2014 학년도수학성취도측정시험 (2014 학년도정시모집합격자대상 ) 2014 년 2 월 17 일, 고사시간 90 분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오.

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1 학년도수학성취도측정시험 ( 학년도정시모집합격자대상 년 월 7 일, 고사시간 9 분 번부터 번까지는단답형이고, 번부터 6번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 총배점은 점이고, 각문항의배점은, 기본문제 (-6번 각 점, 발전문제 (7-번 각 7점, 심화문제 (번-6번 각 점입니다. 년정시 번 lim x x x x + x. [ 풀이 ] lim x x x x + x (x (x + (x + x (x (x + (x + (x + x (x + 년정시 번 n (n + (n +. [ 풀이 ] n (n + (n + N N n N ( n + n + ( + + ( N + N + N + 년정시 번 f(, f (, f ( 인이차다항식 f(x 는이다. [ 풀이 ] 실수 a, b, c R 에대하여 f(x ax + bx + c 라하자. x 을대입하여 c 임을 알수있다. f (x ax + b 와 f (x a 에 x 을대입하여 a, b 을얻는다. 따라서 구하고자하는이차다항식은 f(x x + x + 이다.

2 년정시 번함수 f(x e x ln(sin x 의도함수는 f (x 이다. [ 풀이 ] (e x e x, (ln x /x, (sin x cos x 및합성함수의미분법과두함수의곱의미분 법을이용하면, f (x (e x ln(sin x + e x (ln(sin x e x ln(sin x + e x cos x sin x e x (ln(sin x + cot x. 년정시 번 π tan x dx. [ 풀이 ] tan x sec x 이고 (tan x sec x 이므로, π tan x dx π sec x dx [ tan x x ] π tan π π π. ( a ( ( c ( 년정시 6 번 차정사각행렬 A 에대하여, A ( a c b, A d 일때, A b d 이다. ( ( ( ( ( ( a a c c [ 풀이 ] A A 이고 A A 이므로, b b d d ( ( a c A 이다. b d 년정시 7 번좌표공간에서직선 x y z a 이구 (x + (y + z 9 에접하도록하는실수 a 의값은, 이다. [ 풀이 ] 직선이구와접하는것은구의중심에서직선까지의거리가구의반지름인것과동 치이다. 구의중심 (,, 으로부터직선위의점 (t +, t, t + a, t R 까지의거리

3 (t + + ( t + (t + a 가 이되는점이하나여야만직선과구가접하는것이 므로, t 에대한방정식 (t + + ( t + (t + a 9 이중근을가져야한다. 위방정식을풀면 6t + (a + t + a 이고, 위방정식이중근을가져야하므로 (a + 6(a. 따라서 a ± 7 이다. 년정시 8 번두벡터 a (x, x 와 b (x + x, x + x 가서로평행하고, a 이성립하도록하는양수 x, x 를구하면, x, x. [ 풀이 ] a 와 b 가평행하므로, a 와 b a (x, x 도평행하다. 따라서적당한 t R 에대하여 (x, x t(x, x 가만족하여야하고, a 로부터 x + x 도만족하여야한다. x tx t x 에서 x > 이므로 t ± 이다. 따라서 x + 6t x x x. 또한 x > 이므로, x 이다. 년정시 9번구간 ( π, π 에속하는 x 에대하여, 점 (x, sin x 에서곡선 y sin x 에 접하는직선이 x- 축의양의방향과이루는각을 f(x 라하면, f ( π. [ 풀이 ] 접선과 x-축이이루는각을 θ 라할때, tan θ 는접선의기울기와같다. 따라서 tan f(x cos x 이고, 양변을미분하면 f (x sec f(x sin x.

4 x π 을대입하면, ( f π ( π sec f sin π. tan f(x cos x 의양변을제곱하면 tan f(x cos x 이므로, ( π ( π sec f tan f + cos π + 따라서 ( ( f π. 년정시 번 n k ( kπ sin. n [ 풀이 ] n k ( n kπ sin sin + n n + k k k ( kπ sin + sin π n n + ( kπ sin n kn+ sin ( kπ n + n kn+ cos ( (n kπ n n + ( ( ( kπ kπ sin + cos n n + n n n n 년정시 번 lim dx. n + enx [ 풀이 ] n n lim dx n + enx n n n ne nx e nx dx + n ( ln ln(e n + [ ln(e nx + ] n ln

5 년정시 번다음곡선의길이를구하시오. y ln x, x. [ 풀이 ] 우선곡선의길이공식에의하여다음과같은식을얻을수있다. l + + x x dx dx ( x + x t 라하면 xdx tdt이고, 따라서다음과같이답을구할수있다. t ( / t dt + / t dt + ( / t dt t + t + ( t ( ( ( ln t + / + ln ln + + ( + ln 7 +. [ 다른풀이 ] x tan θ 라하면 dx sec θdθ 이고, 따라서원래풀이의 ( 을다음과같이치환 할수있다. ( arctan arctan sec θ tan θ dt. ( 또다시, u cos θ라치환하면, du sin θdθ이고, 따라서다음과같이답을구할수있다. / / ( / u ( u du / u + ( u + du + u u + ( + u / ( ( ( ln u / ln ln ( + ln 7 +. [ 채점기준 ] 곡선의길이를구하는식을알고 ( 을정확히적었을경우 점, 치환을정확히한 경우 ( 치환과적분구간을정확히적은경우 점 ( 이때 [ 다른풀이 ] 에서 x tan θ 치환만한경 우에는점수없음, 답이정확히맞았으면 점씩총 7 점만점. [ 채점소감 ] 이러한적분계산문제는적당한치환적분혹은부분적분방법을찾는게가장까다로운부분이다. 실제로많은수의답안이 y f(x 꼴로주어진곡선의길이를구하는공식까지는잘적용했지만그이후의계산을더이상진행하지못했다. 적당한치환적분방법을찾은경우에도중간과정에서계산실수로오답을내는경우가적지않았다. 특히삼각함수를이용한치환적분을시도한답안에서는풀이방법에따라다양한삼각

6 6 함수들의부정적분을정확하게알고있어야하거나추가적으로부분적분법을적용해야하는등 복잡한계산과정이필요했기때문에더많은실수가있었던것같다. 년정시 번함수 f(x 가구간 [, ] 에서연속이고또한 f(xdx 를만족시키면, c + f(c 을만족시키는 c 가구간 (, 에적어도하나존재함을보이시오. [ 풀이 ] g(x f(x + x 라하면함수 f가연속이므로함수 g도연속이다. 따라서 G(x x g(tdt 로정의하면함수 G는닫힌구간 [, ] 에서연속이고, 열린구간 (, 에서미분가능하다. 한편문제의조건에의하여 G( g(xdx f(xdx + 이고 G( 이므로롤의정리 ( 또는미분의평균값정리 에의하면 G (c g(c f(c + c 이되는 c 가열린구간 (, 에적어도하나존재한다. [ 채점기준 ] f(x + xdx 임을적었지만 c의존재성을정확히증명하지못한경우 점, 롤의정리또는미분의평균값정리또는적분의평균값정리따위를이용하거나경우를나누 어 c 의존재성을정확히증명한경우 7 점. [ 채점소감 ] 롤의정리혹은평균값의정리를사용하는것이분명한문제인데이를생각해내지 못하고그림을그려설명하거나직관에의존하여해결하려는답안이많이보였다. 교과서의주 요정리가어떤상황에필요한것인지생각해가며공부하는습관을들이도록하자. 년정시 번삼각형 ABC 에대하여 cos A + cos B + cos C 의값은 일때최대임을증명하시오. A B C π

7 7 [ 풀이 ] A + B + C π 이므로 C π (A + B 가된다. 삼각함수의공식들을이용하면 cos A + cos B + cos C cos A + cos B cos(a + B ( ( A + B A B cos cos ( ( A + B A + B cos cos ( ( A + B cos + ( A + B cos + + 를얻는다. 여기서첫번째부등식의등호조건은 cos ( A B 이고두번째부등식의등호조건은 cos ( A+B 이다. 위두조건으로부터 A B π 가될때 ( 이때 c π, 최댓값 를얻는다. [ 채점기준 ] 결론을이끌어내지못하면 점. 틀린사실을이용하여결론을이끌어내면 점. 모범답안이외의풀이에대해서도올바르게증명하면 점. 사소한실수부분감점. [ 채점소감 ] 삼각함수의다양한공식및부등식의최대조건을이용하여증명을하는문제이다. 대다수학생들이결론까지도달하지못하였다. 특히결론을알고증명을하는문제라서엄밀함없이결론에끼워맞추는풀이들이많았다. 그리고풀이에서학생들이논리적설명을하는것에익숙치않다는것을느낄수있었다. 년정시 번좌표공간에서다음영역의부피를구하시오. { (x cos z y sin z, x sin z + y cos z, z y x, z π } [ 풀이 ] 주어진영역을평면 z k ( 단, k π 로자른단면을 A(k 라하면 A(k {(x cos k y cos k, x sin k + y cos k, k y x } 이다. 한편영역 B(k ( 단, k π 를 B(k {(x, y, k y x }

8 8 이라하고, f k 을행렬 cos k sin k T k sin k cos k 로나타나는일차변환이라하자. 그러면영역 A(k 는일차변환 f k 에의한영역 B(k 의상이 다. 이때행렬 T k 로부터 f k 는좌표공간의점을 z 축둘레로 k(rad 만큼회전시키는일차변환임 을안다. 따라서영역 A(k 는영역 B(k 를 z 축둘레로 k(rad 만큼회전시킨영역이고, 그넓이 는서로같다. 그러므로영역 A(k 의넓이는 ( y dy ] [y y 이고, 이는 k 의값과무관하다. 따라서주어진영역의부피는 π 이다. [ 채점기준 ] 회전변환을이용하여옳은답을구하면 점, 위 [ 풀이 ] 외의다른방법을시도할경우 점 ( 제출된답안중옳은풀이가하나도없었음. 계산과정에실수가있는경우 점감점. 주어진영역을평면 z k로자른단면의넓이가 k의값에관계없이일정하다. 는사실을설명없이이용한경우답이옳더라도 점. [ 채점소감 ] 의미있는답안을작성한학생이거의없었다. 학생들이 기하와벡터 에서배운회전변환을좌표공간에서적용하는것에생소한것같다. 좌표공간의회전변환을이용한다는아이디어만있으면문제의풀이는어렵지않아서, 예상보다낮은정답률이아쉬움으로남는다. 문제풀이를시도한학생의상당수는주어진영역을방정식이나부등식으로표현하려고하였다. 그리고일부학생은단순히수식을나열하는것으로답안을작성하였다. 서술형문제의답안은답안작성자가말하고자하는것을채점자가알수있도록설명을덧붙여자세히쓰도록한다. 년정시 6번다음세조건을만족시키는함수 f(x 를모두구하시오. ( (, 에서 f(x 의이계도함수가존재한다. ( 모든실수 x, y 에대하여 xyf(x + y (x + yf(xf(y. ( 이아닌모든실수 x 에대하여 xf(x >.

9 9 [ 풀이 ] 함수 g(x 를다음과같이정의하자. f(x x g(x, x f (, x. 문제의조건 ( 에 y 을대입하면, xf(xf( 을얻고, 조건 ( 에의해 f( 이성립 하므로, g(x 는연속이다. 또한, x, y, x + y 일때조건 ( 에의해 이므로 g(x + y g(xg(y 가성립한다. f(x + y x + y f(x f(y x y 또한, f(x 의이계도함수가존재하므로, 로피탈의정리에의해 f(h g(h g( h lim f ( f (h f ( h h h h h h f (. 따라서, g ( 이존재한다. 위에서얻은식 g(x + y g(xg(y 을 y 로미분하고 y 을대입하면, g (x g (g(x g (x g(x g ( ln g(x g (x + C g(x exp(g (x + C 를얻게된다. 이때, g(x + y g(xg(y 를만족해야하므로상수 C 이성립한다. 따라서, g(x a x (a > 인실수 이며, f(x xa x 이다. [ 채점기준 ] 함수방정식 g(x + y g(xg(y 를유도하고, g(x a x (a > 인실수 를보이 는부분이 7 점, g ( 의존재성을보이는부분이 점으로채점되었다. g(x a x (a > 인실 수 를보이는부분에서정확한수학적근거를쓰지않았거나, 상수 C 을보이지않았거나, g(x e x 으로답을쓴풀이는감점되었다. [ 채점소감 ] 주어진조건 ( 를정리하여방정식 g(x + y g(xg(y 을유도한후, g(x 가지 수함수의꼴이된다는것을보이는문제인데, 논리적설명없이추측으로결론을도출한풀이가 많았다. 또한, g ( 의존재성또한보이지않은채 g ( 의존재를가정하고푼학생이많아대부분 감점되었다. 서술형답안을작성할때, 논리적오류나공백없이꼼꼼하게작성하는연습이필 요할것으로생각된다.