3 주차 (1~3 차시 ) 구성주의와수학교육철학 www.ewha.ac.kr
Contents 구성주의를중심으로 Contents 1 Contents 2 Contents 3 Contents 4 Contents 5 Contents 6 수학교육의추구방향에대한일반입장 수학의본질 현대수학교육철학 조작적구성주의급진적구성주의사회적구성주의
수학교육이추구하는일반입장 수학적사고방법은우리의경험과관념을정돈하고새로운사고모델을고안하는가장강력하고우아한도구이다. 수학과다른교과와의구분은극복되어야한다. 수학의기본적인개념이갖는설명력은충분히이용되어야한다. 학생의자기활동이매우폭넓게주어져야한다 학생들은알고있는수학을새로운문제와앞으로창조해야할수학에적용하는것을학습해야한다. 김응태외 (2008) 수학교육학개론 p 65~66
수학의본질 1) 경험론적해석과선험론적해석 경험론자의해석 : 수학적개념은물리적이든 ( 대상으로부터의추상화 ) 심리적이든 ( 내관적자료로부터의추상화 ) 경험으로부터이끌어짐 선험론적해석 : 차후의모든수학적구성을미리결정하는완성된구조의존재를가정 수학적구성을미리결정하는완성된구조의존재함 수학적구성은처음부터필연성을갖는다 (Hilbert 의사전에확립된조화, Kant 의선험적직관 )
수학의본질 2) 유명론적해석 논리와수학을언어로설명하려고함. 수학적구조를언어적활동의법칙으로환원하려는견해. 비엔나클럽 - 논리적실증주의가대표적 - 실험적이며지각에근거한종합적인진 ( 관찰명제 / 사실진리 ) vs 정의에서출발하는순수한동어반복 (tautology) 의결합에근거한분석적인진 ( 이론명제 / 이론진리 ) 을구분 - 관찰명제는유의미함. 이론명제를관찰명제로바꾸는것 ( 정의 ) 이철학자의할일. 논리, 수학적진을의미론적으로완성된일반적인토톨로지컬한구문론으로보려는시각
수학의본질 3) 플라톤주의적해석 가시계 vs 가지계 수학의인식과정 회상 / 발견 ( 신론 p138) 수학적대상 = 이데아 부트루 : 수학의역사를세시대로구분하여현대수학의플라톤주의로의복귀경향을표현 - 명상적인이상 종합적인이상 진정한객관성의이상 장점 : 수학의객관적강건성을보다잘설명할수있고창조적구성이라는아이디어를구명하는어려움을피할수있다
수학의본질 3) 철학자군주양성을위한수학교육 일반인 / 철학자구분수학교육과정 / 동굴의비유 산술 ( 수론 ) vs 기하학 : 실제적유용성과철학적유용성모두가진학문 vs 철학적유용성 ( 신론 p.141< 국가 > 인용문 ) 소크라테스의산파법 ( 유인물참조 : 플라톤의대화편 < 메논 >):- 수학을지도할때의견의도출, 논박을통한무지의자각, 탐구의욕의유발, 지식의상기를돕는조산과정을거치는산파법이용산파로서의교사 : 지식을가르쳐주거나설명해주는역할을하기보다단지질문만을하여아동의영혼에내재된지식을상기하도록도와주는산파의역할
수학의본질 4) 준경험주의 준경험주의는 Lakatos 로대표되는수리철학으로수학적지식은준경험적이고오류가능하며인간의창조적활동 ( 발명 ) 의산물이다. 수학은고정된기초위에세워진유한한구조가아니라항상성장하고변화함에따라기초를수정해나가는지식체이다. 따라서수학적지식은절대적진리도아니고절대적확실성도갖지않으며수학적지식은오류가능하므로끊임없는개선의여지가있다. 수학적발견의논리 ( 발견술 ) 을기초로수학적지식발생의메커니즘의기초를제시함
4) 준경험주의 - 학교수학의내용을소재로하여학생들에게수학적지식을수정, 개선해가는경험하게하는구체적인방안으로도입 수학적지식의성장과정 1 단계원시적추측 : 수학적추측을제기하는단계 2 단계증명 : 추측을부분추측으로분해하는사고실험의단계 3 단계전면적반례 ( 원시적추측에대한반례 ) 출현 vs 국소적반례 ( 원시적추측의부분추측에대한반례 ) 4 단계증명의재검토 : 증명을검토하여증명과추측을개선하는단계 전면적반례가국소적반례가되는보조정리 (guilty lemma) 확인, 이보조정리가명백해지고원시적추측에조건으로부가됨. 개선된추측으로서의정리는원시적추측을대신함 ( 보조정리합체법 )
조작적구성주의 Piaget 의수학인식론 : 발생론과관계적구조주의의통합을시도한균형이론 점생설적입장에서서주체가조직과적응 ( 동화와조절 ) 이라는자기조정적인불변적기능을갖고객체와의상호작용을통해서점진적으로균형잡힌가역적인행동체계를스스로통합, 구성해간 다고봄 지식 - 조작적스키마 내면화된가역적행동 행동과조작의일반적구조대상에행동하고대상을변형시키는과정을통해서주체가스스로구성하는것 결합 ( 분리 ), 순서화, 대응, 반복, 단순대치등
수학의본질 조작적구성주의적해석 수학적개념은감각운동적스키마를출발점으로하는구성의산물이다. 감각운동은환경과의적응과정에서분화, 조정되고처음에는실제적인행동이었던것이행동의결과에주목하는것 ( 추상화 ), 곧논리. 수학적경험에의해내면화된행동 ( 예, 신론 p163 수세기, 덧셈의교확법칙획득 ), 즉구체적조작으로구성되고다시그로부터형식적조작으로재구성되어가는것이며, 수학은이러한형식적조작의체계로봄. 물리적경험 ( 예, 무게개념획득 )/ 심리적경험
조작적구성주의 논리 - 수학적개념 : 행동과조작의일반적조정 (regulation) 으로부터반영적추상화 (reflective abstraction) 를통해형성된조작적스키마 경험적추상화 ( 사과의무게비교 )/ 반영적추상화 ( 사과의수세기 ) 수의보존 반영적추상화 : 반사와반성 반사된내용은반성에의한새로운형식의구성에이르러일시적균형상태 ( 보다포괄적익조작적스키마로의교대작용 )
조작적구성주의 순서화와수세기라고하는행동스키마의조정에의한수의보존이라는조작적스키마의구성 수학의본질은조작적스키마이며수학적활동은 scheme 을구성하고적용하는것. 학습 ( 인지발달 )- 환경에의적응과정에서끊임없이일어나는인지적균형의파괴와동화, 조절에의한새로운균형화가반복되는 scheme 의끊임없는재구성과정
조작적구성주의 수학적지식은인간의조작활동에근원을두고있으므로, 수학수업에서수학적지식의발생적근원이되는조작활동을강조해야한다. 수학적지식구성의과정은반영적추상화의과정이므로, 자신의조작활동을사고의대상으로의식화하여반성하는활동을강조해야한다. 피아제 : 반 - 역사발생적임 / 심리발생적원리 교사는지도할내용을조작으로해석하고아동이그러한조작을구성할수있는상황을만들어주어야한다. 아동이자주적인탐구에의해수학적조작을구성할수있도록한다. ( 예, 조작적수계산 -Cuisenaire 색막대 )
급진적구성주의 1. 자주적구성의원리지식은감각을통하거나의사소통에의해수동적으로받아들여지는것이아니다. 지식은인식하는주체에의해서능동적으로구성된다. 2a. 생장지행성의원리인식의기능은적응적이며, 생물학적용어로적합성또는생장성 (viability) 을지향하는경향을지닌다. 2b. 비객관성의원리인식은주체가경험세계를조직하는데도움을주는것이지, 객관적인존재론적실재를발견하는것을돕는것이아니다.
급진적구성주의 지식은언어를통해전달될수없으며, 개인의경험을통한추상화과정에의해구성된다. 개인은특정한자신의경험세계에잘대처하고적응하기위한지식을구성한다. 지식은인간이구성한것이며그것이인간이알수있는전부이다. 객관적실재의존재여부또는그것과지식의관련성은무의미하다. 수학적지식의확실성은수학적지식의적합성, 적응성으로대치되어야한다. 개별주체들의의사소통은주관적경험세계의상대적합의영역이존재할때가능한것이며, 객관적실재로부터도출되는것은아니다.
급진적구성주의 교사는안내자로서학생개개인이각기다양한방식으로지식을구성하는것을격려해야한다. 각각의주체는그들자신의방식으로그들자신을둘러싼환경에적응하기위해자신의경험을조직한다. 각각의주체는개별적이고주관적인자신의이해의세계의중심이다. 각개인이구성한지식은필연적으로고유하며상황의존적이다. ( 지식의주관적측면강조, 학생개개인이고유한방식으로지식을구성하게하는교육지지 )
사회적구성주의 객관성의의미 : 사회적합의가능성 - 자연언어 ( 인간이일상적으로사용하는언어 ) 의공유성 / 사회의역할, 언어의역할강조 수학은사회적구성물로서절대화된수학적지식은없으며지식은오류가능하다. 수학이사회적구성물이라는사실은수학이언어에기초하며언어가사회적산물이라는점에의해뒷받침된다. 수학은사회적환경에따라상대적이므로다른수학이구성될수있다. 수학은가치독립적이지않고다른지식과문화, 이데올로기등과관련된다.
사회적구성주의 개인의주관적인수학적지식은공표를통해사회에알려지고공적인비판과재구성과정을거쳐객관적인수학적지식이된다 ( 창조의과정 ). 이러한객관적지식은다시개인에게주관적지식으로내면화된다 ( 학습, 재구성, 수학적문화화의과정 ).[ 신론 p. 171 그림 3-3-2] 주관적지식으로부터객관적지식으로의이행과정에관심을둠 / 사회적상호작용이지식형성또는구성과정의핵심 학생들의발표와토론이중시되는사회적상호작용수업지지
구성주의수학교수 - 학습원리 학생중심적개별화의원리 개인의능력차및개성의차이를고려하는교수 - 학습지향 ( 맞춤형학습 ) 발문중심적상호작용의원리 학생이학습의주체가되어스스로지식을구성해갈수있도록교사가학생과의상호작용에입각한발문을중심으로학생을안내하거나조력해야한다 ( 논리적으로조직된정보로부터새로운어던것을구성할것을요구하는발문등 / 사고실험필요교사의적절하고관심있느ㄴ관찰과안내 신론 p.174)
구성주의수학교수 - 학습원리 의미지향적활동의원리 학생들의활동에내재된의미를수학적으로표현하게하여활동에내재된의미를지식으로구성하게하는것 / : 학생들이적절한수학적활동에단순히참여했기때문에자동적으로수학적지식을구성하는것은아님 : 적절한문제상황이나과제의설정 반영적추상화의원리 자신과타인의활동을반성하는태도및교실환경중시의미의구성을증진시키는조작활동