k < spark(a) 2, then x 0 is unique solution of problem (1). Conversely, if k spark(a) 2, then (1) does not have x 0 as its unique solution. Since deco

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1 수학계의 최근동향 Compressive Sensing and Application 강명주, 강명민 (서울대학교) 1. Compressive Sensing Consider a one-dimensional, finite-length signal x C N. We will vectorize a twodimensional image or higher-dimensional data into a long one-dimensional vectors. Many real-world signals can be well-approximated by sparse or compressible under a suitable basis. Let Ψ = [ψ 1 ψ 2 ψ N ] be an orthonormal basis. Then signal x can be expressed as N x = x, ψ n ψ n. We say that x is k-sparse n=1 under Ψ if {f n = x, ψ n } n=1,...,n has only k- nonzero coefficients, and that f is compressible if { x, ψ n } n=1,...,n has a few large coefficients. Compressive sensing is that a sparse signal can be recovered from what was previously believed to be incomplete information. Consider Φ = [ϕ 1 ϕ 2 ϕ N ] C M N for some M < N. Then, we can obtains b = Φx = ΦΨf = Af where A = ΦΨ. The measurements Φ is fixed and dose not depend on the signal x and then A is selected independent of f. A is referred to as the encoder and obviously encoder is linear. In encoder, we need to design a good sensing matrix A. Decoder is the attempted recovery of f from its sensing matrix A and b. We define f 0 := suppf for signal f. The quantity 0 is often called l 0 -norm although it is actually not a norm. With a sparsity prior, a natural decoder is to search for the sparsest vector that b = Af 0 : (1) min f 0 subject to b = Af. We need to check that if the problem (1) has a solution, the solution is unique. For given matrix A, spark(a) is the smallest number of columns that are linearly dependent. Using this concept, we get a condition of uniqueness. Let x 0 be a k-sparse N-dimensional vector, let A be a matrix of M N, and let y = Ax 0. If 2 대한수학회소식 제 138호

2 k < spark(a) 2, then x 0 is unique solution of problem (1). Conversely, if k spark(a) 2, then (1) does not have x 0 as its unique solution. Since decoder is well-defined for small k, we need an efficient reconstruction algorithm. Unfortunately, the problem (1) is combinatorial problem and NP-hard in general. Essentially two approaches have mainly been pursued: greedy algorithm and convex relaxation. We will introduce greedy algorithms and convex relaxation for solving (1). 2. Greedy Algorithm A greedy algorithm computes the support of signal iteratively, at each step finding one or more new elements and subtracting their contribution from the measurement vector. Examples include Matching pursuit(mp), Orthogonal Matching pursuit(omp), stagewise OMP, regularized OMP, weak OMP. We introduce MP and OMP here. In 1993 s, matching pursuit is proposed by S. Mallat and Z. Zhang [16]. Matching Pursuit is an algorithm that decomposes any signal into a linear expansion of atoms that are selected from a redundant dictionary. Let a i be i-th column of A and x i be i-th component of x. Assume that a i 2 = 1 for all i. Equation Ax = b is equivalent to b = x 1 a 1 + +x N a N. We want to compute a linear expansion of b over a set {a i : i = 1, 2,..., N} and their coefficients are sparse. The idea of matching pursuit is choosing column of A, in order to best match its inner product structures. For signal f, f can be decomposed to f = f, a i a i + Rf, where Rf is the residual vector. Clearly, a i is orthogonal to Rf. So, f 2 2 = f, a i 2 + Rf 2 2 by Pythagoras theorem. We have to choose a i such that f, a i is maximum in order to minimize Rf. Using this idea, we iteratively choose the column of A that has highest absolute inner product with current residual vector r i = b Ax i and inner product of selected column a j is added to coefficient x j. Orthogonal matching pursuit [5, 19] is an improve matching pursuit by orthogonalizing the direct projection with a Gram-Schmidt procedure. OMP algorithm iteratively selects the column of A in the same way like MP. The difference is that b (not r i ) is matched by orthogonal projection with columns of A selected in this step and in previous steps. Let Λ k be columns of A chosen until k steps. Orthogonal projection of b with Λ k is A Λk (A Λ k A Λk ) 1 A Λ k b and x k is (A Λ k A Λk ) 1 A Λ k b, where A Λk is the column sub-matrix of A corresponding to Λ k. Clearly, r k+1 is orthogonal to Λ k. Thus, the resulting orthogonal marching pursuit converges with a finite number of iterations less than rank A. In 2003 s, it was proved that assuming that 1 x 0 < 0.5(1 + spark(a) ), OMP (and MP) are guaranteed to find the sparsest solution in [7]. In 2007 s, J. Tropp and A. Gilbert proved in [8] that assuming that A is Gaussian, for δ (0, 0.36) and M Ck ln(n/δ), OMP can reconstruct the sparse signal with probability exceeding 1 2δ. Similar result holds when A is Bernoulli and M Ck 2 ln(n/δ). MP and OMP are fast and easy to implement. But they don t work when there are 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 3

3 noisy measurements. They work for Gaussian and Bernoulli measurement matrices but it is not known whether they succeed in the important class of partial Fourier measurement matrices. 3. l 1 relaxation The l 1 minimization approach considers the solution of (2) min f 1 subject to b = Af. This is a convex optimization problem and can be seen as a convex relaxation of (1). In the real-valued case, (2) is casted by a linear program and in the complex-valued case, it is casted by a second order cone program. Of course, we hope that the solution of (2) coincides with the solution of (1). Here, we provide an intuitive explanation to expect that the use of (2) will indeed promote sparsity. Suppose dimension of signal f is 2 and dimension of measurement vector b is 1. Except for situations where ker A is parallel to one of faces of the poly type {x : x 1 = 1}, there is a unique solution of (2), which is sparse solution. Of course, for p < 1, when the regularizer of (1) is changed by f p, there is also a unique sparse solution. Since p is neither norm nor convex for p < 1, that problem is hard to solve. Figure 1 The use of l 1 minimization appears already in the Ph. D. thesis of B. Logan in connection with sparse frequency estimation, where he observed that l 1 minimization may recover exactly a frequency sparse signal from undersampled data provided the sparsity is small. Donoho and B. Logan provide the earliest theoretical work on sparse recovery using l 1 minimization. It is found in 1990 s that the idea to recover sparse Fourier spectra from undersampled non-equispace samples. In statics, use of l 1 minimization and related methods was popularized with the work(lasso) of Tibshirani. In image processing, the use of total variation minimization, which is connected to l 1 minimization, appears in the work of Rudin, Osher, Fatemi. Many people provided the condition to recover sparse solution by l 1 minimization adopting various contents. D. Donoho and X. Hou provided that condition using the content mutual coherence. Mutual coherence of A assuming that the columns of A are normalized is given by µ(a) = max a i, a j, 1 i<j n where a i is i-th column of A. They proved in [1] that assuming that f R n is k sparse vector such that Af = b and k < 1 2 (1 + 1 µ(a) ), then f is the unique solution of (2). We present analysis of l 1 minimization adopting the concept null space property. A matrix A is said to satisfy the null space property(nsp) of order k with γ (0, 1) if η T 1 γ η T c 1 for all set T {1, 2,..., N} with cardinality of T k, and for all η ker A. The following sparse recovery result of l 1 minimization is based on this concept. 4 대한수학회소식 제 138호

4 Let A C M N be a matrix and f C N and b = Af, f be a k-sparse solution of (1). A satisfies the null space property of order k if and only if f is the unique solution of (2). The NSP is actually equivalent to sparse recovery using l 1. This fact seems to have first appeared explicitly in [13]. The term null space property was coined by A. Cohen, W. Dahmen, and R. DeVore. But, the NSP is somewhat difficult to handle directly. In 2005 s, E. Candés and T. Tao proposed the concept restricted isometry property. The restricted isometry constant δ k of a matrix A is the smallest number satisfying (1 δ k ) z 2 2 Az 2 2 (1 + δ k ) z 2 2 for all k sparse vector z. A matrix A is said to satisfy the restricted isometry property(rip) of order k with constant δ k if δ k (0, 1). In contrast to the NSP, the RIP is not necessary condition for sparse recovery by l 1. Many people proposed a sufficient condition of exact sparse [4]. The k, k -restricted orthogonality constants θ k,k number such that of a matrix A defines the smallest Ax, Ay θ k,k x 2 y 2 holds for all k sparse vector x and k sparse vector y with disjoint supports. They gave the sufficient condition δ k + θ k,k + θ k,2k < 1 on the RIP. This condition was later improved to δ 1.5k + θ k,1.5k < 1 in [17]. Many people deal with RIP of Gaussian matrix, Bernoulli matrix and partial Fourier matrix. Gaussian matrix is that the entries of its are chosen as i.i.d.(independent and identically distributed) Gaussian random variables with expectation 0 and variance 1 M. Similarly, Bernoulli matrix is that the entry of its takes the value 1 M or 1 M with equal probability 1 2. Partial Fourier matrix is submatrix of discrete Fourier transform matrix consisting of random rows. R. Baraniuk, M. Davenport, R. DeVore, l 1 -recovery using the concept RIP. E. Candés, M. Rudelson, T. Tao and R. Vershynin first and M. Wakin proved that the following statement. Let A R M N be a Gaussian or Bernoulli note the following fact in [3]. Assume A satisfies the RIP of order 3k and order 4k with δ 3k + 3δ 4k < 2. Let f C N and b = Af, and f be a k-sparse solution of (1). Then, f is unique solution of (2). E. Candés provided in [2] that sparse recovery using l 1 is guaranteed as δ 2k < 2 1. The sufficient condition was improved to δ 2k < in [15]. In 2010, S. Foucart proved in [14] that every sparse vector can be recovered by l 1 if δ 2k < E. Candés and T. Tao also proposed a other sufficient condition on the RIP adopting the concept restricted orthogonality constants in matrix. For given 0 < δ < 1, there exist constants C, C 1 depending only on δ such that RIP δ k of A less than δ with probability exceeding 1 e C1m provided M Ck ln( N k ). Therefore, k sparse vector can be recovered using l 1 minimization for Gaussian or Bernoulli matrix with overwhelming probability if M Ck ln( N k ) for some universal constant C. E. Candés and T. Tao proposed that partial Fourier matrix satisfies the RIP of order 3k and order 4k with δ 3k + 3δ 4k < 2 with probability at least 1 n ct if M Ctk log 6 N for some t > 1. M. Rudelson and R. Vershynin improved that condition about M 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 5

5 is M Ctk ln N ln(ctk ln N)(ln k) 2 for some N, t > 1, k > 2. Thus, if matrix A is a partial Fourier matrix and M satisfies the preceeding condition, the problem (1) is equivalent to its convex relaxation (2) for all k-sparse signal with high probability. where W is an tight frame. Problem (3) is casted by unconstrained problem min u W u P ΛHu P Λ y 2 2. H. Ji, Z. Shen and Y. Xu get good results solving convex relaxation of this problem. Fig 2 is a result by H. Ji, Z. Shen and Y. Xu. 4. Application Compressive sensing can be used in all applications where the task is the reconstruction of a signal or an image from linear measurement. There should be reason to believe that the signal is sparse in a suitable basis. At first, we consider image restoration and image inpainting. We consider y = Hu + ϵ where y is observed image, u is original image, ϵ is noise, H is degrading operator (e.g. convolution with some kernel). The image restoration is the process to recover original image u using y and H. Image inpainting is the process of recover missing pixels of given image. For given image x, let Λ be the index set of all available data. Since data for the indices in Λ c isn t believed, we can only use data P Λ x for the indices in Λ, where P Λ, is called row selctor, is matrix which comprises a subset of the rows for the indices in Λ of an identity matrix. Mixing image restoration problem and image inpainting problem, we want to seek original image u using the data P Λ y = P Λ (Hu + ϵ). Actually, P Λ is M N matrix for some M < N. The sparsity prior of images in tight frame has been used in many image restoration and inpainting problem. Assume that ϵ is 0. We set the problem following. (3) min u W u 0 subject to P Λ Hu = P Λ y, Figure 2. (a) blurred image by out of focus kernel, (b) blurred and scratched image, (c) reconstructed image Second application is Magnetic Resonance Imaging(MRI). MRI is a medical imaging technique used in radiology to visualize detailed internal structures. In MRI, samples are collected directly in fourier frequency domain(k-space) of object. The scan time in MRI is proportional to the number of fourier coefficients. Using compressive sensing technique, we can reduce the number of samples and scan time. Real MR images are known to be sparse in discrete cosine transform(dct) and wavelet transform. We write this problem in the form, min f f 0 subject to RFW f = y, where F is Fourier transform matrix, R is random row selector, W is a DCT matrix or wavelet transform matrix, u = W f is reconstruction image. Several people have also observed that it is often useful to include Total Variation = x1 2 + x2 2. Using this facts, T. Goldstein and S. Osher solve the problem, (4) min u W u 1 + u subject to RFf = y, 6 대한수학회소식 제 138호

6 where W is a haar wavelet transform matrix. Fig 3 is a result solving the problem (4). [7] J. Tropp, Greed is Good: Algorithmic Results for Sparse Approximation, IEEE Trans. Inform. Theory 50, [8] J. Tropp and A. Gilbert, Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit, IEEE Trans. Inform. Theory 53, 2007 Figure 3. left: original image, middle: linear reconstruction using 30% of the k-space data, right: compressive sensing reconstruction using same data of middle Further applications include analog to digital conversion, single-pixel imaging, data compression, astronomical signal, geophysical data analysis and compressive Radar imaging. The point of compressive sensing is that even though the amount of data is very small, we can have most of the information contained in the object. Thus, compressive sensing has many potential applications in various fields. [참고문헌] [1] D. Donoho and X. Huo, Uncertainty principles and ideal atomic decomposition, IEEE Trans. Inform. Theory 47, [2] E. Candés, The restricted isometry property and its implications for compressive sensing, C. R. Acad. Sci. Paris S er. I Math. 346, [3] E. Candés, M. Rudelson, T. Tao, and R. Vershynin, Error Correction via Linear Programming, Proc. 46th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, IEEE, [4] E. Candés and T. Tao, Decoding by linear programing, IEEE Trans. Inform. Theory 51, [5] G. Davis, S. Mallat, and Z. Zhang, Adaptive Time- Frequency Decompositions, SPIE Journal of Optical Engineering 33, [6] H. Ji, Z. Shen, and Y. Xu, Wavelet frame based image restoration with missing/damaged pixels, East Asia Journal on Applied Mathematics 1, 2011 [9] M. Rudelson and R. Vershynin, On Sparse Reconstruction from Fourier and Gaussian Measurements, Comm. Pure Appl. Math. 61, [10] M. Lustig, D. Donoho, and J. Pauly, Sparse MRI : The application of compressed sensing for rapid MR imaging, Magn. Reson. Med. 58, [11] R. Baraniuk, Compressive sensing, IEEE Signal Processing Magazine 24, [12] R. Baraniuk, M. Davenport, R. DeVore, and M. Wakin, A Simple Proof of the Restricted Isometry Property for Random Matrices, Constr. Approx. 28, [13] R. Gribonval and M. Nielsen, Sparse representations in unions of bases, IEEE Trans. Inform. Theory 49, [14] S. Foucart A note on guaranteed sparse recovery via l 1 -minimization, Appl. Comput. Harmon. Anal. 29, [15] S. Foucart and M. Lai, Sparsest Solutions of Underdetermined Linear Systems via l q -minimization for 0 < q 1, Appl. Comput. Harmon. Anal. 26, [16] S. Mallat and Z. Zhang, Matching pursuits with timefrequency dictionaries, IEEE Trans. Signal Process, [17] T. Cai, G. Xu, and J. Zhang, On Recovery of Sparse Signals via l 1 Minimization, IEEE Trans. Inform. Theory 55, [18] T. Goldstein and S. Osher, The split Bregman method for L1-Regularized problems, SIAM J. Imaging. Sci. 2, [19] Y. Pati, R. Rezaiifar, and P. Krishnaprasad, Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition, in Proc. 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, A. Singh, ed., Los Alamitos, CA, USA, IEEE Computer Society Press, 1993 [20] M. Davenport, M. Duarte, Y. Eldar, and G. Kutyniok, Introduction to Compressed Sensing, Chapter in Compressed Sensing: Theory and Applications, Cambridge University Press, [21] M. Fornasier and H. Rauhut, Compressive sensing, Chapter in Part 2 of the Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer, 년 7월호 The Newsletter of the KMS 7

7 원로수학자 와의 대화 소중한 만남 김용운 교수님 김성숙 (배재대학교) 지난 4월 29일(금), 수학문화연구소를 방문하 여 김용운 교수님과 이야기를 나누었다. 인터 뷰에 응해주신 김용운 교수님께 감사드린다. 교수님, 바쁘신데도 인터뷰에 흔쾌히 응해주셔서 감사 드립니다. 영광입니다. 교수님, 재작년에 일본 에서 상을 받으셨다고 들었는데요, 축하드립니다. 그 상이 어떤 상이였는지 말 씀해주시겠습니까? 그 상은 수학하고는 직접적인 관계는 없어요. 내가 한일수학사를 비교했지요. 일본 와산( 和 算 )이 라는 것은 일본 전통수학으로 임진왜란 때 우리나 라로 부터 빼앗아 간 산서( 算 書 )가 기본인데, 일본 은 이것을 고유한 방법으로 발전시켰어요. 일본 사람들은 미적분까지 발전시켰다고 하지만, 내가 볼 때는 그것까지는 아니고, 일본 나름대로의 수학을 기호대수, 무한급수까지 발전시켰지요. 한 국과 일본의 수학을 비교하여 한 일간의 차이를 중심으로 연구한 책이 있어요. 그 책들을 일본말 로도 내고. 그런 것들이 기본이 되어서 한일문 화비교로 일본 천황이 준 문화상을 받았지요. 대단한 상을 받으셨네요. 한국에서는 교수님께서 최초로 한국 수학사에 애정을 가지고 한국 수학사학회를 창설 하셔서 수학사에 많은 기여를 하셨지요. 그래서 교수님 께서 한국수학사에 대해서 말씀하시고 싶은 것이 많이 있을 것 같아요. 많이 있죠. 처음 내가 수학공부하면서 수학은 이성적이고, 합리적인 사고를 하는, 어느 민족에게 도 공통적인 학문이라고만 믿었습니다. 그래서 한 국 수학이 따로 있을 수 없다고 생각했는데, 우리 나라 수학이 일본에 가서 전혀 달라진 것을 보고 이상하다는 생각을 했습니다. 왜 달라지는 것인가 라는 문제의식을 갖게 되었지요. 그래서 달라지는 이유, 즉 민족적인 가치관이 무엇인가를 파고들었 8 대한수학회소식 제 138호

8 지요. 말하자면 수학은 동양수학도 있고 희랍(그 리스)수학도 있지요. 논리, 즉 3단 논법, 연역법, 귀납법 등 여러 가지 증명법이 있지만 그것은 하 나의 수단으로서 공통될 뿐이고, 처음에 문제를 선택해서 발전시킨 방향에는 민족마다 고유의 방 법이 있다는 거지요. 주변의 수학자를 보면 저마 다 하나의 문제의식을 가지고 본인의 가치관으로 연구하지요. 그런데 그 가치관이 일본 사람과 한국 사람이 다르다는 것을 느껴서 큰 충격을 받았지요. 그것은 비단 수학뿐만 아니라 언어에도 나타나 지요. 일본어와 한국어는 똑같이 이두를 사용했습 니다. 한자의 음과 훈을 빌려 한국어를 적던 이두 를 한국과 일본이 공통으로 사용하였습니다. 그러 나 일본사람들은 가나 로 만들고, 한국 사람은 한글 을 만들었습니다. 같은 이두를 왜 한국 사람 은 한글을 만들고 일본 사람은 가나를 만들었는 가? 그 이유는 사고방식과 가치관에 차이가 있었 지요. 내가 흥미를 가진 것은 바로 그 분야예요. 그러니까 수학을 하는 사람이 그냥 수학만 한다면 거짓말이지요. 깊이 살펴보면 자기 취향대로 가는 것이지요. 김 교수도 아마 그럴 거예요. 여러 논문 을 보다가 그중에 내가 어떤 문제를 풀 수 있을 것 같으면 그 분야에 흥미를 느끼게 되지요? 그것 은 그 사람의 취향이라고는 하지만 거기엔 본인의 가치관이 반영되지요. 가령 기독교인이 보는 무 한 과 동양인인 우리들이 생각하는 무한 은 전혀 다르지요. 사막처럼 아무것도 없는 곳에서 신을 생각하는 것과, 우리나라처럼 아기자기한 자연 속 에서 신을 생각하는 것은, 신이란 말은 똑같지만 느끼는 내용은 달라요. 나는 그 점에 큰 흥미를 가졌어요. 한국수학은 왕조의 관료체제에서 생겼고, 조선 시대의 가치관이 주자학 이라는 올가미에 완전히 매여 있었거든요. 한국 사람이 그 올가미 속에서, 주자학적인 가치관의 틀 안에서 수학의 논리를 발전시키는 것과 일본 사람이 그런 사상적 제약 없이 취미로 재미있게 발전시킨 것은 당연히 다르 지요. 일본 사람들에게는 산목으로 한 방정식을 기호대수로 넘어가는 방법이라던가, 산학 시합을 하는 방법이 재미있게 느껴졌겠지요. 이와 같이 그 국민 고유의 가치관이 수학발전에 반영된다라 는 것을 알고 그 성과를 비교연구 하니까 연구할 것이 한도 끝도 없이 생겼어요. 그 이후부터 틈 있는 대로 일본과 한국의 수학의 차이, 수학뿐만 아니라 여러 가지 문화 장르의 차이를 내 딴에는 전문적으로 많이 연구를 했지요. 결론은 수학을 베이스로 수학적인 사고로 비교를 해보고, 수학사 도 세계 수학사의 틀 속에서 전체 수학의 발전 방향을 하나로 보지 않고 여러 가지로 관찰할 수 있습니다. 저마다 문명권의 고유 성격을 찾는데 중요한 의미가 있습니다. 교수님 덕분에 수학사학회가 창립이 되서 지금까지 상 당히 역사가 흘렀지요. 그건 참 좋은 일이지요. 그런데 솔직히 얘기하 면 내가 수학사학회를 창립했다하는 거창한 말을 들었는데, 사실은 시기적으로 나밖에 할 수가 없었 고, 아마 내 또래에서는 흥미를 가진 사람이 거의 없었습니다. 그 후에 반드시 누군가 그 일을 계속 할 것이라 믿었습니다. 그 때 내 나이가 40대 중반 이었는데, 그 나이가 되면 대부분 수학자는 수학 연구에 한계를 느낍니다. 누구든지 40대 중반이 되면 젊은 때만 못하거든요. 20대 초반의 예민했 던 러셀(Bertrand Russell)은 수리철학, 기초론을 개척하여 역사에 남은 수학자 중에 한 사람인데, 그 사람은 여러 가지 인생에 대한 고민과 종교문 제 때문에 자살하려고 했어요. 결국 그 사람은 무 신론자가 되었지만, 그 자살을 하려고 했던 마음 이 수학 때문에 죽을 수가 없다고 했어요. 인생이 무의미해도 수학 하나만 있으면 인생의 끝을 내기 엔 아까운거라 생각한 것입니다. 그런데 그 러셀이 나이 서른이 넘으니까 수학을 못하겠다고 했어요. 32세 였던가. 내가 마흔 중반에 느꼈던 것과는 10년 이상 차이는 있어요. 젊은 후배들이 하는 수 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 9

9 학을 같이 따라 갈 수는 없었지요. 또한 우리가 공부할 때는 외국논문도 구하기가 힘들었고 새로 운 연구동향도 알기 힘든 시절이었습니다. 요즘은 모든 혜택을 얻을 수 있고, 정보가 없어 공부 못 하는 사람은 없지요? 무슨 논문도 인터넷으로도 검색이 가능하고요. 어떤 면에서는 그만큼 경쟁이 심하다는 데에서는 불행하지만은. 그런데 수학회 에 가서 젊은 사람들 발표하는 것을 보면, 나보다 훌륭한 수학자여서 인지 몰라도 대부분의 내용을 알아들을 수가 없었어요. 발표자는 청중이 알아듣 지 못하는 수학을 한다는 것에 오히려 나는 이렇게 어려운 것을 연구한다고 은근히 자부심을 가지는 것처럼 보였습니다. 그런 분위기에 회의를 느꼈지 요. 나는 철학적으로 수학 문제를 생각해야 되겠 다고 생각했습니다. 그것이 수학사학회를 만든 계 기인데, 처음에는 오해를 많이 받았어요. 수학자는 모름지기 순수 수학을 해야 수학자지, 저 사람은 수학은 안하고, 외도를 한다는 말도 있었어요. 그래도 진실은 나중에 밝혀지게 되어 있죠. 한국의 지적전통인 주자학적 사고에 그런 경향 이 있는데, 대부분 사람은 수학자가 순수수학만 하는 것, 즉 학부부터 박사까지 수학 한 분야만 공부하는 것이 좋다고 생각해요. 하지만 오히려 러셀처럼 수학에서 철학으로 갔다가 다시 수학으 로 와서 여러 분야를 폭 넓게 공부하는 것도 좋다 고 생각해요. 그 사람은 노벨문학상을 받았습니다. 나는 지금도 그 때 수학사를 공부했던 것이 좋은 선택이었다고 생각해요. 그럼요. 곧 ICM을 한국에서 개최할 시점에서 생각해 볼 때, 만약 그때 수학사학회를 시작을 안 하셨다면, 한국 수학사는 묻혀서 우리나라는 수학이 없는 나라로 알려질 뻔했죠. 수학사를 하게 된 직접적인 동기는 미국에서 연 락이 왔었어요. 미국 수학사학회지라는 것이 있잖 아요? 거기서 연락이 와서 조선수학사에 대해서 써달라는 거예요. 별수 없이 그간의 연구를 정리 해, 수학사를 시작하게 되었지요. 지금 교수들이 수학사학회지에 좋은 논문을 써서 기여하면 교수 업적으로 많이 점수를 쳐줘야한다고 생각해요. 그럼요. 이젠 우리 수학사를 열심히 연구하여 발굴해야 되겠죠. 교수님은 학부를 한국에서 나오시지 않았고, 태어나신 곳도 한국이 아니시죠? 예. 그 점에서 나는 특이해요. 아까 일본 얘기 도 했지만은, 나는 일본 동경에서 태어났고, 대학 2학년까지 거기서 지냈어요. 한국에 올 때는 부끄 럽지만 한국말을 잘 못했지요. 이런 얘기를 하면 좀 이상하지만 전라남도 나주가 내 고향입니다. 당시 전남에 중학교는 광주서중, 목포중, 순천중, 3개 밖에 없었지요. 인구가 몇 만이나 되는 우리 면에서 중학교를 제대로 나온 사람이 하나 둘 밖 에 없는 그런 시대였으니까. 해방 직후에는 인재 들이 많이 부족했지요. 중학교는 많이 만들어놨으 나 중학교 선생을 할 사람이 없었지요. 그래서 고 향인 나주에서 중학교 수학선생으로 수학을 시작 했지요. 그 후에 광주일고에서 수학선생을 했지요. 광주일고에서 저번에 국회의장하던 임채정, 현재 대법원장인 이영훈, 그들의 담임도 하고, 같이 산 에도 가고, 한 번도 우승하지 못한 야구부장이었 습니다. 내가 가르친 사람 중에서 우수한 학자도 있어요. 광주과학기술원 전 원장 나정웅, 그 사람 이 연속 전자파 지하 레이더를 발명해서 땅굴을 찾았지요. 그 사람이 서울공대 나와서 취직을 한 다는 것을 내가 미국 가서 공부해라 하면서 대학 을 소개해 주고 했지요. 그런 애들이 몇이 더 있 어요. 지금 생각해 보면 내가 고등학교 선생을 했 다는 것이 참 좋은 것 같고, 나는 다시 태어나도 또 선생하고 싶어요. 무척 보람이 있으셨겠어요. 그때는 대학에 수학 학부가 별로 없었지요? 학부가 없었던 게 아니라 해방 전에 우리나라에 10 대한수학회소식 제 138호

10 4년제 수학과는 없었으니까. 그러면 교수님께서는 광주일고에서 교사를 하시다가 몇 년도쯤에 미국으로 가셨나요? 처음 간 것은 59년이고, 2년 만에 석사하고 돌 아와 조선대학에 있다가 전북대학으로 갔지요. 다 시 캐나다에서 박사하고, 대학에 조교수로 있는 동안 한양대학에서 초청받아 69년 말에 왔어요. 95년까지 26년 동안 근무했지요. 상당히 오래 계셨네요. 교수님께서 교직에 오랫동안 계시면서 가장 인상에 남는 제자라면 어떤 제자가 있을까요? 특별히 수학을 전공한 제자 중에서요. 석사도 좋고, 박사도 좋고, 학사도 좋고. 인상에 남는 제자들이 있었는데, 그 제자들이 수학을 안 해버리고 다른 분야에서 우수성을 발휘 하더라고요. 물론 내 실력이 부족해서 그 제자들 을 길러서 대학자로 만들 정도는 안 된 것이 안타 까웠으나 두 사람 모두 충분히 수학을 할 수 있는 사람이라 생각했는데, 의외로 수학을 하려고 하지 않고 그 머리를 딴 데 쓰더라고요. 말하자면 암호 학이라든지, 계산기라든지, 순수 수학 아닌, 그 쪽으로 빠져버리더라고요. 그쪽이 더 재미있으셨나보죠. 교수님께서는 고등학교에서 대학교 가실 때 수학을 전공하게 된 동기가 있으세요? 있어요. 여러 가지. 일본에서 대학을 중퇴하 고 한국에 올 때, 그때 내 실력으론 미적분을 제 대로 풀 수 있었을까? 그랬는데, 중학교 교사자격 시험이 있었어요. 독학을 해서 시험을 보았는데, 수학이 재미있기도 했지만 가장 독학하기 쉬웠지요. 공대를 나오셨군요. 원래 수학전공은 아니셨군요. 한국에 오셔서 교사시험을 보시려고 하니까, 수학이 제일 쉬우 니까. 그래서 수학과 인연을 맺게 되셨군요. 독학이 가능했기에 그렇습니다. 해방 직후에는 한국에 수학 선생이 별로 없었어요. 대학에도 수 학 선생이 없었지요. 지금은 1년에 수학과 나온 사람들이 몇 천 명씩 되지만. 그 때도 물론 머리 좋은 사람들은 스스로 수학을 많이 공부 했겠지 만, 아마 그 당시 그분들이 한 수학이라는 건, 함 수를 넘지 않았을 거예요. 더군다나 현대수학이라 는 것이 무엇인지 모르고 있던 시대이니까. 그렇죠. 논문도 별로 없었던 시절이니까요. 논문이 문제가 아니라 책조차 제대로 없었고. 지금 생각해봐도 50, 100년 전의 미국의 수학 수 준이라는 것도 지금 우리가 보면 훨씬 낮은 거 아 닙니까? 그러니 해방 당시의 한국의 수학은 말할 것도 없지요. 그래도 수학적인 머리가 있으셨으니까 그렇게 하실 수 있으셨던 거죠. 아무나 그렇게 할 수 있진 않죠. 그것은 머리가 아니라 흥미가 있었죠. 흥미가 없으면 안 되지요. 머리는 어떤지 모르지만은 수학 이 재미가 있었어요. 교수님께서는 다른 분들 보다 늦게 은퇴를 하셨죠? 나는 한양대학을 65세에 그만 두고 석좌교수를 네 군데에서 했어요. 부산동명정보대학교, 일본 문 화연구소 객원교수, 히로시마대학, 마지막은 단국 대학교에서 계속해왔습니다. 그럼 일본에서도 수학을 전공하신건가요? 아니요, 나는 공대생이었어요. 공대 수학만 좀 했지요. 교수님께서는 은퇴하시고 나서도 계속 연구하시고, 굉장 히 활발히 활동하시는데요. 그것은 내가 수학사와 언어학 다른 분야에 많이 관심을 가지고 있었기 때문이지요. 그러니까 내가 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 11

11 했던 것은 철학, 수학사, 비교문화론이고, 또 한일 문화비교라는 독특한 장르였지요. 그 주제로 일본 어로 책을 많이 썼어요. 한국어로도 썼지만. 최근 에 쓴 것은 고대의 한국과 일본의 관계, 즉 일본 은 백제에서 나온 것이라는 것이고, 또 하나는 일 본어는 백제말이라는 것이에요. 이것은 내가 발견 했지요. 한 일의 언어는 서구 언어학만으로는 도저 히 접근할 수 없는 성격을 가지고 있어요. 일본 서기( 日 本 書 紀 : 일본의 역사서) 는 천황가의 계열 이 한 번도 안 바꿔졌다는데, 사실은 세 번 바뀌 었어요. 그 중 마지막 두 사람이 백제왕족 출신이 었지요. 그런 것을 연구할 수 있는 사람은 한국에 서는 드물어요. 내 배경이 도움이 되었지요. 내가 일본에서 태어나 자랐고, 수학사적인 역사학을 연 구할 수 있었기에 가능하지요. 나는 수학을 일종 의 탐정소설, 추리소설 같은 것이라고 생각해요. 왜 일본 사람하고 한국 사람은 그렇게 다를까 요? 일본은 화산열도이자 지진 대국이니까 그렇지 않은 나라인 한국과 뚜렷한 차이가 나타나잖아요. 일본에는 화산폭발이 자주 나지요. 지금도 활동 중인 화산이 30개나 있고, 지진은 연중행사지요. 대지진은 20년 만에 한 번씩 오고요. 그렇다 보니 일본 사람들은 늘 죽음을 생각하기에 조직을 강하 게 해야 하고 지도자의 명령을 따라야 한다는 것 이 머리에 박혀있지요. 그런데 한반도에는 활화산 이 하나도 없어요. 지진은 기록상에는 좀 있기는 하지만 수가 적고, 몇 천 명이 죽는 큰 지진은 한 번도 없었어요. 신라시대에 지진이 나서 집이 넘 어졌다는 기록밖에 없지요. 그래서 한국 사람은 위험에 대처하는 노력이 필요가 없었던 거예요. 나는 원형이론 을 만들었어요. 원형사관( 原 型 史 觀 : 민족마다 독자적인 원형이 있고, 그 원형이 역사를 전개시킨다) 이라는 역사관이에요. 민족적 인 사고가 어떻게 해서 형성이 되었나하는가를 연 구대상으로 하지요. 내가 민족의 가치관이라 했지 요? 민족적인 가치관이 어떻게 생겼는가? 라는 것 이지요. 19세기 서양에 큰 영향을 준 자포니즘 (Japonism), 요즈음 말로 하면 인류는 죽음의 찬 미가 있습니다. 가령 푸치니의 오페라 나비 부 인 같은 것이지요. 원형이론도 수학을 하기 때문 에 만들 수 있었지요. 나는 역사는 수학이라고 생각해요. 왜 마르크스 (Karl Marx)가 유물사관( 唯 物 史 觀 : 역사가 발전 하는 원동력은 관념이 아니라 경제력적인 것이 다) 을 만들었느냐? 그때 뉴튼(Isaac Newton)이 천체에 관한 비밀을 다 풀었거든요. 행성궤도라든 가, 일식과 월식은 어떻게 일어나는가, 혜성은 언제 나타나는가. 그때 전 세계의 지식인이 뉴튼이 연구한 걸로 모든 것이 해결되었다고 생각했어요. 뉴튼역학은 만유인력의 법칙을 가운데 놓고 운동 을 해석한 거 아니에요? 미분방정식을 만들어서 그것을 풀고, 초기치를 놓고 계산해낸 것이지요. 유물사관이라는 것은 경제력을 만유인력의 자리에 놓은 거예요. 그래놓고 모든 것을 설명하려 했지요. 완전히 지금까지 설명 안 되어 있지만. 그 이론으 로 건국한 나라는 실패했다는 것을 다 알지만. 그런데 그것을 수학으로 얘기한다면 간단한 예 가 일차 방정식 같은 결정론이에요. 하나의 값을 f( x)에 집어넣으면 답이 하나 나온다는 것. 그런 데 역사가 그렇게 증명이 되냐 말이에요. 근데 다 행히 요즘에 카오스 이론이라고 나오지요? 카오스 이론이란 복잡계지요? 여러 개의 요인이 기본적인 공리 없이 출발하는 系 로서 요인끼리 아울러서 복 잡계를 형성한다는 것이지요. 그러면 Feedback, Fractal이 나오고, 그리고 Emergence가 발생하 고, 기존 수학에 없는 여러 가지 현상이 설명돼요. 역사의 진행을 결정하는 것은 자연재해라든가, 전쟁이라든가, 경제력이라든가 여러 가지 요소가 어울려 하나의 복잡계로 설명되는데, 나는 그것을 민족의 기본적인 가치관에 반영시켜서 역사가 진 행된다고 생각하지요. 그래서 내가 복잡계를 공부 하고, 그것이 머릿속에 있었기 때문에, 다행히 수 학을 하기에 그런 생각을 하게 되었지요. 나에게 는 언어학, 역사, 경제학 모두가 다 수학이에요. 12 대한수학회소식 제 138호

12 수학을 한 사람들은 뭐든지 할 수 있네요. 그러니까 후배들에게 이 얘기를 하고 싶어요. 50대 중반에 적어도 자기가 수학적으로 한계를 느끼면 다른 지적대상에 눈을 돌려봐요. 수학적인 배경을 가지고 다른 사회문제, 문화문제를 연구하 면 반드시 새로운 이론을 만들 수가 있다고 믿어 요. 한국의 문화계에서 많은 수학자들이 활약을 해줘야 해요. 한국문화 경향을 대하는 불편이라고 할까, 한국의 모순이라 할까. 뭣이냐면, 한국적인 가치관이 현재 상황하고 맞지 않는다는 거예요. 조선시대에는 주자학 하나만 갖고 벼슬을 하고 높 은 사람이 되었거든요. 지금도 우리의 머릿속에는 그 가치관이 남아있어요. 주자학 하나로 모두가 일등이 되어야 한다는 건데, 그 얼마나 억지스러 운 일이예요? 지금은 융합시대죠. 그렇지요. 그러나 융합시대라지만 무엇이든지 융합하는 것은 아니지요. 자기의 세계관, 수학자는 수학을 통한 세계관이 있으니까 그것을 가지고 현 상을 보고 가야 되겠지요. 그런 면에서 수학자가 아주 유리한 입장에 서 있습니다. 수학으로 무엇 이든 잘할 수 있지요. 수학교육이든 수학철학이든 수학적 사고는 필수입니다. 인문, 사회학은 수학이 개입되어 과학화 됩니다. 역사, 언어학, 문화비평, 문화인류학 등 무엇이든지 잘할 수 있는 지적기반 이 있는 것입니다. 용기를 주고 싶어요. 수학으로 행복하게 될 수 있어요. 교수님께서는 상당히 건강하신데, 건강을 지키는 비결 이 있으신가요? 나는 첫째가 호기심이 많아요. 지금도 여러 원 고를 쓰고 있습니다만, 새로운 문제의식을 가지고 세계를 본다는 것. 문제들이 자꾸 바뀌니까 늙을 틈이 없어요. 그리고 집에 가면 수영을 하지요. 저녁마다 수영을 하세요? 수영이 건강을 유지하는 비결 중에 하나네요. 정신적인 건강을 위해서는 글을 쓰시는 것과 지적호기심이 많으신 것이고, 육체적으로는 수영을 하시네요. 나한테는 그렇죠. 그리고 후배들에게 한 가지를 더 말한다면 호기심을 길러요. 수학뿐만 아니라 무엇에든지. 민감해야 합니다. 김 교수도 대학시절 굉장히 민감했지요? 학생 때 모습이 자꾸 생각나요. 내가 한국의 비극이란 말을 썼는데, 드라이저 (Theodore Dreiser)라는 미국 작가가 쓴 미국의 비극 이라는 영화가 있었죠? 좋은 작품이에요. 미 국적인 가치관 때문에 비극을 맞이한다는 내용인 데, 아메리칸 드림이라는 것이 지나친 것이 아닌 지. 영화에서 보면 기회가 있어서 잡으려고 하 다가 실수를 해서 누명을 쓰고 살인죄로 죽는데, 그것이 미국의 비극인데, 한국의 상황에서 하나의 예를 들자면 요즘 일어난 카이스트 사태가 한국의 비극이에요. 한국의 가치관이 뭐예요? 어려서부터 빨리 공부시키고, 영재교육 받고, 조기 대학입학 시키면 언제 인간으로서 교양을 얻겠어요? 그러니 대학에서 조그만 일에도 좌절하게 되지요. 나는 교육자 생활을 오래해서 수재들을 많이 만났지만 그렇게 조숙한 천재가 잘된 사람은 못 봤어요. 조 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 13

13 숙한 애들일수록 쉽게 좌절해요. 이러한 현상이야 말로 한국의 비극이 아니고 뭐예요? 내 후배에게 하고 싶은 말은 수학이라는 전공만을 위해서 정상 을 향해서 바위를 타고 빨리 올라가는 것만이 최 고가 아닐 수 있다는 거예요. 능선도 걷고, 천천히 걸어보기도 하고. 바위타고 수직으로 정상을 올라 갈 사람은 따로 있어요. 젊을 때, 한참 근력 좋을 때 할 수 있지요. 나이가 든 후엔 조금 여유를 갖 고 재미있게 공부해야지요. 50이 넘으면 내일 모 레 오는 정년을 생각해야 되요. 지금은 100세까지 사는 사람도 있지요? 정년을 하고도 사람은 오래 살거든요. 앞으로 마지막까지 보람 있게 살다 생 을 마치려면 자기가 할 수 있는 지적작업이 머릿 속에 준비되어 있어야 되요. 그것이 없으면 어떻 게 해요? 연금 주니까 그것을 받아 지낼 수는 있 지만, 65세에 학교에서 나가면 뭐할까요? 수학 말 고도 인간으로서 중요한 것, 문화에 기여할 것 등 한국의 미래를 생각하여 여러 가지를 다 할 수 있 을 거예요. 나는 꼭 그 것을 여러분들이 했으면 좋겠어요. 교수님께서 하신 말씀이 우리 학회 후학들에게 정말 필요하고 중요한 말씀 같아요. 지금 이 연구소는 몇 년도부터 여기에 있었나요? 내가 정년하기 전부터 준비하고 있었어요. 학교 정년하기 전에 계획을 세웠지요. 정년 후에는 미 국과 일본을 자주 갔지요. 일본에서는 한일문화비 교로 연구테마가 좋았지요. 미국대학에서 수학과 문화의 테마로 많은 강의도 했어요. 내 연구소에 오면 보람 있는 일을 하게 되고. 여긴 내 왕국 이지요. 하하. 지금도 젊은 사람들 보다 오히려 더 활발하게 연구활동 과 저술활동을 하시고 계시는 것 같아요. 은퇴하시고도 열심히 활동하시는 선생님의 모습을 보고 지금 50대 중반 정도 된 분들이 선생님을 모델로 삼아서 자기의 미래를 준비할 수도 있는 것 같아요. 그것 참 잘 준비하셔야 되요. 젊은 수학자들의 강의 연구, 지적능력이 너무나 아까워요. 수학적 지식이라는 것은 다른 사람들은 못가지지요. 수학 은 그냥 소설을 읽고, 창의성 없이 공부하는 학문 이 아니잖아요? 나이 먹어서 순수수학은 못해도 수학이 모든 학문의 기초이기에 그 지식을 바탕으 로 새로운 분야에 도전하면 다 잘할 수 있어요. 교수님, 앞으로 100세 이상 오래오래 사시면서 우리 한 국의 수학과 문화계에 큰 기여를 해주시기 바랍니다. 오늘 인터뷰에 응해주신 것 다시 한 번 감사드립니다. 14 대한수학회소식 제 138호

14 기획기사 대한수학회소식 편집위원회에서는 제12차 국제수학교육대회(ICME-12) 의 개최를 1년 앞두고 ICME-12 관련 기사를 시리즈로 게재하기로 하였 습니다. 많은 관심 바랍니다. ICME-12 준비 상황 신현용 (한국교원대학교, ICME-12 조직위원회 위원장) 제12차 국제수학교육대회(ICME-12) 개최가 1년 앞으로 다가옴에 따라 ICME-12 프로그램위원회 (IPC)와 ICME-12 조직위원회(조직위)는 대회의 성공적 개최를 위하여 열심히 준비하고 있습니다. 할인혜택을 받을 것입니다. 또, ICME-12의 위성 학회로서 한국에서 개최되는 국제수학사학회(HPM 2012)와 국제영재학회(MCG7) 참가자가 ICME -12에 참가하는 경우에는 ICME-12 등록비의 20% 할인혜택을 받을 것입니다. 한편, 중국의 수 학교사가 다수 참석할 수 있도록 다양한 재정적 혜택을 강구하고 있습니다. IPC는 지난 2월, 제주도에서 제2차 전체회의를 갖고 ICME-12 학술프로그램을 대부분 확정지었 습니다. 이 회의내용의 일부를 간단히 소개하겠습 니다. ICME-12 개최장소인 COEX (서울) 조기등록을 올 11월 1일부터 개시함으로 ICME -12가 본격적으로 시작될 예정입니다. 한국 교사 의 경우에는 조기등록을 이용하시면 상당한 등록비 전통적으로 ICME에는 Plenary Activities, Survey Teams, National Presentations, Regular Lectures, Topic Study Groups, Discussion Groups, Workshops & Sharing Groups, Posters, Affiliated Study Groups, ICMI Studies and Klein Project 등 다양한 학술 활동이 있습니다. 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 15

15 이러한 여러 프로그램 중에서 대부분의 참가자 가 가장 많은 관심을 가지고 참여하는 활동은 Topic Study Groups(TSG) 입니다. 여기에서는 TSG에 관하여 설명하고 다른 활동에 관한 설명 은 ICME-12의 공식 홈페이지인 icme12.org에 양보하겠습니다. 먼저, TSG 활동의 성격은 다음과 같습니다. 오 해의 소지를 없게 하기 위하여 원문 그대로 소개 합니다. A Topic Study Group is designed to gather a group of congress participants who are interested in a particular topic in mathematics education. The word study suggests that the activities of the groups will include presentations and discussions of important new trends and developments in research or practice related to the topic under consideration. The purpose of the TSGs is to provide both an overview of the current state-of-the-art in the topic, and expositions of outstanding recent contributions to it, as seen from an international perspective. 이번 ICME-12에서의 TSG 특징은 37개 분과 대부분에 한국 학자가 좌장 또는 팀원(Team Member)으로 참여한다는 것입니다. 즉 30여 명 의 한국 학자가 TSG 활동에서 주도적인 역할을 하게 됩니다. 참고로, 이돈희 전 교육부 장관(ICME -12 자문위원회 위원장)은 기조강연자(Plenary Lecturer)로, 박경미 교수(홍익대학교)는 기조활동 (Plenary Activity)인 Panelist로, 강옥기 교수(성 균관대학교), 강완 교수(서울교육대학교), 이상구 교수(성균관대학교), 그리고 황우형 교수(고려대학 교)는 정규강연자(Regular Lecturer)로 나섭니다. TSG에의 발표신청은 조기등록 개시일인 2011 년 11월 1일이고, 발표허락 여부는 2012년 1월 15일 이전에 알려드릴 것입니다. 대한수학회의 모든 회원님들께서 현장에서 축적된 훌륭한 이론 이나 경험을 많이 발표하시기를 기대하고 있습니다. 한편, TSG 활동의 조직은 다음과 같습니다. Each TSG organizing team will have the responsibility of updating the TSG web site linked to the congress web site. On this site it will be possible to follow the planning process and eventually access all relevant documents including the submitted abstracts, full papers and the timetable for TSG sessions. This scientific program will be organized into Long Presentation, Short Orals, and Posters by the organizing teams appointed by the IPC. 이제, 조직위 업무와 관련하여 몇 가지 협조를 부탁드립니다. ICME-12 외국 참가자 대부분은 한국을 처음 방문하는 사람일 것입니다. 조직위는 이들 참가자 에게 오성급 호텔부터 대학교 기숙사까지 다양한 형태의 숙박을 제공합니다. 그러나 참가자 중에는 16 대한수학회소식 제 138호

16 Homestay를 하며 한국의 문화를 더 가까이 느끼 고 싶어 하는 사람도 여럿 있습니다. 이러한 요구 에 부응하기 위하여 조직위는 서울시가 운영하는 프로그램을 활용할 것입니다. 그러나 서울시 프로 그램만으로는 수요를 모두 감당할 수 없을 것으로 예상되어, 자체적으로 Homestay 프로그램을 운영 할 계획입니다. 혹시 회원님 중에서 이 사업에 동참을 원하시면 조직위에 말씀하여 주시기 바랍 니다. Homestay를 제공하는 가정에는 조직위가 실비를 부담할 것입니다. 회원님께서 충분히 예상하시겠지만 ICME-12 의 성공적 개최를 위해 많은 분들의 직접적인 도움 이 필요합니다. 특히 이 대회를 도와줄 도우미 가 다수 필요합니다. 조직위는 도우미 라는 용어 대신에 대회지원인턴 이라고 칭하는 200명의 자원자를 찾고 있습니다. 대회지원인턴에게는 점심 식사비와 필수 교통비 등 소정의 지원을 할 것입 니다. 대회지원인턴으로 활동하면 당사자는 큰 자 부심을 가지게 될 것이며 많은 것을 배우게 될 것 임을 확신합니다. 회원님들의 제자들에게 이러한 제도를 소개하여 주시고 적극 참여토록 권면하여 주시기 바랍니다. 내년부터 적어도 2014년까지는 세계 수학교육 과 수학의 이목이 한국에 집중되게 되었습니다. 게다가 국제수학연맹(IMU)은 두 대회 개최 사이 에 끼인 2013년을 Mathematics of Planet Earth 라는 주제 하에 세계 수학의 해 로 선포하 였습니다. 인류의 문명이 꽃을 피운 이 지구 위에 서 수학의 가치와 역할 그리고 의의 등을 되새기 고 부각시키려는 기획입니다. IMU는 2012년 ICME -12의 개최기간에 대회장소인 서울에서 특별한 행사를 주관함으로 곧 이어질 수학의 해 에 대한 국제적 관심을 유도할 계획으로 있습니다. ICME -12로부터 시작된 그러한 분위기는 2013년 수학의 해를 거쳐 2014년 ICM에서 절정에 이를 것으로 예상할 수 있습니다. ICME-12조직위원회는 ICME-12가 역대 최고 의 회의장에서 최대 규모(참가자)의 대회를 최고 품질로 치루는 꿈을 꾸고 있습니다. 한국의 수학 계와 수학교육계의 역량이 결집되면 충분히 가능 하다고 믿고 있습니다. 그리고 ICME-12의 성공 은 ICM 2014의 큰 성공으로 이어질 것입니다. 감사합니다. 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 17

17 서평 사회와 수학: 400년의 파란만장 사회와 수학: 400년의 파란만장 나카다 노리노 지음 이상구, 김호순 옮김 경문사 페이지, 12,000원 ISBN : 왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나? 저자는 학생시절에 왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나? 하는 근본적인 의문을 가졌었다. 이 질문에 답을 구하기 위하여 여행을 싫어하는 데도 스스로를 채찍질하여 수학의 뿌리를 탐방하 는 세계 여행을 시작했다. 여행은 저자가 대학에 서 정년퇴임한 후에도 계속 이어져 서른 번 이상 여행을 떠났고, 그 경험을 정리하여 40여 권의 책을 발간했다. 저자는 수학 수업시간에 교과서 외의 이야기에 눈을 반짝이면서 듣던 학생들의 얼굴을 상기했으 며, 수학교사로서 교과서 내용만이 아니라 수학사 또는 수학 이야기를 발굴하여 지도함으로써 수학 을 좋아하는 학생들을 배출했다. 때로는 수학이 걸어온 경로를 발견하는 감격을 되새기면서 이 책을 집필했다. 저자는 이렇게 말하고 있다. 1만년에 가까운 인류 역사 속에서 인간 사회사에 있 었던 홍수, 지진, 화재, 재난, 기아, 역병, 전쟁의 비참, 또는 개인적인 사 고, 실연, 폭행 등 등의 사건에서 볼 수 있듯이 인류가 살아온 길은 그야 말로 파란만장했다. 물론 행복한 일과 즐거움도 있었을 것이다. 그러 나 인류가 생존해 오면서 당면했던 여러 가지 새 로운 환경과 도전에 대응하며, 인간들이 시대에 따라 새로운 수학을 만들면서 해결해온 과정을 이 책을 통하여 알았으면 좋겠다. 또한 옮긴이는 다음과 같이 말하고 있다. 우 리나라의 학생들은 보통 수학공부를 하는 이유를 입학시험을 잘 보기위해서 라고 생각하고 있다. 따라서 수학은 우리의 삶에 불필요한 과목이라고 생각하기도 한다. 이런 잘못된 생각을 극복하기 위해서는 사회와 수학 과 같은 책이 필요하다. 인류 역사에서 혁명적 발전의 시기마다 그 사회가 안고 있던 문제를 해결하는 과정의 중심에 수학 이 있었다는 것을 알게 될 것이다. 이 책은 수학 의 발전을 인류 사회의 발전 역사와 함께 자리매 18 대한수학회소식 제 138호

18 김하고자 쓴 책이다. 여기에 크게 공감하여 일반 인에게 수학이 사회 발전에 끼친 역할을 알리고, 수학( 數 學 )에 대한 바른 이해 를 가져주기를 바 라는 마음으로 번역을 했다. 수학세계의 여행으로 즐거움과 중요성을 체험한다. 책장을 넘겨보면 저자는 해박한 수학이론과 세 계역사의 지식으로 수학의 관점에서 세계 수학사 를 전체적으로 통합하여 조망하면서 수학에 관한 즐겁고 흥미로운 여행을 안내하고 있다. 수학을 공부한 저자는 그가 설명하고자하는 글의 내용을 한 눈에 알아볼 수 있도록 구조적으로 축약하여 간단한 도표나 그림으로 나타내고, 수학 이야기를 사진과 수학문제들을 예를 들며 재미있게 설명하 고 있어서 어느 장( 章 )을 보더라도 수학의 즐거움 과 친근감을 가질 수 있게 하였다. 사회와 수학에 관한 이야기 주머니(보따리)를 차곡차곡 풀어 놓고 있어서 재미와 호기심을 자극하고 있는 것이다. 프롤로그에서는 십자군을 통하여 전해진 필산 법 이야기가 있다. 아라비아인들은 수학 선진국 이었던 인도와 유럽 사이에서 가교 역할을 하였 을 뿐만 아니라 수학을 연구하여 중세에 이슬람 수학으로 전성기를 이루었다. 이슬람 수학은 인도 -아라비아 수와 방정식의 이항법을 유럽에 전하 게 되고 그리스의 유클리드 기하학을 보존하였다. 중세 십자군 시대에 동양과 서양 사이에 계산법 의 교류가 있었던 이유는 상인들이 산판과 필산 법으로 계산하여 금융산업이 발전할 수 있도록 하였기 때문이다. 제1장에는 대포소리와 함께 시작한 함수 이야 기가 있다. 생존 문제가 걸려있는 전쟁에서 이기기 위해서는 여러 가지 전략이 필요하다. 방어할 수 있는 성벽, 공격무기, 전투원, 군수물자 등 최대 의 효과를 보여줘야 하는 수학적인 상황인 것이 다. 대포가 개발되면서 운동과 움직이는 것을 연 구하게 되어 함수를 탄생시켰다. 그리고 함수의 탄생과정에서 미분개념이 발견되었다. 적분이 발 견된 지 2천년이 넘었지만 이 두 개념이 밀접한 관계가 있음을 알게 되었다. 수학의 진보와 완성은 국가 번영을 좌우한다 (나폴레옹). 제2장에는 군사비밀로 여겨진 화법기하학 이 야기가 있다. 프랑스는 수학을 장려했기 때문에 18세기 유럽에서 강국이 되어 전성기를 맞이했던 것은 수학자의 활약이 크다. 당시 프랑스는 건축, 토목사업, 전쟁에서 세계 최고의 기술을 가지고 있었다. 프랑스에서 3가지 기하학 즉, 해석기하 학, 화법기하학, 사영기하학이 탄생된 것은 우연 한 일이 아니다. 제3장에는 도시국가의 번영에서 나온 확률론 이야기가 있다. 이탈리아는 중세이후 해운업이 발 전하였는데, 당시 원양무역선을 타던 많은 선원들 이 대서양 횡단 성공 여부 를 놓고 사행성 도박을 벌이면서, 도박에서 이기는 법을 찾고자 했었다. 그래서 대서양 횡단이라는 모험이 성공하는 데 에도 어떤 규칙이 있을까? 하는 질문을 하게 되 었고, 이에 대한 이론적 연구가 확률론을 탄생시 켰다. 그 후 확률론은 프랑스에서 계속 연구되었 고, 20세기에 러시아 학자들이 확률론을 완성하 였다. 확률을 공부하게 되면 직감이나 상식은 위험하다. 는 것을 알게 된다. 현재 증권선물시장 에서는 많은 수학자들이 고도의 수학적인 투자공 식들의 연구로 엄청난 부( 富 )를 획득하면서 활동 하고 있다. 제4장에는 사회부흥의 실마리인 통계학 이야 기가 있다. 영국의 그랜트(J. Grant)는 전염병 사 망표(<사망표( 死 亡 表 )에 관한 자연적 및 정치적인 여러 관찰>, 1662) 를 정리한 후, 자료수집, 분 류, 분석, 판단, 예측과 같은 작업을 통하여 표에 숨겨진 많은 사실을 판독했고, 이것을 이용하여 전염병으로부터 시민을 지킬 대책을 세웠다. 이것 이 통계학이 나온 배경이다. 나머지 장에서는 런던의 대화재(1666)에 의한 피해에 대한 반성에서 보험, 산책로에서 탄생한 위상수학 등의 내용으로 수학이 하나의 규칙을 발견하는 학문임을 알 수 있다. 그리고 표본조사 법 이나 추측통계학(Stochastics) 은 농업연구에 서 능률을 높이는데 활용되었다. 또한, 세계대전 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 19

19 에서 독일의 U보트와 일본의 가미가제 특공기에 대한 대책으로 최소의 노력으로 최대의 효과를 내고자하는 최적화 이론 이 나왔고, 경영과학 (OR)으로 선형계획법, 대기(창구)이론, 게임이 론, 네트워크이론, 자동화이론 이 나왔다. 사회가 발전하면 새로운 발상에 의한 새로운 수학이 탄생 된다. 사회가 발전하고, 컴퓨터의 출현 등 사회 환경 이 변하면서 새로운 발상에 의한 수학이 새롭게 나오게 되었다. 여기에는 퍼지(fuzzy)이론, 카오 스이론, 프랙탈, 카타스트로피 등이 있다. 퍼 지 이론은 애매모호함을 수량화, 계량화하는 이론 이다. 암호에 관하여는, 다른 거의 모든 장에서와 같이 암호는 어디에나 있음을 신문에 나온 기사 나 그 밖의 다양한 내용의 이야기 거리를 스크랩 형식으로 나열하는 형식이 쓰였다. 정보화 사회 에서 암호는 필수이며 암호를 개발하고 풀어야 함과 재판이란 원래 수학과 같다. 라고 할 만큼 수학에서와 같이 정확한 논리가 필요함도 지적하 였다. 또한 현대에는 수학의 연구대상이 차차 넓어짐 에 따라 경제학, 정치학, 교육학, 심리학 등의 발 전에 수학이 적용되고, 문학에까지도 문제해결에 도움을 주고 있음을 설명하며, 수학이 문장을 분석할 수 있는 기능을 가짐을 안내하고 있다. 마지막 장에는 수학의 용어의 변천과 현대수학 의 용어의 변천에 대한 이야기가 있다. 현대에는 컴퓨터의 발달로 다른 학문과의 학제간 협동연구 와 연계된 융합학문 연구가 활발히 이루어지고 있어 다양한 수학 및 수학용어들이 발전하게 될 것이다. 이 책은 각 절마다 흥미로운 질문 문제가 있고 이것에 대한 힌트와 해답이 책 뒷부분에 있어서 더욱 문제에 흥미를 가지게 된다. 개인적인 의견 을 덧붙이자면 일본의 역사가 나오는 부분에는 한국의 역사도 같이 소개하고, 책 뒷부분에 찾아 보기를 보완하면 좋겠다. 학생과 수학교사들에게 이 책을 추천한다. 보통 수학사에 관한 책을 보면 유럽 사람들의 눈으로 수학사를 기술하고, 또 학문적으로 딱딱 하게 쓰여 있어서 몇 쪽 읽기도 힘들다. 그러나 이 책은 동양의 문화와 가치관을 가진 동양 사람 의 눈으로 저술하였다. 쉽고 흥미롭게 저술하였기 때문에 중학생 이상이면 부담 없이 읽을 수 있는 책이어서 학생들에게도 좋은 책이고, 교사들이 학 생들에게 들려줄 수 있는 이야깃거리들이 많이 있어서 수학교사들도 읽어보기를 추천한다. 김종명 (관동대학교) 서평 참여 안내 대한수학회에서는 국내에서 출판되는 수학관련 도서를 체계적으로 수집하고 관련 학자들의 서평을 소식 지에 게재함으로써, 국내 수학관련 도서의 출판을 널리 홍보하고 건전한 비평문화를 정착하는 데에 기여 하고자 합니다. 회원 여러분은 여러 가지 방법으로 서평에 참여하실 수 있습니다. 1. 수학 관련 교재나 도서를 집필하시거나 번역하신 분께서는 2권을 학회로 보내 주십시오. 편집위원회에서 적절한 분에게 서평을 의뢰하고 나머지 한권은 학회 자료실에 보관하겠습니다. 2. 이미 서평이 실린 도서에 대한 저자 혹은 다른 이의 반론을 환영합니다. 3. 회원 여러분께서 강의에 사용하셨거나 읽으신 책에 대한 서평을 투고하실 수 있습니다. 이 경우, 책을 같이 보내주시면 서평과 함께 검토하고 책은 돌려 드리겠습니다. 학회에 미리 연락 을 주시면 투고요령을 보내드리겠습니다. 4. 가급적이면, 권당 서평내용을 A4 용지 2매 이내로 해 주시면 고맙겠습니다. 5. 서평 원고는 담당위원인 조선대학교 홍성금 또는 학회 사무국 보내주시기 바랍니다. 대한수학회소식 편집위원회 20 대한수학회소식 제 138호

20 기관소개 경북대학교 WCU 사업단 소개 도영해 (경북대학교) <목차> 1. 사업단 소개 및 사업개요 2. 사업단 구성 3. 연구목표 및 주요연구내용 4. 향후 계획 5. 사업단 소식 1. 사업단 소개 및 사업개요 1.1. 사업단 소개 본 사업단은 교육과학기술부가 지원하는 2차 세계 수준의 연구중심대학(WCU, World Class University) 육성 사업 제2유형(개별학자초빙 지원과제)에 선정된 사업단으로 2유형 수학분야 에서는 유일하게 선정된 사업단이다. 본 사업단 외 수학분야 WCU 선정사업단은 1유형(전공학과 개설 지원)과 3유형(세계적 석학초빙지원)에 각각 한 개의 사업단이 있다. 연구기간은 2009년 4월 부터 2013년 8월까지이며 현재 3차년도 사업이 진행중이다. 다방면에서 중요한 역할을 하고 있는 유체역학 분야의 다양한 유동 현상에 대한 해석 및 응용 기 술을 개발하여 신성장동력 창출에 기여하고 이를 선도할 수 있는 세계적인 연구 집단으로 성장하는 것을 목표로 한다 연구의 필요성 및 중요성 유체역학은 기체, 액체의 운동, 고체 덩어리 (solid bodies)의 상호작용을 연구하는 분야로 물 이나 공기와 같은 유체와 밀접한 관계를 가지는 우리의 일상생활과 더불어 사회 현상이나 정보의 흐름 및 기계 산업현장의 광범위한 분야에서 많이 응용되는 핵심 분야이다. 나아가 의학, 생물학, 에 너지 및 환경 분야에 있어서도 중요한 역할을 하 는 연구 분야이다. 유체역학에 대하여 집중적으로 연구되고 있는 5가지 분야를 간략히 살펴보면 다음과 같다. 1) 난류운동(Turbulent flow) 연구 : 난류는 층류 (규칙적으로 층을 이루면서 흐르는 유동)가 시 공 간적으로 불규칙적인 운동을 하는 유동으로, 비행 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 21

21 기, 자동차, 조선 등의 설계 및 제작에 있어 모든 엔진에 대해 연료와 공기의 혼합에 이용된다. 2) Nano 및 Micro-scale 유체역학 : Nano 및 Micro-scale 연구는 전자산업에 있어 생산성, 효율성, 규모 및 새로운 상품의 개발을 촉진 하며, 생물, 화학, 공학, 물리학 등의 분야에서 기본적인 연구 및 기술발전을 도모한다. 이는 기술 산업적 측면과 생물적 유체역학의 분야의 발전을 도모한다. 3) 유동 조절(Flow control) 연구 : 무기의 개발, 전자 장치의 열전달과 냉각, 교통수단의 엔진 성능 향상을 위하여 유동 조절은 필요하다. 또 한 연료 소비의 절감, 오염, 소음 등을 줄일 수 있으며, 제조, 화학공정, 생의학 응용분야의 발전에도 기여한다. 4) 환경유동(Environmental flows) 연구 : 환경적 측면에서 도심의 대기 오염과 해수의 흐름, 돌풍 등의 발생원인과 발생예측을 가능하게 한 다. 기상이변과 신종 질병 발생, 생화학적 테러 현상 등에서 비춰볼 때, 환경유동에 대한 정확 한 분석은 반드시 필요하다. <사업단 연구인력> Mani Sankar (연구교수) 참여대학원생 류 수 록 (박사후연구원) 박사과정 석사과정 박 준 표 (박사과정) 6명 5명 전문지원인력 행정 1명 <사업단 전산장비현황> 사업단 연구에 핵심장비라 할 수 있는 대용량 전산시스템을 구축하여 가동하고 있으며 이를 수 용하기 위하여 24시간 원활한 가동을 위한 환경 이 구축된 전산실이 별도로 마련되어 있다. 2차년 도에 Linux Cluster 12대를 도입했으며 3차년도 에 12대를 추가적으로 도입하여 향후 연구진행을 더욱 가속화시킬 전망이다. 5) 생물적 유체역학(Biological fluid dynamics) 연구 : 체내에서 유체의 입자수송이 실패하면 심장마비와 같은 병이 발생한다. 따라서 체내 유체의 흐름을 이해할 때 병의 진단 및 치료가 가능하며, 이러한 관점에서 생물적 유체역학의 연구는 중요하다. 2. 사업단 구성 <사업단 참여교수> Linux clusters 도 영 해 (연구책임자) Juan Lopez (해외학자) 임 용 도 (국내참여교수) 통신광케이블 및 UPS 연구원 컴퓨터 22 대한수학회소식 제 138호

22 3. 연구목표 및 주요 연구내용 흐름을 이해하려한다 연구목표 본 연구의 궁극적인 목표는 시뮬레이션 기반 연 구이고 계산수학과 응용수학의 핵심인 응용유체역 학의 계산 방법론과 연구 방법론을 개발하고, 유 체과학에서 실험 및 계산으로 관찰된 흥미로운 현 상을 설명할 수 있는 동역학 이론 및 계산적 이론 을 제공하는 것이다. 현재 진행 중인 연구주제는 다음과 같다. 1) 회전하면서 상하운동을 하는 실린더에서 관성 파동(Inertial wave)의 불안정성에 관한연구 (그림 1: 관성파동 흐름을 보여주는 Azimuthal vorticity 그림.) 3.2. 연구내용 본 연구는 유체 시스템의 수학적 모델링, 유체 문제를 해결하기 위한 문제 해결방법과 도구개발, 유체역학에서 나타나는 현상에 대한 수학적 이론 의 분석에 초점을 둔다. 주요 연구대상 모델은 아 래와 같은 실린더구조에서 유체의 흐름에 관하여 특성을 연구하는 것이다. <그림 1> 2) Sidewall 경계층흐름에서 불안정성 연구 (그림 2: 경계층흐름에 관한 Azimuthal vorticity에 관한 isosurface를 보여줌.) <그림 2> 연구주제에 따라 수리모델은 다음과 Navier- Stokes 방정식을 기본으로 열에너지 방정식, 여러 가지 보존 방정식을 혼합하여 유체흐름에 관하여 모델링하고 이를 해석하기 위하여 여러 가지 수치 적방법론(예:Spectral method)을 사용하여 방정식 의 수치해를 구함으로 동역학적 관점에서 유체의 3) Taylor-Couette 흐름에서 발생하는 회전 파동 연구 (그림 3: Taylor-Couette 흐름에서 대칭성 을 파괴하는 bifurcation(분기현상)을 보여줌.) <그림 3> 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 23

23 4) 실린더의 조화 회전시 Bödewadt 경계층흐름 에 대한 연구 (그림 4: Bödewadt 흐름에 관한 시간-공간에 관하여 보여줌.) <그림 4> 5) 유체 흐름에서 Slow passage problem연구 (그림 5: 실험적으로 시간에 따라 Reynold를 변할 때 발생하는 Hopf bifurcation을 보여줌.) <그림 6> 7) 회전하는 실린더 내에서 열적대류현상 연구 (그림 7: 열적난류에서 plum의 움직임을 보여줌.) <그림 5> 6) 유체의 흐름에서 Passive particle 과 Inertial particle 운동 연구 (그림 6: 입자는 유체의 흐 름으로부터 힘을 받아 운동하게 되는데 이런 운동은 유체의 흐름과 상이한 경우가 많다. 그 림은 실험장면과 수치적인 결과를 보여줌.) <그림 7> 8) 내외부의 둥근 실린더에서의 부분적인 열원에 생긴 자연대류로 인한 열전달 현상에 관한 연 구 (그림 8: 부분적 열원을 가지는 열전달의 자연대류에서 등온선을 사용하여 열적흐름을 보여줌.) <그림 8> 24 대한수학회소식 제 138호

24 9) 동역학의 기초이론연구-공명, 분기이론, 네트 워크 복잡계, 인구모델 연구 등 (그림 9: 왼쪽 그림은 공명문제에 Slow passage 효과에 관한 연구에서 공명발생을 보여줌. 오른쪽 그림은 가위바위보 게임을 이용하여 먹고 먹히는 관계 가 있는 서로 다른 세가지종의 이동을 Lattice 상에서 움직임을 보여줌.) 4. 향후 계획 사업단은 앞으로의 연구업적을 Nature, Science 와 같은 세계적 학술지에 게재하는 것을 목표로 하고 있다. 이를 위해 해외초빙학자를 적극 활용하여 대학원생들에게는 유학을 간 것과 같은 양질의 교육환경을 제공해 창의적 연구를 장려하고 산 학 연계 프로그램을 운영함으로써 취 업에 있어서도 학생들의 경쟁력을 향상시키려는 계획을 가지고 있다 5. 사업단 소식 5.1. 우수성과 우수성과 사례 선정 <그림 9> 10) 혈류역학연구-산학협동연구 (그림 10: MRI를 이용하여 혈관 내 혈류흐름을 모델링하기위한 실험과정을 보여줌.) 본 사업단의 해외학자 및 연구원들이 공동으로 참여한 논문이 한국연구재단 WCU 우수성과로 선 정되는 영예를 안았다. 우수성과는 WCUIC(WCU International Conference, )에 포스 터로 전시될 예정이며 우수성과사례집으로도 발간 될 예정이다. 논문 제목 Numerical study of natural convection in a vertical porous annulus with discrete heating (유체로 채워진 다공질 매질에서 자연대류에 관한 열전달 연구) International Journal of Heat and Mass Transfer 54(2011), 성 과 산출자 도영해(연구책임자) Juan Lopez(해외학자) Mani Sankar(연구교수) 박영용(석사연구원) 해당성과 내용 <그림 10> 다공질 매질(Porous media) 내에서 부분적으로 열원을 가지는 모델에 대하여 열전달에 관한 복잡 한 형태의 지배방정식을 유도하였다. 이를 바탕 으로 열원의 크기 및 위치에 따라 열전달에 관한 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 25

25 최적의 조건을 알게 되었다. 전자장비, 빌딩과 같 은 유한 구조체내에서 부분적으로 열원을 가지는 형태는 우리가 여러 산업현장에서 볼 수 있다. 이 러한 구조체내에서 열전달을 최적화 할 수 있는 발열체의 크기와 위치를 알게 되었으므로 앞으로 이러한 구조체내에서 냉난방 설계 등에 응용될 것 으로 기대된다. 아울러 본 성과는 연구책임자, 해 외학자, 연구교수와 대학원생이 공동연구로 얻은 결과라 그 의의가 더욱 크다 해외저명학자 특강 및 공동연구 해외저명학자들이 본 사업단을 방문하여 특강 및 공동연구에 참여하였다. 자세한 사항은 본 사업단 홈페이지( 확인가능하다 연구인력 양성결과 사업단 재직 포스닥 국내대학 교수임용 2009년 9월부터 본 사업단의 박사후연구원 (Post-doc)으로 재직했었던 강훈석 박사(현재 국 가수리과학연구소 재직 중)가 2011년 9월에 숭실 대학교 교수로 임용되었다. 본 사업단에서의 연구 경력을 바탕으로 일구어낸 또 하나의 성과라고 하겠다. Francisco Marques(UPC) 5.3. KNUHD 결성 KNUHD는 혈류역학 연구를 위해 경북대 의학 과와 기계공학과, 그리고 본 연구팀이 만나 이루 어진 다학제간 연구모임이다. 2009년 11월을 시작 으로 정기 세미나가 이루어지고 있으며 의학관련 새로운 연구분야 개척을 위해 노력하고 있다. 본 사업단의 석사과정 대학원생인 이나희 학생 이 직접 참여하여 특허(협착관내 유동에서 협착 전후단의 차압 측정 방법)출원의 성과를 얻은바 있다. Ying.Cheng. Lai(ASU) Zigang Huang(Lanzhou Univ.) KNUHD 정기 세미나 Taewoo Lee(ASU) 26 대한수학회소식 제 138호

26 학회후기 제28회 수학교육 심포지엄 후기 박경미 (홍익대학교, 대한수학회 사업이사) 대한수학회 주관의 제28회 수학교육 심포지엄이 지난 6월 17일(금), 전북대학교에서 개최되었다. 수학교육 개선에 대한 논의는 주로 초 중 고등학교에 초점을 맞추기 때문에 대학 수학교육은 집중적인 조명 을 받지 못하는 경향이 있으며, 특히 중등학교와 대학 수학 사이의 연계에 대한 고려도 충분히 이루어지고 있 지 못하다는 문제의식 하에 이번 심포지엄의 주제는 고 등학교 수학과 대학 수학의 연계성 탐색 으로 정하였다. 대학교에서 수학을 전공하는 학생들 뿐 아니라 자연과 개회사 서동엽 대한수학회장 학과 공학을 전공하는 학생들도 폭넓게 선택하는 과목 인 미적분학, 미분방정식, 선형대수학을 핵심 분야로 선정하고, 이 세 분야에 대한 교수 학습의 실제와 개선 노력, 중고등학교 수학과의 연계성 추구의 측면 에서 주제 발표와 토론이 진행되었다. 환영사 김인수 전라지부회장 첫 번째 주제인 미적분학 교육에 대해서는 서울대학교의 강혜정 교수가 서울 대학교 교양수학의 현황을 중심으로 발표를 하였다. 서울대학교의 경우 입학사 사회 정관제의 도입 등 입시제도의 다변화로 인해 신입생들의 수학적 능력 편차가 송용진 부회장 심각한 수준으로 벌어지고 있기 때문에 신입생을 대상으로 하는 수학성취도 측 정시험을 통해 최상위와 최하위 학생들에게는 각각 고급수학과 기초수학을 제공하고, 정규수학을 듣는 학생들의 미적분학도 생명과학을 위한 수학, 경영학을 위한 수학, 인문사회계를 위한 수학 등으로 분화 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 27

27 시키고 있다. 이처럼 전공에 부합되도록 미적분학을 특화시킨 시도는 고등학교에서 벤치마킹할 가치가 있는 측면이다. 발표 에 이어 전남대학교 김인수 교수의 토론이 이루어졌는데, 주제 발표의 내용을 대학 입학생들의 수학 학력 저하, 학생들 간의 현격한 수학 학력 수준 차이, 기초 학력이 부족한 학생들을 위 한 특별과정 운영, 학생의 진로에 대한 교양수학 과정, 흥미와 동기를 유발하는 교수법의 개발이라는 측면에서 각각 정리하 면서 의견을 덧붙였다. 두 번째 주제인 미분방정식 교육에 대해서는 호서대학교 이춘호 교수가 발표하였다. 미분방 강혜정 교수 김인수 교수 정식은 미적분학의 대표적인 응용과목이자 물 리학, 화학, 생물학, 공학, 경제학, 경영학에 이 르기까지 그 활용 범위가 넓으므로 흥미롭고 의미 있게 가르쳐질 수 있는 과목임에도 불구 하고 형식적인 계산 위주로 흐르고 있다는 면 에서 문제제기를 하였다. 이어 미분방정식을 고등학교 수학의 관점에서, 수학과의 관점에서, 그리고 응용학문의 관점에서 조망하였다. 발표 내용은 세 가지로 정리할 수 있는데, 첫 번째 이춘호 교수 권오남 교수 는 고등학교 교육과정과의 연계성이라는 면에 서 미적분학의 기본정리와 뉴턴의 제2 운동법칙에서 표현된 미분방정식을 소개함으로써 학생들의 동기 를 유발할 수 있다는 점이고, 두 번째는 미분방정식의 교수 방법이 기계적인 계산위주의 방정식의 해법 에 치우쳐 있어 미분방정식의 응용과 해의 의미가 간과되고 있다는 점이며, 세 번째는 여러 가지 공학 소프트웨어의 활용을 위주로 미분방정식 교육을 변화시킬 수 있다는 점이다. 이에 대한 토론은 서울대 학교 권오남 교수에 의해 이루어졌는데, 전술한 세 가지 측면에 대한 부연과 더불어 미분방정식 교수 학습의 개선 방향으로 다양한 수학적 방법의 강조, dynamic system의 강조, 모델링과 응용의 강조, 테크놀로지의 활용을 제안하였다. 더불어 맥락문제의 강조, 점진적 수학화에 기초한 발생적 모델, 학생 참여를 특징으로 하는 탐구지향 미분방정식을 미분방정식 교수 학습의 방향성 으로 제시하였다. 세 번째 주제인 선형대수학 교육에 대한 발표는 성균관대의 이상구 교수가 맡았다. 21세기의 수학 교수 학습은 Lecture- Memorization-Test가 아니라 Visualization-Trial-Error- Speculation-Explanation의 순서로 이루어져야 한다는 언급 으로 시작된 발표는 선형대수학의 내용을 구현할 수 있는 이상구 교수 채갑병 교수 28 대한수학회소식 제 138호

28 공학적 도구를 적극적으로 활용하고 Sage-Math 기반의 웹콘텐츠를 개발해 온 발표자의 다양한 경험과 사례로 연결되었다. 대수적 개념은 기하학적 이해가 수반될 때 정확하고 의미 있게 전달된다는 점에 기초한 발표자의 다양한 시도가 최근에는 선형대수학에 대한 스마트폰용 어플리케이션 개발로 이어지고 있음도 소개되었다. 세 번째 주제에 대해서 원광대학교 채갑병 교수가 토론자로 나섰다. 선형대수학 교육의 개선을 주도해온 발표자의 기여를 높이 평가함과 동시에 웹기반의 프로그램들이 초보자에게 상당히 어려운 문법구조를 가지고 있어 접근성이 높지 못할 수 있다는 점을 지적하였으며, 이에 대한 발표자의 반론과 답변이 이루어졌다. 종합토론 발표 내용 중 대학교수는 Innovator(혁신자), Broker(중개자), Mentor(사부), Facilitator(촉진자), Monitor(감독자), Coordinator(조정자), Director(지시자), Producer(생산자)의 다중적인 역할을 수행해 야 한다는 내용이 있었다. 심포지엄에서 다룬 미적분학, 미분방정식과 선형대수학의 교육 뿐 아니라 모든 수학 내용을 가르치는데 있어 중요한 것은 적절한 주제를 엄선하고, 학습자의 이해를 용이하게 하는 설명 방법을 모색하며 적절한 테크놀로지를 강의에 결합시키는 것이지만, 이보다 더 중요한 것은 교수가 위와 같은 다양한 역할을 수행하면서 학생의 동반자가 되어야 한다는 점을 참석자 모두가 공감 하면서 심포지엄을 마치게 되었다. 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 29

29 올림 피아드 이번 호에는 지난 2011년 5월 14일 (토) 에 개최되었던 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 1차시험 문제와 2011년 6월 25일(토)에 개최되었던 제25회 한국수학올림피아드 고 등부 수행평가 문제를 소개합니다. 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 1차시험 문제 1. 삼각형 ABC 에 대하여 BC = a, CA = b, AB = c라 하자. a = c이고 a 2 = b 2 +ba일 때 B = x 이다. x의 값을 구하여라. 2. 빨간색 카드가 7 장, 파란색 카드가 10 장, 노란색 카드가 15 장 있다. 빨간색 카드에는 1, 2,..., 7, 파란색 카드에는 1, 2,..., 10, 노란색 카드에는 1, 2,..., 15 중 하나의 숫자가 적혀 있고, 같은 색 카드에 적혀 있는 숫자는 서로 다르다. 빨간색, 파란색, 노란색의 카드를 각각 한 장씩 고를 때 세 장의 카드에 적혀 있는 수의 합이 11의 배수가 되도록 하는 방법의 수를 구하여라. 3. A = 60, B = 30 이고 AB = 8 인 삼각형 ABC 의 내부의 점 P 에서 세 변 BC, CA, AB 에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F 라 하자. P D 2 + P E 2 + P F 2 의 최솟값을 구하여라. 4. 양의 정수 n = 에 대하여, n 2 의 양의 약수 중 n보다 작고 n의 약수가 아닌 것의 개수를 구하여라. 5. 삼각형 ABC 에서 BC : CA : AB = 3 : 5 : 4이다. AB 위의 점 E 와 AC 위의 점 F 가 AE : AF = 3 : 2 를 만족시킨다. BC 의 중점을 M 이라 하고 AM 과 EF 의 교점을 Q라 할 때 의 값을 구하여라. 120 QE QF 6. 다음 조건을 모두 만족하는 정수들로 이루어진 순서쌍 (a 1, a 2,..., a 9 )의 개수를 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. (1) 1 a 1 a 2 a 9 9 (2) a 5 = 5 (3) a 9 a 남학생 a 1, a 2,..., a 10 과 여학생 b 1, b 2,..., b 10 이 있다. 각 학생들에게 다음 조건을 모두 만족하도록 서로 다른 양의 정수를 하나씩 번호로 부여한다. (1) i j 이면 a i 와 b j 의 번호는 3 이상 차이나게 한다. 30 대한수학회소식 제 138호

30 (2) 같은 성별의 두 학생의 번호는 2 이상 차이나게 한다. (3) b 10 에게 가장 큰 번호를 부여한다. 이때, b 10 에게 번호로 부여할 수 있는 수의 최솟값을 구하여라. 8. 양의 정수의 순서쌍 (n, k) (n, k 100)에 대하여,집합 {n, n+1, n+2,..., n+k}에 속하는 수들의 합으로 나타낼 수 있는 정수 전체의 집합을 X(n, k)라 하자. 예를 들어, n = 9, k = 2인 경우 19 = , 28 = , 44 = 이므로 19, 28, 44는 모두 X(9, 2) 에 속한다. 2n 이상의 정수 중 X(n, k) 에 속하지 않는 것이 1개가 되게 하는 순서쌍 (n, k)의 개수를 구하여라. 집합 {n, n + 1, n + 2,, n + k}에 속하는 각각의 수도 집합 X(n, k)에 속한다. 예를 들어, 9도 X(9, 2)에 속한다 보다 작은 양의 정수 n 중 n 32 1 이 2 10 의 배수가 되게 하는 것의 개수를 구하여라. 단, 0 은 모든 정수의 배수이다. 10. 사각형 ABCD 가 지름이 BC 인 원에 내접한다. AB = 15 2, CD = 5 이고 B + C = 135 일 때, (AD) 2 의 값을 구하여라. 11. 주어진 그림에서 각 변의 길이는 1이다. 변을 따라 점 A에서 시작하여 점 B 에서 끝나는 경로 중 길이가 11인 것의 개수를 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. 단 격자점에서만 방향을 바꿀 수 있으며, 각 변이나 각 격자점(A, B 포함)을 두 번 이상 지나는 것도 가능하다. B A 12. 양의 정수 m, n (m > n)에 대하여 m 2 n 2 2n 이 1000보다 작은 소수가 될 때, m n의 최솟값과 최댓값의 합을 구하여라. 13. 삼각형 ABC 의 외심을 O, 내심을 I 이라 하고 A 의 이등분선이 삼각형 ABC 의 외접원과 만나는 점을 D ( A), BC 와 만나는 점을 E 라 하자. AE 의 수직이등분선과 OA의 교점을 K 라 할 때, OK = 3이고 DE IE = 90이다. 삼각형 ABC 의 내접원의 반지름의 길이를 구하여라. 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 31

31 14. 세 자리 이하의 양의 정수 중 어느 자리에도 1이 나타나지 않는 것들의 평균값을 기약분수 n m 으로 표현했을 때 m + n을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라 이하의 서로 다른 양의 정수 7개로 이루어진 집합 A = {x 1, x 2,..., x 7 }에 대하여 A의 원소 중 n보다 작거나 같은 것의 개수를 a n 이라 하자. 등식 a a a a a = 이 성립할 때, 의 값을 구하여라. x 1 x 2 x 양수 a, b가 ab(a + b + 1) = 25를 만족할 때 의 최솟값을 구하여라. (a + b)(b + 1) 17. 다음 식의 값보다 작은 정수 중 가장 큰 것을 구하여라 중심이 O 이고 지름이 BC 인 원 위의 점 A ( B, C)가 AB < AC 를 만족한다. 점 A에서 원에 접하는 직선을 l이라 하고, 점 C 에서 직선 l에 내린 수선의 발을 D, CD 와 원의 교점을 E ( C), 점 E 를 지나고 BD 에 평행인 직선이 OA 와 만나는 점을 F, BF 와 원의 교점을 J ( B), CJ 와 AD 의 교점을 K 라 하자. DK = 4, CE = 10일 때, (BC) 2 의 값을 구하여라. 19. 양의 정수 a, m, n (101 a 199)은 다음 두 조건을 모두 만족한다. (1) m + n은 a의 배수 (2) mn = a(a + 1) 이 때, m + n의 값을 구하여라. 20. 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수 a, b, c, n으로 이루어진 순서쌍 (a, b, c, n)의 개수를 구하여라. (1) n a + 2n b = n c (2) a + b + c 500 제한시간 4시간 문제 1 4번은 각 4점, 문제 17 20번은 각 6점, 나머지는 각 5점 <정답> 1) 036 2) 097 3) 006 4) 450 5) 225 6) 675 7) 029 8) 049 9) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 대한수학회소식 제 138호

32 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 고등부 수행평가 문제 1. 다음 등식을 만족시키는 복소수 순서쌍 (z, w)는 모두 몇 개인가? z 2 + w 2 = z 4 + w 4 = z 8 + w 8 2. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n 중 가장 작은 것을 구하여라. 모든 일대일함수 f : {1, 2,..., 8} {1, 2,..., 8} 에 대해, f 를 n번 합성한 함수는 항등함수이다. 3. 다음 조건 (i), (ii)를 모두 만족하는 정수 k 전체의 집합을 A라 하자. (i) 1 k < 449 (ii) k 은 449의 배수 A의 모든 원소의 합을 1000으로 나눈 나머지는 얼마인가? 4. 출제취소 5. 회원이 25 명인 바둑 동호회에서 각 회원이 정확히 k 명과 일대일로 대국하도록 대진표를 만들고자 한다. 이러한 대진표를 만들 수 있는 양의 정수 k 를 모두 더하면 얼마인가? (임의의 서로 다른 두사람 간의 대국 회수는 최대 1회이다) 6. 양의 정수 전체의 집합 N에서 정의된 함수 f : N N {0}가 다음 조건 (i), (ii)를 모두 만족한다. (i) f(11) = 2 (ii) m, n이 서로 소이면 f(mn) = f(m) + d(m)f(n) (단, d(m)은 m의 양의 약수의 개수) 이때 f(900)은 얼마인가? 7. 상수 c k (k = 0, 1,..., 24)가 모든 x (x 0)에 대하여 ( x + 1 x + 2) 12 = 24 을 만족시킬 때, ( 1) k c 2 k 의 값을 구하여라. k=0 24 k=0 c k x k 사각형 ABCD 의 한 꼭짓점 D 를 지나고 BC 에 평행한 직선이 변 AB 와 점 E 에서 만난다. AE = 10, BE = 20, CD = CE = 5 2, BAD = 2 CED 일 때, BD 의 값을 구하여라. 2011년 7월호 The Newsletter of the KMS 33

33 9. 각 자리수가 1 또는 2 로 이루어진 7 자리 양의 정수 전체의 집합을 A 라 하자.다음 조건을 만족하는 A 의 부분집합 S 중 원소가 가장 많은 것은 몇 개의 원소를 가지고 있는가? 임의의 서로 다른 두 원소 m S, n S 에 대하여 m + n의 7개의 자리수 중 숫자 3이 세 개 이상이다. 10. 양수 a, b, c, d에 대한 식 ab + 4bc + cd a 2 + b 2 + c 2 + d 2 의 최댓값을 M 이라 할 때, 64(M 1) 6 의 값은 얼마인가? 11. 각 B 가 둔각이고 AC = 9인 삼각형 ABC 의 중심을 G라 하자. 꼭지점 A에서 직선 BC 에 내린 수선의 발을 D, 선분 AD 의 중점을 E, 직선 AG가 삼각형 ABC 의 외접원과 만나는 점을 F (F A)라 할 때, EG 와 DF 가 평행하다. 선분 AD 와 삼각형 ABC 의 외접원의 교점 P (P A) 에 대하여 BP = 2 라 하자. 삼각형 ABC 의 외접원의 지름의 길이를 d라 할 때, d 2 의 값을 구하여라. (삼각형의 중심은 무게중심을 뜻한다.) 12. 홀수인 소수 P 에 대하여 다음 조건 (i), (ii), (iii)을 동시에 만족하는 양의 정수 k 가 모두 332개 있다. (i) k p 2 (ii) m 2 k 가 p의 배수가 되는 정수 m이 존재한다. (iii) n 2 k 1이 p의 배수가 되는 정수 n은 존재하지 않는다. 이때 p를 1000으로 나눈 나머지는 얼마인가? 13. 각 C 가 60 이고 AC = 48, BC = 30인 삼각형 ABC 의 내심을 I, 외심을 O 라 하자. 직선 IO 와 변 AC 의 교점을 D 라 할 때, DI 2 의 값을 구하여라. 14. 정수 a 1, a 2,..., a 20 의 최대공약수를 G(a 1, a 2,..., a 20 ) 이라 하자. 다음 조건 (i), (ii) 를 모두 만족하는 정수 a 1, a 2,..., a 20 에 대하여 G(a 1, a 2,..., a 20 )의 최댓값을 구하여라. (i) 1000 < a 1 < a 2 < < a 20 (ii) a 1 + a a 20 = 집합 X, Y 에 대해 X Y = {(x, y) x X, y Y }라 하자. {0, 1} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합이면서 다음 조건을 만족하는 집합 A 중 공집합이 아닌 것은 모두 몇 개인가? (a 1, b 1 ) A, (a 2, b 2 ) A이면 a 1 a 2 + b 1 b 정수 n에 대하여 a n = (6n + 1) π 라 하자. 이때 18 ( 60 ) 2 n cos a n + n=1 의 값을 1000으로 나눈 나머지는 얼마인가? ( 60 n=1 n sin a n ) 2 34 대한수학회소식 제 138호