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시라 승
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1 Journal of the Korea Academia-Industrial cooperation Society Vol. 14, No. 4 pp , 13 제두호 1*, 황은성, 이장형 1 육군사관학교무기기계공학과, 광운대학교방위산업학과 A study for laminar and turbulent boundary layer theory around a Joukowski and NACA-1 airfoil by CFD Du-ho Je 1*, Eun-Seong Hwang and Jang-hyeoung Lee 1 Department of Weapons and Mechanical Engineering, Korea Military Academy Department of Defense Acquisition, Kwangwoon University 요약본논문에서는층류및난류유동특성중경계층두께와배제두께, 그리고모멘텀두께에대한기존의이론값과실제 CFD 해석을통한수치해석의데이터를비교하였다. Freestream velocity는 Reynolds 수에영향을주게되고, airfoil 주변에서의유동의층류및난류에영향을주게된다. 층류및난류의경우유동특성이달라경계층두께및배제두께, 그리고모멘텀두께가달라지게되고, 결국 airfoil의공력특성인양력과항력, 그리고 pitching moment에영향을주며, separation point도다양한 angle of attack에서바뀌게된다. 이번연구에서의목적은비점성유동과, 층류및난류각경우에대한유동특성에대해알아보는것이다. 연구에서사용된 airfoil의경우 c=1인 Joukowski airfoil을사용하였으며, CFD 는상용프로그램인 Fluent 6.을통해 NACA-1 airfoil을사용하였다. 층류및난류에서의 는 이며각각에해당하는속도는.45, 1 m/s이다. 본연구를통해기존의실험값과수치해석의결과가잘일치함을알수있으며, 이를통해다양한 airfoil의형상을모델링할수있는근거를마련하였다. Abstract In the present study, we compared the theory with CFD data about the boundary layer thickness, displacement thickness and momentum thickness. According to the freestream velocity, larminar and turbulent is decided and affect to the flow patterns around the airfoil The boundary layer thickness, displacement thickness and momentum thickness affect to the aerodynamic characteristics of the airfoil(e.g. lift, drag and pitching moment). The separation point is affected by varying angle of attack. In the present study, we used the Joukowski airfoil(c=1), and NACA1 airfoil was used at CFD. The chord Reynolds number is, respectively and the freestream velocity is.45, 1 m/s, respectively. In this paper, the data was a good agreement with that of experimental results, so we can analyze the various airfoil models. Key Words : Boundary layer, Displacement thickness, Momentum thickness, Potential flow, Thwaites method, Head method 1. 서론 Airfoil 주변의유동특성에관한연구는유체역학분야에서수많은연구가되어왔고, 현재도많은연구가진행되고있는분야이다. 가장활발하게진행되는부분중 하나는 airfoil주변에서의층류및난류경계층에대한이론적인내용과실제 CFD를통한유동흐름의특성을비교, 분석하는것이다. 특히이론값을기초로한실험들이많이수행되어왔으며, 특히 Barlow et al(1999) 과 Selig & McGranahan(3) 은실험값을구하기위하여풍동실 * Corresponding Author : Du-ho Je(Korea Military Academy) Tel: duhoje@gmail.com Received March 19, 13 Revised (1st April 3, 13, nd April 4, 13) Accepted April 11,

2 한국산학기술학회논문지제 14 권제 4 호, 13 험을통한 airfoil 주변에서의배제두께및모멘텀두께를측정하였다 [5,6]. 이들은 Hot-wire기법을이용하여실험하였으며, 실험이기존의이론값과잘일치한다는결론을제시하였다. Taira & Colonius(9) 는 airfoil이아닌평판날개주위에서의유동특성에대해살펴보았으며, 이또한 airfoil에서의이론값을반영할수있다고보았다 [7]. Selig et al(1989) 과 McCullough & Gault(1951) 는유동속도가비교적작은층류에서의유동장을분석한결과를제시하였다 [8,9]. 하지만지금까지의이러한선행연구들은대다수이론과실험값을단순비교한것으로, 실제수치해석을통한데이터검증이이루어지지못한한계가있었다. 그리고데이터는이론에국한되어있어실제수치해석을통한검증이필요한상태이다. 따라서본연구에서는층류에서의유동흐름은 Thwaites method를이용하여 airfoil에서의배제두께및모멘텀두께를비교하고, 난류에서의유동흐름은 Head method를이용하여비교하고자한다. 이를위해연구에사용된 airfoil 모델은 c=1인 Joukowski airfoil과 NACA-1 airfoil을사용하였으며층류의경우 그리고난류의경우는 에서비교하였다.. 본론.1 Imaginary of Airfoil.1.1 Joukowski airfoil Joukowski airfoil[1,] 의경우 symmetric Joukowski airfoil을이용하였으며, c=1인 airfoil이다. Matlab을이용하여 airfoil을형성하였다. Fig.1은 Matlab에서만들어진 Joukowski airfoil의형상을보여주는것이다. Joukowski airfoil은 Joukowski transformation을이용하여 -plane의 airfoil을 -plane에서 m만큼편심된원으로그린다음 airfoil을만들었으며, Joukowski transformation은다음식과같다. 위에서만들어진 Joukowski transformation에서 일때 a 및 m 을구할수있다. 그리고 방향으로 36으로만든격자를이용하였다. 따라서이용된격자는 36 x 36격자이다. 비점성유동에서의 값을구하기위해서는기본적인 Complex velocity 및 Complex potential에대한식에서유도할수있다. [Fig. 1] Shape of Joukowski airfoil Joukowski transformation을통한편심된원주변에서의 Complex potential의경우는다음의식으로구할수있다. Fig. 는 Matlab에서만들어진 airfoil 주변에서의 streamline을보여준다. 여기서확인할수있듯이 sreamline은점성효과가고려되지않았기때문에 airfoil 주변에서형상에따라흐르는것을알수있다. 우선비점성유동의경우 airfoil 주변에서의압력계수 는각 c를따라달라지는유동속도에따라구할수있다. 압력계수를구하는식은다음과같다. 여기서 는 chord에따른각각의위치에서의유동속도를의미한다. 편심된원의중심은 으로이중심을기준으로 r 방향으로 3d정도의도메인을만들었으며, r방향으로 36, 1534

3 에서의배제두께및모멘텀두께를구할수있으며식은다음과같다 [3]. [Fig. ] Streamline around the airfoil.1. NACA-1 airfoil NACA-1의 airfoil의경우에는상용프로그램인 Fluent 6.을이용하였다. Fluent 6.에서사용하여airfoil 은 NACA-1로 symmetric한 Joukowski airfoil과가장비슷한형태이다. NACA-1에서의 c=1로두었고, 형태는 Fig.3에서보는바와같다. 각각의경계층의크기는 airfoil의 upward 및 downward방향으로 1.5c, downstream 방향으로 1c만큼주었으며, upstream 방향으로 11.5c의크기를주었다. NACA-1의 airfoil에서의격자는 Fig. 4에서보는바와같고, airfoil의 trailing edge에서부터후면원거리경계선까지는총 6개의격자를주었고, upward 및 downward 방향으로는 45개씩의격자를주었다. 또한 airfoil을포함한앞부분의둥근모양의 upstream 에원거리경계선에서는 방항및 방향으로각각 15개및 45개의격자를주었다. 또한 airfoil의주변에서는유동흐름관찰을자세하게하기위해서좀더조밀한격자를주었다. 원거리경계선에서는 upstream부분과 airfoil의 upward 및 downward에서는입구조건을 velocity inlet 조건을줄수있도록하였고, downstream부분에서는출구조건을 pressure outlet을줄수있도록하였다. 참고로 upstream부분에서는격자를줄때 circular한부분에서 airfoil만큼을감해주어격자를생성하였다. [Fig. 3] Shape of NACA-1 airfoil. Governing Equation..1 Thwaites' method Thwaites method를이용하여 airfoil주변의층류흐름 Udθ = ( l λ) [ H( λ) + ] λ = F( λ) ν dx θ du λ = ν dx F( λ) =.45 6λ x.45ν 5 = U( ) 6 U( x) θ ξ dξ if.1< λ <.18λ l = λ λ.731 H = λ if < λ <.1 l = λ 1.8λ H = λ+ 5.4λ.. Head's method Head method의경우는 airfoil 주변흐름이난류일경우경계층두께를구할수있는방법이다 [4]. Head s entrainment equation과 momentum equation을풀게되면경계층의 shape factor인 H와모멘텀두께를구할수있게된다. Head s method의식은다음과같다. c f dθ θ du + ( H + ) = dx U dx d [ U θ H 1] = UF ( H 1) dx * δ δ H1 = θ H = G( H) 1 F =.36( H 3) if H < G = H ( 1.1) 3.3 if H > 1.6 G = H + c f (.6778) 3.3 =.46 1 Re.678H.68 θ Uθ (Re θ = ) ν 여기서 Head s method를풀기위해서는초기값이주어져야하는데, shape factor의초기값은 Thwaites method에서구한처음값을이용하여계산하였다. 1535

한국산학기술학회논문지제 14 권제 4 호, 13.3 Results.3.1 Comparing with at potential flow Fig. 4는 potential flow 에서의 airfoil주변에서의각 chord length에따른속도분포를보여주고있다.

6은속도분포를보여준다. 또한 Fig. 6는 chord length에따른속도를보여준다. Fig. 7은 Joukowski airfoil 과 NACA-1 airfoil에서의압력계수를 chord length에따라압력계수값을비교하는그래프이다. Joukowski airfoil 주변에서의 와 NACA-1 airfoil에서의압력계수는큰차이를보이지않고있다.

lc까지는감소하는추세는 Matlab으로계산된 Joukowski airfoil과 CFD 값이비슷하나, x =.c 이후로는 Joukowski airfoil이압력계수가더크게나타나는것을볼수있다. 이렇게차이가나타나는원인은 Fig. 8에서보는바와같이 Joukowski airfoil 과 NACA-1 airfoil이완벽하게같은형상을나타내지않지때문이다.

4 한국산학기술학회논문지제 14 권제 4 호, 13.3 Results.3.1 Comparing with at potential flow Fig. 4는 potential flow 에서의 airfoil주변에서의각 chord length에따른속도분포를보여주고있다. 속도분포를보게되면 stagnation point인 leading edge 에서는속도가거의 이되고, airfoil의표면을따라.1c가되는지점까지는속도가빠르게흐르게된다. 그렇게되면 Bernoull s equation에따르면속도가빠른영역에서는상 대적으로압력값이낮게나타나게된다. Fig. 5는 NACA-1 airfoil 주변에서의압력분포를나타내는것이고, Fig. 6은속도분포를보여준다. 또한 Fig. 6는 chord length에따른속도를보여준다. Fig. 7은 Joukowski airfoil 과 NACA-1 airfoil에서의압력계수를 chord length에따라압력계수값을비교하는그래프이다. Joukowski airfoil 주변에서의 와 NACA-1 airfoil에서의압력계수는큰차이를보이지않고있다. Stagnation point 인 leading edge에서는압력계수가가장크게나타나고, 속도가빨라지는 x =.1c까지는압력계수가작아지게된다. 하지만그이후로는다시압력계수값이점점증가하는분포를보이게된다. [Fig. 6] Velocity distribution around NACA-1 airfoil 하지만 x =.lc까지는감소하는추세는 Matlab으로계산된 Joukowski airfoil과 CFD 값이비슷하나, x =.c 이후로는 Joukowski airfoil이압력계수가더크게나타나는것을볼수있다. 이렇게차이가나타나는원인은 Fig. 8에서보는바와같이 Joukowski airfoil 과 NACA-1 airfoil이완벽하게같은형상을나타내지않지때문이다. Joukowski airfoil과 NACA-1 airfoil은 x =.1c까지는비슷한형상을하고있지만 x =.c 이후에는 t가작아지는것을알수있다. 따라서위의결과를바탕으로 t가작을수록압력계수값은크게증가하는것을알수있다..3. Thwaites' method 를이용한 CFD분석 Thwaites method를통해층류점성유동에서의경계층특성을 Joukowski transformation의결과와 CFD 값을비교해보았다. Thwaites method는층류의경우경계층두께를예측하기위한식으로 이다. Fig.9는 Thwaites method로구한 boundary layer, 배제두께및모멘텀두께를각각 Joukowski transformation 및 CFD를통 [Fig. 4] Velocity magnitude along the airfoil 해비교한그래프이다. 1 Cp-potential Cp-CFD.5 Cp [Fig. 5] Pressure distribution around NACA-1 airfoil chord length [Fig. 7] Comparing with (Blue:Joukowski, Red: CFD) 1536

5 y [Fig. 8] Shape of airfoil Airfoil Momentum Displacement Boundary Boundary-CFD Displacement-CFD Momentum-CFD 경계층두께의경우에는 CFD로계산한값이 Joukowski transformation에의한값보다두껍게나타나는결과를보이고있으나배제두께및모멘텀두께의경우에는작게나타난다. 하지만속도 profile에서비교를하게되면크게차이가나지않는것을알수있다. 속도 profile의경우 x =.8c 이후부터 separation이발생하는것을알수있으며, 이것은일반적으로알려진층류에서의 airfoil의 separation현상과잘일치함을알수있다. Fig. 1의경우는 NACA-1 airfoil 주변에서의속도분포를보여주고있는것이며, Fig. 11의경우는각각의지점에서의속도벡터값을보여준다. 속도분포의경우 airfoil의 surface에서는거의 에가까운분포를보이고, boundary layer 밖에는 freestream 에가까운속도분포를보이고있다. 이론적으로보게되면층류점성유동에서의 경계층두께, 배제두께, 모.1 멘텀두께 의특성을따라가게되며 chord length [Fig. 9] Boundary thickness on the airfoil ( ) [Fig. 1] Velocity distribution around NACA-1 airfoil [Fig. 11] Velocity vectors around NACA-1 airfoil (Blasius solution), shape factor는대략적으로.3으로, 수치해석으로계산한 shape factor(.3) 와일치함을볼수있다..3.3 Head's method 를이용한 CFD분석 Head method를통해난류점성유동에서의경계층특성을 Joukowski transformation의결과와 CFD 값을비교해보았다. Fig. 1는난류점성유동에서의속도분포및 boundary layer, 배제두께, 모멘텀두께를비교한그래프이다. 여기서사용된 이고해당하는 freestream velocity는 1m/s이다. Joukowski transformation과 CFD의계산된 boundary layer thickness의양상이비슷하게나타나는것을확인할수있다. 일반적으로난류경계층의두께는층류경계층의두께보다크게나타난다. 따라서 Fig. 9와비교하여볼때 Head s method로구한난류경계층의두께는층류의것보다크다는것을확인할수있다. 위의그림에서보게되면 boundary layer의두께가다소차이가나는것을볼수있는데, 그원인은 Head s method는 1958년에 Head에의해만들어진 approximation에의한계산법이기때문에최근의 CFD 프로그램으로해석된유동과는차이가있을수있다. 그리고속도 profile을보게되면경계층안에서속도는층류에서의속도 profile과비교하여보았을때증가하는기울기가작다는것을알수있는데이는 shape factor에서난류의 H가층류의 H보다크다는것을알수있다. Fig. 13 의경우는 NACA-1 airfoil 주변에서의속도분포를 1537

y 한국산학기술학회논문지제 14 권제 4 호, 13 보여주고있는것이며, Fig. 14의경우는각각의지점에서의속도벡터값을보여준다. 속도분포의경우 airfoil의 surface에서는거의 freestream과같은방향으로흐르는것을알수있으며, 외부로부터의 entrainment energy가크게작용하여 separation이나타나지않고흐르는것을관찰할수있다..5..15.

13] Velocity distribution around NACA-1 airfoil method를이용하여 airfoil 주변에서의유체흐름의특성을분석해보았다. 또한이결과값을상용프로그램인 Fluent 6.을이용한 CFD 값과비교를하였다. Potential flow의경우에는 chord length 에따른압력계수 값을비교해보았다.

6 y 한국산학기술학회논문지제 14 권제 4 호, 13 보여주고있는것이며, Fig. 14의경우는각각의지점에서의속도벡터값을보여준다. 속도분포의경우 airfoil의 surface에서는거의 freestream과같은방향으로흐르는것을알수있으며, 외부로부터의 entrainment energy가크게작용하여 separation이나타나지않고흐르는것을관찰할수있다 chord length Airfoil Boundary Boundary-CFD Displacement-CFD Momentum-CFD [Fig. 1] Boundary thickness on the airfoil( ) [Fig. 13] Velocity distribution around NACA-1 airfoil method를이용하여 airfoil 주변에서의유체흐름의특성을분석해보았다. 또한이결과값을상용프로그램인 Fluent 6.을이용한 CFD 값과비교를하였다. Potential flow의경우에는 chord length 에따른압력계수 값을비교해보았다. 결과에서보듯이 leading edge 에서는속도가거의 에가까운값을가지므로압력이가장크게나타나게된다. 하지만 x =.c 까지는속도가빨라짐에따라 Bernoulli s equation에의해압력값이급격하게작아지는것을보았다. 또한 x =.c 이후에는속도가점점느려지게되어압력계수는다시증가하는현상을보이게된다. 하지만 CFD와 potential flow의이론에의한압력계수분포는 x =.c이후에는약간의차이를보이게된다. 이는 Joukowski airfoil 과 NACA-1 airfoil 의형상이완벽하게같지않기때문에발생하는현상이다. 다음으로 Thwaites method를이용하여층류점성유동에서의경계층특성을 CFD 값과비교해보았다. 그결과 CFD를통해계산된 boundary layer thickness, 배제두께및모멘텀두께값및속도 profile의경우 Thwaites method를통해예측된값과대략적으로비슷한분포를보이는것을확인할수있다. 마지막으로 Head s method를통해난류점성유동에서의경계층특성을 CFD 값과비교해보았다. 그결과 CFD를통해계산된 boundary layer thickness 값은 Head s method를통해예측된값과대략적으로경향은비슷하나값에서는다소차이가나타나는것을확인할수있었는데그이유는앞에서설명한바와같이 Head s method의경우는 approximation에의해계산된값이기때문이다. 지금까지의연구를통해비점성유동과점성유동에대한층류및난류에서의유동특성에대해기존의이론과계산값이일치함을알수있고, 이를통해차후날개주위의유동장을분석할수있다. References [Fig. 14] Velocity vectors around NACA-1 airfoil 3. 결론 지금까지 potential flow, Thwaites method 및 Head [1] I Currie, I.G., 1993, Fundamental Mechanics of Fluids, Second Edition, McGraw-Hill, International Editions, pp [] White, F.M, 6, Viscous Fluid Flow, Third Edition, McGraw-Hill, International Editions, pp [3] Thwaites, B., 1947, On the Momentum Equation in Laminar Boundary Layer Flow, Reports and Memoranda, No [4] Head, M.R., 1958, Entrainment in the Turbulent Boundary Layer, Reports and Memoranda No [5] Barlow, J. B., Rae,W. H. JR. and Pope, A. (1999), 1538

Low-speed Wind Tunnel Testing. 3rd ed. 88, 353-358, NewYork: Wiley. [6] Selig, M. S. and McGranahan, B. D. (3). Wind tunnel aerodynamic tests of six airfoils for use on small wind turbines. Report.

org/1.117/s1185314 [8] Selig, M. S. and Donovan, J. F., and Fraser, D. B. (1989). Airfoils at low speeds, Stokely, Virginia Beach, VA. [9] McCullough, G. B. and Gault, D. E. (1951).

7 Low-speed Wind Tunnel Testing. 3rd ed. 88, , NewYork: Wiley. [6] Selig, M. S. and McGranahan, B. D. (3). Wind tunnel aerodynamic tests of six airfoils for use on small wind turbines. Report. NREL / SR [7] Taira, K. and Colonius, T. (9). Three-dimensional flows around low-aspect-ratio flat-plate wings at low Reynolds numbers. J. Fluids Mech. Vol. 63, DOI: [8] Selig, M. S. and Donovan, J. F., and Fraser, D. B. (1989). Airfoils at low speeds, Stokely, Virginia Beach, VA. [9] McCullough, G. B. and Gault, D. E. (1951). Examples of three representative types of airfoil-section stall at low speed. NACA TN-5. 이장형 (Janghyeong Lee) [ 정회원 ] 8 년 3 월 : 육군사관학교기계공학학사 1 년 월 : KAIST 산업및시스템공학 ( 석사 ) 1 년 3 월 ~ 현재 : 육군사관학교무기기계공학과강사 < 관심분야 > 산업공학, 시스템공학, Simulation Modeling 제두호 (Du-ho Je) [ 정회원 ] 8 년 3 월 : 육군사관학교기계공학학사 1 년 월 : 서울대학교기계항공공학과 ( 석사 ) 1 년 3 월 ~ 현재 : 육군사관학교무기기계공학과기계공학강사 < 관심분야 > 유체역학, 항공역학, Simulation Modeling 황은성 (Eun-Seong Hwang) [ 정회원 ] 1 년 3 월 : 육군사관학교졸업 년 월 : 고려대학교산업경영공학과 ( 공학석사 ) 13 년 월 ~ 현재 : 광운대학교방위사업학과 ( 박사과정 ) 1 년 9 월 ~ 현재 : 육군사관학교무기기계공학과강사 < 관심분야 > Simulation Modeling, System synamics, MCDM, 유체역학 1539

2. 수치시뮤레이션 2.1 기본방정식과수치조건 기본방정식은 Navier-Stokes 방정식이며 FEM 수치기법으로이산화하여구조격자를만들어계산을수행하였다. k- 을사용한수송방정식은 t (ρε)+ (ρεu x i )= i x j [( μ+ μ t σ ε ) ε + C 1ε

2. 수치시뮤레이션 2.1 기본방정식과수치조건 기본방정식은 Navier-Stokes 방정식이며 FEM 수치기법으로이산화하여구조격자를만들어계산을수행하였다. k- 을사용한수송방정식은 t (ρε)+ (ρεu x i )= i x j [( μ+ μ t σ ε ) ε + C 1ε 2005 년도한국해양과학기술협의회공동학술대회 장애물이있는관유동의수치모사와난류모형적용 Numerical Simulation of Pipe Flow with an Obstacle and the Application of Turbulent Models 곽승현한라대학교컴퓨터응용설계학과 SEUNG-HYUN KWAG Department of Computer Aided