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1 수학의 재조명 <수학의 재조명>은 저자가 자기의 전공 혹은 기초분야에서 한 가지 주제를 택하여 타 전공 수학자가 이해 할 수 있도록 기원부터 응용까지의 내용을 소개하는 글로 논문의 형식에 가깝게 쓴 글입니다. 이번 호에 는 양자 정보, 양자 계산에 대하여 를 소개합니다. 양자 정보, 양자 계산에 대하여 지동표 (서울대학교) 20세기에 이루어진 물리학 발견 중 양자역학과 상대 성이론이 그 심오함이나 영향력에서 가장 두드러진 것 이라 하겠다. 상대성 이론은 천재 아인슈타인 개인이 이룬 업적인 데 비해 양자역학은 프랑크, 보어, 아인슈 타인, 슈레딩거, 디락, 하이젠버그 등에 의하여 이루어 졌다. 이 중 우리의 일상생활에 미친 영향은 양자역학 이 훨씬 더하다. 컴퓨터, TV, 전화 등 현대 문명의 이 기 대부분이 양자역학의 산물이라 할 수 있고 현재 우 리가 누리고 있는 지식 정보 사회가 가능한 것도 양자 역학 덕분이다. 양자역학이 우리의 생활 여러 방면에 이렇게 많은 기여를 하고 있지만 양자역학 세계는 우 리의 직감과 너무 동 떨어져 이를 이해하는 것은 아직 우리의 능력을 넘어 서고, 대부분의 물리학자들도 양자 역학을 사용할 뿐 이해하려고 하지 않는다. 일찍이 파 인만도 이 세상 어느 누구도 양자역학을 이해할 수 없다 라고 하였다. 최근 소형화에서 극소형화로 발전하고 있는 반도체 기술의 발전은 멀지 않아 1비트 (bit, 0이나 1의 정보) 에 필요한 원자수가 수 개 내외로 될 것이다. 이러한 미시세계에서의 정보 처리에 있어서는 양자현상을 피 할 수 없게 된다.(지금까지 반도체 칩 설계에 있어서 양자 현상을 피하여 왔음). 한편, 양자현상은 고전현상 과는 아주 달라 지금 사용하고 있는 0과 1을 기본으로 하는 정보 처리 방법으로는 그 목적을 이룰 수 없다. 따라서 미시세계의 원리인 양자역학에 기반을 둔 새로 운 정보 처리방법을 만들어야 한다. 1. 양자역학이 고전역학과 다른 몇 가지 특징 양자역학에서는 상태(state) 0과 상태 1의 중간 상태 라 할 수 있는 이들의 일차결합( a 0> + b 1>로 표현) 도 상태 0이나 상태 1과 동등한 자격을 가진 상태이 다.(이에 비하여 고전적으로는 0혹은 1, 또는 찬이나 반 중 하나의 상태만 가능하다.) 이것만 하더라도 양자 역학은 괴상하다는 느낌을 갖지 않을 수 없다. 양자역 학의 두 번째 특징은 선형성(linearity)에 있다. 선형성 이란 일차결합을 보존한다는 것을 말하며 양자역학에 나오는 모든 연산(operation)은 선형적이다. 또 다른 특징은 주어진 계를 관측하면 관측후의 계의 상태는 관측결과에 따라 다른 상태로 전이된다는 것이다. 이는 극한적으로는 계에 아무런 영향을 미치지 않고 관측할 수 있다는 고전역학과는 사뭇 다르다. 끝으로 양자역학 의 비국지성(non-locality)을 들 수 있다. 비국지성이 란 위치적으로 떨어진 두 계가 어떤 상태를 나누어 가 2 대한수학회소식 제 106호

2 지고 있으면 이중 한 계에만 적용한 측정 작업이 멀리 떨어진 다른 계의 상태에 영향을 미친다는 것이다. 이 는 물리학의 불문율인 인과율에도 어긋나는 것 같아 보인다.(아인슈타인은 양자역학의 이 부분에 대하여 특 히 강한 불만을 가졌다.) 이와 같은 점들이 고전역학으 로 살아가는 우리에게 양자역학의 세상이 괴상하게 보 이게 하고 이를 이해할 수 없게 한다. 이러한 양자 현 상들은 양자역학을 정의하는 몇 가지 간단한 기본 공 리로부터 나온다. 사실, 이러한 수학적 공리들이 양자 역학이란 무엇인가에 대한 답을 제공해 주기 보다는 수많은 실험들이 그 공리에서 벗어나지 않으며, 그 공 리들로부터 자연스럽게 설명된다는 것에 초점을 맞추 어야 한다. 그 공리는 다음과 같다. - 첫째, 우리가 다루고자 하는 양자계를 기술하기 위 하여 복소수체 상에서의 힐버트 공간(유한 차원 혹 은 무한차원)을 도입한다. 모든 양자상태(quantum state)는 이 힐버트 공간의 크기가 1 인 벡터 ψ> 로 표현된다. 여기서 ψ> 는 양자역학에서 사용되는 Dirac notation 으로 힐버트 공간에서의 단위 열벡터(unit column vector)를 의미하며 <ψ 는 ψ> 의 공액 전치(hermitian conjugate)된 행벡터(row vector), 즉, ψ> 이다. - 둘째, 양자상태의 시간에 따른 변환(time evolution) 은 유니타리(unitary) 변환으로 표현한다. 이는 슈뢰 딩거 방정식으로부터 유도되는 것이기도 하며 결국 모든 양자연산은(quantum operation) 힐버트 공간 의 내적(inner product)을 유지하는 선형변환이다. - 셋째, 관측(observable)은 self-adjoint 작용소로 기 술된다. 즉 관측이라는 것은 우리가 구별해낼 수 있 는 것을 보는 것으로, 예를 들어 동전의 앞과 뒤를 각각 0>과 1>로 표현할 때, 이를 관측하기 위해 self-adjoint 작용소 a 0>< 0 + b 1>< 1 를 도입한다. - 넷째, 측정(measurement)은 힐버트 공간의 정규 직 교 기저(orthonormal basis)를 축으로 한 정사영으 로 정의된다. 이 때 양자상태가 특정 축에 대해 측 정될 확률은 그 축에 대한 내적 크기의 제곱으로 정 의된다. 0>과 1>의 일차결합으로 표현되는 양자 상태 a 0>+b 1>를 { 0><0, 1><1 }로 측정한 경 우, 0>이 관측될 확률은 a 2 이 되고 측정후의 상 태는 이 된다. 2. 정보의 계량화 20세기에 들어 와서 이루어진 또 다른 과학 혁명에 는 정보의 계량화이다. 그 전까지는 정보의 가치를 그 저 감성적으로 이해하던 것을 1945년경 미국의 샤논 (Shannon)은 정보의 가치를 엔트로피(entropy)라는 수 학적 함수로 계량화하였다. 어떤 정보의 엔트로피란 주 어진 정보를 될 수 있는 데로 압축하여 0과 1로(이를 bit라 한다.) 표현할 때 필요한 bit 수이다. 좀 더 구체 적으로, 0과 1이 발생할 확률이 각각 p 와 q =1-p 일 때, 샤논 엔트로피는 - p log p-q log q 이다. 주 어진 정보가 언제나 0인 것이면, 엔트로피가 0이며, 사 실상 정보가 없다고 볼 수 있고, p = q = 1/2 인 경우 는 엔트로피가 1이며, 이러한 정보를 표현하기 위해서 는 최소한 1 bit 의 메모리가 있어야 표현할 수 있다 는 것을 의미한다. 따라서 복잡한 정보는 엔트로피가 크다 할 수 있으며 이러한 엔트로피를 통하여 정보를 질량이나 에너지, 운동량과 같은 수량화 된 물리량으로 만들었다. 정보의 계량화는 양자역학이나 상대성이론 같이 현란하지는 않으나 암호기술, 데이터 압축 기술, 커뮤니케이션 등 현대의 컴퓨터 과학 중 많은 부분이 이로부터 비롯된다고 할 때 현재의 우리의 정보 지식 기반사회에 많은 영향을 주고 있다. 최근 이론에 의하 면 우주의 근본이나 블랙홀을 연구할 때에도 엔트로피 가 중요한 물리적 량으로 이해되고 이들의 형성이나 미래가 엔트로피에 크게 의존한다. 어떤 물리학자는 우 주 자체를 정보로 이해하려는 시도를 하고 있다. 3. 양자 정보란? 지금부터 이야기할 양자정보, 양자계산이란 바로 20 세기에 탄생된 두 개념, 양자역학과 정보의 종합적인 한 형태라고 할 수 있다. 정보나 계산이 궁극적으로는 물리적 계에서 수행되 기 때문에 물리학의 근본인 양자역학과 정보이론이 결 합하는 것은 당연한지 모른다. 이미 양자역학 초창기에 도 새 물리에서는 정보에 대한 고전적 생각이 바뀌어 야 한다고 이해되었다. 앞에서 언급하였다시피 양자역 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 3

3 학에서는 물리계에 대한 정보 취득 행위는 필연적으로 그 계를 흐트러뜨린다. 정보 취득과 계의 흐트러짐의 상호교환은 양자역학적 무작위 표본 추출이라고 할 수 있다. 따라서 일반적으로 측정한 결과로부터 계의 초기 상태를 알 수 없다. 또한 정보 취득 행위가 필연적으로 계를 흐트러뜨린다는 것은 양자역학적 정보는 완벽하 게 복사될 수 없다는 것을 말한다. (만일 완벽하게 복 사할 수 있으면 원본 대신 복사본을 가지고 측정을 함 으로서 원래 계를 흐트러뜨리지 않고 측정을 한 셈이 된다. 이는 양자역학의 기본 공리에 어긋난다.) 임의의 양자상태를 복사하는 것이 불가능한 것 (no-cloning theorem) 은 양자역학의 선형성 때문이다 [1]. 만약, 서로 다른 양자상태 Ψ, Φ 를 복사하는 것이 가능하자고 해보자. Ψ 0 0 Ψ Ψ δ Φ 0 0 Φ Φ ε Ψ, Φ 의 일차결합인 α Ψ +β Φ 을 복사하고자 한다면, (α Ψ +β Φ ) 0 0 = α Ψ 0 0 +β Φ 0 0 α Ψ Ψ δ +β Φ Φ ε 이 될 것이다. 그러나 이것은 (α Ψ +β Φ )(α Ψ +β Φ ) η =(α 2 Ψ Ψ +αβ Ψ Φ +βα Φ Ψ +β 2 Φ Φ ) η 와 다른 것이 된다. 양자역학에서의 연산은 유니타리(unitary) 연산이므 로 다음을 만족해야 한다. 다르다. 한편, 1964년 벨은 비국지성 때문에 양자정보와 고 전 정보와는 근본적으로 다르다는 것을 실험으로 확인 할 수 있는 수식을 만들어냈다. 특히 벨은 고전계의 확 률 분포가 만족하여야 할 부등식을 얻었다. (이를 벨 부등식이라 한다.) 그리고 어떤 양자계는 이 부등식을 만족하지 못한다는 것을 보였다. 벨 부등식은 다음과 같다. Alice와 Bob이 어떤 상태를 각각 두 가지 방법으로 측정하여 그 결과가 +1 혹은 -1을 갖고 고전적 확률 을 따른다고 가정하자. 이들을 ±1을 값으로 가지는 고 전적 확률변수 로 나타내자. 이 때 혹은 -2가 되어 이의 기댓값의 절대값은 E(ab+ a'b+ a'b'- ab') 2 (이 를 벨 부등식이라 한다)이 언제나 성립해야 한다. 그러 나 양자계에서는 Alice와 Bob이 Bell 상태를 특정한 방법으로 측정하면 대응되는 양자역학적 기대 값이 2 보다 크게 되는 것이 가능할 수 있다. 즉 벨 부등식이 파괴될 수 있으며 이것이 바로 양자계의 비국지성을 말해주는 것이다. 이런 양자계가 1985년 불란서의 Aspect등에 의하여 실험적으로도 실현되어 고전적 확률로서 양자역학을 이해하려고 노력하였던 아인슈타인 등에 의하여 제안 된 국지적 숨은 변수(local hidden variable) 이론이 근본적으로 양자 현상을 설명하지 못하다는 것을 실험 이 확인한 것이다. (어떤 과학철학자는 벨 부등식이 형 이상학적 관념을 실험으로 판단할 수 있게 한 과학철 학사의 가장 심오한 발견 으로 말하기도 한다.) 이는 양자 정보는 그 대부분이 주어진 물리계의 각 성분이 아니라 서로 다른 성분 사이의 상관관계에 담아져 있 다는 것을 보인 것이다. 고전 정보계에서는 이런 일이 있을 수 없다. Φ Ψ = Φ Ψ 2 ε δ 4. 양자 계산 이 등식을 만족하기 위하여는 Φ Ψ =0, 즉, 두 상태가 직교하여야 한다. 즉 두 상태가 직교할 경우에만 복사할 수 있고, 일반적인 양자상태는 정확 히 복사할 수 없다. 이는 copy 명령으로 file을 마음 대로 복사할 수 있는 우리들 PC의 정보처리와는 전혀 고전적으로 자유도(degree of freedom)가 3인 N 개의 물체를 기술하는 데에는 6N 차원의 실수 공간이 필요하다. 이에 비하여 양자 자유도가 3 (3-level system이라 불리 움) 인 N 개의 물체의 양자역학을 4 대한수학회소식 제 106호

4 기술하는 데에는 3 N 차원의 복소수 공간이 필요하다. 즉 고전계는 기술하는 공간의 차원이 물체 수에 따라 일차적으로 증가하는 반면 양자계에 있어서는 차원이 지수적으로 증가한다. 따라서 고전적 계산으로는 양자 현상을 효과적으로 기술할 수 없다. 바로 이 점에 착안 한 파인만은 거꾸로 양자역학을 이용하여 고전계산을 효과적으로 할 수 있지 않을까 하는 제안을 하였다. 파 인만 생각은 1985년 옥스퍼드의 도이치에 의하여 더 구체적인 형태로 만들어 졌다. 양자계산기는 공간을 한 꺼번에 움직이는 선형연산에 의하여 수행되기 때문에 (이를 양자 병렬성이라고 한다.) 이를 이용하여 고전적 으로는 불가능한 여러 계산능력을 갖는다. 어떤 함수 f ( x)가 주어졌을 때 f ( x)의 성질을 알기 위하여 f ( x)의 값을 하나씩 구하지 않고 f 에 대응되는 양자 연산을 잘 구성하여 (이것이 양자 알고리즘이다) 고전 계산보다 훨씬 빠르게 f ( x)의 성질을 알아 낼 수 있 다. 이와 같은 양자 병렬처리에 대하여 좀더 구체적으 로 살펴보면 다음과 같다. 1) 양자 병렬처리(Quantum parallelism) 우선 양자 컴퓨터에서 함수를 계산하기 위해서 우리 는 두 개의 양자 레지스터(quantum register)가 필요 하다. 그중 첫 번째 레지스터(control register)는 입력 데이터를 저장하는 것이고, 두 번째 레지스터(target register)는 출력 데이터를 저장하는 것이며 함수의 수 치를 구하기 위해서는 유니타리 작용소인 함수 계산 작용소(function evaluation operator) U f : x> y > x > y + f(x)> 를 사용한다. 이 함수 계산 작용소 U f 는 고전적으로 함수 값을 하나하나 계산 하는 것이 아니라 한 번에 모든 중첩(superposition)된 상태의 함수 값을 계산할 수 있다. 그러기 위해서 다음의 유니타리 작용소 왈쉬 -아다마르(Walsh-Hadamard) 변환 W : x > 1 2 n -1 2 (-1) x y y > n y =0 을 사용하면, 한 상태(state)로서 모든 입력 값의 중첩 (superposition)을 준비할 수 있고, 그 함수 계산 작용 소를 단지 한번 작용함으로써 모든 함수 값에 관한 정 보가 들어있는 양자상태를 구현할 수 있다. 이것이 바 로 자연스러운 양자 병렬처리(quantum parallelism) 이다. 0 n > 0> W n I 2 n i> 0> U f n i =0 2 n i> f(i)> n i =0 그러나 양자 병렬처리(quantum parallelism)를 사용 하여 그 함수 값에 대해서 입력 값에 의존하는 임의의 연산을 취하여 계산된 모든 출력 값을 한 상태에 다 담고 있다 하더라도 어떠한 양자 측정도 그 모든 계산 된 값을 전부 추출할 수는 없으나 함수의 주기와 같은 출력 값의 광역적인 성질에 대해서 그 함수에 대한 정 보를 얻어낼 수 있는 방법이 존재한다는 것 자체에 중 요한 의미가 있다고 하겠다. 또한 이 때 이용되는 양자 역학적 성질은 양자상태의 선형성과 비국지성이다. 양 자얽힘(Entanglement)이라 불리우는 양자상태의 비국 지성은 아인슈타인이 끝까지 양자역학에 대하여 불만 을 가졌던 성질이다. 이는 앞에 언급된 양자정보의 비 국지성이기도 하다. 양자 계산, 양자 정보 처리란 바로 양자상태의 비국지적 상호 관계를 잘 이용하는 것이다. 이와 같이 고전적인 계산방법과의 본질적인 차이를 보여주는 양자역학적 정보처리나 양자계산이론을 적절 히 이용하면 획기적이고 충격적인 효과를 기대할 수 있으며 그중 처음이자 대표적인 예가 1994년 미국 MIT 수학부의 피터 쇼어 (Peter Shor)에 의한 양자 소인수 분해(factorization)) 계산법이다[2]. 우리 모두 알다시피 소인수 분해란 주어진 수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 소인수 분해 문제는 해가 주어 지면 쉽게 확인할 수 있으나 그 해를 찾는 것은 아주 힘든 문제이다. 예를 들어 두 수 1,043과 16,453의 곱 이 200,949,083이 됨을 쉽게 알 수 있으나 거꾸로 곱 해서 200,949,083이 되는 두 수를 찾는 것은 무척 힘 들다. 소인수 분해에 대하여 지금까지 알려진 제일 좋 은 고전적 계산 방법으로도 주어진 수의 자릿수 n 에 대하여 약 e n 1/3 정도 시간이 필요하며, 이는 현재의 기술로 130 자리 수의 약수를 찾아내는 데 많은 워크 스테이션을 이용하여 병렬 계산하더라도 1 개월 정도 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 5

5 의 시간이 필요하다. 또한 400자리 수의 약수를 찾아 내는 데에는 약 년 (우주 나이 정도)이 걸려, 현재 의 컴퓨터 기술이 아무리 발달하여도 400 자리 수를 소인수 분해하는 일은 얼마 동안 인간 능력 밖이다. 소 인수 분해 문제는 수학적으로만 중요한 문제가 아니라 현재 은행 거래나 인터넷 거래에서 가장 널리 쓰이는 RSA 공개키 암호체계의 기본이다. 따라서 쇼어가 발 견한 양자 소인수 분해법(자리수가 n 인 자연수를 소 인수 분해하는 데 약 n 3 정도의 시간이 걸림)은 RSA 암호 체계의 붕괴를 의미한다. 만일 양자 계산기 가 쇼어 계산법을 사용하여 130 자리 숫자를 1시간에 소인수 분해하면 400 자리 숫자를 소인수 분해하는 데 에는 24 시간 정도 걸릴 것이다. 이는 아직 긴 시간이 지만 우주의 나이 보다 훨씬 짧은 시간이다. 물론 실용 성 있는 양자계산기가 만들어지지 않아 아직 이런 양 자소인수 분해는 할 수 없다. 이제 이러한 양자 컴퓨터의 놀라운 계산능력을 보여 주는 쇼어 알고리즘을 비롯하여 몇 가지 알고리즘에 대해서 구체적으로 살펴보도록 하자. 2) 쇼어(Shor)의 소인수분해 알고리즘 양자역학적 성질을 이용한 대표적인 알고리즘으로 평가받는 쇼어(Shor)의 소인수분해 알고리즘은 근본적 으로 주어진 함수의 주기를 효율적으로 빨리 찾는데 있으며, 이는 양자 푸리에 변환(quantum Fourier transform) QFT : x > 1 2 n -1 2 e n y =0 2π ixy 2 n y > 의 성질을 이용한 것이다. 이 알고리즘은 주어진 정수 N 에 대하여 N 2 <2 n <2N 2 을 만족하는 n 을 선택하고 N 보다 작은 임의의 수 y 를 선택하는 것으로부터 시작된다. 구체 적인 소인수분해 알고리즘은 다음과 같다. 0 n > 0> QFT I 2 n a> 0> n a =0 U F N 2 n a n a =0 > ya (modn )> 여기에서 F N(x)=y x (mod N) 이다. 위의 식에서 마지 막 상태의 두 번째 레지스터를 측정하여 z를 얻었다면 0부터 A (r 은 Z N*에서 y 의 차수이고 A 는 (2 n -l)/r 보다 작은 가장 큰 정수)까지의 정수 j 에 대하여 z=y jr+l (mod N ) 되는 가장 작은 정수 l 이 존재한다. 이제 두 번째 레지스터를 무시하면, 첫 번째 레지스터 의 상태는 다음과 같이 된다. φ l >= 1 A +1 j A jr+ l>= 2 n -1 f(a) a > =0 a =0 여기에서 f(a) 는 r (a-l) 이면 (A+1) -1/2d 을, 그렇지 않다면 0을 값으로 갖는 함수이다. 이 상태(state)에 양자 푸리에 변환을 취하면 그 상태는 다음과 같이 변 한다. 2 n n c =0 2 n -1 e 2πi ac 2 n f(a) c >= 1 a =0 r -1 r e 2πi lj r j =0 2 n r j > 이 상태를 관측하여 c 를 얻는다면 c는 0과 r 사이의 적당한 s 에 대하여 s 2 n /r 이 되고 s/r=c/2 n 이라는 식을 얻게 되는데, s 와 r 의 최대공약수가 1이라면 이 식은 기약분수로 쓸 수 있다. 이때, s 와 r 의 최대 공약수가 1일 확률은 (log N) -1 보다 크다. 일반적으로 이런 c 를 관측할 확률은 다음과 같다. 1 2 n (A+1) j A e 2π rcj ( modq) i 2 n =0 2 rc (mod 2 n ) 이 r/2 보다 작거나 같은 c 들의 집 합을 C라 하면, C 에 있는 각각의 c 에 대해서 2 n c'-rc r 2 (*) 이 되는 자연수 이 유일하게 존재한다. 따라서 C 는 정확하게 r 개의 원소를 가지고, c와 c' 사이에는 일대일 대응관계가 있으므로 c' 을 얻을 확률은 c를 얻을 확률 과 같다. 그러므로 다음과 같은 부등식을 얻을 수 6 대한수학회소식 제 106호

6 있다. 3) 그로버(Grover)의 자료검색 알고리즘[3] Pr(c')=Pr(c) 4 π 2 r 한편, 부등식 (*)을 다시 정리하면 다음과 같다. c 2 n - c' r 1 2 n N 2 1 2r 2 (**) 여기에서 c'/r은 c/2 n 의 연분수 전개로 볼 수 있으므 로, c'과 r의 최대공약수가 1이라면 우리는 r 의 값을 얻을 수 있다. 따라서 부등식 (**)을 이용하면 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다. Pr (c C and gcd(c',r)=1) 4 φ(r) π 2 r 4 π 2 logn 그러므로, 위의 확률로 주어진 N의 약수를 구할 수 있다. 이제 소인수분해 알고리즘의 효율성은 다음과 같다. 어떤 알고리즘이 1-p 의 확률을 가지고 성공적으로 일을 수행한다고 하면, p는 입력 값 N 과는 독립적이 므로, 그 알고리즘을 k번 반복해서 성공률을 1-p k 로 높일 수 있다. 따라서 반복횟수를 충분히 크게 잡음으 로써 성공률을 임의로 1에 가깝게 할 수 있다. 쇼어 (Shor)의 소인수분해 알고리즘도 마찬가지여서, 이 효 율적인 확률론적 알고리즘을 O((log N) 2 )번 반복하면 높은 성공률을 가진 알고리즘을 얻을 수 있다. 양자 푸리에 변환을 이용하여 주기함수의 주기를 효 과적으로 빠르게 찾을 수 있다는 사실의 응용으로 비 단 소인수분해 문제의 효과적인 해결뿐만 아니라, 최근 Caltech 의 Sean Hallgren 등은 오랜 기간 수학적으 로 어려운 문제라 알려져 온 Pell equation의 자명하 지 않은 정수해를 찾는 문제나 대수적 수체(algebraic number field)위에서의 주 이데알 문제(PID Problem) 등을 빠른 시간에 해결할 수 있는 양자 알 고리즘을 들 수 있다[4]. 쇼어(Shor)의 소인수분해 알고리즘과 더불어 양자계 산이 수행할 수 있는 또 다른 경이적인 계산에는 데이 터베이스 찾기가 있다. 가령, 병 앞에 돌 99개, 사탕 1 개가 있다고 할 때 사탕을 꺼내기 위하여 약 50번 이 상 찾아야 할 것이다. 일반적으로 N 개의 데이터 중 원하는 것이 1개일 때 약 N 번 정도 찾아야 할 것이 2 다. 그런데 양자역학은 약 N 번 정도에 거의 확률 1 로 찾기를 수행할 수 있는 계산법을 마련해 준다. 앞에 서 나온 사탕 찾기 경우 약 10번 정도 찾으면 사탕을 찾는다는 이야기다. 이는 그렇게 큰 이득이라고 생각하 지 않을 수 있으나 만일 원하는 데이터가 100만개중 하나일 때 50만 번과 1000 번은 아주 큰 차이이다. 그런데 양자역학 세계에서도 시행 회수를 N 보다는 더 낮출 수 없다는 것이 증명되었다. 이제 간단한 한 가지 예(4개의 자료 중에서 검색하 고자 하는 자료의 수는 1개인 경우)를 이용하여 그로버 (Grover)의 자료검색 알고리즘에 대해 알아보자. 이러 한 경우에 고전적으로는 평균적으로 2번, 최악의 경우 4번까지 질의 (query) 해야 한다. 그러나 이 알고리즘 에 의하면 단 한번의 질의(query)로 원하는 자료를 얻 을 수 있다. 구체적인 알고리즘에 대해서 살펴보도록 한다. 먼저 양자 병렬처리를 이용하여 다음과 같은 상태 (state)를 준비한다. s >= x =0 x> 0부터 3 사이에 있는 어떤 값 w 를 모른다고 할지 라도, 상태(state) w>가 기저 중 하나 이므로 다음과 같은 식이 만족하는 것은 알 수 있으며 <w s> = 1 2 =sin30 이로부터, 기하학적으로는, s >는 w >에 수직인 축 으로부터 30도 떨어져 있음을 알 수 있다. 양자 오라 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 7

7 클(quantum oracle)로부터 작용하는 변환 U w를 I-2 w >< w, 그리고 U s를 2 w >< w -I 라 하고, 그 로버 반복(Grover iteration) R grov를 U su w라고 하자. U w는 상태(state) w >의 부호를 반대로 해주며 다른 어떠한 기저 상태에 대해서도 영향을 주지 않는다. 그 리고 U s는 상태(state) s >와 직교하는 벡터의 부호를 반대로 해주며 s >는 그대로 보존한다. 따라서 그로버 반복(Grover iteration) R grov라는 변환은, 기하학적으 로, s >와 w >로부터 생성되는 평면에서의 60도 회전 변환임을 알 수 있다. 그러므로 상태(state) s >에 그 로버 반복(Grover iteration) R grov을 한번 취하면, R grov s > 와 w >는 같은 직선상에 놓이게 되고, 따라서 그 상태(state)를 측정하면 확률 1로 w >를 관측할 수 있게 되는 것이다. 그로버 반복(Grover iteration)은 또 다른 방법으로 설명할 수 있는데, 그것은 평균에 대한 반전 (inversion) 으로 이해하는 것이며 이를 간단한 그림과 함께 설명하면 다음과 같다. 여기에서 우리가 찾고 싶은 자료 w 를 1이라고 가 정한다. 먼저 (그림 1) 과 같이 0 > 상태(state)를 준비한다. (그림 2) 왈쉬-아다마르 변환 후의 상태 이러한 상태(state)에 양자 오라클(quantum oracle)로 부터 조건적으로 위상(phase)을 변환해주는 유니타리 작용소 U w - 조건적 위상 변환(conditional phase transform) - 을 취해주면, 양자 오라클(quantum oracle)에 의해서 계산된 함수를 f w 라 할 때, 즉, f w 가 w 에 대해서만 함수 값이 1 이고 나머지에 대 해서는 함수 값이 0 인 함수일 때, (그림 3) 에서와 같 이 변환되는 상태는 다음과 같이 된다. s >= x =0 (-1) f w(x) x> (그림 3) 변환 U w 를 취한 후의 상태 (그림 1) 초기상태 0> 그리고 나서 0 > 상태(state)에 왈쉬-아다마르 변환 (Walsh-Hadamard transform)을 취한다. 왈쉬-아다마 르 변환(Walsh-Hadamard transform)을 0 > 상태(state)에 작용시키면, (그림 2)에서 보는 바 와 같이 다음의 상태(state)로 변한다. 마지막으로, 평균에 대한 반전을 나타내주는 유니타리 변환 U s - 위상 확산 변환(phase diffusion transform) - 을 작용시키면, (그림 4) 처럼 원하는 w > 상태(state)만 남게 된다. 따라서, 이 상태(state) 를 서로 수직인 0 >과 1 >, 2 >, 3 > 상태(state)를 관측할 수 있는 측정을 사용하면 확률 1 로 원하는 상 태를 관측할 수 있게 되는 것이다. s >= x =0 x> 8 대한수학회소식 제 106호

8 하는 정도에 따라 분류할 수 있다. (이를 복잡성 (complexity) 문제라고 한다.) 시간이 다항식 정도 걸 리는 문제를 P (Polynomial)라 하고, 답을 쉽게 구할 수 있는 방법은 알려져 있지 않지만 주어진 답이 옳은 (그림 4) 변환 U s 를 취한 후의 상태 한편, 배우자 찾기와 같이 어떨 때에는 찾기를 여러 번 시도할 수 없을 경우도 있다. 본인 등은 전체의 데이타 N 개중 원하는 N 개 이상 있으면 1번 시도로 100% 4 확률을 가지고 찾기에 성공할 수 있는 알고리즘을 만 들었다[5]. 지금까지 현재 잘 알려져 있는 몇 가지 양자 알고리 즘에 대해서 알아보았다. 여기에서 소개된 이 양자 알 고리즘들에 대한 분석과 더불어 그 알고리즘들의 새로 운 해석이 시도되기도 하였고, 이 양자 알고리즘뿐만 아니라 이것들을 응용하여 여러 가지 문제에 대한 양 자 알고리즘이 많은 연구진들에 의해서 개발되었다. 이 것은 양자 알고리즘이란 분야가 다른 양자 계산 분야 와 마찬가지로 양자 컴퓨터의 우수한 능력을 과시하는 계속되는 시도가 있다는 것을 보여주는 것이다. 그러한 사실로부터 또 다른 놀라운 계산능력을 보여주는 새로 운 알고리즘의 개발을 기대해보는 것도 그리 무리한 일은 아니라고 볼 수 있을 것이다. 우리들이 사용하는 PC 보다 슈퍼컴이 훨씬 빨리 계 산하고 더 많은 일을 수행한다. 그러나 슈퍼컴이 하는 일은 어느 것이나 훨씬 느리지만 우리의 PC를 가지고 도 할 수 있다. 뿐만 아니라 가장 간단한 계산기 모델 인 튜링 기계가지고도 다 할 수 있다. 또한 어떤 계산 과정이 튜링 기계에서 자리 수에 따라 지수적으로 시 간이 걸리면 슈퍼컴에서도 그렇고, 슈퍼컴에서 다항식 정도의 시간이 걸리면 튜링 기계에서도 그렇다. 다시 말하면 문제의 난이도, 즉 답을 구하는 데 걸리는 시간 이 자리 수에 따라 증가하는 모습은 기계에 무관한 문 제 고유의 성질이다. 따라서 계산 문제를 입력 비트 수 가 증가함에 따라 답을 구하는 데 걸리는 시간이 증가 답인지 아닌지를 쉽게 판단할 수 있는 문제를 NP (Non-deterministic polynomial)라 한다. (따라서 당 연히 P 는 NP 이다. 여기서 NP 란 아무리 좋은 알고 리즘을 찾아보아도 다항식 시간에 할 수 없다는 것이 지 이론적으로 증명되었다는 것은 아니다.) P 문제와 NP 문제가 다르다는 것을 수학적으로 증명하는 것 즉 어떤 NP 문제는 다항식 시간에 답을 찾는 알고리즘이 없다는 것을 증명하는 것이 정보과학이나 수학에서 가 장 유명한 문제로 남아있다. 실제로 미국의 실업가인 Landon Clay는 새천년을 기념하여 미국의 Cambridge 에 있는 Clay 수학연구소(Clay Mathematics Institute)를 세우고, 저명한 수학자 Alan Connes, Arthur Jaffe, Andrew Wiles, Edward Witten 등의 조 언을 구하여 2000년 5월 24일 각각 백만불 현상금이 붙은 미해결 수학문제 일곱 개를 발표한 바 있는데 P =?NP 문제 역시 그 중 하나이다. 물리세계에서의 정보처리나 계산이 근본적으로는 양 자역학적이더라도 양자계산기를 고전계산기로 다항식 정도에 시늉내기를 할 수 있으면 복잡성 관점에서 보 면 양자계산이 그렇게 흥미로운 것이라 할 수 없다. 그 러나 파인만이 일찍 인지하였고 쇼어의 양자계산법에 서 알다시피 일반적으로 양자 현상을 고전계산기로 다 항식 시간정도로 시늉 내기하는 것은 불가능하게 보인 다.(소인수 분해문제는 고전계산으로는 NP 이지만 쇼어 계산법은 양자계산으로는 QP (quantum polynomial), 즉 양자역학적으로는 다항시간 안에 답을 구할 수 있 는 문제라는 것을 보여 준 것이다.) 따라서 고전계산에 의한 복잡성의 분류와 물리적, 더 구체적으로 양자 계 산적 분류는 서로 다르다는 이야기가 된다. 이는 계산 학의 바탕을 뒤흔드는 일이고 미래의 기술에 큰 충격 을 주는 것이다. (이런 이유로 쇼어에게 1998년 세계 수학자 대회에서 응용수학-computer science의 Fields medal인 Nervalina 상이 수상되었다.) 물리적으로는 간단한 양자계의 계산도 고전계산으로는 효과적으로 수행 할 수 없다는 것을 말해 주며, 거꾸로 간단한 양 자계산도 우리에게 많은 환상적인 결과를 줄 것을 시 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 9

9 사한다. (어떤 고전적 계산도 항상 같은 난이도로 양자 계산적으로 시늉내기가 가능하다.) 여러 가지 환상적인 계산을 시사하는 양자계산에도 단점은 존재한다. 양자상태는 일반적으로 주변 환경의 영향에 대하여 민감하게 반응하는 연약한 상태로 그 조작에 있어서 큰 오류를 동반하기 쉬우며 또한 일반 적인 양자 알고리즘이나 프로토콜에서 필요로 하는 특 정한 초기상태의 준비 및 유지에 있어서도 많은 어려 움을 가져올 수 있다. 이러한 현상은 양자계산의 물리 적인 구현에 있어서 극복해야할 대표적인 문제이며 따 라서 이런 오차를 양자적으로 보정하는 작업이 필수적 이다. 양자 계산의 오류를 보정하는 여러 가지 방법이 최근에 많이 개발되었고 이는 이때까지 고전계산에서 많이 연구되어 온 오류 보정 작업과 매우 유사하다.(양 자 계산의 오류 문제는 양자역학에서 관찰 문제와 밀 접한 관계가 있다. 이에 대한 더 이상의 언급도 피하겠 다). 한편 본인 등은 대표적인 양자알고리즘들에 대하 여 요구되어 온 초기화 문제를 다소 해결할 수 있는, 즉, 특정 상태로 준비된 보조 큐빗이 아닌 임의의 양자 상태(arbitrary state)를 사용할 수 있으며, 더 나아가 알고리즘의 수행 이후 보조 큐빗이 본래의 상태로 복 원(recovery)될 수 있는 일련의 비 초기화 양자 알고 리즘(Initialization-free quantum algorithm) 들을 개 발하였으며[6,7], 최근 Shor의 소인수분해 알고리즘의 핵심이라 할 수 있는 주기함수의 주기를 찾는 문제와 이러한 문제들의 일반화라 할 수 있는 숨은 부분군 문 제(hidden subgroup problem)에 대한 비 초기화 양자 계산 알고리즘을 개발하였다[8]. 이는 알고리즘의 매 회 반복 시 필요로 했던 초기화 작업을 생략할 수 있 을 뿐만 아니라, 임의의 양자상태를 사용할 수 있기 때 문에 사용된 양자상태의 반복된 사용이 가능하다. 또한 임의의 양자상태의 사용가능성은 다른 양자 계산 알고 리즘에서 사용 중인 양자상태, 혹은 본 알고리즘과는 아무런 관련이 없는 양자상태의 사용을 말하므로, 사실 상 보조 큐빗이 필요 없는 알고리즘이라 생각 될 수 있어 그 의미하는 바가 크다 하겠다. 앞에서 양자 계산이 보여준 가장 환상적인 계산인 쇼어의 소인수 분해 계산법과 그로버의 자료검색 알고 리즘을 소개하였다. 이 이외에 고전 현상계와 전혀 다 른 양자 정보처리를 몇 가지 더 소개하여 보자. 4) 양자 전송 (Quantum teleportation) A와 B가 어떤 양자상태를 공유하면 이것을 이용하 여 A가 가지고 있던 또 다른 양자상태를 B에 보낼 수 있다. 이는 우리가 흔히 사용하는 FAX와 비슷하나 여 기에서는 원본이 직접 B에게 전달된다는 것이다. 이것 을 양자전송(quantum teleportation) 이라고 하는데 혹시 여러분 중 SF인 스타트랙을 보신 분이 있으면 우 주선에서 땅위로 또는 땅위에서 우주선으로 energize 해서 옮기는 것을 기억하실 것이다. 바로 이런 꿈같은 일이 양자역학세계에서는 가능하다는 것 이다. 그리고 이는 사람같이 큰 물체는 아니나 최근 전 자 상태나 광자상태를 약 150 여 km 떨어진 다른 곳 으로 보내는 실험에는 성공을 거두었다. 이러한 양자전 송에 대하여 간단히 살펴보면 다음과 같다. A와 B가 공유하고 있는 양자상태를 Φ + =1/ 2( )라 하고, A가 전송하려는 양자상태를 Ψ = α 0 +β 1 이라고 하자. 여기서 Φ - =1/ 2( ), Ψ + =1/ 2( ), Ψ - =1/ 2( ) 라 하면 Ψ Φ + =1/ 2(α 0 +β 1 )( ) =1/ 2(α 000 +α 011 +β 100 +β 111 ) = 1/2(α( Φ + + Φ - ) 0 +α( Ψ + + Ψ - ) 1 + β( Ψ + - Ψ - ) 0 +β( Φ + - Φ - ) 1 ) =1/2( Φ + (α 0 +β 1 )+ Φ - (α 0 -β 1 ) + Ψ + (α 1 +β 0 )+ Ψ - (α 1 -β 0 )) =1/2( Φ + Id Ψ + Φ - σ z Ψ + Ψ + σ x Ψ + Ψ - σ y Ψ ) 의 관계에 의하여 A가 자신의 계를 측정한 후 그 결과 를 고전적인 방법을 통해 B에게 알려주면 B는 결국 Ψ 을 얻게 된다. (여기서 σ x, σ y, σ z 는 파울리 연산자 (Pauli operator)로 10 대한수학회소식 제 106호

10 σ x = ( 0 1 ) 이다.) 1 0, σ y = ( 0 -i i 0 ), σ z = ( ) 5) 양자 키 분배 (Quantum Key Distribution) 앞에서 언급하였다시피 쇼어의 계산법은 가장 널리 쓰이는 RSA 암호 체계를 무너트린다. 따라서 양자계 산시대에는 새로운 암호체계를 구축하여야 하는데 다 행히 RSA를 깨트린 양자계산은 우리에게 이론적으로 도 절대적으로 훔칠 수가 수 없는 비밀 양자 key 분배 암호체계를 마련해 준다. 이는 직교하지 않은 양자상태 를 이용하는 것으로, 그 안전성은 직교하지 않은 양자 상태를 완벽하게 구별하는 것이 불가능 하다는 사실에 의해 보장된다. 양자역학이 도청을 하지 못하게는 할 수 없지만 도청을 감지하는 것은 가능하게 해준다. 도 청이 감지되면, 단지 통신 채널을 폐지하고 사용자는 새로운 키를 생성하면 된다. 양자 키 분배 프로토콜(QKD protocol)의 대표적인 예 로는 1984년에 베네트(Bennett)와 브라사드(Brassard) 가 공동 개발한 BB84 프로토콜 [9], 1991년에 에커 르트(Ekert)에 의해 개발된 EPR 프로토콜과[10], 1992년에 베네트(Bennett)가 개발한 B92 프로토콜 [11]이 있다. 1984년 베네트(Bennet)와 브라사드(Brassard)는, 직교하지 않는 상태 벡터들은 부분적으로 구별이 불가 능하다(No-Cloning theorem)는 것에 기초하여, 양자 얽힘 현상과는 다른 접근 방법에 기초한 키 분배 프로 토콜인 BB84 프로토콜을 소개하였다. BB84 프로토콜 BB84 프로토콜에서는 원형 편광(circular polarization) 과 선형 편광(linear polarization), 두 개의 기저를 이 용하여 A가 추출한 랜덤 키를 B에게 보낸다. B가 A로 부터 받은 광양자를 랜덤하게 선택한 기저로 관측한 다음, 둘은 관측한 기저를 공개하여 같은 축이 사용된 비정제 키(raw key)를 구한다. 다음 단계는 제 3 자의 감청이나 방해를 탐지하는 단계로 비정제 키(raw key) 중에서 임의의 m 개의 비트를 공개적으로 비교하여 적어도 하나의 비교가 실패하면 처음부터 다시 시도한 다. 만약, 모든 비교가 성공하게 되면 결론적으로 최종 의 비밀 키(secret key)를 공유하게 된다. 제 3 자가 개입할 확률을 p 라 할 때, 두 번째 단계에서 Bob이 잘못 받을 확률은 1/4+p/8 가 되고, 세 번째 단계에서 비정제 키(raw key)에 오류가 있을 확률은 p/4 가 된 다. 그리하여, 전체적인 프로토콜에서 제 3 자의 개입 을 탐지하지 못 할 확률은 (1 - p/4) m 이 된다. 예를 들어, 만약 p=1, 즉 항상 제 3 자가 개입하고 m=200 이라 할 때 보다 작게 되어 높은 확률로 제 3 자의 개입여부를 알아낼 수 있다. 1992년 베네트(Bennett)에 의하여 소개된 B92 프로토 콜은 비직교(non-orthogonal) 상태를 사용한다. 고전물리학자들에게 많은 혼란을 주었던 EPR 쌍 (EPR pair)은 양자 키 분배(QKD)에 효율적으로 사용 될 수 있다. EPR 프로토콜은 두 양자 입자가 얽힘 상 태임(entangled state)을 이용하는 프로토콜로 그 구조 를 간략하게 살펴보면 다음과 같다. EPR 프로토콜 먼저 A와 B가 최대 얽힘 상태(maximally entangled state)인 Ψ AB = 1 2 ( 0 A 1 B - 1 A 0 B ) 을 서로 공유한다. 여기에서 0 은 z 축을 기준으로 한 spin up 상태이고, 1 은 spin down 상태이다. A 와 B는 각자가 소유한 큐비트를 x 나 z 축에 대하여 임의로 관측하고, 각자가 관측한 축을 서로 공개한다. 단 여기서 관측 값의 결과는 공개하지 않는다. 만약 둘 이 다른 축으로 관측했다면 그것에 해당하는 관측 값 은 버리고, 같은 축으로 관측한 결과만을 취한다. 서로 같은 방향으로 관측을 했다면 그 결과 값은 항상 서로 반대의 값이 된다. 예를 들어, A가 0 이면 B는 1 이 고, A가 1 이면 B는 항상 0 이다. 그러므로 남아있는 비트를 이용하면, 둘 사이에는 무작위 키(random bit string)가 공유되게 된다. 한편, 위와 같이 경이적인 능력을 가지고 양자계산은 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 11

11 실제로 구현하는 일은 아직 유치한 단계이다. 얼마 전 13 비트 즉 8192개중 1개를 찾는 알고리즘을 구현하 는 데 성공하였다. 그러나 지금 사용하고 있는 계산기 는 곧 한계에 다다를 것이고 과학발전이 인간의 근본 속성 중 하나임을 생각할 때 이 한계를 극복하기 위한 인간의 노력은 결코 멈춤이 없을 것이다. 또한 세계 각 국의 연구 동향을 살펴보면 그러한 노력은 현재에도 활발히 진행 중임을 알 수 있다. 미국과 유럽 그리고 호주, 캐나다, 이스라엘, 인도 그리고 가까운 중국과 일본에서도 이미 여러 개의 연구센터를 운영하고 있거 나 새로운 연구센터의 설립을 추진 중에 있으며 그에 대한 지원 역시 국가정책적인 차원에서의 대폭적이고 집중적인 것을 알 수 있다. 또한 관련 분야에서의 학제 간 연계연구의 중요성을 인지하여 수학, 전산학, 물리 학, 공학 등 여러 분야에서의 활발한 교류가 이루어지 고 있으며 특히 세계 최대의 수학자 축제인 ICM (International Congress of Mathematicians) 2006에서 다루어질 topic 중 mathematical aspect of computer 분야에 quantum computing 이 지정된 점으로 보아 국제사회에서의 양자계산이론의 위치는 이미 수학에서 의 한 분야로도 자리를 잡아가고 있음을 보여주는 단적인 예라 할 수 있다. 아울러 현존하는 최대 규모의 양자계산 및 양자정보이론 학술회의인 QIP(Quantum Information Processing)나 EQIS(ERATO Conference on Quantum Information Science) 참여자들의 학문적 배경이 물리 학자들의 중심이었던 과거와는 다르게 수학, 공학, 컴 퓨터 과학 등 점차 다양화 되어가고 있다는 점 역시 양자계산 및 정보이론에 대한 여러 관련분야 연구자들 의 활발한 연계연구를 의미한다 하겠다. 이렇듯 양자 계산 및 정보 이론은 멀리 있는 미래의 이야기가 아니라 현실에 아주 가깝고도 중요한 학문이 되고 있으며, 이에 머지않아 고전계산기를 뛰어넘는 실 제 생활에 사용할 수 있는 양자계산기의 출현을 조심 스럽게 기대해 본다. 참고문헌 of the 35th Annual IEEE Symposium on the Foundations of Computer Science (Piscataway, NJ), IEEE Computer Society Press, pp , 1994; SIAM Journal of Computing, Vol. 26, pp (1997) [3] L. K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search, Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York), ACM, pp , 1996; Physical Review Letters, Vol. 79, pp (1997) [4] Hallgren, S. Polynomial time quantum algorithms or Pell's equation and the principal ideal problem, Symposium on the theory of computation STOC, (2002) [5] Dong Pyo Chi and Jingsoo Kim, Quantum database searching by a single query, Proc. of the 1st NASA Int. Conf. on Quantum Computing and Quantum Communication, Lecture Notes in Computer Science, 1509, (1998) [6] D. P. Chi, J. Kim, and S. Lee, Initialization-free Generalized Deutsch-Jozsa Algorithm, Journals of Physics A: Mathematical and General, Vol. 34, p. 5251, (2001). [7] J. Kim, S. Lee, and D. P. Chi, Quantum Functional Oracles, Journals of Physics A: Mathematical and General, Vol. 35, p. 6911, (2002). [8] D. P. Chi and J. S. Kim S. Lee, Quantum Algorithms without Initializing the Auxiliary Qubits, Phys. Rev. Lett. 95, , (2005) [9] C. H. Bennett and G. Brassard, Quantum Cryptography: Public key distribution and coin tossing, International Conference on Computers, Systems & Signal Processing, Bagalore, India, December 10-12, pp (1984) [10] A. Ekert, Quantum Cryptography Based on Bell's Theorem, Physical Review Letters, Vol. 67, pp (1991) [11] C. H. Bennett, Phys. Rev. Lett. 68, 3121 (1992) [1] Wooters, W.K. and W.H. Zurek, 1982, A Single Quantum Cannot Be Cloned, Nature 299, 802. [2] P. W. Shor, Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring, Proceedings 12 대한수학회소식 제 106호

12 버클리 수리과학연구소(MSRI) Chern Hall 헌정식에 다녀와서 김도한 (서울대학교, 대한수학회 부회장) 필 자는 지난 3월 3일 버클리에 소재하고 있는 수리과학연구소(MSRI, The Mathematical Sciences Research Institute)에서 열린 Chern Hall의 증축 준공식 행사에 참석하였는데 당 시에 느낀 소감을 간략하게 소개하고자 한다. 소가 지향하는 outreach였다고 한다. 거의 모든 증 축 장소에서 금문교를 포함한 샌프란시스코 만의 아 름다운 경치를 즐길 수가 있었다. 설계도는 2002년 에 만들어졌고 공사는 4년이 걸렸다. MSRI는 1982년에 설립자 Chern이 2004년도 아벨 상 수상자인 I.M. Singer 와 C. Moore 교수의 도움 으로 수리과학과 관련된 분야를 넓게 포괄할 수 있 는 연구를 증진시키기 위하여 설립되었다. 그 후 MSRI는 많은 나라의 수학연구소의 표준이 되었으며 3월에 개소식을 가진 국가수리과학연구소(NIMS)도 MSRI를 모델로 삼고 있다. 1985년 현재의 위치인 버클리 캠퍼스 뒤의 높은 언덕 위에 건물을 지어 이 사하였으며 이번에 대폭적인 증축 공사를 하면서 설 립자 Chern을 기려 Chern Hall 이라 명명하였고 다 목적 강당은 상당한 금액을 기증한 Simons(Chern의 제자이자 Chern-Simons 이론의 공동 창시자)의 이 름을 기려 Simons Auditorium이라고 부쳤다. 이 증 축 공사의 계획은 전 소장인 Thurston이 시작했으나 현재의 소장인 Eisenbud 에 의하여 공간 증축과 함 께 수학 연구의 의견 교환을 위한 가장 좋은 장소가 될 수 있도록 실현되었다. 새로운 공간은 아름다운 최신 첨단 기술을 결집한 강당, 쾌적하고 잘 갖춰진 세미나 실, patio(안뜰)가 달린 아늑한 라운지 등이 있고 도서실 공간이 두 배가 되었다. 소장인 Eisenbud의 설명에 따르면 증축의 기본 원칙은 연구 Simons 강당 내부 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 13

13 부소장 H. Rossi 교수에 의하면 총공사비는 1,100 만 달러가 들었고 그 중 1/3은 강당에 이름을 붙인 Simons가 부담하였다고 한다. 850만 달러는 개인의 기부금이었고 나머지는 여러 재단에서 부담하였는데 인상적인 것은 개인 기부 약정금이 계획을 훨씬 넘 었다는 것이다. 건물 안에는 입구로 들어가자마자 벽 에 기부한 개인과 재단의 이름이 빽빽이 써 있고 건 물의 외벽에는 벽돌 비용으로 1,000 달러 씩 기부한 개인의 명단이 있어 고마운 마음을 기리고 있다. 서 울대 수리과학부도 교수 개인들이 자발적으로 모아 소정의 금액을 기부하였다. 최다 개인 기부자인 Simons 는 Stony Brook 소재 뉴욕 주립대학에서 가르치다가 기금운용회사를 만들어 크게 성공하여 현재는 5억불 정도의 기금을 운용한다고 한다. 증축 헌정식도 상당히 인상 깊게 치루어졌다. 먼저 헌정식 전날인 3월 2일에는 Simons 강당의 기념 첫 강연으로 R. Penrose 교수가 Before the Big Bang: a Radical Solution to the Mystery of the Second Law of Thermodynamics 이라는 제목으로 강의를 하였다. Hocking이 대중 강연에서 Big Bang 전에는 무엇이 있었느냐 하는 질문에 그 질문은 의 미가 없다고 한 마디로 잘랐지만 Penrose 자신은 Escher의 천사와 악마 등의 그림을 보여 주면서 쌍 곡다양체와 관련지으면서 쉽게 설명하려고 노력하였 다. 3월 4일 헌정식 당일에는 오전에 R. Cohen의 String Theory and Algebraic Topology 와 B. Poonen의 Rationl Points on Varieties 의 두 개의 강연을 들었다. 헌정식 본 행사로는 소장 Eisenbud, 공동 설립자 Singer, Simons Jr., McDuff 등 유명 수학자의 축사를 들었다. 헌정식 직후에는 현대 컴퓨 터의 창안자라고 할 수 있는 Turing에 관한 전위 음 악 연주가 있었다. MSRI 소장인 Eisenbud는 음악에 상당히 조예가 깊어 아마츄어 플루트 주자이고 반 전문가 정도의 성악가로 Simons 강당을 설계할 때 도 수학 강연과 음악 공연을 같이 염두에 두었다고 한다. 이 음악의 악장들은 튜링이 2차 세계대전 중 해독한 독일군 암호제조기인 Enigma, 그가 만든 암호 해독기인 Delilah, 동성연애죄로 기소되어 자 살하기 직전 형이상학적이고 난해한 시를 적은 Postcard, 경찰에 체포되기 직전 직접 바이올린을 연주한 아일랜드 민요의 제목인 Cockles and Mussel (새조개와 홍합)이었다. 이해하기 어려운 전위음악이었지만 상당히 참신한 분위기를 연출하였 다. 튜링보다는 덜 알려져 있지만 암호 해독에 공헌 한 수학자로 2차 세계대전 중 스웨덴의 유명한 조화 해석학자인 A. Beurling도 1940년 여름 2주 만에 독일군의 G-Schreiber 암호를 해독하여 스웨덴 참 모본부는 독일군의 모든 부대 이동을 알 수 있었다 고 한다. MSRI의 운영 체계 MSRI는 주로 미국의 국립과학재단(National Science Foudation)으로부터 재정 지원을 받으며 에너지부, 국립 안전국 등 정부 기관, 여러 사립 재단, 대학 및 연구 기관 회원(academic sponsors), 기업 회원 등 으로부터도 지원을 받고 있다. 총 예산은 600만 달 러가 넘고 그 중 75만 달러 정도는 UC 버클리로부 터 온다고 한다. 재단회원으로는 Microsoft, Hewlett-Packard 등이 있고, 학술적으로 중요한 역할을 하는 대학 및 연구 기관 회원으로 미국과 캐나다의 주요 대학들이 모두 참여하고 있으며 멕시코의 멕시코 국립 자치 대학, 국립 연구소, 홍콩 대학, 홍콩 과학 기술 대학 그리고 서울대학교가 참여하고 있다. 필자도 참여 대학인 서울 대학교 BK21 수리과학사업단장의 자격으로 참가하 였다. 운영 주체인 이사회는 Fefferman, Sarnak, Knuth 등 저명한 수학자와 Simons, Hearst 등 재계 와 정부 인사들로 구성되어 있으며, 대학 및 연구 기 관 위원회로부터 의견을 수렴한다. 이사회의 실무는 조종(steering)위원회에 의하여 이루어지고 학술 관 련 프로그램은 저명한 수학자들로 구성된 학술 자문 위원회(Scientific Advisory Committee)에 의하여 결정된다. MSRI는 학술적으로는 학술 자문위원회에서 정하는 1년 및 반년 동안 지속되는 연구 프로그램을 운영하고 20명 내지 40명의 박사후 연구원을 지원하며 여름 학교를 통하여 120명 내지 200명의 대학원생을 지 원한다. 또한 캐나다의 태평양 수학 연구소(PIMS)와 공동으로 Banff 연구소에서 1년에 40개 정도의 국제 14 대한수학회소식 제 106호

14 학술회의를 운영하고 있으며 태평양 연안 국가의 대 학 및 연구 기관의 네트워크인 환태평양수학연합 (PRIMA)도 공동으로 운영하고 있다. 필자는 이 연합 에 조종위원회 위원으로 참여하고 있다. Eisenbud가 소장에 취임한 이후에는 outreach 프로그램에도 적극 적인 활동을 펼쳐 MSRI는 K-12(유치원에서 고등학교 까지) 교육에도 큰 관심을 가지며 샌프란시스코 만 지역(Bay Area)의 Olympiad와 수학 Circle을 적극 적으로 지원하고 있다. 또한 수학 대중화를 위한 적 극적인 활동을 하고 있다. 특히 수학에 관심이 있는 연예인, 작곡가 등과 적극적인 인터뷰를 통하여 대중 에 친근하게 다가가는 노력을 기울이고 있다. 를 통한 수학의 저변 확대와 대중화 사업을 추진할 필요가 있다. 이러한 통합적 노력을 적극적으로 해 나가면 네트워크를 통한 시너지 효과를 충분히 얻을 수 있으리라 확신한다. 그리하여 현재 위기에 처해 있는 수학 교육과 구조 조정 문제 등을 발전적으로 극복할 수 있을 것으로 믿는다. 참가 후기 1. 뜻 깊은 수학 분야의 행사가 있을 때는 장관 등 높은 분들의 축사만 넣을 것이 아니라 행사 전후에 수학 강연과 예술 공연을 기획하는 방안을 생각하면 좋을 것이다. 사실 작년 봄 단국대에서 열린 봄 학회 에도 김완순 이사의 노력으로 국악 공연이 포함되어 상당히 참신한 기분을 주었다 여 년 전에 대한수학회 사무실을 구입할 때 많은 수학회 회원들이 상당한 금액을 자발적으로 기 부하였다. MSRI가 벽돌 명목으로 1,000 달러의 기 부금을 받는 것을 보고 우리도 기부의 전통을 다시 살려 국가수리과학연구소를 짓는데 우리 수학회원들 이 십시일반 동참하는 기회를 마련하면 정부로부터 예산을 지원 받는데 큰 도움이 될 것이다. 이를 위해 서는 수리과학연구소 자체에서도 수학회원들이 자발적 으로 기부할 수 있는 분위기를 만들어야 할 것이다. 3. MSRI가 세계적으로 80개가 넘는 대학 및 연구 기관을 네트워크화 하여 매우 효율적으로 운영하고 있다. 대한수학회는 고등과학원(KIAS), 국가수리과학 연구소(NIMS), 대학과 BK21 수리과학사업단 등이 연구와 교육 네트워크를 구성하여 효율적으로 교육 과 연구가 이루어지도록 적극 지원하고, 지금까지 지원 의 혜택이 잘 주어지지 않는 대학에도 교육과 연구 가 원활히 수행되도록 적극 지원해야 할 것이다. 또한 대한수학회를 중심으로 대한수학교육학회, 한국수학 교육학회, 초등수학교육학회, 한국여성수리과학회, KSIAM, 한국 수학사학회 등 수학 관련 단체 협의회 MSRI 공동 설립자이고 2004년도 아벨상 수상자인 I.M. Singer 교수와 함께 오른쪽부터 건물을 소개하는 Eisenbud 소장, 그 옆이 등이 보이는 필즈상 수상자 Fefferman 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 15

15 수학계의 최근 동향 <수학계의 최근 동향>은 국내외 수학계나 국내외 대학 수학과의 최신 동향에 대해 소개하는 코너로 회원들의 연구 방향이나 학생지도, 혹은 학부생, 수학과 졸업생들에게도 필요한 정보를 제공하는 코너입니다. 먼저 앞으로 많은 수요가 예상되는 응용수학분야의 국내 동향에 대하여 연재할 예정이며, 이번 호에는 금융수학에 대하여 소개합니다. 금융수학 소개 전인태 (가톨릭대학교) 아 이러니컬하게도 가장 순수한 학문이라고 할 수 있는 수학과 가장 응용적인 학문이 라고 할 수 있는 금융이 서로 맞닿아 있 다. Lebesgue Measure, 적분, 함수해석 등의 이론이 확률론의 근간이 되었고 수학적, 통계학적 그리고 물리 학적 흥미와 관심 때문에 발달된 확률론이 금융이론의 핵심에 서게 되었기 때문이다. 덕분에 수학자를 필요로 하고 또 수학자가 대접받으며 참가할 수 있는 분야가 생겨났고 그만큼 수학의 외연이 넓어졌다. 이 새로운 분야가 금융공학(Financial Engineering), Mathematical Finance, Computational Finance 등으로 불리기도 하 는 금융수학(Financial Mathematics)이다. 금융수학이란? 기초자산이라 불리는 주식, 채권 및 외환의 거래는 시 장자본주의 체제의 엔진 역할을 하는 금융시장의 가 장 중요한 부분을 차지한다. 그러나 이들의 가격이 미 래에 어떻게 움직여 갈 지는 상미분방정식을 포함한 어떠한 고전적인 방정식의 해로도 표시되지 않는다. 많은 불확실성을 내포하고 있기 때문이다. 확률미분방 정식은 엄밀하고 체계적인 방법으로 이러한 불확실성 을 내포하는 움직임(dynamics)의 local structure를 기술한다. 확률미분방정식의 해로 나타내지는 확률과 정(stochastic process)은 이러한 불확실성하의 움직 임을 글로벌하게 나타내준다. 따라서 기초자산의 움직 임을 확률과정으로 기술할 수 있으며, 이것이 확률과 정이 금융에서 없어서는 안 되는 이유이다. 금융수학이 필요해지고 발달하게 된 이유는 금융시장 에 많은 위험들이 존재하고 따라서 위험을 회피하는 방법이 필요했기 때문이다. 앞에서 말한 주식, 채권 등 기초자산을 보유하게 되면 미래에 가격이 떨어져 손실을 입게 될 위험을 안고 있게 된다. 이러한 위험 을 어떻게 회피할 수 있을까? 여러 가지 대답이 있을 수 있겠지만 금융시장에서는 위험을 회피하기 위하여 선물, 옵션 그리고 스왑이라는 새로운 상품을 만들어 냈다. 이러한 금융상품을 파생상품이라고 부르며 이제 는 일반사람들도 흔히 사용하는 단어가 되었다. 금융수학이 붐을 일으키는 계기가 되었던 옵션에 대 해서 간략히 알아보자. 현재 주가가 10,000원인 주식 1억 원 어치를 1년간 꼭 보유하고 있어야 하는 상황 16 대한수학회소식 제 106호

16 을 가정하자. 만일 1년 후에 주식을 팔아서 9,000만 원의 부채를 갚아야 한다면 주식가격이 9,000원 이하 로 떨어졌을 때 문제가 발생한다. 자칫 신용불량자로 전락할 수도 있고, 기업이 부도가 날 수도 있다. 이러 한 상황에서 만일 현재 갖고 있는 주식을 1년 후에 가 격이 9,000원 이하로 떨어지더라도 9,000원에 사주겠 다는 사람(A라 하자)이 나타나면 이러한 위험에서 해 방될 수 있다. 주가가 오르면 그 수익을 챙길 수 있고, 주가가 떨어지면 9,000원에 팔아버릴 수 있기 때문이 다. 이렇게 주식을 미리 정해진 가격으로 정해진 시 점에 다른 사람에게 팔 수 있는 권리를 풋옵션이라 부른다. 그러나 이러한 풋옵션이 공짜일 리가 없다. 처음 계약을 할 때, 위험이 없어지는 대가로 옵션프 리미엄(옵션 가격)이라 부르는 현금을 A에게 지불해 야 한다. 일종의 보험을 드는 셈이고 보험료를 지불 해야 하는 셈이다. 풋옵션과 반대로 정해진 가격에 살 수 있는 권리를 콜옵션이라 부르며 통상 옵션은 콜옵션과 풋옵션을 통 칭한다. 1970년대 이후 폭발적인 거래가 서구 금융시 장에서 이루어졌으며, 쉽게 예상할 수 있듯이 이러한 옵션은 금융시장의 복잡한 위험형태와 이들을 회피하 려는 시장의 수요에 따라 다양한 형태로 발전하였다. 개로 발전되어온 확률과정론에 이에 대한 해답이 있 었으며, 이러한 문제를 해결하기 위한 다양한 툴들이 이미 개발되어 있었다. 마치 금융이론이 그리로 발전 해 올 것을 미리 알고 있었다는 듯이... 결국 옵션의 가격결정문제는 단순화된 모형 속에서 1973년 블랙- 숄즈, 머튼에 의해 해결되었다. 이들의 업적은 1997 년 노벨 경제학상으로 보상되었고(95년 타계한 블랙 은 받지 못했지만) 아이러니컬하게도 숄즈와 머튼이 참여한 헤지펀드 회사 LTCM이 98년 파산하여 이론 과 실제의 괴리를 보여 주었다. (이들의 이야기는 천 재들의 실패 라는 책에 잘 묘사되어 있다.) 뒤 늦게 이러한 작업이 포앙카레의 제자인 바쉘리에(Bachelier) 의 1900년 논문인 Theory of Speculation 으로부터 시작 되었었다는 것을 알게 되었고 바쉘리에는 금융수학 의 창시자가 되었다. 물론 포앙카레도 당시에 그의 제자 의 업적의 가치를 알지 못했다. ( 옵션이라는 금융상품에 복잡하고 난해한 수학적 구조 가 숨어있다는 사실을 알게 되면서 본격적인 금융수 학이 태동되었다고 말할 수 있다. 그렇다면, 옵션에서 수학적인 관심사는 무엇일까? 먼저 공정한 옵션프리 미엄을 결정하는 일이라고 할 수 있다. 다시 말해 위험 을 회피할 수 있는 권리인 옵션을 얼마에 사고팔아야 거래 쌍방 간에 공정한 계약이 되는 걸까 하는 문제이 다. 과거 데이터를 이용해 주식가격이 어떤 확률과정을 따르는지 알게 되면, 미래의 시점에서의 가격의 분포를 알 수 있게 되고, 옵션의 가격은 그때 주어질 이득의 기댓값을 구해 이자율을 이용해 현재의 가치를 구해주 면 될 것이라는 직관적인 해답을 얻을 수 있다. 아마 이러한 직관이 맞았다면 금융수학이라는 분야는 생겨나지 않았을 지도 모른다. 이러한 방식으로 가격 이 결정되면 전혀 위험이 없이 이득을 취할 수 있는 방법 이 있다는 사실을 알게 되면서 프리미엄 결정의 중요성을 인식하게 되었다. 다행히 금융과는 전혀 별 바쉘리에 ( ) 정리해보면 금융수학이란 금융시장에 상존하는 위험 을 회피하기 위해 시장에서 현재 혹은 미래에 필요로 하는 다양한 금융상품을 만들어 내고 유지시키며, 금 융상품의 취급 절차들을 마련하거나 보완하여 금융시 장이 건전하게 발전해가도록 창조적인 해결책을 제공 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 17

17 하는 학문이라고 할 수 있다. 구체적으로는 시장, 신 용, 운영위험 등 다양한 금융관련 위험의 측정, 평가 및 관리, 파생상품의 개발 및 평가, 금융 솔루션 제공 과 관련된 내용을 다룬다. 금융수학전공자의 취업 전망 수학과 교수로 부임하게 되면 공통적으로 느끼는 문 제가 학생들의 취업일 것이다. 금융수학은 수학의 분 야를 넓혀 준 것에 그치지 않고 이런 고민을 조금이 나마 덜어준다. 현재 국내 금융기관에는 퀀트로 불리 는 수학 전공자들이 많은 활약을 하고 있다. 이들 중 에는 금융수학 관련 박사과정까지 마친 사람들도 있 지만 금융관련 공부를 별로 하지 않고 금융권에 들어 와 처음에 상당한 고생을 하고 적응한 사람들도 많다. 그러나 대부분 수리적 지식을 점점 더 필요로 하는 금융권에서 중요한 역할을 하며 자리매김하고 있다. 금융수학을 전공하면 은행, 증권회사, 보험회사, 투자 신탁회사, 신용평가회사, 자산운용회사, 금융관련 IT 회사 등 금융전반에 걸친 회사에 취업을 한다. 하는 일 들도 점차 다양해지고 있지만 주로 위험관리(시장, 신 용, 운영 위험 등), 파생상품 관련 상품개발 및 평가, 신용 및 펀드 평가, 금융솔루션 개발 등의 업무를 담당 한다. 자격이 갖추어진 학생들을 소개해주는 방식으로 취업이 이루어지기도 하지만 최근에는 모집공고를 통 해 필요한 인력을 충원한다. 현재 수요에 비해 공급이 현저히 적은 상황이며, 금융 분야는 매우 넓어서 아직 미개척 분야도 많다. 금융이 가장 발달한 미국이나 영 국의 경우에도 수학을 비롯한 이공계 출신이 금융기관 에 많이 진출해 있고 점점 늘어가고 있는 추세이다. 가톨릭대 수학과의 예를 들면, 2001년부터 금융수학 과목이 개설되었고, 현재 학부에만 통계학 관련 과목 뿐만 아니라 금융수학 I, II, 전산금융, 위험관리론 4 과목이 개설되어 있다. 석사 과정만 있는 대학원에는 확률과정론 등 더 많은 과목이 개설 되어 있다 년부터 배출된 금융수학 학사, 석사 학생들은 현재 흥 국생명 위험관리팀, 농협 채권 BIS팀, 산은자산운용, 미래에셋 위험관리팀, 블래쉬 넷(금융 솔루션회사) 등 다양한 금융기관에 취업해 있다. 국내의 금융수학 교육 과정 우리나라에는 아직 체계적으로 잘 갖추어진 금융수학 과정이 별로 없는 것 같다. 올해 41 억원을 포함 4년 간 국가의 지원을 받게 되어 있는 KAIST 금융공학 대학원에서 앞으로 많은 금융공학 전문가를 배출할 것으로 믿고 있지만 한 학기에 1,500만원이나 하는 등록금 때문에 일반 학생들이 혜택을 받기는 어려울 것 같다. 고려대학교 금융공학협동과정 등 몇몇 학교에서 수학 과와 경영학과가 공동으로 운영하는 전문대학원 과정 이 운영되고 있거나 준비 중이어서 앞으로 보다 나은 교육이 제공 될 것으로 보여 진다. 대한수학회에서는 한국금융리스크관리전문가협회(KARP)와 공동으로 대학생 및 대학원생들에게 QFE 과정이라는 단기 교육과정을 운영하고 있다. 현재 2기까지 진행되 고 있는 이 과정은 1단계 금융수학(2개월, 주 3시간 3회, 확률과정론 및 옵션 가격결정이론 등), 2단계 금 융공학(4개월, 주 3시간 2회, 재무이론 및 금융 실무 에 가까운 내용), 3단계 금융모델링 (2개월, 주 3시간 2회, 컴퓨터 프로그래밍 및 실습)으로 구성되어 있다. 1, 2단계는 연세대학교, 3단계는 여의도 증권거래소 내에 있는 KARP 금융공학센터에서 강의가 이루어지 고 있다.(자세한 내용은 참조) 외국대학의 금융수학 석사 과정 외국의 경우 유수의 대학에서 금융수학 석사과정을 운영하고 있다. 이 석사과정은 바로 금융기관에 취업 할 수 있도록 실무적인 내용을 많이 교육한다. 그러나 실무를 이해하기 위하여 상당한 수준의 수학, 통계, 컴퓨터, 재무, 경제관련 지식이 필요하다. 2-3학기로 구성된 이 프로그램을 통해 많은 금융공학 전문가들 이 배출되고 있다. 학교마다 조금씩 다르지만 보통 다 음과 같은 내용을 필수적으로 포함하고 있다. <커리큘럼 내용> 확률론 및 확률과정론(금융 관련 부분) 18 대한수학회소식 제 106호

18 재무관리 파생상품이론 컴퓨터 프로그래밍 (비주얼 베이식, C++ 등) 및 금 융모델에의 응용 위험관리론 이자율 및 신용위험 모형 편미분 방정식, 수치해석 및 Simulation Econometrics and Statistics 생존해 나갈 수 있다. 금융선진화가 되면 될수록 더욱 더 많은 전문 인력이 필요해 지기 때문에 전망은 밝 다고 할 수 있다. 실제로, 과거에는 전무하다시피 했 던 이공계학생들의 금융기관 취업이 최근에 15-20% 로 늘어났고, 더욱 늘어나는 추세이다. 대한금융공학회(KOFES) 창립 소식 자세한 내용은 홈페이지에서 확인 할 수 있다. <주요 외국 대학의 홈페이지> (NYU) (카네기 멜런 대학교) _finance.shtml (콜럼비아 대학교) (스탠포드 대학교) (버클리 대학교) (토론토 대학교) 이러한 과정들은 박사과정으로 진학하려는 학생들에 게는 별로 도움이 되지 않는다. 박사과정으로 진학하려 면 바로 수학과 일반대학원으로 진학하여 금융수학을 전공하는 교수를 지도교수로 만나는 방법이 보통이다. 금융수학의 향후 발전 가능성 동북아 금융허브 추진 등으로 금융의 중요성에 대한 인식이 점점 넓어지고 있다. 특히 급성장하고 있는 중 국에 상당한 비교 우위를 점하고 있고 고부가가치 상 품을 만들어 낼 수 있는 금융 산업의 발달에 국가의 명운이 달렸다 해도 과언이 아니다. 그러나 아직 우리 나라는 금융공학 실력을 갖춘 전문 인력이 턱없이 부 족하다. 선진국일수록 금융시장이 복잡하고 다양한 종 류의 위험들이 상존하고 있어 새로운 금융상품에 대 한 요구가 많다. 이러한 요구들은 대부분 금융공학적 방법에 의해 해결된다. 또한 대형 금융기관들은 기존 금융기법에 의한 거래에서 얻어지는 수익이 점점 줄 어들고 있기 때문에 새로운 금융상품을 개발해야만 지난 2월 22일에는 이공계 (대표: 정동명 전 대한수학 회장), 상경계 (대표: 고려대 경영학과 이필상 교수), 금융계 (대표: 오갑수 SC 제일은행 부회장)가 모여 대한금융공학회를 창립했다. 학계와 금융계의 금융공 학 전문가들로 구성된 대한금융공학회에는 대한수학 회 회원들도 많이 참여하고 있고 실무계, 상경계와의 네트워크를 만들 수 있는 좋은 기회를 제공하고 있다. (문의 Kofes 사무국 ) 맺는말 이상으로 금융수학에 대한 내용들을 간략히 살펴보았 다. 금융수학은 수학을 전공하는 학생들에게 매우 매 력적인 분야임이 틀림없다. 다른 분야에 비해 월등한 연봉을 받고 다양한 사회 경험을 할 수 있다. 사고가 유연하며 외향적이고 성취욕구가 강한 수학전공학생 이라면 성공하기 쉽다. 그러나 너무 수리적 세계에 집 착해서 금융, 경제학적인 감각을 터득하지 못하면 적 응하기 어려운 것도 현실이다. 인기 있다고 무조건 따 라하는 것 보다는 자신의 적성, 성격, 관심사를 잘 고 려해 현명한 선택을 해야 할 것이다. 과목을 개설하려 는 학교에서도 이론도 중요하지만 실무적 내용에 대 한 교육이 중요하므로 금융실무 관계자들과 긴밀한 관계를 유지할 수 있도록 노력해야 한다. 최근 급격한 질적, 양적 팽창을 이룬 우리나라의 수학 계도 이젠 정체성에 관한 고민을 할 때가 왔다는 생 각이 든다. 동시대의 보편적 가치와 동떨어져 있는 학 문은 번성하기 어렵다. 금융수학은 현 시대를 이끌어 가는 시장자본주의의 핵심인 금융의 근간을 이루고 있다. 수학에서 금융으로 이어져 있는 금융수학이란 다리를 튼튼히 해야 할 당위성이 여기에 있다. 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 19

19 원로 수학자 탐방 전남대학교 명예교수 정진명 교수님, 안주승 교수님을 찾아뵙다. 김선아 (조선대학교) 대한수학회의 뉴스레터 편집위원이신 김선자 교수 님께서 지난해 11월 호남지역의 원로 교수님을 뵙 고 인터뷰를 하고 싶어 하셨으나 사정이 생겨 못 오 시게 되었다며 이 지역 원로 교수님 탐방 기사를 부 탁하셨다. 우선 전남대학교의 강순자 교수님께 전화 를 드려 전남대학교 자연대학 수학과와 사범대학 수 학교육과에 재직하셨다가 정년퇴임을 하신 정진명, 안주승, 송병회 세분 교수님의 근황을 여쭈었더니 모두 건강하시다는 말을 듣고 안도하였다. 세분을 함께 뵈려고 날짜를 조정하였으나 송병회 교수님은 여전히 활발하신 사회활동으로 우리들보다 더 바쁘 셔서 시간을 맞추지 못해서 정진명 교수님과 안주승 교수님만 두 분의 제자인 강순자 교수와 함께 만나 뵈웠다. 1974년에 맨 처음 뵙던 때 굉장히 미남이 셨던 두 분께서 지금은 많이 연로하시고 기운이 없 어 보이시지만 여전히 목소리도 우렁차신 정진명 교 수님, 얼마 전에 가벼운 수술을 받으신 안주승 교수 님, 두 분이 건강하실 때 호남지역 수학의 산 역사 를 들을 수 있게 되어 얼마나 다행이라고 생각했는 지 모른다. 두 분의 인연은 아주 오래고 특별하다. 정진명 교수님께서 서울대 문리대 수학과를, 안주승 교수 님께서는 서울대 사범대 수학교육과를 1954년에 함께 졸업하시고 그해 4월 25일 같은 날에 전남대 학교 수학과에 부임하셔서 1990년 8월 25일 한 날 정년퇴임하실 때까지 한 직장에서 근무하셨다. 퇴임 후 지금까지도 이렇게 두 분의 교유가 50년 을 넘게 이어지고 있으니 그 세월은 두 분께서 사 모님하고 함께 사신 시간보다도 훨씬 더 오랜 세월 이기에 두 분의 우정과 사랑은 더 각별하신 듯하 다. 현재의 전남대학교는 광주에 있던 광주의대와 도립 농과대, 향교재단이었던 대성대학, 그리고 목 포에 있던 도립 상과대 이렇게 4대학이 합해져서 1952년에 설립 인가를 받아 1953년부터 학생모집 을 하였는데 1954년 두 분 교수님께서 부임하시던 해에 손규현 교수님께서 대학에 입학하셨다고 한다. 훗날 세분이 전남대에 함께 근무하실 때 손규현 교 수님께서는 두 분이 은사이신데도 우리는 모두 동기 생이라고 우기셨다고 한다. 사범대학 수학교육과에 재직하시다가 몇 해 전에 암으로 돌아가신 언제나 호방하게 웃으시던 손규현 교수님께서 이 자리에 계 시면 얼마나 좋았을까 하는 생각을 잠시 하였다. 두 분 교수님의 대학 때 은사로는 최윤식, 이임학, 윤갑병 교수님이 계셨고 이정림, 임덕상, 장범식, 전병문 교수님 등이 함께 수학한 동기 분들이시란 다. 당시에 함께 근무한 기억나는 분으로는 육이오 동란으로 전남대학교에 전시 연합대학이 생겨 그곳 에 근무하시면서 조선대학교에도 출강하시면서 민 사기 교수님께 위상수학을 가르치셨고 그 후 1955 년에 서울대학교로 가셨으나 2년간 더 교수가 많 이 부족하던 전남대학교와 조선대학교에 출강하셨 던 지금은 미국에 계시는 하광철 교수님을 말씀하 셨다. 한때 전남대는 사범대학 수학교육과를 만들 기 위해 문리대 수학과를 없앴는데 2년간의 공백 이 있은 후 다시 수학과를 만들기 위해 박을룡 교 수님께서 대한수학회장을 하던 때에 4년제 대학교 20 대한수학회소식 제 106호

20 에는 문리대에 수학과가 있어야 한다고 문교부에 탄원서를 내기도 해서 수학과를 만드는데 고생을 하셨다고 한다. 1972년 가을에 전남대학교에서 대한수학회 정기총회가 열렸는데 그 때 전북대학 교의 이기안, 박종근, 곽효철 교수님, 조선대학교의 민사기 교수님, 전남대학교의 정진명, 안주승, 임중규, 송병회 교수님께서 뜻을 모아 대한수학회 호남지부를 결성하기로 하고 그 기반을 닦고 학술 지를 발간하느라 처음엔 고생을 무척 하셨단다. 지 방학회로서는 경북저널 다음으로 오래된 호남수학 학술지(Honam Mathematical Journal)를 발간하기 시작해서 현재 27호가 발간된 오늘에 이르기 까지 당시의 척박한 환경에서 이분들의 노력이 없었다면 불가능한 일이었다. 처음엔 전남과 전북을 오가며 격년으로 학회를 열고 학회명칭은 대한수학회 전 라 제주 지부로 출발하였으나 지금은 대한수학회 호남지부로 바꾸고 저널도 Honam Mathematical Journal 과 Korean Annals of Mathematics 두 종류를 발간하고 있고 매년 6월에 호남지부 정기 총회 및 논문 발표회를 열고 있다. 요즈음 대학생들은 수학이 가장 필요한 공대에서 조차 수학을 싫어하고 사회에서도 수학이 왜 필요 하냐고 하는데 그것은 잘 못되어도 한참 잘 못되었 다고 두 분 교수님께서 힘주어 말씀하신다. 오늘날 인도의 IT가 강한 이유는 수학의 힘 때문이며 미 국, 유럽에서도 학생들이 수학을 싫어하기 때문에 동양계가 두각을 나타내는 것이며 정진명 교수님께 서 일본 나고야 대학에 방문교수로 가셨을 때 한 원로 교수가 한국은 일본보다 오랜 역사를 가지고 있어 문화는 더 축적되었을지 몰라도 일본은 한국 보다 문명이 더 발달되었다는 얘기를 하더라는 얘 기를 들려주시며 이는 일본이 서양 학문을 일찍이 받아들이고 과학기술이 우리보다 앞선 때문이며 수 학은 과학기술 발전의 기초임을 잊지 말아야 한다 고 강조하셨다. 대학에서 만난 제자 중 가장 기억에 남는 제자를 여쭈었더니 현재 수학계에서 활동하고 있는 제자보 다도 수학을 계속 공부하게 했더라면 아주 크게 되 었을 텐데 하는 아쉬움이 남는 제자를 꼽으신다. 법제처장을 지냈고 국회의원으로 활동한 박찬주 변호사 란다. 입학시험에서 차석을 한 학생과 월등하게 점 수 차이가 나게 뛰어난 성적으로 수석 입학하였고, 수학경시대회에서도 1등을 하였으며, 재학 중에도 학업성적이 뛰어나서 교수로 키울 생각으로 졸업 무렵 서울대학교 대학원으로 진학하여 하광철 교수 님께 가서 공부를 하고 오라고 했더니 행정고시에 합격한 형의 영향으로 수학이 아닌 다른 길을 택하 고 말았다. 그는 졸업 후 딱 1년간 공부해서 행정, 사법고시 양과에 합격해서 법조계로 진출하였는데 수학을 공부했더라면 큰 학자가 되었을 사람이라며 지금도 아쉬운 표정이 역력하시다. 어떻게 건강을 유지하시는지 여쭈었더니 안주승 교수님은 요가와 산책, 그리고 친구 분들과 등산을 하시고, 정진명 교수님께서는 매일 아침 한 시간 정도 걷기를 하시고 거주하시는 한옥 마당에서 하 는 자신만의 운동방법이 있다며 웃으신다. 두 분 교수님께서 오래 오래 건강하시길 빈다. 정진명 선생님 약력 56년 4월 10일~ 65년 4월 1일~ 74년 1월 18일~ 78년 4월 1일~ 80년 3월 1일~ 90년 8월 31일 전남대학교 문리과대학 전임강사 전남대학교 문리과대학 부교수 전남대학교 문리과대학 교수 전남대학교 교육대학원 원장 전남대학교 자연과학대학 학장 정년퇴임 안주승 선생님 약력 ~ 전남대학교 문리과대학 수학과 전임강사, 조교수, 부교수 ~ 전남대학교 사범대학 수학교육과 부교수, 교수 ~ 전남대학교 사범대학 교무과장 ~ 전남대학교 사범대학장 ~ 대한수학회 전라, 제주 지부장 정년퇴임 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 21

21 수학, 강의에 관한 몇 가지 생각들 이춘호 (호서대학교) 콘 는데 앞 시간의 내용을 복습하고 난 후, 강의를 천천 스탄스 리드가 쓴 힐버트 전기 힐버트 에 세 명의 수학자들의 강의방식에 관한 대목이 나온다. 먼저 힐버트는 강의를 하 히 알아듣기 쉽게 반복적으로 진행을 하고, 클라인의 강의는 미리 머릿속으로 강조할 곳과 종합적으로 이 해할 수 있도록 완전무결하게 준비하여 설명을 한다. 마지막으로 후크스의 강의는 강의 준비를 하지 않고 강의를 하는데 그 자리에서 생각을 하면서 강의를 진 행하였다고 한다. 필자는 이 대목을 읽었을 때, 강의 는 어떤 것이 과연 좋은가를 생각하여 보았다. 세 가 지 강의 방식은 모두 학교와 학생들의 수준에 따라 다르게 평가가 된다. 힐버트의 강의방식은 내가 재직 하고 있는 학생들에게 적당하다고 생각한다. 클라인 의 강의방식은 좀 더 수준 높은 학생이나 학습능력이 좋은 학생들에게 적당하고, 후크스의 강의는 적어도 연구자 수준의 학생들에게 연구를 할 수 있는 능력을 배양하는데 좋을 것이라는 생각을 하였다. 대체적으 로 힐버트의 강의는 학부 수준, 클라인 방식은 대학 원 수준, 후크스의 방식은 연구자들에게 필요한 방식 으로 필요한 방식이라는 생각이 들었다. 필자가 오래 전에 잡지에서 읽었던 짧은 글에서 눈높이 라는 교육에 대해서 읽은 적이 있다. 이 글에 서 본 것은 어떤 사람이 박물관에서 앉아서 그림 전 시물을 바라보고 있는 사람에게 이상히 여겨 왜 앉 아서 그림을 보느냐? 는 질문에 아이들의 눈높이에 는 그림이 어떻게 보이는지 궁금하여 앉아서 본다 고 대답하였다. 어느 곳이든 어른들의 눈높이에 맞추어 전시물이 진열되어 있으니, 어른이 볼 때 사물의 모 양이 아이들의 높이에서 바라다보았을 때 전혀 다르 게 보일 수 있지 않느냐는 생각이다. 이러한 생각이 필자로 하여금 학생들에게 강의를 하는데 학생들의 시각으로 낮춰보고자 하는 의미로 오래 전부터 미적 분학강의 전에 고등학교에서 배운 것을 점검하는 pretest 를 보기로 하였다. 지금은 몇 몇 대학에서 시행하고 있지만 필자는 약 10년 전부터 시행하였는 데 처음에는 필자가 가르치는 반만 시험을 치루었다. 올해도 수강생 전체가 치루었는데 학생만 바뀌고 시 험문제는 매년 같거나 쉬워지는데 학생들의 시험점수 는 자꾸 떨어지고 있어 학생들에게 눈높이를 맞추는 것이 어려워지고 있다. 몇 년 전까지만 해도 약간 다 리만 구부리면 서로 눈을 맞출 수 있는데 이제는 바 닥에 주저앉아야 하는 실정에 이르렀다. 현재 고등학교까지 많은 학생들이 수학 공부에 전 력을 다하고 있다. 그런데 시험을 보면 아주 간단한 전개식이나 2차방정식 조차도 풀지 못하는 경우가 허다하다. 그런데도 대학에서는 이러한 학생들을 배 려하지 않고 바로 미적분학을 가르치는 경우가 많다. 학회의 교육분과에서 토론의 안건으로 이러한 문제에 대해서 토의를 한 적이 있는데, 명문대와 지방대와의 학생들의 실력차가 매우 커서 토론에서 주고받은 내 용이 일부 대학에서만 적용가능한 경우가 대부분이고 많은 지방의 소규모 대학에는 맞지 않는다는 의견을 들었다. 필자도 토의를 주최하였는데 필자의 의도와 22 대한수학회소식 제 106호

22 는 전혀 맞지 않는 토론자의 토론 내용에 너무 눈높 이가 맞지 않음을 안타까워했다. 현재 대학에서 수학과에서 강의하고 있는 과목이나 수는 학교마다 사정이 다르나 대체적으로 전통적인 교과목의 범주에서 벗어나지 않는다. 아무래도 이러 한 전통적인 교과목이 가지는 특징은 학문체계상 가 장 합리적이라 판단되지만 이러한 과목들은 학문지향 적인 성향이 있다. 필자가 만난 교수들 중에 여러 사 람들이 95% 이상의 학생들이 대학원에 진학하지 않고 사회에 진출하는데 대학원에 진학하는 학생들을 위한 교과목들로 구성되어 있다 고 말한다. 현재 우 리가 속한 학과의 교과목의 구성은 누구를 위해 구성 되어 있는지를 생각하여야 한다. 우리나라의 사정상 대학의 수학과 전임교수 수는 평균 7명 이내로 구성 되어 있다. 이러한 사정에서 교수가 강의 할 수 있는 과목 수는 한정되어 있다. 또한 교수가 전공한 분야 도 많은 경우에 전통적인 분야에 한정되어 학생들이 사회에 진출하여 응용할 수 있는 과목을 개설하는데 한계가 있다. 수학과에서 가르치거나 배우는 환경이 비슷하여 어느 학교를 나오건 거의 비슷한 과목에 비 슷한 교재로 배운다. 사회가 수학에 대한 인식이 성 숙되지 못하고 수학인 또한 사회에 수학에 기여할 수 있는 방법에 소극적이다 보니 수학과 졸업 후에 갈 곳이라고는 대학원 진학이나, 학원, 교사에 주로 한 정되어 있다. 과거에는 수학과 출신이 전산직에 취업 이 되었으나, 이제는 전산관련 학과가 생기면서 이들 에게 자리를 내어 주었다. 최근에 정보보호 관련학과로 명칭을 변경하거나 관 련 교수를 채용하여 수학과가 변모하는 경향을 띠고 있다. 이들은 현재 수학에 뿌리를 둔 과목을 개설하 여 강의를 하지만 조만간 전산학과와 같은 길을 걷게 될 것이다. 이로써 한국의 수학과는 점차 사라지고 소수의 인원이 수학을 전공하게 될 것이다. 일부 독 자께서는 자연스러운 변화가 아니겠나? 하고 생각 하겠지만 한번 없어진 학과를 다시 살리는 것은 새로 이 만드는 것보다 어렵거나 불가능하다. 우리나라 대 학 중 80% 이상이 사립대학임을 감암하면 앞으로 유망한 학과를 만들고 현재의 실적이 부진한 학과는 하루라도 빨리 없애버리고 싶은 것이 설립자들의 사 고방식인 것이다. 이러니 수학이 국가의 기간산업과 같은 중요한 과목이다 라고 외쳐봐야 수학을 하지 않 은 많은 사람들에게는 수학인들의 집단 이기주의로 밖에 생각되지 않는다. 그들이 진정으로 수학의 중요 성을 인식하지 못하는데 우리가 외치면 인식을 할까? 우리 스스로도 수학의 중요성을 말해보라고 주문을 받으면 어떻게 수학의 중요성을 그들에게 이해를 시 킬 수 있을까? 아마 모두가 앵무새같이 미국의 월가 에는 약 1000명의 수학자가 활동하고... 등등 신문 에 기고된 글을 읽었던 기억을 더듬어 이야기를 할 것이다. 현재로선 수학을 중요성을 주장하려면 좋은 대학에 가기 위해서 싫어도 해야 되는 필수과목이고 누구보다도 아주 잘 해야 앞으로 계속하지 않아도 잘 먹고 잘 살 수 있는 과목 이라고 외치는 편이 우리 실정에는 맞는다. 최근에 수학에 관한 몇 가지 새로운 형태의 과목들 이 생겨났다는 말을 들었다. 아무래도 딱딱한 수학보 다는 조금은 부드러운 모습의 수학을 만들려는 시도 인 것 같다. 수학과 문화, 수학과 예술 등의 과 목들의 시도는 기존의 방식과는 다른 시도라 일단은 수학에 거부감을 가지고 있는 학생들을 위한 강의라 좋게 평가할 만하다. 문제는 이러한 주제를 가지고 강의를 하려면 무척 많은 책을 보아야 하는데 우리의 환경이 그렇게 강의에 목숨을 바칠 수 없는 것이 문 제이다. 토마스 쿤은 원래 이론물리학자였지만 하버 드 대학에서 비전공 학생들을 위한 물리과학을 강의 하게 되어 이를 계기로 이 분야를 연구한 것을 토대 로 쓴 책이 과학혁명의 구조 이다. 이 명저는 이렇 게 해서 탄생하였다. 필자가 2년 전에 인디아나 대학에 안식년으로 방 문하였을 때, 그 곳에 있는 동안 수학적 모델링 강 의를 수강을 한 적이 있다. 많은 경우 전공에 관련된 과목을 수강하면 좋았겠지만 필자는 의도적으로 우리 에게 생소한 과목을 수강하였다. 강의 담당교수는 강 의록을 만들어 학생들에게 나누어주고 강의를 진행하 였는데 강의는 주로 예제위주로 강의를 하였다. 필요 하면 컴퓨터와 OHP를 적절히 이용하여 강의를 하였 다. 수강대상자들이 대체적으로 수학을 전공하지 않 은 학생들이라 그런지 아주 수학적이지 않았다. 담당 교수와 몇 차례 이야기를 할 기회가 있었다. 약 30년 전 젊은 나이에 교재를 쓴 적이 있었고, 이 후 이 분 야로 강의와 연구를 하다가 약 10년 전부터 새로이 교재를 쓰기 시작하였다고 했다. 그 교재가 재작년에 출간되었다. 그의 강의를 들으면서 강의 방법에 대해 서 생각이 변하였다. 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 23

23 강의란 수강대상자에 따라 변화되어야 하며, 그 변 화는 시대적, 환경적 변화도 반영되어야 한다는 점이 다. 수 십 년 전에 유명한 교재가 현재까지도 유명한 경우는 매우 드물며 이는 시대적 변화가 이를 반영한 다. 따라서 과거의 교육방식이 항상 최적이 아님을 인식하여야 한다. 시대가 변화하여도 바뀌지 않은 내 용이란 없으며 환경의 변화가 또한 교육의 방법도 바 꾸게 된다. 많은 경우 원서의 내용이 우리의 실정에 맞 지 않음을 알고 있다. 이는 교재가 저술자의 환경에 맞 추어 제술한 것임을 가끔씩 잊고 있다. 또한 교수자신 이 과거에 배운 방식이나 배운 교재가 최선이라는 선 입견에 사로 잡혀있다는 것을 잊어버린다. 이러한 선입 견이나 판단이 나 자신의 교육방법이나 교육철학에 영 향을 주고 있음을 다시 한 번 생각하여야 한다. 강의를 할 때마다 가장 슬프거나 기쁜 것은 학생들 이 필자의 말을 알아듣지 못하거나 알아듣고 필자의 말에 공감을 해 줄 때이다. 이는 모든 교수들이 동의 하리라 생각한다. 장자의 천도편에서 수레바퀴를 깍 는 사람과 제나라 왕 환공과의 대화에서 왕이 읽는 책속의 성현들의 말씀은 모두 옛사람의 찌꺼기와 같 다( 古 人 之 糟 魄 已 夫 ) 는 말은 진정 중요한 것은 글로 전해질 수 없음을 의미한다. 필자가 강의 시에 가장 전달하기 어려운 것은 ε과 δ로 기술되는 극한의 개념 을 비롯한 여러 가지의 수학적인 개념들이다. 이를 아무리 여러 번 반복하여 설명하여도 이를 제대로 이 해시키기란 아마 위의 말씀처럼 말이나 글로써 전달 하는 것은 분명 한계가 있다. 의미가 책에는 기호로 전달되지만 진정한 의미를 파악하는데 시간과 노력이 필요하게 된다. 스님들이 수행을 하면서 오랜 시일동 안 화두를 가지고 생각하여 그 말의 의미를 파악하는 것이나 우리가 수학의 개념들을 하나씩 이해하여 나 가는 것이나 별반 다르지 않다고 생각한다. 강의를 그리 오래 동안 하지 않았지만, 다음과 같 은 것을 참고로 하여 강의하였으면 좋겠다. 첫째, 나 의 강의가 최고라는 생각을 버려야 한다. 이것은 자 만심의 극치이며 가장 경계해야 할 대상이다. 강의 는 언제나 상대적임을 잊지 않아야 한다. 강의 대상 에 따라 모든 것을 바꾸어야 한다. 주변을 바라보면 자신이 강의를 잘한다고 생각하거나 평가를 받는 경 우가 있는 사람이 가끔 있다. 그런 사람들은 그 순 간 강의의 방식을 바꾸지 않는다. 언제나 자신의 강 의에 대해서 반성하여 더욱 좋은 강의가 되도록 노 력을 하지 않으면 안된다. 둘째, 강의는 수강자와의 교감이 필요하다. 따라서 강의는 수강자의 눈높이를 맞출 수 있도록 노력해야 한다. 요즈음 대학에 입학하는 학생들은 과거의 학생들 보다 차이가 있다. 이러한 차이는 여러 가지 환경적 변 화에 비롯하여 공부방법의 변화에 있는 것으로 판단된 다. 그러나 과거의 방식으로 강의를 하거나 강의의 변 화가 전혀 없다면, 이는 문제이다. 코메디 프로나 각종 언론에서 툭하면 회자되는 오래된 강의노트로 강의하 는 교수들의 이야기는 결코 남의 이야기는 아니다. 셋째, 강의를 한 후에는 학생들의 수업반응도 조사 가 필요하다. 강의에 대한 전반적인 면을 반추하기 위해서는 설문지를 통하여 자신의 강의를 돌아보는 것이 필요하다. 이를 통하여 학생들과의 눈높이를 계 속하여 수정하여야 한다. 학생들은 자신의 의견을 잘 말하려고 하지 않는다. 따라서 여러 가지 방법으로 학생들의 의견을 청취하도록 노력해야 한다. 인터넷 의 익명성이 악플과 같은 오용을 낳기도 하지만 적절 한 방법을 사용하면 보다 정확한 내용을 얻을 수 있 다. 올해는 우리 대학의 수학과에 학생정원이 채워졌 다. 이미 몇몇 대학들의 수학과는 정원을 채우지 못 하여 구조조정의 대기 상태에 들어가 있을 수도 있 다. 앞으로도 고등학교 졸업생의 수가 대학생 정원보 다 적어지는 상황이 계속될 것이다. 90년에는 고등학 교 졸업생의 33.2%가 대학에 진학하였으나 2005년 에는 전국 고등학생의 82.1%가 대학에 진학하고 있 다. 결국 고등학교 졸업생이 원하면 대학을 진학할 수 있다는 사실이며, 대학에서 경쟁력이 없는 학과는 우수한 졸업생이 오지 않거나 정원을 채우지 못해 결 국은 도태될 수 없는 실정이 도래한 것이다. 수학과 가 다른 과에 비해 경쟁력을 갖추고 있다고 말할 수 없는 처지에 현재와 같은 상태를 유지하여 경쟁력을 갖추지 못하면 자연히 도태될 수밖에 없는 운명될 것 이다. 이것은 어느 한 대학의 일처럼 보이지만 결국 은 모든 대학에 적용될 수 있는 운명이다. 전국 대학 의 수학과 수가 줄어듦은 대학원생의 감소로 이루어 지고 학생들의 질적 저하와 연구력 감소로 이어지는 악순환이 계속될 것이다. 따라서 수학의 미래에 대한 수학계 지도자 그룹들의 각성과 반성이 필요하며 이 를 위한 대책이 마련되어야 할 것이다. 24 대한수학회소식 제 106호

24 영재교육원 소개 강원대학교 과학영재교육원 조영신 (강원대학교) 1. 교육원 연혁 2. 교육원 조직도 강원대학교 과학영재교육센터 설립 중등 1기(수학, 물리, 화학, 생물, 지구과학) 입학: 총 72명 기(초등과 사사 추가) 입학: 총 57명 기 수료: 총 59명 기 수료: 총 44명 기(정보과학 추가) 입학: 총 94명 기 수료: 총 72명 기 입학: 총 104명 강원대학교 과학영재교육원으로 승격 기 수료: 총 106명 기 입학:총 87명 기 편입학(심화 수학5, 정보1, 물리7, 화학3, 생물4, 지구과학3명) : 총 23명 기 수료: 총 105명 기 입학: 총 174명 기 수료: 총 111명 기 입학: 총 200명 기 수료: 총 145명 1) 연구개발부 1. 기획실 가. 교육원 사업의 기획 및 예산 편성 나. 교육원의 교육 및 각종 행사 계획 다. 교육원 사업 수행결과의 보고서 편집 발간 2. 평가실 가. 과학영재의 선발 방법 및 도구의 연구 개발 나. 과학영재 교육의 평가 방법과 도구의 연구 개발 다. 교육원 사업 수행결과의 평가 3. 자료개발실 가. 과학영재 교육 프로그램 연구 개발 나. 과학영재 교수-학습 방법 연구 개발 다. 과학영재 교수-학습 교재 연구 개발 4. 연구실 가. 과학영재의 본성에 관한 연구 나. 과학영재의 교수-학습 이론에 관한 연구 다. 과학영재의 평가 이론에 관한 연구 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 25

25 2) 교육지도부 1. 교수-학습 일정 및 계획 수립 2. 교수-학습 자료 개발 및 발간 3. 수업 출결석 관리 4. 교수-학습 평가 및 성적 관리 5. 기숙사 생활 지도 3) 행정지원부 1. 문서관리 2. 인사관리 3. 예산결산 및 회계 관리 4. 물품 및 자료 관리 교육원 인력 ㆍ조교 : 정은영 원장 연구개발부 교육지도부 행정지원부 운영위원회 선정추천심사위원 수학지도강사 물리지도강사 지구과학강사 화학지도강사 생물지도강사 정보과학강사 초등과학강사 3. 교육원의 개요 가. 영재교육에 대한 교육목적, 교육목표 (1) 교육목적 과학영재 교육원의 교육 목적은 21세기의 지식기 반 사회를 이끌어갈 동량을 양성하는데 두고 있다. 과학영재교육원에서는 이 목적을 달성하기 위하여 과학영재의 특성을 조사 분석하고, 그런 특성을 지 닌 학생들을 선발하여 교수한다. 또한, 과학영재교 육원에서는 강원도 소재 초등 및 중학생들만 대상 으로 하며, 강원도의 특성과 강원대학교의 특성과 강원대학교의 여건에 맞는 교육을 추구한다. (2) 교육목표 강원대학교 과학영재교육의 목표는 궁극적으로 21 세기 지식기반 사회를 이끌어 갈 동량을 키우고, 보다 직접적으로는 과학 영재들이 스스로 자신의 능력을 기르고 재능과 잠재력을 마음껏 발휘할 수 있는 기회를 제공함에 둘 것이다. 그리고 가장 직 접적인 목적으로는 과학영재의 특성을 조사, 분석 하고, 그런 특성을 지닌 학생들을 확인하여 교수 함에 둘 것이다. 이런 목적과 이런 목적을 달성하 는 과정에서 부수적으로 달성할 수 있는 목표들을 기술하면 다음과 같다. 국가의 과학기술 능력과 경쟁력 고양에 공헌한 다. 21세기의 지식기반 사회를 이끌어갈 능력을 신 장시킨다. - 과학기술 및 STS 소양을 길러준다. - 의사결정력을 키워준다. - 비판적, 논리적 사고력을 신장시킨다. - 창의력을 함양시킨다. 학생들이 자신의 과학적 재능을 스스로 확인하 고 기를 수 있는 기회를 제공한다. - 학생들이 자신의 생각을 자유롭게 표현할 수 있는 기회를 제공한다. - 개방적 문제를 해결하는 과정에서 자신의 재 26 대한수학회소식 제 106호

26 능을 마음껏 발휘할 수 있는 기회를 제공한다. 과학영재를 조사, 확인하고 그런 특성을 지닌 학생들을 선발하여 개별적으로 교수 한다. 참여 교수와 교사는 과학 영재의 선발 기능과 교수-학습 능력을 갖는다. 나. 교육원의 사업내용 (1) 교육분야 2006년 교육원에서는 모두 3개 분야(초등과학, 중등수학, 중등과학). 7개 과정(초등 기초, 초등 심 화, 중등 기초, 중등 심화, 사사반, 연구반, 추수 지도반) 이상으로서 모두 약 184명의 학생들을 입 학예정하고 있다. 물리 중등 기초반 수업 - 다리 만들기 (가) 초등 교육 기초반(1년) : 과학반 2개반 총28명 내외로 운영 심화반(1년) : 과학반 1개반 10명 내외로 운영 (나) 중등 교육 기초반(1년) : 수학 1개반 18명 내외, 과학 3개 반 총 36명 내외로 운영 심화반(1년) : 수학 1개반 10명, 물리, 화학, 생 물, 지구과학(각 1개 반 각 8명)로 운영 사사반 및 연구반(각 1년) : 수학, 물리, 화학, 생 물, 지구과학 각 4명씩 운영, 심화반을 수료한 학 생들 중에서 교수들과 연구를 더 진행 할 학생들 을 대상으로 진행 추수 지도반(1년) : 수학, 물리, 화학, 생물, 지구 과학 각 4명씩 운영, 연구반을 수료한 학생 중에 서 추수 지도가 필요하다고 인정되는 학생들로 운영 동아리 지원(1년) : 전공에 관계없이 과학영재 담당 과학교사 현장 연구 또는 과학 동아리 활동 을 지원. 각 분야별 1명 또는 1 동아리를 연간 약 100만원을 지원 물리 사사반 수업 - 마이크로파 회절 실험 진행한다. 방학기간의 출석 수업에서는 주간에 40 시간의 수업과 야간에 진행되는 프로젝트 과제 수 행을 각 12시간 이상씩 진행한다. 사사반과 연구반과 추수 지도반의 운영은 학생과 담당 교수가 시간을 조정하여 학기 중과 방학 중 에 자유롭게 진행한다. (2) 교육일정 교육은 출석 수업을 원칙으로 진행되며, 봄과 가을 학기에는 각 18시간에 각 9개씩의 주제들을 학습하게 된다. 여름과 겨울 방학 기간의 수업은 5박 6일 기숙사에서 모두 기숙하면서 출석 수업을 (3) 교육 프로그램의 내용 및 운영 모든 프로그램의 주제 선정과 운영은 각 전공 분야의 주임 교수가 해당 강사들과 상의하여 결정 운영한다. 과학영재 교육에서 지양하는 것들을 먼 저 정리한 다음 그 틀에 맞는 내용을 각 전공별로 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 27

27 개발하여 학생들에게 교육한다. 창의력을 개발하 는데 필요한 기본 도구와 기술을 기초반에서 학습 하고 심화반에서는 기초반에서 배운 것들을 기초 로 하여 창의력을 개발하는 주제들을 학습하도록 구성한다. 전체적인 교육의 형태는 실험 실습과 현장 탐방 체험을 주로 하고 많은 토론을 통하여 학생들의 발표력이 향상되도록 한다. 겨울 출석 수업 종료 시에 모든 학생들이 연구 한 프로젝트를 발표하게 한다. 이는 연구 주제의 선정, 연구 방법 설계, 연구 체험, 결과 정리, 발표 자료 준비, 발표 등 과학 연구에 필요한 여러 가 지 요소를 체험 할 수 있는 좋은 기회를 학생들이 가질 수 있게 된다. 사사와 연구반등의 과정에서는 4명 이내의 학생 들과 교수가 직접 만나서 새로운 연구 주제를 선 정하고 교수, 대학원생, 영재원 학생들이 같이 협 력하여 연구하고 그 결과물을 보고서로 작성하고, 결과물을 과학 대회 등에 출품할 수 있도록 한다. (4) 학생선발 (가) 특별 선발에 의한 선발 강원도 영서 지역에 있는 학생들을 중에서 창의 성이 있다고 추천된 학생들을 대상으로 심층 면접 후에 선발한다. (나) 일반전형에 의한 선발 1차 선발 (서류전형) 2차 선발 (단답형 지필고사) 3차 선발 (심층 면접 및 실기평가) ᆞ모집 정원의 3배수 선발 ᆞ특별한 지원 자격 없음 ᆞ모집 정원의 1.5배수 선발 ᆞ창의력을 검사하는 문항으로 객관식 및 단답형 평가 ᆞ수학과 과학의 창의력을 평가하는 심층 면접 ᆞ전공에 따라 실기 평가 실시 (5) 영재원 자체 프로그램(추후 시행 예정) 1 학부모 영재 문제 삼당: 학부모들을 대상으로 영재 학생들이 가지는 학교 내의 적응 문제와 가 정에서의 문제, 학습 지도 등을 위하여 전문가를 초빙하여 전문적인 상담이 이루어지게 한다. 2 주말 개인 학습 지도: 주말에 학생들이 자유롭 게 영재원에 와서 평소에 가지고 있는 과학에 대 한 의문점들을 교수들과 토론하는 기회를 가지고, 학생들이 탐구해 보고 싶은 주제에 대한 방향을 지도 받을 수 있다. 3 주말 자발 탐구 활동: 학생들이 만들어 보고 실험 해 보고 싶은 주제에 대한 실행을 학교나 가 정에서 할 수 없는 경우 영재원에서 기기와 재료 를 제공하여 학생들이 자유롭게 탐구 할 수 있도 록 한다. 4 도서 및 기기 대출: 일반 시중에서 구하기 어 려운 책이나 기기들을 영재원에서 구비하여 영재 학생과 학부모들에게 대출한다. 중등 기초반 수업 - 풍경 만들기 5 연구 지도 자원 교수 프로그램: 강원대학교 교 수들 중에서 영재생들을 위한 연구 지도를 자원 봉사할 수 있는 재원을 확보하여 연구를 희망하는 영재생들과 연결시켜 주어서 현재 진행되고 있는 각 연구실에서 연구원들과 같이 살아 있는 탐구를 체험 할 수 있는 프로그램 28 대한수학회소식 제 106호

28 이번 호에는 지난 2006년 3월 14일(화)에 서울대학교에서 개최되었던 제18회 아시아태평양수학올림피아드(APMO) 문제를 소개합니다. 제18회 아시아태평양수학올림피아드 시험 문제 문제 1. 주어진 양의 정수 에 대하여, 다음 성질을 만족하는 음이 아닌 실수 의 최대 값을 으 로 나타내어라: 이 정수 가 되는 임의의 실수 에 대하여 를 만족하는 양의 정수 가 반드시 존재한다. 문제 2. 모든 양의 정수는, 황금비 의 서로 다른 거듭 제곱들의 합으로 표현할 수 있음 을 보여라. (단, 황금비 의 거듭 제곱이라 함은, 정수(양의 정수일 필요는 없음) 에 대하여 꼴을 말한다.) 문제 3. 소수 가 5이상일 때, 바둑판 에 개의 흰 바둑돌을 모두 같은 행에는 위치하지 않 게 배열하는(단, 개의 흰 돌은 모두 같은 열에 위치할 수는 있다.) 방법의 수를 이라 하자. 정 수 은 으로 나누어 떨어짐을 보여라. (단, 모 든 흰 돌들은 구별이 되지 않는다고 가정한다.) 문제 4. 원 위의 서로 다른 두 점 에 대하 여, 점 를 선분 의 중점이라 하자. 선분 와는 점 에서 접하고, 원 접하는 원을 이라 하자. 또한 점 를 지나면서 에 접하는 가 아닌 직선을 이라 하자. 직선 과 원 의 교점 가운데 가 아닌 점을 라 하자. 점 를 선분 의 중점이라 두고, 직선 와 에서 접 하면서 선분 에 접하는 원을 라 할 때, 원 는 원 에도 접함을 보여라. 문제 5. 서울 서커스단에는 12개의 서로 다른 색 가 운데 몇 개의 색을 칠하여 서로 서로를 구별하는 명의 광대가 활동하고 있다. 각각의 광대는 적 어도 5개의 서로 다른 색을 사용하도록 되어 있 다고 한다. 어느 날, 이 서커스의 단장은 어느 두 광대도 사용한 색들의 집합이 서로 같을 수 없 고, 12개의 색 가운데 어느 색도 20명 이하가 사 용해야 한다고 명령하였다. 단장의 명령이 가능 할 수 있는 광대의 수 의 최대값을 구하여라. 제한시간 : 4시간 문항당 : 7점 본 문제의 저작권은 사단법인 대한수학회에 있습니다. 대한수학회의 허락없이 문제의 전부 혹은 일부를 인쇄하거나 전자매체를 통하여 배포하는 것을 금합니다. 2006년 3월호 The Newsletter of the KMS 29

29 수학계소식 화제의 뉴스 국가수리과학연구소 역사적 출범 그동안 국내 수학계의 염원이었던 수학 관련 국가연구기관인 국가수리과학연구소(National Institute for Mathematical Sciences : NIMS)가 2006년 3월10일 개소식과 조용승 초대소장 취임식을 가지고 역사적 출범을 하였다. 개소식은 대전시 대덕연구단지내 한국기초과학지원연구원 강당에서 열렸으며, 김우식 과학기술 부총리, 권선택 국회 과학기술정보통신위원회 위원, 박상대 기초기술연구회 이사장, 민경찬 대한수학회장, 정부 출연연구소 기관장, 주진구 전 대한수학회장, 장건수 전 대한수학회장 등을 비롯한 수학계 인사 및 과학 기술분야의 인사들이 참석하여 국가수리과학연구 소에 대한 높은 관심과 출범을 축하하였다. 먼저 조용승 국가수리과학연구소 초대소장은 취 임사에서 국가의 과학기술과 경제발전을 선도하 는 수학 연구소로 가꾸어 나가겠다 고 비전을 밝 히면서 수학과 인접학문 분야와의 학제간 연구와 중요한 과학기술 문제들을 수준 높은 수학과 연계 하는 산학협동연구 및 네트워크의 장 구축을 중심 적으로 진행하겠다 고 밝혔다. 또한 김우식 과학기술 부총리, 권선택 국회의원, 박상대 기초기술연구회 이사장, 민경찬 대한수학 회장은 축사에서 연구소의 개소를 축하하고 발전 현판식 을 기원하였다. 특히 김우식 과학기술 부총리는 (오른쪽으로부터 박상대 기초기술연구회 이사장, 권선택 수학은 과학기술의 기반이 되는 중요한 학문 분 국회의원, 김우식 과학기술 부총리, 조용승 국가수리과 학연구소장, 민경찬 대한수학회장, 강신원 한국기초과학 야 라고 전제한 뒤 국가가 발전하기 위해서는 지원연구원장) 청소년을 포함한 전 국민이 수학을 비롯한 과학에 관심을 가져야 한다 고 밝히고, 국가수리과학연 구소가 수학의 대중화에도 앞장 서 국민들이 생활 속에서 친근하게 수학과 가까워 졌으면 한다 고 당부하였다. 또 김 부총리는 국가수리과학연구소 는 연구 기능뿐만 아니라 인력을 양성하는 역할도 해야 한다 면서 연구소가 미래 과학강국의 초석 이 될 수 있도록 최대한 노력해 달라 고 주문했 다. 아울러 연구소가 조기에 정착할 수 있도록 적극적으로 노력하겠다 는 지원방침도 밝혔다. 대한수학회 민경찬 회장은 순수수학을 중심으로 수준 높은 업적을 이루어오고 있는 고등과학원에 축하 케익 절단 이어, 산업적 응용 발전에 초점을 둔 국가수리과 30 대한수학회소식 제 106호