함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과

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1 함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function spce) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과같음을볼수있다. 각 x X에대해 Y x = Y 라하자. 그리고 F := Y x x X 이라하자. 그러면 F는각 x X에대해 x Y x = Y 을만족하는모든점 p =< x : x X > 로이루어진다. 따라서 F = F(X, Y ) 이다. 이제각 x X에대해사상 e x : F(X, Y ) Y 을 e x (f) := f(x) 로정의하자. 이 e x 를 x에서의 evlution 사상이라한다. F = F(X, Y ) 이므로 e x 는 F에서 Y x 로의정사영 π x 와같다. Exmple.2. I = [, 1] 일때 F(I, R) 을생각하자. 그리고 f(x) = x 2, g(x) = 2x+1, h(x) = sin(πx) 라두면 f, g, h F(I, R) 이다. F(I, R) 에서정의된 evlution 사상 e 1/2 를생각하자. 그러면 e 1/2 (f) = f(1/2) = 1/4, e 1/2 (g) = g(1/2) = 2, e 1/2 (h) = h(1/2) = 1 임을볼수있다. 이제함수족 F(X, Y ) 위에 F = F(X, Y ) 임을이용하여위상을정의하자. F 는적집 합이므로적위상을도입할수있다. F 상의적위상의정의부분기저 S 는 x X 와 좌표공간 Y x = Y 의열린부분집합 G 를취해서 π 1 x (G) = {f π x (f) G} 로표현되는 F 의모든부분집합으로구성된다. 따라서 π x (f) = e x (f) = f(x ) 이다. 그러므로 S는임의의점 x X를 Y 의임의의열린집합 G로사상하는모든 F(X, Y ) 의부분집합으로이루어진다. 이때 F(X, Y ) 상의이와같은적위 상을점열린위상 (point open topology) 이라한다. 다른말로하면 evlution 사상 e x : F(X, Y ) Y 가연속이되는조건을만족하는 F(X, Y ) 상의위상중에서가장 거친위상이점열린위상이다.

2 Exmple.3. I = [, 1] 이고 F(I, R) 사의점열린위상을 T 라하자. 그러면 T 의정의부분기저는 {f F(I, R) f(j) G} 형태의모든부분집합으로이루어진다. 이것은 12장에서다룬적공간 X = R i I 의부분기저의원소와같음을알수있다. Exmple.4. A 가적공간 α I X α 의부분집합이면 A α I π α (A) 이다. 그러면당연히 A α I π α (A) 이다. 이제 A = A(X, Y ) 를 F(X, Y ) 의부분족이라하면 A x X π x (A) = x X e x (A) 이다.( 여기서 e x (A) = {f(x) f A} 이다.) 만일 {f(x) f A} 가모든 x X에대하여콤팩트이면치호노프정리에의해 π α (A) α I x X 이다. Theorem.5. A를 F(X, Y ) 의부분족이라하자. A가닫힌집합이고모든 x X 에대하여 {f(x) f A} 가 Y 에서콤팩트일때 A는 F(X, Y ) 상의점열린위상에대하여콤팩트이다. Proof. 위의예를이용하면쉽게증명된다. Y x 점별수렴, 균등수렴 Definition.6. 집합 X 에서위상공간 Y 로의함수 f n, (n N) 에대해함수열 < f n > 을생각하자. 함수 g : X Y 가존재해서모든 x X 에대해 lim f(x) = g(x) 일때함수열 < f n > 은 g 로점별수렴 (pointwise convergence) 한다고말한다.

3 위정의에서 Y 가거리공간이면점별수렴의정의를다음과같이표현할수있다. 모든 ɛ > 와모든 x X에대해 n N such tht n > n = d(f n (x), g(x)) < ɛ 일때 < f n > 은 g에점별수렴한다. Exmple.7. < f n > 을 I = [, 1] 에서 R로의함수열이라하자. 여기서 f n (x) := x n 으로정의하자. 함수 g : I R을 if x < 1, g(x) := 1 if x = 1 으로정의하면 < f n > 은 g에점별수렴한다. 각함수 f n 이연속일지라도극한함수 g는연속이아님에주의해야한다. Theorem.8. F(X, Y ) 에속하는함수열 < f n > 이 F(X, Y ) 상의점열린위상에관하여 g F(X, Y ) 로수렴하기위한필요충분조건은 < f n > 이 g로점별수렴하는것이다. Proof. F(X, Y ) 상의점열린위상의정의에의해함수열 < f n > 이 F(X, Y ) 상의점열린위상에관하여 g F(X, Y ) 로수렴한다는것은모든사영 π x 에대해 < π x (f n ) >=< e x (f n ) >=< f n (x) > 이 π x (g) = e x (g) = g(x) 로수렴한다는것과동치이다. 따라서모든 x X 에대해 lim f(x) = g(x) 이성립하는것과동치이다. 즉, < f n > 이 g 로점별수렴하는것과동치이다. Definition.9. 집합 X 에서거리공간 Y 로의함수열 < f n > 을생각하자. 모든 ɛ > 에대해 n N such tht n > n = d(f n (x), g(x)) < ɛ, x X 이성립할때 < f n > 은함수 g : X Y 에균등수렴한다 (uniform convergence) 고 말한다.

4 Theorem.1. < f n > 은위상공간 X에서거리공간 Y 로의연속함수열이라하자. < f n > 이함수 g : X Y 로균등수렴하면 g도연속이다. Proof. Exmple.11. I = [, 1] 에서 R로의함수열 < f n = x n > 을생각하자. 그러면 < f n > 은연속함수열이다. 그리고 < f n > 은 if x < 1, g(x) := 1 if x = 1 으로정의되는함수 g 점별수렴한다. 그러나 g는연속이아니다. 따라서 < f n > 은 g로균등수렴하지않는다. Exmple.12. < f n > 을다음과같이정의되는 F(R, R) 에속하는함수열이라하자. 1 1 x if x < n, n f n (x) = if x n 그러면 < f n > 은함수 g(x) = 1에점별수렴한다. 그러나균등수렴하지는않는다. 왜냐하면 ɛ = 1/2에대해 f n (x ) =, n N 을만족하는점 x R가존재해서 f(x ) g(x ) = 1 > ɛ 이기때문이다. Theorem.13. 집합 X에서거리공간 (Y, d) 로의모든유계함수족을 B(X, Y ) 라하자. 그리고 e를 e(f, g) := sup{d(f(x), g(x)) x X} 으로정의되는 B(X, Y ) 상의거리라하자. < f n > 을 B(X, Y ) 에속하는함수열이라하면 < f n > 이거리 e에관하여함수 g B(X, Y ) 에수렴하기위한필요충분조건은 < f n > 이 g에균등수렴하는것이다.( 여기서 e에의해유도된위상을균등수렴위상 (topology of uniform convergence) 이라한다.) Proof. (= ) ɛ > 이라하자. < f n > 이 e에관하여 g에수렴하므로 n N such tht n > n = e(f n, g) < ɛ 이성립한다. 따라서 n > n = d(f n (x), g(x)) sup{d(f n (x), g(x) x X}

5 임을알수있다. 결국 < f n > 은 g 에균등수렴한다. = e(f n, g) < ɛ, x X ( =) ɛ > 이라하자. < f n > 이 g 에균등수렴하므로 n N such tht n > n = d(f n (x), g(x)) < 1 ɛ, x X 2 임을알수있다. 따라서 n > n = sup{d(f n (x), g(x) x X} 1 2 ɛ < ɛ 을얻는다. 즉, n > n 이면 e(f n, g) < ɛ 이므로 < f n > 은 e 에관하여 g 에수렴한 다. < 연습1> I = [, 1] 이라하고 < f n > 은다음과같이정의되는 F(I, R) 의함수열이라하자. 4n 2 x if x 1/2n, f n (x) := 4n 2 x + 4n if 1/2n < x, 1/n if 1/n x 1 이때 < f n > 은상수함수 g(x) = 에점별수렴함을보여라. ( 풀이 ) f n () =, n N 이므로 lim f n() = g() = 이다. 한편 x > 에대해 1/n < x 을만족하는 n N 가존재한다. 그러면이 n 에대해 n > n = f n (x ) = = lim f n (x ) = g(x ) = 이성립함을알수있다. 따라서 < f n > 은영함수에점별수렴한다. 주의 : 이문제에서머든 n N 에대해 f n (x)dx = 1 이지만 g(x)dx = 이다. 따라서 lim f n (x)dx lim f n(x)dx

6 임을볼수있다. < 연습 2> I = [, b] 이라하고 < f n > 은 F(I, R) 의연속함수열이라하자.< f n > 이 함수 g F(I, R) 에균등수렴하면 임을보여라. b lim f n (x)dx = b g(x)dx ( 풀이 ) ɛ > 이라하자. < f n > 이 g 에균등수렴하므로 n N such tht n > n = f n (x) g(x) < ɛ?(b ), forllx [, b] 이다. 따라서 n > n 이면 b f n (x)dx 이므로증명은끝난다. b b g(x)dx = (f n (x) g(x))dx < b b f n (x) g(x) dx ɛ/(b )dx = ɛ 균등연속, 균등유계 C[, 1] 은 I = [, 1] 에서 R로의모든연속함수족이다. f C[, 1] 에대해노름 f := sup{ f(x) x I} 을정의하면 C[, 1] 은노름벡터공간이된다. Theorem.14. f C[, 1] 이면모든 ɛ > 에대해 δ > 가존재해서 x y < δ = f(x) f(y) < ɛ, x, y I 을만족한다. 즉, f는균등연속이다. Proof. I가콤팩트공간이므로당연히성립한다.(2학년해석학참조 ) Theorem.15. C[, 1] 은완비노름벡터공간이다.

7 Proof. < f n > 을 C[, 1] 속하는코시함수열이라하자. 그러면모든 x I 에대해 < f n (x) > 는 R 에서코시열이고 R 은완비이므로수렴한다. 함수 g : I R 을 g(x) := lim f n (x) 으로정의하자. 그러면 < f n > 은 g 에균등수렴하고따라서 g 는연속이다. 즉, g C[, 1] 이다. 결국 C[, 1] 은완비이다. Theorem.16. 모든점에서미분가능하지않은연속함수 f C[, 1] 기존재한다. Proof. 이정리의증명은학부생에게는공부할의미가없어생략한다. Definition.17. A 을집합 X 에서정의된실함수족이라하자. 주어진 f A 에 대해 M R such tht f(x) < M, x X 을만족할때 A 은균등유계 (uniformly bounded) 라고한다. Exmple.18. A = {f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = sin(2x), f 3 (x) = sin(3x), } 이라하자. sin(x) 1, x R 임을이용하면 A 는균등유계임을알수있다. Exmple.19. A C[, 1] 를 A = {f 1 (x) = x, f 2 (x) = 2x, f 3 (x) = 3x, } 으로정의하자. 그러면 A 의각함수는유계이나 A 는균등유계가아니다. 왜냐하면 M 을아무리큰실수로잡아도 n > M 이되는 n N 이존재하여 이되기때문이다. f n (1) = n > M 문제풀이 1. < f n > 을위상공간 X에서거리공간 Y 로의연속함수열이라하고 < f n > 이함수 g : X Y 로균등수렴한다고하자. 그러면 g는연속임을보여라. ( 풀이 ) x X이고 ɛ > 이라하자. 그러면 x 을포함하는열린집합 G X가존재해서 x G = d(g(x), g(x )) < ɛ

8 을만족함을보이면 g 가 x 에서연속임을보이는것이된다. < f n > 은 g 에균등수 렴하므로 m N such tht d(f m (x), g(x)) < 1 ɛ, x X 3 임을알수있다. 따라서삼각부등식을적용하여 d(g(x), g(x )) d(g(x), f m (x)) + d(f m (x), f m (x )) + d(f m (x ), g(x )) < d(f m (x), f m (x )) ɛ 을얻는다. 그리고 f m 은연속이므로 x 을포함하는열린집합 G X 가존재해서 이다. 위의두식을함께적용하면 x G = d(f m (x), f m (x )) < 1 3 ɛ x G = d(g(x), g(x )) < ɛ 이성립함을알수있다. 그러므로 g 는연속이다. 2. ( 학생들풀이 ) < f n > 은 C[, 1] 에속하는코시함수열이다. 각 x I 에대해 점렬 < f n (x ) > 은 R 에서코시열임을보여라. 3. ( 학생들풀이 ) F(R, R) 에속하는함수열 < f n > 은 1 1 x if x < n, n f n (x) := if x n 으로정의된다. 이때 < f n > 은콤팩트집합상에서상수함수 g(x) = 1에균등수렴함을보여라. 4. ( 학생들풀이 ) < f n > 은 C[, 1] 에속하는함수열이고 f n (x) := nx(1 x) n 으로 정의된다. (1) < f n > 은상수함수 g(x) = 에점별수렴함을보여라. (2) < f n > 은상수함수 g(x) = 에균등수렴인지를확인하여라. (3) 다음등식이성립함을보여라 lim f n (x)dx = ( ) lim f n(x) dx

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라한다. Example 0.2. < a n > 이 p에수렴하는점렬이면모든 ɛ > 0에대해 n