이학석사학위논문 ASA 등급과폐사율의관계에대한 베이지안분석 2013 년 8 월 서울대학교대학원통계학과김승욱

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태화 구
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2 이학석사학위논문 ASA 등급과폐사율의관계에대한 베이지안분석 2013 년 8 월 서울대학교대학원통계학과김승욱

3 ASA 등급과폐사율의관계에대한 베이지안분석 지도교수이재용 이논문을이학석사학위논문으로제출함 2013 년 8 월 서울대학교대학원통계학과김승욱 김승욱의이학석사학위논문을인준함 2013 년 8 월 위원장 조신섭 ( 인 ) 부위원장 이재용 ( 인 ) 위 원 박태성 ( 인 )

4 국문초록 이논문에서는서울대학교수의과대학교병원에서수술받은개환자의 ASA 등급별폐사율을추정하기위해베이즈모형을이용하였고, 이를 AVA 에서제시한폐사율수치와비교하였다. 또한베이즈로짓모형과베이지안모형평균법 (Bayesain Model Averaging) 을활용하여 ASA등급외에폐사율에영향을주는변수를추정하였다. ASA 등급별폐사율추정을할때무정보적사전분포를주기위해 Jeffreys prior를사용하였다. 베이즈로짓모형에서는각계수에적절한사전분포를주어사후분포를계산하였고, 그표본을추출하는데 마코프연쇄몬테칼로 (MCMC : Markov Chain Monte Carlo) 알고리즘을활용하였다. 베이지안모형평균법에서는가능한모든모형에무정보적사전분포로균일분포를주어계산하였다. 주요어 : 베이지안모형평균법, ASA 등급, 무정보적사전분포. 학번 : i

5 차례 제 1 장 Introduction 1 제 2 장 자료설명 3 제 3 장 폐사율추정모형 6 제 1 절 Bayesian Inference 제 2 절 Jeffreys beta prior 제 3 절 폐사율추정 제 4 장 베이즈로짓모형을통한분석 9 제 1 절 베이즈로짓모형 제 2 절 자료적합 제 3 절 사후분포의계산 제 4 절 분석결과 제 5 장 베이지안모형평균법을통한분석 16 제 1 절 베이지안모형평균법의과정 제 2 절 Occam s window method & Occam s razor 제 3 절 분석결과 ii

6 제 6 장결론 25 Bibliography 35 Abstract 37 iii

7 표차례 2.1 breed classification estimation value & confidence interval : model (4.2) estimation value & confidence interval (ASA=1,2) estimation value & confidence interval (ASA=3 5) Bayesian model selection & averaging Bayesian model selection & averaging (ASA=1,2) Bayesian model selection & averaging (ASA=3 5) iv

8 그림차례 5.1 BMA plot BMA plot (ASA=1,2) BMA plot (ASA=1 3) scatter plot: death*age & death*time Density plot : model(4.2) Autocorrelation plot : model(4.2) Timesiries plot : model(4.2) Density plot : model(4.3), ASA=1, Autocorrelation plot : model(4.3), ASA=1, Timesiries plot : model(4.3), ASA=1, Density plot : model(4.3), ASA= Autocorrelation plot : model(4.3), ASA= Timesiries plot : model(4.3), ASA= v

9 제 1 장 Introduction 2013년 1월 1일부터반려견을키우는사람은시 군 구청에등록하도록하는동물등록제가전국적으로확대시행되었다. 이는현대사회에서핵가족이보편화됨에따라반려견을키우는가정이크게증가하였고이로인해그동안소홀했던반려견에대한사회적인관심역시증대되었음을보여준다. 이러한변화로인해동물병원의환자 ( 반려견 ) 의수와수술량은증가하게되었고, 의사가보호자에게수술의위험성에대해서고지하는것이더중요하게되었다. 환자의상태를측정하여보호자에게고지하는여러척도중 ASA등급 이있다. ASA 등급이란 American Society of Anesthesiologists (ASA) Physical Status Classification System 으로환자를물리적인상태에따라분류하는체계이다. ASA등급은크게 5가지로나뉘는데 1등급은정상적인건강한환자, 2 등급은가벼운전신질환이있는환자, 3등급은심각한전신질환이있는환자, 4등급은삶에지속적인위협이되는심각한전신질환이있는환자, 마지막으로 5등급은수술없이는생존가능성이없는환자이다. 이와별개로응급환자는 6등급으로취급한다. 이 ASA등급의가장큰특징은판단하는의사에따라조금씩다른판단을할수있는주관적인등급이라는것이다. 또한시간과비용측면에서이점이있지만환자의나이 비만정도와같은일반적인건강상태에 1

10 대한정보를포함하지않는다는단점이있다. 따라서의사의주관적인판단에더불어환자의일반적인건강상태를고려한다면보호자에게더나은정보를제공할수있을것이다. 이논문에서는서울대학교동물병원의 개 환자에대한자료를이용하여 ASA 등급에따른폐사율을추정하고, ASA등급이외에환자의일반적인건강상태를나타내는변수중폐사율에영향을미치는변수를찾기위해베이지안분석을시행하였다. 2장에서는자료의변수들에대해살펴보았으며, 3장에서는 ASA 등급에따른폐사율을베이즈모형을이용하여추정하는방법에대해서술하였다. 또한 4장에서는자료에베이즈로짓모형을이용하여분석하고그결과를담았고 5장에는베이지안모형평균법을적용하는과정에대해알아보고결과를나타내었다. 마지막으로 6장에서결과에대한해석을하고두가지방법을비교하였다. 2

11 제 2 장 자료설명 논문에서사용한자료는 2009년 7월부터 2012년 6월까지서울대학교동물병원에서수술을받은 개 환자에대한 1180개의자료이다. 자료에는환자의폐사여부, ASA등급과더불어나이, 품종, 몸무게등일반적인건강상태와수술시사용한약품들을나타낸변수들이포함되어있다. 수술에사용한마취제, 진정제, 튜브의굵기등과같이환자의상태나수술시마취위험도와무관한변수들을제외한후 13개의변수를이용하여분석을진행하였다. 자료의적합에앞서사용된변수들에대해간단하게설명하도록하겠다. 먼저폐사여부는수술중폐사, 수술후일정시간내폐사, 안락사를포함하여이진형자료로나타내었고, 위에서언급한 ASA 등급은 1 5등급외에응급환자를나타내는 6등급까지사용하였다. 환자의일반적인상태를나타내는변수들 7개를보면, 성별의경우중성화여부에따라수컷, 암컷, 중성화수술을한수컷, 중성화수술을한암컷 4개로구분하였다. 품종은그종류가매우다양하지만턱이짧을수록마취의위험도가증가한다고알려져있어턱의길이에따라단두개종, 중두개종, 장두개종으로구분하였고, 잡종의경우따로분류하였다. 턱의길이에따른분류방법은다음의표 2.1 에제시하였다. 환자의몸무게의경우, 같은무게여도품종과크기에따라비만도가다르기때문에이를 3

12 고려하여 9개의범주로나눈 BCS (Body Condition Score) 등급을사용하였고나이는개월수로나타내었다. CBC (Complete Blood Cell count), 전해질수치 (Na, K, Cl) 및 Serum test결과는이상유무로구분하였다. 마지막으로수술시마취에영향을미치는변수들로마취방법은호흡마취, 주사마취, TIVA (Total intravenous Anaesthesia) 로구분하였다. 마취에큰영향을미친다고알려진 NMB ( 신경근이완제 ) 는사용유무에따라구분하였고마지막으로수술시간을 분 단위로나타내었다. 4

13 Brachycephalic ( 단두개종 ) 표 2.1: breed classification 품종 pekinese, shih-tzu, pug, french bulldog, manchester terrier, chow chow, lhasa apso Mesaticephalic ( 중두개종 ) cocker spaniel, maltese, minipin, poodle, Dolichocephalic ( 장두개종 ) schnauzer, yorkshire terrier, chihuahua, pomeranian, jindo, beagle, bichon frise, jack russell terrier, pitbull terrier, white terrier, papillon, rottweiler, spitz, 삽살개, 풍산개, affen pinscher, boston terrier, cavalier king charles spaniel, english sheepdog, old english sheep dog, scottish terrier, sharpie, 버니즈마운틴, shiba inu daschasund, golden retriever, german shepherd, labrador retriever, afghan hound, alaskan malamute, greyhound, border collie, collie, fox terrier, mallinois, retriever, basset hound, great pyrenees, golden*labrado, irish setter, shetland sheepdog 5

14 제 3 장 폐사율추정모형 제 1 절 Bayesian Inference AVA (Association of Veterinary Anaesthetists) 에서는 개 환자의경우 1 2 등급의폐사율은 0.05%, 3 5 등급의폐사율은 1.33% 로제시하고있다. 이를주어진자료와비교해보기위해 1 2 등급과 3 5 등급으로나누어폐사율을추정하였다. 1 2 등급환자의수는 512마리이고그중 2마리가폐사하였으며, 3 5 등급환자의수는 664마리이고그중 7마리가폐사하였다. 폐사율의추정을위해베이지안모형을적용하였다. 1 2 등급의폐사여부를 y 1i (i = 1,..., 512), 3 5 등급의폐사여부를 y 2j (j = 1,..., 664) 로표현할때적합할모형과그사전분포는다음과같다. y 1i θ 1 y 2j θ 2 indep Ber(θ 1 ), (i = 1,..., 512) (3.1) indep Ber(θ 2 ), (j = 1,..., 664) (3.2) θ 1 Beta( 1 2, 1 2 ) (3.3) θ 2 Beta( 1 2, 1 2 ) (3.4) 베르누이분포의공액사전분포인 Beta 분포 (Beta(α, β)) 에서 α = 1 2, β = 1 2 6

15 를줌으로써무정보적사전분포로만들어주었다. 이를이용하여 θ 1, θ 2 의사 후분포는다음의과정을통해구할수있다. 먼저 y 1i θ 1 Ber(θ 1 ) 이므로 y 1 θ 1 = n 1 i=1 y 1i Bin(n 1, θ 1 ) 이다. 여기에위 에서언급한 θ 1 의분포로 π(θ 1 ) θ (1 θ 1 ) 1 2 를적용한후 Bayes Theorem 을통해구한 θ 1 의사후분포는다음과같고, 동일한방법으로 θ 2 의사후분포를 구할수있다. p(θ 1 y 1 ) θ y (1 θ 1 ) n 1 y (3.5) p(θ 2 y 2 ) θ y (1 θ 2 ) n 2 y (3.6) 제 2 절 Jeffreys beta prior Harold Jeffreys는무정보적사전분포로 Fisher의정보행렬의행렬식의제곱근에비례하는분포를줄것을제안했다. Jeffreys prior는매개변수화하여도불변하는성질을가져두루쓰이는사전분포이다. 베르누이분포의 Jeffreys prior를구하는과정은다음과같다. x Ber(θ) f(θ x) = θ x (1 θ) 1 x, (x = 0, 1) (3.7) lnf(θ x) = xlnθ + (1 x)ln(1 θ) (3.8) 7

16 I(θ) = E[( d dθ ln(f(θ x)))2 ], (3.9) (I(θ) : F isher s information matrix) I(θ) = E[( d 2 dθ ln(f(θ x))) ] = E[( x θ 1 x 2 1 θ ) ] = θ 1 (1 θ) 0 ( 1 θ θ ) + θ 0 (1 θ) 1 ( 0 θ θ ) = 1 θ(1 θ) (3.10) p(θ) 1 θ(1 θ) (3.11) 위에서구한 1 는 Beta( 1, 1 ) 의분포와비례한다 θ(1 θ) 2 2. 따라서베르누이분 포의무정보적사전분포로 Beta( 1 2, 1 2 ) 를사용한다. 제 3 절 폐사율추정 위에서구한폐사율의사후분포에서표본추출을 WinBugs를이용하여시행했다. 100만번의반복추출을하여처음 40만개의표본을버리고, 200개의표본에서 1개씩표본을솎아내어 (thining) 총 3000개의표본을얻었다. θ 1, θ 2 의추정값으로는 3000개표본의평균값을택하였다. 추정된등급별폐사율과 95% 신뢰구간은 ASA가 1 2 등급인경우 % ( %, 1.245%) 이고, 3 5 등급인경우 1.124% (0.4663%, 2.066%) 이다. 8

17 제 4 장 베이즈로짓모형을통한분석 제 1 절 베이즈로짓모형 로짓모형은반응변수가범주형인자료에사용되는모형으로반응변수의성공확률을추정하고자할때주로쓰인다. 로짓모형에서중요한개념중에하나는오즈 (odds) 이다. 오즈란사건이발생하지않을확률대비사건이발생할확률을나타내며로짓모형은주로이오즈에대한해석으로이루어진다. 위의내용을다음의간단한모형으로나타내볼수있다. 반응변수 y는 0,1 의값을갖는이진형변수로환자가폐사했을경우 y i = 1, 그렇지않은경우 y i = 0 으로나타낼수있고이때 y i 는 Ber(θ) 를따른다. 여기에정준연결함수로로짓함수를사용하여설명변수 x와의관계를다음과같이나타낼수있다. θ log( ) = logit(θ) = α + βx (4.1) 1 θ 즉, x가 1단위증가할때 θ 의오즈가 e β 배가된다고해석할수있다. 9

18 제 2 절 자료적합 이를자료에적용해보면, 폐사여부를반응변수로하고나이, 성별, 품종등을설명변수로하는로짓모형을세울수있다. 설명변수들은총 12개로 x 1 = 성별, x 2 = 품종, x 3 = BCS, x 4 = 나이, x 5 = CBC, x 6 = Na, x 7 = K, x 8 = Cl, x 9 = Serumtest, x 9 = ASA, x 10 = 마취방법, x 11 = NMB 사용여부, x 12 = 마취시간이다. 주어진자료의분석에서성별, 품종, 마취방법의경우범주가 3 개이상의명목형변수로가변수를만들어사용하였다. 이자료에대해두개의모형을생각해볼수있다. logit(θ) = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 + β 5 x 5 + β 6 x 6 + β 7 x 7 +β 8 x 8 + β 9 x 9 + β 10 x 10 + β 11 x 11 + β 12 x 12 + β 13 x 13 (4.2) logit(θ x 9 = k) = α + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 3 + β 4x 4 + β 5x 5 + β 6x 6 + β 7x 7 +β 8x 8 + β 10x 10 + β 11x 11 + β 12x 12 + β 13x 13 (k = 1,, 5) (4.3) (4.2) 모델은 ASA등급을설명변수로고려하여다른변수들이고정되어있을때 ASA등급의차이가폐사율에미치는영향에대해알아볼수있고, (4.3) 모델의경우, ASA등급이주어졌을때어떤변수가폐사율에영향을미치는지찾아볼수있다. 위와같은일반적인로짓모형에서 β 에사전분포를주고 β 값의사후분포를구하여추정하는베이즈로짓모형을적용하였다. β 의사전분포로는정규분포를주었고분산은크게함으로써무정보적사전분포임을나타내었다. 10

19 제 3 절 사후분포의계산 위의정보들을종합하여 β 의사후분포를계산하면다음과같다. 먼저모델에대한식은다음과같다. logit(θ(x)) = α + β 1 x 1 + β 2 x β 13 x 13 (4.4) θ(x) = e α+β 1x 1 +β 2 x 2 + +β 13 x e α+β 1x 1 +β 2 x 2 + +β 13 x 13 (4.5) 이렇게구한 θ(x) 로우도함수를나타내면, n f(θ x) θ(x i ) y i (1 θ(x i )) (1 y i) i=1 n ( e α+β y 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i13 ) i ( e α+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i13 ) (1 yi) 1 + e α+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i e α+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i13 i=1 위의식을얻을수있다. 이식과 β j 의사전분포를이용하여사후분포를구하 면, 사전분포 (prior distribution) 는 β j N(µ j, σ 2 j ) j = 1, 2,..., p (4.7) 사후분포 (posterior distribution) 는 n e α+β y 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i i13 [( 1 + e α+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i13 ) (1 eα+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i e α+β 1x i1 +β 2 x i2 + +β 13 x i13 ) i=1 와같은형태로계산된다. p j=1 (1 y i ) 1 2πσj exp{ 1 2 (β j µ j σ j ) 2 } ] (4.8) 이렇게구한 β 의사후분포를이용하여, 마코프연쇄몬테칼로방법을사용하 여표본을추출하여 β 의값을추정하였다. 11 (4.6)

20 제 4 절 분석결과 3장에서의폐사율추정과동일한방법으로 3000개의표본을얻고 β j 의추정값으로평균값을택하였다. 모형 (4.2) 에서구한 β 의추정값과 95% 신뢰구간은다음표 4.1과같다. 마취방법과품종, 성별은더미변수를사용하였다. 표에서 b.anest2 가의미하는것은다른요인들이고정되었을때, TIVA 에비해주사마취가폐사율에얼마나영향을미치는지, b.anest3는 TIVA 에비해호흡마취가폐사율에얼마나영향을미치는지를나타낸다. 마찬가지로품종의경우단두개종과비교했을때중두개종, 장두개종, 잡종이폐사율에미치는영향을각각 b.breed2, b.breed3, b.breed4로알수있고, 성별은암컷을기준으로중성화한암컷, 수컷, 중성화한수컷이폐사율에미치는영향을각각 b.sex2, b.sex3, b.sex4를통해알수있다. 표에서폐사율에영향을미치는변수는 b.asa와 b.cbc, b.age 와 b.breed3 ( 장두개종 ) 임을알수있다. 그중양수의값을갖는 β 는 b.asa와 b.cbc 로 ASA등급이한단위증가할때폐사할 odds가 e 배증가하고, CBC test 의결과가정상이아닐때 e 배증가함을알수있다. 반대로음수의값을갖는 b.age, b.breed3는나이가한달많아질수록 e 배, 단두개종에비해장두개종이 e 배로감소함을알수있다. 모형 (4.3) 의경우 3장의폐사율추정과의통일성을유지하기위해 ASA 등급이 1,2 인경우와 3 5인경우를각각합하여 β 를추정하였다. 추정된 β 의값과 95% 신뢰구간은다음표 4.2, 표 4.3 와같다. 모형 (4.2) 의결과와는약간다른결과를얻을수있는데, ASA등급이 1, 2 등급으로주어진경우환자의나이와수술시간이폐사율에유의한영향을미치는변수로나타남을알수있다. ASA등급이 3 5등급으로주어진경우 CBC, 나이, 장두개종, 성별 ( 남성 ) 이폐사율에영향을미치는변수인것으로나타났다. 12

21 표 4.1: estimation value & confidence interval : model (4.2) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% alpha b.asa b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time E b.age E b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

22 표 4.2: estimation value & confidence interval (ASA=1,2) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% alpha b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time b.age b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

23 표 4.3: estimation value & confidence interval (ASA=3 5) node mean sd MC error 2.5% median 97.5% alpha b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time E b.age E b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

24 제 5 장 베이지안모형평균법을통한분석 제 1 절 베이지안모형평균법의과정 베이지안모형평균법 (Bayesian Model Averaging) 은기존의통계분석에서 모형의불확실성을무시해왔다는점에착안하여모형의불확실성까지고려한 통계분석방법이다. 이방법은크게모형에관한추론, 조건부매개변수에관한 추론, 모형평균의세단계로이루어진다. 첫번째단계에서는가능한모든모 형에사전확률을주고자료를이용하여모형의사후분포를구하는단계이다. 두번째는모형이주어졌을때매개변수값들을구하는과정이며마지막으로 모형평균은각단계에서구한값들로가중평균을내어매개변수를추론하는 과정이다. 이를수식으로표현하면다음과같다. D 와 M 은각각자료와모형 을나타낸다. p(m D) = p(d M)p(M) p(d) p(θ D, M) = p(d θ)p(θ M) p(d M) p(θ D) = M (5.1) (5.2) p(θ D, M)p(M D) (5.3) 16

25 제 2 절 Occam s window method & Occam s razor 마지막단계인모형평균에서발생하는가장큰문제점은자료의변수가증 가함에따라고려해야할모형의개수가기하학적으로증가한다는점이다. 즉 변수의개수가 p 개일떄고려해야할모형의개수는 2 p 개가되는데이는실제 분석에서시간이많이소요된다는단점이있다. 이를해결하기위해제시된 방법이 Occam s window method 와 Occam s razor 이다. Occam s window method 는가장예측력이좋은모형과비교하여예측력이 일정수준이상떨어지는모형을배제하는방법이고 Occam s razor 는어떤한 모형 M i 가자신이포함하고있는더간단한모형보다예측력이떨어질때이 M i 를모형평균에서제외하는방법이다. 이방법들을적용하여 (5.3) 의식을 다시나타낼수있다. A = {M k : max lp(m l D) p(m k D) C} B = {M k : M l A, M l M k, p(m l D) p(m k D) > 1} p(θ D) = M k A p(θ D, M k )p(m k D), A = A \ B (5.4) 17

26 제 3 절 분석결과 4장에서와같이모형은정준연결함수로로짓함수를사용하였고 ASA등급을설명변수로보는방법과주어진것으로보는두가지방향으로분석을하였다. ASA등급을설명변수로보았을때의결과를표 5.1 에서볼수있다. 표 5.1은 β 의사후평균, 표준편차, P (β 0 Data) 값들과사후확률이가장높은세개의모형을나타내고있다. 여기서 P (β 0 Data) 는변수들이모형에어느정도포함되는지를나타내는값으로이값을통해변수의선택여부를결정할수있다. 예를들어독립변수 sex2의경우 β 값의 97.9% 가사후분포에서 0 의값을갖는다는뜻이므로변수선택에서배제할수있다. 표 5.1의수치들을볼때 ASA 등급과 CBC 테스트결과를폐사율에영향을미치는변수로선택할수있다. 이에대한해석은 4장에서보았던베이즈로짓모형과동일하게할수있고 ASA 등급이클수록폐사할오즈가 e 증가하고 CBC 테스트결과가정상이아닐때 e 증가함을알수있다. 또한그림 5.1 을통해서각각의모델에서선택된독립변수들과그변수들이어떤부호의값을갖는지알아볼수있다. 사후확률이높은모델순서로그림에나타나있고각변수별로해당모델에포함되는지여부가나타나있으며붉은색은양수의값을, 파란색은음수의값을나타낸다. ASA 등급이 1,2 등급으로주어진경우표 5.2와그림 5.2를통해 age를유의미한변수로선택할수있고 ASA 등급이 3 5 로주어진경우표 5.3과그림 5.3을통해 CBC 테스트결과를유의미한변수로선택할수있다. 18

27 표 5.1: Bayesian model selection & averaging variable mean β D sd β D P(β 0 D) model 1 model 2 model 3 alpha b.asa b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time b.age b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

28 표 5.2: Bayesian model selection & averaging (ASA=1,2) variable mean β D sd β D P(β 0 D) model 1 model 2 model 3 alpha b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time b.age b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

29 표 5.3: Bayesian model selection & averaging (ASA=3 5) variable mean β D sd β D P(β 0 D) model 1 model 2 model 3 alpha b.anest b.anest b.bcs b.cbc b.cl b.k b.nmb b.na b.serum b.time b.age b.breed b.breed b.breed b.sex b.sex b.sex

30 그림 5.1: BMA plot 22

31 그림 5.2: BMA plot (ASA=1,2) 23

32 그림 5.3: BMA plot (ASA=1 3) 24

33 제 6 장 결론 AVA 에서제안한등급별폐사율과비교해볼때, 서울대학교동물병원의경우 1 2 등급에서는 % 로 10배가까이높은것으로나타났고, 3 5 등급에서는추정폐사율은 1.124% 로약간낮지만 95% 신뢰구간이 1.33% 를포함하여차이가나지않는다는결론을내릴수있다. β 추정값에대한설명에앞서추출된표본들이 MCMC 가정을만족하는지확인을하기위해서자기상관도와시계열그림을통해알아보았다. 그결과모형 (4.2) 와모형 (4.3) 모두표본들사이에자기상관성이거의존재하지않고, 정상분포로잘수렴되었음을확인할수있고따라서추출된표본들이 MCMC 가정을모두만족하는독립표본이라할수있다. 모형 (4.2) 에서 ASA와 CBC, breed3의 β 추정값은기존에예상했던결과를얻을수있었다. ASA 등급이높아질수록, CBC 테스트결과가정상이아닐때폐사할오즈가증가함을알수있다. 또한단두개종에비해장두개종이폐사할오즈가낮다는것은턱이짧을수록마취의위험도가높아져폐사의위험성이높아진다는수의학적인지식을뒷받침해준다. age의 β 추정값은 로음수값이나왔는데, 이는 age와폐사여부의산점도를통해그원인을찾아볼수있다. 산점도를보면나이가 24달보다 25

34 작은경우에서폐사가많이일어난것을볼수있고따라서위와같은결과가나왔음을알수있다. 모형 (4.3) 에서는 ASA등급이주어졌을때, 폐사율에영향을미치는변수를알아볼수있다. 위의결과와는다른변수가폐사율에영향을미치는것을알수있다. ASA 등급이 1,2 등급인경우유의한변수는 age와 TIME 이었다. age의 β 추정값은 로환자가한달어려질수록폐사할오즈가 e 배로크게증가함을알수있다. 반면마취시간에대한 β 의추정값은 로이는마취시간이길어질수록폐사할오즈가낮아진다고해석할수있다. 마취시간이길어질수록생명에위협이더커지는것을고려할때이부분에대해서추가적으로조사해볼필요성이있다. ASA 등급이 3 5 등급인경우에는 CBC 와나이, breed3( 장두개종 ), 성별 ( 남성 ) 이폐사율에영향을미치는유의미한변수임을확인하였다. 각각의 β 추정값은 2.803, , , 으로모형 (4.2) 에서의해석과비슷하게할수있다. 또한추가적으로성별이큰영향을미치는것으로나타나는데남성이여성에비해폐사할오즈가 e 배낮은것으로보인다. 위의모형 (4.3) 의결과를종합적으로볼때 1 5 등급의환자모두나이에영향을받지만특히 1,2 등급의환자가더민감하게영향을받는다는결론을내릴수있다. 반면식 (5.4) 에의한결과는위의결과와다른것을볼수있다. ASA등급을설명변수로본경우에는모형 (4.2) 와같이 ASA와 CBC가유의미한변수라는결과를얻었으나 breed3 변수는유의미하지않은것으로보인다. 또한 ASA등급이 1,2 등급으로주어진경우 age만유의미한변수로선택할수있고 β 의추정값이 으로모형 (4.3) 에서의 β 추정값보다절대값의크기가작음을알수있다. ASA등급이 3 5등급인경우 CBC만유의미한변수로선택할수있고 β 값은 로모형 (4.3) 의 β 추정값보다작음을알수있다. 이결과를토대로베이즈로짓모형과베이지안모형평균법 (BMA) 에서약간의차이들이발생하는것을볼수있다. 먼저 BMA에서모형의불확실성 26

35 을고려하게되면서변수의선택이더엄격해진것으로보인다. 또한 BMA 방법에서 ASA등급이 1,2등급으로주어진경우선택된 age변수를제외하고는선택된변수들모두 P(β 0 D) 값이 0.5를넘지않는것을볼수있다. 즉, 많은모형에서 β 가 0의값을갖는다는것을알수있고따라서 BMA를통해구한 β 값의절대값이작아졌음을확인할수있다. 27

36 그림 6.1: scatter plot: death*age & death*time 그림 6.2: Density plot : model(4.2) 28

37 그림 6.3: Autocorrelation plot : model(4.2) 29

38 그림 6.4: Timesiries plot : model(4.2) 30

39 그림 6.5: Density plot : model(4.3), ASA=1,2 그림 6.6: Autocorrelation plot : model(4.3), ASA=1,2 31

40 그림 6.7: Timesiries plot : model(4.3), ASA=1,2 32

41 그림 6.8: Density plot : model(4.3), ASA=3 5 그림 6.9: Autocorrelation plot : model(4.3), ASA=3 5 33

42 그림 6.10: Timesiries plot : model(4.3), ASA=3 5 34

43 참고문헌 [1] W.L. Aronson. Variability in the American Society of Anesthesiologists (ASA) Physical Status (PS) Classification Scale. Uniformed Services University of the Health Sciences, [2] D.Cat. Association of veterinary anaesthetists(ava) recommended requirements when performing general anaesthesia of dogs, cats and horses. Proceedings of AVA Meeting Barcelona, [3] Jennifer A. Hoeting, David Madigan, Adrian E. Raftery, and Chris T. Volinsky. Bayesian model averaging: A tutorial. STATISTICAL SCI- ENCE, 14(4): , [4] Harold Jeffreys. An Invariant Form for the Prior Probability in Estimation Problems. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 186(1007): , [5] T. J. Mitchell and J. J. Beauchamp. Bayesian Variable Selection in Linear Regression. Journal of the American Statistical Association, 83(404): , December [6] I. Ntzoufras. Bayesian Modeling Using WinBUGS. Wiley Series in Computational Statistics. Wiley,

44 [7] Adrian E. Raftery. Approximate bayes factors and accounting for model uncertainty in generalized linear models, [8] Larry Wasserman. Bayesian model selection and model averaging. J. Math. Psychol., 44(1):92 107, March

45 Abstract Bayesian analysis for the relationship between ASA grade and mortality Seungwook Kim The Department of Statistics The Graduate School Seoul National University In this paper, we estimate mortality rates of dogs, which went through surgeries at Seoul national University Hospital of Veterinary, using Bayesian method. Then we compare the estimated rates with those by AVA by ASA grade. We also estimate the other parameters that affect mortality rates using Bayeslogit model and Bayesian Model Averaging. When estimating the mortality rates by each grade, the Jeffreys prior for uninformative prior distribution of parameter is used. In the analysis of Bayeslogit model, we assume a proper prior distribution to parameters and get the posterior distribution by Bayes theorem. Then we draw samples from the posterior distribution by MCMC algorithm in Winbugs. In Bayesian Model Averaging, we assume uniform distribution on all possible models for uninformative prior distribution. 37

46 prior Keywords : Bayesian Model Averaging, ASA Grade, uninformative Student Number :

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