[ 국제캠퍼스실험전용 ] 역학적파동 Objective 줄을통해전파되는횡파에의해형성되는정상파를관찰하고정상파의발생조건을확인한다. 관을통해전파되는종파에의해형성되는정상파를관찰하고음파의속력을측정한다. Theory ----------------------------- Reference -------------------------- Young & Freedman, University Physics (14 th ed.), Pearson, 2016 15.1~15.8 (p.492~518) 16.4 Standing Sound Waves / Normal Modes (p.542~546) ----------------------------------------------------------------------------- 호수에돌을던지면원형의물결이형성되어밖으로퍼져나가는것과같이, 한지점에서생긴진동이주위로전파되어나가는현상을파동 (wave) 이라고한다. 파동은역학적파동과전자기적파동등으로구분할수있는데, 특히역학적매질 (medium) 을통해서진행하는파동을역학적파동 (mechanical wave) 이라고한다. 그림 1(a) 와같이장력이작용하는줄이진동할경우에는파동이매질의진동방향과수직으로진행한다. 이와같은파동을횡파 (transverse wave) 라고한다. 이와는달리, 그림 1(b) 와같이매질이압축또는팽창하며진행하는파동은매질의진동방향과동일한방향으로진행한다. 이와같은파동을종파 (longitudinal wave) 라고한다. Fig. 1 A sinusoidal transverse wave traveling to the right along a string and a sinusoidal longitudinal wave traveling to the right in a gas. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 1 / 13
그림 2 와같이줄의한쪽끝이진폭 (amplitude), 진동수 (frequency), 주기 (period) 1/ 로주기적으로진동하면, 줄을따라마루 (crest) 와골 (trough) 이대칭적으로반복되는파동이전파된다. 이와같이반복되는파동을주기적파동 (periodic wave) 이라고한다. 이때형태가반복되는이웃한두점사이의거리를파장 (wavelength) 라고한다. 파동은일정한속력 로이동하고, 한주기 동안한파장 의길이만큼진행한다. 따라서파동의속력은다음과같다. (1) 파동의속력은매질의성질에따라달라진다. 예를들어, 줄을따라진행하는파동의속력은줄의장력 와줄의단위길이당질량, 즉선밀도 의함수이며다음과같다. ( 유도과정은교재의 15.4 절을참고한다.) 파동이매질의경계에부딪히면파동의전체또는일부가반사된다. 그림 3 과같이파동이고정된줄의끝에서반사되면, 반사된파동은변위가정반대로바뀌어반대방향으로이동한다. 그결과줄에는서로반대방향으로동일한속력으로진행하는파동이만나게된다. 두파동이만날때전체파동의변위는중첩의원리 (principle of superposition) 에따라개별파동의변위의합과같다. 따라서그림 4 에서 으로표기된지점에서는항상크기가동일하고변위가반대인파동이만나므로서로상쇄되어진동하지않는다. 이지점을마디 (node) 라고한다. 한편 로표기된마디사이의중간지점에서는항상변위가동일한두파동이만나진폭이최대가된다. 이지점을배 (antinode) 라고한다. 이결과로나타나는파동은어느방향으로도진행하지않고제자리에머물러있는것처럼보인다. 따라서이와같은파동을정상파 ( 定常波, standing wave) 라고한다. (2) Fig. 2 A block attached to a spring undergoes simple harmonic motion producing a sinusoidal wave that travels to the right on the string. Fig. 3 Reflection of a wave pulse at a fixed end of a string. Fig. 4 Formation of a standing wave. A wave traveling to the left (red curves) combines with a wave traveling to the right (blue curves) to form a standing wave (brown curves). 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 2 / 13
길이가 인줄의양끝이고정되어있다면, 파동의파장이다음의조건을만족할때에만정상파가나타난다. 2 1,2,3, (3) 식 (3) 에따라진동하는줄에는그림 5 와같은정상파가형성될수있다. 그림 5(a) 와같이 1, 2 일때정상파의진동수는 /2 로가장작다. 이를기본진동수 (fundamental frequency) 라고한다. 정상파가형성되는다른진동수는 2 /2, 3 /2 등으로모두기본진동수 의배수이다. 이를식으로표현하면다음과같다. 2 1, 2, 3, (4) 식 (1), (2), (3), (4) 으로부터, 길이가 이고선밀도가 인줄에장력 가작용할때, 파동의진동수가다음과같으면정상파가발생한다. 관내부의유체에서전파되는음파와같은종파도관의끝에도달하면횡파와마찬가지로반사된다. 따라서서로반대방향으로이동하는두파동이만날때특정조건을만족하면정상파가형성된다. 관의막힌끝부분에서는유체는절대움직일수없으므로매질의변위는항상 0 이다. 따라서막힌끝은변위마디 (displacement node) 가된다. 이부분은압력이최대로변할수있으므로압력배 (pressure antinode) 라고도한다. 한편, 열린끝부분의유체는자유롭게움직일수있으므로변위배 (displacement antinode) 가되며동시에외부로노출되어압력이일정하게유지되므로압력마디 (pressure node) 가된다. 일반적으로말하는막힌관 (stopped pipe) 은그림 6 과같이한쪽이열리고한쪽이막힌관을의미한다. 관내부의공기가진동할때, 막힌부분의공기는움직일수없기때문에정상파의변위마디가되고, 열린끝은자유로이움직일수있어서정상파의변위배가된다. 따라서, 막힌관에서는다음의조건을만족할때정상파가발생한다. 2 1,2,3, (4) 4 1,3,5, (6) 식 (1), (6) 로부터막힌관에서의정상파의진동수와음파의속력과의관계를다음과같이정리할수있다. 4 1,3,5, (7) Fig. 5 The first four normal modes of a string fixed at both ends and time exposures of standing waves in a stretched string. Fig. 6 A cross section of a stopped pipe showing the first three normal modes. The shading indicates the pressure variation. The red curves are graphs of the displacement nodes and antinodes. Only odd harmonics are possible. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 3 / 13
Equipment 1. 실험장비 장비수량용도및비고 컴퓨터및소프트웨어 데이터분석 : Capstone 1 각종센서에서측정한데이터를표시하고분석한다. 인터페이스의전원공급기를제어한다. 인터페이스 1 각종센서를연결하여물리량을측정한다. 최대 15V 의전원또는다양한파형을출력한다. 파동발생기 ( 진동플러그포함 ) 1 전기적파형을역학적파동으로변환한다. 줄또는다양한매질을진동시킨다. 테이블클램프 2 실험장비를테이블에고정한다. 지지막대 300 mm 1 줄을고정한다. 도르래 / 지지대 1 set 장력이작용하는줄의방향을바꾼다. 추 0.5 kg 2 줄에장력을작용한다. 줄 1 파동을전달하는매질로사용한다. 선밀도는 3.34 10 kg/m 이다. 줄자 1 길이를측정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 4 / 13
장비수량용도및비고 스크린 ( 검은색 ) 1 진동하는줄의뒤에놓으면파동을쉽게관찰할수있다. 공명관장치 1 ( 종파실험 ) 공기가진동하는공명관, 음파를발생시키는스피커및관의길이를조절하는피스톤으로구성된다. 핀마이크커넥터 1 1 ( 종파실험 ) 음파의세기를전기신호로변환한다. 전압센서 1 ( 종파실험 ) 핀마이크의전기신호를인터페이스에전달하여전압을측정한다. 탐침막대타이 1 1 ( 종파실험 ) 핀마이크를고정하여관내부의음파의세기를측정한다. 전선 2000 mm 2 인터페이스에서출력되는전기적파형을파동발생기또는공명관의스피커에전달한다. 2. 주요장비기능및작동원리 (1) 파동발생기 (2) 공명관장치 스피커를사용하여전기적신호를역학적파동으로변환한다. 다양한매질을고정하여파동을발생시킨다. 음파를방출하는스피커가부착되어있으며, 피스톤을사용하여관의길이를조절할수있다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 5 / 13
Procedure 실험 1. 횡파의정상파 1 (2) 프로그램을설정한다. 줄의길이 과장력 가일정한상태에서, 줄에가해지는진동수 를변화시키면서정상파가관찰되는진동수를찾은후, 식 (5) 를사용하여줄의선밀도 를계산한다. (1) 실험장비를구성한다. 그림과같이장비를구성한다. 검은색스크린을줄뒤에놓으면줄의파동을쉽게관찰할수있다. 줄을진동플러그에얹은후, 파동발생기왼쪽의줄이진동하지않게손으로눌러준다. 줄의중간에매듭이있으면오차가발생할수있으므로매듭을풀어준다. 1 [Tools] 메뉴에서 [Signal Generator] 를선택한다. 2 [850 Output 1] 을선택한다. 3 [Waveform] 에서 [Sine] 파형을선택한다. 4 [Frequency] 와 [Amplitude] 를설정한다. [Frequency] 는파동의진동수를결정한다. 초기값을 [20Hz] 로설정하고, 실험중적절하게변경한다. ( 설정값변경은버튼을적절히클릭하면된다.) [Amplitude] 는파동의진폭을결정한다. [5V] 이하로설정한다. ( 너무높으면파동발생기손상됨 ) 5 [On], [Off] 버튼으로파동발생기를작동 / 중지시킨다. (3) 줄에장력을가한다. 도르래쪽의줄끝에 1.0 kg 의추를매달아장력 를가한다. ( 전자저울로추의질량을정확히측정한다.) (4) 줄의길이를측정한다. 줄자를사용하여파동발생기의진동플러그와도르래사 이의길이 을측정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 6 / 13
(5) 파동발생기에사인파를공급한다. (7) 2,3,4, 를만족하는진동수를찾는다. [Signal Generator] 의 [On] 을클릭하여실험을시작한다. 파 동발생기의작동을멈출때에는 [Off] 를클릭한다. 동일한방법으로 2, 3, 4, 개의배 (antinode) 가관찰되는진동수를찾아기록한다. ( 줄의길이와작용하는장력은변경하지않는다.) 1 2 3 4 (8) 줄의선밀도를구한다. - 그래프를작성하고최소자승법을사용하여그래프의기울기를구한후, 다음의식 (5) 를사용하여줄의선밀도를계산한다. (6) 정상파가형성되는기본진동수 ( 1) 를찾는다. 2 1 2 1, 2, 3, (5) 진동수를 1Hz 단위로증가시키면서줄의진동을관찰한다. ( 진동수를변경한후즉시결과가관찰되지않을수있으므로 2~3 초정도대기한다.) (9) 실제줄의선밀도와비교하고오차를분석한다. 1 개의배가관찰되는진동수근처에서 0.1Hz 단위로세밀 하게변경하여정상파가형성되는기본진동수를찾는다. 실제로측정한줄의선밀도는 3.34 10 kg/m 이다. 이값은줄 50 m 의실제질량 1.67 10 kg 을사용하여계산한값이다. ( 줄이늘어나지않는다고가정한다.) (10) 실험을반복한다. 추의질량을 0.5 kg 으로변경하여순서 (3)~(9) 을반복한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 7 / 13
실험 2. 횡파의정상파 2 (5) 1,2,3,4, 를만족하는줄의길이를찾는다. 진동수 와장력 가일정한상태에서, 줄의길이 을변화시키면서정상파가관찰되는줄의길이를찾은후, 식 (5) 를사용하여줄의선밀도 를계산한다. (1) 실험장비를구성한다. 정상파가형성되는줄의길이를찾아기록한다. ( 진동수와 작용하는장력은변경하지않는다.) 1 2 3 4 [ 실험 1] 과동일하게구성한다. 단, 파동발생기를도르래 근처에놓는다. 0.5kg 추를사용하여줄에장력을가한다. (6) 줄의선밀도를구한다. - 그래프를작성하고최소자승법을사용하여그래프의기울기를구한후, 다음의식 (5) 를사용하여줄의선밀도를계산한다. 2 1 2 1, 2, 3, (5) (7) 실제줄의선밀도와비교하고오차를분석한다. (2) 프로그램을설정한다. [ 실험 1] 과동일하다. 단, [Frequency] 를 150 Hz 로설 정하고변경하지않는다. Caution 줄은다른실험자가함께사용하므로, 사용또는보관할때다음사항을주의한다. (3) 파동발생기에사인파를공급한다. 1. 엉키거나중간에매듭이생기지않도록주의한다. 매듭이생기면풀어준다. ( 양끝의고리는풀지않는다.) 2. 절대로자르지않는다. 3. 사용하지않을때에는비닐백에넣어서보관한다. (4) 줄의길이 을증가시킨다. 파동발생기를천천히이동시키면서정상파가관찰되는위치를찾는다. 이때, 파동발생기왼쪽의줄이진동하면 결과에영향을줄수있으므로손으로눌러준다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 8 / 13
실험 3. 종파의정상파 1 (2-3) [Output 1] 의출력파형을설정한다. (1) 실험장비를구성한다. [Signal Generator] 의 [850 Output1] 에서다음을설정한다. [Waveform]: Sine ( 사인파 ) [Frequency]: 800 Hz ( 음파의주파수 ) [Amplitude]: 0.5~1.0 V ( 음파의세기 ) 1.0V 을넘지않는다. 스피커가손상될수있다. [Auto] 설정 ( 데이터측정과연동되어파형자동출력 ) (2) 프로그램을설정한다. (2-1) [Voltage Sensor] 를설치한다. (2-4) 측정방법을 [Fast Monitor Mode] 로변경한다. [Fast Monitor Mode] 는측정값을실시간으로표시하지만데이터를저장하지않는다. [Continuous Mode] 로실험하면상당한데이터가누적되어실험중프로그램이멈추거나오류가발생할수있다. [Recode] 버튼이 [Monitor] 로변경된것을확인한다. (2-2) [Output Voltage Current Sensor] 를설치한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 9 / 13
(2-5) [Scope] 를생성한다. (2-7) 스코프의축을설정한다. [Displays] 에서 [Scope] 아이콘을드래그하여생성한다. 각각의축을클릭하여다음을선택한다. 축 : Time(s) 축 ( 왼쪽 ) : Output Voltage, Ch01 (V) ( 인터페이스출력, 스피커에공급되는전압 ) 축 ( 오른쪽 ) : Voltage, Ch A (V) ( 전압센서측정, 핀마이크에서측정되는전압 ) (3) 스코프사용방법을습득한다. (3-1) [Monitor] 를클릭하여측정을시작한다. (2-6) [Scope] 축을추가한다. [Add new y-axis ] 를클릭하여 2 채널스코프를생성한다. (3-2) 파형을고정한다. 파형이흔들릴경우트리거 (trigger) 를사용하여파형을고정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 10 / 13
(3-3) 스코프를확대 / 축소한다. (4) 막힌관을구성한다. 일반적으로말하는막힌관이란, 관의한쪽이막혀있고다른쪽은열려있는관이다. 피스톤이있는부분이막혀있으므로스피커가있는부분을 1cm 정도열어준다. (5) 핀마이크를켠다. 1 스피커공급전압 ( 인터페이스출력 ) : 왼쪽 축위에서마우스를드래그하거나휠을사용한다. 2 핀마이크측정전압 ( 인터페이스입력 ) : 오른쪽 축위에서마우스를드래그하거나휠을사용한다. 3 시간 ( 주기 ) : 축위에서마우스를드래그하거나휠을사용한다. (3-4) 각파형의축을구분한다. (6) 실험을시작한다. 스코프를적절히확대하면다음의두파형을관찰할수 있다. 각파형의색상은측정시마다바뀌는데, 다음의예 와범례의색상을참고하여해당하는측정값을구분한다. 색상 기호 측정값 축 파랑 Vo Output Voltage, Ch 01 (V) 왼쪽 ( 스피커공급전압 ) 축 주황 V Voltage, Ch A (V) 오른쪽 ( 핀마이크측정전압 ) 축 [Monitor] 를클릭하면스피커에자동으로사인파가공급되며동시에측정이시작된다. 피스톤을스피커근처에놓은상태에서천천히당겨막힌관의길이를증가시키면서스코프파형을관찰한다. 소리가가장큰 ( 핀마이크측정전압파형의진폭이최대가되는 ) 최초의지점에서관의길이를기록한다. 이길이가 800 Hz 음파의정상파가형성되는 ( 따라서공명현상이발생하는 ) 첫번째길이이다. ( 1) 막힌관의길이를계속증가시키면서파형의진폭이최대가되는모든위치에서관의길이를측정하여기록한다. ( 3, 5, 7, 9, ) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 11 / 13
(7) 결과를확인한다. Note 기온이 일때공기중에서음속은다음과같다. 331.3 0.606 m/s 실험 4. 종파의정상파 2 측정한값을사용하여정상파의파장과음속을계산하고오차를분석한다. 이론적으로열린부분에서배가형성되어 4 가되어야하지만, 실제로는다양한요인에의해관의열린부분에서정확히배가형성되지않을수있다. 따라서, 정상파의파장을계산할때식 (6) 가아닌 2 등과같은식을사용한다. 1 st 2 nd 3 rd 진동수를 800 Hz 로설정한후, 5 의정상파가형성되는위치에피스톤을놓는다. 탐침막대에마이크를묶은후공명관내부로천천히밀어넣으면서위치에따른파형의진폭을관찰하고, 관내부의진폭의변화를대략적으로그려본다. 진폭이최대또는최소가되는지점사이의거리를측정하여정상파의파장과음속을계산한다. 1 st 2 nd AVG ( 2) 열린관의끝에서진폭의변화를주의깊게관찰한후, 배 (antinode) 가정확히형성되지않는것을확인하고, 원인에대해토의한다. 3 rd. m Hz s m/s 331.3 0.606 m/s Caution 실험을완료하면반드시핀마이크의전원을끈다. (8) 진동수를 1000 Hz 로변경하여실험을반복한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 12 / 13
Result & Discussion 조교의안내에따라실험결과를정리하고분석한후결과보고서를작성한다. End of LAB Checklist 실험을완료하면반드시실험장비를정리한후조교의확인을받고퇴실한다. 실험용컴퓨터에저장한실험데이터파일을모두삭제하고휴지통을비운다. 컴퓨터와인터페이스장치를끈다. 핀마이크의전원이꺼졌는지반드시확인하고, 변환젠더를결합하여보관한다. 줄은비닐백에넣어서보관하고, 엉키거나매듭이생기지않도록주의한다. 파동발생기의진동플러그를분실하지않도록주의하고, 파동발생기에결합하여보관한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 13 / 13