The Korean Journal of Applied Statistics (2015) 28(5), DOI: Filtered Coupling Measures for Variab

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재혁 동
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1 The Korean Journal of Applied Statistics (0) 8(), DOI: Filtered Coupling Measures for Variable Selection in Sparse Vector Autoregressive Modeling Seungkyu Lee a Changryong Baek a, a Department of Statistics, Sungkyunkwan University (Received May 8, 0; Revised June 8, 0; Accepted July, 0) Abstract Vector autoregressive (VAR) models in high dimension suffer from noisy estimates, unstable predictions and hard interpretation. Consequently, the sparse vector autoregressive (svar) model, which forces many small coefficients in VAR to exactly zero, has been suggested and proven effective for the modeling of high dimensional time series data. This paper studies coupling measures to select non-zero coefficients in svar. The basic idea based on the simulation study reveals that removing the effect of other variables greatly improves the performance of coupling measures. svar model coefficients are asymmetric; therefore, asymmetric coupling measures such as Granger causality improve computational costs. We propose two asymmetric coupling measures, filtered-cross-correlation and filtered-granger-causality, based on the filtered residuals series. Our proposed coupling measures are proven adequate for heavy-tailed and high order svar models in the simulation study. Keywords: sparse vector autoregressive model, partial spectral coherence, Granger causality. 서론 벡터자기상관회귀모형은정상성을따르는다차원벡터들의선형종속관계를연구하는데널리사용되는 모형이다. 따라서각변수의시간에따른종속관계 (temporal dependence) 뿐만아니라변수들사이 의종속관계 (interdependence) 까지도동시에모형으로설명할수있는장점이있다. 벡터자기상관회 귀모형은 Sims (980) 이후특히나계량경제분야에서높은예측력을가지는모델로알려져많은연구 자들의관심을받았다. 하지만, 벡터자기상관회귀모형은차원이높아짐에따라추정해야할모수가빠 르게증가하므로불안정한추정으로인하여예측력의저하와해석의어려움을동반하는문제를가지고 있다. 예를들어 Bernanke 등 (00) 의분석의경우에최대 개의변수만을이용하여분석을하고있 다. 차원이증가함에따라서추정하여야할모수가제곱에비례하여증가하는단점을보완하기위해서지난 수십년동안많은연구가진행되어왔다. Valdés-Sosa 등 (00) 및 Haufe 등 (00) 을비롯한많은실 증데이터분석논문에서 VAR 모형의계수들이 0 에가까운값을가짐이밝혀졌고이를모형으로고려하 This research was supported by the Basic Science Research Program from the National Research Foundation of Korea (NRF), funded by the Ministry of Science, ICT & Future Planning (NRF-0RAA000). Corresponding author: Department of Statistics, Sungkyunkwan University, Sungkyunkwan-ro, Jongno-gu, Seoul 0-7, Korea. crbaek@skku.edu

2 87 Seungkyu Lee, Changryong Baek 여그러한계수들을정확하게 0으로둔희박벡터자기상관회귀모형 (sparse VAR models; svar) 이높은차원에서의 VAR 모형의결점을보완할수있는적절한방법으로등장하였다. 그결과다수의연구가어떠한방법으로희박성, 즉계수를어떻게 0으로만들것인지에대해서고민하게되었고현재까지크게두가지방향으로연구가진행되어왔다. 첫째는 LASSO를이용한회귀분석에서의변수선택기법을사용하여희박벡터자기상관모형 (sparse VAR models; svar) 을추정하는방법이다. 이경우 VAR모형의 0이아닌계수의개수에벌점을부여함으로써희박성을부여한다. 예를들어 Hsu 등 (008), Song과 Bickel (0), Davis 등 (0) 등의논문들이 LASSO를활용한 svar 모형추정에대해서공부하였다. 둘째는네트워크에기반을둔통계분석기법에서의아이디어를기반으로두변수를한쌍으로이루어서상관관계를측도 (coupling measure) 한뒤이를바탕으로변수선택에이용하는방법이다. 이방법은 Davis 등 (0) 에서구체적으로연구되었으며 단계접근법을제시하고있다. 단계에서는부분스펙트럼일관성 (partial spectral coherence; PSC) 에기반을두고모든가능한변수조합에대해상관관계를측도한다음, 상관관계가높은순서에따라순차적으로 VAR의계수를 0으로두지않고나머지변수에대해서는 0으로두는제한적 VAR 모형 (restricted VAR models) 을적합한뒤 BIC를통해서가장좋은모형을찾는다. 두번째단계는첫번째단계의미세한조정단계로좀더희박한모형을만들어주기위해서 단계에서선택된모형을기준으로 t-통계량의절댓값의크기에따라서전진변수선택을하는것이다. Davis 등 (0) 는시뮬레이션및다양한실증자료방법을통해서 PSC에기반을둔방법이효율적으로 svar 모형을선택함을보였다. 본논문은보다더정확하고효율적으로 단계변수선택과정을수행할통계량을제안하는것에목적이있다. 부분스펙트럼일관성의경우 Davis 등 (0) 에서이미지적하였듯이방향성을고려하지않는대칭적인특성을가지고있다. 즉 VAR() 모형의 i번째행 j번째열에해당하는계수를 A(i, j) 라고한다면 VAR모형의계수행렬에서는대칭성을가정하지않지만 PSC에기반을둔변수선택법에서는 A(i, j) 가 0이아니라면 A(j, i) 도반드시 0으로선택하게되어 VAR모형의계수행렬이비대칭행렬일수있다는점과상충된다. 이는곧추정해야할모수의수를최대한줄이고자하는 svar모형의효율성을크게저하시키는요인이될수있다. 또한특정상황에서급격한성능저하를보이는경우가발생하는것이모의실험을통해확인되어이러한경우에도강건 (robust) 한결과를보이는통계량을제시하고자한다. 우리는먼저 PSC가좋은성능을보이는이유가다차원시계열자료에서선택된한쌍을제외한나머지변수의효과를제거한잔차를이용하기때문임을모의실험을통해밝힌다. 또한, 비대칭성을유지하는새로운측도로서필터링된잔차에기반을둔교차상관관계 (Filtered-cross-correlation; FCC) 및그래인저인과관계 (Filtered-Granger-causality; FGC) 를제안하고모의실험을통해우리가제안한두측도가꼬리가두터운이노베이션을통해생성된 svar 모형이나차수가높은모형에서도 0이아닌변수를매우정확하게선택함을보였다. 이논문은다음과같이구성되어있다. 제 장에서는벡터자기상관회귀모형과희박벡터자기상관회귀모형에대해살펴본후변수선택과정을수행할수있는기존의상관통계량들을소개한다. 제 장에서는모의실험을통해기존방법론의한계를살피고나머지변수들의효과를제거하는필터링을통해성능을높일수있음을밝힌다. 이를바탕으로비대칭성을고려한커플링측도로써 FCC와 FGC를제 장에서소개하고모의실험을통해서제안한커플링측도의유용성을제 장에서살피며제 장에서는결론을다루었다.

3 Filtered Coupling Measures for svar 87. 희박벡터자기상관회귀모형 (svar).. 벡터자기상관회귀모형 (VAR) 차원이 K 인다변량시계열자료 Y,..., Y n 에대해차수 p 를갖는 VAR(p) 모형은 Y t = A Y t + A Y t + + A py t p + Z t, t =,..., T 으로주어진다. 여기에서 Z t 는평균 0, 분산-공분산행렬 Σ인 K 차원의 i.i.d. 정규분포를따르는확률변수이다. 또한 Y t 는인과과정 (causal process) 임을가정하며 Z t 는 Y s, s < t와독립임을가정한다. 행렬 A,..., A p 는크기가 K K인실수행렬들로 AR계수를나타내며이는곧매개변수인 A,..., A p 를추정하기위해서는 K p개의모수에대한추정을해야함을의미한다. 따라서차원 K가커질수록추정해야하는매개변수의개수가 O(K ) 으로증가하여모형이매우복잡해질뿐만아니라추정이매우불안하게되어예측력을현저히저하시킨다. 때문에절약성의원리에따라간결한모형을선호하게되는데희박벡터자기상관회귀모형은이러한목적에서벡터자기상관회귀모형의결점들을보완할수있어추정의효율성과모형의예측력을증가시킬수있다. 그러나여기서어떠한변수를제거해야할지, 정확히어느위치에서 0 계수 (zero coefficient) 를가지게하여불필요한정보를제거할지에대해서는자명하지않다. 효율적인변수선택을위해 Davis 등 (0) 은부분스펙트럼일관성에기반을둔 -단계접근 svar 모형적합방법을제시하였다. 단계에서는부분스펙트럼일관성 (PSC) 에기반을두고 VAR 모형의 0이아닌 (i, j) 번째계수 (nonzero coefficient) 를선택한다. 계수행렬의대각원소의값들, 즉자기자신과의상관성은항상포함시킨채 i j인쌍에대해서 PSC 통계량이큰값에서부터작은값으로정렬한다음, 순차적으로 AR계수를 0이아닌계수로설정한후, BIC를통해 VAR 모형의차수 p와 0이아닌계수의개수 M을선택한다. 단계에서는 단계를거친 AR 계수들중에서도대각원소를비롯한여전히 0의값을가질수있는계수들이존재하므로 t-통계량의절댓값을구한뒤전진변수선택을실시하여개선과추정을실시한다. 본논문에서는 단계, 즉 0이아닌 (i, j) 번째계수 (nonzero coefficient) 를선택하는변수선택과정의성능을높이는데에초점이있다. 특히부분스펙트럼일관성의특성을파악하여다른통계량과의접목혹은수정의방법을통해성능을개량하는것에집중하고자한다... 변수선택을위한상관통계량... 부분스펙트럼일관성관측벡터 Y t 의 i 번째원소를 Y t,i, j 번째원소를 Y t,j 라쓰고 i, j 번째 원소를제거한나머지벡터를 Y t, ij 라고하자. 먼저 Y t,i 와 Y t,j 의조건부상관관계를구하기위해서는 Y t, ij 의선형효과를제거해주어야한다. Y t,i 에서 Y t, ij 의효과를제거한최적선형결합은다음과같 이구할수있다. 이를통해얻어진잔차는 ( ( ) D opt h,i RK, h Z := argmin E Y t,i D h,h Z ϵ t,i = Y t,i h= h= D h,i Y t h, ij ). D opt h,i Y t h, ij (.)

4 87 Seungkyu Lee, Changryong Baek 으로주어지며비슷한방법으로 ϵ t,j 를구할수있다. 따라서 Y t, ij 의효과가제거된 Y t,i 와 Y t,j 가조건 부무상관 (conditionally uncorrelated) 하다면 ϵ t,i 와 ϵ t,j 는모든시차에서무상관성을지닌다. 즉모든 정수 h 에대하여 γ ϵ ij(h) := Cov(ϵ t+h,i, ϵ t,j) = 0 이다. 이는진동수영역 (frequency domain) 으로바꾸 어서생각하면두잔차의교차스펙트럼밀도함수 f ϵ ij(ω) = π h= γ ϵ ij(h)e ikω, ω ( π, π] 가모든주파수 ω 에서 0 의값을가짐을의미한다. 교차스펙트럼밀도함수 f ϵ ij(ω) 은 Y t, ij 가주어졌을 때, Y t,i 와 Y t,j 의조건부상관을의미하며이를스케일조정한것이바로부분스펙트럼일관성 (partial spectral coherence; PSC) (Brillinger, 98) 으로다음과같이주어진다. PSC ij (ω) := f ϵ ij(ω) f ϵii (ω)f ϵjj (ω), ω ( π, π]. 그런데, PSC ij (ω) 는 ω 에의존하므로 Dahlhaus (000); Dahlhaus 등 (997) 에서제시된바와같이, 요 약통계량을아래와같이정의하며 Ŝ ij := sup ω PSC ij (ω), i < j, j =,..., K. Davis 등 (0) 에서는 Ŝij 이큰순서에따라 단계변수선택을한다.... 그래인저인과관계 Granger (99) 는인과관계를다음과같이정의하였다. P t (A B) 를 B t 의과거정보인 B t 를이용한 A t 에대한최적, 불편, 최소제곱예측변수 (optimum, unbiased, leastsquares predictor) 라하자. 예측잔차는 ϵ t (A B) = A t P t (A B) 으로정의되며, σ (A t B t ) 는예측잔차의분산을뜻한다. U t 는 t 이전의누적된모든정보를뜻하며 U t Y t 는특정 Y t 의정보가제거된모든정보를뜻한다. 만약, σ (Y i U) < σ (Y i U Y j ), i j 이면, 즉 Y j 의정보가 Y i 의예측오차를줄이는데기여하므로 Granger (99) 는이를 Y j 가 Y i 에인과한다라고정의하였다. 본논문에서는시차가있는그래인저인과관계, 즉 Y t h,j 가 Y t,i 에인과하는지를알수있는다음의정의를사용하였다. σ (Y t,i U) < σ (Y t,i U Y t h,j ), i j. 위정의는다음과같은 VAR(h) 모형에서 Y t,i = a 0 + a Y t,i + + a h Y t h,i + b Y t,j + + b h Y t h,j + ϵ t. (.) 귀무가설 H 0 : b = b = = b h = 0 에대한 F -검정결과와같다. 본논문에서는 i, j, i j 쌍에대한 F -검정통계량을커플링측도로사용하였으며 F 값의크기에따라서 svar모형에포함될변수를선택하였다. 또한그래인저인과관계

5 Filtered Coupling Measures for svar 87 의경우차수 h 의선택이중요함이잘알려져있다. 본논문에서는데이터에의하여적응되어 (data adaptive) 결정되는다음의방법을통해서 시차를선택하였다. ĥ = min h { h such that ˆγ i,j (h).9 } n (.). 기존방법론의한계및필터링의필요성기존의제안된여러커플링측도들이 svar 모형에서의변수선택을얼마나잘하는지에대해서알아보기위하여다음의모의실험을진행하였다. 다음의 svar(; ) 모형에대해서 X t, X t, X t, X t, X t, X t, = X t, X t, X t, X t, X t, + Z t, Z t, Z t, Z t, Z t, X t, Z t,, (.) 이노베이션벡터인 (Z t,,..., Z t, ) 는평균이 (0, 0, 0, 0, 0, 0) 이고분산공분산행렬 Σ z 이 δ δ/ δ/ δ/8 δ/0 δ/ δ/ Σ z = δ/ δ/ δ/ δ/ (.) 으로주어진다변량정규분포혹은자유도가 df 인다변량 t- 분포를따른다고가정하였다. 이와더불어 기존의잘알려진상관정도를측정하는상관계수 (correlation), 교차상관계수 (cross-correlation) 를이 용한 ĈC i,j = max h ˆγX i,j(h), i, j =,...,, 및부분교차자기상관계수 (partial-crosscorrelation; Reinsel (00)) 에기반을둔 PC i,j = max h 를커플링측도로사용하여변수선택성능을비교하였다. PCC i,j (h), i, j =,..., 이번모의실험에서얼마나정확하게 0 이아닌계수를찾아내는지살펴보는방법은다음과같다. 먼저 svar(; ) 모형 (.) 을생성하여각각의제시된상관정도를측정하는방법에따라서상관성의강도 를순위로기록한다. 이상관성의강도에따라참인모형에서 0 이아닌모수의숫자만큼, 또대칭성을 고려하여변수선택을한다. 위과정모두 00 번을반복하여상대빈도를계산하였다. 예를들어 PSC 및상관계수를이용한경우모의실험모형 (.) 은 (, ), (, ), (, ) 세곳에서 0 이아닌변수를선택 하게되므로 Ŝi,j, i < j, i, j =,..., 인쌍에대해서계산한다음에상위세개의값을선택하여빈

6 87 Seungkyu Lee, Changryong Baek 도수를산출한다. ( 부분 ) 교차상관계수에기반을둔 CC 및 PC 의경우상위 개의변수를선택하였고 그래인저인과관계는대각원소에대해서변수선택을하지못하지만대칭성을고려하지않으므로모든 i, j, i j 인쌍에대해서통계량을계산하고상위네개의값을뽑아 00 번의반복을통해상대도수를 계산하였다. 각측도의변수선택성능을요약하기위한통계량으로다음을고려하였다. 먼저 M 을영이아닌계수에 대한지시행렬로써 M = {M ij } = {, if A k (i, j) is non-zero for some k =,..., p, 0, otherwise 이라정의하자. 측도성능요약통계량인 MSP(mean squared proportion) 은다음과같이정의된다. MSP = I i,j I ( M ij M ij ), 여기에서 M ij 는커플링측도에의해서 (i, j) 번째원소가 0 이아닌것으로추정된상대도수를의미하며 인덱스집합 I 는각커플링측도에따른영이아닌계수로설정할수있는모든가능한순서쌍을의미한 다. 예를들어모형 (.) 의경우대칭성을고려하지않은그래인져인과관계의경우대각원소에위치하 지않은쌍에대해서만계산할수있으므로 I(Granger) = {(i, j) i j, i, j =,..., } 으로주어져 I = 0 이다. 반면대칭적으로쌍을고르는 PSC 나 Correlation 의경우에는역시나대각 원소에위치한쌍에대해서계산을할수없으므로 I(PSC) = I(Granger) 이나 M ij = M ji 로주어진다. 일반적으로 M ij = 이 M ji = 을의미하지않으므로 MSP 측도는대칭성을고려한벌점함수이다. 비 슷하게 CC 및 PC 의경우에는대각원소에대해서도 0 이아닌계수로둘수있으므로 I(CC) = {(i, j) i, j =,..., } I = 이다. 따라서측도성능요약통계량값이 0 에가까울수록좋은성능을나타내며값이클수록 추정성능이좋지않음을나타낸다. Figure. 은표본의크기가 00 이고평균은 0, 분산공분산행렬 (.) 가 δ = 0 으로주어진다변량 정규분포를통해생성된모형 (.) 에대해서각각의커플링측도들에의한변수선택의결과를나타낸 다. 또한편의를위해서대칭성을고려하지않은 PSC 및상관계수의경우변수선택의상대도수를대 칭적으로표시하였다. 먼저모든커플링측도들이완벽하게 0 이아닌계수를추정해내지는못하여오분 류가일어났다. 오분류의관점에서 PC 가가장많은오분류를하였고 CC 및상관계수의경우그성능 이나쁘지는않으나 PSC 나그래인저인과관계를이용한것보다는떨어짐을알수있다. PSC 및그래 인저인과관계의경우 0 이아닌변수를잘판별하였지만 PSC 의경우실제 0 인계수들에대해서오분류 한빈도가상대적으로그래인저인과관계보다높게나타났으며그래인저인과관계에서는 (, ) 에위치 한변수에대해서 0 이아닌계수로잘못가려내는빈도가높았다. 이번모의실험결과 PSC 및그래인 저인과관계가대체적으로 0 이아닌계수를잘가려냄을알수있다. Table. 은 MSP 값을나타낸표 로 PSC 및그래인저인과관계가가장작은값을나타냈고상관계수및 PC 를이용한방법이가장큰값 을나타내앞서논의했던내용과일치함을확인할수있다. 먼저 PSC 가좋은성능을보이는이유는상관계수및교차상관계수를비롯한다른측도와는다르게 i, j 번째변수의커플링정도를계산하는데있어서다른변수와의상관관계를제거해주기때문으로보인

7 Filtered Coupling Measures for svar 877 Coefficient Matrix PSC Correlation T=00, Normal, d=0 Cross Correlation Partial crosscorrelation Granger causality Figure.. The top left matrix represents the true coeffieint matrix. Estimated proportion on non-zero coefficients for svar(; ) based on 00 replications. Table.. MSP for svar(; ) model (.) 상관측도 PSC correaltion CC PC Granger-causality MSP 다. 다변량시계열의경우시간에따른상관성 (temporal dependence) 뿐만아니라다른변수와의상관성도 (interdependence) 존재하기때문에 PSC 의경우선택된한쌍의변수이외의나머지변수들의효과를제거한잔차를이용하여상관관계를측도하여좋은성능을나타낸것으로보인다. 그래인저인과관계의경우에도좋은성능을보였는데수식 (.) 에서살펴보듯이시차 h 사이에존재하는시간에따른상관성 (temporal dependence) 에대한효과를모형에고려하여적절히제거해주기때문으로보인다. 하지만, PSC 의경우그비대칭성때문에비효율적인변수선택을함을관측할수있다. 실제모형의계수행렬 A (, ) =. 이고 A (, ) =. 으로모형 (.) 은이두계수에대해서상관관계가서로상충되어있다. 대칭성을고려하지않은그래인저인과관계는 (, ) 및 (, ) 두위치에서모두 0 이아닌변수로선택을한반면 PSC 의경우그상대도수가현저히낮아짐을관측할수있다. 따라서대칭성을고려한측도가훨씬더좋은성능을보임을확인할수있다. 위모의실험을토대로 svar 모형에서좋은성능을보이는커플링측도는나머지변수들의효과를적절히제거한필터링된자료를바탕으로대칭성을고려하지않은측도임을알수있다.. 필터를이용한커플링측도부분스펙트럼일관성은다변량시계열에서 i, j 번째자료의쌍을제외한나머지변수의효과를제거함으

8 878 Seungkyu Lee, Changryong Baek 로써기존통계량보다정확하게상관성을측도하나방향성을고려하지않는대칭성으로인해추정이잘못된상황에서는정확성과효율성두경우가함께저하되는단점을가지고있다. 즉부분스펙트럼일관성은선택된두변수 Y t,i, Y t,j 로부터나머지변수의선형효과를제거한수식 (.) 에서정의한잔차벡터 {e t,i}, {e t,j} 를이용한측도이기에좋은성능을보이지만, (i, j) 와 (j, i), i j의자료의쌍들에대해대칭적인통계량을제시해주므로일반적으로비대칭성을가지는 VAR 모형에서는불필요한위치의변수까지포함할수있다. 따라서본논문에서는정확성을높이기위해서잔차벡터에근거하면서도대칭성을고려하지않아효율성을동시에지닌측도를다음과같이제안한다... 필터링된잔차에기반을둔교차상관관계 (Filtered-Cross-Correlation; FCC) 부분스펙트럼일관성을이용한측도의비대칭성은푸리에변환과정에서생기게된다. 따라서주파수 영역으로의변환전단계인조건부상관성만을이용하여변수선택을하게된다면그성능을크게떨어 뜨리지않으면서도대칭성을제거할수있을것이다. 구체적으로 Y t,i 와 Y t,j 의조건부상관관계를구하 기위해서 Y t, ij 의선형효과를제거하여얻어진잔차 ϵ t,i = Y t,i 에대해서교차공분산을 계산하고이를표준화시킨교차상관관계를 h= D opt h,i Y t h, ij γ ϵ ij(h) = Cov(ϵ t+h,i, ϵ t,j ) ρ ϵ ij(h) = γ ϵ ij(h) γ ϵ ii (h)γϵ jj (h) 으로정의한다. 교차상관관계 ρ ϵ ij(h) 는시차 h 에의존하므로변수선택에쓰이는 FCC 통계량을 FCC := sup ρ ϵ ij(h) h 으로정의한다. FCC 통계량에대한추정은교차상관관계를표본교차상관관계를통해추정함으로써매 우간단하게계산할수있다... 필터링된잔차에기반을둔그래인저인과관계 (Filtered-Granger-causality; FGC) 장의모의실험에따르면그래인저인과관계역시좋은성능을보였지만선택된 i, j 쌍의자료이외의자료에대한상관관계를제거한다면더좋은커플링측도가될수있음을살펴보았다. 따라서조건부상관관계를구하기위해얻어진잔차벡터 {e t,i }, {e t,j } 에대해서시차그래인저인과관계를적용하고이를 FGC라정의한다. 즉 Y t h,j 와 Y i 는 σ (ϵ t,i U) < σ (ϵ t,i U ϵ t h,j ), i j 이성립하면시차 h에대해서필터링된그래인저인과관계가성립한다. 그래인저인과관계와마찬가지로두잔차벡터를이용하여 VAR(h) 를적합한후 e t,i = a 0 + a e t,i + + a h e t h,i + b e t,j + + b h e t h,j + ϵ t 귀무가설 H 0 : b = b = = b h = 0에대한 F -검정통계량을 FGC의상관성정도로사용한다. 시차를선택하는방법은그래인저인과관계에서사용한데이터적응방식인 (.) 과마찬가지로잔차벡터에대해서계산한표본상관계수의절대값이.9/ n 보다작아지는처음 h를사용한다.

9 Filtered Coupling Measures for svar 879 Table.. MSP for svar(; ) model (.) 상관측도 PSC Granger-causality FCC FGC MSP 모의실험본논문에서제안한필터링된커플링측도들의성능을알아보기위해서다음의모의실험을하였다. 여러모의시험결과우리가제안한필터링된잔차를이용한커플링측도들이매우좋은성능을보임을알수있었다. 본논문에서는간결한논문의발표를위해서상대적으로추정하기어려운두가지경우, 첫번째는두터운꼬리를가지는이노베이션을사용한모형, 두번째는 svar() 모형을사용하여 i, j번째변수의상관정도가불투명한두가지경우에대해서만결과를요약발표한다... 모의실험 모의실험 에서는다변량정규분포보다더두터운꼬리를가지는자유도가 이고수식 (.) 로주어진분산공분산행렬 Σ z 를따르는다변량 t-분포에서생성된데이터를통해부분스펙트럼일관성, 그래인저인과관계와제안된 FCC, FGC의성능을비교한다. 모의실험모형은차수가 이고 0이아닌계수가세개인 svar(; ) 모형으로 X t, X t, X t, X t, X t, X t, = X t, X t, X t, X t, X t, + Z t, Z t, Z t, Z t, Z t, X t, Z t,, (.) 이노베이션벡터 (Z t,,..., Z t,) 는평균이 0이고수식 (.) 의분산-공분산행렬 Σ z 에서 δ = 로설정된다변량 t-분포이다. 다변량 t-분포를이용한이유는우리가제안한 FCC, FGC가꼬리가두터운모형에서도성능이뛰어남을보여주기위함이다. 지면상자세한결과를보고하지는않지만 svar(; ) 모형 (.) 에서다변량정규분포를이용할경우에서도 FCC, FGC가 PSC나그래인저인과관계보다월등한결과를얻었다. Figure.은 00번의반복을통해서추정된 (i, j) 번째위치에대한변수선택빈도를나타낸다. 먼저 PSC의경우 (, ) 에위치한계수에대해서는 0이지만 0이아닌것으로잘못분류하였고 (, ) 에위치한 0이아닌계수에대해서 0으로잘못분류하였다. 그래인저인과관계의경우도역시나마찬가지로 (, ), (, ) 위치한계수에대해서잘못된변수선택의결과를주어두터운꼬리를가지는경우 PSC 및그래인저인과관계에기반을둔커플링측도들의성능이급격히떨어짐을알수있다. 하지만우리가제안한 i, j를제외한나머지변수들의효과를제거한필터링된잔차에기반을둔교차상관계수를이용한 FCC의경우매우높은빈도로 0이아닌계수들의위치를잘추정하였다. 또한그래인저인과관계를보완한 FGC의경우에도 0이아닌계수를매우잘추정하여우리가제안한방법들이기존의 PSC 및그래인저인과관계를이용한방법보다 svar 모형의변수선택에서효과적으로쓰일수있음을알수있다. 또한두터운꼬리를가지는이노베이션에대해서도우리가제안한방법이매우좋은결과를보이는것은대단히흥미로운결과로보인다. MSP값은 Table.에요약되어있으며 FCC 및 FGC가 PSC보다훨씬더작은값을가짐을확인할수있다.

10 880 Seungkyu Lee, Changryong Baek Coefficient Matrix PSC Granger causality t distribution, d= FCC FGC Figure.. Variable selection for svar(; ) model in (.) with innovations following multivariate t()- distribution... 모의실험 모의실험 에서는 AR 계수행렬을 개를가지는경우즉, VAR() 상황에서부분스펙트럼일관성, 그래인저인과관계와제안된 FCC, FGC 등의성능을비교한다. 모의실험에쓰인 VAR(; 0) 모형은다음과같이주어졌으며 X t, X t, X t, X t, X t, X t, = X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, X t, + Z t, Z t, Z t, Z t, Z t, Z t,, (.) 이노베이션벡터 (Z t,,..., Z t,) 는평균이 0 이고수식 (.) 의분산 - 공분산행렬 Σ z 에서 δ = 를따르는다변량정규분포다. Figure. 은모의실험결과를요약한그림으로써맨왼쪽위그림은 VAR() 모형 (.) 에서 0 이아닌계수들을모아하나의행렬로나타낸그림이다. 부분스펙트럼일관성 (PSC) 은매우불안정한추정을보여정확도와효율성모두매우저하되었음을관찰할수있다. 또한그래인저인과관계의경우 (, ), (, ) 의위치를추정하는것에실패하는모습을보여정확도가저하되었음을확인할수있다. 한편 FCC 는 (, ) 와 (, ) 로잘못추정하는빈도가발생하였지만여전히 PSC, 그래인저인과관계에비

11 Filtered Coupling Measures for svar 88 Coefficient Matrix PSC Granger causality FCC FGC Figure.. Variable selection for svar(; 0) model in (.). Table.. MSP for svar(; 0) model (.) 상관측도 PSC Granger-causality FCC FGC MSP 해서는좋은성능을유지하는것을확인할수있었으며놀랍게도 FGC 는모든모수의위치를잘추정하여다른통계량들에비해가장좋은정확성과효율성을보였다. 따라서이번모의실험을통해서우리가제안한필터링된잔차를이용한그래인저인과관계 FGC 가차수가높은 svar 모형에서도효율적으로변수를선택함을알수있다. Table. 에요약된 MSP 통계량을통해서도 FGC 가가장작은오차를보여가장효율적이며기존의 PSC 및그래인저인과관계보다더좋은성능을보임을확인할수있다.. 결론희박벡터자기회귀모형은매우큰다차원의시계열벡터들간의선형종속관계를연구할때효율적인변수선택방법으로잘알려진모형이다. 예를들어 Davis 등 (0) 는부분스펙트럼일관성에기반을둔희박벡터자기회귀모형을사용할것을제안하고있다. 본논문에서는 PSC 가변수선택에서다른측도들보다뛰어난성능을보이는이유는선택한한쌍의변수를제외한나머지변수에의해생성되는상관관계를효과적으로제거한잔차에기반을두기때문임을모의실험을통해서밝혔다. 하지만 PSC 의경우 svar 모형계수들의비대칭성을무시하기때문에효율적인변수선택과정에불리한요소로작용하며두터운꼬리를가지는자료의경우그효율이급격히저하되는것을살펴보았다. 따라서 PSC 의좋은효율과비대칭성을고려하기위한커플링측도로서나머지변수들의선형효과를제

12 88 Seungkyu Lee, Changryong Baek 거한잔차에기반을둔교차상관계수인 FCC와개선된그래인저인과관계를이용한 FGC를제안하였다. 우리가제안한두커플링측도는모의실험하에서두터운꼬리를가지거나혹은 svar 모형의차수가 이상인복잡한모형에서도 0이아닌계수들을기존의측도보다훨씬정확하게찾아냈으며특히 FGC의경우가장좋은성능을보였다. 본논문에서제안한 FCC와 FGC는 svar 모형뿐만아니라네트워크모형을비롯한여러다차원모형으로쉽게응용이가능하므로표본의개수는작으나추정해야할모수가많은경우에서의변수선택에서매우유용하게쓰일것으로본다. References Bernanke, B. S., Boivin, J. and Eliasz, P. (00). Measuring the effects of monetary policy: A factoraugmented vector autoregressive (FAVAR) approach. Technical report, National Bureau of Economic Research. Brillinger, D. R. (98). Time Series: Data Analysis and Theory,, SIAM. Dahlhaus, R. (000). Graphical interaction models for multivariate time series, Metrika,, 7 7. Dahlhaus, R., Eichler, M. and Sandkühler, J. (997). Identification of synaptic connections in neural ensembles by graphical models, Journal of Neuroscience Methods, 77, Davis, R. A., Zang, P. and Zheng, T. (0). Sparse vector autoregressive modeling, arxiv: Granger, C. W. (99). Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods, Econometrica, 7, 8. Haufe, s., Müller, K. R., Nolte, G. and Krämer, N. (00). Sparse causal discovery in multivariate time series, Journal of Machine Learning Research : Workshop and Conference Proceedings,, Hsu, N.-J., Hung, H.-L. and Chang, Y.-M. (008). Subset selection for vector autoregressive processes using lasso. Computational Statistics & Data Analysis,, 7. Reinsel, G. C. (00). Elements of Multivariate Time Series Analysis, Springer Science & Business Media. Song, S. and Bickel, P. J. (0). Large vector autoregressions. arxiv:0.9. Sims, C. A. (980). Macroeconomics and reality, Econometrica: Journal of the Econometric Society, 8. Valdés-Sosa, P. A., Sánchez-Bornot, J. M., Lage-Castellanos, A., Vega-Hernández, M., Bosch-Bayard, J., Melie- García, L. and Canales-Rodríguez, E. (00). Estimating brain functional connectivity with sparse multivariate autoregression, Philosophical Transactions of the Royal Society B, 0,

13 Filtered Coupling Measures for svar 88 필터링된잔차를이용한 희박벡터자기회귀모형에서의변수선택측도 이승규 a, 백창룡 a, a 성균관대학교통계학과 (0 년 월 8 일접수, 0 년 월 8 일수정, 0 년 7 월 일채택 ) 요약벡터자기회귀모형은다차원의시계열자료간의선형종속관계를연구하는데효율적인모형이다. 하지만차원이높아질경우추정해야할모수가급격히증가하여추정이불안정해지고예측력의저하및해석의어려움을동반하는문제를가지고있다. 이를보완하기위해서많은계수를 0 으로두는희박벡터자기회귀모형이제안되었고고차원시계열분석에서유용함이밝혀졌다. 이논문에서는희박벡터자기회귀모형추정에있어서어떠한계수를 0 으로두어야하는지를판단해주는한쌍의변수에대한상관정도를추정해주는커플링측도를제안한다. 먼저이논문에서는부분스펙트럼일관성에기반을둔커플링측도를사용한변수선택의경우다른변수의효과를제거한잔차에기반을두었기에좋은효율성을보임을밝힌다. 하지만부분스펙트럼일관성의경우벡터자기회귀모형계수의비대칭성을고려하지못한다는단점이있어이를보완하고자필터링을통해다른변수의효과를제거한잔차에기반을둔동시에비대칭성을가지는커플링측도들, 필터링된잔차를이용한교차상관성과그래인저인과관계를제안한다. 모의실험을통해우리가제안한방법론들이두터운꼬리를가지거나높은차수의희박벡터자기회귀모형의경우에도매우정확하게 0 이아닌변수를선택함을보인다. 주요용어 : 희박벡터자기회귀모형, 부분상관스펙트럼, 그래인저인과관계 교신저자 : (0-7) 서울특별시종로구성균관로 -, 성균관대학교통계학과. crbaek@skku.edu

에너지경제연구 Korean Energy Economic Review Volume 17, Number 2, September 2018 : pp. 1~29 정책 용도별특성을고려한도시가스수요함수의 추정 :, ARDL,,, C4, Q4-1 -

에너지경제연구 Korean Energy Economic Review Volume 17, Number 2, September 2018 : pp. 1~29 정책 용도별특성을고려한도시가스수요함수의 추정 :, ARDL,,, C4, Q4-1 - . - 2 - . 1. - 3 - [ 그림 1] 도시가스수요와실질 GDP 추이 - 4 - - 5 - - 6 - < 표 1>