4. [3 등급 60 초 ] 5. [3 등급 60 초 ] 6. [3 등급 60 초 ] 2

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1 Lui Intensive 천재의발상 공간벡터좌표 강사최석호 1. 단면은수직으로 A, B 두평면사이각의코사인값을구하시오. 1. [3 등급 45 초 ] 2. [3 등급 45 초 ] 3. [3 등급 45 초 ] * 등급 - 제한시간표시 [3 등급 90s] 3 등급에가장효과적인문항입니다. 90 초간생각후끝까지풀지말고강의를들어주세요. 등급및 제한시간표시는강의영상과차이가있을수있으며영상보다교재의등급시간을우선합니다. 1

2 4. [3 등급 60 초 ] 5. [3 등급 60 초 ] 6. [3 등급 60 초 ] 2

3 7. 그림과같이한변의길이가 인정육면체 ABCD EFGH 에서변 BF, DH 의 중점을각각 M N 이라할때, 삼각형 ACN 의평면 MGE 위로의정사영의넓이 는? [3 등급 60 초 ] 답 : 1 2. 꾹누르기 1. 그림과같은정육면체 ABCD EFGH 에서모서리 BF 를 로내분하는점 을 I, 모서리 DH 를 로내분하는점을 J 라하자. 면 IGJ 와밑면 EFGH 가 이루는예각의크기를 라할때, cos 이다. 이때, 의값을구하시 오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [3 등급 60 초 ] 답 : 17 3

4 2. 그림과같이정사면체 ABCD 가있다. 선분 AC의삼등분점중에서점 A에가까운점을 E 선분 AD 의삼등분점중에서점 D 에가까운점을 F라하자. 두삼각형 BEF 와 BCD 가이루는예각의크기를 라고할때, cos 이다. 서로소인두자연수 에대하여 의값을구하시오. [3등급 60초 ] 답 : 좌표잡아내적으로 1. 오른쪽그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 ABCD EFGH에서선분 AC와선분 BH가이루는각의크기를 라할때, sin의값은? [3등급 45초 ] 답 : 5 2. 그림과같이한변의길이가 인정육면체에대하여 BF CG 의중점을각각 MN 이라하자. 두직선 AN HM이이루는각의크기를 라할때, cos 의값은? [3등급 60초 ] 답 : 1 4

5 3. 그림과같은정육면체에서두평면 ABGH EFHD 가 이루는각의크기를 라할때, cos 의값은? [3 등급 60 초 ] 답 : 2 4. 그림과같이모든모서리의길이가같은정육면체와정삼각기둥이있다. 삼각형 EDG 를포함하는평면을 사각형 DIJH를포함하는평면을 라하자. 두평면 가이루는각을 라할때, cos 의값은? 단 [3 등급 75 초 ] 답 : 5 4. 빛그림자 1. 반지름의길이가 cm 인구가지면에놓여있다. 태 양이지면과 의각도로구를비출때, 지면에생긴 구의그림자의넓이는? [3 등급 60 초 ] 1 cm 3 cm 5 cm 2 cm 4 cm 답 : 4 5

6 2. 그림과같이반지름의길이가 인반구모양의입체가바닥에놓여있다. 이입체의평평한면은바닥면에평행하고, 바닥면과 의각을이루도록빛을비추었을때, 바닥면에생기는이입체의그림자의넓이는 이다. 자연수 의값을구하시오. [3등급 75초 ] 답 : 서로수직인두평면 의교선을 이라하자. 반지름의길이가 인원판이두평면 와각각한점에서만나고교선 에평행하게놓여있다. 태양광선이평면 와 의각을이루면서원판의면에수직으로비출때, 그림과같이평면 에나타나는원판의그림자의넓이를 S라하자. S의값을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는자연수이고원판의두께는무시한다.) [3등급 90초 ] 답 : 평행수직꼬인위치 1. 공간에서서로다른세직선 과서로다른세평면 에대하여 [ 보기 ] 의설명중옳은것만을있는대로고른것은? [3등급 90초 ] [ 보기 ] ㄱ 이고 이면 또는 이다. ㄴ 이고 이면 이다. ㄷ 이고 이면 또는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱㄷ 5 ㄴ ㄷ 답 : 2 6

7 2. 그림과같은정팔면체 ABCDEF 에대하여옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로 고른것은? [3 등급 60 초 ] [ 보기 ] ㄱ 평면 ABC 와평면 FDE 의교선이존재한다. ㄴ 평면 FCB 와평행한모서리의개수는 이다. ㄷ 모서리 CD 와꼬인위치에있는모서리의개수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄴ ㄷ 답 : 5 6. 종이접기 1. 그림과같이정삼각형 ABC에서변 AB를삼등분하는점중에서 B에가까운점을 D 라하고, 선분 DC를접는선으로하여꼭짓점 A의 BCD 위로의정사영이선분 BC위의점이되도록접을때, 두평면 ACD 와 BCD 가이루는예각의 크기를 라하자. cos 일때, 서로소인두자연수 에대하여 의값 을구하시오. [2 등급 90 초 ] 답 : 29 7

8 2. 그림과같이 AB BC 인직사각형 ABCD 를대각선 AC 를접는선으로 하여평면 ABC 와평면 ACD 가수직이되도록접을때, 점 D 에서직선 AB 까 지의거리는? [2 등급 90 초 ] 답 : 2 3. 그림과같이두정삼각형 ABC 와 ABD 는서로각이 를이루는두평면 위에각각놓여있다. CAD 라고할때, cos 의값은? [3 등급 60 초 ] 답 : 몰라 7. 정사면체특성 1. 8

9 4. 그림과같이한변의길이가 인정사면체에서 BC 의중점을 M 이라할때, < 보기 > 중옳은것만을있는대로고른것은? [3 등급 75 초 ] ㄱ. BC 면 AMD ㄴ. BC AD ㄷ. 두면 AMD, ACD 가이루는각의크기를 라하면 cos 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 : 5 3. 한모서리의길이가 인정사면체 ABCD 에서 BK CL CM BN 가되도록네점 K L M N 을각각네 선분 ABACCDBD 위에잡을때, 사각형 KLMN 의넓이를 라하자. 이 때, 함수 의도함수 에대하여 의값을구하시오. [2 등급 90 초 ] 답 : 20 9

10 8. 내접구 9. 정사형길이 그림은평면 위에중심이 C이고반지름의길이가 인구를놓은것이다. 평면 와 의각을이루며구의중심을지나는평면으로잘라생기는원위의두점 P Q 에대하여선분 PQ 가이원의지름이되도록잡을때, 선분 PQ 의평면 위로의정사영의길이의최댓값과최솟값의합은? [3등급 60초 ] 정답 : 3 10

11 10. 내적떨구기 1. 내적떨구기개념 2. 그림은 BC 이고 BCA 인삼각형 ABC 와이삼각형의한변 BC 를 공유하는정사각형 BDEC 를나타낸것이다. 선분 AB 위를움직이는점 P 에대하 여내적 DC DP 의최댓값과최솟값의합은? [3 등급 60 초 ] 답 : 3 3. 그림과같이중심이 O 이고반지름의길이가 인구위의정점 A 와동점 P 에대하여 OA OP 일때, 점 P 가나타내는도형의길이는? [3 등급 60 초 ] 답 : 4 11

12 4. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 ABC 에내접하는원이있다. 원이선분 AB 에접하는점을 D, 원위의임의의점을 P 라할때, 두벡터 AC DP 의내적 AC DP 의최댓값은? [3등급 60초 ] 답 : 5 5. 그림과같이원점 O 를중심으로하고반지름의길이가 인원위의네점 A B C D 가 AB AD AC AD 를만족시킨 다. 이때, AD 의값은? ( 단, ) [3 등급 60 초 ] 답 : 2 12

13 11. 내적최대최소 1. 그림과같이반지름의길이가 이고중심각의크기가 인부채꼴 OAB 가 있다. 호 AB 위를움직이는두점 PQ 에대하여 [ 보기 ] 에서옳은것을모두고른 것은? [3 등급 60 초 ] ㄱ OP OQ의최댓값은 이다. ㄴ OP OQ의최댓값은 이다. ㄷ OP OQ 의최댓값은 이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 5 2. 좌표평면에서원 위를움직이는두점을 P Q 라하고, 두점 A, B 을잇는선분 AB 위를움직이는점을 R 라하자. PQ, OR 라할때, 의최댓값은? ( 단, O 는원점이다.) [3 등급 60 초 ] 정답 : 3 13

14 3. 제 사분면에서곡선 위를움직이는두점 P Q 에대하여 OPQ 의넓이를 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로 고른것은? ( 단, O 는원점이다.) [3 등급 75 초 ] ㄱ lim OP OQ ㄴ OP OQ ㄷ lim [ 보기 ] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄷ 답 : 3 4. 그림과같이한모서리의길이가 인정사면체 A BCD 에서모서리 AD 위를 움직이는점 P 에대하여두벡터 BP [3 등급 60 초 ] CP 의내적 BP CP 의최솟값은? 답 : 1 14

15 5. 중심이 O 이고반지름의길이가 인구를점 O 를지나는평면 로잘랐을 때, 구와평면의교선위의임의의두점을 PQ 라하자. 평면 에수직이면서점 O 를지나는직선이구와만나는두점을각각 AB 라할때, 벡터 AP 내적 AP BQ 의최댓값과최솟값의합은? [3 등급 60 초 ] BQ 의 답 : 1 6. 두평면 의교선을 이라하자. 평면 위에있는원 과평면 위에있는원 는반지름의길이가모두 이다. 그림과같이원 과원 는점 C 에서직선 과접한다. 의중심 O 을지나고평면 에수직인직선과 의중심 O 를지나고평면 에수직인직선이만나는점을 P라하자. O CO 일때, 위에있는임의의점 A 와 위에있는임의의점 B 에대하여 PA PB 의최댓값을, 최솟값을 이라하자. 의값을구하 시오. [3 등급 75 초 ] 정답 : 15

16 12. 벡터그려서 1. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 ABC 에서 BC CA, AB 라할때, 벡터 의 크기는? [5 등급 45 초 ] 답 : 4 2. 그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 ABCD EFGH 에서 AB DH FG 의값을구하여라. [5등급 30초 ] 정답 : 3. 그림과같이한변의길이가 인정육면체에서 GC 의중점을 M, OA 의중점 을 N 이라할때, 직선 MN 과평면 DEGF 가만나는교점을 라할때, 의값은? [4 등급 60 초 ] 정답 : 2 16

17 4. 그림은한변을공유하고한변의길이가 인두 정육각형을붙여나타낸것이다. 이때, AC EF BG의값은? [3 등급 60 초 ] 답 : 그림과같이한변의길이가 인정육면체 개로이루어진입체도형에서 EA KA HL HP 의값은? [3 등급 60 초 ] 정답 : 직선위에떨어지는벡터집합 1. OA OB AOB 인삼각형 OAB 가있다. 두실수 가 OP OA OB 를만족시킬때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? [3 등급 90 초 ] [ 보기 ] ㄱ 일때, 점 P 의자취의길이는 이다. ㄴ 일때, 점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. ㄷ 일때, 점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄴ ㄷ 답 : 2 17

18 2. 그림과같이 OA OB AOB 인삼각형 OAB 가있다. 연립부 등식 을만족시키는 에대하여벡터 OP OA OB 의종점 P 가존재하는영역의넓이를 S 라할때, S 의값을구하 시오. [level 5 180s] [3 등급 90 초 ] 답 : 그림과같이한모서리의길이가 인정육면체가있다. 이때, AP AB AD AE, 를만족시키는점 P 에대하여 [ 보기 ] 중옳은것만을있는 대로고른것은? ( 단, ) [2 등급 90 초 ] [ 보기 ] ㄱ 이고 을만족하는점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. ㄴ 을만족하는점 P 는한변의길이가 인정삼각형이다. ㄷ 을만족하는점 P 가존재하는영역의부피는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄷ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 3 4. 한변의길이가 인정삼각형 ABC 에대하여점 P 가 AP AB AC 를만족시킬때, 점 P 가그리는도형의길이는? [3 등급 60 초 ] 답 : 5 18

19 5. 평면위의두벡터, 에대하여 를 라정의할때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? [3 등급 90 초 ] ㄱ. 일때 의최댓값은 이다. ㄴ. 와 가평행하도록하는 의값과 와 가평행하도록하는 의값은각각오직하나존재한다. ㄷ. 와 가서로수직이되도록하는 값이적어도하나존재한다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄴ, ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 : 벡터직선의교점 1. 그림과같은 OAB 에대하여 OA OB 를 각각 로내분하는점을각각 C D 라하고 AD 와 BC 의교점을 P 라하자. OP OA OB 라할때, 의값은? [3 등급 60 초 ] 답 : 4 2. 그림과같은평행사변형 ABCD 에대하여 BC CD 의중점을 EF 라하고 DE 와 AF 의 교점을 G 라하자. AG AB AD 일때, 의값은? [3 등급 60 초 ] 답 : 4 19

20 3. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 OAB에서변 OB위에 OD 가되도록점 D 를잡는다. 꼭짓점 O 에서선분 AD 위에내린수선의발을 H라하자. OA OD OH 일때, 의값은? ( 단, 은서로소인자연수이다.) [3등급 60초 ] 답 : 5 4. 그림과같은 AD AD ADB 인평행사변형 ABCD 에서 AD AB 라놓는다. 꼭짓점 D 에서선분 AC 에내린수선의발을 E 라할 때, 벡터 AE 를만족시키는실수 의값은? [3 등급 75 초 ] 답 : 2 5. 그림과같이 AB AD AE 인직육면체 ABCD EFGH 가있다. 대각선 AG 위를움직이는점 P 에대하여 EP CF 의최솟값은? [3 등급 90 초 ] 답 : 3 20

21 15. 벡터영역 1. 일정한범위를갖는변수 에대하여 A B 가그리는벡터의영억을그리시오. 2. AB BC 이고 DAB 인평행사변형 ABCD 에대하여 AX AB BC 단 를만족하는점 X 가나타내는영역의넓이는? [3 등급 60 초 ] 답 : 3 3. 그림과같은사면체 OABC 에서 OA, OB OC 라할때, 다음중 삼각형 OAB 의무게중심 G 를지나고, AC 에평행한벡터 를나타낸것은? ( 단, 는실수 ) [2 등급 90 초 ] 답 : 2 21

22 4. 그림과같이 B 인직각이등변삼각형 ABC 에서 AB AC 라하자. ABC의내부및경계의임의의 점 P 에대하여 AX AP 를만족하는점 가놓이는개형으로옳은것은? [2 등급 75 초 ] 답 : 5 5. 와 를만족하는 의자취는? [3 등급 60 초 ] 6. 일때, 가이루는자취의영역을그리시오. [3 등급 60 초 ] 16. 기준벡터잡기 1. 오른쪽그림과같이한모서리의길이가 인정사면체 O ABC 에서 AB 의 중점을 M BC 를 로내분하는점을 N 이라할때, 내적 OM ON 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [3 등급 60 초 ] 답 : 19 22

23 2. 정사면체 ABCD 에서두모서리 AC AD 의중점을각각 MN 이라하자. 직 선 BM 과직선 CN 이이루는예각의크기를 라할때, cos 이다. 의 값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [3 등급 60 초 ] 답 : 7 3. 오른쪽그림과같이 개의합동인정삼각형으로이루어진도형위에네점 O P Q R 가있다. OR OP OQ 로나타낼때, 의값은? ( 단, 는 실수이다.) [3 등급 60 초 ] 답 : 1 4. 그림과같이크기가같은정육각형이서로겹치지않으면서평면을채우도록 놓여있다. 그림의점 OABP 에대하여 OA, OB 라하고, OP 로나타낼때, 의값은? [3 등급 75 초 ] 답 : 2 23

24 17. 벡터식의미찾기 1. 평면위의점 P 와삼각형 ABC 에대하여 PA PB PC AB 일때, [ 보기 ] 중옳은것만을있는대로고른것은? [3 등급 75 초 ] [ 보기 ] ㄱ PC PA ㄴ 점 P 는선분 AC 를 로내분한다. ㄷ PAB PBC 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄷ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 5 2. 네점 OABC 에대하여 OA OB OC 이성립한다. 직선 OA 가선 분 BC 와만나는점을 D 직선 OC 가선분 AB 와만나는점을 E 라할때, 옳은 것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? [3 등급 90 초 ] ( 단, 세점 ABC 는한직선위에있지않다.) [ 보기 ] ㄱ 점 E 는선분 AB 를 으로내분한다. ㄴ ABC 이면 OAB 이다. ㄷ ODC 이면 OAE 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ ㄴ 5 ㄴ ㄷ 답 : 5 3. 삼각형 ABC 의무게중심을 G 라하자. 점 P 가 AP BP CP CG 를만족시킬때, 삼각형 PAB 의넓이는삼각형 ABC 의넓이의 배이다. 실수 의값은? [3 등급 90 초 ] 답 : 5 24

25 18. 좌표잡기 1. 그림은모든모서리의길이가 인두개의정사각뿔 O ABCD O DCEF 에대하여모서리 CD 를일치시킨도형을나타낸것이다. OB OF 의값을구 하시오. [3 등급 75 초 ] ( 단, 몇 ABCD 와면 DCEF 는한평면위에있다.) 답 : 그림은한모서리의길이가 인두정사면체 ABCD 와 BCDE 에대하여면 BCD 를일치시킨도형을나타낸것이다. 두벡터 BA 와 DE 에대하여 BA DE 의값을구하시오. [3등급 90초 ] 답 : 12 25

26 19. 단위벡터의자취 1. 오른쪽그림과같이중심이 축이에있고두직선 와 각각한점에서만나는원위를움직이는점을 P라하자. 이때, OQ OP 를만족시키는점 Q 가나타내는도형전체의길이는? OP [3 등급 75 초 ] 답 : 벡터합최대최소 1. 직사각형 ABCD 의두변 AB AD 의길이는각각 이고변 BC 의중점을 E 라한다. 변 AB 위의한 점 P 에대하여 PD PE 의최솟값을구하여라. [3 등급 60 초 ] 답 : 직선기본 1. 직선의방정식기본 26

27 2. 두직선 는모든실수 의값의곱은? 가서로수직이되도록하 답 : 1 3. 두직선 에모두수직이고원점을지나는직선의방정식은? 답 : 4 4. 두점을지나는직선 5. 다음두직선을좌표공간에그리시오. 27

28 22. 직선응용 1. 두직선 와 의교점의좌표를 라할때, 의값은? 답 : 3 2. 점과직선사이의거리 3. 구 과직선 가만나는두점을 AB라할 때, 선분 AB 의길이는? 답 : 3 28

29 4. 좌표공간에서두점 A B 을지나는직선 이있다. 점 P 로부터직선 에이르는거리는? [3등급 60초 ] 답 : 직선 와평행하고점 A 을지나는직선 이라하자. 두 직선 사이의거리는? 답 : 1 29

30 8. 두직선 위의임의의점을 각각 PQ 라할때, PQ 의최솟값은? [3 등급 75 초 ] 답 : 평면기본 좌표공간에서직선 에수직이고점 를지나는 평면의방정식을 이라할때, 의값을구하시오. 답 : 직선 와평면 의교점의 좌표는? 정답 : 3 30

31 4. 다음두평면을좌표공간에그리시오. 5. 두평면사이의각도 6. 두평면 에수직이고원점 O 를지나는 평면의방정식은 이다. 이때, 상수 의곱 의값은? 답 : 몰라 7. 과직선 이이루는예각의크기를 라하 면 sin 의값은? 답 : 2 31

32 8. 평면 과 축이이루는각의크기를 라할때, cos 의값을 구하여라 답 : 2 9. 세점을포함하는평면 10. 직선과평면의교점 24. 평면응용 1. 두직선을포함하는평면 32

33 2. 점과평면의거리 3. 좌표공간의두점 A B 와평면 위의 임의의점 P 에대하여 PA PB 의최솟값은? [level 3 90s] 답 :

34 6. 평면에포함되는직선 평면 * 직선 ( ) * 직선 ( ) 7. 두평면의교선 8. 직선을포함하는평면 9. 직선과점을포함하는평면 34

35 10. 두평면의교선을포함하는평면 25. 공간응용 1. 구위의한점에서접하는평면 2. 좌표공간에서평면 과 평면, 평면, 평면으로둘러싸인 사면체에내접하는구의부피를 라고한다. 이때, 의값을구하시오

36 4. 그림과같이평면 위의점 P 와평면 에의하여나누어진두 영역중같은영역에두점 A B 이있다. AP PB 가최소가 되는점 P 의 좌표는? [3 등급 75 초 ] 답 : 3 5. 좌표공간의두점 A, B 와 평면위의점 P, 평면위의 점 Q 에대하여 AP PQ QB 의최솟값은? [3 등급 90 초 ] 답 : 5 6. 두평면에정사형이주어진직선 36

37 7. 좌표공간에서선분 AB 의 평면, 평면, 평면위로의정사영의길이가 각각 일때, 선분 AB 의길이는? [3 등급 60 초 ] 답 : 1 8. 좌표공간에두점 A B 와구 위를움직이는점 P가있다. 세점 ABP의평면위로의정사영을각각 A B P 이라할때, 삼각형 A B P 의넓이의최댓값은? [3등급 90초 ] 답 : 5 9. 구의평면에잘린단면식 10. 방향코사인활용 선 선 면 면 선 면 면 선 cos cos cos 37

38 11. 그림과같이 AB BF AD 인직육면체 ABCD EFGH 에서대각선 AG 가세면 ABCD BFGC ABFE 와이루는각의크기를각각 라고 할때, cos cos cos 의값은? [3 등급 75 초 ] 답 : 좌표공간위의점 를지나고 축, 축, 축의양의방향과각각 를이루는직선이점 를지날때, 의값은? [3 등급 75 초 ] 답 : 2 38

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