하면, 2차원 좌표공간 : 는 실수 전체의 집합 3차원 좌표공간 : 는 실수 전체의 집합 n차원 좌표공간 : 은실수전체의집합 나) n차원벡터의 성분표시 n차원 좌표공간에서 원점 O를 시점으로 하는 벡터 의 종점 A( )의 좌표를 의 성분이라고 한다. Ⅰ. 대수 55

56 다 벡터의 내적 1) 벡터의 내적의 정의 평면 또는 공간에서 가 아닌 두 벡터 가 이루는 각을 θ(0 θ π)라 할 때, θ을 와 의 내적이라 하고, 로 나타낸다. 즉 θ 이 때, 이면 로 정의한다. 특히, 이면 θ 이므로 가 성립한다. 2) 평면 벡터의 내적의 성분에 의한 표시 가) 평면 벡터의 내적의 성분에 의한 표시 라 하면, 나) 공간(3차원) 벡터의 내적의 성분에 의한 표시 일 때, 다) 4차원 벡터의 내적의 성분에 의한 표시 라 하면, 문제5 다음 두 벡터의 내적을 구하시오. (1) (2) (3), 56 영재교수 학습표준화자료

57 문제6 다음 물음에 답하시오. 일 때, 에서 의 값을 구하시오. 수행평가 1. 다음 두 벡터 의 내적 를 구하시오. (1) (2) (3), 2. 일 때, 에서 의 값을 구하시오. 3. 일 때, k에서 k의 값을 구하시오. 4. 일 때, k 에서 k의 값을 구하시오. Ⅰ. 대수 57

58 8. 바코드의 비밀 - II. 바코드의 오류 1. 바코드의 오류 슈퍼에서 상품을 살 때 유심히 살펴보자. 상품의 바코드가 잘 찍히지 않으면 계산원이 손으로 번호를 입력시키는 경우가 있다. 그런데 그렇게 길고 생소한 번호를 전문가도 아닌 계산원이 그렇 게 빨리 치는데 놀라지 않을 수 없다. 더욱이 한 번도 잘못 입력하는 것을 본 적이 없다. 왜 그럴 까? 그것은 바코드를 잘못 입력한 경우에, 오류를 발견해 내고, 이어서 오류를 정정해주는 기능이 내재되어 있기 때문이다. 어떻게 해서 그런 기능이 생겼을까? 여러분도 조금만 일찍 태어났다면 충분히 만들어 낼 수 있었을 것이다. 문제1 다음 물음에 답하시오. 으로 입력하는 오류가 많다고 하면, 어떻게 해야 하는지 설명하시오. 2. 바코드의 오류정정 앞에서 바코드의 입력오류를 방지하는 방법에 대하여 탐구하였다. 이번에는 오류를 발견하고 정정하는 방법을 생각해 보자. 문제 로 입력할 것을 로 잘못 입력한 경우에 바로 잡는 방법 을 설명하시오. 58 영재교수 학습표준화자료

59 형성평가 1. 일 때, k 에서 k의 값을 구하시오. 2. 으로 입력하는 오류가 많다고 하면, 어떻게 해야 하는지 설명하시오. 3. 바코드 번호를 로 입력해야 하는데, 으로 입력하는 오류가 많다고 하면, 어떻게 해야 하는지 설명하시오. <참고문헌 목록> 1. Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, Boston New York: Houghton Mifflin Company, 강흥규, <합동식>, 서울, 최홍원 <수학과 영재학습 프로그램>, 서울 : 중등영재교육 직무연수 최봉대, 강옥기, 황석근, 이재돈, 김영욱, 홍진철, 고등학교 수학 II 교과서, 서울: (주) 중앙교육 진흥연구소 쪽, 302쪽. 5. 홍성대, 수학의 정석-수학 II, 서울 : 성지출판(주) Ⅰ. 대수 59

60 9. 함수의 심화 문제1 8개의 면에 의 수를 써 넣은 정팔면체가 있다. 이 정팔면체를 세 번 던져서 1회, 2회, 3회째 나온 맨 윗면의 수를 각각 라 하자. 두 직선 이 한 점에서 만날 확률은? 풀이) 이면 두 직선은 평행 또는 일치한다. 이 경우의 는 의 네 경우이며, 이 경우의 확률은 두 직선이 한 점에서 만날 확률 : 이다. 문제2 의 그래프는 직선이고, 는 를 만족한다. 이 때, 을 구하여라. 풀이) 문제3 일 때, 의 값은? 60 영재교수 학습표준화자료

61 풀이) 두 직선이 만나지 않는다. 두 직선이 평행하다. 서로 다른 두 직선의 기울기가 같다. 문제4 다음 그림과 같이 2개의 칸막이가 있는 물통의 나칸과 다칸에 크기가 다른 돌을 넣어 가쪽에서 매초 의 물을 넣으면서 그림처럼 자로 물의 높이를 재었다. 아래 그래프는 물을 넣은 시간과 물의 높이 사이의 관계를 나타낸 것이다.(단, 칸막이의 두께는 생각하지 않는다.) (1) 이 물통 전체의 밑넓이는 얼마인가? 풀이) Ⅱ. 해석 61

62 (2) 나칸에 넣은 돌의 부피는 얼마인가? 풀이) 62 영재교수 학습표준화자료

63 (3) 나칸의 돌을 다칸으로 옮겨 놓고 물의 높이가 가 될 때까지 넣었을 때, 물을 넣은 시간과 높이 사이의 관계를 그래프로 나타내시오. 풀이) 문제4 풀이) 자연수 에 대하여 일 때, 은? 이다. Ⅱ. 해석 63

64 변화상황을 그래프로 나타내기 문제1 일정한 속도로 다음과 같이 각각 크기가 다른 3개의 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. (A) (B) (C) 이 때, (A), (B), (C) 각각의 상황을 그래프로 나타내어라. 풀이) 문제2 일정한 속도로 다음과 같은 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. 이 때, 위 상황을 그래프로 나타내어라. 풀이) 64 영재교수 학습표준화자료

65 문제3 일정한 속도로 다음과 같은 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. 이 때, 위 상황을 그래프로 나타내어라. Ⅱ. 해석 65

66 풀이) 문제4 일정한 속도로 다음과 같은 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. 이 때, 위 상황을 그래프로 나타내어라. 66 영재교수 학습표준화자료

67 풀이) 문제3 철수, 영희, 영수는 모여서 수학숙제를 같이 하기로 하고 일요일 3시에 학교에서 만나기로 약속 하였다. 다음은 철수, 영희, 영수가 사는 동네의 약도와 세 명이 학교까지 가는데 걸린 시간과 학교까지 거리를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답하시오. 단, 거리는 도로상의 길이를 의미한다. (1) 집에서 제일 먼저 출발한 사람과 제일 먼저 학교에 도착한 사람은 누구인가? 풀이) 영수, 영수 (2) 영수가 학교에 도착하기까지의 과정을 나타낸 그래프를 보고 그 과정을 추측하여 발표하시오. 풀이) 영수는 학교까지 곧바로 갔다. Ⅱ. 해석 67

68 (3) 철수가 학교에 도착하기까지의 과정을 나타낸 그래프를 보고, 약도에 명시된 이름과 행동에 대한 타당 한 이유를 포함하여 그 과정을 추측하여 기술하시오. 풀이) 철수는 우체통 앞에 잠시 멈춰 서서 친구에게 보낼 편지를 넣고, 가는 도중 병원 앞에서 응급환자 구경을 하다가 학교에 갔다. (4) 영희가 학교에 도착하기까지의 과정을 나타낸 그래프를 보고, 약도에 명시된 이름과 행동에 대한 타당 한 이유를 포함하여 그 과정을 추측하여 기술하시오. 풀이) 영희는 학교 근처까지 간 후 갑자기 가방에 있는 빌린 책을 반납할 것이 생각나 도서관 쪽으로 방 향을 바꾸어 도서관에 책을 반납하고 학교에 갔다. 톱니바퀴 배열 속의 함수 문제1 톱니의 개수가 각각 개인 기어 A, B, C 가 그림과 같이 맞물려 돌아가고 있을 때 A, B, C 의 각속도의 비는?(단, 아래 그림에 보인 톱니 수는 설명을 위한 것으로서 변할 수 있음) 풀이) A, B, C 각각의 돌아간 톱니의 수가 개라고 하면, A, B, C 각각의 회전 수는 이다. 문제2 톱니의 수가 각각 개, 개인 톱니바퀴 A, B가 서로 맞물려 돌 고 있습니다. A가 번 회전 할 때 B는 번 회전한다고 할 때, 와 68 영재교수 학습표준화자료

69 사이의 관계식을 구하여라. 풀이) 문제3 오른쪽 그림에서 각각의 톱니바퀴에 적혀 있는 숫자가 톱니의 개수이다. A가 번 회전할 때, B는 번 회전한다고 한다. 이 때, 와 사이의 관계식을 구하여라. 풀이) 문제4 다음 그림에서 네 개의 톱니바퀴 A, B, C, D가 차례로 맞물 려 돌아가고 있고, 톱니의 개수는 차례로 각각 개, 개, 개, 개이다. 톱니바퀴 A가 시계방향으로 바퀴 회전 하는 동안 톱니바퀴 D는 바퀴 회전한다. 이 때, 와 사 이의 관계식을 구하여라. Ⅱ. 해석 69

70 또, 톱니바퀴 D의 회전방향을 알아보아라. 풀이) 70 영재교수 학습표준화자료

71 문제5 다음 그림에서 각각의 톱니바퀴에 적혀 있는 숫자는 톱니의 개수를 나타낸 것이다. A가 시계방 향으로 번 회전할 때, B는 번 회전한다. 이 때, 와 사이의 관계식과 B의 회전 방향을 구하여라. 풀이) 두 개의 톱니바퀴가 서로 겹쳐져 있을 때, 와 사이의 관계식 구하기 문제1 다음 그림에서 각각의 톱니바퀴에 적혀 있는 숫자는 톱니의 개수를 나타낸 것이다. A가 시계방향으로 번 회전할 때, B는 번 회전 한 다. 이 때, 와 사이의 관계식과 B의 회전 방향을 구하여라. 풀이) 하나의 회전축에 두 톱니바퀴가 서로 겹쳐 있으면 그 회전수는 같다. Ⅱ. 해석 71

72 문제2 다음 그림에서 각각의 톱니바퀴에 적혀 있는 숫자는 톱니의 개수를 나타낸 것이다. A가 시계방 향으로 번 회전할 때, B는 번 회전한다. 이 때, 와 사이의 관계식과 B의 회전 방향을 구 하여라. 풀이) 하나의 회전축에 두 톱니바퀴가 서로 겹쳐 있으면 그 회전수는 같다. 문제3 각각 톱니가 개, 개, 개, 개인 네 개의 톱니바퀴가 있습니다. 이것을 모두 사용하여 마지막으로 회전하는 바퀴가 처음 바퀴보다 배 빠르도록 조립한 톱니바퀴의 모양을 그리시오. 풀이) 72 영재교수 학습표준화자료

73 문제4 각각 톱니가 개, 개, 개, 개인 네 개의 톱니바퀴가 있습니다. 이것을 모두 사용하여 마지막으로 회전하는 바퀴가 처음 바퀴보다 배 빠르도록 조립한 톱니바퀴의 모양을 그리시오. 풀이) 문제5 각각 톱니가 개, 개, 개, 개, 개, 개, 개, 개인 여덟 개의 톱니바퀴가 있습 니다. 이것을 모두 사용하여 시계의 초침과 분침의 운동과 같이, 시작하는 톱니바퀴(초침)가 회 전 할 때, 마지막으로 회전하는 바퀴(분침)가 바퀴를 회전할 수 있도록 그리시오. Ⅱ. 해석 73

74 풀이) 74 영재교수 학습표준화자료

75 평가 문제1 일정한 속도로 다음과 같은 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. Ⅱ. 해석 75

76 이 때, 위 상황을 그래프로 나타내어라. 풀이) 76 영재교수 학습표준화자료

77 문제2 아래 그림과 같이 A, B, C, D 네 개의 톱니바퀴가 맞물려 있다. A의 톱니 수는 개이며, B와 맞물려 돌아간다. B는 C와 한 고정축에 부착되어 있어서 C와 함께 회전한다. 그리고 C의 톱니 수는 B의 톱니 수의 배이다. D는 C와 맞물려 돌아가고, A가 회전하는 동안에 D는 회전을 한다. D의 톱니 수를 구하여라. 풀이) Ⅱ. 해석 77

78 평가 문제 문제1 일정한 속도로 다음과 같은 물통에 호스로 물을 채워가고 있다. 이 때, 위 상황을 그래프로 나타내어라. 문제2 아래 그림과 같이 A, B, C, D 네 개의 톱니바퀴가 맞물려 있다. A의 톱니 수는 개이며, B와 맞물려 돌아간다. B는 C와 한 고정축에 부착되어 있어서 C와 함께 회전한다. 그리고 C의 톱니 수는 B의 톱니 수의 배이다. D는 C와 맞물려 돌아가고, A가 회전하는 동안에 D는 회전을 78 영재교수 학습표준화자료

79 한다. D의 톱니 수를 구하여라. [참고자료] 변화하는 세상을 표현해보자, 서울특별시교육연구원 Ⅱ. 해석 79

80 10. GrafEq를 활용한 함수 그래프의 구현 학 습 목 표 1. 여러 가지 도형의 방정식을 알 수 있다. 2. GrafEq을 이용하여 그래프를 그릴 수 있다. 3. 생활 속에서 발견한 사물의 방정식을 그래프로 구상할 수 있다. 준 비 물 학습지, 컴퓨터 읽어봅시다 우리는 지금까지 함수의 그래프, 방정식의 해를 그래프로 표현하는 등 여러 가지 그래프에 관하 여 배워왔습니다. 직교좌표계에서 또는 극좌표계에서도 다양한 그래프를 그려왔으며 그래프의 모 양을 보고 방정식을 구상할 수도 있었습니다. 수학에서 뿐만 아니라 과학시간에도 실험결과를 그 래프로 표현하기도 하였을 것입니다. 그래프는 단순히 직선 모양에서 시작하여 원, 타원, 포물선, 파동 모양 또는 간단히 이름 붙일 수 없는 모양 등으로 다양하게 존재합니다. 그래프를 보고 그것을 표현하는 방정식을 구상하는 데에서 나아가 우리가 생활 속에서 접하는 여러 가지 도형을 방정식으로 표현할 수는 없을까요? 가능한 일일까요? 더 나아가 생활 속에 존재 하는 여러 가지 형체들을 수식으로 표현할 수 있을까요? 또는 수식을 이용하여 디자인을 구상할 수 있을까요? 어쩌면 나의 얼굴을 방정식으로 표현하는 것은 가능할까요? 우리의 이번 시간 과제는 무엇이든 어떤 형태이든 수식으로 표현해 보는 일입니다. 이를 통하여 80 영재교수 학습표준화자료

81 생활 속에 존재하는 사물들을 수학적으로 해석하여 봄으로서 우리 주변을 수학적인 시각으로 다 르게 바라보게 될 것이며 제목처럼 생활의 발견이 가능하지 않을까요? 우리가 해결하자 우리 주변의 사물들을 가만히 살펴보면 인위적인 것들이 많습니다. 조금만 살펴보아도 인위적 인 것들은 거의 직선이나 원, 타원 등의 수학적인 모양으로 생겨 있습니다. 아니면 여러 가지 수학 적인 방정식들이 결합된 형태이든가요... 우선 이들을 수학적으로 표현하여 봅시다. 우리가 알고 있는 그래프의 방정식이 많기는 하지만, 좀더 다양한 시각으로 사물을 표현하기 위하여 우선 몇 가지 더 그래프의 방정식을 공부하겠습니다. 문제1 다음 방정식을 만족하는 그래프 개형을 그려 봅시다. (1) (2) (3) (4) Ⅱ. 해석 81

82 (5) (6) (7),,, 문제2 다음 방정식을 만족하는 그래프 개형을 그려 봅시다. (1) (2) (3) (4) 82 영재교수 학습표준화자료

83 평행이동의 의미를 생각하여 봅시다. 문제3 다음과 같이 절댓값이 있는 방정식의 그래프 개형을 그려 봅시다. (1) (2) 문제4 원은 한 정점에서 같은 거리에 있는 점의 집합이라고 정의합니다. 이러한 원의 성질을 이용하여 원의 방정식을 생각하여 봅시다. 예를 들어 (1,2)에서 1 만큼 떨어져 있는 점들의 집합을 생각하 여 원의 방정식을 구하여 봅시다. Ⅱ. 해석 83

84 문제5 다음 방정식을 만족하는 그래프 개형을 그려 봅시다. (1) (2) (3) 위 (1),(2) 방정식에서 표현한 도형의 내부를 표현하는 도형의 방정식을 구하여 봅시다. 문제6 타원이란 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 자취를 말합니다. 예를 들어 두 정점 에 각각 실의 양끝을 고정시키고 실에 연필을 걸어 끌어당기면서 이동시키면 타원이 그려지고 두 점을 초점이라고 한다. 타원의 방정식을 생각하여 봅시다. 마찬가지로 타원의 위와 같은 성질 두 초점에서 거리의 합이 일정하다는 정의를 이용하면 타원의 방정식을 구할 수 있는데 요악하면 다음과 같습니다. 직교좌표계에서 양수 에 대하여 중심이 (0,0)이고 절편이 (,0), (,0), 절편이 (0, ), (0, )이고 축 방향으로 장축인 타원이라면 이며 타원의 방정식은 만약 축 방향으로 장축인 모양의 타원이라면 일 것입니다. 이 됩니다. 평행이동의 개념과 함께 생각하면 여러 가지 모양과 위치의 타원을 구상할 수 있을 것입니다. 장축과 단축의 길이가 같은 특수한 경우의 타원은 원이 된다는 사실도 확인하여 봅시다. 여러 가지 모양의 타원을 구상하여 보고 식을 세워봅시다. 84 영재교수 학습표준화자료

85 문제7 포물선이란 평면위에서 한 정점과 이 점을 지나지 않는 한 정직선에 이르는 거리가 같은 점의 자취를 의미합니다. 포물선의 방정식도 마찬가지로 포물선의 이러한 성질을 이용하면 세울 수 있습니다. 포물선의 일반적인 방정식을 소개하면 아래와 같습니다. 위에서 언급한 한 정점은 포물선에서 초점이라 부르며 초점이 (,0)이고 정직선이 인 포물선의 방정식은 입니다. 또한 초점이 (0, )인 포물선의 방정식은 입니다. 이것은 이차함수와 모양과 식이 사실상 일치 합니다. 문제8 역함수란 원함수와 직선 에 대하여 대칭인 함수를 의미합니다. 역함수가 존재하려면 원함 수가 일대일 대응일 때 가능합니다. 포물선 에 대하여 역함수를 구하여 보고 아래에 그래프를 그려봅시다. 정의역을 다르게 잡아서 역함수를 구하여 봅시다. 포물선 Ⅱ. 해석 85

86 에 대하여서도 같은 과정으로 구하여 봅시다. 문제9 다음은 바깥에서부터, 의 그래프이다. 가장 안쪽의 그래프의 방정식을 추정하여 봅시다. 문제10 다음 삼각함수의 그래프를 그려봅시다. (1) (2) (3) (4) (5) 86 영재교수 학습표준화자료

87 알아봅시다 GrafEq 라는 프로그램을 이용하여 우리 주위의 그래프를 표현하여 봅시다. 1. 직교좌표계에서 의 그래프를 그려 봅시다. 2. 극좌표계에서 r = 3, r= sinθ, r= 2(1-cosθ), r= 2(1-sinθ) 의 그래프를 그려봅시다. (아래에 인쇄한 그래프를 붙입니다.) Ⅱ. 해석 87

88 2. 이번에는 왼쪽의 나비모양을 수식으로 표현하여 봅시다. 여러 개의 수식을 잘 조합하여 봅시다. 오른쪽 에 구상된 대로 GrafEq을 이용하여 그래프를 그려봅시다. 3. 이번에는 선만 있는 나비가 아니라 내부가 채워진 나비를 수식으로 표현합시다. 구상된 대로 GrafEq을 이용하여 그래프를 그립시다. (아래에 자신이 그린 인쇄한 그래프를 붙입니다.) 88 영재교수 학습표준화자료

89 4. 좀더 복잡하지만 실재와 훨씬 가까운 나비에 도전하여 봅시다. 여러 개의 도형이 보입니다. 각 부분에 어떤 수식을 이용하여야 할지 구상하여 봅시다. 어떤 함수와 도형의 방정식이 보이나요? 5. 이번에는 GrafEq을 이용하여 극좌표계에서 그래프를 그려봅시다. (1) (2) (3) 아래 그래프를 수식으로 표현하여 봅시다. Ⅱ. 해석 89

90 6. 아래에 보이는 눈깔사탕을 수식으로 표현하여 봅시다. 90 영재교수 학습표준화자료

91 7. 이번에는 좀더 복잡한 모양에 도전합니다. 아래의 라면 그릇과 라면, 젓가락을 수식으로 표현하여 봅시 다. 어떤 수식들이 눈에 들어오나요? (젓가락) (라면) (라면그릇) 도전과 창작 위의 여러 가지 과정을 통하여 나름대로 창작 작품을 고안하여 봅시다. Ⅱ. 해석 91

92 참고문헌 1. 김남희, 수학, 디자인, 그리고 생활의 발견, 수학사랑, 존 블랙우드, 우리 주변의 수학, 섬돌, 2007 (부록) 여러 가지 도안 92 영재교수 학습표준화자료

93 11. 최적화하기 우리의 일상생활 속에서 경제적 측면 또는 건강관리 측면 등에서 최적화(optimization) 문제 상황 에 직면하면서 그 해답을 찾기 위한 많은 연구가 이루어져 왔다. 예를 들어 한 가정에서 한 달 동 안 쓸 수 있는 생활비 범위 내에서 가족들의 건강을 위해 어떻게 식단을 구성해야 하는가? 또는 어떤 공장에서 최소의 비용으로 최대의 생산과 판매이익을 얻기 위해서는 각 제품에 투입될 노동 력 및 자재 비용은 어떻게 분산 투자해야 하는가? 등이다. 이와 같은 최적화 문제에 대한 해답을 얻기 위해 주어진 상황을 모형화하고 이를 부등식의 영 역으로 표현하여 해결할 수 있다. 특히 해당 조건들이 일차식으로 주어질 때 이들 식이 나타내는 직선들에 의해 정해지는 부등식 의 영역에 대한 이해를 충실히 하고 이를 바탕으로 실생활의 의사 결정 상황에서 수학적 방법이 어떻게 적용되는가를 알아본다. 또한 부등식의 영역에서 어떤 상황에서 가능한 여러 가지 조건 중에서 가장 알맞은 해답을 찾 아내는 이론 중에 선형계획법(linear programming, LP)이 있다. 선형계획법은 수송문제로부터 발전 했는데, 2차 세계 대전 중에 전략용 물자나 자재의 수송을 합리화할 필요성에 의해 연구되기 시작 하여 발전된 가장 많이 사용하는 문제 해결 방법이다. 이 단계에서는 두 개의 문자 의 일차식으로 구성된 연립부등식의 영역을 좌표평면에 나타 내 보고, 선형계획법을 이용하여 이 영역에서 어떤 식의 최대값 또는 최소값을 구해보며, 심화활 동으로 3변수 이상의 조건식이 주어지는 경우도 다루어 본다. 학습 목표 준비물 최적화이론과 선형계획법을 설명할 수 있다. 실생활의 여러 문제 상황에서 선형계획법을 적용하여 최대값의 문제를 해결할 수 있다. 실생활의 여러 문제 상황에서 선형계획법을 적용하여 최소값의 문제를 해결할 수 있다. 교사용 학생용 필기도구, 활동지 Ⅱ. 해석 93

94 교수-학습활동 학습 단계 교수-학습 활동 예상 시간 유의점 도입 전체 주제에 대한 소개 및 동기를 유발 시킨다. 활동안내와 학습목표를 이해시킨다. 5 분 프로젝트 전체 과정에 대해서 설명하 고, 이를 이해하도록 한다. 학습 준비물을 확인한다. 의사결정 및 최적화하기 본 활 동 부등식의 영역의 이론적 역사적 배경 최적화 이론, 선형계획 실생활 속에서 부등식의 영역 문제 해 결하기 - 활동지 [놀이 기구 문제] - 활동지[식품에 포함된 열량] - 활동지[튀김닭과 옥수수의 열량 섭취 문제] - 활동지[이익이 최대가 되도록 결정하자] 선형계획법의 기본가정 및 한계 알아보기 심화활동: 3변수 이상의 조건 문제 - 활동지[식단문제] - 활동지[배합문제] 논의된 방법을 발표하고, 어떠한 방법이 효과적일지 전체 토론한다. 120 분 모든 학생들이 참여하도록 독려한다. 학생들의 활동이 문제의 본질에서 벗 어나지 않도록 유의한다. 학습목표 외적인 질문에서 학생의 의 견을 수렴하도록 노력하면서 수업의 방향으로 유도한다. 개인별, 모둠별로 조사하고자 하는 방 법의 다양성을 인정한다. 논리적 추론 근거의 중요성을 강조한 다. 3변수 이상의 조건이 주어지는 문제 는 결과보다는 사고과정에 주안점을 둔다. 교사는 학생들의 의견을 수렴하여 정리 하는 형식으로 설명하여 준다. 정리 최적의 선택을 위해 부등식이 어떤 역 할을 하는지 토의해 본다. 10분 학생들이 다양한 의견을 제시하고 적 극적인 참여할 수 있도록 유도한다. 주요 초점질문 1. 생활 속에서 대하는 문제에서 최대 최소값은 어떻게 구할 수 있을까? 2. 부등식의 영역을 그래프로 나태내고 최대값, 최소값을 구할 수 있는가? 3. 선형계획법을 이해하고 적용할 수 있는가? 94 영재교수 학습표준화자료

95 지도 활동 <의사결정과 최적화하기> 1 부등식의 영역의 이론적 역사적 배경 일상생활에서 여러 가지 가능성이 있을 때, 그 중에서 가장 적당한 것을 찾아내는 방법, 곧 의사 결정 변수(decision value)들 가운데서 가장 적절한 값을 찾아내는 것이 최적화 이론(optimization)이 다. 수학분야에서는 최적화의 문제를 일정 조건을 만족하는 영역에서 최대값과 최소값을 구하는 문제에서 주로 다루게 된다. 최적화의 문제는 예로부터 오늘날에 이르기까지 물건의 생산, 인력의 효율적인 배치 등 여러 가지 경제활동에 필요한 연구 분야이다. 2 최적화 이론 최적화(optimization) 이론과 그 해법은 일찍이 수학의 한 분야로서 유럽과 미국에서 여러 분야의 학자들에 의해 많이 연구되어 왔으며 제2차 세계대전 이후에는 산업, 군사, 행정 등의 여러 조직 에 적극적으로 활용되기 시작하여 생활에 많은 변화를 가져왔다. 사실 일상생활에서 무의식적으로 최적화의 개념을 인식하고 있으며 그 해법 또한 나름대로 가 지고 있다. 예를 들어 어떠한 물건을 구입하려 할 때 우리는 몇 가지 대안 중에서 구입이유, 사용 기간, 애프터서비스 사용대상, 구입가격 등의 여러 조건을 비교 검토한 후 결정을 내리게 된다. 물 론 수학적인 기호나 컴퓨터를 통한 계산은 하지 않고 정형적인 모델은 수립하지 않더라도 그 방 법론에 있어서는 최적화 기법이 그대로 적용되고 있다고 할 수 있다. 더욱이 생활주변에서 최대의 효과, 최소의 비용, 최적의 선택 등의 단어를 자주 접하고 있다. 그러나 최적화 기법을 체계적인 접근방법으로 이용하여 의사결정을 하기는 그리 쉬운 일이 아니 며 또한 그 결정의 질을 평가하기도 무척 어려운 일이다. 현재 선진국에서 최적화 기법을 가장 폭넓게 사용하고 있는 분야는 생산 및 재고관리, 공장 내 기계 및 설비 배치, 생산 공정 관리, 도시 건설, 도로 건설, 교통 통제 시스템 수립, 철도 항공 해운 등의 운항 노선 결정, 운항 계획 수립, 승무원 관리 계획, 송전 배선 네트워크 수립, 상하수도 파이 프 네트워크 수립, 프로젝트 관리, 인력 수급 계획, 컴퓨터 전화 또는 인공위성 등의 통신망 구성, 전자 회로 디자인, 화학 물질 배합, 정유 공정, 물류 센터 위치 선정, 물류 수송 계획 등과 같이 다 양하게 있으나 우리나라에서 실질적으로 모델 정립 및 해법을 통한 솔루션 이용은 그렇게 많지 않은 편이다. Ⅱ. 해석 95

96 그러나 제품의 질을 향상시키고 원가를 절감하여 산업의 경쟁력을 키우며 공공서비스의 향상을 통해 삶의 질을 높여야 하는 것이 우리가 당면한 시급한 과제 중 하나이므로 최적화 기법의 올바 른 이해, 폭넓은 연구와 적용이 절실히 필요하다고 할 수 있다. 또한 일본 등 선진 외국에서는 이러한 기법을 이용하여 모든 경작지에 지하수로 건설을 시도하 려고 한다. 이러한 문제에서는 일정한 수압을 유지시키기 위한 펌프의 위치와, 용량결정과 지역마 다 다른 수요에 대응하는 파이프의 지름을 결정하여 적절한 양의 물을 항상 공급함으로써 농작물 생산에 일대 혁신을 꾀하려 하고 있다. 이들과 유사한 형태의 문제 중에서 현재 우리나라에서 가 장 관심의 대상이 되고 있는 부문은 인공위성, 전화, 컴퓨터 등의 통신 네트워크라고 할 수 있다. 3 선형계획법 1939년 러시아 수학자인 칸토르비치(Kantoro-vich)는 그의 논문 조직과 생산 계획에서의 수학적 방법 에서 여러 가지 생산 계획의 문제는 같은 유형의 수학적인 문제로 형식화하여 해결할 수 있 음을 시사하였다. 1941년 히치콕(Hitchcock)은 대표적인 선형계획 문제의 하나인 수송 문제를 수식화하여 해법을 제공 하였고, 1945년 스티글러(Stigler)는 최소의 비용으로 영양을 섭취하는 다이어트 문제(Diet problem)의 해법을 다루었다. Dantzig 제2차 세계대전 중 영국에서는 과학자들로 하여금 부족한 전시물자 문 제를 연구하도록 하였으며, 미국 공군에서는 군수물자 배급 문제를 해결 하기 위한 연구팀을 구성하였다. 이 연구팀의 일원인 단지그(Dantzig)는 1947년 선형계획 문제의 해법인 단체법(The Simplex Method of Optimization) 으로 수학계에 큰 공헌을 하게 되었으며 미 공군에서 계산기에 의존하던 수 많은 문제를 해결해 주었다. 그의 이론이 발전하여 선형계획법이라는 학문으로 정착을 하였으며 경제뿐만 아니라 실생활에도 많은 발전을 초래 하였다. 선형계획 문제는 단체법으로 그 수학적 해법은 마련되었지만 미지수가 그리 많지 않은 경우에 도 손으로 계산하기에는 그 계산량이 엄청나기 때문에 컴퓨터의 도움이 없이 실제 문제를 해결하 기는 어려웠다. 다행히 거의 같은 시기에 컴퓨터가 출현하였고 이에 따라 복잡한 계산이 가능해지면서 단체법 96 영재교수 학습표준화자료

97 은 경영경제 분야에서 크게 주목을 받기 시작하였다. 1951년 이후 선형계획 문제는 이론적인 연구와 실제적인 응용이 본격화 되었다. 게일(Gale) 등은 최소 문제를 최대 문제로, 최대 문제를 최소 문제로 바꾸어서 그 해법을 구하는 쌍대 문제에 관한 이론을 연구하였고, 쿠퍼(Cuper)는 선형계획 문제를 산업공학에 응용하여 산업공학 분야 발전에 큰 기여를 하였다. 4 선형계획법의 이론적 구조 가. 선형계획의 최대 문제 과 같은 개의 제약 조건 아래에서 1 2 의 값을 최대로 하는 를 구하는 문제를 선형계획법의 최대화 문제라고 한다. 위의 일차형식 2를 목적함수라 하고, 제약조건 1을 만족하는 해 를 가능해(feasible solution)라고 한다. 가능해 중에서 2의 값을 최대로 하는 것을 이 문제의 최적해(optimal solution)라 고 한다. 나. 선형계획의 최소문제 과 같은 개의 제약 조건 아래에서 3 4 의 값을 최소로 하는 를 구하는 문제를 선형계획법의 최소화 문제라고 한다. 위의 식 4를 목적함수라 하고, 제약조건 3을 만족하는 를 가능해라고 한다. 가능 해 중에서 4의 값을 최소로 하는 것을 이 문제의 최적해라고 한다. 최소문제 3, 4의 부호를 바꾸면, 실질적으로 변하지 않지만 형식적으로는 최대화 문제로 된다. Ⅱ. 해석 97

98 <지도초점> 최대화, 최소화의 정의를 설명한 후 학생들이 직접 최소화 문제를 최대화 문제로 유도하게 한다. 1) 최소화 문제는 최대화 문제로 귀착될 수 있다. 최소화 문제의 식 3, 4를 이용하여 최대화 문제로 바뀌 는 과정을 설명하여 보자. 예상되는 답) 과 같은 제약 조건 아래에서 의 값을 최대로 하는 를 구하는 문제로 된다. 따라서, 최소화 문제는 최대화 문제 로 귀착될 수 있다. 선형계획법의 적용 1 <놀이 기구 문제> 지명이는 친구들과 함께 놀이기구를 타러 놀이동산에 갔다. 놀이 기구 P, Q 를 한 번 타는 데 요금은 각각 800원, 1200원이고 시간은 각각 10분, 5분씩 소요된다. 지명이가 놀이동산에서 놀 수 있는 시간은 40분 정도이고 쓸 수 있는 돈은 4,800원이다. 이 조건에서 지명이는 놀이기구 P, Q를 최대한 많이 타기를 원한다. (단, 놀이기구를 타기 위해 기다리는 시간은 없는 것으로 가정하자.) 1) 놀이 기구 P, Q를 한 번 탈 때, 요금과 시간 사이의 관계를 표로 나타내어 보시오. 구분 놀이기구 P Q 요금(원) 시간(분) <지도초점> 복잡한 조건을 간단한 표로 정리할 수 있도록 한다. 98 영재교수 학습표준화자료

99 예상되는 답) 놀이기구 구분 P Q 요금(원) 시간(분) ) 지명이가 놀이기구 P, Q를 타는 횟수를 각각 라고 할 때, 사이의 연립부등식을 구하시오. <지도초점> 1. 복잡한 조건을 연립부등식으로 나타낼 수 있도록 한다. 2. 방정식으로 세우지 않도록 하며, 부등식을 세워서 조건에 맞는 것을 구할수 있도록 한다. 예상되는 답) 3) 이 연립부등식을 좌표평면에 그려 보시오 O <지도초점> 연립부등식을 좌표평면에 영역으로 나타낼 수 있도록 한다. 예상되는 답) (3, 2) 0 3. Ⅱ. 해석 99

100 4) 놀이 기구 P, Q의 이용 가능한 횟수에 해당하는 좌표 를 찾아보고, 그때 소요되는 비용과 시간을 구해 보시오. 구분 이용 횟수 비용 시간 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 예상되는 답) 구분 이용 횟수 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 2) 비용 2,000 3,200 4,400 2,800 4,000 3,600 4,800 시간 ) 지명이는 놀이 기구 P, Q를 각각 몇 번씩 타야 최대한 많이 탈 수 있는가? <지도초점> 조건에 맞는 함수의 최대값을 구하도록 한다. 예상되는 답) P : 3회, Q : 2회 선형계획법의 적용 2 <식품에 포함된 열량> 다음은 우리가 흔히 접하는 식품에 포함된 열량을 1인분 기준으로 조사 1) 한 것이다. (단위 : cal) 식사 반찬 후식 식품 열량 식품 열량 식품 열량 쌀밥 325 근대된장국 50 사과(1개) 175 라면 525 김치찌개 125 아이스크림 200 김밥 475 불고기 150 우유 125 자장면 500 배추김치 25 콜라 100 1) 출처: 승정자 외 4인(1998), 칼로리 핸드북, 이벤트 박스 100 영재교수 학습표준화자료

101 1) 어떤 사람이 위의 표에 있는 음식 중에서 식사, 반찬, 후식을 하나씩만 택할 때, 섭취할 수 있는 열량의 최대값과 최소값을 갖는 음식의 조합과 그 값을 구하자. 풀이) 최대값은 식사, 반찬, 후식 중에서 열량이 가장 많은 것으로 택하고, 최소값은 열량이 가장 적은 것으로 택한다. (1) 라면, 불고기, 아이스크림을 택하면 총열량은 cal 로 최대값이다. (2) 쌀밥, 배추김치, 콜라를 택하면 총열량은 cal 로 최소값이다. 2) 스케이팅을 할 때 몸무게 5kg당 1분에 1cal가 소모된다고 한다. 몸무게 50kg인 사람이 1시간 동안 스케 이팅을 한 후에 소모된 열량을 채우기 위하여 식사, 반찬, 후식을 하나씩 택하였다. 가장 근접하는 경우 를 생각하고, 이 때, 남은 열량 또는 모자라는 열량을 계산하여 보자. 풀이) 소모된 열량은 cal 이므로 김밥, 배추김치, 콜라를 택하여 먹으면 총열량 cal 를 채울 수 있다. <지도초점> 1. 주어진 표와 조건을 만족하도록 식단을 짜야 함을 강조한다. 즉, 부등식의 영역 내에서 구하 려는 최대값, 최소값의 중요성을 인식하게 한다. 2. 다른 경우를 택하여 남거나 모자라는 열량을 각자 계산하여 보게 한다. Ⅱ. 해석 101

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