Microsoft PowerPoint - 제14장-1.ppt

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명길 곽
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1 제 4 장복소적분. 4. 복소평면에서의선적분. 미분적분학에서와같이정적분 (defnte ntegral) 과부정적분 (ndefnte ntegral), 또는역도함수 (antdervatve) 를서로구분하기로한다. 부정적분 (ndefnte ntegral) 은어떤영역에서그것의도함수가주어진해석함수와같은함수이며, 알고있는미분공식의역을취하면, 많은부정적분을구할수있다. 복소정적분은 ( 복소 ) 선적분 (lne ntegral) 이라불리며, 다음과같이표시한다. f ( ) d 여기서피적분함수 (ntegrand) f() 는적분경로 (path of ntegraton) 라부르는복소평면에서의곡선 를따라적분된다.

2 이런곡선 를다음과같은매개변수표현법으로나타낼수있다. ( ) ( t) x( t) + y( t) ( a< t< b) 이때 에대하여, t가증가하는방향을양의방향 (postve sense) 이라부르며, 이런방식으로식 () 은 의방향을준다. 곡선 의도함수 & d / dt ( 그림 336 참고 ) 가 의각 점에서연속이고, 어디서도 이아닐때, 를매끄러운곡선 (smooth curve) 이라부른다. 기하학적으로이것은 가유일하고연 속적으로변해가는접선을갖고있음을의미한다.

3 3

4 복소선적분의정의 이것은미적분에서사용된방법과유사하다. 가식 () 의형태 로표시되는, 평면에서의매끄러운곡선이라고하자. 또 f() 가 의 ( 적어도 ) 각점에서정의된연속함수라하자. 그리고식 () 에서의구간 ( a < t< b) 를점 t( a), t, L, tn, tn ( b) 으로나눈다 [ 분할 (partton)]. 4

5 여기서 t < t < L < t n 이다. 이들각분할점을 의분할점, n n Z, L,, ( ) ( 그림 337 참조 ) 을대응시킨다. 여기서 ( t j ) 이다. 그리고 가나누어진각 부분에임의의점, 말하자면 와사이의점 j ξ [ 즉, t가 t < t < t을만족할때의 ξ ( t )], 과 사이의점 ξ 등을선택한다음에, 그합 S n 을만든다. () S n n m f (ξ ) m m 여기서 m m m 5

6 . 이때각각의 n,3,l에대해완전히독립적인방법 으로그합을만들지만, n 이무한히커질때가장큰 t m t m t m 이 에접근하도록한다. 이것은가장큰이 에접근하는것을의미한다. m 왜냐하면, 그값은에서부터까지 의호의길이보다 m 클수는없다. 매끄러운곡선 의호의길이는 t의연속함수이므로, 따라서후자의길이 ( m 에서 m까지의 의호의길이 ) 가 으로수렴하기때문이다. m 6

7 Zm- ξ m Zm Z N m N Z Z Z 그림 337. 복소선적분 이렇게하여얻은복소수열 S, S3,L 의극한을유향곡선 (orented curve) 를따른 f() 의선적분 (lne ntegral, 또는단순히적분 ) 이 라한다. 이곡선 는적분경로 (path of ntegral) 라고부른다. 7

8 만약 가닫힌경로 (closed path, Z 일때, 즉 의끝점이시 작점과일치하는것, 예를들면원또는 8 자모양의곡선등 ) 라면, 선적분을다음과같이표시한다. f ( ) d, 또는 f ( )d 8

9 일반적가정. 앞으로복소선적분에대한모든적분경로는구분적으로매끄러운 (pecewse smooth) 곡선의연결, 즉끝과끝이연결된유한개의매끄러운곡선으로구성되어있다고가정한다. 복소선적분의세가지기본성질. 선형성 (lnearty). 적분은선형연산자이다. 즉두 ( 또는더이상 ) 함수의합의적분은항별로적분할수있고, 상수인자는적분부호밖으로나올수있다. (4) [ k f( ) + k f( )] d k f( ) d + k f ( ) d 9

10 . 반대방향 (sense reversal). 동일한경로위의적분에대하여적분의방향을거꾸로하면, 적분값의부호가바뀐다. (5) Z f ( ) d Z f ( ) d 좌변에서는에서까지적분하고, 우변에서는에서 까지적분한다. Z Z 3. 경로의분할 (parttonng of path, 그림 338 참조 ) (6) + f ( ) d f ( ) d f ( ) d

11 복소선적분존재 f () 가연속이고 가구분적으로매끄러운곡선이라는가정으로부터, 선적분 (3) 의존재가뒤따른다. 앞장에서와같이로놓도록하자. 또한, 으로놓으면, ξ + m 그림 338 경로의분할 [ 공식 (6)] f ( ) u(x, y) + v(x, y) ξm ηm 그리고 m xm + y m

12 식 () 는 (7) S n u + v)( x + y ) ( m m 으로쓸수있다. 여기서이고, m 합은부터까지한다. 이제곱을하면 S n u m n 을네개의합, 즉 u( ξ m, ηm), v v( ξm, ηm) S n u x m v y m + [ u y m + v x m ] 으로나눌수있는데, 각각의합은실수가된다. 가연속이기때문에, 와가연속이다. f u v

13 그러므로앞에서말한방식으로 n 이무한히커지면, 가장큰 y m x m 과은 에접근하고우변의각합은실선적분, (8) lm f ( ) d udx vdy + [ udy + S vdx ] n n 가된다. 이것은여기의가정 ( 가 위에서연속이고, 가구분적으로 f 매끄러운곡선 ) 아래서선적분 (3) 이존재하고, 이의값은구간을 ξ m 나누는방법과사이점의선택에는무관하다는것을보여준다. 3

14 적분을계산하는방법이복소적분에는많이있다. 먼저그들중에두개를고찰해보고, 나머지는이장의뒷부분과 5장에서다룬다. 이방법은다음에나오는방법보다더욱간단하지만덜일반적이다. 이방법은해석적 (analytc) 함수의경우로제한된다. 식 (9)( 아래 ) 는미적분학공식과유사하다. b (9) f ( x) dx F( b) F( a) a [ F '( x) f ( x)] 4

15 첫번째방법 : 부정적분과극한의대체 정리.[ 해석함수의부정적분 ] f () 를단순연결영역 D 내에서해석적이라고하자. 그러면영역 D 내에서 f () 의부정적분, 즉 D 내에F '( x) f ( x) 를만족하는해석함수 F() 가존재하며, D 내의두점 와 을 결합하는 D 내의모든경로에대하여 f ( ) d F( ) F( ) [ F '( ) f ( )] 가성립한다. ( 에서 까지의임의의경로 에대해서똑같은 적분값을가지므로, 대신에와을쓸수있음을주목하라.) 5

16 이정리의증명은 5.4절에서하게될것이다. ( 다음절에서설명할auchy의적분정리를사용함으로써 ) 단순연결은정리 에서꼭필요하다. ( 이것은예제 5 에서확인 ) 해석함수가우리의주관심사이고, 미분공식은종종주어진 f ( ) F ( ) 에대하여 F() 를찾는데도움을주므로, 현재의방법은실제적으로 매우중요하다. 6

17 만일 f () 가완전함수 (3.5절) 이면, 전체복소평면 ( 확실하게단순연결된 ) 을 D 로취할수있다. 예제. + d ( + ) 예제. π π π cos d sn sn π snh π π cos cos xcosh y sn xsnh y sn sn xcosh y + cos xsnh y 7

18 8 예제 3. 가주기인주기함수이므로예제 4. 여기서 D 는 과음의실수축 ( 가해석적이지않는 ) 을제외한복소평면이며, 명백히단순연결된정의역이다. e π e e e d e π π π π π π / 4 / / / ) ( π π π d ) ( ) ln( ln ln

19 두번째방법 : 경로에대한표현식의사용 정리. [ 경로를사용한적분 ] a t b (t) 를에서에의해표시되는구분적으로매끄러운경로라하고, f () 가 위에서연속인함수라하면 () f ( ) d d dt b f [ ( t)] ( t) dt ( ) a 이다. 증명. 식 () 의좌변은식 (8) 에의해, 실선적분들의항으로주어진다. 식 () 의우변이또한식 (8) 과같음을보이도록하자. x + y 이므로 x+ y 이다. 9

20 u [ x( t), y( t)] v[ x( t), y( t)] u, v 여기서 와 를각각 로간단히 쓰기로하자. 또한 dx x dt 와 dy y dt 이다. 결국, 식 () 에서의우변은 b a f [ ( t) ( t ) dt b a ( u + v)( x+ y) dt [ udx vdy + ( udy + vdx)] udx vdy + ( udy + vdx)

21 정리 를적용하는과정 (A) 경로 를 ( t ) (a t b) 의형태로표시된다. (B) 도함수 ( t) d / dt 를계산한다. () f() 의모든 에 ( t ) 를대입한다. [ 따라서 x 에는 x ( t ), y 에는 y ( t ) 를대입한다 ]. (D) f [ ( t)] ( t) 를 t 에대해a 에서 b 까지정적분한다.

22 예제5. 기본적인결과 : 단위원주위의 / 의적분단위원 ( 반지름, 중심 인원, 3.3절참조 ) 을따라반시계방향으로 / 을적분하면, 다음을얻는다. d () π (는단위원, 반시계방향 ) ( 풀이 ) 단위원 는 t ( t) cost + snt e ( t π ) 와같은형태로나타낼수있고 ( 3.3절의그림 37 참조 ), 여기서반시계방향의적분은 t가 에서 π까지증가하는것에대응된다. t t 미분에의해서 ( t) e ( 연쇄법칙 ) 이고, f ( ( t)) / ( t) e 이다.

23 식 () 에서원하는결과를얻는다. d π t t e e dt π dt π Z(t) cos t+ sn t 를사용하여결과를검증하라. 단순연결성은정리 에서필수적이다. 정리 의방정식은 (9) 는모든닫힌경로에대해 이다. 이므로즉 F( ) F( ) 이기때문이다. 이제 / 은 에서해석적이지않다. 3

24 그러나단위원을포함하는모든단순연결영역 ( smply connected doman) 은 을포함해야하고, 따라서정리 은적용되지않는 다. 환형 (annulus) 은단순연결이아니므로환형, 예를들면 < < 3 내에서 / 이해석적이라는것은충분하지않다 4

25 예제6. 정수거듭제곱의적분 m이정수이고 가상수일때, f()(- ) m 이라고하자. 반지름이 ρ이고중심이 인원를따라반시계방향으로 f() 를적분하라 ( 그림 339). 풀이 ) 를 ( ) 로되고, 또한 m m mt ρ e, d 5 ρe ( ( t) + ρ (cost + sn t) + ρe 와같은형태로표시할수있다. 그러면 를얻는다. ) m d π m ρ e mt ρe t dt ρ t t m+ dt π e ( t π ) ( m+ ) t dt

26 3.6 절의오일러공식 (5) 에의해우변은 ρ m + π π cos( m + ) tdt + sn( m + ) tdt 와같아진다. m 일때 ρ m+, cos, sn 이고, 따라서윗식은 π 가 된다. 정수 m 에대하여, 두적분은각각 이된다. 6

27 왜냐하면사인과코사인의주기와동일한 π의구간에서적분하기때문이다. 따라서결과는다음과같다. y ρ 그림 339. 예제 6 의경로 x 7

28 () ( ) m d π (m-) (m - 과정수 ) 경로의존성. 어떤함수 f ( ) 를다른경로를따라점에서 까지적분하면, 일반적으로다른적분값을얻는다. 다른말로해서일반적으로복소선적분은경로의양끝점에의존할뿐아니라, 경로그자체에도의존한다. 다음예를살펴보자. 8

29 < 응용예제 > 복소함수를그림에보인적분경로를따라각각선적분 하여라. 먼저경로 위의점은 f ( ) y ( t ) t + t, d ( + ) dt, t 로나타낼수있고, 이므로 경로 ( t ) d 에서는 ( t t t t t)( + dt ) dt t + t, d ( + t ) dt, t : : y y x x + 그림. 복소선적분의경로의존성 x 9

30 3 ( t ) dt d t t )( + t) dt ( t t + t + c 3 [( t + t ) + t ] dt [( t + t + t + 3 으로되어경로에따라복소선적분의값이 달라진다. ) ] 3

31 예제 7. 비해석함수의적분, 경로의존성 * f ( ) Re x 를 에서 + 까지 (a) 그림 37에서의 를 따라, (b) 과로구성된 를따라적분하라. () t t + t( t ) * 풀이. (a) 는로표시될수있고, & * 따라서 t () + 이고, f[ ( t)] x( t) t( 위에서 ) 이다. 계산하면 가된다. * Re d t(+ ) dt (+ ) + 3

32 (b) 우선다음과같이구할수있다. : () t t, & () t, f( ()) t x() t t ( t ) : ( t) + t, & ( t), f( ( t)) x( t) ( t ) 식 (6) 을사용하여계산하면 Re d Re d + Re d tdt + dt + y 를얻는다. 이결과가 (a) 에서의결과와다르다는점에유의하라. + * 그림 34. 예제 7 의경로 x 3

33 적분의절대값에대한한계복소선적분의절대값을대락적으로구할필요가자주있게된다. 이에대한기본식은 ( 3 ) f ( ) d M L 이다. 역서 L 는 의길이이고, M 은 위의모든곳에서 f ( ) M 을만족하는상수이다. S n 증명. 식 () 에의해주어지는에절대값을씌우면, 3.절의일반화된삼각형부등식 (6) 에의해 n n n S f ( ζ ) f ( ζ ) M n m m m m m m m m 33

34 을얻는다. 여기서 m 는끝점이 m 과 m 인현의길이이다..( 그림 337참조 ) 그러므로우변의합은끝점이,, L, n ( 현들의전체길이 * L 을나타낸다. Z ) 인파선으로된 4.절에서처럼가장큰 m 이 에접근하도록을무한히크게하면, * L 은곡선길이의정의에의해속선 의길이 L 에접근한다. n 이것으로부터부등식 (3) 이증명된다. 식 (3) 으로부터는적분의실제적인절대값이얼마나한계값 ML 에 34

35 근접해있는지알수없지만, 이러한사실이식 (3) 을적용하는데에아무런어려움을주지않는다. 여기서간단한예를들어, 식 (3) 의실제적인용도를설명해보자. 예제8. 적분의추정다음적분의절대값에대한상계 (upper bound) 를하나구하라. d ( 는 부터까지의선분 ) + 풀이. 이고위에서 L f ( ) 이므로, 식 (3) 에의해 d

36 를얻는다. 이적분의절대값은 + ( 예제참조 ) 이다. 36

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0)

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0) FGB-P8-3 8 학번수학과권혁준 8 년 5 월 9 일 Lemma p 를 C[, ] 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C, C[, ] 가미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 을만족하는해라고하면, y 는, 에서연속적인이계도함수를가지게확 장될수있다. Proof y 은 y 의도함수이므로미적분학의기본정리에의하여, y 은 y 의어떤원시 함수와적분상수의합으로표시될수있다.