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효빈 부
6 years ago
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1 대한수학교육학회지 < 학교수학 > 제 4 권제 3 호 Journal of Korea Society of Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol.4, No.3, Sep 00 수열의교수 학습을위한교수단원소재연구 - 다각수와각뿔수 박교식 * Ⅰ. 서론 이논문의목적은, 비트만 (Wittmann, 984, 995) 의관점에서, 다각수 (polygonal numbers) 와각뿔수 (pyramidal numbers) 가수열의교수 학습을위한교수단원소재로적절하게사용될수있음을보이는것이다. 이를위해이논문에서는다각수와각뿔수에관련된일련의과제및그풀이를제시하고있다. 교수단원은어떤교수목표를성취할수있도록체계적으로설계 조직해놓은교수 학습내용전체를의미한다 ( 박교식, 00). 다각수는이미피타고라스시대부터관심의대상이되어왔다 (Boyer & Merzbach, 000). 각뿔수는다각수에서자연스럽게유추될수있기에많은수학자들의관심을받아왔다 (Smith, 953). 오늘날다각수와각뿔수는수학퍼즐책이나레크리에이션수학책에서일종의퍼즐또는수학적유희로서취급되고있다 (Dudeney, 970; Ball & Coxeter, 987; Eiss, 988). 그러나동시에수학적인취급을받고있기도하다 (Gullberg, 997). 다각수는삼각수, 사각수, 오각수, 등을의미한다. 이를테면, 다음과같이점의수를늘려가면서정삼각형모양의배열을계속해서만들어갈수있다. 이때각삼각형모양의배열 을만드는점의수로이루어진수열, 3,, 0, 5, 에서각각의수가삼각수 (triangular numbers) 이다. 위의그림에서정삼각형의각변을만드는점의수는차례로,, 3, 4, 5, 로늘어나고있음을알수있다. 이와유사하게사각수 (square numbers) 를정의할수있다. 즉, 다음그림에서, 4, 9,, 5, 등이사각수이다. 삼각수와사각수를정의한것과같은방법으로계속해서오각수 (pentagonal numbers), 육각수 (hexagonal numbers), 등을정의할수있다. 이를테면오각수와육각수는각각다음과같다. 오각수 :, 5,,, 35, 육각수 :,, 5, 8, 45, 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 등의모양에서각각삼각수, 사각수, 오각수, 등의다 * 인천교육대학교 - 3 -

2 각수를정의한것과유사하게, 정삼각뿔, 정사각뿔, 정오각뿔, 등의모양에서각각삼각뿔수 (tetrahedral numbers), 사각뿔수 (square pyramidal numbers), 오각뿔수 (pentagonal pyramidal numbers), 등의각뿔수를정의할수있다. 이를테면다음그림에서삼각뿔수, 4, 0, 0, 등을구할수있다. 여기서 n 번째삼각뿔수는 n 번째삼각수까지의합임을쉽게알수있다. 로활용하고자하는시도는찾기어렵다. 단지, 팔각수까지의다각수와관련해서그일반항구하기를목적으로하는것 (Reimer & Reimer, 99) 정도를볼수있을뿐이다. 이에이논문에서는다각수와각뿔수에관련한일련의과제를제시하여, 다각수와각뿔수가고등학교 < 수학 I> 의 여러가지수열 의교수 학습에적절한소재가될수있음을보이고자한다. II. 다각수의수열. 삼각수의수열과사각수의수열 위의그림에서삼각뿔의각면을만드는점의수는차례로, 3,, 0, 로늘어나고있다. 즉, 삼각뿔의한면의모양의배열을만드는점의수로이루어진수열은바로삼각수의수열이다. 삼각뿔수를정의한것과같은방법으로계속해서사각뿔수, 오각뿔수, 등을정의할수있다. 이를테면, 다음과같이 n 번째사각뿔수는 n 번째사각수까지의합이고, n 번째오각뿔수는 n 번째오각수까지의합으로정의된다. 사각뿔수오각뿔수 5 (=+4) (=+5) 4 (=+4+9) 8 (=+5+) 30 (=+4+9+) 40 (=+5++) 55 (= ) 75 (= ) 삼각수로이루어진다음수열의일반항을찾는것을첫번째과제로제시할수있다. 삼각수는역사적인배경을가지고있으므로, 학생들에게의미있는소재가될수있다., 3,, 0, 5, 이수열의계차수열이, 3, 4, 5, 이므로삼각수의수열의일반항을 P () (3, n) 이라고하면다음이성립함을알수있다. ( 기호 P () (3, n) 에서 는삼각수가평면도형인삼각형즉, 차원도형에근거한것임을, 3은삼각수를, n은 n 번째를의미한다. 이기호는이논문에서일시적으로사용하는것이다.) n 번째삼각수 P () (3, n) 과 n - 번째삼각수 사이에다음의관계가있다. 이것을이용하여 P () (3, n) 을구할수있다. P () (3, n)= P () (3, n -)+ n ( n ) 다각수등의도형수는수학교육적으로의미있는소재가될수있다 (Freudenthal, 99). 그러나다각수나각뿔수를수학교육적으로실제 이식에 n =, 3, 4, 를차례로대입하면다음과같은일련의식을얻을수있다

3 P () (3, )= P () (3, )+ P () (3, 3)= P () (3, )+3 P () (3, 4)= P () (3, 3)+4 P () (3, n)= P () (3, n -)+ n 이식을변끼리더하면다음과같이 P () (3, n) 을구할수있다. P () (3, )+ P () (3, 3)+ + P () (3, n) 을알수있다. P () (4, n)= n 삼각수 P () (3, n) 과사각수 P () (4, n) 사이에어떤관계가있는지, 그관계를찾는것을두번째과제로제시할수있다. 다음그림에서삼각수와사각수사이에어떤관계가있다는것을시각적으로확인할수있다. = P () (3, )+ P () (3, )+ + P () (3, n -) + (+3+ + n) P () (3, n)= P () (3, )+ (+3+ + n) = n = n( n +) 삼각수의수열의일반항을이렇게구하는대신다음과같이이미학습한공식을이용하여구할수도있다. 즉, 삼각수의수열의계차수열, 3, 4, 5, 는첫째항, 공차 인등차수열이므로그일반항은 +(n-) = n + 이다. 따라서삼각수의수열의일반항 P () (3, n) 은다음과같다. P () (3, n)= P () (3, )+ n - (i+) =+ n( n -) +( n -) = n( n +) 사각수로이루어진다음의수열에서그일반항 P () (4, n) 을쉽게구할수있다., 4, 9,, 5, 위의그림에서차례로다음이성립한다. P () (4, )= P () (3, ) P () (4, )= P () (3, )+ P () (3, ) P () (4, 3)= P () (3, 3))+ P () (3, ) P () (4, 4)= P () (3, 4)+ P () (3, 3) 여기서 n 번째사각수 P () (4, n) 은 n 번째삼각수 P () (3, n) 과 n - 번째삼각수 P () (3, n -) 의합임을알수있다. 이것을식으로나타내면다음과같다. P () (4, n)= P () (3, n)+ P () (3, n -) ( n ) (II-) 이식은귀납적추측으로얻은것이므로, 이식이항상성립한다는것을증명할필요가있다. 이를테면여기서는다음과같이이식이성립한다는것을증명할수있다. P () (3, n)= n( n +), 각각의사각수는제곱수이므로다음이성립함 P () (3, n -)= n( n -)

4 이므로 =+ 4 n( n -) + ( n -) P () (3, n)+ P () (3, n -) = n( n +) + n( n -) = n = P () (4, n) ( n ). 오각수의수열과육각수의수열오각수로이루어진다음수열의일반항을찾는것을세번째과제로제시할수있다., 5,,, 35, = n( n -) 앞에서식 (II-) 이성립하였다. 이와유사한관계가성립하는지알아보는것을다섯번째과제로제시할수있다. 먼저 P () (5, n)= P () (4, n) + P () (3, n -) ( n ) (II-) 가성립함을다음에서알수있다. 오각수의수열의계차수열 4, 7, 0, 3, 은첫째항 4, 공차 3인등차수열이므로그일반항은 ( 4+(n-) 3 = 3n + 이다. 따라서오각수의수열의일반항 P () (5, n) 은다음과같다. P () (4, n)+ P () (3, n -) = n + n( n -) = n(3n-) = P () (5, n) ( n ) P () (5, n)= P () (5, )+ n - (3i+) =+ 3 n(n-) + ( n -) ) = n(3n-) 사실다음그림에서식 (II-) 가성립한다는것은어느정도예상해볼수있다. 이그림에서왼쪽의검은점들은차례로사각수를, 오른쪽의흰점들은차례로삼각수를나타낸다. 육각수 (hexagonal numbers) 로이루어진다음 수열의일반항을찾는것을네번째과제로제시할수있다.,, 5, 8, 45, 육각수의수열의계차수열 5, 9, 3, 7, 은첫째항 5, 공차 4인등차수열이므로, 그일반항은 5+(n-) 4 = 4n + 이다. 따라서육각수의수열의일반항 P () (, n) 은다음과같다. P () (, n)= P () (, )+ n - (4i+) 한편, 식 (II-) 과 (II-) 에서결국오각수와삼각수사이에다음의관계가성립함을알수있다. P () (5, n)= + = P () (3, n)+ P () (3, n -) + P () (3, n -)

5 = P () (3, n)+ P () (3, n -) ( n ) (II-3) 그런데 P () (3, n)= n( n +), 여기서 r 각수의수열의계차수열의일반항은 ( r -)n +일것으로쉽게예측할수있다. 실제로, r 각수의수열의계차수열은첫째항 r -, 공차 r - 인등차수열이므로, 일반항은 P () (3, n -)= n( n -) = 이므로 P () (3, n)+3 P () (3, n -) = n( n +) + 3 n( n -) = n{(n +)+3(n-)} = n(n -) = P () (, n) ( n ) 이다. 따라서, 결국육각수와삼각수사이에다 음의관계가성립함을알수있다. P () (, n)= P () (3, n)+ 3P () (3, n -) ( n ) (II-4) 이다. 따라서 P () (r, n) 은다음과같다. P () (r, n)= P () (r, )+ n - {(r-)i +} =+ ( r -) n( n -) + ( n -) = n( n -)r + n- n = n{(r-)n +(4-r)} 이식을사용하여칠각수 (heptagonal numbers), 팔각수 (octagonal numbers), 구각수 (nonagonal numbers) 의수열의일반항을구하면각각다음 과같다. 3. 다각수의수열이제임의의 r 에대해, r각수를생각할수있다. r각수로이루어진수열의일반항을찾는것을여섯번째과제로제시할수있다. 이를위해먼저 r 각수의수열의계차수열의일반항을구해보자. 삼각수, 사각수, 오각수, 육각수의수열의계차수열의일반항은각각다음과같다. 삼각수의수열의계차수열의일반항 : n + 사각수의수열의계차수열의일반항 : n + 오각수의수열의계차수열의일반항 : 3n + 육각수의수열의계차수열의일반항 : 4n + = = = = 이제, r각수와삼각수사이의관계를찾는것을일곱번째과제로제시할수있다. 식 (II-), (II-3), (II-4) 에서 n 일때, 다음이성립하였다. P () (4, n)= P () (3, n)+ P () (3, n -) P () (5, n)= P () (3, n)+ P () (3, n -) P () (, n)= P () (3, n)+ 3P () (3, n -)

6 따라서 r 각수와삼각수사이에다음의관계 가성립할것임을쉽게추측할수있다. P () (r, n)= P () (3, n)+ ( r -3)P () (3, n -) ( n ) (II-5) 실제로, 이식이성립함을다음과같이보일 수있다. P () (3, n)= n( n +), P () (3, n -)= n( n -) 이므로 P () (3, n)+ ( r -3)P () (3, n -) = n( n +) + ( r -3) n( n -) = n{(n +)+(r-3)(n-)} = n{(r-)n +(4-r)} = P () (r, n) ( n ) III. 각뿔수의수열. 삼각뿔수의수열과사각뿔수의수열 삼각뿔수로이루어진다음수열의일반항을 찾는것을여덟번째과제로제시할수있다., 4, 0, 0, 35, n 번째삼각뿔수는 n 번째삼각수까지의 합이므로, P (3) (3, n) 은다음과같이구할수 있다. ( 기호 P (3) 에서 3 은삼각뿔수가입체도 형인삼각뿔즉, 3 차원도형에근거한것임을 의미한다.) P (3) (3, n) i( i +) P () (3, i) = { n( n +)(n +)+ n( n +) } = n( n +){(n +)+3} = n( n +)(n +4) = n( n +)(n +) 사각뿔수로이루어진다음수열의일반항을 찾는것을아홉번째과제로제시할수있다., 5, 4, 30, 55, n 번째사각뿔수는 n 번째사각수까지의 합이므로, P (3) (4, n) 은다음과같이구할수 있다. P (3) (4, n) P () (4, i) i = n( n +)(n +) 한편, 사각수와삼각수사이에식 (II-) 의관 계가있었던것에서, 사각뿔수와삼각뿔수사 이에다음의관계가성립할것을유추해볼수있다. 이관계를유추하고증명하는것을열번째과제로제시할수있다. P (3) (4, n)= P (3) (3, n)+ P (3) (3, n -) (III-) 실제로이식이성립함을다음과같이증명할수있다

7 P (3) (3, n)+ P (3) (3, n -) = n( n +)(n +) + ( n -)n( n +) P (3) (5, n)= = n (n+) P (3) (, n)= n( n +)(4n-) = n( n +){(n +)+(n -)} P (3) (7, n)= n( n +)(5n -) = n( n +)(n +) = P (3) (4, n) ( n ). r 각뿔수의수열 임의의 r 에대해 r 각뿔수를생각할수있 다. r 각뿔수로이루어진수열의일반항 P (3) (r, n) 을찾는것을열한번째과제로 제시할수있다. n 번째 r 각뿔수는 n 번째 r 각수까지의합이므로, r 각뿔수의수열의일 반항 P (3) (r, n) 은다음과같이구할수있다. P (3) (r, n) P () (r, i) i{(r-)i +(4-r)} = n i{(r-)i +(4-r)} = ( r -) n( n +)(n +) r 각수와삼각수사이에식 (II-5) 의관계가있었던것에서, r각뿔수와삼각뿔수사이에다음의관계가성립할것을유추해볼수있다. 이관계를유추하고증명하는것을열두번째과제로제시할수있다. P (3) (r, n)= P (3) (3, n)+ ( r -3)P (3) (3, n -) (n ) (III-) 실제로이식이성립함을다음과같이증명할수있다. P (3) (3, n)+ ( r -3)P (3) (3, n -) = n( n +)(n +) + ( r -3) ( n -)n( n +) + (4-r) n( n +) (4-r) = n( n +){(n +)+(r -3)(n -)} = n( n +){(r-)(n +)+3(4-r)} = n( n +){(r -)n +(5-r)} = n( n +){(r-)n +(5-r)} = P (3) (r, n) ( n ) = n( n +){(r -)n +(5-r)} 이식을사용하여오각뿔수, 육각뿔수 (hexagonal pyramidal numbers), 칠각뿔수 (heptagonal pyramidal numbers) 의수열의일반항을구하면각각다음과같다. IV. 고차원각뿔수의수열. 4차원삼각뿔수의수열과 4차원사각뿔수의수열

8 각뿔수는 3 차원의도형을이용하여만든것 이다. 이때 n 번째 각뿔수는 번째 각수까 지의합이다. 이것을확장하여 4 차원각뿔수를 만들수있다. 즉, n 번째 4 차원 r 각뿔수를 번째 (3 차원 ) r 각뿔수까지의합으로정의한다. 이를테면 4 차원삼각뿔수, 4 차원사각뿔수, 4 차 원오각뿔수의수열은각각다음과같다. 4 차원삼각뿔수 :, 5, 5, 35, 70, 4 차원사각뿔수 :,, 0, 50, 05, 4 차원오각뿔수 :, 7, 5, 5, 40, 4 차원삼각뿔수로이루어진수열의일반항 P (4) (3, n) 을찾는것을열세번째과제로 제시할수있다. n 번째 4 차원삼각뿔수는 n 번째 (3 차원 ) 삼각뿔수까지의합으로정의되므 로, 4 차원삼각뿔수의수열의일반항 P (4) (3, n) 은다음과같이구할수있다. P (4) (3, n) i( i +)(i +) = n (i 3 +3i +i) P (3) (3, i) = { n( n +) } + 3 n( n +)(n +) + n( n +) = n( n +) { 4 n( n +)+ (n +)+ } = n( n +){n( n +)+(n +)+4} 4 = n( n +)(n +)(n +3) 4 4 차원사각뿔수로이루어진수열의일반항 P (4) (4, n) 을찾는것을열네번째과제로 제시할수있다. n 번째 4 차원사각뿔수는 n 번째 (3 차원 ) 사각뿔수까지의합으로정의되므 로, 4 차원사각뿔수의수열의일반항 P (4) (4, n) 은다음과같이구할수있다. P (4) (4, n) P (3) (4, i) i( i +)(i +) = n (i 3 +3i + i) = { n( n +) } + 3 n( n +)(n +) + n( n +) = n( n +){n( n +)+(n +)+} = n( n +)(n +)(n +) = n( n +) (n+) (3 차원 ) 사각뿔수와 (3 차원 ) 삼각뿔수사이에 식 (III-) 의관계가있었던것에서, 4 차원사각 뿔수와 4 차원삼각뿔수사이에다음의관계가 성립할것을유추해볼수있다. 이관계를유 추하고증명하는것을열다섯번째과제로제시할수있다. P (4) (4, n)= P (4) (3, n)+ P (4) (3, n -) ( n ) (IV-) 실제로이식이성립함을다음과같이증명할수있다. P (4) (3, n)+ P (4) (3, n -) = n( n +)(n +)(n +3) 4 + ( n -)n( n +)(n +) 4 = n( n +)(n +){ (n +3)+(n-)}

9 = n( n +)(n +)(n +4) 4 = n( n +) (n+) = P (4) (4, n) ( n ). 4 차원 r 각뿔수의수열 임의의 r 에대해 4 차원 r 각뿔수를생각할 수있다. 4 차원 r 각뿔수로이루어진수열의일 반항 P (4) (r, n) 을찾는것을열여섯번째 과제로제시할수있다. n 번째 4 차원 r 각뿔 수는 n 번째 (3 차원 ) r 각뿔수까지의합으로 정의되므로, 4 차원 r 각뿔수의수열의일반항 P (4) (r, n) 은다음과같이구할수있다. = ( r -)n( n +)(3n +)(n +) + (5-r)n( n +)(n +) 3 = n( n +)(n +) { ( r -)(3n +) + 3 (5-r) } = n( n +)(n +) {(r-)(3n +) + 4(5-r)} = n( n +)(n +){3(r-)n +3(-r)} = n( n +)(n +){ (r -)n +(-r)} 4 이식을사용하여 4 차원오각뿔수, 4 차원육 각뿔수, 4 차원칠각뿔수의수열의일반항을구 하면각각다음과같다. P (4) (r, n) P (3) (r, i) i( i +){(r-)i +(5-r)} = n { ( i 3 +i )(r-)+(i +i)(5-r)} = ( r -) [{ n( n +) } + n( n +)(n +) ] + (5-r) { n( n +)(n +) + n( n +) } = ( r -)n( n +) { n( n +)+ 4 = (n +) } + (5-r)n( n +) { (n +)+ } ( r -)n( n +) { 3n +7n +} + (5-r)n( n +) (n +4) P (4) (5, n)= n( n +)(n +)(3n +) 4 P (4) (, n)= n( n +)(n +)(4n +0) 4 = n (n+)(n+) P (4) (7, n)= n( n +)(n +)(5n -) 4 (3 차원 ) r 각뿔수와 (3 차원 ) 삼각뿔수사이에 식 (III-) 의관계가있었던것에서, 4 차원 r 각 뿔수와 4 차원삼각뿔수사이에다음의관계가 성립할것을유추해볼수있다. 이관계를유 추하고증명하는것을열일곱번째과제로제시할수있다. P (4) (r, n)= + ( r -3)P (4) (3, n -) ( n ) (IV-) 실제로이식이성립함을다음과같이증명할수있다

10 P (4) (3, n)+ ( r -3)P (4) (3, n -) = n( n +)(n +)(n +3) 4 + ( r -3) ( n -)n( n +)(n +) 4 = = n( n +)(n +){ (r -)n +(-r)} 4 = P (4) (r, n) ( n ) 3. 고차원 r 각뿔수의수열 지금까지의논의에서 r 각수, (3 차원 ) r 각뿔 수, 4 차원 r 각뿔수의수열은각각다음과같 다. 이것으로부터 5 차원, 차원, 7 차원 r 각뿔수 등의수열의일반항을유추해볼수있다. 또, 고등학교수학수준에서는어렵다고할수있지만, 능력있는학생이라면임의의 k 에대해 k 차원 r 각뿔수의수열의일반항을유추하고, 그것을증명해볼수있을것이다. P () (r, n) 성립한다면, k 차원 r 각뿔수의수열의일반항 은다음과같을것으로생각해볼수있다. P ( k ) (r, n)= n( n +)(n +) k! ( n + k -){(r-)n +(k +-r)} (IV-3) 이제, 이식이성립한다는것을증명하기위 해, 먼저이식을다음과같이변형해보자. P ( k ) (r, n)= k ( k -)! ( n + k -)! ( n -)! {(r -)n +(k +-r)} = k ( n + k -)! { n + k --(k -)}!(k -)! {(r -)n +(k +-r)} = k n + k -C k - {(r -)n +(k +-r)} = k n + k -C k - {(n + k -)+(r -3)(n -)} = k n + k -C k - (n+ k-) = n{(r -)n +(4-r)} + k n + k -C k - (r-3)(n-) = n{(r-)n +(4-r)}! P (3) (r, n) = n( n +){(r-)n +(5-r)} = n( n +){(r-)n +(5-r)} 3! P (4) (r, n) = n( n +)(n +){ (r -)n +(-r)} 4 = n( n +)(n +){ (r -)n +(-r)} 4! 위의세식에서볼수있는규칙이그대로 = n + k - C k +(r-3) n + k - C k = P ( k ) (3, n)+ ( n ) 즉, 다음이성립한다. P ( k ) ( k (r, n)= P ) (3, n) ( k + ( r -3)P ) (3, n -) ( n ) (IV-4) 이제식 (IV-4) 이성립한다고가정했을때, 다음식 (IV-5) 가성립함을보이면위의식 (IV-3) 이일반적으로성립한다고할수있다

11 P ( k +) (r, n)= P ( k +) (3, n) + ( r -3)P ( k +) (3, n -) ( n ) (IV-5) 을사용하여 k 차원삼각뿔수, 사각뿔수, 오각 뿔수, 육각뿔수의수열의일반항을구하면각 각다음과같다. 정의와식 (IV-4) 에의해다음이성립한다. P ( k ) (3, n)= n + k - C k P ( k ) (4, n)= k n + k -C k - (n + k -) P ( k +) (r, n) P ( k ) (r, i) ( 정의 ) { P ( k ) (3, i)+(r -3)P ( k ) (3, i -) ( 식 (IV-4)) P ( k ) (3, i)+ ( r -3) n P ( k ) (3, i -) = P ( k +) (3, n)+ ( r -3)P ( k +) (3, n -) ( 정의 ) 따라서, 위의식 (IV-3) 이일반적으로성립함 을알수있다. 이식을사용하여 5 차원 r 각뿔 수, 차원 r 각뿔수, 7 차원 r 각뿔수의수열의 일반항을구하면각각다음과같다. P (5) (r, n) = n( n +)(n +)(n +3) 5! P () (r, n) {(r -)n +(7-r)} = n( n +)(n +)(n +3)(n +4)! P (7) (r, n) {(r -)n +(8-r)} = n( n +)(n +)(n +3)(n +4)(n +5) 7! {(r -)n +(9-r)} 한편, 식 (IV-3) 대신식 P ( k ) (r, n) = k n + k -C k - {(r -)n +(k +-r)} P ( k ) (5, n)= k n + k -C k - (3n + k -3) P ( k ) (, n)= k n + k -C k - (4n + k -4) V. 결론 이논문에서는다각수와각뿔수를고등학교 < 수학 I> 의내용인수열의교수 학습을위한교수단원용소재로서활용하기위해, 그와관련한일련의과제를제시하고있다. 특히다각수와각뿔수의수열의일반항구하기및다각수사이의관계, 각뿔수사이의관계에초점을맞추고있다. 그러나이논문에서다각수와각뿔수그자체의교수 학습에주목하고자하는것은아니다. 그것은수열의교수 학습을의미있게하기위한소재일뿐이지, 학생들이다각수나각뿔수등의개념을알고, 용어를배우고, 그리고그성질을학습해야하는것은아니다. 이논문에서다각수와각뿔수와관련하여제시하고있는일련의과제에는다음의세가지수학교육적가치가있음을, 따라서다각수와각뿔수가수열의교수 학습을위한교수단원용소재로적절함을제시하고자한다. 첫째, 계차수열을이용한원수열의일반항구하기의교수 학습을위한자연스런소재로서의가치가있다. 이것은다각수나각뿔수를학생들이나름대로의미있게받아들이고, 또학생들이흥미와호기심을가질만한소재가될

12 수있음을의미한다. 특히삼각수와사각수, 그리고삼각뿔수와사각뿔수의시각적제시가그러한흥미와호기심을유발하는데도움이될수있다. 둘째, 일반화와유추등의수학적사고의교수 학습을위한소재로서의가치가있다. 다각수및각뿔수의수열에서일반항을구하는과정및고차원각뿔수의수열의일반항을구하는과정은수학적사고로서의일반화를경험할수있게해준다. 또한, 이과정에서다각수에대해성립한것이각뿔수및고차원각뿔수에대해서도성립할것이라는유추를경험할수있게해준다. Freudenthal(99) 식으로표현하면, 일반화와유추모두수학화에포함되므로, 이과제에는수학화교수 학습을위한소재로서의가치가있다고할수있다. 셋째, 식의대수적조작, 증명및관련된수학지식연결의교수 학습을위한소재로서의가치가있다. 다각수및각뿔수, 고차원각뿔수의수열의일반항을구하는과정에는식의대수적조작, 증명및관련된지식의사용이동반된다. 따라서이러한소재를사용함으로써, 기호및변수사용등을포함하는식의대수적조작과증명, 그리고증명의전개에필요한관련지식의적절한사용을경험할있게해준다. 한편, 이논문에서제시하고있는일부과제는고등학교수준에서는해결하기어려운것으로보인다. 특히고차원 r각뿔수의일반항을구하는것이그렇다. 그러나이과제는그이전의일련의과제에자연스럽게수반될수있는것으로, 능력있는고등학생을위한심화과제의역할을할수있을것으로보인다. 참고문헌 박교식 (00). 규칙성이있는수식을소재로한 교수단원설계연구, 학교수학 4(), 00-8, 대한수학교육학회. Ball, W. W. R. & Coxeter, H. S. M. (987). Mathematical recreations and essays. (thirteen edition). New York: Dover Publications, Inc. Boyer, C. B. & Merzbach, U. C. (000). 수학 의역사 상. 양영오 조윤동 ( 공역 ). 서울 : 경 문사. ( 영어원작은 99년에출판 ) Dudeney, H. E. (970). Amusements in mathematics. New York: Dover Publications, Inc. Eiss, H. E. (988). Dictionary of mathematical games, puzzles, and amusements. New York: Greenwood Press. Freudenthal, H. (99). Revisiting mathematics education: China lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Gullberg, J. (997). Mathematics: from the birth of numbers. New York: Norton & Company. Pickover, C. (00). 신의베틀. 이상원 ( 역 ). 서 울 : 경문사. ( 영어원작은 997년에출판 ) Reimer, W. & Reimer, L. (99). Historical connections in mathematics: resources for using history of mathematics in the classroom. Fresno, CA: AIMS Educational Foundation. Smith, D. E. (953). History of mathematics. Vol. II. special topic of elementary mathematics. New York: Dover Publications, Inc. Wittmann, E. (984). Teaching units as the integrating core of mathematics education. Educational Studies in Mathematics 5():

13 5-3. Wittmann, E. (995). Mathematics education as a design science. Educational Studies in Mathematics, 9(4), A study on teaching unit material for teaching and learning of sequences - polygonal numbers and pyramidal numbers Park, Kyo Sik (Inchon National University of Education) In this paper, a series of tasks related on polygonal numbers and pyramidal numbers are suggested for using them as teaching unit materials for teaching and learning of sequences in junior high school mathematics. Especially, finding n-th term in those sequences, relations among polygonal numbers, and relations among pyramidal numbers are focused on. A series of tasks related on polygonal numbers and pyramidal numbers have three math-eucational values. First, they have a value as natural materials for teaching and learning of finding nth term of original sequences using pregression of differences. Second, they have a value as materials for teaching and learning of mathematical thinking such as generalization, analogy, etc. Third, they have a value as materials for teaching and learning of algebraic operation, proof, and connecting mathematical knowledges

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DBPIA-NURIMEDIA 대한수학교육학회지 < 학교수학 > 제 4 권제 2 호 Journal of Korea Society of Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol.4, No.2, 27-315. June 2002 규칙성이있는수식을소재로한교수단원설계연구 기획 수업아이디어 박교식 * I. 서론 이논문의목적은비트만 (Wittmann,