01 2 NK-Math 평면좌표

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1 01 평면좌표 NK-Math 1

2 01 2 NK-Math 평면좌표

3 01 평면좌표 NK-Math 3

4 테마1. 테마1. 두 점 사이의 거리 1. 1.세 점 O A B 에 대하여 삼각형 OAB 의 외심의 좌표가 일 때, 양수 의 합 의 값을 구하여라 두 점 A B 과 직선 위의 점 P 에 대하여 AP BP 일 때, 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ ⑤ 3. 3.좌표평면에서 ③ 일 제사분면 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 AB BC 의 길이는? 때, ① ② ④ ⑤ 4 NK-Math ③

5 4. 4.세 점 A B C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC와 점 P 에 대하여 PA PB PC 의 값이 최소가 되도록 하는 점 P 의 좌표는? ① ② ④ ⑤ 5. 5.세 ③ 점 A B C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인 가? AB BC 인 이등변삼각형 ① BC CA 인 이등변삼각형 ② ③ A 인 직각삼각형 ④ B 인 직각삼각형 ⑤ 정삼각형 의 최솟값은? 두 점 에 대하여 점 가 축 위를 움직일 때, ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 5

6 7. 7. 좌표평면 위의 세 점 에 대하여 가 직각일 때, 실수 의 값은? ① ④ ② ③ ⑤ 에 대한 방정식 을 만족하는 정수 를 좌표평면 위의 점 로 나타낼 때, 이 점들을 꼭짓점으로 하는 사각형의넓이는? ① ② ④ ⑤ 6 NK-Math ③

7 테마2 테마2.. 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점 9. 9.두 점 A, B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q 라 할 때, 선분 PQ 의 중점의 좌표를 구하여라 두 AP BP 점 A, B 를 잇는 선분 AB와 축과의 교점을 P 라 할 때, 를 구하여라 두 점 A, B 를 잇는 선분 AB를 로 외분하는 점 P 가 제사 분면에 있을 때, 실수 의 값의 범위를 구하여라. NK-Math 7

8 세 점 를 꼭짓점으로 하는 의 내심을 I라 할 때, 선분 AI의 연장선과 변 의 교점을 라 한다. 점 의 좌표를 라 할 때, 의 값은? ① ② ④4 ⑤ 세 ③ 점 A B C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D 라 할 때, 상수 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 좌표평면 ③ 위의 두 점 A, B ( )에 대하여 보기 중에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 두 점 A B의 중점이 원점과 일치하면 이다. ㄴ. 점 C 은 두 점 A B를 지나는 직선 위의 한 점이다. BQ 을 만족하는 점 Q 이 두 점 A B를 지나는 직선 위의 점이면 ㄷ. AQ 이다. ①ㄱ ②ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8 NK-Math ③ ㄱ, ㄴ

9 테마3. 테마3. 삼각형의 무게중심과 평행사변형 세 점 A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심이 일 때, 의 값은? ① ② ④ ⑤ 원점 ③ O 와 두 점 A B 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB 의 내심의 좌표 가 일 때, 상수 에 대하여 의 값은? ① ② ④ ⑤ 17. ③ 17.좌표평면 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 선분 AB의 중점을 M, 선분 BC의 중점을 N이라 할 때, 선분 CM과 선분 AN의 교점의 좌표를 라 하자. 이 때 상수 에 대하여 의 값을 구하여라. NK-Math 9

10 세 점 A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 세 변 AB BC CA의 중점이 각각 P, Q, R 이다. 이 때 두 수, 을 두 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식을 구하여라 삼각형 ABC의 무게중심을 G 라 하고, ABG, BCG, CAG 의 무게중심을 각각 P Q R라 하자. 세 점 P Q R 의 좌표의 합이 일 때, 세 점 A B C 의 좌표의 합은? ① ② ④ ⑤ 원점 ③ O와 제사분면 위의 두 점 A B 에 대하여 다음이 성립한다. 인 정삼각형이다. 삼각형 AOB 는 넓이가 삼각형 AOB 의 무게중심 G 는 직선 위에 있다. 이 때, 상수 의 합 의 합은? ① ② ③ ④ 10 NK-Math ⑤

11 평행사변형 ABCD 에서 A B C 일 때, 꼭짓점 D 의 좌표는 이다. 이 때, 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ ⑤ ③ 좌표평면 위의 네 점 를 꼭짓점으로 하는 가 마름모일 때, 양수 의 값을 각각 구하여라. NK-Math 11

12 02 12 NK-Math 직선의 방정식

13 02 직선의 방정식 NK-Math 13

14 02 14 NK-Math 직선의 방정식

15 테마1. 테마1. 직선의 방정식 1. 1.두 점 A, B 를 지나는 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 P Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 넓이를 구하여라. (단, O 는 원점이다.) 2. 2.세 점 A B C 이 한 직선 위에 있도록 하는 모든 실수 의 값의 합은? ① ② ④ ⑤ 3. ③ 3. 절편이, 절편이 인 직선이 점 을 지날 때, 양수 의 곱 의 최솟값은? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 15

16 4. 4.세 점 O A B 에 대하여 직선 가 삼각형 OAB의 넓이를 이등분 할 때, 상수 의 값을 구하여라 오른쪽 그림과 같이 네 점 O, A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 사각형 OABC의 내부의 한 점 P 에 대하여 PO PA PB PC 가 최소일 때, 상수 의 합 의 값을 구하여라. 16 NK-Math

17 테마2 테마2.. 두 직선의 위치 관계 6. 6.직선 이 직선 과는 수직이고, 직선 과는 평행 할 때, 상수 에 대하여 의 값은? 7. 7.두 집합, 에 대하여 일 때, 상수 의 값을 구하여라. (단, 는 집합 의 원소의 개수이다.) NK-Math 17

18 8. 8.그림과 같은 마름모 ABCD 에서 직선 AC 의 방정식이 일 때, 점 D 의 좌표는 이다. 이 때, 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ ⑤ 9. 9.두 집합 ③, 에 대하여 이 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하 여라 두 직선 이 제 사분면에서 만나도록 하는 상수 의 값의 범위를 구하여라. 18 NK-Math

19 다음 세 직선이 삼각형을 만들지 않도록 하는 상수 의 값의 합을 구하여라., , 오른쪽 그림과 같이 절편이, 절편이 인 직선 위를 의 길이가 최소가 되도록 하는 점 의 움직이는 점 가 있다. 좌표를 라고 할 때, 의 값은?(단, 는 서로소인 자연수) ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 19

20 테마3. 테마3. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 직선 이 실수 의 값에 관계없이 항상 일정한 점 P 를 지날 때, 점 P 의 좌표는? ① ② ④ ⑤ 두 직선 의 교점과 점 를 지나는 직선이 좌표축에 의해 잘린 선분의 길이는? ① ② ④ ⑤ 15. ③ 15.직선 ③ 에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? 보 기 ㄱ. 의 값에 관계없이 항상 점 을 지난다. ㄴ. 이면 축에 평행한 직선이다. ㄷ. 기울기가 1인 직선은 나타낼 수 없다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20 NK-Math ③ ㄱ, ㄷ

21 테마4 테마4.. 점과 직선 사이의 거리 직선 위의 점 P 에서 두 직선 과 에 이르는 거리가 같도록 하는 점 P 의 좌표를 모두 구하여라 서로 평행한 두 직선, 사이의 거리는? ① ② ④ 18. ③ ⑤ 18.평행한 일 때, 두 양수 의 두 직선, 사이의 거리가 곱 의 최댓값을 구하여라. NK-Math 21

22 좌표평면 위의 두 점 A, B 에 대하여 선분 AB와 한 점에서 만나는 직선 이 있다. 점 A와 직선 사이의 거리가, 점 B와 직선 사이의 거리가 일 때, 직선 의 절편을 구하여라 직선 과 원점 사이의 거리를 라 할 때, 의 최댓값은? ① ② ④ ⑤ 22 NK-Math ③

23 실수 에 대하여 원점 에서 직선 사이의 거리를 라 할 때, 의 최댓값은? ① ② ③ ④ ⑤ 도시 A B는 도시 O 로부터 각각 동쪽으로 km, 북쪽으로 km 떨어져 있다. 도시 O 로부터 동쪽으로 km, 북쪽으로 km 떨어진 지점에 신도시 P 를 건설하고, 도시 A B를 직선으로 연결한 도로와 신도시 P 사이를 최단 거리로 연결하는 도로를 건설하려고 할 때, 이 도로의 길이는? ① km ② km ④ km ⑤ km ③ km NK-Math 23

24 테마5. 테마5. 자취의 방정식 두 점 A B 에서 같은 거리에 있는 점 P 의 자취의 방정식은? ① ② ③ ④ ⑤ 점 A 과 직선 위를 움직이는 점 B를 잇는 선분 AB를 로 내분 하는 점 P 의 자취의 방정식이 일 때, 상수 의 합 의 값을 구하여라. 24 NK-Math

25 세 점 A B C 에 대하여 AP BP CP 을 만족하는 점 P 의 자취의 방정식은? ① ② ③ ④ ⑤ 두 직선, 이 이루는 각의 이등분선 중 기울기가 양수인 직선 의 방정식은 이다. 이 때 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ 점 ③ ⑤ P 가 직선 위에 있을 때, 점 Q 의 자취의 방정식 은? ① ② ③ ④ ⑤ NK-Math 25

26 1, 오른쪽 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 그림과 같이 점 A는 점 에서 출발하 좌표평면 위의 두 점 A B에 대하여 선분 AB를 여 축의 양의방향으로 매초 만큼, 점 B는 점 에서 출발 으로 내분하는 점을 A B, 으로 외분하는 점을 하여 축의 음의 방향으로 매초 만큼 움직인다. 두 점 A B가 A B, 두 점 A B 사이의 거리를 A B 로 나타내기로 하 동시에 출발하였을 때, A B 사이의 거리가 최소가 되는 것은 자. P Q 일 때, P Q P Q 의 값은? 출발한 지 몇 초 후인가? ① ② ① ④ ⑤ ② ⑤ ④ 29. ③ ③ 29. 은 일 때, 최솟값 을 갖는다. 두 실수 의 곱 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 수직선 위에 선분 를 으 로 내분하는 점과 외분하는 점 을 각각 라고 한다.,, 일 때, 다음 중 사이 의 관계식으로 옳은 것은? ① ③ ② ④ 26 NK-Math ⑤

27 1, 오른쪽 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 34. 그림과 같이 삼각 세 점 O, 여 가 성립할 때, 양수 의 값은? (단, 은 D, 상수) E 이 있다. 세 삼각형 AOD, ADE, AOE의 넓이가 모두 같고 세 삼각형 BDE, BEO, BDO 의 넓이도 AB 의 길이는? 모두 같다고 할 때, ① ② ③ ④ 서로 다른 두 직선 에 대하여 이 성립한다. 세 점 과 원점 에 대하 형 ABC의 세 변 AB, BC, CA 위에 각각 34. ① ② ④ ⑤ ③ ⑤ 좌표평면 위의 두 점 A, B에 대하여 OA OB, OA OB 일 때, 두 점 A B를 지나는 직선 의 방정식을 구하여라. (단, O 는 원점이고, 점 B는 제사분면 두 직선, 이 제사분 면에서 만나도록 하는 실수 의 값의 범위가 일 때, 상수 의 합 의 값을 구하여라. 에 있다.) NK-Math 27

28 1, 오른쪽 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 38. 그림에서 기울기가 음 38. 가로의 길이가, 세 수이고, 점 을 지나는 직선이 축 로의 길이가 인 직사각형 모양 의 양의 방향과 만나는 점을, 축의 의 종이 를 오른쪽 그림과 양의 방향과 만나는 점을 라고 하자. 같이 대각선 를 접는 선으로 하 이 때 의 넓이의 최솟값은? 여 접어 꼭짓점 가 점 에 오도 의 길이는? 록 하였다. 이때, ③ ① ② ④ ⑤ 오른쪽 그림과 같은 두 직사각형의 넓이를 모두 이등분하 는 직선의 기울기를 이라 할 때, 의 값은? ① ③ ⑤ ② ④ (단, A B C D C 은 모두 같은 평면 위의 점이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 39. 오른쪽 그림과 같이 직선 가 정사각형 를 두 부분 으로 나눌 때, 각 영역의 넓이를 각각 라 한다. 를 만족 할 때, 상수 의 값은? ① ③ ⑤ 28 NK-Math 39. ② ④

29 1, 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 세 점 을 꼭짓점으로 하는 의 넓이를 직선 가 이등분할 때, 상수 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 에 대한 이차방정식 은 두 직 선을 나타낸다. 이 두 직선의 교점과 점 을 지나는 직선 의 방정식이 일 때, 의 값은? (단, 는 상수) ① ② ④ ⑤ 43. 오른쪽 그림에서 세 점 길이가 ③ 인 직선 모양의 철사를 구부려서 평면 위에서 오른쪽 그림과 같은 AB 의 길이의 최 모양으로 만들었다. 이 때 을 꼭짓점으로 하는 의 넓이를 직선 가 솟값을 구하여라. 이등분할 때, 상수 의 값은? (단, ) ① ② ④ ③ ⑤ NK-Math 29

30 1, 동쪽으로 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 시속 로 항해하는 배가 있다. 이 배의 다음은 OB AOB 인 삼각형 OA 위치에서 동쪽으로, 남쪽으로 떨어진 해상에 중 AOB의 내부의 점 P 에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합의 최솟 심이 있는 태풍은 시속 의 속도로 북쪽으로 진행 중에 값을 구하는 과정이다. 있으며, 그 중심에서 이내에 폭풍우를 동반한다고 한 <과 정> 다. 이 배가 이런 상황에서도 항해를 계속한다고 할 때, 폭풍우 AOB 를 오른쪽 그림과 삼각형 권 내에서 항해하는 시간은? (단, 폭풍우권 내외에 관계없이 같이 좌표평면 위에 나타내고, 배의 항해 속도는 같다.) 점 C ① 시간 ② 시간 ④ 시간 ⑤ 시간 에 대하여 AOP COQ 가 되도록 제 사분면에 점 Q 를 잡으면 OP OQ 이고 ③ 시간 QOP (가) OP QP 이다. 이므로 AP OP BP (나) QP BP (다) 따라서 점 P 에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합의 최솟값 은 (다) 이다. 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 이차방정식 이 중근을 가지도록 실수 의 값을 정할 때, 좌표평면 위의 두 점 P Q 사이의 거리의 최솟값을 구하시오. 30 NK-Math (가) (나) (다) ① CQ ② OQ ③ CQ ④ OQ ⑤ CQ

31 1, 다음 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 그림과 같이 A B C 세 지점이 있다. B는 A로 세 점 A B C 과 선분 BC 위 부터 동쪽으로 km만큼, 북쪽으로 km만큼 떨어진 곳에 있 의 점 P 에 대하여 ABP 의 넓이가 APC의 넓이의 배가 으며, C는 A로부터 동쪽으로 km만큼 떨어진 곳에 있다. 된다고 할 때, 점 P 의 좌표는? ① ② ④ ⑤ 49. 위에 두 점 A B 을 잇는 ③ 어떤 건설회사가 A B C 각 지점에서 어느 D 지점까지 도로를 건설하려고 한 다. 각 구간별 건설 예정인 도로의 건설 비용은 오른쪽 그림과 같이 거리에 정비 례한다. A B C 각 지점에서 D 지점까 지의 각각의 도로 건설비용이 모두 같은 D 지점은 두 곳이다. 이 두 지점 사이의 거리를 km라 할 때, 의 값을 구하시 오. (단, 네 지점 A B C D 는 동일 평 면에 위치하며 모든 도로는 두 지점을 직선으로 연결한 평면 상의 도로이다.) 49.좌표평면 선분 AB를 로 내분하는 점이 제 사분면에 있도록 하는 의 값의 범위가 에 대한 이차부등식 의 해와 같을 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이고, 이다.) NK-Math 31

32 1, 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 50.좌표평면 위의 한 점 A 을 꼭짓점으로 하는 정 좌표평면의 인 제사분면 위에 한 변의 길이가 삼각형 ABC의 무게중심이 원점일 때, 정삼각형 ABC 의 넓이 정삼각형 ABC 가 있다. 변 BC 의 중점 M 의 좌표가 M 이 를 구하시오. 고, 삼각형 ABC 의 무게중심 G 는 직선 위에 있다. 점 G 의 좌표가 이상일 때, 삼각형 ABC 의 세 꼭짓점 A B C 의 좌표의 합을 구하시오 다음은 임의의 삼각형 나폴레옹 삼각형에 대한 설명이다. 각형 OCB OAD 의 무게중심을 각각 G G 라 할 때, 선분 G G 의 길이는? 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에서 얻어지는 나폴레옹 삼각형 ④ 32 NK-Math ⑤ 점 로 외분하는 점을 D 라 하자. 두 삼 B C 을 좌표평면 위의 점 A 세 로 외분하는 점을 C 변 AB 를 (단, 모든 점은 같은 평면 위에 있다.) ② 위에서 하는 삼각형 OAB 에 대하여 변 AB 를 나폴레옹 삼각형 이라 한다. XYZ의 넓이는? ① 53.좌표평면 O A B 를 꼭짓점으로 ABC 에 대하여 변 AB, BC, CA 를 한 변으로 하는 세 개의 정삼각형 ADB, BEC, CFA 를 삼각형 ABC 의 외부에 그린다. 세 정삼각형 ADB, BEC, CFA 의 무 게중심을 각각 X, Y, Z 라 하면 삼 각형 X YZ 는 정삼각형이 되고 이 삼 각형을 53. ③ ① ② ④ ⑤ ③

33 1, 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 54.이등변삼각형 ABC 의 각 변 오른쪽 그림과 같이 좌표평 의 길이와 두 점 D E 의 위치가 오른쪽 면 위의 두 점 O A 를 꼭 그림과 같을 때, 의 값은? 짓점으로 하는 정육각형이 있다. 이 ① ② ③ ④ 때, 점 P 를 지나고, 정육각형 의 넓이를 이등분하는 직선 이 축 ⑤ 과 만나는 점이 Q 일 때, 양수 의 값을 구하시오 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC 의 무게중심은 G 이고, 점 M 은 변 BC 의 중점일 때, 선분 GM 의 길이를 구 하시오 두 직선 이 좌표평 면 위의 제사분면에서 만나도록 하는 실수 의 값의 범위가 일 때, 의 값을 구하시오 오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC의 무게중심 G 에 대하여 AG BG CG 일 때, 변 BC 의 길이를 구하시오. NK-Math 33

34 1, 네 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 점 O A B C 을 꼭짓 점으로 하는 사각형 OABC 가 있다. 선분 OA 의 연장선 위에 점 D 를 잡아 사각형 OABC 의 넓이와 삼각형 COD 의 넓 이가 같도록 할 때, 의 값은? (단, ① ② 61.좌표평면 위의 네 점 A B C D 를 꼭짓점으로 하는 사 PA PB PC PD 의 각형 ABCD 의 내부의 한 점 P 에 대하여 값이 최소일 때, 점 P 의 좌표를 구하시오. ③ ⑤ ④ 좌표평면에 세 점 O A B 를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다 방정식 이 두 직선을 나타낼 때, 이 두 직선과 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는? (단, 은 상수이다.) 직선 OA 위의 점 P 와 직선 OB 위의 점 Q 가 다음 조건을 만족 한다. P 는 제 사분면, 점 Q 는 제 사분면 위의 점이다. (나) ( OPB 의 넓이) ( OAB 의 넓이) (다) ( OPQ 의 넓이) ( OPB 의 넓이) (가) 점 이때, 직선 PQ 의 방정식은 이다. 두 실수 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 34 NK-Math ③ ① ② ④ ⑤ ③

35 1, 삼각형의 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 세 꼭짓점에서 각 대변 또는 대변의 연장선 직선 이 세 점 에 내린 세 수선의 교점을 삼각형의 수심이라 한다. 좌표평면 A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 위의 세 점 A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼 ABC의 넓이를 이등분할 때, 상수 의 값을 구하시오. 각형 ABC의 수심의 좌표가 일 때, 의 값을 구하여 라 정사각형 ABOC의 한 변 AB가 직선 두 점 A B 에 대하여 직선 AB 위의 위에 있고, 변 AB가 축에 의하여 이등분될 때, 양수 의 값 점 중에서 직선 이 지날 수 없는 점의 은? (단, O 는 원점이다.) 좌표를 라 할 때, 두 실수 의 곱 의 값은? ① ④ ② ⑤ ③ ① ④ ② ③ ⑤ NK-Math 35

36 1, 직선 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 에 대한 설명 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 일 때, 직선 의 기울기는 이다. ㄴ. 의 값에 관계없이 직선 은 항상 점 을 지난다. ㄷ. 일 때, 직선 은 제 사분면을 지나지 않는다. ㄱ. ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 오른쪽 그림과 같이 좌표평 면 위에 두 점 A, B 을 꼭짓 점으로 하는 정사각형 ABCD 가 있다. 직선 CD 의 방정식이 일 때, 두 실수 의 합 의 값을 구하시 오. (단, 두 점 C D는 제사분면에 있다.) 69.오른쪽 그림과 같이 세 점 O, A, B 을 꼭짓점 으로 하는 삼각형 AOB가 있다. <보 기> ①ㄱ 69. A의 외각의 이등분선이 축과 만 일 때, 의 값은? 나는 점 C의 좌표가 (단, 는 유리수이다.) ① ② ④ ⑤ ③ ③ ㄱ, ㄷ 오른쪽 그림과 같이 가로의 길이 가, 세로의 길이가 인 직사각형 ABCD 가 있다. 선분 DC의 중점을 M이라 하고, 대각 선 AC 위의 임의의 한 점 P 에서 세 직선 BC DC AM에 내린 수선의 발을 각각 Q R S라 하자. 점 P 가 PQ PS를 만족 시킬 때, 선분 PR의 길이는 이다. 이 때, 의 값을 구하시 오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 36 NK-Math

37 1, 오른쪽 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 그림과 같이 73. 점 73.삼각형 ABC에서 변 AB를 로 내분하는 점을 P, 직선 변 BC를 로 내분하는 점을 Q, 변 CA를 로 내분하는 에 내린 수선의 발을 각각 점을 R라 하고, 삼각형 ABC의 넓이를 라 하자. 두 삼각형 P Q 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. ABC와 PQR의 넓이의 비를 구하시오. A 과 원점에서 (1) 두 선분 OQ AP 의 길이를 각각 구하시오. (2) 두 직선 OQ AP 의 방정식을 각각 구하시오. (3) 선분 PQ 의 길이를 구하시오. (4) 사각형 AOQP 의 넓이를 구하시오 포물선 가 직선 에 의하여 잘리는 포물선의 현의 길이는 의 값에 관계없이 일정하다. 이 때, 현의 길이를 구하시오 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 A, B, C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 삼 각형 ABC의 내부 또는 세 변 위의 점 P 와 세 변 AB, BC, CA 사이의 거리를 각각 라 할 때, 을 만족하는 점 P 의 자취의 길이 를 구하시오. NK-Math 37

38 1, 세 평면좌표, 직선의 방정식 연습문제 점 A B C 을 꼭짓점으로 하 는 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하고, 축에 평행한 직선의 방정식을 구하시오 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로 의 길이가 각각 인 직사각형 PQRS에 서 대각선 PR가 선분 QQ 을 수직이등분 하도록 점 Q 을 잡는다. 직사각형 PQRS 를 점 Q 를 원점, 두 직선 QR QP 를 각각 축, 축으로 하는 좌표평면 위에 놓을 때, 직선 Q S의 기울기 를 구하시오. 38 NK-Math

39 03 원의 방정식 NK-Math 39

40 03 40 NK-Math 원의 방정식

41 03 원의 방정식 NK-Math 41

42 테마1. 테마1. 원의 방정식 1. 1.세 점 을 지나는 원의 반지름의 길이를 구하여라 원 의 넓이가 최대일 때, 이 원의 중심의 좌표는? ① ② ④ ⑤ 3. 3.두 ③ 점, 을 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식을 구하여라. 42 NK-Math

43 4. 4.두 점 A B 으로부터의 거리의 비가 인 점 P 의 자취의 길이는? ① ② ④ ⑤ 5. 5.오른쪽 ③ 그림과 같이 축 위의 점 A와 축 위의 점 B를 이은 선분 AB가 있다. 두 점 을 유지하면서 움직인다고 할 때, 선분 AB의 중점이 나타내 A B가 각각 축, 축 위에서 AB 는 도형의 방정식을 구하여라 원 위의 점 P 와 원 위의 점 Q 에 대하여 선분 PQ 의 길이 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. NK-Math 43

44 7. 7. 방정식 이 원을 나타내기 위한 자연수 의 최솟값은? ① ② ④4 ⑤ ③ 두 점 로부터 거리의 비가 로 일정한 점들이 그리는 도형의 방정식 은 으로 나타낼 수 있다. 이 때, 세 상수 에 대하여 의 값은? ① ② ④ ⑤ 44 NK-Math ③

45 테마2 테마2.. 여러 가지 원의 방정식 9. 9.중심이 축, 이고 축에 접하는 원의 방정식을 구하여라. 축에 동시에 접하는 원 이 점 를 지날 때, 세 상수 의 합 의 값은? (단, 원의 반지름의 길이는 보다 크다.) ① ② ④ ⑤ 중심이 ③ 직선 위에 있고, 점 를 지나며 축에 접하는 원은 모두 개가 있다. 두 원의 중심거리를 구하여라. NK-Math 45

46 축, 원 축에 동시에 접하고 점 를 지나는 모든 원의 넓이의 합을 구하여라. 이 점 를 지나고, 축에 접할 때, 상수 의 합 의 값은? ① ② ⑤ ④ 14. ③ 14.원 의 중심은 제 사분면 위에 있고, 이 원은 축과 점 일 때, 세 상수 의 합 의 값을 에서 접하며 축과 두 점 에서 만난다. 구하여라. 46 NK-Math

47 테마3. 테마3. 두 원의 교점을 지나는 원과 직선의 방정식 두 원 의 교점과 점 을 지나는 원의 방정식은? ① ② ③ ④ ⑤ 두 원 의 공통현의 길이는? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 47

48 원 과 직선 의 교점과 점 을 지나는 원의 방정식이 일 때, 의 값을 구하여라. (단, 는 실수이다.) 점 P 에서 원 에 그은 접선의 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하 19.두 원 이 직선 에 대하여 대칭일 때, 상수 여라. 19. 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 48 NK-Math ③

49 그림과 같이 원 를 현 PQ 를 중심으로 접어 점 에 서 축에 접하도록 할 때, 직선 PQ 의 절편 은? ① ③ ② ④ ⑤ 원 가 원 의 둘레를 이등분할 때, 다음 중 점 가 그리는 도형은? ① ② ③ ④ ⑤ NK-Math 49

50 좌표평면 위의 세 원 는 두 개씩 서로 만나 세 개의 공통현을 갖는다. 가장 긴 공통현의 길이는? ① ② ③ ④ 50 NK-Math ⑤

51 테마4 테마4.. 원의 접선의 방정식 중심이 원 이고 직선 에 접하는 원의 방정식을 구하여라. 와 접하고 직선 에 평행한 직선의 방정식은? ① ± ③ ± ④ ± ② ± ⑤ ± NK-Math 51

52 원 위의 점 에서의 접선과 직선 이 서로 수직일 때, 두 상수 에 대하여 의 값은? ① ② ④ ⑤ 원 ③ 밖의 점 에서 원 에 그은 두 접선의 기울기를 각각, 라 할 때, 의 값을 구하여라. 27. 그림과 같이 제 사분 면에서 원 에 접하 는 직선이 있다. 이 직선과 축, 축과의 AB 이다. 이때 상수 의 합 하면 교점을 각각 A, B 라 27.오른쪽 52 NK-Math 의 값을 구하여라.

53 원 위를 움직이는 점 P 에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값은? (단 O 는 원점이고, 이다.) ① ② ④ ⑤ 다음 ③ 그림과 같이 원점에서 두 원 에 각각 그은 두 접선, 와 직선 가 만나는 두 점 사이의 거리는? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 53

54 점 에서 원 에 그은 두 접선이 수직이 되도록 하는 의 값들의 곱은? ① ② ④ ⑤ 점 에서 원 에 접선을 그을 때, 점 와 접점 사이의 거리는? ① ② ④ ⑤ 54 NK-Math ③ ③

55 테마5. 테마5. 공통접선 두 원 의 공통외접선의 길이는? ① ② ④ ⑤ 두 ③ 원 의 공통내접선의 길이는? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 55

56 두 원, 의 공통접선이 개일 때, 양수 의 값의 범위를 구하여라 직선 이 두 원 와 에 모두 접할 때, 상수 에 대하여 의 값을 구하여라. (단, ) 56 NK-Math

57 다음 그림과 같이 세 원 A B C가 두 직선 에 접하고, A와 B, B와 C가 서로 외접하고 있다. 원 A의 넓이가, 원 C의 넓이가 일 때, 원 B의 넓이는? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 57

58 방정식 원의 방정식 연습문제 이 원 점 A 에서 원 위의 점 P 까지의 거리 을 나타내도록 하는 모든 정수 의 값의 합은? 가 정수가 되는 점 P 의 개수는? ① ② ① ② ④ ⑤ ④ ⑤ 세 ③ ③ 직선,, 으로 둘러싸인 삼각형의 외접원의 중심과 반지름의 길이를 구 하여라 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원이 직선 에 접하면서 움직 인다. 점 P 에서 화살표 방향으로 원을 움직여 원이 점 Q 에서 멈추었을 때 의 원의 방정식은 이다. 이 때, 선분 PQ 의 길이는? 포물선 ( )과 원 이 서로 다른 세 점에서 만날 때, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 정삼각형이다. 이 때 상수 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 58 NK-Math ③ ① ④ ② ⑤ ③

59 직선 원의 방정식 연습문제 가 원 의 두 원 넓이를 이등분할 때, 이 적선이 원과 만나는 두 점 A B와 원 위의 다른 한 점 C에 대하여 삼각형 ABC의 넓이의 최댓값을 구하여라. 에 대하여 원 위의 임의의 점 와 원 위의 임의의 점 에 대하여 두 점 사이의 거리의 최댓값은? 원 위의 점 P 에서의 접선이 원 와 만나는 두 점을 각각 A B라 하자. 삼각 형 OAB의 넓이가 일 때, 원 에 접하고 기울기가 ① ② ④ ⑤ 다음 ③ 그림과 같이 원 위를 움직 이는 동점 와 두 점, 으로 이루어지는 삼각형 의 넓이의 최솟값은? 인 접선의 절편과 절편의 곱은? (단, O 는 원점이고, 이다.) ① ② ④ ⑤ ③ ② ④ ① ③ ⑤ NK-Math 59

60 두 원의 방정식 연습문제 48. 원 라 할 때, 점 가 그리는 도형과 직선 사이의 거리의 최솟값은? 의 두 교점을 라 하고, 두 점 에서 원 에 그은 두 접선의 교 ① 점을 라 할 때, 의 값은? ② ④ 두 ④ 의 두 교점을 지나는 원의 넓이의 최솟값은? ④ ⑤ ⑤ 49. ② ③ ⑤ 원 ① ② ③, 60 NK-Math 위에 원 가 있다. 이 원에 접하는 접선들 중에서 서로 수직이 되는 두 직선의 교점을 ① 48.좌표평면 ③ BP CP AP 이 되 정삼각형 ABC에서 한 점 P 를 도록 정할 때, 점 P 의 자취를 구하여라.49.

61 원의 방정식 연습문제 곡선 위의 제 사분면 위의 점을 중심으로 하는 원 와 원 이 오른쪽 그림 52. 오른쪽 그림에서 원 의 내부의 두 점 과 원 위의 과 같이 외접하고 있다. 원 의 반 한 점 P 가 만드는 삼각형의 넓이가 지름의 길이가 최소일 때, 두 원의 일 때, 점 P 의 개수를 구하여라.52. 접점을 지나는 공통접선이 축과 만나는 점의 좌표를 구하여라 좌표평면 위에 두 정점 A B와 원 C가 있다. 원 C 위의 동점을 P 라 할 때, ABP 의 무게 중심 G 의 자취를 구하 여라 원 에 내접하는 정삼각형 ABC가 있다. 세 꼭짓점 A B C에서 원점을 지나는 직선 에 내린 수선의 발을 AP BQ CR 의 값을 구하여라.53. 각각 P Q R라 할 때, NK-Math 61

62 원의 방정식 연습문제 오른쪽 그림과 같이 포물선 과 중심이 축 위에 있고 반지름의 길이가 56. 두 원 와 가 접 할 때, 상수 의 값의 합을 구하여라.56. 인 원 O 에 내접하고 있다. 이 때, 원 O 에 외접하고 포물선 에 내접하는 원 O 의 반지름의 길이를 구하여라 오른쪽 그림과 같이 좌표 가 양수인 축 위의 한 점 P 에서 원 에 그은 기울기가 음수인 접선과 다른 두 접선, 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 변 BC와 변 CA를 로 내분한 점 P 와 점 Q 그리고 삼각형의 한 꼭짓점 B를 지나는 원이 있다. 이 때, 삼각형이 원에 의해 잘려 만들어 지는 현 BR의 길이는? 와 만나는 점을 각각 Q R라 할 때, 축으로부터 점 Q 까지의 거리가 이다. 다음 물음에 답하여라.55. (1) 접선 PR의 기울기를 구하여라. (2) 점 P 의 좌표가 일 때, 원의 반지름 의 길이를 구하여라. ① ② ③ ④ 62 NK-Math ⑤

63 원의 방정식 연습문제 오른쪽 그림과 같이 원 60. 다음 그림과 같이 원 위를 움직이는 점 의의 제 사분면에 있는 P 에서의 접선과 원 이 서로 다른 두 점에 점 에서의 접선이 축, 축과 만 서 만나도록 하는 실수 의 값의 범위는? 60. 나는 점을 각각 라고 하자. 일 때, 의 값을 구하 여라.58. ① ④ 59. 오른쪽 그림과 같이 점 61. ② ③ ⑤ 점 P 에서 두 원 을 지나고 원 에 접 하는 두 개의 접선과 원으로 둘러싸 인 색칠한 부분의 넓이를 구하여 에 그은 접선의 길이가 같을 때, 점 P 의 자취가 나타내는 도형 라.59. 의 방정식을 구하시오.61. NK-Math 63

64 원의 방정식 연습문제 다음 그림에서 원점을 지나고 기울기가 양인 직선 64. 두 점 를 지나고 축에 접하는 원이 단 가 원 의 둘레를 로 분할할 때, 상수 개 일 때, 모든 의 값의 합은?64. 의 값은?62. ① ① ② ③ ④ ⑤ ③ ④ 63. ② ⑤ 원 밖의 점 에서 원 에 그 65. 두 직선 에 접하고 점 를 지나는 은 두 접선의 기울기를 각각 라고 할 때, 의 값을 두 원 중에서 작은 원의 중심을 라고 할 때, 의 값 구하시오.63. 은?65. ① 64 NK-Math ② ③ ④ ⑤

65 원의 방정식 연습문제 원 위의 점 A 에서의 접선이 축과 68. 곡선 에 대한 다음 <보 만나는 점을 P 또 원 위의 다른 한 점 B 에서의 접선이 기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 은 점 A에서의 접선 및 축과 만나는 점을 각각 Q R라고 할 때, PQ PR 인 이등변삼각형이 되도록 하는 삼각형 PQR가 상수)68. 에 대하여 의 값은? (단, 66. <보 기> ㄱ. 반드시 두 점 을 지난다. ㄴ. 직선 과 원 의 교점을 지나 ① 는 모든 원을 나타낼 수 있다. ② ㄷ. 위의 곡선으로 표시할 수 있는 유일한 직선은 이다. ③ ④ ⑤ 67. 두 도형 (단,, 가 개의 점에서 만나기 위한 실수 의 값의 범위를 구하시오67. ①ㄱ ②ㄴ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 69. 의 ③ㄷ 오른쪽 그림에서 곡선 AB는 반지름 길이가 인 반원이고 AC AB BD AB AC AB BD AB 이 다. 점 P 가 호 AB 위를 움직일 때, 다각형 ABDPC의 넓이의 최댓값은?69. ① ④ ② ③ ⑤ NK-Math 65

66 원의 방정식 연습문제 72. 오른쪽 그림과 같이 네 막 AB BC PQ PR 는 네 점 대 오른쪽 그림은 공작 기계로 깎은 원 AB 기둥의 단면을 나타낸 것이다. BC ABC 이고 원의 반지름의 B P Q R에서 움직일 수 있도 록 연결되어 있다. 두 점 Q 와 R는 AB BC 의 중점이고 각각 PQ RB BQ RP 이다. 막대 길이가 일 때, 원의 중심 O 에서 B지점까 지의 거리를 구하시오.72. 가 A를 중심으로 회전할 수 있도록 A의 위치를 고정하고 AB 점 P 가 반지름의 길이가 인 원을 따라 움직일 때, 점 C가 그리는 자취는? (단, 네 막대는 한 평면 위에 있다.)70. ① 반지름의 길이가 인 원 ② 반지름의 길이가 인 원 ③ 반지름의 길이가 인 원 ④ 길이가 인 선분 ⑤ 길이가 인 선분 71. 임의의 실수 에 대하여 원점을 지나고 원 에 접하는 직선은 개가 있다. 이 두 직선의 기울기의 합은?71. 원 과 점 P 를 지나는 직선이 두 점 A B에서 만나고 PA PB 일 때, 직선 AB의 방정식을 구하 시오.73. ① ② ③ ④ ⑤ 66 NK-Math 73.

67 원의 방정식 연습문제 76. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 76.원 이 축과 만나고, 축과 의 원 와 점 A 에 대하여 만나지 않도록 하는 실수 의 값의 범위는? BAC 가 되도록 원 위의 두 점 B C를 잡고, AB AC 를 가로, 세로로 하 ① ② ④ ⑤ ③ 는 직사각형 ACDB를 만들 때, 점 D 가 그 리는 자취의 길이는?74. ③ ① ② ④ ⑤ 원 의 넓이가 두 직선 원의 일부분 모양으로 만들어진 아치형 다리를 조사 에 의하여 등분 될 때, 세 실수 의 합 하여 다음 그림과 같이 수면을 축으로 하는 좌표를 부여하였 의 값은? 다. 점 O 는 원점이고, 점 A 는 곡선 OA를 포함하는 원 ① ④ ② ⑤ 위의 점 중에서 가장 높이 있는 점이다. 곡선 OA를 포함하는 ③ 원의 방정식이 일 때, 세 실수 의 합 의 값을 구하시오. (단, 이다.) NK-Math 67

68 두 원의 방정식 연습문제 원 와 가 길이가 인 막대가 있다. 오 접할 때, 상수 의 값의 합을 라 하자. 이때, 의 값은? 른쪽 그림과 같이 막대의 위 끝이 벽을 ① ② 타고 내려오면 아래 끝은 바닥에 닿은 ④ ⑤ ③ 상태로 오른쪽으로 움직일 때, 막대의 중점 M이 그리는 도형의 자취의 길이를 구하시오. (단, 막대의 두께는 생각하지 않는다.) 평면 인 원 가 있다. 위에 반지름의 길이가 다음 그림은 원 위의 두 점 A C와 원 내부의 점 B를 잡아 AB BC ABC 가 되도록 원과 원의 내부의 일 이라 할 때, 의 값을 구하시 부를 잘라낸 도형이다. OB 오. 81. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 와 점 P 가 있다. 점 P 에서 세 꼭짓점 A B C까지 의 거리를 각각 라 할 때, 이다. 이때, 점 P 와 점 D 사 이의 거리의 최댓값은? ① ② ④ 68 NK-Math 81.오른쪽 ⑤ ③

69 다음 원의 방정식 연습문제 그림과 같이 좌표평면 위의 제 사분면에 반지 좌표평면 위의 두 원 과 름의 길이가 인 두 원 가 있다. 원 은 축에 접하면서 가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 공통현의 길이가 최대가 되도 움직이고, 원 는 축에 접하는 동시에 원 에 외접하면서 록 하는 양수 의 값을 구하시오. 움직인다. 두 원의 접점을 P 라 할 때, 점 P 가 나타내는 도형의 길이는 이다. 이때, 의 값을 구하시오 두 직선 에 대하여 의 값이 변할 때 두 직선 의 교점 P 의 자취에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? <보 기> 원 이 원 의 둘레를 이등분 할 때, 모든 의 값의 곱은? ① ② ④ ⑤ ③ P 의 자취는 원점을 지난다. ㄴ.점 P 의 자취는 점 를 지나지 않는다. ㄷ.점 P 의 자취의 길이는 이다. ㄱ.점 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ NK-Math 69

70 원 원의 방정식 연습문제 와 직선 의 교점을 지나는 이차함수 의 그래프와 원 에 원 중에서 그 넓이가 최소인 원의 넓이는 이다. 이때, 동시에 접하는 직선이 일 때, 의 값을 구하시오. 의 값은? (단, 는 상수이다.) (단, 는 상수이고 이다.) ① ② ④ ⑤ 원 ③ 위를 움직이는 점 P 와 두 원 의 현 중에서 점 을 지나고 그 점 A B 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABP 의 넓이 길이가 자연수인 것의 개수는? 의 최댓값을, 최솟값을 이라 할 때, 의 값을 구하시 ① ② 오. ④ ⑤ 70 NK-Math ③

71 원 원의 방정식 연습문제 는 중심이 직선 의 제사 분면 다음 그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루 의 부분에 있고, 축에 접한다. 원 가 축에 의하여 잘린 현의 어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선 이 서로 길이가 일 때, 원 의 반지름의 길이는? 다른 다섯 개의 점에서 만나도록 하는 상수 의 값의 범위를 ① 구하시오. ② ④ 91. ③ ⑤ 91.원 의 내부의 점 P 를 지나고 현의 다음 그림과 같이 두 원 가 되는 두 직선이 있다. 이 두 직선의 기울기의 길이가 에 공통내접선을 그을 합이 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 때, 공통내접선의 기울기는 이다. 이때, 의 값을 구하 자연수이다.) 시오. (단, 는 이 아닌 기약분수이다.) NK-Math 71

72 자연수 원의 방정식 연습문제 에 대하여 원 과 원점을 지 다음 그림과 같이 두 원 나는 직선이 제사분면에서 접할 때, 이 직선의 기울기를 이 에 동시에 접하는 두 공통접 라 하자. 의 값은? 선이 점 A 에서 만난다. 한 접선 위의 접점을 각각 B C BC 의 길이를 구하시오. (단, ) 라 할 때, 선분 ① ③ ④ 95. ② ⑤ 95.원 밖의 한 점 P 에서 원 오른쪽 그림과 같이 두 원 에 접선을 그었을 때, 두 접점을 A B라 밖의 하자. 두 접점 사이의 거리인 선분 AB의 길이는? ① ② ③ ④ ⑤ 점 P 에서 두 원에 그은 접선의 길이가 72 NK-Math 항상 같을 때, 점 P 의 자취의 방정식을 구하시오.

73 점 원의 방정식 연습문제 A 와 원 에 대하여 다음 물 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 의 음에 답하시오. 중심은 기울기가 인 직선을 따라 움직인다. 이때, 원 가 두 (1) 점 A에서 원 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하시오. 원, 사이를 어느 원과도 만나 (2) 두 접점의 좌표를 각각 구하시오. 지 않으면서 통과할 수 있도록 하는 실수 의 값의 범위를 구하 (3) 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오. 시오 직선 은 반지름의 길이가 101.직선 가 원 과 서로 인 원의 중심에서 만큼 떨어져 있다. 직 다른 두 점 P Q 에서 만난다. 의 값이 변할 때, 선분 PQ 의 선 위의 임의의 한 점 P 에서 이 원에 중점 M의 자취의 길이를 구하시오. (단, 은 상수이다.) 두 접선을 그을 때, 두 접점 A B를 지 나는 직선은 점 P 의 위치에 관계없이 한 점 Q 를 지난다. 이 때, 원의 중심과 점 Q 사이의 거리를 구하시 오. NK-Math 73

74 원 원의 방정식 연습문제 과 직선 의 두 교점을 지나고, 축에 접하는 원의 지름의 길이를 구하시오. 74 NK-Math

75 04 도형의 이동 NK-Math 75

76 04 76 NK-Math 도형의 이동

77 04 도형의 이동 NK-Math 77

78 테마1. 테마1. 점의 평행이동 1. 1.평행이동 에 의하여 점 A 가 원점을 지나는 직선 위의 한 점으로 옮겨질 때, 직선 의 방정식을 구하여라 점 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점의 좌표가 일 때, 상수 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 3. 3.점 ③ 을 점 로 옮기는 평행이동에 의하여 점 로 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. 78 NK-Math

79 4. 4.한 개의 동전을 던져서 다음과 같은 방법으로 좌표평면 위의 점 P 을 이동하려고 한다. 동전의 앞면이 나오면 점 P 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동 한다. 동전의 뒷면이 나오면 점 P 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동 한다. 동전을 회 던져서 앞면이 회, 뒷면이 회 나왔을 때, 점 P 가 이동한 점을 Q 라 하면 선분 PQ 의 길이는? ① ② ④ ⑤ 5. 5.점 ③ 가 평행이동 에 의하여 점 으로 옮겨지고, 점 이 다시 평행이동 에 의하여 점 으로 옮겨질 때, 상수 의 값을 구하여라. NK-Math 79

80 테마2 테마2.. 도형의 평행이동 6. 6.직선 을 축의 방향으로 -1만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 직선 과 일치한다. 이 때, 상수 의 합 의 값은? ① ④ 7. 7.포물선 ② ③ ⑤ 를 포물선 로 옮기는 평행이동에 의하여 방정식 이 나타내는 도형을 평행이동한 도형의 방정식은 이다. 이때 두 상수 를 구하여라. 80 NK-Math

81 8. 8.직선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 직선은 직선 과 축 위에서 수직으로 만난다. 이 때, 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ ⑤ 9. ③ 9.포물선 를 평행이동 에 의하여 이동하면 직선 에 접한다고 한다. 이때 상수 의 값을 구하여라 직선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선과 일 때, 상수 의 값을 구하여라. (단, ) 직선 사이의 거리가 NK-Math 81

82 원 은 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 원과 외접한다고 한다. 이 때, 이를 만족하는 상수 의 값들의 합은? ① ② ④ ⑤ 의 ③ 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를, 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 이라 하자. 의 그래프와 그래프 의 교점을 A, 두 그래프, 의 교점을 B라 할 때, 선분 AB의 중점의 좌표는 이다. 이 때, 양수 에 대하여 의 값은? (단, ) ① ② ④ ⑤ 82 NK-Math ③

83 테마3. 테마3. 원의 평행이동 평행이동 에 의하여 원 가 점 을 중심으로 하는 원으로 옮겨질 때, 상수 의 곱 의 값은? ① ② ④ ⑤ 두 ③ 원, 에 대하여 원 이 평행이동 에 의하여 원 와 겹쳐진다고 할 때, 상수 의 합 의 값을 구하여 라. NK-Math 83

84 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이 동한 원의 중심이, 반지름의 길이가 일 때, 상수 의 합 의 값을 구하여라 오른쪽 그림과 같이 두 반원, 과 두 직선 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. 84 NK-Math

85 원 를 원 로 옮기는 평행이동에 의하여 직선 이 직선 으로 옮겨진다. 이때 상수 의 합 의 값을 구하여라. NK-Math 85

86 테마4 테마4.. 점의 대칭이동 점 A 를 축에 대하여 대칭이동한 점을 A, 점 B 을 축에 대하여 대칭이동한 점을 B 이라 할 때, A B 의 길이를 구하여라 점 P 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 후 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 일 때, 점 P 의 좌표는? ① ② ④ ⑤ 두 ③ AP BP 의 최솟값 점 A B 과 직선 위를 움직이는 점 P 에 대하여 은? ① ② ④ ⑤ 86 NK-Math ③

87 좌표평면 위의 점 가 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다. 점 가 점 에서 출발하여 어떤 점 에서 더 이상 이동하지 않게 되었다. 점 에서 점 에 이르기 까지 이동한 횟수는? (가) 이면 이동하지 않는다. (나) 이면 축에 대하여 대칭 이동한다. (다) 이면 축의 방향으로 만큼 평행 이동한다. ① ② ④ ⑤ 다음 ③ 그림과 같이 도시는 도로로부터 떨어져 있고, 도시는 떨어져 있으며 두 지점 와 사이의 거리는 이다. 지금 두 도시 의 주민들의 교통 편의를 위해 두 지점 와 사이에 정거장을 만들려고 한다. 이 때, 정거장에서 두 도시와의 거리의 합이 최소가 되도록 하려면 어느 지점에 정거장을 만들어야 하는가? ① 에서 오른쪽으로 떨어진 지점 ② 에서 오른쪽으로 떨어진 지점 ③ 에서 오른쪽으로 떨어진 지점 ④ 에서 왼쪽으로 떨어진 지점 ⑤ 에서 왼쪽으로 떨어진 지점 NK-Math 87

88 테마5. 테마5. 도형의 대칭이동 점 을 지나는 직선을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 후 축에 대하여 대칭 이동하였더니 점 을 지난다. 이때 처음 직선의 기울기를 구하여라 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이 동한 후 축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라. 88 NK-Math

89 직선 에 대하여 대칭인 원 을 원점에 대하여 대칭이동한 일 때, 양수 의 합 의 값을 구하여라. 도형을 라 하자. 두 원, 의 중심거리가 원 을 원점에 대하여 대칭이동하면 중심이 직선 위에 인 원이 된다. 이 때, 두 상수 의 합 의 값을 구하여라. 있고 중심과 원점과의 거리가 (단, ) NK-Math 89

90 테마6. 테마6. 직선에 대한 대칭이동 원 을 직선 에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 원점일 때, 상수 의 값을 각각 구하여라 원 을 직선 에 대하여 대칭이동한 도형의 방정 식을 구하여라. 90 NK-Math

91 두 원 가 직선 에 대하여 대칭일 때, 상수 의 합 의 값은? ① ② ④ ⑤ 다음은 ③ 두 점 A B 와 직선 위를 움직이는 점 P 에 대하여 BP 의 최솟값을 구하는 과정이다. AP 중점은 직선 점 A와 직선 에 대하여 대칭인 점을 A 라 하면 AA 의 에 있으므로 AA 과 직선 은 서로 수직이므로 또,, 에 의하여 점 A 의 좌표는 (, )이고, AP BP 의 최솟값은 A B 의 길이와 같으므로 이다. 위의 과정에서 ~ 에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 91

92 두 원 :, : 에 대하여 원 의 중심을 두 원의 를 만족하는 유리수 의 공통현에 대하여 대칭이동한 점이 원 위에 있을 때, 합 의 값은? (단, ) ① ② ④ ⑤ 직선 ③ 를 직선 에 대하여 대칭이동한 직선의 축, 축과의 교점이 각각 일 때, 두 상수 의 합 의 값을 구하여라. 92 NK-Math

93 두 도형의 이동 연습문제 35. 집합 는 실수 에 대하여 35.좌표평면 직선 에 내린 수선의 발 C가 있다. 직선 위를 움직이 AP BP 의 값이 최소일 때, 삼각형 BPC의 는 점 P 에 대하여 넓이는? ① ② 라고 정의하자. 집합 가 나타내는 곡선 위의 두 점 사이의 거리의 최댓값은? ① ② ④ ⑤ 원 위에 두 점 A, B 와 점 B에서 ③ 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향 ⑤ ④ 36. ③ 36.함수 의 그래프를 축의 방향으로 만 으로 만큼 평행이동하였더니, 원 의 둘레 큼 평행이동한 후 축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식에서 의 길이를 이등분하였다. 이때 사이의 관계식으로 옳은 의 최댓값이 일 때, 상수 의 값을 구하여라. 것은? ① ③ ② ④ ⑤ NK-Math 93

94 직선 도형의 이동 연습문제 을 원점에 대하여 대칭이동하였 더니 원 에 접하였다. 이 때 양수 의 값을 구하여라 포물선 위의 점 에서의 접선에 대하 여 이 포물선을 대칭이동한 곡선의 방정식은? ① 오른쪽 40. 그림과 같이 직선 40.좌표평면 ② ③ ④ ⑤ 위의 두 집합 에 대하여 집합 를 를 직선 에 대하여 대 로 정의하자 좌표평면 위의 네 집합 칭이동한 직선이 일 때, 두 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A, B, C, D 라 하자. 원점 O 가 선분 AC를 로 내분하는 점이고 사각 형 ADCB의 넓이가 일 때, 에 대하여 다음 집합이 나타내는 도형의 모양이 옳지 않은 것 의 값은? (단, ) ① ② ④ ⑤ 94 NK-Math ③ 은?

95 오른쪽 도형의 이동 연습문제 43. 그림과 같이 등학 43.좌표평면에서 포물선 를 포물선 이네 집에서 남쪽으로 를 가면 으로 동서방향으로 흐르는 강이 있고, 그 이 직선 으로 옮겨진다. 두 직선, 사이의 거리 지점에서 강가를 따라 동쪽으로 를 라 할 때, 의 값을 구하시오. 옮기는 평행이동에 의하여 직선 를 가면 강과 비스듬한 직선으 로 경계를 형성한 숲이 시작된다. 또한 등학이네 집에서 동쪽으로 를 가면 숲에 도착한다. 등학 이가 강에 가서 물을 긷고 숲에 가서 나무를 해서 집에 돌아온 다고 할 때, 움직이는 최단거리는? ① ② ③ ④ ⑤ 42. 위의 두 점 와 원점 에 42.좌표평면 평행이동 에 의하여 직선 대하여 선분 와 선분 위를 움직이는 점을 각각 점 이 직선 으로 옮겨진다. 이 평행이동 라고 할 때, 직선 에 대하여 원점 와 대칭인 점 가 존재 에 의하여 원 가 옮겨지는 원의 방정식이 하는 영역의 넓이를 구하시오. 일 때, 의 값은? ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 95

96 도형의 이동 연습문제 45.좌표평면에서 점 을 점 로 옮기는 평행 이동에 의하여 직선 이 옮겨진 직선을 이라 하자. 직선 두 이 원, 의 넓이를 동시에 이등분할 때, 의 값은? ① ② ④ ⑤ 46. (가) 46. 이 ③ 아닌 두 실수 가 다음 두 조건을 만족한다. 47.직선 을 원점에 대하여 대칭이동한 후, 직선 에 대하여 대칭이동한 직선을 이라 할 때, 축, 축 및 직선 로 둘러싸인 삼각형의 넓이는? ① ② ④ 48. ⑤ 48.원 위를 여 대칭이동한 점을 Q 라 하자. 점 P, Q 에 서 축에 내린 수선의 발을 각각 P, Q 이 PP QQ 의 최댓값은? [2012 라 할 때, 평행이동 에 의하여 원 을 년 교육청] ① ② 옮길 때, 옮겨진 원이 축에 의하여 잘리는 현의 길이를 ④ ⑤ 구하시오. 96 NK-Math ③ 움직이는 점 P 를 직선 에 대하 에 대하여 이다. ) (단, (나) 복소수 47. ③

97 오른쪽 도형의 이동 연습문제 51. 그림과 같이 두 함수 51.점 A 을 지나는 직선 을 점 에 대하여 대칭이동한 후, 다시 축에 대하여 대칭이동하였더니 다시 점, 의 그래프 위에 각각 점 A와 C를, 직선 위에 서로 A를 지나는 직선이 되었다. 이 때, 직선 의 방정식을 구하시 다른 두 점 B와 D 를 잡아 사각형 ABCD 오. 가 정사각형이 되도록 하였다. 이때, 정 사각형 ABCD 의 한 변의 길이는? (단, 점 A, B, C, D 의 좌표 는 양수이다.) ① ④ 원 ② ③ ⑤ 를 축에 대하여 대칭 포물선 을 점 에 대하여 대칭 이동한 후, 직선 에 대하여 대칭이동한 원을 라 한다. 이동한 포물선이 축과 만나지 않도록 하는 정수 의 최댓값을 두 원, 에 동시에 접하는 접선이 개일 때, 실수 의 값을 구하시오. 구하시오. NK-Math 97

98 오른쪽 도형의 이동 연습문제 55. 그림과 같이 두 점 A, 55.원 을 직선 에 대하여 P 가 원 의 내부와 경계선 위 대칭이동하면 원 와 일치한다고 할 때, 의 값 에서 각각 움직이고 있다. 점 A의 점 P 에 을 구하시오. (단, 는 실수이다.) 대한 대칭점을 B라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? <보 기> A, P 이면 점 B 의 좌표는 이다. A 이면 선분 AB 의 길이의 최댓값은 이다. ㄷ. 점 A 의 위치에 관계없이 선분 AB 의 길이의 최댓값과 ㄱ. ㄴ. 최솟값의 합은 항상 일정하다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 54. 에 54.직선 ③ ㄱ, ㄷ 대하여 과 대칭인 직선의 방정식을 구하시오. 직선 포물선 위의 두 점 가 직선 에 대하여 대칭할 때, 의 값은? (단, ) 98 NK-Math ① ② ④ ⑤ ③

99 도형의 이동 연습문제 57.포물선 위의 서로 다른 두 점이 직선 에 대하여 대칭일 때, 두 점 사이의 거리를 구하시오 오른쪽 그림과 같이 동서로 뻗어 있는 직선도로 과 남서 쪽에 서 북동쪽으로 뻗어 있는 직선도로 이 이루는 각 은 이다. 두 직선도로 과 이 만나는 지점 로부터 동쪽으로 3 떨 어진 지점에서 북쪽으로 떨어진 지점에 정류소 가 있다. 정류소 를 출발해서 직선도로 위의 한 지점과 직선도로 위의 한 지점을 차례로 경유하여 정류소 로 돌아오는 도로를 만들려고 한다. 만들려고 하는 도로의 길이가 최소가 되도록 직선도로 위의 한 지점에 정류소, 직선도로 위의 한 지점 에 정류소 를 만들 때, 두 정류소 와 사이의 거리( )는? (단, 도로의 폭은 무시하며 모든 지점과 도로는 동일평면 위에 있다.) ① ④ 다음 ② ③ ⑤ 그림과 같이 벽면에 거울이 설치되어 있다. 점 에서 출발한 빛 중에서 거울에 반사되어 점 를 통과하는 경우는 오직 한 경우 밖에 없을 때, 점 에서 출발한 빛이 거울 을 거쳐 점 까지 움직인 거리는? (단, 빛은 항상 최단거리로 움직인다.) ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 99

100 다음 도형의 이동 연습문제 물음에 답하시오 좌표평면 위에 중심의 좌표가 이고, 반지름 ⑴ 원 을 직선 에 대하여 대칭이동한 원 의 길이가 인 원 이 있다. 원 을 축에 대하여 대칭이동 의 방정식을 구하시오. 한 원을 라 하고, 원 을 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 ⑵ 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 원을 이라 하자. 원 의 내부와 원 의 내부의 공통부분의 평행이동하였더니 제 1사분면에서 축과 축에 동시에 넓이와 원 의 내부와 원 의 내부의 공통부분의 넓이의 합 접하였다. 이 때, 의 값을 구하시오 원 을 점 에 대하여 대칭이동한 원을 라 한다. 두 원 과 가 외접할 때, 의 최댓값을 구하시오. (단, 는 실수이다.) 100 NK-Math 을 구하시오.

101 오른쪽 도형의 이동 연습문제 그림과 같이 원 과 축, 축의 교점은 4개 는 양의 실수이고, 일 때, 이다. 이 4개의 점을 직선 에 대하여 각각 대칭이동할 때, 옮기기 전의 점들과 일치 하는 점이 2개 이상이 되도록 하는 직선 의 개수를 구하시오 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 가 있다. 길이 인 가 가 선분 반직선 위에서 움직일 때, 사각 형 의 둘레의 길이의 최솟값을 구하 시오. NK-Math 101

102 34. 어른 명과 어린이 명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기 구는 그림과 같이 앞줄에 개, 뒷줄에 개의 의자가 있다. 어린이가 어른과 반드시 같은 줄에 앉을 때, 명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하여라 오른쪽 그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 개와 이 세 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 개의 영역에 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① ② ④ ⑤ ③ NK-Math 231

103 1. 정답 OP AP BP 이므로 삼각형 OAB 의 외심을 P 라 하면 OP AP 에서, ( ) OP BP 에서, ( ) 2. 정답 ② 점 가 직선 위의 점이므로 AP BP 에서 AP BP 이므로 또,, 을 연립하여 풀면, 3. 정답 ⑤ AB 에서, ( ) BC 4. 정답 ③ 점 P 의 좌표를 라 하면 PA PB PC 따라서 주어진 식은, 일 때 최솟값을 가지므로 구하는 점 P 의 좌표는 이다. 5. 정답 ② 232 NK-Math

104 AB BC CA CA 인 이등변삼각형이다. 이므로 삼각형 ABC 는 BC 6. 정답: ② 점 를 축에 대하여 대칭이동 시킨 점을 이라 하면 이다. 이므로 의 최솟값은 의 최솟값과 같다. 의 최솟값은 의 길이이 므로 따라서 구하는 최솟값은 이다. 7. 정답:① 가 인 직각삼각형이므로 이다. 8. 정답 ② 에서 는 정수이므로 을 만족하는 정수 의 순서쌍은,,, 이다. 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 오른쪽 그림과 같으므로 AB BC ABCD 9. 정답 P, 즉 P NK-Math 233

105 Q, 즉 Q 따라서 선분 PQ 의중점의 좌표는 10. 정답 오른쪽 그림과 같이 점 P 가 선분 AB 를 으로 내분한다고 하면 점 P 의 좌표는 이므로 11. 정답 점 P 의 좌표는 이 점이 제 사분면의 점이므로, 그런데, 이어야 하므로 12. 정답:④ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 가 성립한다. 즉 따라서 점 는 선분 를 로 내분하는 점이므로 13. 정답 ⑤ 가 A 의 이등분선이므로 AD BD DC AB AC 234 NK-Math AP BP

106 AB, AC 이므로 BD DC BC 를 로 내분하는 점이므로 점 D 의 좌표는 따라서 점 D 는 14. 정답 ③ ㄱ. 두 점 A B 의 중점의 좌표는 이므로 중점이 원점과 일치하면, ㄴ. 점 C 이므로 AB 를 로 외분하는 점이다. 점 C는 AQ BQ 이고 이므로 다음 그림에서 ㄷ. 또는 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 15. 정답 ③ ABC 의 무게중심의 좌표는 이므로, 에서 16. 정답 ⑤ OA, OB AB 이므로 OAB 는 정삼각형이다. 정삼각형의 내심은 무게중심과 일치하므로 내심의 좌표는, 즉 따라서, 이므로 17. 정답 과 AN 의 교점은 ABC 의 무게중심과 일치한다. 선분 CM 과 선분 AN 은 모두 ABC 의 중선이므로 CM NK-Math 235

107 , 18. 정답 ABC 의 무게중심의 좌표는 이고, PQR 의 무게중심의 좌표는 ABC 의 무게중심과 PQR 의 무게중심이 서로 일치하므로,, 따라서 을 두 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식은, 19. 정답 ③ 세 점 A, B, C 의 좌표를 각각,, 라 하면 ABC 의 무게중심 G 의 좌표는 이므로 무게중심 P, Q, R 의 좌표는 각각,, 이 때, 세 점 P, Q, R 의 좌표의 합이 이므로 20. 정답 ④ AOB 의 한 변의 길이를 라 하면 AOB 의 넓이가 이므로, AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 AOB 가 정삼각형이므로 원점 O 에서 OH 한 편, 무게중심 G 의 좌표를 ( )로 놓으면 OG OH 이므로 AOB 의 무게중심의 좌표는 이므로, 236 NK-Math, ( )

108 21. 정답 ⑤ 대각선 AC 의 중점 과 대각선 BD 의 중점 이 일치하므로,, 22. 정답: 마름모는 네 변의 길이가 같으므로 을 만족한다. 에서 또는 그런데 이므로 에서 이것을 정리하면 에서 또는 1. 정답 세 점이 한 직선 위에 있으려면 두 직선 AB BC 의 기울기가 같아야 하므로 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 의 값의 합은 이다. 2. 정답 ④ 세 점이 한 직선 위에 있으려면 두 직선, 의 기울기가 같아야 하므로 NK-Math 237

109 따라서 근과 계수와의 관계에 의하여 모든 실수 의 합은 이다. 3. 정답 ② 절편이, 절편이 인 직선의 방정식은 이 직선이 점 을 지나므로 이 때,, 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ( 단, 등호는 일 때 성립), 따라서 의 최솟값은 이다. 4. 정답 직선 가 원점 O 를 지나므로 OAB 의 넓이를 이등분하려면 선분 AB 의 중점을 지나야 한다. 선분 AB 의 중점의 좌표는 이므로 5. 정답 오른쪽 그림에서 선분 OB 와 AC 의 교점을 P 이라 OP BP OP BP 가 최소가 되도록 하 따라서 PO PA PB PC 하면 AP CP AP CP 는 점 P 는 OABC 의 두 대각선 OB AC 이 교점이다. 두 점 O B 를 지나는 직선의 방정식은 두 점 A C 를 지나는 직선의 방정식은,, 에서, 이므로 6. 정답 직선 이 직선 과 수직이므로 직선 이 직선 과 평행이므로 7. 정답 238 NK-Math

110 이므로 두 직선, 의 교점이 개 이상이다. 즉, 두 직선이 일치하므로 8. 정답 ③ 마름모의 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하고, 직선 AC 의 기울기가 이므로 직선 BD 의 기울기는 이다. 즉, 의 중점 이 직선 위에 있으므로 BD, 을 연립하여 풀면, 9. 정답 이려면 두 직선, 이 평행해야 하므로 에서 또는 그런데 이면 이므로 두 직선이 일치한다. 10. 정답: 의 절편은, 절편은 에서 직선 직선 이고 은 한점 을 지나고 기울기가 오른쪽 그림에서 두 점 두 직선 인 직선이다. 를 지나는 직선의 기울기는, 두 점 을 지나는 직선을 기울기는 이므로 이 제 사분면에서 만나려면 11. 정답 세 직선이 삼각형을 만들지 않으려면 두 직선이 서로 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만나야 한다. (ⅰ) 두 직선 과 이 평행할 때 에서 (ⅱ) 두 직선 과 이 평행할 때 NK-Math 239

111 에서 (ⅲ) 세 직선이 한 점에서 만날 때, 을 연립하여 풀면 이므로 두 직선, 의 교점의 좌표가 이다. 따라서 직선 이 점 를 지나려면, 이상에서 모든 의 값의 합은 12. 정답:③ 절편이, 절편이 인 직선의 방정식은, 즉 이고 선분 가 이 직선과 수직일 때, 그러므로 이때의 직선 의 의 길이가 최소가 되므로 이때의 직선 의 기울기는 이다. 방정식은, 을 연립하여 풀면 의 길이가 최소일 때의 점 의 좌표는 이므로 의 좌표는 이다. 따라서 13. 정답 ④ 을 에 대하여 정리하면 이 식이 의 관계없이 성립하므로, 위의 두 식을 연립하여 풀면, 따라서 구하는 점 P 의 좌표는 이다. 14. 정답 ⑤ 두 직선, 의 교점을 지나는 직선의 방정식은 이 점 를 지나므로 따라서 직선의 방정식은 직선과 축, 축과의 교점은 각각 A, B 이므로 AB 15. 정답 ③ 240 NK-Math

112 ㄱ. 주어진 직선은 의 값에 관계없이 두 직선, 의 교점을 지나므로 두 식을 연립하여 풀면, 따라서 의 값에 관계없이 점 을 지난다. ㄴ. 일 때, 주어진 방정식은 따라서 축에 평행한 직선이다. ㄷ. 에서 (ⅰ) 이면 (ⅱ) 이면 이 때, 기울기가 이면 에서 이것은 모순이므로 기울기가 인 직선은 나타낼 수 없다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 16. 정답, 점 P 가 직선 위의 점이므로 점 P 로 놓을 수 있다. 점 P 에서 두 직선, 에 이르는 거리가 같으므로 ± 또는 따라서 구하는 점 P 의 좌표는 또는 이다. 17. 정답 ⑤ 구하는 거리는 직선 위의 한 점 과 직선 사이의 거리와 같으므로 18. 정답 직선 위의 한 점 과 직선 사이의 거리가 이므로 NK-Math 241

113 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (단, 등호는 일 때 성립) 따라서 의 최댓값은 이다. 19. 정답 직선 과 선분 AB 와의 교점을 C 라 하면 두 점 A B 와 직선 사이의 거리가 AC BC 이므로 즉, 점 C 는 선분 AB 를 로 내분하는 점이 므로 C 따라서 직선 은 점 C 을 지나므로 기울, 기를 이라 하면 직선 과 점 A 사이의 거리가 이므로,,, 따라서 직선 의 방정식은 이므로 절편은 이다. 20. 정답 ① 직선, 즉 과 원점 사이의 거리는 이므로 의 값이 최소일 때, 의 값은 최대이다. 따라서 의 최댓값은 21. 정답:① 에서 원점과 이 직선 사이의 거리는 242 NK-Math

114 따라서 는 일 때, 최댓값 을 갖는다. 22. 정답 ⑤ 도시 O 를 좌표평면 위의 원점에 놓고, 도시 A, B 의 위치를 각각 A, B 이라 하면 신도시 P 의 위치는 P 이다. 이 때, A, B 사이의 직선 도로를 나타내는 직선 의 방정식은 구하는 도로의 길이는 점 P 와 직선 사이의 거리이므로 km 23. 정답 ④ AP BP, 즉 AP BP 이므로 점 P 의 좌표를 라 하면 24. 정답 점 B 의 좌표를, 점 P 의 좌표를 라 하면 점 P 는 두 점 A, B 를 잇는 선분 AB 를 로 내분하는 점이므로,, 그런데 점 B 가 직선 위의 점이므로 을 에 대입하여 정리하면 따라서 이므로 25. 정답 ③ AP BP CP 이므로 점 P 의 좌표를 라 하면 26. 정답 ① NK-Math 243

115 두 직선, 이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 점 P 라 하면 오른쪽 그림에서 점 P 와 이 두 직선 사이의 거리는 같으므로 ± 또는 이므로 이 중에서 기울기가 양인 직선의 방정식은, 27. 정답 ② 점 P 가 직선 위에 있으므로, 로 놓으면, 이를 에 대입하면 점 Q 의 자취의 방정식은 28. 정답 ④ 출발한 지 초 후의 두 점 A B 의 좌표는 각각, 이므로 두 점 사이의 거리를 라 하면 따라서 일 때 두 점 사이의 거리는 최소가 된다. 29. 정답:④ 이므로 점 와 점 사이의 거리이다. 또 이므로 점 와 점 사이의 거이리다. 위의 그림에서 이고 등호는 점 가 선분 위에 있을 때 성립한다. 이고 선분 위의 점 중 좌표가 인 점의 좌표는 30. 정답 ② P Q 이므로 P, Q 이라 하면 244 NK-Math 이므로

116 P Q 의 좌표는 P Q 의 좌표는 따라서 두 점 P Q, P Q 사이의 거리는 P Q P Q 31. 정답 ⑤ 문제의 그림에서, 에서, 양변을 로 나누면 32. 정답 ④ AOD 와 AOE 의 넓이가 같으므로 두 선분 AO 와 ED 는 평행하고 ADE 와 AOE 의 넓이가 같으므로 두 선분 AE 와 OD 는 평행하다. 의 중점이 일치한다. AD 의 중점과 OE 따라서 AODE 는 평행사변형이므로 의 중점의 좌표는 이고, 이때 A 라고 하면 AD 의 중점의 좌표는 이므로 OE, 따라서, 이므로 A 의 중점과 DO 의 중점이 일치한다. 마찬가지로 BDEO 가 평행사변형이므로 BE B 라고 하면 BE 의 중점의 좌표는 이고, 의 중점의 좌표는 이므로 DO, 따라서, 이므로 B AB 33. 정답 OB 이므로 두 점 O B 를 지나는 직선의 방정식은 이다. 두 점 O A 를 지나는 직선의 방정식은 이고, OA 점 B 가 제 사분면에 있으므로 B ( )라 하면 OA OB NK-Math 245

117 OA OB 이므로 따라서 B 이므로 두 점 A B 를 지나는 직선의 방정식은 이다. 34. 정답:⑤ 에서 이다. 에서 이므로 에서 선분 는 의 이등분선이다. 따라서 가 성립하므로 즉, 이므로 ± 35. 정답 에서 이므로 직선 은 의 값에 관계없 이 점 을 지난다. 또 직선 은 오른쪽 그림과 같으므로 제 사분면에서 두 직선이 만나려면 이 두 점, 사이를 지나야 한다. (ⅰ) 직선 이 점 를 지날 때 : (ⅱ) 직선 이 점 을 지날 때 : 이상에서 이므로 36. 정답 ② 로 놓으면 직선 의 방정식은 이 직선이 점 를 지나므로 의 넓이를 라고 하면, 에서 는 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 (단, 등호는 일 때 성립) 246 NK-Math

118 따라서 의 넓이의 최솟값은 이다. 37. 정답:② 직선이 직사각형의 대각선의 교점을 지날 때, 직사각형의 넓이가 이등분되므로 두 직사각형의 대각선의 중점 를 지나는 직선의 방정식을 구하면 따라서 구하는 직선의 기울기 이다. 38. 정답:① 오른쪽 그림과 같이 직사각형의 꼭짓점 를 원점이 되도록 좌표평면 위에 놓고 라고 하면 직선 은 직선, 즉 직선 에 수직이므로 또한 선분 의 중점 가 직선 위에 있으므로, 을 연립하여 풀면 따라서 점 과 점 사이의 거리는 39. 정답:④ 정사각형 한 변의 길이를 직선 이라 하고 정사각형 의 넓이를 라 하면 이고 이므로 가 변 와 만나는 점의 좌표를 라 하면 에서 따라서 구하는 직선의 기울기 은 40. 정답:③ 오른쪽 그림에서 의 넓이는 NK-Math 247

119 이므로 의 넓이가 가 되기 위한 의 값을 구하면 된다. 직선 의 방정식은 이므로 직선 와의 교점 의 좌표는 직선 와 직선 의 교점 의 좌표는 이므로 의 넓이는 ± ± 그런데 이므로 41. 정답:④ 삼각형 의 넓이는 이므로 오른쪽 그림에서 삼각형 의 넓이는 가 된 직선 의 다. 와의 교점 의 좌표는 방정식이 이므로 직선 방정식이 이므로 직선 와의 교점 의 좌표는 직선 의 의 넓이 의 넓이 의 넓이 에서 의 넓이가 이므로 또는 그런데 이므로 248 NK-Math

120 42. 정답:③ 또는 이 두 방정식을 연립하여 두 직선의 교점을 구하면 이다. 따라서 두 점 을 지나는 직선의 방정식은 즉 이므로 [다른풀이] 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 을 지나므로 이 직선이 점 을 에 대입하여 정리하면 43. 정답 오른쪽 그림과 같이 점 A 를 원점으로 하는 좌표평 AB CD 라고 하면 점 B 의 좌표는 이다. 면에서 AB 의 최솟값은 따라서 일 때 44. 정답 ② 배의 현재 위치를 원점, 동쪽을 축의 양의 방향, 북쪽을 축의 양의 방향으로 잡으면, 태풍의 중심의 현재 위치를 라고 할 때, 이다. 시간 후의 배의 위치를, 태풍의 중심의 위치를 라고 하면, 배가 폭풍우권 내에 있을 이므로 조건은 양변을 제곱하여 정리하면 즉, 배는 최초로 시간 후에 폭풍우권 내에 들어가서 시간 후에 폭풍우권 내에서 벗어난다. 따라서 배가 폭풍우권 내에서 항해하는 시간은 시간이다. 45. [정답] NK-Math 249

121 이차방정식 이 중근을 가져야 하므로 판별식을 라 하면 에서, 이때, 두 점 P, Q 사이의 거리는 PQ ( ) 따라서 두 점 P Q 사이의 거리는 일 때 최소이고, 최솟값은 이다 46. [정답] ③ AOB 이므로 AOC 이때, AOP COQ 에서 AOP COQ 이므로 이다. QOP 이고, QOP 가 정삼각형이므로 OP QP CQ 이므로 또한, AOP COQ 에서 AP CQ QP AP OP BP BP CB 따라서 점 P 에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합의 최솟값은 CB 이다. (가) : (나) : CQ (다) : 47. [정답] 8 오른쪽 그림과 같이 두 지점 A C 를 지나는 직선을 축, B 지점을 지나면서 축에 수직인 직선을 축이라 하면, 세 지점 A B C 는 각각 A, B, C 이다. 이때, 구하는 D 지점의 좌표를 라 하면 동일 평면 위의 A B C 각 지점에서 D 지점까지의 각각의 도로 건설비용이 모두 같으므로 주어진 건설비용 그림에 의하여 BD AD CD 임을 알 수 있다. ⅰ BD AD, 즉 AD BD 에서 BD AD 이므로 양변을 제곱하면 ⅱ BD CD 에서 CD BD 이므로 양변을 제곱하면 CD BD, 즉 을 하면 이것을 에 대입하면 250 NK-Math

122 또는 또는 따라서 두 지점 사이의 거리는 km 이므로 이다. 48. [정답] ⑤ BP PC 이어야 한다. 따라서 점 P 는 오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABP 의 넓이가 삼각형 APC 의 넓이의 배가 되려면 선분 BC 를 로 내분하므로 점 P 의 좌표는, 즉 49. [정답] 이므로 정삼각형 ABC 의 높이는 한 변의 길이가 AM 변 BC 의 중점 M 과 무게중심 G 에 대하여 GM AM 이므로 에서 GM 한편, 삼각형 ABC 의 무게중심 G 가 직선 위에 있으므로 G 라 하면 GM 또는 그런데 점 G 의 좌표가 이상이므로 G 이때, 삼각형 ABC 의 세 꼭짓점 A B C 의 좌표를 각각 이라 하면 따라서 구하는 세 꼭짓점 A B C 의 좌표의 합은 50. [정답] 오른쪽 그림과 같이 점 A 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 M 이라 하면 정삼각형 ABC 의 무게중심이 원점 O 이므로 AO AM AO OM 이므로 이때, AO 이므로 AM AO 따라서 정삼각형 ABC 의 한 변인 선분 BC 의 길이는 BC AM 이므로 정삼각형 ABC 의 넓이는 NK-Math 251

123 BC 51. [정답] ⑤ 인 정삼각형이다. AB 이므로 ADB 에서 한 변의 길이가 점 D 에서 변 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 DH 는 정삼각형 ADB 의 높이이므로 DH AH BH 이므로 이고, BH AB D 이때, 삼각형 ADB 의 무게중심 X 의 좌표는 즉 또한, 정삼각형 BEC 의 한 변의 길이는 이고, 높이는 OE 이므로 점 E 의 좌표는 이다. 이때, 삼각형 BEC 의 무게중심 Y 의 좌표는 즉 따라서 정삼각형 XYZ 의 한 변의 길이는 XY 이므로 구하는 삼각형 X YZ 의 넓이는 52. [정답] 이므로 정삼각형 ABC 의 높이는 한 변의 길이가 AM 변 BC 의 중점 M 과 무게중심 G 에 대하여 GM AM GM 이므로 GM 에서 한편, 삼각형 ABC 의 무게중심 G 가 직선 위에 있으므로 G 라 하면 252 NK-Math

124 또는 그런데 점 G 의 좌표가 이상이므로 G 이때, 삼각형 ABC 의 세 꼭짓점 A B C 의 좌표를 각각 이라 하면 따라서 구하는 세 꼭짓점 A B C 의 좌표의 합은 53. [정답] ① CA AB BD 이다. 변 AB 를 로 외분하는 점이 C 로 외분하는 점이 D 이므로 오른쪽 그림과 같이 즉, 변 OA 는 삼각형 OCB 의 중선, 변 OB 는 삼각형 OAD 의 중선이므로 삼각형 OCB 의 무게중심 G 은 변 OA 를 로 내분하는 점이고, 삼각형 OAD 의 무게중심 G 는 변 OB 를 로 내분하는 점이다. 이때, OG G OAB 이고, 그 닮음비가 이므로 선분 G G 의 길이는 변 AB 의 길이의 이다. 따라서 선분 G G 의 길이는 G G AB [다른 풀이] 두 점 A B 에 대하여 변 AB 를 로 외분하는 점 C 의 좌표는 즉 변 AB 를 로 외분하는 점 D 의 좌표는 즉 이때, 삼각형 OCB 의 무게중심 G 의 좌표는 즉 삼각형 OAD 의 무게중심 G 의 좌표는 즉 따라서 선분 G G 의 길이는 54. [정답] ④ BC 이므로 변 BC 의 중점을 M 이라 하면 BM MC 삼각형 ABC 에서 중선정리에 의하여 NK-Math 253

125 AB AC AM BM 이므로 AM AM AM DM EM 이므로 M 은 선분 DE 의 중점이다. 한편, 따라서 삼각형 ADE 에서 중선정리에 의하여 AD AE AM DM 이므로 [다른 풀이] 삼각형 ABE 에서 중선정리에 의하여 AB AE AD BD 이므로 삼각형 ADC 에서 중선정리에 의하여 AD AC AE DE 이므로 을 연립하여 풀면 55. [정답] 점 M 은 변 BC 의 중점이므로 BM MC 삼각형 ABC 에서 중선정리에 의하여 AB AC AM BM 이므로 AM AM AM AM AM GM AM 이므로 이때 GM 56. [정답] 변 BC 의 중점을 M 이라 하면 점 G 는 삼각형 ABC 의 무게중심이므로 AG AG GM 에서 GM 삼각형 GBC 에서 중선정리에 의하여 GB GC GM BM 이므로 BM 254 NK-Math BM

126 BM BM ( BM ) BC BM 57. [정답] 오른쪽 그림과 같이 정육각형의 마주보는 꼭짓점을 연결한 대각선의 교점의 좌표를 R 라 하면 정육각형의 넓이를 이등분하는 직선 은 점 R 를 지나야 한다. 또한, 점 A 와 마주보는 꼭짓점을 D 이라 하면 대각선 AD 의 길이는 이므로 직각삼각형 AOD 에서 피타고라스의 정리에 의하여 OD AO AD 즉 ( ) D 따라서 대각선 AD 중점 R 의 좌표는 즉 이므로 직선 PR 의 방정식은 직선 의 방정식에 을 대입하면 에서 [다른 풀이] OA 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 삼각형 ARO 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 점 R 에서 변 이므로 HR 이고, OH HA R 이다. 58. [정답] 직선 즉, 은 기울기인 의 값에 관계없이 항상 점 을 지난다. 따라서 두 직선 이 제 사분면에서 만나려면 오른쪽 그림과 같이 직선 이 ⅰ, ⅱ 의 두 가지 경우 사이에 존재해야 한다. ⅰ 직선 이 점 를 지나는 경우 ⅱ 직선 이 점 을 지나는 경우 ⅰ, ⅱ 에서 이므로 [다른 풀이] 을 연립하여 풀면 NK-Math 255

127 즉, 두 직선 의 교점 가 제 사분면에 있어야 하므로 에서 에서 또는 에서 59. [정답] ④ OABC COD 이고, OABC OAC ABC COD OAC ADC 이므로 ABC ADC 이때, 선분 AC 를 두 삼각형 ABC 와 ADC 의 공통인 밑변으로 하면 넓이가 같기 위해서는 높이가 같아야 하므로 AC DB 이어야 한다. 즉, 두 직선 AC 와 의 기울기는 같아야 한다. 직선 AC 의 기울기는 직선 OA 의 방정식은 이므로 직선 OA 위의 점 D 의 좌표를 라 하면 직선 DB 의 기울기는 이므로 60. [정답]① 256 NK-Math

128 점 P 의 좌표는 조건 (나)에서 점 P 는 변 OA 의 중점이므로 즉, 또한, 조건 (다)에서 ( OPB 의 넓이) ( OPQ 의 넓이) 이므로 점 Q 는 선분 OB 를 로 외분하는 점이고, 좌표는, 즉 두 점 P Q 을 지나는 직선의 방정식은 위의 식의 양변에 을 곱하여 정리하면 61. [정답] 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD 에서 두 AP CP AC PA PC BP DP BD PB PD 대각선 AC BD 의 교점을 P 라 하고, 내부에 임의의 점 P 을 잡으면 을 하면 AP BP CP DP PA PB PC PD PA PB PC PD 의 값이 최소일 때의 점 P 는 두 대각선 AC BD 의 교점이다. 즉, 이때, 직선 AC 의 방정식은 직선 BD 의 방정식은, 을 연립하여 풀면 P 62. [정답]② 에서 이때, 라 하면 이므로 이므로, 을 연립하여 풀면 즉, 이므로 NK-Math 257

129 따라서 두 직선, 과 축으로 둘러싸인 삼각형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같으므로 그 넓이는 [다른 풀이] 근의 공식에 의하여 ± 이때, 주어진 방정식이 두 직선을 나타내려면 근호 안의 식 가 완전제곱식이 되어야 한다. 즉, 방정식 에서 이므로 이 방정식의 판별식을 라 할 때, 에서 이것을 에 대입하면 63. [정답] 수심은 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 두 수선의 교점과 일치하므로 i 꼭짓점 A 를 지나고 변 BC 에 수직인 직선의 ii (직선 AC 의 기울기) 이므로 방정식은 꼭짓점 B 를 지나고 변 AC 에 수직인 직선의 방정식은, 를 연립하여 풀면, 즉, 수심의 좌표는 이므로 64. [정답]④ 오른쪽 그림과 같이 변 AB 가 축과 만나는 점을 D 라 하자. AD DB 라 하면 정사각형 ABOC 에서 OB 이고, 점 B 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하면 직선 OB 의 기울기 는 BH DB BOH DOB OH OB 이때, 직선 AB 와 직선 OB 는 수직이므로 직선 AB 의 기울기는 이다. 따라서 직선, 즉 의 기울기가 이므로 [다른 풀이] 258 NK-Math

130 직선 의 절편이 이므로 변 AB 의 중점 D 의 좌표는 이다. 이고, BD 라 하면 OB OD 이므로 피타고라스의 정리에 의하여 에서 BD OB 라 하면 DH 이므로 OH OB OH BD DH 에서 BH BH ( 직선 는 직선 와 수직이므로) 65. [정답] 에서 이 에 대한 항등식이어야 하므로 위의 두 식을 연립하여 풀면 이므로 은 항상 점 A 을 지난다. 이때, 직선 이 삼각형 ABC 의 넓이를 이등분하려면 변 BC 의 중점을 지나야 하고, 변 BC 의 중점은, 즉 이므로 을 에 대입하면 66. [정답]① 두 점 A B 를 지나는 직선의 방정식은, 즉 이다. 또한, 에서 이므로 직선 을 만드는 의 값은 존재하지 않는다. 따라서, 을 연립하여 풀면 이므로 주어진 직선이 지날 수 없는 점의 좌표는 이다. 67. [정답]③ ㄱ. 에 을 대입하면 NK-Math 259

131 따라서 일 때, 직선 의 기울기는 이다. (참) ㄴ. 에서 위의 식이 에 대한 항등식이어야 하므로 위의 두 식을 연립하여 풀면 이므로 직선 은 의 값에 관계없이 점 을 지난다. (거짓) ㄷ. 에서 이므로 이고, 이때, 이다. 일 때 이므로 따라서 기울기가 양이 아닌 수이고, 절 편이 음수인 직선 은 오른쪽 그림과 같으므로 직선 은 제 사분면을 지나지 않는 다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 68. [정답] AB CD 이므로 정사각형 ABCD 에서 (직선 AB 의 기울기) (직선 CD 의 기울기), 즉 사이의 거리는 AB 의 길이 와 같으므로 또한, 점 A 과 직선, 즉 에서 ± 또는 또는 그런데 이므로 (직선 의 절편이양수이므로) [다른 풀이] 이므로 직선 CD 의 방정식은 오른쪽 그림과 같이 점 C 에서 축에 내린 수선의 CHB BOA ( RHA 합동) BH AO, CH BO 이므로 점 C 의 좌표는 즉, 260 NK-Math 발을 H 라 하면 두 직각삼각형 BHC, AOB 에서 ABO BCH

132 , 즉 직선 가 점 C 를 지나므로 69. [정답]③ 점 C 의 좌표를 이라 하자. 직선 AB 의 방정식은, 즉 이므로 이 직선과 점 C 사이의 거리는 직선 AO 의 방정식은, 즉 이므로 이 직선과 점 C 사이의 거리는 이때, A 의 외각의 이등분선 위의 점 C 와 두 직선 AB, AO 사이의 거리는 같으므로 에서, 양변을 제곱하면, 따라서 이므로 [다른 풀이] 점 B 를 지나고 선분 AC 에 평행한 직선이 직선 OA 와 만나는 점을 M, 선분 OA 의 연장선 위의 한 점을 N 이라 하면 평행선의 성질에 의하여 AMB NAC (동위각), ABM CAB (엇각) 그런데 주어진 조건에서 NAC CAB 이므로 AMB ABM 즉, AMB 는 이등변삼각형이므로 AM AB 또한, OBM OCA ( AA 닮음)이므로 MA OA OC BC 이고, 에 의하여 NK-Math 261

133 BA 이므로 OC OA OC BC BC C OB 즉, 점 는 선분 를 로 외분한다. 따라서 점 C 의 좌표는 70. [정답] 오른쪽 그림과 같이 주어진 직사각형을 점 C 를 원점, 직선 BC 를 축, 직선 DC 를 축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면 두 점 A M 은 각각 A, M 이다. 두 점 A, C 을 지나는 직선 AC 의 방정식은, 즉 이므로 선분 PR 의 길이를 라 하면 두 점 P Q 는 각각 P Q 이다. 또한, 두 점 A, M 을 지나는 직선 AM 의 방정식은 에서 이때, 점 P 와 직선 사이의 거리는 이고, PS 이므로 PQ PS 주어진 조건에서 ± 또는 따라서 이므로 OQ, AP 71. [정답](1) (2) 직선 OQ :, 직선 AP : (3) (4) OQ, (1) AP (2) 두 직선 OQ AP 와 직선 PQ 는 수직이고, 직선 PQ 의 기울기는, 즉 에서 이므로 두 직선 OQ AP 의 기울기는 이다. 따라서 원점 O 를 지나는 직선 OQ 의 방정식은 이고, 점 A 을 지나는 직선 AP 의 방정식은, 즉 이다. (3) 두 직선 AP OQ 는 서로 평행하므로 선분 PQ 의 길이는 두 직선 AP OQ 사이의 거리와 같다. 262 NK-Math

134 이때, 직선 AP 의 방정식은 이고, 점 이 직선 OQ 위의 점이므로 PQ (4) AOQP 72. 정답 포물선과 직선의 두 교점을, 이라고 하면 는, 즉 의 두 근이다. 의 길이가 의 값에 관계없이 일정하므로, ±, ± (복부호동순) 이므로 따라서 73. [정답] 오른쪽 그림과 같이 선분 PC 를 그으면 삼각형 APC 에서 AR RC 이므로 APR APC 삼각형 ABC 에서 AP PB 이므로 APC ABC 이때, ABC 의 넓이는 이므로 APR ABC BP BA 이므로 또한, PBQ ABC 이고, PBQ ABC PBQ ABC S 선분 AQ 를 그으면 삼각형 ABC 에서 BQ QC 이므로 AQC ABC 이고, NK-Math 263

135 RQC AQC 이므로 RQC ABC S,, 에서 삼각형 PQR 의 넓이는 따라서 두 삼각형 ABC 와 PQR 의 넓이의 비는 ABC PQR S S 74. [정답] 삼각형 ABC 의 넓이는 세 삼각형 ABP, BCP, CAP 의 넓이의 합과 같고, AB, BC, CA 이므로 ABC 을 에 대입하면 따라서 점 P 의 자취의 방정식은 이므로 구하는 자취의 길이는 75. [정답] 삼각형 ABC 의 넓이를 이등분하고, 축에 평 행한 직선의 방정식을 라 하면 삼각형 AOC 의 넓이가 삼각형 AOB 의 넓이보다 넓으므로 넓이가 이등분이 되기 위해 서는 이어야 한다. 이때, 직선 가 두 직선 BC AC 와 만나는 점을 각각 P Q 라 하면 P 이고, 직선 AC 의 방정식은 이므로 Q 이다. PQC ABC 이므로 에서 이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 264 NK-Math

136 76. [정답] 오른쪽 그림과 같이 직사각형 PQRS를 점 Q 를 원점으로 하고, 두 직선 QR, QP 를 각각 축, 축으로 하는 좌표평면 위에 놓으면 P, R, S 이므로 직 선 PR 의 방정식은 이때, 직선 가 선분 QQ 을 수직이 등분하므로 점 Q 의 좌표를 라 하면 i 직선 QQ 의 기울기는 이므로 ii 선분 QQ 의 중점 가 직선 위에 있으므로, 을 연립하여 풀면 이므로 점 Q 의 좌표는 이다. 따라서 직선 Q S의 기울기는 [다른 풀이] QH, Q H 이므로 피타고라스의 정리에 의하여 점 Q 에서 직선 QR 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 삼각형 Q QH 에서 QQ 이고, PR 이므로 QQ PQR PR 이므로 즉, NK-Math 265

137 <<원의 방정식>> 1. 정답 원의 방정식을 으로 놓고 세 점의 좌표를 대입하면 세 식을 연립하여 풀면 따라서 원의 방정식은 즉, 이므로 원의 반지름의 길이는 이다. 2. 정답 ① 주어진 원의 방정식을 변형하면 반지름의 길이가 이므로 일 때 원의 넓이가 최대이고, 이때 중심의 좌표는 이다. 3. 정답 원의 중심은 두 점, 의 중점이므로 중심의 좌표는 또, 원의 반지름의 길이를 라 하면 266 NK-Math

138 따라서 구하는 원의 방정식은 4. 정답 ④ AP BP 이므로 BP AP BP AP 따라서 점 P 의 자취는 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이므로 자취의 길이는 5. 정답 A, B 라고 하면 AB 에서 이때 선분 AB 의 중점의 좌표를 라고 하면 점 는 점 와 일치하므로 을 에 대입하면 6. 정답 원 의 중심은, 반지름의 길이 는 이고 원 의 중심은, 반 지름의 길이는 이므로 두 원을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같 다. 두 원의 중심거리는 P Q 따라서 선분 PQ 가 최대일 때는 선분 P Q 의 길이와 같으므로 최댓값은 선분 PQ 의 길이가 최소일 때는 선분 P Q 의 길이와 같으므로 최솟값은 P Q P Q P Q 7. 정답:② 즉, 이 방정식이 원을 나타내려면 이어야 한다. NK-Math 267

139 또는 따라서 자연수 의 최솟값은 이다. 8. 정답:④ 두 점 로부터 거리의 비가 로 일정한 점을 라 하면 이므로 9. 정답 원의 반지름의 길이를 라 하면 따라서 구하는 원의 방정식은 10. 정답 ⑤ 축, 축에 동시에 접하면서 점 를 지나는 원의 중심은 제 사분면 위에 있다. 따라서 주어진 원의 중심을 ( )라고 하면 원의 방정식은 이 원이 점 를 지나므로, (( ) 즉, 주어진 원의 방정식은 이므로 11. 정답 원의 중심을 로 놓으면 원이 축에 접하므로 반지름의 길이는 이다. 따라서 원의 방정식을 으로 놓을 수 있고, 이 원이 를 지나므로, 두 원의 중심을 각각, 로 놓으면 는 의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여, 따라서 두 원의 중심거리는 268 NK-Math

140 12. 정답 축, 축에 동시에 접하는 원이 제 사분면의 점 를 지나므로 원의 중심을 ( )라고 하면 반지름의 길이는 이다. 즉, 원의 방정식은 이때 원이 점 를 지나므로,, 또는 따라서 조건을 만족하는 원은 두 개가 존재하고 두 원의 반지름의 길이가 각각 이므로 두 원의 넓이의 합은 13. 정답 ② 에서 이므로 중심은, 반지름의 길이는 이다. 이때 원이 축에 접하므로, 또, 원이 를 지나므로 을 에 대입하면, 14. 정답 주어진 원의 중심을, 점 에서 축에 내 이고 에서 이므 린 수선의 발을 라고 하면 로 즉 원의 반지름의 길이는 이다. 따라서 원의 방정식은 15. 정답 ③ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 NK-Math 269

141 이 원이 점 을 지나므로 을 에 대입하면 16. 정답 ③ 두 원의 공통현의 방정식은 오른쪽 그림에서 원 의 중심 과 직선 사 이의 거리는 OH PH 이므로 PH 따라서 공통현의 길이는 17. 정답 원 과 직선 의 교점을 지나는 원의 방정식은 이 원이 점 을 지나므로 즉, 에서 따라서 이므로 18. 정답 점 P 에서 원 에 그은 접선의 OAP OBP 있다. 접점을 각각 A B 라고 하면 이므로 오른쪽 그림과 같이 두 점 A B 는 선분 OP 를 지름으로 하는 원 위에 OP 를 지름으로 하는 원의 방정식은 는 원 과 원 의 공통현이므로 두 점 A B 를 지나는 따라서 AB 직선의 방정식은 [다른 풀이] 접점의 좌표를 이라 하면 접선의 방정식은 위의 직선이 점 P 를 지나므로 따라서 두 접점을 지나는 직선의 방정식은 19. 정답 ③ 두 원은 서로 다른 두 점에서 만나므로 두 원의 공통현을 지나는 직선에 대하여 대칭이다. 두 원의 공통현의 방정식은 270 NK-Math

142 따라서 이므로 20. 정답 ③ 점 을 R 라 하면 호 PRQ 를 포함하는 원은 축에 접하고 반지름의 길이가 이므로 원의 중심의 좌표는 이다. 따라서 원의 방정식은 이 때, 직선 PQ 은 두 원 의 교점을 지나는 직선이므로 직선 PQ 의 방정식은 따라서 직선 PQ 의 절편은 이다. 21. 정답 ② 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하므로 두 원의 공통현이 둘레가 이등분되는 원의 중심인 을 지나야 한다. 공통현의 방정식은 즉, 직선 이 점 을 지나므로 따라서 점 가 그리는 도형은 직선 이므로 오른쪽 그림과 같다. 22. 정답 ④ 세 원의 중심,, 에 대하여,, 가 가장 짧으므로 중심이 와 인 두 원의 공통현의 길이가 가장 길다. 세 원의 반지름의 길이가 모두 같고, 중심거리 중 중심이 인 두 원의 공통현의 방정식은 이고 이 직선과 원의 중심 사이의 거리는 23. 정답 구하는 원의 반지름의 길이를 라 하면 따라서 구하는 원의 방정식은 24. 정답 ① NK-Math 271

143 직선 에 평행한 직선의 기울기는 이고, 원의 반지름의 길이는 이므로 구하는 접선의 방정식은 ± ± 25. 정답 ④ 원 위의 점 에서의 접선의 방정식은, 즉 또, 점 가 원 위의 점이므로 직선 과 수직인 직선 의 기울기가 이므로 에서 를 에 대입하면, 따라서 이므로 26. 정답 접점을 P 라고 하면 접선의 방정식은 이 직선이 점 을 지나므로 또, P 는 원 위의 점이므로, 을 연립하여 풀면, 또는, 따라서 접선의 방정식은 또는 이므로 27. 정답 두 점 A B 를 지나는 직선의 방정식은 AB 이므로 직선 이 원 의 접선이므로 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같다. 을 에 대입하면 ( ), 에서 ( ) 28. 정답 ③ 272 NK-Math

144 원 위의 점 P 에서의 접선의 방정식은 이므로 A B 따라서 OAB 의 넓이는 또, 점 P 는 원 위의 점이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (단, 등호는 일 때 성립), 에서 따라서 OAB 의 넓이의 최솟값은 이다. 29. 정답 ④ 원점에서 원 에 그은 접선 의 방정식을 라 하면 원의 중심 에서 직선 까지의 거리가 반지름의 길이 과 같으므로 에서 한편, 원점에서 원 에 그은 접선 의 방정식을 라 하면 원의 중심 에서 직선 까지의 거리가 반지름의 길이 와 같으므로 에서 또는 두 직선, 이 직선 와 만나는 점의 좌표는 각각, 따라서 이 두 점 사이의 거리는 이다. 30. 정답 ② 점 에서 원 에 그은 접선의 기울기를 이라 하면 접선의 방정식은 원의 중심 에서 직선 에 이르는 거리가 반지름의 길이 와 같아야 하므로 양변을 제곱하여 정리하면 이 방정식의 두 근을 라 하면 두 접선이 서로 수직이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여, 따라서 구하는 의 값들의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이다. NK-Math 273

145 31. 정답 ① 에서 이 원은 중심이, 반지름의 길이가 인 원이다. 오른쪽 그림에서 는 직각삼각형이므로 32. 정답 ⑤ 두 원 의 중심을 각각 C C 이라 하면 C C 이므로 중심거리는 C C AC 에 내린 수선의 오른쪽 그림과 같이 두 접점을 A B 라 하고 점 C 에서 AB C H C C C H 발을 H 라 하면 33. 정답 ① 두 원 의 중심을 각각 C C 이라 하면 C C 이므로 중심거리는 C C B 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 C 에서 C 오른쪽 그림과 같이 두 접점을 A B 라 하고 AB C H C C C H 34. 정답 두 원의 공통접선이 개이므로 두 원은 서로 다른 원의 외부에 있다. 즉, 두 원의 반지름의 길이의 합은 중심거리보다 작다. 원 은 중심이, 반지름의 길이가 이고, 원 은 중심이, 반지름의 길이가 이므로 ( ) 35. 정답 원 와 직선 이 접하므로 274 NK-Math

146 원 와 직선 이 접하므로, 에서 ± 또는 그런데 주어진 조건에서 이므로 를 에 대입하면 36. 정답 ③ 세 원이 두 직선 에 접하므로 세 원의 중심은 일직선 위에 있다. 원 A 의 넓이가 이므로 반지름의 길이는 이고, 원 C 의 넓이가 이므로 반지름의 길이는 이다. 원 B 의 반지름의 길이를 두 점 B C 에서 점 A 를 지나고 직선 에 평행한 직선에 내린 수선의 발을 각각 B C 이라 하면 삼각형의 닮음에 AB BB AC CC 의하여 따라서 원 B 의 넓이는 이다. 37. 정답 ③ 에서 이 방정식이 원을 나타내려면, 따라서 모든 정수 의 값의 합은 38. 정답 중심, 반지름 NK-Math 275

147 , 을 연립하여 교점의 좌표를 구하면, 의 교점의 좌표는, 의 교점의 좌표는 이다. 구하는 외접원의 방정식은 이라 하면 이 식을 연립하여 풀면 이므로 외접원의 방정식은 따라서 이므로 중심은, 반지름의 길이는 이다. 39. 정답 ③ 서 만나려면 오른쪽 그림과 같이 원 이 축에 접해야 하므로 주어진 포물선과 원이 서로 다른 세 점에 원의 중심의 좌표는 이다. 이때 원에 내접하는 정삼각형은 무게중 심과 외접원의 중심이 일치하므로 위의 그림에서 점 A 의 좌표는 이다. 원과 포물선이 만나는 세 점 중 원점을 제외한 두 점을 각각 B C 라고 하면 선분 BC 는 점 A 를 지나고 축과 평행하므 즉, 에 을 대입하면 로 두 점 B C 의 좌표는 모두 이다., 또는 따라서 포물선 이 점 C 을 지나므로 [참고] 정삼각형의 무게중심, 외심, 내심은 모두 일치한다. 40. 정답 ④ 점 A 에서 원의 중심 까지의 거리는 AP 의 길이의 최솟값은, 최댓값은 이다. 원의 반지름의 길이는 이므로 AP 의 길이가 인 점 P 는 개씩, AP 의 길이가 인 점 P 는 개씩이므로 구하는 점 P 의 개수는 따라서 41. 정답 ③ 276 NK-Math

148 점 Q 는 원 과 직선 의 접점이므로 PQ 따라서 점 Q 의 좌표는 이므로 42. 정답 주어진 원의 방정식을 변형하면 직선 가 원 의 넓이를 이등분하므로 직선 가 원 의 중심 를 지나야 한다. 를 에 대입하면 즉, 에서 따라서 ABC 의 넓이의 최댓값은 오른쪽 그림에서 43. 정답 ③ 원 과 원, 즉 의 중심 은 원점이고, 반지름의 길이가 각각 이 다. 오른쪽 그림에서 점 P 는 선분 AB 의 중점이고 삼각형 OPA 는 직각삼각형이므로 AP OAB OAB 에서,, 즉, 원 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식은 ± 이므로 절편과 절편은 각각 또는 따라서 구하는 값은 44. 정답 ② 두 원 NK-Math 277

149 에서 두 원의 중심이 각각, 이므로 중심 거리는 따라서 두 점 사이의 거리의 최댓값은 중심거리에 각 원의 반지름의 길이를 더한 값이므로 45. 정답 ③ 두 점 를 지나는 직선의 방정식은 선분 를 밑변으로 하는 삼각형의 넓이가 최소가 되려면 동점 에서 직선 까지의 거리가 최소이어야 한다. 원의 중심 과 직선 사이의 거리는 이므로 그러므로 의 넓이가 최소일 때의 삼각형의 높이는 이고, 의 넓이의 최솟값은 46. 정답 ① 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 이다. 따라서 두 원의 공통현 의 길이는 같으므로 수직이등분선은 점 와 두 원의 중심, 을 모두 지난다. 그러므로 직선 의 기울기 는 두 원의 중심, 을 지 나는 직선의 기울기와 같으므로 47. 정답 ① 두 원의 공통현의 방정식은 278 NK-Math

150 에서 이 원은 중심이, 반지름의 길이가 인 원이다. 이원의 중심에서 공통현 까지의 거리는 따라서 공통현의 길이는 인 원이 두 원의 교점을 지나는 가장 작은 원이므로 그 넓이는 이다. 즉, 지름의 길이가 48. 정답 ② 서 만나는 점 가 그리는 도형은 중심이 점 이고 반지름 오른쪽 그림과 같이 두 직선이 직교하면 인 원이므로 점 가 그 의 길이가 리는 도형의 방정식은 이다. 원의 중심 와 직선, 즉 사이의 거리는 따라서 점 가 그리는 도형과 직선 사이의 거리의 최솟값은 49. 정답 풀이참조 개념을 이용한 풀이 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 꼭짓점 A를 라 하면 A B C 축, 나머지 점 B C를 축에 놓고 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 이 때 점 P x y 라 하면 x y x a y AP a BP x a y 이므로 CP BP CP AP 에서 따라서 점 P 는 선분 BC에 대한 점 A의 대칭점이 중심이고 반지름의 길이가 ABC의 한 변의 길이와 같은 원을 나타낸다. 경험을 이용한 간편한 풀이 OA OO 이 되도록 점 O 오른쪽 그림과 같이 을 잡으면 APO 에서 중선정리에 의하여 AP PO AO PO 중선정리에 BPC에서 의하여 BP CP BO PO BP CP AP 이므로 이 때, BO PO AO PO PO PO AO BO AB BO BO NK-Math 279

151 AB BO AB BC AB AB BC PO AB BO CO 따라서 점 P 는 점 O 을 중심으로 하고, 두 점 B C를 지나는 원이다. 50. 정답 원의 중심 를 O 원 의 중심을 P, 원 O P 의 길이가 에서 O Q 로 일정하므로 의 반지름의 길이를 라 하고, 두 원의 접점을 라하면 O P PQ 의 길이가 최소가 된다. 점 P 이라 하면 최소일 때, O P O P 의 길이가 최소가 된다. 즉, 점 P 의 좌표가 일 때, P 이 때, 선분 O P 의 기울기는 이므로 접선의 방정식을 라 하면 공통접선의 기울기는 까지의 거리가 이므로 점 에서 직선, 이다. 따라서 접선의 절편의 좌표는 51. 정답 풀이과정 참고 오른쪽 그림과 같이 A B 원의 방정식을 점 P 이라 하면 ABP 의 무게 중심 G 의 좌표는, 을 에 대입하면 따라서 점 G 의 자취는 선분 AB의 중점과 원 의 중심을 잇는 선분을 로 내분하는 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 원 의 반지름의 길이의 이다. 52. 정답 280 NK-Math

152 이므로 직선 AB와 평행하면서 거리가 만큼 떨어진 점 A 과 점 B 을 밑변으로 하는 삼각형에서 밑변의 길이는 직선 위에 점 P 가 있으면 ABP 의 넓이는 이 된다. AB 와 평행하 따라서 오른쪽 그림과 같이 만큼 떨어진 직선은 개가 있으므로 두 직선이 원과 만나는 면서 점은 P P 의 개다. 53. 정답 개념을 이용한 풀이 오른쪽 그림과 같이 점 A 이라 하면 B C 또 원점을 지나는 직선의 방정식 을 이라 하면 AP BQ CR m AP BQ CR m 경험을 이용한 간편한 풀이 A, B C 이라하고 직선 을 축이라 하면, BQ, CR AP AP BQ CR 54. 정답 원 O 의 중심의 좌표를 라 하면 O 포물선 과 접하므로 연립하면 의 판별식 이므로 원 O 의 반지름의 길이를 라 하면 원 O 의 중심의 좌표가 이므로 원 O 이 포물선 NK-Math 281

153 과 접한다. 마찬가지로 연립하면 의 판별식 이므로 55. 정답 (1) (2) (1) 원과 접점을 T라 하고 라 하면 RT TQ, 점 R의 좌표는 이다. 또한 점 Q 에서 직선 에 내린 수선의 발을 S라 하면 RS 직각삼각형 RSQ 에서 즉, 이므로 이 때, 이므로 따라서 접선 PR의 기울기는 (2) 접선의 방정식을 라 하면 점 P 을 지나므로 따라서 직선의 방정식은 OT 56. 정답 원 를 표준형으로 고치면 즉, 원의 중심의 좌표가, 반지름의 길이는 이다. 이다. 이므로 두 원의 중심 사이의 거리는 한편 원 는 중심의 좌표가, 반지름의 길이는 (ⅰ) 두 원이 내접할 때 (반지름의 길이의 차)=(중심 사이의 거리)이므로 282 NK-Math

154 의 양변을 제곱하면 즉, 일 때, 일 때, 에서 이므로 만족하지 않는다. (ⅱ) 두 원이 외접할 때 (반지름의 길이의 합)=(중심 사이의 거리)이므로 의 양변을 제곱하면 즉, 일 때, 일 때, 에서 이므로 만족하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 의 값의 합은 57. 답. ③ 는 BC 에 수직( QP CQ CP 이고 C 이므로) BPQR은 원에 내접하므로 ( 원에 내접사각형의 대각의 합은 ) APQ 에서 A 이므로 AR BR AB AR 58. 정답] 라 하면 접선 의 방정식은 따라서 점 는 각각 이므로, 즉 또한 점 는 원 위의 점이므로, 에서 에서 이므로 경험을 이용한 간편한 풀이 NK-Math 283

155 직각삼각형 에서 라 하면 이므로 이므로 에서 에서 이므로 59. 정답] 접점의 좌표를 라 하면 접선의 방정식 은 점 을 지나므로 또한 점 은 원 위의 점이므로 을 에 대입하면 ± 오른쪽 그림과 같이 접점을 각각 라 하면 는 직각삼각형이므로 길이의 비에 의해 따라서 의 넓이는 따라서 부채꼴 의 넓이는 이므로 어두운 부분의 넓이는 60. 정답 ② 위의 동점 P 에서의 접선의 방정식은 이 직선과 원 이 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의 중심 에서 직선 까지의 거리가 반지름의 길이 보다 작아야 하므로 또 점 P 는 원 위의 점이므로 이를 에 대입하면 61. 정답 284 NK-Math

156 이르는 접선의 길이는 이므로 는 PB 원 에 PA 이고 점 P 에서 원 에 이르는 접선의 길이 PA PB 점 P 의 좌표를 라고 하 면 점 P 에서 따라서 구하는 도형의 방정식은 이다. 62. 정답 ② 직선과 원의 교점을 라고 하면 원 의 중점을 이라고 하면 둘레를 로 분할하므로 중심각은 이다. 가 되므로 이다. 즉 63. 정답 점 을 지나는 직선의 기울기를 이라고 하면 직선의 방정식은 과 같아야 하므로 이때 원의 중심 에서 직선 까지의 거리가 원의 반지름의 길이 이 에 관한 이차방정식의 두 근이 두 접선의 기울기 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 점 을 지나는 직선의 기울기를 이라고 하면 직선의 방정식은 에 을 대입하면 원과 직선이 접하므로 이 에 관한 이차방정식의 두 근이 두 접선의 기울기 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 64. 정답 ④ 축에 접하는 원의 중심을 라고 하면, 반지름의 길이는 이므로 원의 방정식은 NK-Math 285

157 을 지나므로 를 지나므로, 에서 를 소거하고 에 대하여 내림차순으로 정리하면 문제의 원이 단 개이므로 이 방정식은 단 개의 근을 가져야 한다. (ⅰ) 일 때, (ⅱ) 일 때, 에서 이므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 또는 따라서 모든 의 값의 합은 65. 정답 ① 중심이 인 원과 두 직선 이 접하므로 이를 정리하면 또는 이 원이 점 를 지나므로 중심은 제사분면에 있다. 따라서 이고 이때 반지름은 구하는 원의 방정식을 이라 하고 의 좌표를 대입하면 또는 따라서 작은 원의 중심은 일 때, 이므로 66. 정답 ① 오른쪽 그림과 같이 접선 AP 와 축이 이루는 각을 이등분하는 직선 중에서 기울기가 음수인 직선을 이라고 할 때, PQR가 PQ PR 인 이등변삼각형이 되려면 접선 QR가 에 수직이어야 한다. 원 위의 점 A 에서의 접선 와 축이 이루는 각을 이등분하는 직선 위의 동점을 S 라고 하면 따라서 직선 의 방정식은 이 중에서 기울기가 음인 직선은 이다. 한편 원 위의 점 B 에서 원 에 그은 접선의 방정식은, 이 수직이므로 B 는 원 위의 점이므로 286 NK-Math

158 , 에서 또는 67. 정답 도형 (단, 은 원의 윗부분을 나타내고 는 점 에서 꺾이는 직선을 나타낸다. 따라서 두 도형의 그래프는 다음과 같다. 두 도형이 개의 점에서 만나려면 의 꺾이는 점 가 다음 그림의 색칠한 영역에 있어야 한다. (단, 경계선 제외) AB 또는 OC 위에 있을 때 두 도형은 개의 점에서 만난다. 위 그림에서 점 가 A B O C 이므로 의 값의 범위는 또는 68. 정답 ⑤ ㄱ. 방정식 은 의 값에 관계없이 과 을 만족하는 해를 갖는다. 즉 의 값에 관계없이 두 도형 과 의 교점인 과 을 지난다. [참] ㄴ. 의 값이 어떤 실수로 주어져도 인 원은 나타낼 수 없다. [거짓] ㄷ. 도형 은 일 때에만 직선 을 나타내고, 일 때에는 항상 원을 나타낸다. [참] 69. 정답 ② 개의 점 A B C D 이라고 하면 AB 를 지름 으로 하는 원의 방정식은 이다. 이 원 위의 점을 P 라고 하자. (단, (다각형 ABDPC의 넓이) (사다리꼴 ABDC의 넓이) (삼각형 DPC 의 넓이) 이므로 다각형 ABDPC의 넓이는 DPC의 넓이가 최소일 때 최대가 된다. (사다리꼴 ABDC의 넓이) NK-Math 287

159 AC BD AB 직선 CD 의 방정식은 점 P 에서 직선 까지의 거리의 최솟값은 (원의 중심 O 에서 직선 까지의 거리) (원의 반지름의 길이) 이므로 DPC의 넓이의 최솟값은 CD, 에서 다각형 ABDPC의 넓이의 최댓값은 70. 정답 ③ 오른쪽 좌표평면에서 P C 이라 하고 주어진 원의 중 심을 라고 놓으면 점 P 의 자취의 방정식은 OQP OBC이므로 OP OC 즉, 이므로 에서 양변에 를 곱하면 따라서 점 C의 자취의 방정식은 이므로 반지름의 길이가 인 원이다. 71. 정답 ③ 임의의 실수 에 대하여 원 에 접하고 원점을 지나는 직선을 라고 하자. 원의 중심 에서 직선 까지의 거리는 원의 반지름의 길이 와 같으므로 양변을 제곱하여 정리하면 에 대한 항등식이므로 또는 288 NK-Math

160 따라서 구하는 두 직선은 이므로 기울기의 합은 72. 정답 AB 를 축과 원의 중심을 원점으로 하고, 평행하게 놓자. 이때 B 라고 하면 A C 가 된다. 두 점 A C는 원 위의 점이므로, 을 연립하여 풀면 또는 점 B 는 원의 내부의 점이므로 B OB [다른 풀이] 를 연장하여 현에서 AB BC AB OA 이므로 OB 73. 정답 또는 먼저 AB 의 길이를 구한다. 점 P 와 원점을 지나는 직선이 OC OD 이고 원과 만나는 두 점을 C D 라고 하자. OP 원의 성질에 의해 PA PB PC PD PB PB OC OP OD OP PB PA PB PB PA AB PA PB 직선 AB의 기울기를 이라고 하면 이 직선은 점 P 를 지나므로 즉 원점에서 직선 AB에 이르는 거리를 라고 하면 AB 이므로 NK-Math 289

161 또는 따라서 직선 AB의 방정식은 또는 74. 정답 ③ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분함을 이용한다. A B C D 라고 하면 AD BC 이므로 의 중점과 BC 의 중점이 같으므로 AD 에서 에서,, 을 변변 더하고 로 나누면 B C 는 원 위의 점이므로, 에서 D 의 자취의 방정식은 인 원이다. 즉, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 따라서 자취의 길이는 이다. [다른 풀이] OAD 와 OBC에서 중선정리를 각각 적용하면 OA OD OB OC 에서 OD 인 원이므로 구하는 자취의 길이는 따라서 점 D 의 자취는 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 OD OD 이다. 75. [정답] ① 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꾸면 이때, 두 직선 가 원 의 넓이를 등분하므로 두 직선 는 원의 중심 을 지나야 한다. 즉, 또한, 두 직선 가 수직이어야 하므로, 을 연립하여 풀면 76. [정답] ③ 290 NK-Math

162 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꾸면 이므로 중심의 좌표는 이고, 반지름의 길이는 이어야 하므로 이다. 이때, 이 원이 축과 만나려면 위의 부등식의 양변을 제곱하면 이어야 하므로 위의 부등식의 각 변을 제곱하면 또한, 이 원이 축과 만나지 않으려면, 에서 77. [정답] 오른쪽 그림과 같이 곡선 OA 를 포함하는 원이 축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 B 라 하면 점 B 의 좌표는 이다. 세 점 O A B 를 지나는 원의 방정식 에서 원의 중심의 좌표는 이고, 각 점에서 원의 중심까지의 거리가 모두 같으므로 에서 에서 이것을 에 대입하여 정리하면 이때, 원의 반지름의 길이는 원의 중심과 원점 사이의 거리이므로 [다른 풀이] 구하는 원의 방정식을 이라하자. 이 점 O 을 지나므로 이 점 A 를 지나므로 이 점 B 을 지나므로, 을 연립하여 풀면 즉, 이므로 이를 표준형으로 바꾸면 78. [정답] ⑤ 원의 방정식 를 표준형으로 바꾸면 이므로 중심의 좌표는 반지름의 길이는 이고, 이므로 한편, 원 의 중심의 좌표는 반지름의 길이는 이므로 주어진 두 원의 중심 사이의 거리는 이다. 이때, 두 원이 접하는 경우는 외접하는 경우와 내접하는 경우의 두 가지이다. ⅰ 두 원이 외접하는 경우 두 원의 반지름의 길이의 합은 두 원의 중심 사이의 거리와 같으므로 NK-Math 291

163 위의 식의 양변을 제곱하면 일 때, 이므로 일 때, 이므로 그런데 이것은 을 만족하지 않는다. ⅱ 두 원이 내접하는 경우 두 원의 반지름의 길이의 차는 두 원의 중심 사이의 거리와 같으므로 위의 식의 양변을 제곱하면 일 때, 이므로 일 때, 이므로 그런데 이것은 을 만족하지 않는다. ⅰ, ⅱ 에서 조건을 만족하는 의 값의 합은 79. [정답] 위의 그림과 같이 원 의 중심을 좌표평면의 원점, 선분 AB 를 축에 평행하게 원 를 좌표평면 위에 놓고, 점 A 의 좌표를 라 하면 이므로 원의 방정식은 AB BC 이므로 두 점 B C 는 B C 이다. 이때, 원의 반지름의 길이가 이고, 두 점 A C 는 원 위의 점이므로, 을 하면 292 NK-Math

164 을 에 대입하면 또는 즉, 또는 이때, 점 B 의 좌표는 또는 그런데 점 은 원의 내부의 점이 아니므로 조건을 만족시키는 점 B 의 좌표는 이다. OB 80. [정답] 오른쪽 그림과 같이 바닥을 축, 벽을 축이라 하고, 길이가 인 막대의 아래 끝과 위 끝의 좌표를 각각 라 하면 피타고라스의 정리에 의하여 이때, 두 점 의 중점 M의 좌표는 이므로 라 하면 을 에 대입하면 따라서 중점 M이 그리는 도형은 중심의 좌표가 이고, 반지름의 길이가 인 원의 일부이므로 구하는 자취의 길이는 81. ⑤ DC 를 포함하는 직선을 각각 축, 축이라 하는 좌표평면위에 오른쪽 그림과 같이 정사각형 ABCD 를 점 D 를 원점, AD 나타내고, 점 P 의 좌표를 라 하면 PA PB PC 이때, 이므로 따라서 주어진 조건을 만족하는 점 P 의 자취의 방정식은 이므로 오른쪽 그림과 같이 점 P 와 점 D 사이의 거리의 최댓값은 이다. 82. [정답] 원 이 축에 접하므로 중심의 좌표를 원 가 축에 접하므로 중심의 좌표를 라 하자. 이때, 두 원 가 외접하므로 두 원의 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 길이의 합과 같다. 즉, 위의 식의 양변을 제곱하면 NK-Math 293

165 한편, 접점 P 는 두 원 의 중심을 이은 선분의 중점이므로 점 P 의 좌표를 라 하면 을 에 대입하면 따라서 점 P 가 나타내는 도형은 오른쪽 그림과 같이 중심의 좌표가 이고, 반지름의 길이가 인 원의 일부이므로 구하는 도형의 길이는 83. [정답] ② 즉 에서 직선 은 의 값에 관계없이 항상 점 을 지난다. 즉 에서 직선 는 의 값에 관계없이 항상 점 를 지난다. 또한, 두 직선 의 기울기의 곱은 이므로 두 직선 는 수직이다. 따라서 두 직선 의 교점 P 의 자취는 오른쪽 그림과 같이 두 점 를 지름의 양끝으로 하는 원이다. 인 원이므로 점 P 의 자취의 즉, 중심의 좌표가 즉 이고, 반지름의 길이가 방정식은 ㄱ. 에 을 대입하면 성립하므로 점 P 의 자취는 원점을지 나다. (참) ㄴ. 직선 은 직선 는 가 될 수 없으므로 점 P 의 자취는 두 직선 의 교점 를 지나지 않는다. (참) ㄷ. 원 의 반지름의 길이가 이므로 점 P 의 자취의 길이는 이다. (거짓) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 84. [정답] 두 원 의 교점을 지나는 직선의 방정식은 이때, 직선 이 원 의 중심 을 지날 때, 공통현의 길이가 최대가 되므로 85. [정답] ① 원의 둘레를 이등분하려면 주어진 두 원의 교점을 지나는 직선이 원 즉 의 중심 를 지나야 한다. 이때, 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 이 점 를 지나야 하므로 따라서 구하는 모든 의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이다. 294 NK-Math

166 86. [정답] ④ 원 와 직선 의 교점을 지나는 원 중에서 그 넓이가 최소인 원의 넓이는 이므로 이 원의 지름의 길이는 이고 이것은 원 의 현의 길이이다. 따라서, 원 의 중심 과 직선 사이의 거리는 위의 식의 양변을 제곱하면 87. [정답] 두 점 A B 을 지나는 직선의 방정식은 이때, 원 의 중심 와 직선 사이의 거리는 오른쪽 그림과 같이 원 위의 점 P 와 직선 AB사이의 거리는 점 P 의 위치에 있을 때 최댓값 점 의 위치에 있을 때 최솟값 를 갖고, AB 이므로 ABP 의 넓이의 최댓값 과 최솟값 은 각각 88. [정답] 직선 가 이차함수 의 그래프에 접하므로 이차방정식 의 판별식을 라 하면 한편, 직선 가 원 에 접하므로 원의 중심 과 직선 사 이의 거리는 원의 반지름의 길이인 과 같다. 즉 이므로 위의 식의 양변을 제곱하면, 에서 이것을 에 대입하면 89. [정답] ⑤ 점 을 지나는 원 의 현의 길이를 이라 하면 오른쪽 그림과 같이 ⅰ 점 을 지나는 현의 길이의 최댓값은 현과 원의 지름이 일치할 때이므로 ⅱ 점 을 지나는 현의 길이의 최솟값은 현이 축과 수직일 때이므로 ⅰ, ⅱ 에서 따라서 자연수 은 으로 현의 길이가 자연수인 것은 오른쪽 그림과 같이 개다. NK-Math 295

167 90. [정답] ③ 제 사분면에 있는 원 의 중심의 좌표를 라 하면 원 는 축에 접하므로 직선 위에 있으므로 을 에 대입하면 원의 중심 는 이때, 축에 의하여 잘린 원 의 현은 일 때 이므로 에 을 대입하면 에 대한 이차방정식 의 서로 다른 두 근을 라 하면 잘린 현의 길이가 이므로 이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이므로 따라서 원 의 반지름의 길이는 이다. 91. [정답] 인 직선과 원 의 두 교점을 A B 라 하자. 직선 AB 의 기울기를 이라 하면 직선 AB 는 점 점 P 를 지나고 현의 길이가 AM BM 이므로 P 를 항상 지나므로 이때, AB OB 이고, 점 O 에서 현 AB 에 내린 수선의 발을 M 이라 하면 위의 식의 양변을 제곱하 원의 중심 과 직선 사이의 거리는 면 또는 따라서 조건을 만족하는 두 직선의 기울기의 합은 이므로 92. [정답] 직선 은 값의 관계없이 항상 점 을 지나므로 서로 다른 개의 교점을 가질 때는 오른쪽 그림의 ⅰ 과 ⅱ 사이의 직선인 경우이다. ⅰ 의 경우 기울기는 이고, ⅱ 의 경우는 직선, 즉 과 원 이 접할 때이므로 원의 중심 과 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 과 같다. 즉, 위의 식의 양변을 제곱하면 296 NK-Math

168 이때, 이므로 따라서 조건을 만족하는 상수 의 값의 범위는 93. [정답] 두 원 의 중심을 각각 A B 두 원의 공통내접선과 축의 교점을 C 점 B 에서 축에 내린 수선의 발을 P 라 하자. AOC BPC 이고, 두 점 A B 에 대하여 AO BP 이므로 OC OP C 이때, 공통내접선의 기울기를 이라 하면 이 직선은 점 C 를 지나므로 방정식은 이고, 점 A 와 공통내접선 사이의 거리는 원 의 반지름의 길이인 와 같으므로 위의 식의 양변을 제곱하면 94. [정답] ④ 오른쪽 그림과 같이 원 과 제사분면에서 접하고 원점을 지나는 직선의 기울기가 이므로 방정식을 라 하면 원의 중심 과 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 이므로 위의 식의 양변을 제곱하면 95. [정답] ② 원의 방정식 을 표준형으로 바꾸면 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C라 하면 C 이므로 CP CA CB 이므로 ACP 에서 피타고라스의 정리에 의하여 NK-Math 297

169 AP CP CA 따라서 삼각형 CAP 의 넓이는 AB 이므로 AB (다른풀이) 원 위의 접점 A의 좌표를 이라 하면 접선의 방정식은 이 직선은 점 P 을 지나므로 또한, 점 A는 원 위의 점이므로 위의 식에 을 대입하여 정리하면 ± A B 96. [정답] OA 이므로 삼각형 오른쪽 그림과 같이 원 의 중심을 O 이라 하면 OB OAB에서 피타고라스의 정리에 의하여 AB OA 또한, 두 삼각형 OAB O AC에서 OBA O CA OAB O AC이므로 OAB O AC (AA닮음) 즉, OB O C AB AC 이므로 AC AC AC BC AB AC 97. [정답] 오른쪽 그림과 같이 두 원 의 중심을 각각 A B라 하고, 점P 에서 두 PT 이므로 PT PT 이때, 원에 그은 접선의 접점을 각각 T T 이라 하면 PT PT AP AT PT PB BT 이므로 AP PB 따라서, 점P 의 좌표를 라 하면 98. [정답] (1) (2) (3) (1) 점 A 에서 원 의에 그은 접선의 방정식을, 즉 이라 하면 위의 직선과 원 의 위의 식의 과 같으므로 중심 사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 양변을 제곱하여 정리하면 또는 따라서 구하는 접선의 방정식은 (2) 원 과 직선 의 접점을 P 라 하면 에서 298 NK-Math P 또한, 원 과 직선 의 접점을 Q 라 하면 에서

170 Q (3) 두 접점 P Q 를 지나는 직선의 방정식은 99. [정답] 오른쪽 그림과 같이 주어진 원의 중심을 좌표평면 위의 원점에 놓으면 반지름의 길이가 이므로 원의 방정식은 이고, 원의 중심에서 만큼 떨어져 있는 직선 을 축에 평행하게 놓으면 직선 의 방정식은 이다. 이때, 직선 위에 있는 임의의 한 점 P 의 좌표를 라 하고, 점 P 에서 원에 그은 두 접선의 접점 A B 를 A B 라 하면 접선의 방정식은, 두 접선이 모두 점 P 를 지나므로, 즉, 직선 은 두 점 A B 를 지나고, 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 직선 AB 의 방정식은 이다. 따라서 직선 AB 는 의 값에 관계없이 항상 점 Q 을 지나므로 원의 중심과 점 Q 사이의 거리는 이다 [정답] 기울기가 이고, 원 에 접하는 접선 중에서 위쪽에 있는 접선의 방정식은 기울기가 이고, 원 에 접하는 접선 중에서 아래쪽에 있는 접선의 방정식은 `````` 이때, 원 가 주어진 두 원 사이를 어느 원과도 만나지 않으면서 통과하려면, 사이의 거리가 보다 커야 한다. 즉, 직선 위의 한 점 과 직선, 즉 사이의 거리가 보다 커야하므로 또는 ⅰ 에서 이때, 두 원, 의 중심 을 지나는 직선의 기울기가 이므로 의 값이 보다 작아야 한다. 즉, 의 좌변이 음수가 되므로 부등식 이 성립하는 의 값은 존재하지 않는다. ⅱ 에서 위의 부등식의 양변을 제곱하면 NK-Math 299

171 ⅰ, ⅱ 에서 101. [정답] 두 점 P Q 를 P Q 라 하면 두 점은 직선 위의 점이므로 이다. 이때, 는 이차방정식, 즉 의 두 근이므로 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식을 라 할 때 에서 또한, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 따라서 선분 PQ 의 중점 M 의 좌표를 라 하면 이고, 에서 이므로 에서 이것을 에 대입하면 이므로 즉, 점 M 의 자취는 중심의 좌표가 이고, 반지름의 길이가 을 지나고, 이 두 점을 지나는 직선은 원의 중심 인 원의 제 사분면의 부분이다. 이 원은 두 점 을 지나므로 구하는 자취의 길이는 102. [정답] 원 과 직선 의 교점의 좌표는 에서 또는 300 NK-Math

172 즉, 두 교점의 좌표는 이므로 이 두 교점을 지나고 축에 접하는 원의 중심은 직선 위에 있다. 따라서 구하는 원의 반지름의 길이를 이라 하면 원의 중심의 좌표가 이므로 원의 방정식은 이고, 원 과의 교점을 지나는 직선의 방정식이 이어야 한다. 원의 방정식 을 일반형으로 바꾸면 이므로 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 이것이 과 같아야 하므로 따라서 구하는 원의 지름의 길이는 <<도형의 이동>> NK-Math 301

173 1. 정답 점 A 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 이때 원점을 지나는 직선 의 방정식을 라 하면 이 직선이 을 지나므로 따라서 직선 의 방정식은 2. 정답 ③ 점 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점의 좌표는 이다. 따라서 이므로 3. 정답 점 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 점 로 옮겨지므로 를 이 평행이동에 의하여 이동한 점의 좌표는 따라서, 이므로 4. 정답 ① 점 P 의 좌표를 라 하면 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우 : 뒷면이 나오는 경우 : 앞면이 회 나오고 뒷면이 회 나오면 즉, 이므로 을 대입하면 점 Q 의 좌표는 따라서 선분 PQ 의 길이는 PQ 5. 정답 평행이동, 에서 점 를 점 으로 이동시키는 평행이동을 라 하면 따라서 에서,, 즉 (ⅰ) 에서 302 NK-Math

174 또는 (ⅱ) 에서 또는 (ⅰ),(ⅱ)에서 6. 정답 ④ 직선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선의 방정식은 이 직선 과 일치하므로 두 식을 연립하여 풀면 7. 정답 포물선 의 꼭짓점의 좌표는 이고, 포물선 의 꼭짓점의 좌표는 이다. 즉, 점 를 점 로 옮기려면 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하여야 한다. 따라서 방정식 에서 대신, 대신 를 대입하면 8. 정답 ③ 직선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선의 방정식은 이 직선 과 축 위에서 수직으로 만나므로 의 기울기는 이고, 절편은 이다. 따라서 이므로 9. 정답 평행이동 은 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 포물선 에 대신, 대신 을 대입하면, NK-Math 303

175 이 포물선이 직선 에 접하므로 를 포물선의 방정식에 대입하여 정리하면 포물선과 직선이 접하므로 10. 정답 직선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선의 방정식은 즉, 이므로 직선 위의 한 점 에서 직선 까지의 거리가 에서 ± 그런데 이므로 11. 정답 ⑤ 에서 이원의 중심의 좌표는 이고 반지름의 길이는 이다. 한편 에서 이원의 중심의 좌표는 이고 반지름의 길이는 이다. 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 원의 중심은 길이는 이다. 그런데 이 원과 원 가 외접하려면 두 원의 중심 이고 반지름의 와 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의 합 과 같아야 하므로 에서 ± 또는 따라서 구하는 의 값의 합은 이다. [참고] 두 원 와 의 304 NK-Math 중심거리를, 원, 의 반지름의 길이를 각각 이라 할 때, 두 원이 외접한다.

176 12. 정답 ④ 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은 이고, 이다. 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은 이 때, 이므로 의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. (ⅰ) 점 A 는 두 직선 의 교점 이므로 에서 따라서 점 A 의 좌표는 (ⅱ) 점 B 는 두 직선 의 교점이므로 에서 따라서 점 B 의 좌표는 (ⅰ), (ⅱ)에서 선분 AB 의 중점의 좌표가 이므로 13. 정답 ② 원 의 중심 는 주어진 평행이동에 의하여 점 로 옮겨지므로 14. 정답 원 에서 원 에서, 에서 두 원, 의 중심의 좌표가 각각, 이므로 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 와 겹쳐진다. 따라서 이므로 15. 정답 NK-Math 305

177 에서 원의 중심 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 따라서 이므로 이 때, 평행이동하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 16. 정답 반원 ( )를 축의 방향으로 평행이동하면 반원 ( )과 일치하므로 구하는 도형의 넓이는 오른쪽 그림과 같이 가로의 길이가, 세로의 길이가 인 직사각 형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 넓이는 17. 정답 원 의 중심 이 원 의 중심 으로 옮겨지므로 주어진 평행이동은 직선 을 위의 평행이동에 의하여 이동한 직선의 방정식은 따라서 이므로 18. 정답 점 A 를 축에 대하여 대칭이동하면 A 점 B 을 축에 대하여 대칭이동하면 B A B 19. 정답 ① 점 P 의 좌표를 라 하면 점 P 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점의 좌표는 이고, 이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 이므로 따라서 구하는 점 P 의 좌표는 이다. 20. 정답 ⑤ 306 NK-Math

178 오른쪽 그림과 같이 점 A 를 직선 에 대하여 AP BP A P BP A B A B 대칭이동한 점을 A 이라 하면 A 이므로 AP BP 의 최솟값은 따라서 21. 정답 ① 점 에서 이므로 (나)에 의하여 점 로 이동한다. 다시, 점 에서 이므로 (다)에 의하여 점 로 이동한다. 마찬가지 이유로 (다)에 의하여 점 로 이동하고, 또 같은 이유로 (다)에 의하여 점 으로 이동한다. 그런데 점 에서 이므로 (가)에 의하여 더 이상 이동하지 않는다. 따라서 이동한 횟수는 이다. 22. 정답 ② 지점 로부터 오른쪽으로 떨어 진 지점 에 정거장을 만든다고 하자. 오른쪽 그림과 같이 지점 를 원점으로 하고 직선 를 축으 점 와 정거장까지의 거리의 합은 로 하는 좌표평면을 도입하여, 이라 하면 두 이다. 한편, 점 를 축에 대하여 대칭이동한 점을 이라 때, 이고, 의 최솟값은 세 점 이 일직선 위에 있을 때이 다. 직선 의 방정식은 이므로 직선 의 절편 할 을 구하면 에 서 따라서 에서 오른쪽으로 떨어 진 지점에 정거장을 만들어야 한다. 23. 정답 점 을 지나는 직선의 기울기를 이라 하면 이 직선을 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 다시 이 직선을 축에 대하여 대칭이동하면 이 직선이 점 을 지나므로 24. 정답 에서 이므로 원의 중심 을 평행이동 에 의하여 이동하면 이때 평행이동하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 이 원을 다시 축에 대하여 대칭이동하면 NK-Math 307

179 25. 정답 원 이 직선 에 대하여 대칭이므로 원 의 중심은 직선 위에 있다. 즉, 에서 이므로 이므로 이고 두 원, 의 중심거리가, ( ) 26. 정답 원 을 원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 즉 이 원의 중심의 좌표는 이다. 이므로 이 원의 중심 와 원점과의 거리가, 한편, 점 는 직선 위에 있으므로 이므로 27. 정답 에서 즉, 대칭이동한 원의 중심이 원점이므로 두 원, 이 직선 에 대하여 대칭이 므로 오른쪽 그림에서 직선 은 두 원의 공통현을 포함하는 직선이 다. 두 원 의 공통형의 방정식은 28. 정답 308 NK-Math

180 에서 이므로 원의 중심은 P 이고 반지름의 길이는 이다. 따라서 원의 중심 P 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 Q 라 하면 PQ 이므로 (ⅰ) PQ 의 중점 M 가 직선 위의 점이므로 (ⅱ), 을 연립하여 풀면, 따라서 구하는 도형은 중심의 좌표가 Q 이고 반지름의 길이가 인 원이므로 그 방정식은 29. 정답 ④ 두 원 의 중심 가 직선 에 대하여 대칭이다. 따라서 두 점을 이은 선분의 중점 가 직선 위의 점이므로 또, 두 점 를 지나는 직선이 직선 과 수직이므로, 을 연립하여 풀면 30. 정답 ⑤ 의 중점 가 직선 위에 있으므로 점 A 와 직선 에 대하여 대칭인 점을 A 라 하면 AA AA 과 직선 은 서로 수직이므로 또,, 에 의하여 이므로 점 A 의 좌표는 이므로 이고, AP BP A P BP A B AP BP 의 최솟값은 A B 따라서 ~ 에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은 이다. 31. 정답 ① 두 원의 공통현의 방정식은, 즉 에서 NK-Math 309

181 원 의 중심 을 두 원의 공통현에 대하여 대칭이동한 점을 라 하면 두 점을 이은 선분의 중점 가 공통현 위의 점이므로 또, 두 점을 지나는 직선이 직선 과 수직이므로 한편, 가 원 위의 점이므로 을 에 대입하면 을 에 대입하면, 에서 이므로 ± 이 때, 이므로 에서 이를 에 대입하면 따라서 이므로 32. 정답 직선 를 직선 에 대하여 대칭이동한 직선의 절편, 절편은 각각 직선 의 절편, 절편이다. 그러므로 직선 의 축, 축과의 교점은 각각, 이므로 직선 의 기울기 이고 절편 이다. 33. 정답 ④ 이 때, 집합 이 나타내는 곡선은 원 을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 원이고, 집합 이 나타내는 곡선은 원 을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 원이다. 즉, 는 두 원 을 나타낸다. 두 원의 중심거리는 길이는 모두 이므로 한 원이 다른 원의 외부에 있다. 따라서 임의의 두 점 사이의 거리의 최댓값은 34. 정답 ④ 원 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 310 NK-Math 이고, 두 원의 반지름의

182 오른쪽 그림과 같이 두 원, 의 공통현을 지나는 직선이 원 의 중심을 지날 때, 원 가 원 의 둘레의 길이를 이등 분한다. 공통현의 방정식은 이 공통현의 방정식이 점 을 지나야 하므로 35. 정답 ④ 오른쪽 그림과 같이 점 A 를 직선 에 대하여 대칭 이동한 점을 A 이라 하면 점 A 의 좌표는 이고, AP BP A P BP A B BP 의 최솟값은 A B 이다. 에서 AP 이때 점 P 는 직선 A B 와 직선 의 교점이고, 직 선 A B 의 방정식은, 즉 이므로 에서, 즉, 점 P 의 좌표는 BPC 에서 BC 의 길이는 점 B 와 직선 사이의 거리이므로 BC 이므로 BP 또, 직각삼각형 BPC 에서 BPC PC 36. 정답 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은 이를 축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 일 때, 의 최댓값은 이므로 37. 정답 직선 을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은, NK-Math 311

183 이 직선이 원 에 접하므로 원의 중심, 즉 과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야 한다., ± 이므로 38. 정답 ① 두 직선, 가 직선 에 대하여 대칭이므로 OA OD, OB OC OC 라 하면 또, 원점 O 가 선분 AC 를 로 내분하는 점이므로 OA ADCB 에서 ADCB, ( ) 따라서 A, B, C, D 이므로 두 직선의 방정식은, 즉,, 이므로,,, 39. 정답 ③ 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 에서 도형 을 직선 에 대하여 대칭이동한 도형은 이므로 포물선 을 직선 에 대하 여 대칭이동한 곡선은 40. 정답 ① ① 집합 는 집합 의 원을 집 합 의 원소만큼 평행이동한 원들이다. 따라서 도형의 모양은 오른쪽 그림과 같다. ② 집합 는 집합 의 원을 집 합 의 원소만큼 평행이동한 개의 원이다. ③ 집합 는 집합 의 원을 집 합 의 원소만큼 평행이동한 개의 원이다. ④ 집합 는 집합 의 사각형을 집합 의 원소만큼 평행이동한 개의 사각형이다. ⑤ 집합 는 집합 의 사각형을 집합 의 원소만큼 평행이동한 개의 사각형이다. 312 NK-Math

184 41. 정답 ③ 주어진 문제의 그림에서 강과 숲이 만나 는 점을 원점, 강의 경계를 축, 숲의 경계를 등학이의 집을 점 라고 하자. 이 때, 점 를 축 과 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 점 이라고 하면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 최단경 의 길이와 같 것이고, 이 거리 는 로는 점 에서 두 점 을 잇는 선분 위의 점 를 지나는 으므로 구하는 최단거리는 42. 정답 라고 하면 점 가 직선 에 대하여 원점 와 대칭이므로 을 에 대입하면 타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점 가 존재하는 영역의 넓이는 을 만족하는 영역을 좌표평면에 나 43. [정답] 포물선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 이것은 과 같으므로,, 즉, 주어진 평행이동은 이므로 직선 을 주어진 평행이동에 의하여 옮긴 직선 의 방정식은 두 직선, 사이의 거리 는 직선 위의 점 과 직선 사이의 거리와 같으므로 NK-Math 313

185 44. [정답] ② 평행이동 는 점 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 옮기는 것이므로 이 평행이동에 의하여 직선 이 옮겨지는 직선의 방정식은 이것은 과 같으므로, 위의 평행이동에 의하여 원 가 옮겨지는 원의 방정식은 따라서,, 이므로 45. [정답] ③ 점 을 점 로 옮기기 위해서는 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 되므로 주어진 평행이동 은 이다. 위의 평행이동에 의하여 직선 이 옮겨진 직선 의 방정식은 한편, 주어진 두 원의 방정식을 표준형으로 바꾸면 에서 에서 두 원의 중심의 좌표는 각각, 이고, 직선 이 두 원의 넓이를 동시에 이등분하기 위해서는 두 원의 중심을 동시에 지나야 하므로 에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 에서, 에서 46. [정답] 조건 (가)에 의하여 이고 조건 (나)에 의하여 복소수 는 순허수이므로 이고 또는 그런데 이므로, 를 연립하여 풀면, 위의 평행이동에 의하여 원 이 옮겨진 원의 방정식은 원 이 축에 의하여 잘리는 현의 길이는 원 과 축이 만나는 두 점 사이의 거리와 같으므로 에 을 대입하면 314 NK-Math

186 , ± 또는 따라서 구하는 현의 길이는 이다. 47. [정답] ④ 직선 을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 이것을 다시 직선 에 대하여 대칭이동한 직선 의 방정식은 따라서 직선 는 오른쪽 그림과 같으므로 축, 축 및 직선 로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 48. [정답] ② 점 P 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점은 Q 이고, 두 점 P Q 에서 축에 내린 수선의 발은 각각 P, Q 이므로 PP, QQ PP QQ 로 놓으면 ± 에서 ± 이므로 직선 ± 가 원에 접할 때 k의 값은 최대이다. 이때, 원 의 중심 와 직선 ± 사이의 거리는 원의 반지름의 길이와 같으므로 ±, 이다. PP QQ 의 최댓값은 따라서 49. [정답] ② 점 C는 포물선 위의 점이므로 점 C의 좌표를 라 하면 C 사각형 ABCD 가 정사각형이고, 두 점 B D 가 직선 위의 점이므로 B, D 점 A는 점 C와 직선 에 대하여 대칭이므로 A 점 A가 포물선 위의 점이므로, 그런데 두점 B D 는 서로 다른 점이므로 에서 즉, 에서 이므로 따라서 정사각형 ABCD 의 한변의 길이는 AB NK-Math 315

187 50. [정답] 원 를 축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 이것을 다시 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 두 원 에 동시에 접하는 접선이 개이려면 오른쪽 그림과 같이 두 원이 서로 외접해야 한다. 즉, 두 원의 중심 와 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의 합과 같아야 하므로 에서 위의 식의 양변을 제곱하면 51. [정답] 직선 이 점 A 을 지나므로 직선 의 기울기를 이라 하면 직선 을 점 에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 이것을 다시 축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 직선 가 점 A 을 지나므로, 따라서 직선 의 방정식은, 즉 이다. 52. [정답] 포물선 을 점 에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 이때, 포물선 은 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 이므로 축과 만나지 않으려면 따라서 구하는 정수 의 최댓값은 이다. [다른 풀이] 포물선 을 점 에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 위의 포물선이 축과 만나지 않으려면 이차방정식, 즉 의 판별 식을 라 할때, 에서 316 NK-Math

188 따라서 구하는 정수 의 최댓값은 이다. 53. [정답] ㄱ. 점 A 의 점 P 에 대한 대칭점 B의 좌표를 라 하면 선분 AB의 중점이 P 이므로,, 즉, 점 B의 좌표는 이다. (참) ㄴ. 선분 AB의 길이가 최대가 되려면 두 점 A, P 사이의 거리가 최대가 되어야 하므로 점 P 는 점 A를 지나는 원의 지름의 양 끝점 중에서 점 A와 먼 곳에 있어야 한다. 이때, 점 A 에 대하여 OA OP 이므로 선분 AB의 길이의 최댓값은 AB AP (참) ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나는 원의 지름의 양 끝점을 각각 P, P 이라 할 때, 선분 AB의 길이가 최대일 때의 점 P 의 위치는 P, 최소일 때의 점 P 의 위치는 P 이다. 이라 하면 이때, 점 A의 두 점 P, P 에 대한 각각의 대칭점을 B B 이라 하고, OA AB, AB 따라서 선분 AB의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은 항상 AB 로 일정하다. (참) AB 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 54. [정답] 직선 위의 한 점 A 을 잡고 점 A의 직선 에 대한 대칭점을 B 라 하면 (ⅰ) 선분 AB의 중점 은 직선 위에 있으므로 (ⅱ) 직선 AB가 직선 과 수직이므로,, 을 연립하여 풀면, B 한편, 두 직선, 의 교점을 P 라 하고, 두 방정식을 연립하여 풀면 직선 에 대하여 직선 과 대칭인 직선은 두 점 B P 를 지나므로 구하는 직선의 방정식은 55. [정답] 17 NK-Math 317

189 원의 방정식 을 표준형으로 바꾸면 위의 원과 원 의 중심을 각각 라 하면 이고, 점하면 의 직선 에 대한 대칭점은 이다. (ⅰ) 선분 의 중심 는 직선 위에 있으므로 (ⅱ) 직선 의 직선 는 수직이므로 을 에 대입하면 한편, 대칭이동하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 56. [정답] ② 두 점 가 포물선 위에, 있으므로 또한, 두 점 가 직선 에 대하여 대칭이므로 직선 는 직선, 즉 과 수직이다. 즉, 직선 의 기울기가 이므로 57. [정답] 포물선 위의 서로 다른 두 점을 라 하면 을 하면 또한, 두 점 는 직선 에 대하여 대칭이므로 직선 는 직선 과 수직이다. 즉, 에서 이것을 에 대입하면 이므로 한편, 을 하면 이고, 선분 의 중점 가 직선 위에 있으므로 에서 즉, 이므로 위의 식에 을 대입하면, 에 서 따라서 두 점 사이의 거리는 58. [정답] ④ 오른쪽 그림과 같이 벽면과 바닥이 만나는 점 을 원점으로 하고 바닥을 축, 벽면을 축으로 하여 주어진 그림을 좌표평면 위에 나타내면 이고, 거 울이 벽면과 만나는 점은, 바닥과 만나는 점은 이므로 거울을 포함 하는 직선의 방정식은 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 라 하면 빛은 서 출발하여 거울에 반사된 후 점 까지 움직인 거리는 점 에서 출발하여 의 (ⅰ) 선분 중점 점 항상 최단거리로 움직이므로 빛이 점 에 점 까지 움직인 거리와 같다. 가 직선 위에 수직이므로 있으므로 따라서 빛이 움직인 거리는 318 NK-Math (ⅱ) 선분 이 직선 과, 을 연립하여 풀면

190 59. [정답] ⑤ 오른쪽 그림과 같이 지점 를 좌표평면 위의 원점, 직선도로 을 축으로 정하면 직선도로 은 직선, 정류소 의 좌표는 이다. 또한, 점 를 축에 대하여 대칭이동한 점을 라하면 점 의 좌표는 이고, 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 라 하면 점 의 이므로 좌표는 이다. 이때, 만들려고 하는 도로의 길이의 최솟값은 이고, 두 점 가 직선 위에 있을 때 최소이다. 을 지나는 직선의 방정식은 두점 이때, 직선 와 축과의 교점은 이고, 직선 와의 교점은 이다. 따라서 두 정류소 와 사이의 거리는 ⑴ 원 의 중심의 좌표를 라 하면 원 의 중심 과 점 는 직선 에 대하여 대칭이다. (ⅰ) 두 점, 를 연결한 선분의 중점 가 직선 위에 있으므로 60. [정답] ⑴ ⑵ 직선이 직선 과 수직이므로 (ⅱ) 두 점, 를 지나는, 을 연립하여 풀면 따라서 원 의 중심의 좌표가 이고, 대칭이동하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 원 의 방정식은 ⑵ 원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 원의 방정식은 이 원의 중심의 좌표는 이고, 반지름의 길이가 이므로 이 원이 제 1사분면에서 축과 축에 동시에 접하기 위해서는 61. [정답] 원 의 방정식 을 표준형으로 바꾸면 점 에 대하여 서로 대칭인 두 도형 과 가 외접하려면 점 는 접점 이어야 하고, 원점 와 점 사이의 거리의 제곱인 의 값이 최대가 되려면 점 는 오른쪽 그림과 같이 원점 와 원 의 중심인 를 지나는 직선이 원 과 만나는 점 중에서 원점 와 먼 곳에 있어야 한 다. 따라서 구하는 의 최댓값은 62. [정답] 중심의 좌표가 이고, 반지름의 길이가 1인 원 의 방정식은 축에 대하여 대칭이동한 원 의 방정식은 원 을 따라서 구하는 공통부분의 넓이의 합은 다음 그림에서 어두운 부분의 넓이의 합과 같다. 이때, NK-Math 319

191 어두운 부분의 넓이의 합을 라 하면 는 반지름의 길이가 1이고, 중심각의 크기가 인 부채꼴의 넓이에서 밑변의 길이가 이고 높이가 인 직각삼각형의 넓이를 뺀 것의 배와 같으므로 63. [정답] 원 을 직선 에 대하여 대칭이동한 원을 이라 하자. 두 원 의 교점이 2개이려면 오른쪽 그림과 같아야 (ⅰ) 일치하는 점이 2개인 경우 하므로 만족하는 직선 은,,, 의 4개이다. (ⅱ) 일치하는 점이 3개 이상인 경우 두 원 의 교점이 3개 이상이면 두 원 은 일치해야 하므로 만족하는 직선 은 의 4개이다. 조건을 만족하는 직선 의 개수는 (개) (ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 64. [정답] 사각형 은 평행사변형이므로 오른쪽 그림과 같이 점 을 잡으면 따라서 의 둘레의 길이와 같다. 의 값이 최소가 되면 와 은 고정된 길이이므로 이때, 의 둘레의 길이도 최소가 된다. 점 의 직선 에 대한 대칭점을 라 하면 점 의 좌표는 이므로 최솟값은 그러므로 의 둘레의 길이의 의 값은 원점과 65. [정답] 세 점 사이의 각각의 거리의 합과 같고, 세 점 를 각각 라 하자. 점 를 축의 방향으로 3만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점 를 이라 하면 이다. 5만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점 를 이라 하면 이다. 최솟값은 선분 의 길이이고, 이므로 1. 정답 : ② 에 대하여 이므로, 집합 일 때, ⅰ) 320 NK-Math 또한, 점 을 축의 방향으로 따라서 구하는