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1 2016 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가정답및해설 수학영역 정답 해설 1. [ 출제의도 ] 거듭제곱의뜻을알고식의값을계산한다. 2. [ 출제의도 ] 다항식의덧셈과뺄셈을하여식을간단히한다. 3. [ 출제의도 ] 일차방정식의해를구한다. 4. [ 출제의도 ] 완전제곱식의뜻을이해하여다항식이완전제곱식이되는상수항을구한다. 다항식 가완전제곱식이되기위해서는 의값이일차항의계수의 의제곱이되어야하므 로 5. [ 출제의도 ] 삼각형의무게중심과평행사변형의성질을이해하여선분의길이를구한다. 평행사변형 ABCD 의두대각선 AC, BD 의교점을 I 라하자. 점 E 는삼각형 ABC 의무게중심이므로 EI BI 점 F 는삼각형 CDA 의무게중심이므로 IF ID 구하는값은 EF EI IF BI ID BI ID BD 평행사변형의두대각선은서로다른것을이등분하므로선분 BD 는두삼각형의무게중심을지난다. 무게중심을연결한선분 EF 의길이는대각선 BD 의길이의 이므로 EF BD 6. [ 출제의도 ] 직각삼각형에서삼각비의뜻을이해하여그값을구한다. 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의해 AB BC AC 이므로 AC AB BC AC tan BC 7. [ 출제의도 ] 최소공배수의뜻을이해하고소인수분해를이용하여최소공배수를구한다. 과자의무게의합은 의배수이고, 음료수의무게의합은 의배수이다. 두무게의합이같으려면과자의무게의합과음료수의무게의합이 와 의공배수이어야한다. 두수, 을소 두수, 의최소공배수는 과자의무게의합과음료수의무게의합이 와 의최소공배수가될때 와 의값이각각최소이므로 의값도최소가된다. 과자 개의무게가 일때 의값을구하면 음료수 개의무게가 일때 의값을구하면 구하는최솟값은 8. [ 출제의도 ] 닮음비와부피의비의관계를이해하여식의값을구한다. 두구슬 A, B 의지름의길이가각각 cm, cm이므로닮음비는 두구슬의부피의비는 주어진조건에의해두구슬의가격은부피에비례하므로 1 구슬 A 의부피는 구슬 B 의부피는 두구슬의가격은구슬의부피에비례하므로 이므로 9. [ 출제의도 ] 연립일차부등식의정수인해의개수를구한다. 연립부등식 에서부등식 를풀면 ᄀ부등식 을풀면 ᄂ두부등식ᄀ, ᄂ을동시에만족시키는 의값의범위를수직선에나타내면다음과같다. 위그림에서구하는 의값의범위는 구하는정수 는,,,,,,, 이므로개수는 이다. 10. [ 출제의도 ] 도수분포표를이해하고실생활문제와관련된확률을구한다. 주어진도수분포표에서도수의합이 이므로 위등식으로부터 이다. 한편주어진도수분포표에서한학기동안이수한방과후학교의이수시간이 시간이상인학생수는 구하는확률은 이다. 11. [ 출제의도 ] 무리수의뜻을이해하여도형의둘레의길이를구한다. 한변의길이가 인정사각형의대각선의길이는 이다. 다음과같이모양의도형에서각꼭짓점을차례로 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K 라하자. 이도형의각변의길이를구하면다음과같다. AB BC CD

2 DE IH EF FG GH IJ JK KA 모양의도형의둘레의길이는 12. [ 출제의도 ] 줄기와잎그림을이해하여자료의평균을구한다. 줄기가 일때의자료의합은 줄기가 일때의자료의합은 줄기가 일때의자료의합은 줄기가 일때의자료의합은 주어진조건에서 개의자료의평균이 이다. 이때 변량의총합 평균 변량의개수 이므로평균을구하면 평균 에서 13. [ 출제의도 ] 일차함수의그래프를이해하여직선의기울기와 절편을구한다. 정사각형 ABCD 의각변의길이가모두같으므로 AB BC 라하자. 그러면직선 AC 의기울기는 이다. 직선 AC 의 절편을 라하면이직선의방정식은 이직선이점 을지나므로, 을대입하면 에서 직선 AC 의 절편은 이다. A 점 A 의 좌표가 이고정사각형 ABCD 의한변의길이가 이므로점 C 의 좌표는 이고점 C 의 좌표는 이다. 점 C 의좌표는다음과같다. C ᄀ 한편조건에의해점 C 는이차함수 의그래 프위의점이므로점 C 의 좌표 을 에 대입하면점 C 의 좌표는 점 C 의좌표는 C ᄂ ᄀ, ᄂ에서 위등식을정리하면 또는 점 A 는제 사분면의점이므로 에서 점 A 의 좌표는 이므로 좌표는 이다. 그러므로점 A 의 좌표와 좌표의합은 이다. 15. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이용하여실생활문제를해결한다. A 지점을원점 O, 지면을 축, 원점 O 를지나고지면과수직인직선을 축으로하는좌표평면을생각하자. 지점 B 의좌표는다음과같다. B 지점 C 의좌표는다음과같다. C 지점 P 의좌표는다음과같다. P 세점을지나는포물선을이차함수 의그래프라하면다음과같다. 이므로 이차함수는 이다. 이차함수 의그래프는원점을지나므로 ᄀ이차함수 의그래프는점 B 를지나고점 B 의좌표는 이므로 이차함수 의그래프는점 P 를지나고 점 P 의좌표는 이므로 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 이차함수 은 일때최댓값이 이므로공이가장높이올라갔을때의높이는 m 이다. 지면을 축, 포물선의축을 축, A 지점을점 으로하는좌표평면을생각하자. 그러면지점 B 의좌표는다음과같다. B 지점 C 의좌표는다음과같다. C 지점 P 의좌표는다음과같다. P 세점을지나는포물선을이차함수 의그래프라하면다음과같다. 14. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이해하여점의좌표를구한다. 이차함수 의그래프위의점 A 의 좌표를 라하면점 A 의좌표는다음과같다. 이그래프의축의방정식은 2 이차함수 의그래프는점 B 를지나고점 B 의좌표는 이므로 ᄀ이차함수 의그래프는점 P 를지나고점 P 의좌표는 이므로

3 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 이차함수 은 일때최댓값 이 이므로공이가장높이올라갔을때의높이는 m 이다. 16. [ 출제의도 ] 원주각의성질을이용하여선분의길이를구하는과정을추론한다. 두점 M, N 이각각두선분 AB, AC 의중점이므로 MN BC PM 라하자. 점 A 에서선분 MN 에내린수선의발을 H 라하자. 삼각형 ABC 가정삼각형이므로직선 AH 는원의중심을지나고원의성질에의해 PH HQ 한편 MH HN 이므로 NQ PM 호 PC 에대한원주각의크기는일정하므로 PAC PQC 이고맞꼭지각의크기가같으므로 ANP QNC 이다. APN QCN 이므로 AN PN QN CN 이때 AN CN AC 이므로 이다. 이차방정식의근의공식에의하여 ± 이므로 그러므로 PQ PM MN, 이므로 17. [ 출제의도 ] 일차함수의그래프와삼각형의닮음의성질을이용하여점의좌표를구한다. 일차함수 의그래프가 축과만나는점 을 B 라하고원점을 O 라하자. 일차함수 의그래프의 절편은 을대입하면 일차함수 의그래프의 절편은 을대입하면 이므로 삼각형 AOB 의넓이는 한편두직각삼각형 AQP, AOB 에서 QAP OAB 이므로 AQP AOB (AA 닮음 ) AQP, AOB 에서 AQP AOB 삼각형 AQP 와삼각형 AOB 의넓이의비가 이므로두삼각형 AQP, AOB 의닮음비는 이다. AO, AQ 이므로점 Q 의 좌표는 이고점 P 의 좌표는점 Q 의 좌표와같으므로 이다. 일차함수 의그래프의 절편이 이므로 점 A 이다. 점 P 의 좌표를 라하고 좌표를구하면 에서 삼각형 AQP 의넓이는 AQP AQ QP 주어진조건에서 또는 이므로 점 P 의 좌표는 이다. 18. [ 출제의도 ] 삼각비의값을활용하여높이를구하는실생활문제를해결한다. 3 선분 EF 의연장선이선분 AG 와만나는점을 H 라하자. 직각삼각형 AEH 에서 HE tan AH HE AHtan tan 직각삼각형 AGB 에서 tan AG BG BG AGtan tan 그러므로구하는값은 BD BG GD BG HE EF 19. [ 출제의도 ] 닮은삼각형의성질을이해하여선분의길이를구한다. 선분 BD 의중점을 G 라하고두점 G, E 를선분으로연결하면 BCD BEG 이므로 EG CD 선분 BD 의중점이 G 이므로 GE DC 또, AGE 에서 DF GE, AD DG 이므로 AF FE 두점 D, F 는각각선분 AG 와선분 AE 의중점이므로 FD EG CD CD 에서 FC CD FD CD CD CD DF CF CF DF 두삼각형 ADF, FEC 의넓이를다음과같이나타낼수있다. ADF DF AF sin AFD FEC CF FE sin CFE DF AF sin AFD ADF ADF FEC

4 이때하나의점을더연결하여만든도형의길이가 가되기위해서는그림과같이선분의길이가 인선분의양끝점중하나와한변의길이가 인정사각형의대각선을이룰수있는점을찾아야한다. 선분을각각 개씩만들수있다. 이경우길이가 인도형에다른한점을더연결하여길이가 인도형을만드는방법은 가지다. 선분 BD 의중점을 G 라하면 GE DC 또, AGE 에서 DF GE, AD DG 이므로 AF FE ABF FBE FEC FCA AD DB 이므로 ADF ABF FEC ADF FEC 20. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이용하여성립하는내용을추측한다. ㄱ., 을 에대입하면 이므로이차함수 의그래프는점 을지난다. ( 참 ) ㄴ. 에서이차함수 의그래프의꼭짓점 의 좌표는 이다. 이차함수 의그래프를 축의방향 으로 만큼평행이동하면꼭짓점의 좌표는 이되므로 이다. 이차함수 의그래프는 축에대칭이다. ( 참 ) ㄷ. ㄴ에서이차함수 의그래프의꼭짓점의좌표는 이므로꼭짓점이 축위에있으려면 이어야한다. 또는 구하는 의개수는 이다. ( 거짓 ) 21. [ 출제의도 ] 피타고라스정리를이용하여조건을만족시키는경우의수를구한다. 두점을연결하여만든도형의길이가 인경우는그림과같이한변의길이가 인정사각형에서한꼭짓점과그점을포함하지않는변의중점을연결한경우뿐이다. ⅰ) 한변의길이가 인정사각형의각꼭짓점이두선분의교점인경우교점에서길이가 인선분을만들수있는점은하나뿐이므로길이가 인선분을그릴수있는경우는그림과같이 가지다. 한변의길이가 인정사각형의꼭짓점은 개이므로가능한경우의수는 이다. ⅱ) 한변의길이가 인정사각형의각변의중점이두선분의교점인경우교점에서길이가, 인선분을만들수있는경우는각각두가지씩이므로그림과같이 가지경우가있다. 한변의길이가 인정사각형의변의중점은 개이므로가능한경우의수는 이다. ⅰ), ⅱ) 에서구하는모든도형의개수는 이다. 이므로먼저두점을연결하여길이가 인도형을만든경우를생각하자. 두점을연결한도형의길이가 인도형은그림과같이정중앙에있는점이다른한점과연결되어있는경우와정중앙에있지않는 개의점들중에서 개의점이연결된경우로나눌수있다. ⅰ) 정중앙에있는점과다른한점을연결하여길이가 인도형을만든경우는 가지다. 정중앙에있는점과나머지다른점을연결하여길이가 인도형을만들수없고, 나머지 개의점들중 개의점을연결하여길이가 인도형을만들수있다. 이경우그림과같이길이가 인도형에다른한점을더연결하여길이가 인도형을만드는방법은각각 가지다. 구하는도형의개수는 이다. ⅱ) 정중앙에있지않는 개의점중 개의점을연결하여길이가 인도형을만든경우는 가지다. 이두점과나머지다른점을연결하여 인 4 구하는도형의개수는 이다. ⅰ), ⅱ) 에서구하는모든도형의개수는 이다. 세점을연결하여길이가 인도형을만드는경우는그림과같이이웃하는변의길이가각각, 인직사각형에서길이가 인변의중점과직사각형의꼭짓점을연결하는경우와한변의길이가 인정사각형의한꼭짓점과두변의중점을연결하는경우에서살펴볼수있다. ⅰ) 이웃하는변의길이가각각, 인직사각형을이루는점으로도형을만든경우한직사각형을이루는 개의점들중세점을연결하여길이가 인도형을만들수있는경우는다음과같이 가지다. 이때주어진 개의점으로이웃하는변의길이가각각, 인직사각형모양을만들수있는경우는 가지다. 만들수있는도형의개수는 이다. ⅱ) 한변의길이가 인정사각형을이루는점으로도형을만드는경우정사각형을이루는 개의점들중세점을연결하여길이가 인도형중선분의교점이정사각형의한변위에놓이는경우는그림과같이 가지다. 이때도형을이루는두선분의교점이될수있는경우는 가지다. 만들수있는도형의개수는 이다. ⅰ), ⅱ) 에서구하는모든도형의개수는 이다. [ 보충설명 ] 세점을연결하여만든도형의길이가 인도형을모두그리면그림과같다.

5 22. [ 출제의도 ] 원뿔의부피를계산한다. 밑면의반지름의길이가, 높이가 인원뿔의부피를 라하면 이므로주어진원뿔의부피는 23. [ 출제의도 ] 연립일차방정식을이해하여해를구한 다. ᄀ ᄂ ᄀ ᄂ을하면 위에서구한 을ᄀ에대입하면, 이므로 에서 이를 에대입하면, 에서, 이므로 24. [ 출제의도 ] 주어진사건을이해하고경우의수를구한다. ⅰ) 일때 주어진조건을만족시키는 의값은 또는 또는 가지경우가있다. ⅱ) 일때주어진조건을만족시키는 의값은 또는 가지경우가있다. ⅲ) 일때주어진조건을만족시키는 의값은 뿐이므로 가지경우가있다. ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서구하는경우의수는 이다. ⅰ) 일때주어진조건을만족시키는 의값은없다. ⅱ) 일때 뿐이므로 가지경우가있다. ⅲ) 일때 또는 가지경우가있다. ⅳ) 일때 또는 또는 가지경우가있다. ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ) 에서구하는경우의수는 이다. 25. [ 출제의도 ] 함수의그래프의성질을이해하여함수의식을구한다. 정사각형 ACDB 에서 CA DB 이므로점 A 와점 B 의 좌표는 이다. 점 A 는함수 의그래프위의점이므로 를대입하면 이다. 점 A 의좌표는 A 점 B 는함수 의그래프위의점이므로 를대입하면 이다. 점 B 의좌표는 B 주어진조건에서 AB 이므로 이고 A 또, 점 A 는함수 의그래프위의점이므로 에대입하면 26. [ 출제의도 ] 피타고라스정리와이차방정식을이해하여변의길이를구한다. 5 AB 라하자. AB AC 에서 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의해 BC AB AC 이므로 BC AB AC 직각삼각형 ABC 의넓이를구하면 ABC AB AC 사각형 BDEC 의넓이를구하면 BDEC BC 주어진조건에서 BDEC ABC 이므로 또는 조건에의해 이므로 AB 27. [ 출제의도 ] 무리수의뜻을이해하여조건을만족시키는자연수의개수를구한다. ⅰ) 가유리수인경우 가유리수가되기위해서는근호안의수 가어떤수의제곱이되어야하므로 ( 은자연수 ) 의꼴이어야한다. 이 이하의자연수가되어야하므로 은 이하의자연수가되어야한다. 가능한자연수 은,,, 로 개다. 그러므로구하는자연수 는,,, 으로 개다. ⅱ) 가유리수인경우 가유리수가되기위해서는근호안의수 가어떤수의제곱이되어야하므로 ( 은자연수 ) 의꼴이어야한다. 이 이하의자연수가되어야하므로 은 이하의자연수가되어야한다. 이므로가능한자연수 은,,, 로 개다. 그러므로구하는자연수 는,,, 으로 개다. ⅲ) 가유리수인경우 이므로 가유리수가되기위해서는 가유리수가되어야한다. 가유리수가되기위해서는근호안의수 가어떤수의제곱이되어야하므로 ( 은자연수 ) 의꼴이어야한다. 이 이하의자연수가되도록하는 은,,, 으로 개다.

6 그러므로구하는자연수 는,,, 으로 개다. ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서구하는자연수 의개수는 이다.,, 가모두무리수가되도록하는 이하의자연수 의개수는 이다. 28. [ 출제의도 ] 도형의성질과이차방정식을이용하여정사각형의넓이를구한다. 정사각형의한변의길이를 ( ) 라하면 DF AECF ABCD ABE FDA 사각형 AECF 의넓이가 이므로 또는 이므로 정사각형 ABCD 의넓이는 29. [ 출제의도 ] 대푯값의뜻을이해하여조건을만족시키는자료를추측하고그분산을구한다. 개의자료를작은수부터순서대로,,,,,,,, 라하자. 조건 ( 가 ) 에서주사위의모든눈이적어도한번씩나왔고, 자료를크기순으로배열하였으므로첫번째수 는 이고마지막수 는 이다., 조건 ( 나 ) 에서중앙값이 이므로다섯번째수 는 이다. 이때, 이므로,, 는,,, 중어느하나이고조건에의해,,, 중하나의수는두번나와야한다. 이수를 라하자. 가두번나오고조건 ( 나 ) 에서최빈값은 뿐이므로 은세번이상나와야한다.,, 이고, 이므로조건 ( 가 ) 에의하여 그러므로 개의자료는다음과같다. ( ),,,,,,,, ( 나 ) 에서평균이 이므로 개의자료는,,,,,,,, 이고이자료의평균이 이므로편차는차례로,,,,,,,, 이다. 그러므로분산 는 조건 ( 가 ) 에서주사위의모든눈이적어도한번씩나왔으므로 개의자료를,,,,,,,, ( ) 라하자. 조건 ( 나 ) 에서중앙값이 이므로다섯번째수가 이다. 이므로,,, 중에서하나의수는두번나온다. 그런데최빈값이 뿐이므로 은 번이상나와야한다. 주어진자료의평균이 이므로자료의편차를나열하면,,,,,,,, 이다. 편차의합이 이므로 편차를다시쓰면,,,,,,,, 분산 는 30. [ 출제의도 ] 도형의닮음과원주각의성질을이해하여선분의길이를구한다. 선분 AC가지름이므로 ABC 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의하여 BC AC AB BC 두직각삼각형 ABC, BEC 에서 ACB 가공통이므로 ABC BEC (AA 닮음 ) BC AC CE BC 에서 BC CE AC BC CE AC 직각삼각형 ABC 에서 ABC AB BC AC BE 6 조건에서 BE BE 직각삼각형 BEC 에서 EF BC 이므로 BEC CE BE EF BC EF EF 지름 AC 는현 BD 를수직이등분하므로 BE ED 두삼각형 DGE, DAB 에서두선분 GF, AB 는각각선분 BC 에수직이므로 GF AB, DGE DAB 이므로 DGE DAB (AA 닮음 ) 두삼각형 DGE, DAB 의닮음비가 이므로 GE AB 그러므로 FG FE EG 선분 AC 가원의지름이므로 ABC, GF AB 선분 AC 가원의지름이고 AC BD 이므로 BE ED 점 G 는삼각형 ABD 에서변 BD 의중점을지나고변 AB 에평행한직선이변 AD 와만나는점이므로변 AD 의중점이된다. 삼각형 ABD 에서 GE AB 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의하여 BC AC AB BAC 라하면직각삼각형 ABC 에서 BC sin AC 두직각삼각형 ABC, ABE 에서 BAC 가공통이므로 ABC AEB 두직각삼각형 ABC, BCE 에서 BCA 가공통이므로 ABC BEC BAE EBC BAC 직각삼각형 ABE 에서 BE sin AB BE AB sin 직각삼각형 BEF 에서 sin BE EF EF BE sin 그러므로 FG FE EG