제 5 장복소수함수적분 5 이므로 z = r(cosθ + i sin θ) = re iθ (5.3) 와같이나타낼수도있는데이표현식을복소수의 극형식 (polar form) 이라부른다. 복소함수의미분은실함수미분의정의와같이 d f(z + z) f(z) f(z) = lim z z

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상경 내
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1 제 5 장 복소수함수적분 복소수는 z = x + iy (5.1) 와같이두실수로정의된수이므로실수를수직선에나타내듯이복소수는 그림과같은복소평면에나타낼수있다. y z = x + yi r θ x 윗그림에서 x = r cos θ, y = r sin θ, r = x + y (5.) 51

2 제 5 장복소수함수적분 5 이므로 z = r(cosθ + i sin θ) = re iθ (5.3) 와같이나타낼수도있는데이표현식을복소수의 극형식 (polar form) 이라부른다. 복소함수의미분은실함수미분의정의와같이 d f(z + z) f(z) f(z) = lim z z (5.4) 와같이정의한다. 예를들어 d zn = nz n 1 (5.5) 이다. 식 (5.5) 은또한 z n = 1 n + 1 zn+1 + C, n 1, (5.6) 을의미한다. 따라서 z1 z n = 1 z n + 1 (zn+1 1 z n+1 ), n 1. (5.7) 실함수적분의경우와달리복소함수의적분은복소평면에서의일정한경로를따르는적분이므로일반적으로복소함수의적분은적분경로에의존할것처럼보인다. 그러나식 (5.7) 은적분값이적분구간의경계점에만의존함으로적분경로에무관하게주어짐을알수있다. 이사실을구체적

3 제 5 장복소수함수적분 53 을알아보기위해 z z n = 1 n + 1 zn+1, n 1 (5.8) 을다음그림의세경로를따라적분해보자. y y C 1 z 1 C 3 C x x 먼저경로 C 1 과 C 를따라적분해보자. z n = (x + iy) n (dx + idy) C 1 C 1 = x x n dx + y (x + iy) n (idy) = 1 n + 1 xn n + 1 [(x + iy) n+1 ] y = 1 n + 1 xn n + 1 [(x + iy ) n+1 x n+1 ] = 1 n + 1 (x + iy ) n+1 = 1 n + 1 zn+1,

4 제 5 장복소수함수적분 54 z n = (x + iy) n (dx + idy) C C y =i n+1 y n dy + x (x + iy ) n dx = in+1 n + 1 yn n + 1 [(x + iy ) n+1 ] x = in+1 n + 1 yn n + 1 [(x + iy ) n+1 (iy ) n+1 ] = 1 n + 1 (x + iy ) n+1 = 1 n + 1 zn+1. (5.9) 경로 C 3 은 y = y x x 이므로, 이와같이 z 1 z 의의닫힌곡선 (C) 에대해 z n =(x + i y x x) n = (1 + i y x ) n x n, =dx + idy = dx + i y dx = (1 + i y )dx, x x C 3 z n =(1 + i y x ) n+1 x x n dx =(1 + i y ) n+1 1 x n + 1 xn+1 = 1 n + 1 (x + iy ) n+1 = 1 n + 1 zn+1. (5.1) z n dx (n 1) 이경로에의존하지않는다는사실은또한임 C z n =, n 1 (5.11)

5 제 5 장복소수함수적분 55 을의미한다. 예를들어앞의예제에서닫힌곡선 C 1 C 를따라경로적분하면 z n = z n + z n C 1 C C 1 C = z n z n C 1 C =. (5.1) 같은방법으로 d (z α)n = n(z α) n 1 이므로 C (z α)n (n 1) 역시 경로 C 에의존하지않는다. 따라서 (z α) n =, n 1 (5.13) 이다. 식 (5.11) 과 (5.4) 이 n = 1 을제외한모든정수 n 에대해성립함에 유의하라. 그러면 n = 1 일경우, 즉, z 는어떨까? 이의문에답하기위해 z = re iθ 표현식을이용하면, =dre iθ + irdθe iθ = (dr + irdθ)e iθ, dr z = r + i dθ (5.14) 이므로아래그림의두닫힌곡선 D 1 과 D 을따라적분할경우,

6 제 5 장복소수함수적분 56 < D < r θ 1 θ r 1 > D 1 > D 1 z = dr D 1 r + i dθ D 1 =[ln r] r 1 r 1 + i[θ] θ 1 θ 1 =, D z = D dr r + i D dθ =[ln r] r r + i[θ] θ +π θ =πi. (5.15) 즉, 닫힌곡선내에 z = 이존재할경우 z 경우, z = πi 가되고그렇지않을 = 이다. 같은방법으로그림에서보는바와같이

7 제 5 장복소수함수적분 57 D D 1 z z z θ z = z + z z α = ( z z + α) z dr = + i dθ, (5.16) r 이므로닫힌곡선내에 z = α가존재할경우, 경우 = 이다. z α z α = πi, 그렇지않을.4 Laurent 전개 f(z) = a n (z α) n (5.17) n=

8 제 5 장복소수함수적분 58 이라두면, 에있을경우, f(z) (z α) k = n= a n(z α) n k 이므로 z = α 가닫힌곡선 C 의내부 C f(z) (z α) = a k n = n= C (z α) n k a n (πiδ n k, 1 ) n= =πia k 1, a k = 1 πi C f(z ) (z α) k+1. (5.18) 즉 f(z) = 1 πi (z α) n n= C f(z ) (z α) n+1, (5.19) 이며이식은 Taylor 전개의또다른형태이다. 그러나만일 f(α) = 이면 전개식 (5.17) 대신에 f(z) = a n (z α) n (5.) 이라야한다. 이경우역시전개계수 a n 이식 (5.18) 으로주어지므로 f(z) = 1 πi n= (z α) n C f(z ) (z α) n+1 (5.1) 이며이전개식을 Laurent 전개식이라부른다. 이전개식에서 a m (m > ), a m 1 = = a m = a m 3 = (5.) 일경우 z = α 를함수 f(z) 의 m 차극점 이라부르며특히 m = 1 일경우

9 제 5 장복소수함수적분 59 단순극점 (simple pole), 계수 a 1 을함수 f(z) 의 z = α 에서의 residue 라 부른다..5 Residue 정리 이제 f(z) = 따라적분하여보자, A + B 를그림과같이 z = α와 z = β를포함한닫힌곡선을 z α z β B 5 α β B 1 f(z) =? (5.3) B 1 +B 5 이적분값을구하기위해이함수를아래그림의닫힌곡선 (B = B 1 + B + + B 8 ) 을따라적분하면,

10 제 5 장복소수함수적분 6 B 5 B 6 B 8 B 7 α B 3 β B 4 B B 1 z = α와 z = β가닫힌곡선 (B) 밖에있으므로 f(z) =, (5.4) B 임을알수있다. 그런데그림에서 8 f(z) = f(z), B i=1 B i f(z) = f(z), B 6 B 8 f(z) = f(z), (5.5) B B 4

11 제 5 장복소수함수적분 61 이므로, = f(z) B =[ f(z) + f(z)] + f(z) + f(z) B 1 B 5 B 7 B 3 = f(z) + f(z) + f(z), B 1 +B 5 B 7 B 3 f(z) = f(z) f(z) (5.6) B 1 +B 5 B 7 B 3 여기서 B 7 과 B 3 는시계바늘과반대방향의경로적분이므로 f(z) =A B 7 =A B 7 B 7 z α + B B 7 z α = πia, f(z) =A B 3 B 3 z α + B =B z β B 3 z β z β = πib, (5.7) 이다. 따라서 B 1 +B 5 f(z) = πi(a + B). (5.8) 명백히 z = α 와 z = β 는함수 f(z) 의단순극점이며 A 와 B 는이단순

12 제 5 장복소수함수적분 6 극점에서의 residue 이므로식 (5.8) 는다음과같이일반화할수있다, f(z) = πi ( 닫힌곡선 C 내모든단순극점에서의 residue 합 ). C (5.9).6 Residue 계산법 1. ez f(z) = z 1 = e z 1 ez 1 = e (z 1) [1 + (z 1) + + ] z 1! = e z 1 + e + e (z 1) + (5.3) 이므로 f(z) = ez 의 z = 1에서의 residue z 1 e z Res[ z 1 ] z=1 = e (5.31) 이된다. sin πz 4z 1 =1 sin[π(z ± 1) π] 4 z 1 4 = 1 ( ) cos[π(z ± 1)] 4 (z 1)(z + 1) = ( ) 4 ( 1 z 1 1 z + 1 )[1 [π(z ± 1 )] + [π(z ± 1 )]4 ]! 4!

13 제 5 장복소수함수적분 63 sin πz Res[ 4z 1 ] z=± 1 = z z + 1 +, = 1 4. (5.3). f(z) 가 z = α 에서단순극점을가질경우, f(z) = a 1 (z α) + a + a 1 (z α) + (5.33) 이므로 lim z α (z α)f(z) =a 1, Res[f(z)] z=α = lim z α (z α)f(z). (5.34) 예를들어위의예제 (5.3) 의경우, [sin πz] z=± 1 z = ± 1 sin πz 은의단순극점이다. 따라서 4z 1 = ±1 < 이므로 sin πz Res[ 4z 1 ] z= 1 sin πz Res[ 4z 1 ] z= 1 = lim(z 1 sin πz ) z 1 4z 1 = 1 4 lim sin πz z 1 z + 1 = 1 4, = lim (z + 1 sin πz ) z 1 4z 1 = 1 4 lim sin πz z 1 z 1 = 1 4.

14 제 5 장복소수함수적분 z = α 가 f(z) 의 m 차극점일경우, a m f(z) = (z α) + a m+1 m (z α) + + a 1 m 1 z α + a +, (z α) n f(z) (n m) =a m (z α) n m + a m+1 (z α) n m a 1 (z α) n 1 + a (z α) n +, dn 1 [(z n 1 α)n f(z)] =(n 1)!a 1 + n!a (z α) +, a 1 = 1 d n 1 (n 1)! [(z n 1 α)n f(z)]. (5.35) z=α 즉, Res[f(z)] z=α = 1 d n 1 (n 1)! [(z n 1 α)n f(z)], (n m). (5.36) z=α 예를들어 z = π 에서의 f(z) = z sin z (z π) 3 의 residue 를구해보자. [z sin z] z=π = 이므로 z = π 는 f(z) 의 3 차미만차수의극점이다. 따라서 Res[f(z)] z=π = 1 d (z z sin z z=π π)3! (z π) 3 = 1 [ cos z z sin z] z=π = 1. (5.37).7 Residue 정리의응용 I : 정적분계산 1. π dθ. 1+cos θ

15 제 5 장복소수함수적분 65 z = e iθ 라두면 = ie iθ dθ = izdθ dθ = iz 1 이므로 π dθ 1 + cos θ = ( i)z 1 C 1 + z+z 1 = i C 3z + 1 C z = i 3 (πi)res[ 1 z + 1 ] z= = i 3 = 4π 3. (5.38) 여기서닫힌곡선 C 는원점을중심으로한반경 1 인원을나타내며 따라서단순극점 z = 1 은이원의내부에있다. 3 C r = 1 z = e iθ θ 1 3

16 제 5 장복소수함수적분 66. dx. x +1 이적분은보통 x = tan θ, dx = sec θdθ 의치환을이용하여 dx π/ x + 1 = sec θdθ π/ π/ 1 + tan θ = dθ = π, (5.39) π/ 와같이계산된다. residue 정리를이용하기위하여 C z + 1 z C z + 1 (5.4) 을고려해보자. 여기서 C 은아래그림의반경이 R = 인반원을 나타낸다, C C i i R 그림에서닫힌곡선 C 내부에 z = i 가있으므로 C z + 1 = C (z + i)(z i) 1 =πi Res[ (z + i)(z i) ] z=i 1 =πi lim[(z i) z i (z + i)(z i) ] =π. (5.41)

17 제 5 장복소수함수적분 67 그런데 C 상에서 z = R e iθ, = ir e iθ dθ 이므로 C π z + 1 = 1 R ir e iθ dθ R e iθ + 1 =. (5.4) 따라서 dx x + 1 = C z + 1 C z + 1 =π. (5.43) 3. eikx dx. 먼저 k > 인영역에서 C eikz = eikz + C e ikz 를고려해 보자. 여기서닫힌곡선 C 는그림과같다. C C θ R

18 제 5 장복소수함수적분 68 명백히 e ikz 는단순극점을가지지않는다. 따라서 e ikz =. (5.44) 또한 C 상에서 C e ikz ikr (cos θ+i sin θ) =e =e kr sin θ e ikr cos θ (5.45) 이고 sin θ >, k > 이므로 e kr sin θ = e =, e ikz =, e ikz =, (k > ). C 따라서 e ikx dx (k > ) = e ikz e ikz C C (5.46) =. (5.47) k < 인경우엔 e ikz = C e ikz + e ikz (5.48) C 을고려해보자. 여기서닫힌곡선 C 은아래그림과같다,

19 제 5 장복소수함수적분 69 θ C R C 명백히 C e ikz =. 그리고 C 상에서 sin θ < 이므로 k sin θ >. 따라서 e ikz =e kr sin θ e ikr cos θ = e e ikr cos θ =, e ikz =, C e ikx dx (k < ) = e ikz e ikz C C =. (5.49) e ikz (k ) =. (5.5) 4. e ikx x +a dx

20 제 5 장복소수함수적분 7 C R a i a i C k 일경우 C 이라두면, 그림에서 e ikz z + a = C C e ikz z + a = C e ikz z + a = e ikz z + a + C e ikz (z + a i)(z a i) e ikz =πires[ z + a ] z= a i e ikz z + a (5.51) ikz e = πi lim (z a i) z a i z + a =πi e k a a i = π a e k a, π e kr sin θ e ikr cos θ (ir e iθ dθ) R e iθ + a e kr R ( sin θ > )

21 제 5 장복소수함수적분 71 =, e ikx dx (k > ) = x + a C e ikz z + a C e ikz z + a = π a e k a. (5.5) k < 일경우 C e ikz z + a = e ikz z + a + C e ikz z + a (5.53) 이라두면, 그림에서닫힌곡선 C 은시계바늘방향이므로 C C e ikz z + a = C e ikz z + a = e ikz (z + a i)(z a i) =( πi)res[ eikz z a i ] z= a i = π a ek a, π =, e ikx dx (k < ) = x + a π e kr sin θ e ikr cos θ (ir e iθ dθ) R e iθ + a e R /R ( k sin θ > ) C e ikz z + a C e ikz z + a = π a ek a. (5.54) 따라서 e ikx π dx(k < ) = x + a a e k a. (5.55)

22 제 5 장복소수함수적분 7 5. sin x dx, cos x dx D π/4 D π/4 e iz = D e iz + D e iz + D π/4 e iz (5.56) 를고려해보자. 명백히 D e iz = (5.57) 이다. 곡선 D 상에서 z = R e iθ, z = R e iθ = R (cos θ + i sin θ) 이고 < θ π/4 이므로 sin θ >. 따라서 e iz = e R sin θ e ir cos θ e =, D e iz =. (5.58) 직선 D π/4 상에서는 z = re iπ/4, z = r e iπ/ = ir, = e iπ/4 dr 이므 로 D π/4 e iz = e r (e iπ/4 dr) = e iπ/4 e r dr = e iπ/4 π

23 제 5 장복소수함수적분 73 식 (5.56), (5.57), (5.58), (5.59) 으로부터 (1 + i) = π. (5.59) e ix dx = e iz D e iz D e iz D π/4 (1 + i) = π, π cos x dx = = sin x dx. (5.6) 6. sin x dx. x C R C 1 ɛ ɛ C 이적분은 x = 에서정의되지않는다. 그러나 sin x lim x x = lim cos x x 1 = 1 (5.61) 이므로 ɛ lim ɛ ɛ sin x x dx = lim ɛ ɛ ɛ dx = lim ɛ (ɛ) =, (5.6)

24 제 5 장복소수함수적분 74 이다. 따라서 sin x x ɛ dx = lim { ɛ = lim ɛ { ɛ sin x ɛ x dx + sin x x dx + ɛ ɛ sin x x dx + ɛ sin x x dx} sin x dx}, (5.63) x 와같이둘수있다. 이사실을이용하여 e iz z = ɛ 를고려해보자. 명백히 e iz z C1 + e iz z + e iz ɛ z C + e iz (5.64) z e iz =, z C e iz z = =i θ π e R sin θ ir cos θ e R e iθ e R sin θ e ir cos θ dθ (ir e iθ dθ) =. (5.65) 그리고반경 ɛ 인반원 C 1 상에서는 C1 e iz z = =i ɛ π e iɛeiθ ɛe iθ (iɛeiθ dθ) π i e iɛeiθ dθ π dθ = iπ. (5.66)

25 제 5 장복소수함수적분 75 따라서 e ix ɛ dx = lim x ( ɛ e iz = z e ix x dx + lim ɛ ɛ e C1 iz e ix x dx) z C e iz z =iπ. (5.67) 그런데 e ix x dx = cos x x dx + i sin x dx (5.68) x 이므로식 (5.67) 와비교하면 cos x dx =, x sin x dx =π. (5.69) x 만일식 (5.64) 에서그림의 C 1 대신 C 를택하면결과는어떻게될까? 이경우엔닫힌곡선내에단순극점 z = 이존재하므로 e iz z = πires[eiz z ] z= = πi. (5.7) 그림에서 C e iz z = =i π π π π e iɛeiθ ɛe iθ (iɛeiθ dθ) e iɛeiθ dθ

26 제 5 장복소수함수적분 76 ɛ π i dθ = iπ. (5.71) π 따라서 e iz z lim ɛ C1 e iz z C e iz z = πi iπ = iπ, (5.7) 이므로이경우에도당연히같은결과를얻게된다. 연습문제 5.1 다음적분값을구하라, e ix dx.8 응용 II : Green 함수구하기 임의의미분연산자 D x 에대해 D x G(x, x ) = δ(x x ), (5.73) 을만족하는함수 G(x, x ) 을연산자 D x 의 Green 함수 라부르는데이함 수는 non-homogeneous 미분방정식 D x u(x) = f(x) (5.74) 의해를구하는데매우유용하게쓰인다. 즉, u(x) = G(x, x )f(x )dx (5.75)

27 제 5 장복소수함수적분 77 라두면, D x u(x) =D x G(x, x )f(x )dx = = [D x G(x, x )]f(x )dx δ(x x )f(x )dx =f(x) (5.76) 이므로식 (5.75) 는방정식 (5.74) 의해가된다. 예를들어미분방정식, ( d dt + ω )x(t) = A sin ωt, (5.77) 의경우, 이미분방정식은진동수 ω 인단진자를 t = 부터진동수 ω 로 강제진동시킬때계의운동방정식이다. 이방정식의해를 x(t) = G(t, t )[A sin ωt ]dt, ( d dt + ω )G(t, t ) =δ(t t ), (5.78) 이라두고초기조건으로 x() =, x () = 이라하자. 이초기조건으로 부터 G(, t ) =, d dt G(t, t ) t= = (5.79)

28 제 5 장복소수함수적분 78 을얻는다. 이제 G(t, t ) G(t t ) = 1 π G(k)e ik(t t ) dk (5.8) 이라두고식 (5.78) 에대입한다음 δ(t t ) = 1 π eik(t t ) dk를이용하면, 1 π ( k + ω) G(k)e ik(t t ) dk = 1 π ( k + ω ) G(k) =1, e ik(t t ) dk, G(k) 1 =, k + ω G(t t ) = 1 e ik(t t ) dk. (5.81) π k + ω 그런데식 (5.81) 의마지막적분은 k = ±ω 에서정의되지않는다. 이제 초기조건 (5.79) 을이용하여 k = ±ω 근방에서의적분을결정해보자. 즉 = G(, t ) = G( t ) = 1 π e ikt dk, (t ) (5.8) k + ω 이다. 여기서 t 은정의식 (5.78) 로부터나왔다. 그림 5.5 은두극점, k = ±ω 을피해가는네가지적분경로를나타낸다, 즉 Γ1 z + ω ω ɛ e C3 it z + + z + ω + z + ω C1 ω +ɛ + z + ω, z + ω ω ɛ ω +ɛ z + ω

29 제 5 장복소수함수적분 79 C 1 C 3 ɛ ω +ɛ ɛ ω +ɛ C C 4 그림 5.1: Γ z + ω Γ3 z + ω Γ4 z + ω ω ɛ e C4 it z + ω ɛ + z + ω + z + ω e C3 it z + ω ɛ + z + ω + z + ω e C4 it z + + z + ω + z + ω C1 + z + ω, z + ω ω +ɛ e C it z + z + ω, z + ω ω +ɛ e C it z ω +ɛ + z + ω ω ɛ ω +ɛ ω ɛ ω +ɛ ω ɛ ω +ɛ z + ω z + ω z + ω. (5.83) z + ω 한편, 그림 5. 의경로 C 상에서 π < θ < π 이므로 sin θ <. 따라서 이경로상에서 e it z = e it R e iθ = e it R (cos θ+i sin θ) = e it R cos θ e t R sin θ

30 제 5 장복소수함수적분 8 θ ω ω R C 그림 5.: R cos θ R e it e. (5.84) 즉, C =. (5.85) z + ω 따라서식 (5.85) 을이용하면식 (5.83) 의네가지경로적분은그림 5.4 의 닫힌경로적분과일치한다 : Γi = z + ω Γ i +C, i = 1,, 3, 4 (5.86) z + ω

31 제 5 장복소수함수적분 81 C 1 C 3 ɛ ω +ɛ ɛ ω +ɛ C C 4 C 그림 5.3: 그런데그림에서보는바와같이닫힌경로 Γ 4 + C 만이두극점을 포함하고있지않음으로 Residue 정리에의해이경로적분값은 이된다. 즉, Γ4 = z + ω Γ 4 +C =. (5.87) z + ω 식 (5.87) 은식 (5.81) 의적분경로를 Γ 4 로잡으면초기조건식 (5.8) 이만 족됨을말해준다. 따라서, G(t t ) = 1 π e ik(t t ) k + ω 식 (5.88) 의적분값은의외로간단히구해진다. dk = 1 e π Γ4 iz(t t ). (5.88) z + ω 먼저 t < t 의경우, t t < 이므로그림 5.4 의 C 상의적분값은

32 C 제 5 장복소수함수적분 8 Γ 4 Γ 4 Γ 4 ɛ ω +ɛ ɛ ω +ɛ C C 4 C 그림 5.4: 이다. 따라서식 (5.87) 의경우와같이 Γ4 e iz(t t ) = z + ω Γ 4 +C e iz(t t ) =. (5.89) z + ω 즉, G(t t ) = 1 e π Γ4 iz(t t ) =., t < t. (5.9) z + ω t > t 의경우엔 t t > 이므로그림 5.4 의 C 상에서적분값은 이다. 따라서 Γ4 e iz(t t ) = z + ω Γ4+C e iz(t t ). (5.91) z + ω 그런데그림 5.4 에서닫힌경로 Γ 4 + C 는두개의단순극점, z = ±ω 을

33 제 5 장복소수함수적분 83 포함하므로 residue 정리에의해 Γ4+C e iz(t t ) e iz(t t ) e iz(t t ) = πi{res[ ] z + ω z + ω z=ω + Res[ ] z + ω z= ω } = πi( eiω (t t ) ω + e iω(t t ) ω ) = π sin ω (t t ) ω. (5.9) 즉, G(t t ) = 1 π e iz(t t ) z + ω = 1 e π Γ4+C iz(t t ) z + ω = sin ω (t t ) ω, t > t. (5.93) 연습문제 식 (5.9) 과 (5.93) 의 Green 함수 G(t t ) 가정의식, ( d dt + ω )G(t t ) = δ(t t ) 을만족함을보여라. 5.. 식 (5.81) 을이용하여미분방정식 (5.77) 의특수해가 x(t) = A/ω (ω ω ) [ ω sin ωt + ω sin ω t] 와같이주어짐을보여라.

34 제 5 장복소수함수적분 84 항등식 r 1 r r = 4πδ3 ( r r ), (5.94) 은 G( r r ) = 1 1 4π r r, (5.95) 가미분연산자 의 Green 함수임을말한다. 즉, rg( r r ) = δ 3 ( r r ). (5.96) 이제정의식 (5.96) 으로부터식 (5.95) 을증명하여보자. 먼저, G( r r ) = 1 (π) 3 G( k)e i k ( r r ) d 3 k, (5.97) 이라두면, rg( r r ) = 1 (π) 3 ( k ) G( k)e i k ( r r ) d 3 k, (5.98) 이고, δ 3 ( r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ) = [ 1 π = 1 (π) 3 e ikxx dk x ][ 1 π e ikyy dk y ][ 1 π e ikzz dk z ] e i k ( r r ) d 3 k, (5.99)

35 제 5 장복소수함수적분 85 이므로이식들을식 (5.96) 에대입하면, 1 (π) 3 ( k ) G( k)e i k ( r r ) d 3 k = 1 (π) 3 e i k ( r r ) d 3 k, G( k) = 1 k. (5.1) 따라서식 (5.97) 은, G( r r ) = 1 (π) 3 e i k ( r r ) d 3 k, (5.11) k 이된다. 그림 5.5: 이적분값을구하기위해그림 5.5 과같이 r r 의방향을 ˆk z 의뱡향과 일치시키면, e i k ( r r ) e d 3 i k r r } cos θ k = k k d k sin θdθdφ k = π = π d k d k π 1 1 sin θdθe i k r r } cos θ d(cos θ)e i k r r } cos θ

36 제 5 장복소수함수적분 86 = π = π i r r = 4π r r d k [ ei k r r cos θ i k r r ]cos θ=1 cos θ= 1 e i k r r e i k r r d k k sin k r r d k. (5.1) k 그런데 sin k r r k 가 k 에관해우함수이므로 sin k r r d k = 1 k = 1 = 1 = π sin k r r dk k sin k r r d[k r r ] k r r sin q q dq (5.13) 이결과로부터 e i k ( r r ) d 3 k = k π r r, (5.14) 을얻는데이를식 (5.11) 에대입하면기대한결과가나온다. G( r r ) = 1 (π) 3 e i k ( r r ) d 3 k k = 1 1 4π r r. (5.15)

37 제 5 장복소수함수적분 87 연습문제 5.3 Helmholtz 미분연산자의 Green 함수, 즉 ( r + κ )G( r r ) = δ 3 ( r r ) (5.16) 을만족하는 G( r r ) 은 G( r r ) = 1 e ±iκ r r 4π r r 와같이주어짐을보여라.

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<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가