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1 109 ISSN(Print) : ISSN(Online) : J Korean Soc Qual Manag Vol. 41, No. 1: , March 공정변수를갖는혼합물실험자료를활용한최적조건찾기에관한소고 임용빈 이화여자대학교자연과학대학통계학과 A Note on Finding Optimum Conditions Using Mixture Experimental Data with Process Variables Yong B. Lim Department of Statistics, Ewha Womans University Abstract Purpose: Given the several proper models for given mixture components-process variables experimental data, we propose a strategy to find the optimal condition in which the performance of the responses is well-behaved under those models. Methods: Given the mixture experimental data with process variables, first we choose the reasonable starting models among the class of admissible product models based on the model selection criteria and then, search for the candidate models that are the subset models of the starting model by the sequential variable selection method or all possible regressions procedure. Good candidate models are screened by the evaluation of model selection criteria and checking the residual plots for the validity of the model assumption. Results: We propose a strategy to find the optimal condition in which the performance of the responses is well-behaved under those good candidate models by adopting the optimization methods developed in multiple responses surface methodology. Conclusion: A strategy is proposed to find the optimal condition in which the performance of the responses is well-behaved under those proper combined models. This strategy to find the optimal condition is illustrated with the example in this paper. Key Words: Optimum Conditions for the Several Proper Combined Models, Multiple Responses Surface Methods \ Received 30 December 2012, revised 6 March 2013, accepted 7 March 2013 Corresponding c 2013, The Korean Society for Quality Management This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License ( which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. 이논문은 2010 년도정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로한국연구재단의기초연구사업지원을받아수행된것임 ( , )

2 110 J Korean Soc Qual Manag Vol. 41, No. 1: , March 서론 혼합물실험의특징은계량요인인혼합물성분들의비율의합은 1이고, 제품의품질특성과연계된반응변수는혼합물의총량에는영향을받지않고, 성분들의혼합비율만의함수로가정된다. 예를들면, 사과, 파인애플, 오렌지주스를섞어서과일주스를만드는경우에, 과일주스의맛은 3 종류의주스의혼합비율만동일하면, 과일주스를 1리터만들든지 2리터만들든지상관없이맛은동일하리라가정한다. 많은혼합물실험에서제품의품질특성은혼합물성분들의비율에따라서영향을받을뿐만아니라, 혼합물을처리하는공정의조건에따라서도달라진다. 공정변수는혼합물의성분과는관련이없는요인이지만, 수준값이달라지면혼합물의혼합성질에영향을줄수있다. Cornell(2002) 에서논의된예를들면, 생선패티혼합물이민어, 숭어, 도미를혼합하여구성되는경우에, 생선까스의맛은생선의혼합비율에따라서도영향을받지만, 생선패티혼합물의가공조건을결정하는기름에튀기는시간, 요리온도, 요리시간에따라서도영향을받는다. 혼합물-공정변수실험계획법의개요는 Cornell(2002), Myers 등 (2009) 에잘정리되어있다. 혼합물성분비와공정변수들에관한실험자료가주어진경우에, 주어진실험자료를잘설명하는적절한결합모형을찾는것은중요한과제이고, Cornell(2002) 과 Myers 등 (2009) 에서는완전모형의고차항들에대한추가설명력검토를통한간결한모형찾기와단계적회귀방법 (stepwise regression methods) 에의한간결한모형찾기를제시하였다. 이때선택된모형은항들의차수에대한위계질서가존중된모형이다. Dal Bello 등 (2011) 은후방소거법 (backward elimination) 과 AIC 기준을적용하여모든가능한회귀방법에의한최적모형찾기를제안했지만, 항들의차수에대한위계질서가존중되지않은모형이어서, pseudocomponents 와공정변수의코드화변수에의한모형과원래혼합물성분과원래공정변수에의한모형이서로동등하지않기때문에, pseudocomponents 변환을취할수가없고, 따라서회귀계수의추정에서다중공선성 (multicollinearity) 의문제가발생하게되어바람직하지않다. Lim(2012) 에서는모형선택기준에부합하는시작모형의후보들을교적모형의범주와 Lim(2011) 에서제시된실용적인모형들중에서찾는다. 다음으로선택된시작모형을완전모형으로간주하여, 모형의간결성의원칙에따라서완전모형의부분모형으로구성된적절한결합모형에대한후보모형들의묶음을구성한다. 완전모형의부분모형은축차적인변수선택법이나모든가능한회귀방법에의한변수선택법 (All possible regressions procedure) 에의해서선별되고, 적절한후보모형들의묶음에포함된다. 묶음에있는모형들의모형성능통계량의값의비교와표준화잔차그림의검토를통해서오차의정규성과등분산성을확인한후에최종적으로적절한모형을복수로추천한다. 이논문의목적은주어진실험자료에대한적절한모형으로여러개의모형이추천된경우에최적조건을찾는방법을제안하는것이다. 2절에서는혼합물성분-공정변수의시작모형인교적모형을소개하고, 시작모형의일부항들로구성된적절한결합모형찾기를위한전략으로는엔지니어들이쉽게활용할수있는축차적인모형선택방법인후방소거법과단계적회귀방법을적용한다. 3절에서는추천된여러개의모형을동시에최적화하는최적조건찾는방법을제안한다. 4절에서는잘알려진혼합물성분-공정변수실험자료에대해서 Design Expert 8.0을활용하여적절한결합모형들을찾고, 이모형들을동시에최적화하는최적조건찾기가예시된다. 2. 혼합물성분 - 공정변수결합모형 q 개성분의혼합물에있어서 를 i 번째성분의혼합비율이라고하면, 혼합비율들은다음과같은관계식을만족해

3 Lim : A note on finding optimum conditions using mixture experimental data with process variables 111 야하기에, (1) 혼합물실험의실험공간은 (q-1) 차원심플렉스공간이된다. 혼합물실험공간에서의모형은혼합비율들의합이 1이라는식 (1) 의제약조건때문에상수항과순수 2차항들을포함하지않는 Scheffe 의정준다항식을가정하고, 곡선효과를반영하는가장간단한모형인 2차모형은 (2) 이고 3 차모형은 (3) 이다. 공정변수들을갖는혼합물실험에서는 q 개의혼합물성분을갖는혼합물실험이 p개의공정변수를갖는공정조건에서수행된다. 코드화된공정변수의실험공간은 을포함하는 p차원의하이퍼큐브 (hyper-cube) 이고, 공정변수만의모형은가장간단한선형효과만을가정한경우에는일차항 를포함하고 (L로표 시 ), 교호작용들이존재하는경우에는 항들을추가로포함하고 (2FI 로표시 ), 공정변수들의곡선효과를모형에 반영하는경우에는순수이차항인 들을추가로포함한다 (Q로표시 ). 이제 q 개의혼합물성분과 p개의공정변수를갖는혼합물성분-공정변수실험에대한결합모형 (combined model) 을생각해보자. 일반적으로혼합물성분-공정변수실험에서주된관심사는혼합물성분비율들이반응변수에미치는영향이기에, 결합모형에서혼합물에대한모형으로는혼합물성분비율들의곡선효과를반영한 2차모형, 3개의성분들간의교호작용효과인 를포함하는특별3차모형혹은 3차모형을가정한다. 혼합물성분-공정변수실험자료의분석을위한시작모형으로혼합물모형과공정변수모형의교적모형 (product model) 을고려한다. 예를들면, 혼합물모형으로 2차모형을가정하고, 공정변수모형으로일차모형을가정한경우에교적모형은다음과같이주어진다. (4) 주어진실험자료를잘설명하는적절한결합모형들을결정하기위해서, Lim(2012) 에서제시한바와같이우선분석을위한시작모형인완전모형을효율적으로결정하고, 모형의간단성의원칙에따라서, 추가설명력이떨어지는불필요한항들을완전모형에서제거하기위한전략으로는엔지니어들이쉽게활용할수있는축차적인방법인후방소거법과단계적회귀방법을적용한다. 얻어진부분모형을토대로항들에대한위계질서가존중되면서고차의항들에대한추가설명력을갖는부분모형을구하여후보모형들의묶음에포함시킨다. 묶음에있는후보모형들중에서,, press 잔차들의절대값의합과표준화잔차그림의검토를통해서여러개의적절한모형들을추천한다.

4 112 J Korean Soc Qual Manag Vol. 41, No. 1: , March 여러개의모형에대한동시최적화 혼합물-공정변수실험자료의분석에서여러개의결합모형이추천된경우에엔지니어들의실용적인관심사는각각의결합모형에대한반응변수의기대값의예측치와예측치의표준편차의추정치를동시에최적으로하는최적조건의찾기이다. 이를위한실용적인방법으로반응변수가여러개인다중반응표면분석에서동시최적화에의한최적조건찾기기법의활용을제안한다. 이를실현시키기위해서우리는각각의추천모형에대한반응변수의예측치를새로운반응변수에대한예측치로간주한다. 예를들면 3개의결합모형이추천된경우에, 3개의반응변수에대한예측치인 는각각의추천된결합모형의예측치이다. 이경우에동시최적화를생각해보자. (1) 각각의추천된모형에대한선호도가동일한경우 각예측치 와예측치의표준편차의추정치인 의요망성 (desirability) 인 의기하평균을최대로하는조건을찾을수있다. 최적조건근처의혼합물성분과공정변수들의바람직한공간에대한정보를얻기위해서각예측치와표준편차의추정치에대한등고선그림을겹쳐서그리는동시등고선그림 (Overlay contour plots) 을활용할수도있다. (2) 특정모형인 에대한선호도만높은경우 다중반응표면분석에서제한된최적화문제 (constrained optimization problem) 에대한해법으로접근한다. 반응변수가수율, 인장강도등과같이클수록좋은망대특성인경우에는선호도가보통인모형에대한예측치들인 와예측치의표준편차의추정치인 가적당한값을유지하고있는혼합물성분과공정변수들의공간에서선호도가높은모형인 를크게하면서동시에 를작게하는최적조건을찾기위해서각각의요망성인 과 의기하평균을최대로하는조건을찾는다. 4. 사례분석 Dal Bello 등 (2011) 에서소개된로켓엔진의점화를늦추는연동장치의서브시스템에관한 3개의혼합물성분과 2개의범주형공정변수를갖는혼합물공정변수실험자료를분석한다. 반응변수는연소시간으로목표치가 8초인망목특성이다. 3개의혼합물성분은 Zarfesil( ), ground glass( ) 와 Nitrocellulose( ) 이고, 혼합비율에대한다음의제약조건을갖는다 :. 연동장치의설계와관련된 2개의범주형변수인 는 -1과 1로표시된 2개의범주를갖는다. 혼합물 3차모형과공정변수들의주효과와교호작용효과를포함하는 2FI 모형의교적모형을가정하여실험의크기인 N=39 에대한 D-최적설계를 Design Expert 7 소프트웨어를활용하여생성하고, 실험을실시하여얻은자료가 Dal Bello 등 (2011) 에코드화변수값으로주어지는데, 원래변수로표현된자료가 < 표 1> 에주어진다. 이실험자료에대해서교적모형들을올림차순으로축차적으로실행하여얻은적합결과요약표로부터혼합물차수와공정변수차수에대한 값이가장큰교적모형은혼합물 3차와공정변수에대한주효과와 2요인교호작용효과를포함하는공정변수 2FI인교적모형이고, 혼합물차수와공정변수차수에대한축차적인 p-값이모두 0.1 이하인차수는혼합물특별 3차모형과공정변수들의주효과모형의교적모형이다. 혼합물 3차 & 공정변수 2FI인교적모형을시작모형으로가정하여축차적인변수선택

5 Lim : A note on finding optimum conditions using mixture experimental data with process variables 113 Table 1. D-optimal delay compound experiment Run Time(s)

6 114 J Korean Soc Qual Manag Vol. 41, No. 1: , March 2013 방법에의한후보모형을결정해보자. 항들의제거와삽입을위한유의수준값을 0.1로하여 Stepwise 방법을실행하고, 위계질서를존중하여고차의교호작용효과와관련이있는저차의항들을추가시키고, 고차의교호작용항의추가설명력을검토하여축차적으로고차의항들이유의할때까지후방소거법을적용하여결정된최종모형은 cand1 이다. cand1 모형에서혼합물성분들의일차항인 외에추가적으로선별된항들은 이다. 항들의제거를위한유의수준값인 값을 0.1로하여후방소거방법을실행하고, 얻어진모형에모형의위계질서를존중하여고차의교호작용효과와관련이있는저차의항들을추가시킨후에, 고차항들의추가설명력을검토하여축차적으로고차의항들이유의할때까지후방소거법을적용하여결정된최종모형은 cand2 이다. cand2 모형에서고차항인 의 p-값이 이지만, 추가설명력의가능성을고려하여모형에선택한다. cand2 모형에서추가적으로선별된항들은 이다. cand2 모형보다간결한모형을얻기위해서 p- 값이 인고차항 를모형에서제거하고, 유의수준값인 값을 0.10 로하여유사하게후방소거방법을실행하여얻은모형을 cand3 라하자. cand3 모형에서추가적으로선별된항들은 이다. 이제시작모형인혼합물 3차 & 공정변수 2FI인교적모형을완전모형으로간주하고, 모든가능한회귀방법에의한최적모형을구해보자. 먼저 Mallow 의, 수정된결정계수인, AIC 기준을적용하여최적모형을구한다. 다음으로모형의위계질서를존중하기위해서구해진최적모형에고차의교호작용효과와관련이있는저차의항들을추가시킨후에, 고차항들의추가설명력을검토하여축차적으로고차의항들이유의할때까지후방소거법을적용하여결정된최종모형은세기준에관계없이모두동일하고, 그모형은 Stepwise 방법에의한최종모형인 cand1 모형과일치한다. 시작모형이혼합물특별 3차모형과공정변수주효과모형의교적모형인경우에, 이모형을완전모형으로가정하여항들의제거를위한유의수준값인 값을 0.10로하여유사하게후방소거방법을실행하여얻은모형을 cand4 모형이라하자. 이모형은모든가능한회귀방법에 Mallow 의 와 AIC 기준을적용하여구한최적모형과일치하는데, 모형의간결성, 와 기준에서 cand3 모형보다열등하다. Stepwise 방법을적용하여구한모형도 와 기준에서 cand3 모형보다열등하기에, 적절한모형으로 cand1, cand2 와 cand3 모형을추천한다. 추천된 3개의모형인 can1, cand2,cand3 모형에대해서 3절에서소개된동시최적화를실험계획법전문소프트웨어인 Design Expert 8.0 을통해서구현시키기위해서각각의모형에대한반응변수인연소시간을 Time1, Time2, Time3 로정의한다. 각각의실험점에서의반응변수들의값은연소시간으로동일하다. cand1 모형을구현시키기위해서 Design Expert 화면의왼쪽창에서 Analysis 단계의 Time1 반응변수를선택한다. 오른쪽창의 f(x) model 버튼을클릭하고, Mix order 칸에 cubic을, Process order 칸에 2FI 를입력하고, Selection 칸에 Stepwise 를입력한다. ANOVA 버튼을클릭하고, 모형의위계질서존중에대한물음에 Yes를선택하고, Stepwise 방법에의한선별된항들을확인한다. 이모형이 cand1 모형이다. cand2 모형을구현시키기위해서 Design Expert 화면의왼쪽창에서 Analysis 단계의 Time2 반응변수를선택한다. 오른쪽창의 f(x) model 버튼을클릭하고, Mix order 칸에 cubic을, Process order 칸에 2FI 를입력하고, Selection 칸에 Backward를입력한다. ANOVA 버튼을클릭하여, 후방소거방법에의한선별된항들을확인한다. 고차항인 에대한 p-값이 이기에 f(x) Model 버튼을클릭하고, 모형에서제거한후에, 후방소거법을실행한결과를 ANOVA 버튼을클릭하여확인한다. 고차항인 의 p-값이 이지만, 추가설명력의가능성을고려하여모형에선택한다. 이모형이 cand2 모형이다. cand3 모형을구현시키기위해서, Time3 반응변수를선택하고, cand2 모형을얻을때와동일한절차를반복한후

7 Lim : A note on finding optimum conditions using mixture experimental data with process variables 115 에, f(x) Model 버튼을클릭하고, p-값이 0.1보다큰고차항 를모형에서제거한후에, ANOVA 버튼을클릭하여, 후방소거방법에의한선별된항들을확인한다. 이모형이 cand3 모형이다. (1) cand1, cand2 & cand3 모형에대한동시최적화추천된 3개의모형에대한동시최적화를실행하기위해서우선 3개의추천된모형에대한선호도가동일한경우를가정한다. Design Expert 화면의왼쪽창에서 Optimization 가지의 Numerical 을선택한다. 오른쪽창의 Criteria 버튼을클릭하고, 혼합물성분과공정변수들에대한 Goal 칸의값을 in range 로선택한다. 각각의추천된모형에대응되는반응변수인 Time1, Time2, Time3의 Goal 칸의값을 target -> 8, Lower Limits 칸에 7.9와 Upper Limits 칸에 8.1을입력하여각반응면수에대한요망성의값이목표치인 8에서 1, 하한값인 7.9와상한값인 8.1을벗어나면 0, 그사이값에서는선형함수로결정한다. 각각의모형에서의예측치의표준편차의추정치인 StdErr(Time1), StdErr(Time2) 와 StdErr(Time3) 의 Goal 칸의값을 Minimize 로선택한다. 다음버튼인 Solutions 버튼을클릭하면 < 표 2> 와같은출력결과를얻고, 동시최적화에의한최적조건과예측치들의값은다음과같다. Time Time Time StdErr(Time1)=.418, StdErr(Time2)=.379, StdErr(Time3)=.322 Table 2. Output for the solution of the simultaneous optimization of 3 recommended models Constraints Lower Upper Lower Upper Name Goal Limit Limit Weight Weight A:x1 is in range B:x2 is in range C:x3 is in range D:z1 is in range E:z2 is in range Time1 is target = StdErr(Time1) minimize Time2 is target = StdErr(Time2) minimize Time3 is target = StdErr(Time3) minimize Solution Number x1 x2 x3 z1 z

8 116 J Korean Soc Qual Manag Vol. 41, No. 1: , March 2013 최적조건근처의혼합물성분과공정변수들의바람직한공간에대한정보를얻기위해서각예측치가 7.8과 8.2사이, 예측치의표준편차가 0.5이내인혼합물공간을그린결과가 < 그림 1> 에주어지는데, 대략적으로바람직한공간의중앙에최적조건이위치함을확인할수있다. 이를 Design Expert 8.0에서구현시키기위해서 Design Expert 화면의왼쪽창에 Optimization 가지의 Graphical 을선택한다. 오른쪽창의 Criteria 버튼을클릭하고, Time1, Time2, Time3의 Lower Limits 칸에 7.8와 Upper Limits 칸에 8.2를입력하고, StdErr(Time1), StdErr(Time2) 와 StdErr(Time3) 의 Upper Limits 칸에 0.5를입력하고, Graphs 버튼을클릭하면각모형에대한예측치와표준편차의추정치에대한동시등고선그림인 < 그림 1> 을얻는다. Figure 1. Feasible region around the optimal condition (2) 가장간결한모형인 cand3 모형에대한선호도가높은경우의최적화 Design Expert 화면의왼쪽창에서 Optimization 가지의 Numerical 을선택한다. 오른쪽창의 Criteria 버튼을클릭하고, 혼합물성분과공정변수들에대한 Goal 칸의값을 in range 로선택한다. cand3 모형에대응되는반응변수인 Time3의 Goal 칸의값을 targe t-> 8, Lower Limits 칸에 7.9와 Upper Limits 칸에 8.1을입력하고, 예측치의표준편차의추정치인 StdErr(Time3) Goal 칸의값을 Minimize로선택한다. Time2 와 Time3의 Goal 칸의값을 in range로선택하고, Lower Limits 칸에 7.8과 Upper Limits 칸에 8.2를입력하여예측치가 7.8과 8.2 사이에서는각각의요망성의값이 1이되도록한다. 각각의표준편차의추정치인 StdErr(Time1) 과 StdErr(Time2) 의 Goal 칸의값도 in range 로선택한다. 다음버튼인 Solutions 버튼을클릭하면 cand2 와 cand3 모형에서는예측치와예측치의표준편차의추정치에대한최소한의조건을만족하면서 cand3 모형에대한예측치를목표치인 8.0에근접시키면서동시에예측치의표준편차를최소로하는최적조건과예측치의값들을구할수있는데, 이값은다음과같다. Time Time Time StdErr(Time1)=.406, StdErr(Time2)=.375, StdErr(Time3)=.317

9 Lim : A note on finding optimum conditions using mixture experimental data with process variables 117 두경우의최적조건들을비교하면, 공정변수들의조건은동일하고, 혼합물성분비율도소수점이하두자리에서반올림하면동일할정도로유사하지만, cand3 모형에대한선호도가높은경우의최적조건에서는 cand1 모형의예측치가 7.8로 < 그림 1> 에주어진바람직한혼합물성분공간의경계에위치하지만, 세개의모형에대한동시최적화에의한최적조건은대략적으로중앙에위치하고있어서, 이조건이안정적임을확인할수있다. 5. 요약 혼합물성분비와공정변수들에관한실험자료가주어진경우에, 주어진실험자료를잘설명하는적절한결합모형을찾는것은중요한과제이다. 우선모형선택기준에부합하는시작모형의후보들을교적모형의범주에서찾고, 다음으로선택된시작모형을완전모형으로간주하여, 모형의간결성의원칙에따라서완전모형의부분모형으로구성된적절한결합모형들을찾는데, 일반적으로여러개의결합모형들이추천된다. 주어진실험자료에대한적절한모형으로여러개의모형이추천된경우에, 엔지니어들의실용적인관심사는각각의결합모형에대한반응변수의기대값의예측치와예측치의표준편차의추정치를동시에최적으로하는최적조건의찾기이다. 이를위한실용적인방법으로반응변수가여러개인다중반응표면분석에서동시최적화기법을활용한최적조건을찾는방법을제안하고, 잘알려진혼합물성분-공정변수실험자료에대해서 Design Expert 8.0을활용하여적절한결합모형들을찾고, 이모형들을동시에최적화하는최적조건찾기가예시된다. REFERENCES Cornell, John A Experiments with Mixtures. 3rd ed. New York: Wiley. Dal Bello, L. H. A., and Vieira, A. F. C Optimization of a product performance using mixture experiments including process variables. Journal of Applied Statistics 38: Lim, Yong Bin Practical designs for the mixture component-process experiments. Journal of the Korean Society for Quality Management 39: Lim, Yong Bin Analysis of mixture experimental data with process variables. Journal of the Korean Society for Quality Management 40: Myers, Raymond H., and Montgomery, Douglas C Response Surface Methodology. 3rd ed. New York: Wiley. Næs, Tormod, Færgestad, Ellen Mosleth, and Cornell, John A A comparison of methods for analyzing data from a three component mixture experiment in the presence of variation created by two process variables. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 41:

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