Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수1_기하과 벡터- part1.hwp

Transcription

1 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 1 ] 1. 답 5 정류장 에 번, 번이 정차하므로 정류장 에 번, 번이 정차하므로 정류장 에 번이 정차하므로 2. 답 두 원 를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 어두운 부분과 같으므로 구하는 영역의 넓이는 4. 답 이므로 이때, 에서 이므로 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 따라서, 행렬 의 모든 성분의 합은 5. 답 조건 (가)에서 ᄀ 두 의 중심거리는 이고, 두 원의 반지름의 길이의 합은 이므로 교점의 개수는 개 다. 두 원 의 중심거리는 이고, 두 원의 반지름의 길이의 합은 이므로 교점의 개수는 개 다. 두 원 의 중심거리는 이고, 두 원의 반지름의 길이의 합은 이므로 교점의 개수는 개 다. 두 원 의 중심거리는 이고, 두 원의 반지름의 길이의 합은 이므로 교점의 개수는 개 다. 따라서, 구하는 행렬 의 모든 성분의 합은 3. 답 5 에서 이므로 ᄀ 따라서, ᄀ을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림의 원 ᄀ을 조건 (나)에 대입하면 에서 (다)) 6. 답 즉, 자연수 에 대하여 에 대하여 따라서, 행렬 의 성분은 이다. 7. 답 4 ㄱ. [반례] 이면 이지만 ㄴ. 에서 이때, 이므로 참 ㄷ. 에서 이므로

2 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 참 8. 답 이므로 11. 답 3 에서 에 대신 를 차례대로 대입하면 (주어진 식) 9. 답 에서 이므로 이때, 이므로 이때, 이므로 따라서, 구하는 모든 성분의 합은 10. 답 3 에서 이고 또한, 의 양변에 을 곱하면 ᄀ 의 양변의 왼쪽에 를 곱하면 에서 즉, ᄂ ᄀ ᄂ 12. 답 따라서, 이므로 13. 답 에서 가 이 방정식의 한 허근이므로 에서

3 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 (는 자연수) 14. 답 1 ㄱ. 에서 참 ㄴ. [반례] 이면 에서 이지만 이고 이다. 거짓 ㄷ. [반례] 에서 이면 이고, 이지만 이므로 이다. 거짓 15. 답 의 양변의 오른쪽에 행렬 를 곱하면 이때, 를 위의 식에 대입하면 에서 16. 답 1 이 성립할 필요충분조건은 이다. 에서 이므로 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 따라서, 사이의 관계를 그래프로 나타내면 중심이 이 고, 반지름의 길이가 인 원이다. 17. 답 1 ㄱ. 에서 참 ㄴ. [반례] 거짓 이면 이지만 이다. ㄷ. [반례] 이면 거짓 18. 답 행렬 이므로 이지만 이다. 에서 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 는 실수) 19. 답 행렬 에서 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 ᄀ ᄀ의 양변에 를 곱하면 따라서, 구하는 모든 성분의 합은 20. 답 이므로 행렬 에서 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 따라서, 행렬 의 모든 성분의 합은 이므로 보다 크게 되는 자연수 의 최솟값은 이다.

4 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 2 ] 21. 답 5 ㄱ. 에서 이므로 참 ㄴ. ㄱ에서 이므로 에서 참 ㄷ. ㄴ에서 참 즉 이다. 따라서, 오른쪽 그림과 같이 부등식 를 나타내면 그래프의 길이는 점 를 지날 때 최대가 된다. 또한, 이때의 직선의 기울기는 에서 이므로 22. 답 에서 이므로 따라서, 이므로 23. 답 5 ㄱ. 에서 이므로 참 ㄴ. 에서 ㄷ. 에서 참 또한, 에서 24. 답 5 참 이때, 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 따라서, 사이의 관계를 나타내는 그래프는 5이다. 25. 답 개 행렬 이 역행렬을 갖지 않으려면 에서 따라서, 는 중 하나의 원소에만 대응하면 되므로 모 든 함수 의 개수는 개다. 26. 답 양수 에 대하여 행렬 가 역행렬을 갖지 않으므로 27. 답 5 임의의 실수 에 대하여 행렬 렬이 존재하려면 즉, 이어야 한다. 일 때, 에 대한 이차방정식 의 역행 이 실근을 갖지 않아야 하므로 판별식 는 에서 이때, 를 만족하는 순서쌍 는 이다. 일 때, 임의의 실수 에 대하여 인 것은 이다. 이때, 순서쌍 는 로 를 만족한다. 따라서, 에서 구하는 순서쌍 의 개수는 개다. 28. 답 또는 행렬 가 역행렬을 가지려면 에서 라 하면 에서 일 때, 오른쪽 그림과 같이 이므로 에서 일 때, 오른쪽 그림과 같이 이므로 따라서, 에서 의 값의 범위는 또는 29. 답 에서 이때, 이므로

5 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 에서 30. 답 행렬 에서 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 ᄀ 또한, 의 양변에 를 곱하면 에서 이때, 는 상수)이므로 ᄀ,ᄂ에서 또한, ᄂ의 양변에 를 곱하면 에서 ᄂ 따라서, 의 모든 성분의 합은 31. 답 4 에서 이므로 ᄂ 또한, 에서 32. 답 조건 (나)의 식의 양변의 왼쪽에 을 곱하면 ᄀ 조건 (가)에서 이고 이것을 ᄀ에 대입하면 33. 답 1 의 양변의 왼쪽에 오른쪽에 를 곱하 면 에서 따라서, 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 에서 이므로 구하는 의 값들의 합은 근과 계수의 관계 에 의하여 이다. 34. 답 2 ㄱ. 에서 참 ㄴ. ㄱ에서 이므로 참 ㄷ. 의 양변에 를 곱하면 에서 이때, ㄱ에서 이므로 또한, ᄀ에서 이므로 35. 답 5 ㄱ. ㄴ. 참 ㄷ. 이므로 로 놓으면 참 36. 답 3 ㄱ. 행렬 거짓 ᄀ 라 하면 참 에서 케일리-해밀턴의 정리에 의하여

6 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 즉 에서 이므로 참 ㄴ. [반례] 이면 에서 가 성립하므로 이지만 이므로 의 역행렬은 존재하지 않는다. 거짓 ㄷ. 이면 이므로 참 37. 답 3 에서 이므로 이때, 위의 연립방정식의 해가 이외의 해를 갖지 않 으려면 따라서, 의 값이 될 수 없는 것은 3이다. 38. 답 2, 즉 위의 연립방정식의 해가 존재하지 않으려면 또는 또는 일 때, 에서 이므로 해가 없다. 일 때, 에서 이므로 해가 없다. 일 때, 에서 이므로 해가 무수히 많다. 따라서, 에서 의 값들의 합은 따라서, 회의 작업 후 두 물통에 남아 있는 물의 양을 각 각 라 하면 따라서, 행렬 의 성분은 이다. 40. 답 위의 연립방정식을 행렬을 이용하여 나타내면 에서 따라서, 행렬 의 모든 성분의 합은 39. 답 회의 작업 후 두 물통에 남아 있는 물의 양은 물통 물통 위의 식을 행렬 을 이용하여 나타내면 에서

7 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 3 ] 41. 답 꼭짓점이 갱이고 변의 개수가 최대인 그래프는 임의의 두 꼭짓점 이 개의 변으로 연결되어 있어야 하므로 변의 개수는 C 또한, 변의 개수가 최소인 연결된 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 변의 개수가 이다. 45. 답 꼭짓점이 모두 개이므로, 즉, 차수가 인 꼭짓점의 개수는 에서 차수가 인 꼭짓점의 개수는 이므로 모든 꼭짓점의 차수의 합은 따라서 (모든 꼭짓점의 차수의 합)(모든 변의 개수) 이므로 변의 개수는 42. 답 1 1 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘어거나 줄이면 두 그래프는 서로 같다. 2 꼭짓점의 차수가 다르다. 3 꼭짓점의 개수가 다르다. 4 꼭짓점의 차수가 다르다. 5 가운데 변 개의 연결 관계가 다르다. 43. 답 개 서로 다른 두 꼭짓점 사이에 항상 변이 있는 그래프의 변의 최대 개수는 C (개)이므로 더 그려 넣어야 할 변의 개수는 44. 답 5 (개) ㄱ. [반례] 오른쪽과 같이 꼭짓점의 개수가 인 그래프 중 각 꼭짓점의 차수가 인 그래프는 존재한다. (거짓) ㄴ. 다음과 같이 꼭짓점의 개수가 이고, 각 꼭짓점의 차수가 인 그래프 과 악수를 가 존재하므로 명의 사람이 모여 서로 다른 명의 사람 나누는 것이 가능하다. (참) ㄷ. 임의의 두 꼭짓점 사이에 변이 개 있을 때 변이 개수가 최대이므로 C 따라서 변의 개수의 최댓값은 이다. (참) 46. 답 5 각각의 사람을 꼭짓점으로 하고, O 로 표시한 사 람끼리 변으로 연결한 그래프는 오른쪽과 같다. 따라서 꼭짓점의 차수가 각각 이므 로 모든 꼭짓점의 차수의 합은 [다른 풀이] 주어진 표를 인접행렬로 나타내면 다음과 같다. 이때, 모든 꼭짓점의 차수의 합은 인접행렬의 모든 성분의 합과 같 으므로 이다. 47. 답 2 그래프에서 차수가 홀수인 꼭짓점의 개수는 항상 짝수이어야 한다. 3, 4 차수가 홀수인 꼭짓점이 개이다. 1 차수가 인 꼭짓점이 개이므로 나머지 두 꼭짓점의 차수는 각 각 이어야 한다. 5 차수가 인 꼭짓점 개는 모든 꼭짓점과 연결되므로 나머지 한 꼭짓점의 차수도 이 되어야 한다. 따라서 오른쪽 그래프와 같이 꼭짓점이 개인 그래프의 각 꼭짓점의 차수인 것은 2이다. [풀이 첨삭] (모든 꼭짓점의 차수의 합)(모든 변의 개수) 에서 그래프의 모든 꼭짓점의 차수의 합이 짝수이므로 차수가 짝수인 꼭짓점의 개 수는 짝수이든 홀수이든 상관없지만 차수가 홀수인 꼭짓점의 개수 는 반드시 짝수이다. [풀이 첨삭] 그래프의 연결성 꼭짓점과 꼭짓점이 하나 이상의 변으로 연결되어 분리되어 있지 않 은 그래프를 연결 그래프라 하고, 꼭짓점이 서로 다른 꼭짓점과 변 으로 연결되어 있지 않거나 그래프가 개 이상의 서로 다른 연결 그래프로 나타내는 그래프를 비연결 그래프라 한다. 48. 답 여섯 명의 사람을 꼭짓점으로 하고, 악수한 두 사람에 해당하는 꼭 짓점을 변으로 연결하는그래프를 생각하자. 이때, 각 사람이 악수한 회수는 그래프에서 각 꼭짓점의 차수와 같 으므로 (모든 꼭짓점의 차수의 합) 이때, (모든 꼭짓점의 차수의 합)(모든 변의 개수) 이므로

8 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 가 짝수이어야 한다. 그런데 는 꼭짓점의 개수가 인 그래프의 한 꼭짓점의 차수이므 로 보다 작아야 하므로 또한, 가장 높은 꼭짓점의 차수가 이므로 그 꼭짓점은 다른 꼭짓 점 개와연결되어 있어야 한다. 따라서 차수가 인 꼭짓점이 개가 될 수 없으므로 또는 그러므로 구하는 의 값들의 합은 49. 답 4 각 학생을 꼭짓점으로 하고, 전화 통화를 한 학생을 변으로 연결하 는 그래프를 생각하자. ㄱ. 명이 각각 통화한 학생 수의 총합은 그래프의 모든 꼭짓점 의 차수의 이다. (참) 합과 같고, 이는 모든 변의 개수의 배이므로 항상 짝수 ㄴ. 차수가 짝수인 꼭짓점의 개수는 짝수일 수도 있고 홀수일 수도 있다. 것은 아니다. 따라서 통화한 횟수가 짝수인 학생의 수가 항상 짝수인 (거짓) ㄷ. 모든 꼭짓점의 차수의 합은 짝수이고, 차수가 짝수인 꼭짓점의 차수의 수이어야 합도 짝수이므로 차수가 홀수인 꼭짓점의 차수의 합도 짝 항상 짝수이다. (참) 한다. 따라서 통화한 횟수가 홀수인 학생의 수는 꼭짓점 에서 출발하여 다시 로 되돌아오는 경로의수는 시계방향 과 시계반대방향의 개이다. 이때, 시작점이 될 수 있는 꼭짓점은 모두 개이므로 구하는 경 로의 수는 53. 답 이웃하는 두 꼭짓점 사이에 변이 단 개 존재하므로 임의의 두 꼭 짓점을 연결하는 경로의 수는 항상 이다. 따라서 구하는 경로의 수는 C 54. 답 A 또는 C 주어진 그림에서 각 방을 꼭짓점으로 하고, 방과 방 사이의 문을 변으로 하는 그래프는 오른쪽과 같다. 이때, 차수가 홀수인 꼭짓점 A 또는 C 가 출발점이 될 수 있다. 55. 답 3 주어진 인접행렬의 행과 열을 각각 A, A, A, A, A 라 하 고, 행렬의 성분이 일 때 대응하는 행과 열의 꼭짓점을 변으로 연결하면 다음과 같다. A A A A A 50. 답 주어진 그래프에 대하여 꼭짓점 A 에서 출발하여 모든 꼭짓점을 단 한 번씩만 지나서 꼭짓점 A 로 되돌아오는 경로는 ABCDEFA, ABCEDFA, ABFDECA, ABFEDCA, ACDEFBA, ACEDFBA, AFDECBA, AFEDCBA 따라서 구하는 경로의 수는 이다. 51. 답 4 (ⅰ) 꼭짓점 A 에서 꼭짓점 F로 가는 경로 는 AF, ADF, ACDF, AECDF의 가 지이다. (ⅱ) 꼭짓점 F 에서 꼭짓점 B 로 가는 경로 는 FB, FGB 의 가지이다. 따라서 구하는 경로의 수는 [1등급 비법 노하우] 경우의 수의 곱의 법칙을 이용한 문제이다. 주어진 그래프에서 점 A 에서 점 B 로 갈 때 반드시 점 F를 지나야 하는 것을 알아내는 것이 가장 중요하다. 점 A 에서 점 F로 가는 방법 가지, 점 F에 서 점 B 로 가는 방법 가지를 구한 후 동시에 일어날 수 있는 경 우이므로 와 를 곱해주면 된다. 52. 답 A A A A A ㄱ. A A A A A A 의 경로가 존재한다. (참) ㄴ. 모든 꼭짓점의 차수가 짝수가 아니므로 모든 변을 단 한 번씩 만 지나서 시작점으로 되돌아 오는 경로는 존재하지 않는다. (거 짓) ㄷ. 행렬 의 성분은 꼭짓점 A 에서 변을 개 지나서 꼭 짓점 A 로 가는 경로의 수와 같다. 이러한 경로는 A A A, A A A, A A A 의 가지이므로 구하는 성분은 이다. (참) 56. 답 주어진 그래프의 인접행렬을 라 하면 한 미 일 중 국 국 본 국 한국 미국 일본 중국 이때, 한국에서 다른 한 나라를 지나 미국으로 가는경로의 수는 행

9 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 렬 의 성분과 같으므로 이다. 따라서 구하는 경로의 수는 이다. 57. 답 [그림 2]에서 퀸이 움직일 수 있는 칸을 꼭짓점으로 나타내고, 각 각의 꼭짓점을 퀸을 나타내는 꼭짓점과 변으로 연결하여 그래프를 그리면 다음과 같다. ⑵ 행렬 에서 종각에 해당하는 행의 성분이 인 것은 이 다. 따라서 구하는 역은 종각이다. ⑶ 행렬 에서 행이 시청이고 열이 을지로인 것은 성분으 로 이다. 이때, 의 성분 는 시청에서 다른 역을 한 번 지나 을지 로로가는 경로의 수를 의미한다. 60. 답 5 주어진 행렬의 행과 열을 차례로 A, A, A, A, A 라 하면 A A A A A 따라서 그래프는 꼭짓점의 개수가, 변의 개수가 이므로 이 그래프의 인접행렬의 모든 성분의 합은 58. 답 5 행렬 의 성분은 그래프 에 대하여 꼭짓점 에서 개의 변을 지나 꼭짓점 로 가는 경로의 수와 같다. 이때, 주어진 행렬의 행과 열을 차례로 A, A, A, A, A 라 하면 A A A A A A A A A A 이때, 의 성분은 이므로 꼭짓점 A 에 서 개의 변을 지나 꼭짓점 A 로 가는 경로의 수 는 이다. 즉, 꼭짓점 A 의 차수는 이다. 마찬가지로 꼭짓점 A, A, A 의 차수도 각각 이고, 꼭짓점 A 의 차수는 이다. 따라서 그래프 는 오른쪽과 같다. ㄱ. 가장 높은 차수가 이므로 꼭짓점 A, A, A 의 개이다. (참) ㄴ. 변은 A A, A A, A A, A A 의 개이다. (참) ㄷ. 이웃하는 두 꼭짓점 사이에 변이 개씩만 존재하므로 임의의 서로 다른 두 꼭짓점을 연결하는 경로의 개수는 항상 개이다. 59. 답 ⑴ 참조 ⑵ 종각 ⑶ 참조 ⑴ 인접행렬의 행과 열을 순서대로 종각, 시청, 광화문, 종로, 을 지로라 하면 다음과 같다. A A A A A 이때, 의 성분은 이므로 꼭짓점 A 에 서 개의 변을 지나 꼭짓점 A 로 되돌아오는 경 로의 수는 이다. 따라서 꼭짓점 A 의 차수는 이다. 마찬가지로 꼭짓점 A, A 의 차수도 각각 이 고,꼭짓점 A, A 의 차수는 각각 이다. 따라서 그래프 는 오른쪽과 같다. ㄱ. 차수가 인 꼭짓점은 A, A, A 의 개이다. (참) ㄴ. A A A, A A A, A A A, 과 같이 서로 다른 임의의 두 꼭짓점을 연결하는 개의 변으로 이루어진 경로는 개 이상이 다. (참) ㄷ. A A A A A A, A A A A A A 와 같이 차수가 인 꼭짓점 A, A 를 시작점으로 모든 꼭짓점을 한 번씩만 지나 다시 사작점 으로되돌아오는 경로가 존재한다. (참)

10 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 4 ] 61. 답 1 ㄱ. 이 짝수이고 일 때, 를 만족하는 실수 의 값은, 의 개이다. (참) ㄴ. 일 때, 이다. (거짓) ㄷ. 의 제곱근은 ± 이다. (거짓) ㄹ. 이 홀수일 때, 의 제곱근 중 실수인 것은 이다. (참) 이므로 따라서, 에서, 62. 답 2 ㄱ. 이 홀수일 때, 을 만족하는 실수 는 의 개 이다. (참) ㄴ. 이 짝수일 때, 을 만족하는 실수 는 ± 의 개이 다. (거짓) ㄷ. 이 홀수일 때, 은 실수이다. (참) ㄹ. 이 짝수일 때, 이다. (거짓) 67. 답 63. 답 개, (ⅰ) 일 때,, 이 실수이므로 순서쌍 는, 의 개이다. (ⅱ) 일 때,,,, 이 실수이므로 순서쌍 는,,, 의 개이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍 는 개 68. 답 3 따라서 이므로 가 자연수가 되는 의 값은,, 의 개이다. 64. 답 5 ㄱ. 은 짝수, 은 홀수이고 이므로, 에서 (참) ㄴ. 이 홀수이므로 의 값에 관계없이 (참) ㄷ. 에서 는 이 아닌 서로 다른 부호의 실수이고,,, 은 홀수이므로,, 에서 (참) 65. 답,, 이므로,, 따라서 69. 답 주어진 직선은 절편이, 절편이 이므로 ᄀ 이때, 점 P 가 직선 ᄀ 위에 존재하므로, 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (단, 등호는, 즉 일 때 성립) 따라서 구하는 최솟값은 이다. 70. 답 66. 답

11 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 따라서 이므로 71. 답 1 ᄀ ᄀ의 양변을 제곱하면 ( )의 양변을 제곱하면 따라서 ᄀ, ᄂ에서 ᄂ ( ) 72. 답 에서 73. 답, 이므로 따라서 에서 에서 에서 ᄀ ᄂ ᄀ ᄂ을 하면 이때, 이므로 ( ) 75. 답 76. 답 2 ㄱ. ( )로 놓으면, 이므로 에서 ( ) (, ) (참) ㄴ. 에서 위의 식의 양변을 제곱하면 에서 (참) ㄷ. 에서 이므로 log 77. 답 이때, log 은 무리수이므로 도 무리수이다. (거짓) 이므로 에서 이므로 즉, 에서,,, 이때, 주어진 정사각형의 넓이는 이므로 따라서 에서 74. 답

12 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 78. 답 직육면체 모양의 금속 덩어리의 부피는 따라서 부피가 작은 정육면체 모양의 금속 덩어리의 부피는 이므로 한 모서리의 길이는 이다. 79. 답 배 별 의 광도를, 별 의 광도를 라 하고,별 의 표면 절 대 온도를, 별 의 표면 절대 온도를 라 하자.별 의 반 지름의 길이를 라 하면 별 의 반지름은 이므로 에서 80. 답 ⑴ ⑵ ⑴ ⑵

13 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 5 ] 81. [정답] 일차변환 의 행렬은 이므로 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표는 82. [정답] 주어진 일차변환에 의하여 점 이 옮겨지는 점 은 점 이 옮겨지는 점 은 점 이 옮겨지는 점 은 따라서 은 오른쪽 그림과 같으므로 넓이는 83. [정답] 주어진 일차변환의 행렬을 로 놓으면 이므로 이므로 따라서 주어진 일차변환의 행렬은 이므로 일차변환에 의하여 점 가 옮겨지는 점의 좌표는 84. [정답] 일차변환 의 행렬을 로 놓으면 이므로 이므로 ᄀ ᄂ ᄀ, ᄂ, ᄃ에서, ᄃ 위의 두 식을 연결하여 풀면, 85. [정답] 4 직선 위의 두점, (1,1)은 일차변환 에 의하여 각각 두 점, 로 옮겨진다. 이때 두 점, 가 직선 위에 있으 므로, 위의 두식을 연립하여 풀면, 86. [정답] ᄀ ᄂ ᄀᄂ을 하면 ᄃ ᄃ을 ᄀ에 대입하면 87. [정답], 점 의 좌표를 점 의 좌표를 으로 놓으면,,,,, 일차변환 의 행렬을 라 하면 에 의하여 점 가 점 으로, 점 이 점 로 옮겨지므로, 따라서 일차변환 에 의하여 점 가 옮겨지는 점은 에서 이다.

14 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 88. [정답] 축에 대한 대칭변환은 즉, 이므로 직선 에 대한 대칭변환은, 즉 따라서 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 가 옮겨지는 점의 좌표는 89. [정답] 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 두 점, 이 각각 두 점 로 옮겨지므로 따라서 네 점 를 꼭짓점으로 하는 사 각형은 오른쪽 그림과 같으므로 그 넓이는 90. [정답] 닮음변환 에 의하여 세 점,, 은 각각 로 옮겨진다. 세 점 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 은 오른쪽 그림과 같으므로 그 넓이는 91. [정답] 원점을 중심으로 각 만큼 회전하는 회전변환의 행렬은 cos sin sin cos 이 회전변환에 의하여 점 가 점 으로 옮겨지므로 cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos ᄀ,ᄂ을 연립하여 풀면 ᄀ ᄂ sin cos 따라서 회전변환이 행렬은 이고 sin cos 이므로 92. [정답] 삼각형 가 정삼각형이므로 또 이고, 점 에서 이므 로 점 는 점 를 원점을 중심으로 만큼 회전이동한 점이다. 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환행 렬은 cos sin sin cos 이므로 따라서 이므로 93. [정답] 1 점 의 좌표를 로 놓으면 두 식을 연립하여 풀면 따라서 점 의 좌표는 이다. 94. [정답] 7 일차변환 에 의하여 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 이것을 행렬로 나타내면

15 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 두 점 이 옮겨지는 점을 각각 이라 하면 두 점 이 직선 위의 점이므로 95. [정답] 1 점 의 좌표를 로 놓으면 일차변환 의 행렬을 X라 하면 에 의하여 점 이 점 로 점 가 점 로 옮겨지므로 따라서 점 가 옮겨지는 점은 이다. 96. [정답] 1 주어진 대칭변환에 의하여 점 이 점 로 옮겨지므로 또 곡선 위의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 이므로 ᄀ ᄀ을 곡선의 방정식 에 대입하면 따라서 점 은 곡선 위에 있으므로 주어진 대칭 변환에 의하여 곡선 는 곡선 로 옮겨진 다. 97. [정답] 닮음변환의 행렬을 이므로 직선 에 대한 대칭변환의 행렬은 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 가 점 로 옮겨지므로 따라서 이므로 98. [정답] 닮음변환 의 행렬을 로 놓자. 닮음변환 에 의하여 원 위의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 이므로 ᄀ ᄀ을 원의 방정식 에 대입하면 즉 점 은 원 어진 닮음변환에 의하여 원 위에 있으므로 주 는 원 으로 옮겨 진다. 옮겨진 원의 넓이가 이므로 ± 따라서 닮음변환 의 행렬은 ± ± 99. [정답] 5 cos sin sin cos 이므로 ± ± (복호동순) 원점을 중심으로 각 만큼 회전한 회전변환의 행렬은

16 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 이므로 cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 두 식을 연립하여 풀면 sin cos sin cos 100. [정답] 점 을 원점 로 옮기는 평행이동에 의하여 점 은 점 로 이동한다. 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 가 점 로 옮겨진다고 하면 cos sin sin cos 따라서 점 을 축의 방향으로 만큼 축의 방향으로 만큼 평 행이동하면 이므로

17 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 6] 101. [정답] 직선 에 대한 대칭변환 의 행렬은 축에 대한 대칭변환 의 행렬은 원점을 중심으로 각 만큼 회전하는 회전변환 의 행렬은 cos sin sin cos 이고, 이므로 cos sin sin cos cos sin sin cos 따라서 sin cos 이고 이므로 이므로 ⑴ ᄀ을 에 대입하면 ⑵ ᄀ을 에 대입하면 ᄀ ⑴, ⑵에서 점 은 도형 위에 있으므로 합성변환 에 의하여 도형 는 도형 로 옮겨진다. 이때 옮겨지는 도형을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.(단,경계선 포함) 104. [정답] 102. [정답] 2 일차변환 의 행렬을 라고 하면 점 은 일차변환 에 의하 여 점 으로 옮겨지므로 ᄀ 합성변환 의 행렬은 이고, 점 은 합성변환 에 의하여 점 으로 옮겨지므로 ᄀ에 의하여 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 이므로 따라서 일차변환 의 행렬은 이고, 일차변환 에 의하여 점 가 점 로 옮겨지므로 103. [정답] 4 두 일차변환 의 행렬이 각각 의 행렬은 이므로 합성변환 합성변환 에 의하여 도형 위의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 cos 일차변환 의 행렬이 sin 각 만큼 회전하는 회전변환이다. sin 이므로 는 원점을 중심으로 cos 회전변환 를 번 합성하면 원점을 중심으로 각 만큼 번을 회 전하는 회전변환과 같으므로, 합성변환 의 행렬 은 cos sin sin cos 한편 합성변환 가 항등변환이고, 항등변환 행렬 은 이므로 cos sin sin cos 즉 cos sin 이고 에서 이므 로 105. [정답] 일차변환 의 행렬이 cos sin sin cos 이므로 는 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환이다. 이고, 회전변환 를 번 합성하면 원점을 중심으로 만큼 번을 회전하는 회전변환과 같으므로, 합성변환 은 원점 을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환이다. 따라서 합성변환 의 행렬은

18 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 cos sin ᄀ sin cos 일차변환 의 행렬이 이고, 이므로 합성변환 의 행렬은 이므로 합성변환 의 행렬은 이므로 합성변환 의 행렬은 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 합성변환 의 행렬은 이므로 합성변환 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표는 106. [정답] 또는 일차변환 의 역변환이 존재하지 않으려면 행렬 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 또는 107. [정답] 의 일차변환 의 행렬을 라 하면 에 의하여 점 은 점 으로 옮겨지므로 ᄀ ᄂ 또 일차변환 의 역변환 에 의하여 점 는 점 으로 옮겨지므로 일차변환 에 의하여 점 은 점 로 옮겨진다. 즉 이므로 ᄀ, ᄃ을 연립하여 풀면 ᄂ, ᄅ을 연립하여 풀면 ᄃ ᄅ 따라서 일차변환 의 행렬은 이 옮겨지는 점의 좌표는 108. [정답] 두 일차변환 의 행렬을 각각 라 하면 이므로 에 의하여 점 합성변환 에 의하여 점 로 옮겨지는 점을 라 하면 역변환 에 의하여 점 는 점 로 옮겨진다. 합성변환 의 행렬이 이므로 역변환 의 행렬은 109. [정답] (1) (2) (1) 일차변환 의 행렬을 각각 라 하면 에서 위의 등식의 양변의 왼쪽에 를, 오른쪽에 를 곱하면 그런데, 이므로 따라서 일차변환 의 행렬은 이다. (2) 일차변환 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표는

19 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 110. [정답] 일차변환 에 의하여 직선 위의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 ᄀ 점 가 직선 위에 있으므로 ᄀ을 에 대입하면 즉 점 은 직선 위에 있으 므로 일차변환 에 의하여 직선 은 직선 ᄂ 으로 옮겨진다. 이때 직선 ᄂ이 원 의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 을 지나야 하므 로 111. [정답] 주어진 일차변환에 의하여 좌표평면 위의 임의의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 ᄀ 점 은 직선 위의 점이므로 ᄂ ᄀ을 ᄂ에 대입하면 위의 등식은 임의의 에 대하여 항상 성립해야 하므로 에 대한 항등식이다. 따라서 이어야 하므로 112. [정답] 일차변환 의 행렬을 라 하면 에 의하여 직선 위의 임의의 점 가 점 으로 옮겨지므 로 ᄀ 이때 점 가 직선 위에 있으므로 ᄂ ᄂ을 ᄀ에 대입하면 ᄃ ᄅ ᄃ, ᄅ은 임의의 에 대하여 항상 성립해야 하므로 에 대한 항등 식이다. 즉 이어야 하므로 따라서 일차변환 의 행렬은 113. [정답] 4 합성변환 의 행렬과 원점에 대한 대칭변환의 행렬이 같음을 이용한다. 일차변환 의 행렬이 이므로 합성변환 의 행렬은 한편 원점에 대한 대칭변환의 행렬은 이므로 따라서 점 가 그리는 자취의 방정식은 이므로 이를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다 [정답] 일차변환 의 행렬이 일 때 합성변환 의 행렬은, 합성 변환 의 행렬은 임을 이용한다. 점 의 좌표를 라 하면 합성변환 에 의하여 가 점 로 옮겨지므로 역변환 에 의하 여 점 가 점 로 옮겨진다. 즉

20 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 합성변환 에 의하여 점 가 점 로 옮겨 지므로 따라서, 이므로 115. [정답] 를 으로 옮기려면 어떤 변환을 해야 하는지를 생 각한다. 오른쪽 그림과 같이 은 를 원점 을 중심으로 만큼 회전하는 다음 축에 대 하여 대칭이동한 것이다. 이때 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변 환 의 행렬을, 축에 대한 대칭변환 의 행 렬을 라 하면, 합성변환 의 행렬은 cos sin sin cos 따라서 일차변환 의 행렬 의 모든 성분의 합은 참고 오른쪽 그림과 같이 은 를 축에 대하여 대칭이동한 다음 원점을 중심으로 만큼 회 전한 것이기도 하다 [정답] 1 회전변환과 대칭변환의 행렬을 구한 다음 이들의 합성변환에 의하 여 옮겨진 직선의 방정식을 주어진 직선의 방정식과 비교한다. 따라서 합성변환 의 행렬은 cos sin sin cos cos sin sin cos 합성변환 에 의하여 직선 위의 임의의 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 sin cos cos sin sin cos cossin sin cos cossin ᄀ 점 이 직선 위에 있으므로 ᄂ ᄀ을 ᄂ에 대입하면 sin cos cossin sin cos 위의 식이 과 일치해야 하므로 sin, cos 두 식을 연립하여 풀면 sin, cos 이므로 117. [정답] 5 원점을 중심으로 각 만큼 회전하는 회전변환 의 행렬은 cos sin sin cos 축에 대한 대칭변환 의 행렬은 에서 cos sin 양변의 왼쪽에 을 곱하면 cos sin sin cos sin cos sin cos 이므로 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 의 행렬을 라 하면 cos sin sin cos 직선 에 대한 대칭변환 의 행렬을 라 하면 118. [정답] 3 일차변환 의 행렬을 으로 옮겨지므로 라 하면 에 의하여 점 는 점

21 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 ᄀ ᄂ 또 역변환 에 의하여 점 은 점 로 옮겨지므 로 일차변환 에 의하여 점 은 점 로 옮겨진 다. 즉 ᄃ ᄅ ᄀ, ᄃ을 연립하여 풀면 ᄂ, ᄅ을 연립하여 풀면 따라서 일차변환 의 행렬은 일차변환 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표는 119. [정답] 1 일차변환 의 행렬을 라 하고 에 의하여 점 이 점 P 로, 점 이 점 Q 로 옮겨진다고 하면 ᄀ 또 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 에 의하여 두 점 P, Q 가 각각 두 점 로 옮겨지므로 역변환 에 의해서 두 점 은 각각 두 점 P, Q 로 옮 겨진다. 즉 cos sin sin cos ᄂ cos sin sin cos ᄃ ᄀ에 ᄂ, ᄃ을 대입하면 이므로 따라서 행렬 의 모든 성분의 합은 120. [정답] 직선 위의 모든 점이 원점으로 옮겨지고, 평면 위의 모든 점이 원 점을 지나는 직선 위의 점으로 옮겨지므로 행렬 의 역행렬은 존재하지 않는다. 즉, 또는 (ⅰ) 일 때, 이므로 일차변환 에 의하여 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 이때 이면 즉 직선 위의 모든 점은 원점으로 옮겨진다. (ⅱ) 일 때, 이므로 일차변환 에 의하여 점 가 점 으로 옮겨진다고 하면 두 식에서 를 소거하면 즉 평면 위의 모든 점은 직선 위의 점으로 옮겨진다. (ⅰ), (ⅱ)에서

22 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 7 ] 121. 답 에서 이므로 위의 식의 양변을 로 나누면 에서 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 log 만큼 평행이동한 것이다. 참 ㄴ. 에서 이므로 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 참 ㄷ. 에서 이므로 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 참 122. 답 4 ᄀ ᄂ 이 때, 는 양의 정수이므로 ᄀ, ᄂ에서 또는 126. 답 점 A 이므로 점 D 이다. 이때, 두 점 D C 의 좌표가 같으므로 에서 B C 직사각형 ABCD 의 넓이가 이므로 에서 123. 답 3 log log log 이므로 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 log 만큼 평행이동한 것이다. 따라서, 함수 의 그래프는 함수 의 그래프와 모양이 같다. ㄱ. 함수 은 일대일 대응이므로 임의의 실수 에 대하여 이면 이다. ㄴ. (밑) 이므로 함수 는 증가함수이다. 따라서, 이면 이다. 거짓 참 ㄷ. 함수 은 아래로 볼록하므로 서로 다른 두 실수 에 127. 답 1 오른쪽 그림과 같이 축 위에 있는 두 직사각형의 꼭짓점의 좌표를 각각,, 이라 하고, 두 직사각형 A B 의 넓이를 각각 A B 라 하면 A B 이때, B A 이므로 에서 따라서, 직사각형 의 가로의 길이는 이다. 대하여 이다. 참 128. 답 답 에서 이므로 은 감소함수이다. 오른쪽에서 이므로 ᄀ 또한, 이므로 은 증가함수이다. 오른쪽에서 이므로 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 125. 답 5 ㄱ. log log log 이므로 오른쪽 그림에서 AB 이므로 점 A 의 좌표를 라 하면 점 B 의 좌표는 이므로, 즉 에서 또한, 직선 과 두 곡선이 만나는 두 점 C D 의 좌표를 각각 라 하면 이므로 에서 CD 129. 답 5 ( (다)) 에서 ( (가), (나)) ᄀ ᄂ ᄀᄂ을 하면 에서

23 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 따라서, 의 그래프의 개형은 5이다 답 5 조건 (다)에서 이므로 는 에 대하여 대칭인 이차함수이다. ( 는 상수, )라 하면 조건 (가)에서 ᄂ 조건 (나)에서 ᄂ, ᄃ을 연립하여 풀면 ᄀ ᄃ 이때, 은 (밑) 이므로 가 최소일 때 두 근은 모두 보다 크다. 따라서, 이차방정식 의 두 근이 모두 보다 크려면 (ⅰ) 의 판별식 가 에서 또는 (ⅱ) 이라 하면 (ⅲ) ( 의 대칭축) 이어야 하므로 그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 최댓값을 갖는다. 그런데 에서 의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 일 때 의 최솟값은 이다. 따라서, 의 최댓값은 131. 답 로 놓으면 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 에서 (단, 등호는, 즉 일 때 성립) 따라서, 오른쪽 그림과 같이 는, 즉 일 때 최솟값 을 갖는다 답 에서 로 놓으면 에서 이므로 따라서, 근과 계수의 관계에 의하여 는 에 대한 이차방정식 의 두 근이다. 즉, 에서 또는 또는 ⅰ 일 때, 이므로 ⅱ 일 때, 일 때, 이므로 그러므로 ⅰ ⅱ에서 132. 답 3 에서 로 놓으면 ᄀ의 두 근이 이므로 ᄂ의 두 근은 이다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여, 즉 그런데 이므로 에서 따라서, 이므로 133. 답 3 에서 로 놓으면 ᄂ ᄀ ᄀ ᄂ ᄀ의 두 근이 모두 보다 크므로, 즉 에서 ᄂ의 135. 답 점 A 는 곡선 위의 점이므로 ᄀ A 점 B 의 좌표는 점 A 의 좌표와 같고, 점 B 는 곡선 위의 점이므로 B 점 C 의 좌표는 점 B 의 좌표와 같으므로 C 로 놓으면 점 C 는 좌표와 같 고, 점 D 는 곡선 위의 점이므로 D AB CD CD 이 때, AB 이므로 에서

24 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 ᄂ 따라서, ᄂ을 ᄀ에 대입하면 이므로 이 때, 로 놓으면 에서 그런데 이므로 에서 밑 136. 답 개 에서 에서 이 때, 이므로 따라서, 구하는 정수 는 의 개다 답 답 5 에서 로 놓으면 ᄀ 이 때, 라 하면 ᄀ이 인 모든 실수 에 대하여 성립 하려면 에서 따라서 구하는 상수 의 최댓값은 이다 답 주어진 연립부등식 을 만족하는 영역은 오 른쪽 그림의 어두운 부분과 같다. 이 때, 에서 밑 이므 로 가 최대일 때, 도 최대가 된 다. 따라서, 는 상수)로 놓으면 ᄀ 이 때, ᄀ이 점 P 을 지날 때 의 값이 최대이므로 의 최댓값은 139. 답 에서 이차방정식 의 판별식 가

25 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 8 ] 141. 답 1 ㄱ. 밑의 조건에 의하여 이고 진수 의 조건에 의하여 이므로 의 값에 관계없이 항상 로그를 정의할 수 있다. 참 ㄴ. [반례] 일 때, 밑은 이므로 로그를 정의할 수 없다. 거짓 ㄷ. [반례] 일 때, 진수는 이므로 로그를 정 의할 수 없다. 거짓 142. 답 4 밑의 조건에 의하여, 또는 ᄀ 진수의 조건에 의하여 모든 실수 에 대하여 이어야 하므로 이차방정식 의 판별식 가 이므로 ᄂ 따라서, ᄀ, ᄂ의 공통 범위를 구하면 143. 답 개 밑의 조건에 의하여, ᄀ 진수의 조건에 의하여 ᄂ 따라서, ᄀ, ᄂ의 공통범위는 오른쪽 그림과 같으므로 점 는,,, 의 개다 답 에서 log log 의 양변에 밑이 인 로그를 취하면 log log 에서 log log log 145. 답 3 log 으로 놓으면 로그의 정의에 의하여 위 식의 양변을 제곱하면 따라서, log (가) 146. 답 log 가 성립한다. (나) (다) log log log log log log 147. 답 3 log log log log log log log log log log log log log log log log (단,, ) log log log log log log 에서 log log 에서 log log 148. 답 log log log log log log log log log log log log log log log log log log log 에서 log log 이때,, 는 유리수이고 log 은 무리수이므로 무리수의 서로 같을 조건에 의하여,, 149. 답 3 ㄱ. log log log log log log log log log log log log log log log log

26 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 log log 참 ㄴ. log, log 이고 log log 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 log log log log 에서 log log log, log log log log log log ᄀ의 양변에 상용로그를 취하면 log log log log log log log loglog log ᄀ log log loglog log log 거짓 log log ㄷ. log log log log log log 이때, 이므로, ) ᄀ log log 따라서, log log ᄀ) log log 에서 log 150. 답 2 참 log log 에서 log log log 즉, log log ᄀ 삼각형 에서 제이코사인법칙에 의하여 cos ᄂ ᄀ을 ᄂ에 대입하면 ᄃ log log log log log log log log log log log ( ᄀ, ᄃ) log 151. 답 log (은 정수, )라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여, ( 에서 ) 에서 따라서, log 152. 답 log (은 정수, )라 하면 은 정수, 이때, 에서, 이므로 ±, ( ) log 또는 log 따라서, 구하는 값은 153. 답 log log 따라서, 지표가 이므로 소수점 아래 번째 자리에서 처음으 로 이 아닌 숫자가 나타난다 답 개 에서 log 의 지표는 log 의 지표보다 이 더 큰 값이므로 의 자릿수는 의 자릿수보다 이 더 큰 수 이다. 따라서, 의 자연수 중 의 자릿수가 의 자릿수 보 다 한자리 더 큰 수를 찾으면 된다. i,,,, 일 때,,,,, ii,,, 일 때,,,, iii,,, 일 때,,, 그러므로 i, ii, iii에서 구하는 자연수 의 개수는 (개) 155. 답 11개 log 의 지표가 이므로 log ᄀ log 의 지표가 이므로 log ᄂ log log log log log 이때, ᄀ,ᄂ에서 log log log log 이므로 log log 따라서, 구하는 정수는 의 개다.

27 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 156. 답 7 에서 log log log log ᄀ log 와 log 의 가수가 같으면 두 수의 차가 정수이므로 log log log log log 정수 또한, ᄀ에서 log 이다. log log log log log log log log log log log 따라서, 의 최고 자리의 숫자는 이다. 참 따라서, log log 이므로 160. 답 3 방사선 입자의 초기량을 특수 보호막을 장 통과한 후에 남은 방사선 입자의 양을 원래의 양의 라 하면 에서 157. 답 9개 에서 log ᄀ log 의 가수와 log 의 가수의 합이 1이면 log log 은 정수이므로 log log log log log 정 수 ᄀ에서 log 이므로 log log 즉, log log log log log 에서 log log log 이때, log 이므로 log 따라서, 장째 통과한 방사선 입자의 양은 원래의 양의 이다. 따라서, 구하는 의 개수는 개다 답 4 log log log log log log log log log log log log 이므로 구하는 식의 값은 log log log 의 가수들의 합이다. log 은 정수 라 하면 log log 이 때, log 의 가수가 log 의 가수의 배이므로 에서 log log log log log 따라서, 구하는 식의 값은 159. 답 3 log log log log ㄱ. log 의 지표가 이므로 은 자리의 수이다. 참 ㄴ. log log 거짓 ㄷ. log log 이므로

28 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 9 ] 161. [정답] 점 C에서 점 까지의 거리와 축까지의 거리가 서로 같으 므로 양변을 제곱하면 참고 점 C의 자취는 점 과 직선 (축)까지의 거리 가 같은 점들의 집합이다. 따라서 점 C의 자취가 나타내는 도형은 포물선이고, 이때 점 이 초점, 직선 이 준선이 된다 [정답] 1 ㄱ. 을 표준형으로 변형하면 따라서 주어진 포물선은 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. (거짓) ㄴ. 포물선 의 초점의 좌표는 이므로 주어진 포물선 의 초점의 좌표는 (거짓) ㄷ. 포물선 의 준선의 방정식은 이므로 주어진 포물 선의 준선의 방정식은 (참) ㄹ. 포물선 의 꼭짓점의 좌표는 이므로 주어진 포물 선의 꼭짓점의 좌표는 (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다 [정답] 포물선의 축이 축에 평행하므로 포물선의 방정식을 으로 놓자. 이 포물선이 세 점 을 지나므로 ᄀ ᄂ ᄃ ᄀ을 ᄂ에 대입하면, 를 ᄃ에 대입하면 따라서 포물선의 방정식은 이고, 이 포물선의 점 를 지나므로, 164. [정답] 이므로 포물선의 준선의 방정식은 두 점 A B에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 H H 라 하면 포물선의 정의에 의 하여 AF AH AP BF BH BQ 이므로 AF AH AP BF BH BQ AB AF BF 165. 답 두 점 A B 의 좌표를 각각, 라고 하면 AC BD 이때 포물선 의 초점의 좌표는 이고, 준선의 방정식 은 이므로 초점을 F라 하면 AF, BF 166. [정답] AB AF BF A B 이므로 포물선 와 직선 는 서로 다 른 두 점에서 만난다. 를 에 대입하면 이 이차방정식의 판별식을 라 하면 D 따라서 모든 자연수 의 값의 합은 167. [정답] 포물선 를 에 대입하면 두 점 의 좌표를 각각 로 놓으면 는 이 방정식의 해이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ᄀ 포물선 의 초점의 좌표는, 준선의 방정식 은 이다. 오른쪽 그림과 같이 직선 는 초점 을 지나는 직선이므로 두 점 에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 라 하면 포물선의 정의에 의하여 AB AF BF

29 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 AH BH ᄂ ᄀ, ᄂ에서 포물선 위의 점 P 에서의 접선의 방정식은 이 직선과 축과의 교점 Q는 Q 포물선 의 초점 F는 F 따라서 삼각형 PQF는 오른쪽 그림과 같으 므로 그 넓이는 168. [정답] 1 두 점 A B 를 지나는 직선의 기울기는 이므로 이 직선과 평행한 직선의 기울기는 이다. 포물선 에 접하고 기울기 가 인 직선의 방정식은 점 A 과 직선, 즉 사이의 거리는 선분 AB의 길이는 AB 따라서 삼각형 PAB의 넓이는 169. [정답] 직선, 즉 와 평행한 직선의 기울기는 이다. 포물선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정 식은 직선 이의 거리는 위의 점 따라서 구하는 최단 거리는 이다 [정답] 과 직선 사 171. [정답] 포물선 위의 점 P 에서의 접선의 방정식 은 이 직선이 축과 만나는 점 T는 T 포물선 의 초점은 F 이므로 PF TF PF TF 따라서 PTF는 이등변삼각형이고, 점 P에서 축에 내린 수선 의 발을 H라 하면 PFH tan FH PH 172. [정답] 포물선 위의 접점의 좌 표를 로 놓으면 접선의 방정식 은 점 A 이 이 직선 위의 점이므로

30 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 ± 따라서 접점 P Q를 P Q 로 놓으면 삼각형 APQ의 넓이는 OF OF AB AM OF 이므로 FM OF AB OF 173. [정답] 1 원의 중심을 C 라 하고 점C에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH CA 이므로 의 양변을 제곱하면 174. [정답] 1 포물선 는 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 의 초점의 좌표가 이므로 주어진 포물선 의 초점의 좌표는 포물선 은 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 의 초점의 좌표가 이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 따라서 점 과 점 이 원점에 대하여 대칭이므로 175. [정답] 포물선의 준선을 이라 하고, 점, 점H에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 이라 하면 BB HH OH 포물선의 정의에 의하여 BF BB 이므로 BF 따라서 직갂삼각형 BFH 에서 BH BF FH AB BH 176. [정답] 1 세 점 A B O에서 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 각각 P Q R라 하면 포물선의 정의에 의하여 AF AP BF BQ OF OR 이때 AF AP OF이고 FM OF이므로 AMF에서 177. [정답] 3 오른쪽 그림과 같이 혜성의 궤도를 좌표평면 위 에 나타내면 혜성이 꼭짓점 O에 있을 때 태양에 가장 가깝게 된다. 혜성의 위치를 A, 태양의 위 치를 F라 하고, 점에서 축에 내린 수선의 발 을, 준선에 내린 수선의 발을 라 하면 FB AFcos cos OF AH FB AF FB AU 178. [정답] 2, 즉 이 므로 원의 중심 은 포물선 의 초점의 좌표와 일치한 다. FQ 이때 점 P에서 포물선의 준선 에 내 린 수선의 발을 라 하면 PF PH이므로 PQF에서 PQ PF FQ PH P PQF는 직각삼각형이고 높이는 FQ 로 일정하므로 PQF의 넓이의 최솟값은 PQF FQ PQ 179. [정답] 직선 와 평행한 직선의 기울기는 이므로 포물선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은 점 P 는 이 직선 위의 점이므로 ᄀ AM AF FM OF OF 또한 점 P 는 포물선 위의 점이므로

31 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 ᄀ, ᄂ을 연립하면 ᄂ 이므로 180. [정답] 3 두 점 P Q의 좌표를 각각 로 놓으면 이 두 점은 포 물선 위의 점이므로 ᄀ POQ 일 때, OP 와 OQ 는 수직 이므로 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하면 ᄃ 구하는 직선의 방정식을 이라 하면 에 대입하면 가 이 이차방정식의 두 근이므로 이차방저식의 근과 계수의 관계와 ᄃ에 의하여 따라서 구하는 직선의 방정식은,

32 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 10 ] 181. [정답] AP BP 이므로 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 다시 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 182. [정답] 두 점 A B는 각각 축, 축 위의 점이므로 A B 로 놓자. AB 이므로 ᄀ 점 P 의 좌표를 로 놓으면 점 P는 AB 를 로 내분하는 점이므로 이것을 ᄀ에 대입하면, 183. [정답] 포물선 의 초점의 좌표는 이므로 따라서 타원의 방정식은 184. [정답] 1 이고 장축의 길이는 을 표준형으로 변형하면 따라서 주어진 타원은 타원 축 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 을 축 방향으로 만큼, 이 때, 타원 중심의 좌표 초점의 좌표 장축의 길이는 의 이므로 주어진 타원의 ㄱ 중심의 좌표는 이다. (참) ㄴ 초점의 좌표는 이다. (거 짓) ㄷ 장축의 길이는 이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다 [정답] (거짓) 두 초점이 축 위에 있고, 세 점 을 꼭짓점으로 하는 타원의 방정식은 오른쪽 그림과 같다. 따라서 장축의 길이는, 단축의 길이는 이므로 타원의 중심의 좌표는 이므로 186. [정답] 타원 위 초점의 좌표는 C 이고, F 으로 놓으면 타원 의 장축의 길이는 이므로 타원의 정의에 의하여 AC AF ᄀ 포물선 의 초점의 좌표는 따라서 주어진 포물선의 초점은 타원의 초점 F와 일치하고, 준선 의 방정식은 이므로 포물선의 정의에 의하여 AB AF ᄂ ᄀ, ᄂ에서 AB AC AF AC 187. [정답] 를 에 대입하면, ± ± 를 에 대입하면 ± 따라서 타원과 직선의 교점의 좌표는, 이므로 구하는 선분의 길이는

33 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 188. [정답] 2 주어진 직선이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 이므로 tan 따라서 타원, 즉 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은 ± ± 즉, ± 이므로 189. [정답] 기울기가 이고 타원 에 접하는 직선의 방정식은 ± ± 오른족 그림에서 구하는 최솟값은 직선 위의 점 과 직선, 즉 사이의 거리와 같으므로 또 구하는 최댓값은 직선 위의 점 와 직선, 즉 사이의 거리와 같으므로 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 191. [정답] 2 점 에서의 접선의 방정식은 이므로, 점 은 타원 위의 점이므로, 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 (단, 등호는 일 때 성립) 192. [정답] 오른쪽 그림과 같이 점 에서 타원 에 그은 접선의 방정식은, 따라서 구하는 도형의 넓이는 190. [정답] 로 놓으면 점 는 점 에서 축에 내린 수선의 발이므 로 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이 직선의 절편이 이므로 193. [정답] PF FF PF이 이 순서로 등차수열을 이루므로 PF PF FF 주어진 타원의 방정식을 이라 하면 따라서 타원의 단축의 길이는 194. [정답] 4 포물선 의 초점의 좌표는 F, 준선의 방정식은

34 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 이므로 점 P 에서 준선에 내린 수 선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의 하여 PF PH FF 이때 PF PF FF 타원의 정의에 의하여 구하는 장축의 길이는 PF PF FF 직각삼각형 PFF에서 ᄀ, ᄂ에서 따라서 구하는 삼각형 PFF의 넓이는 PF PF ᄂ 195. [정답] [정답] 4 을 표준형으로 변형하면 이므로 타원 과 직선 이 만 나야 한다. 따라서 주어진 타원은 타원 을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 이때 타원 의 초점의 좌표는, 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는, 따라서 삼각형 OFF의 넓이는 에서 에서 ᄂ을 ᄀ에 대입하면 이 이차방정식의 판별식을 라 하면, 또는 따라서 의 값이 될 수 없는 것은 4이다. ᄀ ᄂ 196. [정답] 타원 의 초점의 좌표를 F, F 으로 놓으면 F F FF 한편 타원의 정의에 의하여 PF PF 따라서 구하는 삼각형 PFF의 둘레의 길이는 PF PF FF 199. [정답] 2 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이 직선의 기울기가 이므로 ᄀ 한편 점 가 타원 위의 점이므로 197. [정답] 2 에서 PF, PF 로 놓으면 타원의 정의에 의하여 ᄀ 이므로 타원의 초점의 좌표는 F, F ᄂ ᄀ을 ᄂ에 대입하면, 200. [정답] 2

35 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 점 에서 타운 에 그은 접선의 기울기를 으로 놓으면 접선의 방정식은 ± ᄀ 점 가 직선 ᄀ 위의 점이므로 ± 위의 식의 양변을 제곱하면 ᄂ 이차방정식 ᄂ의 두 실근이 접선의 기울기이고, 두 접선이 서로 직교이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여, ( )

36 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 11 ] 201. 답 4 함수 의 그래프가 점 를 지나므로, log 밑의 조건에서 이므로 한편 함수 의 역함수의 그래프가 점 를 지나므로, log 202. 답 2 log log log log log 따라서 함수 log 의 그래프는 함수 log 의 그 래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동 한 것이다. 즉, 이므로 203. 답 밑 이 이므로 진수 가 최소일 때, 최댓값 을 갖는다. 이때 이므로 진수는 일 때 최솟값 를 갖는다. 따라서 구하는 최댓값은 log log 204. 답 1 진수의 조건에서, 이므로, ᄀ 주어진 방정식을 변형하면 log log,, 또는 ᄀ에서 이므로 밑 이 이므로,, ᄂ ᄀ, ᄂ의 공통 범위를 구하면 따라서 이므로 206. 답 처음 박테리아의 수를 로 놓으면 박테리아의 수가 처음 수의 배 이상이 되는 것이 시간 후이므로, ( ) 양변에 상용로그를 취하면 log log, log 따라서 구하는 자연수 의 값은 이다 답 4 ㄱ. log 이므로 함수 log 의 그래프는 함 수 log 의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 포갤 수 없 다. ㄴ. 에서 로그의 정의에 의하여 log log 와 를 서로 바꾸면 log 따라서 함수 의 그래프는 함수 log 의 그래프를 축 의 방향으로 만큼 평행이동한 후 직선 에 대하여 대칭이동 한 것이다. ㄷ. log log log log 이므로 함수 log 의 그래프는 함수 log 의 그래프는 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 이상에서 함수 log 의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 포갤 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ이다 답 2 점 는 직선 과 곡선 log 가 만나는 점이므로 log 점 는 직선 과 곡선 log 가 만나는 점이므로 205. 답 진수의 조건에서, 주어진 부등식을 변형하면 log log log 점 는 직선 와 곡선 log 가 만나는 점이므로 log 점 는 직선 와 곡선 log 가 만나는 점이므로 log 따라서 사각형 에서

37 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 log log log log log log 이고 높이는 이므로 사각형 의 넓이는 loglog 에서 log, ᄂ ᄀ에서 이므로, 따라서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ( ᄂ) (단, 등호는, 즉 일 때 성립) log log log log 209. 답 1 log (은 정수, )로 놓으면 (ⅰ) 일 때, log log log log (ⅱ) 일 때, log log log log ㄱ. log log log이므로 (참) ㄴ. [반례] 일 때, log log log log 이므로, 그런데 이므로 log log (거짓) ㄷ. 함수 의 치역은 이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다 답 주어진 함수는 log log log log log log 로 놓으면 이때 이므로 log 함수 의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 에서 함수 은 일 때 최대이 고, 최댓값은 이므로 일 때 최소이고, 최솟값은 이므로 212. 답 3 log 에서 log log log 로 놓으면 ᄀ 주어진 방정식의 두 근이 이므로 이차방정식 ᄀ의 두 근은 log log 이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 log log, log 이므로 log 213. 답 log 에서 log log 에서 log 이므로 214. 답 밑의 조건에서, 또는 또는 또는 ᄀ 진수의 조건에서 ᄂ ᄀ, ᄂ의 공통 범위를 구하면 또는 ᄃ (ⅰ) 일 때,, 또는 ᄃ에서 또는 이므로 (ⅱ) 일 때, 그런데 는 ᄃ을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 211. 답 3 진수의 조건에서 ᄀ 215. 답 1

38 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 진수의 조건에서, ᄀ log log 에서 log log log log log ㄴ. 서로 다른 두 자연수 에 대하여 이면 log log 이므로 log log (참) ㄷ. [반례] log log ㄴ에서 은 의 값이 커질수록 그 값도 점점 커지므로, 에서 을 만족시키는 자연수 의 값 은 존재하지 않음을 알 수 있다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 밑 이 이므로,, ᄂ ᄀ,. ᄂ의 공통 범위를 구하면 따라서 이므로 216. 답 5 진수의 조건에서 ᄀ log log 에서 log log log log log 로 놓으면 즉 log 이므로log log log 밑 가 이므로 ᄀ, ᄂ의 공통 범위를 구하면 ᄂ 따라서 자연수 의 최댓값은 이다 답 5 ㄱ. log log log (참) ㄴ. log 이므로 log 의 그래프는 의 값이 증가 하면 의 값은 감소한다. 따라서 이면 log log (거짓) ㄷ. 오른쪽 그림에서 이면 log log (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다 답 1 로그부등식 log log 에서 밑 이 이므로 따라서 위의 부등식의 해는 축 위쪽에서 직선 가 이차함 수 의 그래프보다 위쪽에 있는 의 값의 범위가 된다. 즉 주어진 부등식의 해는 이므로 220. 답 마케팅과 연구 개발에 대한 투자액의 비가 이므로 현재의 마 케팅과 연구 개발에 대한 투자액을 각각 라 하자. 매년 마케팅과 연구 개발에 대한 투자액을 각각, 씩 늘 려가므로 년 후의 마케팅과 연구 개발에 대한 투자액은 각각, 이다. 그런데 년 후에 연구 개발에 대한 투자액이 마케팅에 대한 투자 액보다 많아지므로 ( ) 양변에 상용로그를 취하면 log log loglog log loglog log 따라서 연구 개발에 대한 투자액이 마케팅에 대한 투자액보다 처음 으로 많아지는 해는 지금으로부터 년 후이다 답 3 ㄱ. log log log, 즉 log 이므로 log (참)

39 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 12 ] 221. 답 첫째항을, 공차를 라 하면 일반항 은 에서 ᄀ 에서 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 222. 답 5 첫째항이, 공차가 이므로 일반항 은 처음으로 양수가 되는 항은 을 만족시키는 최초의 항이므로 에서 이때 을 만족시키는 자연수 의 최솟값은 이므로 구하는 항은 제항이다 답 1 공차를, 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하면 에서, 따라서 일반항 은 224. 답 5 수열 이 조화수열이므로 수열 은 등차수열이다. 수열 의 첫째항을, 공차를 라 하면 이므로 ᄀ 이므로 225. 답 2 첫째항이, 공차가 이므로 일반항 은 에서 따라서 첫째항부터 제항까지는 음수이고, 제항부터는 양수이다. 이때, 226. 답 첫째항을, 공차를, 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하 면 에서 ᄀ 에서 ᄂ ᄀ,ᄂ을 연립하여 풀면 따라서 첫째항부터 제항까지의 합 은 227. 답 주어진 등차수열의 공차를 라 하자. 이때 첫째항이 이고 첫째항부터 제항까지의 합이 이므 로, 첫째항이, 공차가 인 등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합 은 따라서, 즉 제항까지의 합이 최소가 되고, 그 때의 최솟 값은 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면, 228. 답 첫째항을, 공차를 라 하면 일반항 은 에서 ᄀ

40 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 에서 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 229. 답 2 를 다항식 로 나눈 나머지는 각각, 가 이 순서로 등차수열을 이루므로 에서 ᄀ 에서 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 에서, 따라서 첫째항부터 제항까지가 음수이고, 제항부터는 양수이다. 이때 230. 답 3 수열 ᄀ 의 각 항의 역수로 이루어진 수열 는 첫째항이, 공차가 인 등차수열을 이루므로 ᄀ의 일반항 은 234. 답 3 첫째항을, 공차를 라 하면 에서 이므로, ( ) 따라서 등차수열 의 일반항은 처음으로 음수가 되는 항은 을 만족시키는 최초의 항이므로 231. 답 개의 수를 이라 하면 수열 의 항수가 이므로 따라서 구하는 합은 이다 답 4 과 사이의 자연수 중 로 나누었을 때 나머지가 인 수는 이때 에서 따라서 구하는 합은 ) 따라서 주어진 등차수열은 첫째항부터 제항까지가 양수이고 제 항부터는 음수이므로, 이 최대가 되도록 하는 의 값은 이다 답 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하면 에서 일 때, 따라서,,,, 이므로 은 첫째항이, 끝항이, 항수가 인 등차수열의 합이다 답 1 수열 의 첫째항을, 공차를 라 하면 일반항 은 236. 답, 이라 하면 일 때,

41 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 이므로 일 때, 이므로 이므로 237. 답 등차수열 의 첫째항을, 공차를 라 하면 에서 ᄀ 에서 ( ᄀ) ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 에서 따라서 의 최댓값은 이다. 직각삼각형들은 모두 서로 합동 이다. 이 직각삼각형들의 높이를 라 하면,,, 따라서 은 첫째항이, 공차가 인 등차수열을 이룬다. 이때, 이므로 은 첫째항이, 끝 항이, 항수가 인 등차수열의 합이다 답 1 과 의 평균이 이므로 또 자료 하나가 추가될 때마다 평균이 씩 증가하므로, 이라 하면 일 때, 239. 답 3 은 과 의 등차중항이고 은 과 의 등차중항이므로 240. 답 오른쪽 그림과 같이 직선 에 평행한 직선 개를 그으면 색칠한

42 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 13 ] 241. [정답] 원 와 외접하는 원의 중심을, 반지름의 길이를 로 놓 으면 이때 이므로 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 다시 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 242. [정답] 쌍곡선이 점 을 지나므로 점근선 의 위쪽에 있다. 구하는 쌍곡선의 방정식을 이라 하면 점근선의 방정 식이 ±이므로 또 쌍곡선이 점 을 지나므로 ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 243. [정답] 을 표준형으로 변형하면 ᄀ ᄂ 또 쌍곡선 에서 초점을 으로 놓으면 삼각형 의 둘레의 길이가 이므로 ᄀ, ᄂ에 의하여 245. [정답] ᄂ 쌍곡선 에서 초점은 쌍곡선의 정의에 의하여 에서 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 에서 코사인법칙에 의하여 cos 246. [정답] 2 에 를 대입하여 정리하면 이 이차방정식의 판별식을 라 하면 ᄀ 247. [정답] ± 따라서 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 쌍곡선 의 초점의 좌표는 이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 이므로 삼각형 의 넓이는 쌍곡선 에서 이 쌍곡선의 점근선의 방정식은 ± 오른쪽 그림과 같이 직선이 주어진 쌍 곡선과 접하지 않고 한점에서 만나려면 점근선 ± 와 평행하고 쌍곡선의 중심을 지나지 않아야 한다. 따라서 구 244. [정답] 하는 의 조건은 ± 쌍곡선 의 주축의 길이는 이므로 쌍곡선의 정 의에 의하여 ᄀ 248. [정답] 3

43 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 쌍곡선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은 ± ± 따라서 두 직선 과 사이의 거리는 직선 위의 한 점 와 직선 사이의 거리와 같으므로 249. [정답] 1, 쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식 은 쌍곡선 에서 이므로 두 초점의 좌표는, (i) 점 에서 직선 에 내린 수선의 길이는 (ii) 점 에서 직선 에 내린 수선의 길이는 따라서 수선의 길이의 곱은 250. [정답] 4 점 에서 쌍곡선 에 그은 접선의 기울기를 르 로 놓으면 접선의 방정식은 ± 점 이 직선 ᄀ위의 점이므로 ± ± 양변을 제곱하여 정리하면 ᄀ 이 이차방정식의 두 실근이 접선의 기울기이므로 두 접서의 기울기, 의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이다. ± 양변을 제곱하여 정리하면 이때 이면 접선이 개가 아니므로 ± ᄀ 주어진 쌍곡선의 두 접선이 서로 수직이므로 이차방정식 ᄀ의 두 근의 곱은 이다. 근과 계수의 관계에 의하여 따라서 점 P 의 자취는 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 인 원이므로 점 P의 자취의 길이는 252. [정답] 3 쌍곡선의 방정식을 로 놓으면 두 초 점 사이의 거리가 이므로 초점의 좌표는 이때 이므로 ᄀ 또 주축의 길이가 이므로 ᄂ ᄀ, ᄂ에서 따라서 쌍곡선의 점근선의 방정식은 ± 253. [정답] 4 ㄱ. 두 점근선의 교점은 이므로 쌍곡선의 중심은 이다. (참) ㄴ. 쌍곡선의 방정식은 로 놓으 면 중심과 쌍곡선의 초점 사이의 거리가 이므로 ᄀ 또 점근선의 기울기가 ±이므로 ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 풀면 따라서 주축의 길이는 이다. (거짓) ㄷ. 중심과 초점 사이의 거리가 이므로 다른 한 초점은 이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다 [정답] 4 쌍곡선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은 ± 이 직선이 점 를 지나므로 254. [정답] 2 점 A 가 쌍곡선 위에 있으므로

44 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 lim lim ± ± ᄀ 또 기울기가 인 직선에 수직인 직선의 기울기는 이므로 쌍 곡선 에 접하는 기울기가 인 직선의 방정식은 lim ± ± ᄂ 255. [정답] 쌍곡선의 정의에 의하여 PF PF P F P F PF P F PF P F 사각형 PF P F의 둘레의 길이가 이므로 PF P F P F PF ᄀ에 의하여 PF P F P F PF PF P F PF P F ᄀ ᄀ, ᄂ의 양변을 각각 제곱하면 ᄃᄅ을 하면 ᄃ ᄅ 이므로 두 접선의 교점의 자취는 원 이다. (가) 원 (나) (다) 256. [정답] [정답] 4 쌍곡선 에서 쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 쌍곡선 의 점근선의 방정식은 이 직선의 기울기가 이므로 ± ± ᄀ 이므로 원점을 지나는 직선 가 쌍곡선과 만나려면 이어야 한다. 따라서 쌍곡선과 만나는 직선은 3이다 [정답] 또는 이므로 직선 와 쌍곡선 은 두 점에서 만난다. 또 점 가 쌍곡선 위의 점이므로 ᄂ ᄀ을 ᄂ에 대입하면 이것을 ᄀ에 대입하면 를 에 대입하여 정리하면 이 이차방정식의 판별식을 라 하면 또는 260. [정답] 4 쌍곡선 에서 F F 또 쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선의 방정식은 이 직선과 축과의 교점은 Q 258. [정답] 2 쌍곡선 에 접하는 직선의 기울기를 으로 놓으면 직 따라서 F Q 이므로 PF Q의 넓이는 선의 방정식은

45 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 14 ] 261. [정답] 4 ㄱ. 세 점 는 한 직선 위에 있지 않으므로 한 평면을 결정한다. ㄴ. 직선 와 이 직선 위에 있지 않은 한 점 는 한 평면을 결정한다. ㄷ. 두 직선 와 는 꼬인 위치에 있으므로 두 직선 와 를 포함하는 평면은 존재하지 않는다. ㄹ. 두 직선 와 는 평행하므로 한 평면을 결정한다. 이상에서 평면이 결정되는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ 262. [정답] 3 3 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 존재하지 않는다 [정답] ⅰ 와 는 꼬인 위치에 있으므로 평면을 만들 수 없다. ⅱ 세 점 로 만들 수 있는 평면은 평면 ⅲ 세 점 와 로 만들 수 있는 평면은 평면, 평면, 평면 ⅳ 세 점 와 로 만들 수 있는 평면은 평면, 평면, 평면 그런데 네 점 는 한 평면 위에 있으므로 평면 와 평면 는 같은 평면이다. ⅰ~ⅳ에서 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수는 264. [정답] ⅰ 직선과 직선 위에 있지 않은 다른 한 점으로 만들 수 있는 평 면의 수는 ⅱ 직선 위의 한 점과 직선 위에 있지 않은 두 점으로 만들 수 있는 평면의 수는 ⅲ 직선 위에 있지 않은 세 점으로 만들 수 있는 평면의 수는 ⅰ, ⅱ, ⅲ에서 만들 수 있는 서로 다른 평면의 최대 개수 는 265. [정답] 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 구한다. 와 꼬인 위치에 있는 모서리는,,,,, 이므로 모서리 와 평행한 면의 개수를 구한다. 모서리 와 평행한 면은 면, 면 이므로 면 와 만나는 면의 개수를 구한다. 면 와 모서리 에서 만나는 면은 모서리 에서 만나는 면은 모서리 에서 만나는 면은 모서리 에서 만나는 면은 이므로 의 값을 구한다 답 오른쪽 그림에서 직선 를 점 를 지 나도록 평행이동하면 직선 가 되고, 점 는 의 무게중심이 된다. 또, 직선 와 선분 가 만나는 점을 이 라고 하면 이다. 따라서 두 직선, 가 이루는 각의 크기 는 두 직선, 가 이루는 각의 크기와 같 다. 면 면 면 면 점 은 선분 의 중점이고 은 정삼각형 의 높이이므 로 직각삼각형 에서 cos cos 267. [정답] 모서리 와 꼬인 위치에 있는 모서리는,,, 이므로 면 와 평행한 모서리는,, 이므로 면 와 평행한 면은 면 이므로 268. [정답] ㄴ ㄹ

46 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 주어진 전개도로 만들어지는 정사각뿔은 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 보기에서 와 꼬 인 위치에 있는 것은, 이다 [정답] 3 1[반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서 이지만 이다.(거짓) 269. [정답] 풀이참조 ㄱ.[반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다. (거짓) 2[반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다.(거짓) ㄴ. 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이면 이다.(참) 3오른쪽 그림의 정육면체에서, 이면 이다.(참) ㄷ. 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이면 이다.(참) 4[반례]오른쪽 그림의 정육면체에서 이 지만 이다. (거짓) ㄹ. [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄴ,ㄷ이다. 답2 5[반례]오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다.(거짓) 270. [정답] ㄴ, ㄹ ㄱ.[반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서 이지만 이다. (거짓) ㄴ.오른쪽 그림의 정육면체에서 이면 이다.(참) ㄷ. [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다.(거짓) ㄹ. 오른쪽 그림의 정육면체에서 이면 이다.(참) 이상에서 옳은 것은 3이다 [정답] 4 와 평행하면서 와 한 점에서 만나는 선분을 찾는다. 이므로 와 가 이루는 각의 크기는 와 가 이루는 각의 크기와 같다. 2단계.. 가 직각삼각형임을 이용하여 cos의 값을 구한다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 라 하면 이므로 직각삼각형 에서 cos 답4 참고 에서 임을 증명하면 다음과 같다., 이므로 (평면 ) 즉 는 평면 위의 모든 직선과 수직이므로 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

47 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 273. [정답] 이므로 두 직선 와 가 이루는 각의 크기는 두 직 선 와 가 이루는 각의 크기와 같다. 직각삼각형 직각삼각형 에서 에서 이므로 sin 274. [정답] 이므로 와 가 이루는 각의 크기는 와 가 이루는 각의 크기와 같다. 이때 는 정삼각형이므로 이므로 와 가 이루는 각의 크기는 와 가 이루는 각의 크기와 같다. 이때 는 정삼각형이므로 275. [정답] 오른쪽 그림과 같이 합동인 두 정육면체 를 나란히 붙이면 이므로 와 가 이루는 각의 크기는 와 가 이루는 각의 크기와 같다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 라 하면 에서 이므로 코사인 법칙에 의하 여 cos AM AN, MN 이므로 코사인법칙에 의하여 AM MN cos AN AM MN 정사영의 넓이를 구한다. 따라서 구하는 정사영의 넓이는 ABC cos 277. [정답] 2 DEG의 면 BFGC 위로의 정사영은 CFG이므로 CFG DEG cos 이때 이므로 CFG DEG CFG cos DEG 278. [정답] 오른쪽 그림과 같이 컵을 기울이기 전의 수면이 컵의 모선과 만나 는 점을 A B, 물이 쏟아지기 직전까지 컵을 기울였을 때의 수면이 컵의 모선과 만나는 점을 C D라 하면 AC BD, DE 직각삼각형 CDE에서 CD CE DE 기울인 컵에서 수면과 컵의 밑면이 이루는 각의 크기를 라 하면 DCE이므로 cos CD CE 컵의 밑면의 넓이는 이므로 구하는 수면의 넓이를 라 하면 cos cos 276. [정답] 1 면 ABC와 면 BCDE가 이루는 각에 대한 코사인 값을 구한다. 면 ABC와 면 BCDE가 이루는 각을 라 하고, BC, DE의 중점을 각각 M N이라 하면 AM BC, MN BC 이므로 AMN 삼각형 AMN에서 279. [정답] 주어진 사면체의 옆면의 전개도는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 최단 거리는 BM의 길이이다. 삼각형 ABM에서 AB, AM, BAM 이므로 코사인법칙에 의하여 BM AB AM AB AM cos

48 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 BM BM 280. [정답] 주어진 직육면체의 옆면의 전개도는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 최단 거리는 DE의 길이이다. 직각삼각형 AED에서 AD, AE 이므로 DE AD AE

49 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 [ 자료번호 15 ] 281. 답 108 첫째항을, 공비를 라 하면 285. 답 3 수열 의 첫째항을 공차를 라 하면 이 때, 가 이 순서로 등비수열을 이루므로 에서 따라서 구하는 공비는 282. 답 4 수열 의 첫째항을 공비를 라 하면 ㄱ. 이 아니다. 이므로 이 때, 은 상수가 아니므로 수열 ㄴ. 이므로 수열 이다. 은 등비수열 은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열 ㄷ. 이므로 수열 은 첫째항이 공비 가 인 등비수열이다 답 4 가 양의 실수이므로 인 정수 이라 하면 이 때, 즉 가 이 순서로 등비수열을 이루므 로 그런데 이므로 ± 이고, 이므로 이어야 한다 답 0 조건 가에서, 이므로 조건 나에서 이므로 ᄀ, 즉 에서 ᄂ ᄂ을 ᄀ에 대입하면 에서 284. 답 16 공비를 라 하면 287. 답 5 가 이 순서로 등치수열을 이루므로 ㄱ. 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ㄴ. 다. 참 따라서 의 최솟값은 이다 참 log log 따라서 log log log log log log ㄷ. log log log 이므로 은 이 순서로 등차수열을 이룬 이므로 따라서 은 이 순서로 등비수열을 이룬다.

50 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 288. 답 5 에서 이 때, 수열 가 등비수열이려면 에서 289. 답 또는 첫째항을 공비를 라 하면 첫째항부터 제 4항까지의 합은 ᄀ 292. 답 1716만 원 6개월마다 5%의 복리로 100만 원씩 20년 동안 적립한 원리합계는 만 원 ᄀ 한꺼번에 연금 만 원을 받는다고 할 때, 만 원을 20년 동안 6개 월 마다 5%의 복리로 예금한 원리합계는 만 원 ᄂ 이 때, ᄀ과 ᄂ이 같아야 하므로 첫째항부터 제 8항까지의 합은 ᄂ (만 원) ᄂ에서 이므로 ᄀ ± 이 때, ᄀ에서 일 때, 일 때, 따라서 구하는 일반항 은 290. 답 1 또는 공비를 라 하고 이 때, 이므로 291. 답 2 첫째항을 공비를 이라 하면 293. 답 16% 선정이가 새 카메라를 구입한 가격을 라 하고, 중고 카메라의 가 격의 연평균 하락률을 라 하면 위의 식의 양변에 상용로그를 취하면 log log log log log log log log 294. 답 1023 다음 그림과 같이 원 의 반지 름의 길이를, 중심을, 넓 이를, 원 의 반지름의 길이를, 중심을, 넓이를 이라 하고, 점 에서 점 을 지나는 직선 에 수직 인 선분에 내린 수선의 발을 라 하면 cos 는 의 값에 관계없이 항상 일정하므로 그 값을 (는 상수) 라 하면 에서 이 때, 수열 가 등비수열이므로 수열 가 등비수열이고, 의 공비를 라 하면

51 Mathema Barista Type Daily Quiz 20 수Ⅰ 기하와 벡터 이므로 ( ) 따라서, 수열 은 첫째항이 1이고 공비가 인 등비수열이므 로 수열 은 첫째항이 1이고 공비가 등비수열이 된다. 조건 (가)에서 이므로 는 와 의 등비중항이다. 따라서 또는 는 이 순서로 등비수열을 이룬다. 조건 (나)에서 이므로 따라서 또는 는 이 순서로 등비수열을 이룬다. 조건 (다)에서 이므로 또는 는 이 순서 로 등비수열을 이루고 이 때 는 제 5항이다 답 3 에서 일 때, 일 때, 따라서 에서 ㄱ. 참 ㄴ. 이므로 거짓 ㄷ. 에서 따라서 구하는 자연수 의 최솟값은 52이다. 참 299. 답 풀이 참조 (1) 에서 이므로 이 때, 에 을 대입하면 에서 (2) (1)에서 수열 애 등차수열이므로 수열 도 등차수열 이고, 296. 답 39 에서 따라서 수열 은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 300. 답 11 다음 그림과 같이 으로 놓으면 한 호에 대한 중 심각의 크기는 원주각의 크기의 2배이므로 이다. 이때, 수열 은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이므로 297. 답 5 에서 일 때, 일 때, 따라서 에서 ㄱ. 참 ㄴ. 수열 은 첫째항이 4, 공비가 3인 등비수열이다. 참 ㄷ. log log log log이므로 log 은 첫째항이 log, 공차가 log인 등차수열이다. 참 298. 답 5

52 [ 자료번호 16 ] 301. 답 세 수열 이 등차수열이므로 ( ) 302. 답 303. 답 답 307. 답 3 ㄱ. 참 ㄴ. [반례] 일 때,, ㄷ. 이므로 거짓 참 304. 답 등비수열 의 첫째항을, 공비를 라 하면 에서 ᄀ 에서 ᄀ ᄂ을 하면 log log log log log log log log log log log 305. 답 ᄂ 308. 답 309. 답

53 310. 답 따라서, 주어진 식의 최솟값은 일 때 이다 답 1 으로 놓으면 이므로 ( ) ( ) 이 때,,, 이므로 각각 로 나누어 떨어진다. 따라서, 은 로 나누어 떨어진다. 그러므로 를 로 나눈 나머지는 을 로 나눈 나머지 와 같다. 즉, 에서 을 로 나눈 나머지가 이므로 를 로 나눈 나머지는 이다 답 으로 놓으면 이므로 (ⅰ) 일 때, (ⅱ) 일 때, 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 ( ), 이므로 ( ), 313. 답 5, 이라 하면 에서 ᄀ 즉, ( )에서, ᄃ ᄃ에 을 대입하면, 이 때, 변변 곱하면, 에서 ( ) 314. 답 일 때, ( ) 일 때, ( ) 일 때, 에서 에서 ( ) ( ) 을 대입하면 에서 에서 315. 답 의 두 근이 이므로 근과 계 수의 관계에 의하여

54 ( 는 서로소) 316. 답 즉, 에서 이므로 즉, 에서 319. 답 수열 은 첫째항이, 공차가 인 등차수열이므로 ) 따라서, 구하는 자연수 의 최솟값은 이다 답 2 오른쪽 그림과 같이 어두운 부분의 세로의 길이는 정사각형 의 세로의 길이인 이고, 가로의 길이는 ( ) 320. 답 ( ) 318. 답 는 각각, 이므로 ( )

55 [ 자료번호 17 ] 321. 답 2 이라 하면 이므로 (ⅰ) 일 때, ( ) (ⅱ) 일 때, ( ) 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 ( ) 322. 답 을 으로 나눌 때의 나머지 은, 은 홀수 은 짝수 ) 323. 답 log 이므로 log log log log log log log 324. 답 자연수 에 대하여 을 으로 나눈 나머지는 의 일의 자리의 수와 같으므로 은 차례로 을 으로 나눈 나머지도 의 일의 자리의 수와 같으므로 은 차례로 이 때, 이므로 수열 은 차례로 이므로 수열 의 앞에서부터 네 수의 합은 325. 답 으로 놓으면 이므로 이고, 이므로 이고, 이므로 이고, 이므로 이고, 은 홀수 은 짝수 326. 답 주어진 수열을, 그 계차수열을 이라 하면 이므로 327. 답 주어진 수열을, 그 계차수열을 이라 하면 이므로

56 328. 답 수열 은 수열 의 계차수열이므로 이 계차 수열을 이라 하면 에서 이 때, 수열 이 등비수열이므로 수열 은 첫째항이, 공 비가 이므로 329. 답 2 ( ) 따라서, 수열 의 계차수열 의 일반항은 330. 답 5 주어진 식의 좌변을 로 놓으면 ᄀ의 양변에 을 곱하면 ᄀ ᄂ ᄀ ᄂ을 하면 ( 는 자연수), 이 때, 라 하면A ᄀ ᄀ의 양변에 2를 곱하면 ᄂ ᄀ ᄂ을 하면 332. 답 1 주어진 수열을 다음과 같이 군수열로 나타내면 이므로 제 군의 의 개수는 이다. 이 때, 이 번째로 나오는 항을 제 군의 번째 항이라 하면 은 일 때 처음으로 성립하므로 이 번 째로 나오는 항은 제 군의 번째 항이다. 제 1군부터 제 군 까지의 의 개수가 이므로 따라서, 제 1군부터 제 13군까지의 항수가 이므로 100번째로 나타나는 0 은 에서 제 항이다 답 2 주어진 수열을 다음과 같이 군수열로 나타내면 이 때 제 군은 자리의 자연수이고 그 항수는 이다. 따라서, 은 여섯 자리의 자연수이므로 제 6군에 속하고 이 제 군의 번째 수이므로 은 번째 수이 다. 그러므로 제 1군부터 제 5군까지의 항수는 이므로 은 에서 번째 항이다 답 주어진 수열을 다음과 같이 군수열로 나타내면 이 때, 제 군의 최솟값은 이므로 보다 작아지는 최초의 항 은 이고, 은 제 군의 마지막 항이다 답 구하는 정사각형의 넓이를 각각 하면,,, 이라 따라서, 제 1군부터 제 21군까지의 항수는 이므로 은 번째 항이다.

57 335. 답 주어진 수열의 제 행을 제 군으로 하는 군수열이라 하 자. 각 군의 첫째항을 수열, 그 계차수열을 이라 하면 이므로 이 때, 각 행은 공차가 인 등차수열이므로 제 11행의 6번째 항은 에서 이다 답 2 제 행은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로 를 제 행의 번째 수라 하면 에서 이 때, 이므로 순서쌍 은 의 3개이다. 따라서, 는 모두 3번 나타난다 답 3 일 때, 의 좌표를 차례로 나열하면 : 2개 : 개 : 개 : 개 : 개 따라서 구하는 의 값은 338. 답 (1) ( ) (2) (1) 이라 하면 이므로 (ⅰ) 일 때 (ⅱ) 일 때, 따라서, (ⅰ). (ⅱ)에서 ( ) (2) 339. 답 에서 위의 식의 양변에 5를 곱하여 식을 정리하면 ᄀ ( 은 자연수) ᄀ의 각 변에서 1을 빼면 다시 위의 식의 양변에 5를 곱하여 식을 정리하면 ( 는 자연수) ᄂ의 각 변에서 을 빼면 ᄂ 다시 위의 식의 양변에 5를 곱하여 식을 정리하면 ( 은 자연수) 마찬가지의 방법으로, 이 홀수 이 짝수 340. 답 수열 의 계차수열을 이라 하면 에서 이므로 ᄀ ᄂ ᄀ, ᄂ을 연립하여 정리하면 ᄃ 즉, 에서 그런데 는 양의 정수이므로 이 때, ᄃ에서 이면 이면 이므로 정수 는 존재하지 않는다. 이면 이므로 정수 는 존재하지 않는다.

58 [ 자료번호 18 ] 341. 답 5 (나)의 대우 명제는 이 참이면 도 참이 다. 따라서, (가)와 (나)의 대우 명제에서 가 참이므로 도 참 이다. 또한, 참이므로 (다)에서 도 참이고, (나)의 대우 명제 에서 이 참이므로 도 참이다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다 답 5 ㄱ. (가), (나)에서 이 참이므로 도 참이고, 이 참이므로 (나)에서 도 참이다. 따라서, 는 집합 의 원소이다. 참 ㄴ. (가), (나)에서 순서대로 참인 명제를 나열하면 따라서, 일 때, 집합 의 원소는 의 14개이다. 참 ㄷ. 인 에 대하여 가 집합 의 원소이거나 인 에 대하여 가 집합 의 원소이면 된다. 이 때, 이 집합 의 원소이고 이므로 는 집합 의 원소이다. 참 343. 답 (ⅰ) 일 때, 이므로 의 배수이 다. (ⅱ) 일 때, 이 11의 배수라고 가정하면 (는 자연수)로 놓을 수 있다. 일 때, 이므로 은 의 배수이다. 따라서, 일 때도 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 은 11의 배 수이다 답 3 (ⅰ), 이므로 (*)가 성립한다. (ⅱ) 일 때, (*)가 성립한다고 가정하면 이 때, 가정에서 이므로 이다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 (*)가 성립한다. 가 나 345. 답 풀이참조 다 (ⅰ) 일 때, 이므로 성립 한다. (ⅱ) ( )일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 위의 식의 양변에 을 곱하면 에서 ( ) 즉, 이므로 일 때도 성립한다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식은 이상의 모든 자연수 에 대하여 성립한다 답 2 (ⅰ) 일 때, ᄀ 좌변, 우변 이므로 성립한다. (ⅱ) ( )일 때 ᄀ이 성립한다고 가정하면 ᄂ의 양변에 ᄂ 을 더하면 또한, 임을 이용하여 에서 따라서, 일 때도 ᄀ이 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 부등식 ᄀ은 인 모든 자연수 에 대하여 성립한다. 가 나 347. 답 풀이참조 (ⅰ) 일 때, 이므로 성립 한다. (ⅱ) ( )일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 위의 식의 양변에 을 곱하면

59 이고 이 때, ( ) 즉, 이므로 따라서, 이므로 일 때도 주어진 부 등식이 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 주어진 부등식 이 성립한다 답 1 의 양변을 으로 나누면 350. 답 5 ㄱ. 이므로 ㄴ. 에서 ᄀ ᄂ 참 ᄂ ᄀ을 하면 따라서, 수열 는 첫째항이, 공비가 이 때, 으로 놓으면 인 등비수열이다. 참 에서 따라서, 수열 은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이다. 즉, 에서 ㄷ. ㄴ에서 이므로 참 349. 답 의 양변에 상용로그를 취하면 log log log 이 때, log 으로 놓으면 에서 따라서, 수열 은 첫째항이 log log 공비가 인 등비수열이므로 log log log log 351. 답 의 양변에 를 대 입하면,, 위의 식을 변변 더하면 에서 352. 답 2 ᄀ ᄀ에 을 대입하면 에서 에서 에서 에서 ᄂ ᄂ을 하면 ᄃ 이 때, ᄀ, ᄃ을 연립하여 풀면

60 ( ) 353. 답 의 양변을 로 나누면 에서 이므로 수열 은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이다. ( ) 356. 답 라 하면 참 ( 나) ( 가) ᄀ 이 때, 에서 3과 5는 서로소이므로 ( 은 자연수)로 놓자. 이것을 ᄀ에 대입하면 에서 ᄂ (다)에서 즉 이므로 이다 답 2 에서 이므로 ㄱ. 참 ㄴ. 수열 은 첫째항부터 의 6개의 항 을 주기로 반복하여 나타나므로 이다. 참 ㄷ. ( ㄴ) 거짓 즉, 이므로 ᄂ에서 ( 은 자연수) 357. 답 주어진 순서도에서 의 값을 순서대로 구하면 355. 답 3 ( )이므로 ᄀ ㄱ. ᄀ의 양변을 로 나누면, 즉 따라서, 수열 은 공차가 인 등차수열이다. ㄴ. 이므로 참 따라서, 인쇄되는 의 값은 이다 답 4 을 구하는 순서도이므로 의 값 이 으로 나타나야 한다. 따라서, (가)에 알맞은 것은 또한, 을 구하려면 의 값이 이어야 하므로 (나)에 알맞은 것은 이다 답 1 각각의 경우에서 의 값을 순서대로 구하면 다음 ( ) 일 때, 이므로 이고 일 때, 이므로 따라서, 이 되는 의 최솟값은 이다. ㄷ. 거짓

61 따라서, 인쇄되는 의 값이 다른 하나는 1이다 답 (1), (2) m (1) 첫째 날 뚫은 터널의 길이가 m 이므로 이다. 번째 날 뚫은 터널의 길이는 번째 날 뚫은 터널의 길이의 에 m 를 더한 길이와 같으므로 따라서, 구하는 관계식은 (2) 에서 즉, 수열 는 첫째항이, 공비가 인 등비수열이므로 에서 m m

62 [ 자료번호 19 ] 361. [정답] DH (평면 EFGH DI EG 이므로 삼수선의 정리에 의하여 HI EG 직각삼각형 HEG에서 AM BC DM BC이므로 AMD 정사면체의 한 모서리의 길이를 라 하면 AM DM AD 삼각형 AMD 에서 코사인법칙에 의하여 AM cos DM AD AM DM EG HE HG 또 HE HG HI EG 이므로 HI HI 직각삼각형 DHI에서 365. [정답] DI DH HI 362. [정답] 꼭짓점 C에서 모서리 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 OC (평면 OAB), CH AB 이므로 삼수선의 정리에 의하여 OH AB 직각삼각형 OAB에서 AB OA OB 또 OA OB OH AB이므로 OH OH 직각삼각형 COH에서 구하는 거리는 CH OC OH 363. [정답] PAC에서 AC AP cos ABC에서 AB AC cos PC BC AB이므로 삼수선의 정리에 의하여 PB AB AB 직각삼각형 PAB에서 cos PA 364. [정답] BC 의 중점M 을 이용하여 두 평면이 이루는 각의 크기 를 나타낸다. 오른쪽 그림과 같이 BC 의 중점을 M 이라 하면 오른쪽 그림과 같이 BD 의 중점을 이라 하 면 AM BD EM BD 이므로 AME 정육면체의 한 모서리의 길이를 라 하면 AM AC AE 이므로 직각삼각형 AEM 에서 EM AM AE AM cos EM 366. [정답] 오른쪽 그림과 같이 AC 의 중점을 M 이라 하 면 BM AC DM AC 이므로 BMD BM DM, BD 이므로 MBD 에서 코사인법칙에 의하여 BM DM BD cos BM DM 367. [정답] AB 라 하면 PB tan BQ tan AQ cos PBQ 에서 PBQ 이고, PQ AQ

63 이므로 코사인법칙에 의하여 PB cos BQ PQ PB BQ sin cos A B AC AB cos B C BC cos cos 368. [정답] DF의 면DHGC 위로의 정사영을 찾는다. DF의 면DHGC 위로의 정사영은 DG 직각삼각형 A B C 에서 A B A C B C cos의 값을 구한다. 따라서 DG DF cos이고 DG DH HG DF DG FG DG 이므로 cos DF 369. [정답] AG 의 면 EFGH위로의 정사영은 EG 따라서 EG AG cos이고 EG EF FG AG AE EG EG 이므로 cos AG 370. [정답] AB의 밑면 위로의 정사영이 지름 AC이므로 ABC는 직각삼각 형이다. 직각삼각형 ABC에서 AB AC BC AC AB cos이므로 AC cos AB 371. [정답] 점 B에서 점 A를 지나고 두 평면 의 교선과 평행한 직선에 내린 수선의 발을 C, 점 C의 평면 위로의 정사영을 C 이라 하면 직각삼각형 ABC의 평면 위로의 정사영은 직각삼각형 A B C 이다. 이때 372. [정답] 주어진 원기둥의 전개도는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 최단 거리는 AB 의 길이이 다. AA 의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같으 므로 AA 직각삼각형 ABA 에서 AB AA A B 373. [정답] 주어진 원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 최단 거리는 AB의 길이 이다. AA 의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같 으므로 부채꼴의 중심각의 크기를 라 하 면 OAB에서 코사인법칙에 의하여 AB OA OB OA OB cos AB AB 374. [정답] 모서리 와 평행한 모서리는,, 이므로 면 와 만나는 면은 면, 면, 면, 면 이므로 대각선 와 꼬인 위치에 있는 모서리는

64 ,,,,, 이므로 sin cos 375. [정답] 5 1 [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다. (거짓) 377. [정답], 이므로 삼수선의 정리에 의하여 직각삼각형 에서 2 [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 (거짓) 따라서 직각삼각형 에서 3 [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다. (거짓) 4 [반례] 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지만 이다. (거짓) 378. [정답] 오른쪽 그림과 같이 의 중점을 이라 하 면, 이므로 에서 5 오른쪽 그림의 정육면체에서, 이지 만 이다. (참) 이상에서 옳은 것은 5이다. 따라서 코사인법칙에 의하여 cos cos 376. [정답] 4 이므로 와 가 이루는 각 의 크기는 와 가 이루는 각의 크기 와 같다. 에서 코사인 법칙에 의하여 cos 379. [정답] 2 원기둥의 밑넓이를 이라 하면 단면과 밑면이 이루는 각의 크기가 일 때, cos 단면과 밑면이 이루는 각의 크기가 일 때 단면의 넓이를 라 하면 cos cos

65 380. [정답] (ⅰ) 와 로 만들 수 있는 평면은 평면 (ⅱ)네 점 는 한 평면위에 있으므로 만들 수 있는 평면 은 (ⅲ) 네 점 와 로 만들 수 있는 평면은 평면 평면, 평면, 평면 그런데, 네 점 는 한 평면 위의 점이므로 평면 와 평면 는 같은 평면이다. (ⅳ) 네 점 와 로 만들 수 있는 평면은 평면, 평면, 평면, 평면. 그런데 네 점 는 한 평면 위의 점이므로 평면 와 평면 는 같은 평면이다. 또 네 점 는 한 평면 위 의 점이므로 평면 와 는 같은 평면이다. 이상에서 구하는 서로 다른 평면의 개수는

66 [ 자료번호 20 ] 381. [정답] 4 ㄱ. [반례] 오른쪽 그림과 같이 두 평면 가 이루는 각의 크기 가 이면 (거짓) ㄴ. 이고 교선 은 평면 위에 있으므 로 (참) ㄷ. 이고 교선 은 평면 위에 있으므 로 (참) ㄹ. ㄴ,ㄷ에서, 이므로 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ,ㄷ,ㄹ이다 정답 2 에서 두 점, 은 각각 모서리, 의 중점이므로 에서 두 점, 은 각각 모서리, 의 중점이므로 이때, 정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서 리는 서로 수직이므로 또한, 과, 과 는 각각 평행하므로 따라서, 은 직각삼각형이므로 386. 정답 4 4(반례) 아래 그림과 같이 평면 에 평행한 서로 다른 두 직선 은 한 점에서 만날 수도 있다 [정답] 오른쪽 그림의 정사면체에서 세 모서리 의 중점을 각각 이라 하 면 ᄀ 이므로 와 에 서 은 서로 닯음. 따라서 이므로 ᄂ ᄀ,ᄂ에서 383. 정답 1 1) 세 점으로 만들어지는 평면은 평면 의 개 2) 직선 와 그 위에 있지 않은 한 점으로 만들어지는 평면은 평면, 의 개 1) 2)에 의하여 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수는 개다 정답 4 주어진 정육면체의 전개도를 접으면 아래 그림 과 같은 정육면체가 된다. 이므로 와 가 이루는 각의 크기는 와 가 이루는 각의 크기와 같 다. 이 때, 는 정삼각형이므로 와 가 이루는 각의 크기는 이다 정답 1 정사각형 의 두 대각선은 서로 다 른 것을 수직이등분하므로 점 에서 평 면 에 내린 수선의 발을 라 하면 점 는 의 중점이다. 즉, 와 평면 가 이루는 각의 크기 는 와 가 이루는 각의 크 기와 같다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 라 하면, 에서 384. 정답 3 와 꼬인 위치에 있는 모서리는 이 므로 와 한 점에서 만나는 면은 면, 면 이므로 와 평행한 면은 이므로 따라서 에서 코사인법칙에 의하여 cos 389. 정답 5

67 아래 그림과 같이 점 에서 에 내린 수 선의 발을 라 하면 cos 면, 이므로 삼수선 의 정리에 의하여 두 평면 와 가 이루는 각의 크기 는 와 가 이루는 각의 크기와 같 다. 즉,, 이 때, 의 넓이는 에 또, 는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 서 [다른풀이] 아래 그림과 같이 점 에서 밑면 에 내린 수선의 발을 라 하면 점 는 밑면 의 두 대각선의 중점이다. 정 사각뿔의 한 모서리의 길이를 라 하면 는 한변의 길이가 인 정삼각형의 높 이이므로 따라서, 에서 cos cos 392. 정답 3 직각삼각형 에서, 이므로, 390. 정답 이때,, cos 이고, 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 삼각뿔 의 부피는 ---(ㄱ) 이때, 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 이를 (ㄱ)에 대입하면 391. 정답 5 아래 그림과 같이 꼭짓점 에서 에 내 린 수선의 발을 라 하고, 점 에서 에 내린 수선의 발을 이라 하자. 이때, 옆면 와 밑면 가 이루는 각의 크기와 같다. 즉, 는 정삼각형, 는 정사각형이므로 정사각뿔의 한 모서리의 길이를 라 하면, 따라서, 에서 코사인법칙에 의하여 은 직각삼각형이므로 393. 정답 2 두 평면 와 가 이루는 각의 크기를 라 하면 cos 이므로 수열 은 공비가 cos 인 등비수열이다. 이때,, 이므로 cos 또, cos 394. 정답 컵에 채워져 있는 물의 부피가 이므로 물의 높이를 라 하면 에서 컵을 기울기면 한쪽 수면이 올라온 만큼 반대쪽 수면이 줄어든다. 아래 그림과 같이 컵을 기울기기 전의 수 면과 컵의 모선이 만나는 두 점을 각각 라 하고, 컵을 최대 로 기울였을 때 수면과 컵의 모선이 만나는 두 점을 각각 라 하면, 이므로 직각삼각형 에 서

68 또, 라 하면 cos cos 이므로 cos 이때, 수면의 밑면 위로의 정사영은 밑면인 원이고, 그 넓이가 이므로 구하는 수면의 넓이를 라 하면 cos cos 395. 정답 4 아래 그림과 같이 막대가 지면과 수직으 로 만나는 점을, 막대의 끝점을 라 하자. 막대를 기울이면 막대의 끝점은 중심이 이고, 반지름이 인 사분원 위를 움직이게 된다. 이때, 사분원에 접하고 지면과 의 각을 이루는 직선을 그려 그 접점을 이라 하고, 접선이 지면과 만나는 점을 라 하면 의 길이가 막대의 그림자의 길이가 최대일 때이다. 에서, 이므로 sin 따라서, 막대의 길이는 이다 정답 (1) (2) (3) (1) 면 이므로 이다. 또, 이므로 면 이다. ---(ㄱ) 한편, 면 이므로 이다. 또, 이므로 면 이다. ---(ㄴ) (ㄱ)(ㄴ)에 의해 면 이므로 와 면 가 이루는 각의 크기는 이다. (2) 삼각뿔 의 부피는 (3) 는 정육면체의 대각선이므로 397. 정답 아래 그림에서 단면의 밑면 위로의 정사영은 밑면의 반원이다. 따라서, 구하는 단면의 넓이를, 반원의 넓이를 이라 하면 398. 정답 평면 와 원기둥의 밑면이 이루는 각의 크기가 이므로 원기둥 의 밑면의 넓이는 cos 한편, 평면 와 평면 가 이루는 각의 크기가 이므로 평면 와 밑면이 이루는 각의 크기는 이다. 즉, cos cos 399. 정답 두 점 에서 밑면 에 내린 수선의 발을 각각 이라 cos ---(ㄱ) 하면 이때, 에서 의 중점을 라 하면, 이므로 또, 과 의 교점을 라 하면 에서 이 므로 따라서,(ㄱ)에 의해 cos 400. 답 3 AD 를 접는 선으로 하여 ABD와 ADC가 수직이 되도록 접 으면 오른쪽 그림과 같이 ABD와 ADC는 서로 수직인 두 평 면 위에 놓인다. 점 B에서 직선 AD에 내린 수선의 발을 E라 하 고, 점 E에서 AC 에 내린 수선의 발을 E라 하고, 점 E에서 AC 에 내린 수선의 발을 F락 하면 BE (평면 ADC), EF AC 이 므로 삼수선의 정리에 의하여 BF AC 이때 AE 라 하면

69 AB AF AEcos 따라서 직각삼각형 AFG에서 AF cos AB

70 [ 자료번호 21 ] 401. 답 4 두 점 가 이차함수 의 그래프 위에 있으므로 lim lim 402. 답 5 두 변의 길이가 이 은 lim sin lim lim sin sin ( ) 403. 답 의 역행렬은 이고, 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓 sin lim sin lim lim 404. 답 에서 이므로 에서 lim lim lim lim 405. 답 4 lim lim lim 이때, lim 라 하면 즉 406. 답 5 lim ㄱ. 수열 이 수렴한다고 가정하면 수열 이 발산하므로 lim 되어 모순이다. 따라서, 수열 은 발산한다. 참 ㄴ. [반례] 이라 하면 이므로 lim 이지만 은 수렴하지 않는다. lim 거짓 lim 로 ㄷ. 수열 이 발산한다고 가정하면 수열 산하므로 모순이다. 따라서, 수열 은 수렴한다. 이때, lim 라 하면 lim lim 그러므로 수열 도 수렴한다. 참 407. 답 lim 이므로 (ⅰ) 에서 (ⅱ) 에서 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 이때, lim lim 이므로 lim 408. 답 log 에서 log log log 수열 도 발

71 log 이때, lim lim 이므로 log lim 409. 답 3 ㄱ. [반례] :, : 이면 두 수열 은 각각 수렴하고, 수열 이 로 수렴하지만 인 경우 이다. ㄴ. [반례] 이면 lim lim lim lim 거짓 lim 에서 이지만 lim 은 발산(진동)한다. 거짓 ㄷ. 두 수열 이 각각 수렴하므로 lim lim 라 할 때, lim 이므로 이때, 이므로 lim 이다. 참 lim lim (ⅲ) 일 때, lim lim 따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 의 그래프는 3이다 답 3 ㄱ. 이므로 ( ) 참 ㄴ. 일 때, ( ) 따라서, 수열 은 공비가 참 ㄷ. ㄴ에서 이면 인 등비수열이다. 이므로 등비수열 은 410. 답 log 에서 log 에서 발산한다 답 거짓 lim 에서 에서 ᄀ lim lim lim 411. 답 3 (ⅰ) 일 때, lim lim lim (ⅱ) 일 때, 에서 ᄀ,ᄂ,ᄃ을 변변 더하면 ᄂ ᄃ 으로 놓으면 에서 이므로 lim lim lim

72 414. 답 4 점 의 좌표를 으로 놓으면 의 중점이 이므로 또한, 의 중점이 이므로 즉, 이므로 이대, 수열 이 수렴하므로 lim lim 라 하면 따라서, 점 은 점 로 한없이 가까워진다 답 log 양의 정수 을 이진법의 수로 나타내었을 때의 자릿수 은 log 이므로 log log 즉, log log log log 에서 log log log 이때, lim log lim log log log이므로 log lim log log 416. 답 에서 즉, 이므로 일 때, 일 때, 일 때, 일 때, 일 때, 이때, 위의 식을 변변 더하면 lim 따라서, lim 의 최댓값 은 417. 답 lim lim lim ( ) lim lim lim ( ) lim 418. 답 ( ) 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이는 이고 정삼각형의 넓이는 이므로 lim lim lim

73 419. 답 의 양변에 상용로그를 취하면 log log log log 수열 log 의 계차수열을 이라 하면 이므로 수열 은 첫째항이 log log log log log이고 공비가 인 등비수열이다. log log log log log log log lim log lim log lim log log log 420. 답 (ⅰ) 일 때, lim lim (ⅱ) 일 때, (ⅲ) 일 때, lim (ⅳ) 일 때, 따라서, 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때, 의 그래프가 의 범위에서 만나지 않도록 하는 상수 의 최댓값은 의 그래프가 점을 지날 때의 절 편과 같다. 즉, 에서 따라서, 구하는 상수 의 최댓값은 이다.

74 [ 자료번호 22 ] 421. 답 1 주어진 무한급수의 부분합을 이라 하면 (ⅰ) 에서 lim lim 따라서, 주어진 무한급수는 로 수렴하므로 (ⅱ) 에서 lim 따라서, 주어진 무한급수는 로 수렴하므로 (ⅲ) 에서 lim lim 따라서, 주어진 무한급수는 로 수렴하므로 그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 422. 답 등차수열 의 공차가 이므로 lim lim lim lim lim lim 이때, 이고 lim lim lim 425. 답 5 ㄱ. 으로 놓자. 라 하면 에서 참 ㄴ. lim 참 ㄷ. ( 참 423. 답 2 이때, ᄀ-ᄂ을 하면 (주어진 식) ᄀ ᄂ 426. 답 이 수렴하므로 또는 에서 그런데 이므로 따라서, 일 때, 그러므로 오른쪽 그림과 같이 의 자 취의 길이는 424. 답 주어진 무한급수가 수렴하므로 427. 답 5

75 ㄱ. 의 공비는 이다. ( )이라 하자. 이때, 이 수렴하므로 에서 따라서, 은 수렴한다. 참 ㄴ. 의 공비는 이다. 이때, 이 모두 수렴하므로 에서 따라서, 은 수렴한다. 참 ㄷ. 이 수렴할 때, 이 모두 발산한다고 가정 하면 에서 따라서, 은 발산하므로 가정에 모순이다 답 2 수열 의 각 한을 분수로 나타내면 이므로 이므로 429. 답 5 lim lim lim lim lim lim 참 이때, 의 두 근이 이므로 근과 계수의 관 계에 의하여 lim lim 430. 답 5 lim 주어진 그림에서 색칠한 부분들은 을 밑변의 길이, 을 높이로 하는 직사각형이므로 431. 답 1 [그림]의 내부에 반지름의 길이가 인 반원의 개수를, 사분 원의 개수를 이라 하면 : : : 이때, 수열 의 계차수열을 이라 하면 : 이므로 432. 답 원 의 반지름을 각각 이라 하자. 또한, 점 에서 원의 중심 을 연결하여 원 의 끝부분과 만나는 점을 선분 와 선분 가 만나는 점을 라 하자. 이때, 은, 인 직 각삼각형이므로 삼각비의 값에 의하여 따라서, 이므로 에서 433. 답 5