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루시아 뇌
5 years ago
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1 . (5점) 다음과불확정성원리 (uncertainty principle) 를관계지어설명하시오. 가 (0점) Fourier transform (0줄이내 ) (Gaussian 함수를이용하여설명. 풀이에대한해석만정확하다면어떤함수를사용해도상관은없음 ) Ψ e 라두고이를 Fourier Transform 하면 gk π e e d 한편, 적분내부의수식을정리해보면 e e e e Xj k 라두고수식을간단히하면 (dx=d) gk π e e X e 이때 Ψ의분산은 이고이의 Fourier transform인 g의분산은 이므로 k k, p 같은방법으로 w와 t의관계도다음과같이구할수있다. w t w t, t 이결과를말로써설명하면어떤함수를 에대해서국한시키면시킬수록이를 Fourier Transform 한 k-domain에서는함수가퍼지게된다. 반대의경우도마찬가지이다. 즉, 와 k-domain 둘의경우를모두국한시킬수는없다. ( 채점기준 ) - 구체적인함수 ( 혹은예시 ) 를제시하여불확정성원리를도출할경우 0점 - 잘설명했지만구체적인함수 ( 혹은예시 ) 를이용하여제시하지않았을경우혹은구체적인계산은있지만설명이부족한경우 8점 ( 이에해당하지만 k 라는식으로부터불확정성의원리를이끌어낸경우라면 0점. 즉 점추가 ) - 설명은부실하지만대략적으로이해를하고있는경우 5점 - 설명이부분적으로만맞을경우 3점 - 이외의경우는모두점수없음 ( 감점사항 ) - 기타풀이과정상중요한문제가보일경우 점씩감점

2 나 (5점) 연산자의교환성여부 (0줄이내 ) 두연산자가교환이가능하다는것은 A, B ABBA0 인경우를말한다. 즉, A, B 4 에서 A, B가교환가능하다면위식의우변은 0이되고따라서 A나 B 모두동시에확정짓는것이가능하다. 하지만 A, B가교환가능하지않다면위식의우변은 0이아닌값이되고이는곧 A와 B 모두동시에확정짓는것이불가능하다는것을의미한다. 혹은어떤물리량을측정하게되면이에해당하는연산자의 eigenvalue값을얻을수있고파동함수는측정된 eigenvalue에해당하는 eigenfunction으로 collapse하게된다. 만일연산자가교환가능하다면이는곧두연산자가공통의 eigenfunction을가진다는것을뜻하므로불확정성의원리가적용되지않는다. 반대로두연산자가교환가능하지않다면이는곧어느하나의연산자를적용하여측정할경우파동함수가 collapse 되어불확정성의원리가적용된다. 이를 A, Bpi 를이용하여풀면 p i p i, 이를 Schwar inequality 에대입하면 4 ( 채점기준 ) - 설명이부족하지만둘의관계를잘설명하려고노력한경우 5점 -, 라는식만잘유도한경우 5점 ( 계산과정이없는경우 3점 ) - Schwar inequality에대한언급이간접적으로라도있을경우 5점 - 수식전개는잘하였지만이에대한해석이부족한경우 3점 - 꼭 Schwar inequality를이용하지않더라도연산자의교환성과불확정성원리와의관계를논리있게설명한경우라면 5점 ( 감점사항 ) - 기타풀이과정상중요한문제가보일경우 점씩감점

3 번문항 (30 점 ) ( 가 ) (0 점 ) (B) 의 potential 은다음과같은두개의 potential 의합으로생각할수있다. + = (A) (C) (B) (A), (B), (C) 각각의 potential 에대한파동함수를 A, B, C 라하면, (B) 에서의파동방정식은, B U B B B (-) 로적을수있다. <0 인영역에서는 U B 이므로, B 0 이된다. 여기까지 (5 점 ) >0 인영역에서는위관계를이용하여, U B U A U C 로놓고, 파동함수 B 는 A 와 C 의선형 결합으로표현될수있으므로, 와같이쓰고 (-) 식에넣고정리하게되면, B c A A c C C (-) c A A U A A c C C U C C 0 (-3) 식을얻게된다. 그런데여기서문제 ( 가 ) 의경우처럼 U 0 인경우 가모든영역에서 U C 보다아래쪽에놓이게되므로 C 0 이됨을알수있다. 따라서 B 는다음과같다. B 0 0 c A A 0 (-4) 여기까지 (점) 이유가타당하지않거나이유없이위와같이적은경우 3점감점여기서중요한사실은 B 역시경계조건을만족해야만하므로, A 중에서 A 0, 을만족하는파동함수만해가된다. 이것은 odd function만해당이된다. 여기까지 (7점) 왜 odd function만되는지설명이없는경우 3점감점

4 c A 값은 normalie를통해서알수있다. A 가원점에대해서대칭이므로, A 따라서 A 그런데 c B A A 이므로 c A 가되며, 0 0 B A odd mode 0 (-5) (0 점 ) 즉, normaliation 3 점 ( 나 ) (0점) ( 가 ) 풀이에서 0 인경우, (-3) 식에서 C 부분의해가존재할수있다. 따라서 B 가 >0인영역에서 A 와 C 의선형결합의형태로주어지기때문에, 이경우에는 B 는 A 의상수배로주어지지않아그모양이동일하지않다. 풀이없이답만맞은경우 3점 ( 가 ) 의경우경계조건직접세워서푼경우에도정답을정확히유도하면만점 ( 가 ) 의경우꼭위와같이풀지않고정성적으로풀되다음의언급이모두포함된경우만점 () B 구조는 <0인구간에서 B 0(5점 ) () B 구조는 =0에서의경계조건때문에 odd function만이선택된다.(7점) (3) U 0 라는조건으로인해 potential well 바깥에서 eponentially decay한다 (5점) ( 이말이빠지면문제 ( 나 ) 와구분이되지않음, 비슷한식으로라도언급필요, mode 그림그려서보여줘도됨 ) (4) normaliation 계산 (3점) ( 나 ) 의경우꼭위와같이풀지않더라도, 나름대로의맞는이유를들어정답을제시한경우만 점 ( 논리의정확도에따라최대 7 점까지감점 ) 예를들면, wave 의각각의경계조건에서반사파와투과파를이용하여 A 구조와달리 B 구조는 standing wave 와같은 mode 만이존재하게됨을설명하는등의경우. ( 나 ) 의경우답이틀리면 0 점 기타풀이과정상문제점이있는경우 3 점씩감점

5 3 번 (0 점 ) 3 차원 Harmonic Oscillator 차원 Harmonic Oscillator nergy Level = ω( n+ ), ( n = 0,,...) (5 점 ) 3 차원 Schrodinger s equation(time independent) ( + (, y, ) Uy (,, ) ( y,, ) ( y,, ) m y + = 변수분리법을이용, (, y, ) = ( ) ( y) ( ) y 양변을 (, y, ) = ( ) ( y) ( ) 으로나누면, (0점) y d + m = ( m ( y + ) + = m d m dy d d y d ω ω y 마찬가지로 y, 를구할수있으며, 전체에너지 = + y + 가된다. y = ω( n = ω( ny = ω( n ( n, ny, n = 0,,...) 3 = + y + = ω( n + ny + n ( n, ny, n = 0,,...), (0 점 ) 채점기준 -안쓰면 0점 -답만적은경우 5점 -기타풀이과정상중요한문제가있는경우 3점씩감점

6 4 번 (5 점 ) Hermitian operator 의 eigenvalue 는실수 (real number) 이며, 서로다른 eigenvalue 에 해당하는 eigenfunction ( 또는 eigen vector/ket/bra) 는서로직교 (orthogonal) 한다는것을증명 하시오. Operator A가임의의 i와 j에대해서 a 와 a 라는 eigenfunction들을가지고각각의 eigenvalue를 a,a 라고생각하면 A a a a Aa a a () 과 () 의왼쪽에각각 a, a 를곱해주면 a Aa a a a 3 a Aa a a a 4 (4) 양변에 conjugate를취하고 AA 를이용하여 (3), (4) 를연립하면 a Aa a a a a Aa a a a a a a a 0 5 (i) i=j 라면 a a 0 이므로 a a 즉, eigenvalue는실수. (ii) ij 라면문제의조건에서 a a 이므로 a a 0 즉, 서로다른 eigenvalue에해당하는 eigenfunction은서로직교. ( 채점기준 ) - Hermitian이면 AA 이다 5점 - 식 (5) 까지잘풀었을경우 5점 - (i) 와 (ii) 인경우를잘나누어서풀었을경우각각 5점씩 - 위와다른풀이과정의경우 Real인것을잘보인경우 0점, 직교인것을풀었을경우는 5점 ( 단, 풀이과정이타당할경우 ) ( 감점사항 ) - Hermitian operator의뜻을간접적으로라도명시하지않으면 3점감점 - 기타풀이과정상중요한문제가보일경우 3점씩감점

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<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가