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1 힘의과학 ( 정역학 Statics) 건국대학교공과대학토목공학과 010년 학기 Week 1 Chapter 10 관성모멘트 (Moment of nertia) Class Schedule Week Topic Chapter 01 08/009/0 역학의일반적원리, 스칼라와벡터 1&(17-57) 0 09/0609/10 벡터의연산 (58-8) 0-09/109/17 벡터의연산, 절점의평형 & (84-117) 04-09/009/4 힘의연산, 모멘트의원리 & 4 ( ) 05-09/710/01 모멘트의연산, 우력계 4 ( ) 06-10/0410/08 하중의단순화, 강체의평형 4 & 5 (188-19) 07-10/1110/15 평면상의강체의평형 5 (0-56) 08-10/1810/10/ Midterm 1,,, /510/9 공간상의강체의평형, 마찰의특성 5 & 8 (57-41) 10-11/0111/05 11/05 마찰의응용 8(41-451) 451) 11-11/0811/1 무게중심과질량중심 9 (469-49) 1-11/1511/19 파포스의원리, 유체의압력 9 (494-57) 1-11/11/6 관성모멘트회전반지름 10 (51-541) 14-11/91/0 복잡한형태의관성모멘트 10 (54-556) 15-1/061/10 질량관성모멘트 10 ( ) 16 1/11/17 Final Eamination?? 10 장관성모멘트 10 장관성모멘트 Moment of nertia 면적관성모멘트를구하는방법 To develop a method for determining the moment of inertia for an area. 최대와최소관성모멘트를구하는방법, 관성적의이해 To introduce the product of inertia and show how to determine the maimum and minimum moments of inertia for an area. 질량관성모멘트소개 To discuss the mass moment of inertia 면적관성모멘트의정의 (Definitions of Moments of nertia for reas) 10. 면적에대한평행축정리 (Parallel-is Theorem for an rea) 10. 면적의회전반지름 (Radius of Gyration of an rea) 10.4 적분에의한면적관성모멘트 (Moments of nertia for an rea by ntegration) 10.5 복합면적의관성모멘트 (Moments of nertia for Composite reas) 10.6 면적의관성적 (Product of nertia for an rea) 10.7 경사축에대한면적의관성모멘트 (Moments of nertia for an rea about nclined es) 10.8 관성모멘트의모어원 (Mohr s Circle for Moments of nertia) 10.9 질량관성모멘트 (Mass Moment of nertia ) 4

2 Because Because M = kz 보의굽힘을일으키는모멘트 M 응력 (stress, ) 개념 = 단위면적당힘 = kz z = 0일때 = 0 ( 단면도심에서변화없음 ) z > 0일때 > 0 ( 압축으로인한길이단축 ) z <0 일때 < 0( 인장으로인한신장 ) 와 M 간의관계식이분명히존재함 df = d = kz d 이힘은 y 축에서 z 만큼떨어져있으므로, y축에대한 df의모멘트는 : dm = df z = kz d 전체응력의합모멘트는가해진모멘트 M 과같음 : M = k z d ; y 축에대한관성모멘트 5 6 Therefore 면적관성모멘트또는면적의 차모멘트 (second moment of inertia) 는단면의고유특성으로굽힘과처짐에대한보의저항능력을파악하는데사용. 보의처짐은가해진하중뿐만아니라, 단면의기하학적형상 ( 도심 & 면적관성모멘트 ) 에따라결정되므로, -형보와같이높은면적관성모멘트를가진보를이용하게됨. M M 10.1 면적관성모멘트의정의 면적의 1차모멘트 면적의 차모멘트 ( 관성모멘트 ) (Geometrical moment, G) (Moment of inertia, ) = 면적 도심까지의거리 = 면적 ( 도심까지의거리 ) d = y d d y = d 7 8 축에대한면적 1 차모멘트 : G = yd = y y 축에대한면적 1 차모멘트 : G y = d = y 단위 : [L ], m, mm 축에대한면적 차모멘트 : = y축에대한면적 차모멘트 : y = 단위 : [L 4 ], m 4, mm 4 y d d (10-1)

3 면적의 차모멘트 ( 관성모멘트 ) = y = y d d (10-1) 원점축 ( 또는 z 축 ) 에대한관성모멘트 ( 극관성모멘트, Polar moment of inertia) dj O = r d J = O r d J O = ( + y ) d 10.1 면적관성모멘트의정의 축 ( 도심축 ) 에대한면적관성모멘트 = y d 축과평행한 축에대한면적관성모멘트 = (y +d y ) d = y d + y d y d + d y d = + d y y d + d y d y d = y d = 0 d = y = 0 = + d y 10. 면적에대한평행축정리 (10-) 9 J O = r d = + y (10-) J O, and y will always be positive. 10 y = y + d (10-4) J +d O = J C (10-5) 10. 면적의회전반지름 10.4 적분에의한면적관성모멘트 Radius of Gyration 구조역학에서기둥설계시사용 단위 : 길이 축에대한관성모멘트 : 필독 y축에대한관성모멘트 : y 원점축에대한관성모멘트 : J O 면적 : 11 축에동일한관성모멘트 : y 축에동일한관성모멘트 : y O 축에동일한관성모멘트 : y 동일면적 : 동일면적 : 동일면적 : y J 0 k k k k k y y k y J 0 k0 k 0 1

4 예제 10.1 예제 10. 그림에나타낸직사각형의 (a) 도심축, (b) 직사각형의밑변을통과하는 b 축, (c) -y 평면에수직이고도심 C 를통과하는 z z 축에대한관성모멘트를구하라. 엷게칠해진면적의 축에대한관성모멘트를계산하라. 1 (a) 도심축 에대한관성모멘트 = y d h/ = y b dy = bh d = bdy -h/ 1 (b) b 축에대한관성모멘트 b = + d y (c) z 축에대한관성모멘트 b = bh + bh (½h) bh = 1 J = + C y b/ y = -b/ h d = hb 1 J = bh C (h +b ) 1 14 = = y d d =(100 )dy y (100 )dy = y 0 (100 )dy = d 100 y = 0 d = mm 4 = mm 4 y d d y y = d = d + d y 100 = 0 d (d) y = + y d (½y) 1 = y (d) 예제 기본도형의관성모멘트 Eercise by yourself 교재뒷부분참조 사각형삼각형원형반원 ' bh 6 bh hb y ' ' 1 1 = y = = ' y' r 4 4 y r 8 4r y

5 10.5 복합면적의관성모멘트 복합면적 (composite area) 은반원, 직사각형, 삼각형처럼보다단순한모양의면적의조합으로이루어진것임. 하나의공통기준축에대하여각각부분의관성모멘트를알고있거나계산할수있다면, 복합면적의관성모멘트는복합체를이루는모든부분의관성모멘트를대수적으로합한것과같음. 풀이과정 : 필독 = + d y y = y + d 그림에나타나있는보단면의관성모멘트를도심축 와 y 에대해구하라. (1) 복합체의분할 () 평행축정리 예제 예제 Solution () 평행축정리 부 b h y d y d d y d y 분 (mm) (mm) (mm 4 ) (mm 4 ) (mm ) (mm) (mm) (mm 4 ) (mm 4 ) (mm 4 ) (mm 4 ) B C bh ' 1 hb y ' 1 Eercise by yourself 예제

6 10.6 면적의관성적 (Product of nertia) 10.6 면적의관성적 : 특징 = y = y d (10-1) d 면적의관성적 대칭성에대한잣대 y = y d (10-7) 어떤단면에서 축또는 y 축이대칭축일때면적의위치가바뀔때 면적의관성적 대칭성에대한잣대 보의굽힘에대한저항능력과관련 d y = y d y = y d (10-7) 단위 : mm 4, m 4 부호 : 면적의위치에따라 (+) or ( ) y = y d y d y = 면적의관성적 : 평행축정리 예제 10.7 y =? y 삼각형의관성적 y 를구하여라. y = y = y d (10-7) = +d y = y +d y ( +d ) (y +d y ) d = y d+ d y d+ d y d+ d d y d = y d+d y d+d y d+d d y d y y d = 0 d= 0 y = 0 = 0 y = y + d d y (10-8) d 와 d y 에대한대수부호유지! 4 d y = d y + d y d = y d 대치에의해 : d y = 0, =, y = ½y d y = d y + d y d = (b )( ) dy 대치에의해 : d y =0, = ½(b+), y = y d = +(yd) (½y)= h d) h y 0 + ( ( ) b b = h d b Eercise by yourself h b b h h y = d b 0 b = b h 8

7 예제 10.8 그림의보단면도심축 축과 y 축에대한관성적 (product of inertia) 을구하여라. 예제 10.8: Solution 그림의보단면도심축 축과 y 축에대한관성적 (product of inertia) 을구하여라. 부분 y (mm 4 ) d y (mm) d (mm) (mm ) y (mm 4 ) B C 5 6 구조설계시, y, y 를알고있고 10.7 경사축에대한면적의관성모멘트 만큼기울어진축 u와 v에대하여관성모멘트 u, v 와관성적 uv 를계산해야할때가있음. 좌표계간의변환식 : u = cos + y sin v = y cos sin d = i + y j d = u i + v j d = i + y j = u i + v j 좌표계간의변환식 (, y) (u, v) d = i + y j j i (i, j) (i, j ) = (cos i sin j ) + y (sin i cos j ) = u i + v j i = a i b j a = cos b = sin i = cos i sin j j = sin i cos j u = cos + y sin v = y cos sin 7 8

8 10.7 경사축에대한면적의관성모멘트 10.7 경사축에대한면적의관성모멘트 구조설계시, y, y 를알고있고 만큼기울어진축 u와 v에대하여관성모멘트 u, v 와관성적 uv 를계산해야할때가있음. 9 좌표계간의변환식 : u = cos + y sin v = y cos sin d = y d d y = d d y = yd d u = v d d v = u d d uv = uvd = (y cos sin) d = ( cos + y sin) d = ( cos + y sin)(y cos sin) d = = y d u cos + y sin y sin cos y = d v = sin + y cos + y sin cos y = y d uv = sincos y sincos y (cos sin ) ) 0 sin= sin cos cos= cos sin cos = ½ (1 + cos) sin = ½ (1 cos) = u cos + y sin y sin cos = ½ (1 + cos) + y ½ (1 cos) y sin u = + y + y cos y sin v = + y y cos+ y sin (10-9) J O = + y = u + v uv = y sin y cos u, v 와 uv 는축u와v의경사각 에따라변함 10.7 주관성모멘트 질량관성모멘트 u 와 v 가최대 / 최소가되는u, v축의방향? 주축 (Principal aes) 주관성모멘트 (Principal moment of inertia) 면적의주축방향을정하는각 : = p 에대헤식 (10-9) 의미분을통해값산정 1 u d u d = + y + y cos sin y = y sin y cos= 0 tan = y ma y y (10-10) p min y y The large flywheel in the picture is connected to engine of a locomotive. The flywheel is used to provide a uniform motion. What property of the flywheel is most important for this use? How can we determine a value for this property? Why is most of the mass of the flywheel located near the flywheel s circumference?

9 10.9 질량관성모멘트 (Mass Moment of nertia) 각가속도 (angular acceleration) 에대한물체의저항을나타내는물리량 동역학에서회전운동해석시사용 정의 : 물체를이루고있는질량의미소요소 dm의기준축에대한 차관성모멘트의적분 = r m dm (10-1) dm = dv 질량 = ( 밀도 )( 부피 ) 일반적으로, y, z) dv = d dy dz = r dv m (10-14) 14) 가상수인경우 (constant): = r m dv (10-15) 질량관성모멘트 : 풀이과정 = r m dv (10-14) = r m dv (10-15) 셀요소 Shell element 요소 : 높이 z, 반지름 y, 두께dy 체적 : dv = (y) (z) (dy) z 축에대해일정한수직거리 r = y z 계산 : 식 (10-14) 나 (10-15) 사용가능 원판요소 Disk element 요소 : 반지름 y, 두께 dz 체적 : dv = (y ) (dz) 반지름방향으로유한! z 계산 : 식 (10-14) 나 (10-15) 사용불가 예제 예제 10-1 원기둥의 z 축에대한관성모멘트를구하여라 (constant). Solution) 셀요소를이용하여단일적분으로풀이 요소 : 높이 z, 반지름 y, 두께 dy z = h r = y dy = dr 5 요소의체적 : dv = (y) (z) (dy) = (r) (h) (dr) 요소의질량 : dm = dv = (rh dr) d = r dm = r h dr = r m dv (10-15) R = h r 0 dr = ½ R 4 h 원기둥의전체질량 : m = m dm = R h 원기둥의관성모멘트 : = ½mR 물체는엷게칠해진면적을 y축에대해서회전하여형성되었다. 물체의밀도가 5Mg/m 이라면, y 축에대한관성모멘트를구하라. Solution) 원판요소를이용하여모멘트계산 요소 : 임의의점 (, y) 에서곡선과교차반지름, 두께 dy 6 요소의질량 : dm = dv = ( ) dy 요소의 y 축에대한관성모멘트 : d y = ½ dm ( 예제 10-11로부터 ) = ½[ [(( ) dy] 물체의 y축에대한관성모멘트 : = 5Mg/m & =y y dy 0 y dy 0 y = 0.87 Mgm = 87 kgm

10 10.9 질량관성모멘트 : 평행축정리 예제 물체의질량중심을통과하는축에대한관성모멘트를알고있다면, 평행한다른축에대한관성모멘트도평행축정리를시용하여구할수있다. 복합체의관성모멘트를계산할때사용 Eercise by yourself 7 = r m dm r = (d + ) + y = {(d + ) + y } dm m = ( +y )dm + d dm + d dm m m m = G + md (10-16) G = 질량중심 G를통과하는 z 축에대한관성모멘트 m = 물체의질량 d = 평행축간의수직거리 8 과제 8: 관성모멘트 연습문제 10-, 10-1: 면적관성모멘트 10-4, 10-7: 복합면적의관성모멘트 10-54, 10-67: 면적의관성적 10-90, 10-98, : 질량관성모멘트

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