< 기계공학부졸업논문 > 농구대의위상최적화를이용한설계와안전성검토 이겨레 ( ) 지도교수 : 민승재교수님 Design a Basketball Backstop by Topology Optimization and Analysis Lee,gyeory

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지효 위
4 years ago
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1 < 기계공학부졸업논문 009.5> 농구대의위상최적화를이용한설계와안전성검토 이겨레 ( ) 지도교수 : 민승재교수님 Design a Basketball Backstop by Topology Optimization and Analysis Lee,gyeorye Key Words : Topology Optimization( 위상최적설계 ), Basketball Backstop( 농구대 ), Modal Analysis( 모드해석 ), Structural Strength Design( 구조물강도설계 ), Iso Surface( 아이소서피스 ), Displacement( 이동거리 ), Mode( 모드 ), Frequency( 주파수 ), Eigen Value( 고유값 ), Stress( 응력 ) Abstract 집근처운동장이나, 농구장을가보면다양한종류의농구대가존재함을인지할수있다. 그만큼농구대의형상결정이자유로워질수록, 엔지니어가결정해야할변수들은늘어나게된다. 따라서, 농구대의개념설계단계에서프레임의토폴로지를경정하는방법이제시될수있다. 본논문에서는토폴로지최적화란기법을이용하여농구대의형상을위상최적화를통해개념설계를한후, 이를토대로강도설계를통해새로운형상을캐드모델링을하고, 모드해석을통해안정성을점검하기로한다. 기호설명 a(,) : 변형률에너지이중선형형태 l ( ) : 하중의선형형태 Dx ( ): 탄성텐서 D 0 : 등방성재료의초기탄성텐서 f : 체력 a b : 공의가속도 s : 공의변위 v : 초기속도 1 v : 최종속도 1. 서론 1.1 최적설계의필요성최근살인적인물가상승과원유가격의상승으로많은제조업체들은제조원가절감과동시에수송에들어가는운행비절감에다양한노력을기울이고있다. 유한요소법을이용한최적설계는최근트렌드인자동차등의일반기계부품뿐만아니라선박, 항공우주산업등과같은수송기계산업에서추구하는구조경량화추세로인해보다적은무게를가지면서부여된하중이나경계조건등을만족할수있는구조물의최적구조설계에대한관심이높아매우활발한연구가진행되고있다. 즉이러한부품의무게를줄임으로써제품의생산원가절감효과및제 1

품의전체무게감량으로운행비절감등의효과를얻을수있다. 1. 위상최적설계의필요성최적화문제는크게 가지로분류할수있는데, 치수 (size) 최적화, 형상 (Shape) 최적화, 그리고위상 (Topology) 최적화가있다. 치수최적화는정해진형상에대해서공학적설계변수인단면적, 형상의두께, 관성모멘트등을이용하여이들의치수를변화시키면서반복적인 FEA 를통해최적의치수를얻는방법이다.

2 품의전체무게감량으로운행비절감등의효과를얻을수있다. 1. 위상최적설계의필요성최적화문제는크게 가지로분류할수있는데, 치수 (size) 최적화, 형상 (Shape) 최적화, 그리고위상 (Topology) 최적화가있다. 치수최적화는정해진형상에대해서공학적설계변수인단면적, 형상의두께, 관성모멘트등을이용하여이들의치수를변화시키면서반복적인 FEA 를통해최적의치수를얻는방법이다. 그리고형상최적화는구조물의연속적인경계면의형상을변수로하여최적화하는기법이다. 하지만치수, 형상최적화는형상을변화시키지못하고, 자유도 (DOF Degree Of Freedom) 가한정적인단점을지니며, 구조물의초기위상이결정되고난이후에최적화과정의수행이가능하며, 구조물의위상이고정된것으로가정을해최적화된형상이초기위상에많은제한을받게된다. 이에반해위상최적화는위상의고정화, 자유도가묶이는문제등을해결할수있는최적화알고리즘이다. 본논문에서는기존에설계되어있던농구대를정적, 모드해석을하고, 위상최적설계를통해새로운형상을제시하고비교검토하여타당성을제시해본다. 형상모델링은 CATIA V5, 각모델의해석은 HyperMesh 와 COMSOL, 위상최적화는밀도법으로 Optistruct 를사용하였다.. 위상최적화기본이론.1 위상최적설계구조물을구성하는다공성의물질내부에존재하는공공의크기를설계변수로이용하는위상최적설계는, 형상최적화과정에서발생하는위상이고정되는문제를해결할수있고, 자유도가더자유로워지는장점이있다. 위상최적설계는크게두가지로분류된다. 첫번째는직교이방성 (orthotropic) 물질의강성계수를이용한균질화법 (homogenization method) 과등방성 (isotropic) 물질의강성계수를이용한밀도법 (density method) 이다. 후자가계산이수월해큰구조물을다룰때자주쓰인다. Fig. 1 Generalized topology optimization problem. 밀도법 (SIMP) SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization) 법 m 을설명하기위해서다음과가정을따른다. 이라는영역안의어떤기계요소를선택한다. m 은 이라는큰공간에속하는한부분이며이는밀도를설계변수로설정하고, 주어진하중조건과경계조건을만족해야한다. 다음으 로주영역 안에서다음과같은값들을정의할수있다. 먼저영역전반에걸쳐정의되는 Elasticity tensor, Dx ( ), 평형상태에서탄성체내부에존재하는 가상일 z 와임의의가상변위 z 로두가지가선형중첩되어이루어진, a (z, z) 그리고선형 하중형태의 l(z) 등이있다. 위상최적화의경우주로 minimum compliance (maximum stiffness) 를목적함수로하여위상최적화가진행이되며다음과같다. Minimize ψ ( z) : objective function Subject to a( z, z ) = l( z ), for all z Z ψ( z) = c ( ρ) 1 T c( ρ) = ε D( ρ) εd 여기서, Z 는 feasible region 을의미한다. 또한, 앞서설명했던, a (z, z), l(z) 는다음과같 으며 T ( ) ( ) ε( ) azz (, ) = ε z D x z d () T T l( z ) = f zd+ t zds Γt

식 () 에서의선형화된 strain 은다음과같다. ε ij ( z) 1 z z i j = + xj x i 여기서, t 는 traction boundary, traction, Γt 위의 boundary zi 는 i 번째좌표방향의변위성분이며, xi 는 i 번째좌표이다. SIMP 모델에서 Elasticity tensor 는다음과같이표현된다.

3 식 () 에서의선형화된 strain 은다음과같다. ε ij ( z) 1 z z i j = + xj x i 여기서, t 는 traction boundary, traction, Γt 위의 boundary zi 는 i 번째좌표방향의변위성분이며, xi 는 i 번째좌표이다. SIMP 모델에서 Elasticity tensor 는다음과같이표현된다. Table 1 Material Property Young s Modulus (GPa) Poisson s ratio Density ( kg/m ) Acryl Steel p ( ρ ) = ρ( ) 0 D,x x D where : p > 1, x p 는 penalty parameter 이고, 최종적으로설계변수 ρ ( x) 는일반화된재료의밀도로볼수있으며 다음과같은조건을만족한다. ( ) ( ) 0 ρ x 0 ρ x 1 d V Fig.1 은일반화된위상최적화에대해보여준다. Fig. Old Model(CATIA Model). 기존모델의해석 (FEA).1 유한요소형상및 D 형상모델링위상최적화를통해설계될새로운모델과비교할기존모델은, KSA( 한국표준협회 ),KSSN( 한국표준정보망 ) 및여러책에서정의하고있는규격에맞추어서, 한양대학교체육관에있는농구골대와 KBL 에서사용하고있는농구대를기본으로하여 Rough Design 을제시하였다. 형상은 Fig. 에나타내었다. 이모델의전체부피는 m 이며, 이중에아크릴판의부피를제외하면, 실제 Steel 로만 이루어져있는부분의부피는 m 이다. 위모델은 Tetra 요소망으로 89 개의요소로이루어져있다. 설계에사용될물질은기본 Steel 로물성치는 Table 1 에나타내었다.. 구속조건의적용먼저농구대를지지하는부분은바닥에고정되어있다 (fixed condition) 고가정을한다. 다음으로농구대에작용하는하중은크게두가지로나누어생 각할수있는데그중하나는사람이림에메달릴때의아크릴판에작용하는전단에의행하중이며, 다음으로는농구공이아크릴판에부딪힐때발생하는분포하중이있다. 먼저 Shear Force 에대한조건을보면, 표준번호 KS G 57 에서정의하고있는농구대의테스트조건에서작용하중을 100kg 으로가정하고있지만, 이번논문에서는 00kg 의사람이메달렸을때로 가정한다. 중력가속도를 10m/s 하여, 000N 이작용한다고한다. 다음으로농구공이아크릴에가하는힘은다음과같이구할수있다. 농구선수가농구대로부터 4.5m 떨어진곳에서초당 7m/s 의속도로공을던진다고하면, 농구공의가속도는 v v = as a 1 b v v1 b = s (1) 식 (1) 을통해 5.4 m/ s 이되고, 농구공의질량은 KBL 에서규정하고있는규격에맞추어 615g 으로선정한다. 따라서농구공이가하는힘은 4N

정도로정의하며, 가속도의변화정도를고려하여 40N 을설계변수로정의한다. Shear Force 의작용면적은시중에제작되고있는농구림의아크릴과의접촉면적 (11.5cm 9cm ) 을기준으로으로설정하였다. 농구공에의해작용하는분포하중은농구공의직경 4cm 를기준으로하여 5cm 5cm 면적에작용한다고가정하였다.

479mm 으로산업자원부기술표준원에서정의하고있는농구대의강도테스트를만족하는값으로, 다음장에서다시설명하겠다. 농구대의첫번째모드의 Eigen Frequency 는 7.65515 로나타났다. Fig. Old Model(Von-Mises stress) 4. 위상최적화 4.1 유한요소형상모델링위상최적화를하기위해필요한솔리드모델을생성한다.

4 정도로정의하며, 가속도의변화정도를고려하여 40N 을설계변수로정의한다. Shear Force 의작용면적은시중에제작되고있는농구림의아크릴과의접촉면적 (11.5cm 9cm ) 을기준으로으로설정하였다. 농구공에의해작용하는분포하중은농구공의직경 4cm 를기준으로하여 5cm 5cm 면적에작용한다고가정하였다. 농구대의프레임에해당되는부분은 Steel 과백보드에해당되는 Acryl 의물성치는 Table 1 에나타내었다.. 유한요소해석결과유한요소해석을통해농구대의최대응력과변위그리고 Eigen Frequency 를구해보았다. 응력분포는 Fig. 와같이나타나며, 최대응력이작용하는구간은면적이급격하게변하는곳에서발생하였다. 그리고최대변위값은 0.479mm 으로산업자원부기술표준원에서정의하고있는농구대의강도테스트를만족하는값으로, 다음장에서다시설명하겠다. 농구대의첫번째모드의 Eigen Frequency 는 로나타났다. Fig. Old Model(Von-Mises stress) 4. 위상최적화 4.1 유한요소형상모델링위상최적화를하기위해필요한솔리드모델을생성한다. 이솔리드모델은산업자원부기술표준원에서제시하고있는표준번호 KS G 57 를참조하여, Fig.4 과같이설정하였다. Fig. 4 Solid Model for Topology Optimization 4. 위상최적화를위한구속조건과목적함수위상최적화를위한구속조건은산업자원부기술표준원에서제시하고있는농구대의강도테스트기준을만족시키도록한다. 그렇게하면, 기존모델을해석할때의조건에다가, 림이백보드와닿는부분의 Node 에서의 Displacement 가 1mm 이하가되어야한다는표준 KS G 57 을참고하여적용한다. 다음으로위상최적설계를위해만들었던 Solid 의전체부피를최대 4% 까지만사용하는 Volume Fraction. 고유진동수가 0 이상이되어야한다는조건까지 가지의구속조건이적용되었다. 목적함수는 Compliance 즉, Stiffness 가최대가되도록하였다. Fig.5 에 fixed region 과 load 가적용되는부분을표시해놓았다. 빨간화살표는고정지지를뜻하고, 노란화살표는사람에의한 Shear 를마지막으로하얀화살표는농구공에의한분포 Non-Design Region Design Region Fig. 5 Design Region & Load Steps 하중을의미한다. 4. 설계 / 비설계영역정의위상최적화를수행하기위해서는위상최적화 4

Fig. 6 The result of Topology Optimization Fig.

이와반대로설계영역은 (design domain) 이라고하며, 위상최적설계를통해형상이변화하는구간이다. 농구대의백보드는규격이정해져있으므로, 비설계영역으로설정하고물성치는 Acryl 을사용하고, 그외의부분은설계영역으로설정한뒤물성치는 Steel 을사용한다. Fig.

재료의분포는 Shear 가작용하는면적에맞추어서밀도가높아지며분포하게되고, 고정점에서 4 개의발이나오면서부피를줄여나가는것을볼수있다. 위상최적화를통해도출된형상의경우다양한프레임이생성됨을확인할수있다. Fig. 8 Expected 4% Model 5.

5 Fig. 6 The result of Topology Optimization Fig. 7 The result of Topology Optimization 이후에도재료의밀도의변화가없는부위를따로정의해주어야하는데, 이를비설계영역 (nondesign domain) 이라고한다. 이와반대로설계영역은 (design domain) 이라고하며, 위상최적설계를통해형상이변화하는구간이다. 농구대의백보드는규격이정해져있으므로, 비설계영역으로설정하고물성치는 Acryl 을사용하고, 그외의부분은설계영역으로설정한뒤물성치는 Steel 을사용한다. Fig.5 에이를나타내었다. 4.4 위상최적화해석결과위상최적화결과는 Fig.6 과같이나타나는데, 이를 Iso Surface 로 Plot 하여나타내면, Fig.7 과같이나타난다. 재료의분포는 Shear 가작용하는면적에맞추어서밀도가높아지며분포하게되고, 고정점에서 4 개의발이나오면서부피를줄여나가는것을볼수있다. 위상최적화를통해도출된형상의경우다양한프레임이생성됨을확인할수있다. Fig. 8 Expected 4% Model 5. 최적형상의구조해석 5.1 수정되지않은 FEM 파일의출력이번논문을지도해주신민승재교수님연구실에서연구를진행하고있는임성훈선배님의프로그램을통해 FEM 파일을출력할수있었다. 위상최적화를진행할때, 정육면체 Element 의폭을 50mm 로결정하고진행하여서, FEM 파일로출력할당시에도 Element 사이즈를 50 으로하였다. 하지만 Volume Fraction 4% 를만족하는모델의경우, 재료의밀도가연속적이지않아 (Fig.8 참조 ) 역학 Fig. 9 FEM of 8% Model 적으로타당하지않으며, 해석이불가능하다. 따라서 8% 모델을출력하여재료의위치및밀도정도를파악하여새로운모델을디자인하는데도움이되도록하였다.(Fig.9 참조 ) 5

5. 새로운 CAD 파일 Modeling FEM 파일에서의 Element 의위치와수를바탕으로하여 CATIA V5 에서모델을생성하였다. 이모델의체적을 COMSOL 을통해계산해본결과 0.477451m 임을알수있었다. 여기서다시아크 릴판의부피를제하면, 0.8951 m 이된다.

10 New CAD Model(CATIA) 5. 위상최적화모델의구조해석결과새롭게설계된모델의경우기존설계와달리프레임구조가복잡하지만, 응력을기존모델에비해잘분산시켜서구조적으로, 상대적으로더안전하다고할수있다. 또한기존모델의설계영역의 체적이 0.446666 m 임에반해새롭게설계한모델 의경우체적이 0.8951 m 로 14.% 정도감소하였다.

6 5. 새로운 CAD 파일 Modeling FEM 파일에서의 Element 의위치와수를바탕으로하여 CATIA V5 에서모델을생성하였다. 이모델의체적을 COMSOL 을통해계산해본결과 m 임을알수있었다. 여기서다시아크 릴판의부피를제하면, m 이된다. 위의모델이 Optimization Constraint 이었던 Volume Constraint 4% 를만족하는지확인해보면, 위상최적화를위해만들었던솔리드모델의체적은 m 이며, 백보드의부피를빼주면 m 이되어체적비를계산해보면대략.1% 로 Volume Fraction 을만족함을알수있다. (Fig.10 참조 ) Fig. 10 New CAD Model(CATIA) 5. 위상최적화모델의구조해석결과새롭게설계된모델의경우기존설계와달리프레임구조가복잡하지만, 응력을기존모델에비해잘분산시켜서구조적으로, 상대적으로더안전하다고할수있다. 또한기존모델의설계영역의 체적이 m 임에반해새롭게설계한모델 의경우체적이 m 로 14.% 정도감소하였다. Diplacement 역시 10.1% 정도감소하였다. 이에반해 Von-Mises Stress 는증가하였지만, Steel 의인장강도에비해매우낮은값이기때문에구조적으로안정하다고할수있다. Volume, Displacement 그리고 Maximum Von-Mises Stress 등에관련한값은 Table 에정리해놓았다. (Fig.11 참조 ) 5.4 진동모드해석결과기존모델에비해서새롭게설계된모델의경우큰차이는아니지만, 고유진동수 (Eigen Value) 가상대적으로낮은값이나왔다. 앞서위상최적화를진행할때 Optimization Constraint 에고유진동수가 0 이상이되도록설계를하였으나, 실제로재료를줄여나가는과정에서고유진동수가줄어드는경향이발생을해서이런결과가나오게되었다. (Fig.1 및 Table 참조 ) Volume Fig. 11 Maximum Total Displacement Maximum Von-Mises Stress New Model(Von-Mises Stress) Table Results about Old and New Model Old Model m ( m ) 0.479mm 5.676MPa New Model m ( m ) 0.409mm 9.0MPa 6

Table Results about Mode Analysis(frequency) Old Model New Model Mode 1 7.65515 7.41186 Mode 17.89 16.84741 Mode 19.88911 1.66004 Mode 4.58569 4.6586 Mode 5 0.5815 6.574859 Fig.

7 Table Results about Mode Analysis(frequency) Old Model New Model Mode Mode Mode Mode Mode Fig. 1 New Model(First Mode) Mode 결론 참고문헌 농구대프레임의위상최적설계한결과를다음과같이요약할수있다. (1) 기존형상의응력분포를보면특정부분에집중되어나타나는것을알수있었으나, 새로운모델은응력분포가넓게나타남을알수있었다. () 변위, 체적, 고유진동수를구속조건으로주고위상최적화를진행한결과기존형상에비해조금더복잡한프레임이생성되었다. () 최적형상을모델링하여구조해석을수행한결과재료는 14.% 적게사용하고, 최대변위도 10.1% 정도감소하는모델을만들수있었다. (4) 최적화형상의진동모드는기존모델보다약간낮은결과를보여주었으나, 이는질량감소에따른효과로보여진다. 따라서구조물의안정성에는영향을미치지않을것이다. 후기 학년 학기때최적설계라는과목을통해기계공학이라는것에대해이해를도와주신민승재교수님께감사드린다. 더불어, 매번연구실에찾아가서귀찮게했던상인이형, 성훈이형께감사드린다. 한학기동안진행했던논문이라많이힘들었고, 또한부족한부분이많으리라생각된다. 7 (1) Chwail Kim, Semyung Wang, Kyoung-ryun Bae and Heegon Moon, 006, Reliability-Based Topology Optimization with Uncertainties Journal of Mechanical Science and Technology(KSME Int. J.), Vol. 0, No. 4, pp. 494~504. () Dong-Eun Kim, Chan-Hea Kim, Hong-Tae Kim, Do-Eun Hea, Goog-Nam Han, Young-Jin Hwang and Seok-Soon Lee, A Study on Topology Optimization of the Excavator Traveling Motor s Gear Carrier () Hyun-Seung Jung and Teasoo Kwon, Topology Optimization of Rolling Stock End Frame (4) Cheol Kim and Nan Fang, -D Topology Optimization by a Nodal Density Method Based on a SIMP Algorithm (5) C.N. Raptis, J.M. Powers and P.L. Fan, Frictional Behavior and Surface Failure of Acrylic Denture Teeth Journal of Dental Research, pp. 4 (6) Jasbir s. Arora, 004 Introduction to Optimum Design McGraw-Hill Book Co. pp.8~10 (7) 장동환, 고병두,008, HyperMesh 를이용한 유한요소모델링 대가, pp.10~100,6~45 (8) Fontanella. John Joseph, 006, The Physics of Basketball pp.19~5 (9) 이우재, 1999, 실전농구 삼호미디어, pp.45 (10) Altair Engineering, 008 Radioss 9.0 User s Guid, pp.55~68 (11) Altair Engineering, 008 Optistruct 9.0 User s Guid, pp.~7 (1) COMSOL, Model Document loaded knee.pp.1

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