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1 학회상 수상자 소개 2011년도 대한수학회 공로상 고계원 회원 수상 고계원 회원 (아주대학교) 고계원 회원은 서울대학교 수학과를 졸업하고, 미국 퍼듀대학에서 석사학위를, 그리고 1980년 스탠포드대학에서 B. Weiss 교수의 지도하에 박 사학위를 취득하였다. 브린모어대학의 교수로 부 임한 후, 미국 국립과학재단(NSF)에서 수년간 연 구비 지원을 받았고, 1987년에는 프린스턴고등연 구소에 초대받아 1년간 연구원으로 재직하는 등 가는 곳마다 한국인 여성 1호 의 수식어를 달고 다녔다. 그리고 브린모어대학에서 제안한 종신직 교수 자리를 마다하고 1991년 귀국해 현재까지 아주대학교 수학과 교수로 재직하고 있다. 고계원 회원은 과학계와 사회에서 수학의 위상 을 높이고, 대중화하는데 많은 노력을 하여왔다. 정부기관이나 공공기관의 각종 위원회에서 활동 하며 수학의 중요성과 연구 환경의 열악성을 알 림으로써, 수학계에 많은 도움을 주었다. 그리고 사회적 약자 보호에 대한 확고한 신념을 바탕으 로 2004년 한국여성수리과학회를 창립하고 초대 회장으로 활동하였다. 현재 여성수리과학회는 매 년 국제학술대회를 개최하고 있으며, 여성 수학자 의 연구 능력 계발과 학문 후속세대 양성에 크게 기여하고 있다. 또한 2014년 국제수학자대회의 유치에 헌신적으로 노력하여 크게 공헌하였으며, 현재는 조직위원회에서 원로 수학자로서의 경륜 과 풍부한 국제적 경험을 활용하여 성공적인 개최 준비에 이바지하고 있다. 한편, 청소년들에게도 좋은 멘토 역할을 하여 지난 2005년 과학문화재 단에서 시행했던 닮고 싶고 되고 싶은 과학기술 인 에 선정되기도 하였다. 학술적으로 고계원 회원은 에르고딕 이론과 동 역학계 분야에서 한국을 대표하는 세계 수준의 수학자이다. 우수한 국제 학술지에 50여 편의 학 술 논문을 발표하였고, 주요 국제학술대회에 조직 위원, 학술위원, 초청강연자로 참석하고 있으며, 정기적 또는 비정기적으로 수많은 학술대회와 워 크숍을 주최하고 있다. 특히 중국, 일본의 연구자 들을 모두 아우르는 동아시아의 동역학계 연구 네트워크를 구축하고 학술대회를 개최하는데 주 도적인 역할을 하고 있으며, 물리학 등 인접 학문 과의 교류도 활발히 하여 연구 활성화에 이바지 하고 있다. 우선 저에게 이런 상을 받도록 추천해주신 분 들과, 심사위원분들 그리고 대학수학회 회원 여러 분들께 감사를 드립니다. 추천이 된지도 몰라서 소식을 듣고 잠시 동안은 당황했었습니다. 저에게는 이 공로상을 드리고 싶은 분들이 계 십니다. 먼저 지방에 있는 대학들에서 수학자로 살기 위해 열심히 노력하시는 분들입니다. 제가 미국에서 한국으로 온지 얼마 되지 않았을 때, 어 느 지방에 계신 회원님께서 한 달에 두 세 번씩 기차, 버스 아니면 비행기라도 타고 서울로 간다. 수학의 끈을 붙들고 있기 위해서 나 스스로하고 싸워야 한다. 라고 말씀하셨습니다. 그 말씀을 들으면서 제가 수원에서 일하는 게 정말 행복하다 고 생각했습니다. 그리고 다른 분들이 계십니다. 여성수학자들입 니다. 여성과 수학이라는 것이 이질적으로 들리는 사회 속에서, 가족 안에서, 그리고 수학계 내에서 많은 여성분들은 수학을 하기가 너무 어려운 환경 에 놓이게 되었습니다. 그러나 자기 자리에서 꾸 준히 성실하게 열심히 일하고 계신 여성수학자들 께 수고 많이 하셨다고 말씀드리며, 이 공로상을 드리고 싶습니다. 2014년에 있을 ICM을 박형주 위원장님을 중심 으로 우리가 잘 치러서 한국의 수학이, 그리고 수 학계가 발전하여 이러한 환경들이 좀 더 나아지기 를 기대하고 있습니다. 다시 한 번 감사드립니다. 2 대한수학회소식 제 140호

2 학회상 수상자 소개 2011년도 대한수학회 학술상 고기형 회원 수상 러 당시 신비에 쌓여 있었던 삼차원 다양체의 Witten-Reshetihin-Turaev 불편량을 조합수학적 으로 해석한 연구와 1-교각 매듭의 Schubert와 Conway의 표현을 1-지표 1-교각 매듭에 확장한 연구 등이 다른 학자들의 관련연구에서 많이 이 용되었다. 고기형 회원 (카이스트) 고기형 회원은 1978년 서울대학교 수학과를 졸업하고 1984년에 미국 브랜다이스대학에서 매 듭이론의 권위자인 Jerome Levine 교수의 지도 로 위상수학분야에서 Boundary Links and Seifert Matrices 를 주제로 박사학위를 받았다. 그 후 텍사스주립대학을 거쳐 1987년부터 카이 스트에서 재직하면서 현재까지 9명의 박사를 길 러냈다. 1990년 교토 ICM을 계기로 매년 한일매 듭학회를 개최하였고 이를 동아시아 매듭이론학 회로 발전시키는 등의 활발한 국제협력을 하면서 여러 학자들과 공동연구를 하였으나, 그는 그의 대학원생들과 같이 연구하는 것을 더 좋아하였다. 고기형 회원의 학술적 관심은 시기별로 네 개 로 나누어 볼 수 있다. 1995년까지는 매듭이론을 주로 연구하면서 15여 편의 논문을 중요 저널에 출판하였다. 이들 중 박사학위 논문과 연결된 경 계고리를 동계성을 사이퍼트 행렬을 통한 연구와 포항공대 차재춘 교수와 같이 연구한 유리계수 호몰로지 구에 있는 고리의 동계성 연구가 대표 적이다. 특히 차 교수는 관련 연구를 계속하여 동 계성 연구분야에서 중견학자로 성장하였다. 아울 1995년부터는 땋임을 새로운 연구분야로 설정 하고 10여 편을 연구논문을 출판하였다. 그 중 땋임군의 대칭성이 돋보이는 새로운 표현을 찾아 단어문제의 복잡도를 에서 으로 떨어뜨린 해법을 제안한 논문은 많은 수의 인용수를 기록 하며 땋임군의 Birman-Ko-Lee 표현이라는 고유 명사를 만들어 냈고, Garside군이라 불리게 되는 새로운 종류의 군들을 도입하게 만들었다. 땋임군 판별문제에 관련된 연구는 당시 새로운 공개키 암호시스템을 찾고 있던 서울대 천정희 교수와 연결되어 땋임군의 공액문제에 기반한 공개키 암 호와 서명을 제안하게 된다. 땋임군 상에서는 증 명가능한 안전성을 가지기가 어렵지만 이들 연구 에서 사용된 원시 일방향함수는 비가환 대수구조 를 암호에 최초로 도입하였다는 의미가 있어 현 재에도 세계 곳곳에서 많은 수학자들이 관련 연 구를 활발히 진행하고 있다. 그리고 국내 대학 수 학과에서 암호에 대한 관심이 고조되고, 건국대 이상진 교수 등이 권위 있는 암호학회에서 많이 발표하게 되어 국내 연구수준을 획기적으로 높이 는 계기가 되었다. 최근에는 위상수학을 로보틱스 적용하는 분야 의 하나인 그래프 상의 땋임군에 대한 연구를 진 행하여 이들이 언제 직교아틴군이 되는지를 밝혔 고, 이들의 호몰로지를 그래프의 분해를 통하여 계산하여 그 동안에 이 분야의 학자들이 제시한 다수의 예상을 해결하였다. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 3

3 학회상 수상자 소개 2011년도 대한수학회 상산 젊은수학자상 배명진 회원 수상 경계값(boundary value)이 부드러운 함수들로 주 어지더라도, 오일러시스템의 해가 불연속적으로 변하는 경계면이 발생할 수 있다. 그러한 불연속 경계면에는 두 가지 종류가 있는데, 그 중 유체의 압력이 불연속적으로 변하는 경계면을 shock 이 라고 부른다. 배명진 회원 (포항공과대학교) 배명진 회원(만 30세)은 1999년 연세대학교 자연과학부에 입학하여 수학을 전공하고 2003년 에 졸업하였다. 같은 해, 미국 메디슨에 있는 위스 콘신주립대학에 박사과정으로 유학하여, Mikhail Feldman 교수의 지도하에 2009년에 박사학위를 취득하였으며 박사 논문 제목은 Potential flow and transonic shocks 이다. 그 후 미국 노스웨 스턴대학 수학과에 Boas 조교수로 2년간 근무한 후, 2011년 7월부터 포항공과대학교 수학과에 조 교수로 재직 중이다. 배명진 회원의 연구 분야는 비선형 편미분방정 식이고, 그 중에서도 수리유체역학에서 점성이 없 고 압축 가능한 유체의 운동을 기술하는 오일러 시스템(Euler system)이다. 오일러시스템은 쌍곡 선형(hyperbolic), 타원형(elliptic) 또는 포물선형 (parabolic)의 여러 개의 편미분방정식들로 이루 어진 혼합형 시스템(mixed-type system)이고, 더욱이 오일러시스템을 구성하고 있는 방정식들 이 모두 비선형이므로, 초기값(initial value) 또는 배명진 회원은 오일러시스템의 shock 의 존재 성, 유일성 그리고 안정성에 대해 연구해왔다. 먼 저, Feldman 교수와 Gui-Qiang Chen 교수(옥스 포드대학)와의 공동연구에서, 2차원의 쐐기 모양 의 장애물에 shock이 정반사될 때 생기는 소닉 (sonic) 원에서 비선형 소멸성 타원형 방정식의 해의 최적의 정칙성(optimal regularity)을 규명 하였다. 그 후에 Feldman 교수와의 공동 연구에 서, shock에서 엔트로피가 증가하는 다차원 비회 전성 유체 모델을 기술하는 비선형 편미분방정식 시스템(nonisentropic potential flow model)을 소개하고, 이 모델을 이용하여 다차원 발산형 노 즐에서 발생하는 천음속(transonic) shock의 존 재성, 유일성, 안정성을 규명하였다. 최근에는 Feldman 교수, Chen 교수와 협력하여 오래된 문제 중의 하나인 프란틀 문제(Prandtl problem) 를 연구하고 있으며, 앞으로도 다양한 패턴의 shock현상과 오일러시스템의 또 다른 불 연속경계면인 접촉성불연속(contact discontinuity) 에 대해서도 연구할 계획이다. 4 대한수학회소식 제 140호

4 학회상 수상자 소개 2011년도 대한수학회 상산 젊은수학자상 이정연 회원 수상 체의 유수 문제들이 여러 수학자들에 의해서 해 결되었고 연구가 되어서 많은 진전이 있었던 반 면, 실 이차체의 유수 문제들은 아직까지도 체제 적인 접근방법조차 제기되어 있지 않다. 다만 regulator들을 측정할 수 있는 실 이차체의 무한 집단들의 유수 문제들이 최근 여러 수학자들에게 제기되었고 리만가설(Riemann hypotesis)의 가 정 하에 해결이 되었다. 이정연 회원 (고등과학원) 이정연 회원(35)은 1998년 포항공과대학교 수 학과를 졸업하고, 서울대학교 수학과에서 2003년 석사학위를, 그리고 2008년 변동호 교수의 지도 하에 박사학위를 받았다. 박사학위 논문의 주제는 리쇼 데제르 형식의 실이차체의 유수에 관한 연 구 이다. 그리고 현재는 고등과학원 수학부 연구 원으로 재직 중이다. 이정연 회원은 주로 실 이차체에서의 유수문제 중 미제로 남아있는 문제들을 해결하였고 이와 관련한 여러 편의 논문들을 국제 저널에 게재 하였다. 이차체(quadratic field)의 경우 유수 (class number)는 디리쉴레 -함수(Dirichlet -function)의 에서의 값과 regulator로 표현된 다. 이때 허 이차체(imaginary quadratic field)의 경우는 regulator가 고정이 되어 있어서 디리쉴 레 -함수의 에서의 값의 측정에 의해서 유수 (class number)를 알아낼 수 있다. 반면 실 이 차체(real quadratic field)의 경우, 아직까지 regulator를 측정할 수 있는 방법에 대한 연구가 많이 되어 있지 않다. 이미 1970년대에 허 이차 이정연 회원은 리만가설의 가정을 하고 해결되 었던 실 이차체의 무한집단에 대한 유수 문제들 을 리만가설을 하지 않고 해결하였다. 그리고 최근 지금까지 알려져 있었던 regulator를 측정 할 수 있는 실 이차체의 무한집단들을 일반화하 는데 성공하였고, 이는 지금까지 미제로 남아있는 가우스에 의해 제기되었던 실 이차체의 유수 문 제 해결에 큰 기여를 할 것으로 기대한다. 이정연 회원은 최근 헤케의 -함수(Hecke- -function)의 특정값(special value)들의 표현에 대한 연구를 하고 있다. 헤케 -함수들은 부분 제타 함수(partial zeta function)들과 어떤 character들로 표현된다. 따라서 부분 제타 함수 의 특정값에 의해서 헤케 -함수의 특정값 (special value)들을 알아낼 수 있다. 실 고차체 (totally real number field)의 부분 제타 함수의 특정값은 어떤 실 -차체의 콘(cone)에 대한 Todd power series를 이용하여 나타낼 수 있음 이 잘 알려져 있다. 이때 cone의 Todd power series는 sub-cone들에 대한 additivity를 만족 시킨다. 또한 부분 제타 함수의 특정값들은 Eisenstein cocycle들로 표현이 됨이 알려져 있다. 이정연 회원은 Todd power series의 additivity 와 Eisenstein cocycle의 관계를 연구 하고 있다. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 5

5 학회후기 2011년도 대한수학회 정기총회 및 가을 연구발표회 후기 이창옥 (카이스트, 대한수학회 총무이사) 2011년도 대한수학회 정기총회 및 가을 연구발표회가 지난 10월 21일(금)~22일(토) 이틀 동안 경북 대학교에서 개최되었다. 특히 이번 학회는 경북대 수학과 60주년을 기념하는 아주 뜻깊은 자리였다. 등록자 기준으로 총 441명이 참가하였고, 상설분과발표(Contributed Talk), 기획분과(Special Session) 발표, 포스터 발표를 포함하여 총 214편의 논문이 발표되었으며, 6개의 업체가 전시에 참여하였다. 개회식 지난 봄학회와 마찬가지로 개회식은 오후에 있었으며 신동관 부회장의 사회로 진행되었다. 서동엽 회장의 개회 사에 이어 경북대학교 함인석 총장의 축사가 진행되었다. 강연 및 논문발표 개회식에 이어 진행된 특별초청강연은 민동필 전 기초 기술연구회 이사장이 국제과학비즈니스벨트와 기초과학 연구원 이란 주제로 강연하여 참가자들의 뜨거운 관심을 받았다. 그리고 특별초청강연이 끝난 후 진행된 기조강연 개회사 서동엽 대한수학회 회장 축사 함인석 경북대학교 총장 은 King's College London의 David Burns 교수가 On main conjecture of geometric Iwasawa theory and related conjectures 라는 제목으로 강연을 하였다. 오전부터 진행된 각 분과별 발표에서는 일반발표와 함께 권오남 교수(서울대), 권재훈 교수(서울시립 대), 김태희 교수(건국대), 노세은 박사(Academia Sinica (Taiwan)), 천정희 교수(서울대), Shoichi Fujimori 교수(Okayama Univ. (Japan)), Juan de Dios Perez 교수(Univ. of Granada (Spain)), Michael G. Roeckner 교수(Purdue Univ. (USA)), Jiang Zeng 교수(Univ. Claude Bernard Lyon-I (France))가 각 분과별 초청강연을 하였다. 6 대한수학회소식 제 140호

6 <Session 별 발표논문 통계> 구분 상설 분과 발표 특별초청강연 민동필 전 기초기술연구회 이사장 기조강연 David Burns 교수 King's College London 이번 학회에서도 지난 봄학회와 마찬가지로 <예 비수학자 연구발표>라는 특별기획분과가 운영되었 다. <예비수학자 연구발표>는 대학원생들에게 편안 한 분위기에서 연구 결과를 발표하는 기회를 제공 하고자 마련된 것이다. 기획 분과 발표 분과명 대수학 해석학 기하학 위상수학 확률 및 통계학 응용수학 수학교육 전산수학 암호학 수론 대수와 표현 대수기하학 p-진 해석학과 그 응용 함수방정식과 부등식 다항함수와 바나흐공간 푸리에 해석학과 그 응용 작용소론과 작용소대수 응용조화해석학 비선형동역학 양자 계산 및 양자 암호 예비수학자 연구발표 포스터 전 분과 발표 발표수 합계 정기총회 및 시상식 대한수학회상 시상식은 기조강연이 끝나고 바로 있었으며 이창옥 총무이사가 사회를 보았다. 공로상 은 아주대 고계원 교수, 학술상은 카이스트 고기형 교수가 각각 수상하였고, 상산젊은수학자상은 포항공 대 배명진 교수와 고등과학원의 이정연 박사가 수상하였다. 부상으로 공로상과 학술상 수상자에게 각 100만원, 상산젊은수학자상 수상자에게는 각 500만원이 수여되었다. 공로상 수상자 고계원 교수(아주대) 학술상 수상자 고기형 교수(카이스트) 상산젊은수학자상 수상자 배명진 교수(포항공대) 정기총회는 시상식이 끝나고 바로 있었으며, 이창옥 총무이사가 사회를 보고 서동엽 회장이 의장으로 서 총회를 진행하였다. 총회에서 신동관 총무부회장, 김선자 재무이사, 송용진 KMO 부회장, 박형주 ICM 조직위원장, 금종해 학술부회장의 업무보고가 있었고, 이중섭 감사의 감사보고, 신동관 대의원회 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 7

7 의장의 대의원회 개최결과 보고, 2012년도 사업계획과 예결산에 대한 심의가 있었다. 또한 지난 2010 년 가을 연구발표회와 2011년 봄 연구발표회, 그리고 2011년 수학교육심포지엄을 개최한 포항공대 수 학과, 고려대 수학과, 호남수학회에 감사패 증정이 있었다. 대의원회 21일 오전에 대의원회가 신동관 의장의 주재 하에 개최되었다. 2012년도 사업계획에 대한 보고가 있 었고, 차기회장 선거관리위원회를 구성하여 위원장에 김낙중 교수(한림대)를 선출하였다. 연회 시상식이 끝난 후, 경북대학교 복현회관에서 경북대학교에서 제공한 연회가 열렸다. 김성숙 부회장이 사회를 보고, 경북대 60년사를 경북대 정일봉 교수가 소개하였다. 경북대 수학과 60년의 빛바랜 사진들 을 슬라이드로 감상하고 화기애애한 분위기 속에서 연회를 즐겼다. 특히 외장하드, 문화상품권, 도자기 컵, USB 등 어느 때보다 많은 경품이 준비되어 참석자들을 흐뭇하게 만들었다. 학회 이모저모 성공적인 학회를 위하여 총무단과 학회 사무국 직원들이 두 차례 경북대 답사를 다녀왔다. 답사 때마 다 경북대 교수님들의 환대를 너무 후하게 받아 경북대에서 자주 했으면 좋겠다는 생각을 하였다. 이런 발칙한 생각을 하게 해주신 경북대 교수님들께 감사드린다. 이번 학회에서 특별히 기획한 것은 자연과학대학 1층 입구 앞에 텐트를 친 것이었다. 경북대 캠퍼스 의 가을 정취를 느끼고자 텐트를 치고 전시업체를 배정하여 공간 사용의 효율성을 높인다는 기가 막힌 아이디어를 총무단이 내었다. 비가 오면 어떡하나 하는 우려도 있었지만 김영호 부회장께서 대구의 가을은 비가 없다고 하셨다. (현지인의 말은 믿어야쥐!) 박여진 국장은 가을학회마다 비가 안 온 적이 없다는 징크스를 얘기하였는데, ㅎㅎ 결국 학회 당일 날씨가 흐리더니 비가 온단다. 부랴부랴 전시업체 들을 건물 안으로 다 밀어 넣고 말았다. 텐트 설치비용이 아까워 죽겠는데 아무도 비난을 하지 않으니 더더욱 민망하다. 후임 총무단이여, 징크스를 가볍게 여기지 말지어다. 연회는 주관학교에서 가장 부담스러워 하는 부분이다. 그래서 다음부터는 연회를 하지 않아도 되는 조건으로 연구발표회 장소를 섭외하기로 하였다. 이번 연회가 마지막 만찬이라는 생각에 엄숙하게 음식 을 마구마구 먹었다. 이번 학회에는 현장에서 연구비 카드로 지불하는 경우에 한하여 참가등록비가 인상되었다. 학회 재정 건전화를 위하여 앞으로는 사전등록의 경우에도 연구비 카드로 지불하는 경우 등록비를 인상할 예정이 며, 매 학회마다 연구비 카드로 지불하는 등록비가 조금씩 인상될 예정이다. 등록비 많이 올라, 건전재 정 이룩하자!! 학회 준비를 하면서 정말로 느낀 것 : 박여진 국장 이하 사무국 직원들의 노고가 없었으면 도저히 불 가능한 학술대회를 하였다. 항상 감사하게 생각하지만 그래도 한 번 더 수고한 직원들에게 감사의 박수 를 보낸다. 짝짝짝! 2012년도 봄학회는 숙명여대에서 개최될 예정이다. 아쉬운 마음으로 헤어졌지만 6개월 후에 다시 만나 서로의 수학실력 일합을 겨루어 보기를 기대하며, 아듀. 단체 사진 등 가을학회 관련 사진은 뒤표지 속면을 참조하시기 바랍니다. 8 대한수학회소식 제 140호

8 기획기사 ICME의 수학교육학 상 - 클라인 상과 프로이덴탈 상 최은미 (한남대학교) 대한수학회소식 편집위원회에서는 제12차 국제 수학교육대회(ICME-12)의 개최를 1년 앞두고 관련 기사를 시리즈로 기획하였습니다. 1) 제138호(2011년 7월호) <ICME-12 준비 상황> 2) 제139호(2011년 9월호) <ICME와 ICMI 그리고 ICM과의 역사적 관계> 수학자 최고의 영예라고 하는 필즈상은 1924 년에 토론토에서 개최된 국제수학자회의(ICM) 에서 토론토 대학의 교수인 J.C. 필즈에 의해 제안되었다. 필즈는 러펠러와 함께 계획을 하고 자신의 재산을 기부함으로써 가시화하였으며, 1932년 제9회 ICM에서 필즈교수의 제안이 채 택되어 1936년에 노르웨이 오슬로 회의 때 첫 수상자가 선정되었다. 4년마다 열리는 ICM에서 지난 4년간 수학 발전에 획기적인 업적을 남긴 수학자에게 수여되는 가장 영예로운 상으로써 4명 이하의 수상자와 40세 이하의 연령을 규정 으로 갖고 있다. 1908년도에 설립된 국제수학교육위원회(ICMI) 도 수학교육분야에서 큰 공헌을 한 사람들의 공로를 인정하고 격려하기 위해 상을 제정하려 고 오랫동안 준비해오고 있었다. 그 결과로 2000년에 수학교육과 관련한 두 개의 상을 제 정하면서 그 상의 이름을 클라인 상(Felix Klein Award)과 프로이덴탈 상(Hans Freudenthal Award)이라고 명명했다. 이는 ICMI의 초 대회장으로써 수학과 수학교육에 위대한 업적 을 남긴 펠릭스 클라인과 ICMI의 8대 회장으로 써 수학교육에 중요한 업적을 남긴 한스 프로 이덴탈의 이름을 딴 것이다. 펠릭스 클라인 Felix Klein (1849~1925) 한스 프로이덴탈 Hans Freudenthal (1905~1990) 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 9

9 이 글에서는 두 명의 걸출한 수학자인 클라 인과 프로이덴탈이 수학교육분야에 남긴 업적 을 살펴보고 그들의 이름을 딴 ICMI의 수학교 육학 상에 대해 알아보고자 한다. 펠릭스 클라인 (1849~1925) 펠릭스 클라인은 1849년 4월 25일에 독일의 뒤셀도르프에서 태어났는데, 그는 자신의 생일 을 소수들의 제곱의 형태인 으로 쓰기 를 좋아했다고 한다. 클라인은 교육학적 문제에 대한 수학자들의 관심을 불러일으키기 위해 수 학자들이 1908년 설립한 국제단체인 ICMI의 초대회장이었다. 리(S. Lie)와의 대화에서 크게 자극을 받아 시작한 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)은 1872년에 23살이던 클라인이 에를랑겐대학 교수로 취임할 때 제시한 것인데, 기하학을 대칭군의 불변성으로서 재구성하고 재개념화하려는 것으로서 그의 가장 뛰어난 수학 업적중 하나로 평가된다. 그러나 이것은 보통 알려져 있는 것처럼 그의 취임식 연설의 주제는 아니었다. 오히려 그의 주제는 The pedagogical principles and goals for my future academic activity (나의 미래의 학문적 활동을 위한 교육학적 원칙과 목적). 이었다. 다시 말해서 그는 수학교육에 관한 취임사를 한 것이다(Rowe, 1985). 그 강연에서 클라인은 지 식의 연합을 주장하면서 특별히 과학과 인문학 사이의 관계를 돈독히 할 필요성을 강조했다. 수학에서 그는 순수 분야만큼 응용 분야의 옹호 자였으며, 수학과 다른 과학의 상관관계를 알아 야 한다고 했다. 엄격하고 논리적인 기술에 집 중하는 한편, 직관과 추론 능력의 양성을 강하 게 주장했다. 수학교육학과 관련하여 학교교사 들을 위한 수학적 준비에 신중한 관심을 기울 이는 것이 얼마나 중요한지를 분명히 표명했다. 클라인은 30편 이상의 교육학 관련 논문들과 저서를 출판했다. 그 중에 유명한 것이 저서 Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint (1924) 인데, 이것은 여러 언 어로 번역되어 여전히 많이 읽히고 있다. 그 책 은 수학교사들에게 학교수학 교과과정에 대한 확고한 수학적 시각을 제공하는 것을 목적으로 하고 있다. 그러나 그는 이 책으로 학생들에게 충분히 수학을 가르칠 수 있는 것은 아니라고 하면서 가장 존중받아야 하는 것은 초등학교 교사들의 업적이다. 계산의 원리를 모르는 어린 이들에게 수백 번 반복하여 가르칠 수 있는 훈련 방법이 무엇인지 상상해보라 (p.7~8). 고 썼다. 수학교육에 진정한 관심을 기울이지 않는 수학 자들은 수학교수법의 인식적이고 인식론적인 섬세함의 진가를 인정하는데서 실패를 하게 된 다고 했다. 이 문제에 대한 클라인의 민감성을 볼 수 있는 문장이 있다. 학교에서 음수를 가 르칠 때 얼마나 어려운 논리적 단계를 거쳐야 하는지 상상해보자. 처음 단계는 구체적인 수학 으로부터 형식적인 수학으로 전이되는 것을 경 험하게 된다. 이러한 전이의 완벽한 성취는 추 상화에서 고도의 능력을 필요로 한다. 수학교육에 대한 클라인의 공헌을 이야기할 때, 클라인은 한 개인에게서 그렇게 균형 있는 조화를 더 이상 기대할 수 없을 만큼 풍부한 재능을 구체적으로 보여주었다. 그는 경이적으 로 일찍 최고 경지에 이른 수학자였으며, 그 시 대의 전체 수학을 통합하는 고상한 견해를 가 진 수학자였다. 그는 엄격함을 존중했지만 직관 과 상상을 좋아했으며, 수학은 과학과 실험적인 세계로부터 비롯되어야 한다고 주장했다. 그는 학교수학을 배우는 어린 학생들에게 놀랍도록 민감하고 교사들이 직면하는 어려움을 특별히 배려하는 학문분야로서의 수학에 밝은 빛이 되 어 주었다. 그 자신이야말로 수학자들과 미래의 수학교사들에게 타고난 교사이며 그는 그들을 전문가적 파트너로서 대우했다. 10 대한수학회소식 제 140호

10 한스 프로이덴탈 (1905~1990) 한스 프로이덴탈은 독일의 루켄발데에서 태어 나서 1931년에 베를린대학에서 위상군에 관한 논문으로 학위를 받았다. 졸업 후에 수리철학 분야의 직관주의자로 유명한 브라우어(L. E. J. Brouwer)의 조교수가 되어 네덜란드의 암스테 르담 대학으로 갔다. 히틀러가 권력을 잡기 바 로 직전이었는데, 1940년에 독일이 네덜란드를 침공하자 유대 혈통이었던 그는 1941년에 나치 에 의해 암스테르담 대학으로부터 직무 정지를 받았다. 그의 아내가 유대인이 아니었기 때문에 수용소로 보내지지는 않았지만, 전쟁동안 숨어 지낼 수밖에 없었다. 그 기간 동안 소설들을 썼 는데 그것들 중 하나는 유대인이 아닌 친구의 이름을 사용하여 응모했던 대회에서 수상한 경 력이 있다. 1946년 이후로 네덜란드 위트레흐트 대학에 서 일하면서 순수 및 응용수학 그리고 수학기 초론을 담당했다. 프로이덴탈은 수학과 문화면 에서 놀라울 정도로 폭넓은 관심을 가지고 있 었다. 수학에서 위상수학과 리군, 논리 그리고 확률, 통계에 관한 연구를 하여 그에 관련된 교 재를 저술했으며 수학의 대중화에 관한 책도 썼다. 오랫동안 수학에 큰 업적을 남겼으나 1955 년 이래 수학교육으로 관심을 돌렸다. 그 무렵 네덜란드를 대표해서 ICMI에 참여했는데, 곧 두각을 나타내기 시작해서 네덜란드 대표를 거 쳐 ICMI 집행부의 일원으로 활동했다. 그리고 1966년에서 1970년까지 ICMI의 회장으로 활 약했다. 1968년에 국제 학술지인 Educational Studies in Mathematics를 창간했고 오랫동안 편집자로 일하면서 수학교육에 관한 다방면의 연구와 출판을 했다. 그는 타고난 언어학자였으 며 심지어 우주인과 의사소통을 하기위해 언어 를 개발하기도 했다. 디외도네(J. Dieudonné)와 논쟁을 하는 동안 프로이덴탈은 나에게 소리 지르지 마시오. 나는 당신보다 더 크게 소리 지 를 수 있으며 더욱이 여러 언어로도 할 수 있 단 말이요 (Howson, 2004). 라고 했다고 한다. 1970년도에 전 세계에 유행처럼 번졌던 수 학교육개혁(New Math 또는 Mathematiques Modernes)의 방향과 International school achievement studies에 대해 격렬한 비난을 하면서, 새수학의 열풍으로부터 혼자서 네덜란 드를 지켜냈다. 또한 그 시대의 교육학적 연구 의 큰 흐름이었던 통계적이고 심리학적인 성향 도 강도 높게 비난했다. 그는 모든 사람을 위 한 수학 을 신봉하면서 소규모의 이종 집단(미 국의 적성별, 영국의 능력별 학급편성에 반대 함)에 호감을 가졌다. 말년에 그는 초등수학교 육으로 관심을 집중했다. 1971년에 위트레흐트 대학교에 Instituut Ontwikkeling Wiskundeonderwijs, Institute for Development of Mathematics education (IOWO)를 설립했는데, 이것 은 그의 사후인 1991년에 프로이덴탈 연구소라 고 개칭되어서 오늘날 과학과 수학교육에 집중 하고 있다. 프로이덴탈은 수학은 본질적으로 지식의 총 체가 아니라 인간의 활동이라고 여겼다. 그는 지식 체계로서의 기성 수학과 활동으로서의 실 행 수학 을 구분하고 실행 수학을 체험하는 것 이 중요하다고 말했다. 현실을 수학적으로 해석 하여 추상화하고, 이를 다시 현실에 응용하는 과정에서 수학의 개념이 생겨나는 맥락을 이해 하면 더욱 생동감 있고, 역동적으로 수학을 경 험할 수 있다는 주장이다. 그는 수학교육도 이 와 유사해야 한다고 강하게 촉구했다. 그는 수 학교육은 현상 주위의 실제에 기초를 해야 한 다고 주장하면서, 조직화되어야 한다. -그는 이 러한 과정을 실제 문제의 수학적 모델화나 또 는 수학적 아이디어이 합성과 구성을 조직하는 형태인- 수학화 라고 불렀다. 연역적 접근을 반 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 11

11 대하여, 오히려 구체적인 문제로부터 점차 일반 화되도록 개발하는 것을 좋아했다. 프로이덴탈이 수학교육에 끼친 업적을 어떻게 설명할 수 있을까? 클라인이 수학교육에 대한 수학계의 외교관이었다면, 프로이덴탈은 수학교 육영역에서 완숙한 경지에 도달했다. 그는 그의 시대에 널리 퍼져있던 교육학적 이론에 상당히 능통했고 지적으로 잘 훈련된 비평가였다. 강한 신념과 자신의 원칙을 가지고 풍성한 저술활동 으로 자신의 생각을 주장했다. 스스로 개발한 교육과정과 교수학 아이디어로부터 실험적인 교 수법을 실행하면서, 자신의 유산을 지속시키기 위한 교육기관을 만들었다. 프로이덴탈은 매력 적이고 논쟁을 좋아하고 독재적인 성향이 있었 으며 여러 일을 성취해 낸 활동가였다. 수학교육에서 클라인과 프로이덴탈 수학교육분야에서 이 두 사람의 공헌이 상당 히 다르기는 하지만, 클라인과 프로이덴탈은 초 중등 수학교육에 대해 수학자들이 관심을 갖는 것이 역사적으로 얼마나 오랜 전통이 있는 일 인지를 보여주는 대표적인 인물들이다. 두 명 모두 어린 학생들이 수학을 경험하는 바람직한 상황에 대한 심미적 견해를 가졌으며, 학교 교 육과정에 수학적 통합의 중요성에 큰 관심을 보여 주었다. 그러나 두 명이 공헌한 연구에는 서로 상이한 점이 많이 있다. 클라인은 학교 수준의 교육과정을 조사하고 새로운 비전을 제시했으며 광범위한 수학적 전 망 안에서 교육과정이 자리 잡도록 했다. 그는 수학자가 할 수 있는 중요한 공헌의 모델이 되 었을 뿐만 아니라 그러한 공헌에 절대적으로 중요한 겸손의 미덕을 보여주었다. ICMI의 창 설은 수학과 교육계 사이의 학회 제도적 연결 고리의 기초를 마련한 것이다. 한편 프로이덴탈 은 수학자와 수학교육자들 사이의 상호 작용을 위한 새로운 구조를 구체적으로 조성했다. 특별 히 국가 간에 그리고 분야의 경계를 넘어서 정 기적으로 의견을 교환할 수 있는 국제적인 단 체를 만들었다. 그러나 클라인과는 달리, 프로 이덴탈은 학생들의 수학 학습의 기회를 늘리는 데 직접적으로 관여했다. 어린 학생들이 수학화 가 되기 위해 어떻게 해야 하는지에 대해, 또한 수학적 기술과 지식을 개발하기위해 어떻게 지 원해야 하는지에 대한 실질적인 아이디어를 개 발했다. 그의 아이디어는 오늘날까지 계속되는 중요한 연구와 교과과정 개발의 초석이 되었다. 클라인과 프로이덴탈은 각자의 길에서, 수학 적 감각과 견해의 접합이 어린학생들의 수학교 육에 어떻게 영향력을 미칠 수 있는지를 보여 주는 본보기이다. 또한 각각은 수학자들이 수학 교육에 참여하는 가능한 본성과 합법성을 확립 하는데 큰 공헌을 했다. ICMI의 클라인 상과 프로이덴탈 상 1908년에 로마에서 설립된 ICMI는 수학교육 연구에서 뛰어난 업적을 올린 사람에게 수여하 는 상을 2000년에 제정했다. 1908~1920년에 ICMI의 초대 회장이었던 클라인과 1967~1970 년에 ICMI 8대 회장이었던 프로이덴탈의 이름 을 딴 상이다. - 클라인 상 : 평생에 걸쳐 수학교육에 공로를 남긴 사람에게 수여 - 프로이덴탈 상 : 뛰어난 연구 업적을 만든 사람에게 수여 이 상들은 수학교육에서 특출한 학자에게 수 여되는 것으로서 그들의 노력을 치하하는 것 뿐 만아니라 그 영역의 높은 수준을 대중에게 인식시킴으로써 더 많은 발전을 조장하는데 목 적이 있다. 이 상들은 2003년부터 시행하여 매 홀수 연도에 수여하며, 그 다음에 열리는 국제 수학교육회의(ICME)에서 메달을 증정하고 수상 자들은 강사로 초정된다. 12 대한수학회소식 제 140호

12 클라인 메달 프로이덴탈 메달 메달의 뒷면 클라인 메달과 프로이덴탈 메달의 앞면에는 두 사람의 얼굴이 새겨져 있으며, 뒷면에는 ICMI의 로고가 있는데 단체의 이름을 프랑스어 (Commission internationale de l enseignement mathématique)로 써서 테두리를 두르고 있다. 이것은 ICMI의 초창기에 프랑스가 한 중 요한 역할을 증언해준다. 메달의 제작은 예술과 디자인으로 유명한 프랑스의 학교 École Boulle에서 하는데 1886년에 설립된 이 학교는 루 이 14세 때의 유명한 가구제작자였던 André -Charles Boulle의 이름을 딴 것이다. 메달의 수상자는 국제적으로 저명한 학자들 로 구성된 수상위원회(AC)에서 결정된다. ICMI 회장이 6명의 수상위원을 지명하는데 그 6명은 회장 이외에는 서로 알지 못하도록 되어있으며, 수상위원회의 임기가 종료된 후에 공식적으로 이름을 공표한다. AC는 8년 임기로서 재선불가 이며 4년마다 3명의 위원이 교체된다. 이 위원 회는 완전히 자치권을 가져서 그들의 역할과 기록은 내부적인 것으로서 완전 비밀보장이 된 다. AC는 수여자를 선정하는 완전한 권리를 가 져서 그들의 결정은 최종적이다. 2003년도에 수여한 1회 클라인 상은 Univ., Institute for Teacher Education (IUFM) of Aquitaine in Bordeaux의 명예교수인 G. Brousseau에게 주어졌는데, 교수학적 상황이론 (theory of didactic situations)을 개발하여 수 학 교수-학습에 응용했던 평생 업적이 인정된 것이었다. 또한 프로이덴탈 상은 Institute of Education of the University of London의 교 수인 C. Hoyles에게 돌아갔는데 수학교육에서 테크놀로지의 교수 도구적 사용에 관한 연구 업적이 인정되었다. 두 수상자는 2004년 코펜 하겐 ICME-10에서 초청연설을 했다. 연도 Guy Brousseau <역대 수상자> Felix Klein Medal Gilah Leder (La Trobe Univ.) Jeremy Kilpatrick (Univ. of Georgia) Ubiratan D'Ambrosio (UNICAMP) Guy Brousseau (IUFM) Celia Hoyles Hans Freudenthal Medal Yves Chevallard (IUFM) Anna Sfard (Univ. of Haifa) Paul Cobb (Vanderbilt Univ.) Celia Hoyles (Univ. of London) 2009년도의 클라인 상과 프로이덴탈 상의 수상자는 각각 G. Leder(호주)와 Y. Chevallard (프랑스)이었다. 2011년도 수상자 2명(아직 공 표되지 않음)과 함께 2012년 ICME-12 한국에 서 열리는 개회식에서 연설을 하게 되어있다. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 13

13 수학계의 최근동향 사교기하와 플로어 이론에 대하여 조철현, 홍한솔 (서울대학교) 1. 서론 사교 위상 또는 기하학(Symplectic Topology or Geometry) 은 위상, 기하의 한 분야로, 사교형식을 이 글을 통해, 이와 같은 지난 20여년간 발전의 밑바탕에 있는 기본적인 아이디어들을 간추려 이야기 하고자 한다. 가지고 있는 다양체를 연구하는 학문이다. 또한 이 는 고전역학, 양자화 등의 물리 이론을 수학적으로 기 술하는데 필수적인 도구가 된다 ([1] 참조). 이러한 사교기하는 80년대 중반부터 새로운 방향으로 획기 적 발전을 이루는데, 이는 이때 개발된, 그로모프(M. Gromov) 의 유사복소 곡면 (J-holomorphic curve) 이론[10]과 플로어 (A. Flöer) 의 호몰로지 이론[7] 덕분이다. 이들 이론들은 사교기하학을 연구하는 방 법을 완전히 바꾸어 놓았다. 그 후, 물리학의 초끈 이론(super string theory)에서 발견된 거울대칭 가 설(mirror symmetry conjecture) 로 인해, 사교기하 이론과 대수 기하, 복소기하 이론 및 특이점 이론 등 다른 여러 분야와의 밀접한 관계(특정한 동치관계)가 발견되어 왔다. 2. 사교 구조 사교 구조의 개념은 고전역학에서부터 출발한다. 예를 들어 흔들리는 시계의 추나, 날아가는 야구공을 생각해 보자. 물체의 궤적을 위치와 속도로부터 알 수 있으므로, 위치와 속도를 좌표로 갖는 공간을 생각 하자. 예를 들어 직선 위를 움직이는 물체의 위치를 q, 속도를 p 라 하면, qp-평면 R 2 에서의 사교구조란 이 평면(Phase space)의 넓이를 측정하는 미분형식 dq dp 다. 이때 qp-평면안에 주어진 구역 A를 생각하자. 평 면 위의 점들은 물체의 가능한 속도와 위치를 각각 나 타낸다. 시간이 지남에 따라, 물체의 운동궤적에 의해 구역 A의 점들이 이동하여 일정 시간 후에 구역 B에 도달한다고 하자. 이때 사교 구조를 사용하여, 구역 A 14 대한수학회소식 제 140호

14 의 넓이와 구역 B 의 넓이를 측정하면, 고전 역학의 운동들은 이들의 넓이를 보존함을 확인할 수 있다. 일반적으로, n 차원 공간의 물체의 경우, n 차원 phase space는 2n 차원 공간이 되고, 역학계의 운 동은 이 공간의 부피를 보존할 뿐만 아니라, 2차 미분 형식 ω 0 = (dq 1 dp 1 + dq 2 dp dq n dp n ) 을 보존하게 되는데, 이러한 미분형식을 사교형식이라 한다. 해밀톤 방정식 q = H p, ṗ = H q 의 flow인 해밀톤 동형사상은 위와 같이 정의된 사교 형식 ω 0 를 보존하게 된다. 일반적인 다양체에서, 닫힌 2차 미분형식 ω 가 (rigidity) 과 유연성 (flexiblility) 이 흥미롭게 뒤섞여 있다. 강직성이란 간단히 말해 주어진 (사교) 구조를 보존하는 가운데 사물이 임의로 변형되기 어렵다는 것으로, 구조가 지닌 엄격성을 설명하는 것이다. 반대 로 유연성은 이렇게 엄격한 기하학적 구조가 부족한 정도를 나타낸다. 두 가지 예를 통해 이러한 사교 구 조의 복합적인 성질들을 알아본다. 강직성을 보여주는 첫 번째 예로 그로모프의 유 명한 Non-squeezing 문제를 생각해 볼 수 있다. 사교 공간 R 2n 에 있는 반지름 R 의 원기둥 Z(R)을 생각하자. 즉 non-degenerate 조건을 만족하면, 사교 형식이라고 한다. 사교 위상/기하학에서는 이러한 사교형식 ω 와, 이를 보존하는 사교 동형사상(symplectomorphism) 및 해밀톤 동형사상 (Hamiltonian diffeomorphism) 의 성질을 연구하게 된다. 다부(J-S. Darboux) 정리에 따르면, 좌표계를 잘 정할 경우, 어떠한 사교형식도 한 점 근방에서 표준적 인 형식 ω 0 와 같아진다. 따라서, 사교 다양체는 국소 적으로 보면 모두 같은 모양이 되고, 이를 연구하기 위해서는 국소적이 아닌 대역적인 불변량을 관찰하여 야 한다. 1980년대 중반에 만들어진 그로모프의 유사 복소 곡면 이론과 플로어의 호몰로지 이론은 사교 다 양체의 전체적인 불변량을 만들어 내는 매우 효과적인 방법을 제공하였고 이를 통해 사교 구조를 연구하는 완전히 새로운 방향이 제시되었다. Z(R) = {(x 1, x 2,, x 2n ) R 2n x x 2 2 = R}. B(r) 을 R 2n 에 있는 반지름 r 공이라고 할때, 사교 동형사상을 이용해 B(r) 을 원기둥 Z(R) 안에 넣을 수 있는지가 그로모프의 질문이다. 원기둥의 부피는 무한하고 공의 부피는 유한하다. 따라서 언뜻 부피를 보존하는 범위에서 공을 잘 찌그려 뜨리면 공을 원기 둥 안으로 넣을 수 있을 것이라 생각하기 쉽다. 그러나 실제로 이는 r < R 인 경우에만 가능하다는 것이 증 명되어 있다. 이 예에서 사교 구조를 보존하는 사상은 단순히 부피를 보존하는 것 이상의 정교한 성질들을 가지고 있음을 알 수 있는데, 이 정리는 사교 위상 혹 은 symplectic rigidity theory의 주요한 출발점 중 하나이기도 하다. 3. 강직성과 유연성 사교 구조는 짝수 차원의 다양체에서만 정의할 수 있고 사물의 2차원적인 성질을 측정한다는 점에서 유 클리드 또는 리만 기하학보다는 복소 구조와 자연스 레 연관된다. 하지만, 사교 구조는 복소 구조만큼 강직 (rigid)하지는 않은데, 바로 이점이 사교 구조가 지닌 큰 매력 중 하나이다. 즉, 사교 구조 속에는 강직성 Figure 1. Non-squeezing 현상 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 15

15 한편, 사교 구조는 때로 매우 유연한 모습을 보이 기도 하는데, 이는 앞에서 설명한 다부 정리나, 모저 (J. Moser) 의 사교 구조의 연속적인 변형 기법에서 볼 수 있다. 다양체 M 위에 두 사교 형식 ω 0, ω 1 이 주어져 있고, 이들이 같은 코호몰로지 원소를 정의한 다고 하자. 만약 ω 0, ω 1 을 연결하는 사교 형식들의 경로 ω t 가 있다면 모저의 변형 기법은 다양체 M 의 동위사상 ϕ t : M M 이 존재하여, ϕ t (ω t ) = ω 0 를 만족하게 할 수 있음을 증명한다. ω 0 를 연속적으로 변형하여 ω 1 을 얻을 수 있다는 것이다. 모저 이론을 국소적으로 적용하면 앞서 말한 다부 정리를 쉽게 증 명할 수 있는데, 이 역시 국소적인 사교 구조가 다양 하지 않음을 설명한다. 해밀톤 함수(Hamiltonian)란 사교 다양체 위에 주 어진 C 함수로서 물리학적으로 계의 총 에너지라고 생각할 수 있다. 사교 다양체 (M, ω) 위에 해밀톤 함 수 H 가 주어져 있다고 하자. ω 의 non-degeneracy 로부터, ω(x H, ) = dh 를 만족하는 벡터장 X H 를 정의할 수 있다. 이 때 X H 의 flow, 즉 d dt ϕ t = X H ϕ t 를 만족하는 ϕ t 를 얻고 ϕ 1 을 해밀톤 동형사상이라고 부른다. 이러한 해밀톤 동형사상은 에너지를 보존하게 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 고전 역학의 경우 해밀톤 동형사상은 역학에서 의 물체의 운동을 기술한다. 60년대에 아놀드 (V. I. Arnold)는 계에 있는 물체들 중 주기적인 궤적을 그 리는 물체, 즉 ϕ 1 (x) = x 인 orbit들의 개수가 다양 체의 베티 (Betti) 수 (호몰로지의 rank) 보다 많다는 유명한 가설을 남겼다. 이 가설은 플로어 호몰로지 이 론이 개발되는 원동력이 되었다. 이외에도 해밀톤 동 형사상들이 이루는 군 Ham(M)과 사교 동형사상들 의 군 Symp(M)에 관한 사교 위상의 흥미로운 결과 들이 있다. 예를 들어 반야가(A. Banyaga)[3]는 M 이 옹골, 연결 사교 다양체일 때 Ham(M) 이 항상 단순군이 됨을 증명하였다. 4. 플로어 이론 및 유사복소 곡면 아놀드가 제시한 가설을 해결하기 위해, 플로어가 콘리(C. Conley), 젠더(E. Zehnder), 그로모프, 위튼 (E. Witten) 등의 아이디어를 바탕으로 만들어낸 호 몰로지 이론이 해밀토니안 플로어 이론이다. 다양체 위에 있는 닫힌 곡선(loop)이 움직이고 있다고 생각 해 보자. 이 곡선의 궤적은 원통모양과 비슷하게 보일 것이다. 플로어 이론은, 이러한 닫힌 곡선들로 만든 Loop공간에 모르스 (Morse) 호몰로지 이론을 적용 하여 만들어 졌다. 즉 Loop공간에서 특정한 에너지 함수를 생각하고, 그 함수의 극점과, loop가 기울기 (gradient) 벡터장을 따라 움직이며 만드는 원통형 곡 면을 연구하게 된다. 이때 Loop공간에 적당한 거리의 개념을 제공하면, 이 원통형 곡면이 유사복소 곡면이 되도록 할 수 있다. 유사복소 곡면은 다음과 같이 정의된다. 먼저 복소 구조를 일반화한 almost 복소 구조는 다양체 M 의 각 점 x 에서 정의된 선형함수 J : T x M T x M 로 J 2 = Id를 만족하지만, Integrable할 필요는 없다. 이때 다양체 M 의 유사복소 곡면이란, 2차원 곡면 Σ 에서 다양체로 가는 함수 u : Σ M 로서, Cauchy- Riemann 방정식 J u = 0 을 만족하는 경우를 말한 다. 복소 구조가 아닌 almost 복소 구조가 도입된 이 유는, generic한 J 를 택함으로써 유사복소 곡면들을 모은 모듈라이 공간이, 더 좋은 횡단성(Transversality)을 만족하게 하기 위함이다. 이러한 함수들은 국 소적으로 복소 다양체 상에서의 복소 해석(holomorphic) 함수와 같은 좋은 성질들을 갖고 있고, curve 위에서 정의된 경우, 이를 연구하는데 elliptic 편미분 방정식(PDE) 이론을 사용할 수 있다는 이점이 있다. 이러한 elliptic 성질로부터 해가 smooth해지고, 그 해 공간이 유한 차원이 되는 것도 큰 장점이다. 그로모프의 유사복소 곡면 이론의 가장 중요한 특 징은 옹골성 (Compactness) 이다. 예를 들어 일반적 16 대한수학회소식 제 140호

16 인 곡면 위의 함수들을 모아두고 이들이 변형되는 모 습을 보면, 매우 임의적이어서 그 극한을 제어하기 힘 들다. 하지만 유사복소 곡면의 경우, 이러한 극한이 항 상 여러개의 유사 복소 곡면이 붙어있는 모양으로만 나타난다는 것이 그로모프의 옹골성 정리이다. 그 이 유는 곡면들의 사교 에너지 (symplectic energy) 를 한정할 경우, 곡면의 미분치 du 2 의 L 2 -노름(norm) 이 제한되어 극한이 특정한 형태로만 나타나기 때문이 다. 즉, 극한을 취했을때 어떤 한 점 주위에 미분치가 점점 커지는 경우 scaling을 통해 그 극한을 다른 곡 면이 생겨나는 것으로 볼 수 있어 버블(Bubbling) 현 상이 일어나게 된다. 구(sphere)에서 가는 유사복소 곡면의 경우, 버블이 생기게 되면, 구면이 여러개 붙어 있는 포도송이와 같은 극한을 가질 수 있다. 5. 양자 코호몰로지와 플로어 이론 양자(Quantum) 코호몰로지란 사교 다양체의 일반 적인 코호몰로지 환 (ring) 을 확장한 개념이다. 일반 적인 코호몰로지의 합곱(cup product)구조란 부분집 합들의 횡단 교차에 관한 정보로부터 얻어지는데, 양 자 코호몰로지의 합곱구조는 부분집합들의 양자적 교차에 관한 정보에서 얻어진다. 여기에서 양자적 교 차란, 두 부분집합이 서로 직접 교차하지 않더라도 유사복소 곡면을 통해 교차하는 것을 말하며, 동시에 만나는 유사복소 곡면의 개수를 사용하여 합곱을 정 의하게 된다. 또한 주어진 사이클 (cycle) 들을 만나 는 유사복소곡면의 개수는, 그로모프-위튼 불변량으 로 정의된다. 이러한 불변량들을 곡면의 호몰로지 정 보, 사이클에 따라 체계적으로 모으면, 프로비니우스 (Frobenius) 다양체 구조를 가지게 됨이 알려져 있 다. 거울대칭 가설은 이러한 정보가, 특이점 이론의 특정한 potential 함수에 대한 연구에서 나타나는 프 로비니우스 다양체 구조와 일치한다는 추측을 제시하 고 있다. 이때의 potential 함수는 라그랑지안 경계를 갖는 복소 원판의 정보로 부터 얻어짐을 오용근 교수 와 발견하였다 ([5]). 한편 Loop공간에서 정의된 플로어 코호몰로지가 양자 코호몰로지와 같다는 것이 알려져 있다. 이는 Figure 2. 유사복소 곡면 및 그 극한 플로어 코호몰로지가 모듈로서는 일반적인 다양체의 코호몰로지와 같음을 의미하며, 이 사실은 아놀드 가 설을 증명하게 된다. 또 한편으로는 양자 코호몰로지 2차원 곡면 Σ 가 경계 Σ 를 가지는 경우, 유사 복소 곡면은 일반적으로 라그랑지안 경계 문제 (Lagrangian boundary problem) 로 정의된다. 이러한 경우에도, Cauchy-Riemann 방정식이 여전히 elliptic PDE가 되어 그 해 공간이 좋은 성질을 잃지 않 는다. 또한 그로모프 옹골성 정리가 성립하고, (Lagrangian boundary 조건을 가지는) 원판이 Σ에 덧 붙는 형태로 버블현상이 나타나게 된다. 의 정보 (양자적 교차 정보) 가 다름 아닌 사교 다양 체의 해밀톤 역학에 대한 정보를 가지고 있음을 의미 하기도 한다. 실제로, 90년대 이후 사교 다양체에서 해밀톤 역학에 관한 연구는 대부분 플로어 호몰로지 또는 양자 코호몰로지를 주요한 도구로 사용하였다. 예를 들어 비터보(C. Viterbo), 오용근, 슈와르쯔(M. Schwartz) 에 의해 개발된 스펙트럴 불변량(spectral invariant)은 이러한 양자 코호몰로지 정보로부터 사 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 17

17 교 기하 정보를 이끌어내는 가장 중요한 방법 중 하 나이다. A-infinity 변형 이론을 이용하여 unobstructed(혹 은 weakly unobstructed) 경우 라그랑지안 플로어 호몰로지를 정의할 수 있다. 6. 라그랑지안 플로어 이론 및 푸카야 범주 라그랑지안 부분다양체 L은 사교형식을 T L에 국 한시킬 경우 0이 되고, 사교다양체와 비교해 정확히 절반의 차원을 갖는 부분다양체이다. 현대 사교 기 하학이 발전되는데 결정적인 역할을 한 바인슈타인 (A. Weinstein) 교수가 유명한 명언 Everything is a Lagrangian submanifold. 을 남길 정도로 이는 사 교 기하학에서 핵심적인 개념이다. 라그랑지안 플로어 이론은 라그랑지안 부분 다양체 를 이용하여 정의된다.(이는 해밀토니안 플로어 이론 의 확장으로도 간주될 수 있다). 사교 다양체 M 의 두 라그랑지안 부분다양체 L 1 과 L 2 의 교점들이 chain complex를 생성하는데, boundary map은 두 교점을 양극한으로 가지는 띠 모양의 유사복소 곡면을 세는 것이다. 이때 유사복면 곡면의 두 boundary component가 각각 L 1, L 2 위에 놓여 있어야 한다는 것이 라그랑지안 경계 조건 (Lagrangian boundary condition) 이다. 플로어 [7]가 cotangent bundle 또는 사교 형식이 exact인 경우에 대해 처음으로 라그랑지 안 호몰로지 이론을 정의했으며, 오용근[13]에 의해 보다 일반적인 monotone 경우로 라그랑지안 플로어 이론이 확장되었다. 이후 푸카야(K. Fukata), 오용근, 오노(K. Ono), 오타(K. Ohta)가 일반적인 이론을 유 명한 FOOO[9] 를 통해 완성하였다. 이때, 곡면에 원판이 덧붙는 버블현상 때문에 라 그랑지안 플로어 이론에서는 일반적으로 호몰로지가 Figure 3. 라그랑지안 플로어 이론 라그랑지안 플로어 이론을 확장하면, 사교 다양체 의 Fukaya A-infinity 범주를 정의한다. 푸카야[8] 범주는 라그랑지안 부분다양체들을 object로, 두 라그 랑지안들 사이의 morphism을 교점들로, 그리고, 유 사복소곡면을 사용해 morphism에, A-infinity구조를 갖는 대수적인 구조이다. 주의할 점은 morphisme들 간의 결합 법칙이 homotopy적으로 성립하기 때문에, 일반적인 의미의 범주는 아니라는 것이다. 콘세비치가 13년전에 제시한 놀라운 호몰로지 거 울 대칭 가설 [11]에 의하면 지금까지 알려진 거울 대칭 가설은 한 다양체의 Fukaya 범주와 그 다양체의 거울 대칭이 되는 물체의 derived category of coherent sheaves 간의 보다 근본적인 동치관계를 설 명하고 있다. 대략적으로, 복소 다양체 X 의 복소 벡터 번들과 사교 다양체 ˇX 의 라그랑다양체와의 대응관계 및, 관련된 대수/사교 정보의 동치관계를 제시하고 있 다. 이러한 매우 흥미로운 거울대칭 가설에 관한 부연 설명은 지면 관계상 KIAS소식지 [4]로 대신하고자 한다. 정의되지 않는다. 때문에 FOOO에서는 유사복소 원판 들의 모듈라이 공간의 경계를 잘 분석하여, 매우 흥미 로운 A-infinity 대수(algebra) 구조를 정의한다. 따 라서, 주어진 라그랑지안 다양체에 호모토피 결합법 칙을 만족시키는 A-infinity 대수가 주어지고, 이러한 7. 곡면으로부터의 대수 구조 위의 새로운 이론들의 배경에는, 2차원 곡면이 매 우 중요한 요소로 등장한다. 일반적으로, 2차원 위상 18 대한수학회소식 제 140호

18 장 이론 (Topological Field Theory) 이란, Cobordism 범주에서,벡터 공간 범주로 가는 functor로 볼 수 있다. 풀어 말하면, 1차원 다양체인 원(S 1 )에 벡 터 공간 V 를, 원 n개에는 텐서 곱 V n 을 지정하고, input에 해당하는 a 개의 원과 output인 b 개의 원을 연결하는 곡면 Σ 에 선형함수 ϕ Σ : V a V b 를 대응시키는 functor를 말한다. 예를 들어 Y 자 모양의 Pair of pants 곡면은 곱 구조 V 2 V 를 주게 된 다. 이러한 선형 함수들은 가장 중요한 gluing 조건 을 만족해야 한다. gluing 조건은 이와 같은 형태의 곡면들 2개를 붙여 새롭게 input과 output을 가지는 곡면을 만들었을 때, 새로운 곡면에 대응되는 선형함 수가 이전의 선형함수들을 이에 맞게 합성하여 얻어진 다는 공리이다. 경계에 (input 및 output으로 지정된) 여러개의 점이 주어져 있고 이에 해당하는 선형함수를 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 또한 곡면에 추가적인 조건을 부여하여, Conformal 장론, Topological Conformal 장론 (약자로 TCFT) 등을 얻을 수 있다. TCFT는 conformal 구 조를 추가된 리만 곡면들의 모듈라이 공간을 생각하 고, 이 공간의 chain마다 선형 함수를 지정하는 것을 의미하며, 지정한 선형 함수들이 이러한 chain complex에서 오는 추가적인 관계를 갖게 된다. 그로모 프-위튼 이론은 closed TCFT, 라그랑지안 플로어 이론은 open TCFT 구조로 생각될 수 있다 또한, Closed 이론과 Open 이론을 연결하는 Open-Closed 이론도 존재한다. 예를 들어 (안쪽 구 멍이 비어있는) 원통 모양의 곡면을 생각하자. 원통 의 윗쪽 원을 Closed theory에 해당한다고 생각하 고, 원통의 아랫쪽 원에 input 및 output에 해당하는 여러개의 점을 추가하면, 아랫쪽의 Open theory에 Closed theory가 작용하고 있는 것으로 해석할 수 있다. 일반적으로, Closed theory는 Open theory에 Figure 4. 결합법칙 이러한 이론이 위상 장론이란 이름을 가지게 된 변형 (deformation) 을 주게 되는데, 이는 이러한 곡 면들이 주는 위상/기하적 구조로부터 어렵지 않게 알 수 있다. 것은 곡면들의 거리 구조 (metric) 를 고려하지 않고, 두개의 곡면이 위상적으로 같을 경우 같은 선형함수 를 준다는 공리 때문이다. 2차원 위상장론의 구조는 곱하기와 내적이 일정한 조건을 만족시키는 프로비니 우스 구조와 같음이 알려져 있다. 이렇게 닫힌 다양체인 원들을 사용하는 이론을 Closed theory라고 부르고, 이를 변형한 Open theory도 존재한다. 즉, 원 대신 선분을 사용하고 곡면 에 추가적인 경계를 허용하게 되면, open 위상 장론 (open topological field theory) 을 얻게 된다. 가장 간단한 예로, input과 output에 해당하는 선분들을 점 Figure 5. Open Closed 관계 으로 수축시켜 생각한다면, 경계가 있는 리만 곡면의 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 19

19 이에 비추어 보면, 그로모프 위튼 (또는 양자 코호 몰로지) 이론은 Fukaya 범주 이론에 변형 이론(Deformation theory) 으로 작용하며, Open theory로 부터 Closed theory를 만들어 내는 문제는 콘세비치 (M. Kontsevich)가 호몰로지 거울대칭 가설을 제시 한 94년부터 지금까지 활발하게 연구되고 있다. 8. 결론 사교기하학과 플로어 이론은 매우 폭발적인 발전을 거듭해 왔으며, 이러한 이론들은 지금까지 연구되어 오던 다양체들에 숨겨져 있던 새로운 (양자) 구조와, 흥미로운 문제들을 제시해주고 있다. 또한 거울대칭 가설을 통해 복소기하학, 대수기하학과의 놀라운 동 치관계가 여러 기본적인 경우에 대해 증명되었고, 또 한 일반적인 구조들이 밝혀지고 있다. 또한 최근 몇 년 사이에는 D-module 이론이나, Micro-local 이론 과의 밀접한 관계 또한 조금씩 알려지고 있다. 또한 이 글에서 전혀 다루지 못한 Contact 기하 이론이나, 사교 동역학적인 이론들도 새로운 기법들이 개발되어 활발히 연구되는 중이다. 이처럼 사교기하학은 수학 전반에 걸쳐 여러 분 야와 연관되어 있어 새로운 도전적인 문제들이 많이 [4] 조철현, 호몰로지 거울대칭가설이란 무엇인가,KIAS newsletter 2010, no 42. [5] 조철현, 오용근, Floer cohomology and disc instantons of Lagrangian torus fibers in Fano toric manifolds, Asian J. Math , [6] A. Flöer, The unregularized gradient flow of the symplectic action, Comm. Pure Appl. Math. 41, , [7] A. Flöer, Morse theory for Lagrangian intersections, J. Differential Geom. 28 no. 3, , [8] K. Fukaya, Morse homotopy A category and Floer homologies, GARC, Seoul National Univ., [9] K. Fukaya, 오용근, H. Ohta, K. Ono, Lagrangian Intersection Floer Theory, Ams/Ip Studies in Advanced Mathematic, [10] M. Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. math. 82, , [11] M. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, in an address to the 1994 International Congress of Mathematicians, Zurich, [12] D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford, [13] 오용근 Floer cohomology of Lagrangian intersections and pseudo-holomorphic disks I, Comm. Pure Appl. Math. 46, , 제시되며 앞으로도 활발하게 연구되고 발전될 것으로 기대된다. [참고문헌] [1] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, [2] M. Atiyah, Topological quantum field theories, Publications Mathematiques de lihes 68, , [3] A. Banyaga, Sur la structure du groupe des diffeomorphismes qui preservent une forme symplectique, Commentarii Mathematici Helvetici 53, no. 2, , 대한수학회소식 제 140호

20 원로수학자 와의 대화 소중한 만남 최태호 교수님 김성숙 (배재대학교) 캐나다에 계신 최태호 교수님의 한국 방문일정에 맞추어 지난 9월 24일(토)에 찾아뵙고 인터뷰를 진행하였습니다. 인터뷰에 응해주신 최태호 교수 님께 감사드립니다. 을 창간한지도 53년이 되어 동창회에서 기념행사 를 하는데, 내가 처음에 저널을 시작한 사람 중에 한 사람이니까 초청이 되어서 이번에 한국에 오게 되었어요. 교수님 그 동안에 성 함만 듣다가 직접 뵙게 돼서 영광입 니다. 더구나 이렇 게 인터뷰를 할 수 있는 기회를 주셔서 감사드립니다. 예, 반갑습니다. 이번에 한국을 방문하시게 된 동기가 있으신가요? 경북대학교 수학과가 시작한지가 지금 60년이 됐죠. 그래서 60주년 기념식을 금년 10월 7일에 합니다. 박정기 교수님이 돌아가신지도 10주년이 되었고, Kyungpook Mathematical Journal(KMJ) 선생님께서 대학에 입학하실 때 수학을 전공하게 되신 동기가 있으시다면 말씀해 주시겠습니까? 고등학교 때는 늘 운동을 좋아해서 운동하느라 어느 과목이 나에게 적성에 맞는지 그런 생각을 안했는데, 공부를 안 하고 시험을 쳐보면 언제 든지 다른 과목보다 수학 점수가 좋은 것을 보고 내가 수학을 다른 과목보다 잘하는 것 같다는 생 각을 했어요. 그것이 나중에 대학교에 들어가서 전공 선택을 할 때 수학을 선택하게 된 동기가 된 것 같아요. 중 고등학교 때부터 다른 과목보다 수학을 잘 하셨군요. 특별하게 잘해서 상을 받거나 그런 적은 전혀 없고요. 사실은 군대 갔다가 오니까 경북대학교가 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 21

21 시작이 됐어요. 제대 군인이라는 혜택으로 학기가 시작 한지 2개월이나 지난 후에 보결로 1952년에 문리과대학 수학과에 들어갔어요. 어느 과를 지망 하겠느냐 할 때 주저하다가 그래도 수학이 좀 좋 을 것 같아서 수학과에 들어가게 됐어요. 교수님께서는 학부를 졸업하시고 석사는 어디에서 하셨 나요? 학부를 졸업하고 경북대학교 대학원으로 바로 가서 석사학위를 마치고 경북대학교 문리과대학 수학과 조교로 남았죠. 지금은 자연과학대학으로 됐습니다만. 조교로 있다가 나중에 부교수까지 됐어요. 제 은사는 박정기 교수님이셨어요. 그 분 때문에 공부를 하게 됐어요. 그 후부터 미국 가기 까지 7년 동안 박정기 교수님의 지도를 받아서 많 은 논문을 쓰게 됐지요. 박정기 교수님에 대한 이야기를 해주세요. 박정기 교수님은 1940년 연희전문학교 수물과 를 졸업하신 후, 1942년 일본 도호쿠( 東 北 ) 제국 대학을 졸업하시고, 연희전문학교 교수로 근무하 시다 한국전쟁 중에 대구에 오셔서 경북대학교 교 수로 봉직하게 되셨지요. 도호쿠 제국대학에 가시 게 된 동기를 직접 들은 적이 있어요. 당시 선생 님이 졸업한 연희전문학교 수물과 졸업생은 일본 어느 제국대학에도 지망할 자격조차 없었다고 해 요. 일본 정규 고등학교 출신만이 지망할 수 있었 고, 가령 10명을 수학과에서 뽑게될 경우 1차 시 험에 10명이 다 합격을 하면 더 이상 안 뽑았어 요. 가령 7명만이 1차에 합격을 하면 나머지 3명 을 뽑기 위해 일본 전문학교 수학과 출신에게 시 험을 칠 기회를 주는데, 이것을 반개라고 불렀어 요. 그러니까 만약 1차 시험에 모두가 합격을 하 면 그 해는 반개로 뽑는 학생들이 없지요. 그런데 어느 해에 선교사로 오신 한 미국인 수학교수가 연희전문학교 수물과에서 가르칠 때 장기원이란 아주 우수한 학생을 보게 되었고, 그분이 미국으 로 돌아가면서 도호쿠 제국대학에 있는 친구 교수 에게 이 학생을 천거하며 입학시험을 허락할 것을 요청하였다고 합니다. 그리고 허락이 난 후에 장 기원 학생은 조선 학생으로는 처음으로 도호쿠 제 국대학에 입학하게 되었다고 해요. 그 후 5년 동 안 연희전문학교에서는 한 사람의 합격자도 없었 는데, 그 이듬해에 박정기 선생님이 합격하셨답니 다. 선생님은 졸업 후 조교를 지망했는데 조선 학 생이라는 이유로 거절당했어요. 선생님은 구보다 ( 窪 田 ) 주임교수의 집을 찾아가 일주일을 무릎 꿇 고 부탁한 끝에 그의 도움으로 그 대학의 연구소 중 하나인 일본군 항공기 연구소에 조교로 남게 되었지요. 이때의 연구가 박 선생님의 박사학위 <그림 좌> 경북대학교 수학과 창설 60주년 기념 저명학자 초청강연 ( ) <그림 우> 경북대학교 수학과 창설 60주년 기념식 ( ) 22 대한수학회소식 제 140호

22 논문의 기초가 된 줄로 알고 있어요. 또 그곳에서 의 3년 동안의 연구생활이 선생님에게는 대학의 연구생활이 어떤 것이며 연구논문이 어떻게 발간 되는지를 배우는 가장 귀한 기간이 되었다고 해 요. 당시 한국 사람으로 일본대학 또는 전문대학 을 나온 사람은 다소 있었으나 그러한 연구생활을 경험한 사람은 한 사람도 없었거든요. 박 교수님 이 조교로 계시면서 전문 저널이 있어야 연구가 되는 것을 배우고 왔어요. 그 전에는 한국에 수학 연구라는 것이 전혀 없었죠. 또 도호쿠 제국대학 수학과 초대 주임교수였던 하야시 츠루이치( 林 鶴 一 )라는 분이 있었대요. 이분 이 Tohoku Mathematical Journal(TMJ)의 창시 자인데 당시에는 일본에도 전문 수학저널이 하나 도 없었고 그때 일본 사정은 6.25 이후의 한국 사 정과 거의 비슷했다고 해요. 이분이 일본에 저널 을 만들어 미국과 유럽의 저널과 교환을 해야겠다 는 계획을 하였다고 해요. 그런데 저널을 만들 필 진이 없었기 때문에 하야시 교수님이 혼자서 일본 의 고전 수학인 와산( 和 算 )을 영어로 번역하여 TMJ의 Vol. 1을 출판하고 외국 서적들과 교환하 기 시작하였다고 해요. 이렇게 하여 저널들이 모 이게 되고, 일본 젊은이들이 그것들을 읽고 공부 하여 논문들을 쓰기 시작했다는 옛 이야기를 박 선생님이 전해 들으셨다고 말씀해주셨어요. 일본 수학회저널 보다도 TMJ가 빠르거든요. 그런데 Kyungpook Mathematical Journal(KMJ)이 TMJ 와 그 기원이 매우 비슷해요. 박 교수님이 하야시 교수의 방법을 그대로 따른 거죠. TMJ라면 하야 시가 대명사가 되듯이 KMJ라면 박정기가 대명사 가 되지요. 각 대학에서 나오는 저널들을 조금씩 구입하기 시작하셨어요. 당시 우리 대학원생들은 석사학위 논문 준비에 바빴어요. 우리들의 석사학위 논문 제출 시기와 KMJ의 창간호 발간은 같은 1958년 이었어요. 박을용, 서태일, 엄상섭, 배미수 선생님 들의 논문과 우리 대학원 학생들의 석사학위 논문 으로 첫 호가 출판되었지요. 필진이 많지 않았으 니 선생님께서는 아마 우리들의 학위논문을 기다 리고 있었던 것 같아요. 선생님이 이렇게 KMJ 출 판을 서두르신 이유는 선생님대로의 계획이 있었 던 것 같아요. 경제적으로 어려워 외국 저널을 많 이 사서 볼 수는 없으니까 우리가 저널을 출판하 여 외국대학 저널과 교환을 하려는 계획이었지요. KMJ의 Vol. 1, No. 1이 나오자 국내는 물론 미 국, 일본, 영국 등 저널을 출판하고 있는 학교에 저널 교환을 제안하는 편지와 함께 KMJ를 보냈지 요. 많은 대학이 이런저런 이유로 교환을 거절했 지만 교환을 허락한 대학도 많았어요. 그래서 일 본을 비롯하여 미국 여러 대학에서 오는 잡지들이 모이기 시작하였어요. 그때부터 문제는 계속해서 KMJ를 출판하지 않으면 안 되는 것이었어요. 필 진이 몇 명 되지 않았고, 또 원고를 부탁해 볼 만 한 국내의 다른 수학자들도 없는데다가 오히려 KMJ를 비난하는 수학자들도 있었지요. 그러나 약 2년 후 1960년경에 American Mathematical Society(AMS)에서 KMJ의 논문들을 AMS의 Math. Review 지에 평을 해도 좋으냐고 묻는 편지가 왔어요. 상의 끝에 허락을 했고, 동시에 AMS에서 출판되는 중요한 저널들을 좋은 조건으 로 구입하게 되었지요. 이후 KMJ는 국제 수학저 널로 발돋움하게 되었지요. Kyungpook Mathematical Journal 창간에 대한 이야기를 해주세요. 1958년에 국내 최초로 영문 수학논문집인 Kyungpook Mathematical Journal을 창간하였어 요. 박정기 교수님은 KMJ 발간이란 원대한 계획 을 세우시고 없는 예산으로 전문 도서들과 일본 교수님께서 경북대학교에서 부교수를 하시다가 미국에 가시게 된 동기와 미국에서의 생활에 대해 말씀해 주 세요. 나의 선배들 중에 서태일이라는 선배 교수님이 있었어요. 그 분이 예일대학교(Yale University) 에 가서 3년 만에 학위를 마치고 1962년에 한국 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 23

23 으로 돌아왔어요. Jacobson이라고 아주 유명한 교수 밑에서 Jordan Algebra로 박사학위를 받았 지요. 서태일 선생님이 돌아오자 곧 이어 배미수 라는 여자 교수님이 예일대학교로 유학을 떠났어 요. 나는 그 분이 한국에 돌아오고 난 후에 유학 을 가기로 되어있었어요. 그런데 서태일 교수님은 저에게 최 선생, 미국에 가려면 한 해라도 빨리 가는 것이 좋습니다. 라는 얘기를 자주 했어요. 그러나 내가 그렇게 가면 박정기 교수님의 계획을 거스르는 일이 되거든요. 그래서 고민을 많이 했 어요. 서울대학교 권경환 교수님 아시죠? 권 교수 님이 그 때 미국에서 돌아오셨거든요. 그 분이 플 로리다대학교(University of Florida)에 계신 A. D. Wallace라는 아주 유명한 교수님에 대한 얘기 를 자주 했었어요. 그러던 와중에 그 Wallace 교 수님한테서 나에게 지금까지 발표된 논문의 별쇄 본을 보내달라는 편지가 왔어요. 제가 1964년 봄 까지 KMJ에 13개의 논문을 실었거든요. 그 분은 내가 교수이며 박사인 줄 알았나봐요. 그래서 얼른 나는 아직 박사가 아닌데 당신의 문하에서 박사학 위를 하고 싶다고 답장을 했어요. 그리고 답장이 왔는데 당장 오라는 거예요. 그래서 Fulbright 장 학금 1) 을 받아서 가게 됐어요. Fulbright 장학금을 받으셨군요. 1964년 봄에 Fulbright 장학금 구두시험을 보 러 갈 때 내 논문이 AMS에 리뷰된 것을 골라가 서 시험관들에게 보였더니 한국에도 이렇게 미국 수학계에서 평을 받는 수학연구자가 있었단 말인 가? 하고 깜짝 놀랐어요. 시험관 중에는 서울대, 이화여대 교수가 세 분인가 있었는데 그들도 처음 듣는 일이라며 이런 실력으로 왜 지방 대학에 있 느냐, 왜 큰 학교에 가지 않고 플로리다대학교로 가려 하느냐 등의 질문을 하였지요. 거기서 구두 시험 점수가 제일 좋아 오리엔테이션 코스로 예일 대학교에 가게 되었는데 영어가 부족하여 혼이 났 었어요. 플로리다대학교에 계실 때 기억나시는 이야기를 해주 세요. KMJ에 실린 13개의 논문 때문에 나는 미국에 갈 때나 플로리다대학에 가서도 얼마나 많은 혜택 을 받았는지 몰라요. 예를 들면 캘리포니아대학교 (University of California, Berkeley)에서 박사를 한 Sioson이라는 필리핀 출신 교수가 대수 강의 를 하고 있었는데, 그분이 내 이름을 보더니 KMJ 에 실린 나의 논문을 많이 보았다고 자기 대수 강 의에는 들어올 필요가 없다면서 연구나 하라고 했 어요. 학기말에 성적을 주겠다고요. 그리고 학위 논문도 KMJ에서 훈련받은 실력으로 Wallace 교 수님이 제시한 미해결 문제를 해결함으로써 만 2 년 만에 완성하고 박사학위를 마쳤어요. 유학 가 자마자 얼마 있다가 Comprehensive(박사학위 논 문 쓸 자격시험)를 쳤지요. 문제를 보니까, 뭐 한 국에서 공부하고 가르쳤던 것도 있고 해서 문제들 이 아주 쉽게 느껴졌어요. 또 대학원 사무실에서 기일 미달로 학위를 줄 수 없다고 하는 것을 Wallace 교수가 탄원서 한 통 쓰니까 그 문제도 해결되었어요. 그러니까 바빴죠. 2년 만에 박사학 위를 마치고 Wallace 교수의 소개로 메사추세츠 주립대학교(University of Massachusetts)에 조 교수로 가게 되었지요. 1년 후에 제 비자가 J비자 라 3년 밖에는 미국에 있을 수가 없어서 Wallace 교수에게 전화해서 한국으로 돌아가야겠다고 했더 니 너, 돌아가면 공부를 더 못 할 텐데 어떻게 하겠느냐? 그러지 말고 캐나다로 가라. 맥마스터 대학교(McMaster University) 대학에 Bernhard Banaschewski라는 교수가 있는데 많은 것을 배 1) 미국 아칸소대학교(University of Arkansas) 총장을 지낸 풀브라이트의 제안에 의하여 창립된 장학금으로 1946년 제정된 풀브라이트법에 근거하며 미국 정부가 가지고 있는 잉여농산물을 외국에 판매하여 얻은 수입을 현지의 국 가에 적립해 두었다가 그 나라와의 문화 교육의 교류에 사용하도록 한 것이다. 한국에서도 1960년에 한미교육위원 단이 조직되어 지금까지 장학프로그램을 운영하고 있다. 24 대한수학회소식 제 140호

24 울 것이다. 라고 하며 권유하셨어요. 이것이 내가 1967년에 캐나다로 가게 된 동기이고, 한국에서 기다리고 계신 박정기 선생님을 저버린 배반 행위 의 원인이 되었지요. 이런 일이 있고 난 후 한동 안 박정기 교수님과 소식이 두절되었었어요. 그렇지만 박정기 교수님의 수제자가 외국에서 활약하는 것도 좋은 거죠. 박정기 교수님의 계획은 KMJ를 더욱 발전시키 는 것이었고, 최태호가 돌아오기를 기다리고 있었 는데 못 온다고 하니까 실망을 많이 하신 거죠. 캐나다에 와서도 KMJ에 대한 나의 관심은 변함이 없었어요. 1967년부터 미국이나 캐나다의 여러 곳의 학회에 갈 때면, 친구들 혹은 거기서 만난 사람들에게 KMJ를 소개하고 AMS에 리뷰가 되니 까 투고해달라는 부탁을 늘 하였지요. KMJ에 투고 한 초기의 외국인 수학자들 몇 명은 내가 소개한 사람들이예요. 오랫동안 소식 없이 지내다가 박 선생님이 경북대학교 총장에 취임하셨다는 소식을 듣고 기쁜 마음으로 장문의 편지를 올렸어요. 나 의 배반 행위에 대한 사과와 총장 취임을 축하한 다는 간절한 내용이었지요. 박 총장님이 나의 이 편지를 수학교수실 한 구석에 붙여 놓고 온 교실 원들에게 읽어보게 했다는 소식이 들려왔어요. 이 렇게 하여 선생님과의 사이가 좀 회복이 되었지 요. 1971년 5월에 제가 7년 만에 대구에 갔을 때 선생님은 나를 위하여 내 생애 최대의 환영파티를 열어주셨어요. 맥마스터대학교에 교수로 재직하시면서 제일 기억에 남는 일이 있으시다면? 제가 6명의 박사를 양성했는데요, 그 가운데 한 국 사람은 숙명여자대학교의 홍영희 교수와 경북 대학교의 박영수 교수이지요. 두 분 모두 아주 우수했어요. 그리고 서강대학교의 홍성사 교수가 내가 교수로 있을 때 Banaschewski 교수에게 박 사학위를 하러왔지요. 제일 기억에 남고 기뻐했던 일은 Peter Johnstone이 쓴 Stone Spaces (Cambridge Press, 1986)의 Reference에 저의 논문 10편이 선택되었던 일입니다. 그리고 재직 중 약 50편 정도의 논문을 썼어요. 순수 수학에서 50편은 대단하신거죠. 1년에 한 2편씩 쓰신 셈이네요. 2편씩 쓸 때도 있고, 어떨 때는 못 쓸 때도 있 고, 한 4편 쓸 때도 있고, Lattice Theory, Universal Algebra, Category Theory 이런 것들이 내 전공이었죠. 홍성사 교수는 박사학위를 마치고 한국으로 돌아간 후에도 여름방학마다 와서 처음 몇 해는 내 연구실에 있었어요. 그래서 나도 홍성사 교수가 1년간 공부해온 것을 많이 배 웠어요. 홍 교수가 독창적인 것을 많이 했거든요. 나도 스스로 연구를 했지만 둘이 공동 연구도 많이 했어요. 공동 논문들이 5, 6편 될 거예요. 홍 성사 교수는 아주 훌륭한 수학자입니다. 공부도 열심히 하고 따르는 사람들이 많아 여러 대학의 교수들과 대학원 학생들이 참석하는 세미나 그룹 도 있었죠. 한 번씩 한국에 오면 세미나 그룹에 참석도 했어요. 홍 교수는 1970년도 초반에 연세 대학교의 김치영 교수님의 도움으로 연세대학교에 서 세미나를 시작했죠. 교수님께서는 김치영 교수님에 대해서 많이 아시는 것 같은데 말씀해주시겠습니까? 내가 김치영 교수님을 처음 만난 때는 경북대학 교 학부 1학년 가을이었어요. 추석을 맞아 박정기 교수님 댁에 학우들과 인사드리러 갔는데 아주 고 생을 많이 한 것 같고 얼굴이 많이 부은 분이 시 커먼 코트를 입고 앉아 계셨어요. 박정기 교수님 이 김일성대학에서 교수로 계시던 김치영 교수님 이라고 앞으로 여기 좀 계실 거라 하시며 인사드 리라고 했어요. 나는 이분이 이북에 계시다가 박 정기 교수님을 찾아왔는가보다 생각했어요. 그런 데 이번에 경북대학교에서 발간된 박정기 교수님 의 회고록을 읽다가 보니까 김치영 교수님에 대해 서 쓴 사람이 있어요. 내가 아는 얘기겠지 했는데, 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 25

25 달라요. 그 당시 김치영 교수님이 대구형무소에서 형무관을 통해서 수학책이 있으면 좀 빌려달라고 부탁을 했는가 봅니다. 그 형무관이 수학과에 전 화를 해서 수학 교수를 하셨던 분이 있는데 수학 책이 읽고 싶다고 하니 하나 부쳐 달라고 하시더 래요. 그래서 박정기 교수님이 독일어로 쓴 집합 론인가 위상수학인가 책을 부쳐줬다고 해요. 그랬 더니 얼마 후에 책이 돌아왔는데, 거기에 김치영 교수님이 연필로 조그마하게 코멘트 해놓은 걸 보고 박정기 교수님이 이 사람이 이것을 완전히 이해했구나! 하고 놀랐다고 해요. 그래서 형무소 에 면회를 가서 김치영 교수님에게 사정을 물어보 니까 김일성대학에 교수로 있다가 월남하여 체포 되었고 대구형무소에 남한 귀순 포로로 있다고 했 대요. 공산주의 체제가 싫어서 내려오셨는데 그 때 이남의 정치적인 문제 때문에 억울하게도 감옥 에 가시게 되신 거죠. 김치영 교수님은 일본 규슈 ( 九 州 ) 제국대학에서 수학을 공부하셨는데, 미분기 하인 리만다양체에 대한 기초를 다 알고 있었다고 해요. 그래서 박정기 교수님이 욕심이 났죠. 당시 이효상 경북대학교 문리과대학 학장님께 이분의 석방을 위해 도움을 요청했어요. 기독교 단체의 보증으로 이분은 석방이 되셨고, 그 후 경북대학 교를 비롯한 여러 대학에서 강의를 하셨지요. 경 북대학교의 엄상섭 교수가 김치영 교수님에게 미 분기하(Riemann manifold)를 공부하게 되었고, 이것이 경북대학교에서 많은 사람들이 미분기하 공부를 활발하게 하게 된 동기가 되었지요. 그 때 김치영 교수께 배운 엄상섭 교수의 제자들은 미분 기하 쪽으로, 박정기 교수, 서태일 교수의 제자들 은 대수 쪽으로 이렇게 갈리었죠. 나중에 서강대 학교의 홍성사 교수가 맥마스터대학에 왔을 때 김 치영 교수 밑에서 위상수학을 배우셨다 그래요. 김 교수님은 위상수학 쪽에도 많은 공부를 하셨던 모양입니다. 교수님께서는 연세보다 젊어 보이시고 건강해 보이시는 데 건강을 유지하는 비결 같은 것 있으신지요. 마음을 편안하게 하는 것도 있죠. 나는 기독교 신자입니다. 은퇴하고 난 후에 운동 삼아 골프를 쳐요. 하나 중요한 건 내가 새벽기도를 20년 정도 나가고 있어요. 우리 집에서 한인교회를 시작해서 한 34년쯤 됐고 거기에 원로장로로 있습니다. 우 리 집에서 시작했다는 그 이유 때문에 아주 애착 이 많습니다. 집사람도 권사로 있습니다. 그것이 건강을 유지하고 또 정신적으로 평안함을 얻고 긍 정적인 마음을 갖고 근심, 걱정 이런 것들을 전부 다 극복할 수 있는 동기가 됐어요. 한국의 후학들에게 해주실 말씀이 있으시다면? 이런 질문의 대답이 제일 힘든데, 내가 이런 대 답을 할 수 있는 자격이 있는지는 모르겠지만, 사 실은 우리가 한국에 있을 때에는 공부할 환경이 못 되었어요. 당시에는 최근의 분야별 도서나 저 널을 구하는 것이 거의 불가능했지요. 지금은 한 국에서도 열심히 공부만 하면 미국에서 공부하는 거나 조건이 비슷해요. 결국은 어느 정도 노력하 느냐에 달렸으니까요. 이제는 한국에서도 좋은 교 수님들을 만날 수 있고, 저널과 참고 도서도 얼마 든지 구할 수 있어서 충분히 공부할 수 있습니다. 자기 머리가 특출하다 그렇지 않다는 문제는 다른 문제이니까 이젠 노력이라는 것밖에 없어요. 학생 들은 공부할 수 있는 환경이 되니까 노력을 하면 뛰어난 수학자가 될 수 있어요. 모두들 열심히 노 력해서 한국인 중에서도 곧 Fields Medal을 받는 후학들이 나오기를 바랍니다. [최태호 교수님 약력] 생년월일 1932년 10월 3일생 경북대학교 문리과대학 수학과 ~ 졸업 ~ 경북대학교 대학원 석사 ~ 경북대학교 조교수, 부교수 ~ 미국 플로리다대학교 박사 미국 메사추세츠주립대학교 ~ 조교수 ~ 캐나다 McMaster대학교 교수 캐나다 McMaster대학교 ~ 명예교수 26 대한수학회소식 제 140호

26 학교탐방 울산대학교 수학과 ( 추상목 (울산대학교) [학교소개] 학교법인 울산공업학원은 우리나라 공업입국( 工 業 立 國 ) 실현을 위한 고급 기술인력 양성을 목적 으로 현대 등 민간기업의 참여와 영국 정부의 지원으로 1969년 설립되었다. 1970년 3월 울산 공과대학으로 개교하여 1985년 3월 종합대학으로 승격되었고, 초대 아산 정주영 이사장에 이어 현재 정몽준 국회의원이 이사장을 맡고 있다. 울산대학 교는 울산지역에 유일한 종합대학으로 진리, 자주, 봉사의 이념아래 민주시민으로서의 지성연마와 덕 성함양을 통하여 창조적 탐구인, 자주적 지성인, 그리고 유능한 직능인으로서의 자질을 배양하고자 노력하고 있다. 자동차, 조선, 정유 산업단지가 위 치한 지역특성을 살린 산학연계 프로그램이 자리 를 잡아가고 있고, 현대중공업, (주)KCC와 울산 대학교 일류화 사업 공동추진 협약 을 체결하여 인재를 양성하고 있다. 일자 내용 수학과로 변경 교직과정 설치 승인 수학과 석사과정 신설 수학과 박사과정 신설 교육대학원 수학교육전공 신설 수학 및 물리기술학부 수학전공으로 개편 수학과로 개편 [학과소개] 울산대학교 수학과는 1980년도에 신설되어 현재까지 울산지역에서 수학 전문가를 양성할 수 있는 유일한 교육기관으로 학부교육과 연구에 매 진하고 있다. 특히, 학과발전을 위해 전임교수 뿐 만 아니라 동문과 지인들이 매월 발전기금을 기부 하고 있고, 이 기금에서 4년 장학생 1명, 2년 장 학생 2명이 입학하여 면학분위기 조성에 중요한 역할을 담당하고 있다. [학과연혁] 일자 내용 응용수학과 신설 교육 시설 본 학과에는 대학원 강의실을 포함하여 수학과 전용도서실과 컴퓨터를 이용한 교육이 가능한 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 27

27 수치해석실과 학생들이 자유롭게 사용할 수 있는 은 신임교수이고, 3명은 2년 내에 정년퇴임을 앞 컴퓨터 실습실이 있다. 두고 있다. 여러 가지 이유로 수학이 매우 어려워 수학공부에 매진하지 못하는 학생들이 다수인 현 실에서, 본 학과는 학생들을 잘 지도하고 대학원 을 활성화해야하는 큰 어려움에 직면하고 있다. 그러나 신임교수 충원을 통해 학부교육 및 연구가 큰 힘을 받고 있어 이 어려움을 잘 헤쳐나가리라 믿는다. [특성화 활동] 본 학과는 학부교육 내실화에 주력하여 대학 울산대 수학과 도서실 수학을 처음 배우는 신입생을 위한 소규모 문제 풀이 지도 프로그램 을 운영하고 있다. 이 프로그 램을 통해 고등학교와 대학에서 배우는 수학 내용 과 학습에서 신입생이 느끼는 어려운 점을 해소해 주려고 노력하고 있다. 특히, 신입생의 수학기초 능력 향상을 위하여 올해부터는 1학년에서 집합론 을 가르치기 시작했다. 전공과목을 배우기 시작하 는 2학년 학생을 위해서는 해석개론과 선형대수 문제 풀이를 위한 소규모 지도 프로그램을 운영해 오고 있다. 13명의 전임교수가 이 두 프로그램을 담당하고 있다. 그리고 작년부터 수학문제 풀이 대회 를 개최 울산대 수학과 수치해석실 하고 있다. 보다 많은 학생들이 수학문제 풀이에 관심을 가지고 발표하는 경험을 가짐으로써 수학에 졸업생 현황 좀 더 관심을 가지는 환경을 만들어 가고 있다. 본 학과의 졸업생 가운데 5명이 대학에 전임으 이는 면학분위기 조성의 일환으로 볼 수 있다. 특히 로 재직 중이고 90명 이상이 중고등학교 교사로 작년부터 전공 공부하는 동아리(파이)를 만들어 활동하고 있으며, 많은 졸업생이 학생들에게 수학 많은 학생이 매주 문제 풀이 모임을 가지고 있다. 을 가르치는 직업에 종사하고 있고, 최근에는 금 학생에게 보다 적합한 교육과정을 제공하기 위 융권으로 진출하는 졸업생 수가 늘고 있다. 일반 하여 매년 교육과정 논의한 결과 최근에는 2, 3학 대학원에 진학하는 졸업생 수는 줄고 있지만, 상 년 해석학 관련 과목 강의내용을 통합하여 운영하 대적으로 많은 학생이 교사 자격증을 취득하기 위 고 있다. 또한 학생들에게 영어강좌를 제공하기 하여 교육대학원에 진학하고 있다. 위하여 프린스턴 대학에서 Cohomology of Z-free resolutions of p-groups 으로 박사학위 교수 현황 전임교수는 외국인 교수를 포함하여 총 14명이 재직 중이고, 이 중 2명의 교수는 올해 발령을 받 28 대한수학회소식 를 받은 외국인 교수가 학부와 대학원에서 강의를 담당하고 있다. 최근에는 본 학과의 연구역량을 제고하기 위하 제 140호

28 여, 대학교 부설인 수학연구소 설립을 학과에서 문제 풀이 활동을 매주 하고 있다. 1학년 스터디 추진하고 있다. 수학연구소를 통한 중점 연구 분 가 가장 활발한 점이 희망적이다. 야 육성과 이와 관련된 외부 연구자의 특강은 본 학과의 연구 분야 발전에 기여할 것이다. [교수 소개] 한편, 울산지역에 수학교육연구회 를 만들어 일 선 수학교사와 교육청 인사가 함께 울산지역의 수 학교육문제를 매년 다루고 있다. 이 연구회를 통 해 울산지역의 수학교육 전문가와 교류하고 있다. 강태호: 미분기하 광 황: 위상수학 박 건: 위상수학 박영식: 해석학 [동아리 소개] 본 학과에는 다섯 개의 동아리(맥, 편집국, 그루 터기, 인테그랄, 파이)가 있다. <동아리 맥(M. A. C.: Mathematics And Com- 신용호: 기하학 심인보: 미분방정식 및 비선형해석학 이동수: 대수학 이현호: 작용소대수 및 비가환기하 장선영: 함수해석학 및 작용소대수 puter)>은 개인적인 컴퓨터관련 능력 향상에 도움 장준명: 대수기하 을 주는 동아리이고, <편집국>은 수의 소리 라 장창림: 기하학 는 수학과 소식지에 학과의 행사, 교수의 동정, 학 채규인: 위상수학 생회 활동 및 학생 행사 등 학과 전반의 소식과 최길남: 수학기초론 정보를 제공하고 있다. <인테그랄>은 축구를 통하 추상목: 수치해석, 생물수학 여 학우간의 친목과 단합을 주목적으로 운영되고 있으며, 매년 학과를 대표하여 대학 내 각 축구동 우회 행사에 참여하고 있고, <그루터기>는 영화를 [주소] 울산시 남구 대학로 93 울산대학교 수학과 (우편번호: ) 감상하는 동아리이다. <파이>는 면학분위기 증진 [전화] 을 위하여 작년에 만든 동아리로, 학년별로 수학 [팩스] 울산대학교 수학과 30주년 행사 기념사진 ( ) 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 29

29 영재교육 센터소개 국립안동대학교 과학영재교육원 권언근 (안동대학교) 안동대학교는 경상북도 안동시 소재의 경북 유 일의 국립종합대학이다. 국립안동대학교 과학영 재교육원 은 대구 경북지역에서 수학과 과학 영재 성이 뛰어난 초 중등 학생들을 조기 선발하여 과 학적 가능성과 잠재력의 계발을 지원할 목적으로 2003년 과학기술부로부터 설립을 승인 받았다. 시대적 사명감과 지역사회의 염원을 안고 안동대 학교 내에 설립된 과학영재교육원은 미래 우리나 라 과학기술계를 이끌어 나갈 과학영재들의 지적 호기심을 해결해주고 이끌어 주고자 한다. 또한 유능한 강사진과 우수한 교육시설로 과학영재들의 사고를 자유롭게 하여 관습적 사고에서 벗어나 창 조적인 아이디어를 생산할 수 있도록 적극적인 관 심을 가지고 노력해 나가고 있다. 1. 교육원 연혁 2003 경상북도 과학영재교육기관 설치대학으로 선정 (과학기술부 지정) 안동대학교 과학영재교육원 설립 초대원장에 수학교육과 권언근 교수 취임 학년도 입학식(초등 30명, 중등 91명) - 초등 수학/정보과학 기초과정 신설 중등 수학/물리/화학/생물과학/지구과학 /정보과학 기초과정 신설 학년도 입학식(초등 30명, 중등 91명) - 초등 수학/정보과학 기초과정 신설 중등 수학/물리/화학/생물과학/지구과학 /정보과학 기초과정 신설 학년도 수료식(초등 28명, 중등 84명) 2005학년도 입학식(초등 36명, 중등 160명) 중등 수학/물리/화학/생물과학/지구과학 /정보과학 심화과정 신설 학년도 수료식(초등 34명, 중등 137명) 2006학년도 입학식(초등 32명, 중등 182명) 중등 수학/물리/화학/생물과학/지구과학 /정보과학 사사과정 신설 학년도 수료식(초등 29명, 중등 145명) 학년도 입학식(초등 30명, 중등 191명) 학년도 수료식(초등 26명, 중등 165명) 학년도 입학식(초등 30명, 중등 199명) 학년도 수료식(초등 25명, 중등 173명) 2009학년도 입학식(초등 30명, 중등 189명) 초등 정보과학 기초과정 폐지, 초등 과학 기초과정 신설 학년도 수료식(초등 25명, 중등 169명) 학년도 입학식(초등 30명, 중등 195명) 학년도 수료식(초등 30명, 중등 175명) 학년도 입학식(초등 30명, 중등 181명) 30 대한수학회소식 제 140호

30 2. 교육철학 안동대학교 과학영재교육원은 선진 국가 사회로 서의 도약에 일조하며 미래 지향적 인류 문명 창 달에 기여할 과학 인재를 양성하는데 교육 목표를 둔다. 3. 조직 및 운영체계 고려한 창의활동중심 수업으로 학생의 영재성, 창 의성, 리더십, 협동심 등의 복합적인 역량 강화가 가능한 프로그램이다. 또한 중등 사사과정에서는 학생과 교수의 1:1 연구지도가 이루어지며 각자 팀을 구성하여 연구논문을 완성하는 과정으로 심 도 있는 교육이 이루어진다. 각 전공별 지도교수 와 담당조교의 배정으로 더욱 개별화되고 전문화 된 교육이 가능한 프로그램이다. 이 밖에도 전문 가 초청 강연, 학부모 간담회, 체험학습 등의 다양 한 프로그램을 통해 학생의 창의 인성교육과 학 부모 정보교류의 기회를 제공하고 있다. 1) 심화과정 교육일정 교육은 주말을 이용하여 매월 2~3회 출석수업 을 원칙으로 하며 봄 여름 가을의 3학기로 구분하 고, 이중 여름학기는 방학을 이용하여 교육의 연 속성과 효율성을 고려한 4일간의 합숙이 가능한 집중교육 형태로 운영된다. <2011학년도 교육일정 : 정규과정> 프로그램 시수 봄학기 40 여름학기(집중교육) 36 가을학기 27 총 시수 교육프로그램의 구성과 내용 초등과정 및 중등과정을 구분하여 운영하며 중 등과정이 핵심이 된다. 초등과정은 수학, 과학의 2개 교육 분야로 구성하여 과학 분야에서는 물리, 화학, 생물과학, 지구과학, 정보과학을 고루 교육 한다. 중등과학은 수학, 물리, 화학, 생물과학, 지 구과학, 정보과학의 6개 교육 분야별로 구분하여 연차별로 기초과정 다음의 2단계 교육을 실시한다 (1년차: 심화과정, 2년차: 사사과정). 초 중등 심화 과정에서는 개인별 탐구능력과 잠재능력 개발을 2) 사사과정 교육일정 팀별 프로젝트 형식으로 진행되므로, 지도교수 와 학생들이 직접 연구일정을 조정하여 유동성 있 게 수업을 진행하고 교육시간은 60시간을 원칙으 로 한다. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 31

31 나. 중등 심화과정 5. 학생선발(2011학년도) 1) 선발방식 : 관찰추천제 전형 2) 학생 수 및 반 편성 구분 학생수(반) 심화 사사 수학 15(1) 초등 과학 15(1) 정보 0(0) - 계 30(2) 수학 30(2) 10(2) 물리 30(2) 5(1) 화학 30(2) 10(2) 중등 생물 30(2) 10(2) 지구 30(2) 5(1) 정보 30(2) 5(1) 계 180(12) 45(9) 특별전형 안동대학교 과학영재교육원 중등기초과정 동일 분야 수료(예정)자 중 지도교수의 추천을 받은 자 일반전형 2010년 10월 현재 경상북도 또는 대구광역시 소재 초등학교 6학년 또는 중학교 1학년 재학 생 중 다음 각 호의 자격이 되는 자 A. 영재학급(또는 영재교육원)의 중등기초과정 동일분야 수료(예정)자 중 지도교사(교수)의 추천을 받은 자 B. 심화과정을 수학할 능력이 인정되어 지도교 사(담임교사, 교과담당교사)의 추천을 받은 자 다. 중등 사사과정 2010년 10월 현재 경상북도 또는 대구광역시 소재 중학교 1학년 또는 2학년 재학생으로, 영 재학급(또는 영재교육원)의 중등심화과정 동일 분야 수료(예정)자 중 지도교수의 추천을 받은 자 4) 선발시기 - 모집요강 공고 : 월 - 원서접수 : 월 - 선발 및 등록 : 월 3) 선발대상 가. 초등 심화과정 2010년 10월 현재 경상북도 또는 대구광역시 소재 초등학교 5학년 재학생 중 다음 각 호의 자격이 되는 자 A. 영재학급(또는 영재교육원)의 초등기초과정 동일분야 수료(예정)자 중 지도교사(교수)의 추천을 받은 자 B. 심화과정을 수학할 능력이 인정되어 지도교사 (담임교사, 교과담당교사)의 추천을 받은 자 국립안동대학교 과학영재교육원 32 대한수학회소식 제 140호

32 올림 피아드 이번 호에는 지난 8월 21일(일)에 개최되었던 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 문제를 소개합니다. 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 문제 (중등부) <오전> 1. 실수 a, b, c(단 a, b, c 1)가 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자. (1) abc = 1 (2) a 2 + b 2 + c 2 이때 1 a b c 1 ( 1 a b ) c 2 = 8(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 의 값으로 가능한 수를 모두 구하여라. 2. 원 O 에 내접하는 사각형 ABCD 가 있다. 점 A에서의 원 O 의 접선과 직선 BC 의 교점을 S, 점 B 에서의 원 O 의 접선과 직선 CD 의 교점을 T 라 하자. 중심이 S 이고 점 A를 지나는 원이 변 BC 와 만나는 점을 E, AE 의 연장선이 원 O 와 만나는 점을 F ( A) 라 하자. 중심이 T 이고 점 B 를 지나는 원이 변 CD 와 만나는 점을 K, BK 와 AC 의 교점을 P 라 할 때, 점 P, F, D 가 일직선 위에 있을 필요충분조건은 AB = AP 임을 보여라. 3. 서로소인 두 양의 정수 x, y 에 대하여, x + 3y 2 이 완전제곱수이면 x 2 + 9y 4 이 완전제곱수가 아님을 보여라. 4. 양의 정수 n( 2)에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족하는 좌표평면 위의 2n + 1개의 점 P 0, P 1,..., P 2n 으로 이루어진 집합의 개수를 구하여라. (1) P 0 = (0, 0), P 2n = (n, n). (2) 모든 i = 0, 1,..., 2n 1에 대하여 선분 P i P i+1 은 x축이나 y 축에 평행하며 길이가 1이다. (3) 선분 P 0 P 1, P 1 P 2,..., P 2n 1 P 2n 중에서 y x인 영역에 포함되는 것은 정확히 4개이다. 제한시간 2시간 30분 문항 당 7점 <오후> 5. 삼각형 ABC(AB AC)의 수심을 H, 외심을 O, 변 BC 의 중점을 M 이라 하자. 직선 HM 과 직선 AO 가 만나는 점을 D 라 하고, AB, CD, AC, BD 의 중점을 각각 P, Q, R, S 라 하자. 직선 P Q와 직선 RS 의 교점을 X 라 할 때 AH OX 를 구하여라. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 33

33 6. 양의 정수 n에 대하여 집합 S n 을 S n = {(a, b) a와 b는 양의 정수이고 a와 b의 최소공배수는 n이다} 라 하고, S n 의 각 원소 (a, b)에 대하여 ϕ(a)ϕ(b)의 값을 구한 후 이 값을 모두 합한 것을 f(n)이라 하자. (단, ϕ(n)은 n과 서로소이며 n보다 작거나 같은 양의 정수의 개수이다.) n 과 서로소인 소수 p 가 f(n) 의 약수이면, n 의 소인수 q 중에는 q 2 1 이 p 의 배수가 되게 하는 것이 존재함을 보여라. 7. 실수 x 1, x 2,..., x 2011 이 각각 0 x i 1 (i = 1, 2,..., 2011)을 만족할 때, 의 최댓값을 구하여라. x x x (x 1 x 2 x 3 + x 2 x 3 x x 2011 x 1 x 2 ) 8. 서로 다른 nr 개의 양의 정수를 학생 n명에게 각각 r 개씩 나누어 주었다. 이 때 다음 조건을 만족시키도록 학생들을 4r 개 이하의 반으로 편성할 수 있음을 증명하여라. (단 n, r 은 양의 정수) 임의의 학생 A가 양의 정수 m을 가지고 있으면, A가 아닌 학생 중 (m 1)! 보다 크고 (m+1)!+1 보다 작은 양의 정수를 가진 학생은 A와 같은 반이 될 수 없다. 제한시간 2시간 30분 문항 당 7점 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 문제 (고등부) <오전> 1. 반지름의 길이가 같은 두 원 O, O 이 서로 다른 두 점 A, B 에서만 만난다고 하자. 원 O 위의 점 P ( A, B), 원 O 위의 점 Q( A, B)에 대하여 R( B)을 P AQR이 평행사변형이 되도록 택하자. 네 점 B, R, P, Q 가 한 원 위에 있으면 P Q = OO 임을 보여라. 2. 서로소인 두 양의 정수 x, y 에 대하여, x + 3y 2 이 완전제곱수이면 x 2 + 9y 4 이 완전제곱수가 아님을 보여라. 3. 실수 a, b, c, d가 두 조건 a + b + c + d = 19와 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 91을 만족할 때, 의 최댓값을 구하여라. 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 34 대한수학회소식 제 140호

34 4. 양의 정수 k 와 n에 대해, 원 위에 kn개의 서로 다른 점 P 1, P 2,..., P kn 이 시계방향으로 배열되어 있다. 각 점에 k 개의 색 c 1, c 2,..., c k 중 하나를 칠할 때, 다음 조건을 모두 만족시키도록 칠하는 방법의 수를 구하여라. (1) 각각의 색으로 칠할 점의 개수는 n이다. (2) 임의의 i j 에 대하여, 점 P a 와 P b 에 c i 를 칠하고 점 P c 와 P d 에 c j 를 칠한다면 선분 P a P b 와 P c P d 는 서로 만나지 않는다. 제한시간 2시간 30분 문항 당 7점 <오후> 5. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n 중에서 3 8 보다 작은 것의 개수를 구하여라. 양의 정수 k(1 k n 3 ) 중에서 n! 이 정수가 되지 않도록 하는 k 의 개수가 216 (n 3k)! k! 3k+1 이다. 6. 삼각형 ABC 의 내접원이 세 변 BC, CA, AB 와 접하는 점을 각각 D, E, F 라 하자. 삼각형 ABC 의 내접원 위에 있고 삼각형 AEF 의 내부에 있는 점 P 에 대하여, 선분 P B 와 선분 DF 의 교점을 X, 선분 P C 와 선분DE 의 교점을 Y 라 하고 선분 EX 와 선분 F Y 의 교점을 Q라 할 때, 두 점 A와 Q는 동시에 직선 DP 위에 있거나 직선 DP 를 중심으로 서로 반대편에 있음을 보여라. 7. 서로 다른 nr 개의 양의 정수를 학생 n명에게 각각 r 개씩 나누어 주었다. 이 때 다음 조건을 만족시키도록 학생들을 4r 개 이하의 반으로 편성할 수 있음을 증명하여라. (단 n, r 은 양의 정수) 임의의 학생 A가 양의 정수 m을 가지고 있으면, A가 아닌 학생 중 (m 1)! 보다 크고 (m+1)!+1 보다 작은 양의 정수를 가진 학생은 A와 같은 반이 될 수 없다. 8. 실수 x 1, x 2,..., x 25 이 각각 0 x i i (i = 1, 2,..., 25)을 만족할 때, 의 최댓값을 구하여라. x x x 3 25 (x 1 x 2 x 3 + x 2 x 3 x x 25 x 1 x 2 ) 제한시간 2시간 30분 문항 당 7점 본 문제의 저작권은 사단법인 대한수학회에 있습니다. 대한수학회의 허락 없이 문제의 전부 혹은 일부를 인쇄하거나 전자매체를 통하여 배포하는 것을 금합니다. 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 35

35 연차 보고서 2011년도 대한수학회지 연차보고서 한상근 (카이스트, 대한수학회지 편집장) 이 보고서는 2011년도 대한수학회지(Journal of the Korean Mathematical Society)의 현황을 통계 자료를 바탕으로 하여 만든 연차보고서이다. 2006년 11월 대한수학회소식(The KMS Newsletter) 제110호 기사를 처음으로 매년 연차보고서를 만들어 회원들께 보고하고 있으며, 2004년부터 2006년까 지의 현황은 110호, 2007년도 현황은 116호, 2008년도 현황은 122호, 2009년도 현황은 129호를, 2010년도 현황은 134호 참조하기 바란다. 이 보고서는 2011년 11월 24일 기준으로 작성하였음을 미리 밝혀둔다. 1. 총 투고편수, 발행논문편수, 발행면수 연도 투고편수 발행편수 발행면수 평균 년 ISI 로이터사의 SCI Report를 통해 발표한 바에 따르면 대한수학회지의 2010년 Impact factor(if)는 0.464로서 277개 등재학술지 중 192위를 하였다. 비록 IF의 저널 순위가 높지 않지만, IF가 꾸준히 상승되거나 수치가 유지된다면 몇 년 후에는 SCI등재를 기대할 수 있는 수치라 할 수 있다. <그림 1> 연도별 투고논문 추이 36 대한수학회소식 제 140호

36 2. 논문 당 길이 연도 발행편수 발행면수 논문 당 길이 평균 년도 대한수학회지에 게재된 논문의 평 균길이는 16.4쪽으로서 10쪽 이상의 논문을 게재하는 회지의 편집정책에 부합하고 있으 며, 2007년도부터는 10쪽 미만의 논문을 회 보로 투고를 유도하는 정책을 사용하고 있 다. 또한 논문 당 평균길이를 더욱 늘리면서 발행편수를 줄이는 노력을 계속해왔다. <그림 2> 논문 당 저자 수 및 논문 당 길이 3. 논문 당 저자 수 연도 저자 수 발행편수 논문 당 저자 수 평균 논문 당 저자 수 = 저자 수/발행편수 논문 당 저자 수는 평균 2로서 많은 연구가 평균적으로 2인 공저로 이루어지고 있음을 알 수 있다. 최근 들어 전 세계적으로 단독 저자 논문보다는 공저 논문이 많은 데 대한수학회지도 이런 추세 속에 있음을 알 수 있다. 4. 게재율 연도 게재율 % (83/660) % (18/703) 평균 7.6% (51/682) 게재율 = 게재 편수/투고 편수 대한수학회지의 2011년도 게재율이 2010년도의 약 12.6%에서 2.6%로 하강했는데, 이는 점점 투고율이 높 아지고, 반려하고 있는 논문들과 10쪽 미만의 논문들을 회보로 반려하고 있기 때문이다. 또한 심사중인 논문들 을 감안하면 실제 게재율은 약 15% 정도이다. 5. 발행논문 분야별 통계 연도 대수학 해석학 기하/위상 확률/통계 응용수학 계 평균 비중 32.7% 35.8% 16.4% 3.0% 12.1% 100.0% 수 있다. 보다 균형적인 분포의 논문 출간이 필요하다고 하겠다. 발행논문의 분야별 통계를 보면 그 비중은 대체로 우리나라 수학 자의 전공 분포와 유사한 비중을 보여주고 있는데, 최근 해석학 분 야의 논문들의 비중이 높음을 알 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 37

37 <그림 3> 발행논문의 분야별 통계 6. 저자분포 6-1. 국내 (지부별) 및 국외 저자 분포 면에서 국내지역 분포만을 보면 서울, 인천/경기/강원, 대구/경북, 충청, 부산/경남, 전라/제 주 지역 순이기는 하나, 수도권 지역에 우리나라 대학들이 편중되어 있는 것을 감안하면 다소 고르게 분포한다고 볼 수 있다. 지부 인천/경기 영남 연도 /강원 대구/경북 부산/경남 전라/제주 충청 서울 외국 계 평균 비중 <그림 4> 발행논문의 국내(지부별) 및 국외 저자분포 38 대한수학회소식 제 140호

38 6-2. 국외 (국가별) 국외 지역 투고자의 출간 논문비율이 작년 보다 증가하였지만, 저자의 소속국가는 작년 26개국에서 24개국으로 감소하였다. 또한, 이전에는 별로 투고하지 않던 스페인, 인도, 일본, 프랑스 등의 나라에 서 투고함에 따라 수학 선진국을 포함한 다양한 국가의 출간이 되고 있다고 볼 수 있지만, 여전히 수 학 선진국의 수학자들의 논문 투고는 미흡한 실정이다. 다양한 국가의 논문들이 출간 되도록 개선을 할 필요가 있겠다. 국가 계 국가 계 남아프리카 공화국 1 1 이라크 1 1 덴마크 1 1 이란 독일 이집트 러시아 1 1 이탈리아 9 9 루마니아 4 4 인도 말레이시아 1 1 일본 몬테네그로 2 2 중국 미국 카타르 1 1 브라질 1 1 캐나다 1 1 사우디아라비아 2 2 크로아티아 4 4 세르비아 5 5 태국 스페인 터키 슬로베니아 1 1 튀니지 1 1 싱가폴 1 1 파키스탄 2 2 아일랜드 포르투갈 1 1 알제리아 1 1 폴란드 1 1 영국 프랑스 예멘 1 1 총합계 <그림 5> 발행논문의 국외저자 국가별 분포 2011년 11월호 The Newsletter of the KMS 39