정수론 - (Number Theory)

Size: px
Start display at page:

Download "정수론 - (Number Theory)"

Transcription

1 정수론 (Number Theory) 정주희 (Jeong, Joohee) Kyungpook National University 2017 년 9 월 4 일. 자연대 101 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 1 / 36

2 목차 1 최대공약수 2 부정방정식과합동식 3 페르마의정리와오일러의정리 4 원시근, 이산로그, 연분수 5 응용과연습 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 2 / 36

3 최대공약수 All variables are integers unless stated otherwise. ( a)( b 0)( 1 q)( 1 r)(a = qb + r and 0 r < b ) q = quotient, 몫 r = remainder, 나머지, a%b b a def (b 0) q(a = qb) Fact 1. a ( (±1 a) (a 0 ±a a ±a 0) ) ( a)( b 0)(a b a b ) a b ( (a b) (b a) a = ±b ) a(a ± 1 a = ±1) 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 3 / 36

4 최대공약수 Fact 2. 약수의약수는약수이다. 배수의배수는배수이다. 배수들의선형조합은배수이다. ( 배선배의법칙 ) Definition 1. gcd(a, b) = c def lcm(a, b) = c def ( (c > 0) (c a) (c b) ( x) ( (x a) (x b) c x )) ( (c > 0) (a c) (b c) ( x > 0) ( (a x) (b x) c x )) 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 4 / 36

5 최대공약수 Fact 3. gcd 와 lcm 에는교환법칙이성립한다. gcd(a, b) = gcd(b, a), lcm(a, b) = lcm(b, a) Fact 4. 0은모든수의배수이므로, gcd(0, 0) : 존재하지않음 gcd(0, a) : a (a 0) lcm(0, a) : 존재하지않음 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 5 / 36

6 최대공약수 Theorem a, b 의최대공약수는이둘의선형조합으로서양수인것중에 가장작은것이다. gcd(a, b) = min ( {ax + by x, y Z} N ) Corollary. 최대공약수는모든공약수의배수이다. Problem. 최소공배수는모든공배수의약수임을증명하시오. ( 위의정리를사용할필요가없다.) Problem. a, b의임의의선형조합은 gcd(a, b) 의배수이며역으로 gcd(a, b) 의임의의배수는 a, b의선형조합임을보이시오. Definition. gcd(a, b) = 1일때 a와 b는서로소 (relatively prime) 라한다. (1은모든정수와서로소임.) 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 6 / 36

7 최대공약수 Definition. 소수 (prime number) 는 1 과자기자신외에는양의 약수가없는 2 이상의자연수이다. Theorem (The Fundamental Theorem of Arithmetic) 임의의 2 이상의자연수 n 은유일한방법으로소인수분해된다. ( 음의정수의소인수분해는그것의절댓값의소인수분해에 1 을곱한것이다.) n = p e p em m (p 1 < p 2 < < p m are primes, e i 1) Fact. 두수가서로소라는것은두수가공통소인수를가지지않는다는것을의미한다. a b a와 b를소인수분해했을때 a의각소인수 p 의지수가 b 의 p의지수이하이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 7 / 36

8 최대공약수 Fact. 두자연수 a, b 가아래와같이소인수분해된다면, a =p e p em m and b = p f p fm m, p 1 < p 2 < < p m are primes and e i, f i 0 이두자연수의최대공약수와최소공배수는다음과같이 얻어진다. gcd(a, b) = p min(e 1,f 1 ) 1... p min(em,fm) m, lcm(a, b) = p max(e 1,f 1 ) 1... p max(em,fm) m. Problem. gcd(a, b) lcm(a, b) = ab 를증명하시오. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 8 / 36

9 최대공약수 자연수 n 의소인수분해 n = p e p em m (p 1 < p 2 < < p m, e i 1 로부터 n 의양의약수의개수 τ(n) 과이들의합 σ(n) 을얻을수 있다. gcd(n, m) = 1 f (nm) = f (n)f (m) 을만족하는함수 f 를 승법적 (multiplicative) 이라고한다. τ 와 σ 는승법적이다. τ(p n ) = n + 1 σ(p n ) = 1 + p + + p n = pn+1 1 p 1 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 9 / 36

10 최대공약수 gcd(ka, kb) = k gcd(a, b) k gcd(a, b) gcd(a/k, b/k) = gcd(a, b)/k (k = gcd(a, b) 인경우가특히중요하다.) gcd(a, b) = 1이면 (a k) (b k) ab k이고, 또한 a bk a k이다. gcd(a, b) = gcd(a ± bk, b) = gcd(a, b ± ak) 유클리드알고리듬 : 위의식을 a b > 0인경우에 0 a bk < b가되도록 k를취하며반복적용하면 b = 0가되기직전의 b가최대공약수이다. gcd(a, b) = ax + by인 x, y를구하는알고리듬은 pp58 59에나와있다. 특별히 gcd(a, b) = 1인경우에는연분수를이용하여구하는방법이있다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 10 / 36

11 부정방정식과합동식 ax + by = gcd(a, b) 를일반화한방정식 (1) ax + by = c 에대해서생각해보자. (1) 이해를가질필요충분조건은 gcd(a, b) c이다. (x 0, y 0 ) 가 (1) 의해이면모든 m Z에대하여 (x 0 + bm, y 0 am) 도 (1) 의해이다. 역으로모든해는이런꼴로얻어진다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 11 / 36

12 부정방정식과합동식 각 n N 에대하여두자연수간의관계 n ( 법 n 으로같음 ) 을 아래와같이정의한다. (2) a n b def n b a def a b (mod n) 이관계는합동관계이다. 즉, 동등관계이고또한 a 1 n b 1 and a 2 n b 2 a 1 + b 1 n a 2 + b 2, and a 1 b 1 n a 2 b 2 따라서임의의 ( 정수계수 ) 다항식 f (x) = a n x n + a 1 x + a 0 에대하여 x n y f (x) f (y) 이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 12 / 36

13 부정방정식과합동식 c, x, y Z 일때 x n y cx n cy 는당연히성립한다. 이것의역 cx n cy x n y 에대해서생각해보자. 좌변을 c 로나눌수있다면좋은데... 정수들의덧셈과곱셈은문제가없으나나눗셈이문제다. 법 n 으로생각하면 때로는 나눗셈이가능하다. c 로나눈다는것은 1을곱한다는것이다. c n 이소수일때는, 대부분의 c Z 는법 n 으로역수가 존재한다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 13 / 36

14 부정방정식과합동식 예를들어 n = 7 이면 이다. 7은법 7로역수가없으나이건 7 7 0이므로문제가안된다. 즉 7의배수가아닌모든정수는법 7로역수가존재한다. 그러나소수가아닌수, 예를들어법 6으로역수를가지는수는 1과 5밖에없음을금방확인할수있을것이다. Theorem gcd(a, n) = 1 ( b)(ab n 1) 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 14 / 36

15 부정방정식과합동식 합동 ( 방정 ) 식 (3) ax n c 가해를가질필요충분조건은 gcd(a, n) c이다. Proof. x(ax n c) x y(ax + ny = c) gcd(a, n) c 앞서 (1) 에서 ax + by = c가해를가질조건은 gcd(a, b) c 이었기때문이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 15 / 36

16 부정방정식과합동식 합동식 ax n c은, gcd(a, n) = 1인경우에는 gcd(a, n) c의조건이당연히만족되므로해를가질것이다. 그리고 x = a 1 c 는해가됨을알수있다. 법 n으로는이것이유일한해이다. 왜냐하면 ax n c n ay이면 n a(y x), 따라서 n y x 이기때문이다. gcd(a, n) = g 1 일경우에는 ax n c 의해가 ( 존재하는경우에는 ) 여럿존재한다. ax n c a g x n/g 이고우변의해는법 n 으로유일하게존재한다. g c g 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 16 / 36

17 부정방정식과합동식 x 0 를 a g x n/g c g 의해라하면 x 0 + n g 도 a g x n/g c g 의해이고 따라서 ax n c 의해이다. x 0, x 0 + n g, x n g,..., x 0 + (g 1) n g 는모두마찬가지로 ax n c 의해이다. 이들은법 g n 으로는 동일하지만법 n 으로는구별된다. 따라서 ax n c 의해는 ( 법 n 으로 ) 정확히 g def = gcd(a, n) 개 존재한다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 17 / 36

18 페르마의정리와오일러의정리 Definition A Z는법 n에대한완전잉여계 ( r {0, 1,..., n 1})( 1 x A)(x%n = r) 예를들어 {1,..., n} 은완전잉여계이다. Theorem {a 1,..., a n } Z가법 n에대한완전잉여계이고 c Z일때 (i) {a 1 + c,..., a n + c} 는법 n에대한완전잉여계이다. (ii) gcd(n, c) = 1이면 {a 1 c,..., a n c} 는법 n에대한완전잉여계이다. 게다가 a i n 0 ca i n 0이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 18 / 36

19 페르마의정리와오일러의정리 Theorem (Fermat s little theorem) a Z가소수 p의배수가아니면 a p 1 p 1 이다. Proof. gcd(a, p) = 1이므로 p에대한완전잉여계 {1,..., p} 에 a 를곱하여얻은집합 {a, 2a,..., pa} 도완전잉여계이다. 따라서 1 2 (p 1) p a (2a) ((p 1)a) (p 1)! p (p 1)! a p 1 (p 1)! 의역원을위합동식의양변에곱하면원하는합동식을얻는다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 19 / 36

20 페르마의정리와오일러의정리 Remark. 법 n에대한역원이자기자신인수, 즉 x 2 n 1인 x 에는 1과 n 1이있다. Q1: 이둘외에더있을수있는가? A: , 등의예가있다. n = p가소수일때는이럴수없다. x 2 1 p 0 p (x 1)(x + 1) x p ±1 Q2: n이소수가아니면어떻게되는가? Theorem. p가소수이면 (p 1)! p 1이다. ( 윌슨의정리 ) 증명의힌트 : {2,..., p 2} 의각원소는그것의역원을이집합내에가지므로 2개씩짝을지을수있다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 20 / 36

21 페르마의정리와오일러의정리 Remark. 법 n에대한역원이자기자신인수, 즉 x 2 n 1인 x 에는 1과 n 1이있다. Q1: 이둘외에더있을수있는가? A: , 등의예가있다. n = p가소수일때는이럴수없다. x 2 1 p 0 p (x 1)(x + 1) x p ±1 Q2: n이소수가아니면어떻게되는가? Theorem. p가소수이면 (p 1)! p 1이다. ( 윌슨의정리 ) 증명의힌트 : {2,..., p 2} 의각원소는그것의역원을이집합내에가지므로 2개씩짝을지을수있다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 20 / 36

22 페르마의정리와오일러의정리 Definition. U n def = {x gcd(x, a) = 1} U n def = {x Z n gcd(x, a) = 1} φ(n) = U n (Euler s function) Fact. φ(p) = p 1 φ(p n ) = p n p n 1 = p n 1 (p 1) φ is multiplicative 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 21 / 36

23 페르마의정리와오일러의정리 Theorem a U n 이면 a φ(n) n 1. 증명의힌트 : m def = φ(n), U n def = {x 1,..., x m } 이라하면임의의 a U n 에대해서 {ax 1 %n,..., ax m %n} = U n 이다. 이제페르마의 정리의증명을흉내내면된다. Problem. U n 의원소들을모두곱한것은법 n 으로무엇인가? n 이소수일때는이것의값은윌슨의정리에의하여 1 이된다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 22 / 36

24 원시근, 이산로그, 연분수 Definition n N, a U n 에대하여 a k n 1 을만족하는최소의자연수 k 를 법 n 에대한 a 의위수 def = ord n (a) 라정의한다. Fact. n N, a U n 일때 위수 ord n (a) 는반드시존재한다. a k n 1 ord n (a) k ord n (a) φ(n) a j n a k ord n (a m ) = j ordn(a) k ord n(a) gcd(ord n(a),m) 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 23 / 36

25 원시근, 이산로그, 연분수 Definition n N일때, ord n (a) = φ(n) 인정수 a Un 를법 n에대한원시근이라한다. Theorem a가법 n N에대한원시근이면 {a%n, a 2 %n,..., a φ(n) %n} = U n 이다. Fact. 법 n에관한원시근이존재한다면 n 이하의양의원시근은 φ(φ(n)) 개존재한다. n = p( 소수 ) 이면 p 1의각약수 d에대해서위수가 d인 U p 의원소의개수는 φ(d) 이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 24 / 36

26 원시근, 이산로그, 연분수 Theorem 법 n N에대한원시근이존재할필요충분조건은 n = 2, 4, p k, 2p k 이다. ( 단, p는홀수의소수.) Definition a Z가법 n N에대한원시근일때, 각 x Un 에대하여 a를밑으로하는 x의이산로그 ind a (x) {1,..., φ(n)} 를 x n a k 를만족하는최소의자연수 k로정의한다. Q: ind a (x) 와 log a (x) 의같은점과다른점은무엇인가? 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 25 / 36

27 원시근, 이산로그, 연분수 Fact. a가 n을법으로하는원시근일때모든 x, y Un, m N 에대하여다음이성립한다. x n y ind a (x) = ind a (y) ind a (xy) φ(n) ind a (x) + ind a (y) ind a (x m ) φ(n) m ind a (x) a inda(x) n x ind a (a m ) φ(n) m 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 26 / 36

28 원시근, 이산로그, 연분수 Notation. a 0 Z, a 1, a 2,... N일때 1 [a 0, a 1, a 2,...] = a a 1 + a Fact. 모든유리수는 a n > 1 의조건하에서는 [a 0, a 1,..., a n ] 으로 유일하게표현된다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 27 / 36

29 응용과연습 gcd(a, n) = 1이고 gcd(b, n) = 1이면반드시 gcd(ab, n) = 1 인가? 역은어떠한가? a n 1이고 b n 1이면반드시 ab n 1인가? 역은어떠한가? gcd(a, n) = 1과 a n 1 간의함의관계는? a n 1이고 a m 1이면 a nm 1인가? 역은어떠한가? 우변의 1을 c로바꾸면어떻게되는가? 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 28 / 36

30 응용과연습 Theorem. ( 중국인나머지정리 ) 연립합동방정식 x n1 a 1, x n2 a 2,..., x nr a r 의해는, n i 들이쌍마다서로소이면, 법 n 1 n 2 n r 로유일하게존재한다. Proof. 유일성은당연히성립하므로존재성만증명하기로한다. r = 2, n 1 = n, n 2 = m인경우에대하여먼저증명하겠다. 오일러함수를이용하는증명 : 함수 f : U nm U n U m 을 f (x) = (x%n, x%m) 로정의했을때이것이전사임을보이겠다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 29 / 36

31 응용과연습 오일러의 φ 함수가승법적이므로 U nm = U n U m 이고, 원소의개수가같은두유한집합간의함수는단사일때면이전사이므로 f 가단사임을보이면되는데, (x%n, x%m) = (y%n, y%m) n x y and m x y nm x y x U mn 이면 x%n U n and x%m U m 임은 서로소 공통소인수없음 을생각하면곧알수있다. ( 여기서는 m, n이서로소임을필요로하지않는다.) 이로써 gcd(n, a) = 1 = gcd(m, b) 인경우에는 x n a, x m b의해가법 nm으로유일하게존재함을증명하였다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 30 / 36

32 응용과연습 이제일반적인경우를생각해보자. gcd(n, a) def = g 1, gcd(m, b) def = g 2 로두면 a/g 1 U n/g1 and a/g 2 U m/g2 이므로 x n/g1 a/g 1 and x m/g2 a/g 2 인 x 이법 nm/g 1 g 2 으로 유일하게존재함을안다. x g 1 n a 이고 x g 2 m b 이므로 x def = x g 1 + nq 1 = x g 2 + mq 2, 즉 nq 1 mq 2 = x (g 2 g 1 ) 인 q 1, q 2 Z 를찾으면된다. 이것은 gcd(n, m) = 1 에의하여 보장된다. 이로써 r = 2 인경우에대한중국인나머지정리의 증명이완성되었다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 31 / 36

33 응용과연습 r > 2인경우에는수학적귀납법을사용한다. (4) x n1 a 1, x n2 a 2,..., x nr 1 a r 1, x nr a r 가주어졌을때, n = n 1 n r 1, m = n r 로두면, (5) x n1 a 1, x n2 a 2,..., x nr 1 a r 1 의해는귀납가설에의하여존재할것이므로이를 x라하자. x%n = a, a r = b로두면 (6) x%n = a, x%m = b 의해가존재할것인데, x%n = a인 x는 (5) 의해가되므로, (6) 의해는바로원래의연립합동방정식 (4) 의해가된다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 32 / 36

34 응용과연습 r = 2 인경우에대한, 오일러의함수를이용하지않는증명 2 개를더제시한다. 증명 1: 함수 f : Z nm Z n Z m 을 f (x) = (x%n, x%m) 로정의하면이함수는단사이며 Z nm = Z n Z m 이므로전사가된다. 증명 2: x n a의해로이루어진집합 {a, a + n, a + 2n,..., a + (m 1)n} 를생각해보자. 이집합은법 m에대한완전잉여계이므로원소중하나, x i = a + i n는 b와법 m으로같다. 그러면 x i n a이고또한 x i m b이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 33 / 36

35 응용과연습 Remark 1. 중국인나머지정리를이용하여오일러의함수 φ가승법적임을보이는증명은여기있다. 이강의노트를충분히이해한학생들은이웹페이지를읽지않고도이증명을찾을수있을것이다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 34 / 36

36 응용과연습 Theorem. ( 가우스의정리 ) n N이면 φ(d) = n d n, d>0 Proof. n의소인수의개수 π n 에대한수학적귀납법을사용한다. π n = 1인경우에는 n = p e 으로두면 n의약수는 1, p, p 2,..., p e 이며, 이들의 φ 값은 1, p 1, p 2 p,..., p e p e 1 이다. 따라서 φ(d) = 1+( 1+p)+( p+p 2 )+ +( p e 1 +p e ) = p e = n d n 이다. π n > 1 인경우에는 n = ab, gcd(a, b) = 1, a > 1, b > 1 으로둔다. 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 35 / 36

37 응용과연습 a 의모든약수들의집합을 {x 1,..., x r }, b 의모든약수들의 집합을 {y 1,..., y s } 로두었을때 n 의모든약수들의집합은 {x i y j 1 i r, 1 j s} 이므로 r s r s φ(d) = φ(x i y j ) = φ(x i )φ(y j ) d n i=1 j=1 i=1 j=1 r s = φ(x i ) φ(y j ) = φ(d) φ(d) = ab = n i=1 j=1 d a d b 이다. - end - 정주희 (Jeong, Joohee) (K.N.U.) 정수론 2017 년 9 월 4 일 36 / 36

체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x

체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x 체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0 F, m > 0 에대해 f(x) = g(x)q(x) + r(x) 을만족하는

More information

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로 3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로성립한다. Theorem 7 두함수 f : X Y 와 g : X Y 에대하여, f = g f(x)

More information

정수론의 기반 수학적 귀납법의 원리 Nottion 1.1 N = {1,, 3,...} = 자연수 전체의 집합 Z = {...,, 1, 0, 1,,...} = 정수 전체의 집합 Q = { b, b Z, b 6= 0} = 유리수 전체의 집합 R = {limn n

정수론의 기반 수학적 귀납법의 원리 Nottion 1.1 N = {1,, 3,...} = 자연수 전체의 집합 Z = {...,, 1, 0, 1,,...} = 정수 전체의 집합 Q = { b, b Z, b 6= 0} = 유리수 전체의 집합 R = {limn n 정수론 정주희경북대학교수학교육과 018년 11월 3일 차례 1 정수론의기반 1.1 수학적귀납법의원리................................. 1. 약수와배수....................................... 3 1.3 최대공약수와최소공배수............................... 7 1.4 소수와소인수분해...................................

More information

Microsoft PowerPoint - 26.pptx

Microsoft PowerPoint - 26.pptx 이산수학 () 관계와그특성 (Relations and Its Properties) 2011년봄학기 강원대학교컴퓨터과학전공문양세 Binary Relations ( 이진관계 ) Let A, B be any two sets. A binary relation R from A to B, written R:A B, is a subset of A B. (A 에서 B 로의이진관계

More information

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 역함수의미분 : 두실수 a b 와폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 가 ( a, b) 미분가능하다고가정하자. 만일 f '( ) 0 이면역함수 f 은실수 f( ) 에서미분가능하고 ( f )'( f ( )) 이다. f '( ) 에서 증명 : 폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 는증가함수이거나감소함수이다 (

More information

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0)

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0) FGB-P8-3 8 학번수학과권혁준 8 년 5 월 9 일 Lemma p 를 C[, ] 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C, C[, ] 가미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 을만족하는해라고하면, y 는, 에서연속적인이계도함수를가지게확 장될수있다. Proof y 은 y 의도함수이므로미적분학의기본정리에의하여, y 은 y 의어떤원시 함수와적분상수의합으로표시될수있다.

More information

Microsoft PowerPoint Relations.pptx

Microsoft PowerPoint Relations.pptx 이산수학 () 관계와그특성 (Relations and Its Properties) 2010년봄학기강원대학교컴퓨터과학전공문양세 Binary Relations ( 이진관계 ) Let A, B be any two sets. A binary relation R from A to B, written R:A B, is a subset of A B. (A 에서 B 로의이진관계

More information

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 >

More information

TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X

TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X Y 가전사함수일때, T Y = {U Y f 1 (U) is open set in X} 로정의하면

More information

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과 함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function spce) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과같음을볼수있다. 각 x X에대해 Y x = Y 라하자. 그리고 F := Y x x X 이라하자.

More information

제1장 군 제1절 소개와 예 제2절 이항연산 2.1 보기. 다음은 정수방정식 a + x = b를 푸는 과정이다. (1) 준식에 a를 더하여 ( a) + (a + x) = ( a) + b. (2) 결합법칙을 사용하면 (( a) + a) + x = ( a) + b. (3)

제1장 군 제1절 소개와 예 제2절 이항연산 2.1 보기. 다음은 정수방정식 a + x = b를 푸는 과정이다. (1) 준식에 a를 더하여 ( a) + (a + x) = ( a) + b. (2) 결합법칙을 사용하면 (( a) + a) + x = ( a) + b. (3) 제장 군 제절 소개와 예 제절 이항연산. 보기. 다음은 정수방정식 + x = b를 푸는 과정이다. () 준식에 를 더하여 ( ) + ( + x) = ( ) + b. () 결합법칙을 사용하면 (( ) + ) + x = ( ) + b. () ( ) + = 임을 이용하면 + x = ( ) + b. (4) + x = x 이므로 x = ( ) + b. 이를 유리수방정식

More information

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라 완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라한다. Example 0.2. < a n > 이 p에수렴하는점렬이면모든 ɛ > 0에대해 n

More information

31. 을전개한식에서 의계수는? 를전개한식이 일 때, 의값은? 을전개했을때, 의계수와상수항의합을구하면? 을전개했을때, 의 계수는? 를전개했을때, 상수항을 구하여라. 37

31. 을전개한식에서 의계수는? 를전개한식이 일 때, 의값은? 을전개했을때, 의계수와상수항의합을구하면? 을전개했을때, 의 계수는? 를전개했을때, 상수항을 구하여라. 37 21. 다음식의값이유리수가되도록유리수 의값을 정하면? 1 4 2 5 3 26. 을전개하면상수항을 제외한각항의계수의총합이 이다. 이때, 의값은? 1 2 3 4 5 22. 일때, 의값은? 1 2 3 4 5 27. 를전개하여간단히 하였을때, 의계수는? 1 2 3 4 5 23. 를전개하여 간단히하였을때, 상수항은? 1 2 3 4 5 28. 두자연수 와 를 로나누면나머지가각각

More information

제 12강 함수수열의 평등수렴

제 12강 함수수열의 평등수렴 제 강함수수열의평등수렴 함수의수열과극한 정의 ( 점별수렴 ): 주어진집합 과각각의자연수 에대하여함수 f : 이있다고가정하자. 이때 을집합 에서로가는함수의수열이라고한다. 모든 x 에대하여 f 수열 f ( x) lim f ( x) 가성립할때함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다고한다. 또 함수 f 을집합 에서의함수수열 { f } 의극한 ( 함수 ) 이라고한다.

More information

2

2 rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48

More information

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1 8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 이메일(junmomath8@gmail.com)

More information

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표 Vector Differential: 벡터 미분 Yonhee Lee October 7, 08 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표기법을 정의하는 방법이다 보통 스칼라(scalar)에 대한 미분은 일분수 함수 f : < < 또는 다변수 함수(function

More information

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770>

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가

More information

Python과 함께 배우는 신호 해석 제 5 강. 복소수 연산 및 Python을 이용한 복소수 연산 (제 2 장. 복소수 기초)

Python과 함께 배우는 신호 해석 제 5 강. 복소수 연산 및 Python을 이용한 복소수 연산      (제 2 장. 복소수 기초) 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 ( 제 2 장. 복소수기초 ) 한림대학교전자공학과 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 1 배울내용 복소수의기본개념복소수의표현오일러 (Euler) 공식복소수의대수연산 1의 N 승근 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 2 복소수의 4 칙연산 복소수의덧셈과뺄셈에는직각좌표계표현을사용하고,

More information

1 1,.,

1 1,., ,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x

More information

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut 경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si

More information

<38BFF93238C0CF28B1DDBFE4C0CF2920BFB9BBF3B9E8B4E72E786C7378>

<38BFF93238C0CF28B1DDBFE4C0CF2920BFB9BBF3B9E8B4E72E786C7378> [부산 ] 2009년 08월 28일 ( 金 ) 1경주 국 5(마령)1000M 발주 13:00 종합 인기도 출전 착순 출주 10 11 5 검은요정 국5 한2 암 김재섭 영준 53 3착 선행 5 5 5 15 1 6 3 0.3 주 10 랜드레이디 국5 한2 암 강형곤 현명 53 3착 선행 10 5 6.3 10 10 4 8 4 2 4 주 11 일맥상통 국5 한3 암

More information

1 11 111 111-1 p, q, r A, B, C (1 p

More information

암호이론과 보안 고전적 암호시스템

암호이론과 보안                               고전적 암호시스템 6장 : 공개키 암호시스템 정보보호이론 Fall 2014 Mid-Term 10월 21일 2014. 19:00 pm ~ 21:00 pm 10월 14일 수업내용까지 Need to fully understand various concepts on cryptographic primitives. Write down all your works to obtain full

More information

통신이론 2 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 1

통신이론 2 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 1 통신이론 장주파수해석 성공회대학교 정보통신공학과 제 장의구성. 시간영역과주파수영역. 푸리에해석.3 푸리에급수.4 푸리에변환.5 특이함수모델.6 푸리에변환쌍.7 푸리에변환과관련된정리들 . 시간영역과주파수영역 3 시간영역과주파수영역 통신에서의신호 - 시간의흐름에따라전압, 전류, 또는전력의변화량을나타낸것 신호를표시할수있는방법 y 진폭 시간영역에서의표현 x 시간 y

More information

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속 1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속 2 1.1 함수를표현하는네가지방법 함수 f : D E 는집합 D 의각원소 x 에집합 E 에속하는단하나의원소 f(x) 를 대응시키는규칙이다.

More information

제 5강 리만적분

제 5강 리만적분 제 5 강리만적분 리만적분 정의 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하자.. 만일 P [, ] 이고 P 가두끝점, 을모두포함하는유핚집합일때, P 을 [, ] 의분핛 (prtitio) 이라고핚다. 주로 P { x x x } 로나타낸다.. 분핛 P { x x x } 의노름을다음과같이정의핚다. P x x x. 3. [, ] 의두분핛 P 와 Q 에대하여만일 P Q이면 Q

More information

( )EBS문제집-수리

( )EBS문제집-수리 www.ebsi.co.kr 50 024 www.ebsi.co.kr 025 026 01 a 2 A={ } AB=2B 1 4 B a 03 æ10 yæ10 y 10000 y (log )( log y) Mm M+m 3 5 7 9 11 02 { -2 1} f()=-{;4!;} +{;2!;} +5 Mm Mm -21-18 -15-12 -9 04 a =1a«+a«=3n+1(n=1,

More information

public key private key Encryption Algorithm Decryption Algorithm 1

public key private key Encryption Algorithm Decryption Algorithm 1 public key private key Encryption Algorithm Decryption Algorithm 1 One-Way Function ( ) A function which is easy to compute in one direction, but difficult to invert - given x, y = f(x) is easy - given

More information

2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,

2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3, (M 2 ) 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3, 3,,, 2003 8, 4 1 7 11 8 12 26 2 39 21 40 22 54 23 67 24 80 3 93 31 n! 94 32 101 33 115 4 131 41 132 6 42 146 5 163 51 164 52 180 1 8 11 4 4?!,? 2??,?

More information

4.2 합동연산 합동연산, 이른바 모듈로연산은 제 3장: 군론편에서 이미 한번 소개되었다. 하지만, 다소 설명이 부족했던 관계로, 모듈로연산이 진정 무엇을 의미하는지 조금 더 살펴보 도록 하겠다. 필자는 합동연산의 예제로 5 (mod 4)임을 보였다. 왜냐하면 과 5는

4.2 합동연산 합동연산, 이른바 모듈로연산은 제 3장: 군론편에서 이미 한번 소개되었다. 하지만, 다소 설명이 부족했던 관계로, 모듈로연산이 진정 무엇을 의미하는지 조금 더 살펴보 도록 하겠다. 필자는 합동연산의 예제로 5 (mod 4)임을 보였다. 왜냐하면 과 5는 Chapter 4 정수론 4. 여는 글 2500여년 전, 피타고라스는 만물의 근원을 수라고 주장했다. 수는 단순히 숫자들의 연속이 아니다. 수를 살펴보면 특이한 법칙들로 조화로운 구조를 이룬다. 심지어 그것 이 모두 수 라는 하나의 집합에 포함되어 있지만 실수냐, 유리수냐, 혹자는 정수냐에 따라서 그 성질들은 모두 다르다. 예컨데, 정수집합과 유리수집합의 크기는

More information

초4-1쌩큐기본(정답)본지

초4-1쌩큐기본(정답)본지 초4-1쌩큐기본(정답)본지 2014.10.20 06:4 PM 페이지1 다민 2540DPI 175LPI 3~4학년군 수학 진도교재 1. 큰 수 3 4-1 2 2. 곱셈과 나눗셈 12 3. 각도와 삼각형 21 4. 분수의 덧셈과 뺄셈 34 5. 혼합 계산 43 6. 막대그래프 54 단원 성취도평가 61 쌩큐 익힘책 67 1 6000 7000 8000 9000 10000

More information

미분기하학 II-16 복소평면의선형분수변환과쌍곡평면의등장사상 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26

미분기하학 II-16 복소평면의선형분수변환과쌍곡평면의등장사상 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26 미분기하학 II-16 복소평면의 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26 자, 이제 H 2 의등장사상에대해좀더자세히알아보자. Definition 선형분수변환이란다음형식의사상을뜻한다. Example f (z) = az +

More information

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation 5 불대수 IT CookBook, 디지털논리회로 - 2 - 학습목표 기본논리식의표현방법을알아본다. 불대수의법칙을알아본다. 논리회로를논리식으로논리식을논리회로로표현하는방법을알아본다. 곱의합 (SOP) 과합의곱 (POS), 최소항 (minterm) 과최대항 (mxterm) 에대해알아본다. 01. 기본논리식의표현 02. 불대수법칙 03. 논리회로의논리식변환 04.

More information

<3235B0AD20BCF6BFADC0C720B1D8C7D120C2FC20B0C5C1FE20322E687770>

<3235B0AD20BCF6BFADC0C720B1D8C7D120C2FC20B0C5C1FE20322E687770> 25 강. 수열의극한참거짓 2 두수열 { }, {b n } 의극한에대한 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고르면? Ⅰ. < b n 이고 lim = 이면 lim b n =이다. Ⅱ. 두수열 { }, {b n } 이수렴할때 < b n 이면 lim < lim b n 이다. Ⅲ. lim b n =0이면 lim =0또는 lim b n =0이다. Ⅰ 2Ⅱ 3Ⅲ 4Ⅰ,Ⅱ 5Ⅰ,Ⅲ

More information

This is page i Printer: Opaque this 계산과법연산, 그리고비밀통신을강조한 기초정수론 William Stein 강병련역 August 24, 2017

This is page i Printer: Opaque this 계산과법연산, 그리고비밀통신을강조한 기초정수론 William Stein 강병련역 August 24, 2017 This is age i Printer: Oaque this 계산과법연산, 그리고비밀통신을강조한 기초정수론 William Stein 강병련역 August 24, 207 Contents This is age i Printer: Oaque this 서문 역자서문 iii v 소수. 소인수분해........................... 2.2 소수들의열............................3

More information

작용소의 행렬표현과 그 응용

작용소의 행렬표현과 그 응용 작용소의행렬표현과그응용 이영주 무등수학강연회 2012 년 4 월 27 일 차례 차례 용어 ( 행렬, 행렬식 ) 의유래 선형작용소에대한행렬표현 곱작용소소개 응용 : 제로곱문제와교환문제 행렬 (Matrix)? 행렬의개념은 The Nine Chapters on the Mathematical Art (BC 300-AD 200) 에서처음이용 ( 처음것의하나, 둘째것의

More information

Microsoft PowerPoint - 강의자료8_Chap9 [호환 모드]

Microsoft PowerPoint - 강의자료8_Chap9 [호환 모드] 컴퓨터구조 강의노트 #8: Chapter 9: 컴퓨터산술 2008. 5. 8. 담당교수 : 조재수 E-mail: jaesoo27@kut.ac.kr 1 컴퓨터시스템구조론 제9장컴퓨터산술 (Computer Arithmetic) 2 1 핵심요점들 컴퓨터산술에있어서두가지주요관심사는수가표현되는방법 (2진수형식 ) 과기본적인산술연산들 ( 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기

More information

Microsoft PowerPoint - Java7.pptx

Microsoft PowerPoint - Java7.pptx HPC & OT Lab. 1 HPC & OT Lab. 2 실습 7 주차 Jin-Ho, Jang M.S. Hanyang Univ. HPC&OT Lab. jinhoyo@nate.com HPC & OT Lab. 3 Component Structure 객체 (object) 생성개념을이해한다. 외부클래스에대한접근방법을이해한다. 접근제어자 (public & private)

More information

01

01 2019 학년도대학수학능력시험 9 월모의평가문제및정답 2019 학년도대학수학능력시험 9 월모의평가문제지 1 제 2 교시 5 지선다형 1. 두벡터, 모든성분의합은? [2 점 ] 에대하여벡터 의 3. 좌표공간의두점 A, B 에대하여선분 AB 를 로외분하는점의좌표가 일때, 의값은? [2점] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2. lim 의값은? [2점] 4. 두사건,

More information

<4D F736F F F696E74202D2035BBF3C6F2C7FC5FBCF8BCF6B9B0C1FA2E BC8A3C8AF20B8F0B5E55D>

<4D F736F F F696E74202D2035BBF3C6F2C7FC5FBCF8BCF6B9B0C1FA2E BC8A3C8AF20B8F0B5E55D> 5. 상평형 : 순수물질 이광남 5. 상평형 : 순수물질 상전이 phase transition 서론 ~ 조성의변화없는상변화 5. 상평형 : 순수물질 전이열역학 5. 안정성조건 G ng ng n G G 자발적변화 G < 0 G > G or 물질은가장낮은몰Gibbs 에너지를갖는상 가장안정한상 으로변화하려는경향 5. 상평형 : 순수물질 3 5. 압력에따른Gibbs

More information

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 학습목표 제4강 소유와 경영의 분리 효용함수(utility function): 효용함수, 한계효용(marginal utility), 한계대체율(marginal rate of substitution) 의 개념에 대해 알아본다 조 승 모2 (production possibility curve): 생산가능곡선과 한계변환율(marginal

More information

3. 다음은카르노맵의표이다. 논리식을간략화한것은? < 나 > 4. 다음카르노맵을간략화시킨결과는? < >

3. 다음은카르노맵의표이다. 논리식을간략화한것은? < 나 > 4. 다음카르노맵을간략화시킨결과는? < > . 변수의수 ( 數 ) 가 3 이라면카르노맵에서몇개의칸이요구되는가? 2칸 나 4칸 다 6칸 8칸 < > 2. 다음진리표의카르노맵을작성한것중옳은것은? < 나 > 다 나 입력출력 Y - 2 - 3. 다음은카르노맵의표이다. 논리식을간략화한것은? < 나 > 4. 다음카르노맵을간략화시킨결과는? < > 2 2 2 2 2 2 2-3 - 5. 다음진리표를간략히한결과

More information

제 2 교시 2019 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가문제지수학영역 1 5 지선다형 1. 의값은? [2점] 일차방정식 의해는? [2 점 ] 두수, 의최대공약수는? [2 점 ] 일차함수 의그래프에서

제 2 교시 2019 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가문제지수학영역 1 5 지선다형 1. 의값은? [2점] 일차방정식 의해는? [2 점 ] 두수, 의최대공약수는? [2 점 ] 일차함수 의그래프에서 제 2 교시 2019 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가문제지 1 5 지선다형 1. 의값은? [2점] 1 2 3 4 5 3. 일차방정식 의해는? [2 점 ] 1 2 3 4 5 2. 두수, 의최대공약수는? [2 점 ] 1 2 3 4 5 4. 일차함수 의그래프에서 절편과 절편의합은? [3 점 ] 1 2 3 4 5 1 12 2 5. 함수 의그래프가두점, 를지날때,

More information

006. Winners 일의자리의숫자가 3인 100보다작은소수의개수를구하여라 Winners 의약수를모두쓰시오 Winners 다음설명중옳은것은? ㄱ. 가장작은소수는 이다. ㄴ. 과 은서로소이다. ㄷ. 은모든자연수의약수이다. ㄹ. 두자연수가서로소이면공

006. Winners 일의자리의숫자가 3인 100보다작은소수의개수를구하여라 Winners 의약수를모두쓰시오 Winners 다음설명중옳은것은? ㄱ. 가장작은소수는 이다. ㄴ. 과 은서로소이다. ㄷ. 은모든자연수의약수이다. ㄹ. 두자연수가서로소이면공 Ⅰ. 자연수의성질 1. 소인수분해 1. 거듭제곱 (1) 거듭제곱 : 같은수나문자를거듭하여곱한것 (2) 밑 : 거듭해서곱한수나문자 (3) 지수 : 거듭하여곱해진수나문자의개수 의제곱 의세제곱 (4) 지수가 일때는 을생략한다. 즉, 2. 소수와합성수 (1) 소수 : 과자기자신만을약수로가지는자연수 ( 약수가 개 ) (2) 합성수 : 과자기자신외에또다른약수를가지는자연수

More information

Cryptography v3

Cryptography v3 Basic Cryptography 공개된암호화폐가안전한이유 Seokhwan Moon Modular Arithmetic! 값을 " 로나눌경우아래와같은식이성립함! = " % + ' 이를아래와같이표현할수있음! ()* % = ' 여기서 % 은 modulus( 법, 모듈로 ) 라고불리우며 ' 는 residue( 나머지 ) 라고불리움 프로그래밍에서 % 기호와같은역할 >>>

More information

Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' '

Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' ' 0 06 0 4 4 9 4 8 5 40 45 5 57 Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, -6 0-0. =0.04, (-0.) =0.04 0.04 0., -0. 8 =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, -7 0. 0., -0. 8, -8 6, -6 0-7 7 '7 ' 0.5 0.5 -' 0.5 ;!; ;!; æ;!; '7 '

More information

ÀÎÅͳÝ-°ø°£µµÇüÇØ

ÀÎÅͳÝ-°ø°£µµÇüÇØ .. Q.... M M : M Q : Q M : //Q.,.. I FG FE F FG, HG EH H HG F G FG ;!;_F _FG ;!;_G _F ;!;_'_;!; F F... 5. 5. 6. 5 7. 0 8. 7 9. ' FG, HG H G, H F E G H '. FG HG F, H. FH ' FH ' ' {} +{} -(') cos h -;!;

More information

#수Ⅱ지도서-4단( )

#수Ⅱ지도서-4단( ) IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;

More information

중등수학2팀-지도서7

중등수학2팀-지도서7 3 6~7 8~3 3 ª 33~37 4-38~39 40~45 4 46~53 5 54~58 3 59-60 ~6 6~63 64 VII. 4 9 (Klein F849~95) (rlangen Program) (group of transformation) ' O' =k O ' O k O ' O ' O ' ' ' ' (topology) = = O O' =k O ' '

More information

설계란 무엇인가?

설계란 무엇인가? 금오공과대학교 C++ 프로그래밍 jhhwang@kumoh.ac.kr 컴퓨터공학과 황준하 6 강. 함수와배열, 포인터, 참조목차 함수와포인터 주소값의매개변수전달 주소의반환 함수와배열 배열의매개변수전달 함수와참조 참조에의한매개변수전달 참조의반환 프로그래밍연습 1 /15 6 강. 함수와배열, 포인터, 참조함수와포인터 C++ 매개변수전달방법 값에의한전달 : 변수값,

More information

+ F F P. = = = F = F F = = 0 cm =x cm =(x+)x x=0 =0 cm cm cm x cm = =0(cm) P. 0 x=y= x= cm FF cm 0 x= x= =x(0-x) x= 0 (+)=x x= (+)=y 0 y= x= x= = 0= 0

+ F F P. = = = F = F F = = 0 cm =x cm =(x+)x x=0 =0 cm cm cm x cm = =0(cm) P. 0 x=y= x= cm FF cm 0 x= x= =x(0-x) x= 0 (+)=x x= (+)=y 0 y= x= x= = 0= 0 = = = = = - =-=0 0 F ==0 +=0 +F=0 =F ªF F = F =0 F =F = F = 0= x= x= y= y= z= z= x+y+z=++= x y z x+y+z = = ªSS = y` = = (cm) ª 0% 0% P. ªªªF =. =. =. 0 =. F =. =0 = F =. F = 0 F ªF F = =F = x=, y= x=,

More information

(Hyunoo Shim) 1 / 24 (Discrete-time Markov Chain) * 그림 이산시간이다연쇄 (chain) 이다왜 Markov? (See below) ➀ 이산시간연쇄 (Discrete-time chain): : Y Y 의상태공간 = {0, 1, 2,..., n} Y n Y 의 n 시점상태 {Y n = j} Y 가 n 시점에상태 j 에있는사건

More information

C 언어 프로그래밊 과제 풀이

C 언어 프로그래밊 과제 풀이 과제풀이 (1) 홀수 / 짝수판정 (1) /* 20094123 홍길동 20100324 */ /* even_or_odd.c */ /* 정수를입력받아홀수인지짝수인지판정하는프로그램 */ int number; printf(" 정수를입력하시오 => "); scanf("%d", &number); 확인 주석문 가필요한이유 printf 와 scanf 쌍

More information

심화 I. II. 개정

심화 I. II. 개정 심화 I. II. 개정 I. 1. 4 II. 1. 36 2. 50 자연수 I 소인수분해 소인수분해 1. 소수와합성수 1 소수 : 1 이아닌자연수중 1 과그자신만을약수로가지는수 2 합성수 : 1 이아닌자연수중에서소수가아닌수 2. 소인수분해. 1 인수 : 자연수 a, b, c 에대하여 a =. b c 일때, b, c 를 a 의인수라고한다. 2 소인수 : 소수인인수

More information

[Real Analysis]4.1

[Real Analysis]4.1 정동명해석학 4.1 수열의수렴성 1. 다음의수열 중에서어느것이수렴하는가를조사하여라. 또, 그이유를밝혀라. (1) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. 여기서 이므로 이성립한다. 따라서 은 1 로수렴한다. (2) 수렴한다. 임의의 에대하여 아르키메데스성질에의하여 을만족하는 을택하면 일때, 이성립한다. 따라서

More information

8. 수직선위에다음수들이대응할때, 원점에서가장멀리 위치한수는? 12. Å + 7 ã Å + 5 ã Å 16 ã + 3 을계산하여라 다음에서그결과가다른하나는? 1 3 보다 5 만큼큰수 9. 두정수 a, b

8. 수직선위에다음수들이대응할때, 원점에서가장멀리 위치한수는? 12. Å + 7 ã Å + 5 ã Å 16 ã + 3 을계산하여라 다음에서그결과가다른하나는? 1 3 보다 5 만큼큰수 9. 두정수 a, b 범위 : 소인수분해 정수와유리수 50 문항 / 중반 : 이름 : 중 1-1 수학중간고사대비 1. 다음중 81 의약수는? 1 2 2 4 3 5 4 6 5 9 6. 다음수들에대한설명으로옳은것은? 1 10, 1.2, 2, 2 5, 0, 4, 10 2 1 양수는 4 개이다. 2. 세수 2 7 2, 2 2 7 11, 5 11 2 의최소공배수는? 1 2 5 7 11 2

More information

<30325FBCF6C7D05FB9AEC7D7C1F62E687770>

<30325FBCF6C7D05FB9AEC7D7C1F62E687770> 고1 2015학년도 9월고수학 1 전국연합학력평가영역문제지 1 1 제 2 교시 수학영역 1. 두복소수, 에대하여 의값은? ( 단, ) [2 점 ] 1 2 3 4 5 3. 좌표평면위의두점 P, Q 사이의거리는? [2 점 ] 1 2 3 4 5 2. 두다항식, 에대하여 를간단히하면? [2점] 4. 에서이차함수 의최댓값을, 최솟값을 이라할때, 의값은? [3점] 1

More information

Áß2±âÇØ(01~56)

Áß2±âÇØ(01~56) PRT 0 heck x=7y=0 x=0y=90 9 RH RHS 8 O =8 cmp =6 cm 6 70 7 8 0 0 0 SS 90 0 0 0 06 07 08 09 0 cm 6 7 8 9 0 S 6 7 8 9 0 8cm 6 9cm 7 8 9 cm 0 cm x=0 y=00 0 6 7 9 8 9 0 0 cm 6 7 8 9 60 6 6 6 6 6 6 7 8 7 0

More information

<BAF9C7D8BFEEC7D7BCB1B9DA20C1F6C4A728B1B9B9AE292E687770>

<BAF9C7D8BFEEC7D7BCB1B9DA20C1F6C4A728B1B9B9AE292E687770> 2015 빙해운항선박지침 G C-14-K 한국선급 - i - - iii - (m ) cos sin sin 및 Nm N m s Nm Nm m s Nm Nm s Nm arctantan sin 및 Nm N m s Nm Nm m s Nm Nm s Nm Δ ton k UIWL LIWL 1.2 m 1.0 m 0.9 m 0.75 m 0.7 m 0.6 m 0.7 m

More information

<BACFC7D1B3F3BEF7B5BFC7E22D3133B1C733C8A3504446BFEB2E687770>

<BACFC7D1B3F3BEF7B5BFC7E22D3133B1C733C8A3504446BFEB2E687770> 북한의 주요 농업 관련 법령 해설 1) 이번 호와 다음 호에서는 북한의 주요 농업 관련 법령을 소개하려 한다. 북한의 협동농장은 농업협동조합기준규약초안 과 농장법 에 잘 규정되어 있다. 북한 사회주의 농업정책은 사회 주의농촌문제 테제 2), 농업법, 산림법 등을 통해 엿볼 수 있다. 국가계획과 농업부문의 관 계, 농산물의 공급에 관해서는 인민경제계획법, 사회주의상업법,

More information

1 9 2 0 3 1 1912 1923 1922 1913 1913 192 4 0 00 40 0 00 300 3 0 00 191 20 58 1920 1922 29 1923 222 2 2 68 6 9

1 9 2 0 3 1 1912 1923 1922 1913 1913 192 4 0 00 40 0 00 300 3 0 00 191 20 58 1920 1922 29 1923 222 2 2 68 6 9 (1920~1945 ) 1 9 2 0 3 1 1912 1923 1922 1913 1913 192 4 0 00 40 0 00 300 3 0 00 191 20 58 1920 1922 29 1923 222 2 2 68 6 9 1918 4 1930 1933 1 932 70 8 0 1938 1923 3 1 3 1 1923 3 1920 1926 1930 3 70 71

More information

<32303136C7D0B3E2B5B520B4EBBCF6B4C920C7D8BCB3C1F628B1B9BEEE41C7FC20C8A6BCF6292E687770>

<32303136C7D0B3E2B5B520B4EBBCF6B4C920C7D8BCB3C1F628B1B9BEEE41C7FC20C8A6BCF6292E687770> 2016학년도 대학수학능력시험 국어영역 A형 정답 및 해설(홀수형) 01. 4 02. 2 03. 1 04. 4 05. 3 06. 5 07. 4 08. 3 09. 4 10. 3 11. 3 12. 3 13. 4 14. 2 15. 2 16. 5 17. 2 18. 4 19. 2 20. 3 21. 3 22. 5 23. 1 24. 5 25. 5 26. 1 27. 1 28.

More information

Computer Architecture

Computer Architecture 정수의산술연산과부동소수점연산 정수의산술연산부동소수점수의표현부동소수점산술연산 이자료는김종현저 - 컴퓨터구조론 ( 생능출판사 ) 의내용을편집한것입니다. 3.5 정수의산술연산 기본적인산술연산들 2 2 3.5.1 덧셈 2 의보수로표현된수들의덧셈방법 두수를더하고, 만약올림수가발생하면버림 3 3 병렬가산기 (parallel adder) 덧셈을수행하는하드웨어모듈 4- 비트병렬가산기와상태비트제어회로

More information

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 금융시장과 투자분석 연구 제4강. 소유와 경영의 분리1 조 승 모2 영남대학교 대학원 경제학과 2015학년도 2학기 Copyright 2015 Cho, Seung Mo 1 기본적으로 Fisher, I. (1930), The Theory of Interest, Macmillan의 내용을 바탕으로 작성되었으며,

More information

5 3

5 3 48 5 56 60 64 68 5 3 cm 3 cm 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 3 3 3 3 6 7 8 78 65=85 0.50. 79= =35 7 5 8 9 3 = 3 48 5600 4 3 34 67 9 06 3=64 84=3 43=86 37=94 = 3.3 4 35 46 4 49 90 3 60 5 5490= 35 500 8 69 =45 7 3

More information

1차내지

1차내지 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 1 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 2 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 3 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 4 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 5 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 6 1»` 1904.1.1 10:39 AM ` 7 1»` 1904.1.1 10:39

More information

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적과정 학년 비고 용어와기호 유리수와순환소수의관계를이해한다 유리수와순환소수의관계를이해한다 근삿값 학년 근삿값과오차의의미를이해하고 근삿값에대한참값의범위를구할수있다 근삿값의표현방법을안다 제곱근과실수 학년 제곱근과실수 학년 제곱근

영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적과정 학년 비고 용어와기호 유리수와순환소수의관계를이해한다 유리수와순환소수의관계를이해한다 근삿값 학년 근삿값과오차의의미를이해하고 근삿값에대한참값의범위를구할수있다 근삿값의표현방법을안다 제곱근과실수 학년 제곱근과실수 학년 제곱근 영역 2007 교육과정 2009 교육과정 집합 학년 집합의개념을이해하고 집합을표현할수있다 두집합사이의포함관계를이해한다 집합의연산을할수있다 수학적과정 학년 비고 이동 현행 집합을고등으로이동 수와연산 자연수의성질 학년 거듭제곱의뜻을안다 소인수분해의뜻을알고 자연수를소인수분해할수있다 최대공약수와최소공배수의성질을이해하고 이를구할수있다 최대공약수와최소공배수를활용하여여러가지문제를해결할수있다

More information

Finance Lecure Noe Series 금융시장과 투자분석 연구 제5강. 가치평가와 신용분석 학습목표. 주식회사와 가치평가: 주식회사의 특징과 가치평가의 기본원리에 대해 살펴본다.. 자기자본의 가치평가: 머튼 모형Meron model)을 이용하여 기업의 자기자본가치를 평가하는 방법에 대해 알아본다. 조 승 모 : 머튼 모형을 이용하여 기업의 타인자본가치를

More information

7. 인실수 에대하여 log 의지표를 이라할때, 옳 은것을보기에서모두고르면? ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) 7 ) ㄱ. log ㄴ. log 의지표는 이다. ㄷ. log log 이면 은 자리의정수 이다. 10. 다음은어느인터넷사이트의지도상단에있는버튼의기능을설명한

7. 인실수 에대하여 log 의지표를 이라할때, 옳 은것을보기에서모두고르면? ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) 7 ) ㄱ. log ㄴ. log 의지표는 이다. ㄷ. log log 이면 은 자리의정수 이다. 10. 다음은어느인터넷사이트의지도상단에있는버튼의기능을설명한 제 2 교시 2008 년 5 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오.

More information

5. 두함수 log 에대하여옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면?5 ) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 7. 인실수 에대하여 log 의지표를 이라할때, 옳 은것을보기에서모두고르면? ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.

5. 두함수 log 에대하여옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면?5 ) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 7. 인실수 에대하여 log 의지표를 이라할때, 옳 은것을보기에서모두고르면? ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다. 제 2 교시 2008 년 5 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오.

More information

오일러의볼록다면체정리의일반화 김상욱 전남대학교 제 2 회무등수학강연회 2011 년 11 월 4 일 김상욱 ( 전남대학교 ) 오일러의볼록다면체정리의일반화 Nov. 4, 2011 1 / 36 Outline 1 3 차원볼록다면체 2 볼록다면체의면벡터 3 볼록다면체의플래그벡터 4 볼록다면체의 cd- 지수 김상욱 ( 전남대학교 ) 오일러의볼록다면체정리의일반화 Nov.

More information

°ø±â¾Ð±â±â

°ø±â¾Ð±â±â 20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7

More information

= ``...(2011), , (.)''

= ``...(2011), , (.)'' Finance Lecture Note Series 사회과학과 수학 제2강. 미분 조 승 모2 영남대학교 경제금융학부 학습목표. 미분의 개념: 미분과 도함수의 개념에 대해 알아본다. : 실제로 미분을 어떻게 하는지 알아본다. : 극값의 개념을 알아보고 미분을 통해 어떻게 구하는지 알아본다. 4. 미분과 극한: 미분을 이용하여 극한값을 구하는 방법에 대해 알아본다.

More information

1.1) 등비수열 전체집합 제 2 교시 나 형 2016 년 3 월고 3 모의고사문제지 수리영역 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따

1.1) 등비수열 전체집합 제 2 교시 나 형 2016 년 3 월고 3 모의고사문제지 수리영역 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따 1.1) 등비수열 전체집합 제 2 교시 2016 년 3 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니,

More information

슬라이드 1

슬라이드 1 9. 소규모의방정식을풀기 9. 순수 Guss 소거법 9. 피봇팅 9.4 삼중대각시스템 어떤원리에의해다음과같은 MATLAB 명령어가수행되는가? >> =A\ >> =iva)* 9. 소규모의방정식을풀기 /6) 컴퓨터를필요로하지않고소규모연립방정식 ) 에적합한방법 - 도식적방법, Crmer 공식, 미지수소거법 도식적인방법 8 9 두연립선형대수방정식의도식적인해 교점이해를나타냄

More information

8장 조합논리 회로의 응용

8장 조합논리 회로의 응용 8 장연산논리회로 가산기 반가산기와전가산기 반가산기 (Half Adder, HA) 8. 기본가 / 감산기 비트의 개 진수를더하는논리회로. 개의입력과출력으로구성. 개입력은피연산수 와연산수 y 이고, 출력은두수를합한결과인합 S(sum) 과올림수 C(carry) 를발생하는회로. : 피연산수 : 연산수 : 합 y C S y S C 올림수 올림수 전가산기 : 연산수

More information

문제기본서 [ 알피엠 ] 중학수학 1-1 정답과풀이

문제기본서 [ 알피엠 ] 중학수학 1-1 정답과풀이 문제기본서 [ 알피엠 ] 중학수학 1-1 01 소인수분해 Ⅰ` 소인수분해 000 >² 75 5 >² 5 5 _5Û`, 소인수 :, 5 0001 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 001 >³ 00 >³ 100 >³ 50 000 5 >³ 5 5 000 소수중에 는짝수이다. Ǜ _5Û`, 소인수 :, 5 0004 1은소수가아니며가장작은소수는 이다. 00 >² 4 >² 1 7 7, 소인수

More information

Chapter 5

Chapter 5 POSTCH 이성익교수의 양자세계에관한강연 - 4 장 - 편집도우미 : POSTCH 학부생정윤영 Chpter 4 One-Diensionl Potentils du x x= u x u x + = V, x < = V, x> du x = ( V) u( x) x, ( ) du

More information

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation 논리회로기초요약 IT CookBook, 디지털논리회로 4-6 장, 한빛미디어 Setion 진수 진수표현법 기수가 인수, 사용. () = +. = 3 () () + + () +. () + + + () +. + () + - () +. + - () + -3 + -4 Setion 3 8 진수와 6 진수 8진수표현법 에서 7까지 8개의수로표현 67.36 (8) = 6

More information

0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q

0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q . 09~ cm 7 0 8 9 8'-p 0 cm x=, y=8 cm 0' 7 cm 8 cm 9 'åcm 90 'åcm T T=90 T T =" 8 - =' (cm) T= T= _T _T _'_ T=8' (cm ) 7 = == =80 -_ =0 = = _=(cm) M = = _0= (cm) M M =" - = (cm) r cm rcm (r-)cm H 8cm cm

More information

집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y

집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y 어떤 다음 X 대응 1. 대응 (1) 어떤주어진관계에의하여집합 X 의원소에집합 Y 의원소를짝지어주는것을집합 X 에서집합 Y 로의대응이라고한다. l (2) 집합 X 의원소 에집합 Y 의원소 가짝지어지면 에 가대응한다고하며이것을기호로 와같이나타낸다. 2. 일대일대응 (1) 집합 A 의모든원소와집합 B 의모든원소가하나도빠짐없이꼭한개씩서로대응되는것을집합 A 에서집합

More information

2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2

2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s

More information

2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3

2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3 8년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (8학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 8년 월 일, 고사시간 9분 8년 번 x + x + x x x lim. [풀이] x + x + x (x )(x + x + ) lim x x x (x )(x + ) x + x + lim x x+ limx x + x + limx x + 6 lim 8년

More information

Microsoft PowerPoint - hw8.ppt [호환 모드]

Microsoft PowerPoint - hw8.ppt [호환 모드] 8.1 데이터경로와제어장치 Chapter 8 데이터경로와제어장치 많은순차회로의설계는다음의두부분으로구성 datapath: data의이동및연산을위한장치 control unit에상태신호제공 control ol unit: datapath th 에서적절한순서로 data 이동및연산을수행할수있도록제어신호제공. 먼저, datapath를설계 다음에, control unit

More information

(001~006)개념RPM3-2(부속)

(001~006)개념RPM3-2(부속) www.imth.tv - (~9)개념RPM-(본문).. : PM RPM - 대푯값 페이지 다민 PI LPI 알피엠 대푯값과산포도 유형 ⑴ 대푯값 자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 하나의 수로 나타낸 값 ⑵ 평균 (평균)= Ⅰ 통계 (변량)의 총합 (변량의 개수) 개념플러스 대푯값에는 평균, 중앙값, 최 빈값 등이 있다. ⑶ 중앙값 자료를 작은 값부터 크기순으로

More information

A 001~A 036

A 001~A 036 4 3 2 0 8 91 0 1 2 3 4 5 6 08 09 00 01 02 03 04 18 19 10 29 20 22 23 39 30 31 32 33 48 49 40 41 59 50 69 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 7 10 13 1 2 3 4 5 6 rev. C C r C a f h f h L h h nrpm f h f n L C 3 P L

More information

(001~042)개념RPM3-2(정답)

(001~042)개념RPM3-2(정답) - 0 0 0 0 6 0 0 06 66 07 79 08 9 0 000 000 000 000 0 8+++0+7+ = 6 6 = =6 6 6 80+8+9+9+77+86 = 6 6 = =86 86 6 8+0++++6++ = 8 76 = = 8 80 80 90 00 0 + = 90 90 000 7 8 9 6 6 = += 7 +7 =6 6 0006 6 7 9 0 8

More information

슬라이드 1

슬라이드 1 3.7 The Inverse -transfor f ( ) Z F( ) long dvson 2 expanson n partal dvson 3 resdue ethod 3.7. Long-Dvson Method B () F( ) B( ) 를 A( ) A () 로나누어 의 negatve power seres 로표현해계수를구함 Regon of Convergence(ROC)

More information

<C1DF29BCF6C7D020315FB1B3BBE7BFEB20C1F6B5B5BCAD2E706466>

<C1DF29BCF6C7D020315FB1B3BBE7BFEB20C1F6B5B5BCAD2E706466> 84 85 86 87 88 89 1 12 1 1 2 + + + 11=60 9 19 21 + + + 19 17 13 11=60 + 5 7 + 5 + 10 + 8 + 4+ 6 + 3=48 1 2 90 1 13 1 91 2 3 14 1 2 92 4 1 2 15 2 3 4 93 1 5 2 6 1 2 1 16 6 5 94 1 1 22 33 55 1 2 3 4 5 6

More information

슬라이드 1

슬라이드 1 . Fourier Series, Itegrl, d Trsorms Bog-Kee ee Chom Ntiol Uiversity. Fourier Series 주기함수 (periodi utio) 함수 (), 모든실수 에대하여정의주기 (period) 어떤양수 p가존재하여, 모든 에대하여 ( + p)=() 주기함수 (periodi utio) 예. si, ( 주기 π) 주기함수가아닌예.,,,

More information

슬라이드 1

슬라이드 1 Chapter 3. Sampling and The -Transform Digital filter 의설계와해석은 -transform을이용 용이해짐 -transform : 연속된수의형태로나타내어구하는방법 2 continuous signal 은 sample 하여 Laplace Transform을취한후 -transform을구하는방법. n m 일반적으로이용. y( k)

More information

KNK_C03_Expr_kor

KNK_C03_Expr_kor Expressions adopted from KNK C Programming : A Modern Approach Operators 연산자 C 는표현식을많이사용함 표현식은변수와상수와연산자로구성됨 C 에는연산자의종류가다양함 1. arithmetic operators ( 수식연산자 ) 2. relational operators ( 관계연산자 ) 3. logical

More information

OCW_C언어 기초

OCW_C언어 기초 초보프로그래머를위한 C 언어기초 4 장 : 연산자 2012 년 이은주 학습목표 수식의개념과연산자및피연산자에대한학습 C 의알아보기 연산자의우선순위와결합방향에대하여알아보기 2 목차 연산자의기본개념 수식 연산자와피연산자 산술연산자 / 증감연산자 관계연산자 / 논리연산자 비트연산자 / 대입연산자연산자의우선순위와결합방향 조건연산자 / 형변환연산자 연산자의우선순위 연산자의결합방향

More information

Microsoft PowerPoint - KNK_C03_Expr_kor

Microsoft PowerPoint - KNK_C03_Expr_kor Expressions adopted from KNK C Programming : A Modern Approach Operators 연산자 C 는표현식을많이사용함 표현식은변수와상수와연산자로구성됨 C 에는연산자의종류가다양함 1. arithmetic operators ( 수식연산자 ) 2. relational operators ( 관계연산자 ) 3. logical

More information

Microsoft PowerPoint - Divider2.ppt

Microsoft PowerPoint - Divider2.ppt 이강좌는과학기술부의국가지정연구실인연세대학교이용석교수연구실 ( 프로세서연구실 ) 에서 C&S Technology 사의지원을받아서제작되었습니다 고성능부동소수점나눗셈기 Goldschmidt`s 00. 1. 연세대학교전기전자공학과프로세서연구실박사과정정우경 E-mail: yonglee@yonsei.ac.kr Homepage: http://mpu.yonsei.ac.kr

More information

Chapter 연습문제답안. y *sin-*cos*^ep-*/sqrt. y [ ; sinpi/ ; sin*pi ; ] 혹은 [ sinpi/ sin*pi ]. a ais[- ] b et.,., sin. c.. a A는주어진행렬 M의 번째열만을표시하는새로운행렬을나타낸다.

Chapter 연습문제답안. y *sin-*cos*^ep-*/sqrt. y [ ; sinpi/ ; sin*pi ; ] 혹은 [ sinpi/ sin*pi ]. a ais[- ] b et.,., sin. c.. a A는주어진행렬 M의 번째열만을표시하는새로운행렬을나타낸다. IT CookBook, MATLAB 으로배우는공학수치해석 ] : 핵심개념부터응용까지 [ 연습문제답안이용안내 ] 본연습문제답안의저작권은한빛아카데미 주 에있습니다. 이자료를무단으로전제하거나배포할경우저작권법 조에의거하여최고 년이하의징역또는 천만원이하의벌금에처할수있고이를병과 倂科 할수도있습니다. - - Chapter 연습문제답안. y *sin-*cos*^ep-*/sqrt.

More information