자 분류가 다 끝났다 그럼 그담에는 계산 해야지 계산은 당연히 사칙연산 을 이용해 그럼 언제 더하고 언제빼고 곱하고 나누는지를 알아야 겠네 1 더할 때 합의법칙 복잡한 상황속에서 경우의 수를 구하려면 분류하지 각각 분류한것은 물론 따로 따로 계산해야돼 따로 따로 계산이

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상진 석
7 years ago
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1 경우의 수 경우의 수 는 어떤 시행을했을때 조건에 맞는 결과 사건 이 몇개일어나느냐 하는문제야 근데 그 조건에 맞는개수를 구하려면 이런경우저런 경우생각해야할게 많거던 또 개수를세다보면 중복되는경우도있고 미처 세지못하고 빠지는 경우도있고 이처럼 대략 난감한 상황이많이일어나 답을내도 이게진짜 맞는건가 헷갈리기도 하고 이러저러 복잡하고 엉켜있는 상황속에서 경우의 수를 구할 때 가장 중요한것은 경우의 수를 구하기전에 우선 잘정리해야돼 즉 기준을잡고 기준을 중심으로 잘 분류 해야돼 분류만 잘하잖아 그럼 각각의 경우의수는 간단하게 끝나 그냥 공식으로 다 해결된단 소리야 그니깐 너네가 문제를 풀때 바로 공식으로 답이 나올수 없는 상황이다 하면 바로 기준 잡고 분류부터 해야겠지 ㅎㅎ 결국 경우의 수 문제는 분류의 문제 라 보면 돼 난감한 상황 기준잡고 분류

때 가장 중요한것은 경우의 수를 구하기전에 우선 잘정리해야돼 즉 기준을잡고 기준을 중심으로 잘 분류 해야돼 분류만 잘하잖아 그럼 각각의 경우의수는 간단하게 끝나 그냥 공식으로 다 해결된단

2 자 분류가 다 끝났다 그럼 그담에는 계산 해야지 계산은 당연히 사칙연산 을 이용해 그럼 언제 더하고 언제빼고 곱하고 나누는지를 알아야 겠네 1 더할 때 합의법칙 복잡한 상황속에서 경우의 수를 구하려면 분류하지 각각 분류한것은 물론 따로 따로 계산해야돼 따로 따로 계산이 다 끝나면 각각 분류해서 계산한 결과 값들은 당연히 더해야지 이런경우 저런 경우 니깐 분류했으면 그 결과는 더한다 2 뺄 때 빼는 경우는 크게 두 가지 인데 그 중 하나는 중복된 경우 야 분류해서 계산한 결과값을 다 더하려고 보니 아무리 분류해도 중복되는게 있는거야 그럼 두번 더하게 되는거니깐 그러면 않되잖아 그니깐 중복되는건 빼야겠지 두번째 빼는경우는 문제에 맞게 기준을잡고 분류하고보니 그 경우의 수가 너무많은거야 근데 반대 경우는 몇 개 않돼 그럴 땐 전체에서 반대의 경우를 빼는게 더 낫지않겠어 그럴때 뺄셈을 사용해 ㅎ 3 곱할 때 곱의 법칙 계산을 하는데 어느 한 경우에 동일하게 똑같은 경우의 수가 계속나와 즉 분류를 가지로 했는데 어느 한 가지의 경우의 수가 가지야 근데 나머지 분류된것도 뻔히 가지인게 보여 그럴땐 을 번 더할래 이것보다는 가 편하겠지 또 이런 경우와 저런경우가 동시에 일어나거나 동시는 아니어도 연이어 어쨌든 상황상 둘 다 일어나야 하는 경우에는 두 경우를 곱하지 두사건이 동시에 또는연이어 일어난다 그결과는곱한다 4 나눌 때 나누는 경우는 의미상으로 조금 헷갈린 부분이라 간단한 예로 설명할게 경우의수를 다 구했는데 총 가지야 근데 가지씩이 원래는 가지 경우야 이럴땐 개씩 한묶음으로 한가지니깐 묶음이 되서 총 가지가 되는거야 나누는 경우는 거의 다 공식 으로 정형화 되 있어

개 않돼 그럴 땐 전체에서 반대의 경우를 빼는게 더 낫지않겠어 그럴때 뺄셈을 사용해 ㅎ 3 곱할 때 곱의 법칙 계산을 하는데 어느 한 경우에 동일하게 똑같은 경우의 수가 계속나와 즉 분류를 가지로 했는데 어느 한 가지의 경우의 수가 가지야 근데 나머지 분류된것도 뻔히 가지인게 보여 그럴땐 을 번 더할래 이것보다는 가 편하겠지 또 이런 경우와 저런경우가

3 순열과 조합 이러저러 여러 상황속에서 조건에 맞는 경우의 수 구하려면 기준을 잡고 분류 해야지 분류 하고난다음에는 각각을 사칙연산을 이용해서 계산 하게 돼 근데 계산하다보니깐 엄청 자주쓰는계산이 있는거야 이런 자주쓰는 계산들은 아예 공식화 하자 하고 만든게 바로 순열과 조합 이야 경우의수 기준잡고 분류 계산 사칙연산 순열과조합 순열과 조합은 계산중에 자주쓰는계산을 공식화 한거잖아 근데 그공식을 사용할때 어떤기준에 따라공식을 사용하고자했어 그 기준이 크게 가지인데 그게 대상 선택의여부 자리 야 대상 서로다른대상이냐 같은것이있는대상이냐 선택의여부 특정한몇개를선택하는냐 아니면 선택을않하는냐 자리 결국배열의문제인데 자리가 서로다른자리냐 돌리면같은자리냐 자리가 뻔히지정되어있거나 구분이않되느냐 아니면 아예배열을않하느냐 이런 기준에 따라 공식으로나타낸 순열 조합 공식이 총 가지야 다행히 고 때는 다 외울필요없어 가지만 알면돼 순열 과 팩토리얼 과 조합 ㅎㅎㅎㅎ

따라공식을 사용하고자했어 그 기준이 크게 가지인데 그게 대상 선택의여부 자리 야 대상 서로다른대상이냐 같은것이있는대상이냐 선택의여부 특정한몇개를선택하는냐 아니면 선택을않하는냐 자리 결국배열의문제인데 자리가

4 고등학교 순열조합 공식 가지 순열 원순열 대 상 서로다른 개 서로다른 개 서로다른 개 선 택 개를 선택 선택않함 선택않함 모두선택 모두선택 자 리 서로다른 자리 서로다른 자리 돌리면같은자리있다 조합 대 상 같은것 포함 서로다른 개 선 택 자 리 선택 않함 모두 선택 서로다른자리 개를 선택 선택에서 끝 자리가 지정되어 있거나 자리가 구분않됨 중복순열 중복조합 없어도 되는것 꼭 있어야되는것

5 이제 우리의 관심사 순열 팩토리얼 조합 에대해알아보자 1 순열 표에서보듯이 서로다른 개의대상 에서 개를 선택 해서 서로다른 개의 자리에 배열 하는경우의 수를말하는거야 여기서 꼭 알아야할점은 은 어떤대상을 선택하고 배열하는것까지 경우의 수를센다는거야 즉 선택 배열 을 합쳐놓은 거지 단 2 팩토리얼 의 계승 서로다른 개의 대상 을 선택없이 모두다선택 해서 서로 다른 개의 자리에 배열 하는 경우의수를 말해 쉽게얘기해서 몽땅 다 갖고 쫙 뿌리는거야 선택없이 배열만 하는 경우의수 라고생각해 이랑 같지ㅎㅎ 3 조합 서로다른 개의대상 에서 개를 선택 한다음 선택에서 끝 이거나 배열될 자리가지정되있거나 자리가구분되지않을때 의 경우의 수를 말해 쉽게얘기하자면 선택만 하거나 선택하고 난 다음에 갈 자리가 뻔하다는거야 배열되는경우의 수는 따로 세지않고 가지라는거지 단 꼭암기해

배열 하는 경우의수를 말해 쉽게얘기해서 몽땅 다 갖고 쫙 뿌리는거야 선택없이 배열만 하는 경우의수 라고생각해 이랑 같지ㅎㅎ 3 조합 서로다른 개의대상 에서 개를 선택 한다음 선택에서 끝

6 4 포함과 배제 에 따른 분류 경우의 수는 어차피 분류의 문제라고했지 분류를 어떻게 하느냐에따라 순열과 조합을 표현하는방법도 여러가지가 될 수 있는거야 개를 가지고 개를 선택해서 의 자리에 배열하는 경우의 수는 이야 개 근데 이 경우의 수를 다음과 같이 분류해서생각 해 보자 개를 분류한다고 했을때 숫자 이 맨앞에 있다면 즉 1 이런 꼴에서 나머지 경우의 수는 개 갰지 이번엔 숫자 가 맨앞에 있는 경우는 2 에서 나머지 경우의 수도 개 지 이런식으로 맨 앞에는 부터 까지 개가 올 수 있고 나머지 경우의 수가 개가 되니깐 이라고 표현 할 수도 있는 거야 이번엔 포함과 배제에 따른 분류를 해보자 서로 다른 개에서 개를 배열할때 그 개중 숫자 이 포함될 수도 있고 포함되지않을 수도 배제 있지 이 포함 된다면 을 제외한 개에서 개를 배열하는 경우의 수 가 되니깐 개 이고 또 숫자 이 있는 자리가 1, 1 1 이런식으로 가지 경우가 있을 수 있으니깐 또 숫자 이포함되지않는다면 을 제외한 나머지 개에서 개를 배열하면되니깐 개가 되지 이라고도 할 수가있어

개가 올 수 있고 나머지 경우의 수가 개가 되니깐 이라고 표현 할 수도 있는 거야 이번엔 포함과 배제에 따른 분류를 해보자 서로 다른 개에서 개를 배열할때 그 개중 숫자 이 포함될 수도 있고 포함되지않을 수도 배제 있지 이 포함 된다면 을

7 이번엔 서로다른 개중 개를 선택하는 조합의개수를 포함과 배제 의 분류를 이용해서 나타내 볼게 1 개를 선택할 때 숫자 이 포함되는경우 이미 은 선택됬으니깐 나머지 개에서 개를 선택하는경우의 수는 개가 돼 2 숫자 이 포함되지않는경우 배제 나머지 개에서 개를 선택하는경우니깐 1번과 2 번에 의해 이라 할 수 있지 1 개를 선택할때 숫자 이 포함되는경우 숫자 이 하나 포함되도 또 포함될수있으니깐 대상은 다시 개가 되고 이 이미뽑였으니깐 개를뽑는 중복조합이되지 그니깐 2 숫자 이 포함되지 않는경우 숫자 을 제외한 나머지 개에서 개를 뽑는 중복조합의 개수 1번과 2 번에 의해 이라 할 수 있어

의해 이라 할 수 있지 1 개를 선택할때 숫자 이 포함되는경우 숫자 이 하나 포함되도 또 포함될수있으니깐 대상은 다시 개가 되고 이 이미뽑였으니깐

8 5 순열 과 조합 의 이해 경우의 수 큰 그림은 당연히 기준을 잡고 분류 한 다음에 계산 하는거야 이때 계산하는 과정도 대상에따라 선택여부에 따라 자리에 따라 어떤 공식을 쓸지 결정해야지 계속 반복중 근데 계산을 할때 다른 관점에서 굉장히 자주 쓰는 접근법이 있어 그게 바로 선택 과 배열 이야 실제로 너네들이 접하는 거의 모든 경우의 수 문제는 분류 한 다음 계산할 때 어떻게 선택하고 어떻게 배열할지 만 구분해서 따로따로 계산하면 간단하게 다 풀리게 되어 있어 그걸 한번에 계산하려고 하니깐 머리가 복잡해 지는 거지 ㅎㅎㅎ 그니깐 문제를 풀때 한번에 접근하지 말고 항상 선택과 배열을 따로 생각하는게 좋아 이 때 선택에서 쓰는 공식이 조합 이야 선택은 무조건 조합이야 그리고 배열 할때 쓰는 공식이 위에 정리한 이야 물론 고 때는 배열할때 만 쓰게 되는거지 간단한 예로 이라는 숫자를 가지고 자리 숫자를 만든다고 해보자 이 때 한번에 나열한다고 생각하지 말고 선택과 배열을 구분해서 풀어볼게 처음엔 당연히 개를 뽑아야지 선택은 뭘 쓴다고 조합이지 이제 눈앞에 뽑아둔 개의 숫자가 있어 이걸 배열 해야 하는데 배열은 팩토리얼 로 해야하니깐 이 되는거야 답은 이지 근데 이 선택과 배열을 한번에 쓸 수 있는 공식이 있어 그게 바로 이야 두개의 공식이 짬뽕된거지 즉 은 개중에 개를 선택해서 이 선택된 개를 일렬로 배열까지 하는 경우의 수야 식으로 나타내면 이 돼 은 간단해서 좋아보이지만 이 공식은 쓰지 않는게 좋아 한번에 보지말고 선택과 배열 로 나눠서 푸는게 좀 더 어렵고 다양한 상황의 문제 를 해결하는데 도움이 될거야

정리한 이야 물론 고 때는 배열할때 만 쓰게 되는거지 간단한 예로 이라는 숫자를 가지고 자리 숫자를 만든다고 해보자 이 때 한번에 나열한다고 생각하지 말고 선택과 배열을 구분해서 풀어볼게 처음엔 당연히 개를 뽑아야지 선택은 뭘 쓴다고 조합이지 이제 눈앞에 뽑아둔 개의 숫자가 있어 이걸 배열 해야 하는데 배열은 팩토리얼 로 해야하니깐 이 되는거야 답은 이지

9 6 분할과 분배 여러개의 물건들을 몇개씩 묶음으로 나누는것을 분할 이라고 하고 분할된 묶음들을 일렬로배열하는것을 분배 라고해 즉 분할은 선택 조합 이고 분배는 배열을 얘기하지ㅎㅎ 만일 개의물건을 개 개 개 로 분할한다고 해보자 그럼 처음 개중 개를뽑아야겠지 그 다음 남은 개중에서 개를 뽑으면 마지막 남은 개중에서 개뽑는 경우의수는 개의 물건을 개 개 개 로 분할하는경우의수는 근데 이번엔 개를 개 개로 분할하는경우의수를세보자 당연히 은 되겠지 근데여기서 문제가있어 만일 개가 라하면 처음에 개를뽑을때 를 뽑으면 두 묶음으로 나누게되지 나머지 개는자동으로한묶음되니깐 이번엔 처음에 를뽑으면 로 나누게될거야 근데 처음 뽑을때나 처음 뽑을때나 결국 로 나뉘게 되는건 같은거잖아 분할은 조합이거던 그니깐 처음 할때 이 개수에서 개씩중복이 되는거야 그러므로 개중 개씩이 개로 계산되야겟지 이건 나눗셈의원리에따라 로 나눠줘야돼 정확히 말하면 결국 개를 개 개로 분할하는경우의수 이 돼 마찬가지로 개를 개 개 개로 분할하는경우의수는 이 돼 가 세개잖아 같은개수로나눌땐 같은개수 만큼의 수 로나누면돼 분배는 분할한다음 팩토리얼 로 뿌리면돼 개를 개 개 개로 나눠서 일렬로 배열하는경우의수 분할 분배

개는자동으로한묶음되니깐 이번엔 처음에 를뽑으면 로 나누게될거야 근데 처음 뽑을때나 처음 뽑을때나 결국 로 나뉘게 되는건 같은거잖아 분할은 조합이거던 그니깐 처음 할때 이 개수에서 개씩중복이 되는거야 그러므로 개중 개씩이 개로 계산되야겟지 이건 나눗셈의원리에따라 로

10 7 동수와 이수 이론 에따른 분할의 경우의 수 구하기 곱사건 처리 할때 자주 쓰는 것이 동수와 이수 이론인데 우선 이수 는 달라진다 라는 뜻으로 달라지면 곱한다 라고 생각해 또 동수 는 돌려도 같다 라는뜻으로 돌려서 같으면 나눈다 라고 이해하면돼 이 이론은 조나누기 나 분할에서 탁월한 효과가 있어 예를들어 명을 로 분할한다면 처음엔 명을 서로다른것으로 봐 이수 그럼 이지 근데 명은 각각 서로 바꿔도같고 또 명씩 묶음을 서로 바꿔도 같으니깐 가지가 되는거야 예를 몇가지 더 해 볼게 명을 명을 조 나누기

이론은 조나누기 나 분할에서 탁월한 효과가 있어 예를들어 명을 로 분할한다면 처음엔 명을 서로다른것으로 봐 이수 그럼 이지

11 8 기준과 자동 을 이용한 분할의 경우의 수구하기 앞의 방법보다는 훨씬 간편하고 획기적인 분할 방법이야 예를들어 명을 명 명으로 조를나누는 경우의수를 생각 해 보자 그림으로 보자면 이렇게 되겠지 근데 이 네명은 운명적으로 이 개의자리에 다 들어가야하잖아 이럴땐 하나를 아무데나넣고 기준을 세우는 거야 즉 A 이렇게 세우는거지 근데 이건 B 나 C 나 D 나 다 똑같은상황이니깐 경우를 발생하지않아 이제 기준을잡았으면 나머지 경우의 수를 세어보자 A 옆에 에는 가 올수있으니깐 가지경우의수가있지 그리고 나머지 는 자동으로 나머지가 오니깐 총 경우의수는 가지가 되는거야 를 명 명 명 나누는방법 를기준으로잡고 옆에 가지 A 뒤에 에서 또 하나 기준잡고 그옆에 가지 마지막 는 자동 총 가지 를 명 명으로 나누는 방법 기준하나잡으면 A 옆 뽑는경우의수 나머지 는 자동 가지

경우를 발생하지않아 이제 기준을잡았으면 나머지 경우의 수를 세어보자 A 옆에 에는 가 올수있으니깐 가지경우의수가있지 그리고 나머지 는 자동으로 나머지가 오니깐 총 경우의수는 가지가 되는거야 를

12 사전식 배열 경우의 수를 셀 때 처음에 기준잡고 분류하는 것이 중요하다고 했잖아 그 분류하는 방법중에 하나가 사전식 배열이야 즉 사전식 배열 은 계산방법이 아니라 분류의 방법 중 하나야 순열 조합은 계산하는 방법 사전을 보면 다 끝나고 다 끝나고 이런식으로 제 기준이 있고 제 기준 에 대해 이런식으로 제 기준이 있지 이런식으로 기준 기준 단계적으로 분류하는 것을 사전식 배열이라고 해 사전식 배열하는 방법은 진짜 사전처럼 먼저 제 기준을 잡고 제 기준에 대해 각각의 제 기준을 잡고 제 기준에 대해 각각의 제 기준을 잡고 이런식으로 상위 기준에 따라 하위 기준을 잡는 거야 그냥 설명만 하니깐 이해하기 힘들지 ㅎㅎㅎ 약간 난이도 있는 예를 한번 풀어보자 세자리 자연수 중에서 각 자리의 숫자가 모두 다른 것을 작은 수 부터 차례로 나열할 때 번째 수를 구하여라 자리에서 제 기준은 백의 자리 가 되겠네 상위 기준에 따라 작은것 부터 나열해 보자 같은 수가 있음 않되니깐 을 제외한 개 수 중에서 개를 뽑아 자리에 일렬로 나열 가지 마찬가지 를 제외한 개 수 중에서 개를 뽑아 나열 가지 얘도 마찬가지로 가지 나오는데 그럼 번째가 되지 그니깐 에선 끝까지 못세고 제 기준으로 넘어가야돼 이건 과 을 제외한 개 수에서 한개 뽑는거니깐 이네 뽑아놓으면 자동으로 의 자리로 가지 그니깐 그냥 조합 가지 지금 기준에서 번째 나왔고 이렇게 이 각각 가지 니깐 가지 까지 해먹고 번째까지 가지 남았어 그럼 기준으로 넘어가서 바로 가 정답

세자리 자연수 중에서 각 자리의 숫자가 모두 다른 것을 작은 수 부터 차례로 나열할 때 번째 수를 구하여라 자리에서 제 기준은 백의 자리 가 되겠네 상위 기준에 따라 작은것 부터 나열해 보자 같은 수가 있음 않되니깐 을 제외한 개 수 중에서 개를 뽑아 자리에 일렬로 나열 가지 마찬가지 를 제외한 개 수 중에서 개를 뽑아 나열 가지

13 기본 유형 1 인접순열 이웃한다이웃하지않는다 기본유형중 하나인데 어떤 것을 일렬로 나열할때 특정한것들끼리 이웃한다 라는 조건이 있으면 무조건 이것들을 하나로 묶어 하나로 생각하고 크게 일렬로 배열한다음 묶인애들끼리도 돌리면 돼 이웃한다 묶어서돌려라 묶인것끼리도 돌려라 를 일렬로 나열할때 가이웃하고 가이웃하는 경우의 수는 묶어서돌리면 크게 개로보는거야 묶인것끼리도 돌리면 끼리 끼리 답 가지 이번엔 이웃하지않는다 라는 조건이나오면 우선 나머지것들을 일렬로배열해 그담에 이웃하지말아야 할것들을 양끝과 사이사이에 끼워넣으면돼 이웃하지않는다 나머지를먼저 돌려라 양끝과 사이사이에 끼워넣어라 를 일렬로 나열할때 가이웃하지 말아야할 경우의 수는 우선 제외한 를일렬로배열 양끝과사이사이 이렇게 자리가생기지 여기에 를 끼워 넣는거야 답

묶인것끼리도 돌리면 끼리 끼리 답 가지 이번엔 이웃하지않는다 라는 조건이나오면 우선 나머지것들을 일렬로배열해 그담에 이웃하지말아야 할것들을 양끝과 사이사이에 끼워넣으면돼

14 2 지불 방법과 지불금액의 수 뭔가 비슷해보이면서도 다르고 좀 헷갈리지ㅎㅎ 원짜리 개랑 원짜리 개가있다고생각해봐 이돈으로 지불할수있는금액은 원 원 원 원 근데지불하는방법은 조금더많겠지 ㅎㅎ 원지불할때 원짜리 개로줘도되고 원짜리한개로줘도되잖아 이렇게 지불금액과 지불하는방법은 다른거야 그럼 이런 경우의 수는어떻게 구할까 좀 더 복잡한 예를들어 설명해줄게 이번엔 원짜리 개 원짜리 개 원짜리 개를 이용해서 지불할수있는 금액과 지불방법의경우의수를구해보자 우선 지불방법의 수 는 마치 집합에서부분집합의개수구하는것과비슷해 내가 지불할때 원짜리를몇개 줄거냐 생각해보면 개 개 개 개 개 이렇게 가지 방법의경우가나오잖아 이런식으로 원은 개 개 개 개 가지 방법이 있고 원도 개 개 개 가지방법이 있지 그리고 원 원 원 전부 개를주면 지불자체를않하게되니깐 이런경우 가지를빼야 돼 지불 방법의 수 가지 지불금액의수 는 원짜리로 원을 만들 수 있으니깐 어차피 금액만계산할거면 원 짜리를 원 개로바꿔서 최고작은단위의 돈을만들어 그걸가지고 지불방법의수처럼풀면돼 원짜리 개 원짜리 개 원짜리 개 원짜리 개 원짜리 개 지불 금액의 수 가지 확줄지ㅎㅎ

집합에서부분집합의개수구하는것과비슷해 내가 지불할때 원짜리를몇개 줄거냐 생각해보면 개 개 개 개 개 이렇게 가지 방법의경우가나오잖아 이런식으로 원은 개 개 개 개 가지 방법이 있고 원도 개 개 개 가지방법이 있지 그리고 원 원 원 전부 개를주면

15 3 함수의 개수 예를 들어 밑의 그림처럼 가는 함수가 있다고 하자 함수의 개수 그냥 함수의 개수는 정의역에 있는 원소가 갈수 있는 경우의 수 를 중심으로 세면 돼 이 갈수 있는 경우의 수 가 갈수 있는 경우의 수 이 갈수 있는 경우의 수 가지 가지 이 간데 간데 또가면 어때 가지 모 어때 갈수 있지 각각의 경우에 중복해서 갈수 있다는 생각을 하면 이해가 될거야 도 가고 도 가고 도 가는 경우의 수니깐 곱의 법칙이지 이건 중복 순열의 개념인데 의 개수 의 개수 라고 외워둬 일대일 함수의 개수 일대일 함수는 의 원소가 다르면 가는 곳도 달라야 하지 그니깐 이 갈수 있는 곳은 가지지만 가 갈수 있는곳은 이 간곳은 못가 그럼 가지 이고 은 가 간 곳은 못가니깐 가지 이걸 또 이렇게 봐도 돼 중에서 화살을 맞을 애 개를 뽑아 그담에 의 원소 개에 대응해 일렬로 배열 그니깐 으로 봐도 되는거야 일대일 함수 개수는 순열 증가함수 감소함수 의 개수 증가의 예로 들게 감소도 마찬가지 증가함수는 이거나 이 명제의 대우인 로 표현 하거던 이런 함수의 경우의수는 어떻게 될까 아까 일대일 함수 개수 구할때 처음에 중에서 화살을 맞을 애 개를 뽑았지 근데 뽑기만 하면 대응되는 애는 뻔하지 않겠어 만일 을 뽑았다면 로 정해지잖아 그래서 그냥 조합이 돼

곳은 가지지만 가 갈수 있는곳은 이 간곳은 못가 그럼 가지 이고 은 가 간 곳은 못가니깐 가지 이걸 또 이렇게 봐도 돼 중에서 화살을 맞을 애 개를 뽑아 그담에 의 원소 개에 대응해 일렬로 배열 그니깐 으로 봐도 되는거야 일대일 함수 개수는 순열 증가함수 감소함수 의 개수 증가의 예로

16 에서 일때 를 만족하는 함수 의 개수 일렬로 배열 의 의미 일렬로 배열한다하면 팩토리얼 로 뿌리잖아 근데 이 의미가 국어사전처럼 쭈욱 나열한다 의 의미랑은 약간의차이가있어 경우의 수에서의 일렬로 배열 은 배열될 자리가 서로다구별되고 다를 때를 의미해 그때는 구지 쭈욱나열되지않아도 구별만되면 자리가 지그재그 되 있어도 그게 일렬로배열하는 거야

17 4 도형의 개수 도형의 개수구하는문제는 결국 점과 선을 몇개선택 하냐는문제야 즉 조합이지 ㅎㅎ 일반적으로 도형의개수를 구하는방법은 만들 수 있는 최대개수에서 안되는경우의수를 빼는방법을 사용해 위 그림을 보면 개의 점이 있어 여기서 만들 수 있는도형의 개수를구해보자 선분의 개수 그냥 개의점을 선택하면 선분한개가 결정나지 직선의 개수 전체만들 수 있는직선은 근데 점 는 일직선이잖아 일직선으로 만들어진 것은하나밖에 없으니깐 빼야지 하지만 일직선이라도 직선 한개는 만드니깐 직선의 개수는 삼각형의 개수 삼각형은 점 개만 선택하면 만들어지지 그래서 만들 수 있는최대개수는 근데 일직선은 삼각형 만들 수 없으니깐 만큼 빼야지 그리고 일직선은 삼각형 하나도못만들어 그래서 을더하는것은아냐 삼각형의 개수

있는직선은 근데 점 는 일직선이잖아 일직선으로 만들어진 것은하나밖에 없으니깐 빼야지 하지만 일직선이라도 직선 한개는 만드니깐 직선의 개수는 삼각형의 개수 삼각형은 점 개만

18 5 영역에 색칠하여 구분하는 방법의 수 영역에 색칠하기 기본은 원래 영역 사이의 관계를 파악하고 가장 많이 인접한 영역에 제일 먼저 색칠 하는거야 그 다음 같은 색을 칠할 수 있는 영역에 같은 색을 칠할 경우 다른 색을 칠할 경우 로 나눠서 분류 해서 경우의 수를 구하면 돼 다음 그림에서 개의 영역에 가지 색으로 칠하여 구분하려고 한다 같은 색을 중복해도 좋으나 인접한 부분은 서로 다른 색을 칠할 때 칠하는 방법의 수는 먼저 영역간에 가장 많이 인접되어있는 를 색칠해야지 가지 색깔중에 하나를 결정하는거니깐 가지 그 다음 에 색칠한다고 할때 뭘 선택해도 마찬가지 색깔과 다른 색을 칠해야 하니깐 가지 그다음 는 와 달라야 하니깐 가지 그 다음이 중요한데 만일 를 색칠 한다고 할때 랑 색깔이 같아도 되고 달라도 되잖아 이 때는 경우를 나눠야 돼 와 가 다른 색인 경우 에 색칠할수 있는 색은 를 제외한 가지 마지막 에 색칠할수 있는 색은 를 제외한 가지 경우의 수는 가지 와 가 같은 색인 경우 그럼 는 그냥 결정이 났지 랑 같다매 그럼 가지지 모 나머지 는 인접한 가 가지 로 다 칠했으니깐 가지경우가 있지 가지 답 에서 가지

그 다음 에 색칠한다고 할때 뭘 선택해도 마찬가지 색깔과 다른 색을 칠해야 하니깐 가지 그다음 는 와 달라야 하니깐 가지 그 다음이 중요한데 만일 를 색칠 한다고 할때 랑 색깔이 같아도 되고 달라도 되잖아 이 때는 경우를 나눠야 돼 와 가 다른 색인 경우 에

19 6 대진표 작성하기 대진표작성문제는 결국 분할의 문제야 팀에대하여 다음처럼 대진표를 짜는방법의 수는 번 그림 번 그림 번 풀이 먼저 팀을 개 개 로 분할 왼쪽 팀중 부전승할한 팀 선택 답 번풀이 먼저 개팀을 개 개로 분할 개를 다시 개 개로분할 답

20 대진표풀이별해 나중에배울 원순열의 개념으로도 풀수있어 원순열은 회전방향이같으면 같은배열로인정한다 가 기본개념인데 즉 회전해서 겹치면 같은것으로 본다라는말이야 쉽게 풀려면 우선 전부 다른자리로 푼다음 돌려서 같은 개수만큼나눠주면 돼 번 풀이 번 풀이 원순열 몇가지예

21 7 치역과 공역이 같은함수 의 개수 다음 그림에서 치역과 공역이 같은함수는 몇개인가 아주 유명한 유형이야 풀이방법 가지니깐 잘 익혀놔 총 함수의개수치역과공역이일치하지않는 경우 함수의 총 개수는 개일거고 치역과공역이 일치하지않는경우는 화살이 어느한쪽으로 올인 하는경우겠지 가지네 에올인 에올인 답 가지 분할 분배 이용 의원소 를 두 개 조로 나눠서 에 뿌리면되지 근데 개의원소를 두 개조로 나누는 방법이 개 개 와 개 개 가 있어 개 개 로나눠서 에뿌리는방법의 수 가지 개 개 로 나눠서 에 뿌리는방법의수 가지 답 가지

22 주요문제 개의 문자를 일렬로 배열할 때 와 사이에 가 있는경우의 수를구하여라 와 사이에 만 혼자있는지 다른것도같이있는지 경우가생기잖아 그니깐 기준 잡고 분류해야지ㅎㅎ 기준은 와 사이에 말고 다른게 몇개있나 를 기준으로잡을게 와 사이에 만 달랑하나있을때 를나열 에서 와 왔다갔다 인경우 가 누구냐 돌려 왔다갔다 가운데에서왔다갔다 인 경우 돌리는경우만있네 왔다갔다 가운데에서돌려 가지

23 개의 숫자 에서 서로 다른 개의 숫자를택하여 네 자리의 자연수를 만들 때 의 배수가 되는 경우의 수를 구하시오 의 배수가 되려면 우선 의 배수이면서 의 배수가 되야돼 의 배수 끝의 두자리가 의 배수 의 배수 각 자리 숫자의 합이 의배수 먼저 의 배수가 되는 경우를 나눠야지 의 배수를 기준으로 분류 이 가지 각각에대하여 의배수가나올경우의수를일일이다구해야돼 이제 에 들어갈 것을 정해야 하는데 우선 를 잉여류로 분류 하면 으로 나눠서 나머지 인 원소들의 집합 이라 할 때 인경우를 예로 들어 설명해 볼게 이건 으로 나누면 나머지가 이지 가 의 배수가 되려면 얘가 으로 나누면 나머지가 가 되야돼 즉 하나는 하나는 이렇게 나와야 하지 중에 은 이미 나왔으니깐 밖에없고 는 와 가 있으니깐 와 가 나올수있네 그리고 안에서 돌릴수 있잖아 가지가 나오는거야 이런식으로 일일이 다 구해야 돼 1 : 또는 가 들어갈수 있고 또 배열까지 하니깐 이면 배열없이 개 이면 배열까지 또는 가 들어갈수 있고 또 배열까지 하니깐 이면 배열없이 개 이면 배열까지 5 과 밖에 없고 어차피 이 앞으로 갈수 없으니깐 가지 6 : 1 번과 같은 경우 가지 7 이니깐 둘다 이 나와야 되는데 다행히 다 나올수있지 결국 배열만 하면 되니깐 가지 = 가지

24 집합 에 대하여 에서 로의 함수 중 이고 일대일대응인 의 개수를 구하여라 우선 그림을보면서 이해해봐 만일 아무런 조건이 없다면 일대일대응개수는그냥 이지 자 근데 조건이있어서 공식을 그대로 사용할 수없는상황이야 그때는 당연히 기준잡고 분류해야지ㅎㅎ 우선 가 갈곳은 군데이지 근데 잘생각해봐 가 로간다면 는 갈데가 군데 가되는데 가 말고 다른 데로간다면 는 군데로 줄지 이렇게 가 가는곳에따라 가 가는경우의 수가 달라지니깐 가 로가는경우와 로가지않는경우를나눠서 풀어야돼 로가는경우 는 가지경우의수가있고 나머지 는 그냥배열하면되니깐 그냥 개쫙뿌린거랑같네 로 가지않는경우 그럼 가 갈곳은 가지경우 만일 가 로갔다면 는 가지경우밖에없지 그리고 나머지 는 그냥 배열하면되니깐 가지

25 이번엔 문제의 문맥을 잘 살펴보자 이고 일대일대응인개수 그럼 여사건 활용할수있지않을까 이니깐 즉 일대일대응개수전체 일대일대응개수 구하면되잖아 일대일 대응전체는 일거구 일대일대응개수 는 또는 즉 경우 인경우 인 일대일대응의개수 는결정났으니깐 나머지 개뿌리면되지 모 인 일대일대응의개수 는결정났으니깐 나머지 개뿌리면 인 일대일대응의개수 결정났으니깐 나머지 개 그냥뿌리면 이고 일대일대응개수 개

26 그림과 같이 거리가 인 두 평행선 위에 만큼 떨어져 있는 점이 각각 개씩 있다 이 중에서 넓이가 가 되도록 네 개의 점을 연결하여 만들 수 있는 사각형의 개수를 구하여라 위의 두 점 잡고 밑에 두점 잡으면 사다리꼴이나오겠지 평행사변형이나 직사각형 정사각형 나오지만 크게봤을땐 사다리꼴 점을 잡았을때 윗변의길이를 아랫변을 라하면 니깐 결국 윗변의길이와 아랫변의 길이의 합이 가되도록경우를나누면되겠네

27 남학생 명과 여학생 명으로 구성된 명의 학생이 있다 명의 학생을 개의 조로 나눌 때 각 조에 남학생과 여학생이 적어도 한 명씩은 속하도록 나누는 방법의 수를 구하시오 전형적인 분할을 이용하는문제야 이렇게 조건이주어진 분할문제는 우리가직접 경우를나눠야 돼 남자 명을 부분으로 분할 해보자 이번엔 여자 명을 부분으로 분할 해보자 자 이제 남자들도 부분 여자들도 부분으로 나뉘었어 그다음은 서로 결합해야지 일대일 대응과 같은거니깐 그냥 가지

28 흰공 개 검은 공 개 빨간 공 개가 있다 이 세가지 색의 공 개를 서로 다른 상자 에 각각 개씩 나누어 넣는 경우의 수는 얼핏 보면 분할 문제같지만 문제는 서로다른개가아니라는거야 그럼 어떻게 경우의수를 구할까 어쩔수없어 그대로 공식을못쓰면 기준잡고분류한다음에 일일이 노가다로 다 구해야돼 일반적으로 이런류의문제는 가장많은 공을 기준으로 분류해야돼 참고로 상자에 들어가는경우의 수만 세면되겠지 상자는자동이니깐 상자에 빨간공이 들어가는 개수에따라분류해 보자 흰공 검은공 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개 개

29 전체 집합 의 두 부분집합 에 대하여 그림과 같이 두 집합 에 의하여 나누어진 개의 영역을 빨간색 노란색 파란색을 사용하여 칠 하려고 한다 같은색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색을 칠할 때 칠하는 방법의 수를 구하여라 기호로 표기하면 이렇게 가지 영역이되겠네 가장 많이 인접되어있는영역이 이니깐 부터 색칠하면 가지 그 다음 색칠할 경우는 가지 그 다음 색칠 할 때 경우가 나뉘겠지 와 가 같은색인경우 와 가 다른색인경우 가지

30 전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 의개수는 가 나 다 집합 의 원소 중 가장 큰 수는 집합 의 원소 중 가장 큰 수보다 크다 의 원소중 가장큰 수를 기준으로 분류하자 개중에 개 선택하면 그 중 가장 큰 수는 자동으로 의원소잖아 그럼 남은 개중에서 의 원소하나만 선택하면 다 끝이네

31 두 집합 에 대하여 함수 가 를 만족 시킬 때 함수 의 개수를 구하여라 예를들어 이런표현이 경우의 수 세기에는참 애매한표현이야 이말은 결국 인경우 와 인경우 를나눠서생각해야돼 함수값이 전부 다른경우 이건 그냥 조합의개수랑 같지 에서 개만 뽑으면 자동으로알아서대응되잖아 가지 중 어느 개가 같은경우 인경우 가지 인경우 가지 어차피 에서 개뽑으면 알아서 대응되니깐 인경우 에서 개만 뽑으면 알아서 대응 가지 가지

32 어떤 놀이공원의 놀이기구는 세개의 그룹으로 분류되고 는 종류 는 종류 는 종류이다 준수가 티켓 장을 구입했는데 그 티켓의 사용조건은다음과같다 가 티켓 장당 개의 놀이기구를 이용 할 수있다 나 그룹의 놀이기구만 이용할 수 있는 티켓이 장이다 다 그룹의놀이기구를 이용할 수있는티켓이 장이다 라 그룹의 놀이기구를 모두이용 할 수있는 티켓이 장이다 준수가 개의 놀이기구를 이용할 수 있는 경우의 수를 구하여라 단 같은놀이기구는다시이용하지않고 놀이기구를 이용하는순서는 고려하지않는다 네모안에 내용을 결론해보면 그룹은 개까지 그룹은 개까지 는 개까지 탈 수 있다는거네 그룹을 개 그룹을 개 그룹을 개 탄다고할때 는 종류 는 종류 는 종류 가지

33 수학영어는 각각 시간씩 배치하고 국어 사회 과학은 각각 시간씩 배치하여 아래 표와 같이 일 동안 시간의 시간표를 다음조건에따라 만들려고 한다 교시 교시 교시 교시 월 수 금 가 같은 요일에는 같은 과목을 시간 이상 배치할 수없다 나 교시와 교시에는 수학 또는 영어를 배치한다 서로 다른 시간표를 만들 수 있는 방법의 수를구하시오 의외로 문제 구조는 단순해 문제를 잘 해석하면 월수금 모두에 대하여 교시 교시는 영어수학배치 교시 교시는 국어 사회 과학배치하라는소리야 교시 교시는 영어나 수학배치해야 하잖아 그것도 월 수 금 전부 그럼 각각 씩이니깐 일거구 또 교시 교시는 무조건 국어 사회 과학을 넣어야 하니깐 우선 개씩 묶으면 국어 사회 사회 과학 국어 과학 이것을 월 수 금에 나열 그리고 각각에대하여 예를들어 국어 사회 가월요일이다하면 교시 교시에 배열되는게 또 일테니깐 각각의 배열의개수

34 세계 피파 랭킹 위에서 위 까지의 총 개나라가 참가한 축구 경기에서 그림과 같은 대진표를 만든다고 한다 두 나라가 경기를 하면 랭킹이 높은나라가 반드시이긴다고 할 때 랭킹 위인 나라와 랭킹 위인 나라가 결승전에 나갈 수있도록 대진표를 만드는방법의 수를 구하여라 위 그림에서 위 위 를배열하는방법은 가지지 이걸이해해야돼 처음에 각자리가 구분이않되잖아 그 다음 남은 개나라를 으로 분할하는방법은 이야 근데 지금 가자리를잡고있으면 이제는 자리가구분이되잖아 그러므로 을 분할하고 분배 배열 까지해야하는거야 이되는거지 자 이제 나라씩 분할해서 분배까지했어 그다음은 옆에누가올지 옆에 누가올지 결정을해야지 그래서 각각에 대하여 총 경우의 수는 가지

35 에서 까지의 개의 정수를 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중에서 의 배수이면서 일의 자리의 수도 의 배수인 수의 개수는 엄청 복잡한 문제야 ㅎㅎ 먼저 의 배수에 대한 잉여류로 분류 하자 우선 의 자리가 의 배수가 되는 경우는 크게 가지로 나눌 수 있어 인경우 인경우 그리고 이 의 배수면 전체도 의 배수가 될거 아냐 세 수를 더해서 의 배수가 나오려면 형태가 던지 이던지 던지 인 경우가 돼 장난 아니지 ㅎㅎ 인경우 뿌려 뿌려 뿌려 총개수 인 경우 이 있으니깐 그냥 팩토리얼 로 뿌릴수가 없지 첫째자리에는 이외에 다른 숫자가 와야돼 이외에 다른 두 숫자 을 포함한 두 숫자 마지막 하나 뿌려 뿌려 전체 개수 첫째자리가 인경우 전체경우는 이거 겠지 첫째 자리가 인 경우는 인 경우니깐 총 개수 근데 에서 세가지가 동일하니깐 답

36 남학생 명과 여학생 명이 그림과 같이 배치된 의자에 앉아 회의를 하려고 할 때 여학생 끼리는 마주보지 않게 앉도록 하는 경우의 수는 단 남학생끼리 여학생끼리는구별하지않는다 여학생 끼리 마주보게 되는경우는 오른쪽그림처럼 저 자리에 해당되겠네 그니깐 저 자리중 여학생이 마주 보지않게 앉히기만한다면 나머지는아무데나 앉아도 되는거지 근데 자리에서 여학생이 만일 명이상 앉는다면 어쩔수없이 마주보게 되니깐 자리에 여학생이 앉는경우의수는 명이앉던지 명이앉던지 이렇게 분류가되는거야 명은않돼 그럼남은자리가 개인데 남학생 다합해봐야 명이잖아 명 여학생 앉는경우 한쪽으로만 명 한명 한명 자리중 여학생 자리빼고나머지 남학생 자리자동 밖에 자리 여학생도자동 학생이구별않된다는거주의 명 여학생인 경우 한쪽으로만 명 한명 두명 두명 한명 밖에 자리중 여학생 명 남은 자리 남학생은자동 가지

37 주머니 속에 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 개의 구슬과 의 숫자가 적혀있는 개의 구슬 의 숫자가 적혀있는 개의 구슬이 들어있다 개의 구슬 중에서 개의 구슬을 동시에 꺼내어 네 자리의 수를 만들 때 같은 숫자 끼리는 이웃하지 않도록 하는 경우의 수를 구하여라 예를 들어 서로다른 개중 개를 꺼내어 네자리수 만든다면 하면 되겠지만 같은것이 있잖아 이건 일일이 경우를 나눠야 돼 참고로 같은것이 있는 대상이라도 전체를 나열할 때는 공식이 있어 같은것이 있는 대상중에서 몇개를 뽑을 때는 같은것이 몇개 있냐를 기준으로 잡고 분류하는게 좋아 같은것이 하나도 없을 때 중에 개를 뽑아서 그냥 나열하면 되지 가지 같은 숫자가 이웃할 걱정 없잖아 같은것이 쌍 있을때 같은것이 인경우 중에 개 뽑아 아닌 개 먼저 나열 같은것이 인경우 똑같아 가지 같은 것이 두 쌍일 때 인 경우 밖에 없다 가지 답 가지

38 어느 동물원에 그림과 같이 번호가 적혀있는 칸의 동물 우리에 호랑이 사자 늑대 여우 원숭이 곰 을 각각 한 마리씩 넣을 때 호랑이와 사자는 이웃하지 않게 넣으려고 한다 이 때 마리의 동물들을 서로 다른 우리에 각각 넣는 방법의 수를 구하시오 조건이 호랑이와 사자가 이웃하지 말라지 분류라는 게 어떤 특이한 스킬이 필요한게 아니야 그냥 단순하게 생각해 호랑이가 우리에 있는 경우의 수가 뭐야 이잖아 그거에 맞게 사자가 있는 경우의 수 구하고 나머지 마리는 쫙 뿌리면 돼 호랑이가 에 있는 경우 사자 호랑이가 에 있는 경우 사자 호랑이가 에 있는 경우 사자 호랑이가 에 있는 경우 사자 호랑이가 에 있는 경우 사자 호랑이가 에 있는 경우 사자 가지

39 부터 까지의 개의 자연수 중에서 서로 다른 세 개의 수를 나열하여 세 자리의 자연수를 만들 때 각 자리의 숫자의 곱이 의배수가 되는 경우의 수를 구하시오 이잖아 그니깐 각자리수 개를곱해서 만나오면 의배수가 되는거야 부터 까지의 수 중에서 라는 인수를가지고있는 수는 이야 결국 얘네들의 문제네 우선 크게봤을 때는 이 포함되는경우와 포함되지않는경우로나눌수있어 이포함되는경우 이때는 나머지 개는아무거나 뽑아도 무조건 의배수잖아 은이미포함 개만뽑으면돼 포함해서 개배열 이 포함하지않는경우 남은 으로 을만들어야 하는데 는반드시들어가야겠네 그럼 가들어가는경우와 이들어가는경우로나누어야하는데 여기서 중요한게 전부들어가는경우도 있기 때문에 중복되는 경우를 빼야 하는거야 즉 또는 답 가지

40 명이 타고 있는 버스가 세 정류장 를 순서대로 경유한다 개의 정류장 중 개의 정류장에서만 모두 승객이 내리는 경우의 수를 구하시오 우선 내릴사람들을 묶음으로 분할하면 명 명 명 명 명 명 이렇게 되지 그리고 중 내릴 정류장 개를 선택하면 명 명 명 명 명 명 답 가지

41 집한 는 이하의 수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 의 세 부분집합 를 정하는 경우의 수를 구하시오 가 나 다 우선 주어진 가나 다 처럼 되려면 그림 처럼 되야 하지 그림 보면 결국 을 다음 가지 영역 구역 구역 구역 에 하나라도 없이 배열하는 경우의 수 문제가 되는 거야 즉 공역과 치역이 일치하는 함수의 개수 문제 먼저 와 에만 배열되는 경우의 수가 있고 에만 배열되면 에도 배열된거니깐 또 세 군데 전부에 배열되는 경우의수로 나뉘겠네 와 에만 배열 공역과 치역이 일치 하는 경우 풀이전체 함수의 개수 하나로만 가는 개수 개 풀이 와 로 개 개 개 개 로 분할하고 분배 분할 하고 두 묶음을 로 분배 가지 세 군데에 배열 치역과 공역이 같은경우 풀이 전체 함수의 개수 어느 하나로만 어느 개로만 하나로몽땅 어느 개로만 그 두개는 빠짐없이 풀이 개 개 개 개 개 개 분할 하고 분배 분할 분배 가지 답 가지

42 그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다 이 도로망을 따라 지점에서 출발하여 지점까지 갈 때 구간 또는 구간 를 거쳐서 최단거리로가는경우의수는 경우의 수에서 또는 에대한 해석을먼저해야 해 집합에서 또는 은 을의미했지 경우의수에서도같은 의미이기한데 집합에서 로했잖아 근데경우의수에서는 또는 의개수 만 만 만 으로 해석을해 왜냐면 이게다배반이라 그냥각각의경우의수를더하기만하면되거던 또는 구간 의최단구간의수 만지나는경우 만지나는경우 을모두지나는경우 가되지ㅎㅎ 만지나는경우 만지나는경우 모두지나는경우 답

43 그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다 이 도로망을따라 지점에서 출발하여 지점 또는 지점 또는 지점을거쳐 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오 단 한번지나간길은 다시지나갈수 없다 이번엔 또는 또는 이렇게나왔지 이번엔 조금복잡해지는데 이것도알아놔 또는 또는 의경우의수 만 만 만 만 만 만 모두 만 만 만 만 만지날순없어 만 만 만지날수없어 모두지나는경우 가지

44 어느직선도로에는 그림과 같이 일정한 간격으로 개의가로등이 있다 개의 가로등 중 서로 이웃하지 않는 개의가로등만켜는 방법의 수는 단 가로등이켜지는순서는고려하지않는다 이문제는 중복조합의신유형야 꼭알아둬 이건이렇게생각할수있어 우선 불이 켜지는가로등을 개배치해 그다음에 불이켜진가로등끼리는이웃하지 않게사이사이에불이꺼진가로등을 배치한다고생각하면돼 일것이고여기서 와 에는 반드시 가로등이있어야하고 와 는 있어도그만없어도그만이잖아 그니깐 이건 다시 에서 음이아닌정수해로 바뀌게되지 가지

45 알파벳 개와 모음 를 일렬로나열할 때 모음끼리는 이웃하지 않게 나열하는 경우의수는 위문제랑 비슷한문제야 네모안에 를배열하고 부터 까지의 자연수 중에서 중복을 허락하여 개를 택해 세 자리자연수를 만들 때 각 자리의 수의 합이 의배수가되는경우의수를구하시오 이 문제는 단순하게생각해서 의배수 는 중 중복선택가능 문제지 그럼 개를더해서 의배수가나오는게 뭘까 생각하긴참어렵지ㅎ 이건 잉여류 에 관한문제야 으로나눠서나머지가 같은것의 집합을알아야돼 나머지가 인것을차례로 라하면 개를더해서 의배수가되려면 만 개 또는 만 개 또는 만 개 또는 한개씩 이런경우가있겠네 만 개 만 개 만 개 한개씩 개중하나씩뽑고나열 답

46 어느 고등학교 학년 학생이 수시모집에 지원하기 위하여 원서를 제출하려고한다 응시하려고 하는 대학은 의 개대학이고 원서를 제출하는방법은 인터넷 접수 등기우편 접수 입학관리처직접 제출의 가지가 있다 이 학생이 개 대학 에 각각 한 가지 전형에만 원서를 작성하고 가지방법 중에서 중복을 허락하여 제출할 때 적어도 개의대학은인터넷 접수로제출하는경우의수는 단 제출순서는생각하지않는다 적어도 개 전체개 개 전체경우의수 부터 알아보자 와 인터넷 등기 직접을 대응하는거 중복을허락한다고했지 그럼 중복순열 아니면 중복조합인데 인터넷 등기 와 등기인터넷 은경우가다르네 그래서 이건중복순열이야 중복순열 없어도되는거 반드시들어가야하는거 기억나냐 인터넷 등기 직접은 반드시들어가는게아니지 전부다 인터넷으로만 해도 되잖아 그니깐 그리고 반드시다넣어야하는거니깐 전체경우의 수 개대학만 인터넷접수 인경우 어느대학이냐 나머지 개대학과등기 직접과의관계 인터넷접수없는경우 개대학과 등기 직접의관계 가지

47 같은종류의 사탕 개를 명의아이에게 개 이상씩나누어주고 같은종류의초콜릿 개를 개의 사탕을받은아이에게만 개 이상씩나누어 주려고한다 사탕과 초콜릿을 남김없이 나누어 주는경우의수는 우선 같은종류의사탕 개를 명에게 개 이상씩 나누어주는방법은 니깐 가지 근데여기문제가있어 이 중에 사탕한개를받은아이에게 초콜릿하나이상 준다고 했잖아 그래서 이건 공식으로바로할 수 없는상황이야 즉 사탕을줄 때 일일히 나열해봐서 누가사탕한개받는지확인해야돼 자 사탕다시나누어줘 보자 에서 즉 즉 이두가지경우가합쳐서 가된거였어 가지 가지 그다음 각경우에따라 초콜릿도나눠줘볼게 여기서착각하지말아야할게 사탕 개받은아이에게만 초콜릿을주는거야 사탕 개이상받은아이에겐 초콜릿않주는거야 인경우 명한테 개씩줬으니깐 이 명한테만 초콜릿을 개이상씩나눠주는경우를세면되 인경우 사탕 개받은애는 명이니깐 얘한테 초콜릿 전부주면되겠군 가지 그래서 결론은 사탕 초콜릿 사탕 초콜릿 답 가지

48 오른쪽 가지 영역에 서로 다른 가지 색깔을 칠하는방법의 수는 가지 서로다른 종류의 주스 병과 생수 병이 있다 이 주스와 생수를 의 세 사람에게 나누어 주려고 할 때 다음 두 조건을 만족시키도록 나누어 주는 방법의 수는 단 생수 병은 서로 구별되지않는다 가 세 사람에게 각각 적어도 병이상의 주스를나누어준다 나 세 사람에게 각각 주스와 생수를 합하여 병이하로 나누어 준다 처음 서로다른 병의 주스를 세 사람에게 한 병이상씩 나누어 주는방법은 분할 분배 문제가돼 니간 구별되지 않은 생수 병을 명에게 나누어주는방법은 중복조합 문제가 되는데 주스 병 받은 사람에게 병을 올인하면 병을 주게 되니깐 가지가 되지

와플-4년-2호-본문-15.ps

와플-4년-2호-본문-15.ps 1 2 1+2 + = = 1 1 1 +2 =(1+2)+& + *=+ = + 8 2 + = = =1 6 6 6 6 6 2 2 1 1 1 + =(1+)+& + *=+ =+1 = 2 6 1 21 1 + = + = = 1 1 1 + 1-1 1 1 + 6 6 0 1 + 1 + = = + 7 7 2 1 2 1 + =(+ )+& + *= + = 2-1 2 +2 9 9 2