<4D F736F F F696E74202D203428B8E9C0FB20B9D720C3BCC0FBC0FBBAD0292E BC8A3C8AF20B8F0B5E55D>

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1 면적및체적적분 Metl Formng CE L. Deprtment of Mecncl Engneerng Geongsng Ntonl Unverst, Kore

2 역학에서의면적및체적적분사례 면성치 (re propertes) : 면적, 도심, 단면 차 ( 극 ) 관성모멘트 체성치 (Volume or mss propertes) : 체적, 무게중심, 질량관성모멘트 정역학및동역학 d d 분포하중에대한합력의계산시도심의결정 :, ρ dv ρ dv ρz dv 물체의무게중심의계산 :,, z ρdv ρdv ρdv 질량관성모멘트 : 고체역학 I r dm r dv zz ρ V V 축의비틀림문제에서단면 차극관성모멘트 : 보의단면의도심결정 : 보의단면의일부에대한면적적분 : 단면 차관성모멘트 : I zz, d Q d d J I z r d d

3 면적및체적적분의개념 용어의정의 면적적분 : f (, ) d f (, ) dd 적분요소피적분함수 (Integrnd) 적분구간 예제 : 그림의면적을대상으로하여다음식에서의 를구분하여설명하라. d 적분구간 는그림의영역 ( 사각형의내부 ) 을나타내는기호임 적분요소에서 는단독으로의미를가지지못하며, d dd임 분모의 는사각형의면적 ( ) 를의미함 체적적분은면적적분의단순확장이므로 상세설명은면적적분으로대신함

4 면적및체적적분의개념 면적적분의의미 면적적분 : 적분구간을미소의적분요소인면적요소로나누고모든면적요소의중심에서구한피적분함수의값과그면적요소의면적을곱하여더해준것임 예제 : 다음의식의의미를그림의면적을대상으로설명하고, 근사적으로값을구하라. I d d 한다는의미임 (, ) 면적요소와를곱하여더해주되, 그대상면적을으로 6 4 I I I I ect (( 0 6 ) I ( ) 88

5 면적및체적적분의계산법 면적적분의계산법 일반적으로직선적분과는달리공식이한정되어있음. 따라서수계산으로구할수 있는면적및체적적분은극히제한적임. 대부분의경우수치계산법으로구해야함 상황 ( 피적분함수의형태, 적분구간의형태 ) 에따라적절히대응해야하며, 경험적요소에 의존할수밖에없음. 다행히고체역학문제의경우, 수계산으로계산이가능한경우가 대부분임 수계산이가능한경우 단면적이원, 직사각형, 삼각형등의기본도형의조합으로이루어져있는복합도형의 면성치 ( 단면적, 도심, 단면 ( 차 ) 극관성모멘트, 단면 ( 차 ) 관성모멘트등 ) 원통, 직육면체, 원뿔등의기본적인입체형상의조합으로이루어져있는복합입체형상의 체성치 ( 체적, 체적중심, 무게중심, 질량관성모멘트등 )

6 면적및체적적분의계산법 수계산이가능한경우 경우. 단면이직사각형이고, 피적분함수가와의다항식으로구성되어있을경우 예제.: / / / d dd d d 0 / / / 예제.: / / / d dd d d / / / 예제.: / ' ' ' ' ' ' ' ' d d d d d / 0 0 예제.4: / ' ' d ' ' ' ' ' ' d d d d / 0 0 예제.5: / / ' ' ' ' d ' ' ' ' ' ' ' ' d d d d / 0 4 / 0 ' '

7 수계산이가능한대표적인경우 ( 계속 ) 면적및체적적분의계산법 경우. 한변이축과평행한삼각형이고, 피적분함수가 와 의다항식으로 구성되어있을경우 4 예제 :. : d wd ( ) d d d+ d d + ( ' ) d 7 4 w wd d : ( ): w 4 예제. : d wd ( ) d 0 0 d d

8 면적및체적적분의계산법 수계산이가능한대표적인경우 ( 계속 ) 경우. 단면이원이고, 피적분함수가반경의함수일때 예제.: rd r π rdr π ( o ) o 4 4 경우 4. 단면이원또는부채꼴이고, 피적분함수가또는의함수일때 r o r d dr π rdr 예제 4.: 원 o π d r snθr dθdr r dr snθdθ 0 0 π d r sn θ rd θ dr rdr sn θ d θ 0 4 ( o ) π o 4 4 dθ dr r dr θ α C r 예제 4.: 부채꼴 α α α sn θ α sn α d r cos r d dr r dr cos d 0 θ θ θ θ α 0 α d rdθ dr

9 면적및체적적분의계산법 수계산이가능한대표적인경우 ( 계속 ) 경우 5. 그림과같이단면형상이활꼴이고, 피적분함수가의함수일경우 예제 5.: ( ) d d tdt t, d dt 0 t 0 t d

10 수학적정의 선중심 : 면적중심 : ( 도심 ) 체적중심 : 도심의정의 도심 (Centrod) 의의미 : 도형의중심. 선, 면적, 체적의기하학적중심 dl ' dl ' zdl ' ' L L L,, z L L L d ' d ' zd ',, z ' ' dv dv zdv ' V V V,, z V V V ' 대개역학문제에서 z,, 좌표계를도심에서정의하므로그림의 차원평면상에서보는바와같이기준좌표계인 ', ', z' 좌표계에대한상대적인위치, 즉,, z 로도심을정의함 역학계산에서면적중심이많이사용되고있으며, 주로그림에서보는바와같이좌표계의 또는 z 면과평면을일치시킴 z 무게중심과의관계 : 체적중심은밀도가균일한동일한형상의물체의무게중심과일치함. 선과면적은부피가없으므로무게중심과직접비교할수는없음. 그러나선의굵기와면의두께가균일하고밀도가동일한물체의무게중심과일치하는것으로이해해도무방함 면

11 직접적분으로도심구하기의예제 예제 - 예제. 로부터 d ' 임 d ' / 따라서 임 ' ' d 0 축에대해서좌우대칭이므로임 예제 - 예제.의결과를이용하면, ' / 4 ' ' ' d 7 /4 7 / ' /6 d / w d ' ' '

12 예제 -: 원 직접적분으로도심구하기의예제 ' 예제. 의결과를이용하면, ' d 0 예제 -B: 부채꼴 d ' 0 0 ' α α rcos rd dr r dr cos d 0 α 0 α ' d θ θ θ θ α α α sn θ α sn α α α 반원일경우 4 π α α C ' α α r cosθ dθ θ r dr dr d rdθ dr '

13 직접적분으로도심구하기의예제 예제 5- ( ) d ' 예제 5.로부터 면적의계산 임 π π ' ' cos (+ cos ) sn sn d d θ d θ + θ d θ π ( sn ) ' sn θ, d' cosθdθ π ' θ ; ' θ sn d ' ( ) π ( sn ) 반원의도심 : 4 π ' ' ' + ' sn / d d ' ' d ' '

14 직접적분으로도심구하기의예제 예제 6 d ' ' d ' d + ' d + + ( ' ) ' ' d ' + ' d 0 + ( ) / ( ) ( + ) ( ) / ( + ) d ' d ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ' ' ' ' ' ' ' d ' d ' d d' ' d ' d' d' d ' d ' ' ( ' ) ' ( ) ' ' + '

15 도심이용면적적분 ' ' 도심을이용한면적적분공식 d ' d ' d d ' π π d ' ' d d zd ' z z' d z d ' ' ' ' d ' d 6 '

16 복합도형의도심계산 복합도형의도심계산공식 d d ' d ' + d ' + + d ' ' n n d d d d d n d ' d ' d ' + d ' + + d ' n n d d d + d + + d n n n '... n d ' '

17 복합도형의도심구하기의예제 사다리꼴의도심 ' d+ ' d ( ) ( ) + 6( + ) ( + ) ' d ' ( ) ( + ) d ' ( ) 6 ( ), d ' O ( ) ( ) d ' 6 d ' + d ' ( ) + 6( + ) ( + ) ( + ) ( + ) / + / '

18 복합도형의도심구하기의예제 ' ' f ( d ) f( d ) f( d ) mm mm 000 mm, 000 mm 800 mm, 4 450π mm 60, , , , 4 0 π π

19 복합도형의도심구하기의예제 ' ' mm , 60 π 0mm 480, 60, 0

20 도심을이용한 Q 값구하기 보의전단응력계산에필요한값, Q 의정의: Q 의계산 : 예제 Q d Q τ V I Q Q d d + d + + d n n n 사각형단면 : 원형단면 : 복합단면 : z + 4 d d ' zz z ' Q( ) 0 π Q ( 0) + ( sn ) π ( sn ) ( ) Q Q ( 8) ( ) Q ( 0) Q 4 4

21 도심을이용한축대칭물체의부피계산 V π rd π r Α mm π π r + 50 r 4 4.mm r r + r r π π r 50, r 00 50, r π π V π r π mm

22 도심을이용한합력의계산 4m 6m 00N/m 800N/m 00N/m N (4 + 6) + 4 4m N/m 600N/m 6800N 6m 800N/m 4 7

23 복합보의중립축계산공식 복합보의중립축구하기, ' 중립축의정의 : Ed 0 ' +, ' ( ) Ed E d E ' d N E d N E N 예제 : ' 0 E ' d E E E Ed E d + E d 0 E E E ' d N + E ' d N 0 E 5 E + E N 0 N 6 N N N z z ' N z z n n ' E E E E 4 n

24 단면 차관성모멘트구하기 - 단순단면 예제 : 직사각형단면 zz 0 I d d z d 예제 : 원형단면 d d I d r sn θdrdθ r dr sn θdθ zz π π π 4 θ sn θ π π d J r d ( z + ) d z d + d d I π π d 4 4 zz z dθ r θ d rdθ dr rsnθ dr

25 단순한복합단면에대한단면 차관성모멘트의계산 각구성요소의 d 가 0인경우 I zz d d C π 4 C 4 d C z Izz d d C C C C C d d d C C π π π

26 복합단면의단면 차관성모멘트계산공식 도심에서떨어져있는 z' z' 축에대한단면 차관성모멘트의계산 I zz ' ' ' d, ' d + ( ) d + + d ( + + ) + + d d d z ' + d+ I + zz z '

27 단면 차관성모멘트구하기 - 단순단면 예제 : 삼각형단면 ' / / I zz ' ' ' d ' w d ' ( ') ' d ' / / / / 4 ( ' ' ) d ' ' ' / z 4 ' / w d ' Izz Iz ' z ' z ' d wd ' ( '): w: ( ') w ( ') d ( ') d '

28 I zz ' ' 특수한단면 차관성모멘트계산예제 를직접적분으로구할수있는경우, 의계산 I zz π I ' d r sn θ drdθ zz ' ' 0 0 π π 4 rdr sn θdθ ' +, ' d ' π 0 0 r r sn θ drd θ π π r / [ cos θ ] / π π z z ' dθ r θ d rdθ dr ' r sn θ dr π 6 π π 8 Izz Iz ' z ' 8 9π 8 9π 4 4

29 해법 복합단면의단면 차관성모멘트계산예제 d t d td + ( w t ) t d + td td + w t t + td ( ) ( ) ( ) + ( d w t) w t d t d 5 + t z t w t d I I ) + I ) + I ) zz zz zz zz d + + td ( w t) t t td + td + ( w t ) t + ( w t ) t d d td td + + td

30 해법 복합단면의단면 차관성모멘트계산예제 d d t wd ( w t) ( d t) wd w t ( d t) z w t d t d 5 t t + ( ) ( ) ( ) + ( d + w t ) I I ) I ) zz zz zz d wd wd + d t ( w t) ( d t) + ( w t) ( d t) w - wd ( w t)( d t) d

31 복합단면의단면 차관성모멘트계산예제 d d td + td d + 4 d td + td 4 d d d Izz 6 t + td d + t ( d ) + td d + d td 48, z z d t 6t d I zz ( )

32 복합보에서의단면 차관성모멘트관련면적적분 ρ 복합보에서의평형조건식 : M E d ' Ed E d + E d 0 E E E ' d N + E ' d N 0 E 5 E + E N 0 N 6 z z E N E E E I d I d ' + N ' N ( ) E M Ed E + + d E d EI EI 8 ρ ρ ρ ρ 4