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1 제 8 장평면응력의적용 [ 압력용기, 보및조합하중 ] 8. 개요 - 평면응력 : 빌딩, 기계, 자동차, 항공기등에적용 - 압력용기의해석 : 압축공기탱크, 수도파이프등 - 보내의응력 : 주응력, 최대전단응력 - 보내의응력 : 주응력, 최대전단응력 8. 구형압력용기 - 압력용기 (essue vessel): 압력을받고있는액체나기체를포함하고있는폐 (closed) 구조물 - 탱크, 파이프, 항공기객실, 자동차 - 두께가얇은경우 쉘구조물 - 쉘구조물 : 돔형지붕, 보일러, 항공기날개, 잠수함 - 구 (sphere): 가장이상적인구조물 ( 비누방울 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 압력의합력 P = p r ( π ) - 벽에작용하는인장응력의합력은 ( π rt), 여기서 r = r+ t/ m m - 평형방정식 F horiz = 0 π π ( rt m ) p( r ) = 0 = rt m Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-

2 얇은쉘에서는두께를무시할수있으므로 r m r = t ; 모든방향으로동일한인장응력을받음. 막응력 (membrane stress) 바깥표면에서의응력 = =, = 0 z 축에대해회전된좌표계에서도동일함, 즉 = =, = 0 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-3 z 축에대해회전된모든좌표축이주축 (Mohr 원에서는점으로표시됨 ) 축응력상태, = =, 3 = 0, 평면내전단응력은 0 t 평면외최대전단응력은 및 축의회전에대해구해짐 (Mohr 원이용 ) = = 4t 안쪽표면에서의응력 바깥표면에서의응력에더하여 z 방향으로압력 p 와동일한압축응력 z 가작용함. = =, = p, 평면내전단응력은 0 t 즉 3 평면외최대전단응력은 및 축의회전에대해구해짐 (Mohr 원이용 ) + p p p r = = + = + 4t t r 여기서 t r r 이면 ( 두께가얎은경우 ) +, 따라서 ( 바깥과동일 ) t t 4t Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-4

3 예제 8- 문제 안지름 8 in, 벽두께 /4 in (a) 강철의 (b) 강철의 = 4,000 psi 일때최대허용공기압 p a? = 6,000 psi 일때최대허용공기압 p b? (c) 바깥표면의 ε = 일때최대허용공기압 p c? 6 ( E = 9 0 psi, 0.8 ν = 인선형탕성 ) (d) 용접부 : T = 8. kips/in 를초과하는인장하중에서파단 failure 안전계수 n =.5 를고려하여최대허용공기압 p d? (e) 이상을종합하여탱크의허용압력 p? Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-5 풀이 (a) = t 에서 p a t (0.5)(4,000) = = = psi r 9 = 에서 4t (b) p b 4t 4(0.5)(6,000) = = = psi r 9 (c) Hooke 의법칙 ε = ( ν ) 에 = = = /t 대입 ε = ( ν) = ( ν) E E te p c 6 teε (0.5)(9 0 )(0.0003) = = = 67.3 psi r( ν ) 9( 0.8) (d) T Tfailure 8. = = = 3.4 kips/in = 3, 40 lb/in n.5 T 3, 40 = = =,960 psi 에서 t 0.5 p d t (0.5)(,960) = = = 70.0 psi r 9 (e) (b) 의경우가 critical case; (666)(9.0) p = psi, 이때 = = =,000 psi t (0.5) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-6

4 8.3 원통형압력용기 원형단면을가지는원통형압력용기 : - 산업설비 : 압축공기탱크, 로켓모터 - 가정용 : 소화기, 스프레이캔 - 교외 : 프로판탱크, 곡물저장탑 그림에나타난, 에의한 축응력, 이주응력이됨. : 원주응력 (circumferential stress) 후프응력 (hoop stress) : 길이방향응력 (longitudinal stress) 축방향응력 (aial stress) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-7 원주응력 평형식 : ( bt) p( rb) = 0 = t 길이방향응력 평형식 : π π = = ( rt) p r 0 t Note: = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-8

5 바깥표면에서의응력 축응력상태, = = t t 3 = 0 평면내최대전단응력 ( ) z 4 4t = = = ( 45 o 방향 ) 평면외최대전단응력은 및 축의회전에대해구해짐 (Mohr 원이용 ) ( ) ( ) t 4t = = = = ( 45 o 방향 ), 이중최대값은 t = = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-9 안쪽표면에서의응력 바깥표면에서의응력에더하여 z 방향으로압력 p 와동일한압축응력 z 가작용함. 축응력상태, = = t t 3 = p 평면내 / 외최대전단응력은, 축및 z 축의회전에대해구해짐 (Mohr 원이용 ) ( ) p t 3 = = + 최대값, ( ) p 4t 3 = = + ( ) z 4t = = Note-: 최대값은 p = ( ) = + t Note-: p /항을무시하여도무방함 Note-3: / p 항을무시하면안쪽표면에서의응력은바깥표면에서의응력과동일 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-0

6 예제 8- 문제 - 강판을맨드릴주위에감고 - 모서리를용접하여헬리컬조인트구성 - 헬리컬용접부는길이방향축과 α = 55 o - 안지름 r =.8 m, 벽두께 t = 0 mm - 재료물성 ; E = 00 GPa, ν = 압력용기의내압 p = 800 kpa (a) 원주방향 / 길이방향응력, (b) 평면내 / 평면외최대전단응력 (c) 원주방향 / 길이방향변형률 ε, ε (d) 용접부에수직 / 수평으로작용하는수직응력, w w Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08- 풀이 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-

7 (a) = (800 kpa)(.8 m) 7 MPa t = 0 mm =, t = = = 36 MPa (b) 평면내최대전단응력 ; 평면외최대전단응력 ; = = = = 4 4t ( ) z 8 MPa t = = = 36 MPa (c) ε = ( ν ), E ε = ( ν ) E ε = ε, ε = ε, =, = 여기에 (36 MPa)[ (0.30)] ε ( ν) ( ν) 7 0 E te 00 GPa 6 = = = = ; 길이방향 (7 MPa)( 0.30) ε ( ν) ( ν) E te (00 GPa) 6 = = = = ; 원주방향 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-3 o (d) θ = 90 α = 35 o + = + cos θ + sin θ = sin θ + cos θ = = / t, = = / t, = 0 대입하면 여기에 o = (3 cos θ ), = = sin θ, 여기에 = 8 MPa, θ = 35 를대입하면 4t 4t 4t = 47.8 MPa, = 6.9 MPa 그리고, = + = 7 MPa + 36 MPa 47.8 MPa = 60. MPa 이에따라용접부에수직 / 평행하게작용하는수직응력 / 전단응력은 = 47.8 MPa, = 6.9 MPa w w Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-4

8 Mohr 원을이용한해석. aver + = 7 36 R = = 8 MPa θ = 70 o o o = cos 70 = 54 MPa (8 MPa)(cos 70 ) = 47.8 MPa aver R o o = Rsin 70 = (8 MPa)(cos 70 ) = 6.9 MPa Note: 나선의측면은 sin 곡선형태 p = pd tanθ w= π dsinθ ; 평판의폭 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 보에서의최대응력 - 굽힘 = M I 과전단 VQ = Ib 을동시에받는보 (b) 에응력상태를도시 - (c) 에주응력의방향과크기 - (d) 에최대전단응력의방향과크기및그때의수직응력 복합응력을동시에고려하여해석을수행하여야함. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-6

9 - 응력궤적 (stress trajector) - 실선 : 인장주응력, 점선 : 압축주응력 - 응력등고선 (stress contour): 주응력이동일한점들을연결한곡선 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-7 WF 보 - 굽힘응력과전단응력을각각계산하여응력요소에도시하고해석함. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-8

10 예제 8- 문제 단면 mn 의주응력과최대전단응력을조사하기 ( 평면내응력만을고려함 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-9 풀이 점 A 에서의반력 R = P/ 3 = 3600 lb A M = R = (3600 lb)(9 in) = 3, 400 lb-in, V = R = 3600 lb A 단면 mn 상의수직응력은굽힘공식을이용하여 = M M (3, 400 lb-in) I = bh = ( in.)(6 in) = (Note: 0 = ) A 단면 mn 에서의전단응력을구하기위해 h h/ b h Q= b + = 4 VQ V h 6V b h = = 50(9 ) 3 = 3 = Ib ( bh )( b) 4 bh 4 주응력 +, = ± + = ± + 최대전단응력 = + = + Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-0

11 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 조합하중. 해석지점선택. 합응력의산정 ( 축하중, 비틀림모멘트, 굽힘모멘트, 전단력등 ) 3. 합응력에의해발생하는수직응력과전단응력계산 4. 개별적인응력의합산 5. 주응력과최대전단응력계산 6. Hooke 의법칙을이용하여변형률계산 7. 추가로해석지점을선택하여반복계산 Note: 선형시스템에대해 Hooke 의법칙을따르며미소변형인경우만중첩이가능함. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-

12 방법의예시 Tr T = = ( 비틀림에의한전단응력 ) 3 IP π r Mr I 4M π r = = A 3 ( 굽힘에의한수직응력 ) 4V 3A = ( 전단력에의한전단응력 ) 점 A, B 와같이응력의일부가최대가되는점 임계점 (critical points) - 합응력이최대값을가지는단면에선정하여야함 - 복잡한구조물에서는여러점을선택하여야함 - Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-3 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-4

13 예제 8-4 문제 비틀림하중 T =.4 kn m, 인장하중 P = 5 kn 을동시에받는지름 d = 50 mm 인축에서 최대인장응력, 최대압축응력, 최대전단응력구하기 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-5 풀이 P 4P 4(5 kn) 인장응력 = MPa A = πd = π(50 mm) = Tr 6P 6(.4 kn m) 전단응력 0 = = = = MPa 3 3 I πd π(50 mm) P 따라서응력상태 : = 0, = 0 = MPa, = 0 = MPa 를대입하면 주응력 + = ± + = ±, 3 MPa 03 MPa = 35 MPa, = 7 MPa 최대전단응력 = + = 03 MPa Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-6

14 예제 8-5 문제 내압 p 와축하중 P = k 의압축하중을받는원통 ; 안쪽반지름 r =. in, 두께 t = 0.5 in 용기의벽에서의허용전단응력 = 6500 psi 일때 최대허용내압 p 구하기. 풀이 축응력 ; P P = = t A t π rt 원주응력 : = t =, = 주응력은 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-7 따라서 p(. in) = = = 4.0 p, t 0.5 in P p(. in) k = 7.0 p 6063 psi t πrt = (0.5 in) π(. in)(0.5 in) = = = 4.0 p 7.0 p psi = 3.5 p+ 303 psi 평면내전단응력 ( ) 의한계가 6500 psi 이므로 6500 psi = 3.5p psi p = 3468 psi psi 3.5 = ( p ) = 990 psi 평면외전단응력 = 또는 = 첫째식 6500 psi = 3.5p 303 psi ( p ) = 70 psi 둘째식 6500 psi = 7 p ( p ) 3 = 98 psi Critical Case Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-8

15 예제 8-6 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-9 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-30

16 예제 8-7 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-3 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-3

17 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (Lecture Note b Prof. S.W.Cho) Page 08-33

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