서울형자유학기제 주제선택활동 자료24 코딩수학! 수학으로 만드는 3D 입체모형 (워 크 북) 서울특별시교육청
차 례 제 1부 3D 프 린 터 와 입 체 코 딩 제 1 장 3D 프린터 혁명과 코딩 수학 미래를 바꾸는 3D 프린터 2 내 컴퓨터에 JAVAMAL 설치 5 제 2 장 입체 코딩 기본과정 정육면체 : ' s, t, u, d ' 11 마우스로 도형 이동시키고 회전시키기 12 게걸음 거북명령 : ' l, r ' 12 스파이더맨 거북명령 : U, D' 14 진행방향 바꾸기: 'L, R' 15 스마트폰을 이용한 소마큐브 만들기 17 모양내기 거북명령(색과 크기 조절) 19 도형의 크기 조절과 위치 고정하기 21 3D 프린터로 소마큐브 출력하기 23 제 3 장 입체 코딩 심화과정 도돌이표 거북명령 25 이중도돌이표 거북명령 28 치환 명령 30 변수를 이용한 코딩 34 나만의 새로운 코딩 만들기 41-2 -
제 2부 입 체 코 딩 과 도 형 수 제 1 장 피라미드에서의 도형수 44 제 2 장 다면체와 인수분해 56 부록 부 록 제 1 장 자바가상머신 JRE 설치와 보안문제 해결 65
제 1 부 3D프린터와 입체코딩 제 1 장 3D 프린터 혁명과 코딩수학 개요 제 2 장 입체 코딩 기본과정 제 3 장 입체 코딩 심화과정 - 1 -
1차시 미래를 바꾸는 3D 프린터 디딤 영상 : http://www.youtube.com/watch?v=swjgnpxrhty 1. 3D 프린터 동영상을 시청하고 소감문을 작성해 보자. 3D 프린터 혁명 (출처 :KBS 뉴스) (http://www.youtube.com/watch?v=cl9b0hlufx0) 3D프린터 재능기부 (출처 : OmyTV) (https://www.youtube.com/watch?v=nnly9as8wq8) - 2 -
2. 3D 프린터와 나의 미래 3D 프린터는 여러 가지 면에서 우리들의 삶을 변화시킬 것이다. 인터넷을 통해 3D 프 린터가 우리의 삶을 어떻게 변화시킬 것인지 찾아서 기록하고 발표하여 보자. 집에서의 변화 - 3D 프린터는 가정에서 어떻게 쓰일 수 있을까? 교실에서의 변화 - 3D 프린터는 학교 수업에서 어떻게 쓰일 수 있을까? 직업에서의 변화 - 미래의 직업은 3D 프린터로 인해 어떻게 바뀔까? - 3 -
Wow. 3-D 프린터로 이런 것도 할 수 있다니! - 인터넷에서 3-D 프린터로 할 수 있는 놀라운 것들을 찾아서 기록하여 보자. 3D 프린터와 수학과는 어떤 관계가 있을까? - 3D프린터는 수학과 관련이 있을까? - 4 -
2차시 내 컴퓨터에 JAVAMAL 설치 1. JAVAMATH 사이트에 들어가서 파이어폭스 설치하기 (1) http://www.javamath.com/ 에 접속하여 Firefox 설치 (2) [Firefox 사용] 클릭 (3) [Firefox 받기] 클릭 (4) 다운 받은 JavaMAL25.zip 파일을 C 디렉토리에 풀어 JavaMAL25 디렉토리가 나오게 한다. 확인! 확인! - 5 -
(5) JavaMAL25 디렉토리 FirefoxPortable 안의 Firefox25.exe를 실행시킨다. 이 때 아래와 같이 부가기능 설치를 물을 수 있다. 필요가 없는 경우 그냥 [계속] 단추를 누른다. (6) 바탕화면에 Firefox25.exe의 바로가기 아이콘을 설치한다. 2. 파이어폭스에서 JAVAMATH 사이트에 들어가기 (1) 위 과정을 모두 실행 한 후 Firefox25를 실행하면 http://www.javamath.com/ 에 접속이 된다. - 6 -
(2) 이 때 나타나는 거북이 아이콘을 누른다. (3) 이 때 [플러그인 관리] 화면이 나오면 [플러그인 관리] 글자를 더블 클릭한다. (4) 나타나는 화면에서 Java(TM) Platform SE 6U25를 [항상 사용]으로 변경시킨 후, 다시 거북이 아이콘을 눌러 거북명령 프로그램 자바말을 실행시킨다. - 7 -
3. JAVAMAL 프로그램 사용하기 초기화면 왼쪽 상단의 거북이 표시를 누 르게 되면 자바말(JavaMAL) 거북이를 불러올 수 있다. 잠시 기다려서 오른쪽과 같은 화면 이 나타나면 자바말 불러오기가 성공한 것이 다. 이 때, 왼쪽 하단에? 을 클릭하게 되 면 다음과 같은 창이 뜬다. [가] - 메뉴, 거북명령에 대한 설명 및 만들 어져 있는 거북명령들을 살펴볼 수 있다. [나] - 실행창. 거북명령을 통한 거북이 프로 그램이 실행되며, 실행결과가 화면에 나타난다. [다] - 명령입력창. 자바말 명령어가 표시되 며 명령어를 수정하여 실행해 볼 수 있다. - 8 -
3. SNS 가입하기 스마트 폰에서 접속이 가능하고 과제 파일을 올릴수 있는 게시판을 만들 수 있는 SNS 에 단체로 가입한다. SNS주소 와 아이디 - 우리가 단체로 가입한 SNS주소와 나의 아이디는? SW 의무교육, Coding 시대가 다가오고 있다! 현대 사회에서는 컴퓨터가 다양한 분야에서 사람의 역할을 대신하고 있습니다. 사람의 손으로 직접 계산하기 어렵고 사고하기 어려운 수학 문제의 경우 컴퓨터에 게 명령을 하여 문제를 해결하기도 합니다. 이 때, 컴퓨터에게 할 명령을 컴퓨터가 알아들을 수 있는 언어로 바꾸어야 하는데, 이러한 활동을 Coding이라고 합니다. 미국에서는 아래 왼쪽 그림과 같이 code.org 주소를 통해 coding 교육을 강조하 고 있습니다. http://code.org 에서는 세계적으로 유명한 IT 인사들의 유익한 조언 을 들을 수 있으며, THE HOUR OF CODE IS COMING 즉 코딩의 시대가 오 고 있다 라는 슬로건을 앞세워 Coding 교육을 강조하고 있습니다. 특히, 아래 오 른쪽 그림과 같은 스티브 잡스의 글을 전면에 내세우며 강조하고 있습니다. 우리나 라에서도 세계적인 흐름에 맞춰 2017년부터 SW 의무교육을 초중등 교육에 도입 할 계획이라고 합니다. 모든 사람은 코딩하는 법을 배워야 합니다, 이는 생각하는 방법을 가르쳐줍니다. - 스티브 잡스 - - 9 -
3차시 기본 코딩Ⅰ 코딩 수업을 하기 위해서는 파이어폭스를 실행하여 http://www.javamath.com/ 로 들어가서 거북수학 실험실로 간 후 거북이 아이콘 다. 을 클릭하여 작업창을 띄운 - 10 -
1. 정육면체 s, t, u, d (1) 쌓기나무를 쌓는 기본구조 쌓기나무 기본구조는 다음과 같다. 여기서 do 다음에 쌓기나무를 쌓는 명령어를 쓰고 [실행]버튼을 누르면 쌓기나무가 나오게 된다. 여기서 주의해야 할 점은 를 띄어쓰지 않고 써야 한다. do do (2) 정육면체를 쌓는 명령 s, t, u, d s : 거북이가 앞으로 한 걸음 간 후 그 곳에 정육면체를 만드는 명령 t : 거북이가 뒤로 한걸음 물러간 후 그 곳에 정육면체를 만드는 명령 u : 거북이가 방향을 바꾸지 않고 위쪽에 정육면체를 놓는 명령 d : 거북이가 방향을 바꾸지 않고 아래쪽에 정육면체를 놓는 명령 (3) 명령어를 이용했을 때 거북이의 방향과 위치 관찰 관찰 (1) (2) (3) (4) (1) do sss ( do 3s ) (3) do sss uuu sss ( do 3s 3u 3s ) (2) do sss uuu ( do 3s 3u ) (4) do sss uuu sss ddd ( do 3s 3u 3s ) - 위 그림과 같은 코딩을 하고 [실행] 버튼을 눌러 그림과 같이 쌓기나무가 만들어 지는지 알아보자. - 위에서 거북이가 방향을 바꾸는지 관찰해 보자. - 명령어에 따라 거북이의 위치가 어떻게 변하는가? - do sss명령은 숫자계수를 이용해서 간단히 do 3s로 쓸 수 있다. - 11 -
2. 마우스로 도형 이동시키고 회전시키기 Shift + 마우스 왼쪽 클릭 드래그 3. 게걸음 거북명령 l, r 마우스 오른쪽 클릭 드래그 거북이가 진행 방향을 바꾸지 않고 게처럼 옆걸음으로 이동하며 정 육면체를 만들 수 있다. 소문자 l 과 r 을 살펴보자. l : 거북이가 방향을 바꾸지 않고 왼쪽에 정육면체를 놓는 명령 r : 거북이가 방향을 바꾸지 않고 오른쪽에 쌓기나무를 놓는 명령 연습1 그림과 같은 쌓기 나무 모양이 나오도록 빈 칸 에 알맞은 코딩을 써라. do - 12 -
화살표 방향으로 시작했을 때, 앞으로 s, 앞으로 s, 게걸음으로 오른쪽 r, 다시 앞으 로 s를 하면 위와 같은 그림이 그려진다. 과제1 앞에서 배웠던 명령어 s, t, u, d, l, r 을 이용하여 다음 그림과 같은 소마큐브 7조 각을 만들어보자. 소마큐브 7조각 모양을 코딩한 것을 다음 빈 칸에 써보자. 또 모양이 만들어지 는 것을 확인하고 자신의 코딩을 게시판에 올린다. 올릴 때는 반드시 누구인지 이름(본명)을 밝혀서 올린다. (과제 글 번호: ) do do do do do do do - 13 -
4. 스파이더맨 거북명령 U, D 왼쪽 사진에는 앞 벽에 발이 붙어있는 스 파이더맨과 천장에 발을 붙여 거꾸로 서 있는 스파이더맨이 있다. 거북이도 스파이 더맨처럼 앞 벽이나 천장에 발을 붙일 수 있다. 이렇게 거북이의 머리를 진행방향에 따라 방향을 바꾸는 명령어를 배워보자. U : 거북이가 쌓기나무를 놓는 방향을 위쪽으로 90도만큼 돌라는 명령 D: 거북이가 쌓기나무를 놓는 방향을 아래쪽으로 90도만큼 돌라는 명령 땅 바닥에 엎드려 있는 거북에게 do U를 하면 앞 벽에 붙어 있는 스파이더맨처럼 움직이고, do UU 하면 천장에 발을 대고 거꾸로 서 있는 스파이더맨처럼 움직인다. 연습1 (1) (2) (3) (4) do 3s do 3s 3u do 3s 3u 3s do 3s 3u 3s 3d 연습2 (1) (2) (3) (4) do 3s do 3s U3s <연습1, 2 두 코딩의 차이점> do 3s U3s D3s do 3s U3s D3s 3d - 14 -
5. 진행방향 바꾸기 L, R 앞에서 거북이는 방향을 바꿔가면서 쌓기나무를 놓을 수 있다는 것을 알았다. 거북이 의 진행방향을 바꾸는 또 다른 명령어 L, R을 배워보자. L : 거북이가 쌓기나무를 놓는 방향을 왼쪽으로 90도만큼 돌라는 명령 R: 거북이가 쌓기나무를 놓는 방향을 오른쪽으로 90도만큼 돌라는 명령 그러면 위의 명령어를 이용하여 거북이가 어떻게 움직이는지 관찰해보자. (1) 초기상태 (2) s (3) s (4) R (5) s (6) L (7) s (1) 초기상태의 (투명)거북이의 모습 (2) 거북이는 명령어 s 에 의해 정육면체를 만든다. (3) 또한, 거북이는 s에 의해 정육면체를 하나 더 만든다. (4) 거북이는 명령어 R에 의해 오른쪽으로 진행방향을 돌린다.(이 때, 거북이는 진행 방향만 바꾼다.) (5) R에 의해 진행방향이 돌려진 상태에서 s에 의해 그 방향으로 쌓기나무를 만든다. (6) 거북이는 명령어 L에 의해 왼쪽으로 진행방향을 돌린다.(이 때에도 마찬가지로 거북이는 진행방향만 바꾼다.) (7) L에 의해 진행방향이 돌려진 상태에서 s에 의해 그 방향으로 쌓기나무를 만든다. 다같이의자에서일어나자신을거북이라고생각하고코딩명령어대로몸을움직여보자.조별로 다 같이 구령에 맞추어 몸을 움직여 보자. 연습1 다음 모양을 만들어 보자. 또 완성한 코딩을 과제 게시판에 제출하여라. (게시판 글 번호: ) - 15 -
과제1 앞에서 배웠던 명령어 s, t, U, D, L, R 만을 이용하여, 소마큐브 7조각을 만들어보 자. (소문자 u, d, l, r 사용금지). (게시판 글 번호: ) do do do do do do do - 16 -
4차시 기본 코딩Ⅱ 1. 스마트폰을 이용한 소마큐브 만들기 스마트폰을 이용해서 소마큐브를 만들 수 있다. 각자 가지고 있는 스마트폰에서 인터 넷을 열고 http://www.javamath.com/ 에 접속해보자. 1. http://www.javamath.com 에 접속한다. 위에서 세 번째에 있는 [클릭] 3D 프린터로 뽑아 낼 수 있는 쌓기 나무 작 품 디자인(click) 을 누른 다. 2. 다음과 같이 거북명령어를 사 용할 수 있는 페이지로 넘어간 다. 더 많은 다양한 명령어를 활 용하기 위해 Key 를 누른다. - 17 -
3. Key 를 누르면 다양한 명령어를 입 력할 수 있는 여러 가지 버튼이 나타 난다. 그림과 같이 소마큐브를 만들어 보자. 4. 방금 만든 소마큐브를 회전시켜 볼 수 있다. 소마큐브를 누른 채로 이리 저리 돌려보면 다양한 각도에서 관 찰할 수 있다. 스마트 폰으로 소마큐브를 만든 후 화면을 캡쳐하여 게시판에 올리자. - 18 -
2. 모양내기 거북명령 (색과 크기조절) (1) 색깔 명령 거북이가 놓는 쌓기나무는 노란색이다. 하지만 거북이는 노란색 이외에도 다양한 색 깔을 나타낼 수 있다. c (소문자) : 쌓기나무의 색깔을 하늘색으로 바꾸는 명령 C (대문자): 쌓기나무의 색깔을 다시 노란색으로 바꾸는 명령 (##색깔) : 쌓기나무의 색깔을 즐겨 쓰는 색깔 중의 하나로 바꾸는 명령 여기에서 즐겨 쓰는 색깔은 영어 단어를 그대로 쓰면 된다. 예를 들면, (##blue), (##red), (##green), (##pink), (##white) 등이 있다. 하지만 우리가 원하는 색깔이 없다면 어떻게 할까? html 색상코드표를 이용해서 우 리가 원하는 색을 직접 찾아 쌓기나무의 색깔을 바꿔줄 수 있다. (##색상코드) : html 색상코드표를 이용해 원하는 색깔로 바꿔주는 명령 #FF0000 $FF9C00 #63FF00 #07951D #0000FF #63009C #16426E #CE9CFF #622010 #8C8C1A 위의 표는 색상 코드의 예이다. 더 많은 html 색상코드를 원한다면, 인터넷 검색창에 서 html색상코드 를 검색어로 입력해 보면 된다. (2) 거북이 얼굴 명령 거북이가 어느 방향을 바라보는지 알고 싶을 때는 다음 명령어를 사용하면 거북이 얼 굴이 쌓기나무에 나오게 할 수 있다. S (대문자) : 거북의 얼굴과 꼬리, 하늘색 등을 가진 정육면체를 만드는 명령 이 명령을 통해 거북이가 어느 방향을 바라보고 있는지 쉽게 알 수 있다. - 19 -
연습1 그림과 같은 모양과 색깔을 갖는 쌓기나무를 만들어 보자. do 색깔명령을 사용하여 쌓기나무 색깔을 넣어줄 때, 하나의 색깔만 바꾸고 싶은 경 우가 있다. 예를 들어 하나의 쌓기나무 색깔은 빨간색으로 하고, 두 번째 쌓기나무 의 색깔을 다시 노란색으로 되돌리고 싶은 경우를 생각해 보자. 이런 경우에 do (##red)ss 와 같이 입력하면 첫 번째, 두 번째 쌓기나무 모두가 빨간색이 된다. 우리 가 원하는 경우를 만들기 위해서는 쌓기나무의 색깔을 바꿀 때마다 명령어 앞에 색 깔 명령을 써야 한다. 즉, do (##red)s Cs 라고 써야 된다. (3) 투명 쌓기나무 명령 투명한 쌓기나무를 만들 수도 있다. H : 쌓기나무를 투명하게 만드는 명령 (테두리 없음) h : 쌓기나무를 투명하게 만드는 명령 (테두리 있음) 연습2 그림과 같은 모양과 색깔을 갖는 쌓기나무를 만들어 보자. do - 20 -
3. 도형의 크기 조절과 위치 고정하기 거북 명령을 사용하여 도형을 만들다 보면 작은 도형은 크게, 큰 도형은 작게 보 고 싶을 때가 있다. 도형의 크기를 조절하는 법을 배워보자. window 숫자 쌓기나무 을 쓴 다음에 window 숫자 를 쓰면 도형의 크기를 조절할 수 있다. 숫자는 100 이 기준이 된다. 아무것도 안 썼을 때의 크기가 100에 해 당하고 숫자를 작게 쓸수록 도형의 크기는 작아지고 크게 쓸수록 도형의 크 기는 커진다. 위의 그림을 보면 100보다 작은 수를 적용했을 때에는 크기가 커지고 100보다 큰 수를 적용했을 때에는 크기가 작아진다는 것을 확인할 수 있다. 위에서 도형의 위치나 회전 상태를 바꾸는 방법을 배웠다. 이제 그 위치와 회전 상태를 저장하여 [자바말 실행]을 눌렀을 때, 여러분이 원하는 모양으로 도형이 화 면에 나타나도록 해보자. - 21 -
예제1 아래와 같이 도형을 만들고 위치를 이동시키고 회전시켜 보자. do ssus 이 상태를 저장하여 위의 그림에서 자바말 실행을 누르자마자 오른쪽 그림이 나 오게 하고 싶다면, 즉, 도형에 마우스를 올리고 오른쪽 버튼을 더블 클릭 했을 때 실행하면 오른쪽 상단에 나오는 것을 복사하여 명령어에 포함시키면 된다. - 22 -
4. 3D프린터로 소마큐브 출력하기 (1) JAVAMAL 코딩을 3D 프린터가 이해할 수 있는 명령어로 바꾸기 1. http://www.javamath.com에 접속 한 후 거북이가 바로 실행될 수 있 도록 준비한다. 2. 소마큐브 블록을 만들기 위해 명령어 창 에 ssrsu를 입력한다. 3. 화면 창 오른쪽 위 모서리 끝에 마우스 버튼 클릭 후, [컴퓨팅 수학] 3D 프린터에 서 [3D 프린터] OBJ 출력을 클릭한다. 그리고 나서 명령창에 생성된 obj코드를 확인한다. 4. 확인 후 명령 창에 커서를 갖다놓고 ctrl+a 키를 눌러 모두 선택한 뒤, 메모장을 열어 ctrl+v 키를 눌러 복사한다. 5. 저장할 때 확장자를 obj로 바꾸어 저장한다. 6. 3D프린터 회사에서 제공하는 프린터 용 소프트웨어를 열고 OBJ 파일을 프 린터가 알아듣는 G-code로 바꾼다. 만들어진 obj일 파일을 화면 창에 드 래그하여 예상 출력 모양이 화면 창 에 뜨는 것을 확인해 본다. - 23 -
7. 여러 가지 출력 상황을 조정(크기, 출력위치, 채우기, 서포터 설정 등)한 후 G-code를 생성하는 버튼을 누른다. G-code는 OBJ 파일 등을 프린터 기계가 알 아듣도록 코드를 바꾼 것이다. 채우기는 30 %, 레이어 높이는 0.3, 출력속도와 여유속도를 모두 100 으로 하고 해본다. 베이스 및 서포터 사용은 필요한 경우에 만 체크한다. 8. 이렇게 만들어진 G-code를 확인한 뒤, SD 카드에 확장자 x3g로 *.x3g 와 같은 이름으로 저장한다. 이제 이 SD 카드를 3D 프린터의 SD 카드 넣는 곳에 넣는다. 9. SD카드를 3D 프린터에 삽입하고 선택한 후, 출력한다. obj파일은 공간좌표 형성하는 3D프린터의 핵심이 되는 파일이다. 왼쪽 코드는 직각사각뿔을 나타내는 obj파일이다. 여기서 v는 점을 뜻하고 f 는 면을 뜻한다. 공간상의 4개의 점은 각각 길이가 20인 삼각뿔의 꼭 짓점을 만든다. 동시에 꼭짓점의 번호가 1부터 4까지 자동 부여된다. 이렇게 부여된 꼭짓점 번호 4개를 가지고 면을 만든다. f이하 숫자는 바로 이렇게 번호가 부여된 꼭짓점을 연결하라는 뜻이다. 메모장에서 확장자를 *.obj로 저장한 뒤 Gcode로 변환 후 SD카드에 저장 한 뒤 3D프린터에서 출력을 누르면 된다. - 24 -
5차시 꺽쇠 명령 도돌이표 거북명령 (꺽쇠명령) [ 와 ] 앞서배운기본명령어들을바탕으로심화코딩을시작해보자.먼저도돌이표거북명령이라고도불리는꺽쇠 명령에 대해 배워보자. 탐구1 앞에서 배운 명령어들을 이용하여 아래 두 개의 소마큐브 조각을 코딩 해 보자. 그리고 그것을 만들 때, 어떠한 번거로움이 있었는지 적어보자. do 어떠한 번거로움이 있었나? do 주어진 두 개의 소마큐브를 만들 때, 거북이가 갔던 길을 다시 되돌아와야 했기 때문에 귀찮고 비효율적이라고 생각했을 것이다. 하지만, 이번에 배울 꺽쇠명령을 사용해서 코딩한다면, 여러분들이 겪었던 번거로움을 줄여줄 것이다. 지금부터 도돌이표 명령이라고도 불리는 꺽쇠명령에 대해 알아보자. 아래의 그림 은 음악 악보에서 흔히 볼 수 있는 도돌이표이다. 거북이도 도돌이표와 마찬가지로 [ 표시를 보면 현재의 위치와 머리 방향을 기억 시키고 ] 표시를 만나면 기억된 위치와 방향으로 되돌아간다. - 25 -
예제1 꺽쇠라고도 불리는 [ ] 을 아래의 예를 통해 익혀보자. 각 단계별로 주어진 코딩이 어떤 뜻을 갖는지 써보자. 연습1 꺽쇠 명령을 이용하여 아래 두 개의 소마큐브 조각을 코딩하여라. 꺽쇠 명령을 사용했을 때, 어떤 점이 더 개선되었는가? do 꺽쇠명령을 사용했을 때, 어떤 점이 더 나았 는가? do - 26 -
과제1 꺽쇠를 사용하여 그림의 쌓기나무를 만들어라. 과제2 꺽쇠를 사용하여 그림의 쌓기나무를 만들어라. (게시판 글 번호: ) 과제3 소문자 u, d 명령어를 사용하지 않고 다음과 같이 생긴 쌓기나무 모양을 만들어라. 과제4 꺽쇠를 사용하여 아래의 쌓기나무를 만드는 코딩을 만들어라. - 27 -
6차시 이중 꺽쇠 명령 [ 와 ] 명령어 중복해서 사용하기 [ 와 ]을 여러 개 중복하여 아래의 그림과 같은 헬리콥터를 만들 수 있다. 먼저 어 디에 꺽쇠를 놓을지를 생각해보자. 어떤 위치를 기억해두면 좋을까? 꺽쇠를 둘 자 리를 그림에 표시해보자. 연습1 다음 쌓기나무 모양을 만드는 코딩을 빈 칸에 써 넣어라. (1) (2) (3) (4) (1) (3) (2) (4) (참고) 그림에서 거북의 위치는 [ 와 ] 안의 명령이 실행된 후의 위치. 각 단계별로 각자가 만든 코딩이 어떤 뜻을 갖는지 써보자. (1) (3) (2) (4) - 28 -
과제1 꺽쇠를 이중으로 사용하여 다음 작품을 만들어라. 자신이 만든 코딩을 단계별로 나누고 각 단계별로 어떤 의미를 갖는지 써보자. (1) (3) (2) (4) - 29 -
7~8차시 치환 명령 탐구1 아래와 같이 간단한 성벽을 만들기 위해서는 어떤 코딩을 해야 할 까? 코딩을 해보고 코딩에서 어느 부분이 반복되는지 알아보고 밑줄을 쳐 보자. 위에서 s[u]와 s[2u] 라는 문자가 계속해서 반복적으로 나온다. 그래서 우리는 수 학적 방법으로 치환문자를 사용하여 반복되는 내용을 치환할 것이다. 치환은 똑같 은 것을 하나로 묶는 명령이다. 우리는 이렇게 s[u]s[2u] 를 문자 X로 간단하게 치환할 수 있다. 치환을 할 때에는 와 기호를 써서 치환한다. X = ' s[u]s[2u] ' do 2X s[u] 거북이는 do 3X 를 하라고 하면, 문자 X에 담겨있는 s[u]s[2u]를 세 번 반복해서 실행한다. - 30 -
연습1 다음 모양을 치환을 사용하여 만들어 보자. <명령어 1> do 3s u 3s u 3s u <명령어 2>(치환사용) X = '3s u' do 3X 위에서 주어진 코딩에서 치환을 사용한 경우에 대해 떤 의미를 갖는지 써보자. X='3s u' do 3X 연습2 다음을 치환을 이용하여 표현하려고 한다. 맞은 명령어를 써라. 안에 들어갈 알 X = do X 연습3 다음 모양을 치환을 사용하여 만들어라. 1) X = do X - 31 -
2) 3) X = do X X = 4) X = 5) X = 6) X = - 32 -
과제4 치환을 사용하여 아래모양의 컵을 만들어 보자. X = Y = - 33 -
9~10차시 변수를 이용한 코딩 1. 변수 정의하기 수학에서 일차함수 는 에 값을 변화시킬 때마다 다른 값이 나오게 된다. 이처럼 와 는 함수의 관계나 범위에 따라서 여러 가지 값으로 변할 수 있고, 이 를 수학에서는 변수 라 하고 대부분 문자를 사용하여 나타낸다. 쌓기나무 프로그램 에서 변수 문자를 사용하는 방법에 대해 알아보자. 컴퓨팅적 사고에는 변수와 함수 를 통해 기계 (여기서는 거북이) 와 의사소통하는 사고와 자동화 실행이 중요하다. 이제 단계적으로 변수를 정의하는 방법을 알아보자. 탐구1 다음 코딩의 의미를 무엇인지 알아보자. 쌓기나무 모양 코딩 do (n=3)(n=n+1)(n)s n=3 의 의미 : n=n+1 의 의미 : (n)s 의 의미 : 명령어 설 명 n=n+1 (또는 n=n+1) 다음에 나오는 n은 이전에 사용했던 n이 나타내는 수보다 1 큰 수를 나타낸다. 연습1 다음 빈 칸에 알맞은 수를 써 넣어라. 또한 빈 칸에 들어가는 수를 변 화시키면 쌓기나무의 모양에 어떤 변화가 일어나는지 관찰하고 그 결과에 대해 토 론해 보자. n= do ss[(n)u] n의 값을 변화시킴에 따라 쌓기나무의 모양에 어떤 변화가 일어나는가? - 34 -
연습2 다음 쌓기나무 모양을 변수를 사용하여 코딩해 보자. 같은 방식으로 쌓기나무가 가로 로 30개 세로로 30개를 쌓게 되 었을 때의 코딩 예제1 다음을 변수와 치환을 사용하여 나타내 보자. 쌓기나무 모양 변수가 없는 코딩 변수를 사용한 코딩 X= ss[u] do 3X n=3 X= ss[u] do (n)x 숫자 계수로 나타낼 때는 3X로 나타내었지만 문자 변수 n을 사용할 때는 n에 괄호 를 사용해야 한다. 즉, nx로 나타내지 말고 (n)x로 나타내어야 한다. n= X= ss[u] do (n)x 개로 늘어나면? n= X= ss[u] do (n)x - 35 -
변수와 치환을 같이 써서 코딩을 하는 과정에 대해 탐구해 보자. 연습3 다음 쌓기나무 모양을 변수를 사용하여 코딩해 보자. 같은 방식으로 쌓기나무가 가로 로 100개 세로로 99개를 쌓게 되었을 때의 코딩 탐구2 다음과 같이 삼각형 모양으로 늘어나는 쌓기나무의 개수를 변수를 사용 한 코딩으로 만들어 보자. l 1단계 : 변화되는 부분을 포착 후 간단히 하기 쌓기나무 모양 코딩 코딩의 의미 분석 각 코딩의 뜻을 써보자. do s[0u] s[1u] s[2u] s[3u] s[0u] s[1u] s[2u] s[3u] 이것을 더 간단하게 만드는 방법을 없을까? 혹시 이 명령어를 치환을 사용해서 만들 수 - 36 -
있을까? 지금까지 공통된 부분을 치환을 사용해서 간단하게 만들었는데 s s[1u] s[2u] s[3u] s[4u] 는 똑같은 명령어가 반복되지는 않지만 일정한 규칙으로 만들어짐을 볼 수 있다. 여기서 s를 s[0u]로 바꾸면 정확히 0 4까지의 숫자만 바뀌는 것을 볼 수 있다. l 2단계 : 개별 변수 지정하기 do s(n=0)[(n)u] s(n=1)[(n)u] s(n=2)[(n)u] s(n=3)[(n)u] l 3단계 : 치환 사용하기 s[(n)u] 가 반복되므로 치환을 사용하여 바꾸면 X='s[(n)u]' do (n=0)x (n=1)x (n=2)x (n=3)x 하지만 이 명령어가 처음 사용한 표현 s s[1u] s[2u] s[3u] s[4u] 보다 더 복잡하다. 따라서 새로운 쌓기나무 명령어를 배워서 이러한 상황을 효율적으로 해결해보도록 하 자. l 4단계 : (n = n+1) 위 표현은 X를 똑같이 4번 반복하는 것이 아니라, X안에 있는 문자 변수 n이 1씩 규 칙적으로 증가하게 나타낸다는 뜻이다. 탐구 1에서 (n=n+1)라는 표현이 나오는데 이것 은 기존의 n에 1을 더한 수를 새로운 n으로 사용하라는 뜻이다. 이 표현을 사용하여 다시 바꾸면 n=0 X='s[(n)u] do X (n=n+1)x (n=n+1)x (n=n+1)x l 5단계 : 치환 X를 다시 정의하기 여기에서 반복되는 부분을 다시 X 로 치환하면 코딩 코딩의 의미 분석 n=0 X='s[(n)u](n=n+1)' do 4X X='s[(n)u] (n=n+1) do 4X 만일 여기서 100층짜리 계단을 만들고 싶으면 어느 부분을 바꾸어야 할까? l 6단계 : 2변수 이용하여 일반화하기 - 37 -
코딩 코딩의 의미 분석 n=0 k=4 n=0 k=4 X='s[(n)u](n=n+1)' do (k)x s[(n)u] n=n+1 (k)x 과제1 다음 두 코딩으로 만들어 지는 쌓기나무의 모양이 어떻게 다른지 설명해 보아라. n=0 X='s[(n)u](n=n+ 1)' do 5X n=0 X='(n=n+1)s[(n) u]' do 5X <두 번째 코딩으로 만들어지는 쌓기나무 그림> s[(n)u]와 (n=n+1)의 순서를 바꾸면 그 순서에 따라 서로 다른 쌓기나무 그림이 만 들어진다. 이것은 (n=n+1)과 같은 표현을 사용할 때 순서가 중요하게 다루어야 한다는 것을 의미한다. - 38 -
과제2 변수를 사용하여 쌓기나무 코딩을 하는 방법이다. 다음 빈 칸에 알맞은 표현을 써 넣어라. n=1 n=1 X='(n= ) ss[(n)u]' X='(n= ) (n)s[(n)u]' do 2X do 2X 탐구3 한 변의 쌓기 나무의 개수가 100개인 정사각형을 간단한 코딩을 통해 만들어 보고 자신만의 전략을 적어봅시다. s s s[dt] - 39 -
1) 그림3에서 정사각형의 한 변이 30이 되었을 때의 코딩을 써라. 코딩 코딩의 의미 2) 1부터 연속되는 번째까지의 홀수의 합은 얼마인지 구해보자. 1)번의 결과에 의해서 n단계의 쌓기나무는 개 임을 알 수 있다. 또한, 이는 가로 n, 세로 n의 직사각형 모양임을 알 수 있다. 즉, 과제3 아래의 작품을 n에 관한 일반화된 코딩으로 나타내어 보고 자신만의 전 략을 적어보자. (게시판 글 번호: ) 코딩 코딩의 의미 - 40 -
11~14차시 나만의 새로운 코딩 만들기 지금까지 배운 여러 가지 코딩 방법으로 자신만의 물건을 디자인하고 이 를 만들 수 있는 코딩을 해보자. 그리고 3D 프린터로 출력해보자. 과제1 그림과 같은 모양을 만드는 코딩을 다음과 같은 원칙에 따라 짜 보자. 1) 키보드를 최소로 횟수로 눌러 입체를 만든다. 2) s, L, R, l, r, u, d 등의 명령어와 꺾쇠와 치환을 사용하여 프로그램을 만들었을 때 가장 문 자를 적게 사용하여 만든 사람이 이긴다. (단 do 글자는 세지 않는다). 과제2 치환과 변수를 사용하여 다음과 같은 성벽을 만들어 보자. X = - 41 -
과제3 치환과 변수를 이용하여 자신만의 성벽을 만들어 보자. n=11 X='s(n)uds(n-1)d' (핑크색 높은 성곽 옆면) Y='(##FFCCCC)s8uds(n-4)ds8uds(n-4)ds8uds(n-4)ds8uds(n-4)ds(n-3)uds(n-4)ds8uds(n -4)ds(n-3)uds(n-4)ds(n-3)u' (가운데 낮은 성곽) Z='s(n)uds(n-6)d[s(n-5)u[HL3sC2d5uu[Rc3s][uRc4s]uuRc3s]ds(n-6)ds[5d](n-6)uds(n-1) dl' (깃발 포함 핑크색 높은 성곽 앞뒷면) do (##FF33CC)Z3XL3XL3X] do (##white)5ds4us4dhssls[ry8dhs[rhsl do (##FF33CC)Z3XL3XL3X] do (##white)5ds4us4d]l4sly window 250 자신만의 성벽 만들기를 마치고 (1) 스스로 좋았던 점 (잘했던 부분) - 42 -
(2) 스스로 아쉬웠던 점 (개선해야 할 부분) (3) 인상 깊었던 것들 토론1 친구들이 한 코딩을 보고 어떤 코딩이 가장 좋은 코딩인지 토론 해 보자. 자신들의 의견을 게시판에 올려보자. 그리고 가장 우수한 작품 을 추천해 보자. 학생 이름 작품상 코딩상 우정상 과제4 치환과 변수를 이용하여 자신만의 물건을 만들어 보자. - 43 -
15~16차시 피라미드에서의 도형수 1.피라미드에서의 도형수 가. 역사적인 배경 고대이집트 왕들은 자신의 무덤을 죽은 후에 영원히 사는 곳이라 생각하여 신경을 써 서 만들게 되었는데 이렇게 탄생된 구조물이 바로 피라미드이다. 당시의 기술력으로 이 렇게 큰 건축물을 만들려면 어떻게 했을까? 사각뿔 모양으로 보이는 피라미드를 자세히 살펴보면 직육면체 모양의 돌들을 쌓아서 만들었다는 것을 알 수 있다. 그림은 피라미 드의 일부인 작은 돌들을 인력으로 운반하는 과정을 나타내고 있다. 피라미드는 멀리서 보면 우리가 잘 아는 정사각뿔 모양이지만 가까이서 보면 위 그림 과 같이 직육면체의 돌들로 쌓여있다. 사용된 작은 돌 모두가 똑같은 직육면체라면 피 라미드의 높이와 부피를 측정하기 위해 직육면체 하나의 높이, 층수, 부피, 사용된 직육 면체의 총 개수를 구하면 된다. 이번 시간에는 피라미드에 사용된 직육면체를 간단하게 정육면체라 가정하고 피라미 드에 들어있는 도형수를 알아보고 특정한 층의 피라미드를 만들기 위하여 사용된 총 정 육면체의 수를 구해보자. - 44 -
2. 쌓기나무에서의 도형수 질문1. 그림과 같이 3층 피라미드를 만들기 위해 필 요한 정육면체 쌓기나무의 개수는 몇 개일까? 왜 그렇게 생각하는가? 개수 : 이유 : 질문2. 10층 피라미드를 만들기 위해 필요한 정육면체 개수와 그렇게 생각한 이유를 서술하여라. 개수 : 이유 : 가. 자연수의 합 1) 위대한 수학자 가우스는 초등학교 1학년 나이인 7살 때 1부터 100까지의 수의 합 을 1분이 채 안되는 시간에 구했다고 한다. 1부터 100까지의 수의 합을 구하는 간 단한 방법은 무었일까? 2) 다음을 구하여라. - 45 -
자연수의 합 공식 나. 사각수 피라미드를 만들기 위한 필요한 정육면체의 개수를 알아내기 위해 일일이 개수를 세어 더하는 방법이 있다. 그렇지만 50층, 100층 이상의 피라미드를 만들 때에 필요 한 정육면체의 개수를 층층이 세어서 구하는 것은 불가능에 가깝다. 더 효율적인 방법으로 피라미드에 쌓여 있는 정육면체의 개수를 알 수는 없을까? 이제부터 정육면체 모양을 쌓기나무라고 부르자. 아래의 3층 피라미드를 그림과 같이 각 층으로 나누어 보자. 사각수의 뜻 점을 사각형의 꼭짓점 모양으로 나열했을 때 그 개수를 나타내는 수를 라고 한다. 사각수를 기호로 이라고 나타낸다. (square number) 각각의 층은 사각형 모양으로 격자점을 배열한 모양임을 알 수 있다. 이렇게 어떤 도형의 모양을 잘 나타내도록 물체를 규칙적으로 배열하였을 때, 도형의 모양으로 배열한 물체의 수를 도형수 라고 한다. 그림과 같이 사각형 모양으로 규칙적으 로 배열할 경우에는 사각수 라고 한다. 번째 사각수를 기호로 ( 는 소문자) - 46 -
이라고 나타낸다. (여기서 는 사각수 square number의 첫 글자를 뜻한다.) 질문3. 50 번째 사각수 을 구하여라. 또한 번째 사각수 이 의미하는 것이 무엇인지 서술하여라. 다. 다. 삼각수 한편 피라미드의 각 층의 사각형 모양을 다시 삼각형 두 개로 나누면 다음 그림과 같 질문4. 그림의 삼각형 모양의 쌓기나무의 개수는 어떤 규칙으로 증가하는가? 삼각수의 뜻 점을 삼각형의 꼭짓점 모양으로 나열했을 때 그 개수를 나타내는 수를 라고 한다. 삼각수를 기호로 이라고 나타낸다. (triangular number) - 47 -
각 단계의 쌓기나무의 개수는 삼각형의 꼭짓점의 개수로 생각할 수 있다. 특별하게 왼쪽 그림은 삼각형의 모양으로 물체를 배열하였기 때문에 도형수의 정의에 따라 이를 각 단계에서 삼각수 라고 합니다. 번째 삼각수를 기호로 ( 는 소문자)이라고 나타낸다. (여기서 는 삼각수 triangular number의 첫 글자를 뜻한다.) 질문5. 을 구하여라. 또한 번째 삼각수 이 의미하는 것이 무엇인지 설명하여 라. 라. 삼각수와 사각수의 관계 이런 도형수들 사이에는 특별한 관계가 있다. 번째 삼각수 과 번째 사각수 사이의 관계를 알아보자. 그림을 보고 과 사이의 관계식을 찾아라. 관계식 : 과 의 관계식을 구하여라. 관계식 : 위 그림을 보고 을 구하는 방법을 그림을 이용하여 설명해 보자. - 48 -
2. 쌓기나무에서의 도형수 각 단계별 쌓기나무에 사용된 정육면체의 수를 구해보자. 가. 삼각뿔수 삼각뿔수의 뜻 점을 삼각뿔 모양으로 나열했을 때 그 개수를 나타내는 수를 라고 한다. 삼각뿔수를 기호로 이라고 나타낸다. (trianglar pyramid number) 위 쌓기나무 각각마다 가운데 하나의 점으로 보고 모든 점을 이으면 삼각뿔모양이 되 기 때문에 이를 삼각뿔수 라고 한다. [예제1] 을 구하여라. 나. 삼각뿔수와 피라미드 수의 관계 한편 우리가 구하고자 하는 도형수는 높은 층의 피라미드에 쌓여 있는 쌓기나무의 개 수이다. 이를 피라미드 수라고 하자. 삼각수, 사각수, 삼각뿔수 사이의 관계를 알아보 - 49 -
고 피라미드 수를 구해보자. 삼각수를 배울 때 했던 것처럼 4층 피라미드를 2개의 삼각형 모양의 쌓기나무로 나누 어 보자. 그림을 보면 왼쪽에는 3층, 오른쪽에서는 4층의 쌓기나무가 만들어지는 것을 알 수 있다. 그리고 이 두 쌓기나무가 서로 닮았다는 사실을 알 수 있다. [예제2] 삼각뿔수 을 이용하여 그림의 4층 피라미드를 만드는데 필요한 쌓기나 무의 수를 나타내어라. 4층의 피라미드를 만드는데 필요한 쌓기나무의 수는 결국 3번째 삼각뿔수 와 네 번째 삼각뿔수 로 나누어진다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 4층 피라미드에 필요 한 쌓기 나무의 수는 와 같다. 그러므로 4층 피라미드를 층별로 으로 세는 방법도 있지만 으로도 셀 수 있다. 이제부터 삼각뿔 수를 통해 피라미드수를 구하는 방법을 알아보자. 다. 삼각뿔수의 값 구하기 질문6. 그림은 6번째 삼각뿔수 을 나타낸다. 을 구하고 자신이 생각한 을 구하는 방법을 서술하여라. 방법 : - 50 -
왼쪽 그림은 을 층별로 분리해놓은 모습 이다. 각 층은 삼각수의 배열을 나타내고 있 음을 볼 수 있다. 그렇다면 을 삼각수의 기호 을 사용하여 나타내어 보자. 위의 결과를 통해 번째 삼각뿔수 역시 삼각수들로 나타내어 보자. 삼각수와 삼각뿔수 삼각수 과 삼각뿔수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 분해된 쌓기나무 덩어리를 한 쪽으로 잘 몰아세우면 삼각뿔 모양을 만들 수 있는데 삼각뿔수의 값을 구하기 위해 우리는 약간 치우친 두 종류의 삼각뿔 모양의 쌓기나무를 이용하려고 한다. 이를 left타입, right타입이라고 하자. * 그림을 보면 1 2 3 의 순서로 사면서 파악할 때, 삼각형 모양의 쌓기나무에 서 left 타입은 왼쪽에서 오른쪽으로 점점 증가하고 right 타입은 오른쪽에서 왼쪽으로 증가한다. 자바메쓰 사이트에서 다음을 실행하고 그림을 관찰하여보자. 이러한 실험을 통해 삼각 - 51 -
뿔수를 에 대한 식으로 나타내 보자. 1 거북창 우측하단 물음표 클릭! 2 [3D컴퓨팅]융합 클릭! 3 수학과 3D프린터 클릭! 4 삼각뿔수의 쌓기나무 클릭! 삼각뿔수 3가지를 위 오른쪽 그림과 같이 붙여보자. 여기서 우리가 기억해야할 것은 left타입, right타입 모두 쌓기나무의 개수를 변형하지 않았기 때문에 모두 라는 것이다. 스마트패드로 이리저리 돌려보면서 개수에 대한 규칙을 세워보자. (Hint : 와의 관계를 생각해 보기) 스마트 패드로 내가 발견한 규칙 - 52 -
옆면 앞면 위 그림의 옆면은 번째 수이다. 기호로 표현하면 라고 나타낼 수 있다. 위 그림의 앞면은 + 라고 쓸 수 있다. 이것을 통해 아래 의 관계식을 완성해보자. ( ) {( ) + ( )} 이제 을 구해보자. 앞에서 푼 예시를 통해 스스로 구해 보자. ( ) 우리는 지금까지 일반적인 번째 삼각뿔수를 구하는 방법에 대해 알아보았다. 이 것을 통해 우리가 목표로 하는 피라미드 수를 구해보자. - 53 -
앞에서 관찰한 바와 같이 피라미드는 위 그림처럼 두 개의 삼각뿔로 분해된다. 이렇게 사각뿔 모양의 도형을 만드는데 필요한 물체의 수를 사각뿔수 라고 한다. 번째 사각뿔수를 기호로 으로 나타내 보자. ( 는 대문자),,, 피라미드에 쌓여있는 쌓기나무의 수는 사각뿔수임을 알 수 있다. 그러므로 번째 사각뿔수 을 쉽게 구할 수 있으면 이 수가 피라미드수 이므로 우리가 목표로 하는 100층, 200층의 거대한 피라미드에 사용된 정육면체의 수를 효율적으로 구할 수 있다. 그림은 (8층 피라미드를 만드는데 필요한 쌓기나무의 개수)을 구하는데 사용할 수 있는 그림이다. 지금까지 했던 것을 잘 조합해서 을 구할 수 있는 식을 만들 어 보자. 이제 과 의 관계를 찾아보자. 과 의 관계 : 마지막으로 을 에 관한 식으로 나타내보자. 여러분은 지금까지의 탐구를 통해 어떠한 높이의 피라미드라도 그것을 만드는데 필요한 쌓기나무의 개수를 쉽게 구할 수 있는 식을 만들었다. - 54 -
이제까지 배운 것을 정리해 보자. 번째 삼각수 과 의 관계 : 번째 삼각뿔수 과 의 관계 : 번째 사각뿔(피라미드)수 - 55 -
17~18차시 다면체와 인수분해 1. 들어가기 전에 가. 정사면체를 합동인 입체로 분할하기 실생활에서 자주 볼 수 있는 입체 도형은 분명 생김새가 흥미로울 수 있지만 그것을 파악하는 것은 쉽지가 않다. 그래서 입체도형을 분할하여 둘러보고 관찰하고 다시 합체 시키는 과정을 통해 입체도형의 다양한 면을 관찰하곤 한다. 다양한 입체도형이 있지만 우리는 정다면체를 분해하려고 한다. 보통 다면체를 분해할 때에는 합동인 다면체로 분할하는 것에 관심을 가진다. 같은 모양이 아니라면 다양한 방법으로 다양한 다면체로 분할되기에 셀 수 없이 많은 방법이 있기 때문이다. 예를 들 어, 아래의 그림처럼 정육면체를 합동인 2개의 다면체로 분해하는 방법은 몇 가지나 있 을까? 질문! 정사면체를 서로 합동인, 2개, 3개, 4개인 입체로 한번 나누어 보자. 1 합동인 2개의 입체로 나누어 그려보기 - 56 -
2합동인 3개의 입체로 나누어 그려보기 3 합동인 4개의 입체로 나누어 그려보기 나. 피라미드의 분할 위의 피라미드를 서로 같은 직각 삼각뿔 몇 개로 분해가 될까? 아래 네모 칸에 그림을 그려 보자. - 57 -
다. 닮음비와 부피비 사이의 관계는? 아주 먼 옛날 델로스 섬에서 있었던 일이다. 그 섬에 전염병이 퍼져서 많은 사람들이 고생하고 있었다. 그 때만 해도 지금처럼 의학이 발달하지 못해서 더 힘들었다. 그래서 델로스 섬 사람들은 아폴로 신에게 어떻게 하면 되겠냐고 기도를 드렸다. 그랬더니 아 폴로 신이 지금의 재단은 너무 좁다네. 저 제단 부피의 2배가 되는 제단을 만들어 주 게나. 그러면 전염병을 없애주겠네. 라고 했다. 그 말을 들은 사람들은 고민 끝에 제단 을 만들려 했지만 실패했고 전염병은 사라지지 않았다고 한다. 델로스 섬 아폴로 신전 http://m.blog.daum.net/kangns1950/919 1. 가로, 세로, 높이가 얼마일까? 2. 각 모서리의 길이를 두 배로 하면 어떻게 될까? 3. 자신만의 방법이 있으면 적어보자. 두 도형이 모양과 크기가 모두 같아 완전히 포개어 질 때, 두 도형은 합동이라고 배 웠다. 그럼 두 도형이 모양은 같은데 크기가 다른 경우는 뭐라고 할까? 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 다른 도형과 합동이 될 때, 이 두 도 - 58 -
형이 서로 닮음관계에 있다고 한다. 평면도형이나 입체도형에 관계없이 아래의 그림처럼 닮음을 이야기 할 수 있습니다. 여기서 대응하는 모서리 또는 변의 길이비를 닮음비라고 한다. 예를 들어 대응하는 변 의 길이가 1 : 2 인 정삼각형의 닮음비는 이제 닮음인 두 도형의 부피에 대해서 생각해 보자. 이다.. 닮음비가 1 : 2 인 두 정육면체의 부피비는 얼마일까? 내가 생각하는 두 정육면체의 부피비는 그 이유는? 입니다. 어떤 두 입체도형의 닮음비가 라면 그 두 입체 도형의 부피비는 이다. 예를 들어, 어떤 두 입체도형의 닮음비가 1 : 3 이루면 부피비는 이고 닮음비가 2 : 3 이면 두 부피비는 이다. 2. 주령구와 육팔면체 휘영청 달, 밝은 밤 포석정에서 유상곡수연을 즐기는 여인들의 웃음소리가 들렸다. 귀족의 영애들이 심기 불편한 수경 공주를 즐겁게 해드리려고 선물을 싸들고 소풍 을 나온 것이었다. 삽십여명의 궁녀가 곡수를 따라 서 있으니, 포석정만 대낮이었 다. 누군가 주령구를 굴렸는지 벌칙으로 금성작무( 禁 聲 作 舞 )를 하고 있다. 멀리서 령이 그것을 보고 뜻하지 않게 훼방꾼이 된 것 같아 얼굴을 찌부렸다... (이하 생 략) (소설, 붉은 단1, 류시완 저 제 6장) 주사위하면 어떤 주사위가 떠오르는가? 우리 선조들은 주령구라는 주사위를 사용했 다.. 주령구는 주로 벌칙에 쓰이는 주사위여서 각 면에는 숫자가 아니라 소리내지 않고 춤추기, 시 한수 읊기 등 재미있는 벌칙 14가지가 적혀있다. 즉, 14면 주사위이다. - 59 -
주령구(google "주령구"검색 이미지) 신라시대 사람들은 나무를 깍아서 목제 주령구를 만들었다고 한다. 서양에서도 주령구가 등장한다. 아르키메데스는 흔하게 볼 수 있는 다면체를 깎아서 특 별한 모양을 가지는 입체들에 대하여 연구했다. 그리하여 아르키메데스 다면체라고 불 리는 13개의 다면체를 발견했는데 그 중 하나가 바로 이 주령구와 비슷한 육팔면체 이 다. 앞으로 우리는 이렇게 다양한 입체들 중 조금 특별한 정다면체(플라톤 다면체)와 준 정다면체(아르키메데스 다면체)의 일부의 여러 가지 특징에 대하여 탐구해볼 예정이다. 주령구와 육팔면체를 비교해보자. 같은 점 다른 점 3. 아르키메데스의 다면체 이제 수업시간에 배운 정다면체를 바탕으로 준정다면체(아르키메데스 다면체)에 대하여 알아보자. 아르키메데스 다면체는 정다면체를 일정한 비율로 깎거나 부풀려서 만들 수 있는 다면체를 말한다. 총 13종류가 있다. 가. 정다면체 모서리의 삼등분점 연결 먼저 정다면체 모서리의 삼등분점을 연결하여 깎는 방법이 있다. 관계있는 것끼리 이어 보자.. - 60 -
나. 육팔면체 만들기 육팔면체는 우리에게 익숙한 정육면체를 다음 규칙에 따라 잘라서 만들 수 있다. 아 래에 있는 그림은 정육면체를 잘라 육팔면체를 만드는 과정을 보여주고 있다. 규칙1. 각 모서리의 중점을 잡는다. 규칙2. 인접한 중점을 연결하여 만들어지는 삼각뿔 8개를 잘라낸다. 규칙3. 파란 입체도형을 잘라낸 후 남는 노란 입체 도형의 모양을 추측한다. 다. 육팔면체의 각 면의 모양 육팔면체의 정육면체에서 꼭짓점 부분의 8개의 삼각뿔을 잘라낸 모양을 머릿속에 상 상하면서 아래 빈 칸을 채워보자. 정육면체의 면의 수, 꼭짓점의 수를 육팔면체의 삼각형의 면의 수, 사각형 면의 수와 비교하여 아래 빈칸을 채워보자. 또 왜 이와 같은 결과가 나오는지 자신의 생각을 적어 보자. - 61 -
위와 같이 되는 이유는 무엇인지 생각해서 적어보자. 육팔면체는 왜 이름이 육팔면체 일까? 자신의 생각을 적어보자. 위의 그림에서 중점을 깎아 잘린 단면은 정육면체 수에 의해 결정되는 것을 확인 할 수 있다. 그렇다면 육팔면체의 중점을 깎아 잘린 단면은 어떤 모양이 될까? 이러한 단면은 모두 몇 개 생길까? 답과 그 이유를 써 보자. 라. 육팔면체의 분해 그림은 정육면체를 육팔면체로 분해하고 내부의 중심점으로부터 각 꼭짓점을 연결하여 정육면체를 뿔로 분해한 그림이다. 이를 살펴보면 세 가지 종류의 서로 다른 뿔을 볼 수 있다. 즉, 잘려나간 여덟 개의 과, 육팔면체를 이루는 여덟 개의 - 62 -
, 여섯 개의 을 관찰 할 수 있다. 각각 직각 사면체, 정사면체, 피라 미드라고 부르자. 다. 주령구 3D 프린터로 출력해보기! [3D 컴퓨팅]_융합 >> 입체수학 3D프린팅 >> 육팔면체 전개도 실행 >> [3D 프린터] OBJ 출력 >> 메모장에 ***.obj로 저장 >> G-code 변환 >> 출력 - 63 -
3. 다면체의 분할과 부피비 (http://vimeo.com/67262694) 정다면체의 부피비 위를 확장해서 우리는 정다면체의 부피비도 생각해 볼 수 있을 것 같습니다. 그중 에서도 모서리의 길이가 같은 정사면체, 정육면체, 정팔면체에 관한 부피비를 쉽게 구해보도록 합시다. 직각사면체, 정사면체, 피라미드로 정사면체 포함 다른 정다면체 분해해보 기 세 종류의 뿔로 다른 정다면체를 만들 수 있을까요? 만들 수 있다면 어떻게 만드 는지 한눈에 드러나는 그림을 그리거나 직각 사면체와 피라미드 몇 개와 정사면 체 몇 개를 어떤 방법으로 붙인다. 와 같이 구체적인 글로 써봅시다. (단, 1개의 정 사면체로 정사면체를 만드는 경우는 제외합니다.) - 64 -
자바 가상머신 JRE 설치와 보안문제 해결 1 번째 단계 : JRE 설치 (자바 가상머신 설치) 자바말은 JAVA 프로그래밍 언어로 만들어졌습니다. 따라서 자바말을 실행하려면 사 용자의 컴퓨터에서 JAVA가 작동할 수 있는 가상머신이 필요한데 이 가상머신의 이름 이 JVM입니다. 만약 자바말 화면이 회색에서 변화가 없거나 가 표시되면 현재 컴 퓨터에는 JVM이 설치되지 않은 것입니다. 다음의 주소로 접속하면 SUN사의 JRE를 다 운받아 설치하여 자바 가상머신 JVM을 설치할 수 있습니다. JAVA 사이트 (JRE 다운로드) : http://www.java.com 위의 주소로 접속하면 컴퓨터 운영체제에 맞는 JVM을 설치할 수 있습니다. 주소로 접속한 다음 무료 JAVA 다운로드를 누른 후 안내에 따라 설치하면 됩니다. 주의 : PC의 운영체제가 윈도우 64비트인 경우에는 사이트 왼쪽 메뉴에서 64비트 운영체제에 맞는 JRE를 선택하여 설치합니다. - 65 -
2 번째 단계 : 제어판 (커피 향 Java 아이콘) 보안 설정 최신 JVM을 설치하고 바로 자바말을 실행할 경우, 다음과 같이 보안 설정 관련 경고 문구가 뜨는 경우가 있습니다. 아래는 Javamath 거북수학실험실 및 Mentoring 사이트에 서 실행하였을 때 나타나는 오류 메시지입니다. 각 사이트에서 이 문제를 해결하려면 Java 보안 설정에서 해당 사이트를 Java 보안의 예외 사항 사이트로 등록하면 됩니다. Javamath 거북수학실험실을 사용하기 위해서는 http://www.javamath.com 을 안전한 사이트로 등록하여야 합니다. Mentoring 사이트를 사용하기 위해서는 http://www.javamath.com와 http://mentoring.snu.ac.kr을 안전한 사이트로 등록하여야 합니다. ➀ 제어판에서 커피 향 아이콘을 클릭 (Configure Java 실행) 정상적으로 JVM을 설치하였다면 아래 그림과 같이 제어판 > Java를 실행합니다. 또는, 시작 > 프로그램 목록에 있는 Java 폴더 안에 Configure Java를 실행합니다. - 66 -
➁ 커피 향 아이콘인 Java 제어판에서 보안 메뉴 클릭 다음 그림과 같이 Java 제어판이 실행되면, 상단의 [보안] 탭을 누른 후, 아래쪽에 [사이 트 목록 편집] 버튼을 누릅니다. ➂ 제어판의 보안 메뉴에서 예외 사항 사이트 목록으로 추가 아래와 같은 목록 편집창이 뜨면 추가 버튼을 눌러서 http://www.javamath.com 와 http://mentoring.snu.ac.kr을 예외 사항 사이트로 추가 시켜야 한다. [추가] 버튼을 눌러봅 시다. - 67 -
위의 창이 나타나면 [추가] 버튼을 누른 뒤, 각각 http://www.javamath.com와 http://mentoring.snu.ac.kr을 입력하고 엔터를 누릅니다. 이때, 반드시 http:// 를 같이 입 력합니다. 이 때, 위와 같은 경고창이 뜨면 아래쪽의 [계속] 버튼을 누른다. 아래 그림과 같이 목록 에 2개의 사이트 주소가 들어가면 됩니다. 마지막으로 [확인] 버튼을 누르면 예외 사항 사이트로 등록이 완료된다. 모든 설정이 완료된 후 Javamath 사이트 - www.javamath.com/class 혹은 Mentoring 사이트 - mentoring.snu.ac.kr/cretest 로 다시 접속하여 자바말을 실행시키면 정상적으로 작동합니다. - 68 -