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규진 심
5 years ago
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1 제 3 장원형축의비틀림 3.1 개요 : 회전운동을하는부재 동력전달축, 비틂봉, 드릴축 비틂모멘트, 전단응력, 전단변형률, 비틂각 3.2 변형의기하학 : 한쪽끝단이고정된원형단면축 비틀림모멘트의방향 : 오른손법칙 변형전 : 선AB, 선OA 변형후 : 선A B, 선 OA 고정단에서임의거리 x인위치에서두께 x인미소요소 CD를절취함. ( 양의비틀림모멘트에대한표현 ) DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 1

2 x 위치에서의비틂각 선 OD가선 OD 로회전 : Φ(x) x+ x위치에서의비틂각 선 OC가선 OC 로회전 : Φ(x+ x) C OC Φ(x+ x)- Φ(x)= Φ 양변을 x 로나누고극한을취한다. 전단변형률 선 D C 가선 D C 로회전 양변에극한을취한다. 3.3 평형조건과응력분포 : 비틂모멘트는축에전단응력을유발시켜전단변형을만든다. 축재료가선형탄성이라면 Hooke s law 에의해 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 2

(3.5) 식에 (3.10) 을대입하면 : 전단응력의분포는반경 r에비례한다.

3 전단응력과비틂모멘트사이의관계 미소면적 da에걸리는전단력 : τda 전단력τdA에의해유발되는모멘트 :(τda)r 이모멘트의총합이비틂모멘트와같다. (3.5) 식을 (3.6) 식에대입하고다음과같이정리한다. 단면 ( 평면 ) 의극관성모멘트 (polar moment of inertia) (3.5) 식에 (3.10) 을대입하면 : 전단응력의분포는반경 r에비례한다. 최대전단응력은축의바깥쪽표면에발생한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 3

4 3.4 원형축의비틀림방정식 한쪽이고정된길이 L인축의자유단에서비틂각은절대비틂각이며 (3.12) 식으로계산 양단이자유단이면비틀림모멘트에의한비틂각은상대비틂각으로계산해야한다. 축의임의두점간의상대비틂각 (3.10) 식을이용하여적분한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 4

5 APPENDIX A : 단면의도심과관성모멘트 A.1 단면의 1차모멘트와도심 단면의 1차모멘트 : Q 단면의도심 : x c, y c 예 1) 삼각형의도심 y c 를구하라? S 를 y 의함수로표현 A 와 da 를구한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 5

60=7200 60 30 삼각형 -½(30 60)=-900 10 40 반 원 -½π(20)

6 예 2) 다음합성도형의도심좌표 x c, y c 를구하라? 임을고려하여 A i (mm 2 ) x i (mm) y i (mm) 사각형 = 삼각형 -½(30 60)= 반 원 -½π(20) 2 = (4 20)/3π=51.5 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 6

7 A3 A.3 단면의 2 차모멘트와극 2 차모멘트 단면의 2 차모멘트 ( 관성모멘트 ) : I 단면의극 2 차모멘트 ( 극관성모멘트 ) : J 예3) 다음직사각형단면에서도심축 x에대한관성모멘트를계산하시오? 그림과같이미소요소를정의함 미소요소의면적계산 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 7

8 예 4) 지름이 d 인중실원형단면의관성모멘트를구하시오. 미소요소를정의하고, 요소면적과 x축에서요소의도심까지의거리 y 를계산한다. 관성모멘트의정의에따라계산한다. A.2 단면의 2차모멘트 원형단면은기하학적으로상하, 좌우가모두대칭이므로 x, y축에대한관성모멘트가같다. I x =I y DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 8

9 예 5) 내경과외경이각각 d i, d o 인중공원형단면의극관성모멘트를구하시오. 중실원형단면에서와같은방법으로미소요소를정의하고, 요소면적을계산한다. 정의에따라극관성모멘트를계산한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 9

10 A4 A.4 평행축정리 (Parallel-Axis l Ai Theorem) 단면의도심을지나지않는축에대해2차및극2차모멘트를구할때사용한다. x 1, y 1 이단면의도심을지나는축일때도심에서 d x 만큼떨어진 x 축에대한관성모멘트를구하면 x 1 은도심축이므로 y c =0 같은방법으로 y 축에대한관성모멘트를구하면 임의점 O 에대한극관성모멘트는정의에의해 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 10

11 예 6) 주어진단면의도심축 x 에대한관성모멘트를구하시오. 먼저도심의위치를구한다 ( 밑변기준 ). A 1 과 A 2 는사각형단면이고, 사각형면의도심축에대한관성모멘트는 A 1, A 2 모두 x축이도심을지나지않으므로평행축정리를이용한다. A 1 의 x 축에대한관성모멘트? A 2 의 x 축에대한관성모멘트? 결국주어진단면의 x 축에대한관성모멘트는? DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 11

12 3.5 중공원통축의비틀림 : 회전운동을전달하는축으로는보통중실원형단면축을사용하지만경제성과효율이라는측면에서중공원통축을사용하기도한다. 최대전단응력 축의외측표면 (r=d o /2) 에생긴다. (3.13) 식을이용하면 외경이같은중실축과중공축의최대전단응력비 예 ) 내경이외경의절반인경우 d i /d o =0.5 이므로 (3.22) 식에대입하면 무게비를구하면 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 12

비틀림모멘트의반력은 T 와같다. 축내임의단면에서의내부비틀림모멘트도 T로일정하다.

13 3.6 정정계의비틀림 예제3.1) A단이고정된직경 50mm인원형단면축의자유단에 1100Nm 의비틀림모멘트가작용한다. 축에발생하는최대전단응력과 B단의비틀림각을구하라 ( 단, G=80GPa). 풀이 ) 단축변형에서와같은변형체해석절차를따른다. 정역학 : 자유물체도를그리고평형조건을적용한다. 비틀림모멘트의반력은 T 와같다. 축내임의단면에서의내부비틀림모멘트도 T로일정하다. 기하학 :A 단은고정되어있으므로 Φ A =0 이다. 힘-변형관계 : (3.16) 식에 Φ A =0을대입한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 13

예제32) 3.2) 그림과같이알루미늄튜브와황동튜브가 B 점에서연결되어있고 A 점이고정되어있다.

5(kip in) 일때각튜브의최대전단응력, 비틀림각의변화,B 와 C 점에서의비틀림각을구하라.

( 반력의방향을모르면양의방향으로가정함 ) 기하학 : 고정단 A 에서의비틀림각 Φ A =0 하중 -

14 예제32) 3.2) 그림과같이알루미늄튜브와황동튜브가 B 점에서연결되어있고 A 점이고정되어있다. B와 C점에서의비틀림모멘트가각각 T B = 4(kip in), T C =2.5(kip in) 일때각튜브의최대전단응력, 비틀림각의변화,B 와 C 점에서의비틀림각을구하라. [ 단, 알루미늄튜브 AB : d o =2(in), d i =1(in), G AB =4x10 6 (psi) 황동튜브 BC : d o =1(in), d i =0.5(in), G BC =6x10 6 (psi)] 풀이 ) 정역학 : 자유물체도를그리고평형조건을적용 ( 반력의방향을모르면양의방향으로가정함 ) 기하학 : 고정단 A 에서의비틀림각 Φ A =0 하중 - 변위관계 : (3.16) 식을 AB, BC 부분에적용하고 Φ A =0 임을고려한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 14

15 비틀림각 Φ는축의길이에비례하므로비틀림각의변화는아래그림과같이그릴수있다. 최대전단응력은 (3.13) 식을 AB 와 BC 부분에적용하여얻는다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 15

16 예제 3.3) 작은모터가두개의기어를작동시킨다. B, C 에서 T B =T C =10Nm 의비틀림모멘트가작용할때최대전단응력과축의양단B와 C에서의비틀림각을구하시오 ( 단, 모터는 20Nm의비틀림모멘트를전달하며, G=80GPa이다 ). 풀이 ) 정역학 : 자유물체도를그리고평형조건을적용 기하학 : 비틀림각은상대적이므로 A점은고정점으로취급한다. 하중-변위관계 : (3.16) 식을이용하여 AB, BC요소에대한비틀림모멘트와비틀림각의관계를표현한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 16

17 T AB >T BC 이므로최대전단응력은 AB 부분의표면에발생한다. (3.13) 식에서 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 17

18 예제 3.4) 두개의기어축이결합된모형에서 C 점에 T=7.5(lb ft) 의비틀림모멘트가작용한다. G= psi 일때 C에서의비틀림각과이계의최대전단응력을구하라. 풀이 ) 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용한다. 기어부에선모멘트의방향에주의 우측하단의 C점부터적용 기하학 : A점은고정점이므로 B점에서의비틀림각은기어의지름과밀접한관계에있다. 즉기어는맞물려있으므로상하기어의회전거리는같다. 하중-변위관계 : AB, BC부분에 (3.16) 식적용 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 18

19 (3.14) 식을통해 AB, BC 에서의최대전단응력을구한다. AB) BC) DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 19

20 3.7 정역학적부정정계의비틀림 : 정역학적해석과하중-변위관계의동시적용을통해해를구한다. 예제3.5) 양단이고정된축의 B 점에 T=50(lb ft) 의비틀림모멘트가작용한다. 축의각부분의비틀림모멘트, 축을따른비틀림각의변화와각축의최대전단응력을구하라. ( 단, G= psi 다 ) 풀이 ) 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용한다. 기하학 : A 와 C 는고정점이므로 하중 - 변위관계 : AB 와 BC 에대해 (3.16) 식적용 (d), (e) 를 (b) 에대입하여 Φ B 를구한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 20

21 Φ B 값을 (d), (e) 식에대입하여축의각부분의비틀림모멘트를구한다. T AB, T BC 값을 (3.14) 에대입하여각부분의 τ max 을구한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 21

22 예제36) 3.6) 양단이고정된축의 B 점에비틀림모멘트 T 가작용한다. B 점에서의비틀림각, AB와 BC구간에서의비틀림모멘트를구하라. 풀이 ) 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용 기하학 :A 와 C 는고정점이므로 하중 - 변위관계 : AB 와 BC 에대해 (3.16) 식적용 (d), (e) 를 (b) 에대입하여 Φ B 를구한다. (f) 를 (d), (e) 에대입한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 22

3.8 원형축의비틀림에대한변위법 : 근본적으로축하중에대한해석과유사하다. (3.

좌표축설정 요소 (element) 분할 절점번호 (node number)

전단탄성계수 (G i ) 와극관성모멘트 (J i ) 는해당축요소에서일정하다.

비틀림하중과비틀림각의관계 (i 번째요소 ) F=kx 임을고려하면, 비틀림강성

23 3.8 원형축의비틀림에대한변위법 : 근본적으로축하중에대한해석과유사하다. (3.16) 식을활용한다. 좌표축설정 요소 (element) 분할 절점번호 (node number) 부여 가정 ) 해석상편의를위한가정 비틀림모멘트는절점에만작용한다 (Q i ). 전단탄성계수 (G i ) 와극관성모멘트 (J i ) 는해당축요소에서일정하다. 비틀림모멘트와비틀림각은반시계방향을양 (+) 으로하는오른손법칙을따른다. 비틀림하중과비틀림각의관계 (i 번째요소 ) F=kx 임을고려하면, 비틀림강성 (torsional stiffness) 을정의할수있다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 23

7) 축 AB : d AB =4(in), G AB =10x10 6 (psi) 축 BC : d 10 BC =2(in), G BC =15x10 6 (psi) T B

24 N 개의절점과 N-1 개의요소를가진일반적인경우 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용 하중-변위관계 : i번째축요소에대한비틀림모멘트 (3.29) 식을 (3.30) 식에대입하면평형방정식을비틀림각의항으로표현할수있다. 기하학 : 기지의절점변위 ( 비틀림각 ) 를찾아적용한다. 예제3.7) 축 AB : d AB =4(in), G AB =10x10 6 (psi) 축 BC : d 10 BC =2(in), G BC =15x10 6 (psi) T B =100,000(lb in), T C =20,000(lb in) 일때 a 각축요소에서의최대전단응력? b 고정단 A 에대한 B, C 의비틀림각? 풀이 ) 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 24

25 기하학 : A 즉절점 1 은고정점이므로 하중-변위관계 : 요소1(AB) 과요소2(BC) 에대해 (3.29) 식을적용 (b) 를 (a) 의하위두식에대입하고해당값들을적용한다. (b) 에비틀림각을대입하여요소에걸리는비틀림모멘트를구한다. (3.14) 식을이용하여각요소에걸리는최대전단응력을구한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 25

26 3.9 컴퓨터프로그램 TORMECH 예제 3.8) 예제 3.7 을 TORMECH 프로그램을이용하여풀어라. 축AB : d AB =4(in), G AB =10x10 6 (psi) 축BC : d BC =2(in), G BC =15x10 6 (psi) T B =100,000(lb in), T C =20,000(lb in) a 각축요소에서의최대전단응력? b고정단a에대한b, C의비틀림각? 풀이 ) 먼저좌표축을세우고, 요소를분할하며, 절점번호를부여한다. TORMECH 프로그램을띄우고, 필요한값을입력한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 26

27 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 27

28 예제39) 3.9) 양단이고정된직경 20mm 인알루미늄축에 70 Nm 의비틀림모멘트가작용한다. AB와 BC부분의비틀림각과최대전단응력을구하라. ( 단, G=25GPa이다 ) 풀이 ) 먼저좌표축을세우고, 요소를분할하며, 절점번호를부여한다. TORMECH 프로그램을띄우고, 데이터를입력한다 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 28

29 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 29

30 예제310) 3.10) 계단형원형축의 A, C, D 에기계부품을설치하여비틀림모멘트를걸므로 Φ A =-1, Φ C =1/2, Φ D =1 의비틀림이생겼다. G=75GPa 일때 a B 에서의비틀림각? b 세축마디에서의최대전단응력? ca, C, D에걸린토오크? 풀이 ) 먼저좌표축을세우고, 요소를분할하며, 절점번호를부여한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 30

31 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 31

m/s 550 lb f ft/s 746 W(N m/s) 1kW(SI 계 )

32 3.10 동력전달을위한원형축의설계 : 안전한축직경또는전달가능한동력의계산 축에의해전달되는동력 (P) N(rpm) 의속도로회전하는동력축에토오크 T가걸린다면 동력축에발생하는토오크를알면비틀림각과최대전단응력은 (3.12) 와 (3.14) 식으로구할수있다. 동력의단위 1PS( 미터마력 ) 75 kg f m/s 542 lb f ft/s 735 W(N m/s) 1hp (US 마력 ) 76 kg f m/s 550 lb f ft/s 746 W(N m/s) 1kW(SI 계 ) 102 kg f m/s 738 lb f ft/sf DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 32

33 예제 3.11) 길이 28ft 인동력선이 3800rpm 으로프로펠러에동력을전달하는 260hp의엔진을가지고있다. 축의허용전단응력이 30ksi일때프로펠러강축의최소허용직경을구하라. 풀이 ) 축에걸리는토오크를먼저계산한다. (3.14) 식을이용한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 33

34 예제312) 3.12) 축의최대허용전단응력이 30MPa 을초과하지않을때회전속도 15 Hz에서 8kW를전달하기위해요구되는강철축의최소직경을구하라. 풀이 ) 축직경문제는토오크를구하는것이관건이다. (3.14) 식을적용한다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 34

미소요소에평형조건을적용한다. 양변을 x 로나누고극한 ( x 0) 을취한다. (3.

35 3.11 비틀림모멘트와비틀림각의미분방정식 : 비틀림모멘트가축을따라분포할때비틀림모멘트의변화와비틀림각을결정. : 축직경의변화와함께분포비틀림모멘트 q(x) 가작용하는원형단면축 임의거리 x에위치한길이 x인미소요소 미소요소에평형조건을적용한다. 양변을 x 로나누고극한 ( x 0) 을취한다. (3.10) 식에서 dφ/dx=t/gj이므로 : 온도변화가없다면 (2.28) 28) 식과유사 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 35

36 참고 ) 만일분포비틀림모멘트가걸리지않고 (q(x)=0),( GJ= 상수 ( 일정 ) 일때의비틀림각을 (3.39) 식을이용해계산해보자. (3.39) 39) 식에서 (3.41) 식을두번적분하고경계조건을대입한다. (3.10) 식에 (3.45) 를대입 절점에만비틀림모멘트가걸리는경우의결과인 (3.16) 식과같다. DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 36

37 예제313) 3.13) 지름 d=50mm 50mm, 길이 L=1 1.25m 인강철축에 q o =200Nm/m 의분포비틀림모멘트가작용하고있다. G=80GPa일때비틀림모멘트와비틀림각의분포를구하라. 풀이 ) 정역학 : 미소요소를만들고평형조건을적용한다. B 는자유단이므로내부비틀림모멘트가없다. (3.37) 식을적용하여적분하고, 경계조건 (1) 을이용하여적분상수를구한다. (2) 식을그래프로표현한다. -. x=0이면 T=250(Nm) -. x=1.25(m) 면 T=0(Nm) DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 37

38 기하학 : A 는고정단이므로 하중-변위관계 : (3.10) 식을적분하고경계조건을적용한다. -. x=0 일때비틀림각은 0 이다 (Φ A =0). (3) 식을그래프로표현한다. -. 위로볼록포물선 -. x=0 일때 Φ=0 -. X=1.25m 일때 Φ= (rad)=0.182( ) DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 38

예제314) 3.14) 일정한분포비틀림모멘트 q o 를받는길이 L 인양단이고정된보가있다.

39 예제314) 3.14) 일정한분포비틀림모멘트 q o 를받는길이 L 인양단이고정된보가있다. 축직경이 d이며, 전단탄성계수 G, 극관성모멘트 J일때지지점에서의반력비틀림모멘트, 비틀림각의분포, 축의최대전단응력을구하라. 풀이 ) 정역학 : 자유물체도에평형조건을적용 기하학 :A 와 B 는고정점이므로 하중 - 변위관계 : (3.10) 식을 T 에대해정리한후 (1) 식에대입한다. (2) 식에경계조건을대입하여적분상수를구한다. -. x=0일때 Φ=0 -. x=l 일때 Φ=0 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 39

40 (3) 식을그래프로표현한다. -. 위로볼록포물선 -. 비틀림각이최대인곳을찾는다. (3.10) 식에 (4) 식을대입한다. (5) 식을그래프로표현한다. -. x=0 일때 T=q o L/2 -. x=l/2일때 T=0 -. x=l일때 T=1q o L/2 T max =q o L/2 임을고려하면 DIVISION OF MECHANICAL DESIGN ENGINEERING 40

PowerPoint 프레젠테이션

PowerPoint 프레젠테이션 3. 원형축의비틀림 eal Foming CAE Lab. Depamen of echanical Engineeing Gyeongsang Naional Univesiy, Koea 원형축의비틀림 문제의정의와가정 이론전개대상축의형상 : 원형축 (Cicula shaf), Shaf 용도 : 동력전달 (Powe ansmission), sping, ec., 이론전개를위한가정