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소라 반
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1 Metric Version 2nd edition ESSENTIAL CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS 제 2 판 미분적분학 ⅠⅡ 일변수함수의미적분 James Stewart 지음 수학교재편찬위원회옮김

3 SECOND EDITION, INTERNATIONAL METRIC VERSION

4 Essential Calculus: Early Transcendentals 2 nd Edition James Stewart 2014 Cengage Learning Korea Ltd. Original edition 2013 Brooks Cole, a part of Cengage Learning. Essential Calculus: Early Transcendentals, International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN: This edition is translated by license from Brooks Cole, a part of Cengage Learning, for sale in Korea only. ALL RIGHTS RESERVED. No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced, transmitted, stored or used in any form or by any means graphic, electronic, or mechanical, including but not limited to photocopying, recording, scanning, digitalizing, taping, Web distribution, information networks, or information storage and retrieval systems, without the prior written permission of the publisher. For permission to use material from this text or product, to asia.infokorea@cengage.com ISBN-13: Cengage Learning Korea Ltd. Suite 1801 Seokyo Tower Building 133 Yanghwa-Ro, Mapo-Gu Seoul Korea Tel: (82) Fax: (82) Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe, including Singapore, the United Kingdom, Australia, Mexico, Brazil, and Japan. Locate your local office at: Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education, Ltd. For product information, visit Printed in Korea

5 지은이머리말 이 < 미터법국제판 > 은 Essential Calculus: Early Transcendentals, 제2 판 의정규본과몇가지점에서차이가난다. 거의모든보기와익힘문제에서아메리카합중국관례단위 (US Customary units) 를미터법단위로바꿨다. 아주적은예외는있다. 몇가지공학응용에서 ( 주로 7.6 절에서 ) 일부공학도에게는아메리카관례단위에익숙해지는것이유용할수있을것이다. 그리고 ( 야구와관련된보기와같이 ) 미터법단위가부적절한몇개의익힘문제에서는아메리카관례단위를유지했다. 실세계자료와관련된보기와익힘문제들은더욱국제적인자료를사용해서자연스럽게바꿨다. 이에따라그런대다수의문제에서자료는아메리카가아닌다른나라에서나왔다. 예를들면, 다른많은나라의예가있지만홍콩우편요금, 캐나다국채, 오스트레일리아의실업률, 터키앙카라의일조시간, 아르헨티나지방의인구비율, 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도등네나라의인구, 온타리오의전력소비등이있다. 미터법단위를사용하고더욱국제적인자료를사용해서문제를바꾸었을뿐만아니라, 많은문제도바꿨다. 이에따라약 10% 의익힘문제가정규본과다르다. ( 제 1 판과는약 40% 의익힘문제가다르다.) 이책의집필철학이책은미분적분학교과서가지나치게크다고생각하는교수들의요구에부응하기위해썼다. 이책을쓰면서스스로에게물었다. 어떤내용이자연과학도와공학도를위한세학기미분적분학과정에서필수적인가? 이책의분량은본인이쓴다른미분적분학책 (Calculus 제7 판, 미터법국제판, Calculus, Early Transcendentals 제 7 판, 미터법국제판 ) 의분량의약 3분의 2이다. 그렇지만이책에는똑같은주제가거의모두포함되어있다. 상대적으로간결하게된이유는주로설명을간략하게하고그림중일부를웹사이트 < 으로옮겼기때문이다. 책의분량을줄인방법을좀더자세하게설명하면다음과같다. 주제들을효율적인방법으로조직했고, 일부절은더욱간략하게설명했다. 공간을절약하도록디자인했다. 특히, 각장에서시작부분의여백과사진을제거했다. 보기의개수를조금줄였다. 추가적인보기는온라인으로제공한다. - v -

6 익힘문제의개수를약간줄였지만, 대부분의교수는이정도로도충분하다고생각할것이다. 게다가, 교수는학력평가문제를웹사이트를통해접근할수있다. 프로젝트과제가학생들에게매우바람직한경험일수있다고생각하지만, 이런과제는이책에서빼서웹사이트로옮겼다. 문제해결원리에대한논의와각장에있던도전문제들도웹사이트로옮겼다. 책의분량은줄었지만, 현대적인맛은여전히느낄수있다. 본인의다른책들만큼두드러지지는않지만, 개념적인이해와공학기술적인면은소홀히하지않았다. 다른미분적분학책소개본인은다른미분적분학교과서를여러가지썼는데, 교수에따라선호하는것이다를수있다. 대부분은일변수함수와다변수함수를모두다룬다. Essential Calculus( 제 2 판, 미터법국제판 ) 는이책과비슷한데, 다른점은로그함수를적분으로정의하고이에따라지수ㆍ로그ㆍ역삼각함수를이책보다나중에다룬다. Calculus, Early Transcendentals( 제 7 판, 미터법국제판 ) 는이책보다미분적분학을약간더많은보기와익힘문제를사용해서좀더완전하게다룬다. Calculus( 제 7 판, 미터법국제판 ) 는 Calculus, Early Transcendentals( 제 7 판, 미터법국제판 ) 와비슷한데, 다른점은지수ㆍ로그ㆍ역삼각함수를둘째학기에다룬다. Calculus: Concepts and Contexts( 제 4 판, 미터법국제판 ) 는개념의이해를강조한다. 주제의범위는백과사전과같지않다. 초월함수와매개방정식에관한내용은별도의장에서다루지않고책전체의여기저기에엮여있다. Calculus: Early Vectors 는첫째학기에벡터와벡터함수를도입하고, 책전체에서통합하고있다. 이책은공학과물리학과목을미분적분학과함께수강하는학생들에게적절하다. Brief Applied Calculus( 국제판 ) 는경영학, 사회과학, 생명과학을전공하는학생들을위한것이다. 제 2 판의새로운점이번판의변화는토론토대학교의동료와학생들과의논의와함께이책의독자와검토자들의제안을반영한결과이다. 이번판에포함시킨많은개선사항중일부는다음과같다. 이책의시작부분에는기초대수학, 해석기하학, 함수, 삼각법등네분야각각에관한진단평가가있다. 답이제시되어있고좋은점수를받지못한학생에게는도움을얻을수있는위치 ( 부록, 제1장의복습문제, 웹사이트 ) 를언급하고있다. 7.5 절 ( 회전면의넓이 ) 은새로추가했다. 검토자들에게제 1 판에서빠진필수적인주제가있는지를물었는데, 두명이상이언급한주제는이것이유일했다. 일부내용은훨씬더명확하고더좋은동기부여를위해다시썼다. 예를들어 215~216 쪽의최댓값과최솟값의도입과 473쪽의급수의도입을보라. - vi -

7 새로운보기를추가했다. ( 예를들어 791쪽의보기 4를보라.) 그리고기존의보기중에서일부에대한풀이는더자세히서술했다. 딱들어맞는사례로, 보기 를더자세히서술했다. 제 1 판으로 1.4 절을가르치면서학생들이조임정리 ( 샌드위치정리 ) 를위한부등식을설정할때더많은지도가필요함을알게됐다. 보기와익힘문제의자료를좀더최근의것으로바꿨다. 여백의역사적인주석을몇가지더추가했다. 익힘문제중에서약 40% 는새로운것이다. 본인이특히좋아하는문제몇개는다음과같다 , ~14, , ~40, , , ~45, , ~30, ~68, , ~44. Tools for Enriching Calculus(TEC) 에서동영상을완전히새롭게설계했는데, Enhanced WebAssign 과 CourseMate 에서이용할수있다. 내용진단평가 이책은기초대수학, 해석기하학, 함수, 삼각법등네분야각각에관한진단평가로시작한다. 제 1 장함수와극한 기본적인함수들을간략하게다시알아본뒤에, 극한과연속의개념을도입한다. 여기에는삼각함수의극한과무한대와관련된극한및극한에대한명확한정의도포함된다. 제 2 장도함수 도함수에관한내용을두절에서다루어, 학생들에게함수로서의도함수개념에익숙해질수있는시간을주었다. 사인함수와코사인함수의도함수에대한공식은기본적인미분공식에관한절에서유도한다. 익힘문제에서는다양한상황에서도함수의의미를탐구한다. 제 3 장역함수 : 지수 로그 역삼각함수 지수함수를먼저정의하고, 수 를극한으로정의한다. 다음에로그함수를지수함수의역함수로정의한다. 지수적증가와감소에관한활용이뒤따른다. 역삼각함수와쌍곡선함수도여기서다룬다. 로피탈의법칙이이장에포함되는데, 초월함수의극한을찾을때이것이매우자주필요하기때문이다. 제 4 장미분의활용 극값과곡선의모양에관한기초적인사실들을평균값정리로부터유도한다. 곡선그리기에관한절에서는공학기술도구로그래프를그리는방법도간략히다룬다. 최적화문제에관한절에서는경영과경제에의활용을간략하게논의한다. 제 5 장적분 넓이문제와거리문제는정적분을정의하는동기로삼고, 필요에따라합의기호를도입한다. ( 합의기호는부록 B에서완전히다룬다.) ( 길이가같지않은부분구간을이용한 ) 아주일반적인정적분의정의를먼저제시하고, 정규분할을이용한다. 다양한상황에서적분의뜻에대한설명및그래프와표로부터그값을어림하는방법을강조한다. 제 6 장적분의기법 표준적인모든방법을다루며, 컴퓨터대수체계, 수치적방법, 특이적분도함께알아본다. 제 7 장적분의활용 일반적인방법들을강조한다. 목표는학생들이수량을작은조각으로나누고리만합을어림하며그극한을적분으로인식할수있게하는것이다. 이장은미분방정식의도입으로끝을맺는데, 분리가능한방정식과방향마당이포함된다. - vii -

8 제 8 장급수 수렴판정법들을직관적으로정당화하고, 이와함께형식적으로증명한다. 테일러급수와다항함수및물리학에의활용을강조한다. 오차분석은 ( 라그랑주의나머지항이있는 ) 테일러공식과그래프그리기장치에근거해서알아본다. 제 9 장매개방정식과극좌표 이장에서는매개곡선과극곡선을도입하고, 이에미분적분학의방법을적용한다. 극좌표로원뿔곡선을간략하게다루는데, 이는제 10 장에서케플러의법칙을설명하는방법을제공한다. 제 10 장벡터와공간기하학 이장에서는벡터, 내적과외적, 직선, 평면, 곡면에관한내용과함께, 벡터값함수, 공간곡선의길이와곡률, 공간곡선을따른속도와가속도를다루며, 케플러의법칙으로끝을맺는다. 제 11 장편도함수 많은학생이이장의개념들을머릿속으로그리는데어려움을겪기때문에, 그래프, 등고선지도, 방향도함수, 물매벡터, 라그랑주곱수와같은개념을설명할때사실적인그림들을특별히강조해서넣었다. 제 12 장다중적분 원기둥좌표와구면좌표를삼중적분의값을찾는상황에서도입한다. 제 13 장벡터해석 선적분의기본정리, 그린의정리, 스토크스의정리, 발산정리사이의유사성을강조한다. 웹사이트 웹사이트 < 에는다음과같은내용이포함되어있다. 대수학, 삼각법, 해석기하학, 원뿔곡선복습 Algebra, Trigonometry, Analytic Geometry, Conic Sections 과제귀띔 Homework Hints 추가적인보기 Additional Examples 프로젝트과제 Projects 학력평가문제 ( 본인이쓴다른책들의이전판에있던익힘문제 ) 와그풀이 Achieved Problems 도전문제 Challenge Problems 계산기와컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me 추가적인주제 ( 익힘문제포함 ): 문제해결원리, 적분전략, 급수판정전략, 푸리에급수, 선형미분방정식, 이계선형미분방정식, 비동차선형방정식, 이계미분방정식의활용, 급수를이용한미분방정식의풀이, 복소수, 축의회전 Additional Topics 특별한주제를위한외부웹사이트로의접속 수학의역사및더좋은역사웹사이트로의접속 History of Mathematics 제2장과 5장을 TEC 동영상 - viii -

9 감사의말씀 이책을세심하게읽어주고의견을준다음분들에게감사드린다. 제2판검토자 Allison Arnold, University of Georgia Rachel Belinsky, Georgia State University Geoffrey D. Birky, Georgetown University Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Mark Brittenham, University of Nebraska at Lincoln Katrina K. A. Cunningham, Southern University and A&M College Morley Davidson, Kent State University M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Shelby J. Kilmer, Missouri State University Ilya Kofman, College of Staten Island, CUNY Ramendra Krishna Bose, University of Texas-Pan American Melvin Lax, California State University Long Beach Derek Martinez, Central New Mexico Community College Alex M. McAllister, Centre College Michael McAsey, Bradley University Humberto Munoz, Southern University and A&M College Charlotte Newsom, Tidewater Community College Michael Price, University of Oregon Joe Rody, Arizona State University David Shannon, Transylvania University 제 1 판검토자 Ulrich Albrecht, Auburn University Christopher Butler, Case Western Reserve University Joe Fisher, University of Cincinnati John Goulet, Worchester Polytechnic Institute Irvin Hentzel, Iowa State University Joel Irish, University of Southern Maine Mary Nelson, University of Colorado, Boulder Ed Slaminka, Auburn University Li (Jason) Zhongshan, Georgia State University - ix -

10 제 1 판을가르치고여러가지제안을해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell) 에게도감사드린다. 더불어, 제작을담당한 Kathi Townes 와 Stephanie Kuhns 및다음 Brooks/Cole 직원들에게감사드린다. Cheryll Linthicum(editorial content project manager), Vernon Boes(art director), Gorden Lee와 Ryan Ahern(marketing team), Maureen Ross(media editor), Carolyn Lewis(developmental editor), Elizabeth Neustaetter(assistant editor), Stephanie Kreuz(editorial assistant), Roberta Broyer(rights acquisitions specialist), Becky Cross(manufacturing planner), Denise Davidson(cover designer). 이모두는자기의임무를훌륭하게수행했다. 이책은편집자 Bob Pirtle 의발상인데, 그는수많은교수로부터분량이훨씬더적은미분적분학교과서를원한다는말을들었다. 이런발상을제 2 판에서유지하고지지한현편집자 Liz Covello 에게감사드린다. 제임스스튜어트 (James Stewart) - x -

11 옮긴이머리말 이책은제임스스튜어트 (James Stewart) 의 Essential Calculus Early Transcendentals, 2nd edition( 미터법국제판 ) 을다음과같은점을염두에두고본문은물론문제까지빠짐없이번역했다. 1. 가능한한우리나라중ㆍ고등학교교육과정과교과서의용어와기호를따랐다. 이를테면 extreme value theorem 을 최대ㆍ최소정리 로번역했고, 함수의정의역을 ( ) 안에넣어나타냈다. 또, 원서에서는여러가지괄호가포함된식에서소괄호 ( ) 다음에대괄호 [ ] 를사용했는데, 여기서는우리의관례에따라이런경우의대괄호는중괄호 { } 로바꿨다. 다만, 선분은원서와같이 로나타냈는데, 이는벡터의크기를나타내는기호 등과통일시키기위함이다. 2. 용어는 대학수학회용어집 등을참고하면서우리말이있는경우에는적극적으로이를반영했다. 이를테면 astroid 를통상적인표현 성망형 성형선 아스트로이드 등이아니라여기서는쉽게알수있도록 별모양선 으로번역했다. 또, be bounded 는 유계이다 라는표현보다는 갇혀있다 고했다. 3. 긴용어의경우에는한글맞춤법에따라그리고이해를돕기위해가능한한단어별로띄어써서, 좌표평면 부정적분 직교좌표 등과같이나타냈다. 한음절단어도통일적인표현을위해 정적분 선적분 극좌표 등과같이띄어쓴경우가많이있다. 4. 원서에서와같이기호는그래프계산기나그래프그리기소프트웨어가있는컴퓨터를반드시사용해야하는익힘문제를가리킨다. 기호는 Derive, Maple, Mathematica, TI-89/92 등과같은컴퓨터대수체계 (computer algebra system) 를사용할필요가있는문제를가리킨다. 기호도접하게되는데, 이는오류를범할수있는상황을경고하기위함이다. 옮긴이 - xi -

12 진단평가 미분적분학을성공적으로배우기위해서는이과목에앞서배우는분야인대수학, 해석기하학, 함수, 삼각법을충실하게잘알고있어야한다. 다음진단평가의목적은이런분야를학생들이얼마나잘알고있는지그리고어느분야에약한지를알아보는것이다. 각평가문제를푼뒤에는주어진답으로채점하고, 필요하면제시한검토자료를참조해서학생자신의기량을새롭게보완하기바란다. A 진단평가 : 대수학 1. 계산기를사용하지말고, 다음각식의값을셈하라. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2. 다음각식을간단히하라. 음의지수를사용하지말고답을써라. (a) (b) (c) 3. 다음을전개하고간단히하라. (a) (c) (e) (b) (d) 4. 다음각식을인수분해하라. (a) (c) (e) (b) (d) (f) 5. 다음유리식을간단히하라. (a) (b) (c) (d) - xii -

13 6. 다음식을유리화하고간단히하라. (a) (b) 7. 다음을완전제곱식을이용해서다시써라. (a) (b) 8. 다음방정식을풀어라. ( 실수해만을찾아라.) (a) ½ (b) (c) (e) (g) (d) (f) 9. 다음부등식을풀어라. 답을구간표기법으로나타내라. (a) (b) (c) (e) (d) 10. 다음등식이참인지거짓인지말하라. (a) (c) (b) (d) (e) (f) A 대수학진단평가의답 1. (a) 81 (b) (c) (d) 25 (e) (f) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) (d) (e) 4. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 5. (a) (b) (c) (d) - xiii -

14 6. (a) (b) 7. (a) ½ ¾ (b) 8. (a) 6 (b) 1 (c) (d) ±½ (e) ± ± (f), (g) 9. (a) (b) (c) (d) (e) 10. (a) 거짓 (b) 참 (c) 거짓 (d) 거짓 (e) 거짓 (f) 참 여기의문제를어렵게생각하면, 웹사이트 < 에있는 Review of Algebra( 대수학복습 ) 를참조하라. B 진단평가 : 해석기하학 1. 점 를지나고, 다음과같은직선의방정식을찾아라. (a) 기울기가 이다. (b) 축과평행하다. (c) 축과평행하다. (d) 직선 과평행하다. 2. 중심이 이고점 를지나는원의방정식을찾아라. 3. 방정식이 인원의중심과반지름을찾아라. 4. 좌표평면에있는두점 와 를생각하자. (a) 와 를지나는직선의기울기를찾아라. (b) 와 를지나는직선의방정식을찾아라. 절편은무엇인가? (c) 선분 의중점을찾아라. (d) 선분 의길이를찾아라. (e) 선분 의수직이등분선의방정식을찾아라. (f) 선분 가지름인원의방정식을찾아라. 5. 다음방정식또는부등식으로정의된 평면의영역을그림으로나타내라. (a) (b), (c) ½ (d) (e) (f) - xiv -

B 해석기하학진단평가의답 1. (a) (b) (c) (d) ½ 2. 3. 중심, 반지름 5 4. (a) (b), 절편, 절편 (c) (d) 20 (e) (f) 5. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 여기의문제를어렵게생각하면, 웹사이트 <www.stewartcalculus.

15 B 해석기하학진단평가의답 1. (a) (b) (c) (d) ½ 중심, 반지름 5 4. (a) (b), 절편, 절편 (c) (d) 20 (e) (f) 5. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 여기의문제를어렵게생각하면, 웹사이트 < 에있는해석기하학 복습을참조하라. C 진단평가 : 함수 1. 함수 의그래프는오른쪽그림과같다. (a) 의값을써라. (b) 의값을어림하라. (c) 의어떤값에대해 인가? (d) 인 의값을어림하라. (e) 의정의역과치역을말하라. 2. 일때, 차분몫 의값을찾고답을간단히하라. - xv -

16 3. 다음함수의정의역을찾아라. (a) (b) (c) 4. 함수 의그래프로부터다음함수의그래프는어떻게얻을수있는가? (a) (b) (c) 5. 계산기를사용하지말고, 다음함수의그래프를개략적으로그려라. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 6. 이라하자. (a) 와 의값을찾아라. (b) 의그래프를그려라. 7. 과 에대해다음함수를찾아라. (a) (b) (c) C 함수진단평가의답 1. (a) (b) 2.8 (c), 1 (d), 0.3 (e) (a) (b), (c) 4. (a) 축에대한대칭이동 (b) 2배만큼연직방향으로늘리고아래로 1단위평행이동 (c) 오른쪽으로 3단위평행이동하고위로 2단위평행이동 5. (a) (b) (c) (d) - xvi -

17 (e) (f) (g) (h) 6. (a) (b) 7. (a) (b) (c) 여기의문제를어렵게생각하면, 이책의 1.1 절과 1.2 절을보라. D 진단평가 : 삼각법 1. 다음육십분법을호도법으로바꿔라. (a) (b) 2. 다음호도법을육십분법으로바꿔라. (a) (b) 2 3. 반지름이 인원에서중심각이 인호의길이를찾아라. 4. 다음의정확한값을찾아라. (a) (b) (c) - xvii -

18 5. 오른쪽그림에서두변의길이 와 를 의식으로나타내라. 6. 와 가 0 과 사이의값이고 이며 일 때, 의값을찾아라. 7. 다음등식을증명하라. (a) (b) 8. 일때, 를만족시키는 의값을모두찾아라. 9. 계산기를사용하지말고, 함수 의그래프를그려라. D 삼각법진단평가의답 1. (a) (b) 2. (a) (b) (a) (b) ½ (c) 2 5. (a) (b) 6. 8.,,,, 9. 여기의문제를어렵게생각하면, 이책의부록 A 를보라. - xviii -

19 차례 Ⅰ 권 1 함수와극한 함수와그표현 필수적인함수목록 함수의극한 극한셈 연속 무한대와관련된극한 61 1 복습 75 2 도함수 미분계수와변화율 도함수 기본적인미분법 곱과몫의미분법 연쇄법칙 음함수의미분법 서로관련된변화율 선형근사와미분 복습 xix -

20 3 역함수 : 지수 로그 역삼각함수 지수함수 역함수와로그 로그함수와지수함수의도함수 지수적증가와감소 역삼각함수 쌍곡선함수 부정형과로피탈의법칙 복습 미분의활용 최댓값과최솟값 평균값정리 도함수와그래프의모양 곡선그리기 최적화문제 뉴턴의방법 역도함수 복습 적분 넓이와거리 정적분 정적분의값찾기 미적분학의기본정리 치환적분법 복습 xx -

21 6 적분의기법 부분적분법 삼각적분과삼각치환 부분분수 적분표와컴퓨터대수체계 근사적분 특이적분 복습 적분의활용 곡선사이의넓이 부피 기둥껍질에의한부피 호의길이 회전면의넓이 물리학과공학에의활용 미분방정식 복습 급수 수열 급수 적분판정법과비교판정법 다른수렴판정법 거듭제곱급수 거듭제곱급수에의한함수의표현 테일러급수와매클로린급수 테일러다항함수의활용 복습 xxi -

22 9 매개방정식과극좌표 매개곡선 매개곡선의미분과적분 극좌표 극좌표에서의넓이와길이 극좌표에서의원뿔곡선 복습 581 부록 부록 A1 A B C D 삼각법 A1 합의기호 A10 적분으로정의된로그함수 A15 증명 A23 찾아보기 / A38 - xxii -

23 Ⅱ 권 10 벡터와공간기하학 10.1 삼차원좌표체계 / 10.2 벡터 / 10.3 내적 / 10.4 외적 / 10.5 직선과평면의 방정식 / 10.6 기둥과이차곡면 / 10.7 벡터함수와공간곡선 / 10.8 호의길이와 곡률 / 10.9 공간운동 : 속도와가속도 11 편도함수 11.1 다변수함수 / 11.2 극한과연속 / 11.3 편도함수 / 11.4 접평면과선형근사 / 11.5 연쇄법칙 / 11.6 방향도함수와물매벡터 / 11.7 최댓값과최솟값 / 11.8 라그랑주곱수 12 다중적분 12.1 직사각형위에서의이중적분 / 12.2 일반적인영역위에서의이중적분 / 12.3 극좌표에서의이중적분 / 12.4 이중적분의활용 / 12.5 삼중적분 / 12.6 원기둥좌표에서의삼중적분 / 12.7 구면좌표에서의삼중적분 / 12.8 다중적분에서의변수변환 13 벡터해석 13.1 벡터마당 / 13.2 선적분 / 13.3 선적분의기본정리 / 13.4 그린의정리 / 13.5 회전과발산 / 13.6 매개곡면과그넓이 / 13.7 면적분 / 13.8 스토크스의 정리 / 13.9 발산정리 - xxiii -

25 1 함수와극한 CHAPTER 미분적분학은이보다먼저배우는수학분야와근본적으로다르다. 미분적분학은정적이라기보다는매우동적이다. 미분적분학은변화와운동을고려하고, 어떤값에접근하는변수를다룬다. 이에따라제 1 장에서는함숫값이바뀌면서극한에가까워지는방법을살펴봄으로써미분적분학에대한연구를시작한다. 1.1 함수와그표현 함수는한수량이다른수량에따라결정될때나타난다. 다음과같은네가지상황을생각하자. A. 원의넓이 는원의반지름 에따라결정된다. 과 를연결하는규칙은공식 으로주어진다. 의각양수와관련된 의값이한개있는데, 이에따라 는 의함수라고한다. B. 세계인구 는시각 에따라결정된다. 오른쪽표는연도를나타내는시각 에서세계인구 의어림값 ( 추정값 ) 을알려준다. 예를들면, 다음과같다. 시각 의각값에대응하는 의값이존재하는데, 이에따라 는 의함수라고한다. C. 제 1 종우편물의우송료 는우편물의무게 에따라결정된다. 와 를연결하는간단한공식은없지만, 우체국에는 를알때 를결정하는규칙이있다. D. 지진이발생하는동안지진계가측정한지면의연직가속도 는경과시간 의함수이다. 그림 1은 1994 년로스앤젤레스를강타한노스리지지진이발생하는동안지진활동으로생성된그래프를보여준다. 그래프는 의주어진값에대응하는 의값을제공한다. 용어함수 function 연직가속도 vertical acceleration 어림값, 추정값 estimate 연도인구 ( 백만 ) 용어이책에서는 vertical 을연직으로 perpendicular 는수직으로나타낸다. 5쪽의용어도보라. ( 초 ) 캘리포니아공업 지질국 위의각예는주어진수 ( 또는 ) 에또다른수 ( 또는 ) 를대응시키는규칙을설명하고있다. 각경우에둘째수를첫째수의함수라고한다. 그림 1. 노스리지지진이발생하는동안지면의연직가속도 1

의치역은 가정의역의모든값을취할때얻을수있는함숫값 전체의집합이다. 함수 의정의역에속한임의의수를나타내는기호를독립변수라한다. 의치역에속한수를나타내는기호를종속변수라한다. 예를들면, 보기 A에서 은독립변수이고 는종속변수이다. 함수를기계로생각하는것이유용하다.( 그림 2를보라.

26 2 제 1 장함수와극한 함수 는집합 에속한각원소 에집합 에속하고 로나타내는단한개의원소를대응시키는규칙이다. 용어및읽기정의역 domain 치역 range 이책에서는 공역 을생각하지않는다. 에서 의값 value of at 독립변수 independent variable 종속변수 dependent variable 그래프 graph 입력출력그림 2 함수 에대한기계모형 그림 3 에대한화살표모형 통상두집합 와 가실수의집합인함수를생각한다. 집합 를이함수의정의역이라한다. 수 는 에서 의값또는 에의한 의함숫값이다. 의치역은 가정의역의모든값을취할때얻을수있는함숫값 전체의집합이다. 함수 의정의역에속한임의의수를나타내는기호를독립변수라한다. 의치역에속한수를나타내는기호를종속변수라한다. 예를들면, 보기 A에서 은독립변수이고 는종속변수이다. 함수를기계로생각하는것이유용하다.( 그림 2를보라.) 가함수 의정의역에속한다면, 가기계에들어갈때이것은입력으로받아들여지고기계는함수의규칙에따라출력 를생산한다. 그러므로정의역은가능한모든입력의집합이고치역은가능한모든출력의집합으로생각할수있다. 함수를그림으로나타내는또다른방법으로그림 3에나타낸화살표모형이있다. 각화살표는 의원소를 의원소에연결시킨다. 화살표는 가 와대응하고 가 와대응함을가리킨다. 함수를가시화하는가장일반적인방법이그래프이다. 정의역이 인함수 의그래프는다음과같은순서쌍의집합이다. ( 각순서쌍은입력과출력의쌍이다.) 바꿔말하면, 의그래프는 가 의정의역에속하고 일때좌표평면에있는점 전체로이루어진다. 함수 의그래프는함수의행동또는 일대기 를보여주는유용한그림이다. 그래프에있는임의의점 의 좌표는 이므로, 의값을그래프에서점 위에서그래프의높이로해석할수있다. ( 그림 4를보라.) 그림 5에서와같이, 의그래프는또한 의정의역은 축에나타내고치역은 축에나타낼수있게한다. 치역 정의역그림 4 그림 5 Additional Example A와 B를보라. 보기 1 함수 의그래프는그림 6과같다. (a) 과 의값을찾아라. (b) 의정의역과치역은무엇인가?

27 1.1 함수와그표현 3 풀이 (a) 그림 6에서알수있듯이, 점 이 의그래프에놓여있으므로 1에서 의값은 이다. ( 바꿔말하면, 위에있는그래프의점은 3단위만큼 축위에있다.) 일때그래프는약 0.7단위만큼 축아래에있으므로, 로어림할수있다. (b) 그림에서알수있듯이 는 일때정의되므로, 의정의역은닫힌구간 이다. 가 부터 까지의모든값을취하므로, 의치역은다음과같다. 그림 6 함수의표현다음과같이함수를표현하는네가지가능한방법이있다. 말로 ( 말에의한설명으로 ) 가시적으로 ( 그래프로 ) 수치적으로 ( 수표로 ) 대수적으로 ( 명확한식으로 ) 구간에대한기호는참고사항 3 쪽에있다. 참고사항은이책의표지안에있다. 하나의함수를이네가지방법으로모두표현할수있으면흔히매우유용한데, 한가지표현을다른표현으로바꾸어그함수에대한또다른통찰력을얻을수있기때문이다. 그런데함수에따라서는네방법중에서더자연스럽게설명할수있는방법이있다. 이를마음에간직하고, 이번절의시작부분에서알아본네가지상황을다시살펴보자. A. 원의넓이를그반지름의함수로표현하는가장유용한방법은아마도대수 적공식 일것이다. 그렇지만수표를작성하거나그래프 ( 포물선의반 ) 를그릴수있다. 원의반지름은양수이므로, 정의역은 이고치역도 이다. B. 이함수는말로설명되어있다. 곧, 는시각 에서의세계인구이다. 세계인구를나타내는표는이함수를간편하게표현한다. 이를좌표평면에나타내면, 그림 7과같은 ( 점도표 라부르는 ) 그래프를얻는다. 이그래프도유용한표현인데, 모든데이터 ( 자료 ) 를한눈에파악할수있게한다. 식은어떨까? 물론, 임의의시각 에서의정확한세계인구 를알려주는명확한식을만들수는없다. 그러나 에 근사하는 ( 또는근접하는 ) 함수의식을찾을수는있다. 실제로, 지수회귀기능이있는그래프계산기를이용해서다음과같은근사를얻을수있다. 그리고그림 8은이것이매우잘 들어맞음 을보여준다. 여기서함수 를인구증가에대한수학적모형이라한다. 바꿔말하면, 는원래주어진함수의행동에근접하는함수로명확한식으로표현되어있다. 그런데앞으로알아보겠지만, 미분적분학의개념을표에도적용할수있다. 이에따라명확한식이필수적이지는않다. 용어점도표 scattered plot 수학적모형 mathematical model t 인구 ( 백만 )

28 4 제 1 장함수와극한 그림 7 인구증가에대한자료의점도표 그림 8 인구증가에대한수학적모형의그래프 수표로정의된함수를표함수 (tabular function) 라한다. ( 온스 ) ( 홍콩달러 ) 함수 는미분적분학을실세계에적용할때나타나는전형적인함수이다. 말로설명한함수에서출발해서, 그함숫값의표를만들수있다. 어쩌면과학실험계기의눈금으로부터함숫값을얻을수있다. 함숫값을완벽하게알지못하는경우에도, 이책에서알아보겠지만, 그런함수에대해서도여전히미분적분학의연산을시행할수있다. C. 또다시함수는말로설명되는데, 는무게가 인제 1 종우편물의우송료이다. 홍콩우체국에서 2012 년에이용하는규칙은다음과같다. 30 까지의비용은 1.40 달러이고, 30 초과 50 이하는 2.20 달러이며, 이렇게무게에따라비용이결정된다. 여백에실은표는이함수를표현하는가장편리한방법이다. 그렇지만그래프로도표현할수있다.( 보기 6을보라.) D. 그림 1의그래프는연직가속도함수 에대한가장자연스러운표현이다. 이함수에대한표를작성할수도있고, 근사함수를만들수도있다. 그러나지질학자가알고싶은사항은진폭과양식 ( 패턴 ) 뿐인데, 이는그래프로부터쉽게알수있다. ( 심장병환자의심전도와거짓말탐지기의그래프에나타나는양식에대해서도똑같은말을할수있다.) 다음보기에서연직으로정의되는함수의그래프를그려본다. 그림 9 보기 2 온수기의뜨거운물꼭지를틀면, 물의온도 는물이흐른시간에따라결정된다. 물꼭지를뜬뒤에흐른시간 의함수로서 의개략적인그래프를그려라. 풀이물은파이프에도있었기때문에, 처음에나오는물의온도는실내온도에가깝다. 탱크에있던뜨거운물이꼭지를통해흐르기시작하면, 는빠르게증가한다. 다음단계에서 는탱크에담긴뜨거운물의온도와똑같이일정하다. 탱크가비면, 는상수도의온도까지감소한다. 그러므로그림 9와같이 의함수로서 의개략적인그래프를그릴수있다. 보기 3 다음함수의정의역을찾아라. (a) (b)

29 1.1 함수와그표현 5 풀이 (a) 음수의제곱근은 ( 실수로 ) 정의되지않으므로, 의정의역은 인 의값전체로이루어진다. 이는 와동치이므로, 정의역은구간 이다. (b) 다음과같이쓸수있다. 함수가식으로표현되어있고정의역이명확히제시되어있지않으면, 정의역은그식이뜻이있고실수로정의되는실수전체의집합이다. 그리고 으로나눌수없으므로, 는 또는 일때정의되지않는다. 그러므로 의정의역은 이다. 이는구간기호로 와같이나타낼수있다. 함수의그래프는 평면에놓여있는곡선이다. 그런데 평면에서어떤곡선이함수의그래프일까? 다음판정법이이에대한답이다. 연직선판정법 평면의곡선이 에관한함수의그래프이기위한필요충분조건은모든연직선이그그래프와많아야한점에서만나는것이다. 연직선판정법이참인이유는그림 10 에서확인할수있다. 각연직선 가곡선과단한점 에서만나면, 정확하게한개의함숫값 가정의된다. 그런데직선 가곡선과두점 와 에서만나면, 이곡선은함수를표현할수없다. 함수는 에서로다른두값을대응시킬수없기때문이다. 용어연직선 vertical line 이책에서는 horizontal line 을수평선, vertical line 을연직선으로나타낸다. 이는수직선 (number line) 과구별하고, 직선또는평면에수직 (perpendicular) 이라는표현과도구분하기위함이다. 조각마다정의된함수 piecewise defined function 그림 10 조각마다정의된함수다음세보기에있는함수들은정의역을이루고있는서로다른부분에서서로다른식으로정의된다. 보기 4 함수 를다음과같이정의하자.,, 의값을찾고, 그래프를그려라. 풀이함수는규칙이다. 주어진함수 의규칙은다음과같다. 먼저입력 의값을관찰하자. 이면, 의값은 이다. 한편, 이면, 의값은 이다. 이므로, 이다.

30 6 제 1 장함수와극한 그림 11 용어절댓값 absolute value 계단함수 step function 절댓값에대한더자세한내용은 Review of Algebra 를열어보라. 이므로, 이다. 이므로, 이다. 의그래프는어떻게그릴까? 일때 이므로, 연직선 의왼쪽에있는 의그래프는직선 와일치한다. 이는기울기가 이고 절편이 인직선이다. 일때는 이므로, 직선 의오른쪽에있는 의그래프는 의그래프인포물선과일치한다. 그림 11과같이그래프를그릴수있다. 점 과같이속이비지않은점은그래프에속함을뜻하고, 점 과같이속이빈점은그래프에속하지않음을뜻한다. 조각마다정의된함수의또다른예는절댓값함수이다. 수 의절댓값은수직선에서 부터 까지의거리를뜻하며, 기호 로나타낸다. 거리는언제나양수이거나 이다. 곧, 모든수 에대해 이다. 예를들면, 다음과같다.,,,, 일반적으로다음이성립한다. 일때 이고, 일때 이다. (가음수이면, 는양수이다.) 그림 12 보기 5 절댓값함수 의그래프를그려라. 풀이앞의논의로부터다음을알수있다. 보기 4와똑같은방법을이용하면, 의그래프는 축의오른쪽에서는직선 와일치하고 축의왼쪽에서는직선 와일치함을알수있다. ( 그림 12를보라.) 그림 13 보기 6 이번절의시작부분에있는예 C에서무게가 일때홍콩에서제 1 종우편물의우송료 를생각했다. 실제로이것은조각마다정의된함수인데, 표로부터다음을얻기때문이다. 이그래프는그림 13에나타냈다. 그림에서이와같은함수를계단함수라고부르는이유를알수있다. 한값에서다른값으로도약한다.

31 1.1 함수와그표현 7 대칭함수 함수 가정의역의모든수 에대해 를만족시키면, 를 짝함수또는우함수라고한다. 예를들면, 은짝함수인데, 다음이성립하기때문이다. 용어짝함수, 우함수 even function 홀함수, 기함수 odd function 짝함수의기하학적의미는이것의그래프가 축에대해대칭이라는사실이다. ( 그림 14를보라.) 이에따라 에서 의그래프를그리면, 이부분을 축에대해대칭이동시켜서전체그래프를얻을수있다. Additional Example C와 D를보라. 그림 14 짝함수 그림 15 홀함수 함수 가정의역의모든수 에대해 를만족시키면, 를홀함수또는기함수라고한다. 예를들면, 은홀함수인데, 다음이성립하기때문이다. 홀함수의그래프는원점에대해대칭이다. ( 그림 15를보라.) 에서 의그래프를알고있으면, 이부분을원점을중심으로 180 회전시켜서전체그래프를얻을수있다. 보기 7 다음함수가짝함수인지홀함수인지, 아니면어느것도아닌지를판정하라. (a) (b) (c) 풀이 (a) 따라서 는홀함수이다. (b) 그러므로 는짝함수이다. (c) 이고 이므로, 는짝함수도아니고홀함수도아니다. 그림 16

32 8 제 1 장함수와극한 보기 7에있는함수들의그래프를그림 16에나타냈다. 의그래프가 축에대해서도대칭이아니고원점에대해서도대칭이아님을확인하자. 증가함수와감소함수 그림 17 용어증가함수 increasing function 감소함수 decreasing function 그림 17에나타낸그래프는 부터 까지올라가고 부터 까지는내려가며 부터 까지는다시올라간다. 이에따라함수 는구간 에서증가하고 에서감소하며 에서다시증가한다고한다. 과 가 와 사이의임의의두수이고 이면, 가성립한다. 이사실을증가함수를정의하는성질로이용한다. 다음이성립할때, 함수 는구간 에서증가한다고한다. 에서 일때마다 이다. 또다음이성립할때, 함수 는구간 에서감소한다고한다. 에서 일때마다 이다. 증가함수의정의에서, 에속한두수 과 의모든쌍에대해 이면부등식 가성립해야한다는사실이중요하다. 그림 18 로부터함수 가구간 에서감소하고구간 에서증가함을알수있다. 그림 익힘문제 1. 이고 일때, 인가? 2. 이고 일때, 인가? 3. 함수 의그래프는아래와같다. (a) 의값을말하라. (b) 의값을어림하라. (c) 인 의값은무엇인가? (d) 인 의값을어림하라. (e) 의정의역과치역을말하라. (f) 가증가하는구간은무엇인가? 4. 두함수 와 의그래프는아래와같다. (a) 와 의값을말하라. (b) 인 의값은무엇인가? (c) 방정식 의해를어림하라. (d) 가감소하는구간은무엇인가? (e) 의정의역과치역을말하라.

33 1.1 함수와 그 표현 9 (f) 의 정의역과 치역을 말하라 다음 곡선이 에 관한 함수의 그래프인지 판정하 라. 함수의 그래프이면, 그 함수의 정의역과 치역을 말하라 유리잔에 얼음 덩어리를 넣고 찬 물로 잔을 채운 다음에 잔을 탁자 위에 올려놓는다. 시간이 흐름에 따라 물의 온 도가 변화는 과정을 설명하라. 그리고 경과 시간의 함수 로 물의 온도를 개략적인 그래프로 나타내라 새해 첫날부터 경과된 일수의 함수로서 낮의 길이(시 간)를 개략적인 그래프로 나타내라. 13. 전형적인 봄날에 시각의 함수로서 외부 온도를 개략 적인 그래프로 나타내라 시간의 함수로서 20년 동안 새 자동차의 시장 가격 변화를 개략적인 그래프로 나타내라. 차는 잘 정비 되고 있다고 가정한다. 15. 어떤 커피 가격의 함수로서 가계에서 팔리는 그 커피 의 양을 그래프로 나타내라. 9. 다음 그래프는 어떤 사람의 몸무게를 나이의 함수로 나타내고 있다. 시간이 흐름에 따라 이 사람의 무게의 변화를 말로 설명하라. 이 사람이 30세일 때 어떤 일 이 벌어진 것으로 생각되는가? 16. 얼린 파이를 오븐에 넣고 한 시간 동안 굽는다. 그리고 밖으로 꺼내어 식힌 다음에 먹으려고 한다. 시간이 흐름 에 따라 파이의 온도가 변하는 과정을 설명하라. 시간의 함수로서 파이의 온도를 개략적인 그래프로 나타내라. 17. 어떤 집주인은 매주 수요일 오후에 잔디를 깎는다. 4 주 동안 시각의 함수로서 잔디의 길이를 개략적인 그 래프로 나타내라. 10. 아래 그래프는 시간의 함수로서 욕조에서 수면의 높 이를 보여준다. 어떤 현상이 나타났는지를 말로 설명 하라. 18. 한 비행기는 어떤 공항에서 이륙해서 400km 떨어진 다른 공항에 한 시간 뒤에 착륙한다. 비행기가 공항 터미널을 떠난 뒤 흐른 시간이 분일 때, 움직인 수평 거리를 라 하고 비행기의 높이를 라 하자. 이 때 다음을 나타낼 수 있는 그래프를 그려라. (a) (b) (c) 대지 속도 (d) 연직 속도

34 10 제 1 장함수와극한 19. 일때,,,,,,,,,, 를찾아라. 20. 반지름이 인치인구형풍선의부피는 이다. 풍선의반지름을 인치에서 인치로부풀리기위해필요한공기의양을나타내는함수를찾아라 다음함수에대한주어진차분몫을셈하고, 간단히하라. 21., 22., 23., 24., 다음함수의정의역을찾아라 함수 의정의역과치역을찾고, 그래프를그려라 다음함수의정의역을찾고, 그래프를그려라 ½ 그래프가다음곡선인함수의식을찾아라. 43. 두점 과 을잇는선분 44. 두점 와 을잇는선분 45. 포물선 의아래쪽반 46. 원 의위쪽반 다음에서설명하는함수의식을찾고, 정의역을말하라. 47. 둘레가 20 m인직사각형의넓이를어떤한변의길이의함수로나타내라. 48. 넓이가 16 m 2 인직사각형의둘레를어떤한변의길이의함수로나타내라. 49. 정삼각형의넓이를한변의길이의함수로나타내라. 50. 정육면체의겉넓이를그것의부피의함수로나타내라. 51. 들이 ( 부피 ) 가 2 m 3 이고뚜껑이없는직육면체상자의밑면은정사각형이다. 이상자의겉넓이를밑면의한모서리의길이의함수로나타내라. 52. 어떤휴대전화는한달기본요금이 35달러인데, 400 분까지의통화는무료이고그이상은 1분마다 10센트의요금이부과된다. 이휴대전화의한달요금 를 분사용했을때의함수로나타내고, 600일때 의함수로서 의그래프를그려라. 53. 어떤나라에서는소득세를다음과같이부과한다 달러까지의소득에는세금이없고, 달러를초과하는소득에는 10% 의세금을 달러까지의소득에부과한다 달러를초과하는소득에는 15% 의세금을부과한다. (a) 소득 의함수로서세율 의그래프를그려라. (b) 달러의소득에는얼마의세금이부과되는가? 달러에는? (c) 소득 의함수로서부과된전체세금 의그래프를그려라.

35 1.2 필수적인함수목록 보기 6 및익힘문제 52와 53(a) 에있는함수들을 계단함수 라하는데, 그래프가계단처럼보이기때문이다. 일상생활에서나타나는계단함수의또다른예를두가지들어라 두함수 와 의그래프가다음과같을때, 와 가짝함수인지홀함수인지, 아니면어느것도아닌지를판정하라. 그리고그이유를설명하라 다음 가짝함수인지홀함수인지, 아니면어느것도아닌지를판정하라. 그래프계산기를이용해서답을확인하라 (a) 점 이짝함수의그래프에속할때, 그그래프에반드시속하는다른점은무엇인가? (b) 점 이홀함수의그래프에속할때, 그그래프에반드시속하는다른점은무엇인가? 58. 함수 의정의역은 이고, 아래그림은 의그래프의일부이다. (a) 가짝함수일때, 의그래프를완성하라. (b) 가홀함수일때, 의그래프를완성하라. 65. 와 가모두짝함수일때, 는짝함수인가? 와 가모두홀함수일때, 는홀함수인가? 는짝함수이고 는홀함수일때는어떤가? 자신의답을입증하라. 66. 와 가모두짝함수일때, 곱 는짝함수인가? 와 가모두홀함수일때, 는홀함수인가? 는짝함수이고 는홀함수일때는어떤가? 자신의답을입증하라. 1.2 필수적인함수목록 미분적분학의문제를풀때, 일상적으로나타나는몇가지함수의그래프 를잘알고있으면매우쓸모있다. 이와똑같은기본적인함수들이실세계현상의모형을제작하는데흔히이용되므로, 수학적모형제작에대한논의로시작하자. 또, 이런함수들을그그래프를평행이동, 확대, 대칭이동시켜서변환하는방법과함께함수들의쌍을표준적인산술연산과합성으로결합하는방법도간단하게검토하겠다. 용어수학적모형제작 mathematical modeling 수학적모형 mathematical model 수학적모형제작 수학적모형은실세계현상에대한 ( 흔히함수또는방정식을이용한 ) 수학적인표현이다. 실세계현상의예로인구, 상품에대한수요, 낙하체의속도,

36 12 제 1 장함수와극한 화학반응에서어떤생성물의농도, 신생아의예상수명, 배출가스의축소비용등이있다. 모형의목적은그현상을이해하고가능하면미래의행동을예측하는것이다. 그림 1은수학적모형제작과정을예시한다. 주어진실세계문제를해결하기위한첫째과제는수학적모형의공식화인데, 종속변수와독립변수를확인하고이름을붙이며, 그현상을단순화하는가정을세워서수학적으로충분히다룰수있는상태로만드는것이다. 자연현상에대한지식과수학실력을발휘해서변수사이를연관짓는방정식을얻는다. 안내해줄자연법칙이없는상황에서는, ( 도서관또는인터넷또는자체적인실험을통해 ) 데이터 ( 자료 ) 를수집해서패턴 ( 양식 ) 을인식할수있도록표의형태로그자료를살펴볼필요가있다. 함수에대한이런수치적인표현으로부터자료를좌표평면 ( 공간 ) 에점을찍어그래프로표현할수있을것이다. 어떤경우에는그래프로부터적절한대수적식을찾을수도있다. 그림 1. 모형제작과정 제 2 단계에서는앞에서공식화한수학적모형에 ( 이책에서전개할미분적분학과같은 ) 수학을적용해서수학적결론을이끌어낸다. 제 3 단계에서는수학적결론을원래의실세계현상에관한정보로해석하는데, 그현상을설명하거나예측하는방법을이용한다. 마지막단계는위의예측을실제의새로운자료를통해확인해봄으로써검증한다. 예측이실제와잘부합되지않으면, 기존의모형을개선하거나새로운모형을공식화해서위의과정을반복한다. 수학적모형은결코자연현상에대한완벽하게정확한표현이아니다. 이는 이상화 이다. 좋은모형은실제현상을충분히단순화시켜수학적계산이가능하도록하면서도충분히정확해서가치있는결론을제공한다. 그렇지만모형의한계를확실히이해하는것이중요하다. 결국, 어머니인자연만이최종적인결정권을쥐고있다. 실세계에서관찰한관계에대한모형을만드는데이용할수있는서로다른형태의함수가많이있다. 아래에서는이런함수들의행동과그래프에대해논의하며, 그런함수로적절한모형을만들수있는상황을제시하겠다. 직선에대한좌표기하학을다시알아보려면 Review of Analytic geometry 를열어보라. 선형모형 가 의일차함수또는선형함수라는말은, 함수의그래프가직선임을뜻한다. 그러므로직선의방정식에대한기울기 절편형식을이용해서일차함수를다음과같은식으로나타낼수있다.

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속 2 1.1 함수를표현하는네가지방법 함수 f : D E 는집합 D 의각원소 x 에집합 E 에속하는단하나의원소 f(x) 를 대응시키는규칙이다.