PART 평면기하론 Ⅰ ( 중학교과정 )

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1 T 평면기하론 Ⅰ ( 중학교과정 )

2 T Ⅰ 평면기하론 0 다각형 칠각형의한꼭지점에서그을수있는대각선의개수는 개이며, 이대각선으로 5개의삼각형이만들어진다. 이때, 삼각형의세내각의크기의합은 80 이므로칠각형의내각의크기의합은 900 임을알수있다. n(n-) ⑴ n각형의대각선의총개수는개이다. n 각형의한꼭지점에서그을수있는대각선은 (n-) 개이므로 n 개의꼭지점에서그을수있는대각선은 n(n-) n(n-) 개이다. 그러나한대각선위에는 개의꼭지점이있으므로 n각형의대각선은개이다. [n=5 일때 ] ⑵ n 각형의내각의크기의합은 80 _(n-) 이다. n각형은 (n-) 개의삼각형으로쪼개어지므로 n각형의내각의크기의합은 (n-) 개의삼각형의내각의크기의합과같다. 이때, 삼각형의내각의크기의합은 80 이므로 n각형의내각의크기의합은 80 _(n-) 이다. ⑶ n각형의외각의크기의합은 60 이다. 다각형의한꼭지점에서의외각과내각의크기의합은 80 이므로 n각형의모든꼭지점에서의외각과내각의크기의합은 80 _n이다. 즉, ( 외각의크기의합 )+( 내각의크기의합 )=80 _n ( 외각의크기의합 )=80 _n-( 내각의크기의합 ) =80 _n-80 _(n-)=60 따라서, n각형의외각의크기의합은 n의값에관계없이항상 60 가된다. ⑷ 삼각형의한외각의크기는그와이웃하지않는두내각의크기의합과같다. 일때, = ( 엇각 ), = ( 동위각 ) 이므로 + + = + + =80 따라서, 의외각 의크기는 = + = + 이다 수리영역다빈치코드

3 0 닮음비와넓이 부피의비의관계 닮은도형의넓이의비는닮음비의제곱과같다. 즉, 닮음비가 m:n이면넓이의비는 m :n 이다. 또한, 닮은입체도형의부피의비는닮음비의세제곱과같다. 즉, 닮음비가 m:n이면부피의비는 m :n 이다. 아래그림의두직육면체 F와 G는서로닮은도형이고, 그닮음비는 m:n이다. 이때, VÏ=m_m_m=m, V =n_n_n=n 이므로 VÏ:V =m :n =m :n 이다. n n m m G m F n ⑴ 작은삼각형 (S) 과큰삼각형 (S+T) 의닮음비는 m:m+n 이다. [ 그림 ] ⑵ 작은원뿔 (S) 과큰원뿔 (S+T) 의닮음비는 m:m+n 이다. 이때, VÍ:Vˇ=m :(m+n) -m 이다. [ 그림 ] m S m S n T n T [ 그림 ] [ 그림 ] 0 평행선과넓이 삼각형의넓이는밑변의길이와높이의곱을 로나누어구하므로밑변의길이와높이가같은두삼각형의넓 ' l 이는같다. 오른쪽그림과같이두직선 l, m이평행할때, l과 m 사이의거리는 이다.[ 그림 ] 따라서, 와 '는밑변의길이와높이가같으므로그모양은달라도넓이는같다. 이와같이넓이는변하지않고도형의모양만변형하는것을등적변형이라한다. [ 그림 ] m H [ 그림 ] 또한, 높이가일정한두삼각형의넓이의비는밑변의길이의비와같다. [ 그림 ] 즉, : = : T Ⅰ 0 0 7

4 T Ⅰ 평면기하론 0 중점연결정리 삼각형의두변의중점을연결한선분은나머지변과평행하고그길이는나머지 변의길이의반과같다. 즉, M =M, N =N pple M N, M N = 또한, 삼각형의한변의중점을지나서다른변에평행한직선은나머지한변의중점을지난다. 즉, M =M, M N pple N =N ⑴ 사다리꼴에서의중점연결정리 인사다리꼴 에서선분 의중점을, 선분 의중점을 F라하면다음이성립한다., 의중점을연결한선분 F는, 와평행하다., 의중점을연결한선분 F의길이는 와 의길이의합의반과같다. 즉, M N F Q F = ( + ) 두대각선, 와선분 F가만나는두점을각각, Q라할때, Q 의길이는 와 의차의반과 같다. 즉, Q = ( - ) ( 단, > ) ⑵ 평행선과선분의길이의비 에서선분 에평행한직선과선분, 선분 가만나는점을각각, 라하면다음이성립한다. 이면 : = : = : 이다. : = : 이면 이다 수리영역다빈치코드

5 05 무게중심 삼각형의한꼭지점에서그대변의중점을이은선분, 즉중선은삼각형의넓이를정확 G 히이등분하므로중선은그삼각형의무게를절반으로나누는선분이다. 즉, 삼각형의세중선의교점은삼각형의무게를절반씩나누는선분의교점이므로삼각형의무게중심을손가락으로받쳐들면그삼각형은수평을유지하게된다. ⑴ 삼각형의세중선,, F는반드시한점에서만나는데그점이바로무게중 심이다. 두중선의교점역시무게중심이다. ⑵ 삼각형의무게중심은세중선,, F를각꼭지점으로부터 : 로나눈다. F ⑶ 무게중심과세꼭지점을이으면삼각형의넓이는 등분된다. G pple G= G= G= ⑷ 세중선으로삼각형의넓이는 6등분된다. pple FG= FG= G= G= G= G= 6 ⑸세점(x, y ), (x, y ), (x, y ) 를꼭지점으로하는 의무게중심 G의좌표는다음과같다. x +x +x y +y +y G{, } ⑹ 와같은평면에있는점 가 + + 을최소가되게할때, 점 는무게중심 G 와일치한다. ⑺ ppos의중선정리 에서변 의중점을 M이라하면 + =( M + M ) 이다. 이를해석기하학으로, 즉좌표평면을도입하여도형이나그관계를수식으로나타내어증명하면다음과같다. ⑺ 변 를 x 축, 변 의중점 M 을원점으로두면 + ={(+) + }+{(-) + }=( + + ) M + M = =( M + M ) y (, ) M (-, 0) M (, 0) x T Ⅰ 0 0 9

6 T Ⅰ 평면기하론 06 내심 삼각형의내심과외심은그정의와성질이매우유사하여혼란을피하기가쉽지않다. 내심은삼각형의세내각의이등분선이만나는점으로세변끼리의거리가모두같으며, 외심은삼각형의세변의수직이등분선이만나는점으로세꼭지점까지의거리가모두같다. 따라서, 내심과외심의정의와성질에대한혼란을피하기위하여 내각변외변꼭 으로암기하는것도하나의방법이다. 내각변 삼각형의세내각의이등분선은한점, 내심에서만나고이점에서세변까지의거리는같다. 내심에서삼각형의각변까지의거리가같기때문에내심을중심으로원을그리면각변에접하게된다. 내심 각변 외변꼭 외심 변꼭지점 이증명은각의이등분선의성질 점 가 의이등분선위에있으면 에서두변, 까지의거리는서로같다. 이역도성립한다. 를이용한다. 두각, 의이등분선의교점을 I라고한다. 점 I에서세변,, 에내린수선의발을각각,, F라하면 I =I, I =IF 이므로 IF =I 이다. IF =I 이므로 I는 의이등분선위에있다. 따라서, 세내각의이등분선은한점 I에서만난다. I F [ 각의이등분선 ] 에서 의이등분선과변 가만나는점을 라하면 : = : 이다. ⑴ 의내심은세접점을꼭지점으로하는 F 의외심이다. ⑵ I=80 -( I+ I) =80 -( I+ I) I F =90 + ( ( I+ I)+ =80 ) ⑶ 삼각형의세꼭지점에서접점까지의거리는같다. 즉, =F =, = =, =F = +- ⑷ 내접원의반지름의길이를 라하면삼각형의넓이 S는 S= (++) 이다. 0 0 수리영역다빈치코드

7 07 외심 삼각형의세변의수직이등분선은한점, 외심에서만나고이점에서세꼭지점까지의거 리는같다. 외심에서삼각형의각꼭지점까지의거리가같기때문에외심을중심으로원을그리면각꼭지점은모두원위에있게된다. 이증명은선분의수직이등분선의성질 점 가 의수직이등분선위에있으면 = 이 F 다. 이역도성립한다. 를이용한다. 두변, 의수직이등분선의교점을 라고한다. =, = 이므로 = 이다. = 이므로점 는선분 의수직이등분선위에있다. 따라서, 세변의수직이등분선은한점 에서만난다. ⑴ 예각삼각형의외심은삼각형의내부에존재하고, 직각삼각형의외심은빗변의중점과일치한다. 또한, 둔각삼각형의외심은삼각형의외부에존재한다. 예를들어, =90 인 의변 의중점을 라할때, = = 이면점 는삼각형 의외심이다. ⑵ = (`Ó 한호에대한원주각의크기는그호에대한중심각의크기의반이다.) ⑶ 외접원의반지름의길이를 라하면다음사인법칙이성립한다. sin = = = sin sin T Ⅰ 0

8 T Ⅰ 평면기하론 08 직각삼각형 가직각인직각삼각형 의꼭지점 에서빗변 에내린수선의발을 H라하면다음이성립한다. ⑴ ª Hª H ⑵ =H _, 즉 =x_ ⑶ =H _, 즉 =y_ x z H y ⑷ H =H _H, 즉 z =x_y ⑸ _ =H _, 즉 =z ⑴ 와 H에서 = H=90, 는공통으로대응하는두쌍의각의크기가같다. ª H 또한, 와 H에서 = H=90, 는공통으로대응하는두쌍의각의크기가같다. ª H ⑵ Hª 이므로 :H = : 이다. =H _ ⑶ Hª 이므로 :H = : 이다. =H _ ⑷ Hª H이므로 H :H =H :H 이다. H =H _H ⑸ Hª 이므로 :H = : 이다. _ =H _ 0 수리영역다빈치코드

9 09 피타고라스의정리 직각삼각형의직각을낀두변의길이를각각, 라하고빗변의길이를 라하면 + = 이다. 따름정리 에서가장긴변의길이를 라할때 ⑴ + > 이면 는예각삼각형이다. 즉, <90 ⑵ + = 이면 는직각삼각형이다. 즉, =90 ⑶ + < 이면 는둔각삼각형이다. 즉, >90 ' ' 한변의길이가 x인정삼각형의넓이는 _x_ x= x 이다. 이때, 높이를얻기위하여피타고라스의정리를이용한다. x x ' { } +( 높이 ) =x pple ( 높이 ) =x - = x pple ( 높이 )= x 그러나정삼각형의넓이와삼각형의넓이는문제해결과정에서많이사용되므로다음삼각비와함께반드시기억하여얻는것이훨씬더효과적이다. x 60 x ø x ø ø 이때, 높이를구하는방법이또하나있다. 즉, sin= 에서 =sin이므로삼각형의 넓이는 = sin이다. 같은방법으로 sin, sin를얻는다. H T Ⅰ 0

10 T Ⅰ 평면기하론 0 삼각비 삼각형의한각이직각인경우에는피타고라스의정리를사용할수있다. 이때, 특수각 (0, 5, 60 ) 의삼각함수값은자주이용되니머리속에일목요연하게정리해두는것이좋다 sin os ' ' ' ' ' tn ' 0 ø 60 0 ø 60 ø 5 5 ⑴ sin =, os =, tn = 이므로 = os 이고 = sin = tn 이다. ⑵ 임의의각 에대하여다음등식이성립한다. sin os ose=, se=, ot =, tn=, ot= sin os tn os sin sin +os =, +tn =se, +ot =ose 원주각과중심각 원위의한점 에서그은두현, 가이루는각 를호에대한원주각이라한다. 한원에서같은호에대한원주각의크기는점 의위치에따라무수히많이존재하고점 를어디에잡든관계없이모두같으며, 한호에대한원주각의크기는그호에대한중심각의크기의반이다. 즉, = ' 0 수리영역다빈치코드

11 ⑴ 원의둘레위의한점과지름의양끝점을잇는직선으로이루어지는각은직각이다. [ 그림 5] ⑵ 한원에서중심각의크기가같은두부채꼴은서로포개어지므로중심각의크기가같으면그에대한호의길이도같다. 이때, 현의길이역시마찬가지이다. [ 그림 6] ⑶ 호의길이와중심각의크기는비례한다. 또한, 부채꼴의넓이와중심각의크기는비례한다. 그러나현의길이와중심각의크기는비례하지않는다. [ 그림 7] ⑷ 원의중심에서현에내린수선은이현을이등분한다. 역으로현의수직이등분선은이원의중심을지난다. [ 그림 8] [ 그림 5] [ 그림 6] [ 그림 7] [ 그림 8] 원과직선 원의접선은그접점을지나는반지름에수직이다. 역으로원위의한점을지나고, 그점을지나는반지름에수직인직선은그원의접선이다. ⑴ 원의중심을지나는직선은원을이등분한다. [ 그림 9] ⑵ 원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같다. 그리고이점과접선이이루는각의이등분선은원의중심을지난다. [ 그림 0] ⑶ 사각형 가원에외접할때, + = + 이다. [ 그림 ] ⑷ 두원이두점에서만날때, 두교점을이은선분 는두원의공통현이된다. 이때, 두원의중심을이은선분은공통현을수직이등분한다. [ 그림 ] ' [ 그림 9] [ 그림 0] [ 그림 ] [ 그림 ] T Ⅰ 0 5

12 T Ⅰ 평면기하론 ⑸ 원의접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다. 역으로원의현과그한끝점을지나는직선으로이루어지는각의크기가이각의내부에있는호에대한원주각의크기가같으면이직선은원의접선이다. ⑹ 공통외접선과공통내접선의길이는피타고라스의정리를이용한다. d d 공통외접선 = d 의 -(-) 길이 공통내접선 = d 의길이 -(+) 원과비례 원의두현, 또는이들의연장선의교점을 라고하면 = 가성립한다. 두현, 가만날때, 와 에서 =, = ª 따라서, : = : = 0 6 수리영역다빈치코드

13 따름정리 두선분, 또는그연장선이 에서만나고 = 가성립하면네점,,, 는한원위에있다. 원밖의한점 에서그은접선과할선이원과만나는점을각각 T,, 라할때, T = 가성립한다. T T 와 T 에서 T= T yy ᄀ T= T yy ᄂ ᄀ, ᄂ으로부터 Tª T 따라서, :T =T : T T = 따름정리 점 T를한끝점으로하는반직선위에두점, 와이반직선밖의점 가있어 T = 가성립하면직선, 의연장선은,, 를지나는원의접선이다. 전개도 직원뿔을전개하여그전개도를그리면옆면인부채꼴과밑면인원이나타난다. 이때, 부채꼴의반지름의길이는원뿔의모선의길이와같고, 부채꼴의호의길이는원의둘레의길이와같다. 부채꼴의반지름의길이가, 중심각의크기가 일때, 원의반지름의길이는 ( 부채꼴의호의길이 )=( 원의둘레 ) 의길이를이용하여구한다. 즉, =p = p 이때, 원뿔의높이는피타고라스의정리를이용하여구한다. 즉, = + =" - T Ⅰ 0 7

14 T Ⅰ 평면기하론 ⑴ 직원뿔의밑면의한점 에서표면을따라다시 로돌아오는 최단거리는오른쪽전개도에서 '' 이다. " ⑵ 다음그림의원뿔, 원기둥, 사각뿔에감은실의길이는로모두같다. sin ' ' 실 이방향으로실을감는다. ⑶ 최단거리에대한전개도의활용은다음과같다. p Q Q p Q ' ' ' Q ' Q ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' S Q Q S 0 8 수리영역다빈치코드

15 5 겉넓이와부피 원뿔에가득찬모래를원기둥에정확히 번반복하여부으면원기둥에모래가가득찬다. 그리고이와같은실행을밑면의넓이와높이가각각같은각뿔과각기둥에대하여실행하여도마찬가지결과를얻는다. 일반적으로뿔 ( 원뿔, 삼각뿔, 사각뿔등 ) 의부피는밑넓이와높이가각 각같은기둥의부피의 _( 밑넓이 )_( 높이 ) 가된다. 과같다. 그런데기둥의부피는 ( 밑넓이 )_( 높이 ) 이므로뿔의부피는 S S S 또한, 반구에가득찬모래를원기둥에정확히 번반복하여부으면원기둥에모래가가득찬다. 실제로반지름의길이가 인구의부피는밑면의반지름의길이가 이고높이가 인원기둥의부피의 p _ = p 이다. V=;!;S V=;!;S V=;!;S 이다. 이때, 원기둥의부피는 p _=p 이므로구의부피는 ⑴ 밑면의반지름의길이가, 높이가 인원뿔의부피는 V= p 이다. [ 그림 ] ⑵ 반지름의길이가 인구의부피는 V= p 이고겉넓이는 S=p 이다. [ 그림 ] ⑶ 한모서리의길이가 인정사면체의높이는 '6 ' 이므로정사면체의부피 V는 V= 이고겉넓이는 ' 이 다. [ 그림 5] ø6 = [ 그림 ] [ 그림 ] [ 그림 5] T Ⅰ 0 9

16 테마 집중탐구 Teme Fous Tining 지수와로그 00 오른쪽그림의 에서,,, 의넓이가각각 å, å _å, fi _, _ 일때, + 의값은? ( 단,, 는자연수이고 +, +) 수열 00 오른쪽그림과같이외접원의반지름의길이가, 내접원의반지름의길이가 인 에서세변의길이가등차수열을이 룰때, 다음중이수열의공차 d 와같은것은? 수열 00 오른쪽그림과같은직각삼각형 의점 로부터빗변 에내린수선의발을 라하자.,, 의 넓이가이순서대로등차수열을이룰때, os 의값은? '6 5 '7 0 0 수리영역다빈치코드

17 수열 00 오른쪽그림과같이두직선 l, m에접하는세원,, 가서로외접하고있다. 양끝에있는두원, 의반 l 지름의길이가각각, 일때, 가운데있는원 의반지름의길이는? m ' 5 5 ' 수열 005 자연수 n(n}) 에대하여 «을정n각형의대각선의총개수라하자. 예를들어 =, =5이다. 0 이때, «의값은? n= 수열 006 자연수 n에대하여 x축위의점 (n, 0) 을중심으로하고반지름의길이가 인원을 «이 00 라하자. 원점에서원 «에그은접선의길이를 «이라할때, 의값은? k= T Ⅰ 0

18 테마집중탐구 Teme Fous Tining 수열의극한 오른쪽그림과같이세점 (0, 0), (, 0), (0, ) 007 을꼭지점으로하는삼각형 가있다. 선분 위에점 «(x«, y«) 을 «: «=(n+):n이 y (0, ) n(xn, yn) 되도록잡을때, limx«y«의값은? n (, 0) x 수열의극한 008 둘레의길이가 5 인삼각형 이있다. 이삼각형의각변의중점을이어서만든삼각형을 라하고같은방법을 n 번반복하여삼각형 «을얻는다고하자. «의둘레의길이를 l«이라할때, l«의 값은? n= 수열의극한 오른쪽그림과같이반지름의길이가 인원에정삼각형을내접시 009 키고다시정삼각형에원을내접시킨다. 이런과정을한없이반복할때, 원의넓이를차례대로,,, y이라하고, 정삼각형의넓이를차례대로,,, y이라하면무한급수 («+«) 의값은? n= p+' p+' p+' p+' 5 p+' 0 수리영역다빈치코드

19 수열의극한 00 한변의길이가 인정삼각형 에내접하는원을, 원 의위쪽에서 과외접하고정삼각형 에내접하는원을 라하자. 이런과정을한없이반복하여원,,, y을만들었을때, 이들원의넓이의합은? p p p p p 7 지수함수와로그함수 0 지수함수 y= 의그래프가있다. 오른쪽그림과같이한변의길이가 8'인정삼각형 의꼭지점 가이그래프위로움직일때, 의무게중심이그리는도형의방정식은? ( 단, 는 x축과항상평행하다.) y G... y= y= - y= +8 y= + y= -8 5 y= ± x 순열과조합 오른쪽그림과같이원의둘레를 8등분하는 8개의점중에서세 0 점을선택하여삼각형을만들수있는삼각형은 개이고, 이중에서직각삼각형은 개이다. 이때, -의값은? T Ⅰ 0