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효준 설
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1 Principal Space and Elasticity 강의명 : 금속유동해석특론 (AMB2039) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : # 전화 : HOMEPAGE:

2 Outline Stress space를이해한다. Principal space of stress space를이해한다. Principal values를구하는법을익힌다. Invariants를이해한다.

3 Recap Measurement of force and displacement from tension tests Physical quantity to remove the effect of geometry: engineering stress/engineering strain Two types of stress (strain): Normal (tension +, or compression -) Shear (forward +, backward -) There are three independent planes in 3D; On each plane 1 normal + 2 shears. Thus nine independent components comprise the stress (strain) state. Coordinate transformation (axes transformation) Coordinate transformation does not change the physical quantity (stress, strain) Coordinate transformation changes the values of components and the directions of planes associated with the stress (or strain). Practice coordinate transformation using the Excel, Fortran code, Python code.

4 Symmetries in stress/strain tensors 변형률텐서의경우본래그정의에의해 symmetry 를가진다. ε "# = ε #"? ε "# = 1 2 d "# + d #" ε #" = 1 2 d #" + d "# w "# = 1 2 (d "# d #" ) 응력텐서의경우 force equilibrium 조건에의해 symmetry 를가진다. σ "# = σ #" σ = σ && σ &' σ &( σ '& σ '' σ '( = σ (& σ (' σ (( σ && σ &' σ &( σ &' σ '' σ '( σ &( σ '( σ ((

5 Stress tensor represented in other forms 앞서응력텐서가 matrix 의형태로표현되는것을보았다. 하지만이는온전히 편리 를위해서이다 물론많은이점이생긴다. 하지만때에따라응력텐서를다른형태로표기하기도한다. 예를들어 Voigt notation 은매우흔히찾을수있는응력텐서표기방법이다 3x3 matrix 대신 1x9 형태로표현 σ = σ && σ &' σ &( σ '& σ '' σ '( σ (& σ (' σ (( 위의 symmetric tensor 를 9 개 component 중 3 개를줄여 order 를낮출수있다. σ = σ && σ '' σ (( σ '( σ &( σ &' 의 1x6 array 로표현 ; 6 차원공간상의 vector 형태가된다 : σ & σ ' σ ( σ 2 σ 3 σ 4

6 Stress Space Stress tensor 의각 independent 값들이하나의 공간 축을형성하는공간. 가령 stress tensor 의 symmetry 덕분에 stress state 는일반적으로각성분이축이되는 6 차원공간에표현이가능하다. 하지만 stress tensor 의구성성분중 shear component 가모두 0 이되는 Cartesian coordinate 로표현되는공간을얻을수도있는데, 이방법에대해간략하게알아보도록하겠다. 예 1) 알루미늄을일축인장시편을위해가공한후, 해당시편의길이 / 폭 / 두께방향이주어진 coordinate system 의 e &, e ', e ( basis vector 방향과평행할때, 응력상태를측정하여다음과같이나타낼수있었다. σ = 해당응력텐서의 principal space 는? A) 주어진 coordinate system 을 φ & = 1.4, Φ = 24.86, φ ' = 을통해변환시켜얻은 coordinate system 이해당응력의 principal space 이다.

7 Stress Space ( 확인 ) φ & = 1.4, Φ = 24.86, φ ' = z c z s x c x s y c y s

8 More examples σ = The principal space of the above tensor can be obtained by φ & = 49.5, Φ = 96.23, φ ' = 0.11 z s y c z c 2 And the principal values? , -1.2, x c x s y s

9 How did I obtain this? An analytical method to obtain principal values: Find the eigenvalues and eigenvectors of 3x3 matrix form of the stress tensor That can be done by following 1. Define a new 3x3 matrix A "# = σ "# λδ "# δ "# = 1 ( if i = j) = 0 (or if i j) 2. Solve the case of λ when det(a)=0. A = σ && λ σ &' σ &( σ '& σ '' λ σ '( σ (& σ (' σ (( λ 3. That s actually solving Where λ ( I & λ ' I ' λ I ( = 0 I & = σ && + σ '' + σ (( + σ ' &( σ && σ '' σ '' σ (( σ (( σ && I ' = σ ' &' + σ ' '( I ( = σ && σ '' σ (( + 2σ &' σ &( σ '( σ && σ ' '( σ '' σ ' ' &( σ (( σ &'

10 How did I obtain this? Okay, we learned how to get eigenvalues. Next question is how we can obtain eigenvectors. Once you found the eigenvalues, you solve the equations given by A v = A "# v # = 0 Example: det B "# λδ "# = det For a 2nd rank tensor B = 1 λ λ λ , = λ ( + 12λ + 16 = λ 4 λ + 2 ' det B "# λδ "# = 0 : The solution of these equations is λ = 4, λ = 2 and λ = 2 (repeated). Eigen vectors can be found from A λi x = 0

11 How did I obtain this? (continued) A λi x = 0 Put the each of the three eigenvalues you obtained in the above to obtain three eigenvectors (x (&), x ('), x (() ). You ll get A 4I x & = 0 (1) A + 2I x ' = 0 (2) A + 2I x ( = 0 (3) For instance, solution of (1) gives x & & 1 2 x & ( = 0 x & & = 1 2 x (&) ( x & ' 1 2 x & ( = 0 x & ' = 1 2 x (&) ( Therefore, eigenvector associated with eigenvalue 4 is: x ( (&) value). You could do the same for (2) condition, which results in 1 1 x ' (') (') = x ( 0 + x ' & ' & ' 1 (with any arbitrary x ( (&)

12 How did I obtain this? (continued) 일단 eigenvector 들이구성된다면이를토대로 transformation matrix 를얻을수있다. 다음으로 transformation matrix 를 Euler angles 로변환가능 물론저도이모든과정을연필과종이로풀지않는다. 저의경우 LAPACK 으로 eigenvalue 와 eigenvector 를수치적으로얻고, 이를바탕으로 transformation matrix 를구해서, 다시 Euler angle 로변환하였다. 참고 :

13 Principal values / principal space 어디에쓰이나? Principal space 에응력을표현하면문제가매우간단해진다! 왜? 일단생각해야할 component 의수가줄어든다. 따라서 6D stress space 가 3D stress space 로줄어든다 3D space 는간단히 Cartesian coordinate 로표현할수있다. ( 시각적으로, 그리고수치해석적으로도 ) 6 차원보다는매우편리하다. 다른예?

$Application: Forming limit diagram 성형한계다이아그램은금속판재의성형성을간단히나타낼수있다. 전통적으로 fracture 가일어난판재의 minor/major strain 을측정하여모아곡선으로표현한다.$

14 Application: Forming limit diagram 성형한계다이아그램은금속판재의성형성을간단히나타낼수있다. 전통적으로 fracture 가일어난판재의 minor/major strain 을측정하여모아곡선으로표현한다. 여기서 minor/major strain 들은 principal space 의 strain component 를의미한다. 어쩌다가 principal space 로표현하게되었을까? - FLD 측정방식에서유래 ( 다음슬라이드에서계속 ) SK Paul et al. JSAE 48(6) p , 2013

15 Application: Forming limit diagram SK Paul et al. JSAE 48(6) p , 2013

16 Principal space 를사용한다면? 응력과변형률텐서가모두같은 principal space 에표현이되는상태라면, σ = σ && σ '' 0 그리고 ε = 0 0 σ (( ε && ε '' ε (( 이를간단히 Voigt notation을차용한다면 3차원문제가된다. 따라서 σ = σ & σ ' ε & ε ' σ ( 그리고 ε = ε ( 로표현가능하다. ( 각성분의첨자가하나로줄었다 ) 때로는 principal space에표현된응력의성분임을좀더명확히하기위해로마자 σ c 첨자를사용한다. Ex. σ = σ cc σ ccc

17 Principal space and Hooke s law (1) 응력과변형률간의관계는 Hooke s law 를따르며, 그둘간 선형 관계를설명하는법칙이다. Principal space 의 e & 방향으로의가상 일축인장 실험을생각해보자. 해당방향에서의 stress component 와해당방향에서의 strain component 간에는 선형 관계가지켜진다. 이는 σ & = Eε & 로표현가능 여기서 E 는? 나머지 principal space 의 e ' 축과 e ( 축에서는 수축 변형이발생한다. 만약시편이 isotropic 하다면, 그수축변형량은동일하다. 이는 ε & = ε ' = νε & 으로표현가능 여기서 ν 는?

18 Principal space and Hooke s law (2) 앞서 일축 인장에적용된예들을좀더확장시켜 삼축 모두에 arbitrary 한응력이걸렸을경우를표현할수있는방법이있다. 이는 Eε & = σ & ν σ ' + σ ( 앞서우리는 principal space 에서 축약 된 Hooke s law 를살펴보았다. 사실 Full tensor 를사용하면 Hooke s law 는... σ ij = E ijkl ε kl 혹은 ε ij = C ijkl σ kl ( 여기서 C = E n& ) 위를이용하여 ε && = C &&kl σ kl ε '' = C ''kl σ kl ε &' = C &'kl σ kl

19 Boundary condition 재료역학문제를효율적으로해결하기위해서는적절한 boundary condition ( 경계조건 ) 을찾아내고올바르게설정하는것이매우중요하다. 이를위해몇몇유익한 hints 를꼽자면 자유표면에수직한응력은 0 이다. 재료의가장바깥표면에응력을전달하는다른물질이없이대기중에노출되어있으면, 해당표면의방향과관계된응력성분들은 0 이다. 예를들어, 한물질점이 free surface 에해당하고 z 축방향으로그법선이향한다면, σ oo, σ po, σ qo 모두 0 이다. 마찰이없는면에서전단응력들은 0 이다. 해당면이 ( 위의예와유사하게 ) z 축방향으로그법선이향한다면, σ po, σ qo 모두 0 이다. 힘평형상태에서는물체의모든면에서힘의균형이존재한다. St. Venant 원리

20 St. Venant ( 생베낭 ; 세인트버난트 ) 원리 The stresses and strains in a body at points that are sufficiently remote from points of application of load depends only on the static resultant of the loads and not on the distribution of loads. 하중이가해지는점에서충분히떨어진곳에서의응력과변형률은그하중의정적결과에만의존하고, 그하중의분포에는무관하다.

21 Plane stress condition and free surface Plane stress condition 을더자세히설명하기에앞서 free surface 를이해해보자. CASE 21 Fixed the two planes facing top and bottom Force Force σ rstu& = σ && < e ( σrstu' = σ (( > 0 e ' e &

22 Plane theory (2D approximation) 재료의기계적거동을설명할때, 구조물의모습과기대되는응력 / 변형률에의해한방향으로의구성성분들이다른성분들과비교해 매우매우매우 작을때가있다. 그럴때는 full tensor component 를모두고려하기보다는매우작은성분들을 zero 로가정하여문제를간단화시키기도한다. 이를통해, 문제의복잡성을줄이고, 수치해석시간 ( 컴퓨터계산시간 ) 도줄어들수있다. 그뿐만아니라, 수식도매우간편해진다! 응력을예로들자면, 서로수직하는세면중한면과관련된응력성분들이모두 zero 인상태 ( 혹은그렇게모사된상태 ) 를일컬어 plane stress condition 즉평면응력상태라고한다. 변형률텐서를예로들자면세기본길이방향중, 한방향과관련한 normal/shear components 가모두 zero 인상태 plane strain condition ( 평면변형률상태 ) 라고한다.

23 Plane stress condition 의형태로표현가능하다. σ && σ &' 0 Plane stress where the components associated with e ( basis vector are zero: σ &' σ '' σ && σ &' 따라서, 이를 2x2 matrix로표현가능하다 : σ &' σ 단지세개의 component만 '' σ && meaningful. 더욱축약하여 σ '' σ &' 이경우 principal stress와 principal space도매우 간단히구해진다. σ & = x yyzx {{ ' + x yynx {{ ' ' + ' σ&' ' + ' σ&' σ ' = x yyzx {{ x yynx {{ ' ' Principal space를구하기위해서는 θ = & ' tann& 'x y{ x yy nx {{ 로얻어진값으로회전

24 Plane strain condition 평면응력상태와유사한듯다르게 ε && ε &' 0 ε &' ε '' ε (( Some times, even under plane strain condition, ε (( is not zero. 하지만이럴경우에도응력해석에서는 non-zero ε (( 를무시하여도무방한경우가있다.

25 탄성과탄성일 ( 탄성변형에너지 ) 길이 x 단면적 A 인봉이일축인장력 F ~ F ~ 로인해, dx 만큼변화되었다. 이에따른미소 (infinitesimal) 일 (work) dw 은? dw = F ~ dx 단위부피당미소일은? dx A dw = ƒ = ƒ = Š l ˆ ~ ~ ~ = σ ~ dε ~ 앞서다루었던 Hooke s law 에의해 σ ~ = Eε ~ x e ' w = dw = σ ~ dε ~ = Eε ~ dε ~ Ž = E x dx = Eε ~ ' 2 = σ ~ε ~ 2 e & 같은아이디어를 general 한텐서에적응하면 w = & ' σ ijε ij F ~

26 References and acknowledgements References An introduction to Continuum Mechanics M. E. Gurtin Metal Forming W.F. Hosford, R. M. Caddell ( 번역판 : 금속소성가공 - 허무영 ) Fundamentals of metal forming (R. H. Wagoner, J-L Chenot) (very good on-line reference) Acknowledgements Some images presented in this lecture materials were collected from Wikipedia.

슬라이드 1

슬라이드 1 tress and train I Metal Forming CAE La. Department of Mechanical Engineering Geongsang National Universit, Korea Metal Forming CAE La., Geongsang National Universit tress Vector, tress (Tensor) tress vector: