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1 박사학위논문 Ph. D. Dissertation 초정밀회전오차보상형공기베어링 스테이지의설계및오차보정에관한연구 Design and Error Calibration of Precision Air Bearing Stage with Yaw Error Compensation 김경천 ( 金炅仟 Kim, Kyoung Chon) 기계항공시스템학부기계공학전공 School of mechanical, Aerospace and System Engineering Division of Mechanical Engineering KAIST 11

2 초정밀회전오차보상형공기베어링 스테이지의설계및오차보정에관한연구 Design and Error Calibration of Precision Air Bearing Stage with Yaw Error Compensation

3 Design and error calibration of precision air bearing stage with yaw error compensation Advisor : Professor Gweon Dae Gab By Kim Kyoungchon Department mechanical, Aerospace and System Engineering Division of Mechanical Engineering KAIST A thesis submitted to the faculty of KAIST in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in the Department of Mechanical engineering. The study was conducted in accordance with Code of Research Ethics Approved by Professor Gweon Dae Gab [Major Advisor] 1 Declaration of Ethical Conduct in Research: I, as a graduate student of KAIST, hereby declare that I have not committed any acts that may damage the credibility of my research. These include, but are not limited to: falsification, thesis written by someone else, distortion of research findings or plagiarism. I affirm that my thesis contains honest conclusions based on my own careful research under the guidance of my thesis advisor.

4 초정밀회전오차보상형공기베어링 스테이지의설계및오차보정에관한연구 김경천 위논문은한국과학기술원박사학위논문으로 학위논문심사위원회에서심사통과하였음. 1 년 11 월 16 일 심사위원장심사위원심사위원심사위원심사위원 권대갑 ( 인 ) 윤용산 ( 인 ) 장평훈 ( 인 ) 김경수 ( 인 ) 정재화 ( 인 )

5 DME 7551 김경천. Kim, Kyuong Chon. Design and position error calibration of precision air bearing stage with yaw error compensation. 초정밀회전오차보상형공기베어링스테이지의설계및오차보정에관한연구. School of Mechanical, Aerospace and Systems Engineering, Division of Mechanical Engineering p. Advisor Prof. Gweon, Dae Gab. Text in Korean ABSTRACT Recently, the information technology has developed dramatically in the world since invention of the PC. As development of information technology, it leads to require the large and high resolution display. The long range precision stage is the essential system to implement the large and high resolution display like as the LCD, OLED and PDP. The long range stage requires high thrust force to satisfy the high throughout. Consequently, to support the development of the display industry, there are required performances that consist of the high thrust, the precise accuracy, and the long range motion. Nowadays, the most useable panel size of the LCD is the 8th generation size (x5mm), however the 9th (4x8mm) or 1th (88x38mm) generation size are expected in the near future. To accord with these requirements, there are many efforts in the laboratories and companies. The dual servo stage has been introduced to achieve precise and fast motion. Although the dual servo stage has the advantage of good performance, the dual servo stage has some drawbacks that are cost of the system and heavy mass of the moving part. We proposed the single servo H type stage which can be possible to drive XYθz axis precisely. Proposed stage allows the θz motion without additional motor, amp and sensor. The flexure joint which equipped between the gantry stage and tandem linear motors makes the gantry stage rotated in θz axis. The flexure joint should be high stiffness except for θz axis to guarantee required motion stiffness of XYθ stage. We present design optimization frameworks on the flexure joint to satisfy the design settling time of the XYθ stage. The 6 DOF stiffness model of proposed flexure joint has been derived by analytical method using the mechanics of material. Using MATLAB s Sequential Quadratic Programing (SQP), the size of the flexure joint is optimally designed for the highest stiffness in X, Y, Z, θx and θy. The 6 DOF stiffness modeling of the flexure joint is verified by the FEM results and experiment. We analyzed the dynamics of the H type stage in XYθz as in-plane motion to determine the dynamic i

6 response of the H type stage. The proposed XYθ stage is different from existing XYθ stage because of the flexure joint. Thus it is necessary that precise dynamic modeling of XYθ stage. We approach the dynamic model in two ways. First, the geometrical analysis method assumes that all components are rigid body. This method is suitable for analysis of XYθ stage without flexure joint. Second, the stiffness analysis method makes the dynamic modeling of XYθ stage considering of the stiffness of non-rigid components. The sensitivity analysis is performed in other to investigate the effect of the stiffness of the flexure joint and the air bearing on the natural frequency of XYθ stage. The position error calibration is performed to compensate the assembly error and manufacturing error of XYθ stage. We analyze the static position error of XYθ stage as sum of each moving parts using homogeneous transformation matrix. We simulate whole position error of XYθ stage to evaluate the position error compensation. The compensation of position error is verified by the interferometer in limited range covered by bar mirror. The precise gantry control algorithm is required to drive XYθ stage using flexure joint. The tandem linear motors (y 1, y ) of proposed stage are driven separately to allow θ Z axis motion. XYθ stage using flexure joint is controlled by the decoupled control algorithm in X, Y, θz axis for simple realization of yaw(θz) control of gantry stage. Keywords: H type stage, Flexure joint, Position error calibration, Dynamics analysis, High precision, High structure stiffness ii

7 Table of Contents Abstract i Table of Contents iii List of Tables and Graphs v List of Diagrams vi CHAPTER 1 INTRODUCTION 1.1 Motivation 1 1. Research background 1.3 Objective and scope 5 CHAPTER CONCEPTUAL DESIGN OF XYθ STAGE WITH FLEXURE JOINT.1 Design consideration 6. Structure of proposed stage 7.3 DOF analysis of XYθ stage 9.4 Detail design of XYθ stage 1.5 Dynamic modeling of XYθ stage Geometrical analysis method 1.5. Stiffness analysis method Consideration on flexure joint stiffness Sensitivity analysis on dynamic modeling using stiffness analysis methods 19.6 Simulation on dynamic response.5 Conclusions 3 CHAPTER 3 DESIGN OPTIMIZATION FOR FLEXURE JOINT 3.1 Introduction to flexure joint Comparison among flexure joints 6 3. Analysis for flexure joint Stiffness modeling method using 6DOF compliance matrix of 1 leaf spring 8 iii

8 3.3 6DOF stiffness matrix of flexure joint Stiffness of translation motion along X axis Stiffness of translation motion along Z axis Stiffness of rotation motion about X axis Stiffness of rotation motion about Z axis Maximum stress condition of flexure joint Critical load condition of flexure joint Verification of 6DOF stiffness matrix using FEM Design optimization on flexure joint Design variables and specification Cost function Constraints Design results Conclusions 4 CHAPTER 4 POSITION ERROR ANALYSIS IN XYθ STAGE 4.1 Position error in rectangular coordinated system Position error analysis for XYθ stage Simulation on the position error of XYθ stage Conclusions 5 CHAPTER 5 CALIBRATION FOR XYθ STAGE 5.1 Calibration system setup Position error compensation method Simulation on the calibration of XYθ stage Conclusions 55 CHAPTER 6 EXPERIMENTS System configuration Verification of stiffness modeling on flexure joint Control system Control algorithm Position error measurement for H type stage Position error of master axis Position error of gantry stage 63 iv

9 6.5.3 Position error of slider Position error of H type stage Calibration of H type stage Performance of H type stage Performance of H type stage Dynamic performance of H type stage 7 CHAPTER 7 Conclusions 74 References 76 ACKNOWLEDGEMENT( 감사의글 ) 79 CURRICULUM VITAE 81 v

10 LIST OF TABLES Table.1 Design specifications of proposed stage Table. Design parameter set Table.3 Parameters of simulation on dynamic response Table.4 Results of simulation on the dynamic response Table 3.1 Off axis and pivot axis shift when the flexure joint were designed to have the motion stiffness on 1Nm/rad and same (1x1x15mm Table 3. Comparison of stiffness of flexure joint between modeling and FEM Table 3.3 Desired spec. of flexure joint Table 3.4 Optimal design results and final dimensions Table 3.5 Comparison with analytical modeling and FEM simulation on performance of flexure joint Table 4.1Literature survey on the position error calibration Table 4. Stage error models Table 4.3 Maximum position error of simulation Table 5.1 Simulation setup for position error compensation Table 6.1 Results of frequency response of flexure joint vi

11 LIST OF FIGURES Fig DOF dual servo stage[4] Fig. 1. XYθz Gantry stage using roll joint and rack-pinion guide[5] Fig. 1.3 XYθz gantry stage using notch flexure joint[6] Fig. 1.4 XYθz gantry stage flexure joint [7] Fig. 1.5 XYθz DOF stage using rotary stage [8] Fig..1 3D model of XYθ stage Fig.. Rotation motion of gantry stage about Z axis Fig..3 Classification of DOF of XYθ stage Fig..4 Schematics of slider Fig..5 Schematics of y axis motor Fig..6 Schematics for XYθ stage modeling using geometric analysis method Fig..7 Schematics for XYθ stage modeling using stiffness analysis method Fig..8 Variation of ωgantry with respect to ksx Fig..9 Variation of ωslider with respect to ksy Fig..1 Simulation results of step response of XYθ stage Fig R flexure joints: (a) notch shape hinge [4] (b)cartwheel hinge[] (c) axial strip joint[3] Fig. 3. 3D modeling of flexure joint Fig. 3.3 Parameters and axis definition of clamped leaf spring[] Fig. 3.4 (a) Vertical and horizontal leaf spring and (b) rotated leaf spring Fig. 3.5 Deformation of flexure joint by Fz Fig. 3.6 Deformation of flexure joint by Mx Fig. 3.7 leaf spring separation for analysis of flexure joint for stiffness for Mx Fig. 3.8 Deformation of flexure joint by Mz Fig. 3.9 (a) Convergence of cost function and (b) Verification of global convergence Fig. 3.1 Convergence of constraints Fig Convergence of design parameters Fig DOF position errors of translational kinematic component Fig. 4. Example for coordinate transformation Fig. 4.3 Schematic diagram of XYθ stage for position error analysis Fig. 4.4 Straightness error of slider of stage in (a) X, (b) Y, (c) Z and angular error(εz) vii

12 Fig. 5.1 Calibration system for straightness of master axis of stage Fig.5. Block diagram of compensation of position error in XYθ stage Fig. 5.3 Simulation results of position error compensation Fig. 6.1 Configuration of H type stage Fig. 6. Configuration of flexure joint Fig. 6.3 Experimental procedure for frequency response of flexure joint Fig. 6.4 Frequency response of flexure joint Fig. 6.5 Hardware components of the control system Fig. 6.6 Control block diagram for H type stage Fig. 6.7 Position errors of master axis (1 times) Fig. 6.8 Averaged position error of master axis Fig. 6.9 Position errors of gantry stage (1 times) Fig. 6.1 Averaged position error of gantry stage Fig Position errors of slider (1 times) Fig. 6.1 Averaged position error of slider Fig Constructed position errors of H type stage Fig Experimental setup for position error calibration of H type stage Fig Measured position errors of H type stage Fig Block diagram for position error compensation of XYθ z stage Fig Compensated position error of XYθz stage Fig Multi step input test results (a) 4nm (X axis) (b) nm (Y axis) (c).arcsec Fig Step response of X and Y axis Fig. 6. Fig. 6. (a) velocity trajectory, (b) velocity error of X axis, (c) velocity error of Y axis viii

13 CHAPTER 1 INTRODUCTION 1.1 Motivation 세기후반 PC 의등장이후가속화된정보화산업은 1 세기의근간산업으로자리잡았다. 세기후반의 PC 가이끄는정보산업의원동력은반도체인데이는 moor 의법칙 [1] 에따라 IC 회로의고집적화및하드웨어성능향상을거듭해왔다. 1 세기의정보화산업은더이상하드웨어적접근으로써의개발이아닌 PC 나각정보기기가다루는컨텐츠개발이주를이루게되었다. 이로인해디스플레이및소프트개발산업이비약적으로발전하게되었다. 디스플레이산업을선도하는디스플레이에는 LCD, OLED, FED, PDP 가있다. 디스플레이산업에가장큰시장을갖고있는 LCD 는대면적, 고화질쪽으로기술개발이진행되고있다.[] 현재가장활발하게개발되는 LCD 패널의크기는 6 세대 (11x15mm) ~8 세대 (x5mm) 이다.[3] 앞으로기술발달추이및 LCD 산업구조를살펴볼때, 더큰패널을통해높은생산성을달성할수있다. 또한, mask-less 리소그래피와같은신공정개발로높은위치정밀도에대한필요성이증가하고있다. 현재 LCD 노광기의위치결정기구로서 H 타입스테이지를이용하고별도의기판의위치를조정하는미세구동가능한스테이지를사용하는형태를이용한다. 위형태는이중서보구동메커니즘으로서낮은정밀도로장행정모션을갖는 coarse stage 와단행정으로고속고정밀모션을수행하는 fine stage 로구성된다. 위이중서보형태의가장큰단점은비용과이동부의무게증가로인한생산수율저하이다. 그리고위치피드백센서로주로리니어엔코더를이용하게된다. 리니어엔코더는리니어스케일의 grating 정보를 optical 센서를통해카운팅하여위치정보를계산한다. 이로인해위치정보는스케일의제조정밀도및정렬상태가센서정밀도에영향을주는것을확인할수있다. 따라서, 대행정스테이지에서위치피드백센서로서선형엔코더 - 1 -

14 를이용하는경우선형엔코더의정렬오차및센서오차보정이반드시필요하다. 본논문에서는이중서보를구현하지않고도고정밀고속을만족하는 H 타입스테이지를제안하려한다. 제안하는 H 타입스테이지에서위치오차보정을위해서별도의구동부를추가하지않고, θz 회전자유도가가능하도록유연기구를 H 타입스테이지의양측평행하게놓인모터와갠트리스테이지사이에장착하여평면운동에대한 X, Y, θz 자유도를구현하여고정밀을달성하였다. 또한, 스테이지의기구오차및센서정렬오차를보상하기위해스테이지를기구학적으로분석하여위치오차를수식적으로모델링하여보상하였다. 1. Research background 스테이지기술은반도체기술과함께발달되어온정밀위치결정기술이다. 또한, 다양한형태로변형이가능하여여러분야에서위치결정기구로서이용되고있다. 사용목적에따라요구되는행정거리, 정밀도, 자유도가다른데, 본논문에서는장행정고분해능을달성하기위해서 XYθz 자유도를구현하는스테이지에대해서살펴보았다. XY 평면상에서 축모션을하는스테이지에서 Z 축회전오차는위치정밀도에주요한영향을미친다. 따라서, 장행정고정밀모션을수행하기위해서반드시 Z 축회전오차보정이필요하다. H 타입스테이지에서 θz 모션을허용하도록구현된사례로이중서보스테이지가있다.[4] 이중서보스테이지의목적은미세구동부의빠른세틀링시간과높은정밀도를조동구동부와함께구현하여장행정에서높은정밀도와고속을구현하는것이다. Fig.1.1 은이중서보스테이지를나타낸다. 이중서보스테이지는추가적인제어시스템과위치피드백센서를필요하게되어비용이증가하고, 제어가복잡하다는단점이있다. Fig.1. 는분리형갠트리구동장치를나타낸다.[5] Fig.1. 는 LCD 검사장비로서제안한갠트리스테이지로서낮은정밀도기준축에 roller 조인트를장착하고, 반대편에 rack & pinion 기구를장착하여 θz 자유도를구현하였다. 이장치는조인트기구상에서유격및 backlash 로인한오차로인해정밀도가떨어지게된다. Fig.1.3[6] 는산업자동화시스템에서비젼시스템구동을위한갠트리시스템에노치힌지기구를적용하여회전 θ z 자유도를구현한특허사례이다. Fig.1.3 은한쪽에만유연기구를적용하여비대칭구조로변형에취약하고, 노치힌지구조적특성상 out-of-plane 방향의모션이복잡 - -

15 하게발생한다. Fig.1.4 는반도체노광용 H 타입스테이지에서회전자유도 θz 를구현한예이다. Fig.1.4 에서제안된시스템은회전 θz 를구현하기위해갠트리스테이지와연결부에두판스프링을 Fig.1.4[7] 에오른쪽그림과같이예각으로교차하도록장착하여회전중심축이교차하여설치하였다. 또한, 회전에의한응력집중을완화하기위한목적으로공기베어링을판스프링과연결부의설치하였다. 회전자유도를갖는유연기구가수직방향으로힘을받고있어변형에취약하고, 공기베어링과유연기구를같이배열하여시스템의강성에취약한단점이있다. 마지막으로 Fig. 1.5 와같이회전자유도를구현하기위해가장많이이용되는방법인회전모터를장착한스테이지가있다.[8] 회전모터를이용하게되면, 이동부의무게가증가하게되어반응속도가저하되고, 회전모터의정밀도가높지않아고정밀회전모션이어렵다. Fig DOF dual servo stage[4] - 3 -

16 Fig. 1. XYθz Gantry stage using roll joint and rack-pinion guide[5] Fig. 1.3 XYθz gantry stage using notch flexure joint[6] Fig. 1.4 XYθz gantry stage with flexure joint [7] - 4 -

17 Fig. 1.5 XYθz DOF stage using rotary stage [8] 위예들은유연기구나별도의조인트를이용하여회전자유도구현한사례들이다. 대부분특허로국한되어있고체계적인설계및해석이이뤄지거나논문으로발표된사례는없었다. 본논문에서는체계적인정밀시스템설계원리를이용하여스테이지의동적특성을모델링하고, 고강성정밀회전유연기구를제안하여 XYθ z 스테이지를설계하려한다. 1.3 Objective and scope 본논문의목표는유연구조를이용하여 θz 회전모션을구현한고속고정밀 H 타입스테이지를제안하는것이다. 고속모션을구현하기위해서스테이지구조강성을크게설계해야한다. 이를위해스테이지의동특성해석이필요하다. 장에서는기존의 XYθ 스테이지의동특성모델과유연기구를이용한 XYθ 스테이지의동특성을모델링하였다. 또한, 동특성모델을이용하여스테이지의강성을결정하는공기베어링과유연기구의강성이전체스테이지모션에미치는민감도를분석하였다. 3 장에서는 H 타입스테이지의회전자유도를허용하면서기생모션에대해서는높은구조강성을갖는유연기구를제안하였다. 그리고제안한유연기구의강성을 6 자유도로해석하고, 스테이지설계목표에맞도록최적설계를수행하였다. 4 장에서는대행정 XYθ 스테이지의기구오차및정렬오차를보상하기위해스테이지를기구 - 5 -

18 학적으로오차를분석하였다. 위치오차모델을이용하여스테이지의위치오차모델을시뮬레이션으로스테이지기구의오차에대한영향을분석하였다. 5 장에서는스테이지각기구부의 6 자유도오차를측정하는방법에대해서설명하고, 기구오차보상방법에대해서설명하였다. 4 장의기구오차모델을이용하여시뮬레이션을통한위치오차보상결과를예측해보았다. 6 장에서는실험을통해스테이지의동특성모델링결과를확인하고, 스테이지의기구오차를측정하고보상하였다. 또한, 정밀갠트리제어알고리즘을구현하여스테이지의 θ z 모션구동결과를나타내었다. 최종적으로스테이지의목표성능을검증하였다

19 CHAPTER CONCEPTUAL DESIGN OF ROTATABLE STAGE WITH FLEXURE JOINT H 타입평면 XY 스테이지는반도체나디스플레이장비의정밀위치결정시스템으로주로이용되고있으며, 보다높은생산성과정밀도를만족하기위하여높은속도와정밀도가요구된다. 본논문에서대행정으로 H 타입평면 XY 스테이지를구현시정밀도를좌우하는스테이지기구오차를최소화하기위한스테이지설계기준을제안하였다. 설계기준에따라제안한스테이지구조에대해서설명하였다. 스테이지의동적특성을기구학적방법으로모델링방법과스테이지구성요소의강성을이용한모델링방법을비교하였다..1 Design consideration 본논문에서제안하는 XYθ 스테이지는반도체또는디스플레이노광및검사용위치결정기구를목표로한다. 반도체및디스플레이산업발달로대면적고정밀위치결정시스템이요구된다. 또한, 생산수율향상을위해고속모션이필요하다. 위와같은요구기술을만족하기위해서본논문에서는장행정고속고정밀위치결정시스템으로 H 타입스테이지를제안하고설계하려한다. 장행정스테이지제작에고려할점은구조강성대비이동부의무게증가로인한상대적인시스템강성저하와기구부의제작및조립에서발생하는기구오차이다. 시스템강성저하는고속모션구현과정밀도향상에가장큰방해요인이다. 스테이지기구오차는제작및조립공차에큰영향을받는다. 제작공차정밀도는제작비용에직결되어서한계가있다

20 앞서설명한스테이지설계요인을고려하여, 정밀대행정고속스테이지설계에서고려할점 은다음과같다. 1. 높은스테이지구조강성. 기구학적적합한구조 3. 고강성가이드메커니즘 4. 저무게중심구조 5. 열적변화및조립오차에둔감한대칭구조 6. 회전오차보정을위한정밀회전메커니즘 고속모션을수행하기위해서높은스테이지구조강성을갖도록설계하였다. 이를위해스테이지구동부와응력집중부에대해서고강성으로설계하였다. 설계된스테이지는 FEM 구조해석을이용하여검증하였다. 스테이지의조립오차를줄이기위해서는기구학적구조 (kinematic structure) 로설계해야한다.[9] 이를스테이지체결부에서조립오차가최소화되도록 semikinematic 구조로설계하였다. 스테이지가이드는정밀도에직접적으로영향을주는요소이다.[1] 따라서, 고정밀가이드로마찰이없는공기베어링가이드를이용한다. 공기베어링가이드는공압의터뷸란스와갭의변화에의한비선형적강성변화가발생한다. 위와같은강성변화영향을줄이고, 가이드의강성을높이기위해자기예압 (magnet preload) 을이용하였다. 위 4 번조건은시스템의구동안정성과상관이있는데, 고속구동시스테이지의관성모멘트는작을수록스테이지는안정적으로구동하게된다. [11] 관성모멘트를최소가되도록설계를위해구동축에대한구동부의단면적을최소가되도록설계하고, 구동부의기준면에서높이를낮게설계하였다. 기구부의비대칭으로인한열변형을저감하는방법으로대칭구조인 H 타입스테이지형태로설계하였다. 조건 6 에근거하여, 대면적구동스테이지의기구부오차를보정을위해갠트리스테이지 (gantry stage) 과 개의선형모터로구동되는축사이에고강성정밀유연기구를설계하였다.. Structure of proposed stage - 8 -

21 본논문에서제안하는평면 XYθz 스테이지구조는 Fig..1 과같다. 스테이지기본구조는 H 타입으로설계하였다. Y 축으로평행하게놓인 Y 1 (master), Y (slave) 축선형모터축상부에 X 축선형모터구동부인갠트리스테이지가체결된다. 평면 XYθ 스테이지의주요구동요소로나누면 X 축슬라이더, 갠트리스테이지, Y 축모션구동부로 Y 1 (master) 축, Y (slave) 축으로구분할수있다. 각구동부의구동원은선형모터를이용하였고, 가이드는 magnet preload 를이용한공기베어링구조를이용하였다. 갠트리스테이지의지면수직축을기준으로회전자유도 (θ z ) 를허용하도록유연기구를갠트리스테이지와 Y 축모터사이에설치하였다. Table.1 은스테이지목표설계사양을나타낸다. Fig..1 3D model of XYθ stage Table.1 Design specifications of proposed stage Contents Unit Value Range mm / degree 8 x 145 (X,Y) / ±.3(θ z ) Size mm 1 x 198 (X,Y) Moving mass kg 8kg(slider), 3kg (gantry stage) Max. velocity mm/s 5 (X,Y) Max. acceleration m/s 5(X), 5(Y) Accuracy nm / arcsec ±1 (X,Y) / 1(θ z ) Repeatability nm / arcsec ±5(X,Y) /.5(θ z ) Settling time (%) sec..3 (X),.3(Y) - 9 -

22 . 3 DOF analysis of XYθ stage H 타입스테이지에회전 θz 자유도를구현하기위해갠트리스테이지를회전할때 Fig.. 와같이 X 축방향의자유도가필요하게된다. X 축방향의자유도와 Z 축회전자유도를 XYθ 스테이지에서구현시고려될수있는자유도는 Fig..3 과같다. Fig..3 (a) 는대칭구조로 master 와 slave 축에 Z 축회전자유도와 X 축병진자유도를갖는 XYθ 스테이지를도식적으로나타낸것이다. 위경우회전모션시발생하는병진모션을수행할수있고대칭구조로스테이지의동특성도향상시킬수있다. 반면, 갠트리스테이지의정밀도기준을잡아주는 Y 축을정할수없어 X 축정밀도가떨어지는단점이있다. Fig..3 (b) 는 master 축에만병진자유도를준형태이다. 위경우자유도의기준축이 slave 축을추종하는구조이고, Fig..3 (c) 는 slave 축에병진자유도를주어서 master 축을추종할수있는스테이지의자유도이다. 본논문에서는 case 3 의자유도를갖도록 XYθ 스테이지를설계하였다. Fig.. Rotation motion of gantry stage about Z axis (a) case 1 (b) case (c) case 3 Fig..3 Classification of DOF of XYθ stage - 1 -

23 .4 Detail design of XYθ stage Fig.4 는 스테이지의 X 축 구동 슬라이더의 도식도를 보여준다. 구동부인 선형 모터는 구동 중 심 축과 동일하게 위치시켰고, 동력 전달 루프를 최단으로 하여 구동력이 슬라이더에 직접 전달 되도록 설계하였다.[13] (a) Front view (b) side view (c) Top view Fig..4 Schematics of slider 슬라이더는 갠트리 스테이지와 공기 베어링을 이용하여 비접촉 상태로 구동하여 마찰에 의한 오차를 제거 하였다. Z 축 방향의 정밀도 기준면으로 석정반 표면을 사용한다. 공기 베어링 가이 드의 강성을 높이기 위해 Z 방향으로 갠트리 스테이지에 자기 예압을 설계하였다. 유연 기구가 장착되는 Y 축 구동부의 구조를 Fig..5 에 나타내었다. Y 축 구동부의 가이드도 슬라이더와 동일하게 공기 베어링을 이용하였다. 석정반 구조에 직접 orifice 구조의 공기 베어링 을 설치한 밀폐형 공기 베어링 가이드로 기생 모션(parasitic motion)에 대해 높은 강성을 갖도록

24 설계하였다. Y 1 축은유연기구만장착되어있고, Y 축은유연기구와 LM 가이드가적층형태로장착되어있다. 이는갠트리스테이지가 θ z 회전할때, 회전으로인한갠트리스테이지길이방향인 X 축방향으로자유도를허용하여큰 Z 축회전변위허용을목적으로한다. 또한, θ z 모션시갠트리스테이지의 X 축방향의 reference 위치가 Y 1 축과일치하여정밀도기준축을추종하도록하였다. (a)front view of Y 1 axis (master) (b) Front view of Y axis (slave) Fig..5 Schematics of y axis motor. 5 Dynamic modeling of XYθ stage 기존의평면 XY 스테이지는 Y 축구동부와갠트리스테이지는자유도없이구속된형태로이용되었다. 본논문에서제안하는평면 XYθ 스테이지는갠트리스테이지의회전모션을허용하도록설계되었다. 스테이지의모션은하나의강체 (rigid body) 가아닌 3 개의강체가유한한강성을갖은스프링에의해연결된구조로생각할수있다. 이와같은다물체시스템의구동특성은다양한모드 (mode) 형태로나타난다. 따라서, 스테이지의동적모델링을통해서요구되는구동성능을만족하도록설계하는과정이필요하다. 본.3 절에서는 XYθ 스테이지의동역학적모델링을구하는과정에대해서설명한다

25 .5.1 Geometrical analysis method 기구학적접근으로스테이지의동역학적모델링을유도하는방법은유연기구의강성및공기 베어링의강성을고려하지않은방법이다. 본모델링방법은식이간단하고, 강성을몰라도모 델링할수있는장점이있지만, 정확한동역학모델링을구할수없다. Fig..6 Schematics for XYθ stage modeling using geometric analysis method Fig..6 는 H 타입스테이지를기구학적으로간단하게표현하였다. 위 Fig..6 에서 m 1, m 는갠트리스테이지무게와슬라이더무게를나타내고, X, Y, θ는원점에서슬라이더의 X 축변위, 갠트리스테이지의 Y 축변위, 갠트리스테이지의 Z 축에대한회전변위를나타내었다. 갠트리스테이지가 θ 변위만큼회전했을때, 원점에서위치를나타내면식 (.1) 과같다. x =, y = y m1 m1 x = xcos θ, y = y xsinθ m m (.1) 식 (.1) 을미분하여속도를구하면식 (.) 와같다

26 v x x cosθ x θsinθ =, v = y x sinθ x θcosθ m1 m (.) 식 (.) 를이용하여전체 kinetic 에너지식을구하면식 (.3) 과같다. 1 1 l l T = ( m1 + m) y 1+ m1 + m + x + x m θ + 1 mx myx θ cosθ xym sinθ (.3) 위식 (.3) 은식 (.4) 와같은형태로나타낼수있고, inertia matrix D 는식 (.5) 와같다. 1 K = XDX, X = x y [ θ ] T (.4) m msinθ l l D= m1 + m + x + mx mx cosθ m sinθ m xcosθ m + m 1 (.5) 위식 (.5) 를이용하여 Coriolis 와 centrifugal 힘을아래식 (.6) 을이용하여식 (.7) 을구 할수있다. 3 ( ) ( ) d ( q) ( ) ij ik jk ij = ijk k, ijk = + + k = 1 qk qj qi C c q c where, [ ] 1 d q d q d11 d1 d13 d14 d1 d d3 d 4 q 1 q q 3 = qx q qy, D θ = d31 d3 d33 d 34 d41 d4 d43 d44 (.6)

27 l + x θ y cosθ θcosθ l l C = + x θ y cosθ + x x + yx sinθ x cosθ + x θsinθ θcosθ x θcosθ x cosθ (.7) DX + CX = F where, F = Fx Mθ z F y T (.8) 식 (.5), (.6) 을이용하여스테이지동특성방정식을 (.8) 과같이나타낼수있다.[5] 식 (.8) 에서 F x, F y, M θz 는슬라이더, 갠트리스테이지에작용하는힘과모멘트를나타낸다..5. Stiffness analysis method 스테이지의대행정화로인해요구되는높은속도및가속을만족하기위해선고속모션에서의스테이지의진동모드를정확하게모델링하는기술이필요하다. 강성을이용한동특성모델링방법은실제스테이지체결부의강성을이용하는방법으로앞서살펴본기구학적방법으로근사한모델링기법보다정확하다

28 Fig..7 Schematics for XYθ stage modeling using stiffness analysis method Fig..7 는 XYθ 스테이지의평면운동에대한동적모델링을구하기위한 XYθ 스테이지도식 도이다. Fig..7 에서 K, Sl K Sr 은유연기구의강성을나타내고 K, K 는 frame 형태공기베 f p 어링과 pad 형태공기베어링을나타낸다. 유연기구의강성은 3 장에서 6 자유도모델을구하는과정을자세히다룰것이다. 유연기구의강성은 X, Y, θz 축방향에대해서존재하고, 대칭구조로설계하여서 X, Y 축방향강성의크기는동일하다. 식 (.9) 와 (.1) 은평면모션 (X, Y, θz) 대한 kinetic 에너지와 potential 에너지를나타낸다 V = kfxx1 + kfxx1 + ksx ( x3 x1) + kf θzθz1+ kf θzθz + kh θz ( θz3 θz1) + kh θz ( θz3 θz ) + lθz3 lθz3 l pθ z ( θz 4 θz3) + hy hy 3 + py θz k k y y k y y k y y x (.9) T = mx mx + m3x 3 + m1y 1 + my + m3y 3 + m4y 4 + I 1θ z1+ I θz + I 3θz3 + I 4θz4 (.1) 다. 위식 (.9), (.1) 을 Lagrange 식을이용하여식 (.11) 과같은동특성방정식을얻을수있

29 MX KX U + = (.11) ,,, x x x y y y y z z z z z z z z Where u x m u x m u x m m u y u y X U M u y u y u u u u θ θ θ θ θ θ θ θ = = = m m m I I I I 4 4 fx sx sx fx sx sx sy sy sy sy sy sy sy sy py sy py py py py py f z s z s z f z s k k k k k k lk k k lk k k l k k k k k x k K l k k x k k k k k k θ θ θ θ θ + = z s z sy sy py py s z s z sy py s z p z p z p z p z k l k k k k lk lk lk k x k k k k k θ θ θ θ θ θ θ θ 위식 (.11) 에서이용되는공기베어링의강성은제조사에제공하는강성값을이용할수있다. 하지만, 유연기구에각자유도에대한강성은모델링이필요하다.

30 .5.3 Consideration on flexure joint stiffness 스테이지요구세틀링시간에만족하기위한유연기구의강성을위모델모델링부터계산할수 있다. 식 (.1) 와같은 차부족감쇠시스템의세틀링시간 (settling time, T s ) 과 natural frequency 간의관계식으로부터유연기구의설계강성을결정할수있다. [14] T s 4 ζω = (.1) c.1 절에서요구세틀링시간을위식 (.1) 에대입하면, 시스템의요구주파수값을얻을수있다. 식 (.1) 에서 ζ는감쇠비로서유연기구의강성요소인판스프링의실험적값을통해계산할수있다. 본논문에서는감쇠비를. 로설계하였다. 식 (.1) 을제어주파수를결정하게되고이를이용하여시스템의구조강성을결정할수있다. 위식 (.1) 에서목표세틀링시간을얻기위한제어주파수의계산으로부터스테이지의요구되는구조주파수를식 (.13) 에나타내었다. 4 ωc = ζ T ω s 4 = = rad/sec.5x.3(sec.) gantry = ω = rad/sec c (.13) 위식에서감쇠비는적정구조물의일반적인강성값인 5% 을이용하여목표세틀링시간을만족하는갠트리스테이지의구조주파수를구할수있다. 식 (.13) 에서스테이지의구조강성은식 (.11) 에서 eigen value problem 을통해구할수있다. 갠트리스테이지의 X 축방향 natural frequency 를계산하면, 식 (.13) 과같이구할수있다. ω k 1 1 sx k sx k kfx + ksx ksxk sx fx gantry = + ( kfx + ksx ) + ( kfx + ksx ) m3 m1 m3 mm 1 3 m1 mm 1 (.14)

31 위식 (.14) 를이용하여유연기구의 X 축병진방향강성 (k sx ) 에대한관계를그래프로나타낸 것이 Fig..8 과같다. 식 (.14) 에서갠트리스테이지의강성 k hx 를구하기에앞서선정한공기 베어링의공칭강성값과유연기구의회전강성 (k hθz ) 을 Table. 에명시하였다. Table. Design parameter set Contents Unit Value k py (pad type air bearing) N/ μm 3 k pθz (pad type air bearing) Nm/μrad 9.38 k fx (frame type air bearing) N/ μm 7 k fθz (frame type air bearing) Nm/μrad 4.87 k hθz Nm/μrad ω x (rad/s) k sy (N/μm) Fig..8 Variation of ωgantry with respect to k sx 위와마찬가지로 Y 축방향의세틀링시간조건에의해서슬라이더의 Y 축 natural frequency 를식 (.15) 와같이얻을수있고이를 Fig..9 와같이그래프로나타낼수있다. ω 1 ( k, k θ, k, k θ, k, k θ ) ω M K for y4 slider py p z fx f z hy h z = (.15) 위식 (.13) 을이용하여유연기구의 X 축방향병진강성 (k sx ) 에따른갠트리스테이지의 X 축

32 방향 natural frequency(ω x ) 의변화를 Fig..8 에나타내었다 ω θz (rad/s) k (N/μm) sy Fig..9 Variation of ωslider with respect to k sy Fig..8 과 Fig..9 의결과요구되는유연기구의병진모션의강성은식 (.16) 과같다. k 376 N/ μm, k 15 N/ μm (.16) sx sy 위유연기구의강성 k hx, k hy 는 3 장에서유연기구의최적설계를위한 constraint 가된다..5.4 Sensitivity analysis on dynamic modeling using stiffness analysis methods 강성을이용한동특성모델링은유연기구와공기베어링의강성변화에따라전체스테이지의동특성의변화를확인할수있다. 본절에서는유연기구와공기베어링가이드의강성변화에따른갠트리스테이지 natural frequency(ω x, ω y, ω θz ) 의민감도를분석하였다. Fig..1 는스테이지구동방향인 X, Y, θ z 축에대해서나타내었다. - -

33 ω x /ω xn 1.9 k sx /k sxn k sθz /k s θ zn k fx /k fxn.8 k fθz /k θzn k py /k pyn k pθz /k θzn Normalized variables (a) Sensitivity analysis of natural frequency of gantry stage along X axis ω y /ω yn 1.9 k sx /k sxn k sθz /k s θ zn k fx /k fxn.8 k fθz /k θzn k py /k pyn k pθz /k θzn Normalized variables (b) Sensitivity analysis of natural frequency of gantry stage along Y axis - 1 -

34 ω θz /ω θzn k sx /k sxn k sθz /k s θ zn k fx /k fxn k fθz /k θzn k py /k pyn k pθz /k θzn Normalized variables (c) Sensitivity analysis of natural frequency of gantry stage about Z rotation motion Fig..1 Sensitivity analysis of stage stiffness components Fig..1 은유연기구의강성 (k sx, k sθz ) 과공기베어링강성 (k py, k pθz, k fx, k fθz ) 의설계값에서 ±1% 변화시갠트리스테이지 natural frequency(ω x, ω θz ) 과슬라이더의 natural frequency(ω y ) 변화를나타내었다. Fig..1 (a) 는갠트리스테이지의 X 축모션 natural frequency 에영향을미치는각강성요소 (k sx, k sθz, k py, k pθz, k fx, k fθz ) 의영향을그래프로나타내었다. 유연기구의 X 축병진운동과 frame 타입의공기베어링강성이갠트리스테이지의 X 축 natural frequency 에지배적인영향을미침을확인할수있다. 이중에가장큰영향을미치는요소는유연기구의 X 축병진강성임을확인할수있다. Fig..1(b) 는슬라이더의 Y 축 natural frequency 에영향을미치는스테이지의강성요소를그래프로나타내었다. 유연기구의구조상대칭으로 X, Y 축강성이같기때문에평면운동방향의병진운동에대한강성 (k sx or k sy ) 이가장지배적인요인으로나타남을확인할수있다. Fig..1(c) 는갠트리스테이지의 Z 축회전운동에대한강성에대해스테이지의강성요소의영향을그래프로나타내었다. 그래프를통해 Z 축회전에대해서가장지배적인요인이유연기구의 Z 축회전강성임을확인할수있다. 이는 Z 축회전에대해서가장낮은회전강성를갖기때문이다. - -

35 .6 Simulation on dynamic response 본절에서는앞.3. 절에서구한스테이지모델링을이용하여스테이지의동적성능을검증하였다. 스테이지에각축방향으로 step 입력을가진하였을때, 스테이지의세틀링시간을체크하여스테이지동적모델링결과를확인하였다. 스테이지제어기는각 X, Y, θz 축으로분리된형태의 PD 제어기를사용하였다. 각제어기의게인설계는제어안정성확보하기위해임계감쇠비이상으로설정하고제어주파수가시스템주파수의 배가되도록 Table.3 과같이설계하였다. 스테이지모델링에사용된강성과 X, Y 축방향의 step 입력의크기는 Table.3 과같다. Table.3 Parameters of simulation on dynamic response Contents Unit Quantity X axis PD gain (K Px, K Dx ) - 5, 1 Y axis PD gain (K Py, K Dy ) - 5, Mass of master and slave motor axis (m 1, m ) kg Mass of gantry stage (m 3 ) kg 3 Mass of slider (m 4 ) kg 8 Thrust of linear motor(f x, F y1 and F y ) N 9 Stiffness of pad type air bearing(k py, k pθz ) N/um / Nm/μrad 3(Y) / 9.38(θ z ) Stiffness of frame type air bearing(k fx, k fθz ) N/um / Nm/μrad 7(X) / 4.87(θ z ) Stiffness of flexure joint(k hx, k hθz ) N/um / Nm/μrad 63(X,Y) /.16(θz) Step input in X axis and Y axis μm - 3 -

36 .5 Step response(x axis) step input actual position X.5 Step response(y) step input actual position Y X position(μm) Y position(μm) time(sec) (a) Step response of slider (x axis) time(sec) (b) Step response of gantry stage(y axis) Fig..1 Simulation results of step response of XYθ stage Table.4 Results of simulation on the dynamic response Contents unit Value X axis(slider) msec. 48 Y axis(gantry stage) msec. 57 Fig..1 과 Table.4 는 step 입력에대한스테이지의동적모션을실제엠프입력과같이리미 트와제어게인에대해서시뮬레이션한결과이다. 스테이지의 X, Y 모션의세틀링시간이목표 값.3sec 이하임을확인할수있다..6 Conclusions 본 장에서는제안한스테이지의구조및설계시고려할점에대해설명하였다. 제안하는정밀스테이지제작의설계목표를명시하고, 이를만족하는설계조건들을명시하였다. XYθ 스테이지의동특성모델링을기하학적접근방법과강성모델을이용한방법에대해서유도하였다. 스테이지동특성모델링을이용하여세틀링시간을만족하기위한유연기구의강성목표치를정하였다. 또한, 유연기구와공기베어링의강성모델을이용한동특성모델링에서공기베어링과유연기구의강성변화에따른 natural frequency 의민감도를분석하였다

37 CHAPTER 3 DESIGN OPTIMIZATION FOR FLEXURE JOINT 스테이지의위치오차를보상하기위해유연기구를이용하여회전자유도 (θ z ) 를구현시스테이지의구조강성저하로인한성능저하를막는것이중요하다. 이를위해유연기구의최적설계과정이필요하다. 유연기구의최적설계를위해시스템의정확한수학적모델링이우선된다. 본장에서는유연기구의모델링방법과모델링결과를 FEM 과비교하여모델링의유효성을검증하였다. 유연기구의모델링결과를이용하여최적설계를수행하였다. 3.1 Introduction to flexure joint 회전자유도를갖는조인트는슬라이더 (prismatic joint), inertial joint, ball and socket joint 등다양한형태가있다. 이와같은조인트는대부분접촉형태로서마찰이존재하고, 접촉점에서유격이발생하여 backlash 가발생하고, 낮은정밀도와반복정밀도를갖는다. 위와같은낮은정밀도문제는유연기구를이용하여해결할수있다. 유연기구는선형탄성변형을이용하기때문에 backlash 가없고, 마찰에의한마모나 stick-slip 이없다. 또한, 모션구동이선형적이부드럽고, 가이드에의한정밀도는이론적으로무한하다는장점이있다. 하지만유연기구는재료의탄성변형영역에서구동해야하기때문에구동변위가제한적이다. Fig.3.1(a) 은회전자유도를갖는유연기구의대표적인형태인 notch 타입의유연기구이다

38 [16] notch 타입유연기구는단순한형태로구현이가능하지만, 응력집중이심하여회전변위 가작은단점이있다. 또한기생모션의강성이회전모션에비해높지않은단점이있다. Fig.3.1(b) 는판스프링을 X 형상으로붙인형태의 cartwheel hinge joint 이다.[17] Cartwheel 은 회전모션이크고기생모션의강성이높지않고, 제작이어렵다는단점이있다. Fig.3.1(c) 는 cross strip joint 로두판스프링을교차하여회전자유도를허용한사례이다. cross strip joint 는앞서나온 cartwheel hinge 과비슷한구조이지만, 조립이가능하여구현이간단하다. 반면회전중심축이동에대한강성이약하다는단점이있다. Fig.3.1(d) 는 axial strip joint 로판스프링의비틀림강성 (torsional stiffness) 을이용하여회전자유도를구현한힌지구조이다.[18] axial strip joint 는회전변위가크고응력집중을분산할수있지만, 축방향으로하중이작용시 buckling 이발생할수있다. (a) (b) (c) (d) Fig R flexure hinge joints: (a) notch shape hinge [18] (b)cartwheel hinge[16] (c) cross strip joint (d) axial strip joint[17] 본논문에서제안하는유연기구는 Fig.3. 와같다. 바퀴와같은형태로 8 개의판스프링을 두강체사이에연결하여회전자유도를구현하였다. 본논문에서제안하는바퀴형태유연기구 - 6 -

39 의구조는일반적으로구현된유연기구와는달리과잉구속시스템이다. 이는스테이지의특성 상높은강성이요구되고, 구동조건에서발생하는기생모션의최소화가필요하기때문이다. 제안하는유연기구은회전변위가크고, 응력집중이분산되어피로항복에대한저항도크다. Fig. 3. 3D modeling of flexure joint Comparison among flexure joints 앞서설명한회전자유도를갖는유연기구들과본논문에제안한유연기구의기구적특성을서로비교하기위해수학적모델링및 FEM 시뮬레이션 (pro engineering/mechanica software) 의결과를이용하였다. 비교기준으로유연기구회전시발생하는회전중심축이동, 비주축모션강성 (off axis stiffness) 을비교하였다. 비교하는유연기구의형상조건을같게하기위해서전체유연기구의부피를동일하게하고, 주축회전모션의강성도모두 1Nm/rad 로같게하였다. 위와같은조건하에서각유연기구의회전중심축이동과비주축모션강성을 Table 3.1 에비교하였다

40 Table 3.1 Off axis stiffness and pivot axis shift when the flexure joints were designed to have the motion stiffness of 1 Nm/rad and same volume (1 x 1 x 15 mm)[1] [] [3] Unit Circular joint Crossstrip joint Cartwheel joint Axial strip joint Proposed flexure mechanism Flexure thickness mm dm z /dθ z Nm/rad 1 dm x /dθ x Nm/rad Off axis stiffness dm y /dθ y Nm/rad df x /dx N/μm df y /dy N/μm df z /dz N/μm Pivot axis shift at 5 deg. Deformation μm Size mm 1 x 1 x 15 위 Table 3.1 에서 1 회전자유도를구현하는유연기구의동일한크기조건하에서모든자유도의강성크기를비교하였다. 제안하는유연기구는동일한 Z 축회전강성하에서다른축방향강성이매우높음을확인할수있다. 이는다른유연기구와는달리과잉구속형태로회전모션을구현하였고, 다른유연기구에비해많은판스프링을이용하였기때문이다. 또한, 회전모션발생시회전축이동도없음을확인할수있다. 이는 Z 축회전발생시모든판스프링에서동일한변형을받아서회전축이동이나타나지않는다. 3. Analysis for flexure joint 유연기구를모델링하는대표적인방법은판스프링이나 notch hinge 의 6 자유도모델링을이 - 8 -

41 용하여유연기구의전체의강성모델링을구하는방법이있다.[19] 위모델링방법은기본유연기구구조의 6 자유도강성모델링이용하여좌표변환으로전체시스템의강성식을구하고, lagrange 방정식이용하여 6 자유도모델링을구하게된다. 본논문에서는회전자유도유연기구를 6 자유도구조에대해서정역학적으로접근하여강성모델을구하였다. 회전자유도유연기구는기하학적으로 X, Y 축에대해대칭구조를갖고있어서 6 자유도강성모델이간단하게 diagonal matrix 로식 (3.1) 과같다. dx df x dx df x dz dfz C = dθx dm x dθ y dm y dθz dm z (3.1) 식 (3.1) 에서 X 축과 Y 축대칭구조이기때문에 1 행과 행, 4 행과 5 행의강성값은같다. 결국 4 자유도운동을모델링을통해회전자유도유연기구의강성모델을구할수있다 Stiffness modeling method using 6DOF compliance matrix of 1 leaf spring Fig3. 의유연기구는 8 개의동일한판스프링으로구성되어있어서판스프링의 6 자유도강성을이용하면전체유연기구의 6 자유도강성을구할수있다. 본유연기구의판스프링은이동자 (moving part) 에평면방향에대해완전구속 (clamped constraint) 형태로체결되었다. 따라서, 판스프링을 Fig.3.3 와같이고려할수있다. Fig.3.3 의판스프링의 6 자유도강성은식 (3.) 에나타내었다. [16] - 9 -

42 C leaf dxl df xl dyl dy l dfyl dm zl dzl dz l dfzl dm yl = dθ xl dm xl dθyl dθyl dfzl dm yl dθzl dθ zl dfyl dm zl Where, dx F l = dx = l xl l df xl xl EA Etb dyl 4l l dy 6l = + = df Ebt Gbt dm Ebt yl 3 l, 3 3 zl dzl 4l l dz 6l = + = df Eb t Gbt dm Eb t zl 3 l, 3 3 yl dθ xl Mxl l = dx k 3.31 dm = = xl GJ Gk bt zl yl xl xl dθyl l dθ l = = df Eb t dm Eb t 6 yl 1, 3 3 yl dθzl l dθ l = = df Ebt dm Ebt 6, 3 zl 1 zl 3 (3.) 식 (3.) 를이용하여유연기구를 6 자유도모션에대해정역학적으로해석하여 6 자유도강성 을모델링하였다. Fig. 3.3 Parameters and axis definition of clamped leaf spring[] - 3 -

43 3.3 6DOF stiffness matrix of flexure joint Stiffness of translation motion along X axis 회전자유도유연기구의 X 축병진운동의강성을구하기위해서 Fig.3.4 와같이판스프링을직각방향 (a) 과 X 자방향 (b) 으로나눌수있다. 판스프링의형태및크기는동일하지만, 위치에따라받는힘의크기와방향이다르기때문에각판스프링에서강성도다르게나타난다. Fig.3.4 (a) 의판스프링의강성모델은식 (3.3) 와같다. df df xl yl Fxl dyl khx + kvx = + = dxl dx xl xl l dx dy + EA dx l l l 3 Ebt EGbt = + l Et l+ 4Gl 3 (3.3) Fig.3.4 (b) 의 X 자형태로고정된판스프링의강성모델은식 (3.4) 와같다. k rx dfxl = 4cosϕ = 4cosϕ dx Ebt = 4 cosϕ l ll xl Fxl dxl EA (3.4) 위식 (3.3), (3.4) 를이용하여유연기구의 X 축병진방향강성을나타내면, 식 (3.5) 와같다. k = k + k + k x rx vx hx 3 Ebt EGbt Ebt = 4cosϕ l Et l + 4Gl l (3.5)

44 Fig. 3.4 (a) Vertical and horizontal leaf spring and (b) rotated leaf spring 3.3. Stiffness of translation motion along Z axis out-of-plane 방향인 Z 축병진운동은회전자유도유연기구내 8 개의판스프링을동일한 힘과모멘트를받는다. Z 축방향의힘에의한회전자유도유연기구의변형은 Fig.3.5 과같다. 이와같은변형에대한강성은간단하게식 (3.6) 과같이모델링할수있다. k z df zl dz l = 8 = 8 dx zl l dz l dxl 3 EGb t = 8 3 Gl + Gb l (3.6) Fig. 3.5 Deformation of flexure joint by Fz - 3 -

45 3.3.3 Stiffness of rotation motion about X axis M x 에의한변형은회전자유도유연기구의모드중에서가장복잡한변형형태를띤다. Fig.3.6 는 M x 에의한회전자유도유연기구의변형을보여준다. X 축을중심으로이동자가회전하게되면, 판스프링은각축에따라하중형태가다르게나타난다. Fig.3.6 (b) 와 (c) 은 X 축과 Y 축에서의판스프링의변형을평면에서보여준다. X 축과 Y 축사이에존재하는판스프링은 X 축과 Y 축의변형을동시에받게된다. M x 에대한회전자유도유연기구의강성을구하기위해서는 Fig.3.7 과같이각위치에따른판스프링을분류하였다. (a) Side view of deformation of flexure joint load by M x (b) Free body diagram of spring along X axis (c) Free body diagram of leaf spring along Y axis (c) Free body diagram of leaf spring in cross position Fig. 3.6 Deformation of flexure joint by M x Fig.3.7 에서 X 축에수직하는 1,5 번판스프링은 Fig.3.6(b) 와같이이동자의회전에의한모 멘트와판스프링의완전구속으로부터오는모멘트가함께작용한다. 식 (3.7) 은 1,5 번판스프 링의회전 θx 에대한강성 (k vθx ) 을모델링결과이다. k vθ x = + = + = dθ y1 dz l 1 l 6 l l dm yl1 ldm yl Eb t Eb t Eb t (3.7)

46 Fig. 3.7 leaf spring separation for analysis of flexure joint for stiffness for M x 회전자유도유연기구의피벗위치의판스프링 (3 번, 7 번 ) 은 Fig.3.6 (c) 와같이 X 축방향의 비틀림모멘트만작용한다. 식 (3.8) 은 k hθx 를나타낸다. k dm Gk bt 3 = xl hθ x dθ = xl l (3.8) 나머지판스프링 (,4,6,8) X 축모멘트에대한강성은위식 (3.7) 과 (3.8) 에서고려된힘과모 멘트성분이모두존재한다. 식 (3.9) 는 k rθx 를나타낸다. k rθ x dm dm yl ledm xl yl Gkbt Eb t Eb t = = dθ dθ dz l 1l 6l xl yl l e e e le = lcosφ (3.9) 식 (3.7), (3.8), (3.9) 를이용하여 X 축모멘트에대한유연기구의강성모델링 (k θx ) 은식 (3.1) 과같다. k = k + k + k θx hθx vθx rθx Gkbt Eb t Gkbt Eb t Eb t = l l le 1le 6le (3.1)

47 3.3.4 Stiffness of rotation motion about Z axis 회전자유도유연기구의 θz 방향의강성은주운동방향으로다른 5 자유도강성보다작게설계해야한다. 회전자유도유연기구의판스프링의변형은 Fig.3.8 과같다. 판스프링의양단에는판스프링축방향힘, 축의수직방향힘과 Z 축모멘트가작용한다. 판스프링의수직방향힘과축방향인장력은회전자유도유연기구의구조적특징으로상쇄되고, 판스프링에는모멘트만고려된다. Fig. 3.8 Deformation of flexure joint by M z 유연기구의회전 θz 모션의강성은이동자부분인 r i 의반경을기준으로모멘트가작용하기 때문에식 (3.11) 과같이강성모델링을구할수있다. rdm 4Ebt r k = z 8 = (3.11) θ 3 i zl i dyl 3l

48 3.3.5 Maximum stress condition of flexure joint 갠트리스테이지구동축인 Y 축모터의최대구동조건하에서최대로 θz 변위를주었을때, 최대응력은판스프링의양끝단연결부에발생한다. 최대응력은식 (3.1) 과같다. σ K K 11dM = F = θ t t z max max z max Aleaf bt 8 ri dθz Kt Ebt = 8rbt 3t i 3 rθ i zmax (3.1) 식 (3.1) 에서 K t 는응력집중계수이고, θ zmax 는 θ z 의최대변위를나타낸다 Critical load condition of flexure joint 유연기구의 buckling 이일어나는 load condition 은다음과같다. 양끝단이고정된 column 에서 buckling 이일어나는조건을 Euler beam 으로가정하면식 (3.13) 과같다. P cr 3 π EI π Ebt = = (3.13) 4l 48l 앞식 (3.3) 에서축방향판스프링의강성을이용하여최대 X 축변위에대해서계산하면, 식 (3.14) 와같다. dfx Ebt Fmax =Δ xmax =Δxmax dx l (3.14) 위 buckling load 와의비에의해서 buckling 이일어날수있는한계를식 (3.15) 와같이구 할수있다. 96π t Δxmax (3.15) 96l

49 3.3.7 Verification of 6DOF stiffness matrix using FEM 회전자유도유연기구의수학적모델링의유효성은실제시스템을만들어서검증하기어렵기 때문에 FEM 프로그램 (Pro engineering, mechanica) 을통해검증하였다. Table 3. 은회전자유 도유연기구의수학적모델링과 FEM 프로그램으로구한강성을비교하였다. Table 3. 에서사 용유연기구의변수는 ri 는 6mm, b 는 3mm, t 는.5mm 이고, l 은 4mm 이다. Table 3. 을 보면, in-plane 의강성인 k x, k θz 는 1% 이내로정확하게모델링되었음을확인할수있다. out-of-plane 의강성도 15% 이내로정확하게모델링되었음을알수있다. 회전자유도유연 기구의최대응력의모델링은 1% 미만으로정확하게모델링되었다. Table 3. Comparison of stiffness of flexure joint between modeling and FEM unit Analytic model FEM simulation Error (%) k x N/um k y N/um k z N/um k θx Nm/urad k θy Nm/urad k θz Nm/urad P cr Mpa Design optimization on flexure joint Design variables and specification 회전자유도유연기구의설계변수는 Fig.3. 에서 l, t, b, r i 로판스프링의길이, 두께, 폭그 리고내부 moving body 의반지름이다. 회전자유도유연기구의목표성능은 Table.1 에서명 시된스테이지성능과.3.3 절에서구한 X 병진운동에대한조건을 Table 3.3 에나타내었다

50 Table 3.3 Desired spec. of flexure joint Target specification Unit Value Range degree ±.3 Size mm 5 x 5 Settling time(stage) sec..3(x, Y axis) 3.4. Cost function 회전자유도유연기구의최적설계의목적함수는 θz 축강성을제외한나머지기생모션강성의최대화이다. 회전자유도유연기구의정밀회전가이드로서역할을하기위해서는 θz 회전을제외한어느방향으로외란에대한영향이없도록하기위한목적함수를설계하면식 (3.16) 와같다. c c3 c Minimize f ( l, b, t, r i ) = c k z (3.16) x z x 4 1 θ k k kθ 목적함수 (3.16) 에서 c 1, c, c 3, c 4 는목적함수수렴속도를조절하는상수이다. 위목적함수 에서상수는각강성값들의공칭값 (nominal value) 들이모두 1 이되도록설정하였다 Constraints 회전자유도유연기구의최적설계는다음과같은사항을만족시켜야한다. 1 Maximum θ z angle Table 3. 의목표회전반경을만족하기위해서회전 (k θz ) 강성은다음식 (3.17) 을만족시켜 야한다

51 k θ z 3 dm z Ebt ri = = 16.5( Nm/ rad) (3.17) dθ 3l z Settling time of gantry stage 제안하는스테이지의요구세틀링시간 (%) 을만족하기위해서는앞절.3.3 의조건이 inplane 상의병진운동에대해서다음기준을만족해야한다. k x 3 dfx Ebt Ebt EGbt = = 4cosϕ N / m 3 dx l l Et l + 4Gl (3.18) 3 Stiffness against pitching moment by gantry stage inertia(θ x ) 갠트리스테이지가최대가속으로진행하다감속할때, 회전자유도유연기구에서받는 pitching(θ x ) 모멘트로인해슬라이더의위치오차를초래할수있다. Y 축위치정밀도인 1nm 를만족하기위해서식 (3.19) 을만족해야한다 Eb t Eb t Gkbt Eb t Gkbt kθ x = Nm/ μrad 6le 1le le l l (3.19) 4 Maximum stress 회전자유도유연기구의최대발생응력은재료의피로응력이하범위에있어야회전자유도 유연기구은탄성거동한다. 이를만족하기위해식 (3.) 의응력조건을만족해야한다. 3 1 Ebt Pcr = Kt θz max σ fatigue = 159Mpa 8brt i 3l (3.) 5 Geometrical constraints 시스템의크기에의한제한조건은식 (3.1) 과같다. 5 r 7 ( mm) i 5 b 4 ( mm) 3 l 5 ( mm) t 5 ( mm) (3.1)

52 3.4.4 Design results 최적설계는 MATLAB 의 nonlinear optimization 을수행하는 SQP(Sequential Quadratic Programing) 를이용한최적설계프로그램으로수행하였다.[] 최적설계의 sub minimum 으로수렴하는가에대한기준으로 Bayesian stopping rule 을따른다. [1] sub minimum 은다음조건으로만족된다. n 1 1 w w n w (3.) 식 (3.) 에서 n 은최적설계에서임의의초기값의수를나타내고, w 은 local minimum 의수이다. Fig.3.9 은목적함수의수렴및 Bayesian rule 을만족함을보였다. Fig.3.9 는각설계변수의수렴하는과정을나타낸다. 각축의강성이요구성능이상으로수렴함을확인할수있다. Fig.3.1 은목적함수의수렴및 Bayesian rule 을만족함을보였다. Fig.3.11 은설계변수의수렴과정을나타낸다. costfunction value iteration(n) cost function iteration(n) Fig. 3.9 (a) Convergence of cost function and (b) Verification of global convergence - 4 -

53 6 x k θz (Nm/rad) k x (N/um) iteration(n) iteration(n) (a) Convergence of k θz (b) Convergence of k x k θx (Nm/urad) σ Max (Mpa) iteration(n) iteration(n) (c) Convergence of k θx (d) Convergence of maximum stress Fig. 3.1 Convergence of constraints

54 l(mm) iteration(n) b (mm) iteration(n) (a) Convergence of length of leaf spring (l) (b) Convergence of thickness of flexure joint (b) t(mm) iteration(n) r i (mm) iteration(n) (c) Convergence of thickness of leaf spring(t) (d) Convergence of inner radius of flexure joint (r i ) Fig Convergence of design parameters - 4 -

55 최적설계결과를 Table 3.4 에정리하였다. 실제가공에서최적설계에서얻은결과를그대로 가공이어렵기때문에최종가공되는값은다음과같다. Table 3.4 Optimal design results and final dimensions Optimal dimension Final dimension Length of leaf spring, l mm Thickness of leaf spring, t mm Thickness of flexure joint, b mm 1.9. Inner radius of flexure joint, r i mm Overall size of flexure joint mm 5 x 5 x 4 5 x 5 x4 Table 3.4 에서얻은최종최적설계값으로회전자유도유연기구을구현시성능을 FEM 과 비교한결과는 Table 3.5 와같다. 최적설계결과가 FEM 해석상의결과와 15% 이내로일치함을 알수있다. Table 3.5 Comparison with analytical modeling and FEM simulation on performance of flexure joint unit Analytical model Constraints k θz Nm/μrad k x N/um k θx Nm/μrad Max. stress (σ max ) Mpa Conclusions 3 장에서는 H 타입스테이지의회전허용유연기구를고체역학적접근을통해 6 자유도강성 모델링을구하고이를 FEM 을통해검증하였다. 회전자유도유연기구모델링을이용하여최적 설계를수행하고이를검증하였다

56 CHAPTER 4 POSITION ERROR ANALYSIS IN XYθ STAGE 스테이지의정밀도는기구가공정밀도, 조립정확도, 시스템강성, 모터징밀도, 센서정밀도, 주변진동및노이즈등에의해서결정된다. 스테이지의정밀도를높이기위해서가공및조립오차를줄이고, 시스템의강성을높이고, 높은정밀도의구동기와센서를사용하고, 주변진동및노이즈차폐가필요하다. 특히, 가공및조립정밀도는스테이지정밀도직접적인영향을작용하는요인으로높은정밀도를얻기위해서는비용이증가하여한계가있다. 또한, 스테이지대형화로인해가공및조립오차비중이증가되고있다. 게다가스테이지의대면적화로인해정밀위치센서인인터페로미터의바미러가공비용증가로인해절대위치센서사용이불가하고, 상대변위센서인선형엔코더를이용할수밖에없다. 4 장에서는절대위치센서를이용하지않고, 평면운동 XYθ z 축모션의오차측정을위한기구학적접근으로전체평면위치오차를모델링하였다. 4.1 Position error in rectangular coordinated system 한방향으로움직이는스테이지상에존재하는오차는 Fig.4.1 과같이 6 자유도오차가존재한 다. 위 6 자유도오차를식 (4.1) 과같이 HTM(homogeneous transformation matrix) 형태로나 타낼수있다. [4]

57 Fig DOF position errors of translational kinematic component X, Y, Z 축위치오차는 δ x, δ y, δ z 로, 회전오차는 ε x, ε y, ε z 로나타내었다. R T err c( ) c( ) c( ) s( ) ( ) s( ) + s( ) s( ) s( ) c( ) c( ) s( ) s( ) s( ) s( ) c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε y εz εy εz εy δ x c ε x εz ε x εy εz εx εz εx ε y εz εx ε y δ y = s ε x s εz c εx s εy c εz s εx c εz c εx s ε y s εz c εx c ε y δ z 1 (4.1) 식 (4.1) 은원하는위치에서 6 자유도오차를 matrix 형태로표현하였다. 식 (4.1) 에서 c 는 cosine, s 는 sine 함수를나타낸다.[5] R T err 에서 R 은기준좌표이고, err 는기준좌표에서오차를포함한좌표이다. 식 (4.1) 에서각오차성분이작기때문에 sine 과 cosine 을미소각도성분의값으로근사할수있다. 또한, 각오차 차성분을없애면식 (4.) 과같다. R T err 1 ε z εy δx ε z 1 εx δ y = ε y εx 1 δz 1 (4.)

58 식 (4.) 는직각좌표계를갖는다물체동역학시스템에서위치오차를표현하는일반적인방 법이다. Fig.4. 와같이기준좌표계 R 에서대해상대좌표 N 상의물체 T 의위치오차는식 (4.3) 과같다. Fig. 4. Example for coordinate transformation P = T P R RT N NT x 1 εz εy xn xt y εz 1 εx x n y t = z εy εx 1 x n z t (4.3) Where, P = x y z 1, P = x y z 1 T [ ] [ ] RT NT t t t T 식 (4.3) 은기준좌표에대해상대적인좌표변위를나타내는방법으로서, 4 절에서스테이지 오차를나타내는기본형태이다. 위와같은표현방법을이용하여스테이지의각구동축의위치 오차를전체기준좌표에서위치오차로변환하여시스템의위치오차를모델링하였다

59 4. Position error analysis for XYθ stage XYθ 스테이지의주요기구부를구분하면, master 모터축, 갠트리스테이지, 슬라이더로나눌수있다. master 축 (Y 1 ) 은 Y 축구동의기준면으로 Y 축구동의정밀도를결정하게된다. Fig.4.3 은 XYθ 스테이지의기구부의개략도이다. Fig.4.3(a) 는 XYθ 스테이지를위에서내려다본형태이다. Master 축 (1) 과직교하는갠트리스테이지 () 와슬라이더 (3) 는 X 축선상으로일치되도록설계되었다. Master 축과갠트리스테이지는유연기구부로체결되어있어서상대회전모션이가능하다. Fig.4.3 의개략도를통해스테이지기구부의오차를기준좌표 reference() 에대해서식 (4.4) 과같이나타낼수있다. (a) Top view of the schematic diagram for XYθ stage (b) Front view of the schematic diagram for XYθ stage Fig. 4.3 Schematic diagram of XYθ stage for position error analysis

60 P = T T T Where, 1 εz1 εy1 δx 1 ε 1 ε y + δ T z1 x1 y1 1 T1 = ε y1 εx 1 1 tz1 + δz1 1 1 ε ε t + δ ε 1 ε δ z y x x 1 z x y T = ε y εx 1 tz tz1 + δz 1 1 ε ε t + δ ε 1 ε δ z y x x z x y = ε y εx 1 tz tz1 + δz 1 ε xi : angular error of i component in x axis ε yi : angular error of i component in y axis ε zi : angular error of i component in z axis δ : straightness error of i component in x axis xi δ : straightness error of i component in y axis yi δ : straightness error of i component in z axis zi 1: master motor i = : gantry stage 3: slider (4.4) 식 (4.4) 는스테이지의구동요소의위치오차를앞의 HTM 을이용하여나타내었다. 식 (4.4) 에서직각좌표성분의위치오차만나타낸것이식 (4.5) 이다. E 3 Where, = δx δy δz 1 ( t t ) ( t t ) T δ = ε + ε + δ + δ + δ x z3 z1 y1 z3 z y x1 x x3 l δ = ( t t ) ε + ( t t ) ε + xε + x ε + δ + δ + δ l δz = xεy 1 x εy + δz1+ δz + δz3 y z1 z3 x1 z z3 x z1 z y1 y y3 (4.5) 식 (4.5) 는기준좌표 (reference coordinate) 에서 XYθ 스테이지최종단슬라이더에서의위치오차를나타내었다. 식 (4.5) 에서 δ x, δ y, δ z 는스테이지최종위치에서의 X, Y, Z 축방향의병진오차이다. 식 (4.5) 를이용해서 XYθ 스테이지의평면오차를구할수있다. 식 (4.5) 을살펴보면, Y 축위치오차성분이 ε x1, ε x, ε z1, δ y1, δ y, δ y3 으로가장많은오차성분을갖는다. 이로써, Y 축구동시복잡하고상대적으로큰위치오차를갖음을확인할수있다

61 4.3 Simulation on position error of XYθ stage 본절에서는스테이지의기구부오차가전체스테이지의위치오차에미치는영향을확인하기위해각기구부의위치오차를모델링하고이를시뮬레이션을통해확인하였다. 스테이지기구부의위치오차를예측하기위해 Table 4.1 에서기존의개발된스테이지위치오차의측정및보상결과를정량적으로비교하였다. Table 4.1 Literature survey on the position error calibration System Range Intrinsic Error Residual error Stack type DOF stage[6] x mm.5 um (X,Y) /16 arcsec (θ x ) 1.5um(X,Y) /arcsec(θ x ) 3DOF CMM [7] 4x4 x1 mm 16 um, (X,Y) / 1arcsec (θ x ) 8um (X,Y) / 7arcsec(θx) 1DOF air bearing guided stage [8] 15 mm 4 nm(x) / 1.5 arcsec(θ z ) No compensation H type stage [9] 3x3mm 3.5 um(x,y) / arcsec(θ z ).16um(X,Y)/ 1.5arcsec(θ z ) CNC positioning machine [3] 3xxmm 1.3um(X,Y).5um(X,Y) Table 4.1 에서위치결정시스템의종류및이동범위에따라다르지만, 대부분수 μm 의범위내에서평면 XY 오차가존재함을확인할수있다. 위 Table 4.1 을기준으로제안하는스테이지의위치오차를랜덤함수의형태로 Table 4. 와같이각오차의크기를예측하였다. Fig.4.4 는 Table 4. 를이용하여스테이지의각축방향의오차인식 (4.3) 를이용하여나타내었다. Table 4.3 는스테이지오차시뮬레이션의결과를정리하였다. Table 4. Stage error models Components Nomenclature Error model Angular error ε X1, ε X, ε Y3 ε Y1, ε Y, ε X3 ε Z1, ε Z, ε Z3 ± 3.5 arcsec ± 3. arcsec ±.7 arcsec Displacement error δ Y1, δ Y, δ X3 ± 1.5 um Straightness error δ X1, δ X, δ Y3 ±.3 um Flatness error δ Z1, δ Z, δ Z3 ± 1.5 um Noise e noise (encoder resol. = 5nm) ±5nm

62 6 5 δ x (um) 4 δ y (um) y(mm) 4 x(mm) y(mm) 4 x(mm) 6 8 (a) Straightness error of slider in X axis(δ x ) (b) Straightness error of slider in Y axis(δ y ) δ z (um) 1 ε z (arcsec) y(mm) 4 x(mm) y(mm) 4 x(mm) 6 8 (c) Straightness error of slider in Z axis(δ z ) (d) Angular error of slider in θ z axis (ε z ) Fig. 4.4 Straightness error of slider of stage in (a) X, (b) Y, (c) Z and angular error(ε z ) - 5 -

63 Table 4.3 Maximum stage error of simulation Components Unit Value(RMS) Max. straightness error of slider in X axis (δ x ) μm 3.76 Max. displacement error of slider in Y axis(δ y ) μm 3.1 Max. straightness error of slider in Z axis(δ z ) μm.73 Max. angular error of slider in θz axis(ε z ) arcsec 1.15 Table 4.3 의결과 RMS(Root Mean Square) 오차값이 X 축에대해서 3.76μm 으로 Y 축에비해높게나옴을확인할수있다. 이는 X 축구동하는슬라이더가 Y 축모터를기준으로구동하는갠트리스테이지를기준으로구동되기때문이다. 본장에서위치오차시뮬레이션결과는 5 장에서보상하는방법을설명하고, 6 장에서는각축의위치오차를측정하여스테이지전체의위치오차를재현하고이를실제스테이지위치오차를절대위치센서인바미러를이용한인터페로미터를이용한결과와비교하여검증할것이다. 4.4 Conclusions 4 장은 H 타입스테이지슬라이더의위치오차를 HTM 을이용하여각구동요소의 6 자유도위치오차에대해서정리하였다. 또한, 기구오차를기존연구에서측정한오차측정에대해서정리하고, 이를토대로본 H 타입스테이지의각기구부의위치오차를예측하고, 이를오차모델링식 (4.5) 에대입하여위치오차를시뮬레이션하였다

64 CHAPTER 5 CALIBRATION FOR XYθ STAGE 정밀위치측정은정밀위치결정기구에서있어서매우중요하다. 반도체노광검사장비로사용되는스테이지에서는위치피드백센서로바미러형태의인터페로미터를이용하여정밀위치측정을한다. 하지만센서의정밀도를결정하는바미러가공비용이길이가증가함에따라기하급수적으로증가하여장행정구현에한계가있다. 본논문에서는절대위치센서인바미러를이용하지않으면서높은정밀도를갖으면서각기구부의위치오차를분석할수있는기구부의위치오차측정방법을이용하여스테이지의위치오차를측정하는방법을제안하였다. 본장에서는 XYθ 스테이지의위치오차측정방법및오차보상방법에대해서설명하려한다. 5.1 Calibration system setup H 타입스테이지의오차보정에사용되는센서로 renishaw 사의 laser calibrator 인 ML1 모델을이용하였다. 앞 4 장에서 H 타입스테이지의위치오차를각구동요소인 master 모터, 갠트리스테이지, 슬라이더에대해각 6 자유도위치오차를이용하여나타내었다. 본절에서는각구동부의위치오차를측정하는방법에대해서서술하였다. Fig.5.1 는 master 모터축의위치오차측정을위한 calibrator 의세팅에대해서나타내었다

65 (a) Measurement setup for δx1 (top view) (b)measurement setup for εx1(side view) (c) Measurement setup for εy1 (side view) Fig. 5.1 Calibration system for straightness of master axis of stage Fig.5.1 은 master 모터 축의 오차 측정을 위한 calibrator 의 셋업을 나타낸다. Fig.5.1(a)는 진 직도를 측정하는 calibrator 로서, 운동 방향의 수직의 변위를 측정하게 된다. Fig.5.1(b)는 운동 방향의 수직축에 대한 회전 변위를 측정하는 방법으로 εx1, εz1 을 측정할 수 있다. Fig.5.1(c)는 운동 축 방향에 대한 회전 변위를 측정하기 위해 직진도 측정용 calibrator 를 Z 방향의 변위를 양 측에서 동시에 측정하여 εy1 을 구하게 된다. Fig.5.1 의 셋업을 이용하여 갠트리 스테이지와 슬라이더에도 동일하게 위치 오차를 측정할 수 있다. 본 오차 측정에서 중요한 것은 calibrator

66 의 laser, splitter, reflector 가스테이지의구동축과일치되도록정렬하는것이중요하다. calibrator 의정렬오차를줄이는방법에대해서 K.C Fan[31] 이제안한방법을통해해결할수있 다. 5. Position error compensation method 위치오차를보상하는방법은크게오차모델의형태에따라서구분된다. 위치에따른위치오차의형태로보상하게되면 look-up table 을이용한보상이있고, 위치에따른수식적근사모델을이용한보상이있다. 후자의방법은오차의형태가낮은주파수형태의계통오차 (systematic error) 에대해서보상하는방법이다. 전자의방법은위치오차형태가복잡한경우 ( 수식적근사가어려운경우 ) 에도구현이가능하고, 보간법에사용되는연산을제외하고연산이필요하지않기때문에고속연산처리성능을갖는제어기를사용하지않아도된다. 하지만, 대행정에대해서보상이필요한경우데이터가증가하게되는단점이있다. 또한, 획득한위치오차의샘플링주기 (sampling period) 도 look-up table 구현에있어중요하다. 오차측정주기가길면, look-up table 의용량은줄어들고오차모델이왜곡될수있다. 반대로오차주기가짧으면오차모델은정확해지는반면데이터의크기는커지게된다. 따라서위치오차측정주기의기준이마련되어야한다. 위기준은위치오차의주파수모델을살펴봄으로써확인할수있다. 위치오차모델링오차는위치오차의지배적인주파수의 1 배크기에해당하는위치오차주파수를택함으로위치오차모델링의왜곡을막을수있다.[3] Look-up table 에서측정된위치사이의값을보간하는방법으로선형보간법, spline 보간법, cubic 보간법 [33] 이주로사용된다. 고차보간법일수록위치오차가줄어들지만, 연산시간이늘어나게된다. 본논문에서는선형보간법을이용하여위치오차를보상하도록할것이다. 5.3 Simulation on the calibration of the XYθ stage 본 5.3 절은앞 4 장에서예측한위치오차모델을이용하여 XYθ 스테이지의위치오차를보 상결과를시뮬레이션을통해확인하였다. 위치오차보상은앞먹임제어기 (feedforward) 를이용 하여보상하였다. Fig.5. 은위치오차보상제어기의제어블록선도를나타낸다

67 Fig.5. Block diagram of compensation of position error in XYθ stage 스테이지의모델은 장에서구한동역학적모델에서주요구동부인 master 축모터, 갠트리 스테이지, 슬라이더에대해서축소된모델을이용하였다. look-up table 의설정은 table 5.1 과 같다. 오차보정을테스트하기위해스테이지를 mm/s 정속구동을하였다. Table 5.1 Simulation setup for position error compensation Unit Value Sampling period(for look up table) mm Travel range mm 8x8 Type of interpolation - Linear interpolation 위시뮬레이션의결과는 Fig.5.3 과같다. 발생하는최대오차의크기가 X, Y 축은각각 87nm, 9 nm 로감소하였고, θz 축회전오차는.1 arcsec 로줄어들었다. 이로써, 오차보상결과 주요오차성분인위치오차보상으로충분한위치정밀도를얻을수있음을확인할수있다

68 6 5 δ x (um) 4 δ y (um) y(mm) 4 x(mm) y(mm) 4 x(mm) 6 8 (a) Error compensation results (δ x ) (b) Error compensation results (δ y ) ε z (arcsec) y(mm) 4 x(mm) 6 8 (c) Error compensation results (ε z ) Fig. 5.3 Simulation results of position error compensation 5.4 Conclusions 스테이지의위치오차를 look-up table 을이용해서보상에관한시뮬레이션내용을다루었다. look-up table 데이터의위치오차의주기는 mm 이고, look-up table 의보간방법으로선형보간을이용하였다. 시뮬레이션결과 X 축, Y 축은각 87nm, 9nm 로감소하였고 z 축회전오차는.1arcsec 로감소함을확인하였다. 보상후잔류오차는대게선형보간으로인한오차와센서노이즈로인해발생하는데, 최종보상결과가설계정밀도인 ±1nm, ±.5arcsec 이하로감소함을통해선형보간법이위치오차보정에유효함을확인할수있다

69 CHAPTER 6 Experiments 본장에서는앞장에서설계를바탕으로유연기구와 H 타입스테이지를제작하고, 스테이지의성능을측정하여목표성능을검증하였다. 유연기구의강성모델링검증은제작된유연기구의 natural frequency 확인을통하여검증하였다. 유연기구의 natural frequency 측정을위해가속도계와 DSA(Dynamic Signal Analyzer) 를이용하여 frequency response 를측정하였다. 제안하는스테이지의오차보상실험에앞서전체시스템의하드웨어구성및제어알고리즘에대해설명하였다. 또한, 스테이지의평면오차를레이져캘리브레이션시스템을이용하여측정하고, 전체스테이지의평면위치오차모델을구현하고, 이를이용하여위치오차보상을위한 look-up table 로구현하였다. 제안된위치오차모델의보상결과는바미러를이용한레이져인터페로미터를이용하여절대위치측정하여비교하여검증하였다. 6.1 System configuration 제안된유연기구를이용한스테이지의전체형상은 Fig.6.1 과같다. 각축의구동기로서선형모터를이용하고, 위치피드백센서로서 optical encoder 를이용하였다. 갠트리스테이지부의재료는고강성낮은열변형을갖는 granite 를이용하였고, 슬라이더는고강성저중량을갖도록 Al 775 T6 를이용하였다. 스테이지에사용된유연기구부의제작된형상은 Fig.6. 와같다. 전체유연기구의크기및치수는 3 장에최적설계된값과같다. 제작된유연기구의재질은슬라이더와동일한 Al

70 T6 를이용하였다. Fig. 6.1 Configuration of H type stage Fig. 6. Configuration of flexure joint 6. Verification of Stiffness modeling on flexure joint 제안된유연기구의 6 자유도강성모델링의정확성을검증하기위해제안된유연기구의 natural frequency 측정을위해 Fig. 6.3 과같이실험을구성하였다. 본실험을살펴보면, 측정하는

71 모드방향으로가속도계를유연기구에장착하고이를 impulse hammer 를이용하여 impulse 충 격을준뒤, 유연기구의진동모드를가속도계를이용하여측정하고, 이를 DSA 를이용하여 frequency response 를구하게된다. Fig. 6.3 Experimental procedure for frequency response of flexure joint 위실험을통해서 Fig.6.4 와같은 frequency response 를구할수있다. 아래 Fig. 6.4 의결과 를 Table 6.1 로정리하였다. 1 - Frequency response of X translation motion 1-3 Frequency response of θ X motion X: Y: 8.3e-5 magnitude 1-4 X: 516 Y:.185 magnitude frequency (Hz) frequency (Hz) (a) X translational motion (b) θ x rotational motion

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