3 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties Figure. the cycloid curve; 사이클로이드곡선 Figure. Prmetric expressions of the cycloid curve; 사이

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1 Journl for History of Mthemtics Vol. 8 No. (Feb. 05), A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 사이클로이드곡선의역사와그특성에대한증명 Shim Seong-A 심성아 The cycloid curve hd been studied by mny mthemticins in the period from the 6th century to the 8th century. The results of those studies plyed importnt roles in the birth nd development of Anlytic Geometry, Clculus, nd Vritionl Clculus. In this period mthemticins frequently used the cycloid s n exmple to pply when they presented their new mthemticl methods nd ides. This pper overviews the history of mthemtics on the cycloid curve nd presents proofs of its importnt properties. Keywords: cycloid, qudrture, rectifiction, Isochrone Problem, involute, Tutochrone Problem, Brchistochrone Problem; 사이클로이드, 넓이구하기, 길이구하기, 등시주기운동문제, 사이클로이드의신개선 ( 伸開線 ), 동시강하곡선, 최소시간강하곡선. MSC: 0A99, 30C70, 35A5, 97I40, 97I50 서론 수학의역사에등장하는가장유명한곡선중하나인사이클로이드는 Figure 에서와같이 직선위를굴러가는원위의한점이그리는자취이다. 사이클로이드곡선을그리기위해 직선위를굴리는원을사이클로이드의생성원 ( 生成圓, the generting circle) 이라고부 른다. Figure 에서와같이반지름이 r 이고원점에서 x 축과접하는생성원이 x 축위를 굴러간다고할때, 원점에서출발한생성원위의점 P (x, y) 의자취인사이클로이드곡선의 식은생성원의회전각 θ 를매개변수로사용하여다음과같이표현된다. x OS P F rθ r sin θ y r QF r r cos θ 사이클로이드곡선은 6 세기에서 8 세기까지의시기에여러수학자들에의하여연구되 었고, 이러한연구들이해석기하학과미적분, 변분미적분의탄생과발전에중요한역할 을하였다. 이시기에수학자들이새로운수학적방법을발표할때흔히사이클로이드에 Shim Seong-A: Dept. of Mth., Sungshin women s Univ. E-mil: shims@sungshin.c.kr Received on Jn. 5, 05, revised on Feb., 05, ccepted on Feb., 05.

2 3 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties Figure. the cycloid curve; 사이클로이드곡선 Figure. Prmetric expressions of the cycloid curve; 사이클로이드곡선의매개변수표현 적용하는것을예로들었다. 사이클로이드는 기하학의헬렌 (Helen of Geometry) 라고불리어졌는데, 이는이곡선자체가가지는수학적아름다움뿐만아니라, 이곡선에대한연구과정에서야기된수학자들사이의갈등에서유래된별칭이다. 사이클로이드곡선에대하여제기되었던주요한문제들과그밝혀진결과를정리하면다음과같다. 사이클로이드곡선아래영역의넓이구하기 (qudrture) 직선 l 위를굴러가는생성원에의하여그려지는사이클로이드곡선의한주기에해당하는아치와직선 l로둘러싸인부분의넓이는그생성원의넓이의 3배이다. 사이클로이드곡선의길이구하기 (rectifiction) 사이클로이드곡선의한아치의길이는그생성원의반지름의 8배이다. 등시주기운동문제 (Isochrone Problem) 진자의운동주기가일정하려면추의이동궤적이사이클로이드를이루어야한다. 사이클로이드의신개선 ( 伸開線, the involute) 평면위의사이클로이드곡선에접하는직선을곡선을따라서회전시킬때, 직선위의한정점 ( 定點 ) 이그평면위에그리는곡선은다시사이클로이드를이룬다. 동시강하곡선 (Tutochrone Problem) 지면과수직인평면에서뒤집어놓은사이클로이드곡선의어느위치에서시작해서구슬을굴려도최저점에도달하는시간이같다. 최소시간강하곡선 (Brchistochrone Problem) 지면과수직인평면의한점에서다른한점을연결하는어떤경로를따라구슬이굴러내려올때, 사이클로이드를따라내려오는시간이다른어떤곡선을따라내려오는시간보다짧다.

3 S. A. Shim 33 이논문에서는사이클로이드곡선에관련된수학적역사를개관하며, 역사적으로중요 하게연구되었던성질들에대한증명을제시한다. 사이클로이드곡선의역사 기원전 3000년무렵바퀴가발명된이후사이클로이드모양의곡선도일찌기발견되었을수도있으나, 움직이는원위의한점에의하여생성되는곡선 이문헌에최초로언급된것은 50년부벨 (Chrles de Bouvelles, ) 이원의넓이를구하는과정에서그러한곡선을이용하였다는것이다 [0]. 사이클로이드 (cycloid) 라는이름을명명한것은 599년갈릴레오 (Glileo Glilei, ) 에의해서였다 [6]. 그는사이클로이드의한아치아랫부분의넓이를구하는수학적방법을찾으려고하였으나성공하지못했다. 그리고실제로금속판으로생성원과사이클로이드모양을만들어무게를비교하여사이클로이드아치의넓이가생성원의넓이의 3배라는결과를얻었으나, 자신이증명할수없었던것으로미루어보아정확한값은 3이아닌어떤무리수일것이라고믿었다. 이후 634년에프랑스의수학자로버벌 (Gilles Persone de Robervl, ) 이카발리에리 (Bonventur Frncesco Cvlieri, ) 의불가분량의방법 (the method of indivisibles) 을이용하여사이클로이드아치의넓이를다음과같이구하였다 [4]. 로버벌의증명. Figure 3에서와같이사이클로이드위의각점 P 에서직선 AB 와평행하게그은직선이생성원의내부에포함되는길이만큼의선분을그린다. 이러한선분들이이루는영역의넓이는카발리에리의불가분량의방법에의하여생성원의넓이와같다. 그리고이선분들의중점의자취곡선은대칭성에의하여사각형 ABCD 의넓이를 ( 이등분한다. 따라서사이클로이드곡선의아랫부분 ACB 의넓이는 πr + r πr ) 이다. 따라서사이클로이드곡선의한아치아랫부분의넓이는 3πr 이다. Figure 3. Robervl s method to clculte the re of the region under the cycloid curve; 사이클로이드곡선아랫부분의넓이를구하는로버벌의방법 사이클로이드곡선의접선을그리는문제에대해서는로버벌을비롯하여페르마 (Pierre de Fermt, ), 데카르트 (René Descrtes, ) 등이각각서로다른해

4 34 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 법을발표하였다 [0]. 또갈릴레오와교신했고, 카발리에리의제자이기도했던토리첼리 (Evngelist Torricelli, ) 도사이클로이드의넓이와접선에관한자신의발견을 644년에발표하였다. 658년영국의건축가이자천문학자였던렌 (Christopher Wren, 63 73) 은사이클로이드의한아치의길이가생성원의지름의 4배임을밝혔다. 이후에발명된미적분을이용하면사이클로이드곡선넓이와길이를구하는문제나접선을그리는문제등은아주간단하게풀수있지만, 최초의증명들은무한급수만을이용하여기하학적방법으로접근하였으며뛰어난통찰력과고심끝에얻어진것들이었다. 사이클로이드곡선의성질에대한이러한발견들에이어서흥미롭고중요한연구결과들이계속나타났다. 673년네덜란드의물리학자호이겐스 (Christin Huygens, ) 는 진자시계 (Horologium Oscilltorium) 라는저서에서진자의궤적이원의호가아니라사이클로이드곡선이되어야진자의주기가정확히일정하게된다는것을증명하고 ( 정리 3.), 이러한성질을이용해진자시계를만들었다 [5]. 그이전 583년갈릴레이가피사의성당천장에매달린진자의주기가일정하다는것을발견했다는일화가유명한데, 실제로는한점에매달려원의호를따라진동하는단진자는진폭이아주작을경우에만거의일정한주기를갖는다. 이때도주기가정확히일정한것은아니었지만정밀한시계가없었던갈릴레오시대에는측정으로이를알아내기는어려웠을것이다. 호이겐스는사이클로이드곡선의신개선 (involute) 이다시사이클로이드임을증명하고 ( 정리 3.) 이원리를바탕으로두개의사이클로이드벽면사이에서진자가움직이도록하여진자의궤적이사이클로이드곡선을따르는진자시계를제작하였다. 이렇게고안된진자시계의추는이론상진폭에상관없이같은주기로움직인다. 이는사이클로이드가동시강하곡선이기때문이다 (the Tutochrone problem, 정리 3.3). 시계의추가사이클로이드곡선상의어느위치에서출발하여도중력에의하여내려와서최저점에도달하는데걸리는시간은같아야한다. 하지만현실적으로는추를매단줄과사이클로이드벽면사이의마찰때문에일정한주기가유지되지않았다 [4]. 이후 675년에호이겐스는가느다란나선형의금속스프링이감겼다풀렸다할때진동의주기가일정한것을응용한시계를고안하였다 []. 이시기에과학자들은용수철에매달린물체와진자의운동에관심을갖고연구하였고, 그결과들은근대적인시계의발명, 표준도량형의정립등으로이어지며자연을수량화하여연구하는기초가되었다. 사이클로이드곡선은계속하여그당시유럽의최고수학자들의관심을끌었고, 대단한새로운결과들이밝혀졌다. 696년요한베르누이 (Johnn Bernoulli, ) 는유럽의수학자들에게한도전문제를제시하였다 [7]. 그것은지면에수직인한평면에놓인두점사이를연결하는어떤경로를따라공이중력에의하여굴러내려올때최단시간이걸리도록하는경로의곡선을찾는문제였다. 최단시간곡선 (the brchistochrone)

5 S. A. Shim 35 이라고불려졌던이곡선을처음으로찾은사람은요한베르누이또는그의형쟈크베 르누이 (Jcques Bernoulli, ) 로알려져있다. 이문제의해법을찾은수학적 업적을두고두형제사이에다툼이있었다 [9]. 그리고이문제가제안된후곧라이프 니츠 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, ), 로피탈 (Guillume de l Hospitl, ), 뉴튼 (Isc Newton, 64 76) 도각각해법을찾았다 [7]. 요한베르누이는 697 년 월자신의해법을발표할때, 호이겐스의등시주기곡선을언 급하면서 내가그똑같은사이클로이드가바로우리가찾던최소시간곡선이라고밝히면 다들깜짝놀라실겁니다. 라고말했다. 그는밀도가다른여러겹의매질을통과하는빛이 최단시간이걸리는경로를따라굴절하는것과물체가중력에의하여가속되며내려올때 최단시간이걸리는경로를찾는것은같은원리의문제라는것을파악하였다 []. Figure 4 에서와같이 i 번째매질을통과하는빛의속도를 v i, 굴절각을 θ i (i,, ) 라고할 때, 모든 i에대하여다음과같은 Snell의법칙이성립한다. sin θ i+ v i+ v i 즉, v i+ sin θ i v i sin θ i sin θ i+ 그리고 sin θ i dx ds 이다. Figure 4. The refrction pth of the light ry through multiple lyers of medi of different densities; 밀도가다른여러겹의매질을통과하는빛의굴절경로 요한베르누이는여기에서각겹의두께를아주작게하고 v 와 θ 가연속적으로변한다고 생각하여다음식을도출하였다. v sin θ v k (k는어떤상수 ) dx/ds 위식으로부터 v ds k dx 이고, 이식의양변을제곱한후 (ds) (dx) + (dy) 임을 적용하여정리하면다음식을얻는다. dx v dy (.) k v 정지상태에있던질량 m 인물체가중력에의하여낙하할때내려온거리 y 와물체의속도 v 사이에는위치에너지의변화가운동에너지의변화로전환되는관계에의하여다음식이 성립한다. mv mgy (g 는중력가속도상수 ) (.)

6 36 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 이제식 (.) 의상수 k 가 k g 인상황을식 (.) 에적용하여다음식을얻는다. y dx dy (.3) k y 요한베르누이는이식이바로사이클로이드곡선을나타내는미분방정식임을보였다. 그리고다음과같이결론지었다. 끝으로나는호이겐스의등시주기곡선과나의최소시간곡선의뜻밖의일치에대하여 경외감을다시한번말해야겠다. 특히이러한일치가갈릴레오의가설하에서만일어날수 있고, 우리가이사실로부터갈릴레오의가설이옳다는증명을얻은것은주목할만하다. 자연은항상가장단순한방식으로작동하며, 여기에서한곡선이두가지다른기능을 하도록하였다. 그렇지않다면우리는두가지의다른곡선이필요했을것이다. 요한베르누이의해법은최소시간곡선문제를해결하는뛰어난방법이었지만, 광학에 비유하는것에의존하여일반화될수가없었다. 한편쟈크베르누이는동생요한이제안 한최단시간곡선문제에대한해법으로이문제에서고려되는 여러가지곡선 을변수 로생각하는방법을고안하였다 ( 정리 3.4). 그의이러한생각은이후발전한 변분미적 분 (the clculus of vritions) 의시초가되었다 [6]. 요한베르누이에의하여제기된 최소시간곡선문제를발단으로시작되어자크베르누이가초석을놓은변분법 ( 變分法, the vritionl method) 은이후비슷한시기에물리학에서도모페르튀 (Pierre Louis Mupertuis, ) 와오일러 (Leonhrd Euler, ), 라이프니츠등에의 하여독립적으로고안되어이용되었고 [3, 5, 8], 후에 최소작용의원리 (the principle of lest ction) 라고불리게되었다. 빛이최소시간경로로진행한다는페르마의법칙도이 변분법적인접근의한특별히놀라운응용이다 [3]. 양자역학의성립에핵심적으로기여한 플랑크 (Mx Plnck, ) 는 0 세기에변분법적인접근을가장열정적으로주창한 학자였다. 그는 최소작용의원리 가형식과내용에서이론적연구의이상적이고최종적인 목적에가장근접한것이라고말하였으며, 모든물리법칙들중에서가장포괄적인것일뿐 만아니라신의생각의가장순수한표현을나타낸다고주장하였다 [7]. 반면에이원리를 시작했던페르마는 자연은모호하고숨겨진길로움직인다. 고말하며, 최소작용의원리 는빛의행동을묘사하는순수하게추상적인수학적정리라고생각하였다 []. 뉴튼의 역학에서똑같은질량을가지는두입자가중력에의하여직선방향으로서로끌릴때두 물체사이의거리와시간의관계가사이클로이드를이룬다 ( 정리 3.5 ). 이사이클로이드 관계는시간을각입자의상대적시간 (proper time) 으로이해하여일반상대성이론을적 용하여도여전히성립한다 ( [] Section 4.3 Free-Fll Equtions). 이사실로부터중력이 물체를한위치에서다른위치로이동시킬때가장효율적인방법으로작용한다고이해할 수있다.

7 S. A. Shim 37 3 사이클로이드곡선의특성에대한증명 사이클로이드곡선아래영역의넓이를구하는문제 (qudrture) 와사이클로이드곡선의길이를구하는문제 (rectifiction) 는 Robervl과 Wren에의하여처음연구되었을때는무한급수를바탕으로하는기하학적인방법이이용된고도의문제였지만이후발전한미적분학에서는기초적인연습문제로다루어진다. 정리 3.은등시주기운동문제 (Isochrone Problem) 에대한증명을보인다. 정리 3.는사이클로이드의신개선 ( 伸開線, the involute) 이다시사이클로이드곡선임을보인다. 정리 3.3은사이클로이드가동시강하곡선임을보인다 (Tutochrone Problem). 정리 3.4는변분법을이용하여최소시간강하곡선문제의해가사이클로이드임을증명한다 (Brchistochrone Problem). 정리 3.5는똑같은질량을가지는두입자가중력에의하여직선방향으로서로끌릴때두물체사이의거리와시간의관계가사이클로이드를이룬다는사실을증명한다. 정리 3. 진자의운동주기가일정하려면추의이동궤적이사이클로이드를이루어야한다. 증명. 한점에서출발한진자가그궤적을따라 t초동안움직였을때, 추의이동거리를 s(t), 추의위치를 (x(t), y(t)), 추의이동궤적의접선과수평방향이이루는각을 α(t) 라고하면 dy dx sin α, ds ds cos α 이고, 추의궤적에접하는중력의성분이진자의운동에너지로전환되는다음관계식이 성립한다. m d s mg sin α dt

8 38 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 이때진자의운동주기가일정하려면초기조건을 s(0) 0 으로두었을때주기함수 s(t) C sin ωt 를해로얻을수있는미분방정식 d s dt + ω s 0 도성립해야한다. 따라서 s d s ω dt g ds sin α, ω dα g cos α 이므로 ω dx dα dx ds ds dα cos α g ω cos α g ω cos α g ( + cos α) ω dy dα dy ds ds dα sin α g ω cos α g sin α ω 위의식들을 α에대하여적분하고, α 0 일때 (x, y) (0, 0) 이라고두면, x g g (α + sin α), y ( cos α) 4ω 4ω 이므로추의이동궤적은사이클로이드를이룬다. 정리 3. 윗면을이루는사이클로이드가매개변수 β 에대하여다음식으로주어졌다고 하자. r (f(β), g(β)) (β sin β, 3 + cos β) 로주어졌다고하자. 이때, 점 (0, 4) 에매달린길이가 4 인진자의추의궤적 (x(β), y(β)) 는 x(β) β + sin β, y(t) cos β 와같이주어져사이클로이드를이룬다. 증명. 아래그림에서벡터들의관계로부터같이진자의추의위치를구할수있다. (x(β), y(β)) r i r + s T s (f (β), g (β)) (f(β), g(β)) + (f (β)) + (g (β)) s ( cos β, sin β) (β sin β, 3 + cos β) + ( cos β) + (sin β)

9 S. A. Shim 39 s β (β sin β, 3 + cos β) + (f (β)) + (g (β)) dβ β x(β) β sin β + β s ( cos β, sin β) cos β ( cos β) + (sin β) dβ cos β dβ sin β dβ sin β dβ 4 cos β β s 4 cos β β sin β + cos β cos β β sin β + 4 cos β sin β β sin β + sin β β + sin β y(β) 3 + cos β s sin β 3 + cos β 4 cos β sin β + cos β cos β sin β 3 + cos β 4 cos β cos β 정리 3.3 y 축의양의방향이아래로향하도록지면과수직으로세워놓은좌표평면에서 (x, y) r(θ sin θ, cos θ), (0 θ π) 로주어진사이클로이드곡선을따라구슬을 가만히놓아굴러내려가도록하자. 점 O(0, 0) 에서구슬을놓아최저점 A(πr, r) r(π sin π, cos π) 에도달할때까지의시간 T 와점 O 와 A 사이의임의의점 P (x 0, y 0 ) r(θ 0 sin θ 0, cos θ 0 ) 에서구슬을놓아최저점 A 에도달할때까지의시간 T 0 에대하여 T T 0 이다. 증명. O(0, 0) 에서구슬을잡고있다가가만히놓으면 ( 초기속도 0) 곡선을따라내려 가면서에너지보존법칙에의하여운동에너지와중력에의한위치에너지의변화량이같다. 즉, m v m g y. 이로부터 v gy 이고, v ds dt 에서 s 는곡선의길이를나타내는변수이고, ds (dx) + (dy) 또는 ds (dx) + (dy) β 이므로 dt gy ds 이다. 여기 + ( dy dx ) dx ( dx dθ ) + ( dy dθ ) dθ 로나타낼수있다. 따라서 O(0, 0) 에서구슬을놓아최저점 A(πr, r) r(π sin π, cos π) 에도달할때까지의시간 T 에대하여다음식이성립한다. T 0 0 dt π ds gy 0 ( dx dθ ) + ( dy gy r ( cos θ) + r sin θ gr( cos θ) dθ r ( cos θ) gr( cos θ) dθ 0 0 r g dθ dθ ) dθ r ( cos θ + cos θ) + r sin θ gr( cos θ) r g π 임의의점 P (x 0, y 0 ) 에서구슬을놓으면곡선을따라내려갈때의에너지보존법칙 mv mg(y y 0 ) 으로부터 v g(y y 0 ) 이고, v ds dt 이므로 dt ds 이다. g(y y0 ) 따라서 P (x 0, y 0 ) r(θ 0 sin θ 0, cos θ 0 ) 에서구슬을놓아최저점 A에도달할때까 dθ

10 40 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 지의시간 T 0 에대하여다음식이성립한다. π T 0 dt g(y y0 ) ds ( dx dθ ) + ( dy g(y y0 ) θ 0 r g r g r g r ( cos θ) + r sin θ π gr( cos θ + cos θ0 ) dθ θ 0 cos θ 0 sin θ dθ ( cos θ 0 ) ( cos θ ) θ 0 sin θ θ 0 cos θ cos θ 0 dθ r g [ sin u ] 0 r g (π 0) r g π θ 0 0 dθ ) dθ r ( cos θ) gr(cos θ0 cos θ) dθ r g u θ 0 du cos θ 0 sin θ cos θ 그러므로 T T 0 이고, 어느높이에서구슬을놓더라도사이클로이드를따라최저점까지 내려오는시간은같다. 변분법 (vritionl method) 을이용하여함수 y y(x) 와그도함수 y 에대한다음과 같은적분형태로표현된범함수 (functionl) T (y) 의값이극대또는극소가되는해 y (x) 를찾아보자. T (y) H(y, y ) dx 이를위하여곡선 y y (x) 근방의임의의매끈한곡선들을 y y (x) + ϵη(x) 로나타낸다. 여기에서함수 η : [, b] R 은 η() η(b) 0 인임의의매끈한함수를 나타낸다. 범함수 T (y) 가 y y (x) 일때극값을갖는다고하였으므로 d dϵ T (y + ϵη) 0 ϵ0 이어야한다. 따라서다음이성립한다. 0 d dϵ T (y + ϵη) ϵ0 [ dh dy (y + ϵη, y + ϵη ) η + dh ( dh dy (y, y ) η + dh dy (y, y ) η dh dy (y, y ) η dx + [ dh dy (y, y ) η dh dy (y, y ) η dx + 0 ( dh dy (y, y ) d dh dx dy (y, y ) ] dy (y + ϵη, y + ϵη ) η ) dx ] b d dh dx dy (y, y ) η dx ) η dx ϵ0 dx d dh dx dy (y, y ) η dx dθ

11 S. A. Shim 4 위식에서 η 는 η() η(b) 0 인임의의매끈한함수를나타내므로함수 y 는다음과 같은미분방정식을만족한다. Euler-Lgrnge eqution : dh dy d dh dx dy 0 그리고위식의양변에 y 을곱한식을다음과같이변형시킬수있다. y dh dh dh dy y dx dy 0, dx dh dy dy dx +dh dy ( dy dx, d y dh ) dx dy dy dh dh dx dy +y dx dy 이식들을정리하면 dh dx d ( y dh ) dx dy 0 이므로다음과같은미분방정식을얻는다. Beltrmi eqution : H y dh dy C (C는상수 ) 따라서 Euler-Lgrnge eqution이나 Beltrmi eqution으로주어진미분방정식의해 를구하면범함수 T (y) H(y, y ) dx 를극대화또는극소화하는곡선 y y(x) 를 찾을수있다. 광학에서 빛은이동시간를최소화하는경로로진행한다 는페르마의법칙과균일한 매질에서는빛의속도가일정하다는사실을바탕으로변분법을이용하여빛이최단거리 인직선경로로이동한다는사실을보일수있고, 또이로부터빛의반사법칙 (Lw of Reflection) 과굴절법칙 (Lw of Refrction, Snell s Lw) 을증명할수있다. 다음정리 는변분법을이용하여최단시간강하곡선이사이클로이드임을증명한다. 정리 3.4 지면과수직인평면의한점에서다른한점을연결하는어떤경로를따라구 슬이굴러내려올때, 시간을최소화하는경로는사이클로이드이다. ( 단, 구슬의운동에 대하여마찰력은무시하고중력만을고려한다.) 증명. 두점 P (0, 0) 과 P (πr, r) 에대하여구슬이어떤곡선을따라 P 에서 P 까지 굴러내려올때걸리는시간범함수 T (y) 는다음과같이나타난다. T (y) r 0 dt P (0, 0) gy ds + ( dy dx ) gy dx y + ϵη r 0 + (y ) gy x dx r y y P (πr, r) T (y) 를최소화하는곡선 y y (x) 를구하기위하여다음 Beltrmi eqution 의해를 구한다. C H y dh dy + (y ) gy y y gy + (y ) + (y ) gy (y ) + (y ) gy ( + (y ) )

12 4 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties + (y ) gy ( + (y ) ) gy + (y ) 즉미분방정식 dy dx ± + C gy 의해가 T 를최소화하는함수 y (x) 이다. dy y dy ± dx + k y ± (x + C ) 여기에서 k C g C gy 이제 y k sin θ (0 θ π) 로치환하면 dy k sin θ cos θ dθ 이므로, y dy k sin θ k y k sin θ cos θ dθ k sin θ k sin θ cos θ dθ k k sin θ k cos θ k sin θ dθ k cos θ dθ k (θ sin θ) 이다. 따라서 k (θ sin θ) ± (x+c ) 이고, x(0) 0 이므로 x k (θ sin θ) 이다. 그리고 y k sin θ k ( cos θ) 이므로 (x(θ), y(θ)) 는사이클로이드를이룬다. 똑같은질량 m 을가지는두입자가중력에의하여직선방향으로서로끌릴때뉴튼의 만유인력의법칙과운동법칙으로부터두입자사이의거리 r 과시간 t 의관계를다음과 같이나타낼수있다. r Gm r (3.) 여기에서 r d r dt 이고, G는만유인력상수를나타낸다. 일반상대성이론에서도구면대칭인 중력장에서입자의상대적시간에대하여같은형태의관계가성립한다. 다음정리는식 (3.) 을만족하는 r 이유계이면 r 과 t 의관계가사이클로이드를이룬다는것을보여준다. 정리 3.5 t 0 인초기에 r (0) < 4Gm 이면식 (3.) 을만족하는 r 이유계이고, 이때 r 과 t를매개변수 θ 를이용하여다음과같이나타낼수있다. t 3 /(4Gm) r (θ + sin θ), ( + cos θ) (3.) t 0 인초기에 r (0) 4Gm 성립한다. 이면식 (3.) 을만족하는 r 에대하여 lim t r(t) 가 증명. 식 (3.) 의양변에변수 r 에대하여 에서 r(t) 까지의적분을취하여다음식을 얻는다. 여기에서치환적분법에의하여 r(t) r dr r(t) r(t) r(t) r dr Gm dr (3.3) r d(r ) dt dr r (t) r (0) dr dt d(r ) r (t) 이므로식 (3.3) 의양변의적분을모두계산하면다음과같다. ( r (t) r (0) ) ( Gm r(t) ) r (0) r d(r )

13 S. A. Shim 43 따라서 ( dr dt 4Gm r(t) dt r(t) 4Gm ( r(t) r (0) 4Gm ) + r (0), ) dr (3.4) 이다. 여기에서 t 0 인초기에 r (0) < 4Gm 인경우에는시간 t 가증가할때 r 의 크기는유계이므로 r 0 이되는시점이있다. 이시점을초기시간으로다시정하여 r (0) 0 으로두고, r(t) s(t) 로나타내면식 (3.4) 를간단히 3 s dt 4Gm s ds 으로쓸수있다. 이식의양변을적분하면 3 ( t s s + sin s) 4Gm 이다. 여기에서매개변수 θ 를이용하여 s ( + cos θ) 로나타내면 t 3 /(4Gm) r(t) (θ + sin θ), ( + cos θ) 이므로시간 t 에대하여 r 의그래프는사이클로이드곡선임을알수있다. t 0인초기에 r (0) > 4Gm 인경우에는 k r (0) 4Gm > 0, r(t) s(t) 로두고 식 (3.4) 의양변을적분하면 3 /(4Gm) [ ( t k )] (ks) + ks ln ks + + ks + C, (C는적분상수 ) k 이므로 lim k s(t) 이다. 그리고 r(t) s(t) 이므로 lim r(t) 가성립한다. t t t 0인초기에 r (0) 4Gm 인경우에는식 (3.4) 의양변을적분하면 t 3 ( ) r r + C Gm 이므로 lim t r(t) 가성립한다. References (C 는적분상수 ). Kevin Brown, Reflections on Reltivity, lulu.com, September, 04.. Hns vn den Ende, Huygens s Legcy, The Golden Age of the Pendulum Clock, Fromnteel Ldt., Leonhrd Euler, Methodus Inveniendi Lines Curvs Mximi Minive Propriette Gudentes, Bousquet, Lusnne & Genev, M. Grdner, The Sixth Book of Mthemticl Gmes from Scientific Americn, Chicgo, IL: University of Chicgo Press, 984.

14 44 A History of the Cycloid Curve nd Proofs of Its Properties 5. C. I. Gerhrdt, Uber die vier Briefe von Leibniz, die Smuel Konig in dem Appel u public, Leide MDCCLIII, veroffentlicht ht, Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akdemie der Wissenschften, I, N. P. Johnson, The brchistochrone problem, The College Mthemtics Journl 35 (004), V. J. Ktz, A History of Mthemtics: An Introduction, nd ed., Addison Wesley, P. L. M. de Mupertuis, Accord de differentes lois de l nture qui vient jusqu ici pru incomptibles, Mem. As. Sc. Pris, J. P. Phillips, Brchistochrone, Tutochrone, Cycloid-Apple of Discord, Mth. Techer 60 (967), P. Snders, Chrles de Bovelles s Tretise on the Regulr Polyhedr (Pris, 5), Annls of Science 4 (984), Dvid Eugene Smith, A Source Book in Mthemtics, Dover books, D. J. Struik, ed., A Source Book in Mthemtics, , Hrvrd Univ. Press, S. Wgon, Mthemtic in Action, New York: W. H. Freemn, Evelyn Wlker, A Study of Robervl s Trite des Indivisibles, Columbi University, D. Wells, The Penguin Dictionry of Curious nd Interesting Geometry, London: Penguin, E. A. Whitmn, Some historicl notes on the cycloid, The Americn Mthemticl Monthly 50(5) (943), Wolfgng Yourgru, Stnley Mndelstm, Vritionl Principles in Dynmics nd Quntum Theory, Courier Corportion, 979.